ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்க திட்டம். சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் பெசலின் சமத்துவமின்மை பார்செவலின் சமத்துவம்

பொது மற்றும் தொழிற்கல்வி அமைச்சகம்

சோச்சி மாநில பல்கலைக்கழகம்சுற்றுலா

மற்றும் ரிசார்ட் வணிகம்

கல்வியியல் நிறுவனம்

கணித பீடம்

பொதுக் கணிதத் துறை

டிப்ளமோ ஆய்வறிக்கை

ஃபோரியர் தொடர் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாடுகள்

கணித இயற்பியலில்.

முடித்தவர்: 5ம் ஆண்டு மாணவர்

முழுநேர கல்வியின் கையொப்பம்

சிறப்பு 010100

"கணிதம்"

காஸ்பெரோவா என்.எஸ்.

மாணவர் ஐடி எண். 95471

அறிவியல் மேற்பார்வையாளர்: இணை பேராசிரியர், வேட்பாளர்.

தொழில்நுட்ப கையொப்பம் அறிவியல்

போசின் பி.ஏ.

சோச்சி, 2000

1. அறிமுகம்.

2. கருத்து ஃபோரியர் தொடர்.

2.1 ஃபோரியர் தொடர் குணகங்களை தீர்மானித்தல்.

2.2 கால செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்.

3. ஃபோரியர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் அறிகுறிகள்.

3.1 ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாடுகளை விரிவாக்குவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

4. காலச் செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் பற்றிய குறிப்பு

5. சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளுக்கான ஃபோரியர் தொடர்.

6. காலம் 2 உடன் செயல்பாடுகளுக்கான ஃபோரியர் தொடர் எல் .

7. காலமுறை அல்லாத செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம்.

அறிமுகம்.

ஜீன் பாப்டிஸ்ட் ஜோசப் ஃபோரியர் - பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர், பாரிஸ் அகாடமி ஆஃப் சயின்ஸின் உறுப்பினர் (1817).

இயற்கணிதம் தொடர்பான ஃபோரியரின் முதல் படைப்புகள். ஏற்கனவே 1796 விரிவுரைகளில் அவர் உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கையில் ஒரு தேற்றத்தை முன்வைத்தார் இயற்கணித சமன்பாடுஇந்த எல்லைகளுக்கு இடையே பொய் (1820 வெளியிடப்பட்டது), அவரது பெயரிடப்பட்டது; முழுமையான தீர்வுஇயற்கணித சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கை 1829 இல் J.S.F ஆல் பெறப்பட்டது. தாக்குதலால். 1818 ஆம் ஆண்டில், ஃபோரியர் நியூட்டனால் உருவாக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் எண்ணியல் தீர்வு முறையின் பொருந்தக்கூடிய நிலைமைகளின் கேள்வியை ஆராய்ந்தார், 1768 ஆம் ஆண்டில் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஜே.ஆர். முரைலேம். ஃபோரியரின் பணியின் முடிவு எண் முறைகள்சமன்பாடுகளின் தீர்வு "குறிப்பிட்ட சமன்பாடுகளின் பகுப்பாய்வு" ஆகும், இது மரணத்திற்குப் பின் 1831 இல் வெளியிடப்பட்டது.

ஃபோரியரின் முக்கிய ஆய்வுப் பகுதி கணித இயற்பியல். 1807 மற்றும் 1811 இல் அவர் பாரிஸ் அகாடமி ஆஃப் சயின்ஸுக்கு தனது முதல் கண்டுபிடிப்புகளை வெப்பப் பரவல் கோட்பாட்டிற்கு வழங்கினார். திடமான உடல், மற்றும் 1822 ஆம் ஆண்டில் அவர் "வெப்பத்தின் பகுப்பாய்வுக் கோட்பாடு" என்ற புகழ்பெற்ற படைப்பை வெளியிட்டார், இது கணிதத்தின் அடுத்தடுத்த வரலாற்றில் முக்கிய பங்கு வகித்தது. இந்த - கணிதக் கோட்பாடுவெப்ப கடத்துத்திறன். முறையின் பொதுமையால் இந்நூல் அனைத்திற்கும் ஆதாரமாக அமைந்தது நவீன முறைகள்கணித இயற்பியல். இந்த வேலையில், ஃபோரியர் பெறப்பட்டது வேறுபட்ட சமன்பாடுவெப்ப கடத்துத்திறன் மற்றும் மிகவும் வளர்ந்த யோசனைகள் பொதுவான அவுட்லைன்டி. பெர்னௌல்லியால் முன்னர் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டது, சில குறிப்பிட்ட எல்லை நிலைமைகளின் கீழ் வெப்பச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க மாறிகளை (ஃபோரியர் முறை) பிரிப்பதற்கான ஒரு முறையை உருவாக்கினார், அதை அவர் பல சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு (கியூப், சிலிண்டர், முதலியன) பயன்படுத்தினார். இந்த முறை முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடரின் செயல்பாடுகளின் பிரதிநிதித்துவத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

எல்லை மதிப்பு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் ஃபோரியர் தொடர்கள் இப்போது நன்கு வளர்ந்த கருவியாக மாறியுள்ளன.

1. ஃபோரியர் தொடரின் கருத்து.

(பக்கம் 94, உவரென்கோவ்) ஃபோரியர் தொடர்கள் கணித இயற்பியல், நெகிழ்ச்சி கோட்பாடு, மின் பொறியியல் மற்றும் குறிப்பாக அவற்றின் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது.சிறப்பு வழக்கு

- முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர்.

முக்கோணவியல் தொடர் என்பது வடிவத்தின் தொடர் ஆகும்

அல்லது, குறியீடாக:

ω, a 0, a 1, …, a n, ..., b 0, b 1, ..., b n, … ஆகியவை நிலையான எண்கள் (ω>0). , இயற்பியலில் சில சிக்கல்கள் வரலாற்று ரீதியாக இத்தகைய தொடர்களின் ஆய்வுக்கு வழிவகுத்தன, உதாரணமாக, சரம் அதிர்வுகளின் சிக்கல் (18 ஆம் நூற்றாண்டு), வெப்ப கடத்துத்திறன் நிகழ்வுகளில் உள்ள ஒழுங்குமுறைகளின் சிக்கல், முதலியன. பயன்பாடுகளில், முக்கோணவியல் தொடர்களைக் கருத்தில் கொள்ளுதல்.

, பெரும்பாலும் எண்ணற்ற எண்ணிக்கையில் எடுக்கப்படுகிறது, அதாவது, படிவத்தின் (1) தொடரின் கூட்டுத்தொகையாக.

