2 என்பது இயற்கை எண் அல்லது இல்லை. இயற்கை எண் வரையறை

கணிதம் தனித்து நின்றது பொது தத்துவம்ஆறாம் நூற்றாண்டு கி.மு. e., மற்றும் அந்த தருணத்திலிருந்து உலகம் முழுவதும் அவரது வெற்றிகரமான அணிவகுப்பு தொடங்கியது. வளர்ச்சியின் ஒவ்வொரு கட்டமும் புதிதாக ஒன்றை அறிமுகப்படுத்தியது - அடிப்படை எண்ணுதல் உருவானது, வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸாக மாறியது, பல நூற்றாண்டுகள் கடந்துவிட்டன, சூத்திரங்கள் மேலும் மேலும் குழப்பமடைந்தன, மேலும் "மிக சிக்கலான கணிதம் தொடங்கியது - எல்லா எண்களும் அதிலிருந்து மறைந்துவிட்டன" என்ற தருணம் வந்தது. ஆனால் அடிப்படை என்ன?

ஆரம்பம் தொடங்கியது

முதல் கணித செயல்பாடுகளுடன் இயற்கை எண்கள் தோன்றின. ஒரு முதுகெலும்பு, இரண்டு முதுகெலும்புகள், மூன்று முதுகெலும்புகள் ... முதல் நிலையை உருவாக்கிய இந்திய விஞ்ஞானிகளுக்கு நன்றி தெரிவித்தன

"நிலைமை" என்ற வார்த்தையின் அர்த்தம், ஒரு எண்ணில் உள்ள ஒவ்வொரு இலக்கத்தின் இருப்பிடமும் கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்டு அதன் தரத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, எண்கள் 784 மற்றும் 487 ஆகியவை ஒரே எண்கள், ஆனால் எண்கள் சமமானவை அல்ல, ஏனெனில் முதலில் 7 நூறுகள் அடங்கும், இரண்டாவது 4. இந்திய கண்டுபிடிப்பு அரேபியர்களால் எடுக்கப்பட்டது, அவர்கள் எண்களை வடிவத்திற்கு கொண்டு வந்தனர். இப்போது நமக்குத் தெரியும்.

பண்டைய காலங்களில், எண்களுக்கு ஒரு மாய அர்த்தம் கொடுக்கப்பட்டது - நெருப்பு, நீர், பூமி, காற்று ஆகிய அடிப்படைக் கூறுகளுடன் இந்த எண் உலகத்தை உருவாக்குகிறது என்று நம்பினார். எல்லாவற்றையும் கணிதப் பக்கத்திலிருந்து மட்டுமே கருத்தில் கொண்டால், இயற்கை எண் என்றால் என்ன? களம் இயற்கை எண்கள் N ஆகக் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் இது முழு எண்கள் மற்றும் நேர்மறை எண்களின் எண்ணற்ற தொடர்: 1, 2, 3, ... + ∞. பூஜ்யம் விலக்கப்பட்டுள்ளது. பொருட்களை எண்ணுவதற்கும் வரிசையைக் குறிப்பிடுவதற்கும் முதன்மையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கணிதத்தில் அது என்ன? பீனோவின் கோட்பாடுகள்

புலம் N என்பது அடிப்படைக் கணிதத்தின் அடிப்படையிலான அடிப்படையாகும். காலப்போக்கில், முழு எண், பகுத்தறிவு,

இத்தாலிய கணிதவியலாளர் கியூசெப் பீனோவின் பணி, எண்கணிதத்தின் மேலும் கட்டமைப்பை சாத்தியமாக்கியது, அதன் சம்பிரதாயத்தை அடைந்தது மற்றும் புலப் பகுதி N ஐத் தாண்டிய மேலும் முடிவுகளுக்கு வழியைத் தயாரித்தது.

இயற்கை எண் என்றால் என்ன என்பது முன்பே தெளிவுபடுத்தப்பட்டது எளிய மொழியில், கீழே நாம் பீனோவின் கோட்பாடுகளின் அடிப்படையில் ஒரு கணித வரையறையை பரிசீலிப்போம்.

• ஒன்று இயற்கை எண்ணாகக் கருதப்படுகிறது.
• இயல் எண்ணைத் தொடர்ந்து வரும் எண் இயற்கை எண்ணாகும்.
• ஒன்றுக்கு முன் இயற்கை எண் இல்லை.
• b எண் c மற்றும் d எண் இரண்டையும் பின்பற்றினால், c=d.
• தூண்டலின் கோட்பாடு, இது இயற்கை எண் என்றால் என்ன என்பதைக் காட்டுகிறது: ஒரு அளவுருவைச் சார்ந்திருக்கும் சில கூற்று எண் 1 க்கு உண்மையாக இருந்தால், அது இயற்கை எண்கள் N புலத்திலிருந்து n என்ற எண்ணுக்கும் வேலை செய்கிறது என்று கருதுகிறோம். இயல் எண்கள் N புலத்தில் இருந்து n =1 க்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாகும்.

