இரட்டைப்படை மற்றும் இரட்டைச் செயல்பாடு என்றால் என்ன? சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகள். செயல்பாட்டின் காலம். செயல்பாட்டின் தீவிரம்

செயல்பாடுமிக முக்கியமான கணிதக் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். செயல்பாடு - மாறி சார்பு மணிக்குமாறி இருந்து x, ஒவ்வொரு மதிப்பு என்றால் எக்ஸ்ஒற்றை மதிப்புடன் பொருந்துகிறது மணிக்கு. மாறி எக்ஸ்சுயாதீன மாறி அல்லது வாதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மாறி மணிக்குசார்பு மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது. சுயாதீன மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளும் (மாறி x) செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தை உருவாக்குகிறது. சார்பு மாறி எடுக்கும் அனைத்து மதிப்புகளும் (மாறி ஒய்), செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பை உருவாக்குகிறது.

செயல்பாட்டு வரைபடம்அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பை அழைக்கவும் ஒருங்கிணைப்பு விமானம், வாதத்தின் மதிப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும் அப்சிசாஸ்கள், மற்றும் ஆர்டினேட்டுகள் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய மதிப்புகளுக்கு சமம், அதாவது மாறியின் மதிப்புகள் abscissa அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன x, மற்றும் மாறியின் மதிப்புகள் ஆர்டினேட் அச்சில் வரையப்பட்டுள்ளன ஒய். ஒரு செயல்பாட்டை வரைபடமாக்க, நீங்கள் செயல்பாட்டின் பண்புகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். செயல்பாட்டின் முக்கிய பண்புகள் கீழே விவாதிக்கப்படும்!

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்க, எங்கள் நிரலைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறோம் - கிராஃபிங் செயல்பாடுகள் ஆன்லைனில். இந்தப் பக்கத்தில் உள்ள விஷயங்களைப் படிக்கும்போது உங்களுக்கு ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால், அவற்றை எப்போதும் எங்கள் மன்றத்தில் கேட்கலாம். மேலும் மன்றத்தில் அவை கணிதம், வேதியியல், வடிவியல், நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் பல பாடங்களில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவும்!

செயல்பாடுகளின் அடிப்படை பண்புகள்.

1) செயல்பாட்டு டொமைன் மற்றும் செயல்பாட்டு வரம்பு.

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் என்பது அனைத்து செல்லுபடியாகும் வாத மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும் x(மாறி x), அதற்கான செயல்பாடு y = f(x)தீர்மானிக்கப்பட்டது.
ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு என்பது அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும் ஒய், செயல்பாடு ஏற்றுக்கொள்கிறது.

ஆரம்ப கணிதத்தில், செயல்பாடுகள் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் மட்டுமே ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன.

2) செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள்.

மதிப்புகள் எக்ஸ், இதில் y=0, அழைக்கப்பட்டது செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள். இவை ஆக்ஸ் அச்சுடன் செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ் ஆகும்.

3) ஒரு செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் நிலையான குறியின் இடைவெளிகள் மதிப்புகளின் அத்தகைய இடைவெளிகளாகும் x, இதில் செயல்பாடு மதிப்புகள் ஒய்நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை மட்டுமே அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகள்.

4) செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி.

அதிகரிக்கும் செயல்பாடு (ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில்) என்பது இந்த இடைவெளியில் இருந்து வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் பெரிய மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஒரு செயல்பாடு ஆகும்.

குறையும் செயல்பாடு (குறிப்பிட்ட இடைவெளியில்) என்பது இந்த இடைவெளியில் இருந்து வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஒரு செயல்பாடு ஆகும்.

5) சம (ஒற்றைப்படை) செயல்பாடு.

சமச் சார்பு என்பது ஒரு செயல்பாடாகும். எக்ஸ் f(-x) = f(x). சமச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஆர்டினேட்டைப் பற்றிய சமச்சீராக இருக்கும்.

ஒற்றைப்படை செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடாகும், அதன் வரையறையின் களமானது தோற்றம் மற்றும் எதனையும் பொறுத்து சமச்சீராக இருக்கும் எக்ஸ்வரையறையின் களத்தில் இருந்து சமத்துவம் உண்மை f(-x) = - f(x) ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது.