எனவே, நாம் பின்வரும் சிக்கலுக்கு வருகிறோம்: கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு ƒ(x) கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் ஒரு தொடர் (1) உள்ளதா என்பதைக் கண்டறிய, இந்த இடைவெளியில் இந்தச் சார்புடன் ஒன்றிணைகிறது. இது சாத்தியமானால், இந்த இடைவெளியில் ƒ(x) சார்பு ஒரு முக்கோணவியல் தொடராக விரிவடைகிறது என்று கூறுகிறார்கள்.

இந்தத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை, பின்னர் எங்களிடம் உள்ளது

, அதாவது S(x 0 +T)=S(x 0). எனவே, சில செயல்பாடு ƒ(x) ஒரு படிவத்தின் (1) தொடராக விரிவடைவதைப் பற்றி பேசுகையில், நாம் ƒ(x) ஒரு காலச் சார்பு என்று கருதுவோம்.

2. ஃபோரியர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி தொடர் குணகங்களைத் தீர்மானித்தல்.

இந்த சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் உள்ள செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு, இந்தத் தொடரின் விதிமுறைகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் தொடரின் குணகங்களால் ஆன எண் தொடர் முற்றிலும் ஒன்றிணைந்ததாக இருக்கும், அதாவது நேர்மறை எண் தொடர் ஒன்றிணைகிறது என்று நாம் கருதினால் இது உண்மையாக இருக்கும்.

தொடர் (1) பெரிதாக்கக்கூடியது மற்றும் கால இடைவெளியில் (-π, π) காலத்தின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைக்கப்படலாம். சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம் (2):

வலது புறத்தில் தோன்றும் ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பையும் தனித்தனியாக மதிப்பிடுவோம்:

இவ்வாறு,

ஃபோரியர் குணகங்களின் மதிப்பீடு.

(புக்ரோவ்) தேற்றம் 1. காலம் 2π இன் ƒ(x) சார்பு ஒரு தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல் ƒ ( s) (x) ஒழுங்கு

s, முழு உண்மையான அச்சில் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது:

│ ƒ (கள்) (x)│≤ எம் எஸ் ; (5) ƒ பின்னர் செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் குணகங்கள்

சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யுங்கள்

ஆதாரம். பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைத்தல் மற்றும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது

ƒ(-π) = ƒ(π), எங்களிடம் உள்ளது ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) என்ற வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியாகவும் எடுக்கவும் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, (7) இன் வலது பக்கத்தை தொடர்ச்சியாக ஒருங்கிணைத்தல்அதே மதிப்புகள்

புள்ளிகளில் t = -π மற்றும் t = π, அதே போல் மதிப்பீடு (5), நாம் முதல் மதிப்பீட்டை (6) பெறுகிறோம்.

இரண்டாவது மதிப்பீடு (6) இதே வழியில் பெறப்பட்டது. தேற்றம் 2.

ஃபோரியர் குணகங்களுக்கு ƒ(x) பின்வரும் சமத்துவமின்மை உள்ளது:

ஆதாரம். எங்களிடம் உள்ளது

காலம் 2π உடன் காலமுறை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர். ஃபோரியர் தொடர், காலச் செயல்பாடுகளைக் கூறுகளாகச் சிதைப்பதன் மூலம் அவற்றைப் படிக்க அனுமதிக்கிறது.மாற்று நீரோட்டங்கள் மற்றும் மன அழுத்தம், இடப்பெயர்ச்சி, வேகம் மற்றும் கிராங்க் பொறிமுறைகளின் முடுக்கம் மற்றும் ஒலி அலைகள் ஆகியவை பொதுவானவைநடைமுறை உதாரணங்கள்

பொறியியல் கணக்கீடுகளில் காலமுறை செயல்பாடுகளின் பயன்பாடு. ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் என்பது அனைவரும் கொண்டிருக்கும் அனுமானத்தின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளதுநடைமுறை முக்கியத்துவம்

இடைவெளியில் உள்ள செயல்பாடுகள் -π ≤x≤ π ஒருமுகமான முக்கோணவியல் தொடர் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படலாம் (ஒரு தொடர் அதன் சொற்களால் ஆன பகுதித் தொகைகளின் வரிசை ஒன்றிணைந்தால் ஒன்றிணைந்ததாகக் கருதப்படுகிறது):

sinx மற்றும் cosx கூட்டுத்தொகை மூலம் நிலையான (=சாதாரண) குறியீடு

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

இதில் a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. உண்மையான மாறிலிகள், அதாவது.

எங்கே, -π இலிருந்து π வரையிலான வரம்பிற்கு, ஃபோரியர் தொடர் குணகங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன: குணகங்கள் a o , a n மற்றும் b n ஆகியவை ஃபோரியர் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், தொடர் (1) அழைக்கப்படுகிறது.ஃபோரியருக்கு அருகில்

, செயல்பாடு f(x) உடன் தொடர்புடையது. தொடர் (1) க்கு, சொல் (a 1 cosx+b 1 sinx) முதல் அல்லது அடிப்படை ஹார்மோனிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது,

தொடரை எழுத மற்றொரு வழி acosx+bsinx=csin(x+α)

ஒரு o என்பது 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 உடன், n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - பல்வேறு கூறுகளின் வீச்சுகள் மற்றும் n = arctg க்கு சமம் a n /b n.

தொடர் (1) க்கு, சொல் (a 1 cosx+b 1 sinx) அல்லது c 1 sin(x+α 1) முதல் அல்லது அடிப்படை ஹார்மோனிக், (a 2 cos2x+b 2 sin2x) அல்லது c 2 sin(2x) +α 2) இரண்டாவது ஹார்மோனிக் மற்றும் பல.

ஒரு சிக்கலான சிக்னலை துல்லியமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த பொதுவாக எண்ணற்ற சொற்கள் தேவை. இருப்பினும், பல நடைமுறைச் சிக்கல்களில் முதல் சில சொற்களை மட்டும் கருத்தில் கொண்டால் போதுமானது.

காலம் 2π உடன் காலமுறை அல்லாத செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர்.

காலமுறை அல்லாத செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம்.

f(x) சார்பு கால இடைவெளியில் இல்லாததாக இருந்தால், அதை x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்க முடியாது என்று அர்த்தம். இருப்பினும், 2π அகலத்தின் எந்த வரம்பிலும் ஒரு செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் ஃபோரியர் தொடரை வரையறுக்க முடியும்.

