ஒரு செயல்பாடு ஒற்றைப்படை என்பதை எவ்வாறு நிரூபிப்பது. சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடம்

வரைபடங்களை மாற்றுகிறது.

செயல்பாட்டின் வாய்மொழி விளக்கம்.

கிராஃபிக் முறை.

ஒரு செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடுவதற்கான வரைகலை முறை மிகவும் காட்சி மற்றும் பெரும்பாலும் தொழில்நுட்பத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. IN கணித பகுப்பாய்வுசெயல்பாடுகளைக் குறிப்பிடும் வரைகலை முறை ஒரு விளக்கமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

செயல்பாட்டு வரைபடம் f என்பது அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பு (x;y) ஒருங்கிணைப்பு விமானம், y=f(x), மற்றும் x இந்தச் செயல்பாட்டின் வரையறையின் முழு டொமைனையும் "இயங்கும்".

Oy அச்சுக்கு இணையான நேர் கோட்டுடன் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பொதுவான புள்ளிகள் இல்லை என்றால், ஆயத் தளத்தின் துணைக்குழு ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடமாகும்.

உதாரணம். கீழே காட்டப்பட்டுள்ள புள்ளிவிவரங்கள் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களா?

நன்மை வரைகலை பணிஅதன் தெரிவுநிலை. செயல்பாடு எவ்வாறு செயல்படுகிறது, எங்கு அதிகரிக்கிறது மற்றும் எங்கு குறைகிறது என்பதை நீங்கள் உடனடியாகக் காணலாம். வரைபடத்திலிருந்து நீங்கள் உடனடியாக சிலவற்றை அடையாளம் காணலாம் முக்கியமான பண்புகள்செயல்பாடுகள்.

பொதுவாக, ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்கும் பகுப்பாய்வு மற்றும் வரைகலை முறைகள் கைகோர்த்து செல்கின்றன. சூத்திரத்துடன் பணிபுரிவது ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க உதவுகிறது. சூத்திரத்தில் நீங்கள் கவனிக்காத தீர்வுகளை வரைபடம் அடிக்கடி பரிந்துரைக்கிறது.

ஏறக்குறைய எந்தவொரு மாணவருக்கும் நாம் பார்த்த ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்க மூன்று வழிகள் தெரியும்.

கேள்விக்கு பதிலளிக்க முயற்சிப்போம்: "ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்க வேறு வழிகள் உள்ளதா?"

அப்படி ஒரு வழி இருக்கிறது.

செயல்பாடு வார்த்தைகளில் தெளிவாக குறிப்பிடப்படலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, y=2x செயல்பாட்டை பின்வரும் வாய்மொழி விளக்கத்தால் குறிப்பிடலாம்: வாதத்தின் ஒவ்வொரு உண்மையான மதிப்பும் x அதன் இரட்டை மதிப்புடன் தொடர்புடையது. விதி நிறுவப்பட்டது, செயல்பாடு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

மேலும், நீங்கள் வாய்மொழியாக ஒரு செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடலாம், இது மிகவும் கடினமானது, சாத்தியமற்றது இல்லாவிட்டாலும், ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக: இயற்கை வாதம் x இன் ஒவ்வொரு மதிப்பும் x இன் மதிப்பை உருவாக்கும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் தொடர்புடையது. எடுத்துக்காட்டாக, x=3 என்றால், y=3. x=257 என்றால், y=2+5+7=14. மற்றும் பல. இதை ஒரு சூத்திரத்தில் எழுதுவது சிக்கலாக உள்ளது. ஆனால் அடையாளம் செய்வது எளிது.

வாய்மொழி விளக்கத்தின் முறை மிகவும் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படும் முறையாகும். ஆனால் சில நேரங்களில் அது செய்கிறது.

x மற்றும் y இடையே ஒன்றுக்கு ஒன்று கடிதப் பரிமாற்றம் என்ற விதி இருந்தால், ஒரு செயல்பாடு உள்ளது. என்ன சட்டம், எந்த வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது - ஒரு சூத்திரம், ஒரு மாத்திரை, ஒரு வரைபடம், வார்த்தைகள் - விஷயத்தின் சாரத்தை மாற்றாது.