செயல்பாடு கூட
1) வரையறையின் டொமைன் புள்ளியை (0; 0) பொறுத்து சமச்சீராக இருக்கும், அதாவது புள்ளி என்றால் அவரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்தது, பின்னர் புள்ளி -அவரையறையின் களத்திற்கும் சொந்தமானது.
2) எந்த மதிப்புக்கும் x f(-x)=f(x)
3) சமச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் Oy அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது.

ஒற்றைப்படை செயல்பாடுபின்வரும் பண்புகள் உள்ளன:
1) வரையறையின் களமானது புள்ளியைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது (0; 0).
2) எந்த மதிப்புக்கும் x, வரையறை, சமத்துவம் என்ற களத்தைச் சேர்ந்தது f(-x)=-f(x)
3) ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் (0; 0) தொடர்பாக சமச்சீராக இருக்கும்.

ஒவ்வொரு செயல்பாடும் இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல. செயல்பாடுகள் பொதுவான பார்வை இரட்டைப்படையோ அல்லது ஒற்றைப்படையோ இல்லை.

6) வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் வரம்பற்ற செயல்பாடுகள்.

ஒரு செயல்பாடு இருந்தால் அது வரம்பிற்குட்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது நேர்மறை எண்எம் போன்ற |f(x)| x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ≤ M. அத்தகைய எண் இல்லை என்றால், செயல்பாடு வரம்பற்றது.

7) செயல்பாட்டின் காலம்.

ஒரு செயல்பாடு f(x) என்பது பூஜ்ஜியமற்ற எண் T இருந்தால், செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து எந்த x க்கும் பின்வருபவை வைத்திருக்கும்: f(x+T) = f(x). இது மிகச்சிறிய எண்செயல்பாட்டின் காலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் உள்ளன. (முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள்).

செயல்பாடு fஏதேனும் ஒரு எண் இருந்தால் அது காலமுறை என்று அழைக்கப்படுகிறது xசமத்துவம் என்ற வரையறையின் களத்திலிருந்து f(x)=f(x-T)=f(x+T). டிசெயல்பாட்டின் காலம்.

ஒவ்வொரு காலச் செயல்பாடும் எண்ணற்ற காலங்களைக் கொண்டுள்ளது. நடைமுறையில், சிறிய நேர்மறை காலம் பொதுவாக கருதப்படுகிறது.

காலச் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் காலத்திற்குச் சமமான இடைவெளிக்குப் பிறகு மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன. வரைபடங்களை உருவாக்கும்போது இது பயன்படுத்தப்படுகிறது.

செயல்பாட்டு ஆய்வு.

1) D(y) – வரையறை டொமைன்: x என்ற மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளின் தொகுப்பு. இதற்கு இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் f(x) மற்றும் g(x) அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.

ஒரு செயல்பாடு ஒரு சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்டால், வரையறையின் டொமைன் சூத்திரம் அர்த்தமுள்ள சுயாதீன மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கொண்டுள்ளது.

2) செயல்பாட்டின் பண்புகள்: சம/ஒற்றைப்படை, கால இடைவெளி:

ஒற்றைப்படைமற்றும் கூடவாதத்தின் அடையாளத்தில் ஏற்படும் மாற்றங்களைப் பொறுத்து வரைபடங்கள் சமச்சீராக இருக்கும் செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒற்றைப்படை செயல்பாடு- சார்பற்ற மாறியின் அடையாளம் மாறும்போது அதன் மதிப்பை எதிர்மாறாக மாற்றும் ஒரு செயல்பாடு (ஆயங்களின் மையத்துடன் தொடர்புடைய சமச்சீர்).

செயல்பாடு கூட- சார்பற்ற மாறியின் அடையாளம் மாறும்போது அதன் மதிப்பை மாற்றாத ஒரு செயல்பாடு (ஆர்டினேட்டைப் பற்றிய சமச்சீர்).

இரட்டை அல்லது இரட்டைச் செயல்பாடு இல்லை (பொது செயல்பாடு)- சமச்சீர் இல்லாத செயல்பாடு. இந்த பிரிவில் முந்தைய 2 வகைகளின் கீழ் வராத செயல்பாடுகள் அடங்கும்.

மேலே உள்ள எந்த வகையிலும் சேராத செயல்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன இரட்டை அல்லது இரட்டை இல்லை(அல்லது பொதுவான செயல்பாடுகள்).

ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகள்

தன்னிச்சையான முழு எண் இருக்கும் ஒற்றைப்படை சக்தி.

