ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள். விரிவான வழிகாட்டி (2019)

போன்ற ஒரு புகழ்பெற்ற கணிதக் கருவியின் வரலாற்றிலிருந்து நாம் தொடங்க வேண்டும் என்று நினைக்கிறேன் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள். அனைத்து வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்களைப் போலவே, இந்த சமன்பாடுகளும் 17 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் நியூட்டனால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அவரது இந்த குறிப்பிட்ட கண்டுபிடிப்பு மிகவும் முக்கியமானது என்று அவர் கருதினார், அவர் ஒரு செய்தியை குறியாக்கம் செய்தார், இன்று இது போன்ற ஏதாவது மொழிபெயர்க்கலாம்: "இயற்கையின் அனைத்து விதிகளும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளால் விவரிக்கப்படுகின்றன." இது மிகைப்படுத்தப்பட்டதாகத் தோன்றினாலும் உண்மைதான். இயற்பியல், வேதியியல், உயிரியல் ஆகியவற்றின் எந்த விதியையும் இந்த சமன்பாடுகளால் விவரிக்க முடியும்.

கணிதவியலாளர்களான யூலர் மற்றும் லாக்ரேஞ்ச் ஆகியோர் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சிக்கும் உருவாக்கத்திற்கும் பெரும் பங்களிப்பைச் செய்தனர். ஏற்கனவே 18 ஆம் நூற்றாண்டில், அவர்கள் இப்போது மூத்த பல்கலைக்கழக படிப்புகளில் படிப்பதைக் கண்டுபிடித்து உருவாக்கினர்.

வித்தியாசமான சமன்பாடுகளின் ஆய்வில் ஒரு புதிய மைல்கல் ஹென்றி பாய்ன்கேருக்கு நன்றி செலுத்தத் தொடங்கியது. அவர் "வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் தரக் கோட்பாட்டை" உருவாக்கினார், இது ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டுடன் இணைந்து, இடவியலின் அடித்தளத்திற்கு குறிப்பிடத்தக்க பங்களிப்பைச் செய்தது - விண்வெளி அறிவியல் மற்றும் அதன் பண்புகள்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் என்றால் என்ன?

இருப்பினும், பலர் ஒரு சொற்றொடரைப் பற்றி பயப்படுகிறார்கள், இந்த கட்டுரையில் இந்த மிகவும் பயனுள்ள கணித கருவியின் முழு சாரத்தையும் விரிவாகக் கோடிட்டுக் காட்டுவோம், இது உண்மையில் பெயரிலிருந்து தோன்றும் அளவுக்கு சிக்கலானது அல்ல. முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பற்றி பேசத் தொடங்க, இந்த வரையறையுடன் இயல்பாக தொடர்புடைய அடிப்படைக் கருத்துகளை நீங்கள் முதலில் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். மற்றும் நாம் வேறுபாட்டுடன் தொடங்குவோம்.

வித்தியாசமான

பள்ளிப் பருவத்திலிருந்தே இந்த கருத்தை பலர் அறிந்திருக்கிறார்கள். இருப்பினும், அதை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அதன் எந்தப் பகுதியும் நேர்கோட்டின் வடிவத்தை எடுக்கும் அளவுக்கு நாம் அதை அதிகரிக்கலாம். அதில் ஒன்றுக்கொன்று எல்லையற்ற நெருக்கமாக இருக்கும் இரண்டு புள்ளிகளை எடுத்துக் கொள்வோம். அவற்றின் ஆய (x அல்லது y) இடையே உள்ள வேறுபாடு எல்லையற்றதாக இருக்கும் சிறிய அளவு. இது வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் dy (y இன் வேறுபாடு) மற்றும் dx (x இன் வேறுபாடு) அறிகுறிகளால் குறிக்கப்படுகிறது. வேறுபாடு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அளவு அல்ல என்பதைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம், இது அதன் பொருள் மற்றும் முக்கிய செயல்பாடு.

இப்போது நாம் அடுத்த உறுப்பைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், இது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் கருத்தை விளக்குவதில் நமக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். இது ஒரு வழித்தோன்றல்.

வழித்தோன்றல்

இந்த கருத்தை நாம் அனைவரும் பள்ளியில் கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். வழித்தோன்றல் என்பது ஒரு செயல்பாடு அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் விகிதம் என்று கூறப்படுகிறது. இருப்பினும், இந்த வரையறையிலிருந்து மிகவும் தெளிவாகிறது. வேற்றுமைகள் மூலம் வழித்தோன்றலை விளக்க முயற்சிப்போம். இயக்கத்தில் இருக்கும் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டின் எண்ணற்ற பகுதிக்குத் திரும்புவோம் குறைந்தபட்ச தூரம்ஒருவருக்கொருவர். ஆனால் இந்த தூரத்தில் கூட செயல்பாடு சில அளவு மாற்றத்தை நிர்வகிக்கிறது. இந்த மாற்றத்தை விவரிக்க அவர்கள் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டு வந்தனர், இது வேறுபாட்டின் விகிதமாக எழுதப்படலாம்: f(x)"=df/dx.

இப்போது வழித்தோன்றலின் அடிப்படை பண்புகளை கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு. அவற்றில் மூன்று மட்டுமே உள்ளன:

1. ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல் தொகையாக அல்லது வழித்தோன்றல்களின் வேறுபாடாக குறிப்பிடப்படலாம்: (a+b)"=a"+b" மற்றும் (a-b)"=a"-b".
2. இரண்டாவது பண்பு பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது. ஒரு பொருளின் வழித்தோன்றல் என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் மற்றொன்றின் வழித்தோன்றல்: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றலை பின்வரும் சமத்துவமாக எழுதலாம்: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

இந்த பண்புகள் அனைத்தும் முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வுகளை கண்டுபிடிப்பதற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

பகுதி வழித்தோன்றல்களும் உள்ளன. x மற்றும் y மாறிகள் சார்ந்து z சார்பு உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்தச் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட, x ஐப் பொறுத்தவரை, நாம் மாறி y ஐ மாறி மாறி வேறுபடுத்த வேண்டும்.

ஒருங்கிணைந்த

மற்றவை முக்கியமான கருத்து- ஒருங்கிணைந்த. உண்மையில், இது ஒரு வழித்தோன்றலுக்கு நேர் எதிரானது. பல வகையான ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன, ஆனால் எளிமையான வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, நமக்கு மிகவும் அற்பமானவை தேவை.

எனவே, நாம் x மீது f இன் சில சார்புகளைக் கொண்டுள்ளோம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். நாம் அதிலிருந்து ஒருங்கிணைப்பை எடுத்து F(x) செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம் (பெரும்பாலும் ஆண்டிடெரிவேடிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது), இதன் வழித்தோன்றல் அசல் செயல்பாட்டிற்கு சமம். இவ்வாறு F(x)"=f(x) மேலும் வழித்தோன்றலின் ஒருங்கிணைப்பு அசல் செயல்பாட்டிற்கு சமம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​ஒருங்கிணைப்பின் பொருள் மற்றும் செயல்பாட்டைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம், ஏனென்றால் தீர்வு காண நீங்கள் அவற்றை அடிக்கடி எடுக்க வேண்டும்.

சமன்பாடுகள் அவற்றின் தன்மையைப் பொறுத்து மாறுபடும். அடுத்த பகுதியில், முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் வகைகளைப் பார்ப்போம், பின்னர் அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் வகுப்புகள்

"Diffurs" அவற்றில் உள்ள வழித்தோன்றல்களின் வரிசைப்படி பிரிக்கப்படுகின்றன. இவ்வாறு முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் அதிக வரிசை உள்ளது. அவை பல வகுப்புகளாகவும் பிரிக்கப்படலாம்: சாதாரண மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்.

இந்த கட்டுரையில் நாம் முதல் வரிசை சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம். பின்வரும் பிரிவுகளில் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளையும் வழிகளையும் நாங்கள் விவாதிப்போம். நாங்கள் ODE களை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம், ஏனெனில் இவை மிகவும் பொதுவான சமன்பாடுகள். சாதாரணமானவை கிளையினங்களாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன: பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள், ஒரேவிதமான மற்றும் பன்முகத்தன்மை கொண்டவை. அடுத்து, அவை ஒருவருக்கொருவர் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள், அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வீர்கள்.

கூடுதலாக, இந்த சமன்பாடுகள் ஒன்றிணைக்கப்படலாம், இதனால் நாம் முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புடன் முடிவடையும். அத்தகைய அமைப்புகளையும் நாங்கள் பரிசீலிப்போம், அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

நாம் ஏன் முதல் வரிசையை மட்டும் கருத்தில் கொள்கிறோம்? ஏனென்றால் நீங்கள் எளிமையான ஒன்றைத் தொடங்க வேண்டும், மேலும் ஒரு கட்டுரையில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் தொடர்பான அனைத்தையும் விவரிக்க இயலாது.

பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள்

இவை ஒருவேளை எளிமையான முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளாக இருக்கலாம். இந்த மாதிரி எழுதக்கூடிய எடுத்துக்காட்டுகள் இதில் அடங்கும்: y"=f(x)*f(y). இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க, வழித்தோன்றலை வேறுபாட்டின் விகிதமாக குறிப்பிடுவதற்கான சூத்திரம் தேவை: y"=dy/dx. அதைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: dy/dx=f(x)*f(y). இப்போது நிலையான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைக்கு நாம் திரும்பலாம்: மாறிகளை பகுதிகளாகப் பிரிப்போம், அதாவது, y என்ற மாறியுடன் அனைத்தையும் dy அமைந்துள்ள பகுதிக்கு நகர்த்துவோம், மேலும் x மாறியுடன் அதையே செய்வோம். படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: dy/f(y)=f(x)dx, இது இரு பக்கங்களின் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுத்து தீர்க்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பை எடுத்த பிறகு அமைக்க வேண்டிய மாறிலி பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள்.