இயற்கை எண்களின் புலத்திற்கான அடிப்படை செயல்பாடுகள்

புலம் N என்பது கணிதக் கணக்கீடுகளுக்கு முதன்மையானது என்பதால், வரையறையின் களங்கள் மற்றும் கீழே உள்ள பல செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் வரம்புகள் இரண்டும் அதற்கு சொந்தமானது. அவை மூடப்பட்டுள்ளன, இல்லை. முக்கிய வேறுபாடு என்னவென்றால், மூடிய செயல்பாடுகள் எந்த எண்கள் சம்பந்தப்பட்டிருந்தாலும், N தொகுப்பிற்குள் முடிவை விட்டுவிட உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகின்றன. அவை இயற்கையாக இருந்தால் போதும். மற்ற எண் தொடர்புகளின் விளைவு இனி அவ்வளவு தெளிவாக இல்லை மற்றும் வெளிப்பாட்டில் எந்த வகையான எண்கள் ஈடுபட்டுள்ளன என்பதைப் பொறுத்தது, ஏனெனில் இது முக்கிய வரையறைக்கு முரணாக இருக்கலாம். எனவே, மூடப்பட்ட செயல்பாடுகள்:

• கூடுதலாக - x + y = z, x, y, z ஆகியவை N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன;
• பெருக்கல் - x * y = z, x, y, z ஆகியவை N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன;
• விரிவாக்கம் - x y, இதில் x, y ஆகியவை N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

மீதமுள்ள செயல்பாடுகள், "இயற்கை எண் என்றால் என்ன" என்ற வரையறையின் பின்னணியில் இல்லாமல் இருக்கலாம்:

N புலத்தைச் சேர்ந்த எண்களின் பண்புகள்

மேலும் அனைத்து கணித பகுத்தறிவும் பின்வரும் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது, மிகவும் அற்பமானது, ஆனால் குறைவான முக்கியத்துவம் இல்லை.

• கூட்டல் மாற்றும் பண்பு x + y = y + x ஆகும், இதில் எண்கள் x, y ஆகியவை N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. அல்லது நன்கு அறியப்பட்ட "விதிகளின் இடங்களை மாற்றுவதன் மூலம் கூட்டுத்தொகை மாறாது."
• பெருக்கத்தின் பரிமாற்றப் பண்பு x * y = y * x ஆகும், இதில் x, y எண்கள் N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.
• கூட்டலின் கூட்டுப் பண்பு (x + y) + z = x + (y + z), இதில் x, y, z ஆகியவை N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.
• பெருக்கத்தின் பொருந்தக்கூடிய பண்பு (x * y) * z = x * (y * z), இதில் x, y, z எண்கள் N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.
• விநியோக சொத்து - x (y + z) = x * y + x * z, இதில் x, y, z எண்கள் N புலத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

பித்தகோரியன் அட்டவணை

எந்த எண்கள் இயற்கை எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதைத் தாங்களே புரிந்து கொண்ட பிறகு, ஆரம்பக் கணிதத்தின் முழு அமைப்பையும் மாணவர்களின் அறிவின் முதல் படிகளில் ஒன்று பித்தகோரியன் அட்டவணை. இது அறிவியலின் பார்வையில் மட்டுமல்ல, மிகவும் மதிப்புமிக்க அறிவியல் நினைவுச்சின்னமாகவும் கருதப்படலாம்.

இந்த பெருக்கல் அட்டவணை காலப்போக்கில் பல மாற்றங்களுக்கு உட்பட்டுள்ளது: பூஜ்ஜியம் அதிலிருந்து அகற்றப்பட்டது, மேலும் 1 முதல் 10 வரையிலான எண்கள் தங்களைக் குறிக்கின்றன, ஆர்டர்களை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளாமல் (நூறுகள், ஆயிரக்கணக்கானவை ...). இது வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை தலைப்புகள் எண்களாக இருக்கும் அட்டவணையாகும், மேலும் அவை வெட்டும் கலங்களின் உள்ளடக்கங்கள் அவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருக்கும்.