தோற்றத்துடன் சமச்சீரான வரையறையின் களங்களின் செயல்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது. யாருக்கும் எக்ஸ்வரையறை எண்ணின் டொமைனில் இருந்து (- எக்ஸ்) வரையறையின் டொமைனுக்கும் சொந்தமானது. இந்த செயல்பாடுகளில் உள்ளன சம மற்றும் ஒற்றைப்படை.

வரையறை.செயல்பாடு f அழைக்கப்படுகிறது கூட, ஏதேனும் இருந்தால் எக்ஸ்அதன் வரையறையின் களத்திலிருந்து

உதாரணம்.செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

அது சமமானது. சரி பார்க்கலாம்.

யாருக்கும் எக்ஸ்சமத்துவங்கள் திருப்தி அடைகின்றன

இவ்வாறு, இரண்டு நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன, அதாவது செயல்பாடு சமமானது. இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் கீழே உள்ளது.

வரையறை.செயல்பாடு f அழைக்கப்படுகிறது ஒற்றைப்படை, ஏதேனும் இருந்தால் எக்ஸ்அதன் வரையறையின் களத்திலிருந்து

உதாரணம். செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

இது விசித்திரமானது. சரி பார்க்கலாம்.

வரையறையின் களம் முழு எண் அச்சு ஆகும், அதாவது புள்ளியின் சமச்சீர் (0;0).

யாருக்கும் எக்ஸ்சமத்துவங்கள் திருப்தி அடைகின்றன

இவ்வாறு, இரண்டு நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன, அதாவது செயல்பாடு ஒற்றைப்படை. இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் கீழே உள்ளது.

முதல் மற்றும் மூன்றாவது உருவங்களில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடங்கள் ஆர்டினேட் அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளன, மேலும் இரண்டாவது மற்றும் நான்காவது உருவங்களில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடங்கள் தோற்றம் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளன.

புள்ளிவிவரங்களில் வரைபடங்கள் காட்டப்பட்டுள்ள செயல்பாடுகளில் எது சமமானது மற்றும் ஒற்றைப்படையானது?

செயல்பாடு கூட.

கூடஅடையாளம் மாறும்போது அடையாளம் மாறாத ஒரு செயல்பாடு ஆகும் x.

xசமத்துவம் உள்ளது f(–x) = f(x) கையெழுத்து xஅடையாளத்தை பாதிக்காது ஒய்.

அட்டவணை கூட செயல்பாடுஒருங்கிணைப்பு அச்சுடன் தொடர்புடைய சமச்சீர் (படம் 1).

சம செயல்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

ஒய்= காஸ் x

ஒய் = x 2

ஒய் = –x 2

ஒய் = x 4

ஒய் = x 6

ஒய் = x 2 + x

விளக்கம்:
செயல்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம் ஒய் = x 2 அல்லது ஒய் = –x 2 .
எந்த மதிப்புக்கும் xசெயல்பாடு நேர்மறையானது. கையெழுத்து xஅடையாளத்தை பாதிக்காது ஒய். வரைபடமானது ஒருங்கிணைப்பு அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது. இது ஒரு சீரான செயல்பாடு.

ஒற்றைப்படை செயல்பாடு.

ஒற்றைப்படைஅடையாளம் மாறும்போது அடையாளம் மாறும் ஒரு செயல்பாடு x.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எந்த மதிப்புக்கும் xசமத்துவம் உள்ளது f(–x) = –f(x).

ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் தொடர்பான சமச்சீர் (படம். 2).

ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

ஒய்= பாவம் x

ஒய் = x 3

ஒய் = –x 3

விளக்கம்:

y = – செயல்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம் x 3 .
அனைத்து அர்த்தங்களும் மணிக்குஅதில் ஒரு கழித்தல் குறி இருக்கும். அது ஒரு அடையாளம் xஅடையாளத்தை பாதிக்கிறது ஒய். சுயாதீன மாறி என்றால் நேர்மறை எண், சார்பற்ற மாறி இருந்தால் செயல்பாடு நேர்மறையாக இருக்கும் எதிர்மறை எண், செயல்பாடு எதிர்மறையானது: f(–x) = –f(x).
செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது. இது ஒரு வித்தியாசமான செயல்பாடு.

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் பண்புகள்:

குறிப்பு:

அனைத்து செயல்பாடுகளும் இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல. அத்தகைய தரத்திற்குக் கீழ்ப்படியாத செயல்பாடுகள் உள்ளன. உதாரணமாக, ரூட் செயல்பாடு மணிக்கு = √எக்ஸ்சம அல்லது ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளுக்கு பொருந்தாது (படம் 3). அத்தகைய செயல்பாடுகளின் பண்புகளை பட்டியலிடும்போது, ​​பொருத்தமான விளக்கம் கொடுக்கப்பட வேண்டும்: இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல.

குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகள்.

உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் குறிப்பிட்ட செயல்முறைகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்வது கால இடைவெளி. இந்த செயல்முறைகளை விவரிக்கும் செயல்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன கால செயல்பாடுகள். அதாவது, இவை செயல்பாடுகள் ஆகும், அதன் வரைபடங்களில் குறிப்பிட்ட எண் இடைவெளியில் மீண்டும் மீண்டும் கூறுகள் உள்ளன.

மறை நிகழ்ச்சி

ஒரு செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடுவதற்கான முறைகள்

y=2x^(2)-3 என்ற சூத்திரத்தால் செயல்பாட்டைக் கொடுக்கலாம். சுயாதீன மாறி x க்கு எந்த மதிப்புகளையும் ஒதுக்குவதன் மூலம், இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, சார்பு மாறி y இன் தொடர்புடைய மதிப்புகளைக் கணக்கிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x=-0.5 என்றால், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, y இன் தொடர்புடைய மதிப்பு y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 என்பதைக் காண்கிறோம்.

y=2x^(2)-3 சூத்திரத்தில் உள்ள வாதம் x மூலம் எடுக்கப்பட்ட எந்த மதிப்பையும் எடுத்துக் கொண்டால், அதனுடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டின் ஒரு மதிப்பை மட்டுமே கணக்கிட முடியும். செயல்பாட்டை அட்டவணையாகக் குறிப்பிடலாம்:

இந்த அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, வாத மதிப்பு −1 க்கு செயல்பாட்டு மதிப்பு −3 ஒத்திருப்பதைக் காணலாம்; மற்றும் x=2 மதிப்பு y=0 போன்றவற்றுக்கு ஒத்திருக்கும். அட்டவணையில் உள்ள ஒவ்வொரு வாத மதிப்பும் ஒரு செயல்பாட்டு மதிப்புக்கு மட்டுமே ஒத்திருக்கிறது என்பதை அறிந்து கொள்வதும் முக்கியம்.

வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி கூடுதல் செயல்பாடுகளைக் குறிப்பிடலாம். ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் எந்த மதிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு x உடன் தொடர்புடையது என்பதை நிறுவுகிறது. பெரும்பாலும், இது செயல்பாட்டின் தோராயமான மதிப்பாக இருக்கும்.

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடு

செயல்பாடு ஆகும் கூட செயல்பாடு, வரையறையின் டொமைனில் இருந்து எந்த x க்கும் f(-x)=f(x). அத்தகைய செயல்பாடு Oy அச்சில் சமச்சீராக இருக்கும்.

செயல்பாடு ஆகும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடு, எப்போது f(-x)=-f(x) வரையறையின் டொமைனில் இருந்து எந்த x க்கும். அத்தகைய செயல்பாடு O (0;0) தோற்றத்தின் சமச்சீராக இருக்கும்.

