ஒரு வரிசையின் இறுதி வரம்பை தீர்மானித்தல்

(x)புள்ளி x இல் 0 :
,
என்றால்
1) புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0
2) எந்த வரிசைக்கும் (xn), x ஆக மாறுகிறது 0 :
, அதன் கூறுகள் அக்கம் பக்கத்தைச் சேர்ந்தவை,
அடுத்தடுத்து (f(xn))ஒன்றாக இணைகிறது:
.

இங்கே x 0 மற்றும் a என்பது வரையறுக்கப்பட்ட எண்களாகவோ அல்லது முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகளாகவோ இருக்கலாம். சுற்றுப்புறம் இரண்டு பக்கமாகவோ அல்லது ஒரு பக்கமாகவோ இருக்கலாம்.

.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் இரண்டாவது வரையறை (கௌச்சியின் படி)

எண் a ஆனது f செயல்பாட்டின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது (x)புள்ளி x இல் 0 :
,
என்றால்
1) புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0 , இதில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது;
2) எந்த நேர்மறை எண்ணுக்கும் ε > 0 அத்தகைய எண் உள்ளது δ ε > 0 , ε ஐப் பொறுத்து, துளையிடப்பட்ட δ ε - புள்ளி x க்கு அருகில் உள்ள அனைத்து x க்கும் 0 :
,
செயல்பாட்டு மதிப்புகள் f (x)புள்ளி a இன் ε-அருகில் சேர்ந்தது:
.

புள்ளிகள் x 0 மற்றும் a என்பது வரையறுக்கப்பட்ட எண்களாகவோ அல்லது முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகளாகவோ இருக்கலாம். அக்கம்பக்கமானது இருவழி அல்லது ஒருவழியாக இருக்கலாம்.

இருப்பு மற்றும் உலகளாவிய தர்க்க சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த வரையறையை எழுதுவோம்:
.

இந்த வரையறை சம தூர முனைகளுடன் சுற்றுப்புறங்களைப் பயன்படுத்துகிறது. புள்ளிகளின் தன்னிச்சையான சுற்றுப்புறங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமமான வரையறை கொடுக்கப்படலாம்.

தன்னிச்சையான சுற்றுப்புறங்களைப் பயன்படுத்தி வரையறை
எண் a ஆனது f செயல்பாட்டின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது (x)புள்ளி x இல் 0 :
,
என்றால்
1) புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0 , இதில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது;
2) எந்த சுற்றுப்புறத்திற்கும் U (அ)புள்ளி a இன் புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0 x புள்ளியின் துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்த அனைத்து xக்கும் 0 :
,
செயல்பாட்டு மதிப்புகள் f (x)அக்கம்பக்கத்தைச் சேர்ந்தவர் யு (அ)புள்ளிகள் a:
.

இருப்பு மற்றும் உலகளாவிய தர்க்க சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த வரையறையை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
.

ஒரு பக்க மற்றும் இரு பக்க வரம்புகள்

மேலே உள்ள வரையறைகள் எந்த வகையான சுற்றுப்புறத்திற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம் என்ற பொருளில் உலகளாவியவை. இறுதிப் புள்ளியின் இடது பக்க துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறமாக நாம் பயன்படுத்தினால், இடது பக்க வரம்பின் வரையறையைப் பெறுவோம்.

முடிவிலியில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் அக்கம் பக்கத்தை அக்கம் பக்கமாகப் பயன்படுத்தினால், முடிவிலியில் வரம்பின் வரையறையைப் பெறுவோம்.

ஹெய்ன் வரம்பை தீர்மானிக்க, ஒரு தன்னிச்சையான வரிசைக்கு ஒரு கூடுதல் கட்டுப்பாடு விதிக்கப்படும் என்ற உண்மைக்கு இது வருகிறது: அதன் கூறுகள் புள்ளியின் தொடர்புடைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்ததாக இருக்க வேண்டும்.
Cauchy வரம்பை தீர்மானிக்க, ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தின் பொருத்தமான வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளாக மாற்றுவது அவசியம்.

"ஒரு புள்ளியின் அருகில்" பார்க்கவும்.

புள்ளி a என்பது செயல்பாட்டின் வரம்பு அல்ல என்ற நிபந்தனையைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் அவசியமாகிறது. (x)மேலே உள்ள வரையறைகளுக்கு மறுப்புகளை உருவாக்குவோம். அவற்றில் நாம் செயல்பாடு f என்று கருதுகிறோம் 0 புள்ளி x இன் சில துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது 0 .

புள்ளிகள் a மற்றும் x.
வரையறுக்கப்பட்ட எண்கள் அல்லது எண்ணற்ற தொலைவில் இருக்கலாம். கீழே கூறப்பட்டுள்ள அனைத்தும் இருதரப்பு மற்றும் ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளுக்கு பொருந்தும். ஹெய்ன் படிஎண் அ (x)புள்ளி x இல் 0 : ,
இல்லை (xn)செயல்பாட்டின் வரம்பு f 0 :
,
அத்தகைய வரிசை இருந்தால்
, x ஆக மாறுகிறது (f(xn))அதன் கூறுகள் அக்கம் பக்கத்தைச் சேர்ந்தவை,
.
.

வரிசை என்ன.
வரையறுக்கப்பட்ட எண்கள் அல்லது எண்ணற்ற தொலைவில் இருக்கலாம். கீழே கூறப்பட்டுள்ள அனைத்தும் இருதரப்பு மற்றும் ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளுக்கு பொருந்தும். ஹெய்ன் படிஎண் அ (x)புள்ளி x இல் 0 :
,
ஒரு சேரவில்லை: > 0 கௌச்சியின் கூற்றுப்படி > 0 அத்தகைய நேர்மறை எண் இருந்தால் ε 0 :
,
, எனவே எந்த நேர்மறை எண்ணுக்கும் δ (x), x புள்ளியின் துளையிடப்பட்ட δ-அருகிலுள்ள ஒரு x உள்ளது.
.
.

f செயல்பாட்டின் மதிப்பு

புள்ளி a இன் ε-அருகில் சேர்ந்தது அல்ல: நிச்சயமாக, புள்ளி a இல் உள்ள செயல்பாட்டின் வரம்பு இல்லை என்றால், இது ஒரு வரம்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்று அர்த்தமல்ல. ஒரு வரம்பு இருக்கலாம், ஆனால் அது சமமாக இல்லை.புள்ளியின் துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டிருக்கலாம், ஆனால் வரம்பு இல்லை.

செயல்பாடு 0 f(x) = sin(1/x)
x → 0 என வரம்பு இல்லை. 0 எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாடு இல் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் வரம்பு இல்லை. அதை நிரூபிக்க, வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம்.
இது ஒரு புள்ளியில் இணைகிறது

: .

ஏனெனில் , அப்போது .
வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம்.

இது புள்ளியில் கூடுகிறது

: .

ஆனால், அப்போதிருந்து.

பின்னர் வரம்பு எந்த எண்ணுக்கும் சமமாக இருக்க முடியாது a.
(1) ,
உண்மையில், க்கு, ஒரு வரிசை உள்ளது.
(2) .

எனவே, எந்த பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணும் வரம்பு அல்ல. ஆனால் இது ஒரு வரம்பு அல்ல, ஏனெனில் ஒரு வரிசை உள்ளது.

