5 இலிருந்து பாகுபாடு. ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு. முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

இந்த கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.

பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி, முழுமையானது மட்டுமே இருபடி சமன்பாடுகள், முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, பிற முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை "முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" என்ற கட்டுரையில் காணலாம்.

எந்த இருபடி சமன்பாடுகள் முழுமையானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன? இது கோடாரி 2 + b x + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகள், குணகங்கள் a, b மற்றும் c ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது. எனவே, ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க, நாம் பாகுபாடு D ஐ கணக்கிட வேண்டும்.

D = b 2 - 4ac.

பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் மதிப்பைப் பொறுத்து, பதிலை எழுதுவோம்.

பாகுபாடு எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால் (டி< 0),то корней нет.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், x = (-b)/2a. பாகுபாடு காட்டும்போது நேர்மறை எண்(D > 0),

பின்னர் x 1 = (-b - √D)/2a, மற்றும் x 2 = (-b + √D)/2a.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

பதில்: 2.

சமன்பாடு 2 ஐ தீர்க்கவும் x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

சமன்பாடு 2 ஐ தீர்க்கவும் x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

பதில்: – 3.5; 1.

எனவே படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வை கற்பனை செய்யலாம்.

இந்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் எந்த முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்கலாம். நீங்கள் தான் கவனமாக இருக்க வேண்டும் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்பட்டது

ஏ x 2 + bx + c,இல்லையெனில் நீங்கள் தவறு செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x + 3 + 2x 2 = 0 சமன்பாட்டை எழுதும்போது, ​​நீங்கள் அதை தவறாக முடிவு செய்யலாம்.

a = 1, b = 3 மற்றும் c = 2. பிறகு

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 பின்னர் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. மேலும் இது உண்மையல்ல. (மேலே உதாரணம் 2க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்).

எனவே, சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்படாவிட்டால், முதலில் முழுமையான இருபடி சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்பட வேண்டும் (பெரிய அடுக்குடன் கூடிய மோனோமியல் முதலில் வர வேண்டும், அதாவது ஏ x 2 , பின்னர் குறைவாக – bxபின்னர் ஒரு இலவச உறுப்பினர் உடன்.

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு மற்றும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை இரண்டாவது காலப்பகுதியில் சம குணகத்துடன் தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் மற்ற சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த சூத்திரங்களைப் பற்றி தெரிந்து கொள்வோம். ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டில் இரண்டாவது காலத்தின் குணகம் சமமாக (b = 2k) இருந்தால், படம் 2 இல் உள்ள வரைபடத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்கலாம்.

ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடு இல் குணகம் இருந்தால் குறைக்கப்படும் x 2 ஒன்றுக்கு சமம் மற்றும் சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது x 2 + px + q = 0. அத்தகைய சமன்பாடு தீர்வுக்கு கொடுக்கப்படலாம் அல்லது சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களையும் குணகத்தால் வகுப்பதன் மூலம் பெறலாம். ஏ, நின்று x 2 .

குறைக்கப்பட்ட சதுரத்தைத் தீர்ப்பதற்கான வரைபடத்தை படம் 3 காட்டுகிறது
சமன்பாடுகள். இந்த கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரங்களின் பயன்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம். சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

3x 2 + 6x – 6 = 0.

படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3

இந்த சமன்பாட்டில் x இன் குணகம் இருப்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம் சம எண், அதாவது, b = 6 அல்லது b = 2k, எங்கிருந்து k = 3. பிறகு D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = படத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம். 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3. இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து குணகங்களும் 3 ஆல் வகுபடுவதைக் கவனித்து, வகுத்தலைச் செய்தால், குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் x 2 + 2x – 2 = 0 குறைக்கப்பட்ட இருபடிக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
சமன்பாடுகள் படம் 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெவ்வேறு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​நாங்கள் அதே பதிலைப் பெற்றோம். எனவே, படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களை முழுமையாக தேர்ச்சி பெற்றால், எந்தவொரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டையும் நீங்கள் எப்போதும் தீர்க்க முடியும்.

blog.site, உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​அசல் மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

