தரப்படுத்தப்பட்ட பல பின்னடைவு சமன்பாடு. எண்ணெய் மற்றும் எரிவாயு பற்றிய சிறந்த கலைக்களஞ்சியம்

காரணி மற்றும் விளைவு பண்புகளின் நிலையான விலகல் பங்குகளில்;

6. பின்னடைவு சமன்பாட்டில் அளவுரு a பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால்:

7. விலையில் விநியோகத்தின் சார்பு y = 136 x 1.4 வடிவத்தின் சமன்பாட்டால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. இதன் பொருள் என்ன?

1% விலையில் அதிகரிப்புடன், வழங்கல் சராசரியாக 1.4% அதிகரிக்கிறது;

8. பி சக்தி செயல்பாடு b அளவுரு:

நெகிழ்ச்சி குணகம்;

9. மீதமுள்ள நிலையான விலகல் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

10. 15 அவதானிப்புகளிலிருந்து கட்டமைக்கப்பட்ட பின்னடைவு சமன்பாடு, வடிவம் கொண்டது: y = 4 + 3x +?6 t - அளவுகோல் மதிப்பு 3.0 இந்த சமன்பாட்டிற்கான நிர்ணய குணகம்:

மாதிரி உருவாக்கும் கட்டத்தில், குறிப்பாக காரணி திரையிடல் நடைமுறையில், அவர்கள் பயன்படுத்துகின்றனர்

பகுதி தொடர்பு குணகங்கள்.

12. "கட்டமைப்பு மாறிகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன:

போலி மாறிகள்.

13. ஜோடி தொடர்பு குணகங்களின் அணி கொடுக்கப்பட்டது:

U xl x2 x3

U 1.0 - - -

Xl 0.7 1.0 - -

X2 -0.5 0.4 1.0 -

X3 0.4 0.8 -0.1 1.0

கோலினியர் என்ன காரணிகள்?

14. தன்னியக்க தொடர்பு செயல்பாடுநேரத் தொடர்:

நேரத் தொடர் நிலைகளின் தன்னியக்க தொடர்பு குணகங்களின் வரிசை;

15. சேர்க்கை மாதிரியில் நேரத் தொடர் நிலையின் முன்னறிவிப்பு மதிப்பு:

போக்கு மற்றும் பருவகால கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை.

16. நேரத் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் கருதுகோளைச் சோதிக்கும் முறைகளில் ஒன்று:

ஏங்கல்-கிரேன்ஜர் அளவுகோல்;

17. நேரத் தொடர் ஒருங்கிணைப்பு:

இரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) நேரத் தொடரின் நிலைகளில் காரண-விளைவு உறவு;

18. சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் வெளிப்புற மாறிகளுக்கான குணகங்கள் குறிக்கப்படுகின்றன:

19. ஒரு சமன்பாடு அதிகமாக அடையாளம் காணக்கூடியதாக இருந்தால்:

20. ஒரு மாதிரி அடையாளம் காண முடியாததாகக் கருதப்படுகிறது:

மாதிரியின் குறைந்தபட்சம் ஒரு சமன்பாடு அடையாளம் காணப்படவில்லை;

விருப்பம் 13

1. பொருளாதார அளவீட்டு ஆராய்ச்சியின் முதல் நிலை:

பிரச்சனையின் அறிக்கை.

என்ன சார்பு கீழ் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்ஒரு மாறி மற்றொரு மாறியின் மதிப்புகளின் வெவ்வேறு விநியோகங்களுடன் ஒத்துப்போகிறதா?

புள்ளியியல்;

3. பின்னடைவு குணகம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், பின்:

தொடர்பு குணகம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது.

4. பின்னடைவு குணகங்களை மதிப்பிடுவதற்கான கிளாசிக்கல் அணுகுமுறை அடிப்படையாக கொண்டது:

முறை குறைந்தபட்ச சதுரங்கள்;

ஃபிஷரின் எஃப் சோதனை வகைப்படுத்துகிறது

காரணி விகிதம் மற்றும் எஞ்சிய மாறுபாடுகள், ஒரு அளவு சுதந்திரத்திற்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

6. தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகம்:

பல தொடர்பு குணகம்;

7. குணகங்களின் முக்கியத்துவத்தை மதிப்பிட, வேண்டாம் நேரியல் பின்னடைவுகணக்கிட:

எஃப் - ஃபிஷர் சோதனை;

8. குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி அளவுருக்கள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

நேரியல் பின்னடைவு;

9. தொடர்பு குணகத்தின் சீரற்ற பிழை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

M= √(1-r 2)/(n-2)

10. கொடுக்கப்பட்டவை: Dfact = 120;Doct = 51. Fisher's F-test இன் உண்மையான மதிப்பு என்னவாக இருக்கும்?

11. ஃபிஷரின் பகுதி F சோதனை மதிப்பிடுகிறது:

புள்ளியியல் முக்கியத்துவம்பல பின்னடைவு சமன்பாட்டில் தொடர்புடைய காரணியின் இருப்பு;

12. பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடு என்று பொருள்:

எதிர்பார்ப்புமீதி பூஜ்யம்.