சமீபத்திய தசாப்தங்களில் கற்பித்தல் நடைமுறையில், பித்தகோரியன் அட்டவணையை "வரிசைப்படி" மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியம் உள்ளது, அதாவது மனப்பாடம் முதலில் வந்தது. 1 ஆல் பெருக்கல் விலக்கப்பட்டது, ஏனெனில் முடிவு 1 அல்லது அதிக பெருக்கி. இதற்கிடையில், நிர்வாணக் கண்ணால் அட்டவணையில் நீங்கள் ஒரு வடிவத்தை கவனிக்க முடியும்: எண்களின் தயாரிப்பு ஒரு படி அதிகரிக்கிறது, இது வரியின் தலைப்புக்கு சமம். எனவே, விரும்பிய பொருளைப் பெறுவதற்கு முதல் ஒன்றை எத்தனை முறை எடுக்க வேண்டும் என்பதை இரண்டாவது காரணி காட்டுகிறது. இந்த அமைப்புஇடைக்காலத்தில் நடைமுறையில் இருந்ததை விட மிகவும் வசதியானது: ஒரு இயற்கை எண் என்ன, அது எவ்வளவு அற்பமானது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கூட, இரண்டு சக்திகளின் அடிப்படையில் ஒரு அமைப்பைப் பயன்படுத்தி மக்கள் தங்கள் அன்றாட எண்ணுதலை சிக்கலாக்க முடிந்தது.

கணிதத்தின் தொட்டிலாக துணைக்குழு

இந்த நேரத்தில், இயற்கை எண்களின் புலம் N துணைக்குழுக்களில் ஒன்றாக மட்டுமே கருதப்படுகிறது சிக்கலான எண்கள், ஆனால் இது அவர்களை அறிவியலில் குறைவான மதிப்புமிக்கதாக ஆக்குவதில்லை. ஒரு குழந்தை தன்னைப் படிக்கும் போது கற்றுக் கொள்ளும் முதல் விஷயம் இயற்கை எண் நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகம். ஒரு விரல், இரண்டு விரல்கள் ... அவருக்கு நன்றி, ஒரு நபர் உருவாகிறார் தருக்க சிந்தனை, அத்துடன் காரணத்தைத் தீர்மானிக்கும் திறன் மற்றும் விளைவைக் குறைப்பது, சிறந்த கண்டுபிடிப்புகளுக்கு வழி வகுக்கிறது.

இயற்கை எண்கள் பழமையான கணிதக் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும்.

தொலைதூர கடந்த காலத்தில், மக்கள் எண்களை அறிந்திருக்கவில்லை, மேலும் அவர்கள் பொருட்களை (விலங்குகள், மீன்கள், முதலியன) எண்ண வேண்டியிருக்கும் போது, ​​இப்போது நாம் செய்வதை விட வித்தியாசமாக செய்தார்கள்.

பொருட்களின் எண்ணிக்கை உடலின் பாகங்களுடன் ஒப்பிடப்பட்டது, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கையில் விரல்களால், அவர்கள் சொன்னார்கள்: "என் கையில் விரல்கள் உள்ள அளவுக்கு என்னிடம் பல கொட்டைகள் உள்ளன."

காலப்போக்கில், ஐந்து கொட்டைகள், ஐந்து ஆடுகள் மற்றும் ஐந்து முயல்கள் இருப்பதை மக்கள் உணர்ந்தனர் பொதுவான சொத்து- அவர்களின் எண்ணிக்கை ஐந்து.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

இயற்கை எண்கள்- இவை எண்கள், 1 இலிருந்து தொடங்கி, பொருட்களை எண்ணுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

1, 2, 3, 4, 5…

மிகச் சிறிய இயற்கை எண் — 1 .

மிகப்பெரிய இயற்கை எண்இல்லை.

எண்ணும் போது, ​​பூஜ்ஜிய எண் பயன்படுத்தப்படாது. எனவே, பூஜ்ஜியம் இயற்கை எண்ணாக கருதப்படுவதில்லை.

மக்கள் எண்ணுவதை விட மிகவும் தாமதமாக எண்களை எழுத கற்றுக்கொண்டனர். முதலில், அவர்கள் ஒன்றை ஒரு குச்சியால் சித்தரிக்கத் தொடங்கினர், பின்னர் இரண்டு குச்சிகள் - எண் 2, மூன்று - எண் 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

பின்னர் எண்களைக் குறிக்க சிறப்பு அறிகுறிகள் தோன்றின - நவீன எண்களின் முன்னோடிகள். எண்களை எழுத நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள் சுமார் 1,500 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு இந்தியாவில் உருவானது. அரேபியர்கள் அவர்களை ஐரோப்பாவிற்கு அழைத்து வந்தனர், அதனால்தான் அவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள் அரபு எண்கள்.