பலர் அவ்வாறு இல்லாததால் முதலில் இந்த தலைப்பு கடினமாகத் தோன்றலாம் எளிய சூத்திரங்கள். இருபடிச் சமன்பாடுகள் நீண்ட குறியீடுகளைக் கொண்டிருப்பது மட்டுமல்லாமல், வேர்கள் பாகுபாடு மூலமாகவும் காணப்படுகின்றன. மொத்தத்தில், மூன்று புதிய சூத்திரங்கள் பெறப்படுகின்றன. நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது அல்ல. இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை அடிக்கடி தீர்த்த பின்னரே இது சாத்தியமாகும். அப்போது எல்லா ஃபார்முலாக்களும் தானே நினைவில் இருக்கும்.

இருபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான பார்வை

பெரிய பட்டம் முதலில் எழுதப்படும்போது, ​​பின்னர் இறங்குவரிசையில் அவற்றின் வெளிப்படையான பதிவை இங்கே நாங்கள் முன்மொழிகிறோம். விதிமுறைகள் சீரற்றதாக இருக்கும்போது பெரும்பாலும் சூழ்நிலைகள் உள்ளன. பின்னர் சமன்பாட்டை மாறியின் பட்டத்தின் இறங்கு வரிசையில் மீண்டும் எழுதுவது நல்லது.

சில குறிப்புகளை அறிமுகப்படுத்துவோம். அவை கீழே உள்ள அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

இந்தக் குறியீடுகளை நாம் ஏற்றுக்கொண்டால், அனைத்து இருபடிச் சமன்பாடுகளும் பின்வரும் குறிப்பிற்குக் குறைக்கப்படும்.

மேலும், குணகம் a ≠ 0. இந்த சூத்திரம் முதலிடத்தில் இருக்கட்டும்.

ஒரு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், பதிலில் எத்தனை வேர்கள் இருக்கும் என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. ஏனெனில் மூன்று விருப்பங்களில் ஒன்று எப்போதும் சாத்தியமாகும்:

• தீர்வு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்;
• பதில் ஒரு எண்ணாக இருக்கும்;
• சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருக்காது.

முடிவு முடிவடையும் வரை, ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில் எந்த விருப்பம் தோன்றும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கடினம்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் பதிவுகளின் வகைகள்

பணிகளில் வெவ்வேறு உள்ளீடுகள் இருக்கலாம். அவை எப்போதும் பொதுவான இருபடி சமன்பாடு சூத்திரம் போல் இருக்காது. சில சமயங்களில் சில விதிமுறைகள் இல்லாமல் போகும். மேலே எழுதப்பட்டவை முழுமையான சமன்பாடு. அதில் உள்ள இரண்டாவது அல்லது மூன்றாவது பதத்தை நீக்கினால், வேறு ஏதாவது கிடைக்கும். இந்த பதிவுகள் இருபடி சமன்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, முழுமையற்றவை.

மேலும், "b" மற்றும் "c" குணகங்களைக் கொண்ட சொற்கள் மட்டுமே மறைந்துவிடும். எந்த சூழ்நிலையிலும் "a" எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. ஏனெனில் இந்த வழக்கில் சூத்திரம் நேரியல் சமன்பாடாக மாறும். சமன்பாடுகளின் முழுமையற்ற வடிவத்திற்கான சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு இருக்கும்:

எனவே, இரண்டு வகைகள் மட்டுமே உள்ளன, மேலும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளும் உள்ளன. முதல் சூத்திரம் எண் இரண்டாகவும், இரண்டாவது - மூன்றாகவும் இருக்கட்டும்.

அதன் மதிப்பில் வேர்களின் எண்ணிக்கையின் பாகுபாடு மற்றும் சார்பு

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிட இந்த எண்ணை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இருபடிச் சமன்பாட்டின் சூத்திரம் எதுவாக இருந்தாலும் அதை எப்போதும் கணக்கிடலாம். பாகுபாட்டைக் கணக்கிட, கீழே எழுதப்பட்ட சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அதில் எண் நான்கு இருக்கும்.