செயல்பாடுகளும் கூட

ஒரு தன்னிச்சையான முழு எண் இருக்கும் இடத்தில் கூட சக்தி.

காலச் செயல்பாடு- சில வழக்கமான வாத இடைவெளிக்குப் பிறகு அதன் மதிப்புகளை மீண்டும் செய்யும் ஒரு செயல்பாடு, அதாவது, சில நிலையான பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணை வாதத்தில் சேர்க்கும்போது அதன் மதிப்பை மாற்றாது ( காலம்செயல்பாடுகள்) வரையறையின் முழு களத்திலும்.

3) ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் (வேர்கள்) அது பூஜ்ஜியமாக மாறும் புள்ளிகள்.

வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை அச்சுடன் கண்டறிதல் ஓ. இதைச் செய்ய, நீங்கள் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும் f(0) வரைபடத்தின் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளையும் கண்டறியவும் எருது, சமன்பாட்டின் வேர்களை ஏன் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் f(x) = 0 (அல்லது வேர்கள் இல்லை என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்).

வரைபடமானது அச்சை வெட்டும் புள்ளிகள் எனப்படும் செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள். ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும், அதாவது கண்டுபிடிக்கவும் "x" என்பதன் அர்த்தங்கள், இதில் செயல்பாடு பூஜ்ஜியமாக மாறும்.

4) அறிகுறிகளின் நிலைத்தன்மையின் இடைவெளிகள், அவற்றில் உள்ள அறிகுறிகள்.

f(x) சார்பு அடையாளத்தை பராமரிக்கும் இடைவெளிகள்.

குறியின் நிலைத்தன்மையின் இடைவெளி இடைவெளி ஒவ்வொரு புள்ளியிலும்செயல்பாடு நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை.

x அச்சுக்கு மேலே.

அச்சுக்கு கீழே.

5) தொடர்ச்சி (இடைநிலையின் புள்ளிகள், இடைநிறுத்தத்தின் தன்மை, அறிகுறிகள்).

தொடர்ச்சியான செயல்பாடு- "ஜம்ப்ஸ்" இல்லாத ஒரு செயல்பாடு, அதாவது, வாதத்தில் சிறிய மாற்றங்கள் செயல்பாட்டின் மதிப்பில் சிறிய மாற்றங்களுக்கு வழிவகுக்கும்.

நீக்கக்கூடிய முறிவு புள்ளிகள்

செயல்பாட்டின் வரம்பு என்றால் உள்ளது, ஆனால் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை அல்லது வரம்பு இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புடன் ஒத்துப்போவதில்லை:

,

பின்னர் புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது நீக்கக்கூடிய முறிவு புள்ளிசெயல்பாடுகள் (சிக்கலான பகுப்பாய்வில், நீக்கக்கூடிய ஒருமை புள்ளி).

அகற்றக்கூடிய இடைநிறுத்தத்தின் கட்டத்தில் செயல்பாட்டை "சரிசெய்து" வைத்தால் , ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம். ஒரு செயல்பாட்டில் இந்த செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டை தொடர்ச்சியாக நீட்டிக்கிறதுஅல்லது தொடர்ச்சியின் மூலம் செயல்பாட்டின் மறுவரையறை, இது புள்ளியின் பெயரை ஒரு புள்ளியாக நியாயப்படுத்துகிறது நீக்கக்கூடியதுமுறிவு.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வகையின் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளிகள்

ஒரு செயல்பாட்டிற்கு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் இடைநிறுத்தம் இருந்தால் (அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரம்பு இல்லை அல்லது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்புடன் ஒத்துப்போகவில்லை), பின்னர் எண்சார் செயல்பாடுகளுக்கு இரண்டு சாத்தியமான விருப்பங்கள் உள்ளன. எண் செயல்பாடுகளின் இருப்புடன் தொடர்புடையது ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகள்:

இரண்டும் ஒருபக்க வரம்புகள் உள்ளன மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், அத்தகைய புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது முதல் வகையான தொடர்ச்சியின்மை.

நீக்கக்கூடிய இடைநிறுத்தப் புள்ளிகள் முதல் வகையான இடைநிறுத்தப் புள்ளிகள்; ஒரு பக்க வரம்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இல்லை அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பு இல்லை என்றால், அத்தகைய புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது.