வரம்பின் ஹெய்ன் மற்றும் கௌச்சி வரையறைகளின் சமநிலை
.

எடுத்துக்கொள்வோம், எங்கே n - இயற்கை எண். பின்னர் உள்ளது, மற்றும்
.
இவ்வாறு நாம் ஒரு வரிசையை ஒன்றிணைத்துள்ளோம், ஆனால் வரிசையின் வரம்பு a க்கு சமமாக இல்லை.

இது தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளுக்கு முரணானது.

முதல் பகுதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

கௌச்சியின் ஆதாரம் ⇒ ஹெய்னின்
(3) இரண்டாவது வரையறையின்படி (கௌச்சியின் படி) செயல்பாட்டிற்கு ஒரு புள்ளியில் வரம்பு இருக்கட்டும். அதாவது, யாருக்கும் அது இருக்கிறது

அனைவருக்கும்.
ஹெய்னின் படி ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு வரம்பு உள்ளது என்பதைக் காட்டுவோம்.

ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
கௌச்சியின் வரையறையின்படி, எண் உள்ளது, எனவே (3) உள்ளது.
பஞ்சர் செய்யப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்த ஒரு தன்னிச்சையான வரிசையை எடுத்துக்கொள்வோம்.
கௌச்சியின் வரையறையின்படி, எண் உள்ளது, எனவே (3) உள்ளது.
ஒரு குவிந்த வரிசையின் வரையறையின்படி, எதற்கும் அது உள்ளது
.

மணிக்கு.

பின்னர் (3) இருந்து அது பின்வருமாறு
இது யாருக்கும் பொருந்தும் என்பதால், பிறகு தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.பயன்படுத்திய இலக்கியம்:

எல்.டி. குத்ரியவ்ட்சேவ். சரி கணித பகுப்பாய்வு. தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 2003. கணிதம் என்பது உலகைக் கட்டமைக்கும் அறிவியல். விஞ்ஞானி மற்றும் சாதாரண மனிதன் இருவரும் - இது இல்லாமல் யாராலும் செய்ய முடியாது. முதலில், சிறு குழந்தைகளுக்கு எண்ணவும், பின்னர் கூட்டவும், கழிக்கவும், பெருக்கவும், வகுக்கவும் கற்பிக்கப்படுகிறதுஉயர்நிலைப் பள்ளி

நாடகத்திற்கு வாருங்கள்

எழுத்து பெயர்கள்

, மற்றும் பழைய வயதில் நீங்கள் அவர்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

ஆனால் இன்று நாம் அறியப்பட்ட அனைத்து கணிதமும் எதை அடிப்படையாகக் கொண்டது என்பதைப் பற்றி பேசுவோம். "வரிசை வரம்புகள்" எனப்படும் எண்களின் சமூகத்தைப் பற்றி.

தொடர்கள் என்றால் என்ன, அவற்றின் வரம்பு எங்கே?

"வரிசை" என்ற வார்த்தையின் பொருளை விளக்குவது கடினம் அல்ல. இது யாரோ அல்லது ஏதாவது ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் அல்லது வரிசையில் அமைந்துள்ள விஷயங்களின் ஏற்பாடாகும். உதாரணமாக, மிருகக்காட்சிசாலையில் டிக்கெட்டுகளுக்கான வரிசை ஒரு வரிசை. மற்றும் ஒன்று மட்டுமே இருக்க முடியும்! உதாரணமாக, நீங்கள் கடையில் வரிசையைப் பார்த்தால், இது ஒரு வரிசை. இந்த வரிசையில் இருந்து ஒருவர் திடீரென வெளியேறினால், இது வேறு வரிசை, வேறு வரிசை. "வரம்பு" என்ற வார்த்தையும் எளிதில் விளக்கப்படுகிறது - இது ஏதோவொன்றின் முடிவு. இருப்பினும், கணிதத்தில், வரிசைகளின் வரம்புகள் எண்களின் வரிசையை நோக்கிய எண் வரியின் மதிப்புகள் ஆகும். அது ஏன் பாடுபடுகிறது மற்றும் முடிவடையவில்லை? இது எளிமையானது, எண் கோட்டிற்கு முடிவே இல்லை, மேலும் கதிர்கள் போன்ற பெரும்பாலான வரிசைகள் ஒரு தொடக்கத்தை மட்டுமே கொண்டிருக்கின்றன மற்றும் இது போல் இருக்கும்: x 1, x 2, x 3,...x n...

எனவே ஒரு வரிசையின் வரையறை என்பது இயற்கை வாதத்தின் செயல்பாடாகும். மேலும்

எளிய வார்த்தைகளில்

பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், நடைமுறை நோக்கங்களுக்காக, வரிசைகள் எண்களிலிருந்து கட்டமைக்கப்படுகின்றன, மேலும் தொடரின் ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பினரும், X ஐக் குறிக்கலாம், அதன் சொந்த பெயர் உள்ளது. உதாரணமாக:

x 1 என்பது வரிசையின் முதல் உறுப்பினர்;

x 2 என்பது வரிசையின் இரண்டாவது சொல்;

x 3 என்பது மூன்றாவது சொல்;

x n என்பது n வது சொல்.

IN நடைமுறை முறைகள்வரிசை ஒரு பொதுவான சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது, அதில் சில மாறிகள் உள்ளன. உதாரணமாக:

X n =3n, பின்னர் எண்களின் தொடர் இப்படி இருக்கும்:

பொதுவாக வரிசைகளை எழுதும் போது, ​​X மட்டும் அல்ல, எந்த லத்தீன் எழுத்துக்களையும் பயன்படுத்தலாம் என்பதை நினைவில் கொள்வது மதிப்பு. உதாரணமாக: y, z, k, போன்றவை.

வரிசைகளின் ஒரு பகுதியாக எண்கணித முன்னேற்றம்

வரிசைகளின் வரம்புகளைத் தேடுவதற்கு முன், நடுநிலைப் பள்ளியில் இருந்தபோது அனைவரும் சந்தித்த அத்தகைய எண் தொடரின் கருத்துக்குள் ஆழமாக மூழ்குவது நல்லது. எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது எண்களின் தொடர் ஆகும், இதில் அருகிலுள்ள சொற்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு நிலையானது.

சிக்கல்: “ஒரு 1 = 15, மற்றும் எண் தொடரின் முன்னேற்றப் படி d = 4. இந்தத் தொடரின் முதல் 4 விதிமுறைகளை உருவாக்கவும்"

தீர்வு: a 1 = 15 (நிபந்தனையின்படி) என்பது முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் (எண் தொடர்).

மற்றும் 2 = 15+4=19 என்பது முன்னேற்றத்தின் இரண்டாவது சொல்.

மற்றும் 3 =19+4=23 என்பது மூன்றாவது சொல்.

மற்றும் 4 =23+4=27 என்பது நான்காவது காலமாகும்.

இருப்பினும், இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி அதை அடைவது கடினம் பெரிய மதிப்புகள், எடுத்துக்காட்டாக ஒரு 125 வரை. குறிப்பாக இதுபோன்ற நிகழ்வுகளுக்கு, நடைமுறைக்கு வசதியான சூத்திரம் பெறப்பட்டது: a n =a 1 +d(n-1). இந்த வழக்கில், 125 =15+4(125-1)=511.