எந்த ஒரு "வேறுபாடு" க்கும் தீர்வு என்பது y இல் x சார்ந்திருப்பதன் செயல்பாடாகும் (எங்கள் விஷயத்தில்) அல்லது, ஒரு எண் நிலை இருந்தால், எண் வடிவத்தில் பதில் கிடைக்கும். பார்க்கலாம் குறிப்பிட்ட உதாரணம்முழு தீர்வு:

மாறிகளை வெவ்வேறு திசைகளில் நகர்த்துவோம்:

இப்போது ஒருங்கிணைப்புகளை எடுத்துக் கொள்வோம். அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறப்பு அட்டவணையில் காணலாம். மற்றும் நாம் பெறுகிறோம்:

ln(y) = -2*cos(x) + C

தேவைப்பட்டால், "y" ஐ "x" இன் செயல்பாடாக வெளிப்படுத்தலாம். இப்போது நிபந்தனை குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால் நமது வேறுபாடு சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது என்று சொல்லலாம். ஒரு நிபந்தனையை குறிப்பிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, y(n/2)=e. பின்னர் இந்த மாறிகளின் மதிப்புகளை தீர்வுக்கு பதிலாக மாற்றி மாறிலியின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் இது 1.

முதல் வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

இப்போது மிகவும் கடினமான பகுதிக்கு செல்லலாம். முதல் வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகளை எழுதலாம் பொதுவான பார்வை so: y"=z(x,y). இரண்டு மாறிகளின் சரியான செயல்பாடு ஒரே மாதிரியானது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், மேலும் அதை இரண்டு சார்புகளாகப் பிரிக்க முடியாது: z இல் x மற்றும் z இல் y. என்பதைச் சரிபார்ப்பது மிகவும் எளிது. சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானதா இல்லையா: நாம் x=k*x மற்றும் y=k*y ஐ மாற்றியமைக்கிறோம் மேலே, நாங்கள் கூறுவோம்: இந்த எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கொள்கையும் மிகவும் எளிது.

நாம் மாற்றீடு செய்ய வேண்டும்: y=t(x)*x, இங்கு t என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு ஆகும், அது xஐயும் சார்ந்துள்ளது. பின்னர் நாம் வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்தலாம்: y"=t"(x)*x+t. இதையெல்லாம் நமது அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றி, எளிமைப்படுத்தினால், t மற்றும் x ஆகிய பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட உதாரணத்தைப் பெறுகிறோம். நாங்கள் அதைத் தீர்த்து, சார்பு t(x) ஐப் பெறுகிறோம். நாங்கள் அதைப் பெற்றவுடன், y=t(x)*x ஐ எங்கள் முந்தைய மாற்றாக மாற்றுவோம். பின்னர் x இல் y இன் சார்பு கிடைக்கும்.

அதை தெளிவுபடுத்த, ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: x*y"=y-x*e y/x .

மாற்றுடன் சரிபார்க்கும் போது, ​​எல்லாம் குறைக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் சமன்பாடு உண்மையிலேயே ஒரே மாதிரியானது. இப்போது நாம் பேசிய மற்றொரு மாற்றீட்டைச் செய்கிறோம்: y=t(x)*x மற்றும் y"=t"(x)*x+t(x). எளிமைப்படுத்திய பிறகு, நாம் பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: t"(x)*x=-e t. விளைந்த எடுத்துக்காட்டைப் பிரிக்கப்பட்ட மாறிகள் மூலம் தீர்த்து, பெறுவோம்: e -t =ln(C*x). நாம் செய்ய வேண்டியது எல்லாம் மாற்றுவதுதான். t உடன் y/x (எல்லாவற்றுக்கும் மேலாக, y =t*x என்றால், t=y/x), மற்றும் பதில் கிடைக்கும்: e -y/x =ln(x*C).

முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

மற்றொரு பரந்த தலைப்பைப் பார்க்க வேண்டிய நேரம் இது. முதல்-வரிசை ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். முந்தைய இரண்டிலிருந்து அவை எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? அதை கண்டுபிடிக்கலாம். பொதுவான வடிவத்தில் முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளை பின்வருமாறு எழுதலாம்: y" + g(x)*y=z(x). z(x) மற்றும் g(x) ஆகியவை நிலையான அளவுகளாக இருக்கலாம் என்பதை தெளிவுபடுத்துவது மதிப்பு.

இப்போது ஒரு எடுத்துக்காட்டு: y" - y*x=x 2 .

இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன, இரண்டையும் வரிசையாகப் பார்ப்போம். முதலாவது தன்னிச்சையான மாறிலிகளை மாற்றும் முறை.

இந்த வழியில் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் முதலில் வலது பக்கத்தை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும், இது பகுதிகளை மாற்றிய பின், படிவத்தை எடுக்கும்:

ln|y|=x 2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2.

இப்போது நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய நிலையான C 1 ஐ v(x) செயல்பாட்டுடன் மாற்ற வேண்டும்.

வழித்தோன்றலை மாற்றுவோம்:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

இந்த வெளிப்பாடுகளை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

இடது பக்கத்தில் இரண்டு சொற்கள் ரத்து செய்யப்படுவதைக் காணலாம். சில உதாரணங்களில் இது நடக்கவில்லை என்றால், நீங்கள் ஏதோ தவறு செய்தீர்கள். தொடர்வோம்:

v"*e x2/2 = x 2 .

இப்போது நாம் வழக்கமான சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம், அதில் மாறிகளை பிரிக்க வேண்டும்:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

ஒருங்கிணைப்பைப் பிரித்தெடுக்க, நாம் இங்கே பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இருப்பினும், இது எங்கள் கட்டுரையின் தலைப்பு அல்ல. நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், அத்தகைய செயல்களை நீங்களே எவ்வாறு செய்வது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ளலாம். இது கடினம் அல்ல, போதுமான திறமை மற்றும் கவனிப்புடன் இது அதிக நேரம் எடுக்காது.

ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் இரண்டாவது முறைக்கு வருவோம்: பெர்னோலியின் முறை. எந்த அணுகுமுறை விரைவானது மற்றும் எளிதானது என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

எனவே, இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, ​​நாம் ஒரு மாற்றீடு செய்ய வேண்டும்: y=k*n. இங்கே k மற்றும் n சில x-சார்ந்த செயல்பாடுகள். பின்னர் வழித்தோன்றல் இப்படி இருக்கும்: y"=k"*n+k*n". இரண்டு மாற்றீடுகளையும் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

குழுவாக்கம்:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

இப்போது அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்ய வேண்டும். இப்போது, ​​​​இரண்டு சமன்பாடுகளையும் இணைத்தால், தீர்க்கப்பட வேண்டிய முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

முதல் சமத்துவத்தை ஒரு சாதாரண சமன்பாடாக தீர்க்கிறோம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் மாறிகளை பிரிக்க வேண்டும்:

நாம் ஒருங்கிணைப்பை எடுத்து பெறுகிறோம்: ln(n)=x 2/2. பின்னர், நாம் n ஐ வெளிப்படுத்தினால்:

இப்போது நாம் விளைந்த சமத்துவத்தை கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

k"*e x2/2 =x 2 .

மற்றும் மாற்றுவதன் மூலம், முதல் முறையைப் போலவே சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்:

dk=x 2 /e x2/2.

நாங்களும் பிரிக்க மாட்டோம் மேலும் நடவடிக்கைகள். முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளை முதலில் தீர்ப்பது குறிப்பிடத்தக்க சிரமங்களை ஏற்படுத்துகிறது என்று சொல்வது மதிப்பு. இருப்பினும், தலைப்பில் ஆழமாக மூழ்கி, அது சிறப்பாகவும் சிறப்பாகவும் செயல்படத் தொடங்குகிறது.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் எங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன?

இயற்பியலில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மிகவும் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில் கிட்டத்தட்ட அனைத்து அடிப்படை விதிகளும் வேறுபட்ட வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன, மேலும் நாம் காணும் சூத்திரங்கள் இந்த சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளாகும். வேதியியலில் அவை ஒரே காரணத்திற்காகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: அடிப்படைச் சட்டங்கள் அவற்றின் உதவியுடன் பெறப்படுகின்றன. உயிரியலில், வேட்டையாடும் மற்றும் இரை போன்ற அமைப்புகளின் நடத்தையை மாதிரியாக மாற்றுவதற்கு வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. நுண்ணுயிரிகளின் காலனியின் இனப்பெருக்க மாதிரிகளை உருவாக்கவும் அவை பயன்படுத்தப்படலாம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் வாழ்க்கையில் உங்களுக்கு எவ்வாறு உதவ முடியும்?

இந்த கேள்விக்கான பதில் எளிது: இல்லை. நீங்கள் ஒரு விஞ்ஞானி அல்லது பொறியியலாளர் இல்லை என்றால், அவர்கள் உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்க வாய்ப்பில்லை. இருப்பினும், பொதுவான வளர்ச்சிக்கு, வேறுபட்ட சமன்பாடு என்றால் என்ன, அது எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகிறது என்பதை அறிவது வலிக்காது. பின்னர் மகன் அல்லது மகளின் கேள்வி "வேறுபட்ட சமன்பாடு என்றால் என்ன?" உங்களை குழப்பாது. சரி, நீங்கள் ஒரு விஞ்ஞானி அல்லது பொறியியலாளர் என்றால், எந்தவொரு அறிவியலிலும் இந்த தலைப்பின் முக்கியத்துவத்தை நீங்களே புரிந்துகொள்கிறீர்கள். ஆனால் மிக முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், இப்போது கேள்வி "முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?" நீங்கள் எப்போதும் பதில் கொடுக்க முடியும். ஒப்புக்கொள், மக்கள் புரிந்து கொள்ள பயப்படும் ஒன்றை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளும்போது அது எப்போதும் நன்றாக இருக்கும்.