13. எக்செல் இல் பல பின்னடைவு மற்றும் தொடர்பு மாதிரியைக் கணக்கிடும் போது, ​​இணைக்கப்பட்ட தொடர்பு குணகங்களின் மேட்ரிக்ஸைக் காட்ட, பின்வருபவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

தரவு பகுப்பாய்வு கருவி தொடர்பு;

14. சேர்க்கை மாதிரியில் உள்ள அனைத்து காலாண்டுகளுக்கும் பருவகால கூறுகளின் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்க வேண்டும்:

15. பெருக்கல் மாதிரியில் நேரத் தொடர் நிலையின் முன்னறிவிப்பு மதிப்பு:

போக்கு மற்றும் பருவகால கூறுகளின் தயாரிப்பு;

16. ஒரு தவறான தொடர்பு இருப்பதன் மூலம் ஏற்படுகிறது:

போக்குகள்.

17. எச்சங்களின் தன்னியக்க தொடர்பைத் தீர்மானிக்க, பயன்படுத்தவும்:

அளவுகோல் டர்பின்-வாட்சன்;

18. சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் உள்ள எண்டோஜெனஸ் மாறிகளின் குணகங்கள் குறிக்கப்படுகின்றன:

19. நிபந்தனை என்னவென்றால், ஒரு மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மாறிகளின் குணகங்களால் ஆனது. ஆய்வின் கீழ் உள்ள சமன்பாட்டில் காணவில்லை குறைவான எண்ணிக்கைஉட்புறம் அமைப்பு மாறிகள்ஒரு யூனிட்:

சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் ஒரு சமன்பாட்டை அடையாளம் காண்பதற்கான கூடுதல் நிபந்தனை

20. தீர்க்க மறைமுக குறைந்தபட்ச சதுர முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது:

சமன்பாடுகளின் அடையாளம் காணக்கூடிய அமைப்பு.

விருப்பம் 14

1. பொருளாதார நிகழ்வுகள் மற்றும் செயல்முறைகளை அளவுரீதியாக வகைப்படுத்தும் மற்றும் போதுமானதாக இருக்கும் கணித மற்றும் புள்ளியியல் வெளிப்பாடுகள் உயர் பட்டம்நம்பகத்தன்மை அழைக்கப்படுகிறது:

எகனாமெட்ரிக் மாதிரிகள்.

2. பணி பின்னடைவு பகுப்பாய்வுஎன்பது:

பண்புகளுக்கு இடையிலான உறவின் நெருக்கத்தை தீர்மானித்தல்;

3. பின்னடைவு குணகம் காட்டுகிறது:

அதன் அளவீட்டின் ஒரு அலகு மூலம் காரணியின் மாற்றத்துடன் முடிவின் சராசரி மாற்றம்.

4. சராசரி பிழைதோராயமானவை:

உண்மையானவற்றிலிருந்து பெறப்பட்ட பண்புகளின் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளின் சராசரி விலகல்;

5. தவறான தேர்வுகணித செயல்பாடு பிழைகளைக் குறிக்கிறது:

மாதிரி விவரக்குறிப்புகள்;

6. பின்னடைவு சமன்பாட்டில் அளவுரு a பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், பிறகு:

விளைவின் மாறுபாடு காரணியின் மாறுபாட்டை விட குறைவாக உள்ளது;

7. மாறிகளை மாற்றுவதன் மூலம் எந்த சார்பு நேரிடப்படுகிறது: x=x1, x2=x2

இரண்டாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை;

8. விலைகள் மீதான தேவையின் சார்பு y = 98 x - 2.1 வடிவத்தின் சமன்பாட்டால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. இதன் அர்த்தம் என்ன?

1% விலையில் அதிகரிப்புடன், தேவை சராசரியாக 2.1% குறைகிறது;

9. சராசரி முன்னறிவிப்பு பிழை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

- σost=√(∑(у-ỹ) 2 / (n-m-1))

10. ஒரு ஜோடி பின்னடைவு சமன்பாடு இருக்கட்டும்: y = 13+6*x, r = 0.7 உடன் 20 அவதானிப்புகளிலிருந்து கட்டப்பட்டது. வரையறுக்கவும் நிலையான பிழைதொடர்பு குணகத்திற்கு:

11. தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்கள் காட்டுகின்றன:

எத்தனை சிக்மாக்கள் மாறாமல் இருக்கும் மற்ற காரணிகளின் சராசரி நிலையுடன் தொடர்புடைய காரணி ஒரு சிக்மாவால் மாறினால் சராசரி முடிவு மாறும்;

12. குறைந்த சதுர முறையின் ஐந்து வளாகங்களில் ஒன்று:

ஓரினச்சேர்க்கை;

13. எக்செல் இல் பல தொடர்பு குணகத்தை கணக்கிட, பயன்படுத்தவும்:

தரவு பகுப்பாய்வு கருவி பின்னடைவு.

14. சுழற்சியில் உள்ள பெருக்கல் மாதிரியில் அனைத்து காலகட்டங்களுக்கான பருவகால கூறுகளின் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்க வேண்டும்:

நான்கு.