வரிசைகளின் வகைகள்

பெரும்பாலான காட்சிகள் முடிவற்றவை, இது உங்கள் வாழ்நாள் முழுவதும் நினைவில் கொள்ளத்தக்கது. இரண்டு உள்ளன சுவாரசியமான தோற்றம்எண் தொடர். முதலாவது a n =(-1) n என்ற சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. கணிதவியலாளர்கள் பெரும்பாலும் இந்த வரிசையை ஃப்ளாஷர் என்று அழைக்கிறார்கள். ஏன்? அதன் எண் வரிசையை பார்க்கலாம்.

1.

காரணி வரிசை. யூகிக்க எளிதானது - வரிசையை வரையறுக்கும் சூத்திரத்தில் ஒரு காரணி உள்ளது. உதாரணமாக: a n = (n+1)!

பின்னர் வரிசை இப்படி இருக்கும்:

a 2 = 1x2x3 = 6;

மற்றும் 3 = 1x2x3x4 = 24, முதலியன.

வரிசை கொடுக்கப்பட்டது எண்கணித முன்னேற்றம், சமத்துவமின்மை -1 அதன் அனைத்து விதிமுறைகளுக்கும் காணப்பட்டால், அது எல்லையற்ற குறைதல் எனப்படும்

மற்றும் 3 = - 1/8, முதலியன.

அதே எண்ணைக் கொண்ட ஒரு வரிசை கூட உள்ளது. எனவே, n =6 என்பது எண்ணற்ற சிக்ஸர்களைக் கொண்டுள்ளது.

வரிசை வரம்பை தீர்மானித்தல்

வரிசை வரம்புகள் கணிதத்தில் நீண்ட காலமாக உள்ளன. நிச்சயமாக, அவர்கள் தங்கள் சொந்த திறமையான வடிவமைப்பிற்கு தகுதியானவர்கள். எனவே, வரிசை வரம்புகளின் வரையறையை அறிய நேரம். முதலில், நேரியல் செயல்பாட்டிற்கான வரம்பை விரிவாகப் பார்ப்போம்:

1. அனைத்து வரம்புகளும் லிம் என சுருக்கப்பட்டுள்ளன.
2. ஒரு வரம்பின் குறியீடானது லிம் என்ற சுருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஒரு குறிப்பிட்ட எண், பூஜ்ஜியம் அல்லது முடிவிலியை நோக்கிய எந்த மாறியும், அத்துடன் செயல்பாட்டையும் கொண்டுள்ளது.

ஒரு வரிசையின் வரம்பின் வரையறை பின்வருமாறு உருவாக்கப்படலாம் என்பதை புரிந்துகொள்வது எளிது: இது ஒரு குறிப்பிட்ட எண், வரிசையின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் முடிவில்லாமல் அணுகுவார்கள். ஒரு எளிய உதாரணம்: a x = 4x+1. பின்னர் வரிசையே இப்படி இருக்கும்.

5, 9, 13, 17, 21…x…

எனவே, இந்த வரிசை காலவரையின்றி அதிகரிக்கும், அதாவது அதன் வரம்பு x→∞ என முடிவிலிக்கு சமம், மேலும் இது இவ்வாறு எழுதப்பட வேண்டும்:

நாம் இதேபோன்ற வரிசையை எடுத்துக் கொண்டால், ஆனால் x 1 ஆக இருந்தால், நாம் பெறுவோம்:

எண்களின் தொடர் இப்படி இருக்கும்: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, முதலியன. ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் எண்ணை ஒன்றுக்கு (0.1, 0.2, 0.9, 0.986) நெருக்கமாக மாற்ற வேண்டும். இந்தத் தொடரிலிருந்து செயல்பாட்டின் வரம்பு ஐந்து என்பது தெளிவாகிறது.

இந்த பகுதியிலிருந்து ஒரு எண் வரிசையின் வரம்பு என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வது மதிப்பு, எளிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வரையறை மற்றும் முறை.

வரிசைகளின் வரம்புக்கான பொதுவான பதவி

எண் வரிசையின் வரம்பு, அதன் வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளை ஆராய்ந்த பிறகு, நீங்கள் மிகவும் சிக்கலான தலைப்புக்கு செல்லலாம். வரிசைகளின் அனைத்து வரம்புகளும் ஒரு சூத்திரத்தால் வடிவமைக்கப்படலாம், இது பொதுவாக முதல் செமஸ்டரில் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது.

எனவே, இந்த எழுத்துக்கள், தொகுதிகள் மற்றும் சமத்துவமின்மை அறிகுறிகள் என்ன அர்த்தம்?

∀ என்பது உலகளாவிய அளவுகோலாகும், இது "அனைவருக்கும்", "எல்லாவற்றிற்கும்" போன்ற சொற்றொடர்களை மாற்றுகிறது.

∃ என்பது ஒரு இருத்தலியல் அளவுகோல், இந்த விஷயத்தில், தொகுப்பிற்குச் சொந்தமான சில மதிப்பு N உள்ளது என்று அர்த்தம் இயற்கை எண்கள்.

N ஐத் தொடர்ந்து ஒரு நீண்ட செங்குத்து குச்சி, கொடுக்கப்பட்ட N ஆனது "அப்படிப்பட்டதாகும்" என்று அர்த்தம். நடைமுறையில், இது "அப்படியான", "அப்படியான", முதலியவற்றைக் குறிக்கலாம்.

பொருளை வலுப்படுத்த, சூத்திரத்தை சத்தமாக வாசிக்கவும்.

நிச்சயமற்ற தன்மை மற்றும் வரம்பு உறுதி

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட வரிசைகளின் வரம்பைக் கண்டறியும் முறை, பயன்படுத்த எளிதானது என்றாலும், நடைமுறையில் அவ்வளவு பகுத்தறிவு இல்லை. இந்தச் செயல்பாட்டிற்கான வரம்பைக் கண்டறிய முயற்சிக்கவும்:

"x" இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளை நாம் மாற்றினால் (ஒவ்வொரு முறையும் அதிகரிக்கும்: 10, 100, 1000, முதலியன), பின்னர் நாம் எண்களில் ∞ ஐப் பெறுகிறோம், ஆனால் வகுப்பில் ∞ ஐப் பெறுகிறோம். இது ஒரு வித்தியாசமான பகுதியை விளைவிக்கிறது:

ஆனால் இது உண்மையில் அப்படியா? இந்த வழக்கில் எண் வரிசையின் வரம்பை கணக்கிடுவது மிகவும் எளிதானது. எல்லாவற்றையும் அப்படியே விட்டுவிடுவது சாத்தியமாகும், ஏனென்றால் பதில் தயாராக உள்ளது, மேலும் அது நியாயமான நிலைமைகளின் கீழ் பெறப்பட்டது, ஆனால் இதுபோன்ற நிகழ்வுகளுக்கு குறிப்பாக மற்றொரு வழி உள்ளது.

முதலில், பின்னத்தின் எண்ணிக்கையில் மிக உயர்ந்த பட்டத்தை கண்டுபிடிப்போம் - இது 1 ஆகும், ஏனெனில் x ஐ x 1 ஆக குறிப்பிடலாம்.

இப்போது வகுப்பில் மிக உயர்ந்த பட்டத்தை கண்டுபிடிப்போம். மேலும் 1.

