பின்னங்களுடன் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது. பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள். தீர்வு அல்காரிதம்

பின்ன சமன்பாடுகள். ODZ.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

சமன்பாடுகளை நாங்கள் தொடர்ந்து மாஸ்டர் செய்கிறோம். நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளுடன் எவ்வாறு செயல்படுவது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். கடைசி பார்வை விட்டு - பின்ன சமன்பாடுகள் . அல்லது அவர்கள் மிகவும் மரியாதையுடன் அழைக்கப்படுகிறார்கள் - பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள். அதே விஷயம் தான்.

பின்ன சமன்பாடுகள்.

பெயர் குறிப்பிடுவது போல, இந்த சமன்பாடுகள் பின்னங்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். ஆனால் பின்னங்கள் மட்டுமல்ல, கொண்ட பின்னங்களும் வகுப்பில் தெரியவில்லை. குறைந்தபட்சம் ஒன்றில். உதாரணமாக:

பகுப்புகள் மட்டும் இருந்தால் நினைவூட்டுகிறேன் எண்கள், இவை நேரியல் சமன்பாடுகள்.

எப்படி முடிவு செய்வது பின்ன சமன்பாடுகள்? முதலில், பின்னங்களை அகற்றவும்! இதற்குப் பிறகு, சமன்பாடு பெரும்பாலும் நேரியல் அல்லது இருபடியாக மாறும். பின்னர் என்ன செய்வது என்று எங்களுக்குத் தெரியும்... சில சமயங்களில் அது 5=5 அல்லது 7=2 போன்ற தவறான வெளிப்பாடு போன்ற அடையாளமாக மாறலாம். ஆனால் இது அரிதாக நடக்கும். இதை நான் கீழே குறிப்பிடுகிறேன்.

ஆனால் பின்னங்களை எப்படி அகற்றுவது!? மிகவும் எளிமையானது. ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துதல்.

முழு சமன்பாட்டையும் ஒரே வெளிப்பாடு மூலம் பெருக்க வேண்டும். அதனால் அனைத்து பிரிவுகளும் குறைக்கப்படுகின்றன! எல்லாம் உடனடியாக எளிதாகிவிடும். ஒரு உதாரணத்துடன் விளக்குகிறேன். சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும்:

கற்பித்தபடி இளைய வகுப்புகள்? நாங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரு பக்கத்திற்கு நகர்த்துகிறோம், அதை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறோம். எப்படி என்பதை மறந்துவிடு கெட்ட கனவு! பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது அல்லது கழிக்கும்போது நீங்கள் செய்ய வேண்டியது இதுதான். அல்லது நீங்கள் ஏற்றத்தாழ்வுகளுடன் வேலை செய்கிறீர்கள். சமன்பாடுகளில், நாம் உடனடியாக இரு பக்கங்களையும் ஒரு வெளிப்பாட்டின் மூலம் பெருக்குகிறோம், இது அனைத்து வகைகளையும் (அதாவது, சாராம்சத்தில், ஒரு பொதுவான வகுப்பினால்) குறைக்க வாய்ப்பளிக்கும். இந்த வெளிப்பாடு என்ன?

இடது பக்கத்தில், வகுப்பினைக் குறைப்பதன் மூலம் பெருக்க வேண்டும் x+2. மற்றும் வலதுபுறத்தில், 2 ஆல் பெருக்கல் தேவை, அதாவது சமன்பாடு பெருக்கப்பட வேண்டும் 2(x+2). பெருக்கவும்:

இது பின்னங்களின் பொதுவான பெருக்கல், ஆனால் நான் அதை விரிவாக விவரிக்கிறேன்:

நான் இன்னும் அடைப்புக்குறியைத் திறக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் (x + 2)! எனவே, நான் அதை முழுமையாக எழுதுகிறேன்:

இடது பக்கத்தில் அது முழுவதுமாக சுருங்குகிறது (x+2), மற்றும் வலதுபுறம் 2. எது தேவை! குறைத்த பிறகு நாம் பெறுகிறோம் நேரியல்சமன்பாடு:

இந்த சமன்பாட்டை அனைவரும் தீர்க்க முடியும்! x = 2.

மற்றொரு உதாரணத்தைத் தீர்ப்போம், இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது:

3 = 3/1, மற்றும் 2x = 2x/ 1, நாம் எழுதலாம்:

மீண்டும் நாம் உண்மையில் விரும்பாதவற்றை அகற்றுவோம் - பின்னங்கள்.

X உடன் வகுப்பினைக் குறைக்க, நாம் பின்னத்தை பெருக்க வேண்டும் (x – 2). மேலும் ஒரு சிலர் நமக்குத் தடையாக இல்லை. சரி, பெருக்குவோம். அனைத்துஇடது பக்கம் மற்றும் அனைத்துவலது பக்கம்:

மீண்டும் அடைப்புக்குறிகள் (x – 2)நான் வெளிப்படுத்தவில்லை. நான் முழு அடைப்புக்குறியுடன் ஒரு எண்ணைப் போல வேலை செய்கிறேன்! இது எப்போதும் செய்யப்பட வேண்டும், இல்லையெனில் எதுவும் குறைக்கப்படாது.

