ஒரு சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு. நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

இந்தக் கட்டுரை நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உள்ள சிக்கலைக் குறிக்கிறது. நிலையான குணகங்கள். கொடுக்கப்பட்ட சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகளுடன் கோட்பாடு விவாதிக்கப்படும். தெளிவற்ற சொற்களைப் புரிந்துகொள்ள, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் கருத்துகளைப் பற்றிய தலைப்பைக் குறிப்பிடுவது அவசியம்.

y "" + p · y " + q · y = f (x) வடிவத்தின் நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டை (LDE) கருத்தில் கொள்வோம், இங்கு p மற்றும் q தன்னிச்சையான எண்கள் மற்றும் தற்போதுள்ள செயல்பாடு f (x) ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளி x இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

LNDE இன் பொதுவான தீர்வுக்கான தேற்றத்தை உருவாக்குவதற்கு நாம் செல்லலாம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU க்கான பொதுவான தீர்வு தேற்றம்

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + வடிவத்தின் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் இடைவெளி x இல் அமைந்துள்ள ஒரு பொதுவான தீர்வு. . . + f 0 (x) · y = f (x) x இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான ஒருங்கிணைப்பு குணகங்களுடன் f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) மற்றும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு f (x) என்பது பொதுத் தீர்வு y 0 இன் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், இது LOD மற்றும் சில குறிப்பிட்ட தீர்வு y ~ உடன் ஒத்துள்ளது, இதில் அசல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு y = y 0 + y ~ ஆகும்.

அத்தகைய இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு y = y 0 + y ~ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதை இது காட்டுகிறது. y 0 ஐக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறையானது, நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய நேரியல் ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள் பற்றிய கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்டுள்ளது. அதன் பிறகு நாம் y ~ இன் வரையறைக்கு செல்ல வேண்டும்.

LPDEக்கான ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேர்ந்தெடுப்பது, சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் அமைந்துள்ள f (x) செயல்பாட்டின் வகையைப் பொறுத்தது. இதைச் செய்ய, நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைத் தனித்தனியாகக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்.

f (x) என்பது nth டிகிரி f (x) = P n (x) இன் பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கருதப்படும்போது, ​​LPDE இன் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு y ~ = Q n (x) வடிவத்தின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது. ) x γ, Q n (x) என்பது n பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், r என்பது பூஜ்ஜிய வேர்களின் எண்ணிக்கை சிறப்பியல்பு சமன்பாடு. மதிப்பு y ~ என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வாகும் y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , பின்னர் கிடைக்கும் குணகங்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையால் வரையறுக்கப்படுகின்றன
Q n (x), முறையைப் பயன்படுத்துவதைக் காண்கிறோம் நிச்சயமற்ற குணகங்கள்சமத்துவத்திலிருந்து y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x).

எடுத்துக்காட்டு 1

கௌச்சியின் தேற்றம் y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடவும்.

தீர்வு

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நிலையான குணகங்கள் y "" - 2 y " = x 2 + 1 உடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வுக்கு செல்ல வேண்டியது அவசியம், இது கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

நேரியல் பொதுவான தீர்வு ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுசமன்பாடு y 0 அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வுக்கு ஒத்திருக்கும் பொதுவான தீர்வுகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு y ~ , அதாவது, y = y 0 + y ~ .

முதலில், கண்டுபிடிப்போம் பொதுவான தீர்வு LNDU க்கு, அதன் பிறகு - பங்கு.

y 0 ஐ கண்டுபிடிப்பதற்கு செல்லலாம். சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை எழுதுவது வேர்களைக் கண்டறிய உதவும். நமக்கு அது கிடைக்கும்

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

வேர்கள் வேறுபட்டவை மற்றும் உண்மையானவை என்பதைக் கண்டறிந்தோம். எனவே, எழுதுவோம்

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

y ~ ஐக் கண்டுபிடிப்போம். வலது பக்கம் இருப்பதைக் காணலாம் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுஇரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், பின்னர் வேர்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இதிலிருந்து y ~ க்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு இருக்கும் என்பதை நாம் பெறுகிறோம்

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, இதில் A, B, C இன் மதிப்புகள் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைப் பெறுகின்றன.

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 வடிவத்தின் சமத்துவத்திலிருந்து அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பின்னர் நாம் அதைப் பெறுகிறோம்:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

x இன் அதே அடுக்குகளுடன் குணகங்களை சமன் செய்தால், நேரியல் வெளிப்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. ஏதேனும் ஒரு முறை மூலம் தீர்க்கும் போது, ​​குணகங்களைக் கண்டுபிடித்து எழுதுவோம்: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 மற்றும் y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

இந்த நுழைவு நிலையான குணகங்களுடன் அசல் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

y (0) = 2, y "(0) = 1 4 நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம் சி 1மற்றும் சி 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x வடிவத்தின் சமத்துவத்தின் அடிப்படையில்.

நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம்:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளின் விளைவான அமைப்புடன் நாங்கள் வேலை செய்கிறோம்.

கௌச்சியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினால், எங்களிடம் அது உள்ளது

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

பதில்: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

f (x) சார்பு n பட்டம் மற்றும் ஒரு அடுக்கு f (x) = P n (x) · e a x உடன் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடப்படும் போது, ​​இரண்டாவது வரிசை LPDE க்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு ஒரு வடிவத்தின் சமன்பாடு y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, Q n (x) என்பது n வது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், மேலும் r என்பது α க்கு சமமான பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையாகும்.