இந்த சூத்திரத்தில் குணக மதிப்புகளை மாற்றிய பின், நீங்கள் எண்களைப் பெறலாம் வெவ்வேறு அறிகுறிகள். பதில் ஆம் எனில், சமன்பாட்டிற்கான பதில் இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களாக இருக்கும். மணிக்கு எதிர்மறை எண்இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் காணாமல் போகும். பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், ஒரே ஒரு பதில் மட்டுமே இருக்கும்.

ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

உண்மையில், இந்த பிரச்சினையின் பரிசீலனை ஏற்கனவே தொடங்கிவிட்டது. ஏனென்றால் முதலில் நீங்கள் ஒரு பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் உள்ளன என்பதைத் தீர்மானித்த பிறகு, அவற்றின் எண்ணிக்கை அறியப்பட்ட பிறகு, நீங்கள் மாறிகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இரண்டு வேர்கள் இருந்தால், நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

அதில் "±" குறி இருப்பதால், இரண்டு அர்த்தங்கள் இருக்கும். வர்க்க மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு பாகுபாடு ஆகும். எனவே, சூத்திரத்தை வேறு விதமாக மாற்றி எழுதலாம்.

ஃபார்முலா எண் ஐந்து. பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இரண்டு வேர்களும் ஒரே மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பது ஒரே பதிவிலிருந்து தெளிவாகிறது.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது இன்னும் செயல்படவில்லை என்றால், பாகுபாடு மற்றும் மாறி சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு அனைத்து குணகங்களின் மதிப்புகளையும் எழுதுவது நல்லது. பின்னர் இந்த தருணம் சிரமங்களை ஏற்படுத்தாது. ஆனால் ஆரம்பத்திலேயே குழப்பம்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

இங்கே எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. கூடுதல் சூத்திரங்கள் கூட தேவையில்லை. மேலும் பாகுபாடு காட்டுபவர்கள் மற்றும் தெரியாதவர்களுக்காக ஏற்கனவே எழுதப்பட்டவை தேவையில்லை.

முதலில் கருத்தில் கொள்வோம் முழுமையற்ற சமன்பாடுஎண் இரண்டில். இந்த சமத்துவத்தில், தெரியாத அளவை அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்து, அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும் நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது அவசியம். பதில் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். முதல் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், ஏனென்றால் மாறியைக் கொண்ட ஒரு பெருக்கி உள்ளது. இரண்டாவது ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படும்.

முழுமையற்ற சமன்பாடு எண் மூன்று சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திலிருந்து வலதுபுறமாக எண்ணை நகர்த்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது. அறியப்படாததை எதிர்கொள்ளும் குணகத்தால் நீங்கள் வகுக்க வேண்டும். எஞ்சியிருப்பது வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்து, எதிரெதிர் அடையாளங்களுடன் இரண்டு முறை எழுத நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

இருபடி சமன்பாடுகளாக மாறும் அனைத்து வகையான சமத்துவங்களையும் எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிய உதவும் சில செயல்கள் கீழே உள்ளன. கவனக்குறைவால் ஏற்படும் தவறுகளைத் தவிர்க்க அவை மாணவர்களுக்கு உதவும். இந்த குறைபாடுகள் விரிவான தலைப்பைப் படிக்கும் போது மோசமான தரங்களை ஏற்படுத்தலாம் "கிரேடு 8)." பின்னர், இந்த செயல்களை தொடர்ந்து செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. ஏனெனில் ஒரு நிலையான திறமை தோன்றும்.

• முதலில் நீங்கள் சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்தில் எழுத வேண்டும். அதாவது, முதலில் மாறியின் மிகப்பெரிய பட்டம் கொண்ட சொல், பின்னர் - ஒரு பட்டம் இல்லாமல், கடைசியாக - ஒரு எண்.

• குணகம் "a" க்கு முன் ஒரு கழித்தல் தோன்றினால், அது இருபடி சமன்பாடுகளைப் படிக்கும் ஒரு தொடக்கக்காரரின் வேலையை சிக்கலாக்கும். அதிலிருந்து விடுபடுவது நல்லது. இந்த நோக்கத்திற்காக, அனைத்து சமத்துவமும் "-1" ஆல் பெருக்கப்பட வேண்டும். இதன் பொருள் அனைத்து விதிமுறைகளும் எதிர் குறியை மாற்றும்.