எண் மற்றும் வகு இரண்டையும் மாறியால் உயர்ந்த அளவிற்குப் பிரிப்போம். இந்த வழக்கில், பின்னத்தை x 1 ஆல் வகுக்கவும்.

அடுத்து, ஒரு மாறியைக் கொண்டிருக்கும் ஒவ்வொரு சொல்லும் எந்த மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த வழக்கில், பின்னங்கள் கருதப்படுகின்றன. x→∞ ஆக, ஒவ்வொரு பின்னத்தின் மதிப்பும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். உங்கள் வேலையை எழுத்துப்பூர்வமாக சமர்ப்பிக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் அடிக்குறிப்புகளை நீங்கள் செய்ய வேண்டும்:

இது பின்வரும் வெளிப்பாடுகளில் விளைகிறது:

நிச்சயமாக, x கொண்ட பின்னங்கள் பூஜ்ஜியங்களாக மாறவில்லை! ஆனால் அவற்றின் மதிப்பு மிகவும் சிறியது, கணக்கீடுகளில் அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாமல் இருப்பது முற்றிலும் அனுமதிக்கப்படுகிறது. உண்மையில், இந்த விஷயத்தில் x 0 க்கு சமமாக இருக்காது, ஏனென்றால் நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது.

அக்கம் என்றால் என்ன?

பேராசிரியர் தனது வசம் ஒரு சிக்கலான வரிசையை வைத்திருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம், வெளிப்படையாக, சமமான சிக்கலான சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்டது. பேராசிரியர் பதில் கண்டுபிடித்தார், ஆனால் அது சரியா? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எல்லா மக்களும் தவறு செய்கிறார்கள்.

வரிசைகளின் வரம்புகளை நிரூபிக்க ஒரு சிறந்த வழியை அகஸ்டே காச்சி ஒருமுறை கண்டுபிடித்தார். அவரது முறை அக்கம் பக்க கையாளுதல் என்று அழைக்கப்பட்டது.

ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி a உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், எண் கோட்டின் இரு திசைகளிலும் அதன் சுற்றுப்புறம் ε ("epsilon") க்கு சமம். கடைசி மாறி தூரம் என்பதால், அதன் மதிப்பு எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்.

இப்போது சில வரிசை x n ஐ வரையறுப்போம் மற்றும் வரிசையின் பத்தாவது சொல் (x 10) a இன் சுற்றுப்புறத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த உண்மையை எப்படி கணித மொழியில் எழுதுவது?

x 10 என்பது புள்ளி a க்கு வலதுபுறம் உள்ளது, பின்னர் தூரம் x 10 -a என்று வைத்துக்கொள்வோம்<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தை நடைமுறையில் விளக்க வேண்டிய நேரம் இது. ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை ஒரு வரிசையின் இறுதிப் புள்ளி என்று அழைப்பது நியாயமானது, அதன் வரம்புகளில் ஏதேனும் சமத்துவமின்மை ε>0 இருந்தால், மேலும் முழு சுற்றுப்புறமும் அதன் சொந்த இயற்கை எண் N ஐக் கொண்டுள்ளது, அதாவது அதிக எண்களைக் கொண்ட வரிசையின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் அவ்வாறு செய்வார்கள். வரிசைக்குள் இருக்கும் |x n - a|< ε.

அத்தகைய அறிவைக் கொண்டு, வரிசை வரம்புகளைத் தீர்ப்பது மற்றும் ஆயத்தமான பதிலை நிரூபிப்பது அல்லது நிராகரிப்பது எளிது.

தேற்றங்கள்

வரிசைகளின் வரம்புகள் பற்றிய கோட்பாடுகள் கோட்பாட்டின் ஒரு முக்கிய அங்கமாகும், இது இல்லாமல் நடைமுறை சாத்தியமற்றது. நான்கு முக்கிய கோட்பாடுகள் மட்டுமே உள்ளன, அவை தீர்க்கும் அல்லது நிரூபிக்கும் செயல்முறையை பெரிதும் எளிதாக்கும்:

1. ஒரு வரிசையின் வரம்பின் தனித்தன்மை. எந்தவொரு வரிசையும் ஒரே ஒரு வரம்பைக் கொண்டிருக்கலாம் அல்லது எதுவும் இல்லை. ஒரே ஒரு முனையை மட்டுமே கொண்டிருக்கும் வரிசையில் அதே உதாரணம்.
2. எண்களின் வரிசைக்கு வரம்பு இருந்தால், இந்த எண்களின் வரிசை வரம்புக்குட்பட்டது.
3. வரிசைகளின் கூட்டுத்தொகை (வேறுபாடு, தயாரிப்பு) வரம்பு அவற்றின் வரம்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு (வேறுபாடு, தயாரிப்பு) சமம்.
4. இரண்டு வரிசைகளை வகுக்கும் விகுதியின் வரம்பு, வகுப்பு மறைந்துவிடாமல் இருந்தால் மட்டுமே வரம்புகளின் விகுதிக்கு சமமாக இருக்கும்.

வரிசைகளின் சான்று

சில நேரங்களில் நீங்கள் ஒரு தலைகீழ் சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும், ஒரு எண் வரிசையின் கொடுக்கப்பட்ட வரம்பை நிரூபிக்க. ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்ட வரிசையின் வரம்பு பூஜ்ஜியம் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட விதியின்படி, எந்த வரிசைக்கும் சமத்துவமின்மை |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் இருப்பைக் காட்டவும், வரிசையின் வரம்பு இருப்பதை நிரூபிக்கவும் "எப்சிலான்" மூலம் n ஐ வெளிப்படுத்துவோம்.

இந்த கட்டத்தில், "epsilon" மற்றும் "en" ஆகியவை நேர்மறை எண்கள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம். இப்போது உயர்நிலைப் பள்ளியில் பெற்ற ஏற்றத்தாழ்வுகள் பற்றிய அறிவைப் பயன்படுத்தி மேலும் மாற்றங்களைத் தொடர முடியும்.

n > -3 + 1/ε என்று எப்படி மாறும். நாம் இயற்கை எண்களைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்வது மதிப்பு என்பதால், சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பதன் மூலம் முடிவை வட்டமிடலாம். எனவே, a = 0 என்ற புள்ளியின் "எப்சிலான்" சுற்றுப்புறத்தின் எந்த மதிப்பிற்கும், ஆரம்ப சமத்துவமின்மை திருப்தி அளிக்கும் வகையில் ஒரு மதிப்பு கண்டறியப்பட்டது. இங்கிருந்து, எண் a என்பது கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் வரம்பு என்று பாதுகாப்பாக சொல்லலாம். கே.இ.டி.

முதல் பார்வையில் எவ்வளவு சிக்கலானதாக இருந்தாலும், எண் வரிசையின் வரம்பை நிரூபிக்க இந்த வசதியான முறையைப் பயன்படுத்தலாம். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், நீங்கள் பணியைப் பார்க்கும்போது பீதி அடையக்கூடாது.

அல்லது ஒருவேளை அவர் அங்கு இல்லையா?

ஒரு நிலைத்தன்மை வரம்பு இருப்பது நடைமுறையில் அவசியமில்லை. உண்மையில் முடிவே இல்லாத எண்களின் தொடர்களை நீங்கள் எளிதாகக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, அதே "ஒளிரும் ஒளி" x n = (-1) n. இரண்டு இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு வரிசை, சுழற்சி முறையில் திரும்பத் திரும்ப வரம்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பது வெளிப்படையானது.

கணக்கீடுகளின் போது (0/0, ∞/∞, ∞/0, முதலியன) எந்த வரிசையின் நிச்சயமற்ற தன்மை கொண்ட ஒரு எண், பகுதியளவு கொண்ட தொடர்களுடன் அதே கதை மீண்டும் வருகிறது. இருப்பினும், தவறான கணக்கீடுகளும் ஏற்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். சில நேரங்களில் உங்கள் சொந்த தீர்வை இருமுறை சரிபார்ப்பது வரிசை வரம்பைக் கண்டறிய உதவும்.

மோனோடோனிக் வரிசை

வரிசைகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் மேலே விவாதிக்கப்பட்டன, இப்போது ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கை எடுத்து அதை "ஏகபோக வரிசை" என்று அழைக்க முயற்சிப்போம்.

வரையறை: கடுமையான சமத்துவமின்மை x n இருந்தால், எந்த வரிசையையும் சலிப்பான அதிகரிப்பு என்று சரியாக அழைக்கலாம்.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளுடன், இதே போன்ற கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளும் உள்ளன. அதன்படி, x n ≤ x n +1 (குறையாத வரிசை) மற்றும் x n ≥ x n +1 (அதிகரிக்காத வரிசை).

ஆனால் உதாரணங்களுடன் இதைப் புரிந்துகொள்வது எளிது.

x n = 2+n சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட வரிசை பின்வரும் எண்களின் தொடர்களை உருவாக்குகிறது: 4, 5, 6, முதலியன. இது ஒரு சலிப்பான முறையில் அதிகரிக்கும் வரிசையாகும்.

நாம் x n =1/n ஐ எடுத்துக் கொண்டால், நமக்குத் தொடர் கிடைக்கும்: 1/3, ¼, 1/5, முதலியன. இது ஒரே மாதிரியாகக் குறையும் வரிசையாகும்.

குவிந்த மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட வரிசையின் வரம்பு

வரம்புக்குட்பட்ட வரிசை என்பது வரம்பைக் கொண்ட ஒரு வரிசை. ஒரு குவிந்த வரிசை என்பது எண்ணற்ற வரம்பைக் கொண்ட எண்களின் தொடர்.

எனவே, கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வரிசையின் வரம்பு உண்மையானது அல்லது சிக்கலான எண்.ஒரே ஒரு வரம்பு மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

ஒரு குவிந்த வரிசையின் வரம்பு ஒரு எல்லையற்ற (உண்மையான அல்லது சிக்கலான) அளவு. நீங்கள் ஒரு வரிசை வரைபடத்தை வரைந்தால், ஒரு குறிப்பிட்ட கட்டத்தில் அது ஒன்றிணைவது போல் தோன்றும், ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பாக மாறும். எனவே பெயர் - குவிந்த வரிசை.

ஒரு மோனோடோனிக் வரிசையின் வரம்பு

அத்தகைய வரிசைக்கு வரம்பு இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம். முதலில், அது இருக்கும் போது புரிந்து கொள்ள பயனுள்ளதாக இருக்கும்;

மோனோடோனிக் வரிசைகளில், ஒன்றிணைந்த மற்றும் மாறுபட்டவை வேறுபடுகின்றன. கன்வெர்ஜென்ட் என்பது x தொகுப்பால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு வரிசை மற்றும் இந்த தொகுப்பில் உண்மையான அல்லது சிக்கலான வரம்பைக் கொண்டுள்ளது. டைவர்ஜென்ட் என்பது அதன் தொகுப்பில் வரம்பு இல்லாத ஒரு வரிசையாகும் (உண்மையான அல்லது சிக்கலானது அல்ல).

மேலும், ஒரு வடிவியல் பிரதிநிதித்துவத்தில், அதன் மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகள் ஒன்றிணைந்தால், வரிசை ஒன்றிணைகிறது.

ஒரு குவிந்த வரிசையின் வரம்பு பல சமயங்களில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம், ஏனெனில் எந்த எண்ணற்ற வரிசையும் அறியப்பட்ட வரம்பைக் கொண்டுள்ளது (பூஜ்ஜியம்).

நீங்கள் எந்த ஒன்றிணைந்த வரிசையை எடுத்தாலும், அவை அனைத்தும் வரம்பிற்குட்பட்டவை, ஆனால் அனைத்து வரம்பிற்குட்பட்ட வரிசைகளும் ஒன்றிணைவதில்லை.

இரண்டு குவிந்த தொடர்களின் கூட்டுத்தொகை, வேறுபாடு, பெருக்கமும் ஒரு குவிந்த வரிசையே. இருப்பினும், அது வரையறுக்கப்பட்டால், பகுதியும் குவிந்துவிடும்!

வரம்புகளுடன் கூடிய பல்வேறு செயல்கள்

வரிசை வரம்புகள் இலக்கங்கள் மற்றும் எண்கள் போன்ற குறிப்பிடத்தக்கவை (பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில்): 1, 2, 15, 24, 362, முதலியன. சில செயல்பாடுகளை வரம்புகளுடன் செய்ய முடியும் என்று மாறிவிடும்.

முதலில், இலக்கங்கள் மற்றும் எண்களைப் போலவே, எந்த வரிசையின் வரம்புகளையும் கூட்டலாம் மற்றும் கழிக்கலாம். வரிசைகளின் வரம்புகளில் மூன்றாவது தேற்றத்தின் அடிப்படையில், பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது: வரிசைகளின் கூட்டுத்தொகையின் வரம்பு அவற்றின் வரம்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

இரண்டாவதாக, வரிசைகளின் வரம்புகளில் நான்காவது தேற்றத்தின் அடிப்படையில், பின்வரும் சமத்துவம் உண்மை: வரிசைகளின் n வது எண்ணிக்கையின் பெருக்கத்தின் வரம்பு அவற்றின் வரம்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம். வகுப்பதற்கும் இதுவே உண்மை: இரண்டு வரிசைகளின் விகிதத்தின் வரம்பு பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், அவற்றின் வரம்புகளின் விகிதத்திற்கு சமம். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வரிசைகளின் வரம்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அது மாறிவிடும் பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல்,சாத்தியமற்றது.

வரிசை அளவுகளின் பண்புகள்

எண் வரிசையின் வரம்பு ஏற்கனவே சில விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் "எல்லையற்ற சிறிய" மற்றும் "எல்லையற்ற பெரிய" எண்கள் போன்ற சொற்றொடர்கள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன. வெளிப்படையாக, ஒரு வரிசை 1/x இருந்தால், x→∞, அத்தகைய பின்னம் எண்ணற்றது, அதே வரிசை, ஆனால் வரம்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் (x→0), பின்னர் பின்னம் எண்ணற்ற பெரிய மதிப்பாக மாறும். அத்தகைய அளவுகள் அவற்றின் சொந்த குணாதிசயங்களைக் கொண்டுள்ளன. சிறிய அல்லது பெரிய மதிப்புகளைக் கொண்ட வரிசையின் வரம்பின் பண்புகள் பின்வருமாறு:

1. சிறிய அளவுகளின் எந்த எண்ணின் கூட்டுத்தொகை சிறிய அளவாக இருக்கும்.
2. எத்தனை பெரிய அளவுகளின் கூட்டுத்தொகை எண்ணற்ற பெரிய அளவாக இருக்கும்.
3. தன்னிச்சையாக சிறிய அளவுகளின் தயாரிப்பு எண்ணற்றது.
4. எத்தனை பெரிய எண்களின் பலன் எண்ணற்ற பெரியது.
5. அசல் வரிசை எண்ணற்ற பெரிய எண்ணாக இருந்தால், அதன் தலைகீழ் எண்ணற்றதாகவும் பூஜ்ஜியமாகவும் இருக்கும்.