ஆழ்ந்த திருப்தி உணர்வுடன் நாம் குறைக்கிறோம் (x – 2)மற்றும் நாம் எந்த பின்னங்களும் இல்லாமல், ஒரு ஆட்சியாளருடன் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்!

இப்போது அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்:

நாங்கள் ஒத்தவற்றைக் கொண்டு வருகிறோம், எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்திப் பெறுகிறோம்:

ஆனால் அதற்கு முன் மற்ற பிரச்சனைகளை தீர்க்க கற்றுக்கொள்வோம். வட்டி மீது. அது ஒரு ரேக்!

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

தலைப்பில் விளக்கக்காட்சி மற்றும் பாடம்: "பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள். அல்காரிதம் மற்றும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்"

கூடுதல் பொருட்கள்
அன்புள்ள பயனர்களே, உங்கள் கருத்துகள், மதிப்புரைகள், விருப்பங்களைத் தெரிவிக்க மறக்காதீர்கள்! அனைத்து பொருட்களும் வைரஸ் தடுப்பு நிரலால் சரிபார்க்கப்பட்டன.

8 ஆம் வகுப்புக்கான ஒருங்கிணைந்த ஆன்லைன் ஸ்டோரில் கல்வி உதவிகள் மற்றும் சிமுலேட்டர்கள்
மகரிச்சேவ் யு.என் பாடநூலுக்கான கையேடு. Mordkovich A.G எழுதிய பாடப்புத்தகத்திற்கான கையேடு.

பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளுக்கான அறிமுகம்

$r(x)$ ஆக இருக்கட்டும் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு. அத்தகைய வெளிப்பாடு $x$ மாறி அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விகிதத்தில் ஒரு எளிய பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கலாம் (பகுத்தறிவு எண்களைப் போல ஒரு பிரிவு செயல்பாடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது).
$r(x)=0$ சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பகுத்தறிவு சமன்பாடு.
$p(x)=q(x)$ வடிவத்தின் எந்த சமன்பாடும், $p(x)$ மற்றும் $q(x)$ ஆகியவை பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருக்கும். பகுத்தறிவு சமன்பாடு.

பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

தீர்வு.
எல்லா வெளிப்பாடுகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் சாதாரண எண்களால் குறிக்கப்பட்டால், இரண்டு பின்னங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்போம்.
இதைச் செய்வோம்: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
எங்களுக்கு சமன்பாடு கிடைத்தது: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியமாகவும், வகுப்பு பூஜ்ஜியமற்றதாகவும் இருந்தால் மட்டுமே. பின்னர் நாம் தனித்தனியாக புள்ளியை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, எண்களின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.
$3(x^2+2x-3)=0$ அல்லது $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
இப்போது பின்னத்தின் வகுப்பினைச் சரிபார்ப்போம்: $(x-3)*x≠0$.
இந்த எண்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்போது இரண்டு எண்களின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம். பிறகு: $x≠0$ அல்லது $x-3≠0$.
$x≠0$ அல்லது $x≠3$.
எண் மற்றும் வகுப்பில் பெறப்பட்ட வேர்கள் ஒத்துப்போவதில்லை. எனவே, எண்ணின் இரண்டு வேர்களையும் பதிலில் எழுதுகிறோம்.
பதில்: $x=1$ அல்லது $x=-3$.

திடீரென்று எண்களின் வேர்களில் ஒன்று வகுப்பின் மூலத்துடன் ஒத்துப்போனால், அது விலக்கப்பட வேண்டும். இத்தகைய வேர்கள் புறம்பானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன!

பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.
சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

தீர்வு.
அல்காரிதம் புள்ளிகளின்படி தீர்க்கலாம்.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. எண்ணை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன்: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. வகுப்பினை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன்:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ மற்றும் $x=-1$.
$x=1$ என்ற வேர்களில் ஒன்று எண்ணின் மூலத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, பிறகு அதை நாம் பதிலில் எழுத மாட்டோம்.
பதில்: $x=-1$.

மாறிகள் முறையை மாற்றுவதன் மூலம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது வசதியானது. இதை நிரூபிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.
சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: $x^4+12x^2-64=0$.

தீர்வு.
மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: $t=x^2$.
பின்னர் எங்கள் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
$t^2+12t-64=0$ - சாதாரண இருபடிச் சமன்பாடு.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
தலைகீழ் மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: $x^2=4$ அல்லது $x^2=-16$.
முதல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் ஒரு ஜோடி எண்கள் $x=±2$ ஆகும். இரண்டாவது விஷயம் என்னவென்றால், அதற்கு வேர்கள் இல்லை.
பதில்: $x=±2$.

