கணித எதிர்பார்ப்பு சூத்திரத்திற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி. கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு, நிகழ்தகவு ஆகியவற்றுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள். பிரச்சனை தீர்வுகள்

புள்ளிவிபரங்களில் இரண்டு வகையான மதிப்பீடுகள் உள்ளன: புள்ளி மற்றும் இடைவெளி. புள்ளி மதிப்பீடுஒரு அளவுருவை மதிப்பிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு தனி மாதிரி புள்ளிவிவரத்தைக் குறிக்கிறது மக்கள் தொகை. உதாரணமாக, மாதிரி சராசரி புள்ளி மதிப்பீடு ஆகும் கணித எதிர்பார்ப்புமக்கள் தொகை மற்றும் மாதிரி மாறுபாடு எஸ் 2- மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் புள்ளி மதிப்பீடு σ 2. மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாகும் என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு மாதிரி சராசரி சார்பற்றது என அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அனைத்து மாதிரி வழிமுறைகளின் சராசரி (ஒரே மாதிரி அளவுடன்) n) என்பது பொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு சமம்.

மாதிரி மாறுபாட்டின் பொருட்டு எஸ் 2மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாக மாறியது σ 2, மாதிரி மாறுபாட்டின் வகுத்தல் சமமாக அமைக்கப்பட வேண்டும் n – 1 , ஆனால் இல்லை n. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மக்கள்தொகை மாறுபாடு என்பது சாத்தியமான அனைத்து மாதிரி மாறுபாடுகளின் சராசரியாகும்.

மக்கள்தொகை அளவுருக்களை மதிப்பிடும்போது, ​​மாதிரி புள்ளிவிவரங்கள் போன்றவற்றை மனதில் கொள்ள வேண்டும் , குறிப்பிட்ட மாதிரிகள் சார்ந்தது. இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள, பெற இடைவெளி மதிப்பீடுபொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாதிரி வழிமுறைகளின் விநியோகத்தை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள் (மேலும் விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும்). கட்டப்பட்ட இடைவெளியானது ஒரு குறிப்பிட்ட நம்பிக்கை நிலையால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இது உண்மையான மக்கள்தொகை அளவுரு சரியாக மதிப்பிடப்பட்ட நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது. ஒரு குணாதிசயத்தின் விகிதத்தை மதிப்பிடுவதற்கு இதே போன்ற நம்பிக்கை இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தலாம் ஆர்மற்றும் மக்கள்தொகையின் முக்கிய விநியோகிக்கப்பட்டது.

குறிப்பைப் பதிவிறக்கவும் அல்லது வடிவத்தில், எடுத்துக்காட்டுகள் வடிவத்தில்

கட்டுமானம் நம்பக இடைவெளியைஅறியப்பட்ட நிலையான விலகல் கொண்ட மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு

மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் பங்கிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

இந்த பிரிவு நம்பிக்கை இடைவெளியின் கருத்தை வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளுக்கு விரிவுபடுத்துகிறது. இது மக்கள்தொகையில் உள்ள பண்புகளின் பங்கை மதிப்பிட அனுமதிக்கிறது ஆர்மாதிரி பகிர்வைப் பயன்படுத்துதல் ஆர்எஸ்= X/n. குறிப்பிட்டுள்ளபடி, அளவுகள் என்றால் nஆர்மற்றும் n(1 - ப)எண் 5 ஐ விட அதிகமாக, இருவகைப் பரவல்சாதாரணமாக தோராயமாக மதிப்பிடலாம். எனவே, மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் பங்கை மதிப்பிடுவதற்கு ஆர்நம்பிக்கை நிலை சமமாக இருக்கும் ஒரு இடைவெளியை உருவாக்க முடியும் (1 – α)x100%.

எங்கே பஎஸ்- பண்பின் மாதிரி விகிதம் சமம் எக்ஸ்/n, அதாவது வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை மாதிரி அளவு மூலம் வகுக்கப்படுகிறது, ஆர்- பொது மக்களில் பண்புகளின் பங்கு, Z- தரப்படுத்தப்பட்ட இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கிய மதிப்பு, n- மாதிரி அளவு.

எடுத்துக்காட்டு 3.கடந்த மாதத்தில் நிரப்பப்பட்ட 100 இன்வாய்ஸ்களைக் கொண்ட மாதிரி தகவல் அமைப்பிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதில் 10 இன்வாய்ஸ்கள் பிழைகளுடன் தொகுக்கப்பட்டவை என்று வைத்துக் கொள்வோம். இதனால், ஆர்= 10/100 = 0.1. 95% நம்பிக்கை நிலை முக்கியமான மதிப்பு Z = 1.96 உடன் ஒத்துள்ளது.