குறிப்பிட்ட வரம்பிற்குள் f(x) இன் மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, 2π இடைவெளியில் அந்த வரம்பிற்கு வெளியே அவற்றை மீண்டும் செய்வதன் மூலம் ஒரு புதிய செயல்பாட்டை உருவாக்க முடியும். புதிய சார்பு காலம் 2π உடன் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருப்பதால், இது x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, f(x)=x சார்பு காலநிலை அல்ல. இருப்பினும், o இலிருந்து 2π வரையிலான இடைவெளியில் அதை ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்துவது அவசியமானால், இந்த இடைவெளிக்கு வெளியே 2π காலத்துடன் கூடிய காலச் செயல்பாடு கட்டமைக்கப்படுகிறது (கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது).

f(x)=x போன்ற காலச் சார்பற்ற செயல்பாடுகளுக்கு, ஃபோரியர் தொடரின் கூட்டுத்தொகையானது, கொடுக்கப்பட்ட வரம்பில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளிலும் f(x) இன் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும், ஆனால் புள்ளிகளுக்கான f(x) க்கு சமமாக இருக்காது. எல்லைக்கு வெளியே. 2π வரம்பில் காலமுறை அல்லாத செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டறிய, ஃபோரியர் குணகங்களின் அதே சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகள்.

x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் f(-x)=f(x) இருந்தாலும் ஒரு சார்பு y=f(x) என்று சொல்கிறார்கள். சமச் சார்புகளின் வரைபடங்கள் எப்போதும் y- அச்சைப் பற்றி சமச்சீராக இருக்கும் (அதாவது, அவை கண்ணாடிப் படங்கள்). சம செயல்பாடுகளின் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள்: y=x2 மற்றும் y=cosx.

x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் f(-x)=-f(x) என்றால் y=f(x) சார்பு ஒற்றைப்படை என்று கூறப்படுகிறது. ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் எப்போதும் தோற்றம் பற்றிய சமச்சீராக இருக்கும்.

பல செயல்பாடுகள் இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல.

கொசைன்களில் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம்.

2π காலத்துடன் கூடிய சம காலச் சார்பின் ஃபோரியர் தொடர் f(x) ஆனது கொசைன் சொற்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது (அதாவது சைன் சொற்கள் இல்லை) மேலும் ஒரு நிலையான சொல்லையும் உள்ளடக்கியிருக்கலாம். எனவே,

ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் எங்கே,

2π காலத்துடன் கூடிய ஒற்றைப்படை காலச் செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் f(x) ஆனது சைன்களுடன் சொற்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது (அதாவது, இது கொசைன்களுடன் சொற்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை).

எனவே,

ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் எங்கே,

அரை சுழற்சியில் ஃபோரியர் தொடர்.

வரம்பிற்கு ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டால், 0 முதல் π வரை சொல்லுங்கள், 0 முதல் 2π வரை மட்டும் அல்ல, அது சைன்களில் மட்டும் அல்லது கோசைன்களில் மட்டும் தொடரில் விரிவாக்கப்படும். இதன் விளைவாக வரும் ஃபோரியர் தொடர் அரை-சுழற்சி ஃபோரியர் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

0 முதல் π வரையிலான வரம்பில் f(x) செயல்பாட்டின் கோசைன்களின் அரை-சுழற்சி ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை நீங்கள் பெற விரும்பினால், நீங்கள் ஒரு சீரான காலச் செயல்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும். படத்தில். x=0 முதல் x=π வரையிலான இடைவெளியில் கட்டப்பட்ட f(x)=x சார்பு கீழே உள்ளது. இருந்து கூட செயல்பாடு f(x) அச்சில் சமச்சீர், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி AB கோடு வரையவும். கீழே. நாம் கருதப்படும் இடைவெளிக்கு வெளியே 2π காலத்துடன் விளைந்த முக்கோண வடிவம் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருப்பதாகக் கருதினால், இறுதி வரைபடம் இப்படி இருக்கும்: படத்தில். கீழே. கோசைன்களில் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை நாம் பெற வேண்டும் என்பதால், முன்பு போலவே, ஃபோரியர் குணகங்களை a o மற்றும் a n கணக்கிடுகிறோம்

0 முதல் π வரையிலான வரம்பில் f(x) செயல்பாட்டின் சைன்களின் அடிப்படையில் அரை-சுழற்சி ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை நீங்கள் பெற விரும்பினால், நீங்கள் ஒரு ஒற்றைப்படை காலச் செயல்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும். படத்தில். x=0 முதல் x=π வரையிலான இடைவெளியில் கட்டப்பட்ட f(x)=x சார்பு கீழே உள்ளது. இருந்து ஒற்றைப்படை செயல்பாடுதோற்றம் பற்றிய சமச்சீர், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி வரி சிடியை உருவாக்குகிறோம். கருதப்பட்ட இடைவெளிக்கு வெளியே 2π காலத்துடன் விளைந்த மரத்தூள் சமிக்ஞை குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும் என்று நாம் கருதினால், இறுதி வரைபடம் படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ள படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. சைன்களின் அடிப்படையில் அரை சுழற்சியின் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை நாம் பெற வேண்டும் என்பதால், முன்பு போலவே, ஃபோரியர் குணகத்தைக் கணக்கிடுகிறோம். பி

தன்னிச்சையான இடைவெளிக்கான ஃபோரியர் தொடர்.

காலகட்டம் L உடன் ஒரு காலச் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம்.

x ஆனது L ஆல் அதிகரிக்கும் போது f(x) கால சார்பு மீண்டும் நிகழ்கிறது, அதாவது. f(x+L)=f(x). 2π காலப்பகுதியுடன் முன்னர் கருதப்பட்ட செயல்பாடுகளிலிருந்து L இன் காலகட்டத்திற்கு மாறுவது மிகவும் எளிமையானது, ஏனெனில் இது மாறியின் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படலாம்.

-L/2≤x≤L/2 வரம்பில் f(x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டறிய, புதிய மாறி u ஐ அறிமுகப்படுத்துகிறோம், இதனால் f(x) சார்பு u உடன் ஒப்பிடும்போது 2π காலத்தைக் கொண்டுள்ளது. u=2πx/L எனில், u=-πக்கு x=-L/2 மற்றும் u=πக்கு x=L/2. மேலும் f(x)=f(Lu/2π)=F(u) என்றும் விடுங்கள். ஃபோரியர் தொடர் F(u) வடிவம் கொண்டது

(ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளை L நீளத்தின் எந்த இடைவெளியிலும் மாற்றலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 0 முதல் L வரை)

L≠2π இடைவெளியில் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கான அரை-சுழற்சியில் ஃபோரியர் தொடர்.