எடுத்துக்காட்டு 4.
சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
தீர்வு.
ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம்: $t=x^2+x+1$.
பின்னர் சமன்பாடு படிவத்தை எடுக்கும்: $t=\frac(15)(t+2)$.
அடுத்து நாம் அல்காரிதம் படி தொடர்வோம்.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - வேர்கள் ஒத்துப்போவதில்லை.
தலைகீழ் மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் தனித்தனியாக தீர்ப்போம்:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - இல்லை வேர்கள்.
இரண்டாவது சமன்பாடு: $x^2+x-2=0$.
இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் $x=-2$ மற்றும் $x=1$ எண்களாக இருக்கும்.
பதில்: $x=-2$ மற்றும் $x=1$.

எடுத்துக்காட்டு 5.
சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

தீர்வு.
மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: $t=x+\frac(1)(x)$.
பிறகு:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ அல்லது $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
எங்களுக்கு சமன்பாடு கிடைத்தது: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் ஜோடி:
$t=-3$ மற்றும் $t=2$.
தலைகீழ் மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
தனித்தனியாக முடிவு செய்வோம்.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
இரண்டாவது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
இந்த சமன்பாட்டின் ரூட் எண் $x=1$ ஆகும்.
பதில்: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

சுயாதீனமாக தீர்க்க வேண்டிய சிக்கல்கள்

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

இந்தச் சமன்பாட்டை எளிதாக்குவதற்கு மிகக் குறைந்த பொதுப் பிரிவு பயன்படுத்தப்படுகிறது.சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் ஒரு பகுத்தறிவு வெளிப்பாட்டுடன் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை நீங்கள் எழுத முடியாதபோது இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது (மேலும் பெருக்கத்தின் கிரிஸ்கிராஸ் முறையைப் பயன்படுத்தவும்). 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பின்னங்களைக் கொண்ட பகுத்தறிவு சமன்பாடு உங்களுக்கு வழங்கப்படும் போது இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது (இரண்டு பின்னங்களின் விஷயத்தில், குறுக்கு பெருக்கத்தைப் பயன்படுத்துவது நல்லது).

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், முகவரி உள்ளிட்ட பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம் மின்னஞ்சல்முதலியன

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல்கள், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகளுடன் உங்களைத் தொடர்புகொள்ள அனுமதிக்கிறது.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் உள்ள அரசாங்க அதிகாரிகளிடமிருந்து பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

பற்றி தொடர்ந்து பேசுவோம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. பற்றி விரிவாக இந்தக் கட்டுரையில் பார்ப்போம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்மற்றும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கும் கொள்கைகள். முதலில், எந்த வகையான சமன்பாடுகள் பகுத்தறிவு என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம், முழு பகுத்தறிவு மற்றும் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் வரையறையை வழங்கவும், எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கவும். அடுத்து, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளைப் பெறுவோம், நிச்சயமாக, தேவையான அனைத்து விளக்கங்களுடனும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

கூறப்பட்ட வரையறைகளின் அடிப்படையில், பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தருகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , அனைத்தும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்.

காட்டப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் மற்றும் பிற வகைகளின் சமன்பாடுகள் ஒரு மாறி அல்லது இரண்டு, மூன்று போன்றவற்றுடன் இருக்கலாம் என்பது தெளிவாகிறது. மாறிகள். பின்வரும் பத்திகளில் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை ஒரு மாறி மூலம் தீர்ப்பது பற்றி பேசுவோம். இரண்டு மாறிகளில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுமற்றும் அவர்கள் ஒரு பெரிய எண்சிறப்பு கவனம் தேவை.

அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கையால் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பிரிப்பதைத் தவிர, அவை முழு எண் மற்றும் பின்னம் என பிரிக்கப்படுகின்றன. அதற்கான வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை.

பகுத்தறிவு சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுவதும், அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் இரண்டும் முழு எண் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருந்தால்.

வரையறை.

பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியாவது ஒரு பகுதியளவு வெளிப்பாடாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பகுதியளவு பகுத்தறிவு(அல்லது பகுதியளவு பகுத்தறிவு).

முழு சமன்பாடுகளும் மாறியால் வகுபடுவதில்லை என்பது தெளிவாகிறது. எனவே 3 x+2=0 மற்றும் (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5- இவை முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள், அவற்றின் இரண்டு பகுதிகளும் முழு வெளிப்பாடுகள். A மற்றும் x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 என்பது பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

இந்த புள்ளியை முடித்து, இந்த புள்ளியில் அறியப்பட்ட நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகள் முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் என்பதில் கவனம் செலுத்துவோம்.

முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பது

முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய அணுகுமுறைகளில் ஒன்று அவற்றை சமமானதாகக் குறைப்பதாகும் இயற்கணித சமன்பாடுகள். சமன்பாட்டின் பின்வரும் சமமான மாற்றங்களைச் செய்வதன் மூலம் இது எப்போதும் செய்யப்படலாம்:

• முதலில், அசல் முழு எண் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து வெளிப்பாடு வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற எதிர் குறியுடன் இடது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது;
• இதற்குப் பிறகு, சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் விளைவாக நிலையான பார்வை.