செயல்பாடு ஆகும் கூட இல்லை, ஒற்றைப்படை இல்லைமற்றும் அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு பொதுவான பார்வை , அச்சு அல்லது தோற்றம் பற்றிய சமச்சீர்மை இல்லாதபோது.

சமநிலைக்கான பின்வரும் செயல்பாட்டை ஆராய்வோம்:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) தோற்றத்துடன் தொடர்புடைய வரையறையின் சமச்சீர் டொமைனுடன். f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

இதன் பொருள் f(x)=3x^(3)-7x^(7) என்பது ஒற்றைப்படை.

காலச் செயல்பாடு

செயல்பாடு y=f(x) , எந்த x க்கும் சமத்துவம் f(x+T)=f(x-T)=f(x) இருக்கும் டொமைனில், அழைக்கப்படுகிறது கால செயல்பாடு காலம் T \neq 0 உடன்.

T நீளம் கொண்ட x-அச்சின் எந்தப் பிரிவிலும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை மீண்டும் செய்யவும்.

செயல்பாடு நேர்மறையாக இருக்கும் இடைவெளிகள், அதாவது f(x) > 0 என்பது அப்சிஸ்ஸா அச்சின் பகுதிகள் ஆகும்.

f(x) > 0 ஆன் (x_(1); x_(2)) \கப் (x_(3); +\infty)

செயல்பாடு எதிர்மறையாக இருக்கும் இடைவெளிகள், அதாவது f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \கப் (x_(2); x_(3))

வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு

கீழே இருந்து கட்டப்பட்டதுசமத்துவமின்மை f(x) \geq A எந்த x \in X க்கும் இருக்கும் A எண் இருக்கும் போது y=f(x), x \in X என்ற செயல்பாட்டை அழைப்பது வழக்கம்.

கீழே இருந்து வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டு: y=\sqrt(1+x^(2)) எந்த xக்கும் y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1.

மேலே இருந்து கட்டப்பட்டதுஒரு சார்பு y=f(x), x \in X ஆனது எந்த ஒரு x \in X க்கும் சமத்துவமின்மை f(x) \neq B இருக்கும் போது B எண் இருக்கும் போது அழைக்கப்படுகிறது.

கீழே வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டு: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 எந்த x க்கும் \in [-1;1] .

வரையறுக்கப்பட்டவை y=f(x), x \in X என ஒரு எண் K > 0 இருக்கும் போது, ​​அந்த சமத்துவமின்மை \இடது | f(x)\வலது | \neq K எந்த x க்கும் \\in X .

வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டு: y=\sin x முழு எண் அச்சில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது \இடது | \sin x \வலது | \neq 1.

செயல்பாடு அதிகரிப்பு மற்றும் குறைதல்

என கருதப்படும் இடைவெளியில் அதிகரிக்கும் செயல்பாடு பற்றி பேசுவது வழக்கம் செயல்பாடு அதிகரிக்கும்பின்னர், x இன் பெரிய மதிப்பு y=f(x) செயல்பாட்டின் பெரிய மதிப்புடன் ஒத்திருக்கும் போது. x_(1) > x_(2) உடன், பரிசீலனையில் உள்ள இடைவெளியில் இருந்து x_(1) மற்றும் x_(2) ஆகிய இரண்டு தன்னிச்சையான மதிப்புகளை எடுத்துக் கொண்டால், முடிவு y(x_(1)) > ஆக இருக்கும் y(x_(2)).

பரிசீலனையில் உள்ள இடைவெளியில் குறையும் ஒரு செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு குறைகிறது x இன் பெரிய மதிப்பு y(x) செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்புடன் ஒத்திருக்கும் போது. x_(1) மற்றும் x_(2) என்ற வாதத்தின் இரண்டு தன்னிச்சையான மதிப்புகளை பரிசீலனையில் உள்ள இடைவெளியில் இருந்து எடுத்து, x_(1) > x_(2) , முடிவு y(x_(1)) ஆக இருக்கும்< y(x_{2}) .