உண்மையில், நீங்கள் ஒரு எளிய வழிமுறையை அறிந்திருந்தால், ஒரு வரிசையின் வரம்பை கணக்கிடுவது அவ்வளவு கடினமான பணி அல்ல. ஆனால் நிலைத்தன்மையின் வரம்புகள் அதிகபட்ச கவனமும் விடாமுயற்சியும் தேவைப்படும் ஒரு தலைப்பு. நிச்சயமாக, அத்தகைய வெளிப்பாடுகளுக்கான தீர்வின் சாரத்தை வெறுமனே புரிந்துகொள்வது போதுமானது. சிறியதாக தொடங்கி, காலப்போக்கில் பெரிய உயரங்களை அடையலாம்.

வரம்புகள் அனைத்து கணித மாணவர்களுக்கும் நிறைய பிரச்சனைகளை கொடுக்கின்றன. ஒரு வரம்பை தீர்க்க, சில சமயங்களில் நீங்கள் நிறைய தந்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்திற்கு ஏற்றதாக இருக்கும் பல்வேறு தீர்வு முறைகளில் இருந்து தேர்வு செய்ய வேண்டும்.

இந்தக் கட்டுரையில் உங்கள் திறன்களின் வரம்புகளைப் புரிந்துகொள்ளவோ ​​அல்லது கட்டுப்பாட்டு வரம்புகளைப் புரிந்துகொள்ளவோ ​​நாங்கள் உங்களுக்கு உதவ மாட்டோம், ஆனால் கேள்விக்கு பதிலளிக்க முயற்சிப்போம்: உயர் கணிதத்தில் வரம்புகளை எவ்வாறு புரிந்துகொள்வது? புரிதல் அனுபவத்துடன் வருகிறது, எனவே அதே நேரத்தில் விளக்கங்களுடன் வரம்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான பல விரிவான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்.

கணிதத்தில் வரம்பு என்ற கருத்து

முதல் கேள்வி: இந்த வரம்பு என்ன, எதன் வரம்பு? எண் வரிசைகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரம்புகளைப் பற்றி நாம் பேசலாம். ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு என்ற கருத்தில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம், ஏனெனில் இது மாணவர்கள் பெரும்பாலும் சந்திக்கிறது. ஆனால் முதலில், வரம்பின் பொதுவான வரையறை:

சில மாறி மதிப்பு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். மாற்றத்தின் செயல்பாட்டில் இந்த மதிப்பு வரம்பற்ற ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை அணுகினால் அ , அது அ - இந்த மதிப்பின் வரம்பு.

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு f(x)=y அத்தகைய எண் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏ , செயல்பாடு எப்போது முனைகிறது எக்ஸ் , ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் முனைகிறது ஏ . புள்ளி ஏ செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்தது.

இது சிக்கலானதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் இது மிகவும் எளிமையாக எழுதப்பட்டுள்ளது:

லிம்- ஆங்கிலத்தில் இருந்து வரம்பு- வரம்பு.

வரம்பை நிர்ணயிப்பதற்கான வடிவியல் விளக்கமும் உள்ளது, ஆனால் இங்கே நாம் கோட்பாட்டை ஆராய மாட்டோம், ஏனெனில் சிக்கலின் தத்துவார்த்த பக்கத்தை விட நடைமுறையில் நாங்கள் அதிக ஆர்வம் காட்டுகிறோம். என்று நாம் கூறும்போது எக்ஸ் சில மதிப்பை நோக்கி செல்கிறது, இதன் பொருள் மாறி ஒரு எண்ணின் மதிப்பை எடுத்துக் கொள்ளாது, ஆனால் அதை எல்லையில்லாமல் நெருங்குகிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணம் தருவோம். வரம்பை கண்டுபிடிப்பதே பணி.

இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, மதிப்பை மாற்றுகிறோம் x=3 ஒரு செயல்பாட்டில். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

மூலம், நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், இந்த தலைப்பில் ஒரு தனி கட்டுரையைப் படியுங்கள்.

உதாரணங்களில் எக்ஸ் எந்த மதிப்புக்கும் செல்ல முடியும். அது எந்த எண்ணாகவோ அல்லது முடிவிலியாகவோ இருக்கலாம். எப்போது என்பது இங்கே ஒரு உதாரணம் எக்ஸ் முடிவிலியை நோக்கி செல்கிறது:

உள்ளுணர்வாக, வகுப்பில் உள்ள பெரிய எண், செயல்பாடு எடுக்கும் மதிப்பு சிறியதாக இருக்கும். எனவே, வரம்பற்ற வளர்ச்சியுடன் எக்ஸ் பொருள் 1/x குறைந்து பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வரம்பை தீர்க்க, நீங்கள் செயல்பாட்டிற்கு முயற்சி செய்ய மதிப்பை மாற்ற வேண்டும். எக்ஸ் . இருப்பினும், இது எளிமையான வழக்கு. பெரும்பாலும் வரம்பை கண்டுபிடிப்பது அவ்வளவு தெளிவாக இல்லை. வரம்புகளுக்குள் வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மைகள் உள்ளன 0/0 அல்லது முடிவிலி/முடிவிலி . இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் என்ன செய்வது? தந்திரங்களை நாடவும்!

உள்ள நிச்சயமற்ற தன்மைகள்

முடிவிலி/முடிவிலி வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை

வரம்பு இருக்கட்டும்:

செயல்பாட்டில் முடிவிலியை மாற்ற முயற்சித்தால், எண் மற்றும் வகுப்பில் முடிவிலியைப் பெறுவோம். பொதுவாக, அத்தகைய நிச்சயமற்ற தன்மைகளைத் தீர்ப்பதில் கலையின் ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு உள்ளது என்று சொல்வது மதிப்பு: நிச்சயமற்ற தன்மை நீங்கும் வகையில் செயல்பாட்டை எவ்வாறு மாற்றுவது என்பதை நீங்கள் கவனிக்க வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில், நாங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் பிரிக்கிறோம் எக்ஸ் மூத்த பட்டத்தில். என்ன நடக்கும்?

மேலே ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் இருந்து, வகுப்பில் x உள்ள சொற்கள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம். பின்னர் வரம்புக்கான தீர்வு:

வகை நிச்சயமற்ற தன்மைகளைத் தீர்க்க முடிவிலி/முடிவிலிஎண் மற்றும் வகுப்பை வகுக்கவும் எக்ஸ்மிக உயர்ந்த அளவிற்கு.