விளைவு இயற்கணித சமன்பாடு, இது அசல் முழு எண் சமன்பாட்டிற்கு சமம். எனவே அதிகபட்சம் எளிய வழக்குகள்முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பது நேரியல் அல்லது இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கும், பொதுவாக n பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கும் குறைகிறது. தெளிவுக்காக, உதாரணத்திற்கான தீர்வைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

முழு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

தீர்வு.

இந்த முழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வையும் சமமான இயற்கணிதச் சமன்பாட்டின் தீர்வுக்குக் குறைப்போம். இதைச் செய்ய, முதலில், வெளிப்பாட்டை வலது பக்கத்திலிருந்து இடதுபுறமாக மாற்றுகிறோம், இதன் விளைவாக நாம் சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம். 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. மற்றும், இரண்டாவதாக, தேவையானவற்றை நிறைவு செய்வதன் மூலம் இடது பக்கத்தில் உருவான வெளிப்பாட்டை நிலையான வடிவ பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றுகிறோம்: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 -5 x−6. இதனால், அசல் முழு எண் சமன்பாட்டின் தீர்வு தீர்வுக்கு குறைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு x 2 −5 x−6=0 .

அதன் பாகுபாட்டை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம் D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, இது நேர்மறையானது, அதாவது சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதைக் காண்கிறோம்:

முற்றிலும் உறுதியாக இருக்க, அதை செய்வோம் சமன்பாட்டின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை சரிபார்க்கிறது. முதலில் ரூட் 6 ஐ சரிபார்த்து, அசல் முழு எண் சமன்பாட்டில் x மாறிக்கு பதிலாக அதை மாற்றவும்: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, இது அதே, 63=63. இது சரியான எண் சமன்பாடு ஆகும், எனவே x=6 என்பது சமன்பாட்டின் வேர். இப்போது நாம் ரூட் −1 ஐ சரிபார்க்கிறோம், எங்களிடம் உள்ளது 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, எங்கிருந்து, 0=0 . x=−1 ஆக இருக்கும்போது, ​​அசல் சமன்பாடு சரியான எண் சமத்துவமாக மாறும், எனவே, x=−1 என்பது சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமும் ஆகும்.

பதில்:

6 , −1 .

இங்கே "முழு சமன்பாட்டின் பட்டம்" என்பது ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் முழு சமன்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவத்துடன் தொடர்புடையது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். தொடர்புடைய வரையறையை வழங்குவோம்:

வரையறை.

முழு சமன்பாட்டின் சக்திசமமான இயற்கணித சமன்பாட்டின் அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த வரையறையின்படி, முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து முழு சமன்பாடும் இரண்டாவது பட்டம் கொண்டது.

இது முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்க்கும் முடிவாக இருந்திருக்கலாம், ஒன்று இல்லாவிட்டால்…. அறியப்பட்டபடி, இரண்டாவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது குறிப்பிடத்தக்க சிரமங்களுடன் தொடர்புடையது, மேலும் நான்காவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகளுக்கு பொதுவான ரூட் சூத்திரங்கள் எதுவும் இல்லை. எனவே, மூன்றாவது, நான்காவது மற்றும் பலவற்றின் முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உயர் பட்டங்கள்பெரும்பாலும் நீங்கள் மற்ற தீர்வு முறைகளை நாட வேண்டும்.

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், அடிப்படையிலான முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கான அணுகுமுறை காரணியாக்குதல் முறை. இந்த வழக்கில், பின்வரும் வழிமுறை பின்பற்றப்படுகிறது:

• முதலில், அவர்கள் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியம் இருப்பதை உறுதி செய்கிறார்கள், முழு சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடதுபுறமாக வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறார்கள்;
• பின்னர், இடது பக்கத்தில் விளைந்த வெளிப்பாடு பல காரணிகளின் விளைபொருளாக வழங்கப்படுகிறது, இது பல எளிய சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு செல்ல அனுமதிக்கிறது.

காரணியாக்கம் மூலம் முழு சமன்பாட்டையும் தீர்ப்பதற்கான கொடுக்கப்பட்ட வழிமுறைக்கு ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவான விளக்கம் தேவைப்படுகிறது.

உதாரணம்.

முழு சமன்பாட்டையும் தீர்க்கவும் (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .

தீர்வு.

முதலில், வழக்கம் போல், சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கத்திற்கு வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம், அடையாளத்தை மாற்ற மறக்காமல், நாம் பெறுகிறோம் (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13)=0 . இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றுவது நல்லதல்ல என்பது இங்கே தெளிவாகத் தெரிகிறது, ஏனெனில் இது படிவத்தின் நான்காவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும். x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x−13=0, தீர்வு கடினமானது.

மறுபுறம், விளைந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் நாம் x 2 -10·x+13 , அதன் மூலம் அதை ஒரு தயாரிப்பாகக் காட்டலாம் என்பது தெளிவாகிறது. எங்களிடம் உள்ளது (x 2 -10 x+13) (x 2 -2 x−1)=0. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அசல் முழுச் சமன்பாட்டிற்குச் சமமானதாகும், மேலும் அது, x 2 -10·x+13=0 மற்றும் x 2 −2·x−1=0 ஆகிய இரண்டு இருபடி சமன்பாடுகளின் தொகுப்பால் மாற்றப்படலாம். ஒரு பாகுபாடு மூலம் அறியப்பட்ட ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் வேர்களைக் கண்டறிவது கடினம் அல்ல, வேர்கள் சமமானவை. அவை அசல் சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள்.