• அதே வழியில் பின்னங்களை அகற்ற பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டை பொருத்தமான காரணியால் பெருக்கவும், இதனால் பிரிவுகள் ரத்து செய்யப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பின்வரும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இது தேவைப்படுகிறது:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

முதல் சமன்பாடு: x 2 - 7x = 0. இது முழுமையடையாதது, எனவே சூத்திர எண் இரண்டுக்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி இது தீர்க்கப்படுகிறது.

அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்த பிறகு, அது மாறிவிடும்: x (x - 7) = 0.

முதல் ரூட் மதிப்பை எடுக்கும்: x 1 = 0. இரண்டாவது இதிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்படும் நேரியல் சமன்பாடு: x - 7 = 0. x 2 = 7 என்று பார்ப்பது எளிது.

இரண்டாவது சமன்பாடு: 5x 2 + 30 = 0. மீண்டும் முழுமையற்றது. மூன்றாவது சூத்திரத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி மட்டுமே இது தீர்க்கப்படுகிறது.

சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு 30 ஐ நகர்த்திய பிறகு: 5x 2 = 30. இப்போது நீங்கள் 5 ஆல் வகுக்க வேண்டும். அது மாறிவிடும்: x 2 = 6. பதில்கள் எண்களாக இருக்கும்: x 1 = √6, x 2 = - √6.

மூன்றாவது சமன்பாடு: 15 - 2x - x 2 = 0. இருபடி சமன்பாடுகளை நிலையான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவதன் மூலம் அவற்றைத் தீர்ப்பது தொடங்கும்: − x 2 - 2x + 15 = 0. இப்போது இரண்டாவது பயன்படுத்த வேண்டிய நேரம் இது. பயனுள்ள ஆலோசனைஎல்லாவற்றையும் கழித்தல் ஒன்றால் பெருக்கவும். இது x 2 + 2x - 15 = 0. நான்காவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பாகுபாடு கணக்கிட வேண்டும்: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. இது ஒரு நேர்மறை எண். மேலே கூறப்பட்டவற்றிலிருந்து, சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்று மாறிவிடும். ஐந்தாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கணக்கிட வேண்டும். அது x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. பின்னர் x 1 = 3, x 2 = - 5.

நான்காவது சமன்பாடு x 2 + 8 + 3x = 0 இவ்வாறு மாற்றப்படுகிறது: x 2 + 3x + 8 = 0. அதன் பாகுபாடு இந்த மதிப்புக்கு சமம்: -23. இந்த எண் எதிர்மறையாக இருப்பதால், இந்த பணிக்கான பதில் பின்வரும் நுழைவாக இருக்கும்: "வேர்கள் இல்லை."

ஐந்தாவது சமன்பாடு 12x + x 2 + 36 = 0 பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்பட வேண்டும்: x 2 + 12x + 36 = 0. பாகுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திய பிறகு, எண் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுகிறது. இது ஒரு ரூட்டைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது: x = -12/ (2 * 1) = -6.

ஆறாவது சமன்பாட்டிற்கு (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) உருமாற்றங்கள் தேவை, நீங்கள் ஒரே மாதிரியான சொற்களைக் கொண்டு வர வேண்டும், முதலில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டும். முதல் இடத்தில் பின்வரும் வெளிப்பாடு இருக்கும்: x 2 + 2x + 1. சமத்துவத்திற்குப் பிறகு, இந்த உள்ளீடு தோன்றும்: x 2 + 3x + 2. ஒத்த சொற்கள் கணக்கிடப்பட்ட பிறகு, சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: x 2 - x = 0. இது முழுமையடையாது . இதைப் போன்ற ஒன்று ஏற்கனவே கொஞ்சம் அதிகமாக விவாதிக்கப்பட்டது. இதன் வேர்கள் 0 மற்றும் 1 எண்களாக இருக்கும்.