Q n (x) ஐச் சேர்ந்த குணகங்கள் y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) சமத்துவத்தால் கண்டறியப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x வடிவத்தின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

பொதுவான சமன்பாடு y = y 0 + y ~ ஆகும். சுட்டிக்காட்டப்பட்ட சமன்பாடு LOD y "" - 2 y " = 0 க்கு ஒத்திருக்கிறது. முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து அதன் வேர்கள் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம் கே 1 = 0மற்றும் k 2 = 2 மற்றும் y 0 = C 1 + C 2 e 2 x பண்புச் சமன்பாட்டின் மூலம்.

சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் x 2 + 1 · e x என்பதைக் காணலாம். இங்கிருந்து LPDE ஆனது y ~ = e a x · Q n (x) · x γ மூலம் கண்டறியப்படுகிறது, இதில் Q n (x) என்பது இரண்டாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், இங்கு α = 1 மற்றும் r = 0, ஏனெனில் பண்புச் சமன்பாடு இல்லை. 1 க்கு சமமான வேர் வேண்டும். இங்கிருந்து நாம் அதைப் பெறுகிறோம்

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C ஆகியவை அறியப்படாத குணகங்களாகும், அவை சமத்துவம் y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

கிடைத்தது

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

நாம் அதே குணகங்களுடன் குறிகாட்டிகளை சமன் செய்கிறோம் மற்றும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம். இங்கிருந்து நாம் A, B, C ஆகியவற்றைக் காணலாம்:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

பதில்: y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 என்பது LNDDE இன் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு என்பது தெளிவாகிறது, மேலும் y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - இரண்டாவது வரிசை ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு.

செயல்பாடு f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x என எழுதப்பட்டால், மற்றும் A 1மற்றும் பி 1எண்கள், பின்னர் LPDE இன் ஒரு பகுதி தீர்வு y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ வடிவத்தின் சமன்பாடாகக் கருதப்படுகிறது, இதில் A மற்றும் B ஆகியவை தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களாகக் கருதப்படுகின்றன, மேலும் r என்பது ± i β க்கு சமமான சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டுடன் தொடர்புடைய சிக்கலான இணை வேர்கள். இந்த வழக்கில், குணகங்களுக்கான தேடல் சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

எடுத்துக்காட்டு 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) வடிவத்தின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை எழுதுவதற்கு முன், நாம் y 0 ஐக் காண்கிறோம். பிறகு

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

எங்களிடம் ஒரு ஜோடி சிக்கலான இணை வேர்கள் உள்ளன. மாற்றுவோம் மற்றும் பெறுவோம்:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் இணைந்த ஜோடி ± 2 i, பின்னர் f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) எனக் கருதப்படுகிறது. y ~ க்கான தேடல் y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x இலிருந்து உருவாக்கப்படும் என்பதை இது காட்டுகிறது. y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) வடிவத்தின் சமத்துவத்திலிருந்து A மற்றும் B குணகங்களைத் தேடுவோம்.

மாற்றுவோம்:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B பாவம் (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

அப்போதுதான் தெரியும்

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் குணகங்களை சமன் செய்வது அவசியம். படிவத்தின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

இது y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

பதில்:நிலையான குணகங்களுடன் அசல் இரண்டாம்-வரிசை LDDE இன் பொதுவான தீர்வு கருதப்படுகிறது

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), பின்னர் y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ என்பது r என்பது α ± i β க்கு சமம், P n (x), Q k (x), எல் மீ (எக்ஸ்) மற்றும் Nm(x) n, k, m, m, என்ற பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும் m = m a x (n, k). குணகங்களைக் கண்டறிதல் Lm(x)மற்றும் Nm(x)சமத்துவத்தின் அடிப்படையில் உருவாக்கப்படுகிறது y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

எடுத்துக்காட்டு 4

பொதுவான தீர்வு y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

தீர்வு

நிபந்தனையின் படி அது தெளிவாகிறது

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

பின்னர் m = m a x (n, k) = 1. படிவத்தின் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை முதலில் எழுதுவதன் மூலம் y 0 ஐக் காண்கிறோம்:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

வேர்கள் உண்மையானவை மற்றும் வேறுபட்டவை என்பதை நாங்கள் கண்டறிந்தோம். எனவே y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. அடுத்து, படிவத்தின் y ~ என்ற ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் அடிப்படையில் ஒரு பொதுவான தீர்வைத் தேடுவது அவசியம்.

y ~ = e α x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) பாவம் (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) பாவம் (5 x))

α ± i β = 3 ± 5 · i உடன் பண்புச் சமன்பாட்டுடன் தொடர்புடைய இணை வேர்கள் எதுவும் இல்லாததால், A, B, C ஆகியவை குணகங்கள், r = 0 என்று அறியப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவத்திலிருந்து இந்த குணகங்களைக் காண்கிறோம்:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) பாவம் (5 x)) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

வழித்தோன்றல் மற்றும் ஒத்த சொற்களைக் கண்டறிதல் கொடுக்கிறது

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · பாவம் (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

குணகங்களை சமன் செய்த பிறகு, படிவத்தின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 டி = 1

எல்லாவற்றிலிருந்தும் அது பின்பற்றுகிறது

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) பாவம் (5 x))

பதில்:இப்போது கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைப் பெற்றுள்ளோம்:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNU ஐத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

தீர்வுக்கான வேறு எந்த வகையான செயல்பாடு f (x) தீர்வு அல்காரிதத்துடன் இணக்கம் தேவைப்படுகிறது:

• y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, அங்கு தொடர்புடைய நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிதல் y 1மற்றும் y 2 LODE இன் நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகள், சி 1மற்றும் சி 2தன்னிச்சையான மாறிலிகளாகக் கருதப்படுகின்றன;
• LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) வடிவத்தின் அமைப்பு மூலம் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைத் தீர்மானித்தல் ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , மற்றும் செயல்பாடுகளைக் கண்டறிதல் C 1 (x)மற்றும் C 2 (x) ஒருங்கிணைப்பு மூலம்.

