. ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் பண்பு இல்லாத புள்ளிகள் இந்தச் சார்பின் இடைநிலைப் புள்ளிகள் எனப்படும்.. செயல்படட்டும் x=φ(t)ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து அ, மற்றும் செயல்பாடு y=f(x)ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து b=φ(a). பின்னர் சிக்கலான செயல்பாடு y=f[φ(t)]=F(t)ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து அ.

விடுங்கள் x=φ(t)மற்றும் y=f(x)- எளிய அடிப்படை செயல்பாடுகள், பல மதிப்புகள் தொகுப்பின் வரம்பு புள்ளி ஆகும் f(a) x=φ(t)செயல்பாட்டின் நோக்கம் y=f(x). நாம் அறிந்தபடி, கொடுக்கப்பட்ட டொமைனின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் அடிப்படை செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். எனவே, முந்தைய தேற்றத்தின் படி, சிக்கலான செயல்பாடு y=f(φ(t)), அதாவது, இரண்டு அடிப்படைச் சார்புகளின் மேல்நிலையானது, தொடர்ச்சியாக உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாடு எந்த புள்ளியிலும் தொடர்கிறது x ≠ 0, இரண்டு அடிப்படை செயல்பாடுகளின் சிக்கலான செயல்பாடாக x=t -1மற்றும் y=sin x. மேலும் செயல்பாடு y=ln பாவம் xஇடைவெளியில் எந்த புள்ளியிலும் தொடர்ந்து (2kπ,(2k+1)π), k ∈ Z (பாவம் x>0).

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி. முறிவு புள்ளிகள்.

காளை நடக்கும்போது, ​​ஆடுகிறது, பெருமூச்சு விடுகிறது:
- ஓ, பலகை தீர்ந்து வருகிறது, இப்போது நான் விழப் போகிறேன்!

இந்தப் பாடத்தில், ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி, இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளின் வகைப்பாடு மற்றும் பொதுவான நடைமுறைச் சிக்கல் ஆகியவற்றை ஆராய்வோம். செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சியான ஆய்வுகள். தலைப்பின் பெயரிலிருந்தே, என்ன விவாதிக்கப்படும் என்று பலர் உள்ளுணர்வாக யூகித்து, பொருள் மிகவும் எளிமையானது என்று நினைக்கிறார்கள். இது உண்மைதான். ஆனால் புறக்கணிப்பு மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான மேலோட்டமான அணுகுமுறைக்கு பெரும்பாலும் தண்டிக்கப்படும் எளிய பணிகள் இது. எனவே, நீங்கள் கட்டுரையை மிகவும் கவனமாகப் படித்து அனைத்து நுணுக்கங்களையும் நுட்பங்களையும் பிடிக்க பரிந்துரைக்கிறேன்.

நீங்கள் என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் செய்ய முடியும்?அதிகம் இல்லை. பாடத்தை நன்கு கற்க, அது என்ன என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு . குறைந்த அளவிலான தயாரிப்பைக் கொண்ட வாசகர்களுக்கு, கட்டுரையைப் புரிந்துகொண்டால் போதும் செயல்பாட்டு வரம்புகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் கையேட்டில் உள்ள வரம்பின் வடிவியல் பொருளைப் பார்க்கவும் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள் . உங்களைப் பற்றி அறிந்து கொள்வதும் நல்லது வரைபடங்களின் வடிவியல் மாற்றங்கள் , பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் நடைமுறையில் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது அடங்கும். வாய்ப்புகள் அனைவருக்கும் நம்பிக்கையானவை, மேலும் ஒரு முழு கெட்டில் கூட அடுத்த அல்லது இரண்டு மணிநேரங்களில் பணியைச் சமாளிக்க முடியும்!

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி. முறிவு புள்ளிகள் மற்றும் அவற்றின் வகைப்பாடு

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் கருத்து

முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் சில செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

அல்லது, இன்னும் சுருக்கமாகச் சொல்வதென்றால், நமது செயல்பாடு (உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு) தொடர்கிறது.

தொடர்ச்சியின் "பிலிஸ்டைன்" அளவுகோல் என்ன? வெளிப்படையாக, ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை காகிதத்தில் இருந்து பென்சிலை உயர்த்தாமல் வரையலாம்.

இந்த வழக்கில், இரண்டு எளிய கருத்துக்கள் தெளிவாக வேறுபடுத்தப்பட வேண்டும்: ஒரு செயல்பாட்டின் களம் மற்றும் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி. பொதுவாக அது அதே விஷயம் இல்லை. உதாரணத்திற்கு:

இந்த செயல்பாடு முழு எண் வரியில் வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது அனைவரும்"x" என்பதன் பொருள் "y" என்பதன் சொந்த அர்த்தத்தைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக, என்றால் . ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி, வாதத்தின் மதிப்பு அதற்கு ஒத்திருக்க வேண்டும் என்பதால், மற்ற புள்ளி நிறுத்தப்படும் என்பதை நினைவில் கொள்க. அந்த ஒரு விஷயம்செயல்பாட்டு மதிப்பு. இதனால், களம் எங்கள் செயல்பாடு: .