எனவே, 4.12% மற்றும் 15.88% இன்வாய்ஸ்களில் பிழைகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 95% ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட மாதிரி அளவிற்கு, மக்கள்தொகையில் உள்ள குணாதிசயங்களின் விகிதத்தைக் கொண்ட நம்பிக்கை இடைவெளியானது தொடர்ச்சியை விட அதிகமாகத் தோன்றுகிறது. சீரற்ற மாறி. ஏனென்றால், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் அளவீடுகள் வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளின் அளவீடுகளை விட அதிகமான தகவல்களைக் கொண்டிருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும் வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவு அவற்றின் விநியோகத்தின் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கு போதுமான தகவலைக் கொண்டிருக்கவில்லை.

INவரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பீடுகளைக் கணக்கிடுதல்

கணித எதிர்பார்ப்பு மதிப்பீடு.இறுதி மக்கள்தொகைக்கான திருத்தக் காரணி ( fpc) ஒரு காரணி மூலம் நிலையான பிழையை குறைக்க பயன்படுத்தப்பட்டது. மக்கள் தொகை அளவுரு மதிப்பீடுகளுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிடும் போது, ​​மாதிரிகள் திரும்பப் பெறப்படாமல் வரையப்படும் சூழ்நிலைகளில் ஒரு திருத்தக் காரணி பயன்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி சமமான நம்பிக்கை அளவைக் கொண்டுள்ளது (1 – α)x100%, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 4.ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகைக்கான திருத்தக் காரணியின் பயன்பாட்டை விளக்குவதற்கு, எடுத்துக்காட்டு 3 இல் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட விலைப்பட்டியல்களின் சராசரி அளவுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலுக்குத் திரும்புவோம். ஒரு நிறுவனம் மாதத்திற்கு 5,000 இன்வாய்ஸ்களை வெளியிடுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். எக்ஸ்=110.27 டாலர்கள், எஸ்= $28.95 என் = 5000, n = 100, α = 0.05, t 99 = 1.9842. சூத்திரம் (6) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

ஒரு அம்சத்தின் பங்கின் மதிப்பீடு.திரும்பப் பெறாமல் தேர்ந்தெடுக்கும் போது, ​​பண்பின் விகிதத்திற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு சமமான நம்பிக்கை நிலை உள்ளது (1 – α)x100%, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

நம்பிக்கை இடைவெளிகள் மற்றும் நெறிமுறை சிக்கல்கள்

மக்கள்தொகையை மாதிரியாக்கி புள்ளியியல் முடிவுகளை எடுக்கும்போது, ​​நெறிமுறை சிக்கல்கள் அடிக்கடி எழுகின்றன. நம்பிக்கை இடைவெளிகள் மற்றும் புள்ளி மதிப்பீடுகள் எவ்வாறு ஒத்துக்கொள்கின்றன என்பது முக்கியமானது மாதிரி புள்ளிவிவரங்கள். தொடர்புடைய நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் குறிப்பிடாமல் புள்ளி மதிப்பீடுகளை வெளியிடுவது (பொதுவாக 95% நம்பிக்கை மட்டத்தில்) மற்றும் அவை பெறப்பட்ட மாதிரி அளவு குழப்பத்தை உருவாக்கலாம். மொத்த மக்கள்தொகையின் பண்புகளை கணிக்க, புள்ளி மதிப்பீடு சரியாக இருக்கும் என்ற எண்ணத்தை இது பயனருக்கு அளிக்கலாம். எனவே, எந்தவொரு ஆராய்ச்சியிலும் புள்ளி மதிப்பீடுகளில் கவனம் செலுத்தாமல், இடைவெளி மதிப்பீடுகளில் கவனம் செலுத்த வேண்டும் என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். கூடுதலாக, சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும் சரியான தேர்வுமாதிரி அளவுகள்.

பெரும்பாலும், புள்ளிவிவர கையாளுதலின் பொருள்கள் சில அரசியல் பிரச்சினைகளில் மக்கள்தொகையின் சமூகவியல் ஆய்வுகளின் முடிவுகளாகும். அதே நேரத்தில், கணக்கெடுப்பு முடிவுகள் செய்தித்தாள்களின் முதல் பக்கங்களுக்கு கொண்டு வரப்படுகின்றன, மேலும் மாதிரி பிழை மற்றும் முறை புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வுநடுவில் எங்கோ அச்சிடப்பட்டது. பெறப்பட்ட புள்ளி மதிப்பீடுகளின் செல்லுபடியை நிரூபிக்க, அவை பெறப்பட்ட மாதிரி அளவு, நம்பிக்கை இடைவெளியின் எல்லைகள் மற்றும் அதன் முக்கியத்துவத்தின் நிலை ஆகியவற்றைக் குறிப்பிடுவது அவசியம்.

அடுத்த குறிப்பு

லெவின் மற்றும் பலர் மேலாளர்களுக்கான புள்ளி விவரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. – எம்.: வில்லியம்ஸ், 2004. – ப. 448–462

மத்திய வரம்பு தேற்றம்போதுமான பெரிய மாதிரி அளவுடன், கருவிகளின் மாதிரி விநியோகத்தை ஒரு சாதாரண விநியோகம் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்று கூறுகிறது. இந்த சொத்து மக்கள்தொகையின் விநியோக வகையைச் சார்ந்தது அல்ல.

தொடங்குவதற்கு, பின்வரும் வரையறையை நினைவுபடுத்துவோம்:

பின்வரும் சூழ்நிலையை கருத்தில் கொள்வோம். மக்கள்தொகை மாறுபாடுகள் கணித எதிர்பார்ப்பு $a$ மற்றும் நிலையான விலகல் $\sigma$ உடன் இயல்பான பரவலைக் கொண்டிருக்கட்டும். இந்த வழக்கில் மாதிரி சராசரி ஒரு சீரற்ற மாறியாகக் கருதப்படும். $X$ அளவு பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் போது, ​​மாதிரி சராசரியும் பொதுவாக அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படும்

$\gamma $ நம்பகத்தன்மையுடன் $a$ மதிப்பை உள்ளடக்கிய ஒரு நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இதைச் செய்ய, எங்களுக்கு சமத்துவம் தேவை

அதிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்

இங்கிருந்து, செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து $t$ ஐ எளிதாகக் கண்டறியலாம் $Ф\இடது(t\வலது)$ மற்றும், அதன் விளைவாக, $\delta $ஐக் கண்டறியலாம்.

$Ф\left(t\right)$ செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணையை நினைவுபடுத்துவோம்:

படம் 1. செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணை $Ф\இடது(t\வலது).$

அறியப்படாத $(\mathbf \sigma )$க்கான கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை ஒருங்கிணைப்பு

இந்த வழக்கில், சரி செய்யப்பட்ட மாறுபாடு மதிப்பான $S^2$ ஐப் பயன்படுத்துவோம். மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் $\sigma $ ஐ $S$ உடன் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டுச் சிக்கல்கள்

எடுத்துக்காட்டு 1

$\sigma =4$ என்ற மாறுபாட்டுடன் $X$ அளவு சாதாரண விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும். மாதிரி அளவு $n=64$ ஆகவும், நம்பகத்தன்மை $\gamma =0.95$ ஆகவும் இருக்கட்டும். இந்த விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

நாம் இடைவெளியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$.

நாம் மேலே பார்த்தபடி

\[\டெல்டா =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]

$t$ அளவுருவை சூத்திரத்தில் காணலாம்

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

அட்டவணை 1ல் இருந்து $t=1.96$ என்று காண்கிறோம்.

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

1. அது தெரியட்டும் sl. x அளவு அறியப்படாத சராசரி μ மற்றும் அறியப்பட்ட σ 2: X~N(μ,σ 2 உடன் சாதாரண சட்டத்திற்கு கீழ்ப்படிகிறது), σ 2 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, μ தெரியவில்லை. β குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. x 1, x 2, …, x n மாதிரியின் அடிப்படையில், I β (θ) (இப்போது θ=μ), திருப்திகரமாக (13) கட்டமைக்க வேண்டியது அவசியம்

மாதிரி சராசரி (மாதிரி சராசரி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) அதே மையமான μ உடன் இயல்பான சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது, ஆனால் சிறிய மாறுபாடு X~N (μ, D), இங்கு மாறுபாடு D =σ 2 =σ 2 /n.

நிபந்தனையின்படி ξ~N(0,1)க்கு வரையறுக்கப்பட்ட K β எண் நமக்குத் தேவைப்படும்

வார்த்தைகளில்: abscissa அச்சின் -K β மற்றும் K β புள்ளிகளுக்கு இடையே நிலையான சாதாரண விதியின் அடர்த்தி வளைவின் கீழ் பகுதி உள்ளது, β க்கு சமம்

எடுத்துக்காட்டாக, K 0.90 = 1.645 அளவு 0.95 மதிப்பின் ξ

K 0.95 = 1.96. ; கே 0.997 =3.

குறிப்பாக, எந்தவொரு சாதாரண சட்டத்தின் மையத்திலிருந்தும் 1.96 நிலையான விலகல்களை வலதுபுறமாகவும் இடதுபுறமாகவும் ஒதுக்கி, 0.95 க்கு சமமான அடர்த்தி வளைவின் கீழ் பகுதியைப் பிடிக்கிறோம், இதன் காரணமாக K 0 95 என்பது நிலை 0.95 இன் அளவு ஆகும். இந்தச் சட்டத்திற்கு + 1/2 * 0.005 = 0.975.

பொது சராசரி μ க்கு தேவையான நம்பிக்கை இடைவெளி I A (μ) = (x-σ, x+σ),

எங்கே δ = (15)

ஒரு நியாயத்தைக் கூறுவோம்:

சொன்னபடி, வார்த்தைகள். நிகழ்தகவு β (படம் 9) உடன் மதிப்பு J=μ±σ இடைவெளியில் விழுகிறது. இந்த வழக்கில், அளவு δ ஐ விட குறைவாக மையத்தில் இருந்து விலகுகிறது, மற்றும் சீரற்ற இடைவெளி ± δ (ஒரு சீரற்ற மையம் மற்றும் J போன்ற அதே அகலத்துடன்) புள்ளி μ ஐ உள்ளடக்கும். அது எஃப் ஜே<=> μ Є Iβ,எனவே Р(μЄІ β) = Р(Є J)=β.

எனவே, மாதிரியின் மீது நிலையான I β இடைவெளி, நிகழ்தகவு β உடன் சராசரி μ ஐக் கொண்டுள்ளது.

தெளிவாக, பெரிய n, சிறிய σ மற்றும் இடைவெளி குறுகலாக உள்ளது, மேலும் பெரிய உத்தரவாதத்தை நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம் β, பரந்த நம்பிக்கை இடைவெளி.

எடுத்துக்காட்டு 21.

சாதாரண மதிப்பு cக்கு n=16 கொண்ட மாதிரியின் அடிப்படையில் அறியப்பட்ட மாறுபாடுσ 2 =64 காணப்பட்டது x=200. β=0.95 எடுத்துக் கொள்ளும் பொது சராசரி (வேறுவிதமாகக் கூறினால், கணித எதிர்பார்ப்புக்கு) μ நம்பக இடைவெளியை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. I β (μ)= ± δ, இங்கு δ = K β σ/ -> K β σ/ =1.96*8/ = 4

I 0.95 (μ)=200 4=(196;204).

β=0.95 உத்தரவாதத்துடன் உண்மையான சராசரி இடைவெளிக்கு (196,204) சொந்தமானது என்று முடிவு செய்தால், பிழை சாத்தியம் என்பதை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்.

100 நம்பிக்கை இடைவெளிகளில் I 0.95 (μ), சராசரியாக 5 இல் μ இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 22.

முந்தைய உதாரணம் 21 இன் நிபந்தனைகளில், நம்பக இடைவெளியை பாதியாக குறைக்க என்ன n எடுக்க வேண்டும்? 2δ=4 இருக்க, நாம் எடுக்க வேண்டும்

நடைமுறையில், ஒரு பக்க நம்பிக்கை இடைவெளிகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எனவே, அவை பயனுள்ளதாக இருந்தால் அல்லது பயமாக இல்லை உயர் மதிப்புகள்μ, ஆனால் வலிமை அல்லது நம்பகத்தன்மையைப் போலவே விரும்பத்தகாத வகையில் குறைவாக உள்ளது, பின்னர் ஒரு பக்க இடைவெளியை உருவாக்குவது நியாயமானது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் அதன் மேல் வரம்பை முடிந்தவரை உயர்த்த வேண்டும். எடுத்துக்காட்டு 21 இல் உள்ளதைப் போல, கொடுக்கப்பட்ட β க்கு இரு பக்க நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்கி, பின்னர் எல்லைகளில் ஒன்றின் இழப்பில் அதை முடிந்தவரை விரிவுபடுத்தினால், அதிக உத்தரவாதத்துடன் ஒரு பக்க இடைவெளியைப் பெறுவோம் β" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, எடுத்துக்காட்டாக, β = 0.90 என்றால், β = 0.90 + 0.10/2 = 0.95.

எடுத்துக்காட்டாக, நாங்கள் தயாரிப்பின் வலிமையைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்று கருதி, இடைவெளியின் மேல் வரம்பை உயர்த்துவோம். பின்னர் μ க்கு உதாரணம் 21 இல் ஒரு பக்க நம்பிக்கை இடைவெளியை (196,°°) குறைந்த வரம்பு 196 மற்றும் நம்பக நிகழ்தகவு β"=0.95+0.05/2=0.975 உடன் பெறுகிறோம்.

சூத்திரத்தின் (15) நடைமுறைக் குறைபாடு என்னவென்றால், இது மாறுபாடு = σ 2 (எனவே = σ 2 /n) அறியப்படுகிறது என்ற அனுமானத்தின் கீழ் பெறப்பட்டது; இது வாழ்க்கையில் அரிதாகவே நடக்கும். விதிவிலக்கு என்பது மாதிரி அளவு பெரியதாக இருந்தால், n என்பது நூற்றுக்கணக்கான அல்லது ஆயிரங்களில் அளவிடப்படுகிறது, பின்னர் σ 2 க்கு ஒருவர் நடைமுறையில் அதன் மதிப்பீட்டை s 2 அல்லது எடுக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 23.

சிலவற்றில் என்று வைத்துக்கொள்வோம் பெரிய நகரம்குடியிருப்பாளர்களின் வாழ்க்கை நிலைமைகளின் மாதிரி கணக்கெடுப்பின் விளைவாக, பின்வரும் தரவு அட்டவணை பெறப்பட்டது (வேலையிலிருந்து எடுத்துக்காட்டு).

அட்டவணை 8

உதாரணமாக ஆதார தரவு

என்று எண்ணுவது இயல்பு மதிப்பு X - ஒரு நபருக்கு மொத்த (பயனுள்ள) பகுதி (m2 இல்) சாதாரண சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது. சராசரி μ மற்றும் மாறுபாடு σ 2 தெரியவில்லை. μக்கு, 95% நம்பிக்கை இடைவெளி கட்டமைக்கப்பட வேண்டும். குழுவான தரவைப் பயன்படுத்தி மாதிரி வழிமுறைகள் மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறிய, பின்வரும் கணக்கீடுகளின் அட்டவணையைத் தொகுப்போம் (அட்டவணை 9).

அட்டவணை 9

தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து X மற்றும் 5 ஐக் கணக்கிடுகிறது

இந்த துணை அட்டவணையில், முதல் மற்றும் இரண்டாவது தொடக்க புள்ளியியல் தருணங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன (2) ஒரு 1மற்றும் ஏ 2

σ 2 மாறுபாடு இங்கே தெரியவில்லை என்றாலும், பெரிய மாதிரி அளவு காரணமாக, நடைமுறையில் சூத்திரத்தை (15) பயன்படுத்தலாம், அதில் σ = = 7.16 ஐ வைக்கலாம்.

பின்னர் δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

β=0.95 இல் உள்ள பொது சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46) க்கு சமம்.

இதன் விளைவாக, 0.95 உத்தரவாதத்துடன் கொடுக்கப்பட்ட நகரத்தில் ஒரு நபரின் சராசரி மதிப்பு இடைவெளியில் உள்ளது (18.54; 19.46).

2. சாதாரண மதிப்பின் அறியப்படாத மாறுபாடு σ 2 இல் கணித எதிர்பார்ப்பு μக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி. கொடுக்கப்பட்ட உத்தரவாதத்திற்கான இந்த இடைவெளி β சூத்திரத்தின்படி கட்டமைக்கப்படுகிறது, இங்கு ν = n-1,

(16)

குணகம் t β,ν ஆனது ν டிகிரி சுதந்திரத்துடன் t பரவலுக்கு N(0,1) விநியோகத்திற்கான β போன்ற அதே பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது:

.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், sl. tν மதிப்பு நிகழ்தகவு β உடன் இடைவெளியில் (-t β,ν ; +t β,ν) விழும். t β,ν இன் மதிப்புகள் β=0.95 மற்றும் β=0.99 க்கு அட்டவணை 10 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை 10.

மதிப்புகள் t β,ν

எடுத்துக்காட்டு 23 க்கு திரும்பும்போது, ​​n=1000 முதல் t β,υ =k 0..95 =1.96 என்ற குணகத்துடன் (16) சூத்திரத்தின்படி நம்பக இடைவெளி கட்டமைக்கப்பட்டிருப்பதைக் காண்கிறோம்.

உங்களுக்குத் தேவையான பணியைக் கண்டறிய இந்தத் தேடல் படிவத்தைப் பயன்படுத்தலாம். பணியிலிருந்து ஒரு சொல், சொற்றொடரை உள்ளிடவும் அல்லது அதன் எண்ணை உங்களுக்குத் தெரிந்தால் உள்ளிடவும்.

நம்பிக்கை இடைவெளிகள்: பிரச்சனைகளுக்கான தீர்வுகளின் பட்டியல்

நம்பிக்கை இடைவெளிகள்: கோட்பாடு மற்றும் பணிகள்

நம்பிக்கை இடைவெளிகளைப் புரிந்துகொள்வது

நம்பிக்கை இடைவெளியின் கருத்தை சுருக்கமாக அறிமுகப்படுத்துவோம்
1) ஒரு எண் மாதிரியின் சில அளவுருக்களை மாதிரியின் தரவிலிருந்து நேரடியாக மதிப்பிடுகிறது,
2) இந்த அளவுருவின் மதிப்பை நிகழ்தகவு γ உடன் உள்ளடக்கியது.

நம்பக இடைவெளியைஅளவுருவிற்கு எக்ஸ்(நிகழ்தகவு γ) என்பது படிவத்தின் இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது , மற்றும் மதிப்புகள் மாதிரியிலிருந்து சில வழியில் கணக்கிடப்படுகின்றன.

பொதுவாக உள்ள பயன்பாட்டு சிக்கல்கள் நம்பிக்கை நிகழ்தகவுγ = 0.9 க்கு சமமாக எடுக்கப்பட்டது; 0.95; 0.99

சாதாரண விநியோகச் சட்டத்தின்படி மறைமுகமாக விநியோகிக்கப்படும் பொது மக்களிடமிருந்து தயாரிக்கப்பட்ட அளவு n இன் சில மாதிரிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். கண்டுபிடிக்க என்ன சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைக் காண்பிப்போம் விநியோக அளவுருக்களுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள்- கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல் (நிலையான விலகல்).

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

வழக்கு 1.விநியோகத்தின் மாறுபாடு அறியப்படுகிறது மற்றும் சமமாக உள்ளது. பின்னர் அளவுருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி அவடிவம் உள்ளது:
டிஉறவின் படி Laplace விநியோக அட்டவணையில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது

வழக்கு 2.விநியோகத்தின் மாறுபாடு தெரியவில்லை; மாறுபாட்டின் புள்ளி மதிப்பீடு மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது. பின்னர் அளவுருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி அவடிவம் உள்ளது:
, மாதிரி, அளவுருவில் இருந்து கணக்கிடப்பட்ட மாதிரி சராசரி எங்கே டிமாணவர் விநியோக அட்டவணையில் இருந்து தீர்மானிக்கப்பட்டது

உதாரணமாக.ஒரு குறிப்பிட்ட அளவின் 7 அளவீடுகளின் அடிப்படையில், அளவீட்டு முடிவுகளின் சராசரி 30 ஆகவும், மாதிரி மாறுபாடு 36 ஆகவும் கண்டறியப்பட்டது. அளவிடப்பட்ட அளவின் உண்மையான மதிப்பு 0.99 நம்பகத்தன்மையுடன் உள்ள எல்லைகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.நாம் கண்டுபிடிப்போம் . பின்னர் அளவிடப்பட்ட மதிப்பின் உண்மையான மதிப்பைக் கொண்ட இடைவெளிக்கான நம்பிக்கை வரம்புகளை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:
, மாதிரி சராசரி எங்கே, மாதிரி மாறுபாடு. நாங்கள் எல்லா மதிப்புகளையும் மாற்றி, பெறுகிறோம்:

மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

பொதுவாக, கணித எதிர்பார்ப்பு தெரியவில்லை என்றும், மாறுபாட்டின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடு மட்டுமே தெரியும் என்றும் நாங்கள் நம்புகிறோம். பின்னர் நம்பிக்கை இடைவெளி வடிவம் கொண்டது:
, எங்கே - விநியோக அளவுகள் அட்டவணையில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

உதாரணமாக. 7 சோதனைகளின் தரவுகளின் அடிப்படையில், நிலையான விலகலுக்கான மதிப்பீட்டு மதிப்பு கண்டறியப்பட்டது s=12. நிகழ்தகவு 0.9 உடன் பரவலை மதிப்பிடுவதற்காக கட்டப்பட்ட நம்பிக்கை இடைவெளியின் அகலத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.அறியப்படாத மக்கள்தொகை மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம்:

நாங்கள் மாற்றுகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:


பின் நம்பக இடைவெளியின் அகலம் 465.589-71.708=393.881.

நிகழ்தகவுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி (விகிதம்)

வழக்கு 1.மாதிரி அளவு மற்றும் மாதிரி பின்னம் (உறவினர் அதிர்வெண்) சிக்கலில் தெரியட்டும். பொதுப் பங்கிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி (உண்மையான நிகழ்தகவு) வடிவம் கொண்டது:
, அளவுரு எங்கே டிஉறவின் படி Laplace விநியோக அட்டவணையில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

வழக்கு 2.சிக்கலில் மாதிரி எடுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையின் மொத்த அளவு கூடுதலாக அறியப்பட்டால், சரிசெய்யப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பொதுவான பங்கிற்கான (உண்மையான நிகழ்தகவு) நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியலாம்:
.

உதாரணமாக.பொதுப் பங்கு இருக்கக்கூடிய எல்லைகளைக் கண்டறியவும் என்று அறியப்படுகிறது.

தீர்வு.நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

நிபந்தனையிலிருந்து அளவுருவைக் கண்டுபிடிப்போம் , சூத்திரத்தில் மாற்றீட்டைப் பெறுகிறோம்:

சிக்கல்களின் பிற எடுத்துக்காட்டுகள் கணித புள்ளிவிவரங்கள்பக்கத்தில் காணலாம்

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி - இது அறியப்பட்ட நிகழ்தகவுடன், பொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கொண்டிருக்கும் தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட இடைவெளியாகும். கணித எதிர்பார்ப்புக்கான இயற்கையான மதிப்பீடு அதன் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரி ஆகும். எனவே, பாடம் முழுவதும் "சராசரி" மற்றும் "சராசரி மதிப்பு" என்ற சொற்களைப் பயன்படுத்துவோம். நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களில், "சராசரி எண்ணின் நம்பக இடைவெளி [குறிப்பிட்ட சிக்கலில்] [சிறிய மதிப்பில்] இருந்து [பெரிய மதிப்பு] வரை இருக்கும்" என்பது போன்ற பதில் பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது. நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் சராசரி மதிப்புகளை மட்டுமல்ல, பொது மக்களின் ஒரு குறிப்பிட்ட பண்புகளின் விகிதத்தையும் மதிப்பீடு செய்யலாம். சராசரி, மாறுபாடு, நிலையான விலகல்புதிய வரையறைகள் மற்றும் சூத்திரங்களை நாம் அடையும் பிழைகள் பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகின்றன மாதிரி மற்றும் மக்கள்தொகையின் பண்புகள் .

சராசரியின் புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகள்

மக்கள்தொகை சராசரி எண் (புள்ளி) மூலம் மதிப்பிடப்பட்டால், தெரியாததை மதிப்பிடுவதற்கு சராசரி அளவுபொது மக்களில், ஒரு குறிப்பிட்ட சராசரி எடுக்கப்படுகிறது, இது அவதானிப்புகளின் மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், மாதிரி சராசரியின் மதிப்பு - ஒரு சீரற்ற மாறி - பொது மக்களின் சராசரி மதிப்புடன் ஒத்துப்போவதில்லை. எனவே, மாதிரி சராசரியைக் குறிக்கும் போது, ​​நீங்கள் ஒரே நேரத்தில் மாதிரி பிழையைக் குறிப்பிட வேண்டும். மாதிரி பிழையின் அளவுகோல் நிலையான பிழை, இது சராசரியாக அதே அலகுகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, பின்வரும் குறியீடு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

சராசரியின் மதிப்பீடு ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடையதாக இருக்க வேண்டும் என்றால், மக்கள் தொகையில் ஆர்வத்தின் அளவுரு ஒரு எண்ணால் அல்ல, ஆனால் ஒரு இடைவெளியால் மதிப்பிடப்பட வேண்டும். நம்பிக்கை இடைவெளி என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு கொண்ட ஒரு இடைவெளி பிமதிப்பிடப்பட்ட மக்கள்தொகை காட்டி மதிப்பு காணப்படுகிறது. அது சாத்தியமான நம்பிக்கை இடைவெளி பி = 1 - α சீரற்ற மாறி காணப்படுகிறது, பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

,

α = 1 - பி, இது புள்ளிவிவரங்கள் பற்றிய எந்தவொரு புத்தகத்தின் பின்னிணைப்பில் காணலாம்.

நடைமுறையில், மக்கள்தொகை சராசரி மற்றும் மாறுபாடு தெரியவில்லை, எனவே மக்கள்தொகை மாறுபாடு மாதிரி மாறுபாட்டால் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் மக்கள் தொகை மாதிரி சராசரியால் மாற்றப்படுகிறது. எனவே, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் நம்பிக்கை இடைவெளி பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

.