செயல்பாட்டு வேர்கள் F=y(x) சார்பு abscissa அச்சை வெட்டும் புள்ளிகளை அழைப்பது வழக்கம் (அவை y(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன).

a) x > 0 க்கு சமச் செயல்பாடு அதிகரித்தால், அது x க்கு குறையும்< 0

b) x > 0 க்கு சமச் செயல்பாடு குறையும் போது, ​​அது x க்கு அதிகரிக்கிறது< 0

c) ஒற்றைப்படை செயல்பாடு x > 0 இல் அதிகரிக்கும் போது, ​​அது x இல் அதிகரிக்கிறது< 0

ஈ) x > 0 க்கு ஒற்றைப்படை செயல்பாடு குறையும் போது, ​​அது x க்கும் குறையும்< 0

செயல்பாட்டின் தீவிரம்

செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி y=f(x) பொதுவாக ஒரு புள்ளி x=x_(0) என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் சுற்றுப்புறம் மற்ற புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும் (புள்ளி x=x_(0) தவிர), மேலும் அவற்றுக்கான சமத்துவமின்மை f(x) > f ஆக இருக்கும் திருப்தி (x_(0)) . y_(min) - நிமிட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் பதவி.

செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளி y=f(x) பொதுவாக ஒரு புள்ளி x=x_(0) என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் சுற்றுப்புறம் மற்ற புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும் (புள்ளி x=x_(0) தவிர), மேலும் அவற்றுக்கான சமத்துவமின்மை f(x) பின்னர் திருப்தி அடையும்< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

முன்நிபந்தனை

ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தின்படி: f"(x)=0 x_(0) புள்ளியில் வேறுபடக்கூடிய f(x) சார்பு இந்த கட்டத்தில் ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கும் போது.

போதுமான நிலை

1. வழித்தோன்றல் குறியை கூட்டலில் இருந்து கழித்தால், x_(0) குறைந்தபட்ச புள்ளியாக இருக்கும்;
2. x_(0) - நிலையான புள்ளி x_(0) வழியாக செல்லும்போது வழித்தோன்றல் மைனஸில் இருந்து கூட்டலுக்கு அடையாளத்தை மாற்றும் போது மட்டுமே அதிகபட்ச புள்ளியாக இருக்கும்.

ஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பு

கணக்கீட்டு படிகள்:

1. derivative f"(x) தேடப்படுகிறது;
2. நிலையான மற்றும் உள்ளன முக்கியமான புள்ளிகள்செயல்பாடுகள் மற்றும் பிரிவைச் சேர்ந்தவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்;
3. f(x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் நிலையான மற்றும் முக்கியமான புள்ளிகள் மற்றும் பிரிவின் முனைகளில் காணப்படுகின்றன. பெறப்பட்ட முடிவுகளில் சிறியதாக இருக்கும் குறைந்த மதிப்புசெயல்பாடுகள், மேலும் - மிகப்பெரியது.

x இன் ஒவ்வொரு மதிப்பும் y இன் ஒற்றை மதிப்புடன் ஒத்துப்போகும் x என்ற மாறியின் மீது y மாறியின் சார்பு செயல்பாடு எனப்படும். பதவிக்கு y=f(x) குறியீட்டைப் பயன்படுத்தவும். ஒவ்வொரு செயல்பாடும் மோனோடோனிசிட்டி, பேரிட்டி, பீரியடிசிட்டி மற்றும் பிற போன்ற பல அடிப்படை பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

சமநிலைச் சொத்தை உன்னிப்பாகப் பாருங்கள்.

ஒரு சார்பு y=f(x) பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தாலும் அழைக்கப்படுகிறது:

2. செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்த புள்ளி x இல் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு, புள்ளி -x இல் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். அதாவது, எந்தப் புள்ளி x க்கும், செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்திலிருந்து பின்வரும் சமத்துவம் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: f(x) = f(-x).