எனினும் இந்த செயல்பாடு தொடர்ந்து இல்லை!அந்த நேரத்தில் அவள் கஷ்டப்படுகிறாள் என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது இடைவெளி. இந்த வார்த்தை மிகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது மற்றும் உண்மையில், இங்கே பென்சில் எப்படியும் காகிதத்தில் இருந்து கிழிக்கப்பட வேண்டும். சிறிது நேரம் கழித்து, முறிவு புள்ளிகளின் வகைப்பாட்டைப் பார்ப்போம்.

ஒரு புள்ளியில் மற்றும் ஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி

ஒரு குறிப்பிட்ட கணித சிக்கலில், ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி, ஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி, ஒரு அரை இடைவெளி அல்லது ஒரு பிரிவில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி பற்றி பேசலாம். அது, "வெறும் தொடர்ச்சி" இல்லை- செயல்பாடு எங்காவது தொடர்ந்து இருக்கலாம். மற்ற எல்லாவற்றின் அடிப்படை "கட்டுமான தொகுதி" செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி புள்ளியில் .

கணித பகுப்பாய்வின் கோட்பாடு "டெல்டா" மற்றும் "எப்சிலான்" சுற்றுப்புறங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் வரையறையை வழங்குகிறது, ஆனால் நடைமுறையில் பயன்பாட்டில் வேறுபட்ட வரையறை உள்ளது, அதில் நாம் கவனம் செலுத்துவோம்.

முதலில் நினைவில் கொள்வோம் ஒரு பக்க வரம்புகள்முதல் பாடத்தில் நம் வாழ்வில் வெடித்தவர் செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் பற்றி . அன்றாட சூழ்நிலையைக் கவனியுங்கள்:

நாம் அச்சை புள்ளிக்கு அணுகினால் விட்டு(சிவப்பு அம்பு), பின்னர் "விளையாட்டுகளின்" தொடர்புடைய மதிப்புகள் அச்சில் புள்ளிக்கு (சிவப்பு அம்பு) செல்லும். கணித ரீதியாக, இந்த உண்மை பயன்படுத்தி சரி செய்யப்பட்டது இடது கை வரம்பு:

உள்ளீட்டில் கவனம் செலுத்துங்கள் ("x இடதுபுறத்தில் ka க்கு முனைகிறது" என்று படிக்கிறது). "கூட்டல்" "கழித்தல் பூஜ்யம்" குறிக்கிறது , அடிப்படையில் இதன் பொருள் நாம் இடது பக்கத்திலிருந்து எண்ணை நெருங்குகிறோம்.

இதேபோல், நீங்கள் "கா" என்ற புள்ளியை அணுகினால் வலதுபுறம்(நீல அம்பு), பின்னர் "விளையாட்டுகள்" அதே மதிப்புக்கு வரும், ஆனால் பச்சை அம்புக்குறியுடன், மற்றும் வலது கை வரம்புபின்வருமாறு வடிவமைக்கப்படும்:

"சேர்க்கை" குறிக்கிறது , மற்றும் நுழைவு கூறுகிறது: "x வலதுபுறத்தில் ka ஆக உள்ளது."

ஒரு பக்க வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டதாகவும் சமமாகவும் இருந்தால்(எங்கள் விஷயத்தைப் போல): , பிறகு GENERAL லிமிட் என்று சொல்வோம். இது எளிது, பொதுவான வரம்பு எங்கள் "வழக்கம்" ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு , ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணுக்கு சமம்.

செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை என்றால் (வரைபடக் கிளையில் உள்ள கரும்புள்ளியைத் துளைக்கவும்), மேலே உள்ள கணக்கீடுகள் செல்லுபடியாகும். ஏற்கனவே பல முறை குறிப்பிட்டுள்ளபடி, குறிப்பாக கட்டுரையில் எல்லையற்ற செயல்பாடுகளில் , வெளிப்பாடுகள் "x" என்று அர்த்தம் எல்லையற்ற நெருக்கமானபுள்ளியை நெருங்குகிறது முக்கியமில்லை, செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்பட்டதா இல்லையா. செயல்பாட்டை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது, ​​அடுத்த பத்தியில் ஒரு நல்ல உதாரணம் காணப்படும்.

, இதில் செயல்பாடு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரம்பு அந்த புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமாக இருந்தால், ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும்: .

வரையறை பின்வரும் சொற்களில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது:

1) செயல்பாடு புள்ளியில் வரையறுக்கப்பட வேண்டும், அதாவது மதிப்பு இருக்க வேண்டும்.

2) செயல்பாட்டின் பொதுவான வரம்பு இருக்க வேண்டும். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இது ஒரு பக்க வரம்புகளின் இருப்பு மற்றும் சமத்துவத்தை குறிக்கிறது: .

3) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரம்பு இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்: .

மீறினால் குறைந்த பட்சம் ஓன்றுமூன்று நிபந்தனைகளில், செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ச்சியின் சொத்தை இழக்கிறது.

ஒரு இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சிபுத்திசாலித்தனமாகவும் மிகவும் எளிமையாகவும் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாடு தொடர்கிறது.

குறிப்பாக, பல செயல்பாடுகள் எல்லையற்ற இடைவெளியில், அதாவது உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். இது ஒரு நேரியல் சார்பு, பல்லுறுப்புக்கோவைகள், அதிவேக, சைன், கொசைன் போன்றவை. பொதுவாக, ஏதேனும் அடிப்படை செயல்பாடு அதன் மீது தொடர்ந்து வரையறையின் களம் , எடுத்துக்காட்டாக, மடக்கைச் செயல்பாடு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் எப்படி இருக்கும் என்பது பற்றி இப்போது உங்களுக்கு நல்ல யோசனை இருப்பதாக நம்புகிறோம். அவற்றின் தொடர்ச்சி பற்றிய விரிவான தகவல்களை ஃபிக்டென்ஹோல்ட்ஸ் என்ற அன்பான மனிதரிடமிருந்து பெறலாம்.

ஒரு பிரிவு மற்றும் அரை இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியுடன், எல்லாம் கடினமாக இல்லை, ஆனால் வகுப்பில் இதைப் பற்றி பேசுவது மிகவும் பொருத்தமானது. ஒரு பிரிவில் செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகளைக் கண்டறிவது பற்றி , ஆனால் இப்போதைக்கு அதைப் பற்றி கவலைப்பட வேண்டாம்.

இடைவேளை புள்ளிகளின் வகைப்பாடு

செயல்பாடுகளின் கவர்ச்சிகரமான வாழ்க்கை அனைத்து வகையான சிறப்பு புள்ளிகளிலும் நிறைந்துள்ளது, மேலும் இடைவேளை புள்ளிகள் அவர்களின் வாழ்க்கை வரலாற்றின் பக்கங்களில் ஒன்றாகும்.

குறிப்பு : ஒரு வேளை, நான் ஒரு அடிப்படைப் புள்ளியில் வசிப்பேன்: முறிவுப் புள்ளி எப்போதும் இருக்கும் ஒற்றை புள்ளி- "ஒரு வரிசையில் பல இடைவெளி புள்ளிகள்" இல்லை, அதாவது, "பிரேக் இன்டர்வெல்" என்று எதுவும் இல்லை.

இந்த புள்ளிகள், இரண்டு பெரிய குழுக்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன: முதல் வகையான சிதைவுகள்மற்றும் இரண்டாவது வகையான சிதைவுகள். ஒவ்வொரு வகை இடைவெளிக்கும் அதன் சொந்த சிறப்பியல்பு அம்சங்கள் உள்ளன, அதை நாம் இப்போது பார்ப்போம்:

முதல் வகையின் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளி

ஒரு கட்டத்தில் தொடர்ச்சியான நிபந்தனை மீறப்பட்டால் மற்றும் ஒரு பக்க வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட , பின்னர் அது அழைக்கப்படுகிறது முதல் வகையான தொடர்ச்சியின்மை.

மிகவும் நம்பிக்கையான வழக்குடன் ஆரம்பிக்கலாம். பாடத்தின் அசல் யோசனையின்படி, நான் கோட்பாட்டை "பொதுவாக" சொல்ல விரும்பினேன், ஆனால் பொருளின் யதார்த்தத்தை நிரூபிக்க, குறிப்பிட்ட எழுத்துக்களுடன் விருப்பத்தை நான் தீர்த்தேன்.

நித்திய சுடரின் பின்னணியில் புதுமணத் தம்பதிகளின் புகைப்படத்தைப் போல இது வருத்தமாக இருக்கிறது, ஆனால் பின்வரும் ஷாட் பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது. வரைபடத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை சித்தரிப்போம்:


இந்தச் செயல்பாடு புள்ளியைத் தவிர, முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்கிறது. உண்மையில், வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. இருப்பினும், வரம்பின் அர்த்தத்திற்கு ஏற்ப, நம்மால் முடியும் எல்லையற்ற நெருக்கமானஇடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் இருந்து "பூஜ்ஜியத்தை" அணுகவும், அதாவது, ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகள் உள்ளன மற்றும், வெளிப்படையாக, ஒத்துப்போகின்றன:
(தொடர்ச்சியின் நிபந்தனை எண். 2 திருப்திகரமாக உள்ளது).

ஆனால் செயல்பாடு புள்ளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே, தொடர்ச்சியின் நிபந்தனை எண். 1 மீறப்படுகிறது, மேலும் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு ஒரு இடைநிறுத்தத்தை பாதிக்கிறது.