படிப்பதில் உள்ள முக்கிய பிரச்சனைகள்

இந்த தலைப்பைப் புரிந்துகொள்வதில் உள்ள முக்கிய பிரச்சனை, செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்து வேறுபடுத்துவதில் மோசமான திறன் ஆகும். வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுத்துக்கொள்வதில் நீங்கள் மோசமாக இருந்தால், அது படிப்பது மற்றும் தேர்ச்சி பெறுவது மதிப்புக்குரியது வெவ்வேறு முறைகள்ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வேறுபாடு, பின்னர் மட்டுமே கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்ட பொருளைப் படிக்கத் தொடங்குங்கள்.

dx-ஐ எடுத்துச் செல்ல முடியும் என்பதை அறியும்போது சிலர் ஆச்சரியப்படுகிறார்கள், ஏனென்றால் முன்பு (பள்ளியில்) dy/dx என்ற பின்னம் பிரிக்க முடியாதது என்று கூறப்பட்டது. இங்கே நீங்கள் வழித்தோன்றல் பற்றிய இலக்கியங்களைப் படித்து, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது கையாளக்கூடிய எண்ணற்ற அளவுகளின் விகிதம் என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் ஒரு செயல்பாடு அல்லது ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல் என்பதை பலர் உடனடியாக உணரவில்லை, மேலும் இந்த தவறான கருத்து அவர்களுக்கு நிறைய சிக்கல்களைத் தருகிறது.

சிறந்த புரிதலுக்கு வேறு என்ன படிக்கலாம்?

உலகில் மேலும் மூழ்குவதைத் தொடங்குவது சிறந்தது வேறுபட்ட கணக்கீடுசிறப்பு பாடப்புத்தகங்களிலிருந்து, எடுத்துக்காட்டாக, அன்று கணித பகுப்பாய்வுகணிதம் அல்லாத சிறப்பு மாணவர்களுக்கு. பின்னர் நீங்கள் இன்னும் சிறப்பு இலக்கியத்திற்கு செல்லலாம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு மேலதிகமாக, ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளும் உள்ளன, எனவே நீங்கள் எப்போதும் பாடுபடுவதற்கும் படிப்பதற்கும் ஏதாவது இருக்கும் என்று சொல்வது மதிப்பு.

முடிவுரை

இந்தக் கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் என்ன, அவற்றை எவ்வாறு சரியாகத் தீர்ப்பது என்பது பற்றிய யோசனை உங்களுக்கு இருக்கும் என்று நம்புகிறோம்.

எப்படியிருந்தாலும், கணிதம் நமக்கு வாழ்க்கையில் ஏதாவது ஒரு வகையில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இது தர்க்கத்தையும் கவனத்தையும் உருவாக்குகிறது, இது இல்லாமல் ஒவ்வொரு நபரும் கைகள் இல்லாமல் இருக்கிறார்கள்.

நிறுத்து! இந்த சிக்கலான சூத்திரத்தைப் புரிந்துகொள்ள முயற்சிப்போம்.

சில குணகம் கொண்ட சக்தியின் முதல் மாறி முதலில் வர வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில் அது

எங்கள் விஷயத்தில் அது. நாம் கண்டுபிடித்தபடி, முதல் மாறியில் உள்ள பட்டம் ஒன்றிணைகிறது என்று அர்த்தம். மற்றும் முதல் பட்டத்திற்கு இரண்டாவது மாறி இடத்தில் உள்ளது. குணகம்.

எங்களிடம் உள்ளது.

முதல் மாறி ஒரு சக்தி, மற்றும் இரண்டாவது மாறி ஒரு குணகத்துடன் சதுரமாக உள்ளது. இது சமன்பாட்டின் கடைசி சொல்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எங்கள் சமன்பாடு ஒரு சூத்திரத்தின் வடிவத்தில் வரையறைக்கு பொருந்துகிறது.

வரையறையின் இரண்டாவது (வாய்மொழி) பகுதியைப் பார்ப்போம்.

எங்களுக்கு இரண்டு தெரியாத மற்றும். அது இங்கே சங்கமிக்கிறது.

அனைத்து விதிமுறைகளையும் கருத்தில் கொள்வோம். அவற்றில், தெரியாதவர்களின் பட்டங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்.

டிகிரிகளின் கூட்டுத்தொகை சமம்.

சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை சமம் (at and at).

டிகிரிகளின் கூட்டுத்தொகை சமம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் பொருந்துகிறது !!!

இப்போது ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளை வரையறுப்போம்.

எந்த சமன்பாடுகள் ஒரே மாதிரியானவை என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்- எண்ணிடப்பட்ட சமன்பாடுகள்:

சமன்பாட்டை தனித்தனியாகக் கருதுவோம்.

ஒவ்வொரு சொல்லையும் காரணியாக்கி ஒவ்வொரு சொல்லையும் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்

இந்த சமன்பாடு முற்றிலும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் வரையறையின் கீழ் வருகிறது.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எடுத்துக்காட்டு 2.

சமன்பாட்டைப் பிரிப்போம்.

எங்கள் நிபந்தனையின்படி, y சமமாக இருக்க முடியாது. எனவே, நாம் பாதுகாப்பாக பிரிக்கலாம்

மாற்றியமைப்பதன் மூலம், நாம் எளிமையானதைப் பெறுகிறோம் இருபடி சமன்பாடு:

இது குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு என்பதால், நாங்கள் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

தலைகீழ் மாற்றீடு செய்த பிறகு, பதில் கிடைக்கும்

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 3.

சமன்பாட்டை (நிபந்தனை மூலம்) பிரிப்போம்.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 4.

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்.

இங்கே நீங்கள் பிரிக்க வேண்டாம், ஆனால் பெருக்க வேண்டும். முழு சமன்பாட்டையும் பெருக்குவோம்:

மாற்றீடு செய்து இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

தலைகீழ் மாற்றீடு செய்த பிறகு, நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

பதில்:

ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மேலே விவரிக்கப்பட்ட தீர்வு முறைகளிலிருந்து வேறுபட்டதல்ல. இங்கே மட்டுமே, மற்றவற்றுடன், நீங்கள் ஒரு சிறிய முக்கோணவியல் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். மற்றும் முடிவு செய்ய முடியும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்(இதற்காக நீங்கள் பகுதியைப் படிக்கலாம்).

உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி அத்தகைய சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

நாம் ஒரு பொதுவான ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம்: மற்றும் அறியப்படாதவை, மேலும் ஒவ்வொரு காலத்திலும் அவற்றின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும்.

இத்தகைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல, ஆனால் சமன்பாடுகளைப் பிரிப்பதற்கு முன், வழக்கைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்

இந்த வழக்கில், சமன்பாடு படிவத்தை எடுக்கும்: , எனவே. ஆனால் சைனும் கொசைனும் ஒரே நேரத்தில் சமமாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் அடிப்படையில் முக்கோணவியல் அடையாளம். எனவே, நாம் அதை பாதுகாப்பாக பிரிக்கலாம்:

சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டதால், வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 6.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல, நீங்கள் சமன்பாட்டை வகுக்க வேண்டும். எப்பொழுது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

ஆனால் சைனும் கொசைனும் ஒரே நேரத்தில் சமமாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் படி. அதனால் தான்.

மாற்றீடு செய்து இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்து கண்டுபிடிப்போம் மற்றும்:

பதில்:

ஒரே மாதிரியான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் மேலே விவாதிக்கப்பட்டதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகின்றன. எப்படி முடிவு செய்வது என்பதை மறந்துவிட்டால் அதிவேக சமன்பாடுகள்- தொடர்புடைய பகுதியைப் பாருங்கள் ()!

ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 7.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இதை இப்படி கற்பனை செய்வோம்:

இரண்டு மாறிகள் மற்றும் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகையுடன் பொதுவான ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம். சமன்பாட்டைப் பிரிப்போம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மாற்றீடு செய்வதன் மூலம், கீழே உள்ள இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் (பூஜ்ஜியத்தால் வகுப்பதைப் பற்றி கவலைப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை - இது எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட கண்டிப்பாக அதிகமாக இருக்கும்):

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி:

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 8.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இதை இப்படி கற்பனை செய்வோம்:

சமன்பாட்டைப் பிரிப்போம்:

மாற்றீடு செய்து இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

வேர் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை. தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்து கண்டுபிடிப்போம்:

பதில்:

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள். நடுத்தர நிலை

முதலில், ஒரு சிக்கலின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் என்றால் என்ன மற்றும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் தீர்வு என்ன.

சிக்கலை தீர்க்கவும்:

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்.

இங்கே நீங்கள் ஒரு வினோதமான விஷயத்தைக் கவனிக்கலாம்: ஒவ்வொரு சொல்லையும் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்:

அதாவது, இப்போது தனி மற்றும், - இப்போது சமன்பாட்டில் உள்ள மாறி விரும்பிய மதிப்பு. இது ஒரு சாதாரண இருபடி சமன்பாடு ஆகும், இது வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி எளிதில் தீர்க்கப்படும்: வேர்களின் தயாரிப்பு சமம், மற்றும் கூட்டுத்தொகை எண்கள் மற்றும்.