சமன்பாடுகளின் பயன்பாடு நம் வாழ்வில் பரவலாக உள்ளது. அவை பல கணக்கீடுகள், கட்டமைப்புகளின் கட்டுமானம் மற்றும் விளையாட்டுகளில் கூட பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பழங்காலத்தில் மனிதன் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தினான், அதன்பிறகு அவற்றின் பயன்பாடு அதிகரித்தது. பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்ட ஒரு பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க பாரபட்சம் உங்களை அனுமதிக்கிறது:

பாகுபாடு சூத்திரம் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவைப் பொறுத்தது. மேற்கூறிய சூத்திரம் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு ஏற்றது பின்வரும் வகை:

நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய பின்வரும் பண்புகளை பாரபட்சம் கொண்டவர்:

பல்லுறுப்புக்கோவை பல வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் போது "D" என்பது 0 க்கு சமம் (சம வேர்கள்);

* "D" என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைப் பொறுத்து ஒரு சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், எனவே அதன் குணகங்களில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்; மேலும், இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் வேர்கள் எந்த நீட்டிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல் முழு எண்களாகும்.

பின்வரும் படிவத்தின் இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

1 சமன்பாடு

எங்களிடம் உள்ள சூத்திரத்தின் படி:

\ என்பதால், சமன்பாடு 2 வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றை வரையறுப்போம்:

பாரபட்சமான ஆன்லைன் தீர்வைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை நான் எங்கே தீர்க்க முடியும்?

எங்கள் வலைத்தளமான https://site இல் நீங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம். இலவச ஆன்லைன் தீர்வி சில நொடிகளில் எந்தவொரு சிக்கலான ஆன்லைன் சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும். நீங்கள் செய்ய வேண்டியது உங்கள் தரவை தீர்வியில் உள்ளிடுவது மட்டுமே. நீங்கள் வீடியோ வழிமுறைகளைப் பார்க்கலாம் மற்றும் எங்கள் இணையதளத்தில் சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கண்டறியலாம், மேலும் உங்களிடம் ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால், அவற்றை எங்கள் VKontakte குழு http://vk.com/pocketteacher இல் கேட்கலாம். எங்கள் குழுவில் சேரவும், உங்களுக்கு உதவ நாங்கள் எப்போதும் மகிழ்ச்சியடைகிறோம்.

இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்தில் பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது இருபடிச் சமன்பாடுகள் அடிக்கடி தோன்றும். இந்த சமத்துவங்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இந்த கட்டுரையில் பார்ப்போம் ஒரு உலகளாவிய வழியில்"பாகுபாடு காட்டுபவர் மூலம்". பெற்ற அறிவைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளும் கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

நாம் என்ன சமன்பாடுகளைப் பற்றி பேசுவோம்?

கீழே உள்ள படம் ஒரு சூத்திரத்தைக் காட்டுகிறது, இதில் x என்பது அறியப்படாத மாறி மற்றும் லத்தீன் குறியீடுகள் a, b, c சில அறியப்பட்ட எண்களைக் குறிக்கும்.

இந்த குறியீடுகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, "a" என்ற எண் மாறி x ஸ்கொயர்டுக்கு முன் தோன்றும். இது அதிகபட்ச பட்டம்கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாடு, எனவே இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் பிற பெயர் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது: இரண்டாம் வரிசை சமன்பாடு. மதிப்பு a என்பது ஒரு சதுர குணகம் (மாறி வர்க்கத்துடன் நிற்கிறது), b என்பது ஒரு நேரியல் குணகம் (இது முதல் சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட மாறிக்கு அடுத்தது), இறுதியாக, எண் c என்பது இலவச சொல்.

மேலே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சமன்பாட்டின் வகை ஒரு பொதுவான கிளாசிக்கல் இருபடி வெளிப்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இது தவிர, மற்ற இரண்டாம் வரிசை சமன்பாடுகள் உள்ளன, இதில் குணகங்கள் b மற்றும் c பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம்.