மொத்தம் பத்து எண்கள் உள்ளன: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. இந்த எண்களைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் எந்த இயற்கை எண்ணையும் எழுதலாம்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

இயற்கை தொடர்அனைத்து இயற்கை எண்களின் வரிசை:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

இயற்கைத் தொடரில், ஒவ்வொரு எண்ணும் முந்தையதை விட 1 ஆல் அதிகமாக இருக்கும்.

இயற்கைத் தொடர் எல்லையற்றது; அதில் மிகப்பெரிய இயற்கை எண் இல்லை.

நாம் பயன்படுத்தும் எண்ணும் முறை அழைக்கப்படுகிறது தசம நிலை.

தசமம் ஏனெனில் ஒவ்வொரு இலக்கத்தின் 10 அலகுகள் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க இலக்கத்தின் 1 அலகு ஆகும். ஒரு இலக்கத்தின் பொருள் எண் பதிவில் அதன் இடத்தைப் பொறுத்தது, அதாவது அது எழுதப்பட்ட இலக்கத்தைப் பொறுத்தது.

முக்கியமானது!

பில்லியனைத் தொடர்ந்து வரும் வகுப்புகள் எண்களின் லத்தீன் பெயர்களின்படி பெயரிடப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு அடுத்த அலகும் ஆயிரம் முந்தைய அலகுகளைக் கொண்டுள்ளது.

• 1,000 பில்லியன் = 1,000,000,000,000 = 1 டிரில்லியன் (“மூன்று” என்பது லத்தீன் மொழியில் “மூன்று”)
• 1,000 டிரில்லியன் = 1,000,000,000,000,000 = 1 குவாட்ரில்லியன் (“குவாட்ரா” என்பது லத்தீன் மொழியில் “நான்கு”)
• 1,000 குவாட்ரில்லியன் = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 குவிண்டில்லியன் (“குவின்டா” என்பது லத்தீன் மொழியில் “ஐந்து”)

இருப்பினும், இயற்பியலாளர்கள் முழு பிரபஞ்சத்தில் உள்ள அனைத்து அணுக்களின் (பொருளின் மிகச்சிறிய துகள்கள்) எண்ணிக்கையை விட அதிகமான எண்ணைக் கண்டறிந்துள்ளனர்.

இந்த எண் ஒரு சிறப்புப் பெயரைப் பெற்றது - கூகோல். கூகோல் என்பது 100 பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட எண்.

இயற்கை எண்கள்- பொருள்களை எண்ணுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் எண்கள் . எந்த இயற்கை எண்ணையும் பத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம் எண்கள்: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. இந்த வகை எண் அழைக்கப்படுகிறது தசம

அனைத்து இயற்கை எண்களின் வரிசையும் அழைக்கப்படுகிறது அடுத்த இயற்கை .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

மிகவும் சிறியஇயற்கை எண் ஒன்று (1). இயற்கைத் தொடரில், ஒவ்வொரு அடுத்த எண்ணும் முந்தையதை விட 1 அதிகமாகும். இயற்கை தொடர் முடிவில்லாத,அதில் பெரிய எண் எதுவும் இல்லை.

இலக்கத்தின் பொருள் எண் பதிவில் அதன் இடத்தைப் பொறுத்தது. எடுத்துக்காட்டாக, எண் 4 என்பது எண் பதிவில் கடைசி இடத்தில் இருந்தால் 4 அலகுகள் (அலகுகள் இடத்தில்); 4 பத்து,அவள் இரண்டாவது முதல் கடைசி இடத்தில் இருந்தால் (பத்து இடத்தில்); 4 நூற்றுக்கணக்கான,அவள் முடிவில் இருந்து மூன்றாவது இடத்தில் இருந்தால் (வி நூற்றுக்கணக்கான இடம்).

எண் 0 என்பது இந்த வகை அலகுகள் இல்லாததுஒரு எண்ணின் தசம குறியீட்டில் இது எண்ணைக் குறிக்கவும் உதவுகிறது. பூஜ்யம்" இந்த எண் "இல்லை" என்று பொருள். கால்பந்து போட்டியில் 0:3 என்ற கோல் அடித்தால் முதல் அணி எதிரணிக்கு எதிராக ஒரு கோல் கூட அடிக்கவில்லை.