எடுத்துக்காட்டு 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x க்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

முன்பு y 0, y "" + 36 y = 0 என்று எழுதி, சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம். எழுதி தீர்க்கலாம்:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = பாவம் (6 x)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) என எழுதப்படும். வழித்தோன்றல் செயல்பாடுகளின் வரையறைக்கு செல்ல வேண்டியது அவசியம் C 1 (x)மற்றும் C2(x)சமன்பாடுகள் கொண்ட அமைப்பின் படி:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

என்பது குறித்து முடிவு எடுக்க வேண்டும் C 1" (x)மற்றும் C 2" (x)எந்த முறையையும் பயன்படுத்தி. பின்னர் நாம் எழுதுகிறோம்:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும் ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டும். இதன் விளைவாக சமன்பாடுகளை எழுதுகிறோம்:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x பாவம் (6 x) + C 4

பொதுவான தீர்வு படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 பாவம் (6 x)

பதில்: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

நிலையான குணகங்களுடன் (பிசி) நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாவது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை (LNDE-2) தீர்க்கும் அடிப்படைகள்

நிலையான குணகங்கள் $p$ மற்றும் $q$ கொண்ட 2வது வரிசை LDDE ஆனது $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இங்கு $f\left(x \right)$ என்பது ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு.

PC உடன் LNDU 2 தொடர்பாக, பின்வரும் இரண்டு அறிக்கைகள் உண்மை.

சில செயல்பாடு $U$ என்பது ஒரு சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தன்னிச்சையான பகுதி தீர்வு என்று வைத்துக் கொள்வோம். சில செயல்பாடு $Y$ என்பது தொடர்புடைய நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ பொது தீர்வு (GS) என்றும் வைத்துக் கொள்வோம். பின்னர் GS இன் LHDE-2 என்பது சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தனிப்பட்ட மற்றும் பொதுவான தீர்வுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அதாவது $y=U+Y$.

2வது வரிசை LMDEயின் வலது புறம் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால், $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ஒவ்வொரு செயல்பாடுகளுக்கும் $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, மற்றும் அதன் பிறகு CR LNDU-2 ஐ $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ வடிவத்தில் எழுதவும்.

PC உடன் 2வது வரிசை LPDE இன் தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட LNDU-2 இன் ஒன்று அல்லது மற்றொரு PD $U$ வகையானது அதன் வலது பக்க $f\left(x\right)$ இன் குறிப்பிட்ட வடிவத்தைச் சார்ந்துள்ளது என்பது வெளிப்படையானது. PD LNDU-2 ஐத் தேடுவதற்கான எளிய வழக்குகள் பின்வரும் நான்கு விதிகளின் வடிவத்தில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன.

விதி எண் 1.

LNDU-2 இன் வலது பக்கம் $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ வடிவம் உள்ளது, இங்கு $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, அதாவது இது ஒரு என அழைக்கப்படுகிறது. பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை $n$. அதன் பிடி $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது, இங்கு $Q_(n) \left(x\right)$ என்பது மற்றொன்று. $P_(n) \left(x\right)$ போன்ற அதே அளவு பல்லுறுப்புக்கோவை, மற்றும் $r$ என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான தொடர்புடைய LODE-2 இன் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையாகும். பல்லுறுப்புக்கோவை $Q_(n) \left(x\right)$ இன் குணகங்கள் காலவரையற்ற குணகங்களின் (UK) முறையால் கண்டறியப்படுகின்றன.

விதி எண் 2.

LNDU-2 இன் வலது பக்கத்தில் $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, $P_(n) \left( x\right)$ என்பது $n$ பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். பின்னர் அதன் PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது, இங்கு $Q_(n ) \ left(x\right)$ என்பது $P_(n) \left(x\right)$ இன் அதே பட்டத்தின் மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், மேலும் $r$ என்பது தொடர்புடைய LODE-2 இன் பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையாகும். $\alpha $க்கு சமம். பல்லுறுப்புக்கோவை $Q_(n) \left(x\right)$ இன் குணகங்கள் NC முறையால் கண்டறியப்படுகின்றன.

விதி எண் 3.

LNDU-2 இன் வலது பக்கத்தில் $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) வடிவம் உள்ளது. \right) $, இங்கு $a$, $b$ மற்றும் $\beta$ ஆகியவை அறியப்பட்ட எண்கள். பின்னர் அதன் PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது. \right )\cdot x^(r) $, இங்கு $A$ மற்றும் $B$ ஆகியவை அறியப்படாத குணகங்களாகும், மேலும் $r$ என்பது தொடர்புடைய LODE-2 இன் பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கை, $i\cdotக்கு சமம் \beta $. குணகங்கள் $A$ மற்றும் $B$ ஆகியவை அழிவில்லாத முறையைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகின்றன.

விதி எண் 4.

LNDU-2 இன் வலது பக்கத்தில் $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, இங்கு $P_(n) \left(x\right)$ உள்ளது $ n$ பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை, மற்றும் $P_(m) \left(x\right)$ என்பது $m$ பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். அதன் PD $U$ ஆனது $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது, இங்கு $Q_(s) \left(x\right)$ மற்றும் $ R_(s) \left(x\right)$ என்பது $s$ பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், $s$ என்பது $n$ மற்றும் $m$ என்ற இரண்டு எண்களின் அதிகபட்சம் மற்றும் $r$ என்பது வேர்களின் எண்ணிக்கை. தொடர்புடைய LODE-2 இன் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு, $\alpha +i\cdot \beta $க்கு சமம். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குணகங்கள் $Q_(s) \left(x\right)$ மற்றும் $R_(s) \left(x\right)$ NC முறையால் கண்டறியப்படுகின்றன.