பதில்:

படிவத்தின் சமன்பாடுகள்

ஒரே மாதிரியானதாக அழைக்கப்படுகிறது. அதாவது, இது இரண்டு அறியப்படாதவைகளைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும், இதன் ஒவ்வொரு சொல்லும் இந்த அறியப்படாதவற்றின் அதே அளவு சக்திகளைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் இந்த அளவு சமம். ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் இந்த அளவிற்கு அறியப்படாத ஒன்றால் வகுப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:

மற்றும் மாறிகளின் அடுத்தடுத்த மாற்றீடு: . இவ்வாறு நாம் அறியப்படாத ஒரு சக்தி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பெரும்பாலும் நாம் இரண்டாம் பட்டத்தின் சமன்பாடுகளை சந்திப்போம் (அதாவது இருபடி), அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது எங்களுக்குத் தெரியும்:

இந்த மாறி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது என்று நாம் உறுதியாக நம்பினால் மட்டுமே முழு சமன்பாட்டையும் ஒரு மாறியால் வகுக்க (பெருக்க) முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க! எடுத்துக்காட்டாக, கண்டுபிடிக்கும்படி கேட்கப்பட்டால், பிரிப்பது சாத்தியமற்றது என்பதால் உடனடியாக புரிந்துகொள்கிறோம். இது மிகவும் தெளிவாக இல்லாத சந்தர்ப்பங்களில், இந்த மாறி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது வழக்கைத் தனித்தனியாக சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம். உதாரணமாக:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

நாம் இங்கே ஒரு பொதுவான ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம்: மற்றும் அறியப்படாதவை, மேலும் ஒவ்வொரு காலத்திலும் அவற்றின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும்.

ஆனால், ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பிரித்து பெறுவதற்கு முன், எப்போது என்பதை நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். இந்த வழக்கில், சமன்பாடு படிவத்தை எடுக்கும்: , அதாவது . ஆனால் சைனும் கொசைனும் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் படி: . எனவே, நாம் அதை பாதுகாப்பாக பிரிக்கலாம்:

இந்த தீர்வு முற்றிலும் தெளிவாக இருக்கும் என்று நம்புகிறேன்? இல்லையென்றால், பகுதியைப் படியுங்கள். அது எங்கிருந்து வந்தது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை என்றால், நீங்கள் இன்னும் முன்பே திரும்ப வேண்டும் - பிரிவுக்கு.

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

1. இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்.
2. இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்.
3. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வை இங்கே சுருக்கமாக எழுதுகிறேன்:

தீர்வுகள்:

பதில்: .

ஆனால் இங்கே நாம் பிரிப்பதை விட பெருக்க வேண்டும்:

பதில்:

நீங்கள் இன்னும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எடுக்கவில்லை என்றால், இந்த உதாரணத்தைத் தவிர்க்கலாம்.

இங்கே நாம் வகுக்க வேண்டும் என்பதால், நூறு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்பதை முதலில் உறுதி செய்வோம்:

மேலும் இது சாத்தியமற்றது.

பதில்: .

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

அனைத்து ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் தீர்வு சக்தி மற்றும் மாறிகளின் மேலும் மாற்றத்திற்கு தெரியாத ஒன்றின் மூலம் பிரிக்கப்படுகிறது.

அல்காரிதம்:

சரி, தலைப்பு முடிந்தது. இந்த வரிகளை நீங்கள் படிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் மிகவும் கூலாக இருக்கிறீர்கள் என்று அர்த்தம்.

ஏனெனில் 5% பேர் மட்டுமே தாங்களாகவே ஏதாவது ஒன்றை மாஸ்டர் செய்ய முடியும். நீங்கள் இறுதிவரை படித்தால், நீங்கள் இந்த 5% இல் இருக்கிறீர்கள்!

இப்போது மிக முக்கியமான விஷயம்.

இந்த தலைப்பில் உள்ள கோட்பாட்டை நீங்கள் புரிந்து கொண்டீர்கள். மேலும், நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், இது... இது சூப்பர்! உங்கள் சகாக்களில் பெரும்பாலானவர்களை விட நீங்கள் ஏற்கனவே சிறந்தவர்.

பிரச்சனை என்னவென்றால், இது போதாது ...

எதற்கு?

வெற்றிக்காக ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் தேர்ச்சி, பட்ஜெட்டில் கல்லூரியில் சேருவதற்கும், மிக முக்கியமாக, வாழ்நாள் முழுவதும்.

நான் உன்னை எதையும் நம்ப வைக்க மாட்டேன், ஒன்று மட்டும் சொல்கிறேன்...

பெற்ற மக்கள் நல்ல கல்வி, அதைப் பெறாதவர்களை விட அதிகம் சம்பாதிக்கவும். இது புள்ளிவிவரம்.

ஆனால் இது முக்கிய விஷயம் அல்ல.

முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அவர்கள் மிகவும் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறார்கள் (அத்தகைய ஆய்வுகள் உள்ளன). ஒருவேளை அவர்களுக்கு முன்னால் இன்னும் நிறைய திறந்திருப்பதால் மேலும் சாத்தியங்கள்மற்றும் வாழ்க்கை பிரகாசமாக மாறுமா? தெரியாது...

ஆனால் நீங்களே யோசியுங்கள்...

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் மற்றவர்களை விட சிறப்பாக இருக்கவும், இறுதியில் மகிழ்ச்சியாக இருக்கவும் என்ன செய்ய வேண்டும்?

இந்த தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் உங்கள் கையைப் பெறுங்கள்.

தேர்வின் போது உங்களிடம் தியரி கேட்கப்படாது.

உங்களுக்கு தேவைப்படும் நேரத்திற்கு எதிராக பிரச்சனைகளை தீர்க்க.

மேலும், நீங்கள் அவற்றைத் தீர்க்கவில்லை என்றால் (நிறைய!), நீங்கள் நிச்சயமாக எங்காவது ஒரு முட்டாள் தவற்றைச் செய்வீர்கள் அல்லது நேரமில்லாமல் இருப்பீர்கள்.

இது விளையாட்டைப் போன்றது - நிச்சயமாக வெற்றி பெற நீங்கள் அதை பல முறை மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

நீங்கள் எங்கு வேண்டுமானாலும் சேகரிப்பைக் கண்டறியவும், அவசியம் தீர்வுகளுடன், விரிவான பகுப்பாய்வு மற்றும் முடிவு, முடிவு, முடிவு!

நீங்கள் எங்கள் பணிகளைப் பயன்படுத்தலாம் (விரும்பினால்) மற்றும் நாங்கள் நிச்சயமாக அவற்றை பரிந்துரைக்கிறோம்.

எங்கள் பணிகளை சிறப்பாகப் பயன்படுத்த, நீங்கள் தற்போது படித்துக்கொண்டிருக்கும் YouClever பாடப்புத்தகத்தின் ஆயுளை நீட்டிக்க உதவ வேண்டும்.

எப்படி? இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:

1. இந்த கட்டுரையில் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளையும் திறக்கவும் - 299 ரப்.
2. பாடப்புத்தகத்தின் அனைத்து 99 கட்டுரைகளிலும் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகலைத் திறக்கவும் - 499 ரப்.

ஆம், எங்கள் பாடப்புத்தகத்தில் இதுபோன்ற 99 கட்டுரைகள் உள்ளன மற்றும் அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகல் மற்றும் அவற்றில் உள்ள அனைத்து மறைக்கப்பட்ட உரைகளும் உடனடியாக திறக்கப்படும்.

அனைத்து மறைக்கப்பட்ட பணிகளுக்கான அணுகல் தளத்தின் முழு வாழ்க்கைக்கும் வழங்கப்படுகிறது.

மற்றும் முடிவில் ...

எங்கள் பணிகள் உங்களுக்குப் பிடிக்கவில்லை என்றால், மற்றவர்களைக் கண்டறியவும். கோட்பாட்டில் மட்டும் நிற்காதீர்கள்.

"புரிகிறது" மற்றும் "என்னால் தீர்க்க முடியும்" என்பது முற்றிலும் வேறுபட்ட திறன்கள். உங்களுக்கு இரண்டும் தேவை.

சிக்கல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றைத் தீர்க்கவும்!

உதாரணமாக, செயல்பாடு
முதல் பரிமாணத்தின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடாகும்

மூன்றாம் பரிமாணத்தின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடாகும்

பூஜ்ஜிய பரிமாணத்தின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடாகும்

, அதாவது
.

வரையறை 2. முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு ஒய்" = f(x, ஒய்) செயல்பாடு என்றால் ஒரே மாதிரியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது f(x, ஒய்) என்பது பூஜ்ஜிய பரிமாணத்தின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடாகும் x மற்றும் ஒய், அல்லது, அவர்கள் சொல்வது போல், f(x, ஒய்) என்பது டிகிரி பூஜ்ஜியத்தின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடாகும்.

இது வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை வடிவத்திற்கு (3.3) மாற்றக்கூடிய வேறுபட்ட சமன்பாடு என வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது.

மாற்று
ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கிறது. உண்மையில், மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு y =xzநாம் பெறுகிறோம்
,
மாறிகளைப் பிரித்து ஒருங்கிணைத்து, நாம் காண்கிறோம்:

,

எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

Δ நாங்கள் கருதுகிறோம் y =zx,
இந்த வெளிப்பாடுகளை மாற்றவும் ஒய் மற்றும் dyஇந்த சமன்பாட்டில்:
அல்லது
நாங்கள் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:
மற்றும் ஒருங்கிணைக்க:
,

மாற்றுகிறது zஅன்று , நாம் பெறுகிறோம்
.

எடுத்துக்காட்டு 2. கண்டுபிடி பொதுவான தீர்வுசமன்பாடுகள்

Δ இந்த சமன்பாட்டில் பி (x,ஒய்) =x 2 -2ஒய் 2 ,கே(x,ஒய்) =2xyஇரண்டாவது பரிமாணத்தின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகள், எனவே, இந்த சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது. இது வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்
மற்றும் மேலே உள்ளதைப் போலவே தீர்க்கவும். ஆனால் நாங்கள் வேறு மாதிரியான பதிவைப் பயன்படுத்துகிறோம். போடுவோம் ஒய் = zx, எங்கே dy = zdx + xdz. இந்த வெளிப்பாடுகளை அசல் சமன்பாட்டிற்குப் பதிலாக, நாம் பெறுவோம்

dx+2 zxdz = 0 .

எண்ணுவதன் மூலம் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்

.