இந்த வகையின் முறிவு (தற்போதுள்ளவற்றுடன் பொது வரம்பு) அழைக்கப்படுகின்றன சரிசெய்யக்கூடிய இடைவெளி. ஏன் நீக்கக்கூடியது? ஏனெனில் செயல்பாடு முடியும் மறுவரையுறைமுறிவு புள்ளியில்:

இது விசித்திரமாகத் தெரிகிறதா? இருக்கலாம். ஆனால் அத்தகைய செயல்பாடு குறிப்பீடு எதற்கும் முரணாக இல்லை! இப்போது இடைவெளி மூடப்பட்டு அனைவரும் மகிழ்ச்சியாக உள்ளனர்:


முறையான சரிபார்ப்பைச் செய்வோம்:

2) - ஒரு பொதுவான வரம்பு உள்ளது;
3)

இவ்வாறு, மூன்று நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன, மேலும் ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் வரையறையின்படி ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

இருப்பினும், மதன் வெறுப்பாளர்கள் செயல்பாட்டை மோசமான முறையில் வரையறுக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக :


முதல் இரண்டு தொடர்ச்சி நிலைமைகள் இங்கே திருப்திகரமாக இருப்பது சுவாரஸ்யமானது:
1) - செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது;
2) - ஒரு பொதுவான வரம்பு உள்ளது.

ஆனால் மூன்றாவது எல்லை கடக்கப்படவில்லை: , அதாவது புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரம்பு சமமாக இல்லைகொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மதிப்பு.

இதனால், ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு ஒரு இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கிறது.

இரண்டாவது, சோகமான வழக்கு அழைக்கப்படுகிறது முதல் வகையான சிதைவு ஒரு குதிப்புடன். மேலும் சோகம் என்பது ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளால் தூண்டப்படுகிறது வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் வேறுபட்டது. பாடத்தின் இரண்டாவது வரைபடத்தில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு காட்டப்பட்டுள்ளது. இத்தகைய இடைவெளி பொதுவாக ஏற்படும் போது துண்டு துண்டாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள், இது ஏற்கனவே கட்டுரையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது வரைபட மாற்றங்கள் பற்றி .

துண்டு துண்டாக செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் மற்றும் அதன் வரைபடத்தை முடிப்போம். ஒரு வரைபடத்தை எவ்வாறு உருவாக்குவது? மிக எளிய. ஒரு அரை இடைவெளியில் நாம் ஒரு பரவளையத்தின் (பச்சை) ஒரு பகுதியை வரைகிறோம், ஒரு இடைவெளியில் - ஒரு நேர் கோடு பிரிவு (சிவப்பு) மற்றும் ஒரு அரை இடைவெளியில் - ஒரு நேர் கோடு (நீலம்).

மேலும், சமத்துவமின்மை காரணமாக, இருபடி செயல்பாட்டிற்கு (பச்சை புள்ளி) மதிப்பு தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மேலும் சமத்துவமின்மை காரணமாக, நேரியல் செயல்பாட்டிற்கு (நீல புள்ளி) மதிப்பு தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

மிகவும் கடினமான சூழ்நிலையில், வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு பகுதியின் புள்ளி-மூலம்-புள்ளி கட்டுமானத்தை நீங்கள் நாட வேண்டும் (முதல் பார்க்கவும் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் பற்றிய பாடம் ).

இப்போது நாம் புள்ளியில் மட்டுமே ஆர்வமாக இருப்போம். அதன் தொடர்ச்சியை ஆராய்வோம்:

2) ஒரு பக்க வரம்புகளை கணக்கிடுவோம்.

இடதுபுறத்தில் சிவப்பு கோடு பிரிவு உள்ளது, எனவே இடது பக்க வரம்பு:

வலதுபுறத்தில் நீல நேர் கோடு மற்றும் வலது புற வரம்பு:

இதன் விளைவாக, நாங்கள் பெற்றோம் வரையறுக்கப்பட்ட எண்கள், மற்றும் அவர்கள் சமமாக இல்லை. ஒருபக்க வரம்புகள் என்பதால் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் வேறுபட்டது: , பின்னர் எங்கள் செயல்பாடு பொறுத்துக்கொள்ளும் ஒரு குதிப்புடன் முதல் வகையான இடைநிறுத்தம்.

இடைவெளியை அகற்ற முடியாது என்பது தர்க்கரீதியானது - முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்ததைப் போல, செயல்பாட்டை மேலும் வரையறுக்க முடியாது மற்றும் "ஒட்டாக" இருக்க முடியாது.