மாற்று u=πх/Lக்கு, x=0 இலிருந்து x=L வரையிலான இடைவெளி u=0 இலிருந்து u=π வரையிலான இடைவெளிக்கு ஒத்திருக்கும். இதன் விளைவாக, செயல்பாடானது கோசைன்களில் அல்லது சைன்களில் மட்டுமே ஒரு தொடராக விரிவாக்கப்படலாம், அதாவது. அரை சுழற்சியில் ஒரு ஃபோரியர் தொடரில்.

0 முதல் L வரையிலான வரம்பில் உள்ள கொசைன் விரிவாக்கம் வடிவம் கொண்டது

எப்படி செருகுவது கணித சூத்திரங்கள்தளத்திற்கு?

நீங்கள் எப்போதாவது ஒரு வலைப்பக்கத்தில் ஒன்று அல்லது இரண்டு கணித சூத்திரங்களைச் சேர்க்க வேண்டும் என்றால், கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி இதைச் செய்வதற்கான எளிதான வழி: வொல்ஃப்ராம் ஆல்பாவால் தானாக உருவாக்கப்படும் படங்களின் வடிவத்தில் கணித சூத்திரங்கள் தளத்தில் எளிதாகச் செருகப்படுகின்றன. . எளிமை தவிர, இது உலகளாவிய முறைஇணையதளத் தெரிவுநிலையை மேம்படுத்த உதவும் தேடுபொறிகள். இது நீண்ட காலமாக வேலை செய்கிறது (மற்றும், எப்போதும் வேலை செய்யும் என்று நான் நினைக்கிறேன்), ஆனால் ஏற்கனவே தார்மீக ரீதியாக காலாவதியானது.

உங்கள் தளத்தில் நீங்கள் தொடர்ந்து கணித சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தினால், நீங்கள் MathJax ஐப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறேன் - ஒரு சிறப்பு JavaScript நூலகம் கணிதக் குறியீடுஇணைய உலாவிகளில் MathML, LaTeX அல்லது ASCIIMathML மார்க்அப்பைப் பயன்படுத்துகிறது.

MathJax ஐப் பயன்படுத்தத் தொடங்குவதற்கு இரண்டு வழிகள் உள்ளன: (1) எளிய குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, உங்கள் வலைத்தளத்துடன் MathJax ஸ்கிரிப்டை விரைவாக இணைக்கலாம், இது சரியான நேரத்தில் தொலை சேவையகத்திலிருந்து தானாகவே ஏற்றப்படும் (சேவையகங்களின் பட்டியல்); (2) MathJax ஸ்கிரிப்டை ரிமோட் சர்வரில் இருந்து உங்கள் சர்வரில் பதிவிறக்கம் செய்து உங்கள் தளத்தின் அனைத்து பக்கங்களிலும் இணைக்கவும். இரண்டாவது முறை - மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் நேரத்தைச் செலவழிக்கும் - உங்கள் தளத்தின் பக்கங்களை ஏற்றுவதை விரைவுபடுத்தும், மேலும் சில காரணங்களால் பெற்றோர் MathJax சேவையகம் தற்காலிகமாக கிடைக்காமல் போனால், இது உங்கள் சொந்த தளத்தை எந்த வகையிலும் பாதிக்காது. இந்த நன்மைகள் இருந்தபோதிலும், நான் முதல் முறையைத் தேர்ந்தெடுத்தேன், ஏனெனில் இது எளிமையானது, வேகமானது மற்றும் தொழில்நுட்ப திறன்கள் தேவையில்லை. எனது உதாரணத்தைப் பின்பற்றவும், மேலும் 5 நிமிடங்களில் உங்கள் தளத்தில் MathJax இன் அனைத்து அம்சங்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்த முடியும்.

பிரதான MathJax இணையதளம் அல்லது ஆவணப் பக்கத்தில் எடுக்கப்பட்ட இரண்டு குறியீடு விருப்பங்களைப் பயன்படுத்தி தொலை சேவையகத்திலிருந்து MathJax நூலக ஸ்கிரிப்டை இணைக்கலாம்:

இந்த குறியீடு விருப்பங்களில் ஒன்றை நகலெடுத்து உங்கள் வலைப்பக்கத்தின் குறியீட்டில் ஒட்ட வேண்டும், முன்னுரிமை குறிச்சொற்களுக்கு இடையில் அல்லது குறிச்சொல்லுக்குப் பிறகு உடனடியாக. முதல் விருப்பத்தின்படி, MathJax வேகமாக ஏற்றுகிறது மற்றும் பக்கத்தின் வேகத்தை குறைக்கிறது. ஆனால் இரண்டாவது விருப்பம் MathJax இன் சமீபத்திய பதிப்புகளை தானாகவே கண்காணித்து ஏற்றுகிறது. நீங்கள் முதல் குறியீட்டைச் செருகினால், அது அவ்வப்போது புதுப்பிக்கப்பட வேண்டும். நீங்கள் இரண்டாவது குறியீட்டைச் செருகினால், பக்கங்கள் மெதுவாக ஏற்றப்படும், ஆனால் நீங்கள் தொடர்ந்து MathJax புதுப்பிப்புகளை கண்காணிக்க வேண்டியதில்லை.

MathJax ஐ இணைப்பது Blogger அல்லது WordPress இல் உள்ளது. டெம்ப்ளேட்டின் தொடக்கத்திற்கு (மேத்ஜாக்ஸ் ஸ்கிரிப்ட் ஒத்திசைவற்ற முறையில் ஏற்றப்பட்டதால், இது அவசியமில்லை). அவ்வளவுதான். இப்போது MathML, LaTeX மற்றும் ASCIIMathML ஆகியவற்றின் மார்க்அப் தொடரியல் கற்றுக்கொள்ளுங்கள், மேலும் உங்கள் தளத்தின் இணையப் பக்கங்களில் கணித சூத்திரங்களைச் செருக நீங்கள் தயாராக உள்ளீர்கள்.

எந்த பின்னமும் படி கட்டப்பட்டுள்ளது ஒரு குறிப்பிட்ட விதி, இது வரம்பற்ற முறை தொடர்ச்சியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அத்தகைய ஒவ்வொரு நேரமும் மறு செய்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மெங்கர் கடற்பாசியை உருவாக்குவதற்கான செயல்பாட்டு வழிமுறை மிகவும் எளிமையானது: பக்க 1 உடன் அசல் கனசதுரம் அதன் முகங்களுக்கு இணையான விமானங்களால் 27 சம கனசதுரங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு மைய கனசதுரமும், முகங்களுடன் ஒட்டிய 6 கனசதுரங்களும் அதிலிருந்து அகற்றப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக மீதமுள்ள 20 சிறிய க்யூப்ஸ் கொண்ட ஒரு தொகுப்பு ஆகும். இந்த க்யூப்ஸ் ஒவ்வொன்றிலும் இதைச் செய்தால், 400 சிறிய கனசதுரங்களைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பைப் பெறுகிறோம். இந்த செயல்முறையை முடிவில்லாமல் தொடர்ந்தால், நாம் ஒரு மெங்கர் கடற்பாசி கிடைக்கும்.