15. நேரத் தொடரை பகுப்பாய்வு ரீதியாக சீரமைக்கும்போது, ​​சுயாதீன மாறி:

16. எச்சங்களில் தன்னியக்க தொடர்பு என்பது OLS அனுமானத்தை மீறுவதாகும்:

பின்னடைவு சமன்பாட்டிலிருந்து பெறப்பட்ட எச்சங்களின் சீரற்ற தன்மை;

பின்னடைவு சமன்பாட்டின் குணகங்கள், எந்த முழுமையான குறிகாட்டிகளைப் போலவே, தொடர்புடைய மாறிகளின் அளவீட்டு அலகுகள் வேறுபட்டால் ஒப்பீட்டு பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்த முடியாது. உதாரணமாக, என்றால் ஒய் - உணவுக்கான குடும்பச் செலவு, எக்ஸ் 1 - குடும்ப அளவு, மற்றும் எக்ஸ் 2 குடும்பத்தின் மொத்த வருமானம், அது போன்ற உறவை நாங்கள் வரையறுக்கிறோம் = a + பி 1 x 1 + பி 2 x 2 மற்றும் b 2 > b 1 , அப்படியென்றால் இது அப்படியல்ல x 2 மீது வலுவான விளைவைக் கொண்டிருக்கிறது ஒய் , எப்படி எக்ஸ் 1 , ஏனெனில் பி 2 வருமானம் 1 ரூபிள் மாறும்போது குடும்பச் செலவுகளில் ஏற்படும் மாற்றம், மற்றும் பி 1 - ஒருவரால் குடும்ப அளவு மாறும்போது செலவுகளில் மாற்றம்.

தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு சமன்பாட்டை கருத்தில் கொண்டு பின்னடைவு சமன்பாடு குணகங்களின் ஒப்பீடு அடையப்படுகிறது:

y 0 =  1 x 1 0 +  2 x 2 0 + ... +  m x m 0 + e,

எங்கே y 0 மற்றும் x 0 கே – நிலையான மாறி மதிப்புகள் ஒய் மற்றும் x கே :

எஸ் ஒய் மற்றும் எஸ்- நிலையான விலகல்கள்மாறிகள் ஒய் மற்றும் x கே ,

 k (k=) – -பின்னடைவு சமன்பாட்டின் குணகங்கள் (ஆனால் முந்தைய குறிப்புகளுக்கு மாறாக, பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள் அல்ல). - குணகங்கள் அதன் நிலையான விலகலின் (S y) எந்தப் பகுதியின் சார்பு மாறி மாறும் என்பதைக் காட்டுகிறது ஒய் , சுயாதீன மாறி என்றால் x கே அதன் நிலையான விலகலின் (S) மதிப்பால் மாறும். பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்களின் மதிப்பீடுகள் முழுமையான சொற்களில்(b k) மற்றும் β- குணகங்கள் உறவின் மூலம் தொடர்புடையவை:

தரப்படுத்தப்பட்ட அளவில் ஒரு பின்னடைவு சமன்பாட்டின்  குணகங்கள் மாதிரியான காட்டி மீது சுயாதீன மாறிகளின் தாக்கத்தின் யதார்த்தமான பிரதிநிதித்துவத்தை வழங்குகிறது. ஏதேனும் மாறிக்கான -குணகத்தின் மதிப்பு மற்றொரு மாறிக்கான தொடர்புடைய -குணத்தின் மதிப்பை விட அதிகமாக இருந்தால், செயல்திறன் காட்டி மாற்றத்தில் முதல் மாறியின் செல்வாக்கு மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கதாக கருதப்பட வேண்டும். நிலையான பின்னடைவு சமன்பாடு, மாறிகளின் மையப்படுத்தல் காரணமாக, கட்டுமானத்தின் மூலம் ஒரு இலவச சொல் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

எளிமையான பின்னடைவுக்கு, - குணகம் ஜோடி தொடர்பு குணகத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, இது ஜோடி தொடர்பு குணகத்திற்கு ஒரு அர்த்தமுள்ள பொருளை வழங்குவதை சாத்தியமாக்குகிறது.

மாதிரியான குணாதிசயத்தின் மீது பின்னடைவு சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள குறிகாட்டிகளின் தாக்கத்தை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது, ​​- குணகங்களுடன், நெகிழ்ச்சி குணகங்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சராசரி நெகிழ்ச்சி காட்டி சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

மற்றும் தொடர்புடைய சார்பற்ற மாறியின் சராசரி மதிப்பு ஒரு சதவீதம் மாறினால் (மற்ற அனைத்தும் சமமாக இருக்கும்) சார்பு மாறி சராசரியாக எந்த சதவீதத்தில் மாறும் என்பதைக் காட்டுகிறது.

2.2.9. பின்னடைவு பகுப்பாய்வில் தனித்துவமான மாறிகள்

பொதுவாக, பின்னடைவு மாதிரிகளில் உள்ள மாறிகள் மாறுபாட்டின் தொடர்ச்சியான வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இருப்பினும், கோட்பாடு அத்தகைய மாறிகளின் தன்மைக்கு எந்த கட்டுப்பாடுகளையும் விதிக்கவில்லை. பின்னடைவு பகுப்பாய்வில், தரமான குணாதிசயங்களின் செல்வாக்கு மற்றும் பல்வேறு காரணிகளைச் சார்ந்திருப்பதைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய அவசியம் உள்ளது. இந்த வழக்கில், பின்னடைவு மாதிரியில் தனித்துவமான மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துவது அவசியமாகிறது. தனித்த மாறிகள் சுயாதீனமாகவோ அல்லது சார்புடையதாகவோ இருக்கலாம். இந்த வழக்குகளை தனித்தனியாகப் பார்ப்போம். முதலில் தனித்த சுயாதீன மாறிகளின் வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வில் போலி மாறிகள்

