மிக நேர்த்தியான கணித சமன்பாடுகள். இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது

ஒரு சமன்பாடு என்பது ஒரு சமத்துவம் மற்றும் அறியப்படாத ஒரு கணித வெளிப்பாடு ஆகும். அதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அறியப்படாதவற்றின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளுக்கு ஒரு சமத்துவம் உண்மையாக இருந்தால், அது ஒரு அடையாளம் எனப்படும்; எடுத்துக்காட்டாக: x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் படிவத்தின் தொடர்பு (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) உள்ளது.

அறியப்படாத x ஐக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு x இன் சில மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உள்ளது மற்றும் x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் அல்ல, ஒரு அடையாளத்தைப் போல, x இன் அந்த மதிப்புகளைத் தீர்மானிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும். சமன்பாடு செல்லுபடியாகும். x இன் இத்தகைய மதிப்புகள் வேர்கள் அல்லது சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, எண் 5 என்பது 2x + 7= 17 என்ற சமன்பாட்டின் மூலமாகும்.

சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் கணிதப் பிரிவில், சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்தான் முக்கிய ஆய்வுப் பொருள். பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்தில், சமன்பாடுகளுக்கு அதிக கவனம் செலுத்தப்படுகிறது.

சமன்பாடுகளின் ஆய்வு வரலாறு பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முந்தையது. சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சிக்கு பங்களித்த மிகவும் பிரபலமான கணிதவியலாளர்கள்:

ஆர்க்கிமிடிஸ் (கி.மு. 287-212) ஒரு பண்டைய கிரேக்க விஞ்ஞானி, கணிதவியலாளர் மற்றும் இயந்திரவியல் நிபுணர். ஒரு கன சமன்பாட்டிற்குக் குறைக்கப்பட்ட ஒரு சிக்கலைப் படிக்கும் போது, ​​ஆர்க்கிமிடிஸ் குணாதிசயத்தின் பங்கைக் கண்டுபிடித்தார், இது பின்னர் பாகுபாடு என்று அழைக்கப்பட்டது.

ஃபிராங்கோயிஸ் வியட் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தவர். கணிதத்தில் பல்வேறு பிரச்சனைகளை ஆய்வு செய்வதில் பெரும் பங்களிப்பு செய்தார். குறிப்பாக அறிமுகப்படுத்தினார் எழுத்து பெயர்கள்சமன்பாட்டின் குணகங்கள் மற்றும் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவியது.

லியோன்ஹார்ட் யூலர் (1707 - 1783) - கணிதவியலாளர், இயந்திரவியல், இயற்பியலாளர் மற்றும் வானியலாளர். புனித நூலின் ஆசிரியர். கணித பகுப்பாய்வில் 800 படைப்புகள், வேறுபட்ட சமன்பாடுகள், வடிவியல், எண் கோட்பாடு, தோராயமான கணக்கீடுகள், வான இயக்கவியல், கணிதம், ஒளியியல், பாலிஸ்டிக்ஸ், கப்பல் கட்டுதல், இசைக் கோட்பாடு, முதலியன அறிவியல் வளர்ச்சியில் குறிப்பிடத்தக்க தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது. அவர் வெளிப்படுத்தும் சூத்திரங்களை (யூலரின் சூத்திரங்கள்) பெற்றார் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்ஒரு அதிவேக செயல்பாடு மூலம் மாறி x.

லாக்ரேஞ்ச் ஜோசப் லூயிஸ் (1736 - 1813), பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் மற்றும் மெக்கானிக். இயற்கணிதம் (ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்களின் சமச்சீர் செயல்பாடு, வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (ஒருமை தீர்வுகளின் கோட்பாடு, மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை) பற்றிய ஆராய்ச்சி உட்பட சிறந்த ஆராய்ச்சிகளை அவர் மேற்கொண்டார்.

J. Lagrange மற்றும் A. Vandermonde ஆகியோர் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர்கள். 1771 ஆம் ஆண்டில், சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறை (மாற்று முறை) முதலில் பயன்படுத்தப்பட்டது.

காஸ் கார்ல் ஃப்ரீட்ரிக் (1777 -1855) - ஜெர்மன் கணிதவியலாளர். ஒரு வட்டத்தைப் பிரிப்பதற்கான சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டைக் கோடிட்டுக் காட்டும் ஒரு புத்தகத்தை அவர் எழுதினார் (அதாவது, சமன்பாடுகள் xn - 1 = 0), இது பல வழிகளில் கலோயிஸ் கோட்பாட்டின் முன்மாதிரியாக இருந்தது. தவிர பொதுவான முறைகள்இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, அவற்றுக்கும் வழக்கமான பலகோணங்களின் கட்டுமானத்திற்கும் இடையே ஒரு தொடர்பை ஏற்படுத்தியது. பண்டைய கிரேக்க விஞ்ஞானிகளுக்குப் பிறகு முதன்முறையாக, இந்த விஷயத்தில் அவர் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க படி முன்னேறினார், அதாவது: ஒரு திசைகாட்டி மற்றும் ஆட்சியாளருடன் வழக்கமான n-gon ஐ உருவாக்கக்கூடிய n இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் அவர் கண்டுபிடித்தார். கூட்டல் முறையைப் படித்தேன். சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைச் சேர்க்கலாம், பிரிக்கலாம் மற்றும் பெருக்கலாம் என்று நான் முடிவு செய்தேன்.

O. I. சோமோவ் - கணிதத்தின் பல்வேறு பகுதிகளை முக்கியமான மற்றும் பல படைப்புகளால் வளப்படுத்தினார், அவற்றில் சில கோட்பாடுகள் இயற்கணித சமன்பாடுகள் உயர் பட்டங்கள்.

கலோயிஸ் எவரிஸ்டே (1811-1832) - பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர். ஜே. லாக்ரேஞ்ச், என். ஏபெல் மற்றும் பிறரால் தொடங்கப்பட்ட இயற்கணித சமன்பாடுகளின் தீர்வு குறித்த ஆராய்ச்சியின் தொடர்ச்சி தொடர்பாக அவர் வந்த யோசனைகளின் தொகுப்பை உருவாக்குவது அவரது முக்கிய தகுதியாகும். தெரியாத ஒருவருடன் பட்டங்கள்.

A. V. Pogorelov (1919 - 1981) - அவரது பணி பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் பகுப்பாய்வு முறைகளுடன் வடிவியல் முறைகளை ஒருங்கிணைக்கிறது. அவரது படைப்புகள் நேரியல் அல்லாத வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டிலும் குறிப்பிடத்தக்க தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது.

பி. ரஃபினி - இத்தாலிய கணிதவியலாளர். பட்டம் 5 இன் சமன்பாடுகளின் தீர்க்க முடியாத தன்மையை நிரூபிக்க அவர் பல படைப்புகளை அர்ப்பணித்தார், மாற்றீடுகளின் தொகுப்பின் மூடுதலை முறையாகப் பயன்படுத்தினார்.

விஞ்ஞானிகள் நீண்ட காலமாக சமன்பாடுகளைப் படித்து வருகின்றனர் என்ற போதிலும், மக்கள் எப்படி, எப்போது சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்று அறிவியலுக்குத் தெரியாது. மனிதர்கள் மனிதர்களாக மாறிய காலத்திலிருந்தே எளிமையான சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கு வழிவகுக்கும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கிறார்கள் என்பது மட்டுமே அறியப்படுகிறது. மற்றொரு 3 - 4 ஆயிரம் ஆண்டுகள் கி.மு. இ. எகிப்தியர்களும் பாபிலோனியர்களும் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிந்திருந்தனர். இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான விதி நவீன காலத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் அவை எவ்வாறு அங்கு வந்தன என்பது தெரியவில்லை.

பண்டைய எகிப்து மற்றும் பாபிலோனில், தவறான நிலை முறை பயன்படுத்தப்பட்டது. அறியப்படாத ஒன்றுடன் முதல் பட்டத்தின் சமன்பாட்டை எப்போதும் ax + b = c வடிவமாகக் குறைக்கலாம், இதில் a, b, c ஆகியவை முழு எண்களாகும். விதிகளின்படி எண்கணித செயல்பாடுகள்கோடாரி = c - b,

b > c எனில், c b என்பது எதிர்மறை எண். எதிர்மறை எண்கள்எகிப்தியர்கள் மற்றும் பிற பிற்கால மக்கள் (அவற்றுடன் நேர்மறை எண்கள்அவர்கள் பதினேழாம் நூற்றாண்டில் மட்டுமே கணிதத்தில் பயன்படுத்தத் தொடங்கினர்). முதல் பட்டத்தின் சமன்பாடுகளுடன் நாம் இப்போது தீர்க்கும் சிக்கல்களைத் தீர்க்க, தவறான நிலை முறை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. Ahmes papyrus இல், 15 சிக்கல்கள் இந்த முறையால் தீர்க்கப்படுகின்றன. எகிப்தியர்கள் அறியப்படாத எண்ணுக்கு ஒரு சிறப்பு அடையாளத்தைக் கொண்டிருந்தனர், இது சமீபத்தில் வரை "எப்படி" என்று வாசிக்கப்பட்டு "குவியல்" ("குவியல்" அல்லது "தெரியாத எண்" அலகுகள்) என மொழிபெயர்க்கப்பட்டது. இப்போது அவர்கள் கொஞ்சம் குறைவாக துல்லியமாக படிக்கிறார்கள்: "ஆம்." அஹ்மஸ் பயன்படுத்தும் தீர்வு முறை ஒரு தவறான நிலையின் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி, ax = b வடிவத்தின் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன. இந்த முறை சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் a ஆல் வகுப்பதை உள்ளடக்கியது. இது எகிப்தியர்கள் மற்றும் பாபிலோனியர்களால் பயன்படுத்தப்பட்டது. யு வெவ்வேறு நாடுகள்இரண்டு தவறான நிலைகளின் முறை பயன்படுத்தப்பட்டது. அரேபியர்கள் இந்த முறையை இயந்திரமயமாக்கி, மாக்னிட்ஸ்கியின் எண்கணிதம் உட்பட ஐரோப்பிய மக்களின் பாடப்புத்தகங்களுக்கு மாற்றப்பட்ட படிவத்தைப் பெற்றனர். மேக்னிட்ஸ்கி தீர்வை "தவறான விதி" என்று அழைக்கிறார் மற்றும் இந்த முறையை கோடிட்டுக் காட்டும் தனது புத்தகத்தின் ஒரு பகுதியில் எழுதுகிறார்:

இந்த பகுதி மிகவும் தந்திரமானது, ஏனென்றால் நீங்கள் எல்லாவற்றையும் அதனுடன் வைக்கலாம். குடியுரிமையில் உள்ளவை மட்டுமல்ல, விண்வெளியில் உள்ள உயர் விஞ்ஞானங்களும், ஞானிகளின் தேவைகளைப் போலவே, சொர்க்கத்தின் கோளத்தில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.

மாக்னிட்ஸ்கியின் கவிதைகளின் உள்ளடக்கத்தை சுருக்கமாக பின்வருமாறு சுருக்கமாகக் கூறலாம்: எண்கணிதத்தின் இந்த பகுதி மிகவும் தந்திரமானது. அதன் உதவியுடன், அன்றாட நடைமுறையில் என்ன தேவை என்பதை மட்டும் கணக்கிட முடியும், ஆனால் இது "ஞானிகளை" எதிர்கொள்ளும் "உயர்" கேள்விகளையும் தீர்க்கிறது. மேக்னிட்ஸ்கி "தவறான விதியை" அரேபியர்கள் வழங்கிய வடிவத்தில் பயன்படுத்துகிறார், அதை "இரண்டு பிழைகளின் எண்கணிதம்" அல்லது "செதில்களின் முறை" என்று அழைக்கிறார். இந்திய கணிதவியலாளர்கள் பெரும்பாலும் வசனங்களில் சிக்கல்களைக் கொடுத்தனர். தாமரை பிரச்சனை:

அமைதியான ஏரிக்கு மேலே, தண்ணீருக்கு மேலே பாதி அளவு தாமரையின் நிறம் தெரிந்தது. அவர் தனியாக வளர்ந்தார், காற்று, ஒரு அலை போல, அவரை பக்கமாக வளைத்தது, இனி இல்லை

தண்ணீருக்கு மேல் பூ. மீனவனின் கண் அவன் வளர்ந்த இடத்திலிருந்து இரண்டு மீட்டர் தொலைவில் அவனைக் கண்டது. இங்கு ஏரி நீர் எவ்வளவு ஆழம்? நான் உங்களிடம் ஒரு கேள்வி கேட்கிறேன்.

சமன்பாடுகளின் வகைகள்

நேரியல் சமன்பாடுகள்

நேரியல் சமன்பாடுகள் வடிவத்தின் சமன்பாடுகள்: ax + b = 0, இதில் a மற்றும் b சில மாறிலிகள். a பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இல்லாவிட்டால், சமன்பாட்டிற்கு ஒரு ஒற்றை வேர் உள்ளது: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).

எடுத்துக்காட்டாக: நேரியல் சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: 4x + 12 = 0.

தீர்வு: a = 4, மற்றும் b = 12, பின்னர் x = - 12: 4; x = - 3.

சரிபார்க்கவும்: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

0 = 0 என்பதால், அசல் சமன்பாட்டின் மூலமானது -3 ஆகும்.

பதில். x = -3

a என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் மற்றும் b என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் எனில், கோடாரி + b = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலமானது ஏதேனும் ஒரு எண்ணாகும்.

உதாரணமாக:

0 = 0. 0 என்பது 0க்கு சமம் என்பதால், 0x + 0 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலமானது எந்த எண்ணாகவும் இருக்கும்.

a என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் b என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், ax + b = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

உதாரணமாக:

0 = 6. 0 6 க்கு சமமாக இல்லாததால், 0x – 6 = 0 க்கு வேர்கள் இல்லை.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்பது அனைத்து சமன்பாடுகளும் நேரியல் ஆகும்.

ஒரு அமைப்பைத் தீர்ப்பது என்பது அதன் அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கு முன், அதன் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை கொடுக்கலாம்: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.

a2 ஆல் வகுக்கப்படும் a1 ஆனது b2 ஆல் வகுக்கப்படும் b1க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

a1 ஐ a2 ஆல் வகுத்தால் b1 ஐ b2 ஆல் வகுத்தால், c1க்கு சமமாக c2 ஆல் வகுத்தால், கணினியில் தீர்வுகள் இல்லை.

a1 ஐ a2 ஆல் வகுத்தால் b1 ஐ b2 ஆல் வகுத்தால், c1க்கு சமம் c2 ஆல் வகுத்தால், கணினி எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

படி, கொண்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு குறைந்தபட்சம், ஒரு தீர்வு கூட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு நிலையான அமைப்பு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தீர்வுகளைக் கொண்டிருந்தால் அது திட்டவட்டமானது என்றும், அதன் தீர்வுகளின் தொகுப்பு எல்லையற்றதாக இருந்தால் காலவரையற்றது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரே தீர்வு இல்லாத ஒரு அமைப்பு சீரற்ற அல்லது முரண்பாடாக அழைக்கப்படுகிறது.

நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

நேரியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்க பல வழிகள் உள்ளன:

1) தேர்வு முறை. இதுவே அதிகம் எளிமையான வழி. இது அறியப்படாத அனைத்து செல்லுபடியாகும் மதிப்புகளையும் கணக்கிடுவதன் மூலம் தேர்ந்தெடுக்கிறது.

உதாரணமாக:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

x = 1. பிறகு

4 = 6. 4 என்பது 6 க்கு சமமாக இல்லை என்பதால், x = 1 என்பது தவறானது.

x = 2 ஆக இருக்கட்டும்.

6 = 6. 6 என்பது 6 க்கு சமம் என்பதால், x = 2 சரியானது என்ற நமது அனுமானம்.

பதில்: x = 2.

2) எளிமைப்படுத்தும் முறை

இந்த முறையானது, தெரியாதவற்றைக் கொண்ட அனைத்து சொற்களையும் இடது பக்கத்திற்கும், தெரிந்தவற்றை வலப்புறத்திற்கும் எதிர் அடையாளத்துடன் மாற்றுவது, ஒத்தவற்றைக் கொண்டு வருவது மற்றும் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் தெரியாத குணகத்தால் வகுத்தல் ஆகியவை அடங்கும்.

உதாரணமாக:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

5x – 4 = 11 + 2x;

5x – 2x = 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

பதில். x = 5.

3) கிராஃபிக் முறை.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் செயல்பாடுகளின் வரைபடத்தை உருவாக்குவதில் இது உள்ளது. ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டில் y = 0 என்பதால், வரைபடம் ஆர்டினேட்டுக்கு இணையாக இருக்கும். இந்த சமன்பாட்டிற்கு x-அச்சுடன் வரைபடத்தின் வெட்டுப்புள்ளி தீர்வாக இருக்கும்.

உதாரணமாக:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

y = 7. பிறகு y = 2x + 3.

இரண்டு சமன்பாடுகளின் செயல்பாடுகளையும் திட்டமிடுவோம்:

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

ஏழாவது வகுப்பில், அவர்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்க மூன்று வழிகளைப் படிக்கிறார்கள்:

1) மாற்று முறை.

சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் தெரியாத ஒன்றை மற்றொன்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவதை இந்த முறை கொண்டுள்ளது. இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடு மற்றொரு சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக உள்ளது, பின்னர் அது அறியப்படாத ஒரு சமன்பாட்டுடன் மாறும், பின்னர் அது தீர்க்கப்படுகிறது. இந்த அறியப்படாதவற்றின் பெறுமதியானது அசல் அமைப்பின் எந்தச் சமன்பாட்டிலும் மாற்றப்பட்டு இரண்டாவது அறியப்படாத மதிப்பின் மதிப்பு கண்டறியப்படுகிறது.

உதாரணமாக.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y = 4 - 3x.

இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டை மற்றொரு சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;

5x – 8 + 6x = 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை 3x + y = 4 சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y = 4 - 3; y = 1.

பரீட்சை.

/3 1 + 1 = 4,

\5 · 1 - 2 · 1 - 2 = 1;

பதில்: x = 1; y = 1.

2) கூட்டல் முறை.

இந்த முறை என்றால் இந்த அமைப்புசமன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, காலத்தின் மூலம் சொல்லைச் சேர்க்கும்போது, ​​தெரியாத ஒன்றுடன் ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறது, பின்னர் இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், அறியப்படாத ஒன்றின் மதிப்பைப் பெறுகிறோம். இந்த அறியப்படாதவற்றின் பெறுமதியானது அசல் அமைப்பின் எந்தச் சமன்பாட்டிலும் மாற்றப்பட்டு இரண்டாவது அறியப்படாத மதிப்பின் மதிப்பு கண்டறியப்படுகிறது.

உதாரணமாக:

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

/3у – 2х = 5,

\5x – 3y = 4.

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

3x = 9; : (3) x = 3.

இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை 3y – 2x = 5 சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்.

3у – 2 3 = 5;

3у = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

எனவே x = 3; y = 3 2/3.

பரீட்சை.

/3 11/3 – 2 3 = 5,

\5 · 3 - 3 · 11/ 3 = 4;

பதில். x = 3; y = 3 2/3

3) கிராஃபிக் முறை.

இந்த முறை ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சமன்பாடுகள் திட்டமிடப்பட்டதன் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது. ஒரு சமன்பாட்டின் வரைபடங்கள் வெட்டினால், குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகள் இந்த அமைப்பிற்கு தீர்வாகும். சமன்பாட்டின் வரைபடங்கள் இணையான கோடுகளாக இருந்தால், இந்த அமைப்பில் தீர்வுகள் இல்லை. சமன்பாடுகளின் வரைபடங்கள் ஒரு நேர் கோட்டில் ஒன்றிணைந்தால், கணினி எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

உதாரணமாக.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y = 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

y = 2x - 5 மற்றும் y = 3 - 6x ஆகிய செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை ஒரே ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உருவாக்குவோம்.

y = 2x - 5 மற்றும் y = 3 - 6x செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் புள்ளி A (1; -3) இல் வெட்டுகின்றன.

எனவே, இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வு x = 1 மற்றும் y = -3 ஆகும்.

பரீட்சை.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

பதில். x = 1; y = -3.

முடிவுரை

மேலே உள்ள எல்லாவற்றின் அடிப்படையில், சமன்பாடுகள் அவசியம் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம் நவீன உலகம்நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு மட்டுமல்ல, ஒரு அறிவியல் கருவியாகவும். அதனால்தான் பல விஞ்ஞானிகள் இந்த சிக்கலை ஆய்வு செய்து தொடர்ந்து ஆய்வு செய்து வருகின்றனர்.

இருபடி முக்கோணத்தைக் குறிக்கும் சமன்பாடு பொதுவாக இருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும். இயற்கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், இது a*x^2+b*x+c=0 சூத்திரத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது. இந்த சூத்திரத்தில், x என்பது அறியப்படாததைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் (இது ஒரு இலவச மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது); a, b மற்றும் c ஆகியவை எண் குணகங்களாகும். சுட்டிக்காட்டப்பட்ட கூறுகள் தொடர்பாக பல கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன: எடுத்துக்காட்டாக, குணகம் a 0 க்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது.

ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது: ஒரு பாகுபாடு பற்றிய கருத்து

குணகம் a மட்டுமே 0 இலிருந்து கண்டிப்பாக வேறுபட்டதாக இருக்க வேண்டும் என்பதை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். இதன் விளைவாக, குணகம் b 0 க்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் இந்த வழக்கில் சமன்பாடு a*x^2+c வடிவத்தில் இருக்கும். =0. அத்தகைய சூழ்நிலையில், பாகுபாடு மற்றும் வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களில் குணக மதிப்பு 0 பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். எனவே, இந்த வழக்கில் பாரபட்சமானது D=-4ac என கணக்கிடப்படும்.

நேர்மறை பாகுபாட்டுடன் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

பூஜ்ஜியம் மற்றும் எதிர்மறை பாகுபாடுடன் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

நேரியல் சமன்பாடுகள். தீர்வு, எடுத்துக்காட்டுகள்.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

நேரியல் சமன்பாடுகள்.

பள்ளிக் கணிதத்தில் நேரியல் சமன்பாடுகள் மிகவும் கடினமான தலைப்பு அல்ல. ஆனால், பயிற்சி பெற்ற மாணவரைக் கூட புதிர் செய்யக்கூடிய சில தந்திரங்கள் உள்ளன. அதை கண்டுபிடிப்போமா?)

பொதுவாக ஒரு நேரியல் சமன்பாடு வடிவத்தின் சமன்பாடு என வரையறுக்கப்படுகிறது:

கோடாரி + பி = 0 எங்கே a மற்றும் b- எந்த எண்கள்.

2x + 7 = 0. இங்கே a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 இங்கே a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 இங்கே a=12, b=1/2

சிக்கலான எதுவும் இல்லை, இல்லையா? குறிப்பாக வார்த்தைகளை நீங்கள் கவனிக்கவில்லை என்றால்: "a மற்றும் b ஆகியவை எந்த எண்களாகும்"... மற்றும் நீங்கள் கவனிக்க மற்றும் கவனக்குறைவாக அதை பற்றி யோசிக்க என்றால்?) அனைத்து பிறகு, என்றால் a=0, b=0(எந்த எண்களும் சாத்தியமா?), பின்னர் நாம் ஒரு வேடிக்கையான வெளிப்பாடு கிடைக்கும்:

ஆனால் அதெல்லாம் இல்லை! சொன்னால், a=0,ஏ b=5,இது முற்றிலும் வழக்கத்திற்கு மாறான ஒன்றாக மாறிவிடும்:

இது எரிச்சலூட்டும் மற்றும் கணிதத்தின் மீதான நம்பிக்கையை குறைமதிப்பிற்கு உட்படுத்துகிறது, ஆம்...) குறிப்பாக தேர்வுகளின் போது. ஆனால் இந்த விசித்திரமான வெளிப்பாடுகளில் நீங்கள் X ஐயும் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்! எதுவுமே இல்லாதது. மற்றும், ஆச்சரியப்படும் விதமாக, இந்த X கண்டுபிடிக்க மிகவும் எளிதானது. இதைச் செய்ய நாம் கற்றுக்கொள்வோம். இந்த பாடத்தில்.

ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டை அதன் தோற்றத்தால் எவ்வாறு அங்கீகரிப்பது? இது எதைப் பொறுத்தது தோற்றம்.) தந்திரம் என்னவென்றால், வடிவத்தின் சமன்பாடுகள் மட்டும் நேரியல் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன கோடாரி + பி = 0 , ஆனால் மாற்றங்கள் மற்றும் எளிமைப்படுத்தல் மூலம் இந்த வடிவத்தில் குறைக்கப்படும் எந்த சமன்பாடுகளும். அது குறைகிறதா இல்லையா என்பது யாருக்குத் தெரியும்?)

ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டை சில சந்தர்ப்பங்களில் தெளிவாக அங்கீகரிக்க முடியும். முதல் நிலை மற்றும் எண்களுக்கு தெரியாதவை மட்டுமே இருக்கும் சமன்பாடு இருந்தால் சொல்லலாம். மற்றும் சமன்பாட்டில் இல்லை பின்னங்கள் வகுக்கப்படுகின்றன தெரியவில்லை , இது முக்கியமானது! மற்றும் பிரிவு எண்,அல்லது ஒரு எண் பின்னம் - அது வரவேற்கத்தக்கது! உதாரணமாக:

இது ஒரு நேரியல் சமன்பாடு. இங்கு பின்னங்கள் உள்ளன, ஆனால் சதுரம், கன சதுரம் போன்றவற்றில் xகள் இல்லை, மற்றும் வகுப்பில் xகள் இல்லை, அதாவது. இல்லை x ஆல் வகுத்தல். மற்றும் இங்கே சமன்பாடு உள்ளது

நேரியல் என்று அழைக்க முடியாது. இங்கே X கள் அனைத்தும் முதல் பட்டத்தில் உள்ளன, ஆனால் உள்ளன x உடன் வெளிப்பாடு மூலம் வகுத்தல். எளிமைப்படுத்தல் மற்றும் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, நீங்கள் ஒரு நேரியல் சமன்பாடு, ஒரு இருபடி சமன்பாடு அல்லது நீங்கள் விரும்பும் எதையும் பெறலாம்.

சில சிக்கலான எடுத்துக்காட்டில் நேரியல் சமன்பாட்டை நீங்கள் கிட்டத்தட்ட தீர்க்கும் வரை அதை அடையாளம் காண முடியாது என்று மாறிவிடும். இது வருத்தமளிக்கிறது. ஆனால் பணிகளில், ஒரு விதியாக, அவர்கள் சமன்பாட்டின் வடிவத்தைப் பற்றி கேட்கவில்லை, இல்லையா? பணிகள் சமன்பாடுகளைக் கேட்கின்றன முடிவு செய்யுங்கள்.இது எனக்கு மகிழ்ச்சி அளிக்கிறது.)

நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. எடுத்துக்காட்டுகள்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் முழு தீர்வும் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது. மூலம், இந்த மாற்றங்கள் (அவற்றில் இரண்டு!) தீர்வுகளின் அடிப்படையாகும் கணிதத்தின் அனைத்து சமன்பாடுகளும்.வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், தீர்வு ஏதேனும்சமன்பாடு இந்த மாற்றங்களுடன் தொடங்குகிறது. நேரியல் சமன்பாடுகளின் விஷயத்தில், அது (தீர்வு) இந்த மாற்றங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது மற்றும் முழு பதிலுடன் முடிவடைகிறது. இணைப்பைப் பின்பற்றுவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, இல்லையா?) மேலும், நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளும் உள்ளன.

முதலில், எளிமையான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். எந்த இடர்பாடும் இல்லாமல். இந்த சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

x - 3 = 2 - 4x

இது ஒரு நேரியல் சமன்பாடு. X கள் அனைத்தும் முதல் சக்தியில் உள்ளன, X களால் வகுத்தல் இல்லை. ஆனால், உண்மையில், அது எந்த வகையான சமன்பாடு என்பது நமக்கு முக்கியமில்லை. நாம் அதை தீர்க்க வேண்டும். இங்கே திட்டம் எளிமையானது. சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் X உள்ள அனைத்தையும், வலதுபுறத்தில் X (எண்கள்) இல்லாத அனைத்தையும் சேகரிக்கவும்.

இதைச் செய்ய, நீங்கள் இடமாற்றம் செய்ய வேண்டும் - 4x இடது பக்கம், அடையாள மாற்றத்துடன், நிச்சயமாக, மற்றும் - 3 - வலதுபுறம். மூலம், இது சமன்பாடுகளின் முதல் ஒத்த மாற்றம்.ஆச்சரியமா? இதன் பொருள் நீங்கள் இணைப்பைப் பின்தொடரவில்லை, ஆனால் வீண்...) நாங்கள் பெறுகிறோம்:

x + 4x = 2 + 3

இங்கே ஒத்தவை, நாங்கள் கருதுகிறோம்:

முழுமையான மகிழ்ச்சிக்கு நமக்கு என்ன தேவை? ஆம், இடதுபுறத்தில் ஒரு தூய X உள்ளது! ஐந்து வழியில் உள்ளது. உதவியால் ஐவரையும் விடுவித்தல் சமன்பாடுகளின் இரண்டாவது ஒத்த மாற்றம்.அதாவது, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 5 ஆல் வகுக்கிறோம். தயாராக பதில் கிடைக்கும்:

ஒரு அடிப்படை உதாரணம், நிச்சயமாக. இது வெப்பமயமாதலுக்கானது.) நான் ஏன் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களை இங்கே நினைவில் வைத்தேன் என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை? சரி. காளையை கொம்புகளால் எடுப்போம்.) இன்னும் திடமான ஒன்றை முடிவு செய்வோம்.

உதாரணமாக, இங்கே சமன்பாடு உள்ளது:

நாம் எங்கு தொடங்குவது? X உடன் - இடதுபுறம், X இல்லாமல் - வலதுபுறம்? அப்படித்தான் சாத்தியம். நீண்ட பாதையில் சிறிய படிகள். அல்லது உலகளாவிய மற்றும் சக்திவாய்ந்த முறையில் உடனடியாகச் செய்யலாம். நிச்சயமாக, உங்கள் ஆயுதக் களஞ்சியத்தில் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள் இருந்தால்.

நான் உங்களிடம் ஒரு முக்கிய கேள்வி கேட்கிறேன்: இந்த சமன்பாட்டில் நீங்கள் அதிகம் விரும்பாதது எது?

100 இல் 95 பேர் பதிலளிப்பார்கள்: பின்னங்கள் ! பதில் சரிதான். எனவே அவற்றை அகற்றுவோம். எனவே, நாங்கள் உடனடியாக தொடங்குகிறோம் இரண்டாவது அடையாள மாற்றம். வகு முழுவதுமாக குறைக்கப்படுவதற்கு இடதுபுறத்தில் உள்ள பின்னத்தை என்ன மூலம் பெருக்க வேண்டும்? அது சரி, 3 மணிக்கு. மற்றும் வலது? ஆல் 4. ஆனால் கணிதம் இரண்டு பக்கங்களையும் பெருக்க அனுமதிக்கிறது அதே எண். நாம் எப்படி வெளியேற முடியும்? இருபுறமும் 12 ஆல் பெருக்குவோம்! அந்த. ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு. அப்போது மூன்றும் நான்கும் குறையும். நீங்கள் ஒவ்வொரு பகுதியையும் பெருக்க வேண்டும் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள் முற்றிலும். முதல் படி எப்படி இருக்கும் என்பது இங்கே:

அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்துதல்:

கவனம் செலுத்துங்கள்! எண்ணெழுத்து (x+2)அடைப்புக்குறிக்குள் போட்டேன்! ஏனென்றால், பின்னங்களைப் பெருக்கும் போது, ​​முழு எண்ணும் பெருகும்! இப்போது நீங்கள் பின்னங்களைக் குறைக்கலாம்:

மீதமுள்ள அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்கவும்:

ஒரு உதாரணம் அல்ல, ஆனால் தூய இன்பம்!) இப்போது ஆரம்ப பள்ளியிலிருந்து ஒரு எழுத்துப்பிழையை நினைவில் கொள்வோம்: ஒரு X உடன் - இடதுபுறம், ஒரு X இல்லாமல் - வலதுபுறம்!இந்த மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

இதோ சில ஒத்தவை:

மேலும் இரு பகுதிகளையும் 25 ஆல் வகுக்கவும், அதாவது. இரண்டாவது மாற்றத்தை மீண்டும் பயன்படுத்தவும்:

அவ்வளவுதான். பதில்: எக்ஸ்=0,16

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: அசல் குழப்பமான சமன்பாட்டை ஒரு நல்ல வடிவத்தில் கொண்டு வர, நாங்கள் இரண்டைப் பயன்படுத்தினோம் (இரண்டு மட்டுமே!) அடையாள மாற்றங்கள்- சமன்பாட்டின் அதே எண்ணால் அடையாளம் மற்றும் பெருக்கல்-வகுப்பு மாற்றத்துடன் இடது-வலது மொழிபெயர்ப்பு. இது உலகளாவிய முறை! நாங்கள் இந்த வழியில் வேலை செய்வோம் ஏதேனும் சமன்பாடுகள்! முற்றிலும் யாரேனும். அதனால்தான் இந்த ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைப் பற்றி நான் சலிப்பாக மீண்டும் மீண்டும் சொல்கிறேன்.)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நேரியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் கொள்கை எளிது. நாம் சமன்பாட்டை எடுத்து, பதில் கிடைக்கும் வரை ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி அதை எளிதாக்குகிறோம். இங்கே முக்கிய சிக்கல்கள் கணக்கீடுகளில் உள்ளன, தீர்வு கொள்கையில் இல்லை.

ஆனால்... மிக அடிப்படையான நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் இதுபோன்ற ஆச்சரியங்கள் உள்ளன, அவை உங்களை ஒரு வலுவான மயக்கத்தில் தள்ளும்...) அதிர்ஷ்டவசமாக, இதுபோன்ற இரண்டு ஆச்சரியங்கள் மட்டுமே இருக்க முடியும். அவற்றை சிறப்பு வழக்குகள் என்று அழைக்கலாம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் சிறப்பு வழக்குகள்.

முதல் ஆச்சரியம்.

நீங்கள் ஒரு மிக அடிப்படையான சமன்பாட்டை சந்திக்கிறீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது போன்றது:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

சற்று சலிப்பாக, X ஐ இடதுபுறமாக, X இல்லாமல் - வலதுபுறமாக நகர்த்துகிறோம்... அடையாளத்தை மாற்றினால், எல்லாம் சரியானது... நமக்குக் கிடைக்கிறது:

2x-5x+3x=5-2-3

நாங்கள் எண்ணுகிறோம், மற்றும்... அச்சச்சோ!!! நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இந்த சமத்துவம் ஆட்சேபனைக்குரியது அல்ல. பூஜ்யம் உண்மையில் பூஜ்ஜியம். ஆனால் X காணவில்லை! நாம் பதிலில் எழுத வேண்டும், x என்பது எதற்கு சமம்?இல்லையெனில், தீர்வு கணக்கிடப்படாது, சரி...) முட்டுக்கட்டையா?

அமைதி! இதுபோன்ற சந்தேகத்திற்குரிய சந்தர்ப்பங்களில், மிகவும் பொதுவான விதிகள் உங்களைக் காப்பாற்றும். சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது? சமன்பாட்டை தீர்ப்பது என்றால் என்ன? இதன் பொருள், x இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும், அவை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும்போது, ​​​​சரியான சமத்துவத்தை நமக்கு வழங்கும்.

ஆனால் எங்களிடம் உண்மையான சமத்துவம் உள்ளது ஏற்கனவேஅது வேலை செய்தது! 0=0, எவ்வளவு துல்லியமானது?! இது என்ன x இல் நடக்கிறது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். X இன் என்ன மதிப்புகளை மாற்றலாம் அசல்இந்த xகள் என்றால் சமன்பாடு அவை இன்னும் பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்கப்படுமா?வாருங்கள்?)

ஆம்!!! X ஐ மாற்றலாம் ஏதேனும்!உங்களுக்கு எவை வேண்டும்? குறைந்தது 5, குறைந்தது 0.05, குறைந்தது -220. அவை இன்னும் சுருங்கிவிடும். நீங்கள் என்னை நம்பவில்லை என்றால், நீங்கள் அதை சரிபார்க்கலாம்.) X இன் எந்த மதிப்புகளையும் மாற்றவும் அசல்சமன்பாடு மற்றும் கணக்கீடு. எல்லா நேரங்களிலும் நீங்கள் தூய உண்மையைப் பெறுவீர்கள்: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 மற்றும் பல.

உங்கள் பதில் இதோ: x - எந்த எண்.

பதிலை வெவ்வேறு கணிதக் குறியீடுகளில் எழுதலாம், சாரம் மாறாது. இது முற்றிலும் சரியான மற்றும் முழுமையான பதில்.

இரண்டாவது ஆச்சரியம்.

அதே அடிப்படை நேரியல் சமன்பாட்டை எடுத்து அதில் ஒரு எண்ணை மட்டும் மாற்றுவோம். இதைத்தான் நாங்கள் முடிவு செய்வோம்:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, நாம் புதிரான ஒன்றைப் பெறுகிறோம்:

இப்படி. நாங்கள் ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்த்து ஒரு விசித்திரமான சமத்துவத்தைப் பெற்றோம். கணித அடிப்படையில், எங்களுக்கு கிடைத்தது தவறான சமத்துவம்.மற்றும் பேசுவது எளிய மொழியில், இது உண்மையல்ல. ரேவ். ஆயினும்கூட, இந்த முட்டாள்தனம் ஒரு நல்ல காரணம் சரியான முடிவுசமன்பாடுகள்.)

மீண்டும் நாம் பொதுவான விதிகளின் அடிப்படையில் சிந்திக்கிறோம். அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றியமைக்கப்படும் போது, ​​x என்ன நமக்குத் தரும் உண்மைசமத்துவமா? ஆம், இல்லை! அத்தகைய Xகள் எதுவும் இல்லை. என்ன போட்டாலும் எல்லாம் குறையும், முட்டாள்தனம் தான் மிஞ்சும்.)

உங்கள் பதில் இதோ: தீர்வுகள் இல்லை.

இதுவும் முற்றிலும் முழுமையான பதில். கணிதத்தில், இத்தகைய பதில்கள் பெரும்பாலும் காணப்படுகின்றன.

இப்படி. இப்போது, ​​​​எந்தவொரு (நேரியல் மட்டுமல்ல) சமன்பாட்டை தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் X இன் காணாமல் போனது உங்களை குழப்பாது என்று நம்புகிறேன். இது ஏற்கனவே தெரிந்த விஷயம்.)

இப்போது நாம் நேரியல் சமன்பாடுகளில் உள்ள அனைத்து ஆபத்துகளையும் கையாண்டோம், அவற்றைத் தீர்ப்பது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது.

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

வேலையின் உரை படங்கள் மற்றும் சூத்திரங்கள் இல்லாமல் வெளியிடப்படுகிறது.
முழு பதிப்புவேலை "பணி கோப்புகள்" தாவலில் PDF வடிவத்தில் கிடைக்கும்

அறிமுகம்

"சமன்பாடு என்பது அனைத்து கணித எள்களையும் திறக்கும் தங்க விசை"

எஸ்.கோவல்

பள்ளியில் பெற்ற கணிதக் கல்வி வாழ்க்கையின் மிக முக்கியமான பகுதியாகும். நவீன மனிதன். நம்மைச் சுற்றியுள்ள அனைத்தும் எப்படியாவது கணிதத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பல நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வருகிறது.

முழு இயற்கணித பாடத்தின் மிக விரிவான தலைப்பு சமன்பாடுகள். கடந்த காலத்தில் கல்வி ஆண்டுஇயற்கணிதம் பாடங்களில் இருபடி சமன்பாடுகள் பற்றி கற்றுக்கொண்டோம். இருபடி சமன்பாடுகள்கணிதத் துறையிலும் இயற்பியல் மற்றும் வேதியியல் துறையிலும் பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பள்ளிக் கணிதப் பாடமானது அடிப்படைப் பாடங்களை உள்ளடக்கியது தீர்வுகள்இருபடி சமன்பாடுகள். இருப்பினும், இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பிற நுட்பங்கள் உள்ளன, அவற்றில் சில அவற்றை விரைவாகவும் பகுத்தறிவு ரீதியாகவும் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

8-9 வகுப்புகளில் உள்ள 84 மாணவர்களிடையே இரண்டு கேள்விகளின் அடிப்படையில் நாங்கள் ஒரு கணக்கெடுப்பை நடத்தினோம்:

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான என்ன முறைகள் உங்களுக்குத் தெரியும்?

எவற்றை நீங்கள் அடிக்கடி பயன்படுத்துகிறீர்கள்?

கணக்கெடுப்பு முடிவுகளின் அடிப்படையில், பின்வரும் முடிவுகள் பெறப்பட்டன:

பெறப்பட்ட முடிவுகளை பகுப்பாய்வு செய்த பின்னர், இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது பெரும்பாலான மாணவர்கள் பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறார்கள் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம், மேலும் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது பற்றி போதுமான அளவு அறிந்திருக்கவில்லை.

எனவே, நாங்கள் தேர்ந்தெடுத்த தலைப்பு பொருத்தமானது.

நாமே அமைத்துக் கொண்டோம் இலக்கு: ஆராயுங்கள் வழக்கத்திற்கு மாறான முறைகள்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, 8 மற்றும் 9 ஆம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துகிறது பல்வேறு வழிகளில்தீர்வுகள், இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க ஒரு பகுத்தறிவு வழியைத் தேர்ந்தெடுக்கும் திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.

இந்த இலக்கை அடைய, நீங்கள் பின்வருவனவற்றை தீர்க்க வேண்டும் பணிகள்:

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பல்வேறு வழிகளைப் பற்றிய தகவல்களைச் சேகரித்தல்,

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வுகளை மாஸ்டர்,

எக்செல் இல் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு நிரலை உருவாக்கவும்,

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான தரமற்ற முறைகளில் ஒரு பாடம் அல்லது பாடநெறிக்கு அப்பாற்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான செயற்கையான விஷயங்களை உருவாக்குதல்,

8 - 9 வகுப்புகளில் உள்ள மாணவர்களுடன் " இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழக்கத்திற்கு மாறான வழிகள் " என்ற பாடத்தை நடத்துங்கள்.

ஆய்வின் பொருள்: இருபடி சமன்பாடுகள்.

ஆய்வு பொருள்: இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க பல்வேறு வழிகள்.

கணித பாடங்களில் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நுட்பங்கள் மற்றும் முறைகளின் வங்கியைப் பயன்படுத்துவதற்கான சாத்தியக்கூறுகளில் வேலையின் நடைமுறை முக்கியத்துவம் உள்ளது என்று நாங்கள் நம்புகிறோம். சாராத நடவடிக்கைகள், அத்துடன் 8-9 வகுப்புகளில் உள்ள மாணவர்களை இந்த விஷயத்துடன் பழக்கப்படுத்துதல்.

அத்தியாயம் 1. குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழக்கத்திற்கு மாறான முறைகள்

1. 1. திறன்களின் பண்புகள் (a,b,c)

முறை குணகங்களின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது a,b,c:

என்றால் a+b+c=0,பின்னர் = 1, =

எடுத்துக்காட்டு:

-6x 2 + 2x +4=0,பின்னர் = 1, = = .

என்றால் a - b+c=0,பின்னர் = -1, = -

எடுத்துக்காட்டு:

2017x 2 + 2001x +16 =0,பின்னர் = -1, -.

1. 1. திறன்களின் சார்புகள் (a,b,c)

குணகங்களின் பின்வரும் சார்புகள் செல்லுபடியாகும்: a,b,c:

b=a 2 +1, c=a என்றால் x 1 =-a; x 2 = - .

b=-(a 2 +1), a=c என்றால், x 1 =a; x 2 =.

b=a 2 -1, c=-a எனில், x 1 =-a; x 2 = .

b=-(a 2 -1), -a=c என்றால், x 1 =a; x 2 = - .

பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்போம்:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. முக்கிய விகிதத்தின் "பரிமாற்றம்"

குணகம் ஏஇலவச வார்த்தையால் பெருக்கப்படுகிறது, அதற்கு "எறியப்பட்டது", அதனால்தான் இது "எறிதல்" முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அடுத்து, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்கள் காணப்படுகின்றன. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்கள் முன்னர் மாற்றப்பட்ட குணகத்தால் வகுக்கப்படுகின்றன, இதற்கு நன்றி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் காண்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

இலவச காலத்திற்கு குணகம் 2 ஐ "தூக்கி" விடுவோம், இதன் விளைவாக நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

மணிக்கு 2 - 3у + 2 = 0.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி

மணிக்கு 1 = 2, x 1 = 2/2 , x 1 = 1,

மணிக்கு 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

பதில்: 0.5; 1.

1. 1. தீர்வுக்கான வரைகலை முறை

சமன்பாட்டில் இருந்தால் a x 2 + bx + c= 0 இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்களை வலது பக்கம் நகர்த்தினால், நமக்கு a கிடைக்கும் x 2 = -bx-c .

சார்பு வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் மணிக்கு= கோடாரி 2 மற்றும் மணிக்கு= -bx-cஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்.

முதல் சார்பின் வரைபடம் தோற்றம் வழியாக செல்லும் ஒரு பரவளையமாகும். இரண்டாவது சார்பின் வரைபடம் நேராக உள்ளது.

பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு பரவளையம் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டலாம், வெட்டுப்புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ்கள் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்;

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு பரவளையம் தொடலாம் (ஒரே ஒரு பொதுவான புள்ளி), அதாவது. சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது;

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு பரவளையத்திற்கு பொதுவான புள்ளிகள் இல்லை, அதாவது. ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்போம்:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 = - 2x + 3

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், y = x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், y = - 2x + 3 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் உருவாக்குவோம். குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிசாஸைக் குறிப்பதன் மூலம், நாம் பதிலைப் பெறுகிறோம்.

பதில்: x 1 = - 3, x 2 = 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 = - 6x - 9

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், y = x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், y = -6x - 9 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் உருவாக்குவோம். தொடு புள்ளியின் abscissaவைக் குறிப்பிட்டு, விடையைப் பெறுவோம்.

பதில்: x= - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y = 2x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் உருவாக்குவோம்.

பரவளைய y = 2x 2 மற்றும் நேர்கோட்டில் y = - 4x - 7 ஆகியவை பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை, எனவே சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

1. 1. திசைகாட்டிகள் மற்றும் ஆட்சியாளர்களைப் பயன்படுத்தி குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

aх 2 +bх+c=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

புள்ளிகளை உருவாக்குவோம் S(-b:2a,(a+c):2a) - வட்டத்தின் மையம் மற்றும் புள்ளி A(0,1).

SA ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை வரையவும்.

ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ்கள் அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

இந்த வழக்கில், மூன்று வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1) வட்டத்தின் ஆரம் மையத்தின் ஆர்டினேட்டை விட அதிகமாக உள்ளது ( AS>SK, அல்லது ஆர்>), வட்டம் அச்சை வெட்டுகிறது ஓஇரண்டு புள்ளிகளில்..B( எக்ஸ் 1 ; 0) மற்றும் D(x 2 ;0), எங்கே எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 - இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் ஓ 2 + bx + c = 0.

2) வட்டத்தின் ஆரம் மையத்தின் ஆர்டினேட்டுக்கு சமம் ( AS = SВ, அல்லது ஆர்=), வட்டம் அச்சைத் தொடுகிறது ஓபுள்ளி B( எக்ஸ் 1 ; 0), எங்கே எக்ஸ் 1 - இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்.

3) வட்டத்தின் ஆரம் மையத்தின் ஆர்டினேட்டை விட குறைவாக உள்ளது ( AS< SВ , அல்லது ஆர்< ), வட்டத்திற்கு x- அச்சுடன் பொதுவான புள்ளிகள் இல்லை, இந்த வழக்கில் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு இல்லை.

A) AS > SВஅல்லது ஆர்>, b) AS = SВஅல்லது ஆர்= V) AS< SВ, அல்லது ஆர்< .

இரண்டு தீர்வுகள் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 . ஒரு தீர்வு எக்ஸ் 1.. தீர்வு இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.

தீர்வு:

ஆரம் வட்டம் வரைவோம் எஸ்.ஏ.எங்கே ஏ (0;1).

பதில்: x 1 = 1, x 2 = 3.

எடுத்துக்காட்டு 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

தீர்வு: S: x=3, y=5 இன் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம்.

பதில்: x=3.

எடுத்துக்காட்டு 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

தீர்வு:வட்ட மையத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள்: x= - 2 மற்றும் y = 3.

பதில்: வேர்கள் இல்லை

1. 1. நோமோகிராம் பயன்படுத்தி தீர்வு

நோமோகிராம் (கிரேக்க மொழியில் இருந்து “நோமோஸ்” - சட்டம் மற்றும் கிராம்), பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவம், இது கணக்கீடுகள் இல்லாமல் செயல்பாட்டு சார்புகளைப் படிக்க எளிய வடிவியல் செயல்பாடுகளை (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்துதல்) பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தாமல் இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

இது ஒரு பழைய மற்றும் இப்போது மறந்துவிட்ட இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறையாகும், இது தொகுப்பின் 83வது பக்கத்தில் உள்ளது: பிராடிஸ் வி.எம். "நான்கு இலக்க கணித அட்டவணைகள்." - எம்., "ட்ரோஃபா", 2000. அட்டவணை XXII. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான நோமோகிராம் z 2 + pz + q = 0(இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்).

இந்த நோமோகிராம் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்காமல், அதன் குணகங்களிலிருந்து சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது.

நோமோகிராமின் வளைவு அளவுகோல் சூத்திரங்களின்படி கட்டப்பட்டுள்ளது: OB= , ஏபி =

நம்புவது OS = p, ED = q, OE = a(அனைத்தும் செ.மீ.), முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து SANமற்றும் CDFமாற்றீடுகள் மற்றும் எளிமைப்படுத்தல்களுக்குப் பிறகு, z 2 + pz + q = 0 என்ற சமன்பாட்டைப் பின்பற்றும் விகிதத்தைப் பெறுகிறோம், மேலும் z என்ற எழுத்து வளைவு அளவில் எந்தப் புள்ளியின் அடையாளத்தையும் குறிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

p அளவுகோலில் நாம் குறி -9, மற்றும் q அளவு குறி 8 ஐக் காண்கிறோம். இந்த மதிப்பெண்கள் மூலம் நாம் ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம், இது 1 மற்றும் 8 மதிப்பெண்களில் நோமோகிராமின் வளைந்த அளவை வெட்டுகிறது. எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்கள் 1 ஆகும். மற்றும் 8.

பதில்: 1; 8.

இந்த சமன்பாடுதான் பக்கம் 83 இல் உள்ள பிராடிஸ் அட்டவணையில் தீர்க்கப்படுகிறது (பின் இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்).

எடுத்துக்காட்டு 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

இந்த சமன்பாட்டின் குணகங்களை 2 ஆல் வகுத்தால், நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

z 2 - 4.5z + 1 = 0.நோமோகிராம் வேர்களைக் கொடுக்கிறது z 1 = 4 மற்றும் z 2 = 0,5.

பதில்: 4; 0.5

எடுத்துக்காட்டு 3:x 2 - 25x + 66 = 0

p மற்றும் q குணகங்கள் அளவில் இல்லை. மாற்றீடு செய்வோம் x = 5z, நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

z 2 - 5z + 2.64 = 0,

நாம் ஒரு நோமோகிராம் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம்.

எங்களுக்கு z கிடைக்கும் 1 = 0,6 மற்றும் z 2 = 4,4,

எங்கே x 1 = 5z 1 = 3,0 மற்றும் x 2 = 5z 2 = 22,0.

பதில்: 3; 22.

எடுத்துக்காட்டு 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , ஏ எதிர்மறை வேர்இலிருந்து நேர்மறை மூலத்தைக் கழிப்பதன் மூலம் கண்டுபிடிக்கவும் - ப , அந்த. z 2 = - ப -1= - 5 - 1= -6.

பதில்: 1; -6.

எடுத்துக்காட்டு 5: z 2 - 2z - 8 = 0,நோமோகிராம் நேர்மறை z ரூட்டை அளிக்கிறது 1 =4, மற்றும் எதிர்மறையானது z க்கு சமம் 2 = - ப -4 =

= 2 - 4= -2.

பதில்: 4; -2.

அத்தியாயம் 2. EXCEL ஐப் பயன்படுத்தி ரூட் ஃபார்முலாக்கள் மூலம் ஒரு குவாட்ரேட் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க ஒரு திட்டத்தை உருவாக்க முடிவு செய்தோம் எக்செல் பயன்படுத்தி- இது பரவலாக உள்ளது கணினி நிரல். கணக்கீடுகளைச் செய்ய, அட்டவணைகள் மற்றும் வரைபடங்களைத் தொகுக்கவும், எளிமையானவை மற்றும் கணக்கிடவும் இது தேவைப்படுகிறது சிக்கலான செயல்பாடுகள். இது Microsoft Office தொகுப்பின் ஒரு பகுதியாகும்.

எக்செல் தாள் சூத்திரங்களைக் காட்டுகிறது:

எக்செல் தாள் காண்பிக்கப்படுகிறது உறுதியான உதாரணம்இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள் x 2 - 14x - 15 = 0:

அத்தியாயம் 3. குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வெவ்வேறு வழிகளின் ஒப்பீடு

"இயற்கணிதம் படிக்கும் ஒருவருக்கு மூன்று அல்லது நான்கு வெவ்வேறு பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதை விட ஒரே பிரச்சனையை மூன்று வெவ்வேறு வழிகளில் தீர்ப்பது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்பது பல்வேறு முறைகள், எது குறுகியது மற்றும் அதிக திறன் கொண்டது என்பதை ஒப்பீடுகள் மூலம் நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். இப்படித்தான் அனுபவம் உருவாகிறது."

வால்டர் வார்விக் சாயர்

வேலையின் போது, ​​நாங்கள் பொருட்களை சேகரித்து, இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க (வேர்களைக் கண்டறிய) வழிகளைப் படித்தோம். வெவ்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பின் இணைப்பு 2 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

படிக்கிறது வெவ்வேறு வழிகளில்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம், ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான மிகவும் பயனுள்ள மற்றும் பகுத்தறிவு விருப்பத்தை நீங்கள் தேர்வு செய்யலாம் என்று நாங்கள் முடிவு செய்தோம். ஒவ்வொரு தீர்வும் தனிப்பட்டது மற்றும் சில சந்தர்ப்பங்களில் வசதியானது. சில தீர்வு முறைகள் நேரத்தைச் சேமிக்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன, இது OGE இல் பணிகளைத் தீர்க்கும் போது முக்கியமானது, மற்றவை மிகப் பெரிய குணகங்களுடன் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க உதவுகின்றன. ஒவ்வொரு முறையின் நன்மை தீமைகளையும் பிரதிபலிக்கும் அட்டவணையை தொகுத்து வெவ்வேறு தீர்வு முறைகளை ஒப்பிட முயற்சித்தோம்.

நாங்கள் கையேடுகளை உருவாக்கியுள்ளோம். பின் இணைப்பு 3 இல் உள்ள தலைப்பில் பணிகளின் வங்கியை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

பயன்படுத்தி மைக்ரோசாப்ட் எக்செல், ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை தானாகக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கும் ஒரு விரிதாளை நாங்கள் தொகுத்துள்ளோம்.

9 ஆம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கு இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அசாதாரண வழிகளைப் பற்றி நாங்கள் பாடம் நடத்தினோம். மாணவர்கள் இந்த முறைகளை மிகவும் விரும்பினர்; பாடத்தின் முடிவு மாணவர்களின் வேலை, அதில் அவர்கள் வழங்கினர் பல்வேறு விருப்பங்கள்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது (இணைப்பு 4 ஐப் பார்க்கவும்).

கணிதத்தை விரும்புவோர் மற்றும் கணிதத்தைப் பற்றி மேலும் அறிய விரும்புவோர் இருவரும் பணிப் பொருளைப் பயன்படுத்தலாம்.

இலக்கியம்

பிராடிஸ் வி.எம். “நான்கு இலக்க கணித அட்டவணைகள் உயர்நிலைப் பள்ளி", எம்.: பஸ்டர்ட், 2000.

விலென்கின் என்.யா. "8 ஆம் வகுப்புக்கான அல்ஜீப்ரா", எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனி, 2000.

கலிட்ஸ்கி எம்.எல். "இயற்கணிதத்தில் சிக்கல்களின் சேகரிப்பு", எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனி 2002.

கிளேசர் ஜி.ஐ. "பள்ளியில் கணிதத்தின் வரலாறு", எம்.: ப்ரோஸ்வெஷ்செனி, 1982.

ஸ்வாவிச் எல்.ஐ. "இயற்கணிதம் 8 ஆம் வகுப்பு", எம்.: மெனிமோசைன், 2002.

மகரிச்சேவ் யு.என். "இயற்கணிதம் 8 ஆம் வகுப்பு", எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனி, 2015.

ப்ளூஸ்னிகோவ் I. "இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க 10 வழிகள்" // பள்ளியில் கணிதம். - 2000.- எண். 40.

பிரஸ்மேன் ஏ.ஏ. "ஒரு திசைகாட்டி மற்றும் ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது" // எம்., குவாண்ட், எண். 4/72, ப.34.

சவின் ஏ.பி. " கலைக்களஞ்சிய அகராதிஇளம் கணிதவியலாளர்"

எம்.: கல்வியியல், 1989.

இணைய ஆதாரங்கள்:

http://revolution.allbest.ru/

பின் இணைப்பு 1

"பிராடிஸ் V.M சேகரிப்பு."

பின் இணைப்பு 2

"எல்லா வழிகளிலும் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது"

அசல் சமன்பாடு:4x 2 +3x -1 = 0.

1.பாகுபாடு D ஐப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

4x 2 +3x -1 = 0

D=பி 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, =>சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. வியட்டாவின் தேற்றம்

4x 2 +3x -1 = 0,சமன்பாட்டை 4 ஆல் வகுத்தால் அது குறைக்கப்படும்

எக்ஸ் 2 +x -=0

எக்ஸ் 1 = -1

எக்ஸ் 2 =

3. முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2х *+)-1=0

(2x +) 2 -=0

(2x + -)(2x + +)=0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

எக்ஸ் 1 = x 2 = -1

4. குழுவாக்கும் முறை

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,காரணிகளில் ஒன்று =0 என்றால் தயாரிப்பு =0

(4x-1)=0 (x+1)=0

எக்ஸ் 1 = x 2 = -1

5. குணகங்களின் பண்புகள்

4x 2 +3x -1 = 0

a - b+c=0 எனில், = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. முக்கிய குணகத்தை "எறியும்" முறை

4x 2 +3x -1 = 0

ஒய் 2 +3y - 4 = 0

வியட்டாவின் தேற்றம்:

ஒய் 1 = -4

ஒய் 2 = 1

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை முக்கிய குணகத்தால் பிரித்து நமது சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பெறுவோம்:

எக்ஸ் 1 = -1

எக்ஸ் 2 =

7. திசைகாட்டி மற்றும் ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறை

4x 2 +3x -1 = 0

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி வட்டத்தின் மையப் புள்ளியின் ஆயங்களைத் தீர்மானிப்போம்:

எக்ஸ் 1 = -1

எக்ஸ் 2 =

8. வரைகலை தீர்வு

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் y = 4x 2 மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடம்

y = - 3x+1.குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிசாஸை நியமித்த பிறகு, நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

எக்ஸ் 1 = -1

9. நோமோகிராம் பயன்படுத்துதல்

4x 2 +3x -1 = 0,சமன்பாட்டின் குணகங்களை 1/4 பிரித்தால், நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

எக்ஸ் 2 +x -= 0.

நோமோகிராம் நேர்மறை மூலத்தை அளிக்கிறது = ,

மேலும் நேர்மறை மூலத்தை - p இலிருந்து கழிப்பதன் மூலம் எதிர்மறை மூலத்தைக் காண்கிறோம் , அந்த.

x 2 = - ப -=- -= -1.

10. இந்த சமன்பாட்டை EXCEL இல் தீர்ப்பது

பின் இணைப்பு 3

"தலைப்புக்கான டிடாக்டிகல் மெட்டீரியல்

“குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" »

10x 2 + 2017x + 2007 = 0 -1 -200.7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 = 0 1 -0.01

5x 2 + 9x + 4 = 0 -1 -0.8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s = 0 1 -1.5

55x 2 -44х -11= 0 1 -0.2

6x 2 - 7х - 3 = 0 - , 1.5

4x 2 -17x-15 = 0 -0.75, 5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 +10x + 7 = 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 = 0 2, 0.2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3

4x 2 + 4x -3= 0 -1.5, 0.5

5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1.5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

பின் இணைப்பு 4

"மாணவர்களின் பணி"

பின்னோக்கி முன்னோக்கி

கவனம்! ஸ்லைடு மாதிரிக்காட்சிகள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் விளக்கக்காட்சியின் அனைத்து அம்சங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தாது. நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால் இந்த வேலை, தயவுசெய்து முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

கல்வி:

• எல்லாவற்றையும் பற்றிய அறிவை சுருக்கவும் சமன்பாடுகளின் வகைகள், சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து முறைகளின் முக்கியத்துவத்தை வலியுறுத்துங்கள்.
• பாடத்தில் பல்வேறு நுட்பங்கள் மூலம் மாணவர்களின் வேலையைச் செயல்படுத்துதல்.
• சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதில் தத்துவார்த்த மற்றும் நடைமுறை திறன்களை சோதிக்கவும்.
• ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்க்க முடியும் என்பதில் கவனம் செலுத்துங்கள்

கல்வி:

• தகவல் தொழில்நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பாடத்தில் மாணவர்களின் ஆர்வத்தை அதிகரிக்கவும்.
• தலைப்பில் வரலாற்று விஷயங்களை மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துங்கள்.
• சமன்பாட்டின் வகை மற்றும் அதைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைத் தீர்மானிப்பதில் மன செயல்பாடுகளின் வளர்ச்சி.

கல்வி:

• வகுப்பறையில் ஒழுக்கத்தை வளர்க்கவும்.
• தன்னிலும், மற்றொரு நபரிடமும், நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகிலும் அழகை உணரும் திறனின் வளர்ச்சி.

பாடம் வகை:

• அறிவை பொதுமைப்படுத்துதல் மற்றும் முறைப்படுத்துதல் பற்றிய பாடம்.

பாடம் வகை:

• இணைந்தது.

பொருள் மற்றும் தொழில்நுட்ப உபகரணங்கள்:

• கணினி
• திரை
• புரொஜெக்டர்
• தலைப்பின் விளக்கக்காட்சியுடன் வட்டு

முறைகள் மற்றும் நுட்பங்கள்:

• விளக்கக்காட்சியைப் பயன்படுத்துதல்
• முன் உரையாடல்
• வாய்வழி வேலை
• விளையாட்டு தருணங்கள்
• ஜோடிகளாக வேலை செய்யுங்கள்
• போர்டில் வேலை
• குறிப்பேடுகளில் வேலை செய்யுங்கள்

பாடத் திட்டம்:

1. நிறுவன தருணம் (1 நிமிடம்)
2. பாடத்தின் தலைப்பை டிகோடிங் செய்தல் (3 நிமிடங்கள்)
3. பாடத்தின் தலைப்பு மற்றும் நோக்கம் பற்றிய அறிக்கை (1 நிமிடம்)
4. கோட்பாட்டு வார்ம்-அப் (3 நிமிடங்கள்)
5. வரலாற்று உல்லாசப் பயணம் (3 நிமிடங்கள்)
6. விளையாட்டு "அதிகப்படியானவற்றை அகற்று" (2 நிமிடங்கள்)
7. ஆக்கப்பூர்வமான வேலை(2 நிமிடங்கள்)
8. "பிழையைக் கண்டுபிடி" (2 நிமிடங்கள்)
9. ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்ப்பது (ஸ்லைடில்) (3 நிமிடங்கள்)
10. ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்க்கும் (போர்டில்) (24 நிமிடங்கள்)
11. ஜோடிகளில் சுயாதீனமான வேலை விளக்கத்தைத் தொடர்ந்து (5 நிமிடங்கள்)
12. தனிப்பட்ட வீட்டுப்பாடம் (1 நிமிடம்)
13. பாடத்தின் சுருக்கம் பிரதிபலிப்பு (1 நிமிடம்)

பாடம் கல்வெட்டு:

"நீங்கள் அறிவை ஜீரணிக்க, நீங்கள் அதை பசியுடன் உறிஞ்ச வேண்டும்."
ஏ.பிரான்ஸ்

பாடத்தின் சுருக்கம்

நிறுவனப் பகுதி

நான் பாடத்திற்கான மாணவர்களின் தயார்நிலையை சரிபார்த்து, பாடத்தில் இல்லாதவர்களைக் குறிக்கிறேன். நண்பர்களே, 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிரெஞ்சு எழுத்தாளர் ஏ. பிரான்ஸ் ஒருமுறை குறிப்பிட்டார், "நீங்கள் அறிவை ஜீரணிக்க வேடிக்கையின் மூலம் மட்டுமே கற்றுக்கொள்ள முடியும், நீங்கள் அதை பசியுடன் உறிஞ்ச வேண்டும்." எனவே நம் பாடத்தில் எழுத்தாளரின் அறிவுரைகளைப் பின்பற்றி, அறிவை மிகுந்த பசியுடன் ஜீரணிப்போம், ஏனென்றால் அது நம் வாழ்வில் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

பாடத்தின் தலைப்பை டிகோடிங் செய்தல்

மிகவும் சிக்கலான பணிக்குச் செல்ல, எளிமையான பணிகளுடன் நம் மூளையை நீட்டுவோம். எங்கள் பாடத்தின் தலைப்பு குறியாக்கம் செய்யப்பட்டுள்ளது; விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 3

பாடத்தின் தலைப்பு மற்றும் நோக்கத்தைத் தொடர்புகொள்வது

இன்று பாடத்தின் தலைப்புக்கு நீங்களே பெயரிட்டீர்கள்

"சமன்பாடுகளின் வகைகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்."விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 4

குறிக்கோள்: அனைத்து வகையான சமன்பாடுகளையும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளையும் நினைவுபடுத்தி பொதுமைப்படுத்தவும். அனைத்து முறைகளையும் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 5 ஐன்ஸ்டீனின் அறிக்கையைப் படியுங்கள் விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 5

தத்துவார்த்த சூடு-அப்

கேள்விகள் விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 7

பதில்கள்

1. ஒரு கடிதத்தால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மாறியைக் கொண்ட சமத்துவம்.
2. இதன் பொருள் அதன் அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பது அல்லது வேர்கள் இல்லை என்பதை நிரூபிப்பது.
3. சமன்பாடு உண்மையாக மாறும் மாறியின் மதிப்பு.
4. இந்த வரையறைக்குப் பிறகு, சமன்பாடு பற்றிய ஒரு கவிதையைப் படியுங்கள் ஸ்லைடு 12,13,14

கடைசி 2 கேள்விகளுக்கான பதில்கள் விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 9,10,11

வரலாற்று உல்லாசப் பயணம்

"சமன்பாட்டை யார் கண்டுபிடித்தார்கள், எப்போது" பற்றிய வரலாற்றுத் தகவல் விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 15

ஒரு பழமையான தாய் பெயரிடப்பட்டதாக கற்பனை செய்து கொள்வோம் ... இருப்பினும், அவளுக்கு ஒரு பெயர் கூட இல்லை, ஒரு மரத்தில் இருந்து 12 ஆப்பிள்களைப் பறித்து தனது 4 குழந்தைகளுக்குக் கொடுத்தார். அவளுக்கு 12க்கு மட்டுமல்ல, நான்கிற்கும் எண்ணுவது எப்படி என்று தெரியவில்லை, நிச்சயமாக 12 ஐ 4 ஆல் வகுக்கத் தெரியாது. மேலும் அவள் ஆப்பிள்களை இப்படிப் பிரித்திருக்கலாம்: முதலில் அவள் ஒவ்வொரு குழந்தைக்கும் ஒரு ஆப்பிளைக் கொடுத்தாள், பின்னர் மற்றொரு ஆப்பிளைக் கொடுத்தாள். , பின்னர் தனியாக மற்றொரு மற்றும் நான் ஆப்பிள் இல்லை என்று பார்த்தேன் மற்றும் குழந்தைகள் மகிழ்ச்சியாக இருந்தது. இந்த செயல்களை நவீன கணித மொழியில் எழுதினால், நமக்கு x4=12 கிடைக்கும், அதாவது சமன்பாட்டை உருவாக்கும் சிக்கலை என் அம்மா தீர்த்தார். வெளிப்படையாக, மேலே கேட்கப்பட்ட கேள்விக்கு பதிலளிக்க இயலாது. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு வழிவகுக்கும் சிக்கல்கள் மனிதர்களாக மாறிய காலத்திலிருந்து பொது அறிவைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகின்றன. கிமு 3-4 ஆயிரம் ஆண்டுகள் கூட, எகிப்தியர்களும் பாபிலோனியர்களும் எளிமையான சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க முடிந்தது, அதன் வடிவம் மற்றும் தீர்வு முறைகள் நவீனவற்றைப் போலவே இல்லை. கிரேக்கர்கள் எகிப்தியர்களின் அறிவைப் பெற்று முன்னேறினர். சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சியில் மிகப்பெரிய வெற்றியை கிரேக்க விஞ்ஞானி டியோபாண்டஸ் (III நூற்றாண்டு) அடைந்தார், அவரைப் பற்றி அவர்கள் எழுதினார்கள்:

பல பிரச்சனைகளை தீர்த்து வைத்தார்.
அவர் வாசனையையும் மழையையும் கணித்தார்.
உண்மையாகவே அவருடைய அறிவு வியக்கத்தக்கது.

மத்திய ஆசிய கணிதவியலாளர் முஹம்மது அல் கோரெஸ்மி (9 ஆம் நூற்றாண்டு) சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் பெரும் பங்களிப்பைச் செய்தார். அவரது புகழ்பெற்ற புத்தகம் அல்-குவாரிஸ்மி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு அர்ப்பணித்துள்ளது. இது "கிதாப் அல்-ஜபர் வால்-முகபாலா" என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது "நிறைவு மற்றும் எதிர்ப்பின் புத்தகம்." இந்த புத்தகம் ஐரோப்பியர்களுக்குத் தெரிந்தது, மேலும் அதன் தலைப்பிலிருந்து "அல்-ஜப்ர்" என்ற வார்த்தையிலிருந்து "இயற்கணிதம்" என்ற வார்த்தை வந்தது - இது கணிதத்தின் முக்கிய பகுதிகளில் ஒன்றின் பெயர். பின்னர், பல கணிதவியலாளர்கள் சமன்பாடுகளின் சிக்கல்களில் வேலை செய்தனர். பொது விதி x2+in=0 வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள் 15 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஸ்டீஃபெல் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது. டச்சு கணிதவியலாளர் ஜிரார்ட் (16 ஆம் நூற்றாண்டு) மற்றும் டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் நியூட்டனின் படைப்புகளுக்குப் பிறகு, தீர்வு முறை ஒரு நவீன வடிவத்தை எடுத்தது. ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்களை அதன் குணகங்களின் மீது சார்ந்திருப்பதை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரங்கள் Vieth ஆல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. ஃபிராங்கோயிஸ் வியட் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தவர். கணிதம் மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றில் உள்ள பல்வேறு சிக்கல்களைப் படிப்பதில் அவர் பெரும் பங்களிப்புகளைச் செய்தார்; குறிப்பாக, அவர் சமன்பாட்டின் குணகங்களுக்கான எழுத்து பெயர்களை அறிமுகப்படுத்தினார். இப்போது அவரது வாழ்க்கையிலிருந்து ஒரு சுவாரஸ்யமான அத்தியாயத்தைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். ஃபிராங்கோ-ஸ்பானிஷ் போரின் போது மூன்றாம் ஹென்றி மன்னரின் கீழ் வியட் பெரும் புகழ் பெற்றது. ஸ்பானிய விசாரணையாளர்கள் மிகவும் சிக்கலான ரகசிய எழுத்தை கண்டுபிடித்தனர், இதற்கு நன்றி ஸ்பெயினியர்கள் ஹென்றி III இன் எதிரிகளுடன் பிரான்சில் கூட தொடர்பு கொண்டனர்.

வீண் பிரஞ்சு குறியீட்டின் திறவுகோலைக் கண்டுபிடிக்க முயன்றது, பின்னர் ராஜா வியட்டா பக்கம் திரும்பினார். வியட் இரண்டு வார தொடர்ச்சியான வேலையில் குறியீட்டின் திறவுகோலைக் கண்டுபிடித்ததாக அவர்கள் கூறுகிறார்கள், அதன் பிறகு, எதிர்பாராத விதமாக ஸ்பெயினுக்கு, பிரான்ஸ் ஒன்றன் பின் ஒன்றாக வெற்றிபெறத் தொடங்கியது. குறியீட்டை புரிந்து கொள்ள முடியாது என்ற நம்பிக்கையில், ஸ்பானியர்கள் வியட் பிசாசுடன் தொடர்பு வைத்திருப்பதாக குற்றம் சாட்டி, அவரை எரிக்க தண்டனை விதித்தனர். அதிர்ஷ்டவசமாக, அவர் விசாரணைக்கு ஒப்படைக்கப்படவில்லை மற்றும் ஒரு சிறந்த கணிதவியலாளராக வரலாற்றில் இறங்கினார்.

விளையாட்டு "அதிகப்படியானவற்றை அகற்று"

விளையாட்டின் நோக்கம்சமன்பாடுகளின் வகைகளில் நோக்குநிலை.

எங்களுக்கு மூன்று நெடுவரிசை சமன்பாடுகள் வழங்கப்பட்டுள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றிலும், சமன்பாடுகள் சில அளவுகோல்களின்படி வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன, ஆனால் அவற்றில் ஒன்று உங்கள் பணியை கண்டுபிடித்து வகைப்படுத்துவது. விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 16

ஆக்கப்பூர்வமான வேலை

இந்தப் பணியின் நோக்கம்: கணிதப் பேச்சைக் கேட்டல், சமன்பாடுகளின் வகைகளில் குழந்தைகளை நோக்குநிலைப்படுத்துதல்.

திரையில் நீங்கள் 9 சமன்பாடுகளைக் காணலாம். ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் அதன் சொந்த எண் உள்ளது, இந்த சமன்பாட்டின் வகையை நான் பெயரிடுவேன், இந்த வகையின் சமன்பாட்டை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மேலும் அது தோன்றும் எண்ணை மட்டும் வைக்க வேண்டும், இதன் விளைவாக நீங்கள் 9 இலக்க எண் விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 17 ஐப் பெறுவீர்கள்.

1. குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு.
2. பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடு
3. கன சமன்பாடு
4. மடக்கை சமன்பாடு
5. நேரியல் சமன்பாடு
6. முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு
7. அதிவேக சமன்பாடு
8. பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடு
9. முக்கோணவியல் சமன்பாடு

பணி "பிழையைக் கண்டுபிடி"

ஒரு மாணவர் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தார், ஆனால் முழு வகுப்பினரும் சிரித்தனர், அவர் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் தவறு செய்தார், அதைக் கண்டுபிடித்து சரிசெய்வதே உங்கள் பணி. விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 18

ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்ப்பது

இப்போது வகுப்பில் நேரத்தைச் சேமிக்க, திரையில் ஒரு சமன்பாட்டைச் சேமிக்க, சாத்தியமான எல்லா வழிகளிலும் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம். இப்போது நீங்கள் இந்த சமன்பாட்டின் வகையை பெயரிடுவீர்கள், மேலும் இந்த சமன்பாடு 19-27 ஸ்லைடுகளை தீர்க்க என்ன முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை விளக்குங்கள்

ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்ப்பது (பலகையில்)

நாங்கள் உதாரணத்தைப் பார்த்தோம், இப்போது போர்டில் உள்ள சமன்பாட்டை சாத்தியமான எல்லா வழிகளிலும் தீர்ப்போம்.

X-2 - பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடு

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் சதுரமாக்குவோம்.

X 2 +2x+4x-1-4=0

இந்த சமன்பாட்டை பலகையில் 9 வழிகளில் தீர்க்கிறோம்.

குழுவில் விளக்கத்தைத் தொடர்ந்து ஜோடிகளாக சுயாதீனமான வேலை

இப்போது நீங்கள் ஜோடிகளாக வேலை செய்வீர்கள், நான் உங்கள் மேசைக்கு ஒரு சமன்பாட்டை தருகிறேன், உங்கள் பணி சமன்பாட்டின் வகையை தீர்மானிப்பது, இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அனைத்து வழிகளையும் பட்டியலிடுங்கள், உங்களுக்காக மிகவும் பகுத்தறிவு வழிகளில் 1-2 ஐ தீர்க்கவும். (2 நிமிடங்கள்)

ஜோடிகளாக வேலை செய்வதற்கான பணிகள்

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

பிறகு சுதந்திரமான வேலைஜோடிகளாக, ஒரு பிரதிநிதி குழுவிற்கு வந்து, தனது சமன்பாட்டை முன்வைத்து, ஒரு வழியில் தீர்க்கிறார்

தனிப்பட்ட வீட்டுப்பாடம்(வேறுபடுத்தக்கூடியது)

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

(சமன்பாட்டின் வகையை தீர்மானிக்கவும், ஒரு தனி தாளில் அனைத்து வழிகளிலும் தீர்க்கவும்)

பிரதிபலிப்பு பாடத்தின் சுருக்கம்.

நான் பாடத்தை சுருக்கமாகச் சொல்கிறேன், ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்க்க முடியும் என்பதில் கவனத்தை ஈர்க்கிறேன், மதிப்பெண்களைக் கொடுக்கிறேன், யார் சுறுசுறுப்பாக இருந்தார், யார் அதிக சுறுசுறுப்பாக இருக்க வேண்டும் என்பதைப் பற்றி ஒரு முடிவுக்கு வருகிறேன். கலினின் அறிக்கை விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 28 ஐப் படித்தேன்

இன்றைய பாடத்திற்கு நாங்கள் நிர்ணயித்த இலக்குகளை கவனமாக பாருங்கள்:

• நாங்கள் என்ன செய்ய முடிந்தது என்று நினைக்கிறீர்கள்?
• எது நன்றாக வேலை செய்யவில்லை?
• நீங்கள் குறிப்பாக எதை விரும்பினீர்கள் மற்றும் நினைவில் வைத்தீர்கள்?
• இன்று புதிதாக ஒன்றை கற்றுக்கொண்டேன்...
• பாடத்தின் போது எனது அறிவு பயனுள்ளதாக இருந்தது...
• எனக்கு கஷ்டமாக இருந்தது...
• பாடம் பிடித்திருந்தது...

இலக்கியம்.

1. டோரோஃபீவ் ஜி.வி. "ஒரு உயர்நிலைப் பள்ளி பாடத்திற்கான கணிதத்தில் எழுதப்பட்ட தேர்வை நடத்துவதற்கான பணிகளின் சேகரிப்பு" - எம்.: பஸ்டர்ட், 2006.
2. கார்னர் மார்ட்டின். கணித புதிர்கள் மற்றும் பொழுதுபோக்கு.
3. இவ்லேவ் பி.எம்., சஹாக்யன் எஸ்.எம். இயற்கணிதம் மற்றும் 10 ஆம் வகுப்பு, 11 ஆம் வகுப்புக்கான பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம் பற்றிய டிடாக்டிக் பொருட்கள். எம்.: அறிவொளி. 2002.