சம செயல்பாட்டின் வரைபடம்

சமச் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை நீங்கள் வரைந்தால், அது Oy அச்சைப் பற்றி சமச்சீராக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, y=x^2 சார்பு சமமானது. சரி பார்க்கலாம். வரையறையின் களம் முழு எண் அச்சு ஆகும், அதாவது புள்ளி O ஐப் பற்றிய சமச்சீர்.

ஒரு தன்னிச்சையான x=3 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. எனவே f(x) = f(-x). இவ்வாறு, இரண்டு நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன, அதாவது செயல்பாடு சமமானது. y=x^2 செயல்பாட்டின் வரைபடம் கீழே உள்ளது.

ஓய் அச்சில் வரைபடம் சமச்சீராக இருப்பதை படம் காட்டுகிறது.

ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம்

ஒரு சார்பு y=f(x) பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் ஒற்றைப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது:

1. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் O புள்ளியுடன் சமச்சீராக இருக்க வேண்டும். அதாவது, சில புள்ளி a செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்திற்குச் சொந்தமானது என்றால், தொடர்புடைய புள்ளி -a வரையறையின் டொமைனுக்கும் சொந்தமானதாக இருக்க வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின்.

2. எந்தப் புள்ளி x க்கும், செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து பின்வரும் சமத்துவம் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: f(x) = -f(x).

ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் O புள்ளியைப் பொறுத்து சமச்சீராக உள்ளது - ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம். எடுத்துக்காட்டாக, y=x^3 செயல்பாடு ஒற்றைப்படை. சரி பார்க்கலாம். வரையறையின் களம் முழு எண் அச்சு ஆகும், அதாவது புள்ளி O ஐப் பற்றிய சமச்சீர்.

ஒரு தன்னிச்சையான x=2 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. எனவே f(x) = -f(x). இவ்வாறு, இரண்டு நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன, அதாவது செயல்பாடு ஒற்றைப்படை. y=x^3 செயல்பாட்டின் வரைபடம் கீழே உள்ளது.

ஒற்றைப்படை செயல்பாடு y=x^3 தோற்றம் பற்றிய சமச்சீர் என்பதை படம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது.

செயல்பாட்டு ஆய்வு.

1) D(y) – வரையறை டொமைன்: x என்ற மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளின் தொகுப்பு. இதற்கு இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் f(x) மற்றும் g(x) அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.

ஒரு செயல்பாடு ஒரு சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்டால், வரையறையின் டொமைன் சூத்திரம் அர்த்தமுள்ள சுயாதீன மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கொண்டுள்ளது.

2) செயல்பாட்டின் பண்புகள்: சம/ஒற்றைப்படை, கால இடைவெளி:

ஒற்றைப்படைமற்றும் கூடவாதத்தின் அடையாளத்தில் ஏற்படும் மாற்றங்களைப் பொறுத்து வரைபடங்கள் சமச்சீராக இருக்கும் செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒற்றைப்படை செயல்பாடு- சார்பற்ற மாறியின் அடையாளம் மாறும்போது அதன் மதிப்பை எதிர்மாறாக மாற்றும் ஒரு செயல்பாடு (ஆயங்களின் மையத்துடன் தொடர்புடைய சமச்சீர்).

செயல்பாடு கூட- சார்பற்ற மாறியின் அடையாளம் மாறும்போது அதன் மதிப்பை மாற்றாத ஒரு செயல்பாடு (ஆர்டினேட்டைப் பற்றிய சமச்சீர்).

இரட்டை அல்லது இரட்டைச் செயல்பாடு இல்லை (பொது செயல்பாடு)- சமச்சீர் இல்லாத செயல்பாடு. இந்த பிரிவில் முந்தைய 2 வகைகளின் கீழ் வராத செயல்பாடுகள் அடங்கும்.