கேள்விக்குரிய சமத்துவத்தைத் தீர்க்க பணி அமைக்கப்பட்டால், x மாறியின் அத்தகைய மதிப்புகள் அதைத் திருப்திப்படுத்தும் என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும் என்பதாகும். இங்கே, நீங்கள் முதலில் நினைவில் கொள்ள வேண்டியது பின்வரும் விஷயம்: X இன் அதிகபட்ச அளவு 2 என்பதால், இந்த வகை வெளிப்பாடு 2 க்கும் மேற்பட்ட தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்க முடியாது. அதாவது, ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​அதை திருப்திப்படுத்தும் x இன் 2 மதிப்புகள் கண்டறியப்பட்டால், 3 வது எண் இல்லை என்பதை நீங்கள் உறுதியாக நம்பலாம், அதை x க்கு மாற்றாக, சமத்துவமும் உண்மையாக இருக்கும். கணிதத்தில் ஒரு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் அதன் வேர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

இந்த வகை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு அவற்றைப் பற்றிய சில கோட்பாடுகளின் அறிவு தேவை. பள்ளி இயற்கணித பாடத்தில் அவர்கள் 4 ஐக் கருதுகின்றனர் பல்வேறு முறைகள்தீர்வுகள். அவற்றை பட்டியலிடுவோம்:

• காரணியாக்கத்தைப் பயன்படுத்துதல்;
• சரியான சதுரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல்;
• தொடர்புடைய இருபடி செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம்;
• பாகுபாடு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துதல்.

முதல் முறையின் நன்மை அதன் எளிமை, இருப்பினும், அதை அனைத்து சமன்பாடுகளுக்கும் பயன்படுத்த முடியாது. இரண்டாவது முறை உலகளாவியது, ஆனால் சற்றே சிக்கலானது. மூன்றாவது முறை அதன் தெளிவு மூலம் வேறுபடுகிறது, ஆனால் அது எப்போதும் வசதியானது மற்றும் பொருந்தாது. இறுதியாக, பாரபட்சமான சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவது எந்தவொரு இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய உலகளாவிய மற்றும் மிகவும் எளிமையான வழியாகும். எனவே, கட்டுரையில் நாம் அதை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம்.

சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பெறுவதற்கான சூத்திரம்

திரும்புவோம் பொது தோற்றம்இருபடி சமன்பாடு. அதை எழுதுவோம்: a*x²+ b*x + c =0. "ஒரு பாகுபாடு மூலம்" அதைத் தீர்க்கும் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன், நீங்கள் எப்போதும் சமத்துவத்தை அதன் எழுத்து வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும். அதாவது, இது மூன்று சொற்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் (அல்லது b அல்லது c என்றால் 0).

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வெளிப்பாடு இருந்தால்: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², நீங்கள் முதலில் அதன் அனைத்து விதிமுறைகளையும் சமத்துவத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு நகர்த்தி, x மாறியைக் கொண்ட விதிமுறைகளைச் சேர்க்க வேண்டும். அதே அதிகாரங்கள்.

இந்த வழக்கில், இந்த செயல்பாடு வழிவகுக்கும் பின்வரும் வெளிப்பாடு: -6*x²-4*x+8=0, இது 6*x²+4*x-8=0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம் (இங்கு சமத்துவத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை -1 ஆல் பெருக்கினோம்).

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், a = 6, b=4, c=-8. பரிசீலனையில் உள்ள சமத்துவத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளும் எப்பொழுதும் ஒன்றாகச் சுருக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே "-" அடையாளம் தோன்றினால், இந்த வழக்கில் உள்ள எண்ணைப் போலவே தொடர்புடைய குணகம் எதிர்மறையாக இருக்கும்.

இந்த புள்ளியை ஆராய்ந்த பின்னர், இப்போது சூத்திரத்திற்கு செல்வோம், இது ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பெறுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. கீழே உள்ள புகைப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது போல் தெரிகிறது.

இந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து பார்க்க முடிந்தால், இது இரண்டு வேர்களைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது ("±" அடையாளத்திற்கு கவனம் செலுத்துங்கள்). இதைச் செய்ய, b, c மற்றும் a ஆகிய குணகங்களை மாற்றினால் போதும்.

ஒரு பாகுபாடு பற்றிய கருத்து

முந்தைய பத்தியில், இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டை விரைவாக தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும் ஒரு சூத்திரம் கொடுக்கப்பட்டது. அதில், தீவிர வெளிப்பாடு ஒரு பாரபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது, D = b²-4*a*c.