பின்னடைவில் தரமான அம்சங்களை சுயாதீன மாறிகளாகச் சேர்க்க, அவை டிஜிட்டல் மயமாக்கப்பட வேண்டும். அவற்றைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு முறை போலி மாறிகளைப் பயன்படுத்துவதாகும். பெயர் முற்றிலும் பொருத்தமானது அல்ல - அவை கற்பனையானவை அல்ல, ஆனால் இந்த நோக்கங்களுக்காக இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும் மாறிகளைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது - பூஜ்யம் அல்லது ஒன்று. எனவே அவர்கள் கற்பனை என்று அழைக்கப்பட்டனர். பொதுவாக, ஒரு தரமான மாறி பல நிலை மதிப்புகளைப் பெறலாம். உதாரணமாக, பாலினம் - ஆண், பெண்; தகுதி - உயர், நடுத்தர, குறைந்த; பருவநிலை - I, II, III மற்றும் IV காலாண்டுகள், முதலியன. ஒரு விதி உள்ளது, அதன் படி, அத்தகைய மாறிகளை டிஜிட்டல் மயமாக்க, நீங்கள் போலி மாறிகளின் எண்ணிக்கையை உள்ளிட வேண்டும், மாதிரி காட்டியின் நிலைகளின் எண்ணிக்கையை விட எண்ணிக்கையில் ஒன்று குறைவாக இருக்கும். இத்தகைய மாறிகள் நேரியல் சார்ந்ததாக மாறாமல் இருக்க இது அவசியம்.

எங்கள் எடுத்துக்காட்டுகளில்: பாலினம் என்பது ஒரு மாறி, ஆண்களுக்கு 1 மற்றும் பெண்களுக்கு 0. தகுதிக்கு மூன்று நிலைகள் உள்ளன, அதாவது இரண்டு போலி மாறிகள் தேவை: எடுத்துக்காட்டாக, z 1 = 1 உயர் நிலை, 0 - மற்றவர்களுக்கு; சராசரி நிலைக்கு z 2 = 1, மற்றவர்களுக்கு 0. மூன்றாவது ஒத்த மாறியை அறிமுகப்படுத்த முடியாது, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் அவை நேரியல் சார்ந்ததாக மாறும் (z 1 + z 2 + z 3 = 1), மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் (X T X) பூஜ்ஜியமாக மாறும் மற்றும் அது இருக்காது தலைகீழ் அணி (X T X) -1 ஐக் கண்டறிவது சாத்தியமாகும். அறியப்பட்டபடி, பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்களின் மதிப்பீடுகள் உறவிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன: T X) -1 X T Y).

போலி மாறிகள் மீதான குணகங்கள், காணாமல் போன நிலையுடன் ஒப்பிடும்போது பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட மட்டத்தில் சார்பு மாறியின் மதிப்பு எவ்வளவு வேறுபடுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, சம்பள நிலை பல குணாதிசயங்கள் மற்றும் திறன் அளவைப் பொறுத்து மாதிரியாக இருந்தால், z 1 இல் உள்ள குணகம் உயர் மட்ட தகுதி கொண்ட நிபுணர்களின் சம்பளம் ஒரு நிபுணரின் சம்பளத்திலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகிறது என்பதைக் காட்டும். குறைந்த நிலைதகுதிகள், மற்ற அனைத்தும் சமமானவை, மற்றும் z 2 க்கான குணகம் சராசரி அளவிலான தகுதிகளைக் கொண்ட நிபுணர்களுக்கு ஒத்த பொருளைக் கொண்டுள்ளது. பருவநிலையின் விஷயத்தில், மூன்று போலி மாறிகள் உள்ளிடப்பட வேண்டும் (காலாண்டு தரவு கருதப்பட்டால்) மற்றும் அவற்றின் குணகங்கள் காலாண்டிற்கான சார்பு மாறியின் மட்டத்திலிருந்து தொடர்புடைய காலாண்டிற்கான சார்பு மாறியின் மதிப்பு எவ்வாறு வேறுபடுகிறது என்பதைக் காண்பிக்கும். அவற்றை டிஜிட்டல் மயமாக்கும் போது உள்ளிடப்படவில்லை.

நேரத் தொடரை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது ஆய்வு செய்யப்பட்ட குறிகாட்டிகளின் இயக்கவியலில் மாதிரி கட்டமைப்பு மாற்றங்களுக்கு போலி மாறிகள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 4.தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு சமன்பாடு மற்றும் போலி மாறிகள்

பின்வரும் மாறிகள் கொண்ட பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அடிப்படையில் இரண்டு அறை அடுக்குமாடி குடியிருப்புகளுக்கான சந்தையை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி தரப்படுத்தப்பட்ட குணகங்கள் மற்றும் போலி மாறிகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

விலை - விலை;

TOTSP - மொத்த பரப்பளவு;

LIVSP - வாழும் இடம்;

KITSP - சமையலறை பகுதி;

DIST - நகர மையத்திற்கு தூரம்;

நடை - நீங்கள் மெட்ரோ நிலையத்திற்கு நடக்க முடிந்தால் 1 க்கு சமம் மற்றும் நீங்கள் பொது போக்குவரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்றால் 0 க்கு சமம்;

செங்கல் - வீடு செங்கலாக இருந்தால் 1 க்கு சமம் மற்றும் பேனலாக இருந்தால் 0 க்கு சமம்;

மாடி - அபார்ட்மெண்ட் முதல் அல்லது இல்லை என்றால் 1 சமம் மேல் தளம்மற்றபடி 0க்கு சமம்;

TEL - குடியிருப்பில் தொலைபேசி இருந்தால் 1 க்கு சமம் மற்றும் இல்லையெனில் 1 க்கு சமம்;

BAL என்பது பால்கனி இருந்தால் 1 க்கும், பால்கனி இல்லாவிட்டால் 0 க்கும் சமம்.