இந்த சமன்பாட்டை காலத்தின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைப்போம்

, எங்கே

அதாவது
. முந்தைய செயல்பாட்டிற்குத் திரும்புகிறது
ஒரு பொதுவான தீர்வு காண


எடுத்துக்காட்டு 3 . சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
.

Δ உருமாற்றங்களின் சங்கிலி: ,ஒய் = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

விரிவுரை 8.

4. முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள் முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது

இங்கே இலவச சொல், சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வடிவத்தில் நாம் கருத்தில் கொள்வோம் நேரியல் சமன்பாடுஎதிர்காலத்தில்.

என்றால்
0, பின்னர் சமன்பாடு (4.1a) நேரியல் ஒத்திசைவற்றதாக அழைக்கப்படுகிறது. என்றால்
0, பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்

மற்றும் நேரியல் ஒரேவிதமான என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அறியப்படாத செயல்பாடு என்பதன் மூலம் சமன்பாட்டின் பெயர் (4.1a) விளக்கப்படுகிறது ஒய் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் அதை நேர்கோட்டில் உள்ளிடவும், அதாவது. முதல் பட்டத்தில்.

ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டில், மாறிகள் பிரிக்கப்படுகின்றன. அதை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுதல்
எங்கே
மற்றும் ஒருங்கிணைத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
,அவை.

வகுத்தால் முடிவை இழக்கிறோம்
. இருப்பினும், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வுகளின் குடும்பத்தில் இது சேர்க்கப்படலாம் (4.3), என்று நாம் கருதினால் உடன் 0 மதிப்பையும் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க பல முறைகள் உள்ளன (4.1a). படி பெர்னோலியின் முறை, தீர்வு இரண்டு செயல்பாடுகளின் விளைபொருளாகத் தேடப்படுகிறது எக்ஸ்:

இந்த செயல்பாடுகளில் ஒன்றை தன்னிச்சையாக தேர்வு செய்யலாம், ஏனெனில் தயாரிப்பு மட்டுமே uv அசல் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும், மற்றொன்று சமன்பாட்டின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (4.1a).

சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் வேறுபடுத்தி (4.4), நாம் காண்கிறோம்
.

வழித்தோன்றலுக்கு விளைந்த வெளிப்பாட்டை மாற்றுதல் , அத்துடன் மதிப்பு மணிக்கு சமன்பாட்டில் (4.1a), நாம் பெறுகிறோம்
, அல்லது

அந்த. ஒரு செயல்பாடாக vஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாட்டின் (4.6) தீர்வை எடுத்துக் கொள்வோம்:

(இங்கே சிஎழுதுவது அவசியம், இல்லையெனில் நீங்கள் ஒரு பொது அல்ல, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைப் பெறுவீர்கள்).

இவ்வாறு, பயன்படுத்தப்பட்ட மாற்றீட்டின் விளைவாக (4.4), சமன்பாடு (4.1a) பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் (4.6) மற்றும் (4.7) கொண்ட இரண்டு சமன்பாடுகளாகக் குறைக்கப்படுவதைக் காண்கிறோம்.

மாற்றுதல்
மற்றும் v(x) சூத்திரத்தில் (4.4), நாம் இறுதியாகப் பெறுகிறோம்

,

உதாரணம் 1. சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்

 வைக்கலாம்
, பிறகு
. வெளிப்பாடுகளை மாற்றுதல் மற்றும் அசல் சமன்பாட்டில், நாம் பெறுகிறோம்
அல்லது
(*)

குணகத்தை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைப்போம் :

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டில் மாறிகளை பிரித்தல், நம்மிடம் உள்ளது


(தன்னிச்சையான மாறிலி சி நாங்கள் எழுதவில்லை), இங்கிருந்து v= x. vமதிப்பு கிடைத்தது

,
,
.

சமன்பாட்டில் மாற்றீடு (*):
எனவே,

அசல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு.

.

சமன்பாடு (*) சமமான வடிவத்தில் எழுதப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க: தோராயமாக ஒரு செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுப்பது u v, இல்லை
, நாம் நம்பலாம் vஅன்று தோராயமாக ஒரு செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுப்பது. இந்த தீர்வு மாற்றுவதன் மூலம் மட்டுமே கருதப்படும் ஒன்றிலிருந்து வேறுபடுகிறது தோராயமாக ஒரு செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுப்பதுஅன்று v(எனவே மணிக்கு), எனவே இறுதி மதிப்பு

அதே மாறிவிடும்.

மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையைப் பெறுகிறோம். மணிக்குசில சமயங்களில் முதல்-வரிசை சமன்பாடு நேர்கோட்டில் இருந்தால் xஒரு சுயாதீன மாறி கருதப்படுகிறது, மற்றும் x மற்றும் ஒய்- சார்ந்து, அதாவது. பாத்திரங்களை மாற்றவும் xமற்றும் dx. அதை வழங்கினால் இதைச் செய்யலாம்

சமன்பாட்டை நேர்கோட்டில் உள்ளிடவும். . எடுத்துக்காட்டு 2
.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் மணிக்கு.

தோற்றத்தில், இந்த சமன்பாடு செயல்பாட்டைப் பொறுத்து நேரியல் இல்லை xஇருப்பினும், நாம் கருத்தில் கொண்டால் மணிக்குஒரு செயல்பாடாக
, பின்னர், என்று கொடுக்கப்பட்டது

பி அன்று மாற்றுகிறது
அல்லது
, நாம் பெறுகிறோம் . கடைசி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் தயாரிப்பு மூலம் வகுத்தல் ydy

, வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்
. (**)

, அல்லது
இங்கே P(y)=, x. இது ஒரு நேரியல் சமன்பாடு ஆகும்
,
. நாங்கள் நம்புகிறோம்

அல்லது
.

. இந்த வெளிப்பாடுகளை (**) மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்
,
, எங்கே
;
அதனால் v ஐ தேர்வு செய்வோம்
,
,
.

. அடுத்து நம்மிடம் உள்ளது
ஏனெனில்

.

, பின்னர் இந்த சமன்பாட்டிற்கு வடிவத்தில் ஒரு பொதுவான தீர்வுக்கு வருவோம் பி(xசமன்பாட்டில் (4.1a) என்பதை நினைவில் கொள்க கே (x) மற்றும் x) இருந்து செயல்பாடுகள் வடிவில் மட்டும் சேர்க்க முடியாது பி= , ஆனால் மாறிலிகள்:,கே= அபி

. நேரியல் சமன்பாடு uv y= என்ற பதிலைப் பயன்படுத்தியும் தீர்க்க முடியும்

;
.

மற்றும் மாறிகள் பிரித்தல்:
;
;
இங்கிருந்து
; எங்கே

. மடக்கையிலிருந்து நம்மை விடுவித்து, சமன்பாட்டிற்கு ஒரு பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்
).

(இங்கே அ= மணிக்கு

(அதிவேக வளர்ச்சி சமன்பாட்டைப் பார்க்கவும் (2.4) at
).

முதலில், தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை (4.2) ஒருங்கிணைக்கிறோம். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, அதன் தீர்வு வடிவம் (4.3) உள்ளது. காரணியை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் உடன்(4.3) இன் செயல்பாடாக எக்ஸ், அதாவது அடிப்படையில் மாறியின் மாற்றத்தை உருவாக்குகிறது

எங்கிருந்து, ஒருங்கிணைத்து, கண்டுபிடிக்கிறோம்

(4.14) (மேலும் பார்க்க (4.9)) படி, ஒத்திசைவற்ற நேரியல் சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு, தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் (4.3) பொதுவான தீர்வு மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க. (4.14) (மற்றும் (4.9) இல்) இரண்டாவது வார்த்தை சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

குறிப்பிட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​மேலே உள்ள கணக்கீடுகளை நீங்கள் மீண்டும் செய்ய வேண்டும், மேலும் சிக்கலான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டாம் (4.14).

நாம் கருதப்படும் சமன்பாட்டிற்கு Lagrange முறையைப் பயன்படுத்துவோம் உதாரணம் 1 :

.

தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை நாங்கள் ஒருங்கிணைக்கிறோம்
.

மாறிகளை பிரித்து, நாம் பெறுகிறோம்
மேலும்
. சூத்திரம் மூலம் வெளிப்பாட்டைத் தீர்ப்பது ஒய் = Cx. வடிவத்தில் அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம் ஒய் = சி(x)x. கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் இந்த வெளிப்பாட்டை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்
;
;
,
. அசல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது

.

முடிவில், பெர்னௌலி சமன்பாடு நேரியல் சமன்பாட்டாகக் குறைக்கப்படுவதைக் கவனிக்கிறோம்.

வடிவத்தில் எழுதக்கூடியது

மாற்று
இது நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு குறைகிறது:

,
,
.

பெர்னோலியின் சமன்பாடுகள் மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3 . சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
.

 மாற்றங்களின் சங்கிலி:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


முதல் வரிசை ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்
, f என்பது ஒரு செயல்பாடு.

ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது

முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, நீங்கள் ஒரு நிலையான t ஐ அறிமுகப்படுத்த வேண்டும் மற்றும் y ஐ ty மற்றும் x ஐ tx உடன் மாற்ற வேண்டும்: y → ty, x → tx. டி ரத்து செய்தால், இதுஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு
.

. இந்த மாற்றத்துடன் y′ வழித்தோன்றல் மாறாது.

உதாரணம்

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்

தீர்வு


நாங்கள் y → ty, x → tx ஐ மாற்றுகிறோம். 2 .

.
டி ஆல் வகுக்கவும்

சமன்பாட்டில் t இல்லை.

எனவே, இது ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு.
ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான முறை
முதல் வரிசை ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு y = ux ஐப் பயன்படுத்தி பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது.
காட்டுவோம். சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(i)
மாற்றீடு செய்வோம்:
y = ux, ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான முறை.
,
,
u என்பது x இன் சார்பு. .
x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துங்கள்: y′ =.

அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும் (ii)மாறிகளைப் பிரிப்போம். dx ஆல் பெருக்கி x ஆல் வகுக்கவும் 0 ( f(u) - u )

எஃப் மணிக்கு

(u) - u ≠ 0 ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான முறைமற்றும் x ≠

நாம் பெறுகிறோம்: ஒருங்கிணைப்போம்:எனவே, சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைப் பெற்றுள்ளோம்

மாடுலஸ் அடையாளத்தை விட்டுவிடுவோம் சரியான அடையாளம்நிலையான C இன் அடையாளத்தின் தேர்வால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

பின்னர் பொது ஒருங்கிணைப்பு வடிவம் எடுக்கும்: அடுத்து நாம் வழக்கைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் f.
(u) - u = 0 u என்பது x இன் சார்பு.இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருந்தால், அவை சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாகும் u என்பது x இன் சார்பு.. Eq முதல். ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான முறை.

அசல் சமன்பாட்டுடன் ஒத்துப்போவதில்லை, பின்னர் கூடுதல் தீர்வுகள் அசல் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகின்றன என்பதை உறுதிப்படுத்த வேண்டும் மாற்றங்களின் செயல்பாட்டின் போது, ​​​​எந்த சமன்பாட்டையும் சில செயல்பாடுகளால் வகுக்கிறோம், அதை நாம் g எனக் குறிப்பிடுகிறோம்.(x, y) , மேலும் மாற்றங்கள் g க்கு செல்லுபடியாகும்(x, y) ≠ 0 ..

எனவே, வழக்கு g தனித்தனியாக கருதப்பட வேண்டும்

(x, y) = 0

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்

ஒரே மாதிரியான முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு
,
,
.
சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இந்தச் சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானதா என்று பார்க்கலாம். நாங்கள் y → ty, x → tx ஐ மாற்றுகிறோம்.

இந்த வழக்கில், y′ → y′.
மாற்றீடு செய்வோம்: t ஆல் சுருக்குகிறோம்.
நிலையான டி குறைந்துள்ளது. எனவே சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது.
,
,
,
.
y = ux ஐ மாற்றியமைக்கிறோம், இங்கு u என்பது x இன் செயல்பாடாகும். 0 (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u 0 அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும். 0 எப்போது x ≥ 0 .
,
, |x| = x.

எப்போது x ≤ 2 - 1 ≠ 0 , |x| = - x.

எஃப் மணிக்கு

நாம் |x| என்று எழுதுகிறோம் = x என்பது மேல் அடையாளம் x ≥ மதிப்புகளைக் குறிக்கிறது
.

, மற்றும் குறைந்த ஒன்று - x ≤ மதிப்புகளுக்கு
dx ஆல் பெருக்கி, ஆல் வகுக்கவும்..
எப்போது யு
.
எங்களிடம் உள்ளது:
.
அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள்,
.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:
,
.
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2

a = u, என்று போடுவோம்.
,
.
இரண்டு பக்கங்களையும் மாடுலோ மற்றும் மடக்கையை எடுத்துக் கொள்வோம்,
,
,
.

இங்கிருந்து 2 - 1 = 0 .
இவ்வாறு எங்களிடம் உள்ளது:
.
நிலையான C இன் அடையாளத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் விரும்பிய அடையாளம் உறுதி செய்யப்படுவதால், மாடுலஸின் அடையாளத்தைத் தவிர்க்கிறோம்.

x ஆல் பெருக்கி ux = y ஐ மாற்றவும்.

,
,
.

அதை சதுரமாக்குங்கள்.
இப்போது வழக்கைக் கவனியுங்கள், யு

இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள்

y = x செயல்பாடுகள் அசல் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகின்றன என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது. பதில்பயன்படுத்திய இலக்கியம்: என்.எம். குந்தர், ஆர்.ஓ. குஸ்மின், உயர் கணிதத்தில் சிக்கல்களின் தொகுப்பு, "லான்", 2003.ஒரே மாதிரியான அன்றுஇந்த பாடம் என்று அழைக்கப்படுவதை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்முதல் வரிசை ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள் . கூடவேபிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள் மற்றும்நேரியல் சீரற்ற சமன்பாடுகள்

ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கும் பிற வகை வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கும் என்ன வித்தியாசம்? இதை உடனடியாக விளக்க எளிதான வழி ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

தீர்வு:
என்ன முதலில்தீர்மானிக்கும் போது பகுப்பாய்வு செய்யப்பட வேண்டும் ஏதேனும்வேறுபட்ட சமன்பாடு முதல் ஆர்டர்? முதலில், "பள்ளி" செயல்களைப் பயன்படுத்தி மாறிகளை உடனடியாகப் பிரிக்க முடியுமா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்? பொதுவாக இந்த பகுப்பாய்வு மனரீதியாக அல்லது வரைவில் உள்ள மாறிகளை பிரிக்க முயற்சிப்பதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது.

IN இந்த எடுத்துக்காட்டில் மாறிகளை பிரிக்க முடியாது(நீங்கள் சொற்களை பகுதியிலிருந்து பகுதிக்கு வீச முயற்சி செய்யலாம், அடைப்புக்குறிக்குள் காரணிகளை உயர்த்தலாம்). மூலம், இந்த எடுத்துக்காட்டில், மாறிகள் வகுக்க முடியாது என்பது பெருக்கி இருப்பதால் மிகவும் வெளிப்படையானது.

கேள்வி எழுகிறது: இந்த பரவலான சிக்கலை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

சரிபார்க்க வேண்டும் மற்றும் இந்த சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானதல்லவா?? சரிபார்ப்பு எளிதானது, மேலும் சரிபார்ப்பு வழிமுறையை பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்:

அசல் சமன்பாட்டிற்கு:

பதிலாகநாங்கள் மாற்றுகிறோம், பதிலாகநாங்கள் மாற்றுகிறோம், வழித்தோன்றலை நாங்கள் தொடுவதில்லை:

லாம்ப்டா என்ற எழுத்து ஒரு நிபந்தனை அளவுரு, இங்கே அது பின்வரும் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது: மாற்றங்களின் விளைவாக, அனைத்து லாம்ப்டாக்களையும் "அழித்து" அசல் சமன்பாட்டைப் பெற முடியும் என்றால், இந்த வேறுபட்ட சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது.

லாம்ப்டாக்கள் உடனடியாக அடுக்கு மூலம் குறைக்கப்படுகின்றன என்பது வெளிப்படையானது:

இப்போது வலது பக்கத்தில் லாம்ப்டாவை அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கிறோம்:

இரண்டு பகுதிகளையும் இதே லாம்ப்டாவால் பிரிக்கவும்:

இதன் விளைவாக அனைத்துலாம்ப்டாக்கள் ஒரு கனவு போல, காலை மூடுபனி போல மறைந்துவிட்டன, எங்களுக்கு அசல் சமன்பாடு கிடைத்தது.

முடிவு:இந்த சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது

ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எனக்கு ஒரு நல்ல செய்தி உள்ளது. முற்றிலும் அனைத்து ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளும் ஒற்றை (!) நிலையான மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும்.

"விளையாட்டு" செயல்பாடு இருக்க வேண்டும் பதிலாக வேலைசில செயல்பாடு ("x" ஐயும் சார்ந்தது)மற்றும் "x":

அவர்கள் எப்போதும் சுருக்கமாக எழுதுகிறார்கள்:

அத்தகைய மாற்றீட்டின் மூலம் வழித்தோன்றல் என்னவாக மாறும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம், தயாரிப்பின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம். என்றால், பின்:

அசல் சமன்பாட்டில் நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:

அத்தகைய மாற்றீடு என்ன கொடுக்கும்? இந்த மாற்றீடு மற்றும் எளிமைப்படுத்தலுக்குப் பிறகு, நாங்கள் உத்தரவாதம்பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். நினைவில் கொள்ளுங்கள்முதல் காதல் போல :) மற்றும், அதன்படி, .

மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு, நாங்கள் அதிகபட்ச எளிமைப்படுத்தல்களைச் செய்கிறோம்:

"x" ஐப் பொறுத்து ஒரு செயல்பாடு என்பதால், அதன் வழித்தோன்றலை ஒரு நிலையான பின்னமாக எழுதலாம்: .
இவ்வாறு:

மாறிகளை நாங்கள் பிரிக்கிறோம், இடது பக்கத்தில் நீங்கள் "te" ஐ மட்டுமே சேகரிக்க வேண்டும், வலது பக்கத்தில் - "x" மட்டுமே:

மாறிகள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, ஒருங்கிணைப்போம்:


கட்டுரையிலிருந்து எனது முதல் தொழில்நுட்ப உதவிக்குறிப்பின் படி மற்றும்பல சந்தர்ப்பங்களில் மடக்கை வடிவில் மாறிலியை "வடிவமைப்பது" அறிவுறுத்தப்படுகிறது.

சமன்பாடு ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட பிறகு, நாம் செயல்படுத்த வேண்டும் தலைகீழ் மாற்று, இது நிலையானது மற்றும் தனித்துவமானது:
என்றால், பின்னர்
இந்த வழக்கில்:

20 இல் 18-19 வழக்குகளில், ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பாக எழுதப்படுகிறது..

பதில்:பொது ஒருங்கிணைப்பு:

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான பதில் எப்பொழுதும் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவத்தில் ஏன் கொடுக்கப்படுகிறது?
பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், "விளையாட்டை" வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்த முடியாது (பொதுவான தீர்வைப் பெற), அது முடிந்தால், பெரும்பாலும் பொதுவான தீர்வு சிக்கலானதாகவும் விகாரமானதாகவும் மாறும்.