இரண்டாவது வகையான தொடர்ச்சியற்ற புள்ளிகள்

பொதுவாக, மற்ற அனைத்து சிதைவு நிகழ்வுகளும் புத்திசாலித்தனமாக இந்த வகைக்குள் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. நான் எல்லாவற்றையும் பட்டியலிட மாட்டேன், ஏனென்றால் நடைமுறையில், 99% சிக்கல்களில் நீங்கள் சந்திப்பீர்கள் முடிவற்ற இடைவெளி- இடது கை அல்லது வலது கை, மற்றும் பெரும்பாலும், இரண்டு வரம்புகளும் எல்லையற்றவை.

மற்றும், நிச்சயமாக, மிகத் தெளிவான படம் பூஜ்ஜியத்தில் உள்ள ஹைபர்போலா ஆகும். இங்கே இரண்டு ஒருபக்க வரம்புகளும் எல்லையற்றவை: , எனவே, செயல்பாடு புள்ளியில் இரண்டாவது வகையான இடைநிறுத்தத்தை பாதிக்கிறது.

எனது கட்டுரைகளை முடிந்தவரை பலதரப்பட்ட உள்ளடக்கத்துடன் நிரப்ப முயற்சிக்கிறேன், எனவே இதுவரை பார்க்காத செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பார்ப்போம்:

நிலையான திட்டத்தின் படி:

1) வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்வதால் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை.

நிச்சயமாக, ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு ஒரு இடைநிறுத்தத்தை பாதிக்கிறது என்று நாம் உடனடியாக முடிவு செய்யலாம் , ஆனால் அடிக்கடி நிபந்தனைக்கு தேவைப்படும் இடைநிறுத்தத்தின் தன்மையை வகைப்படுத்துவது நல்லது. இதற்காக:

பதிவு செய்வதன் மூலம் நாங்கள் சொல்கிறோம் என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் எண்ணற்ற எதிர்மறை எண், மற்றும் நுழைவின் கீழ் - எண்ணற்ற நேர்மறை எண்.

ஒரு பக்க வரம்புகள் எல்லையற்றவை, அதாவது செயல்பாடு புள்ளியில் 2வது வகையான இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கிறது. y-அச்சு என்பது செங்குத்து அறிகுறி விளக்கப்படத்திற்கு.

இரண்டும் ஒரு பக்க வரம்புகள் இருப்பது அசாதாரணமானது அல்ல, ஆனால் அவற்றில் ஒன்று மட்டுமே எல்லையற்றது, எடுத்துக்காட்டாக:

இது செயல்பாட்டின் வரைபடம்.

தொடர்ச்சிக்கான புள்ளியை நாங்கள் ஆராய்வோம்:

1) இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை.

2) ஒரு பக்க வரம்புகளை கணக்கிடுவோம்:

விரிவுரையின் கடைசி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளில் இதுபோன்ற ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளைக் கணக்கிடும் முறையைப் பற்றி பேசுவோம், இருப்பினும் பல வாசகர்கள் ஏற்கனவே எல்லாவற்றையும் பார்த்து யூகித்துள்ளனர்.

இடது கை வரம்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (நாங்கள் "புள்ளிக்கு செல்ல மாட்டோம்"), ஆனால் வலது புற வரம்பு எல்லையற்றது மற்றும் வரைபடத்தின் ஆரஞ்சு கிளை அதன் எல்லைக்கு வரம்பற்றதாக நெருங்குகிறது. செங்குத்து அறிகுறி , சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டது (கருப்பு புள்ளியிடப்பட்ட கோடு).

அதனால் செயல்பாடு பாதிக்கப்படுகிறது இரண்டாவது வகையான இடைநிறுத்தம்புள்ளியில்.

1 வது வகையான இடைநிறுத்தத்தைப் பொறுத்தவரை, செயல்பாட்டை நிறுத்தும் புள்ளியிலேயே வரையறுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, துண்டு துண்டான செயல்பாட்டிற்கு ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தில் கருப்பு தடிமனான புள்ளியை வைக்க தயங்க வேண்டாம். வலதுபுறத்தில் ஒரு ஹைப்பர்போலாவின் கிளை உள்ளது, வலதுபுறம் எல்லையற்றது. இந்த வரைபடம் எப்படி இருக்கும் என்று கிட்டத்தட்ட அனைவருக்கும் ஒரு யோசனை இருப்பதாக நான் நினைக்கிறேன்.

அனைவரும் எதிர்பார்த்தது:

தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை எவ்வாறு ஆராய்வது?

ஒரு கட்டத்தில் தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டின் ஆய்வு ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட வழக்கமான திட்டத்தின் படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது, இது தொடர்ச்சியின் மூன்று நிபந்தனைகளை சரிபார்க்கிறது:

எடுத்துக்காட்டு 1

செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள்

தீர்வு:

1) செயல்பாடு வரையறுக்கப்படாத ஒரே புள்ளி மட்டுமே.

2) ஒரு பக்க வரம்புகளை கணக்கிடுவோம்:

ஒரு பக்க வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் சமமானவை.

இதனால், அந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு நீக்கக்கூடிய இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கிறது.

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் எப்படி இருக்கும்?