STATISTICA மென்பொருளைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன (படம் 2.23). - குணகங்களின் இருப்பு, சார்பு மாறியில் அவற்றின் செல்வாக்கின் அளவிற்கு ஏற்ப மாறிகளை ஆர்டர் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது. கணக்கீட்டு முடிவுகளின் சுருக்கமான பகுப்பாய்வை மேற்கொள்வோம்.

ஃபிஷர் புள்ளிவிவரங்களின் அடிப்படையில், பின்னடைவு சமன்பாட்டின் முக்கியத்துவத்தைப் பற்றி நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம் (பி-நிலை< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.

படம் 2.24 - STATISTICA PPP அடிப்படையில் அபார்ட்மெண்ட் சந்தை அறிக்கை

பல தீர்மானங்களின் குணகம் 52% ஆகும், எனவே, பின்னடைவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மாறிகள் விலை மாற்றத்தை 52% ஆல் தீர்மானிக்கின்றன, மேலும் அபார்ட்மெண்ட் விலையில் மீதமுள்ள 48% மாற்றமானது கணக்கிடப்படாத காரணிகளைப் பொறுத்தது. சீரற்ற விலை ஏற்ற இறக்கங்கள் உட்பட.

ஒரு மாறிக்கான குணகங்கள் ஒவ்வொன்றும் இந்த மாறி ஒன்றால் மாறினால், ஒரு அடுக்குமாடி குடியிருப்பின் விலை எவ்வளவு மாறும் என்பதைக் காட்டுகிறது (மற்ற அனைத்தும் சமமாக இருக்கும்). எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, மொத்த பரப்பளவு 1 சதுர மீட்டர் மாறும் போது. மீ, ஒரு அடுக்குமாடி குடியிருப்பின் விலை சராசரியாக 0.791 USD ஆக மாறும், மேலும் அபார்ட்மெண்ட் நகர மையத்திலிருந்து 1 கிமீ நகர்ந்தால், ஒரு அடுக்குமாடி குடியிருப்பின் விலை சராசரியாக 0.596 USD குறையும். முதலியன. போலி மாறிகள் (கடைசி 5) இந்த மாறியின் ஒரு நிலையிலிருந்து மற்றொரு நிலைக்கு நீங்கள் மாறினால், ஒரு அடுக்குமாடி குடியிருப்பின் சராசரி விலை எவ்வளவு மாறும் என்பதைக் காட்டுகிறது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, வீடு செங்கல் என்றால், அதில் உள்ள அபார்ட்மெண்ட் சராசரியாக 3,104 அமெரிக்க டாலர் செலவாகும். அதாவது, ஒரு பேனல் ஹவுஸில் உள்ளதை விட விலை அதிகம், மேலும் அபார்ட்மெண்டில் ஒரு தொலைபேசி இருப்பதால் அதன் விலை சராசரியாக 1,493 அமெரிக்க டாலர்களை உயர்த்துகிறது. இ., முதலியன

 குணகங்களின் அடிப்படையில், பின்வரும் முடிவுகளை எடுக்கலாம். மிகப்பெரிய - குணகம், 0.514 க்கு சமமானது, "மொத்த பகுதி" மாறிக்கான குணகம் ஆகும், எனவே, முதலில், ஒரு அடுக்குமாடி குடியிருப்பின் விலை அதன் மொத்த பகுதியின் செல்வாக்கின் கீழ் உருவாகிறது. ஒரு அடுக்குமாடி குடியிருப்பின் விலையில் ஏற்படும் மாற்றத்தின் செல்வாக்கின் அடிப்படையில் அடுத்த காரணி நகர மையத்திற்கான தூரம், பின்னர் வீடு கட்டப்பட்ட பொருள், பின்னர் சமையலறை பகுதி போன்றவை.

உடற்பயிற்சி.

1. கொடுக்கப்பட்ட தரவுத் தொகுப்பிற்கு, கட்டமைக்கவும் நேரியல் மாதிரிபல பின்னடைவு. கட்டமைக்கப்பட்ட பின்னடைவு சமன்பாட்டின் துல்லியம் மற்றும் போதுமான தன்மையை மதிப்பிடவும்.
2. மாதிரி அளவுருக்களின் பொருளாதார விளக்கத்தை கொடுங்கள்.
3. மாதிரியின் தரப்படுத்தப்பட்ட குணகங்களைக் கணக்கிட்டு, பின்னடைவு சமன்பாட்டை தரப்படுத்தப்பட்ட வடிவத்தில் எழுதவும். ஒரு பொருளின் விலையானது பொருளின் விநியோகத்தின் அளவை விட அதிக செல்வாக்கு செலுத்துகிறது என்பது உண்மையா? ஊதியங்கள்பணியாளர்களா?
4. இதன் விளைவாக வரும் மாதிரிக்கு (இயற்கை வடிவத்தில்), கோல்ட்ஃபெல்ட்-குவாண்ட் சோதனையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் எச்சங்கள் ஓரினச்சேர்க்கையா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.
5. டர்பின்-வாட்சன் சோதனையைப் பயன்படுத்தி எச்சங்களின் தன்னியக்கத் தொடர்புக்கான மாதிரியை சோதிக்கவும்.
6. பின்னடைவு அர்த்தத்தில் அசல் தரவின் ஒருமைப்பாட்டின் அனுமானம் போதுமானதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும். இரண்டு மாதிரிகளை (முதல் 8 மற்றும் மீதமுள்ள 8 அவதானிப்புகளுக்கு) ஒன்றாக இணைத்து, X இல் Y இன் ஒற்றை பின்னடைவு மாதிரியைக் கருத்தில் கொள்ள முடியுமா?