பூஜ்யம் சேர்க்க வேண்டாம்இயற்கை எண்களுக்கு. உண்மையில், பொருட்களை எண்ணுவது ஒருபோதும் புதிதாக தொடங்குவதில்லை.

இயற்கை எண்ணின் குறியீடானது ஒரு அடையாளத்தைக் கொண்டிருந்தால் – ஒரு இலக்கம், பின்னர் அது அழைக்கப்படுகிறது தெளிவற்ற.அந்த. தெளிவற்றஇயற்கை எண்- ஒரு இயற்கை எண், அதன் குறியீடு ஒரு அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது – ஒரு இலக்கம். எடுத்துக்காட்டாக, 1, 6, 8 எண்கள் ஒற்றை இலக்கங்கள்.

இரட்டை இலக்கம்இயற்கை எண்- ஒரு இயற்கை எண், அதன் குறியீடானது இரண்டு எழுத்துக்களைக் கொண்டுள்ளது - இரண்டு இலக்கங்கள்.

எடுத்துக்காட்டாக, 12, 47, 24, 99 ஆகிய எண்கள் இரண்டு இலக்க எண்கள்.

மேலும் உள்ள எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கைக்கு ஏற்ப கொடுக்கப்பட்ட எண்மற்ற எண்களுக்கு பெயர்களைக் கொடுங்கள்:

எண்கள் 326, 532, 893 – மூன்று இலக்கங்கள்;

எண்கள் 1126, 4268, 9999 – நான்கு இலக்கங்கள்முதலியன

இரண்டு இலக்கங்கள், மூன்று இலக்கங்கள், நான்கு இலக்கங்கள், ஐந்து இலக்கங்கள் போன்றவை. எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன பல இலக்க எண்கள் .

பல இலக்க எண்களைப் படிக்க, அவை வலமிருந்து தொடங்கி, ஒவ்வொன்றும் மூன்று இலக்கங்களின் குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன (இடதுபுறக் குழு ஒன்று அல்லது இரண்டு இலக்கங்களைக் கொண்டிருக்கலாம்). இந்த குழுக்கள் அழைக்கப்படுகின்றன வகுப்புகள்.

மில்லியன்- இது ஆயிரம் ஆயிரம் (1000 ஆயிரம்), இது 1 மில்லியன் அல்லது 1,000,000 என்று எழுதப்பட்டுள்ளது.

பில்லியன்- அது 1000 மில்லியன். இது 1 பில்லியன் அல்லது 1,000,000,000 என எழுதப்பட்டுள்ளது.

வலதுபுறத்தில் உள்ள முதல் மூன்று இலக்கங்கள் அலகுகளின் வகுப்பை உருவாக்குகின்றன, அடுத்த மூன்று - ஆயிரக்கணக்கான வகுப்புகள், பின்னர் மில்லியன்கள், பில்லியன்கள் போன்றவை. (படம் 1).

அரிசி. 1. மில்லியன் வகுப்பு, ஆயிரக்கணக்கான வகுப்பு மற்றும் அலகுகள் வகுப்பு (இடமிருந்து வலமாக)

15389000286 என்ற எண் பிட் கட்டத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது (படம் 2).

அரிசி. 2. பிட் கட்டம்: எண் 15 பில்லியன் 389 மில்லியன் 286

இந்த எண்ணில் அலகுகள் வகுப்பில் 286 அலகுகள், ஆயிரக்கணக்கான வகுப்பில் பூஜ்ஜிய அலகுகள், மில்லியன் வகுப்பில் 389 அலகுகள் மற்றும் பில்லியன்கள் வகுப்பில் 15 அலகுகள் உள்ளன.

இயற்கை எண்கள்- இயற்கை எண்கள் என்பது பொருட்களை எண்ணுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் எண்கள். அனைத்து இயற்கை எண்களின் தொகுப்பும் சில நேரங்களில் இயற்கைத் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, முதலியன .

இயற்கை எண்களை எழுத, பத்து இலக்கங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. அவற்றைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எந்த இயற்கை எண்ணையும் எழுதலாம். எண்களின் இந்த குறியீடு தசமம் எனப்படும்.

எண்களின் இயற்கையான தொடர் காலவரையின்றி தொடரலாம். கடைசியாக இருக்கும் அத்தகைய எண் எதுவும் இல்லை, ஏனென்றால் நீங்கள் எப்போதும் கடைசி எண்ணுடன் ஒன்றைச் சேர்க்கலாம், மேலும் நீங்கள் தேடும் எண்ணை விட ஏற்கனவே பெரிய எண்ணைப் பெறுவீர்கள். இந்நிலையில், இயற்கைத் தொடரில் மிகப் பெரிய எண் இல்லை என்கிறார்கள்.