நான் எளிமைப்படுத்த விரும்புகிறேன் , மற்றும் ஒரு சாதாரண பரவளையத்தைப் பெறுவது போல் தெரிகிறது. ஆனாலும்அசல் செயல்பாடு புள்ளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே பின்வரும் பிரிவு தேவைப்படுகிறது:

வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

பதில்: செயல்பாடு நீக்கக்கூடிய இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கும் புள்ளியைத் தவிர முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

செயல்பாட்டை ஒரு நல்ல அல்லது மிகவும் நல்ல வழியில் வரையறுக்கலாம், ஆனால் நிபந்தனையின் படி இது தேவையில்லை.

இது தொலைதூர உதாரணம் என்கிறீர்களா? இல்லவே இல்லை. இது நடைமுறையில் டஜன் கணக்கான முறை நடந்துள்ளது. தளத்தின் அனைத்து பணிகளும் உண்மையான சுயாதீன வேலை மற்றும் சோதனைகளிலிருந்து வந்தவை.

நமக்குப் பிடித்த தொகுதிகளை அகற்றுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2

செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள் தொடர்ச்சிக்காக. செயல்பாடு இடைநிறுத்தங்கள் இருந்தால், அவற்றின் தன்மையை தீர்மானிக்கவும். வரைபடத்தை இயக்கவும்.

தீர்வு: சில காரணங்களால், மாணவர்கள் பயப்படுகிறார்கள் மற்றும் ஒரு தொகுதியுடன் செயல்பாடுகளை விரும்புவதில்லை, இருப்பினும் அவர்களைப் பற்றி சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பாடத்தில் இதுபோன்ற விஷயங்களை நாங்கள் ஏற்கனவே கொஞ்சம் தொட்டுள்ளோம். வரைபடங்களின் வடிவியல் மாற்றங்கள் . தொகுதி எதிர்மறையாக இல்லாததால், இது பின்வருமாறு விரிவாக்கப்படுகிறது: , "ஆல்ஃபா" என்பது சில வெளிப்பாடு. இந்த வழக்கில், எங்கள் செயல்பாடு துண்டு துண்டாக எழுதப்பட வேண்டும்:

ஆனால் இரண்டு துண்டுகளின் பின்னங்களும் குறைக்கப்பட வேண்டும். குறைப்பு, முந்தைய எடுத்துக்காட்டில், விளைவுகள் இல்லாமல் நடக்காது. வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்வதால் அசல் செயல்பாடு புள்ளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை. எனவே, கணினி கூடுதலாக நிபந்தனையை குறிப்பிட வேண்டும் , மற்றும் முதல் சமத்துவமின்மையை கடுமையாக்க வேண்டும்:

இப்போது மிகவும் பயனுள்ள முடிவெடுக்கும் நுட்பத்தைப் பற்றி: வரைவில் பணியை முடிப்பதற்கு முன், ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது சாதகமானது (நிபந்தனைகள் தேவையா இல்லையா என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல்). இது முதலாவதாக, தொடர்ச்சியின் புள்ளிகள் மற்றும் இடைநிறுத்தத்தின் புள்ளிகளை உடனடியாகக் காண உதவும், இரண்டாவதாக, ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளைக் கண்டறியும் போது 100% பிழைகளிலிருந்து உங்களைப் பாதுகாக்கும்.

வரைவோம். எங்கள் கணக்கீடுகளுக்கு இணங்க, புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் ஒரு பரவளையத்தின் (நீல நிறம்) ஒரு பகுதியை வரைய வேண்டும், மற்றும் வலதுபுறம் - ஒரு பரவளையத்தின் ஒரு துண்டு (சிவப்பு நிறம்), செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை தன்னை சுட்டி:

சந்தேகம் இருந்தால், சில x மதிப்புகளை எடுத்து செயல்பாட்டில் செருகவும் (தொகுதி சாத்தியமான கழித்தல் அடையாளத்தை அழிக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க) மற்றும் வரைபடத்தை சரிபார்க்கவும்.

தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை பகுப்பாய்வு ரீதியாக ஆராய்வோம்:

1) செயல்பாடு புள்ளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே அது தொடர்ச்சியாக இல்லை என்று உடனடியாக சொல்லலாம்.

2) இடைநிறுத்தத்தின் தன்மையை நிறுவுவோம், ஒரு பக்க வரம்புகளை கணக்கிடுகிறோம்:

ஒருபக்க வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் வேறுபட்டவை. வரம்புகளைக் கண்டறியும் போது, ​​இடைவேளை புள்ளியில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டதா இல்லையா என்பது முக்கியமில்லை என்பதை மீண்டும் கவனத்தில் கொள்ளவும்.