சூத்திரத்தின் இந்த பகுதி ஏன் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளது, ஏன் அதன் சொந்த பெயரைக் கொண்டுள்ளது? உண்மை என்னவென்றால், பாகுபாடு காண்பவர் சமன்பாட்டின் மூன்று குணகங்களையும் ஒரே வெளிப்பாடாக இணைக்கிறார். கடைசி உண்மைஇது வேர்களைப் பற்றிய தகவல்களை முழுமையாகக் கொண்டுள்ளது, இது பின்வரும் பட்டியலில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்:

1. D>0: சமத்துவம் 2 வெவ்வேறு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, இவை இரண்டும் உண்மையான எண்கள்.
2. D=0: சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு ரூட் மட்டுமே உள்ளது, அது ஒரு உண்மையான எண்.

பாரபட்சமான தீர்மானம் பணி

ஒரு பாகுபாட்டை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதற்கு ஒரு எளிய உதாரணம் தருவோம். பின்வரும் சமத்துவம் கொடுக்கப்பட வேண்டும்: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

அதை கொண்டு வருவோம் நிலையான பார்வை, நாம் பெறுவது: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, இதிலிருந்து நாம் சமத்துவத்திற்கு வருகிறோம்: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. இங்கே a=-2, b=2, c=-11.

இப்போது நீங்கள் பாகுபாட்டிற்கு மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. இதன் விளைவாக வரும் எண் பணிக்கான பதில். உதாரணத்தில் இருந்து பாகுபாடு காட்டுபவர் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக, இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று நாம் கூறலாம். அதன் தீர்வு சிக்கலான வகை எண்கள் மட்டுமே.

ஒரு பாகுபாட்டின் மூலம் சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு

சற்று வித்தியாசமான வகையிலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்: சமத்துவம் -3*x²-6*x+c = 0. D>0க்கான c இன் மதிப்புகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

இந்த வழக்கில், 3 குணகங்களில் 2 மட்டுமே அறியப்படுகிறது, எனவே பாகுபாட்டின் சரியான மதிப்பைக் கணக்கிட முடியாது, ஆனால் அது நேர்மறையானது என்று அறியப்படுகிறது. சமத்துவமின்மையை உருவாக்கும் போது கடைசி உண்மையைப் பயன்படுத்துகிறோம்: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. விளைந்த சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது விளைவுக்கு வழிவகுக்கிறது: c>-3.

இதன் விளைவாக வரும் எண்ணைச் சரிபார்ப்போம். இதைச் செய்ய, 2 நிகழ்வுகளுக்கு D ஐ கணக்கிடுகிறோம்: c=-2 மற்றும் c=-4. எண் -2 பெறப்பட்ட முடிவை (-2>-3) திருப்திப்படுத்துகிறது, தொடர்புடைய பாகுபாடு மதிப்பு: D = 12>0. இதையொட்டி, எண் -4 சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யாது (-4. எனவே, -3 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் எந்த எண்களும் c நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

பாகுபாட்டைக் கண்டறிவது மட்டுமல்லாமல், சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதையும் உள்ளடக்கிய ஒரு சிக்கலை முன்வைப்போம். சமத்துவத்திற்கான வேர்களைக் கண்டறிவது அவசியம் -2*x²+7-9*x = 0.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், பாகுபாடு பின்வரும் மதிப்புக்கு சமம்: D = 81-4*(-2)*7= 137. பின்னர் சமன்பாட்டின் வேர்கள் பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகின்றன: x = (9±√137)/(- 4) இவை வேர்களின் சரியான மதிப்புகள்;

வடிவியல் சிக்கல்

பாகுபாட்டைக் கணக்கிடும் திறன் மட்டுமல்ல, திறன்களின் பயன்பாடும் தேவைப்படும் சிக்கலை நாங்கள் தீர்ப்போம். சுருக்க சிந்தனைமற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு எழுதுவது என்பது பற்றிய அறிவு.

பாப் 5 x 4 மீட்டர் டூவெட் வைத்திருந்தார். சிறுவன் அதன் முழு சுற்றளவிலும் ஒரு தொடர்ச்சியான அழகிய துணியை தைக்க விரும்பினான். பாப்பில் 10 m² துணி உள்ளது என்று தெரிந்தால், இந்த துண்டு எவ்வளவு தடிமனாக இருக்கும்.