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம். ஆர்த்தோகனல் அமைப்பு ஃபோரியர் குணகங்களின் குறைந்தபட்ச சொத்து பெசலின் சமத்துவமின்மை சமத்துவ பார்செவல் மூடிய அமைப்புகள்அமைப்புகளின் முழுமை மற்றும் மூடல்

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் ஒரு சார்பு f(x), இடைவெளி \-1 இல் வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு I > 0, சமச் சார்பின் வரைபடம் ஆர்டினேட் அச்சில் சமச்சீராக இருந்தாலும் அழைக்கப்படுகிறது. J பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சார்பு f(x), இங்கு I > 0, ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றத்துடன் சமச்சீராக இருந்தால் ஒற்றைப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது. உதாரணம். அ) செயல்பாடு சீரான இடைவெளியில் உள்ளது |-jt, jt), ஏனெனில் அனைத்திற்கும் x e b) செயல்பாடு ஒற்றைப்படை, ஏனெனில் சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் என்பது ஒரு இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம் சைன்களில் அல்லது கோசைன்கள் ஃபோரியர் தொடர் ஒரு தன்னிச்சையான காலகட்டம் கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டிற்கான ஃபோரியர் தொடரின் சிக்கலான பிரதிநிதித்துவம் ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாடுகளின் பொதுவான ஆர்த்தோகனல் அமைப்புகளுக்கான ஃபோரியர் தொடர் ஒரு ஆர்த்தோகனல் அமைப்புக்கான குறைந்தபட்ச சொத்து ஃபோரியர் குணகங்களின் குறைந்தபட்ச சொத்து பெசெலின் சமத்துவம் பார்செவலின் சமத்துவம் மூடிய அமைப்புகள் முழுமை மற்றும் செயல்பாடு c) அமைப்புகளின் செயல்பாடு (x)=x2-x, இதில் இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படைச் சார்புகளுக்குச் சொந்தமில்லை, ஏனெனில் தேற்றம் 1 இன் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் சார்பு f(x), x| என்ற இடைவெளியில் சமமாக இருக்கட்டும். பின்னர் அனைவருக்கும் அதாவது. /(x) cos nx என்பது ஒரு சமமான செயல்பாடு, மற்றும் f(x) sinnx என்பது ஒற்றைப்படை. எனவே, சமச் செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் குணகங்கள் /(x) சமமாக இருக்கும். எனவே, ஒரு ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரானது உதாரணம் 1 என்ற வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்தச் சார்பு சமமானதாக இருப்பதால், தேற்றம் 1 இன் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்வதால், -x ^ x ^ n இடைவெளியில் சார்பு 4 ஐ ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்தவும். அதன் ஃபோரியர் தொடர் ஃபோரியர் குணகங்களைக் கண்டுபிடி என்ற வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டு முறை பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம், எனவே, இந்தச் செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் இதுபோல் தெரிகிறது: அல்லது, விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்தில், இந்த சமத்துவம் எந்த x € க்கும் செல்லுபடியாகும், ஏனெனில் புள்ளிகளில் x = ±ir புள்ளிகளில் தொடர் f(x) = x2 செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போகிறது, ஏனெனில் f(x) = x செயல்பாட்டின் வரைபடங்கள் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் தொடரின் கூட்டுத்தொகை படம். கருத்து. இந்த ஃபோரியர் தொடர், ஒன்றிணைந்த எண் தொடர்களில் ஒன்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது, அதாவது x = 0 க்கு நாம் அந்த எடுத்துக்காட்டு 2 ஐப் பெறுகிறோம். /(x) = x செயல்பாட்டை இடைவெளியில் ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கவும். 6. § 6. ஒரு இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம் சைன்கள் அல்லது கோசைன்களில் ஒரு தொடராக மாற்றப்படும். இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் இடைவெளி 0| மேலும் பல்வேறு வழிகளில் வரையறுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்கலாம் / பிரிவில் tc] அதனால் /. இந்த வழக்கில் அவர்கள் கூறுகிறார்கள்) "பிரிவு 0] வரை நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது"; அதன் ஃபோரியர் தொடரில் கொசைன்கள் மட்டுமே இருக்கும். செயல்பாடு /(x) என்பது இடைவெளியில் [-l-, mc] வரையறுக்கப்பட்டால் /(, அதன் விளைவாக ஒற்றைப்படை செயல்பாடு, பின்னர் அவர்கள் / "இடைவெளி வரை நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது [-*, 0] ஒரு வித்தியாசமான வழியில்” இந்த விஷயத்தில், ஃபோரியர் தொடரில் சைன்கள் மட்டுமே இருக்கும் செயல்பாடு ஒரு ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கப்படலாம்: a) கொசைன்கள்; b) சைன்ஸ் மூலம். போதுமான அறிகுறிஃபோரியர் தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டின் சிதைவு. எடுத்துக்காட்டு 1. ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்தவும், 21 கால இடைவெளியில் ஒரு காலச் சார்பை விரிவுபடுத்தவும், [-/,/] சூத்திரத்தின் மூலம் (படம் 9) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஏனெனில்சமமாக உள்ளது, பின்னர் அதன் ஃபோரியர் தொடர் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஃபோரியர் குணகங்களின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை ஃபோரியர் தொடரில் மாற்றுவதன் மூலம், காலமுறைச் செயல்பாடுகளின் ஒரு முக்கிய பண்பைப் பெறுகிறோம். தேற்றம் 5. ஒரு சார்பு T காலத்தைக் கொண்டிருந்தால் மற்றும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், எந்த எண்ணுக்கும் சமத்துவம் m உள்ளது. அதாவது, ஒரு பிரிவின் ஒருங்கிணைப்பு, அதன் நீளம் T காலத்திற்கு சமமாக இருக்கும், எண் அச்சில் இந்த பிரிவின் நிலையைப் பொருட்படுத்தாமல் அதே மதிப்பு இருக்கும். உண்மையில், நாம் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பில் மாறியை மாற்றுகிறோம், அனுமானிக்கிறோம். இது கொடுக்கிறது, எனவே, வடிவியல் ரீதியாக, இந்த சொத்து என்பது படத்தில் நிழலாடிய பகுதியின் விஷயத்தில். 