மேலே உள்ள எந்த வகையிலும் சேராத செயல்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன இரட்டை அல்லது இரட்டை இல்லை(அல்லது பொதுவான செயல்பாடுகள்).

ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகள்

தன்னிச்சையான முழு எண் இருக்கும் ஒற்றைப்படை சக்தி.

செயல்பாடுகளும் கூட

ஒரு தன்னிச்சையான முழு எண் இருக்கும் இடத்தில் கூட சக்தி.

காலச் செயல்பாடு- சில வழக்கமான வாத இடைவெளிக்குப் பிறகு அதன் மதிப்புகளை மீண்டும் செய்யும் ஒரு செயல்பாடு, அதாவது, சில நிலையான பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணை வாதத்தில் சேர்க்கும்போது அதன் மதிப்பை மாற்றாது ( காலம்செயல்பாடுகள்) வரையறையின் முழு களத்திலும்.

3) ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் (வேர்கள்) அது பூஜ்ஜியமாக மாறும் புள்ளிகள்.

வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை அச்சுடன் கண்டறிதல் ஓ. இதைச் செய்ய, நீங்கள் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும் f(0) வரைபடத்தின் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளையும் கண்டறியவும் எருது, சமன்பாட்டின் வேர்களை ஏன் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் f(x) = 0 (அல்லது வேர்கள் இல்லை என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்).

வரைபடமானது அச்சை வெட்டும் புள்ளிகள் எனப்படும் செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள். ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும், அதாவது கண்டுபிடிக்கவும் "x" என்பதன் அர்த்தங்கள், இதில் செயல்பாடு பூஜ்ஜியமாக மாறும்.

4) அறிகுறிகளின் நிலைத்தன்மையின் இடைவெளிகள், அவற்றில் உள்ள அறிகுறிகள்.

f(x) சார்பு அடையாளத்தை பராமரிக்கும் இடைவெளிகள்.

குறியின் நிலைத்தன்மையின் இடைவெளி இடைவெளி ஒவ்வொரு புள்ளியிலும்செயல்பாடு நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை.

x அச்சுக்கு மேலே.

அச்சுக்கு கீழே.

5) தொடர்ச்சி (இடைநிலையின் புள்ளிகள், இடைநிறுத்தத்தின் தன்மை, அறிகுறிகள்).

தொடர்ச்சியான செயல்பாடு- "ஜம்ப்ஸ்" இல்லாத ஒரு செயல்பாடு, அதாவது, வாதத்தில் சிறிய மாற்றங்கள் செயல்பாட்டின் மதிப்பில் சிறிய மாற்றங்களுக்கு வழிவகுக்கும்.

நீக்கக்கூடிய முறிவு புள்ளிகள்

செயல்பாட்டின் வரம்பு என்றால் உள்ளது, ஆனால் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை அல்லது வரம்பு இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புடன் ஒத்துப்போவதில்லை:

,

பின்னர் புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது நீக்கக்கூடிய முறிவு புள்ளிசெயல்பாடுகள் (சிக்கலான பகுப்பாய்வில், நீக்கக்கூடிய ஒருமை புள்ளி).

அகற்றக்கூடிய இடைநிறுத்தத்தின் கட்டத்தில் செயல்பாட்டை "சரிசெய்து" வைத்தால் , ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம். ஒரு செயல்பாட்டில் இந்த செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டை தொடர்ச்சியாக நீட்டிக்கிறதுஅல்லது தொடர்ச்சியின் மூலம் செயல்பாட்டின் மறுவரையறை, இது புள்ளியின் பெயரை ஒரு புள்ளியாக நியாயப்படுத்துகிறது நீக்கக்கூடியதுமுறிவு.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வகையின் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளிகள்

ஒரு செயல்பாட்டிற்கு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் இடைநிறுத்தம் இருந்தால் (அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரம்பு இல்லை அல்லது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்புடன் ஒத்துப்போகவில்லை), பின்னர் எண்சார் செயல்பாடுகளுக்கு இரண்டு சாத்தியமான விருப்பங்கள் உள்ளன. எண் செயல்பாடுகளின் இருப்புடன் தொடர்புடையது ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகள்:

இரண்டும் ஒருபக்க வரம்புகள் உள்ளன மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், அத்தகைய புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது முதல் வகையான தொடர்ச்சியின்மை.