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், பொது ஒருங்கிணைப்பின் இருபுறமும் மடக்கைகளை எடைபோடுவதன் மூலம் ஒரு பொதுவான தீர்வைப் பெறலாம்:

- சரி, அது சரி. இருப்பினும், நீங்கள் ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும், அது இன்னும் கொஞ்சம் வளைந்துவிட்டது.

மூலம், இந்த எடுத்துக்காட்டில் நான் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பை "கண்ணியமாக" எழுதவில்லை. அது தவறல்ல, ஆனால் ஒரு "நல்ல" பாணியில், பொது ஒருங்கிணைப்பு பொதுவாக வடிவத்தில் எழுதப்பட்டிருப்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்த உடனேயே, மாறிலி எந்த மடக்கையும் இல்லாமல் எழுதப்பட வேண்டும் (இங்கே விதிக்கு விதிவிலக்கு!):

தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு, "கிளாசிக்கல்" வடிவத்தில் பொது ஒருங்கிணைப்பைப் பெறவும்:

பெறப்பட்ட பதிலைச் சரிபார்க்கலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பை வேறுபடுத்த வேண்டும், அதாவது கண்டுபிடிக்கவும் மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்:

சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் பெருக்குவதன் மூலம் பின்னங்களை அகற்றுவோம்:

அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு பெறப்பட்டது, அதாவது தீர்வு சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது.

எப்போதும் சரிபார்க்க அறிவுறுத்தப்படுகிறது. ஆனால் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் விரும்பத்தகாதவை, பொதுவாக அவற்றின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்புகளைச் சரிபார்ப்பது கடினம் - இதற்கு மிக மிக ஒழுக்கமான வேறுபாடு நுட்பம் தேவைப்படுகிறது. கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், சரிபார்ப்பின் போது எளிமையான வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்பது ஏற்கனவே அவசியமாக இருந்தது (எடுத்துக்காட்டு மிகவும் எளிமையானது என்றாலும்). உங்களால் சரிபார்க்க முடிந்தால், சரிபார்க்கவும்!

சமன்பாட்டை நேர்கோட்டில் உள்ளிடவும்.

ஒருமைப்பாட்டிற்கான சமன்பாட்டைச் சரிபார்த்து அதன் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

பதிலை படிவத்தில் எழுதவும்

என்பதற்கு இது ஒரு உதாரணம் சுதந்திரமான முடிவு- செயல்களின் வழிமுறையுடன் நீங்கள் வசதியாக இருப்பீர்கள். உங்கள் ஓய்வு நேரத்தில் நீங்கள் சோதனையை மேற்கொள்ளலாம், ஏனென்றால்... இங்கே இது மிகவும் சிக்கலானது, அதை முன்வைக்க நான் கவலைப்படவில்லை, இல்லையெனில் நீங்கள் மீண்டும் அத்தகைய வெறி பிடித்தவருக்கு வர மாட்டீர்கள் :)

இப்போது வாக்குறுதியளிக்கப்பட்ட ஒன்று முக்கியமான புள்ளி, தலைப்பின் ஆரம்பத்திலேயே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது,
நான் தடிமனான கருப்பு எழுத்துக்களில் முன்னிலைப்படுத்துவேன்:

மாற்றங்களின் போது நாம் பெருக்கியை "மீட்டமைத்தால்" (நிலையாக இல்லை)வகுப்பிற்குள், பின்னர் தீர்வுகளை இழக்கும் அபாயம் உள்ளது!

உண்மையில், இதை நாம் முதல் எடுத்துக்காட்டில் சந்தித்தோம் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பற்றிய அறிமுகப் பாடம். சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில், "y" வகுப்பில் மாறியது: , ஆனால், வெளிப்படையாக, DE க்கு ஒரு தீர்வு மற்றும் ஒரு சமமற்ற மாற்றத்தின் (பிரிவு) விளைவாக அதை இழக்க ஒவ்வொரு வாய்ப்பும் உள்ளது! மற்றொரு விஷயம் என்னவென்றால், இது மாறிலியின் பூஜ்ஜிய மதிப்பில் பொது தீர்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. வகுப்பில் "X" ஐ மீட்டமைப்பதும் புறக்கணிக்கப்படலாம், ஏனெனில் அசல் டிஃப்பியூசரை திருப்திப்படுத்தவில்லை.

அதே பாடத்தின் மூன்றாவது சமன்பாட்டுடன் இதே போன்ற கதை, அதன் தீர்வின் போது நாங்கள் வகுப்பில் "கைவிட்டோம்". கண்டிப்பாகச் சொன்னால், இந்த டிஃப்பியூசர்தான் தீர்வாக இருக்கிறதா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியமா? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அது! ஆனால் இங்கே கூட "எல்லாம் நன்றாக மாறியது", ஏனெனில் இந்த செயல்பாடு பொது ஒருங்கிணைப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது மணிக்கு.

இது பெரும்பாலும் "பிரிக்கக்கூடிய" சமன்பாடுகளுடன் வேலை செய்தால், ஒரே மாதிரியான மற்றும் வேறு சில டிஃப்பியூசர்களுடன் அது வேலை செய்யாமல் போகலாம். அதிக வாய்ப்புள்ளது.

இந்த பாடத்தில் ஏற்கனவே தீர்க்கப்பட்ட சிக்கல்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம்: இல் எடுத்துக்காட்டு 1 X இன் "ரீசெட்" இருந்தது, ஆனால் அது சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாக இருக்க முடியாது. ஆனால் உள்ளே எடுத்துக்காட்டு 2நாங்கள் பிரித்தோம் , ஆனால் அவரும் "அதிலிருந்து விலகிவிட்டார்": ஏனெனில் , தீர்வுகளை இழந்திருக்க முடியாது, அவை இங்கே இல்லை. ஆனால், நிச்சயமாக, நான் வேண்டுமென்றே "மகிழ்ச்சியான சந்தர்ப்பங்களை" உருவாக்கினேன், நடைமுறையில் இவையே வரும் என்பது உண்மையல்ல:

எடுத்துக்காட்டு 3

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இது ஒரு எளிய உதாரணம் அல்லவா? ;-)

தீர்வு:இந்த சமன்பாட்டின் ஒருமைப்பாடு வெளிப்படையானது, ஆனால் இன்னும் - முதல் படியில்மாறிகளை பிரிக்க முடியுமா என்பதை நாங்கள் எப்போதும் சரிபார்க்கிறோம். சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது, ஆனால் அதில் உள்ள மாறிகள் எளிதில் பிரிக்கப்படுகின்றன. ஆம், சில உள்ளன!

"பிரித்தல்" என்பதைச் சரிபார்த்த பிறகு, நாங்கள் ஒரு மாற்றீட்டைச் செய்து, முடிந்தவரை சமன்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம்:

நாம் மாறிகளைப் பிரிக்கிறோம், இடதுபுறத்தில் "te" மற்றும் வலதுபுறத்தில் "x" ஆகியவற்றை சேகரிக்கிறோம்:

இங்கே நிறுத்து. பிரிக்கும்போது, ​​ஒரே நேரத்தில் இரண்டு செயல்பாடுகளை இழக்க நேரிடும். ஏனெனில், இவை செயல்பாடுகள்:

முதல் செயல்பாடு சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாகும் . இரண்டாவதாக நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம் - அதன் வழித்தோன்றலை எங்கள் டிஃப்பியூசரில் மாற்றுகிறோம்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது செயல்பாடு ஒரு தீர்வு.

மற்றும் இந்த முடிவுகளை நாம் இழக்க நேரிடும்.

கூடுதலாக, வகுத்தல் "X" ஆக மாறியது, இருப்பினும், மாற்றீடு அது பூஜ்ஜியம் அல்ல என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த உண்மையை நினைவில் கொள்ளுங்கள். ஆனால்! சரிபார்க்கவும், அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு. இல்லை, அது இல்லை.

இதையெல்லாம் கவனத்தில் கொண்டு தொடரலாம்:

நான் சொல்ல வேண்டும், இடது பக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்புடன் நான் அதிர்ஷ்டசாலியாக இருந்தேன்;

நாங்கள் வலது பக்கத்தில் ஒற்றை மடக்கை சேகரித்து, திண்ணைகளை தூக்கி எறிகிறோம்:

இப்போது தலைகீழ் மாற்றீடு:

அனைத்து விதிமுறைகளையும் இதன் மூலம் பெருக்கலாம்:

இப்போது நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும் - "ஆபத்தான" தீர்வுகள் பொது ஒருங்கிணைப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா. ஆம், இரண்டு தீர்வுகளும் மாறிலியின் பூஜ்ஜிய மதிப்பில் பொது ஒருங்கிணைப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன: , எனவே அவை கூடுதலாக குறிப்பிடப்பட வேண்டியதில்லை பதில்:

பொது ஒருங்கிணைப்பு:

பரீட்சை. ஒரு சோதனை கூட இல்லை, ஆனால் தூய மகிழ்ச்சி :)

அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு பெறப்பட்டது, அதாவது தீர்வு சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது.

அதை நீங்களே தீர்க்க:

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரே மாதிரியான சோதனையைச் செய்து வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

வேறுபாட்டின் மூலம் பொது ஒருங்கிணைப்பை சரிபார்க்கவும்.

முழுமையான தீர்வுமற்றும் பாடத்தின் முடிவில் பதில்.

ஆயத்த வேறுபாடுகளுடன் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இது மிகவும் சுவாரஸ்யமான உதாரணம், ஒரு முழு த்ரில்லர்!

தீர்வுஅதை இன்னும் கச்சிதமாக வடிவமைக்கப் பழகுவோம். முதலில், மனரீதியாக அல்லது வரைவில், மாறிகளை இங்கே பிரிக்க முடியாது என்பதை உறுதிசெய்கிறோம், அதன் பிறகு ஒருமைப்பாட்டிற்கான சோதனையை மேற்கொள்வோம் - இது பொதுவாக இறுதி வரைவில் மேற்கொள்ளப்படுவதில்லை. (குறிப்பாக தேவைப்படாவிட்டால்). எனவே, தீர்வு எப்போதும் உள்ளீட்டில் தொடங்குகிறது: " இந்த சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது, மாற்றியமைப்போம்: ...».