இரண்டாவது வகையான இடைநிறுத்தத்தின் புள்ளி - அறிகுறியற்றதுநேராக , வளைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் இருந்து இதற்கு தூரம் என்று சொத்து உள்ளதுநேரடி

புள்ளி முடிவிலிக்கு கிளையுடன் விலகிச் செல்லும்போது பூஜ்ஜியமாக மாறும்.

செங்குத்து .

செங்குத்து அசிம்டோட் - வரம்புக் கோடு

ஒரு விதியாக, செங்குத்து அறிகுறியை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​அவர்கள் ஒரு வரம்பை அல்ல, ஆனால் இரண்டு ஒரு பக்க (இடது மற்றும் வலது) பார்க்கிறார்கள். வெவ்வேறு திசைகளில் இருந்து செங்குத்து அறிகுறியை அணுகும்போது செயல்பாடு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை தீர்மானிக்க இது செய்யப்படுகிறது. உதாரணமாக:

கிடைமட்ட அறிகுறியற்றதுகிடைமட்ட அறிகுறி - இனங்கள், இருப்புக்கு உட்பட்டது

.

வரம்பு

சாய்ந்தது அறிகுறியற்றதுகிடைமட்ட அறிகுறி - சாய்ந்த அறிகுறி -

வரம்புகள்

குறிப்பு: ஒரு செயல்பாட்டில் இரண்டு சாய்ந்த (கிடைமட்ட) அறிகுறிகளுக்கு மேல் இருக்க முடியாது. குறிப்பு: மேலே குறிப்பிட்டுள்ள இரண்டு வரம்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இல்லை என்றால் (அல்லது சமமாக இருந்தால்), பிறகுசாய்ந்த அறிகுறி

இல் (அல்லது) இல்லை. .

6) உருப்படி 2 இல் இருந்தால்.), பின்னர் , மற்றும் வரம்பு கிடைமட்ட அசிம்ப்டோட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது,மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறிதல். f(xஒரு செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும் f(x)(அதாவது, அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் இடைவெளிகள்). வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை ஆராய்வதன் மூலம் இது செய்யப்படுகிறது f(x) இதைச் செய்ய, வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் f(x) மற்றும் சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் f(x)0. இந்த சமத்துவமின்மை இருக்கும் இடைவெளியில், செயல்பாடு f(x) அதிகரிக்கிறது. தலைகீழ் சமத்துவமின்மை எங்கு உள்ளது f(x)0, செயல்பாடு

) குறைந்து வருகிறது. கண்டறிதல். உள்ளூர் உச்சநிலை மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறிந்த பிறகு, உள்ளூர் உச்சநிலையின் புள்ளிகளை உடனடியாக தீர்மானிக்க முடியும், அங்கு அதிகரிப்பு குறைவால் மாற்றப்படுகிறது, உள்ளூர் அதிகபட்சம் அமைந்துள்ளது, மற்றும் குறைவு அதிகரிப்பால் மாற்றப்படுகிறது -. இந்த புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள். ஒரு செயல்பாட்டிற்கு லோக்கல் எக்ஸ்ட்ரம் புள்ளிகள் இல்லாத முக்கியமான புள்ளிகள் இருந்தால், இந்த புள்ளிகளிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது பயனுள்ளது.

ஒரு பிரிவில் y = f(x) செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்(தொடர்ச்சி)

செயல்பாடு கூட.

கூடஅடையாளம் மாறும்போது அடையாளம் மாறாத ஒரு செயல்பாடு ஆகும் x.

xசமத்துவம் உள்ளது f(–x) = f(x) கையெழுத்து xஅடையாளத்தை பாதிக்காது ஒய்.

சமச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒருங்கிணைப்பு அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது (படம் 1).

சம செயல்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

ஒய்= காஸ் x

ஒய் = x 2

ஒய் = –x 2

ஒய் = x 4

ஒய் = x 6

ஒய் = x 2 + x

விளக்கம்:
செயல்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம் ஒய் = x 2 அல்லது ஒய் = –x 2 .
எந்த மதிப்புக்கும் xசெயல்பாடு நேர்மறையானது. கையெழுத்து xஅடையாளத்தை பாதிக்காது ஒய். வரைபடமானது ஒருங்கிணைப்பு அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது. இது ஒரு சீரான செயல்பாடு.

ஒற்றைப்படை செயல்பாடு.

ஒற்றைப்படைஅடையாளம் மாறும்போது அடையாளம் மாறும் ஒரு செயல்பாடு x.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எந்த மதிப்புக்கும் xசமத்துவம் உள்ளது f(–x) = –f(x).

ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் தொடர்பான சமச்சீர் (படம். 2).

ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

ஒய்= பாவம் x

ஒய் = x 3

ஒய் = –x 3

விளக்கம்:

y = – செயல்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம் x 3 .
அனைத்து அர்த்தங்களும் மணிக்குஅதில் ஒரு கழித்தல் குறி இருக்கும். அது ஒரு அடையாளம் xஅடையாளத்தை பாதிக்கிறது ஒய். சார்பற்ற மாறி நேர்மறை எண்ணாக இருந்தால், சார்பு சார்பு நேர்மறையாக இருக்கும் எதிர்மறை எண், செயல்பாடு எதிர்மறையானது: f(–x) = –f(x).
செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது. இது ஒரு வித்தியாசமான செயல்பாடு.

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் பண்புகள்:

குறிப்பு:

அனைத்து செயல்பாடுகளும் இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல. அத்தகைய தரத்திற்குக் கீழ்ப்படியாத செயல்பாடுகள் உள்ளன. உதாரணமாக, ரூட் செயல்பாடு மணிக்கு = √எக்ஸ்சம அல்லது ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளுக்கு பொருந்தாது (படம் 3). அத்தகைய செயல்பாடுகளின் பண்புகளை பட்டியலிடும்போது, ​​பொருத்தமான விளக்கம் கொடுக்கப்பட வேண்டும்: இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல.

குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகள்.

உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் குறிப்பிட்ட செயல்முறைகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்வது கால இடைவெளி. இந்த செயல்முறைகளை விவரிக்கும் செயல்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன கால செயல்பாடுகள். அதாவது, இவை செயல்பாடுகள் ஆகும், அதன் வரைபடங்களில் குறிப்பிட்ட எண் இடைவெளியில் மீண்டும் மீண்டும் கூறுகள் உள்ளன.

எந்த ஒரு செயல்பாடு மற்றும் சமத்துவம் என்றால் இரட்டை (ஒற்றைப்படை) என்று அழைக்கப்படுகிறது

.

சமச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது
.

ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 6.2.ஒரு செயல்பாடு சமமானதா அல்லது ஒற்றைப்படையா என்பதை ஆராயவும்

1)
; 2)
; 3)
.

தீர்வு.

1) செயல்பாடு எப்போது வரையறுக்கப்படுகிறது
. நாம் கண்டுபிடிப்போம்
.

அந்த.
. பொருள் இந்த செயல்பாடுசமமாக உள்ளது.

2) செயல்பாடு எப்போது வரையறுக்கப்படுகிறது

அந்த.
. எனவே, இந்த செயல்பாடு வித்தியாசமானது.

3) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது. க்கு

,
. எனவே செயல்பாடு இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல. அதை பொது வடிவத்தின் செயல்பாடு என்று கொள்வோம்.

3. மோனோடோனிசிட்டிக்கான செயல்பாடு பற்றிய ஆய்வு.

செயல்பாடு
இந்த இடைவெளியில் வாதத்தின் ஒவ்வொரு பெரிய மதிப்பும் செயல்பாட்டின் பெரிய (சிறிய) மதிப்புக்கு ஒத்திருந்தால், ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் அதிகரிப்பு (குறைத்தல்) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் அதிகரிக்கும் (குறைந்து) செயல்பாடுகள் மோனோடோனிக் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

செயல்பாடு என்றால்
இடைவெளியில் வேறுபடலாம்
மற்றும் நேர்மறை (எதிர்மறை) வழித்தோன்றல் உள்ளது
, பின்னர் செயல்பாடு
இந்த இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது (குறைகிறது).

எடுத்துக்காட்டு 6.3. செயல்பாடுகளின் மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்

1)
; 3)
.

தீர்வு.

1) இந்த செயல்பாடு முழு எண் வரிசையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.

வழித்தோன்றல் என்றால் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்
மற்றும்
. வரையறையின் களம் எண் அச்சு, புள்ளிகளால் வகுக்கப்படுகிறது
,
இடைவெளியில். ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை தீர்மானிப்போம்.

இடைவெளியில்
வழித்தோன்றல் எதிர்மறையானது, இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு குறைகிறது.

இடைவெளியில்
வழித்தோன்றல் நேர்மறையானது, எனவே, இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

2) இந்த செயல்பாடு என்றால் வரையறுக்கப்படுகிறது
அல்லது

.

ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் இருபடி முக்கோணத்தின் அடையாளத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்.

இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம்

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்
,
, என்றால்
, அதாவது
, ஆனால்
. வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை இடைவெளிகளில் தீர்மானிப்போம்
.

இடைவெளியில்
வழித்தோன்றல் எதிர்மறையானது, எனவே, இடைவெளியில் செயல்பாடு குறைகிறது
. இடைவெளியில்
வழித்தோன்றல் நேர்மறை, செயல்பாடு இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது
.

4. உச்சநிலையில் செயல்பாடு பற்றிய ஆய்வு.

புள்ளி
செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச (குறைந்தபட்ச) புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது
, புள்ளியின் அத்தகைய அக்கம் இருந்தால் அது அனைவருக்கும்
இந்த சுற்றுப்புறத்தில் இருந்து சமத்துவமின்மை உள்ளது

.

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் தீவிர புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

செயல்பாடு என்றால்
புள்ளியில் ஒரு முனை உள்ளது, பின்னர் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லை (ஒரு தீவிரத்தின் இருப்புக்கு தேவையான நிபந்தனை).

வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத புள்ளிகள் முக்கியமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

5. ஒரு உச்சநிலை இருப்பதற்கான போதுமான நிபந்தனைகள்.

விதி 1. மாற்றத்தின் போது (இடமிருந்து வலமாக) முக்கியமான புள்ளி வழியாக இருந்தால் வழித்தோன்றல்
குறியை "+" இலிருந்து "-" ஆக மாற்றுகிறது, பின்னர் புள்ளியில் செயல்பாடு
அதிகபட்சம் உள்ளது; “–” இலிருந்து “+” ஆக இருந்தால், குறைந்தபட்சம்; என்றால்
அடையாளத்தை மாற்றாது, பின்னர் உச்சநிலை இல்லை.

விதி 2. புள்ளியில் விடுங்கள்
ஒரு செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல்
பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்
, மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் உள்ளது மற்றும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. என்றால்
, அது - அதிகபட்ச புள்ளி, என்றால்
, அது - செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி.

உதாரணம் 6.4 . அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச செயல்பாடுகளை ஆராயுங்கள்:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

தீர்வு.

1) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்
.

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்
மற்றும் சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
, அதாவது
.இங்கிருந்து
- முக்கியமான புள்ளிகள்.

வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை இடைவெளியில் தீர்மானிப்போம்,
.

புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் போது
மற்றும்
வழித்தோன்றல் குறியீடு "-" இலிருந்து "+" ஆக மாறுகிறது, எனவே விதி 1 இன் படி
- குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்.

ஒரு புள்ளியைக் கடக்கும்போது
வழித்தோன்றல் குறியை "+" இலிருந்து "-" ஆக மாற்றுகிறது, எனவே
- அதிகபட்ச புள்ளி.

,
.

2) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு இடைவெளியில் தொடர்கிறது
. வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்
.

சமன்பாட்டை தீர்த்து வைத்தது
, கண்டுபிடிப்போம்
மற்றும்
- முக்கியமான புள்ளிகள். வகுத்தால்
, அதாவது
, பின்னர் வழித்தோன்றல் இல்லை. எனவே,
- மூன்றாவது முக்கியமான புள்ளி. வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை இடைவெளியில் தீர்மானிப்போம்.

எனவே, செயல்பாடு புள்ளியில் குறைந்தபட்சம் உள்ளது
, புள்ளிகளில் அதிகபட்சம்
மற்றும்
.

3) ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு தொடர்ந்து இருந்தால்
, அதாவது மணிக்கு
.

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்

.

முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

புள்ளிகளின் சுற்றுப்புறங்கள்
வரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்தவை அல்ல, எனவே அவை உச்சநிலைகள் அல்ல. எனவே, முக்கியமான புள்ளிகளை ஆராய்வோம்
மற்றும்
.

4) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு இடைவெளியில் தொடர்கிறது
. விதி 2 ஐப் பயன்படுத்துவோம். வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
.

முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்
மற்றும் புள்ளிகளில் அதன் அடையாளத்தை தீர்மானிக்கவும்

புள்ளிகளில்
செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் உள்ளது.

புள்ளிகளில்
செயல்பாடு அதிகபட்சமாக உள்ளது.