மூலம்! எங்கள் வாசகர்களுக்கு இப்போது 10% தள்ளுபடி உள்ளது

மற்றொரு வகை நிச்சயமற்ற தன்மை: 0/0

எப்போதும் போல், செயல்பாட்டில் மதிப்புகளை மாற்றுகிறது x=-1 கொடுக்கிறது 0 எண் மற்றும் வகுப்பில். இன்னும் கொஞ்சம் கூர்ந்து கவனியுங்கள், எண்ணில் ஒரு இருபடி சமன்பாடு இருப்பதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள். வேர்களைக் கண்டுபிடித்து எழுதுவோம்:

குறைத்து பெறுவோம்:

எனவே, நீங்கள் வகை நிச்சயமற்ற தன்மையை எதிர்கொண்டால் 0/0 - எண் மற்றும் வகுப்பின் காரணி.

எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதை எளிதாக்க, சில செயல்பாடுகளின் வரம்புகளுடன் ஒரு அட்டவணையை நாங்கள் வழங்குகிறோம்:

எல்'ஹாபிட்டலின் ஆட்சி உள்ளே

இரண்டு வகையான நிச்சயமற்ற தன்மையையும் அகற்ற மற்றொரு சக்திவாய்ந்த வழி. முறையின் சாராம்சம் என்ன?

வரம்பில் நிச்சயமற்ற தன்மை இருந்தால், நிச்சயமற்ற தன்மை மறையும் வரை எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

எல்'ஹாபிட்டலின் விதி இதுபோல் தெரிகிறது:

முக்கியமான புள்ளி : எண் மற்றும் வகுப்பிற்குப் பதிலாக எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றல்கள் இருக்க வேண்டிய வரம்பு.

இப்போது - ஒரு உண்மையான உதாரணம்:

வழக்கமான நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது 0/0 . எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றல்களை எடுத்துக் கொள்வோம்:

Voila, நிச்சயமற்ற தன்மை விரைவாகவும் நேர்த்தியாகவும் தீர்க்கப்படுகிறது.

இந்த தகவலை நீங்கள் நடைமுறையில் பயனுள்ளதாகப் பயன்படுத்த முடியும் மற்றும் "உயர் கணிதத்தில் வரம்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது" என்ற கேள்விக்கான பதிலைக் கண்டறிய முடியும் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம். ஒரு கட்டத்தில் ஒரு வரிசையின் வரம்பு அல்லது செயல்பாட்டின் வரம்பை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும் என்றால், இந்த வேலைக்கு முற்றிலும் நேரமில்லை என்றால், விரைவான மற்றும் விரிவான தீர்வுக்கு தொழில்முறை மாணவர் சேவையைத் தொடர்பு கொள்ளவும்.

இங்கே நாம் வரையறையைப் பார்ப்போம் இறுதி வரம்புதொடர்கள். ஒரு வரிசை முடிவிலிக்கு மாறுவது பற்றிய வழக்கு "எல்லையற்ற பெரிய வரிசையின் வரையறை" பக்கத்தில் விவாதிக்கப்படுகிறது.

வரையறை .
(xn), ஏதேனும் நேர்மறை எண்ணாக இருந்தால் ε > 0 ε ஐப் பொறுத்து இயற்கை எண் N ε உள்ளது, அதாவது அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் n > N ε சமத்துவமின்மை
| x n - a|< ε .
வரிசை வரம்பு பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
.
அல்லது மணிக்கு.

சமத்துவமின்மையை மாற்றுவோம்:
;
;
.

திறந்த இடைவெளி (a - ε, a + ε) என்று அழைக்கப்படுகிறது ε - புள்ளியின் அக்கம்.

வரம்பைக் கொண்ட ஒரு வரிசை அழைக்கப்படுகிறது குவிந்த வரிசை. வரிசை என்றும் கூறப்படுகிறது ஒன்றிணைகிறதுஒரு. வரம்பு இல்லாத ஒரு வரிசை அழைக்கப்படுகிறது.

மாறுபட்ட

வரையறையின்படி, ஒரு வரிசைக்கு வரம்பு இருந்தால், நாம் எந்த ε-அருகிலுள்ள புள்ளியை தேர்வு செய்தாலும், அதற்கு வெளியே வரிசையின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள் மட்டுமே இருக்க முடியும் அல்லது எதுவும் இல்லை (வெற்று தொகுப்பு) . எந்த ε-அருகிலும் எண்ணற்ற உறுப்புகள் உள்ளன. உண்மையில், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை ε கொடுத்தால், அதன் மூலம் எண் கிடைக்கும். எனவே எண்களைக் கொண்ட வரிசையின் அனைத்து கூறுகளும், வரையறையின்படி, புள்ளி a இன் ε - அருகில் அமைந்துள்ளன.முதல் கூறுகள் எங்கும் அமைந்துள்ளன. அதாவது, ε-அருகிற்கு வெளியே தனிமங்களை விட அதிகமாக இருக்க முடியாது - அதாவது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்.

வித்தியாசம் பூஜ்ஜியத்திற்கு ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டியதில்லை, அதாவது எல்லா நேரத்திலும் குறைகிறது. இது பூஜ்ஜியத்திற்கு ஏகபோகமாக இல்லாமல் போகலாம்: அது அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம்
(1) .

உள்ளூர் அதிகபட்சம்

. இருப்பினும், இந்த மாக்சிமா, n அதிகரிக்கும் போது, ​​பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும் (ஒருவேளை ஒரே மாதிரியாக இல்லாமல் இருக்கலாம்).

இருப்பு மற்றும் உலகளாவிய தர்க்க சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி, வரம்பின் வரையறையை பின்வருமாறு எழுதலாம்: ஒரு வரம்பு அல்ல என்பதை தீர்மானித்தல்இப்போது எண் a என்பது வரிசையின் வரம்பு அல்ல என்ற நேர்மாறான கூற்றைக் கவனியுங்கள். எண் அவரிசையின் வரம்பு அல்ல
.

, எந்த இயல் எண் n க்கும் அப்படி இருந்தால் அத்தகைய இயற்கை மீ உள்ளது
(2) .

> என் , என்னதருக்கக் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி இந்த அறிக்கையை எழுதுவோம்.
என்று அறிக்கை.

எண் a என்பது வரிசையின் வரம்பு அல்ல, என்று அர்த்தம்
(3)
ஒரு புள்ளியின் எந்தப் பகுதியிலும் எண்ணற்ற உறுப்புகள் உள்ளன. இருப்பினும், இந்த புள்ளி வரிசையின் வரம்பு அல்ல, ஏனெனில் புள்ளியின் எந்த சுற்றுப்புறமும் எண்ணற்ற உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ε = உடன் ஒரு புள்ளியின் அக்கம் பக்கத்தை எடுத்துக்கொள்வோம் 1 . (-1, +1) இதுவே இடைவெளியாக இருக்கும் > 2 .

n ஐக் கொண்ட முதல் தனிமத்தைத் தவிர அனைத்து உறுப்புகளும் இந்த இடைவெளியைச் சேர்ந்தவை. ஆனால் ஒற்றைப்படை n கொண்ட அனைத்து கூறுகளும் இந்த இடைவெளிக்கு வெளியே உள்ளன, ஏனெனில் அவை சமத்துவமின்மையை x n பூர்த்தி செய்கின்றன.
.

.