பதில்:

முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான முறை. சில சமயங்களில், அசல் முழு சமன்பாட்டின் அளவை விட குறைவாக இருக்கும் சமன்பாடுகளுக்கு செல்ல இது உங்களை அனுமதிக்கிறது.

உதாரணம்.

பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும் (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

தீர்வு.

இந்த முழு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டையும் ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பது மிகவும் நல்ல யோசனையல்ல, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் பகுத்தறிவு வேர்கள் இல்லாத நான்காவது டிகிரி சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டிய அவசியத்திற்கு வருவோம். எனவே, நீங்கள் வேறு தீர்வைத் தேட வேண்டும்.

இங்கே நீங்கள் ஒரு புதிய மாறி y ஐ அறிமுகப்படுத்தலாம் மற்றும் x 2 +3·x என்ற வெளிப்பாட்டை மாற்றலாம். இந்த மாற்றீடு நம்மை முழு சமன்பாட்டிற்கு இட்டுச் செல்கிறது (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , இது −2·(y−4) வெளிப்பாட்டை இடது பக்கம் நகர்த்திய பிறகு மற்றும் வெளிப்பாட்டின் மாற்றத்திற்குப் பிறகு அங்கு உருவாக்கப்பட்ட, ஒரு இருபடி சமன்பாடு y 2 +4·y+3=0 குறைக்கப்பட்டது. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் y=−1 மற்றும் y=−3 கண்டுபிடிக்க எளிதானது, எடுத்துக்காட்டாக, வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தின் அடிப்படையில் அவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

இப்போது நாம் ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தும் முறையின் இரண்டாம் பகுதிக்கு செல்கிறோம், அதாவது தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்ய. தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்த பிறகு, x 2 +3 x=−1 மற்றும் x 2 +3 x=−3 ஆகிய இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம், அவை x 2 +3 x+1=0 மற்றும் x 2 +3 x+3 என மீண்டும் எழுதப்படலாம். =0. இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, முதல் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். இரண்டாவது இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் அதன் பாகுபாடு எதிர்மறையானது (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

பதில்:

பொதுவாக, நாம் அதிக அளவுகளின் முழு சமன்பாடுகளையும் கையாளும் போது, ​​அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு தரமற்ற முறை அல்லது ஒரு செயற்கை நுட்பத்தைத் தேடுவதற்கு நாம் எப்போதும் தயாராக இருக்க வேண்டும்.

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

முதலில், p(x) மற்றும் q(x) ஆகியவை முழு எண் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருக்கும் படிவத்தின் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும். சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வகையின் சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கு பிற பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் தீர்வை எவ்வாறு குறைப்பது என்பதைக் காண்பிப்போம்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு அணுகுமுறை பின்வரும் அறிக்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது: எண் பின்னம் u/v, அங்கு v என்பது பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணாகும் (இல்லையெனில் நாம் சந்திப்போம், இது வரையறுக்கப்படவில்லை), அதன் எண் இருந்தால் மட்டுமே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம், u=0 என்றால் மட்டுமே. இந்த அறிக்கையின் அடிப்படையில், சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது p(x)=0 மற்றும் q(x)≠0 ஆகிய இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்வதாக குறைக்கப்படுகிறது.

இந்த முடிவு பின்வருவனவற்றுடன் ஒத்துப்போகிறது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம். படிவத்தின் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

• முழு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் p(x)=0 ;
• கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மூலத்திற்கும் நிபந்தனை q(x)≠0 திருப்திகரமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்
• உண்மை என்றால், இந்த வேர் அசல் சமன்பாட்டின் வேர்;
• அது திருப்தியடையவில்லை என்றால், இந்த வேர் புறம்பானது, அதாவது, இது அசல் சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல.

ஒரு பகுதி பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது அறிவிக்கப்பட்ட அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

இது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடு மற்றும் வடிவத்தின் , p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

இந்த வகையின் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையின்படி, முதலில் 3 x−2=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும். இது ஒரு நேரியல் சமன்பாடு ஆகும், இதன் ரூட் x=2/3 ஆகும்.

இந்த ரூட்டைச் சரிபார்க்க வேண்டும், அதாவது, இது 5 x 2 −2≠0 நிபந்தனையை பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும். x க்கு பதிலாக 2/3 என்ற எண்ணை 5 x 2 −2 என்ற வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றுவோம், மேலும் நமக்கு கிடைக்கும். நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது, எனவே x=2/3 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் வேர்.

பதில்:

2/3 .