1. பின்னடைவு சமன்பாட்டின் மதிப்பீடு. பல பின்னடைவு சமன்பாடு சேவையைப் பயன்படுத்தி பின்னடைவு குணக மதிப்பீடுகளின் வெக்டரைத் தீர்மானிப்போம். குறைந்த சதுர முறையின் படி, திசையன் கள்வெளிப்பாட்டிலிருந்து பெறப்பட்டது: s = (X T X) -1 X T Y
மேட்ரிக்ஸ் எக்ஸ்

பின்னடைவு குணகம் மதிப்பீடுகளின் திசையன் சமமாக உள்ளது

2. ஜோடி தொடர்பு குணகங்களின் அணி R. அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை n = 14. மாதிரியில் உள்ள சார்பற்ற மாறிகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும், மேலும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளும் பின்னடைவுகளின் எண்ணிக்கை அலகு திசையன்அறியப்படாத குணகங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். Y குறியை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், அணியின் பரிமாணம் 4 க்கு சமமாகிறது. சார்பற்ற மாறிகளின் அணி X ஒரு பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது (14 x 4).
மேட்ரிக்ஸ் ஒய் மற்றும் எக்ஸ் ஆகியவற்றால் ஆனது

இடமாற்ற அணி.

மேட்ரிக்ஸ் ஏ டி ஏ.

இதன் விளைவாக வரும் மேட்ரிக்ஸில் பின்வரும் கடித தொடர்பு உள்ளது:

தரப்படுத்தப்பட்ட பகுதி பின்னடைவு குணகங்கள். தரப்படுத்தப்பட்ட பகுதி பின்னடைவு குணகங்கள் - β- குணகங்கள் (β j) அதன் நிலையான விலகலின் S(y) எந்தப் பகுதியின் முடிவு மாறும் என்பதைக் காட்டுகிறது ஒய்பிற காரணிகளின் நிலையான செல்வாக்குடன் (சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது) அதன் நிலையான விலகலின் (S xj) மதிப்பின் மூலம் தொடர்புடைய காரணி x j இல் மாற்றத்துடன்.
அதிகபட்ச β j மூலம், எந்த காரணி Y விளைவில் வலுவான செல்வாக்கைக் கொண்டுள்ளது என்பதை ஒருவர் தீர்மானிக்க முடியும்.
நெகிழ்ச்சி குணகங்கள் மற்றும் β- குணகங்கள் எதிர் முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கும். இதற்கான காரணங்கள்: அ) ஒரு காரணியின் மாறுபாடு மிகப் பெரியது; b) விளைவாக காரணிகளின் பலதரப்பு செல்வாக்கு.
குணகம் β j என்பது நேரடி (உடனடி) செல்வாக்கின் குறிகாட்டியாகவும் விளக்கப்படலாம் ஜேமுடிவு (y) இல் -வது காரணி (x j). பல பின்னடைவில் ஜேவது காரணி நேரடியாக மட்டுமல்ல, முடிவில் மறைமுகமான (மறைமுக) விளைவையும் கொண்டுள்ளது (அதாவது மாதிரியின் பிற காரணிகளின் மூலம் செல்வாக்கு).
மறைமுக செல்வாக்கு மதிப்பால் அளவிடப்படுகிறது: ∑β i r xj,xi , m என்பது மாதிரியில் உள்ள காரணிகளின் எண்ணிக்கை. முழு தாக்கம் jthநேரடி மற்றும் மறைமுக தாக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான முடிவின் காரணி இந்த காரணியின் நேரியல் ஜோடி தொடர்பு குணகத்தையும் அதன் விளைவாகவும் அளவிடுகிறது - r xj,y.
எனவே எங்கள் உதாரணத்திற்கு, பின்னடைவு சமன்பாட்டில் Y இன் விளைவாக x 1 காரணியின் நேரடி செல்வாக்கு β j ஆல் அளவிடப்படுகிறது மற்றும் 0.0789 ஆகும்; முடிவில் இந்த காரணியின் மறைமுக (மத்தியஸ்த) செல்வாக்கு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
r x1x2 β 2 = 0.508 * 0.944 = 0.4796

4.2 தரப்படுத்தப்பட்ட அளவில் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் கட்டுமானம்

பல பின்னடைவு அளவுருக்கள் மற்றொரு வழியில் தீர்மானிக்கப்படலாம், ஒரு பின்னடைவு சமன்பாடு இணைக்கப்பட்ட தொடர்பு குணகங்களின் மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படையில் தரப்படுத்தப்பட்ட அளவில் கட்டமைக்கப்படும் போது:

தரப்படுத்தப்பட்ட அளவில் பல பின்னடைவு சமன்பாட்டிற்கு குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பொருத்தமான மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, படிவத்தின் இயல்பான சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

இதில் rух1, rух2 ஆகியவை இணைக்கப்பட்ட தொடர்பு குணகங்கள்.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இணைக்கப்பட்ட தொடர்பு குணகங்களைக் காண்கிறோம்:

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

தீர்மானிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்த்த பிறகு, நாங்கள் சூத்திரங்களைப் பெற்றோம்:

தரப்படுத்தப்பட்ட அளவில் சமன்பாடு:

இவ்வாறு, வறுமை மட்டத்தில் 1 சிக்மா அதிகரிப்புடன், மக்கள்தொகையின் நிலையான சராசரி தனிநபர் வருமானத்துடன், மொத்த கருவுறுதல் விகிதம் 0.075 சிக்மாவால் குறையும்; மற்றும் மக்கள்தொகையின் சராசரி தனிநபர் வருமானத்தில் 1 சிக்மா அதிகரிப்புடன், நிலையான வறுமை நிலையுடன், மொத்த கருவுறுதல் விகிதம் 0.465 சிக்மாவால் அதிகரிக்கும்.