10 பகுதிகள் ஒன்றுக்கொன்று சமம். குறிப்பாக, f(x) செயல்பாட்டிற்கு, சம மற்றும் ஒற்றைப்படை சார்புகளின் ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கத்தில் நாம் பெறுகிறோம், ஒரு இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம் சைன்கள் அல்லது கோசைன்கள் ஃபோரியர் தொடரில் தன்னிச்சையான செயல்பாட்டிற்கு. காலம் பொதுவான ஆர்த்தோகனல் அமைப்புகளில் ஃபோரியர் தொடரின் ஃபோரியர் தொடரின் சிக்கலான குறியீடானது ஆர்த்தோகனல் அமைப்பில் ஃபோரியர் தொடர்களின் செயல்பாடுகள் ஃபோரியர் குணகங்களின் குறைந்தபட்ச சொத்து பெசலின் சமத்துவமின்மை பார்செவலின் சமத்துவம் மூடிய அமைப்புகள் அமைப்புகளின் முழுமை மற்றும் மூடல் எடுத்துக்காட்டு 2. செயல்பாடு x என்பது காலப்போக்கில் காலத்தின் காரணமாக உள்ளது. இந்தச் செயல்பாட்டின் விந்தையானது, ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடாமல், எந்த நிரூபிக்கப்பட்ட சொத்துக்கும், குறிப்பாக, 21 காலகட்டத்துடன் கூடிய ஒரு காலச் சார்பின் ஃபோரியர் குணகங்கள் f(x)ஐக் கணக்கிடலாம் என்று கூறலாம். தன்னிச்சையான உண்மையான எண் (செயல்பாடுகள் cos - மற்றும் sin ஆகியவை 2/ கால அளவைக் கொண்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க). எடுத்துக்காட்டு 3. 2x கால இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்தவும் (படம் 11). 4 இந்த செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்போம். சூத்திரங்களை வைத்து, ஆகையால், ஃபோரியர் தொடர் இப்படி இருக்கும்: x = jt (முதல் வகையின் தொடர்ச்சியின்மை புள்ளி) புள்ளியில் §8 உள்ளது. ஃபோரியர் தொடரின் சிக்கலான பிரதிநிதித்துவம் இந்தப் பிரிவு சில கூறுகளைப் பயன்படுத்துகிறதுவிரிவான பகுப்பாய்வு (அத்தியாயம் XXX ஐப் பார்க்கவும், இங்கு அனைத்து செயல்களும் இங்கு செய்யப்படுகின்றன, கண்டிப்பாக நியாயப்படுத்தப்பட்டது). ஃபோரியர் தொடராக விரிவடைய போதுமான நிபந்தனைகளை f(x) செயல்பாடு பூர்த்தி செய்யட்டும். பின்னர் x என்ற பிரிவில், யூலரின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, தொடர் (1) க்கு பதிலாக cos πx மற்றும் sin φx க்கு பதிலாக தொடரில் இந்த வெளிப்பாடுகளை x] வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம் வடிவம் எனவே, ஃபோரியர் தொடர் (1) சிக்கலான வடிவத்தில் (3) குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்புகள் மூலம் குணகங்களுக்கான வெளிப்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். எங்களிடம் உள்ளது, с„, с_п மற்றும் с க்கான இறுதி சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்: . குணகங்கள் с„ செயல்பாட்டின் சிக்கலான ஃபோரியர் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஒரு காலகட்டத்துடன் கூடிய காலச் செயல்பாட்டிற்கு, ஃபோரியர் தொடரின் சிக்கலான வடிவம், தொடரின் ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி குணகங்கள் கணக்கிடப்படும் ) மற்றும் (4) பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது: வரம்புகள் உதாரணம் இருந்தால் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு தொடர் (3) மற்றும் (4) ஒருமுகம் எனப்படும். சிதைந்துவிடும் சிக்கலான தொடர்ஃபோரியர் காலச் செயல்பாடு இந்தச் செயல்பாடு ஒரு ஃபோரியர் தொடரில் சிதைவுறுவதற்குப் போதுமான நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்கிறது. இந்த செயல்பாட்டின் சிக்கலான ஃபோரியர் குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்போம். இரட்டைப்படை n அல்லது, சுருக்கமாக. மதிப்புகளை மாற்றுதல்), இறுதியாக இந்த தொடரை பின்வருமாறு எழுதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க: பொதுவான ஆர்த்தோகனல் அமைப்புகளுக்கான ஃபூரியர் தொடர் செயல்பாடுகள் 9.1. செயல்பாடுகளின் ஆர்த்தோகனல் அமைப்புகள், ஒரு சதுரத்துடன் [a, 6] இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய அனைத்து (உண்மையான) செயல்பாடுகளின் தொகுப்பால் குறிப்போம், அதாவது, அனைத்து செயல்பாடுகளும் தொடர்ச்சியாக உள்ளன இடைவெளியில் [a , 6], 6 க்கு சொந்தமானது, மேலும் அவற்றின் Lebesgue ஒருங்கிணைப்புகளின் மதிப்புகள் ரீமான் ஒருங்கிணைப்புகளின் மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன. வரையறை. செயல்பாடுகளின் அமைப்பு, இதில், [a, b\, நிபந்தனை (1) குறிப்பிட்டு, எந்தச் செயல்பாடுகளும் ஒரே மாதிரியான பூஜ்ஜியமாக இல்லை என்று கருதினால், இடைவெளியில் ஆர்த்தோகனல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பு என்பது Lebesgue அர்த்தத்தில் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. மற்றும் நாம் எந்த ஒரு ஆர்த்தோகனல் அமைப்பில் உள்ள செயல்பாட்டின் விதிமுறை என்று அழைக்கிறோம், செயல்பாடுகளின் அமைப்பு ஆர்த்தோநார்மல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கணினி (y>„(x)) ஆர்த்தோகனல் என்றால், கணினி எடுத்துக்காட்டு 1 ஆகும். பிரிவில் ஆர்த்தோகனல். செயல்பாடுகளின் அமைப்பு என்பது ஆர்த்தோநார்மல் அமைப்பு செயல்பாடுகள், எடுத்துக்காட்டு 2. கொசைன் அமைப்பு மற்றும் சைன் அமைப்பு ஆகியவை ஆர்த்தோநார்மல் ஆகும். இடைவெளியில் அவை ஆர்த்தோகனல் என்ற குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம் (0, f|, ஆனால் ஆர்த்தோநார்மல் இல்லை (I Ф- 2 க்கு). அவற்றின் விதிமுறைகள் COS எடுத்துக்காட்டு 3. சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் Legendre polynomials (polynomials) எனப்படும். n = 0 எங்களிடம் உள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, லெஜண்ட்ரே பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஆர்த்தோகனாலிட்டியை, n முறைகளை ஒருங்கிணைத்து, செயல்பாடுகள் ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் அமைப்பை உருவாக்குகின்றன என்பதை நிரூபிக்கலாம் , t/m = (z2 - I)m என்ற செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் m - I உட்பட பிரிவின் முனைகளில் மறைந்துவிடும். வரையறை. செயல்பாடுகளின் அமைப்பு (pn(x)) இடைவேளையில் (a, b) orthogonal என்று அழைக்கப்படுகிறது என்றால்: 1) அனைத்து n = 1,2,... இங்கே அது உள்ளது எடை செயல்பாடு p(x) வரையறுக்கப்பட்டு, p(x) மறையக்கூடிய வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைத் தவிர (a, b) இடைவெளியில் எல்லா இடங்களிலும் நேர்மறையாக இருக்கும் என்று கருதப்படுகிறது. சூத்திரம் (3) இல் வேறுபாட்டைச் செய்த பின்னர், நாம் காண்கிறோம். செபிஷேவ்-ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இடைவெளியில் ஆர்த்தோகனல் என்று காட்டலாம் எடுத்துக்காட்டு 4. பெசல் செயல்பாடுகளின் அமைப்பு (jL(pix)^ என்பது பெசல் செயல்பாட்டின் இடைவெளி பூஜ்ஜியங்களில் ஆர்த்தோகனல் ஆகும் எடுத்துக்காட்டு 5. செபிஷேவ்-ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கவனியுங்கள். ஆர்த்தோகனல் அமைப்பில் உள்ள ஃபோரியர் தொடரை சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கலாம் (a, 6) செயல்பாடுகளின் ஒரு ஆர்த்தோகனல் அமைப்பு இருக்கட்டும் மற்றும் இந்த இடைவெளியில் தொடர் (cj = const) f(x) க்கு ஒன்றிணைக்கட்டும்: கடைசி சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்கி - நிலையானது) மற்றும் x ஐ ஒரு இலிருந்து 6 வரை ஒருங்கிணைத்து, அமைப்பின் ஆர்த்தோகனாலிட்டி காரணமாக, இந்தச் செயல்பாடு பொதுவாக, முற்றிலும் முறையான தன்மையைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் பெறுகிறோம். இருப்பினும், சில சந்தர்ப்பங்களில், எடுத்துக்காட்டாக, தொடர் (4) ஒரே சீராக ஒன்றிணைந்தால், அனைத்து செயல்பாடுகளும் தொடர்ச்சியாகவும், இடைவெளி (a, 6) வரையறுக்கப்பட்டதாகவும் இருந்தால், இந்த செயல்பாடு சட்டபூர்வமானது. ஆனால் எங்களுக்கு இப்போது முறையான விளக்கம்தான் முக்கியம். எனவே, ஒரு செயல்பாடு கொடுக்கப்பட வேண்டும். சூத்திரம் (5) ஐப் பயன்படுத்தி எண்களை உருவாக்கி, வலதுபுறத்தில் உள்ள தொடர்கள் அமைப்புக்கு (^n(i)) ஃபோரியர் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது இந்த அமைப்பைப் பொறுத்தவரை f(x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சூத்திரம் (6) இல் உள்ள குறி ~ என்பது சூத்திரம் (5) மூலம் Cn எண்கள் f(x) சார்புடன் தொடர்புடையது என்பதை மட்டுமே குறிக்கிறது (வலதுபுறத்தில் உள்ள தொடர் ஒன்றுசேர்கிறது என்று கருதப்படுவதில்லை, f செயல்பாட்டிற்கு மிகக் குறைவாக ஒன்றிணைகிறது. (x)). எனவே, கேள்வி இயற்கையாகவே எழுகிறது: இந்தத் தொடரின் பண்புகள் என்ன? எந்த அர்த்தத்தில் இது f(x) செயல்பாட்டை "குறிப்பிடுகிறது"? 9.3 சராசரி வரையறையில் ஒன்றிணைதல். ஒரு வரிசையானது தனிமத்திற்கு ] ஒடுங்குகிறது சராசரியாக இடைவெளி தேற்றம் 6. ஒரு வரிசை ) ஒரே சீராக ஒன்றிணைந்தால், அது சராசரியாக ஒன்றிணைகிறது. முக்கோணவியல் அமைப்புசெயல்பாடுகள்/\ எப்போது குறைந்தபட்ச மதிப்பை எடுக்கும். Tn(x) ஆனது ஃபோரியர் தொடரின் 71வது பகுதித் தொகையாக இருக்கும் போது /(x) கணினியில் (. ak = sk ஐ அமைப்பது, (7) இலிருந்து சமத்துவத்தை (9) பெறுவது பெசல் அடையாளம் எனப்படும். அதன் இடதுபுறத்தில் இருந்து பக்கமானது எதிர்மறையானது அல்ல, பின்னர் அதிலிருந்து பெசலின் சமத்துவமின்மை நான் இங்கு தன்னிச்சையாக இருப்பதால், பெசலின் சமத்துவமின்மையை வலுப்படுத்தப்பட்ட வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம், அதாவது, எந்தச் செயல்பாட்டிற்கும் / ஆர்த்தோநார்மல் அமைப்பில் இந்தச் செயல்பாட்டின் ஸ்கொயர் ஃபோரியர் குணகங்களின் தொடர் ) ஒன்றுபடுகிறது. . [-x, m] இடைவேளையில் கணினி ஆர்த்தோநார்மலாக இருப்பதால், சமத்துவமின்மை (10) முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடரின் வழக்கமான குறியீடாக மொழிபெயர்க்கப்பட்டால், ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சதுரத்துடன் /(x) எந்தச் செயல்பாட்டிற்கும் செல்லுபடியாகும் உறவை வழங்குகிறது. f2(x) ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், இதன் காரணமாக தேவையான நிபந்தனைசமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு (11), நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம். பார்செவலின் சமத்துவம் சில அமைப்புகளுக்கு (^„(x)), சூத்திரத்தில் (10) உள்ள சமத்துவமின்மை குறியை (அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் f(x) 6 ×) சம அடையாளத்தால் மாற்றலாம். இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவம் பார்செவல்-ஸ்டெக்லோவ் சமத்துவம் (முழுமை நிலை) என்று அழைக்கப்படுகிறது. Bessel's identity (9) ஆனது நிபந்தனையை (12) சமமான வடிவத்தில் எழுத அனுமதிக்கிறது. /(x) சராசரியாக, அதாவது. விண்வெளியின் விதிமுறைப்படி 6]. வரையறை. ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் சிஸ்டம் (பி2[ау b] இல் முழுமையானதாகக் கூறப்படுகிறது ஒரு பெரிய எண்விதிமுறைகள், அதாவது ஒவ்வொரு செயல்பாட்டிற்கும் f(x) € b2[a, b\ மற்றும் ஏதேனும் e > 0 இருந்தால் இயற்கை எண் nq மற்றும் எண்கள் a\, a2y..., மேற்கூறிய பகுத்தறிவிலிருந்து இல்லை என்பது தேற்றம் 7 ஐப் பின்பற்றுகிறது. ஆர்த்தோநார்மலைசேஷன் மூலம் கணினி ) முழுமையடையும் பட்சத்தில், எந்தச் செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் / இந்த அமைப்பின் மீதும் f(x) க்கு ஒன்றிணைகிறது. சராசரி, அதாவது நெறிமுறையின்படி, முக்கோணவியல் அமைப்பு விண்வெளியில் நிறைவடைந்துள்ளது என்பதைக் காட்டலாம். தேற்றம் 8. ஒரு சார்பு /o அதன் முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர் சராசரியாக அதனுடன் ஒன்றிணைந்தால். 9.5 மூடிய அமைப்புகள். அமைப்புகளின் முழுமை மற்றும் மூடல் வரையறை. ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் அமைப்பு செயல்பாடுகள் மூடப்படும் என அழைக்கப்படுகிறது ஒத்துப்போகின்றன. பயிற்சிகள் 1. இடைவெளியில் (-i-, x) ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும் 2. ஃபோரியர் தொடரில் 3 செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும் (-tr, tr) 3. ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாடு 4 ஐ விரிவாக்கவும் இடைவெளியில் (-tr, tr) ஒரு ஃபோரியர் தொடராக இடைவெளி (-jt, tr) செயல்பாட்டில் 5. செயல்பாடு f(x) = x + x ஐ ஃபோரியர் தொடராக இடைவெளியில் (-jt, tr) விரிவாக்கவும். 6. n செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக இடைவெளியில் விரிவுபடுத்தவும் (-jt, tr) 7. f(x) = sin2 x செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக இடைவெளியில் (-tr, x) விரிவாக்கவும். 8. f(x) = y செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக இடைவெளியில் விரிவுபடுத்தவும் (-tr, jt) 9. செயல்பாட்டை விரிவாக்கு f(x) = | பாவம் x|. 10. f(x) = § செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக இடைவெளியில் (-π-, π) விரிவாக்கவும். 11. f(x) = sin § செயல்பாட்டை ஒரு ஃபோரியர் தொடராக இடைவெளியில் (-tr, tr) விரிவாக்கவும். 12. இடைவெளியில் (0, x) கொடுக்கப்பட்ட f(x) = n -2x செயல்பாட்டை ஒரு ஃபோரியர் தொடராக விரித்து, அதை இடைவெளியில் (-x, 0): a) சீரான முறையில் நீட்டிக்கவும்; b) ஒரு வித்தியாசமான வழியில். 13. இடைவெளியில் (0, x) கொடுக்கப்பட்ட /(x) = x2 செயல்பாட்டை சைன்களில் ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்குங்கள். 14. இடைவெளியில் (-2,2) கொடுக்கப்பட்ட /(x) = 3 செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கவும். 15. இடைவெளியில் (-1,1) கொடுக்கப்பட்ட f(x) = |x| செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கவும். 16. இடைவெளியில் (0,1) குறிப்பிடப்பட்ட f(x) = 2x செயல்பாட்டை சைன்களில் ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்தவும்.