நீக்கக்கூடிய இடைநிறுத்தப் புள்ளிகள் முதல் வகையான இடைநிறுத்தப் புள்ளிகள்; ஒரு பக்க வரம்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இல்லை அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பு இல்லை என்றால், அத்தகைய புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது.

இரண்டாவது வகையான இடைநிறுத்தத்தின் புள்ளி - அறிகுறியற்றதுநேராக , வளைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் இருந்து இதற்கு தூரம் என்று சொத்து உள்ளதுநேரடி

புள்ளி முடிவிலிக்கு கிளையுடன் விலகிச் செல்லும்போது பூஜ்ஜியமாக மாறும்.

செங்குத்து .

செங்குத்து அசிம்டோட் - வரம்புக் கோடு

ஒரு விதியாக, செங்குத்து அறிகுறியை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​அவர்கள் ஒரு வரம்பை அல்ல, ஆனால் இரண்டு ஒரு பக்க (இடது மற்றும் வலது) பார்க்கிறார்கள். வெவ்வேறு திசைகளில் இருந்து செங்குத்து அறிகுறியை அணுகும்போது செயல்பாடு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை தீர்மானிக்க இது செய்யப்படுகிறது. உதாரணமாக:

கிடைமட்ட அறிகுறியற்றதுகிடைமட்ட அறிகுறி - இனங்கள், இருப்புக்கு உட்பட்டது

.

வரம்பு

சாய்ந்தது அறிகுறியற்றதுகிடைமட்ட அறிகுறி - சாய்ந்த அறிகுறி -

வரம்புகள்

குறிப்பு: ஒரு செயல்பாட்டில் இரண்டு சாய்ந்த (கிடைமட்ட) அறிகுறிகளுக்கு மேல் இருக்க முடியாது. குறிப்பு: மேலே குறிப்பிட்டுள்ள இரண்டு வரம்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இல்லை என்றால் (அல்லது சமமாக இருந்தால்), பிறகுசாய்ந்த அறிகுறி

இல் (அல்லது) இல்லை. .

6) உருப்படி 2 இல் இருந்தால்.), பின்னர் , மற்றும் வரம்பு கிடைமட்ட அசிம்ப்டோட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது,மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறிதல். f(xஒரு செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும் f(x)(அதாவது, அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் இடைவெளிகள்). வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை ஆராய்வதன் மூலம் இது செய்யப்படுகிறது f(x) இதைச் செய்ய, வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் f(x) மற்றும் சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் f(x) அதிகரிக்கிறது. தலைகீழ் சமத்துவமின்மை எங்கு உள்ளது f(x)0, செயல்பாடு f(x) குறைந்து வருகிறது.

கண்டறிதல் உள்ளூர் உச்சநிலை. மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறிந்த பிறகு, உள்ளூர் உச்சத்தின் புள்ளிகளை உடனடியாக தீர்மானிக்க முடியும், அங்கு அதிகரிப்பு குறைவால் மாற்றப்படுகிறது, அமைந்துள்ளது உள்ளூர் அதிகபட்சம், மற்றும் குறைப்பு அதிகரிப்பால் மாற்றப்படும் இடத்தில் - உள்ளூர் மினிமா. இந்த புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள். ஒரு செயல்பாட்டிற்கு லோக்கல் எக்ஸ்ட்ரம் புள்ளிகள் இல்லாத முக்கியமான புள்ளிகள் இருந்தால், இந்த புள்ளிகளிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது பயனுள்ளது.

ஒரு பிரிவில் y = f(x) செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்(தொடர்ச்சி)