ஒற்றைப்படை உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றதாக இருப்பதால், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சுற்றுப்புறத்திற்கு வெளியே எண்ணற்ற உறுப்புகள் இருக்கும். எனவே, புள்ளி என்பது வரிசையின் வரம்பு அல்ல.

இப்போது நாம் இதைக் காண்பிப்போம், அறிக்கையை (2) கண்டிப்பாக கடைபிடிப்போம். புள்ளி என்பது வரிசையின் (3) வரம்பு அல்ல, ஏனெனில் எந்த இயற்கையான n க்கும், சமத்துவமின்மை கொண்டிருக்கும் ஒற்றைப்படை ஒன்று உள்ளது.

எந்த புள்ளியும் இந்த வரிசையின் வரம்பாக இருக்க முடியாது என்பதையும் காட்டலாம். புள்ளி 0 அல்லது புள்ளி 2 இரண்டையும் கொண்டிருக்காத ஒரு ε - அக்கம் பக்கத்தை நாம் எப்போதும் தேர்வு செய்யலாம். பின்னர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சுற்றுப்புறத்திற்கு வெளியே வரிசையின் எண்ணற்ற உறுப்புகள் இருக்கும்.
சமமான வரையறைε - அக்கம் பக்கத்தின் கருத்தை விரிவுபடுத்தினால், ஒரு வரிசையின் வரம்புக்கு சமமான வரையறையை நாம் கொடுக்க முடியும். ε-அருகிற்குப் பதிலாக, புள்ளி a இன் சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டிருந்தால், சமமான வரையறையைப் பெறுவோம். 1 ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தை தீர்மானித்தல் 2 புள்ளியின் அக்கம் இந்த புள்ளியைக் கொண்ட எந்த திறந்த இடைவெளியும் அழைக்கப்படுகிறது. கணித ரீதியாக, சுற்றுப்புறம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: , எங்கே ε.

மற்றும் ε

- தன்னிச்சையான
நேர்மறை எண்கள்பின்னர் வரம்பு வரையறை பின்வருமாறு இருக்கும்.

வரிசை வரம்புக்கு சமமான வரையறை

நேர்மறை எண்கள்எண் a வரிசையின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது
.

, எந்த அக்கம் பக்கத்திற்கும் N இயற்கை எண் இருந்தால், எண்கள் கொண்ட வரிசையின் அனைத்து கூறுகளும் இந்த சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தவை.

இந்த வரையறையை விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்திலும் வழங்கலாம்.

, ஏதேனும் நேர்மறை எண்களுக்கு இயற்கை எண் N இருந்தால், அதைப் பொறுத்து அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் இருக்கும்
(4) கௌச்சியின் வரையறையின்படி, எண் உள்ளது, எனவே (3) உள்ளது.

எண் a என்பது இரண்டாவது வரையறையின்படி வரிசையின் வரம்பு என்பதைக் காட்டுவோம். அதாவது, எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் ε போன்ற ஒரு செயல்பாடு இருப்பதைக் காட்ட வேண்டும் 1 மற்றும் ε 2 பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:
(5) கௌச்சியின் வரையறையின்படி, எண் உள்ளது, எனவே (3) உள்ளது.

நமக்கு இரண்டு நேர்மறை எண்கள் உள்ளன: ε 1 மற்றும் ε 2 .
.
மேலும் ε அவற்றில் மிகச் சிறியதாக இருக்கட்டும்: .

பிறகு ; ; 1 மற்றும் ε 2 .
.

இதை (5) இல் பயன்படுத்துவோம்: 1 மற்றும் ε 2 பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:
(5) கௌச்சியின் வரையறையின்படி, எண் உள்ளது, எனவே (3) உள்ளது.

ஆனால் ஏற்றத்தாழ்வுகள் திருப்தி அடைகின்றன.
.
பின்னர் ஏற்றத்தாழ்வுகள் (5) க்கு திருப்தி அளிக்கப்படுகின்றன.
அதாவது, எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் (5) திருப்தி அளிக்கும் ஒரு செயல்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளோம் ε

முதல் பகுதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இப்போது எண் a என்பது இரண்டாவது வரையறையின்படி வரிசையின் வரம்பாக இருக்கட்டும். எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் ε போன்ற ஒரு செயல்பாடு உள்ளது என்பதே இதன் பொருள்

எண் a என்பது முதல் வரையறையின்படி வரிசையின் வரம்பு என்பதைக் காட்டுவோம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் வைக்க வேண்டும்.

பின்னர் பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் இருக்கும் போது:

(1) .
இது முதல் வரையறைக்கு ஒத்திருக்கிறது.
.

.
வரையறைகளின் சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
.

.
எடுத்துக்காட்டுகள்
கௌச்சியின் வரையறையின்படி, எண் உள்ளது, எனவே (3) உள்ளது.
கொடுக்கப்பட்ட எண் a என்பது ஒரு வரிசையின் வரம்பு என்பதை நிரூபிக்க வேண்டிய பல எடுத்துக்காட்டுகளை இங்கே பார்ப்போம். இந்த வழக்கில், நீங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான நேர்மறை எண்ணைக் குறிப்பிட வேண்டும் ε மற்றும் சமத்துவமின்மை ε இன் செயல்பாடு N ஐ வரையறுக்க வேண்டும்.
.

எடுத்துக்காட்டு 1

என்பதை நிரூபியுங்கள்.
.

எங்கள் விஷயத்தில்;
(1) .
ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம். பின்னர் என்றால் மற்றும், பின்னர்
.

பிறகு
.
வரையறைகளின் சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
.

இதன் பொருள் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் வரம்பு எண்:
.
எடுத்துக்காட்டுகள்
கௌச்சியின் வரையறையின்படி, எண் உள்ளது, எனவே (3) உள்ளது.
.

எடுத்துக்காட்டு 2

.

ஒரு வரிசையின் வரம்பின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, அதை நிரூபிக்கவும்
ஒரு வரிசையின் வரம்பின் வரையறையை எழுதுவோம்:
.
எங்கள் விஷயத்தில்,; = 1, 2, 3, ... நேர்மறை எண்களை உள்ளிடவும் மற்றும்:
.

எங்கள் விஷயத்தில்;
(1) .
அதாவது, எந்த நேர்மறைக்கும், இதை விட அதிகமான அல்லது சமமான எந்த இயற்கை எண்ணையும் நாம் எடுக்கலாம்:
.
எடுத்துக்காட்டு 3
.

இதன் பொருள் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் வரம்பு எண்:
.
நாங்கள் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம், .
கௌச்சியின் வரையறையின்படி, எண் உள்ளது, எனவே (3) உள்ளது.
வித்தியாசத்தை மாற்றுவோம்:
.

இயற்கை என்

எங்களிடம் உள்ளது:
.

எங்கள் விஷயத்தில்;
(1) .
ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம். பின்னர் என்றால் மற்றும், பின்னர்
.

பிறகு
.
எடுத்துக்காட்டு 3
.

இதன் பொருள் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் வரம்பு எண்:
.
எடுத்துக்காட்டுகள்
கௌச்சியின் வரையறையின்படி, எண் உள்ளது, எனவே (3) உள்ளது.
வித்தியாசத்தை மாற்றுவோம்:
.

பின்னர் (3) இருந்து அது பின்வருமாறு
நேர்மறை எண்களை உள்ளிடவும் மற்றும்:
பின்னர் என்றால் மற்றும் , பின்னர்