காலம் 2p உடன் கூடிய சம காலச் செயல்பாட்டின் F(x) ஃபோரியர் தொடரில் கொசைன் சொற்கள் மட்டுமே உள்ளன (அதாவது, சைன் சொற்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை) மேலும் ஒரு நிலையான சொல்லையும் உள்ளடக்கியிருக்கலாம். எனவே,

ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் எங்கே,

ஒற்றைப்படை காலச் சார்பின் ஃபோரியர் தொடர் 2p உடன் கூடிய f (x) ஆனது சைன்களுடன் சொற்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது (அதாவது, இது கொசைன்களுடன் சொற்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை).

எனவே,

ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் எங்கே,

வரம்பிற்கு ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டால், 0 முதல் p வரை சொல்லுங்கள், 0 முதல் 2p வரை மட்டும் அல்ல, அது சைன்களில் மட்டும் அல்லது கோசைன்களில் மட்டும் தொடராக விரிவாக்கப்படும். இதன் விளைவாக வரும் ஃபோரியர் தொடர் அரை-சுழற்சி ஃபோரியர் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

0 முதல் p வரையிலான வரம்பில் f (x) செயல்பாட்டின் கோசைன்களின் அரை-சுழற்சி ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை நீங்கள் பெற விரும்பினால், நீங்கள் ஒரு சீரான காலச் செயல்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும். படத்தில். கீழே உள்ள செயல்பாடு f (x) = x, x = 0 இலிருந்து x = p வரையிலான இடைவெளியில் கட்டப்பட்டது. சமச் செயல்பாடு f (x) அச்சில் சமச்சீராக இருப்பதால், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி AB கோடு வரைகிறோம். கீழே. கருதப்படும் இடைவெளிக்கு வெளியே 2p காலகட்டத்துடன் முக்கோண வடிவமானது குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும் என்று நாம் கருதினால், இறுதி வரைபடம் இப்படி இருக்கும்: படத்தில். கீழே. கோசைன்களில் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை நாம் பெற வேண்டும் என்பதால், முன்பு போலவே, ஃபோரியர் குணகங்களை a o மற்றும் a n கணக்கிடுகிறோம்

0 முதல் p வரையிலான வரம்பில் f (x) செயல்பாட்டின் சைன்களின் அடிப்படையில் அரை சுழற்சியில் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தைப் பெற விரும்பினால், நீங்கள் ஒரு ஒற்றைப்படை காலச் செயல்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும். படத்தில். x=0 இலிருந்து x=p வரையிலான இடைவெளியில் கட்டப்பட்ட f (x) =x செயல்பாடு கீழே உள்ளது. ஒற்றைப்படை செயல்பாடு தோற்றத்தில் சமச்சீராக இருப்பதால், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, வரி சிடியை உருவாக்குகிறோம்.

கருதப்பட்ட இடைவெளிக்கு வெளியே 2p கால இடைவெளியில் விளைந்த மரத்தூள் சிக்னல் கால இடைவெளியில் இருக்கும் என்று நாம் கருதினால், இறுதி வரைபடம் படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ள படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. சைன்களின் அடிப்படையில் அரை சுழற்சியின் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை நாம் பெற வேண்டும் என்பதால், முன்பு போலவே, ஃபோரியர் குணகத்தைக் கணக்கிடுகிறோம். பி