நீங்கள் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை சற்று மாறுபட்ட நிலையில் இருந்து தீர்க்கலாம். இந்த சமன்பாடு அசல் சமன்பாட்டின் மாறி x இல் உள்ள முழு எண் சமன்பாடு p(x)=0 க்கு சமம். அதாவது, நீங்கள் இதை ஒட்டிக்கொள்ளலாம் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் :

• p(x)=0 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்;
• மாறி x இன் ODZ ஐக் கண்டறியவும்;
• ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் பகுதியைச் சேர்ந்த வேர்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - அவை அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள்.

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

முதலில், நாம் x 2 -2·x−11=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம். எங்களிடம் உள்ள இரண்டாவது குணகத்திற்கான ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களைக் கணக்கிடலாம் D 1 =(-1) 2 −1·(−11)=12, மற்றும்.

இரண்டாவதாக, அசல் சமன்பாட்டிற்கான மாறி x இன் ODZ ஐக் காண்கிறோம். இது x 2 +3·x≠0 அனைத்து எண்களையும் கொண்டுள்ளது, இது x·(x+3)≠0, எங்கிருந்து x≠0, x≠−3.

முதல் கட்டத்தில் காணப்படும் வேர்கள் ODZ இல் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை சரிபார்க்க உள்ளது. வெளிப்படையாக ஆம். எனவே, அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்:

ODZ கண்டுபிடிக்க எளிதானது என்றால், இந்த அணுகுமுறை முதல் முறையை விட அதிக லாபம் தரும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், மேலும் p(x) = 0 என்ற சமன்பாட்டின் வேர்கள் பகுத்தறிவற்றதாகவோ அல்லது பகுத்தறிவுடையதாகவோ இருந்தால் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஆனால் பெரிய எண் மற்றும் /அல்லது வகுத்தல், எடுத்துக்காட்டாக, 127/1101 மற்றும் −31/59. இது போன்ற சந்தர்ப்பங்களில், q(x)≠0 நிலையைச் சரிபார்ப்பதற்கு குறிப்பிடத்தக்க கணக்கீட்டு முயற்சி தேவைப்படும், மேலும் ODZ ஐப் பயன்படுத்தி வெளிப்புற வேர்களை விலக்குவது எளிது.

மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​குறிப்பாக p(x) = 0 சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்களாக இருக்கும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட வழிமுறைகளில் முதல் முறையைப் பயன்படுத்துவது அதிக லாபம் தரும். அதாவது, p(x)=0 என்ற முழு சமன்பாட்டின் வேர்களையும் உடனடியாகக் கண்டுபிடிப்பது நல்லது, பின்னர் ODZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதை விட, q(x)≠0 நிபந்தனை அவர்களுக்கு திருப்தி அளிக்கிறதா என்பதைச் சரிபார்த்து, பின்னர் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது நல்லது. இந்த ODZ இல் p(x)=0 . இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் DZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதை விட சரிபார்க்க இது பொதுவாக எளிதானது என்பதே இதற்குக் காரணம்.

குறிப்பிட்ட நுணுக்கங்களை விளக்குவதற்கு இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

முதலில், முழு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம் (2 x−1) (x−6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0, பின்னத்தின் எண்ணிக்கையைப் பயன்படுத்தி இயற்றப்பட்டது. இந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் ஒரு தயாரிப்பு, மற்றும் வலது பக்கம் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே, காரணியாக்கம் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறையின்படி, இந்த சமன்பாடு நான்கு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு சமம் 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . இந்த சமன்பாடுகளில் மூன்று நேரியல் மற்றும் ஒன்று நாம் அவற்றை தீர்க்க முடியும். முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x=1/2, இரண்டாவது - x=6, மூன்றாவது - x=7, x=−2, நான்காவது - x=-1.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களைக் கொண்டு, அசல் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பகுதியின் வகுத்தல் மறைந்துவிட்டதா என்பதைச் சரிபார்ப்பது மிகவும் எளிதானது, ஆனால் ODZ ஐ தீர்மானிப்பது மிகவும் எளிதானது அல்ல, ஏனெனில் இதற்காக நீங்கள் ஒரு தீர்க்க வேண்டும். ஐந்தாவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாடு. எனவே, வேர்களைச் சரிபார்ப்பதற்கு ஆதரவாக ODZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதைக் கைவிடுவோம். இதைச் செய்ய, வெளிப்பாட்டில் உள்ள மாறி x க்கு பதிலாக அவற்றை ஒவ்வொன்றாக மாற்றுவோம் x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112, மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு பெற்று, அவற்றை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுக: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(-2) 4 +57·(-2) 3 -13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

எனவே, 1/2, 6 மற்றும் −2 ஆகியவை அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள், மேலும் 7 மற்றும் −1 ஆகியவை புறம்பான வேர்கள்.

பதில்:

1/2 , 6 , −2 .

உதாரணம்.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

முதலில், சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம் (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. இந்த சமன்பாடு இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமமானது: சதுரம் 5·x 2 -7·x−1=0 மற்றும் நேரியல் x−2=0. ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இரண்டு வேர்களைக் காண்கிறோம், இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x=2 ஐப் பெறுகிறோம்.

x இன் காணப்படும் மதிப்புகளில் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறதா என்பதைச் சரிபார்ப்பது மிகவும் விரும்பத்தகாதது. அசல் சமன்பாட்டில் x மாறியின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பை தீர்மானிப்பது மிகவும் எளிது. எனவே, நாங்கள் ODZ மூலம் செயல்படுவோம்.