NK முறையானது பின்வரும் விதியைப் பயன்படுத்துவதைக் கொண்டுள்ளது. LNDU-2 இன் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பகுதியளவு தீர்வின் ஒரு பகுதியாக இருக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அறியப்படாத குணகங்களைக் கண்டறிய, இது அவசியம்:

• எழுதப்பட்ட PD $U$ ஐ மாற்றவும் பொதுவான பார்வை, LNDU-2 இன் இடது பக்கம்;
• LNDU-2 இன் இடது பக்கத்தில், அதே அதிகாரங்களுடன் $x$ எளிமைப்படுத்தல் மற்றும் குழு விதிமுறைகளைச் செய்யவும்;
• இதன் விளைவாக வரும் அடையாளத்தில், இடது மற்றும் வலது பக்கங்களின் $x$ அதே சக்திகளுடன் சொற்களின் குணகங்களைச் சமன் செய்யவும்;
• அறியப்படாத குணகங்களுக்கான நேரியல் சமன்பாடுகளின் விளைவான அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1

பணி: கண்டுபிடி அல்லது LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. PDஐயும் கண்டுபிடி , $x=0$க்கு $y=6$ மற்றும் $x=0$க்கு $y"=1$ ஆகிய ஆரம்ப நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தல்.

தொடர்புடைய LOD-2 ஐ எழுதுகிறோம்: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள்: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. இந்த வேர்கள் செல்லுபடியாகும் மற்றும் வேறுபட்டவை. எனவே, தொடர்புடைய LODE-2 இன் OR வடிவம் உள்ளது: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

இந்த LNDU-2 இன் வலது பக்கத்தில் $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ வடிவம் உள்ளது. $\alpha =3$ என்ற அதிவேகத்தின் குணகத்தைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். இந்த குணகம் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் எந்த வேர்களுடனும் ஒத்துப்போவதில்லை. எனவே, இந்த LNDU-2 இன் PD ஆனது $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

NC முறையைப் பயன்படுத்தி $A$, $B$ குணகங்களைத் தேடுவோம்.

செக் குடியரசின் முதல் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

செக் குடியரசின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\இடது(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

கொடுக்கப்பட்ட NLDE-2 $y""-3\cdot y" இல் $y""$, $y"$ மற்றும் $y$ க்கு பதிலாக $U""$, $U"$ மற்றும் $U$ செயல்பாடுகளை மாற்றுகிறோம் -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ மேலும், $e^(3\cdot x) $ ஒரு காரணியாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது அனைத்து கூறுகளிலும், அதை நாம் தவிர்க்கலாம்:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

இதன் விளைவாக சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் செயல்களைச் செய்கிறோம்:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

நாங்கள் NDT முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். இரண்டு அறியப்படாதவற்றுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

இந்த அமைப்பிற்கான தீர்வு: $A=-2$, $B=-1$.

எங்கள் பிரச்சனைக்கு PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ இது போல் தெரிகிறது: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

எங்கள் சிக்கலுக்கான OR $y=Y+U$ இப்படித் தெரிகிறது: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ இடது (-2\cdot x-1\வலது)\cdot e^(3\cdot x) $.

கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் PDஐக் கண்டறிய, OP இன் வழித்தோன்றல் $y"$ ஐக் காண்கிறோம்:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

$y$ மற்றும் $y"$ இல் மாற்று ஆரம்ப நிலைமைகள்$x=0$க்கு $y=6$ மற்றும் $x=0$க்கு $y"=1$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெற்றோம்:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

அதை தீர்க்கலாம். Cramer இன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி $C_(1) $ஐயும், $C_(2) $ஐயும் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து தீர்மானிக்கிறோம்:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ ஆரம்பம்(வரிசை)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \ end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

எனவே, இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டின் PD வடிவம் உள்ளது: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

