ஒரு Cauchy வரிசையின் வரம்பை தீர்மானித்தல். ஒரு வரிசையின் இறுதி வரம்பை தீர்மானித்தல். எல்லையற்ற செயல்பாட்டு வரம்புகள்

எல்லையற்ற சிறிய மற்றும் எல்லையற்ற பெரிய அம்சங்கள். நிச்சயமற்ற கருத்து. எளிமையான நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல். முதல் மற்றும் இரண்டாவது அற்புதமான வரம்புகள். அடிப்படை சமன்பாடுகள். அக்கம்பக்கத்தில் உள்ள செயல்பாடுகளுக்குச் சமமான செயல்பாடுகள்.

எண்ணியல் செயல்பாடுகொடுக்கப்பட்ட சில தொகுப்பிலிருந்து ஒவ்வொரு x எண்ணையும் y என்ற ஒற்றை எண்ணுடன் தொடர்புபடுத்தும் கடிதப் பரிமாற்றம்.

செயல்பாடுகளை அமைப்பதற்கான வழிகள்

பகுப்பாய்வு முறை: செயல்பாடு பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகிறது

கணித சூத்திரம்.

அட்டவணை முறை: செயல்பாடு அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகிறது.

விளக்க முறை: செயல்பாடு வாய்மொழி விளக்கத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது

வரைகலை முறை: ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி செயல்பாடு குறிப்பிடப்படுகிறது

முடிவிலியில் வரம்புகள்

முடிவிலியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்புகள்

அடிப்படை செயல்பாடுகள்:

1) சக்தி செயல்பாடு y=x n

2) அதிவேக செயல்பாடு y=a x

3) மடக்கைச் செயல்பாடு y=log a x

4) முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x

5) தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.

விடுங்கள் பின்னர் தொகுப்பு அமைப்பு

ஒரு வடிப்பான் மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது அல்லது வரம்பு x முடிவிலிக்கு முனைவதால் f செயல்பாட்டின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

Def.1. (கௌச்சியின் கூற்றுப்படி). y=f(x) சார்பு கொடுக்கப்படட்டும்: X à Y மற்றும் ஒரு புள்ளி அ X தொகுப்பின் வரம்பு. எண் ஏஅழைக்கப்பட்டது செயல்பாட்டின் வரம்பு y=f(x) புள்ளியில்அ , ஏதேனும் ε > 0 க்கு δ > 0 ஐக் குறிப்பிடலாம், அதாவது அனைத்து xX க்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் 0< |x-அ| < δ, выполняется |f(x) – ஏ| < ε.

Def.2 (ஹெய்ன் படி).எண் ஏபுள்ளியில் y=f(x) செயல்பாட்டின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது அ, ஏதேனும் ஒரு வரிசைக்கு (x n )ε X, x n ≠a nN என்றால் அ, செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் வரிசை (f(x n)) எண்ணுடன் ஒன்றிணைகிறது ஏ.

தேற்றம். Cauchy மற்றும் Heine இன் படி ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை தீர்மானிப்பது சமமானதாகும்.

ஆதாரம். A=lim f(x) என்பது y=f(x) செயல்பாட்டின் Cauchy வரம்பாகவும் (x n ) X, x n a nN ஒரு வரிசையாக ஒன்றிணைக்கப்படும் அ, x n à அ.

ε > 0 கொடுக்கப்பட்டால், 0 இல் δ > 0 ஐக் காணலாம்< |x-அ| < δ, xX имеем |f(x) – ஏ| < ε, а по этому δ найдем номер n δ =n(δ) такой, что при n>n δ எங்களிடம் 0 உள்ளது< |x n -அ| < δ

ஆனால் பின்னர் |f(x n) – ஏ| < ε, т.е. доказано, что f(x n)à ஏ.

இப்போது எண்ணை விடுங்கள் ஏ Heine இன் படி செயல்பாட்டின் வரம்பு இப்போது உள்ளது, ஆனால் ஏஒரு Cauchy வரம்பு அல்ல. பின்னர் ε o > 0 உள்ளது, அதாவது அனைத்து nN க்கும் x n X, 0 உள்ளது< |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= ε o. அதாவது வரிசை (x n ) X, x n ≠a nN, x n à கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது அஅந்த வரிசை (f(x n)) க்கு ஒன்றிணைவதில்லை ஏ.

வரம்புக்கு வடிவியல் பொருள்லிம்f(x) x 0 புள்ளியின் செயல்பாடு பின்வருமாறு: x 0 புள்ளியின் ε-அருகில் x வாதங்கள் எடுக்கப்பட்டால், தொடர்புடைய மதிப்புகள் புள்ளியின் ε-அருகில் இருக்கும்.

புள்ளி x0 க்கு அருகில் உள்ள இடைவெளிகளில் செயல்பாடுகளை குறிப்பிடலாம் வெவ்வேறு சூத்திரங்கள், அல்லது இடைவெளிகளில் ஒன்றில் வரையறுக்கப்படவில்லை. இத்தகைய செயல்பாடுகளின் நடத்தையைப் படிக்க, இடது கை மற்றும் வலது கை வரம்புகளின் கருத்து வசதியானது.

f சார்பு இடைவெளியில் (a, x0) வரையறுக்கப்படட்டும். எண் A அழைக்கப்படுகிறது வரம்புசெயல்பாடுகள் f விட்டு

புள்ளி x0 if0 0 x (a, x0) , x0 - x x0: | f (x) - A |

x0 புள்ளியில் வலதுபுறத்தில் f செயல்பாட்டின் வரம்பு இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

எண்ணற்ற செயல்பாடுகள் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன:

1) சில புள்ளியில் உள்ள எல்லையற்ற செயல்பாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையின் இயற்கணிதத் தொகையானது அதே புள்ளியில் எல்லையற்ற செயல்பாடு ஆகும்.

2) சில புள்ளியில் உள்ள எந்த வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிலடங்காத எண்ணற்ற செயல்பாடுகளின் பெருக்கமும் அதே புள்ளியில் எண்ணற்ற செயல்பாடுகளாகும்.

3) ஒரு கட்டத்தில் எல்லையற்றதாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாட்டின் தயாரிப்பு மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட ஒரு செயல்பாடு அதே புள்ளியில் எல்லையற்றதாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாடு ஆகும்.