எங்கள் விஷயத்தில், அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் மாறி x இன் ODZ ஆனது நிபந்தனை x 2 +5·x−14=0 பூர்த்தி செய்யப்பட்ட எண்களைத் தவிர அனைத்து எண்களையும் கொண்டுள்ளது. இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் x=−7 மற்றும் x=2 ஆகும், இதிலிருந்து நாம் ODZ பற்றி ஒரு முடிவுக்கு வருகிறோம்: இது அனைத்து x போன்றவற்றையும் கொண்டுள்ளது.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்கள் மற்றும் x=2 ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பைச் சேர்ந்ததா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும். வேர்கள் சொந்தமானது, எனவே, அவை அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள், மேலும் x=2 சொந்தமானது அல்ல, எனவே, இது ஒரு புறம்பான வேர்.

பதில்:

படிவத்தின் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டில் எண்ணில் ஒரு எண் இருக்கும் போது, ​​அதாவது p(x) சில எண்ணால் குறிப்பிடப்படும் போது, ​​தனித்தனியாகப் பேசுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். அதே நேரத்தில்

• இந்த எண் பூஜ்ஜியம் அல்லாததாக இருந்தால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் அதன் எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே;
• இந்த எண் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சமன்பாட்டின் மூலமானது ODZ இலிருந்து எந்த எண்ணாகவும் இருக்கும்.

உதாரணம்.

தீர்வு.

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணைக் கொண்டிருப்பதால், எந்த x க்கும் இந்த பின்னத்தின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. எனவே, இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பதில்:

வேர்கள் இல்லை.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இந்த பின்னத்தின் மதிப்பு அது அர்த்தமுள்ள எந்த x க்கும் பூஜ்ஜியமாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு இந்த மாறியின் ODZ இலிருந்து x இன் எந்த மதிப்பாகும்.

ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பைத் தீர்மானிக்க இது உள்ளது. இது x 4 +5 x 3 ≠0 இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் உள்ளடக்கியது. x 4 +5 x 3 =0 சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் 0 மற்றும் −5 ஆகும், ஏனெனில் இந்த சமன்பாடு x 3 (x+5)=0 சமன்பாட்டிற்கு சமம், மேலும் இது x என்ற இரண்டு சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு சமம். 3 =0 மற்றும் x +5=0, இந்த வேர்கள் தெரியும். எனவே, ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் விரும்பிய வரம்பு x=0 மற்றும் x=−5 தவிர எந்த x ஆகும்.

எனவே, ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடு எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை பூஜ்ஜியம் மற்றும் கழித்தல் ஐந்து தவிர வேறு எந்த எண்களாகும்.

பதில்:

இறுதியாக, தன்னிச்சையான வடிவத்தின் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பற்றி பேச வேண்டிய நேரம் இது. அவற்றை r(x)=s(x) என எழுதலாம், இங்கு r(x) மற்றும் s(x) ஆகியவை பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள் மற்றும் அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பின்னமானது. முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, ​​​​அவற்றின் தீர்வு ஏற்கனவே நமக்கு நன்கு தெரிந்த வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வரும் என்று சொல்லலாம்.

சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு எதிர் குறியுடன் ஒரு சொல்லை மாற்றுவது சமமான சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது, எனவே சமன்பாடு r(x)=s(x) சமன்பாடு r(x)−s(x) சமன்பாடு ஆகும் )=0.

இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு சமமான ஏதேனும் ஒன்று சாத்தியம் என்பதையும் நாங்கள் அறிவோம். எனவே, r(x)−s(x)=0 சமன்பாட்டின் இடதுபுறத்தில் உள்ள பகுத்தறிவு வெளிப்பாட்டை வடிவத்தின் ஒரே மாதிரியான பகுத்தறிவு பின்னமாக மாற்றலாம்.

எனவே நாம் அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிலிருந்து r(x)=s(x) சமன்பாட்டிற்கு நகர்கிறோம், மேலும் அதன் தீர்வு, நாம் மேலே கண்டறிந்தபடி, p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

ஆனால் இங்கே r(x)−s(x)=0 ஐ , பின்னர் p(x)=0 என்று மாற்றும் போது, ​​x மாறியின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பு விரிவடையும் என்ற உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். .

இதன் விளைவாக, நாம் வந்த அசல் சமன்பாடு r(x)=s(x) மற்றும் p(x)=0 சமன்பாடு ஆகியவை சமமற்றதாக மாறலாம், மேலும் p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நாம் வேர்களைப் பெறலாம். இது r(x)=s(x) என்ற அசல் சமன்பாட்டின் புறம்பான வேர்களாக இருக்கும். சரிபார்ப்பதன் மூலம் அல்லது அசல் சமன்பாட்டின் ODZ க்கு சொந்தமானவை என்பதைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் நீங்கள் பதிலில் புறம்பான வேர்களை அடையாளம் கண்டு சேர்க்க முடியாது.