பல பின்னடைவில், தூய பின்னடைவு குணகங்கள் இரு தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்களுடன் பின்வருமாறு தொடர்புடையது βi:

5. பகுதி பின்னடைவு சமன்பாடுகள்

5.1 பகுதி பின்னடைவு சமன்பாடுகளின் கட்டுமானம்

பகுதி பின்னடைவு சமன்பாடுகள் தொடர்புடையவை விளைவாக அடையாளம்சராசரி மட்டத்தில் பல பின்னடைவில் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட பிற காரணிகளை சரிசெய்யும் போது தொடர்புடைய x காரணிகளுடன். பகுதி சமன்பாடுகள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன:

ஜோடி பின்னடைவு போலல்லாமல், பகுதி பின்னடைவு சமன்பாடுகள் விளைவாக ஒரு காரணியின் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செல்வாக்கை வகைப்படுத்துகின்றன, ஏனெனில் மற்ற காரணிகள் நிலையான மட்டத்தில் சரி செய்யப்படுகின்றன.

இந்த சிக்கலில், பகுதி சமன்பாடுகள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன:

5.2 பகுதி நெகிழ்ச்சி குணகங்களை தீர்மானித்தல்

பகுதி பின்னடைவு சமன்பாடுகளின் அடிப்படையில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு பிராந்தியத்திற்கும் பகுதி நெகிழ்ச்சி குணகங்களைத் தீர்மானிக்கலாம்:

கலினின்கிராட் மற்றும் லெனின்கிராட் பகுதிகளுக்கான பகுதி நெகிழ்ச்சி குணகங்களைக் கணக்கிடுவோம்.

கலினின்கிராட் பகுதிக்கு x1=11.4, x2=12.4, பிறகு:

க்கு லெனின்கிராட் பகுதி x1 =10.6, x2=12.6:

எனவே, கலினின்கிராட் பிராந்தியத்தில், வறுமை மட்டத்தில் 1% அதிகரிப்புடன், மொத்த கருவுறுதல் விகிதம் 0.07% குறையும், சராசரி தனிநபர் வருமானம் 1% அதிகரிப்புடன், மொத்த கருவுறுதல் விகிதம் 0.148% அதிகரிக்கும். . லெனின்கிராட் பிராந்தியத்தில், வறுமை மட்டத்தில் 1% அதிகரிப்புடன், மொத்த கருவுறுதல் விகிதம் 0.065% குறையும், சராசரி தனிநபர் வருமானம் 1% அதிகரிப்புடன், மொத்த கருவுறுதல் விகிதம் 0.15% அதிகரிக்கும்.

5.3 சராசரி நெகிழ்ச்சி குணகங்களை தீர்மானித்தல்

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மொத்த சராசரி நெகிழ்ச்சி குறிகாட்டிகளைக் காண்கிறோம்:

இந்த சிக்கலுக்கு அவை சமமாக இருக்கும்:

இவ்வாறு, வறுமை மட்டத்தில் 1% அதிகரிப்புடன், மக்கள்தொகையில் சராசரியாக மொத்த கருவுறுதல் விகிதம் நிலையான சராசரி தனிநபர் வருமானத்துடன் 0.054% குறையும். தனிநபர் வருமானம் 1% அதிகரிப்புடன், ஆய்வின் கீழ் உள்ள மக்கள்தொகையின் சராசரி மொத்த கருவுறுதல் விகிதம் நிலையான வறுமை நிலையுடன் 0.209% அதிகரிக்கும்.

6. பல தொடர்பு

6.1 பல தொடர்பு குணகம்

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் நடைமுறை முக்கியத்துவம் பல தொடர்பு காட்டி மற்றும் அதன் சதுரம் - உறுதிப்பாட்டின் குணகம் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடப்படுகிறது. பல தொடர்பு குறிகாட்டியானது, பரிசீலனையில் உள்ள காரணிகளின் தொகுப்பின் நெருக்கமான தொடர்பை ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புடன் வகைப்படுத்துகிறது, அதாவது. விளைவாக காரணிகளின் கூட்டு செல்வாக்கிற்கு இடையே உள்ள தொடர்பின் நெருக்கத்தை மதிப்பிடுகிறது.

மல்டிபிள் கோர்ரிலேஷன் இன்டெக்ஸ் மதிப்பு அதிகபட்ச ஜோடிவரிசை தொடர்பு குறியீட்டை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்க வேண்டும். மணிக்கு நேரியல் சார்புதொடர்பு குறியீட்டு சூத்திரத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம் பின்வரும் வெளிப்பாட்டுடன்:

இவ்வாறு, மொத்த கருவுறுதல் விகிதம் மற்றும் வறுமை நிலை ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவு சராசரி தனிநபர் வருமானம்பலவீனமான.

மேலும் அனைத்து தொடர்பு குணகங்களும் 1 க்கு சமம், பின்னர் அத்தகைய மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் 0: க்கு சமம். 0 க்கு அருகில் உள்ள காரணிகளின் தொடர்பு மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பானது, காரணிகளின் பலகோல்களை வலுப்படுத்துகிறது மற்றும் பல பின்னடைவின் முடிவுகள் மிகவும் நம்பகத்தன்மையற்றதாக இருக்கும். மற்றும் நேர்மாறாக, 1 க்கு நெருக்கமாக, இடைநிலை தொடர்பு மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான், காரணிகளின் பன்முகத்தன்மை குறைவாக இருக்கும். காரணிகளின் பன்முகத்தன்மையைச் சரிபார்ப்பது...

பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அறியப்படாத அளவுருக்களின் மதிப்பீடுகள் குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இருப்பினும், பல நேரியல் பின்னடைவு விஷயத்தில் இந்த குணகங்களை மதிப்பிட மற்றொரு வழி உள்ளது. இதைச் செய்ய, பல பின்னடைவு சமன்பாடு தரப்படுத்தப்பட்ட (சாதாரண) அளவில் கட்டமைக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள், பின்னடைவு மாதிரியில் உள்ள அனைத்து மாறிகளும் சிறப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி தரப்படுத்தப்படுகின்றன. தரநிலைப்படுத்தல் செயல்முறையானது, ஒவ்வொரு இயல்பாக்கப்பட்ட மாறிக்கான குறிப்புப் புள்ளியை மாதிரிக்கான அதன் சராசரி மதிப்பிற்கு அமைப்பதை சாத்தியமாக்குகிறது. இந்த வழக்கில், தரப்படுத்தப்பட்ட மாறியின் அளவீட்டு அலகு அதன் நிலையான விலகலாக மாறும். தரப்படுத்தப்பட்ட அளவில் பின்னடைவு சமன்பாடு:

எங்கே , தரப்படுத்தப்பட்ட மாறிகள்;

தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்கள். அந்த. தரப்படுத்தல் செயல்முறையின் மூலம், ஒவ்வொரு இயல்பாக்கப்பட்ட மாறிக்கான குறிப்பு புள்ளி அதன் சராசரி மதிப்பிற்கு மேல் அமைக்கப்படுகிறது மாதிரி மக்கள் தொகை. இந்த வழக்கில், அதன் நிலையான விலகல் நிலையான மாறியின் அளவீட்டு அலகு என எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது σ . β- குணகங்கள் காட்டுகின்றன, எத்தனை சிக்மாக்கள் (சராசரி சதுர விலகல்கள்) தொடர்புடைய காரணியின் மாற்றத்தால் சராசரி முடிவு மாறும் xIஒரு சிக்மா மூலம், மற்ற காரணிகளின் சராசரி நிலை மாறாமல் இருக்கும். தரப்படுத்தப்பட்ட அளவில் பல பின்னடைவு சமன்பாட்டிற்கு குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பொருத்தமான மாற்றங்களுக்குப் பிறகு தரப்படுத்தப்பட்ட குணகங்களை நிர்ணயிப்பதற்கான படிவத்தின் சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம். பின்னடைவு குணகங்கள் β தீர்மானிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து குறைந்தபட்ச சதுரங்களைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

r yx 1 மற்றும் r xixj அளவுகள் ஜோடி குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். தொடர்புகள் மற்றும் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன: r yx 1 = yxi சராசரி – y ср*хiср/ ǪхǪу; r xixj = хixj சராசரி – xi avg*xjcv/ǪхiǪxj. அமைப்பைத் தீர்ப்பது, தரப்படுத்தப்பட்ட குணகங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். பின்னடைவு. அவற்றை ஒன்றோடொன்று ஒப்பிடுவதன் மூலம், அதன் விளைவாக ஏற்படும் தாக்கத்தின் வலிமைக்கு ஏற்ப காரணிகளை வரிசைப்படுத்தலாம். குணகங்களுக்கு மாறாக, தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்களின் முக்கிய நன்மை இதுவாகும். தூய பின்னடைவு, இது ஒன்றுக்கொன்று ஒப்பிட முடியாதது. அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கு நேரியல் அல்லாதபல பின்னடைவு சமன்பாடுகள் முதலில் நேரியல் வடிவத்திற்கு மாற்றப்படுகின்றன (மாறிகளை மாற்றுவதன் மூலம்) மற்றும் அளவுருக்களைக் கண்டறிய குறைந்தபட்ச சதுர முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது நேரியல் சமன்பாடுமாற்றப்பட்ட மாறிகளில் பல பின்னடைவு. வழக்கில் உள்நிலை நேரியல் சார்புகள்அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கு, நேரியல் அல்லாத தேர்வுமுறை முறைகள் தரநிலைப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்களைப் பயன்படுத்துவது அவசியம் βiஅவை ஒன்றுக்கொன்று ஒப்பிடத்தக்கவை, இதன் விளைவாக அவற்றின் தாக்கத்தின் வலிமைக்கு ஏற்ப காரணிகளை வரிசைப்படுத்த அனுமதிக்கிறது. விளைவு மாறியின் மாற்றத்தில் அதிக உறவினர் செல்வாக்கு ஒய்குணகத்தின் பெரிய மாடுலஸ் மதிப்புடன் தொடர்புடைய காரணி மூலம் செலுத்தப்படுகிறது βi.இதில் தரப்படுத்தப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்களின் முக்கிய நன்மை, "தூய்மையான" பின்னடைவின் குணகங்களுக்கு மாறாக, அவை ஒருவருக்கொருவர் ஒப்பிட முடியாது."தூய" பின்னடைவு குணகங்கள் இருமுரண்பாடுகளுடன் βiவிகிதத்தால் விவரிக்கப்பட்டது.