துண்டு x மீ தடிமன் இருக்கட்டும், பின்னர் போர்வையின் நீண்ட பக்கத்திலுள்ள துணியின் பரப்பளவு (5+2*x)*x ஆக இருக்கும், மேலும் 2 நீண்ட பக்கங்கள் இருப்பதால், நம்மிடம் உள்ளது: 2*x *(5+2*x). குறுகிய பக்கத்தில், தைக்கப்பட்ட துணியின் பரப்பளவு 4*x ஆக இருக்கும், இதில் 2 பக்கங்கள் இருப்பதால், 8*x மதிப்பைப் பெறுகிறோம். போர்வையின் நீளம் அந்த எண்ணால் அதிகரித்ததால், நீண்ட பக்கத்தில் 2*x சேர்க்கப்பட்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். போர்வையில் தைக்கப்பட்ட துணியின் மொத்த பரப்பளவு 10 m² ஆகும். எனவே, நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், பாரபட்சம் இதற்கு சமம்: D = 18²-4*4*(-10) = 484. அதன் ரூட் 22. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, தேவையான வேர்களைக் காண்கிறோம்: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). வெளிப்படையாக, இரண்டு வேர்களில், 0.5 என்ற எண் மட்டுமே சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப பொருத்தமானது.

இதனால், பாப் தனது போர்வையில் தைக்கும் துணி துண்டு 50 செ.மீ அகலத்தில் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, டிரினோமியலுக்கு \(3x^2+2x-7\), பாரபட்சமானது \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\)க்கு சமமாக இருக்கும். மற்றும் முக்கோணத்திற்கு \(x^2-5x+11\), இது \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)க்கு சமமாக இருக்கும்.

பாகுபாடு என்பது \(D\) என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் பெரும்பாலும் தீர்க்க பயன்படுகிறது. மேலும், பாகுபாடு காண்பவரின் மதிப்பின் மூலம், வரைபடம் தோராயமாக எப்படி இருக்கும் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளலாம் (கீழே காண்க).

இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு மற்றும் வேர்கள்

பாகுபாடு மதிப்பு இருபடி சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது:
- \(D\) நேர்மறையாக இருந்தால், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்;
- \(D\) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் - ஒரே ஒரு ரூட் மட்டுமே உள்ளது;
- \(D\) எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை.

இதை கற்பிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, பாகுபாடு காட்டுபவர்களிடமிருந்து (அதாவது \(\sqrt(D)\) ஒரு இருபடியின் வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது என்பதை அறிந்தால், அத்தகைய முடிவுக்கு வருவது கடினம் அல்ல. சமன்பாடு: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) மற்றும் \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) மேலும் விவரங்கள் ஒவ்வொன்றையும் பார்க்கலாம்.

பாகுபாடு பாசிட்டிவ் என்றால்

இந்த வழக்கில், அதன் மூலமானது சில நேர்மறை எண்ணாகும், அதாவது \(x_(1)\) மற்றும் \(x_(2)\) வெவ்வேறு அர்த்தங்களைக் கொண்டிருக்கும், ஏனெனில் முதல் சூத்திரத்தில் \(\sqrt(D)\ ) சேர்க்கப்பட்டது, மற்றும் இரண்டாவது அது கழிக்கப்படுகிறது. மேலும் எங்களுக்கு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்கள் உள்ளன.

உதாரணம் : சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் \(x^2+2x-3=0\)
தீர்வு :

பதில் : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால்

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் எத்தனை வேர்கள் இருக்கும்? பகுத்தறிவோம்.

மூல சூத்திரங்கள் இப்படி இருக்கும்: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) மற்றும் \(x_(2)=\)\(\frac(-- b- \sqrt(D))(2a)\) . மேலும் பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதன் மூலமும் பூஜ்ஜியமாகும். பின்னர் அது மாறிவிடும்:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

அதாவது, சமன்பாட்டின் வேர்களின் மதிப்புகள் ஒத்துப்போகின்றன, ஏனென்றால் பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டுவது அல்லது கழிப்பது எதையும் மாற்றாது.

உதாரணம் : சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் \(x^2-4x+4=0\)
தீர்வு :

பதில் : \(x=2\)