இயற்கை எண்களின் இடங்கள்

இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தி எந்த எண்ணையும் எழுதும்போது, ​​அந்த எண்ணில் இலக்கம் தோன்றும் இடம் முக்கியமானது. எடுத்துக்காட்டாக, எண் 3 என்பது: 3 அலகுகள், எண்ணில் கடைசி இடத்தில் தோன்றினால்; 3 பத்துகள், அவள் எண்ணில் இறுதி இடத்தில் இருந்தால்; அவள் முடிவில் இருந்து மூன்றாவது இடத்தில் இருந்தால் 4 நூறு.

கடைசி இலக்கமானது அலகுகளின் இடத்தைக் குறிக்கிறது, இறுதி இலக்கமானது பத்து இடத்தைக் குறிக்கிறது, மற்றும் முடிவில் இருந்து 3 என்பது நூற்றுக்கணக்கான இடத்தைக் குறிக்கிறது.

ஒற்றை மற்றும் பல இலக்க எண்கள்

ஒரு எண்ணின் எந்த இலக்கமும் 0 என்ற இலக்கத்தைக் கொண்டிருந்தால், இந்த இலக்கத்தில் எதுவும் இல்லை என்று அர்த்தம்.

பூஜ்ஜிய எண்ணைக் குறிக்க எண் 0 பயன்படுத்தப்படுகிறது. பூஜ்யம் என்பது "ஒன்றல்ல".

பூஜ்ஜியம் என்பது இயற்கை எண் அல்ல. சில கணிதவியலாளர்கள் வித்தியாசமாக சிந்திக்கிறார்கள்.

ஒரு எண் ஒரு இலக்கத்தைக் கொண்டிருந்தால் அது ஒற்றை இலக்கம் என்றும், இரண்டைக் கொண்டிருந்தால் அது இரண்டு இலக்கம் என்றும், மூன்றைக் கொண்டிருந்தால் அது மூன்று இலக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒற்றை இலக்கமாக இல்லாத எண்கள் பல இலக்கங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

பெரிய இயற்கை எண்களைப் படிக்கும் இலக்க வகுப்புகள்

பெரிய இயற்கை எண்களைப் படிக்க, எண் வலது விளிம்பிலிருந்து தொடங்கி மூன்று இலக்கங்களின் குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. இந்த குழுக்கள் வகுப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வலது விளிம்பில் உள்ள முதல் மூன்று இலக்கங்கள் யூனிட் வகுப்பையும், அடுத்த மூன்று ஆயிரம் வகுப்புகளையும், அடுத்த மூன்று மில்லியன் வகுப்பையும் உருவாக்குகின்றன.

மில்லியன் - 1 மில்லியன் = 1,000,000 என்ற சுருக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு பில்லியன் = ஆயிரம் மில்லியன். பதிவு செய்ய, பில்லியன் 1 பில்லியன் = 1,000,000,000 என்ற சுருக்கத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

எழுதுவதற்கும் வாசிப்பதற்கும் உதாரணம்

இந்த எண் பில்லியன்களின் வகுப்பில் 15 அலகுகள், மில்லியன்கள் வகுப்பில் 389 அலகுகள், ஆயிரக்கணக்கான வகுப்பில் பூஜ்ஜிய அலகுகள் மற்றும் அலகுகளின் வகுப்பில் 286 அலகுகள் உள்ளன.

இந்த எண் பின்வருமாறு: 15 பில்லியன் 389 மில்லியன் 286.

இடமிருந்து வலமாக எண்களைப் படிக்கவும். ஒவ்வொரு வகுப்பின் அலகுகளின் எண்ணிக்கையை மாறி மாறி அழைத்து பின்னர் வகுப்பின் பெயரைச் சேர்க்கவும்.

கணிதத்தில், பல்வேறு எண்களின் தொகுப்புகள் உள்ளன: உண்மையான, சிக்கலான, முழு எண், பகுத்தறிவு, பகுத்தறிவற்ற, ... அன்றாட வாழ்க்கை எண்ணும் போதும், தேடும் போதும், பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் போதும், இயற்கை எண்களையே நாம் அடிக்கடிப் பயன்படுத்துகிறோம்.