சில புள்ளியில் எல்லையற்றதாக இருக்கும் a (x) மற்றும் b (x) செயல்பாடுகள் x0 என அழைக்கப்படுகின்றன ஒரே வரிசையின் எல்லையற்றவை,

செயல்பாடுகளின் வரம்புகளைக் கணக்கிடும்போது அவற்றின் மீது விதிக்கப்பட்ட கட்டுப்பாடுகளை மீறுவது நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு வழிவகுக்கிறது

நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துவதற்கான அடிப்படை நுட்பங்கள்:

நிச்சயமற்ற தன்மையை உருவாக்கும் காரணி மூலம் குறைப்பு

எண் மற்றும் வகுப்பினை வாதத்தின் மிக உயர்ந்த சக்தியால் வகுத்தல் (இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விகிதத்திற்கு)

சமமான முடிவிலிகள் மற்றும் முடிவிலிகளின் பயன்பாடு

இரண்டு பெரிய வரம்புகளைப் பயன்படுத்துதல்:

முதல் அற்புதம்எல்

இரண்டாவது அற்புதமான வரம்பு

f(x) மற்றும் g(x) செயல்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன சமமான x→ a, f(x) என்றால்: f(x) = f (x)g(x), இங்கு limx→ af (x) = 1.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், செயல்பாடுகள் x→ a க்கு சமமாக இருக்கும், x→ a ஆக இருக்கும் விகிதத்தின் வரம்பு ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். பின்வரும் உறவுகள் செல்லுபடியாகும்; அறிகுறியற்ற சமத்துவங்கள்:

பாவம் x ~ x, x → 0

tg x ~ x, x → 0, arcsin x ~ x, x ® 0, arctg x~ x, x ® 0

e x -1~ x, x→ 0

ln (1+x)~ x, x→ 0

m -1~ mx, x→ 0

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி. அடிப்படை செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சி. தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளில் எண்கணித செயல்பாடுகள். ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி. போல்சானோ-கவுச்சி மற்றும் வீயர்ஸ்ட்ராஸின் கோட்பாடுகளின் உருவாக்கம்.

இடைவிடாத செயல்பாடுகள். இடைவேளை புள்ளிகளின் வகைப்பாடு. எடுத்துக்காட்டுகள்.

செயல்பாடு f(x) என்று அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியானபுள்ளி a இல், என்றால்

" U(f(a)) $ U(a) (f(U(a)) М U(f(a))).

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி

தேற்றம் 2. u(x) சார்பு x0 புள்ளியில் தொடர்ச்சியாகவும், f(u) சார்பு u0 = f(x0) புள்ளியில் தொடர்ச்சியாகவும் இருந்தால், பிறகு சிக்கலான செயல்பாடு f(u(x)) x0 இல் தொடர்கிறது.

ஆதாரம் புத்தகத்தில் ஐ.எம். பெட்ருஷ்கோ மற்றும் எல்.ஏ. குஸ்னெட்சோவா “உயர் கணித பாடநெறி: கணித பகுப்பாய்வு அறிமுகம். வேறுபட்ட கால்குலஸ்." எம்.: பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் MPEI, 2000. பக். 59.

அனைத்து அடிப்படை செயல்பாடுகளும் அவற்றின் வரையறையின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

தேற்றம் வீயர்ஸ்ட்ராஸ்

எஃப் - தொடர்ச்சியான செயல்பாடு, பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. பின்னர் எதற்கும் நிஜ குணகங்களுடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவை p உள்ளது, அதாவது நிபந்தனையிலிருந்து எந்த xக்கும்

போல்சானோ-காச்சி தேற்றம்

இடைவெளியில் நமக்கு ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு கொடுக்கப்படும் கூட விடுங்கள் மற்றும் பொதுத்தன்மையை இழக்காமல், எதற்கும் f(c) = C என்று இருக்கும் என்று கருதுகிறோம்.

முறிவு புள்ளி- செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியை மீறும் வாதத்தின் மதிப்பு (தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டைப் பார்க்கவும்). எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு கட்டத்தில் தொடர்ச்சியின் மீறல் வரம்புகள் இருக்கும் வகையில் நிகழ்கிறது

x வலமிருந்து இடமிருந்து a க்குச் செல்கிறது, ஆனால் இந்த வரம்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று f (a) இலிருந்து வேறுபட்டது. இந்த வழக்கில், a அழைக்கப்படுகிறது 1 வது வகையின் தொடர்ச்சியின்மை புள்ளி. f (a + 0) = f (a -0) எனில், f (a)= f(a+0) என்று போட்டால், f (x) சார்பு a புள்ளியில் தொடர்வதால், இடைநிறுத்தம் நீக்கக்கூடியது என்று கூறப்படுகிறது. =f (a-0).

தொடர்ச்சியற்ற செயல்பாடுகள், சில புள்ளிகளில் இடைநிறுத்தம் கொண்ட செயல்பாடுகள் (பார்க்க இடைநிறுத்தப் புள்ளி). பொதுவாக, கணிதத்தில் எதிர்கொள்ளும் செயல்பாடுகள் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட முறிவுப் புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன, ஆனால் அனைத்துப் புள்ளிகளும் முறிவுப் புள்ளிகளாக இருக்கும் செயல்பாடுகள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக டிரிச்லெட் செயல்பாடு: f (x) = x என்றால் பகுத்தறிவு, மற்றும் f (x) = 1 என்றால் x பகுத்தறிவற்ற. தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் எல்லா இடங்களிலும் குவியும் வரிசையின் வரம்பு Rf ஆக இருக்கலாம். அத்தகைய ஆர்.எஃப். Baire இன் படி முதல் வகுப்பின் செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வழித்தோன்றல், அதன் வடிவியல் மற்றும் உடல் பொருள். வேறுபாட்டின் விதிகள் (ஒரு தொகை, தயாரிப்பு, இரண்டு செயல்பாடுகளின் பங்கு; சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்).

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்.

தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். தலைகீழ் முக்கோணவியல் சார்புகளின் வழித்தோன்றல்.

மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

மடக்கை வேறுபாட்டின் கருத்து. சக்தி-அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்.

அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

மறைமுக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

வழித்தோன்றல்செயல்பாடு f(x) (f"(x0)) புள்ளியில் x0 என்பது வேறுபாடு விகிதம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் எண்ணாகும்.

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள். புள்ளி x0 இல் உள்ள வழித்தோன்றல் இந்த புள்ளியில் y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வுக்கு சமம்.

x0 புள்ளியில் y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாடு:

வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள்.

ஒரு புள்ளி x அச்சில் நகர்ந்து அதன் ஒருங்கிணைப்பு x(t) விதியின்படி மாறினால், புள்ளியின் உடனடி வேகம்:

மடக்கை வேறுபாடு

நீங்கள் ஒரு சமன்பாட்டிலிருந்து கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள்:

a) சமன்பாட்டின் இருபுறமும் மடக்கை

b) x இன் சிக்கலான செயல்பாடு இருக்கும் சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் வேறுபடுத்துங்கள்,

.

c) அதை x இன் அடிப்படையில் ஒரு வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றவும்

மறைமுகமான செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துதல்

எப்படி என்பதை சமன்பாடு தீர்மானிக்கட்டும் மறைமுக செயல்பாடு x இலிருந்து.

a) சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்தி, முதல் பட்டத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்;

b) விளைந்த சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் வெளிப்படுத்துகிறோம்.

அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாடுகளின் வேறுபாடு

செயல்பாடு அளவுரு சமன்பாடுகளால் வழங்கப்படட்டும்,

பின்னர், அல்லது

வித்தியாசமான. வேறுபாட்டின் வடிவியல் பொருள். தோராயமான கணக்கீடுகளில் வேறுபாட்டின் பயன்பாடு. முதல் வேறுபாட்டின் வடிவத்தின் மாறுபாடு. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டிற்கான அளவுகோல்.

உயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாடுகள்.