இப்போது எஞ்சியிருப்பது வரைவில் இருந்து வரைபடத்தை மாற்றுவது (இது ஆராய்ச்சியின் உதவியுடன் செய்யப்பட்டது ;-)) மற்றும் பணியை முடிக்க:

பதில்: ஒரு ஜம்ப் மூலம் முதல் வகையான இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கும் புள்ளியைத் தவிர முழு எண் கோட்டிலும் செயல்பாடு தொடர்கிறது.

சில சமயங்களில் அவர்களுக்கு இடைநிறுத்தம் தாவலின் கூடுதல் குறிப்பு தேவைப்படுகிறது. இது எளிமையாகக் கணக்கிடப்படுகிறது - வலது வரம்பிலிருந்து நீங்கள் இடது வரம்பைக் கழிக்க வேண்டும்: , அதாவது, இடைவேளையின் போது எங்கள் செயல்பாடு 2 அலகுகள் கீழே குதித்தது (கழித்தல் அடையாளம் நமக்குச் சொல்வது போல்).

எடுத்துக்காட்டு 3

செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள் தொடர்ச்சிக்காக. செயல்பாடு இடைநிறுத்தங்கள் இருந்தால், அவற்றின் தன்மையைத் தீர்மானிக்கவும். ஒரு வரைதல் செய்யுங்கள்.

நீங்கள் சொந்தமாக தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு, பாடத்தின் முடிவில் ஒரு மாதிரி தீர்வு.

செயல்பாடு மூன்று பகுதிகளைக் கொண்டிருக்கும் போது, ​​பணியின் மிகவும் பிரபலமான மற்றும் பரவலான பதிப்பிற்கு செல்லலாம்:

எடுத்துக்காட்டு 4

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியை ஆராய்ந்து, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரையவும் .

தீர்வு: செயல்பாட்டின் மூன்று பகுதிகளும் தொடர்புடைய இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருப்பது வெளிப்படையானது, எனவே துண்டுகளுக்கு இடையில் "சந்தி" இன் இரண்டு புள்ளிகளை மட்டுமே சரிபார்க்க வேண்டும். முதலில், ஒரு வரைவு வரைவோம்; ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், நமது ஒருமைப் புள்ளிகளை நாம் கவனமாகப் பின்பற்ற வேண்டும்: சமத்துவமின்மை காரணமாக, மதிப்பு நேர் கோட்டிற்கு (பச்சை புள்ளி) சொந்தமானது, மற்றும் சமத்துவமின்மை காரணமாக, மதிப்பு பரவளையத்திற்கு (சிவப்பு புள்ளி) சொந்தமானது:


சரி, கொள்கையளவில், எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது =) எஞ்சியிருப்பது முடிவை முறைப்படுத்துவதுதான். இரண்டு "இணைக்கும்" புள்ளிகளில் ஒவ்வொன்றிற்கும், 3 தொடர்ச்சி நிலைகளை நாங்கள் தரமாகச் சரிபார்க்கிறோம்:

நான்)தொடர்ச்சிக்கான புள்ளியை நாங்கள் ஆராய்வோம்

1)

ஒருபக்க வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் வேறுபட்டவை.

வலது மற்றும் இடது வரம்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசமாக இடைநிறுத்தம் தாவலை கணக்கிடுவோம்:
, அதாவது, வரைபடம் ஒரு யூனிட்டை உயர்த்தியது.

II)தொடர்ச்சிக்கான புள்ளியை நாங்கள் ஆராய்வோம்

1) - செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது.

2) ஒரு பக்க வரம்புகளைக் கண்டறியவும்:

- ஒரு பக்க வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் சமமானவை, அதாவது பொதுவான வரம்பு உள்ளது.

3) - ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்.

இறுதி கட்டத்தில், வரைபடத்தை இறுதி பதிப்பிற்கு மாற்றுகிறோம், அதன் பிறகு இறுதி நாண் வைக்கிறோம்:

பதில்: செயல்பாடு முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், அது ஒரு ஜம்ப் மூலம் முதல் வகையான இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கும் புள்ளியைத் தவிர.

எடுத்துக்காட்டு 5

தொடர்ச்சிக்கான ஒரு செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும் .

இது சுயாதீன தீர்வுக்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு, ஒரு குறுகிய தீர்வு மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் சிக்கலின் தோராயமான மாதிரி.

ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டும், மற்றொன்றில் இடைநிறுத்தம் இருக்க வேண்டும் என்ற எண்ணத்தை நீங்கள் பெறலாம். நடைமுறையில், இது எப்போதும் இல்லை. மீதமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளை புறக்கணிக்க வேண்டாம் - பல சுவாரஸ்யமான மற்றும் முக்கியமான அம்சங்கள் இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 6

ஒரு செயல்பாடு வழங்கப்பட்டது . புள்ளிகளில் தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள். ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

தீர்வு: மீண்டும் உடனடியாக வரைவில் உள்ள வரைபடத்தை இயக்கவும்:

இந்த வரைபடத்தின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், துண்டான செயல்பாடு abscissa அச்சின் சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. இங்கே இந்த பகுதி பச்சை நிறத்தில் வரையப்பட்டுள்ளது, ஆனால் ஒரு நோட்புக்கில் இது பொதுவாக ஒரு எளிய பென்சிலுடன் தடிமனாக சிறப்பிக்கப்படுகிறது. மற்றும், நிச்சயமாக, எங்கள் ரேம்ஸ் பற்றி மறந்துவிடாதே: மதிப்பு தொடுகோடு கிளைக்கு (சிவப்பு புள்ளி) சொந்தமானது, மற்றும் மதிப்பு நேர் கோட்டிற்கு சொந்தமானது.