இந்த தகவலை சுருக்கமாகக் கூறுவோம் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை r(x)=s(x). r(x)=s(x) என்ற பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

• எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் வெளிப்பாட்டை வலது பக்கத்திலிருந்து நகர்த்துவதன் மூலம் வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுங்கள்.
• சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் பின்னங்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யவும், அதன் மூலம் அதை வடிவத்தின் பகுத்தறிவுப் பகுதியாக மாற்றவும்.
• p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
• அசல் சமன்பாட்டில் அவற்றை மாற்றுவதன் மூலம் அல்லது அசல் சமன்பாட்டின் ODZ ஐச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் வெளிப்புற வேர்களைக் கண்டறிந்து அகற்றவும்.

அதிக தெளிவுக்காக, பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முழு சங்கிலியையும் காண்பிப்போம்:
.

கொடுக்கப்பட்ட தகவலைத் தெளிவுபடுத்துவதற்காக, தீர்வு செயல்முறையின் விரிவான விளக்கத்துடன் பல எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வுகளைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இப்போது கிடைத்த தீர்வு அல்காரிதம் படி செயல்படுவோம். முதலில் நாம் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கம் சொற்களை நகர்த்துகிறோம், இதன் விளைவாக நாம் சமன்பாட்டிற்கு செல்கிறோம்.

இரண்டாவது கட்டத்தில், விளைந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பகுதியளவு பகுத்தறிவு வெளிப்பாட்டை ஒரு பின்னத்தின் வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும். இதைச் செய்ய, நாங்கள் ஒரு நடிகர்களை உருவாக்குகிறோம் பகுத்தறிவு பின்னங்கள்ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு மற்றும் அதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்: . எனவே நாம் சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம்.

அடுத்த கட்டத்தில், நாம் −2·x−1=0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும். x=−1/2 ஐக் காண்கிறோம்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண் −1/2 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் புறம்பான ரூட் இல்லையா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, அசல் சமன்பாட்டின் x மாறியின் VA ஐ நீங்கள் சரிபார்க்கலாம் அல்லது கண்டறியலாம். இரண்டு அணுகுமுறைகளையும் விளக்குவோம்.

சரிபார்ப்பதில் இருந்து ஆரம்பிக்கலாம். x என்ற மாறிக்கு பதிலாக அசல் சமன்பாட்டில் −1/2 என்ற எண்ணை மாற்றுவோம், மேலும் அதையே −1=−1 பெறுகிறோம். மாற்றீடு சரியான எண் சமத்துவத்தை அளிக்கிறது, எனவே x=−1/2 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் வேர்.

இப்போது எப்படி என்பதைக் காண்பிப்போம் கடைசி புள்ளிஅல்காரிதம் ODZ மூலம் செய்யப்படுகிறது. அசல் சமன்பாட்டின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பு −1 மற்றும் 0 தவிர அனைத்து எண்களின் தொகுப்பாகும் (x=-1 மற்றும் x=0 இல் பின்னங்களின் பிரிவுகள் மறைந்துவிடும்). முந்தைய படியில் காணப்படும் ரூட் x=−1/2 ODZ க்கு சொந்தமானது, எனவே, x=−1/2 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் ரூட் ஆகும்.

பதில்:

−1/2 .

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

நாம் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும், அல்காரிதத்தின் அனைத்து படிகளையும் கடந்து செல்லலாம்.

முதலில், இந்த வார்த்தையை வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கம் நகர்த்துகிறோம், நமக்கு கிடைக்கும் .

இரண்டாவதாக, இடது பக்கத்தில் உருவான வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம்: . இதன் விளைவாக, நாம் x=0 சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம்.

அதன் வேர் வெளிப்படையானது - இது பூஜ்யம்.

நான்காவது கட்டத்தில், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மூலமானது அசல் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிற்கு புறம்பானதா என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும். இது அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும் போது, ​​வெளிப்பாடு பெறப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, இது பூஜ்ஜியத்தால் வகுபடுவதால் அர்த்தமில்லை. எங்கிருந்து 0 என்பது ஒரு புறம்பான வேர் என்று முடிவு செய்கிறோம். எனவே, அசல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

7, இது Eq க்கு வழிவகுக்கிறது. இதிலிருந்து இடது பக்கத்தின் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடு வலது பக்கத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது, . இப்போது நாம் மும்மடங்கின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் கழிக்கிறோம்: . ஒப்புமை மூலம், எங்கிருந்து, மேலும்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரண்டு வேர்களும் அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்பதை சரிபார்ப்பு காட்டுகிறது.

பதில்:

குறிப்புகள்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியது எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 8 ஆம் வகுப்பு. மதியம் 2 மணிக்கு பகுதி 1. மாணவர்களுக்கான பாடநூல் கல்வி நிறுவனங்கள்/ ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச். - 11வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• இயற்கணிதம்: 9 ஆம் வகுப்பு: கல்வி. பொது கல்விக்காக நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியது எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2009. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-021134-5.