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு ஆயத்த வேறுபாடுகளைக் கொண்டிருந்தால், அதை மாற்றியமைக்கப்பட்ட மாற்றீடு மூலம் தீர்க்க முடியும்:

ஆனால் அத்தகைய மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்த நான் பரிந்துரைக்கவில்லை, ஏனெனில் அது ஒரு பெரிய விளைவை ஏற்படுத்தும் சீன சுவர்வேறுபாடுகள், அங்கு உங்களுக்கு ஒரு கண் மற்றும் ஒரு கண் தேவை. ஒரு தொழில்நுட்பக் கண்ணோட்டத்தில், வழித்தோன்றலின் "கோடு" பதவிக்கு மாறுவது மிகவும் சாதகமானது, இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் வகுக்கிறோம்:

இங்கே நாம் ஏற்கனவே ஒரு "ஆபத்தான" மாற்றத்தை செய்துள்ளோம்!பூஜ்ஜிய வேறுபாடு அச்சுக்கு இணையான நேர் கோடுகளின் குடும்பத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. அவர்கள் எங்கள் DU வின் வேர்களா? அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

இந்த சமத்துவம் செல்லுபடியாகும், அதாவது, வகுக்கும் போது தீர்வை இழக்க நேரிடும், நாங்கள் அவரை இழந்தோம்- அது முதல் இனி திருப்தியடையாதுவிளைவாக சமன்பாடு .

நாம் என்றால் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் ஆரம்பத்தில்சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது , அப்போது ரூட் பற்றி பேச்சு இருக்காது. ஆனால் எங்களிடம் உள்ளது, சரியான நேரத்தில் அதைப் பிடித்தோம்.

நிலையான மாற்றுடன் தீர்வைத் தொடர்கிறோம்:
:

மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு, முடிந்தவரை சமன்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம்:

நாங்கள் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:

இங்கே மீண்டும் நிறுத்துங்கள்: வகுக்கும் போது இரண்டு செயல்பாடுகளை இழக்க நேரிடும். ஏனெனில், இவை செயல்பாடுகள்:

வெளிப்படையாக, முதல் செயல்பாடு சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாகும் . இரண்டாவதாக சரிபார்த்து அதன் வழித்தோன்றலை மாற்றுவோம்:

- பெறப்பட்டது உண்மையான சமத்துவம், அதாவது செயல்பாடு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு தீர்வாகும்.

மற்றும் பிரிக்கும் போது இந்த தீர்வுகளை இழக்க நேரிடும். இருப்பினும், அவை பொது ஒருங்கிணைப்பில் நுழையலாம். ஆனால் அவர்கள் நுழைய முடியாது

இதை கவனத்தில் எடுத்து இரண்டு பகுதிகளையும் ஒருங்கிணைப்போம்:

இடது புறத்தின் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு நிலையான வழியில் தீர்க்கப்படுகிறது ஒரு முழுமையான சதுரத்தை முன்னிலைப்படுத்துகிறது, ஆனால் டிஃப்பியூசர்களில் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது நிச்சயமற்ற குணகங்களின் முறை:

முறையைப் பயன்படுத்துதல் நிச்சயமற்ற குணகங்கள், ஒருங்கிணைப்பை அடிப்படை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக விரிவுபடுத்துகிறோம்:


இவ்வாறு:

ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிதல்:

- நாம் மடக்கைகளை மட்டுமே வரைந்திருப்பதால், மாறிலியையும் மடக்கையின் கீழ் தள்ளுகிறோம்.

மாற்றுவதற்கு முன் மீண்டும் எளிமைப்படுத்தக்கூடிய அனைத்தையும் எளிதாக்குகிறது:

சங்கிலிகளை மீட்டமைத்தல்:

மற்றும் தலைகீழ் மாற்றீடு:

இப்போது "இழந்த விஷயங்களை" பற்றி நினைவில் கொள்வோம்: தீர்வு பொது ஒருங்கிணைப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் அது "பணப் பதிவேட்டைக் கடந்தது", ஏனெனில் வகுத்தலாக மாறியது. எனவே, பதிலில் அதற்கு ஒரு தனி சொற்றொடர் வழங்கப்படுகிறது, ஆம் - இழந்த தீர்வைப் பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள், இது கீழேயும் மாறியது.

பதில்:பொது ஒருங்கிணைப்பு: . மேலும் தீர்வுகள்:

பொதுவான தீர்வை இங்கே வெளிப்படுத்துவது கடினம் அல்ல:
, ஆனால் இது ஏற்கனவே ஒரு காட்சி.

இருப்பினும், சரிபார்க்க வசதியானது. வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மற்றும் மாற்று சமன்பாட்டின் இடது பக்கம்:

- இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் பெறப்பட்டது, இது சரிபார்க்கப்பட வேண்டும்.

பின்வரும் டிஃப்பியூசர் சொந்தமாக உள்ளது:

எடுத்துக்காட்டு 6

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில். நடைமுறைக்கு ஒரே நேரத்தில் பொதுவான தீர்வை இங்கே வெளிப்படுத்த முயற்சிக்கவும்.

பாடத்தின் இறுதிப் பகுதியில், தலைப்பில் இன்னும் இரண்டு பொதுவான பணிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 7

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு:அடிபட்ட பாதையில் செல்வோம். இந்த சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது, மாற்றீடு செய்வோம்:

இங்கே "X" நன்றாக உள்ளது, ஆனால் இருபடி முக்கோணம் பற்றி என்ன? இது காரணிகளாக சிதைவடையாததால்: , நாம் நிச்சயமாக தீர்வுகளை இழக்க மாட்டோம். எப்போதும் இப்படித்தான் இருக்கும்! இடது பக்கத்தில் உள்ள முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து ஒருங்கிணைக்கவும்:

இங்கே எளிமைப்படுத்த எதுவும் இல்லை, எனவே தலைகீழ் மாற்றீடு:

பதில்:பொது ஒருங்கிணைப்பு:

எடுத்துக்காட்டு 8

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

எனவே:

சமமற்ற மாற்றங்களுக்கு, எப்போதும் சரிபார்க்கவும் (குறைந்தது வாய்மொழியாக), உங்கள் தீர்வுகளை இழக்கிறீர்களா?இந்த மாற்றங்கள் என்ன? பொதுவாக எதையாவது சுருக்குவது அல்லது பிரிப்பது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, மூலம் வகுக்கும் போது, ​​​​செயல்பாடுகள் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும். அதே நேரத்தில், பிரிக்கும் போது, ​​​​அத்தகைய காசோலை இனி தேவையில்லை - இந்த வகுப்பி பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லாத காரணத்தால்.

மற்றொரு ஆபத்தான சூழ்நிலை இங்கே:

இங்கே, அகற்றுவது, DE ஒரு தீர்வா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும். பெரும்பாலும், "x" மற்றும் "y" போன்ற பெருக்கிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றைக் குறைப்பதன் மூலம், தீர்வுகளாக மாறக்கூடிய செயல்பாடுகளை இழக்கிறோம்.

மறுபுறம், ஏதாவது தொடக்கத்தில் வகுப்பில் இருந்தால், அத்தகைய கவலைக்கு எந்த காரணமும் இல்லை. எனவே, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டில், செயல்பாட்டைப் பற்றி நீங்கள் கவலைப்பட வேண்டியதில்லை, ஏனெனில் இது வகுப்பில் "அறிவிக்கப்படுகிறது".

பட்டியலிடப்பட்ட நுணுக்கங்கள் அவற்றின் பொருத்தத்தை இழக்காது, சிக்கலுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை மட்டுமே கண்டுபிடிக்க வேண்டும். சிறியதாக இருந்தாலும், தேவையான குறிப்பிட்ட தீர்வை நாம் இழக்க நேரிடும் வாய்ப்பு உள்ளது. உண்மையா காச்சி பிரச்சனைஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளுடன் நடைமுறைப் பணிகளில் இது மிகவும் அரிதாகவே கேட்கப்படுகிறது. இருப்பினும், கட்டுரையில் அத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன சமன்பாடுகள் ஒரே மாதிரியாகக் குறைக்கப்படுகின்றன, உங்கள் தீர்க்கும் திறன்களை வலுப்படுத்த "ஹீல்ஸ் மீது சூடான" படிக்க பரிந்துரைக்கிறேன்.

மிகவும் சிக்கலான ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளும் உள்ளன. சிரமமானது மாறி மாற்றங்கள் அல்லது எளிமைப்படுத்தல்களில் இல்லை, மாறாக மாறிகளைப் பிரிப்பதன் விளைவாக எழும் கடினமான அல்லது அரிதான ஒருங்கிணைப்புகளில் உள்ளது. இதுபோன்ற ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் என்னிடம் உள்ளன - பயங்கரமான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் பயங்கரமான பதில்கள். ஆனால் நாங்கள் அவர்களைப் பற்றி பேச மாட்டோம், ஏனென்றால் அடுத்த பாடங்களில் (கீழே காண்க)உன்னை சித்திரவதை செய்ய எனக்கு இன்னும் நேரம் இருக்கிறது, நான் உன்னை புதிதாகவும் நம்பிக்கையுடனும் பார்க்க விரும்புகிறேன்!

மகிழ்ச்சியான பதவி உயர்வு!

தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 2: தீர்வு:அசல் சமன்பாட்டில் இந்த நோக்கத்திற்காக, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை சரிபார்க்கலாம் பதிலாகமாற்றுவோம் , மற்றும் பதிலாகமாற்றுவோம்:

இதன் விளைவாக, அசல் சமன்பாடு பெறப்படுகிறது, அதாவது இந்த DE ஒரே மாதிரியானது.