வித்தியாசமான(லத்தீன் வேறுபாடு - வேறுபாடு, வேறுபாடு) கணிதத்தில், ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் முக்கிய நேரியல் பகுதி. x ஒரு மாறியின் y = f (x) சார்பு x = x0 இல் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருந்தால், f (x) செயல்பாட்டின் Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) அதிகரிப்பு Dy = எனக் குறிப்பிடப்படலாம். f" (x0) Dx + R,

Dx உடன் ஒப்பிடும்போது R என்ற சொல் எண்ணற்றது. இந்த விரிவாக்கத்தில் முதல் சொல் dy = f" (x0) Dx என்பது x0 புள்ளியில் உள்ள f (x) செயல்பாட்டின் வேறுபாடு எனப்படும்.

உயர் வரிசை வேறுபாடுகள்

நமக்கு ஒரு சார்பு y=f(x), இங்கு x என்பது ஒரு சார்பற்ற மாறி. இந்தச் செயல்பாட்டின் வேறுபாடு dy=f"(x)dx மாறி xஐயும் சார்ந்துள்ளது, மேலும் முதல் காரணி f"(x) மட்டுமே xஐச் சார்ந்தது, மேலும் dx=Δx என்பது xஐச் சார்ந்து இருக்காது (கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் அதிகரிப்பு புள்ளி x இந்த புள்ளிகளிலிருந்து சுயாதீனமாக தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம்). dy ஐ x இன் செயல்பாடாகக் கருதுவதன் மூலம், அந்தச் செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் y=f(x) வேறுபாட்டின் வேறுபாடு இந்தச் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாடு அல்லது இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது d 2 y: d(dy)=d 2 y எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

இரண்டாவது வேறுபாட்டிற்கான வெளிப்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம். ஏனெனில் dx xஐச் சார்ந்து இல்லை, பின்னர் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் போது அது மாறிலியாகக் கருதப்படலாம்

d 2 y = d(dy) = d = "dx = f ""(x)dx·dx = f ""(x)(dx) 2 .

(dx) 2 = dx 2 என்று எழுதுவது வழக்கம். எனவே, d 2 y= f""(x)dx 2.

இதேபோல், ஒரு செயல்பாட்டின் மூன்றாவது வேறுபாடு அல்லது மூன்றாம்-வரிசை வேறுபாடு அதன் இரண்டாவது வேறுபாட்டின் வேறுபாடு ஆகும்:

d 3 y=d(d 2 y)="dx=f """(x)dx 3 .

பொதுவாக, n வது வரிசை வேறுபாடு என்பது (n – 1) வரிசை வேறுபாட்டின் முதல் வேறுபாடாகும்: d n (y)=d(d n -1y)d n y = f (n)(x)dx n

எனவே, பல்வேறு ஆர்டர்களின் வேறுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி, எந்தவொரு வரிசையின் வழித்தோன்றலும் தொடர்புடைய வரிசையின் வேறுபாடுகளின் விகிதமாக குறிப்பிடப்படலாம்:

தோராயமான கணக்கீடுகளுக்கு வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல்

y0=f(x0) செயல்பாட்டின் மதிப்பையும், x0 புள்ளியில் அதன் வழித்தோன்றல் y0" = f "(x0) என்பதையும் அறியலாம். சில நெருங்கிய புள்ளி x இல் செயல்பாட்டின் மதிப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் காண்பிப்போம்.

நாம் ஏற்கனவே கண்டறிந்தபடி, Δy செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு Δy=dy+α·Δx என்ற கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம், அதாவது. ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு ஒரு எண்ணற்ற அளவு வேறுபாட்டிலிருந்து வேறுபடுகிறது. எனவே, சிறிய Δxக்கான தோராயமான கணக்கீடுகளில் இரண்டாவது சொல்லைப் புறக்கணித்து, சில நேரங்களில் தோராயமான சமத்துவம் Δy≈dy அல்லது Δy≈f"(x0)·Δx பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வரையறையின்படி, Δy = f(x) – f(x0), பிறகு f(x) – f(x0)≈f"(x0) Δx.

எங்கிருந்து f(x) ≈ f(x0) + f"(x0) Δx

முதல் வேறுபாட்டின் மாறாத வடிவம்.

ஆதாரம்:

1)

வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் பற்றிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகள். ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி மற்றும் வேறுபாடு ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவு. ஃபெர்மட்டின் தேற்றம். Rolle, Lagrange, Cauchy ஆகியவற்றின் கோட்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் விளைவுகள். ஃபெர்மாட், ரோல் மற்றும் லாக்ரேஞ்ச் கோட்பாடுகளின் வடிவியல் பொருள்.

மிகவும் முக்கியமான பொதுவான விஷயங்களுடன் தொடங்குவோம், ஆனால் சிலர் அவற்றில் கவனம் செலுத்துகிறார்கள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு - அடிப்படை கருத்துக்கள்.

முடிவிலி என்பதுசின்னம் அடிப்படையில், முடிவிலி என்பது எல்லையற்ற பெரிய நேர்மறை எண் அல்லது எண்ணற்ற பெரியது எதிர்மறை எண்.

இதன் பொருள் என்ன: நீங்கள் பார்க்கும் போது, ​​அது அல்லது . ஆனால் உடன் மாற்றாமல் இருப்பது நல்லது, அதை மாற்றாமல் இருப்பது நல்லது.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை எழுதவும் f(x) என எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டது, வாதம் x கீழே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது மற்றும் அம்புக்குறி மூலம், அது எந்த மதிப்பை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது.

இது ஒரு குறிப்பிட்ட உண்மையான எண்ணாக இருந்தால், நாங்கள் பேசுகிறோம் புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரம்பு.

என்றால் அல்லது. பின்னர் அவர்கள் பேசுகிறார்கள் முடிவிலியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு.

வரம்பு ஒரு குறிப்பிட்ட உண்மையான எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கலாம், இதில் அது கூறப்படுகிறது வரம்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

என்றால், அல்லது , பிறகு அப்படிச் சொல்கிறார்கள் எல்லை எல்லையற்றது.

என்றும் கூறுகிறார்கள் வரம்பு இல்லை, வரம்பின் குறிப்பிட்ட மதிப்பை அல்லது அதன் எல்லையற்ற மதிப்பை (, அல்லது) தீர்மானிக்க இயலாது என்றால். எடுத்துக்காட்டாக, முடிவிலியில் சைனுக்கு வரம்பு இல்லை.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு - அடிப்படை வரையறைகள்.

இது பிஸியாக இருக்கும் நேரம் செயல்பாட்டு வரம்புகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்முடிவிலி மற்றும் ஒரு புள்ளியில். இதற்கு பல வரையறைகள் நமக்கு உதவும். இந்த வரையறைகள் அடிப்படையாக கொண்டவை எண் வரிசைகள் மற்றும் அவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு அல்லது வேறுபாடு.

வரையறை(முடிவிலியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறிதல்).

எண் A ஆனது f(x) இல் செயல்பாட்டின் வரம்பு என அழைக்கப்படுகிறது, எந்த எண்ணற்ற பெரிய அளவிலான சார்பு வாதங்களுக்கு (எல்லையற்ற பெரிய நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை), இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரிசை A க்கு இணைகிறது. ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

கருத்து.

எந்த எல்லையற்ற பெரிய அளவிலான சார்பு வாதங்களுக்கு (எல்லையற்ற பெரிய நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை), இந்தச் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரிசை எண்ணற்ற நேர்மறை அல்லது எல்லையற்ற எதிர்மறையாக இருந்தால், f(x) இல் உள்ள செயல்பாட்டின் வரம்பு எல்லையற்றது. ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

உதாரணம்.

இல் வரம்பின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவத்தை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு.

வாத மதிப்புகளின் எல்லையற்ற பெரிய நேர்மறை வரிசைக்கான செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் வரிசையை எழுதுவோம்.

இந்த வரிசையின் விதிமுறைகள் பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி ஒரே மாதிரியாகக் குறைகின்றன என்பது வெளிப்படையானது.

கிராஃபிக் விளக்கம்.

இப்போது வாத மதிப்புகளின் எல்லையற்ற பெரிய எதிர்மறை வரிசைக்கான செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் வரிசையை எழுதுவோம்.

இந்த வரிசையின் விதிமுறைகளும் பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி ஒரே மாதிரியாகக் குறைகின்றன, இது அசல் சமத்துவத்தை நிரூபிக்கிறது.

கிராஃபிக் விளக்கம்.

உதாரணம்.

வரம்பைக் கண்டறியவும்

தீர்வு.

வாத மதிப்புகளின் எல்லையற்ற பெரிய நேர்மறை வரிசைக்கான செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் வரிசையை எழுதுவோம். உதாரணமாக, எடுத்துக் கொள்வோம்.

செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் வரிசை (வரைபடத்தில் நீல புள்ளிகள்)

வெளிப்படையாக, இந்த வரிசை எண்ணற்ற பெரிய நேர்மறை, எனவே,

இப்போது வாத மதிப்புகளின் எல்லையற்ற பெரிய எதிர்மறை வரிசைக்கான செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் வரிசையை எழுதுவோம். உதாரணமாக, எடுத்துக் கொள்வோம்.

செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் வரிசை (வரைபடத்தில் பச்சை புள்ளிகள்)

வெளிப்படையாக, இந்த வரிசை பூஜ்ஜியமாக ஒன்றிணைகிறது, எனவே,

கிராஃபிக் விளக்கம்

பதில்:

இப்போது ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் இருப்பு மற்றும் நிர்ணயம் பற்றி பேசலாம். எல்லாவற்றையும் அடிப்படையாகக் கொண்டது ஒரு பக்க வரம்புகளை வரையறுத்தல். எப்போது ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளைக் கணக்கிடாமல் ஒருவர் செய்ய முடியாது.

வரையறை(இடதுபுறத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறிதல்).

எண் B ஆனது இடதுபுறத்தில் உள்ள f(x) செயல்பாட்டின் வரம்பு என அழைக்கப்படுகிறது, எந்த வரிசை சார்பு வாதங்கள் a க்கு மாறினால், அதன் மதிப்புகள் a (), மதிப்புகளின் வரிசையை விட குறைவாக இருக்கும் இந்த செயல்பாடு B க்கு இணைகிறது.

நியமிக்கப்பட்டது .

வரையறை(வலதுபுறத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறிதல்).

எண் B ஆனது வலதுபுறத்தில் உள்ள f(x) செயல்பாட்டின் வரம்பு என அழைக்கப்படுகிறது, செயல்பாட்டின் எந்த வரிசையிலும் a க்கு மாறினால், அதன் மதிப்புகள் a (), மதிப்புகளின் வரிசையை விட அதிகமாக இருக்கும் இந்த செயல்பாடு B க்கு இணைகிறது.

நியமிக்கப்பட்டது .

வரையறை(ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு இருப்பது).

a புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வரம்பு a இன் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் வரம்புகள் இருந்தால் அவை ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

கருத்து.

a புள்ளியில் உள்ள f(x) செயல்பாட்டின் வரம்பு, a இன் இடது மற்றும் வலது வரம்புகள் எல்லையற்றதாக இருக்கும்.

இந்த வரையறைகளை ஒரு உதாரணத்துடன் விளக்குவோம்.

உதாரணம்.

இருப்பதை நிரூபியுங்கள் இறுதி வரம்புசெயல்பாடுகள் புள்ளியில். அதன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு இருப்பதை வரையறையிலிருந்து தொடங்குவோம்.

முதலில், இடதுபுறத்தில் ஒரு வரம்பு இருப்பதைக் காட்டுகிறோம். இதைச் செய்ய, , மற்றும் . அத்தகைய வரிசைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு இருக்கும்

படத்தில், தொடர்புடைய மதிப்புகள் பச்சை புள்ளிகளாக காட்டப்பட்டுள்ளன.

இந்த வரிசை -2 ஆக மாறுவதைப் பார்ப்பது எளிது .

இரண்டாவதாக, வலதுபுறத்தில் ஒரு வரம்பு இருப்பதைக் காட்டுகிறோம். இதைச் செய்ய, , மற்றும் . அத்தகைய வரிசைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு இருக்கும்

செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொடர்புடைய வரிசை இப்படி இருக்கும்

படத்தில், தொடர்புடைய மதிப்புகள் நீல புள்ளிகளாக காட்டப்பட்டுள்ளன.

இந்த வரிசையும் -2 ஆக இணைவதைப் பார்ப்பது எளிது .

இதன் மூலம், இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள வரம்புகள் சமமாக இருப்பதைக் காட்டினோம், எனவே, வரையறையின்படி, செயல்பாட்டின் வரம்பு உள்ளது புள்ளி , மற்றும்

கிராஃபிக் விளக்கம்.

தலைப்புடன் வரம்புகளின் கோட்பாட்டின் அடிப்படை வரையறைகள் பற்றிய உங்கள் ஆய்வைத் தொடர பரிந்துரைக்கிறோம்.

வரையறை 1. விடுங்கள் ஈ- எல்லையற்ற எண். எந்த சுற்றுப்புறமும் தொகுப்பின் புள்ளிகளைக் கொண்டிருந்தால் ஈ, புள்ளியில் இருந்து வேறுபட்டது ஏ, அது ஏஅழைக்கப்பட்டது இறுதி தொகுப்பின் புள்ளி ஈ.

வரையறை 2. (ஹென்ரிச் ஹெய்ன் (1821-1881)). செயல்படட்டும்
தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது எக்ஸ்மற்றும் ஏஅழைக்கப்பட்டது வரம்பு செயல்பாடுகள்
புள்ளியில் (அல்லது எப்போது
, வாத மதிப்புகளின் எந்த வரிசைக்கும் இருந்தால்
, ஆக மாறுகிறது , செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொடர்புடைய வரிசை எண்ணுடன் ஒன்றிணைகிறது ஏ. அவர்கள் எழுதுகிறார்கள்:
.

எடுத்துக்காட்டுகள். 1) செயல்பாடு
சமமான வரம்பு உள்ளது உடன், எண் கோட்டின் எந்தப் புள்ளியிலும்.

உண்மையில், எந்த புள்ளிக்கும் மற்றும் வாத மதிப்புகளின் எந்த வரிசையும்
, ஆக மாறுகிறது தவிர வேறு எண்களைக் கொண்டது , செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொடர்புடைய வரிசை வடிவம் உள்ளது
, மற்றும் இந்த வரிசை ஒன்றிணைகிறது என்பதை நாங்கள் அறிவோம் உடன். அதனால் தான்
.

2) செயல்பாட்டிற்கு

.

இது வெளிப்படையானது, ஏனெனில் என்றால்
, பின்னர்
.

3) டிரிச்லெட் செயல்பாடு
எந்த நேரத்திலும் வரம்பு இல்லை.

உண்மையில், விடுங்கள்
மற்றும்
, மற்றும் அனைத்தும் - பகுத்தறிவு எண்கள். பிறகு
அனைவருக்கும் n, அதனால் தான்
. என்றால்
மற்றும் அவ்வளவுதான் விகிதாச்சார எண்கள்
அனைவருக்கும் n, அதனால் தான்
. வரையறை 2 இன் நிபந்தனைகள் திருப்தியடையவில்லை என்பதை நாங்கள் காண்கிறோம்
இல்லை.

4)
.

உண்மையில், ஒரு தன்னிச்சையான வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம்
, ஆக மாறுகிறது

எண் 2. பிறகு . கே.இ.டி.

வரையறை 3. (கௌச்சி (1789-1857)). செயல்படட்டும்
தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது எக்ஸ்மற்றும் என்பது இந்த தொகுப்பின் வரம்பு புள்ளி. எண் ஏஅழைக்கப்பட்டது வரம்பு செயல்பாடுகள்
புள்ளியில் (அல்லது எப்போது
, ஏதேனும் இருந்தால்
இருக்கும்
, வாதத்தின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் எக்ஸ், சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது

,

சமத்துவமின்மை உண்மை

.

அவர்கள் எழுதுகிறார்கள்:
.

Cauchy இன் வரையறையை சுற்றுப்புறங்களைப் பயன்படுத்தியும் கொடுக்கலாம், நாம் கவனத்தில் கொண்டால், a:

செயல்பட விடுங்கள்
தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது எக்ஸ்மற்றும் என்பது இந்த தொகுப்பின் வரம்பு புள்ளி. எண் ஏவரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடுகள்
புள்ளியில் , ஏதேனும் இருந்தால் ஒரு புள்ளியின் அக்கம் ஏ
துளையிடப்பட்ட ஒன்று உள்ளது - ஒரு புள்ளியின் அக்கம்
,அப்படிப்பட்ட
.

இந்த வரையறையை ஒரு வரைபடத்துடன் விளக்குவது பயனுள்ளது.

உதாரணம் 5.
.

உண்மையில், எடுத்துக்கொள்வோம்
தோராயமாக மற்றும் கண்டுபிடிக்க
, எல்லோருக்கும் அப்படி எக்ஸ், சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது
சமத்துவமின்மை உள்ளது
.
கடைசி சமத்துவமின்மை சமத்துவமின்மைக்கு சமம்
, அதனால் எடுத்தாலே போதும் என்று பார்க்கிறோம்

. அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தேற்றம்நியாயமான

ஆதாரம் 1. ஹெய்ன் மற்றும் கௌச்சியின் படி ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் வரையறைகள் சமமானவை.
. 1) அனுமதிக்கவும்

Cauchy படி. ஹெய்னின் கூற்றுப்படி அதே எண் ஒரு வரம்பு என்பதை நிரூபிப்போம்.
எடுக்கலாம்
, எல்லோருக்கும் அப்படி
சமத்துவமின்மை உள்ளது
தன்னிச்சையாக. வரையறை 3 இன் படி உள்ளது
. விடுங்கள்
- இது போன்ற ஒரு தன்னிச்சையான வரிசை
மணிக்கு . பின்னர் ஒரு எண் உள்ளதுஎன்
சமத்துவமின்மை உள்ளது
அனைவருக்கும் அப்படி
அனைவருக்கும்
, அதனால் தான்

, அதாவது

ஹெய்ன் படி.
2) இப்போது விடுங்கள்
ஹெய்ன் படி. என்பதை நிரூபிப்போம்

மற்றும் Cauchy படி.
இதற்கு நேர்மாறாகக் கருதுவோம், அதாவது. என்ன
Cauchy படி. பின்னர் உள்ளது
இருக்கும்
,
மற்றும்
யாருக்கும் அப்படி
. வரிசையைக் கவனியுங்கள்
. குறிப்பிட்டதற்கு nமற்றும் ஏதேனும்

மற்றும்
உள்ளது
. என்று அர்த்தம்
, இருந்தாலும் ஏ, அதாவது எண்
புள்ளியில் வரம்பு அல்ல

தேற்றம்ஹெய்ன் படி. நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம், இது அறிக்கையை நிரூபிக்கிறது. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. 2 (வரம்பின் தனித்தன்மையில்). ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு இருந்தால்

ஆதாரம், அப்புறம் அவன் மட்டும்தான்.

. ஹெயின் படி ஒரு வரம்பு வரையறுக்கப்பட்டால், அதன் தனித்துவம் வரிசையின் வரம்பின் தனித்தன்மையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. Cauchy இன் படி ஒரு வரம்பு வரையறுக்கப்பட்டால், அதன் தனித்துவம் Cauchy மற்றும் Heine இன் படி ஒரு வரம்பின் வரையறைகளின் சமநிலையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

வரையறைவரிசைகளுக்கான Cauchy அளவுகோலைப் போலவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு இருப்பதற்கான Cauchy அளவுகோலும் உள்ளது. அதை உருவாக்கும் முன், கொடுக்கலாம்
4. செயல்பாடு என்று சொல்கிறார்கள் , ஏதேனும் இருந்தால்
மற்றும் ஏதேனும்

புள்ளியில் உள்ள Cauchy நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது
மற்றும்
, அது போன்ற
.

தேற்றம், சமத்துவமின்மை உள்ளது
3 (ஒரு வரம்பு இருப்பதற்கான Cauchy அளவுகோல்). செயல்பாட்டின் பொருட்டு புள்ளியில் இருந்தது

ஆதாரம்.வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பு, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு Cauchy நிலையை திருப்திப்படுத்துவது அவசியம் மற்றும் போதுமானது.தன்னிச்சையாக. வரையறை 3 இன் படி உள்ளது
அவசியம்
. என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும் புள்ளியில் திருப்தி அளிக்கிறது

Cauchy படி. ஹெய்னின் கூற்றுப்படி அதே எண் ஒரு வரம்பு என்பதை நிரூபிப்போம்.
கசப்பான நிலை.
தன்னிச்சையாக மற்றும் வைத்து மற்றும் ஏதேனும்
. வரம்பு வரையறையின்படி
, எந்த மதிப்புகளுக்கும்
மற்றும்
, ஏற்றத்தாழ்வுகளை திருப்திப்படுத்துதல்
மற்றும்
, ஏற்றத்தாழ்வுகள் திருப்தி அடைகின்றன

. பிறகு

தேவை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.போதுமானது
. என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும் . செயல்படட்டும் கசப்பான நிலை. அது புள்ளியில் உள்ளது என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும்

Cauchy படி. ஹெய்னின் கூற்றுப்படி அதே எண் ஒரு வரம்பு என்பதை நிரூபிப்போம்.
இறுதி வரம்பு.
, போன்ற ஏற்றத்தாழ்வுகள் இருந்து
,
அதை பின்பற்றுகிறது
- இது கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எந்த வரிசையிலும் அதை முதலில் காட்டுவோம்
, ஆக மாறுகிறது , பின்தொடர்
செயல்பாட்டு மதிப்புகள் ஒன்றிணைகின்றன. உண்மையில், என்றால்
, பின்னர், கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் வரம்பின் வரையறையின் அடிப்படையில்
ஒரு எண் உள்ளது . பின்னர் ஒரு எண் உள்ளது, எந்த ஒரு

மற்றும்
. ஏனெனில்
புள்ளியில் எங்களிடம் உள்ள Cauchy நிலைமையை திருப்திப்படுத்துகிறது
. பின்னர், வரிசைகளுக்கான Cauchy அளவுகோல் மூலம், வரிசை
ஒன்றிணைகிறது. அத்தகைய அனைத்து தொடர்களையும் காட்டுவோம்
ஒரே வரம்பில் ஒன்றிணைகின்றன. இதற்கு நேர்மாறாகக் கருதுவோம், அதாவது. வரிசைகள் என்ன
மற்றும்
,
,
, அது போன்ற. வரிசையை கருத்தில் கொள்வோம். அது ஒன்றிணைகிறது என்பது தெளிவாகிறது , எனவே, மேலே நிரூபிக்கப்பட்டவற்றால், வரிசை ஒன்றிணைகிறது, இது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் பின்தொடர்தல்கள்
மற்றும்
வெவ்வேறு வரம்புகள் உள்ளன மற்றும் . அதனால் ஏற்படும் முரண்பாடு அதைக் காட்டுகிறது =. எனவே, ஹெய்னின் வரையறையின்படி, செயல்பாடு புள்ளியில் உள்ளது இறுதி வரம்பு. போதுமானது, எனவே தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஹெய்ன் (வரிசைகள் மூலம்) மற்றும் Cauchy (எப்சிலன் மற்றும் டெல்டா சுற்றுப்புறங்கள் மூலம்) படி ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் வரையறைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. வரையறைகள் உலகளாவிய வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எல்லையற்ற தொலைதூர புள்ளிகளில் இரு பக்க மற்றும் ஒரு பக்க வரம்புகளுக்கு பொருந்தும். புள்ளி a என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு அல்ல என்ற வரையறை கருதப்படுகிறது. ஹெய்ன் மற்றும் கௌச்சி வரையறைகளின் சமநிலைக்கான ஆதாரம்.

மேலும் பார்க்க: ஒரு புள்ளியின் அக்கம்
ஒரு இறுதிப் புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை தீர்மானித்தல்
முடிவிலியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பைத் தீர்மானித்தல்

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் முதல் வரையறை (ஹெய்ன் படி)

(x)புள்ளி x இல் 0 :
,
என்றால்
1) புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0
2) எந்த வரிசைக்கும் (xn), x ஆக மாறுகிறது 0 :
, அதன் கூறுகள் அக்கம் பக்கத்தைச் சேர்ந்தவை,
அடுத்தடுத்து (f(xn))ஒன்றாக இணைகிறது:
.

இங்கே x 0 மற்றும் a என்பது வரையறுக்கப்பட்ட எண்களாகவோ அல்லது முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகளாகவோ இருக்கலாம். சுற்றுப்புறம் இரண்டு பக்கமாகவோ அல்லது ஒரு பக்கமாகவோ இருக்கலாம்.

.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் இரண்டாவது வரையறை (கௌச்சியின் படி)

எண் a ஆனது f செயல்பாட்டின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது (x)புள்ளி x இல் 0 :
,
என்றால்
1) புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0 , இதில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது;
2) யாருக்கும் நேர்மறை எண் ε > 0 அத்தகைய எண் உள்ளது δ ε > 0 , ε ஐப் பொறுத்து, துளையிடப்பட்ட δ ε-ஐச் சேர்ந்த அனைத்து x-க்கும் x புள்ளியின் சுற்றுப்புறம் 0 :
,
செயல்பாட்டு மதிப்புகள் f (x)புள்ளி a இன் ε-அருகில் சேர்ந்தது:
.

புள்ளிகள் x 0 மற்றும் a என்பது வரையறுக்கப்பட்ட எண்களாகவோ அல்லது முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகளாகவோ இருக்கலாம். அக்கம் பக்கமும் இரண்டு பக்கமாகவோ அல்லது ஒரு பக்கமாகவோ இருக்கலாம்.

இருப்பு மற்றும் உலகளாவிய தர்க்க சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த வரையறையை எழுதுவோம்:
.

இந்த வரையறை சம தூர முனைகளுடன் சுற்றுப்புறங்களைப் பயன்படுத்துகிறது. புள்ளிகளின் தன்னிச்சையான சுற்றுப்புறங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமமான வரையறை கொடுக்கப்படலாம்.

தன்னிச்சையான சுற்றுப்புறங்களைப் பயன்படுத்தி வரையறை
எண் a ஆனது f செயல்பாட்டின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது (x)புள்ளி x இல் 0 :
,
என்றால்
1) புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0 , இதில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது;
2) எந்த சுற்றுப்புறத்திற்கும் U (அ)புள்ளி a இன் புள்ளி x இன் அத்தகைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறம் உள்ளது 0 x புள்ளியின் துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்த அனைத்து xக்கும் 0 :
,
செயல்பாட்டு மதிப்புகள் f (x)அக்கம்பக்கத்தைச் சேர்ந்தவர் யு (அ)புள்ளிகள் a:
.

இருப்பு மற்றும் உலகளாவிய தர்க்க சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த வரையறையை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
.

ஒரு பக்க மற்றும் இரு பக்க வரம்புகள்

மேலே உள்ள வரையறைகள் எந்த வகையான சுற்றுப்புறத்திற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம் என்ற பொருளில் உலகளாவியவை. இறுதிப் புள்ளியின் இடது பக்க துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறமாக நாம் பயன்படுத்தினால், இடது பக்க வரம்பின் வரையறையைப் பெறுவோம்.

முடிவிலியில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் அக்கம் பக்கத்தை அக்கம் பக்கமாகப் பயன்படுத்தினால், முடிவிலியில் வரம்பின் வரையறையைப் பெறுவோம்.

ஹெய்ன் வரம்பை தீர்மானிக்க, ஒரு தன்னிச்சையான வரிசைக்கு ஒரு கூடுதல் கட்டுப்பாடு விதிக்கப்படும் என்ற உண்மைக்கு இது வருகிறது: அதன் கூறுகள் புள்ளியின் தொடர்புடைய துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்ததாக இருக்க வேண்டும்.
Cauchy வரம்பை தீர்மானிக்க, ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தின் பொருத்தமான வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளாக மாற்றுவது அவசியம்.

"ஒரு புள்ளியின் அருகில்" பார்க்கவும்.

அந்த புள்ளி a ஐ தீர்மானிப்பது ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு அல்ல (x)புள்ளி a என்பது செயல்பாட்டின் வரம்பு அல்ல என்ற நிபந்தனையைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் அவசியமாகிறது. 0 மேலே உள்ள வரையறைகளுக்கு மறுப்புகளை உருவாக்குவோம். அவற்றில் நாம் செயல்பாடு f என்று கருதுகிறோம் 0 புள்ளி x இன் சில துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறங்களில் வரையறுக்கப்படுகிறது

..
புள்ளிகள் a மற்றும் x வரையறுக்கப்பட்ட எண்கள் அல்லது எண்ணற்ற தொலைவில் இருக்கலாம். கீழே கூறப்பட்டுள்ள அனைத்தும் இருதரப்பு மற்றும் ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளுக்கு பொருந்தும்.ஹெய்ன் படி (x)புள்ளி x இல் 0 : ,
எண் அ (xn)இல்லை 0 :
,
செயல்பாட்டின் வரம்பு f
அத்தகைய வரிசை இருந்தால் (f(xn)), x ஆக மாறுகிறது
.
.

அதன் கூறுகள் அக்கம் பக்கத்தைச் சேர்ந்தவை,.
புள்ளிகள் a மற்றும் x வரையறுக்கப்பட்ட எண்கள் அல்லது எண்ணற்ற தொலைவில் இருக்கலாம். கீழே கூறப்பட்டுள்ள அனைத்தும் இருதரப்பு மற்றும் ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளுக்கு பொருந்தும்.ஹெய்ன் படி (x)புள்ளி x இல் 0 :
,
வரிசை என்ன > 0 ஒரு சேரவில்லை: > 0 கௌச்சியின் கூற்றுப்படி 0 :
,
அத்தகைய நேர்மறை எண் இருந்தால் ε (x), எனவே எந்த நேர்மறை எண்ணுக்கும் δ
.
.

, x புள்ளியின் துளையிடப்பட்ட δ-அருகிலுள்ள ஒரு x உள்ளது.

f செயல்பாட்டின் மதிப்பு f(x) = sin(1/x) x → 0 என வரம்பு இல்லை.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாடு இல் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் வரம்பு இல்லை. அதை நிரூபிக்க, வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம். 0 இது ஒரு புள்ளியில் இணைகிறது
: . 0 ஏனெனில் , அப்போது .
வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம்.

இது புள்ளியில் கூடுகிறது

தேற்றம்
: .

ஆனால் அப்போதிருந்து.

பின்னர் வரம்பு எந்த எண்ணுக்கும் சமமாக இருக்க முடியாது a.

உண்மையில், க்கு, ஒரு வரிசை உள்ளது.

எனவே, எந்த பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணும் வரம்பு அல்ல. ஆனால் இது ஒரு வரம்பு அல்ல, ஏனெனில் ஒரு வரிசை உள்ளது.
(1) ,
வரம்பின் ஹெய்ன் மற்றும் கௌச்சி வரையறைகளின் சமநிலை
(2) .

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் Heine மற்றும் Cauchy வரையறைகள் சமமானவை.

ஆதாரம்
.

ஆதாரத்தில், ஒரு புள்ளியின் சில துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறங்களில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது என்று கருதுகிறோம் (கணிக்கப்பட்ட அல்லது முடிவிலி). புள்ளி a வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது முடிவிலியாகவோ இருக்கலாம். ஹெய்ன் ஆதாரம் ⇒ கௌச்சியின்முதல் வரையறையின்படி (ஹைனின் படி) செயல்பாட்டிற்கு ஒரு புள்ளியில் வரம்பு இருக்கட்டும். அதாவது, ஒரு புள்ளியின் துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்த எந்த ஒரு வரிசைக்கும் வரம்பு உள்ளது
.
வரிசையின் வரம்பு:

செயல்பாடு ஒரு புள்ளியில் Cauchy வரம்பைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுவோம். அதாவது, எல்லோருக்கும் எல்லோருக்கும் என்று ஒன்று இருக்கிறது.

எதிர் என்று வைத்துக் கொள்வோம். நிபந்தனைகள் (1) மற்றும் (2) பூர்த்தி செய்யப்படட்டும், ஆனால் செயல்பாட்டிற்கு Cauchy வரம்பு இல்லை. அதாவது, யாருக்காகவும் ஏதோ ஒன்று இருக்கிறது, அதனால்

எடுத்துக்கொள்வோம், எங்கே n -
(3) இயற்கை எண்

. பின்னர் உள்ளது, மற்றும்
இவ்வாறு நாம் ஒரு வரிசையை ஒன்றிணைத்துள்ளோம், ஆனால் வரிசையின் வரம்பு a க்கு சமமாக இல்லை.

இது தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளுக்கு முரணானது.
முதல் பகுதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
கௌச்சியின் ஆதாரம் ⇒ ஹெய்னின்
முதல் பகுதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
இரண்டாவது வரையறையின்படி (கௌச்சியின் படி) செயல்பாட்டிற்கு ஒரு புள்ளியில் வரம்பு இருக்கட்டும். அதாவது, யாருக்கும் அது இருக்கிறது
.

அனைவருக்கும்.

ஹெய்னின் படி ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு வரம்பு உள்ளது என்பதைக் காட்டுவோம்.
ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம். Cauchy இன் வரையறையின்படி, எண் உள்ளது, எனவே (3) உள்ளது.பஞ்சர் செய்யப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்த ஒரு தன்னிச்சையான வரிசையை எடுத்துக்கொள்வோம்.

வரம்புகள் அனைத்து கணித மாணவர்களுக்கும் நிறைய பிரச்சனைகளை கொடுக்கின்றன. ஒரு வரம்பை தீர்க்க, சில சமயங்களில் நீங்கள் நிறைய தந்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்திற்கு ஏற்றதாக இருக்கும் பல்வேறு தீர்வு முறைகளில் இருந்து தேர்வு செய்ய வேண்டும்.

இந்தக் கட்டுரையில் உங்கள் திறன்களின் வரம்புகளைப் புரிந்துகொள்ளவோ ​​அல்லது கட்டுப்பாட்டு வரம்புகளைப் புரிந்துகொள்ளவோ ​​நாங்கள் உங்களுக்கு உதவ மாட்டோம், ஆனால் கேள்விக்கு பதிலளிக்க முயற்சிப்போம்: உயர் கணிதத்தில் வரம்புகளை எவ்வாறு புரிந்துகொள்வது? புரிதல் அனுபவத்துடன் வருகிறது, எனவே அதே நேரத்தில் சிலவற்றைக் கொடுப்போம் விரிவான உதாரணங்கள்விளக்கங்களுடன் வரம்புகளின் தீர்வுகள்.

கணிதத்தில் வரம்பு என்ற கருத்து

முதல் கேள்வி: இந்த வரம்பு என்ன, எதன் வரம்பு? எண் வரிசைகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரம்புகளைப் பற்றி நாம் பேசலாம். ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு என்ற கருத்தில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம், ஏனெனில் இது மாணவர்கள் பெரும்பாலும் சந்திக்கிறது. ஆனால் முதலில், வரம்பின் பொதுவான வரையறை:

சில மாறி இருக்கிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். மாற்றத்தின் செயல்பாட்டில் இந்த மதிப்பு வரம்பற்ற ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை அணுகினால் அ , அது அ - இந்த மதிப்பின் வரம்பு.

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு f(x)=y அத்தகைய எண் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏ , செயல்பாடு எப்போது முனைகிறது எக்ஸ் , ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் முனைகிறது ஏ . புள்ளி ஏ செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்தது.

இது சிக்கலானதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் இது மிகவும் எளிமையாக எழுதப்பட்டுள்ளது:

லிம்- ஆங்கிலத்தில் இருந்து வரம்பு- வரம்பு.

கூட உள்ளது வடிவியல் விளக்கம்வரம்பைத் தீர்மானித்தல், ஆனால் இங்கே நாம் கோட்பாட்டை ஆராய மாட்டோம், ஏனெனில் பிரச்சினையின் தத்துவார்த்த பக்கத்தை விட நடைமுறையில் நாங்கள் அதிக ஆர்வம் காட்டுகிறோம். என்று நாம் கூறும்போது எக்ஸ் சில மதிப்பை நோக்கி செல்கிறது, இதன் பொருள் மாறி ஒரு எண்ணின் மதிப்பை எடுத்துக் கொள்ளாது, ஆனால் அதை எல்லையில்லாமல் நெருங்குகிறது.

கொடுப்போம் உறுதியான உதாரணம். வரம்பை கண்டுபிடிப்பதே பணி.

இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, மதிப்பை மாற்றுகிறோம் x=3 ஒரு செயல்பாட்டில். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

மூலம், நீங்கள் மெட்ரிக்குகளில் அடிப்படை செயல்பாடுகளில் ஆர்வமாக இருந்தால், இந்த தலைப்பில் ஒரு தனி கட்டுரையைப் படியுங்கள்.

உதாரணங்களில் எக்ஸ் எந்த மதிப்புக்கும் செல்ல முடியும். அது எந்த எண்ணாகவோ அல்லது முடிவிலியாகவோ இருக்கலாம். எப்போது என்பது இங்கே ஒரு உதாரணம் எக்ஸ் முடிவிலியை நோக்கி செல்கிறது:

என்ன என்பது உள்ளுணர்வாக தெளிவாக உள்ளது பெரிய எண்வகுப்பில், செயல்பாடு எடுக்கும் மதிப்பு சிறியதாக இருக்கும். எனவே, வரம்பற்ற வளர்ச்சியுடன் எக்ஸ் பொருள் 1/x குறைந்து பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வரம்பை தீர்க்க, நீங்கள் செயல்பாட்டிற்கு முயற்சி செய்ய மதிப்பை மாற்ற வேண்டும். எக்ஸ் . இருப்பினும், இது எளிமையான வழக்கு. பெரும்பாலும் வரம்பை கண்டுபிடிப்பது அவ்வளவு தெளிவாக இல்லை. வரம்புகளுக்குள் வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மைகள் உள்ளன 0/0 அல்லது முடிவிலி/முடிவிலி . இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் என்ன செய்வது? தந்திரங்களை நாடவும்!

உள்ள நிச்சயமற்ற தன்மைகள்

முடிவிலி/முடிவிலி வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை

வரம்பு இருக்கட்டும்:

செயல்பாட்டில் முடிவிலியை மாற்ற முயற்சித்தால், எண் மற்றும் வகுப்பில் முடிவிலியைப் பெறுவோம். பொதுவாக, அத்தகைய நிச்சயமற்ற தன்மைகளைத் தீர்ப்பதில் கலையின் ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு உள்ளது என்று சொல்வது மதிப்பு: நிச்சயமற்ற தன்மை நீங்கும் வகையில் செயல்பாட்டை எவ்வாறு மாற்றுவது என்பதை நீங்கள் கவனிக்க வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில், நாங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் பிரிக்கிறோம் எக்ஸ் மூத்த பட்டத்தில். என்ன நடக்கும்?

மேலே ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் இருந்து, வகுப்பில் x உள்ள சொற்கள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம். பின்னர் வரம்புக்கான தீர்வு:

வகை நிச்சயமற்ற தன்மைகளைத் தீர்க்க முடிவிலி/முடிவிலிஎண் மற்றும் வகுப்பை வகுக்கவும் எக்ஸ்மிக உயர்ந்த அளவிற்கு.

மூலம்! எங்கள் வாசகர்களுக்கு இப்போது 10% தள்ளுபடி உள்ளது எந்த வகையான வேலை

மற்றொரு வகை நிச்சயமற்ற தன்மை: 0/0

எப்போதும் போல், செயல்பாட்டில் மதிப்புகளை மாற்றுகிறது x=-1 கொடுக்கிறது 0 எண் மற்றும் வகுப்பில். இன்னும் கொஞ்சம் உற்றுப் பாருங்கள், எங்கள் எண்ணிக்கையில் அதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள் இருபடி சமன்பாடு. வேர்களைக் கண்டுபிடித்து எழுதுவோம்:

குறைத்து பெறுவோம்:

எனவே, நீங்கள் வகை நிச்சயமற்ற தன்மையை எதிர்கொண்டால் 0/0 - எண் மற்றும் வகுப்பின் காரணி.

எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதை எளிதாக்க, சில செயல்பாடுகளின் வரம்புகளுடன் ஒரு அட்டவணையை நாங்கள் வழங்குகிறோம்:

எல்'ஹாபிட்டலின் ஆட்சி உள்ளே

இரண்டு வகையான நிச்சயமற்ற தன்மையையும் அகற்ற மற்றொரு சக்திவாய்ந்த வழி. முறையின் சாராம்சம் என்ன?

வரம்பில் நிச்சயமற்ற தன்மை இருந்தால், நிச்சயமற்ற தன்மை மறையும் வரை எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

எல்'ஹாபிட்டலின் விதி இதுபோல் தெரிகிறது:

முக்கியமான புள்ளி : எண் மற்றும் வகுப்பிற்குப் பதிலாக எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றல்கள் இருக்க வேண்டிய வரம்பு.

இப்போது - ஒரு உண்மையான உதாரணம்:

வழக்கமான நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது 0/0 . எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றல்களை எடுத்துக் கொள்வோம்:

Voila, நிச்சயமற்ற தன்மை விரைவாகவும் நேர்த்தியாகவும் தீர்க்கப்படுகிறது.

இந்த தகவலை நீங்கள் நடைமுறையில் பயனுள்ளதாகப் பயன்படுத்த முடியும் மற்றும் "உயர் கணிதத்தில் வரம்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது" என்ற கேள்விக்கான பதிலைக் கண்டறிய முடியும் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம். ஒரு கட்டத்தில் ஒரு வரிசையின் வரம்பு அல்லது செயல்பாட்டின் வரம்பை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும் என்றால், இந்த வேலைக்கு முற்றிலும் நேரமில்லை என்றால், விரைவான மற்றும் விரிவான தீர்வுக்கு தொழில்முறை மாணவர் சேவையைத் தொடர்பு கொள்ளவும்.