பன்முகத்தன்மை உடையது வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசை

பொதுவான தீர்வின் அமைப்பு இந்த வகையின் ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: எங்கே ப, கே- நிலையான எண்கள் (அவை உண்மையான அல்லது சிக்கலானதாக இருக்கலாம்). அத்தகைய ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் நாம் பொருத்தமானதை எழுதலாம்: ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுதேற்றம் : ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்பது பொதுவான தீர்வின் கூட்டுத்தொகையாகும் 0 (ஒய் x : ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்பது பொதுவான தீர்வின் கூட்டுத்தொகையாகும் 1 (ஒய்) தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வு ) ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு: ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான இரண்டு வழிகளைக் கீழே கருத்தில் கொள்வோம். மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை : ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்பது பொதுவான தீர்வின் கூட்டுத்தொகையாகும்பொது தீர்வு என்றால் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் 0 அறியப்படுகிறது, பின்னர் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைப் பயன்படுத்தி காணலாம்நிலையான மாறுபாடு முறை . ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் இருக்கட்டும்: நிரந்தரத்திற்கு பதிலாகசி நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 1 மற்றும் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 1 (ஒய் 2 துணை செயல்பாடுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 2 (ஒய்) மற்றும் ) தீர்வு போன்ற இந்த செயல்பாடுகளை நாங்கள் தேடுவோம்(ஒய்வலது பக்கத்துடன் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தியது நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 1 (ஒய் 2 துணை செயல்பாடுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 2 (ஒய் f ) அறியப்படாத செயல்பாடுகள் ) இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது: தீர்வு போன்ற இந்த செயல்பாடுகளை நாங்கள் தேடுவோம்(ஒய்நிச்சயமற்ற குணக முறை வலது பக்கம்) ஒரு ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு பெரும்பாலும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, அதிவேக அல்லது முக்கோணவியல் செயல்பாடு அல்லது இந்த செயல்பாடுகளின் சில கலவையாகும். இந்த வழக்கில், அதைப் பயன்படுத்தி ஒரு தீர்வைத் தேடுவது மிகவும் வசதியானது நிச்சயமற்ற குணகங்களின் முறை. என்பதை வலியுறுத்துவோம் இந்த முறை α வலது பக்கத்தில் உள்ள குறிப்பிட்ட வகை செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே வேலை செய்கிறது ஒய் இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வின் தேர்வு, சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தின் கட்டமைப்பிற்கு ஒத்திருக்க வேண்டும். வழக்கு 1 என்றால், எண்அதிவேகச் செயல்பாட்டில் பண்புச் சமன்பாட்டின் மூலத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, பின்னர் குறிப்பிட்ட தீர்வு கூடுதல் காரணியைக் கொண்டிருக்கும் இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வின் தேர்வு, சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தின் கட்டமைப்பிற்கு ஒத்திருக்க வேண்டும். வழக்கு 1 என்றால், எண்கள் α , எங்கே - வேர் பெருக்கம்சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் மூலத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, பின்னர் குறிப்பிட்ட தீர்வுக்கான வெளிப்பாடு கூடுதல் காரணியைக் கொண்டிருக்கும் ஒய். அறியப்படாத குணகங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வுக்கான கண்டறியப்பட்ட வெளிப்பாட்டை அசல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம் தீர்மானிக்க முடியும். சூப்பர்போசிஷன் கொள்கை சமச்சீரற்ற சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் என்றால் தொகைபடிவத்தின் பல செயல்பாடுகள் பின்னர் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு, வலது பக்கத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு காலத்திற்கும் தனித்தனியாக கட்டப்பட்ட பகுதி தீர்வுகளின் கூட்டுத்தொகையாகவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் y"" + y= பாவம் (2 ஒய்). தீர்வு. முதலில் நாம் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம் y"" + y= 0. இந்த வழக்கில், பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் முற்றிலும் கற்பனையானவை: இதன் விளைவாக, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வழங்கப்படுகிறது மீண்டும் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு வருவோம். அதன் தீர்வை வடிவில் தேடுவோம் மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்துதல். செயல்பாடுகள் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 1 (ஒய் 2 துணை செயல்பாடுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 2 (ஒய்) பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து காணலாம்: வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்துவோம் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 1 " (ஒய்) முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து: இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக, வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 2 " (ஒய்): அதைத் தொடர்ந்து வருகிறது வழித்தோன்றல்களுக்கான வெளிப்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்தல் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 1 " (ஒய் 2 துணை செயல்பாடுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 2 " (ஒய்), நாங்கள் பெறுகிறோம்: எங்கே ஏ 1 , ஏ 2 - ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலிகள். இப்போது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளை மாற்றுவோம் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 1 (ஒய் 2 துணை செயல்பாடுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக 2 (ஒய்) சூத்திரத்தில் : ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்பது பொதுவான தீர்வின் கூட்டுத்தொகையாகும் 1 (ஒய்) மற்றும் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வை எழுதவும்:

எடுத்துக்காட்டு 2

சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும் y"" + y" −6: ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்பது பொதுவான தீர்வின் கூட்டுத்தொகையாகும் = 36ஒய். தீர்வு. காலவரையற்ற குணகங்களின் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் தீர்வு போன்ற இந்த செயல்பாடுகளை நாங்கள் தேடுவோம்(ஒய்)நேரியல் செயல்பாடு= கோடாரி + பி . எனவே, வடிவத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுவோம் வழித்தோன்றல்கள் சமம்: ஒய்இதை வேறுபட்ட சமன்பாட்டில் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: ஒய்கடைசி சமன்பாடு ஒரு அடையாளம், அதாவது அனைவருக்கும் செல்லுபடியாகும் , எனவே சொற்களின் குணகங்களை அதே டிகிரிகளுடன் சமன் செய்கிறோம் ஏ = −6, இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில்:இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பிலிருந்து நாம் காண்கிறோம்: பி = -1. இதன் விளைவாக, குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது இப்போது ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம். துணை பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடுவோம்:

எனவே, தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:

எனவே, அசல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

DE இன் பொது ஒருங்கிணைப்பு.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையானது ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கப் பயன்படுகிறது. இந்த பாடம் ஏற்கனவே தலைப்பில் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ நன்கு அறிந்த மாணவர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. நீங்கள் ரிமோட் கண்ட்ரோலைப் பற்றி தெரிந்துகொள்ளத் தொடங்கினால், அதாவது. நீங்கள் ஒரு தேநீர் தொட்டியாக இருந்தால், முதல் பாடத்துடன் தொடங்க பரிந்துரைக்கிறேன்: முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். நீங்கள் ஏற்கனவே முடித்திருந்தால், முறை கடினமானது என்ற சாத்தியமான முன்முடிவை நிராகரிக்கவும். ஏனென்றால் அது எளிமையானது.

எந்த சந்தர்ப்பங்களில் தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது?

1) தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தலாம் 1 வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற DE. சமன்பாடு முதல் வரிசையில் இருப்பதால், மாறிலியும் ஒன்றாகும்.

2) தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை சிலவற்றைத் தீர்க்கப் பயன்படுகிறது நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடுகள். இங்கே இரண்டு மாறிலிகள் வேறுபடுகின்றன.