வரைபடத்திலிருந்து எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது - செயல்பாடு முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்கிறது, எஞ்சியிருப்பது தீர்வை முறைப்படுத்துவது மட்டுமே, இது 3-4 ஒத்த எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பிறகு முழு ஆட்டோமேஷனுக்கு கொண்டு வரப்படுகிறது:

நான்)தொடர்ச்சிக்கான புள்ளியை நாங்கள் ஆராய்வோம்

1) - செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது.

2) ஒரு பக்க வரம்புகளை கணக்கிடுவோம்:

, அதாவது பொதுவான வரம்பு உள்ளது.

ஒரு வேளை, ஒரு அற்பமான உண்மையை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: மாறிலியின் வரம்பு மாறிலிக்கு சமம். இந்த வழக்கில், பூஜ்ஜியத்தின் வரம்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் (இடது கை வரம்பு).

3) - ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்.

இவ்வாறு, ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் வரையறையின்படி, ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாடு தொடர்கிறது.

II)தொடர்ச்சிக்கான புள்ளியை நாங்கள் ஆராய்வோம்

1) - செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது.

2) ஒரு பக்க வரம்புகளைக் கண்டறியவும்:

இங்கே - ஒன்றின் வரம்பு அலகுக்கு சமம்.

- ஒரு பொதுவான வரம்பு உள்ளது.

3) - ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்.

இவ்வாறு, ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் வரையறையின்படி, ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாடு தொடர்கிறது.

வழக்கம் போல், ஆராய்ச்சிக்குப் பிறகு, எங்கள் வரைபடத்தை இறுதி பதிப்பிற்கு மாற்றுவோம்.

பதில்: செயல்பாடு புள்ளிகளில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

இந்த நிலையில், தொடர்ச்சிக்கான முழு செயல்பாட்டையும் படிப்பது பற்றி எங்களிடம் எதுவும் கேட்கப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், மேலும் இது சிறந்த கணித வடிவமாக கருதப்படுகிறது. துல்லியமான மற்றும் தெளிவானகேட்கப்பட்ட கேள்விக்கான பதில். மூலம், நிபந்தனைகள் நீங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கத் தேவையில்லை என்றால், அதை உருவாக்காமல் இருக்க உங்களுக்கு முழு உரிமையும் உள்ளது (பின்னர் ஆசிரியர் இதைச் செய்யும்படி கட்டாயப்படுத்தலாம்).

அதை நீங்களே தீர்க்க ஒரு சிறிய கணித "நாக்கு ட்விஸ்டர்":

எடுத்துக்காட்டு 7

ஒரு செயல்பாடு வழங்கப்பட்டது . புள்ளிகளில் தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள். முறிப்பு புள்ளிகள் ஏதேனும் இருந்தால் வகைப்படுத்தவும். வரைபடத்தை இயக்கவும்.

எல்லா "சொற்களையும்" சரியாக "உச்சரிக்க" முயற்சிக்கவும் =) மேலும் வரைபடத்தை இன்னும் துல்லியமாக வரையவும், துல்லியம், அது எல்லா இடங்களிலும் மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது;-)

நீங்கள் நினைவில் வைத்துள்ளபடி, வரைபடத்தை உடனடியாக ஒரு வரைவாக முடிக்க நான் பரிந்துரைத்தேன், ஆனால் அவ்வப்போது நீங்கள் வரைபடம் எப்படி இருக்கும் என்பதை உடனடியாகக் கண்டுபிடிக்க முடியாத உதாரணங்களைக் காணலாம். எனவே, பல சந்தர்ப்பங்களில், முதலில் ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்பது சாதகமானது, பின்னர் மட்டுமே, ஆய்வின் அடிப்படையில், கிளைகளை சித்தரிக்கவும். இறுதி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளில் சில ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு நுட்பத்தையும் கற்றுக்கொள்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 8

தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து அதன் திட்ட வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

தீர்வு: மோசமான புள்ளிகள் வெளிப்படையானவை: (அடுக்குவெட்டின் வகுப்பினை பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்கிறது) மற்றும் (முழுப் பகுதியின் வகுப்பினை பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்கிறது). இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் எப்படி இருக்கும் என்பது தெளிவாக இல்லை, அதாவது முதலில் சில ஆராய்ச்சி செய்வது நல்லது.