என்ன எண்கள் இயற்கை எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

பத்து இலக்கங்களிலிருந்து நீங்கள் ஏற்கனவே உள்ள வகுப்புகள் மற்றும் தரவரிசைகளின் எந்தத் தொகையையும் எழுதலாம். இயற்கை மதிப்புகள் அவை என்று கருதப்படுகின்றன பயன்படுத்தப்படும்:

• எந்த பொருட்களையும் எண்ணும் போது (முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது, ... ஐந்தாவது, ... பத்தாவது).
• உருப்படிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பிடும்போது (ஒன்று, இரண்டு, மூன்று...)

N மதிப்புகள் எப்போதும் முழு எண் மற்றும் நேர்மறை. முழு எண் மதிப்புகளின் தொகுப்பு வரம்பற்றதாக இருப்பதால் மிகப்பெரிய N இல்லை.

கவனம்!பொருட்களை எண்ணும் போது அல்லது அவற்றின் அளவைக் குறிக்கும் போது இயற்கை எண்கள் பெறப்படுகின்றன.

முற்றிலும் எந்த எண்ணையும் சிதைத்து இலக்க சொற்களின் வடிவத்தில் வழங்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக: 8.346.809=8 மில்லியன்+346 ஆயிரம்+809 அலகுகள்.

அமை N

N என்பது தொகுப்பில் உள்ளது உண்மையான, முழு எண் மற்றும் நேர்மறை. தொகுப்புகளின் வரைபடத்தில், அவை ஒன்றோடொன்று அமைந்திருக்கும், ஏனெனில் இயற்கையானவை அவற்றின் ஒரு பகுதியாகும்.

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு N என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த தொகுப்பில் ஒரு தொடக்கம் உள்ளது, ஆனால் முடிவு இல்லை.

நீட்டிக்கப்பட்ட தொகுப்பு N உள்ளது, இதில் பூஜ்ஜியம் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

மிகச் சிறிய இயற்கை எண்

பெரும்பாலான கணிதப் பள்ளிகள் குறைந்த மதிப்புஎன் ஒரு அலகாக கருதப்படுகிறது, பொருள்கள் இல்லாதது வெறுமையாகக் கருதப்படுவதால்.

ஆனால் வெளிநாட்டில் கணித பள்ளிகள், எடுத்துக்காட்டாக பிரஞ்சு, இயற்கை கருதப்படுகிறது. தொடரில் பூஜ்ஜியத்தின் இருப்பு ஆதாரத்தை எளிதாக்குகிறது சில கோட்பாடுகள்.

பூஜ்ஜியத்தை உள்ளடக்கிய N மதிப்புகளின் தொடர் நீட்டிக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் N0 (பூஜ்ஜிய குறியீட்டு) குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

இயற்கை எண்களின் தொடர்

N தொடர் என்பது அனைத்து N செட் இலக்கங்களின் வரிசையாகும். இந்த வரிசைக்கு முடிவே இல்லை.

இயற்கைத் தொடரின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், அடுத்த எண் முந்தைய எண்ணிலிருந்து ஒன்றால் வேறுபடும், அதாவது அது அதிகரிக்கும். ஆனால் அர்த்தங்கள் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.

கவனம்!எண்ணுவதை எளிதாக்க, வகுப்புகள் மற்றும் வகைகள் உள்ளன:

• அலகுகள் (1, 2, 3),
• பத்துகள் (10, 20, 30),
• நூற்றுக்கணக்கான (100, 200, 300),
• ஆயிரக்கணக்கான (1000, 2000, 3000),
• பல்லாயிரக்கணக்கான (30,000),
• நூறாயிரக்கணக்கான (800.000),
• மில்லியன்கள் (4000000) போன்றவை.

அனைத்து என்

அனைத்து Nகளும் உண்மையான, முழு எண், எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளின் தொகுப்பில் உள்ளன. அவர்கள் அவர்களுடையவர்கள் ஒருங்கிணைந்த பகுதி.

இந்த மதிப்புகள் முடிவிலிக்குச் செல்கின்றன, அவை மில்லியன் கணக்கான, பில்லியன்கள், குவிண்டில்லியன்கள் போன்றவற்றின் வகுப்புகளைச் சேர்ந்தவை.

உதாரணமாக:

• ஐந்து ஆப்பிள்கள், மூன்று பூனைக்குட்டிகள்,
• பத்து ரூபிள், முப்பது பென்சில்கள்,
• நூறு கிலோகிராம், முன்னூறு புத்தகங்கள்,
• ஒரு மில்லியன் நட்சத்திரங்கள், மூன்று மில்லியன் மக்கள், முதலியன.

N இல் வரிசை

வெவ்வேறு கணிதப் பள்ளிகளில், வரிசை N ஐச் சேர்ந்த இரண்டு இடைவெளிகளைக் காணலாம்:

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து கூட்டல் முடிவிலி வரை, முனைகள் உட்பட, மற்றும் ஒன்று முதல் கூட்டல் முடிவிலி வரை, முனைகள் உட்பட, அதாவது அனைத்தும் நேர்மறை முழு எண் பதில்கள்.

இலக்கங்களின் N தொகுப்புகள் சமமாகவோ அல்லது ஒற்றைப்படையாகவோ இருக்கலாம். விந்தையின் கருத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒற்றைப்படை (எந்த ஒற்றைப்படை எண்ணும் 1, 3, 5, 7, 9 ஆகிய எண்களில் முடிவடைகிறது.) இரண்டில் எஞ்சியிருக்கும். உதாரணமாக, 7:2=3.5, 11:2=5.5, 23:2=11.5.

N என்றால் என்ன?

வகுப்புகளின் எந்த இரட்டைத் தொகையும் எண்களில் முடிவடையும்: 0, 2, 4, 6, 8. N ஐ கூட 2 ஆல் வகுத்தால், மீதம் இருக்காது, அதாவது, முடிவு முழு விடையாகும். உதாரணமாக, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

முக்கியமானது! N இன் ஒரு எண் தொடர் சம அல்லது ஒற்றைப்படை மதிப்புகளை மட்டுமே கொண்டிருக்க முடியாது, ஏனெனில் அவை மாறி மாறி வர வேண்டும்: கூட எப்போதும் ஒற்றைப்படை, அதைத் தொடர்ந்து மீண்டும், முதலியன.

பண்புகள் என்

மற்ற எல்லா தொகுப்புகளையும் போலவே, N க்கும் அதன் சொந்த சிறப்பு பண்புகள் உள்ளன. N தொடரின் பண்புகளை (நீட்டிக்கப்படவில்லை) கருத்தில் கொள்வோம்.

• மிகச்சிறியது மற்றும் வேறு எதையும் பின்பற்றாத மதிப்பு ஒன்றுதான்.
• N ஒரு வரிசையை குறிக்கிறது, அதாவது ஒரு இயற்கை மதிப்பு இன்னொன்றைப் பின்பற்றுகிறது(ஒன்றைத் தவிர - இது முதல்).
• இலக்கங்கள் மற்றும் வகுப்புகளின் N தொகைகளில் (சேர், பெருக்கு) கணக்கீட்டு செயல்பாடுகளைச் செய்யும்போது, ​​பதில் அது எப்போதும் இயற்கையாகவே மாறிவிடும்பொருள்.
• வரிசைமாற்றம் மற்றும் கலவையை கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தலாம்.
• ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த மதிப்பும் முந்தையதை விட குறைவாக இருக்கக்கூடாது. மேலும் N தொடரில் பின்வரும் சட்டம் பொருந்தும்: A எண் B ஐ விட குறைவாக இருந்தால், எண் தொடரில் எப்போதும் C இருக்கும், அதற்கு சமத்துவம் உள்ளது: A+C=B.
• நாம் இரண்டு இயற்கை வெளிப்பாடுகளை எடுத்துக் கொண்டால், எடுத்துக்காட்டாக A மற்றும் B, வெளிப்பாடுகளில் ஒன்று அவர்களுக்கு உண்மையாக இருக்கும்: A = B, A என்பது B ஐ விட பெரியது, A என்பது B ஐ விட சிறியது.
• A என்பது B ஐ விட குறைவாகவும், B ஆனது C ஐ விட குறைவாகவும் இருந்தால், அது பின்வருமாறு C ஐ விட A குறைவாக உள்ளது.
• A B ஐ விட குறைவாக இருந்தால், அது பின்வருமாறு: அதே வெளிப்பாட்டை (C) அவற்றுடன் சேர்த்தால், A + C என்பது B + C ஐ விட குறைவாக இருக்கும். இந்த மதிப்புகள் C ஆல் பெருக்கப்பட்டால், AC AB ஐ விட குறைவாக இருக்கும் என்பதும் உண்மை.
• A ஐ விட B அதிகமாகவும், C ஐ விட குறைவாகவும் இருந்தால்: பி-ஏ குறைவுஎஸ்-ஏ.

கவனம்!மேலே உள்ள அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளும் எதிர் திசையில் செல்லுபடியாகும்.

பெருக்கத்தின் கூறுகள் என்ன அழைக்கப்படுகின்றன?

பல எளிய மற்றும் சிக்கலான பிரச்சனைகளில், பதில் கண்டுபிடிப்பது மாணவர்களின் திறமையைப் பொறுத்தது