பாடம் இரண்டு பத்திகளைக் கொண்டிருக்கும் என்று கருதுவது தர்க்கரீதியானது... எனவே நான் இந்த வாக்கியத்தை எழுதினேன், நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு சுமூகமாக மாறுவதற்கு வேறு என்ன புத்திசாலித்தனமான தந்திரத்தை சேர்க்கலாம் என்று சுமார் 10 நிமிடங்கள் வேதனையுடன் யோசித்துக்கொண்டிருந்தேன். ஆனால் சில காரணங்களால் விடுமுறைக்குப் பிறகு எனக்கு எந்த எண்ணமும் இல்லை, இருப்பினும் நான் எதையும் தவறாகப் பயன்படுத்தியதாகத் தெரியவில்லை. எனவே, நேரடியாக முதல் பத்திக்கு வருவோம்.

தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை முதல் வரிசை நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு

தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைக் கருத்தில் கொள்வதற்கு முன், கட்டுரையை நன்கு அறிந்திருப்பது நல்லது. முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள். அந்த பாடத்தில் நாங்கள் பயிற்சி செய்தோம் முதல் தீர்வுஒத்திசைவற்ற 1வது வரிசை DE. இந்த முதல் தீர்வு, நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், அழைக்கப்படுகிறது மாற்று முறைஅல்லது பெர்னோலி முறை(குழப்பப்பட வேண்டாம் பெர்னோலியின் சமன்பாடு!!!)

இப்போது நாம் பார்ப்போம் இரண்டாவது தீர்வு- தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை. நான் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருகிறேன், மேலே குறிப்பிட்ட பாடத்திலிருந்து அவற்றை எடுத்துக்கொள்கிறேன். ஏன் கொஞ்சம்? ஏனெனில் உண்மையில், இரண்டாவது வழியில் தீர்வு முதல் வழியில் தீர்வு மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கும். கூடுதலாக, எனது அவதானிப்புகளின்படி, தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை மாற்று முறையை விட குறைவாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும் (பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு எண். 2 இலிருந்து வேறுபாடு 1 வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்)

தீர்வு:இந்த சமன்பாடு நேரியல் சீரற்றது மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

முதல் கட்டத்தில், எளிமையான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது அவசியம்: அதாவது, முட்டாள்தனமாக வலது பக்கத்தை பூஜ்ஜியத்திற்கு மீட்டமைக்கிறோம் - அதற்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை எழுதுங்கள். நான் சமன்பாட்டை அழைப்பேன் துணை சமன்பாடு.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், பின்வரும் துணை சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும்:

எங்களுக்கு முன் பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடு, இதன் தீர்வு (நான் நம்புகிறேன்) இனி உங்களுக்கு கடினமாக இருக்காது:

இவ்வாறு: - துணை சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு.

இரண்டாவது படியில் நாங்கள் மாற்றுவோம்சில நிலையானது இப்போதைக்கு"x" ஐ சார்ந்து அறியப்படாத செயல்பாடு:

எனவே முறையின் பெயர் - நாம் மாறிலியை மாற்றுகிறோம். மாற்றாக, மாறிலி என்பது நாம் இப்போது கண்டுபிடிக்க வேண்டிய சில செயல்பாடாக இருக்கலாம்.

IN அசல்ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டில் நாம் மாற்றீடு செய்கிறோம்:

சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

கட்டுப்பாட்டு புள்ளி - இடது பக்கத்தில் உள்ள இரண்டு விதிமுறைகள் ரத்து. இது நடக்கவில்லை என்றால், மேலே உள்ள பிழையை நீங்கள் தேட வேண்டும்.

மாற்றத்தின் விளைவாக, பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு பெறப்பட்டது. நாம் மாறிகளை பிரித்து ஒருங்கிணைக்கிறோம்.

என்ன ஒரு ஆசீர்வாதம், அடுக்குகளும் ரத்து செய்கின்றன:

காணப்படும் செயல்பாட்டிற்கு "சாதாரண" மாறிலியைச் சேர்க்கிறோம்:

இறுதி கட்டத்தில், எங்கள் மாற்றீடு பற்றி நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம்:

செயல்பாடு இப்போது கண்டுபிடிக்கப்பட்டது!

எனவே பொதுவான தீர்வு:

பதில்:பொதுவான தீர்வு:

நீங்கள் இரண்டு தீர்வுகளையும் பிரிண்ட் அவுட் செய்தால், இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் நாங்கள் ஒரே ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டோம் என்பதை நீங்கள் எளிதாகக் கவனிப்பீர்கள். தீர்வு அல்காரிதத்தில் மட்டுமே வேறுபாடு உள்ளது.

இப்போது மிகவும் சிக்கலான ஒன்றுக்கு, நான் இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில் கருத்து தெரிவிக்கிறேன்:

எடுத்துக்காட்டு 2

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும் (எடுத்துக்காட்டு எண். 8 பாடத்தில் இருந்து வேறுபாடு 1 வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்)

தீர்வு:சமன்பாட்டை படிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

வலது பக்கத்தை மீட்டமைத்து, துணை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

மாறிகளை பிரித்து ஒருங்கிணைக்கிறோம்: துணை சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு:

ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டில் நாம் மாற்றீடு செய்கிறோம்:

தயாரிப்பு வேறுபாடு விதியின் படி:

அசல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

இடதுபுறத்தில் உள்ள இரண்டு சொற்கள் ரத்துசெய்யப்படுகின்றன, அதாவது நாம் சரியான பாதையில் செல்கிறோம்:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்போம். பாகங்கள் சூத்திரத்தால் ஒருங்கிணைப்பதில் இருந்து சுவையான கடிதம் ஏற்கனவே தீர்வில் ஈடுபட்டுள்ளது, எனவே நாங்கள் எடுத்துக்காட்டாக, "a" மற்றும் "be" எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

இதன் விளைவாக:

இப்போது மாற்றீட்டை நினைவில் கொள்வோம்:

பதில்:பொதுவான தீர்வு:

தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டிற்கு நிலையான குணகங்களுடன்

இரண்டாம் வரிசை சமன்பாட்டிற்கு தன்னிச்சையான மாறிலிகளை மாற்றும் முறை எளிதான விஷயம் அல்ல என்ற கருத்தை நான் அடிக்கடி கேள்விப்பட்டிருக்கிறேன். ஆனால் நான் பின்வருவனவற்றைக் கருதுகிறேன்: பெரும்பாலும், இந்த முறை பலருக்கு கடினமாகத் தோன்றுகிறது, ஏனெனில் இது அடிக்கடி நிகழாது. ஆனால் உண்மையில் குறிப்பிட்ட சிரமங்கள் எதுவும் இல்லை - முடிவின் போக்கு தெளிவானது, வெளிப்படையானது மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது. மற்றும் அழகான.

முறையை மாஸ்டர் செய்ய, வலது பக்க வடிவத்தின் அடிப்படையில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க முடியும். இந்த முறை கட்டுரையில் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது. ஒத்திசைவற்ற 2வது வரிசை DEகள். நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசை நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் நினைவுபடுத்துகிறோம்:

மேலே உள்ள பாடத்தில் விவாதிக்கப்பட்ட தேர்வு முறை, வலது பக்கம் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், அதிவேகங்கள், சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள் இருக்கும் போது குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான நிகழ்வுகளில் மட்டுமே செயல்படும். ஆனால் வலதுபுறத்தில், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பின்னம், மடக்கை, தொடுகோடு இருக்கும்போது என்ன செய்வது? அத்தகைய சூழ்நிலையில், மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை மீட்புக்கு வருகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 4

இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்

தீர்வு:இந்த சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் ஒரு பின்னம் உள்ளது, எனவே ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை வேலை செய்யாது என்று உடனடியாக சொல்லலாம். தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

இடியுடன் கூடிய மழைக்கான அறிகுறிகள் எதுவும் இல்லை, தீர்வின் ஆரம்பம் முற்றிலும் சாதாரணமானது:

நாம் கண்டுபிடிப்போம் பொதுவான தீர்வுபொருத்தமானது ஒரே மாதிரியானசமன்பாடுகள்:

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்: - ஒருங்கிணைந்த சிக்கலான வேர்கள் பெறப்படுகின்றன, எனவே பொதுவான தீர்வு:

பொதுவான தீர்வின் பதிவில் கவனம் செலுத்துங்கள் - அடைப்புக்குறிகள் இருந்தால், அவற்றைத் திறக்கவும்.

இப்போது நாம் முதல் வரிசை சமன்பாட்டின் அதே தந்திரத்தை செய்கிறோம்: மாறிலிகளை மாற்றுகிறோம், அவற்றை அறியப்படாத செயல்பாடுகளுடன் மாற்றுகிறோம். அதாவது, ஒத்திசைவற்ற பொதுவான தீர்வுவடிவத்தில் சமன்பாடுகளைத் தேடுவோம்:

எங்கே - இப்போதைக்குஅறியப்படாத செயல்பாடுகள்.

நிலப்பரப்பு போல் தெரிகிறது வீட்டு கழிவு, ஆனால் இப்போது எல்லாவற்றையும் வரிசைப்படுத்துவோம்.

அறியப்படாதவை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள். வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்பதே எங்கள் குறிக்கோள், மேலும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்கள் கணினியின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளை திருப்திப்படுத்த வேண்டும்.

"கிரேக்கர்கள்" எங்கிருந்து வருகிறார்கள்? நாரை அவற்றைக் கொண்டுவருகிறது. முன்னர் பெறப்பட்ட பொதுவான தீர்வைப் பார்த்து எழுதுகிறோம்:

வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இடது பாகங்கள் கையாளப்பட்டுள்ளன. வலதுபுறத்தில் என்ன இருக்கிறது?

அசல் சமன்பாட்டின் வலது பக்கம், இந்த வழக்கில்:

விரிவுரையில், LNDEகள் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன - நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள். பொதுவான தீர்வின் கட்டமைப்பானது, தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையின் மூலம் எல்பிடிஇயின் தீர்வு, நிலையான குணகங்கள் மற்றும் வலதுபுறம் கொண்ட எல்டிடிஇயின் தீர்வு என கருதப்படுகிறது.சிறப்பு வகை

. பரிசீலனையில் உள்ள சிக்கல்கள் இயற்பியல், மின் பொறியியல் மற்றும் மின்னணுவியல், மற்றும் தானியங்கி கட்டுப்பாடு கோட்பாடு ஆகியவற்றில் கட்டாய அலைவுகளின் ஆய்வில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

1. 2 வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு அமைப்பு.

முதலில் தன்னிச்சையான வரிசையின் நேரியல் சீரற்ற சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

இந்த வழக்கில், இந்த சமன்பாட்டின் குணகங்களும் வலது பக்கமும் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் என்று நாம் கருதுவோம்.

தேற்றம். ஒரு குறிப்பிட்ட டொமைனில் உள்ள நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு அதன் தீர்வுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் தொடர்புடைய நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு.

ஆதாரம்.ஒய் ஒரு சீரற்ற சமன்பாட்டிற்கு சில தீர்வாக இருக்கட்டும்.

பின்னர், இந்த தீர்வை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றும்போது, ​​​​நாம் அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம்:

விடுங்கள்
- ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு
. ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வை இவ்வாறு எழுதலாம்:

குறிப்பாக, 2 வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு, பொதுவான தீர்வின் அமைப்பு வடிவம் கொண்டது:

எங்கே
தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு, மற்றும்
- ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் ஏதேனும் குறிப்பிட்ட தீர்வு.