நம்பக இடைவெளி சூத்திரம் என்றால் மக்கள்தொகை சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கு பயன்படுத்தப்படலாம்

• மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் அறியப்படுகிறது;
• அல்லது மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் தெரியவில்லை, ஆனால் மாதிரி அளவு 30 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது.

மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகை சராசரியின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாகும். இதையொட்டி, மாதிரி மாறுபாடு மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடு அல்ல. மாதிரி மாறுபாடு சூத்திரத்தில், மாதிரி அளவு, மக்கள் தொகை மாறுபாட்டின் நடுநிலை மதிப்பீட்டைப் பெற nமூலம் மாற்றப்பட வேண்டும் n-1.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு குறிப்பிட்ட நகரத்தில் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 100 கஃபேக்களில் இருந்து சராசரியாக 10.5 ஊழியர்களின் எண்ணிக்கை 4.6 என்ற நிலையான விலகலுடன் இருப்பதாக தகவல் சேகரிக்கப்பட்டது. கஃபே ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையில் 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும்.

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

எனவே, சராசரியாக ஓட்டல் ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையில் 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 9.6 முதல் 11.4 வரை இருந்தது.

உதாரணம் 2. 64 அவதானிப்புகளின் மக்கள்தொகையில் இருந்து ஒரு சீரற்ற மாதிரிக்கு, பின்வரும் மொத்த மதிப்புகள் கணக்கிடப்பட்டன:

அவதானிப்புகளில் உள்ள மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை,

சராசரியிலிருந்து மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை .

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும்.

நிலையான விலகலைக் கணக்கிடுவோம்:

,

சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

.

நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாட்டில் மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, இந்த மாதிரியின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 7.484 முதல் 11.266 வரை இருந்தது.

எடுத்துக்காட்டு 3. 100 அவதானிப்புகளின் சீரற்ற மக்கள்தொகை மாதிரிக்கு, கணக்கிடப்பட்ட சராசரி 15.2 மற்றும் நிலையான விலகல் 3.2 ஆகும். எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பிற்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும், பின்னர் 99% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும். மாதிரி சக்தியும் அதன் மாறுபாடும் மாறாமல், நம்பிக்கைக் குணகம் அதிகரித்தால், நம்பிக்கை இடைவெளி குறுகுமா அல்லது விரிவடையும்?

இந்த மதிப்புகளை நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாடாக மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

எனவே, இந்த மாதிரியின் சராசரிக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 14.57 முதல் 15.82 வரை இருந்தது.

நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாடாக இந்த மதிப்புகளை மீண்டும் மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,01 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

எனவே, இந்த மாதிரியின் சராசரிக்கான 99% நம்பிக்கை இடைவெளி 14.37 முதல் 16.02 வரை இருந்தது.

நாம் பார்ப்பது போல், நம்பிக்கைக் குணகம் அதிகரிக்கும் போது, ​​நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கிய மதிப்பும் அதிகரிக்கிறது, இதன் விளைவாக, இடைவெளியின் தொடக்க மற்றும் முடிவு புள்ளிகள் சராசரியிலிருந்து மேலும் அமைந்துள்ளன, இதனால் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி அதிகரிக்கிறது. .

குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு விசையின் புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகள்

சில மாதிரி பண்புகளின் பங்கை இவ்வாறு விளக்கலாம் புள்ளி மதிப்பீடுகுறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு பபொது மக்களில் அதே பண்பு. இந்த மதிப்பை நிகழ்தகவுடன் தொடர்புபடுத்த வேண்டும் என்றால், குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு விசையின் நம்பக இடைவெளி கணக்கிடப்பட வேண்டும். பநிகழ்தகவு கொண்ட மக்கள்தொகையில் சிறப்பியல்பு பி = 1 - α :

.

எடுத்துக்காட்டு 4.சில நகரங்களில் இரண்டு வேட்பாளர்கள் உள்ளனர் ஏமற்றும் பிமேயர் பதவிக்கு போட்டியிடுகின்றனர். 200 நகரவாசிகள் தோராயமாக கணக்கெடுக்கப்பட்டனர், அதில் 46% பேர் வேட்பாளருக்கு வாக்களிப்பதாக பதிலளித்தனர். ஏ, 26% - வேட்பாளருக்கு பிமேலும் 28% பேர் யாருக்கு வாக்களிப்போம் என்று தெரியவில்லை. வேட்பாளரை ஆதரிக்கும் நகரவாசிகளின் விகிதத்திற்கு 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும் ஏ.