எனவே, ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் மற்றும் எப்படியாவது ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறிய வேண்டும். பொதுவாக இது தேர்வு மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. பின்வரும் கேள்விகளில் தனிப்பட்ட தீர்வைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

2. மாறுபாடு முறை

நடைமுறையில், மாறுபட்ட தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் முறையைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது.

இதைச் செய்ய, முதலில் வடிவத்தில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்:

பின்னர், குணகங்களை வைப்பது நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக iஇருந்து செயல்பாடுகள் எக்ஸ், ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு தேடப்படுகிறது:

செயல்பாடுகளைக் கண்டறிவது என்பதை நிரூபிக்க முடியும் நிரந்தரத்திற்கு பதிலாக i (ஒய்) சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாம் தீர்க்க வேண்டும்:

உதாரணம்.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு வடிவம் கொண்டிருக்கும்:

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குவோம்:

இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்போம்:

உறவிலிருந்து நாம் செயல்பாட்டைக் காண்கிறோம் ஓ).

இப்போது நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் B(x)

பெறப்பட்ட மதிப்புகளை ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வுக்கான சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:

இறுதி பதில்:

பொதுவாக, தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையானது எந்த நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கும் தீர்வுகளைக் கண்டறிவதற்கு ஏற்றது. ஆனால் ஏனெனில் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறிவது மிகவும் கடினமான பணியாக இருக்கலாம், இந்த முறையானது நிலையான குணகங்களுடன் சீரற்ற சமன்பாடுகளுக்கு முக்கியமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

3. ஒரு சிறப்பு வடிவத்தின் வலது பக்கத்துடன் சமன்பாடுகள்

ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் வலது பக்க வகையைப் பொறுத்து ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வின் வகையை கற்பனை செய்வது சாத்தியமாகத் தெரிகிறது.

பின்வரும் வழக்குகள் வேறுபடுகின்றன:

I. நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் வடிவம் உள்ளது:

பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை எங்கே மீ.

பின்னர் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது:

இங்கே கே(ஒய்) - அதே அளவு பல்லுறுப்புக்கோவை பி(ஒய்) , ஆனால் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களுடன், மற்றும் ஆர்- தொடர்புடைய நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான குணாதிசய சமன்பாட்டின் வேர் எண்  எத்தனை மடங்கு என்பதைக் காட்டும் எண்.

உதாரணம்.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
.

தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

இப்போது அசல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம்.

சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தை மேலே விவாதிக்கப்பட்ட வலது பக்க வடிவத்துடன் ஒப்பிடுவோம்.

படிவத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம்:
, எங்கே

அந்த.

இப்போது அறியப்படாத குணகங்களைத் தீர்மானிப்போம் ஏமற்றும் IN.

ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை பொதுவான வடிவத்தில் அசல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு மாற்றுவோம்.

மொத்த, தனிப்பட்ட தீர்வு:

ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு:

II.

இங்கே நேரியல் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் வடிவம் உள்ளது: 1 ஆர்(எக்ஸ்) நேரியல் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் வடிவம் உள்ளது: 2 ஆர்மற்றும் மீ- பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மீ 2 1 மற்றும்

முறையே.

பின்னர் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம் கொண்டிருக்கும்: ஆர்எண் எங்கே
ஒரு எண்ணை எத்தனை முறை காட்டுகிறது கே 1 (ஒய்) மற்றும் கே 2 (ஒய்) தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர், மற்றும் மீ- பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை விட அதிகமாக இல்லை மீ, எங்கே மீ 1 - டிகிரிகளில் மிகப்பெரியது மீ 2 .

மற்றும்

தனிப்பட்ட தீர்வுகளின் வகைகளின் சுருக்க அட்டவணை

பன்முகத்தன்மையின் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள்

சமன்பாட்டின் வலது புறம் மேலே கருதப்பட்ட வகையின் வெளிப்பாடுகளின் கலவையாக இருந்தால், தீர்வு துணை சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் கலவையாகக் காணப்படுகிறது, ஒவ்வொன்றும் வெளிப்பாட்டுடன் தொடர்புடைய வலது பக்கத்தைக் கொண்டிருக்கும். கலவையில்.
அந்த. சமன்பாடு என்றால்:
, இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு இருக்கும் எங்கே 1 (எக்ஸ்) எங்கே 2 மணிக்கு

(எக்ஸ்)

- துணை சமன்பாடுகளின் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள்

உதாரணம்.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

விளக்குவதற்கு, மேலே உள்ள உதாரணத்தை வேறு வழியில் தீர்க்கலாம். தீர்வு போன்ற இந்த செயல்பாடுகளை நாங்கள் தேடுவோம் 1 (ஒய்) + தீர்வு போன்ற இந்த செயல்பாடுகளை நாங்கள் தேடுவோம் 2 (ஒய்) = ஒய் + (- வேற்றுமை சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தை இரண்டு செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடுவோம் ஒய்).

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:

பாவம்

நாம் பெறுகிறோம்: அதாவது.

மொத்தம்:

அந்த. தேவையான குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம் உள்ளது:

ஒரே மாதிரியான வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு:

விவரிக்கப்பட்ட முறைகளின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தொடர்புடைய நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு ஒரு சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

இப்போது ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வடிவத்தில் காணலாம்:

காலவரையற்ற குணகங்களின் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

அசல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம்:

ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம் உள்ளது:

நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு:

உதாரணம்.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு:

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு:

ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான குறிப்பிட்ட தீர்வு:
.

வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றை அசல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்: