தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான தலைகீழ் அணி அல்காரிதம். இயற்கணிதக் கூட்டல்களைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவதற்கான அல்காரிதம்: இணைந்த அணி முறை

வரையறை 1:ஒரு அணி அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் அது ஒருமை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை 2:ஒரு அணி அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால் அது ஒருமை அல்லாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மேட்ரிக்ஸ் "A" என்று அழைக்கப்படுகிறது தலைகீழ் அணி, நிபந்தனை A*A-1 = A-1 *A = E (அலகு அணி) திருப்தி அடைந்தால்.

ஒரு சதுர அணி ஒருமையில் இல்லாதிருந்தால் மட்டுமே அது தலைகீழாக மாறும்.

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவதற்கான திட்டம்:

1) மேட்ரிக்ஸ் "A" ஐ தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடவும் ∆ A = 0, பின்னர் தலைகீழ் அணி இல்லை.

2) அணி "A" இன் அனைத்து இயற்கணித நிரப்புகளையும் கண்டறியவும்.

3) இதிலிருந்து ஒரு அணியை உருவாக்கவும் இயற்கணித சேர்த்தல்கள்(அய்ஜ்)

4) இயற்கணித நிரப்புகளின் அணியை மாற்றவும் (Aij )T

5) இந்த மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பாளரின் தலைகீழ் மூலம் இடமாற்றப்பட்ட அணியைப் பெருக்கவும்.

6) சரிபார்ப்பைச் செய்யவும்:

முதல் பார்வையில் இது சிக்கலானதாக தோன்றலாம், ஆனால் உண்மையில் எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. அனைத்து தீர்வுகளும் எளிமையானவை எண்கணித செயல்பாடுகள், முடிவெடுக்கும் போது முக்கிய விஷயம், "-" மற்றும் "+" அறிகுறிகளுடன் குழப்பமடையக்கூடாது, அவற்றை இழக்கக்கூடாது.

இப்போது தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் ஒரு நடைமுறைப் பணியைத் தீர்ப்போம்.

பணி: கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள தலைகீழ் அணி "A" ஐக் கண்டறியவும்:

1. முதலில் செய்ய வேண்டியது, "A" அணியை தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்:

விளக்கம்:

அதன் அடிப்படை செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்மானிப்பதை எளிமைப்படுத்தியுள்ளோம். முதலில், ஒரு எண்ணால் பெருக்கப்படும் முதல் வரியின் கூறுகளை 2வது மற்றும் 3வது வரிகளில் சேர்த்தோம்.

இரண்டாவதாக, தீர்மானியின் 2 மற்றும் 3 வது நெடுவரிசைகளை மாற்றினோம், அதன் பண்புகளின்படி, அதன் முன் உள்ள அடையாளத்தை மாற்றினோம்.

மூன்றாவதாக, இரண்டாவது வரியின் பொதுவான காரணியை (-1) எடுத்தோம், அதன் மூலம் மீண்டும் அடையாளத்தை மாற்றினோம், அது நேர்மறையாக மாறியது. எடுத்துக்காட்டின் தொடக்கத்தில் இருந்ததைப் போலவே வரி 3 ஐயும் எளிமைப்படுத்தினோம்.

எங்களிடம் ஒரு முக்கோண நிர்ணயம் உள்ளது, அதன் மூலைவிட்டத்திற்கு கீழே உள்ள உறுப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மற்றும் சொத்து 7 மூலம் அது மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம். இறுதியில் கிடைத்தது ∆ A = 26, எனவே தலைகீழ் அணி உள்ளது.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. அடுத்த படியானது, விளைந்த சேர்த்தல்களில் இருந்து ஒரு அணியை தொகுக்க வேண்டும்:

5. இந்த மேட்ரிக்ஸை தீர்மானிப்பாளரின் தலைகீழ் ஆல் பெருக்கவும், அதாவது 1/26 ஆல்:

6. இப்போது நாம் சரிபார்க்க வேண்டும்:

சோதனையின் போது, ​​நாங்கள் ஒரு அடையாள அணியைப் பெற்றோம், எனவே, தீர்வு முற்றிலும் சரியாக மேற்கொள்ளப்பட்டது.

தலைகீழ் அணி கணக்கிட 2 வழி.

1. எலிமெண்டரி மேட்ரிக்ஸ் மாற்றம்

2. தலைகீழ் அணிஒரு அடிப்படை மாற்றி மூலம்.

எலிமெண்டரி மேட்ரிக்ஸ் மாற்றம் அடங்கும்:

1. ஒரு சரத்தை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எண்ணால் பெருக்குதல்.

2. எந்த வரியையும் கூட்டினால் ஒரு எண்ணால் பெருக்கப்படும் மற்றொரு வரி.

3. மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளை மாற்றவும்.

4. ஒரு சங்கிலியைப் பயன்படுத்துதல் அடிப்படை மாற்றங்கள், நாம் மற்றொரு அணியைப் பெறுகிறோம்.

ஏ -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.ஏ -1 * ஏ = ஈ

இதைப் பற்றிப் பார்ப்போம் நடைமுறை உதாரணம்உண்மையான எண்களுடன்.

உடற்பயிற்சி:தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

சரிபார்ப்போம்:

தீர்வு பற்றி ஒரு சிறிய தெளிவு:

முதலில், மேட்ரிக்ஸின் 1 மற்றும் 2 வரிசைகளை மறுசீரமைத்தோம், பின்னர் முதல் வரிசையை (-1) பெருக்கினோம்.

அதன் பிறகு, முதல் வரிசையை (-2) ஆல் பெருக்கி, அதை மேட்ரிக்ஸின் இரண்டாவது வரிசையுடன் சேர்த்தோம். பின்னர் நாம் வரி 2 ஐ 1/4 ஆல் பெருக்கினோம்.

உருமாற்றத்தின் இறுதி நிலை இரண்டாவது வரியை 2 ஆல் பெருக்கி முதல் வரியுடன் சேர்ப்பதாகும். இதன் விளைவாக, இடதுபுறத்தில் ஒரு அடையாள அணி உள்ளது, எனவே, தலைகீழ் அணி என்பது வலதுபுறத்தில் உள்ள அணி ஆகும்.

சரிபார்த்த பிறகு, முடிவு சரியானது என்று நாங்கள் நம்பினோம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவது மிகவும் எளிது.

இந்த விரிவுரையின் முடிவில், அத்தகைய மேட்ரிக்ஸின் பண்புகளில் சிறிது நேரம் செலவிட விரும்புகிறேன்.

கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் அணி அத்தகைய அணி, அசல் ஒன்றைப் பெருக்குவதன் மூலம் அடையாள அணி: தலைகீழ் அணி இருப்பதற்கு ஒரு கட்டாய மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், அசல் ஒன்றை நிர்ணயிப்பவர் சமமாக இல்லை. பூஜ்ஜியத்திற்கு (மேட்ரிக்ஸ் சதுரமாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது). மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அது ஒருமை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் அத்தகைய அணிக்கு தலைகீழ் இல்லை. உயர் கணிதத்தில், தலைகீழ் மெட்ரிக்குகள் முக்கியமானவை மற்றும் பல சிக்கல்களைத் தீர்க்கப் பயன்படுகின்றன. உதாரணமாக, அன்று தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிதல்சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான மேட்ரிக்ஸ் முறை உருவாக்கப்பட்டது. எங்கள் சேவை தளம் அனுமதிக்கிறது தலைகீழ் அணியை ஆன்லைனில் கணக்கிடுங்கள்இரண்டு முறைகள்: காஸ்-ஜோர்டான் முறை மற்றும் இயற்கணிதக் கூட்டல்களின் அணியைப் பயன்படுத்துதல். குறுக்கீடு குறிக்கிறது ஒரு பெரிய எண்ணிக்கைமேட்ரிக்ஸில் உள்ள அடிப்படை மாற்றங்கள், இரண்டாவது அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் தீர்மானிக்கும் மற்றும் இயற்கணித சேர்த்தல்களின் கணக்கீடு ஆகும். ஆன்லைனில் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரைக் கணக்கிட, நீங்கள் எங்கள் பிற சேவையைப் பயன்படுத்தலாம் - ஆன்லைனில் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரின் கணக்கீடு

தளத்திற்கான தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறியவும்

இணையதளம்கண்டுபிடிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது தலைகீழ் அணி ஆன்லைன்வேகமான மற்றும் இலவசம். தளத்தில், கணக்கீடுகள் எங்கள் சேவை மூலம் செய்யப்படுகின்றன மற்றும் முடிவு காட்டப்படும் விரிவான தீர்வுகண்டுபிடிப்பதன் மூலம் தலைகீழ் அணி. சேவையகம் எப்போதும் துல்லியமான மற்றும் சரியான பதிலை மட்டுமே அளிக்கிறது. வரையறையின்படி பணிகளில் தலைகீழ் அணி ஆன்லைன், நிர்ணயம் செய்வது அவசியம் மெட்ரிக்குகள்பூஜ்ஜியமாக இருந்தது, இல்லையெனில் இணையதளம்அசல் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், தலைகீழ் அணியைக் கண்டுபிடிப்பது சாத்தியமற்றது என்று தெரிவிக்கும். கண்டுபிடிக்கும் பணி தலைகீழ் அணிஇயற்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துக்களில் ஒன்றாகவும், கணிதக் கருவியாகவும், கணிதத்தின் பல கிளைகளில் காணப்படுகிறது. பயன்பாட்டு சிக்கல்கள். சுதந்திரமான தலைகீழ் அணி வரையறைகணக்கீடுகளில் எழுத்துப் பிழைகள் அல்லது சிறிய பிழைகளைத் தவிர்க்க குறிப்பிடத்தக்க முயற்சி, அதிக நேரம், கணக்கீடுகள் மற்றும் மிகுந்த கவனம் தேவை. எனவே எங்கள் சேவை தலைகீழ் அணியை ஆன்லைனில் கண்டறிதல்உங்கள் பணியை மிகவும் எளிதாக்கும் மற்றும் தீர்க்கும் ஒரு தவிர்க்க முடியாத கருவியாக மாறும் கணித சிக்கல்கள். நீங்களாக இருந்தாலும் தலைகீழ் அணியைக் கண்டறியவும்நீங்களே, உங்கள் தீர்வை எங்கள் சேவையகத்தில் சரிபார்க்க பரிந்துரைக்கிறோம். எங்கள் இணையதளத்தில் உங்கள் அசல் மேட்ரிக்ஸை உள்ளிட்டு ஆன்லைனில் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிட்டு உங்கள் பதிலைச் சரிபார்க்கவும். எங்கள் அமைப்பு ஒருபோதும் தவறுகளைச் செய்வதில்லை மற்றும் கண்டுபிடிப்பதில்லை தலைகீழ் அணிபயன்முறையில் கொடுக்கப்பட்ட பரிமாணம் நிகழ்நிலைஉடனடியாக! தளத்தில் இணையதளம்உறுப்புகளில் எழுத்து உள்ளீடுகள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன மெட்ரிக்குகள், இந்த வழக்கில் தலைகீழ் அணி ஆன்லைன்பொதுவான குறியீட்டு வடிவத்தில் வழங்கப்படும்.

இந்த தலைப்பு மாணவர்களிடையே மிகவும் வெறுக்கப்படும் ஒன்றாகும். மோசமான, அநேகமாக, தகுதிகள் உள்ளன.

தந்திரம் என்னவென்றால், ஒரு தலைகீழ் தனிமத்தின் கருத்து (மற்றும் நான் மெட்ரிக்குகளைப் பற்றி மட்டும் பேசவில்லை) பெருக்கத்தின் செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் கூட, பெருக்கல் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் மெட்ரிக்குகளின் பெருக்கல் பொதுவாக ஒரு தனித் தலைப்பாகும், இதற்காக நான் முழு பத்தியும் வீடியோ பாடமும் அர்ப்பணித்துள்ளேன்.

இன்று நாம் மேட்ரிக்ஸ் கணக்கீடுகளின் விவரங்களுக்கு செல்ல மாட்டோம். நினைவில் கொள்வோம்: மெட்ரிக்குகள் எவ்வாறு நியமிக்கப்படுகின்றன, அவை எவ்வாறு பெருக்கப்படுகின்றன, இதிலிருந்து பின்வருபவை என்ன.

விமர்சனம்: மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல்

முதலில், குறியீட்டை ஒப்புக்கொள்வோம். $\left[ m\times n \right]$ அளவுள்ள $A$ ஒரு அணியானது, சரியாக $m$ வரிசைகள் மற்றும் $n$ நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட எண்களின் அட்டவணையாகும்:

\=\அண்டர்பிரேஸ்(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\ end(matrix) \right])_(n)\]

தற்செயலாக வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளைக் கலப்பதைத் தவிர்க்க (என்னை நம்புங்கள், தேர்வில் நீங்கள் ஒன்றை இரண்டுடன் குழப்பலாம், சில வரிசைகள் ஒருபுறம் இருக்க), படத்தைப் பாருங்கள்:

என்ன நடக்கிறது? நீங்கள் வைத்தால் நிலையான அமைப்புமேல் இடது மூலையில் $OXY$ ஒருங்கிணைத்து, அச்சுகள் முழு மேட்ரிக்ஸையும் மறைக்கும் வகையில் இயக்கவும், பின்னர் இந்த மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு கலமும் $\left(x;y \right)$ ஆயத்தொலைவுகளுடன் தனிப்பட்ட முறையில் இணைக்கப்படும் - இது வரிசையாக இருக்கும். எண் மற்றும் நெடுவரிசை எண்.

ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு ஏன் மேல் இடது மூலையில் வைக்கப்பட்டுள்ளது? ஆம், ஏனென்றால் அங்கிருந்துதான் நாம் எந்த நூல்களையும் படிக்கத் தொடங்குகிறோம். நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிது.

$x$ அச்சு ஏன் வலதுபுறமாக இல்லாமல் கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது? மீண்டும், இது எளிமையானது: ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை எடுத்து ($x$ அச்சு வலதுபுறம் செல்கிறது, $y$ அச்சு மேலே செல்கிறது) அதை சுழற்று, அது மேட்ரிக்ஸை உள்ளடக்கும். இது 90 டிகிரி கடிகார திசையில் சுழற்சி - படத்தில் முடிவைப் பார்க்கிறோம்.

பொதுவாக, மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளின் குறியீடுகளை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பதை நாங்கள் கண்டுபிடித்துள்ளோம். இப்போது பெருக்கத்தைப் பார்ப்போம்.

வரையறை. மெட்ரிக்குகள் $A=\left[ m\times n \right]$ மற்றும் $B=\left[ n\times k \right]$, முதலில் உள்ள நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை இரண்டாவது வரிசைகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்துப்போகும் போது, சீரானதாக அழைக்கப்படுகிறது.

சரியாக அந்த வரிசையில். ஒருவர் குழப்பமடைந்து $A$ மற்றும் $B$ ஆகிய மெட்ரிக்குகள் $\left(A;B \right)$ ஒரு ஆர்டர் ஜோடியை உருவாக்குகிறது என்று கூறலாம்: இந்த வரிசையில் அவை சீராக இருந்தால், $B என்று அவசியமில்லை. $ மற்றும் $A$ அவை. $\left(B;A \right)$ என்ற ஜோடியும் சீரானது.

பொருந்திய மெட்ரிக்குகளை மட்டுமே பெருக்க முடியும்.

வரையறை. $A=\left[ m\times n \right]$ மற்றும் $B=\left[ n\times k \right]$ ஆனது பொருந்திய மெட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பு $C=\left[ m\times k \right ]$ , சூத்திரத்தின்படி $((c)_(ij))$ கணக்கிடப்படும் கூறுகள்:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்: $C=A\cdot B$ என்ற அணியின் $((c)_(ij))$ உறுப்பைப் பெற, நீங்கள் $j$ என்ற முதல் அணியின் $i$-வரிசையை எடுக்க வேண்டும். இரண்டாவது மேட்ரிக்ஸின் -வது நெடுவரிசை, பின்னர் இந்த வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையிலிருந்து ஜோடி கூறுகளில் பெருக்கவும். முடிவுகளைச் சேர்க்கவும்.

ஆம், இது ஒரு கடுமையான வரையறை. அதிலிருந்து பல உண்மைகள் உடனடியாகப் பின்பற்றப்படுகின்றன:

1. மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல், பொதுவாகப் பேசுவது, பரிமாற்றம் அல்லாதது: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. இருப்பினும், பெருக்கல் துணையாக உள்ளது: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. மற்றும் விநியோகமாக: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. மீண்டும் ஒருமுறை விநியோகிக்கப்படுகிறது: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

பெருக்கல் செயல்பாட்டின் பரிமாற்றம் இல்லாததால் துல்லியமாக இடது மற்றும் வலது கூட்டுத் தொகைக் காரணிகளுக்குப் பெருக்கத்தின் பரவலானது தனித்தனியாக விவரிக்கப்பட வேண்டியிருந்தது.

$A\cdot B=B\cdot A$ என்று மாறினால், அத்தகைய மெட்ரிக்குகள் பரிமாற்றம் எனப்படும்.

அங்கு ஏதோவொன்றால் பெருக்கப்படும் அனைத்து மெட்ரிக்குகளிலும், சிறப்புகள் உள்ளன - அவை, எந்த மேட்ரிக்ஸால் $A$ பெருக்கப்படும்போது, ​​மீண்டும் $A$ கொடுக்கின்றன:

வரையறை. $A\cdot E=A$ அல்லது $E\cdot A=A$ எனில் $E$ அணி அடையாளம் எனப்படும். சதுர அணி $A$ விஷயத்தில் நாம் எழுதலாம்:

அடையாள அணி தீர்ப்பதில் அடிக்கடி விருந்தினராக உள்ளது அணி சமன்பாடுகள். பொதுவாக, மெட்ரிக்ஸ் உலகில் அடிக்கடி விருந்தினர் :)

மேலும் இதன் காரணமாக $E$, அடுத்து எழுதப்படும் அனைத்து முட்டாள்தனங்களையும் யாரோ கொண்டு வந்தனர்.

தலைகீழ் அணி என்றால் என்ன

மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் மிகவும் உழைப்பு மிகுந்த செயலாக இருப்பதால் (நீங்கள் பல வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை பெருக்க வேண்டும்), தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் கருத்தும் மிகவும் அற்பமானது அல்ல. மற்றும் சில விளக்கம் தேவை.

முக்கிய வரையறை

சரி, உண்மையை அறிய வேண்டிய நேரம் இது.

வரையறை. ஒரு அணி $B$ என்றால் ஒரு அணி $A$ இன் தலைகீழ் எனப்படும்

தலைகீழ் அணி $((A)^(-1))$ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது (பட்டத்துடன் குழப்பமடையக்கூடாது!), எனவே வரையறையை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது மற்றும் தெளிவானது என்று தோன்றுகிறது. ஆனால் இந்த வரையறையை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது, ​​பல கேள்விகள் உடனடியாக எழுகின்றன:

1. தலைகீழ் அணி எப்போதும் உள்ளதா? எப்போதும் இல்லையென்றால், அதை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது: அது எப்போது இருக்கிறது, எப்போது இல்லை?
2. அத்தகைய அணி ஒன்று இருப்பதாக யார் சொன்னார்கள்? சில ஆரம்ப அணி $A$ இல் தலைகீழ் கூட்டம் இருந்தால் என்ன செய்வது?
3. இந்த "தலைகீழ்" அனைத்தும் எப்படி இருக்கும்? எப்படி, சரியாக, நாம் அவற்றை எண்ண வேண்டும்?

கணக்கீட்டு வழிமுறைகளைப் பொறுத்தவரை, இதைப் பற்றி சிறிது நேரம் கழித்து பேசுவோம். ஆனால் மீதமுள்ள கேள்விகளுக்கு இப்போது பதிலளிப்போம். தனி அறிக்கைகள்-லெம்மாக்கள் வடிவில் அவற்றை உருவாக்குவோம்.

அடிப்படை பண்புகள்

$((A)^(-1))$ க்கு $A$, கொள்கையளவில், மேட்ரிக்ஸ் எப்படி இருக்க வேண்டும் என்பதில் இருந்து ஆரம்பிக்கலாம். இப்போது இந்த இரண்டு மெட்ரிக்குகளும் சதுரமாகவும் ஒரே அளவிலும் இருக்க வேண்டும் என்பதை உறுதி செய்வோம்: $\left[ n\times n \right]$.

லெம்மா 1. ஒரு அணி $A$ மற்றும் அதன் தலைகீழ் $((A)^(-1))$ கொடுக்கப்பட்டது. இந்த இரண்டு மெட்ரிக்குகளும் சதுரமாகவும், அதே வரிசையில் $n$ ஆகவும் இருக்கும்.

ஆதாரம். இது எளிமை. அணி $A=\left[ m\times n \right]$, $(A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ஆனது வரையறையின்படி இருப்பதால், $A$ மற்றும் $(A)^(-1))$ மெட்ரிக்குகள் காட்டப்பட்டுள்ள வரிசையில் சீரானவை:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( சீரமை)\]

இது மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் அல்காரிதத்தின் நேரடி விளைவு: $n$ மற்றும் $a$ குணகங்கள் "போக்குவரத்து" மற்றும் சமமாக இருக்க வேண்டும்.

அதே நேரத்தில், தலைகீழ் பெருக்கல் வரையறுக்கப்படுகிறது: $((A)^(-1))\cdot A=E$, எனவே மெட்ரிக்குகள் $((A)^(-1))$ மற்றும் $A$ மேலும் குறிப்பிட்ட வரிசையில் சீரானது:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( சீரமை)\]

எனவே, பொதுத்தன்மையை இழக்காமல், $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$ என்று வைத்துக் கொள்ளலாம். இருப்பினும், வரையறையின்படி $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, எனவே மெட்ரிக்குகளின் அளவுகள் கண்டிப்பாக ஒத்துப்போகின்றன:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

$A$, $(A)^(-1))$ மற்றும் $E$ ஆகிய மூன்று மெட்ரிக்குகளும் $\left[ n\times n \right]$ அளவுள்ள சதுர மெட்ரிக்குகள் என்று மாறிவிடும். லெம்மா நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

சரி, அது ஏற்கனவே நல்லது. சதுர மெட்ரிக்குகள் மட்டுமே தலைகீழாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். இப்போது தலைகீழ் அணி எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதை உறுதி செய்வோம்.

லெம்மா 2. ஒரு அணி $A$ மற்றும் அதன் தலைகீழ் $((A)^(-1))$ கொடுக்கப்பட்டது. பின்னர் இந்த தலைகீழ் அணி மட்டுமே உள்ளது.

ஆதாரம். முரண்பாட்டின் மூலம் செல்லலாம்: $A$ அணிக்கு குறைந்தபட்சம் இரண்டு தலைகீழ்கள் இருக்கட்டும் - $B$ மற்றும் $C$. பின்னர், வரையறையின்படி, பின்வரும் சமத்துவங்கள் உண்மை:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

லெம்மா 1 இலிருந்து, $A$, $B$, $C$ மற்றும் $E$ ஆகிய நான்கு மெட்ரிக்குகளும் ஒரே வரிசையின் சதுரங்கள் என்று முடிவு செய்கிறோம்: $\left[ n\times n \right]$. எனவே, தயாரிப்பு வரையறுக்கப்படுகிறது:

மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் தொடர்புடையது (ஆனால் பரிமாற்றம் அல்ல!), நாம் எழுதலாம்:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

நாங்கள் மட்டுமே பெற்றோம் சாத்தியமான மாறுபாடு: தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் இரண்டு நிகழ்வுகள் சமம். லெம்மா நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

மேற்கூறிய பகுத்தறிவு எல்லா உண்மை எண்களுக்கும் $b\ne 0$ இன் தலைகீழ் தனிமத்தின் தனித்தன்மையின் நிரூபணத்தை ஏறக்குறைய சொல்லர்த்தமாக மீண்டும் கூறுகிறது. மெட்ரிக்குகளின் பரிமாணத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது மட்டுமே குறிப்பிடத்தக்க கூடுதலாகும்.

இருப்பினும், ஏதேனும் இருக்கிறதா என்பது பற்றி எங்களுக்கு இன்னும் எதுவும் தெரியாது சதுர அணிமீளக்கூடியது. இங்கே ஒரு தீர்மானிப்பான் எங்கள் உதவிக்கு வருகிறது - இது முக்கிய பண்புஅனைத்து சதுர மெட்ரிக்குகளுக்கும்.

லெம்மா 3. ஒரு அணி $A$ கொடுக்கப்பட்டது. அதன் தலைகீழ் அணி $((A)^(-1))$ இருந்தால், அசல் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமல்ல:

\[\இடது| A\வலது|\ne 0\]

ஆதாரம். $A$ மற்றும் $(A)^(-1))$ என்பது $\இடது[ n\times n \right]$ அளவுள்ள சதுர மெட்ரிக்குகள் என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம். எனவே, அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் நாம் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடலாம்: $\left| ஏ\வலது|$ மற்றும் $\இடது| ((A)^(-1)) \right|$. எவ்வாறாயினும், ஒரு தயாரிப்பின் நிர்ணயிப்பானது தீர்மானிப்பவர்களின் தயாரிப்புக்கு சமம்:

\[\இடது| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

ஆனால் வரையறையின்படி, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, மற்றும் $E$ இன் நிர்ணயம் எப்பொழுதும் 1க்கு சமமாக இருக்கும்.

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \இடது| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \இடது| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இந்த எண்கள் ஒவ்வொன்றும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு எண்களின் பலன் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்:

\[\இடது| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

அதனால் $\left| என்று மாறிவிடும் A \right|\ne 0$. லெம்மா நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

உண்மையில், இந்த தேவை மிகவும் தர்க்கரீதியானது. இப்போது நாம் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம் - மேலும் பூஜ்ஜிய நிர்ணயிப்புடன், கொள்கையளவில் தலைகீழ் அணி ஏன் இருக்க முடியாது என்பது முற்றிலும் தெளிவாகிவிடும்.

ஆனால் முதலில், ஒரு "துணை" வரையறையை உருவாக்குவோம்:

வரையறை. ஒரு ஒற்றை அணி என்பது $\left[ n\times n \right]$ அளவுள்ள சதுர அணி ஆகும், அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமாகும்.

எனவே, ஒவ்வொரு தலைகீழான மேட்ரிக்ஸும் ஒருமையற்றது என்று நாம் கூறலாம்.

மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

இப்போது நாம் தலைகீழ் மெட்ரிக்குகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான உலகளாவிய வழிமுறையைக் கருத்தில் கொள்வோம். பொதுவாக, பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட இரண்டு வழிமுறைகள் உள்ளன, மேலும் இன்று இரண்டாவதாகக் கருதுவோம்.

$\left[ 2\times 2 \right]$ மற்றும் - ஓரளவு - $\left[ 3\time 3 \right]$ அளவு மெட்ரிக்குகளுக்கு இப்போது விவாதிக்கப்படும் ஒன்று மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஆனால் $\left[ 4\times 4 \right]$ என்ற அளவிலிருந்து தொடங்கி அதைப் பயன்படுத்தாமல் இருப்பது நல்லது. ஏன் - இப்போது நீங்களே எல்லாவற்றையும் புரிந்துகொள்வீர்கள்.

இயற்கணித சேர்த்தல்

தயாராய் இரு. இப்போது வலி இருக்கும். இல்லை, கவலைப்பட வேண்டாம்: ஒரு பாவாடையில் ஒரு அழகான செவிலியர், சரிகை கொண்ட காலுறைகள் உங்களிடம் வந்து பிட்டத்தில் ஒரு ஊசி போடாது. எல்லாமே மிகவும் புத்திசாலித்தனமானது: இயற்கணித சேர்த்தல் மற்றும் அவரது மாட்சிமை "யூனியன் மேட்ரிக்ஸ்" ஆகியவை உங்களிடம் வருகின்றன.

முக்கிய விஷயத்துடன் ஆரம்பிக்கலாம். $A=\left[ n\times n \right]$ அளவில் ஒரு சதுர அணி இருக்கட்டும், அதன் உறுப்புகள் $((a)_(ij))$ என அழைக்கப்படுகின்றன. அத்தகைய ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் நாம் ஒரு இயற்கணித நிரப்பியை வரையறுக்கலாம்:

வரையறை. $A=\இடதுபுறத்தில் உள்ள $i$வது வரிசையிலும் $j$வது நெடுவரிசையிலும் அமைந்துள்ள $((a)_(ij))$ உறுப்பிற்கு $((A)_(ij))$ இயற்கணித நிரப்பு[ n \times n \right]$ என்பது படிவத்தின் கட்டுமானமாகும்

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

$M_(ij)^(*)$ என்பது அதே $i$வது வரிசையையும் $j$வது நெடுவரிசையையும் நீக்குவதன் மூலம் அசல் $A$ இலிருந்து பெறப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் ஆகும்.

மீண்டும். $\left(i;j \right)$ ஆயத்தொகுதிகள் கொண்ட அணி உறுப்புக்கான இயற்கணித நிரப்பு $(A)_(ij))$ என குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் திட்டத்தின் படி கணக்கிடப்படுகிறது:

1. முதலில், அசல் மேட்ரிக்ஸிலிருந்து $i$-வரிசை மற்றும் $j$-வது நெடுவரிசையை நீக்குவோம். நாங்கள் ஒரு புதிய சதுர மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம், அதன் தீர்மானத்தை $M_(ij)^(*)$ எனக் குறிப்பிடுகிறோம்.
2. இந்த தீர்மானத்தை நாம் $((\left(-1 \right))^(i+j))$ ஆல் பெருக்குகிறோம் - முதலில் இந்த வெளிப்பாடு மனதைக் கவரும் என்று தோன்றலாம், ஆனால் சாராம்சத்தில் நாம் முன்னால் உள்ள அடையாளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். $M_(ij)^(*) $.
3. நாங்கள் எண்ணி ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணைப் பெறுகிறோம். அந்த. இயற்கணிதக் கூட்டல் துல்லியமாக ஒரு எண், சில புதிய அணிகள் போன்றவை அல்ல.

அணி $M_(ij)^(*)$ தானே $((a)_(ij))$ என்ற உறுப்பின் கூடுதல் மைனர் என அழைக்கப்படுகிறது. இந்த அர்த்தத்தில், ஒரு இயற்கணித நிரப்புதலின் மேலே உள்ள வரையறை மிகவும் சிக்கலான வரையறையின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு - தீர்மானிப்பதைப் பற்றிய பாடத்தில் நாம் என்ன பார்த்தோம்.

முக்கியமான குறிப்பு. உண்மையில், "வயது வந்தோர்" கணிதத்தில், இயற்கணிதக் கூட்டல்கள் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன:

1. சதுர அணியில் $k$ வரிசைகள் மற்றும் $k$ நெடுவரிசைகளை எடுக்கிறோம். அவற்றின் குறுக்குவெட்டில் $\left[ k\times k \right]$ அளவின் மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம் - அதன் நிர்ணயம் $k$ வரிசையின் மைனர் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் $((M)_(k))$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
2. இந்த "தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட" $k$ வரிசைகள் மற்றும் $k$ நெடுவரிசைகளை நாம் கடந்து செல்கிறோம். மீண்டும் ஒரு சதுர அணியைப் பெறுவீர்கள் - அதன் நிர்ணயம் கூடுதல் மைனர் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் $M_(k)^(*)$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
3. $M_(k)^(*)$ ஐ $(\இடது(-1 \வலது))^(t))$ ஆல் பெருக்கவும், இங்கு $t$ என்பது (இப்போது கவனம்!) தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அனைத்து வரிசைகளின் எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் நெடுவரிசைகள். இது இயற்கணிதக் கூட்டலாக இருக்கும்.

மூன்றாவது படியைப் பாருங்கள்: உண்மையில் $2k$ விதிமுறைகளின் தொகை உள்ளது! மற்றொரு விஷயம் என்னவென்றால், $k=1$ க்கு நாம் 2 சொற்களை மட்டுமே பெறுவோம் - இவை $i+j$ ஆக இருக்கும் - $((a)_(ij))$ என்ற உறுப்பின் "ஆயத்தொகைகள்" ஒரு இயற்கணித நிரப்பியைத் தேடுகிறது.

எனவே இன்று நாம் சற்று எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். ஆனால் நாம் பின்னர் பார்ப்போம், அது போதுமானதை விட அதிகமாக இருக்கும். பின்வரும் விஷயம் மிகவும் முக்கியமானது:

வரையறை. $A=\left[ n\times n \right]$ வரையிலான கூட்டு அணி $S$ என்பது $\left[ n\times n \right]$ அளவின் புதிய அணி ஆகும், இது $A$ இலிருந்து பெறப்பட்டது. $((a)_(ij))$ ஐ இயற்கணிதச் சேர்த்தல் மூலம் மாற்றுவதன் மூலம் $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ ((( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & (A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\ end(matrix) \right]\]

இந்த வரையறையை உணரும் தருணத்தில் எழும் முதல் எண்ணம் "எவ்வளவு கணக்கிடப்பட வேண்டும்!" நிதானமாக: நீங்கள் எண்ண வேண்டும், ஆனால் அவ்வளவு இல்லை :)

சரி, இதெல்லாம் மிகவும் நன்றாக இருக்கிறது, ஆனால் அது ஏன் அவசியம்? ஆனால் ஏன்.

முக்கிய தேற்றம்

கொஞ்சம் பின்னோக்கிப் போவோம். நினைவில் கொள்ளுங்கள், லெம்மா 3 இல் தலைகீழான அணி $A$ எப்போதும் ஒருமை அல்ல என்று கூறப்பட்டது (அதாவது, அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமல்ல: $\left| A \right|\ne 0$).

எனவே, இதற்கு நேர்மாறானது உண்மைதான்: $A$ அணி ஒருமையாக இல்லாவிட்டால், அது எப்போதும் தலைகீழாக இருக்கும். மேலும் $((A)^(-1))$க்கான தேடல் திட்டம் கூட உள்ளது. அதைப் பாருங்கள்:

தலைகீழ் அணி தேற்றம். ஒரு சதுர அணி $A=\left[ n\times n \right]$ கொடுக்கப்பட்டால், அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமல்ல: $\left| A \right|\ne 0$. பின்னர் தலைகீழ் அணி $((A)^(-1))$ உள்ளது மற்றும் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

இப்போது - எல்லாம் ஒன்றுதான், ஆனால் தெளிவான கையெழுத்தில். தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிக்க, உங்களுக்கு இது தேவை:

1. தீர்மானிக்கும் $\இடது| A \right|$ மற்றும் அது பூஜ்ஜியம் அல்ல என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்.
2. யூனியன் மேட்ரிக்ஸை $S$ உருவாக்கவும், அதாவது. 100500 இயற்கணிதக் கூட்டல்களை $((A)_(ij))$ எண்ணி $((a)_(ij))$ இடத்தில் வைக்கவும்.
3. இந்த மேட்ரிக்ஸை $S$ இடமாற்றி, பின்னர் $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ என்ற எண்ணால் பெருக்கவும்.

அவ்வளவுதான்! தலைகீழ் அணி $((A)^(-1))$ கண்டறியப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ end(matrix) \right]\]

தீர்வு. மீள்தன்மையை சரிபார்க்கலாம். தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்:

\[\இடது| எ\வலது|=\இடது| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. இதன் பொருள் மேட்ரிக்ஸ் தலைகீழானது. யூனியன் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவோம்:

இயற்கணிதச் சேர்த்தல்களைக் கணக்கிடுவோம்:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\வலது|=3. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: தீர்மானிப்பவர்கள் |2|, |5|, |1| மற்றும் |3| அளவு $\left[ 1\time 1 \right]$ அளவுகளை நிர்ணயிப்பவை, தொகுதிகள் அல்ல. அந்த. தகுதிகள் இருந்தால் எதிர்மறை எண்கள், "மைனஸ்" நீக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.

மொத்தத்தில், எங்கள் யூனியன் மேட்ரிக்ஸ் இதுபோல் தெரிகிறது:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (வரிசை)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ end(array) \right]\]

சரி இப்போது எல்லாம் முடிந்துவிட்டது. பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

பதில். $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ end(array) \right]$

பணி. தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறியவும்:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right] \]

தீர்வு. தீர்மானிப்பதை மீண்டும் கணக்கிடுகிறோம்:

\[\தொடங்கு(சீரமைக்க) & \இடது| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\ end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமற்றது-மேட்ரிக்ஸ் தலைகீழானது. ஆனால் இப்போது அது மிகவும் கடினமாக இருக்கும்: நாம் 9 (ஒன்பது, மதர்ஃபக்கர்!) இயற்கணிதச் சேர்த்தல்களைக் கணக்கிட வேண்டும். மேலும் அவை ஒவ்வொன்றும் தீர்மானிக்கும் $\left[ 2\time 2 \right]$ ஐக் கொண்டிருக்கும். பறந்தது:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\ end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ end(matrix) \right|=2; \\ \முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்)\]

சுருக்கமாக, யூனியன் மேட்ரிக்ஸ் இப்படி இருக்கும்:

எனவே, தலைகீழ் அணி:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\ முடிவு(வரிசை) \வலது]\]

அவ்வளவுதான். இதோ பதில்.

பதில். $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\ end(array) \right ]$

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒவ்வொரு உதாரணத்தின் முடிவிலும் நாங்கள் ஒரு காசோலை செய்தோம். இது சம்பந்தமாக, ஒரு முக்கிய குறிப்பு:

சரிபார்க்க சோம்பேறியாக இருக்க வேண்டாம். கிடைத்த தலைகீழ் அணி மூலம் அசல் அணியை பெருக்கவும் - நீங்கள் $E$ பெற வேண்டும்.

உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, ​​மேலும் கணக்கீடுகளில் பிழையைத் தேடுவதை விட இந்தச் சரிபார்ப்பைச் செய்வது மிகவும் எளிதானது மற்றும் விரைவானது.

மாற்று வழி

நான் கூறியது போல், தலைகீழ் அணி தேற்றம் $\left[ 2\times 2 \right]$ மற்றும் $\left[3\time 3 \right]$ அளவுகளுக்கு நன்றாக வேலை செய்கிறது ), ஆனால் மெட்ரிக்குகளுக்கு பெரிய அளவுகள்சோகம் தொடங்குகிறது.

ஆனால் கவலைப்பட வேண்டாம்: $\left[ 10\times 10 \right]$ மேட்ரிக்ஸுக்கு கூட தலைகீழாக நிதானமாக கண்டுபிடிக்கக்கூடிய மாற்று வழிமுறை உள்ளது. ஆனால், அடிக்கடி நடப்பது போல, இந்த வழிமுறையைக் கருத்தில் கொள்ள, ஒரு சிறிய தத்துவார்த்த அறிமுகம் தேவை.

அடிப்படை மாற்றங்கள்

சாத்தியமான அனைத்து மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்களிலும், பல சிறப்புகள் உள்ளன - அவை அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இதுபோன்ற மூன்று மாற்றங்கள் சரியாக உள்ளன:

1. பெருக்கல். நீங்கள் $i$வது வரிசையை (நெடுவரிசை) எடுத்து, $k\ne 0$ என்ற எண்ணால் பெருக்கலாம்;
2. கூட்டல். $k\ne 0$ என்ற எண்ணால் பெருக்கப்படும் $i$-வது வரிசையில் (நெடுவரிசை) வேறு எந்த $j$-வது வரிசையையும் (நெடுவரிசை) சேர்க்கவும் (நிச்சயமாக, $k=0$ நீங்கள் செய்யலாம், ஆனால் என்ன எதுவும் மாறாது?
3. மறுசீரமைப்பு. $i$th மற்றும் $j$th வரிசைகளை (நெடுவரிசைகள்) எடுத்து இடங்களை மாற்றவும்.

இந்த மாற்றங்கள் ஏன் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகின்றன (பெரிய மெட்ரிக்குகளுக்கு அவை அவ்வளவு அடிப்படையாகத் தெரியவில்லை) மற்றும் ஏன் அவற்றில் மூன்று மட்டுமே உள்ளன - இந்த கேள்விகள் இன்றைய பாடத்தின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டவை. எனவே, நாங்கள் விவரங்களுக்கு செல்ல மாட்டோம்.

மற்றொரு விஷயம் முக்கியமானது: இந்த அனைத்து வக்கிரங்களையும் நாம் அட்ஜோயிண்ட் மேட்ரிக்ஸில் செய்ய வேண்டும். ஆம், ஆம்: நீங்கள் கேட்டது சரிதான். இப்போது இன்னும் ஒரு வரையறை இருக்கும் - இன்றைய பாடத்தில் கடைசி.

இணை அணி

நிச்சயமாக பள்ளியில் நீங்கள் கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்த்தீர்கள். சரி, அங்கே, ஒரு வரியிலிருந்து இன்னொன்றைக் கழிக்கவும், சில வரிகளை எண்ணால் பெருக்கவும் - அவ்வளவுதான்.

எனவே: இப்போது எல்லாம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஆனால் ஒரு "வயது வந்தோர்" வழியில். தயாரா?

வரையறை. ஒரு அணி $A=\left[ n\times n \right]$ மற்றும் அதே அளவு $n$ என்ற அடையாள அணி $E$ கொடுக்கப்பட வேண்டும். பின் $\left[ A\left| இ\வலது. \right]$ என்பது $\left[ n\times 2n \right]$ அளவுள்ள புதிய அணி இது போல் தெரிகிறது:

\[\left[ A\left| இ\வலது. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ end(array) \right]\]

சுருக்கமாக, நாங்கள் $A$ ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதற்கு வலதுபுறத்தில் அடையாள அணி $E$ ஐ ஒதுக்குகிறோம், அழகுக்காக ஒரு செங்குத்து பட்டியுடன் அவற்றைப் பிரிக்கிறோம் - இங்கே நீங்கள் இணைக்க வேண்டும்.

என்ன பிடிப்பு? இதோ என்ன:

தேற்றம். அணி $A$ தலைகீழாக இருக்கட்டும். $\left[ A\left| இ\வலது. \right]$. பயன்படுத்தினால் அடிப்படை சரம் மாற்றங்கள்$\left[ E\left| வடிவத்திற்கு கொண்டு வாருங்கள் பிரகாசமான. \right]$, அதாவது. $A$ இலிருந்து வலதுபுறத்தில் உள்ள அணி $E$ ஐப் பெற, வரிசைகளைப் பெருக்கி, கழித்தல் மற்றும் மறுசீரமைப்பதன் மூலம், இடதுபுறத்தில் பெறப்பட்ட $B$ அணி $A$ இன் தலைகீழ் ஆகும்:

\[\left[ A\left| இ\வலது. \right]\to \left[ E\left| பிரகாசமான. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

இது மிகவும் எளிமையானது! சுருக்கமாக, தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம் இதுபோல் தெரிகிறது:

1. $\left[ A\left| என்ற இணை அணியை எழுதவும் இ\வலது. \right]$;
2. $A$ க்குப் பதிலாக $E$ தோன்றும் வரை அடிப்படை சரம் மாற்றங்களைச் செய்யவும்;
3. நிச்சயமாக, இடதுபுறத்திலும் ஏதாவது தோன்றும் - ஒரு குறிப்பிட்ட அணி $B$. இது எதிர்மாறாக இருக்கும்;
4. லாபம்! :)

நிச்சயமாக, இதைச் சொல்வதை விட இது மிகவும் எளிதானது. எனவே ஓரிரு உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்: $\left[ 3\times 3 \right]$ மற்றும் $\left[ 4\time 4 \right]$ அளவுகளுக்கு.

பணி. தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறியவும்:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ end(array) \right]\ ]

தீர்வு. நாங்கள் இணை அணியை உருவாக்குகிறோம்:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ முடிவு(வரிசை) \வலது]\]

அசல் மேட்ரிக்ஸின் கடைசி நெடுவரிசை ஒன்று நிரப்பப்பட்டிருப்பதால், மற்றவற்றிலிருந்து முதல் வரிசையைக் கழிக்கவும்:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ முடிவு(வரிசை) \வலது]\ஆரம்பம்(மேட்ரிக்ஸ்) \\\ -1 \\ -1 \\\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்)\\\\\ & \\இடது [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right] \\ \end(align)\]

முதல் வரியைத் தவிர வேறு அலகுகள் இல்லை. ஆனால் நாங்கள் அதைத் தொடவில்லை, இல்லையெனில் புதிதாக அகற்றப்பட்ட அலகுகள் மூன்றாவது நெடுவரிசையில் "பெருக்க" தொடங்கும்.

ஆனால் இரண்டாவது வரியை கடைசியிலிருந்து இரண்டு முறை கழிக்கலாம் - கீழ் இடது மூலையில் ஒன்றைப் பெறுகிறோம்:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \ downarrow \\ -2 \\\ end(matrix)\ to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end(array) \right] \\ \end(align)\]

இப்போது நாம் கடைசி வரிசையை முதல் மற்றும் இரண்டு முறை இரண்டிலிருந்து கழிக்கலாம் - இந்த வழியில் நாம் முதல் நெடுவரிசையை "பூஜ்ஜியம்" செய்கிறோம்:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\ end(matrix)\to \\ & \ \இடதுபுறம்[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ முடிவு(வரிசை) \வலது] \\ \முடிவு(சீரமைப்பு)\]

இரண்டாவது வரியை −1 ஆல் பெருக்கவும், பின்னர் அதை முதல் வரியிலிருந்து 6 முறை கழித்து கடைசியில் 1 முறை சேர்க்கவும்:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ முடிவு(வரிசை) \ right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\ end(matrix)\to \\ & \\to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ முடிவு(வரிசை) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\ end அணி \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\ முடிவு(வரிசை) \ right] \\ \ end(align)\]

1 மற்றும் 3 வரிகளை மாற்றுவது மட்டுமே மீதமுள்ளது:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\ முடிவு(வரிசை) \வலது]\]

தயார்! வலதுபுறத்தில் தேவையான தலைகீழ் அணி உள்ளது.

பதில். $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\ end(array) \right ]$

பணி. தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறியவும்:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்) \வலது]\]

தீர்வு. நாங்கள் மீண்டும் இணைப்பினை உருவாக்குகிறோம்:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ முடிவு(வரிசை) \right]\]

கொஞ்சம் அழுவோம், இனி எவ்வளவு எண்ண வேண்டியிருக்கிறது என்று வருத்தமாக இருங்கள்... எண்ணத் தொடங்குங்கள். முதலில், வரிசை 2 மற்றும் 3 இலிருந்து வரிசை 1 ஐக் கழிப்பதன் மூலம் முதல் நெடுவரிசையை "பூஜ்ஜியமாக" செய்வோம்:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ முடிவு(வரிசை) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\ end(matrix)\to \\ & \\ to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ முடிவு(வரிசை) \ right] \\ \ end(align)\]

2-4 வரிகளில் பல "தீமைகளை" காண்கிறோம். மூன்று வரிசைகளையும் −1 ஆல் பெருக்கவும், பின்னர் வரிசை 3 ஐ மற்றவற்றிலிருந்து கழிப்பதன் மூலம் மூன்றாவது நெடுவரிசையை எரிக்கவும்:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \இடது| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \இடது| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\ end(matrix)\to \\ & \\to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\ end(matrix)\ to \\ & \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ rrrr|. 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ முடிவு(வரிசை) \ right] \\ \ end(align)\]

அசல் மேட்ரிக்ஸின் கடைசி நெடுவரிசையை "வறுக்க" இப்போது நேரம் வந்துவிட்டது: மீதமுள்ளவற்றிலிருந்து வரிசை 4 ஐக் கழிக்கவும்:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ முடிவு(வரிசை ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\ end(matrix)\to \\ & \\ to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end(array) \right] \\ \end(align)\]

இறுதி எறிதல்: வரி 1 மற்றும் 3 இலிருந்து வரி 2 ஐக் கழிப்பதன் மூலம் இரண்டாவது நெடுவரிசையை "எரிக்கவும்":

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ முடிவு( வரிசை) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\ end(matrix)\to \\ & \\to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ முடிவு(வரிசை) \ right] \\ \ end(align)\]

மீண்டும் அடையாள அணி இடதுபுறத்தில் உள்ளது, அதாவது தலைகீழ் வலதுபுறம் :)

பதில். $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்) \right]$

மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தின் தலைகீழ் செயல்பாட்டை வரையறுப்பதில் சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

A என்பது n வரிசையின் சதுர அணியாக இருக்கட்டும். மேட்ரிக்ஸ் A^(-1) திருப்தி அளிக்கிறது, கொடுக்கப்பட்ட அணி A உடன், சமத்துவங்கள்:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

வரையறையில் இருந்து, தலைகீழ் அணி A^(-1) இருந்தால், அது A இன் அதே வரிசையின் சதுரமாகும். இருப்பினும், ஒவ்வொரு சதுர அணிக்கும் தலைகீழ் இல்லை. ஒரு அணி A இன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் (\det(A)=0), அதற்கு நேர்மாறானது இல்லை. உண்மையில், E=A^(-1)A என்ற அடையாள அணிக்கு அணிகளின் பெருக்கத்தின் நிர்ணயிப்பதில் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினால், நாம் ஒரு முரண்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மை பற்றிய தேற்றம் 4.1. சதுர அணி A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), பூஜ்ஜியத்தை நிர்ணயிக்கும் பொருளானது, ஒரு தலைகீழ் அணியைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஒன்று மட்டுமே:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

இதில் A^(+) என்பது அணி A இன் உறுப்புகளின் இயற்கணித நிரப்புகளால் ஆன அணிக்கு மாற்றப்பட்ட அணி ஆகும்.

அணி A^(+) அழைக்கப்படுகிறது இணை அணிஅணி A ஐப் பொறுத்தவரை.

உண்மையில், அணி \frac(1)(\det(A))\,A^(+)\det(A)\ne0 நிபந்தனையின் கீழ் உள்ளது. இது A க்கு நேர்மாறானது என்பதைக் காட்டுவது அவசியம், அதாவது. இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(சீரமைக்கப்பட்டது)

முதல் சமத்துவத்தை நிரூபிப்போம். கருத்துக்கள் 2.3 இன் பத்தி 4 இன் படி, தீர்மானிப்பவரின் பண்புகளிலிருந்து அது பின்வருமாறு. AA^(+)=\det(A)\cdot E. அதனால் தான்

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

காட்டவேண்டியது எது. இரண்டாவது சமத்துவம் இதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, நிபந்தனையின் கீழ் \det(A)\ne0, அணி A தலைகீழ் உள்ளது

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் தனித்துவத்தை முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிப்போம். A^(-1) அணிக்கு கூடுதலாக, AB=E போன்ற மற்றொரு தலைகீழ் அணி B\,(B\ne A^(-1)) இருக்கட்டும். இந்த சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் இடதுபுறத்தில் இருந்து அணி A^(-1) ஆல் பெருக்கினால், நமக்கு கிடைக்கும் \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. எனவே B=A^(-1) , இது B\ne A^(-1) அனுமானத்திற்கு முரணானது. எனவே, தலைகீழ் அணி தனித்துவமானது.

குறிப்புகள் 4.1

1. வரையறையில் இருந்து, மெட்ரிக்குகள் A மற்றும் A^(-1) பயணம் செய்கின்றன.

2. ஒருமை அல்லாத மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் மூலைவிட்டமானது:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\வலது)\!.

3. ஒருமை அல்லாத கீழ் (மேல்) முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் கீழ் (மேல்) முக்கோணமாகும்.

4. எலிமெண்டரி மெட்ரிக்குகள் தலைகீழாக உள்ளன, அவையும் அடிப்படையானவை (கருத்துகள் 1.11 இன் பத்தி 1 ஐப் பார்க்கவும்).

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் பண்புகள்

மேட்ரிக்ஸ் தலைகீழ் செயல்பாடு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)

சொத்து 2 ஐ நிரூபிப்போம்: ஒரே வரிசையின் ஒற்றை அல்லாத சதுர மெட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பு AB ஒரு தலைகீழ் அணியைக் கொண்டிருந்தால், பின்னர் (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

உண்மையில், AB மெட்ரிக்குகளின் பெருக்கத்தின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), எங்கே \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

எனவே, தலைகீழ் அணி (AB)^(-1) உள்ளது மற்றும் தனித்துவமானது. மேட்ரிக்ஸ் B^(-1)A^(-1) அணி AB இன் தலைகீழ் என்று வரையறையின்படி காட்டுவோம். உண்மையில்.

தலைகீழ் அணியைக் கண்டறிவதற்கான முறைகள், . ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள்

Δ =det A ஐக் குறிப்போம்.

சதுர அணி A அழைக்கப்படுகிறது சிதையாத,அல்லது சிறப்பு இல்லை, அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால், மற்றும் சீரழிந்து,அல்லது சிறப்பு, என்றால்Δ = 0.

ஒரு சதுர அணி B என்பது அதே வரிசையின் ஒரு சதுர அணி A ஆகும், அவற்றின் தயாரிப்பு A B = B A = E என்றால், E என்பது அணிகள் A மற்றும் B போன்ற அதே வரிசையின் அடையாள அணியாகும்.

தேற்றம் . அணி A ஒரு தலைகீழ் அணியைப் பெறுவதற்கு, அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டதாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது.

அணி A இன் தலைகீழ் அணி, A ஆல் குறிக்கப்படுகிறது- 1, எனவே பி = ஏ - 1 மற்றும் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

, (1)

இதில் A i j என்பது அணி A இன் a i j தனிமங்களின் இயற்கணித நிரப்பிகள்.

மெட்ரிக்குகளுக்கான சூத்திரம் (1) ஐப் பயன்படுத்தி A -1 இன் கணக்கீடு உயர் ஒழுங்குமிகவும் உழைப்பு-தீவிரமானது, எனவே நடைமுறையில் அடிப்படை மாற்றங்களின் (ET) முறையைப் பயன்படுத்தி A -1 ஐக் கண்டுபிடிப்பது வசதியானது. ஒருமை அல்லாத அணி A ஐ, நெடுவரிசைகளின் ED களின் மூலம் அடையாள அணி E ஆகக் குறைக்கலாம் (அல்லது வரிசைகள் மட்டுமே) அணி Aக்கு மேல் பூரணப்படுத்தப்பட்ட ED கள் அடையாள அணி E க்கு அதே வரிசையில் பயன்படுத்தப்படும். ஒரு தலைகீழ் அணி. A மற்றும் E மெட்ரிக்குகளில் EP ஐ ஒரே நேரத்தில் செய்வது வசதியானது, இரண்டு மெட்ரிக்குகளையும் ஒரு வரியின் மூலம் அருகருகே எழுதுகிறது. மேட்ரிக்ஸின் நியமன வடிவத்தைத் தேடும்போது, ​​​​அதைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை கவனத்தில் கொள்வோம். மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், உருமாற்றச் செயல்பாட்டின் போது நீங்கள் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளை மட்டுமே பயன்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.10. அணிக்கு A-1 ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.முதலில் மேட்ரிக்ஸ் A இன் தீர்மானிப்பதைக் காண்கிறோம்
இதன் பொருள் தலைகீழ் அணி உள்ளது மற்றும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் கண்டறியலாம்: , இங்கு A i j (i,j=1,2,3) என்பது அசல் மேட்ரிக்ஸின் a i j தனிமங்களின் இயற்கணிதச் சேர்த்தல் ஆகும்.

எங்கே .

எடுத்துக்காட்டு 2.11. அடிப்படை மாற்றங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி, அணிக்கு A -1 ஐக் கண்டறியவும்: A = .

தீர்வு.வலதுபுறத்தில் உள்ள அசல் மேட்ரிக்ஸுக்கு அதே வரிசையின் அடையாள அணியை நாங்கள் ஒதுக்குகிறோம்: . நெடுவரிசைகளின் அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, இடது "பாதி" ஐ அடையாளமாக குறைப்போம், ஒரே நேரத்தில் வலது மேட்ரிக்ஸில் அதே மாற்றங்களைச் செய்வோம்.
இதைச் செய்ய, முதல் மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசைகளை மாற்றவும்: ~ . மூன்றாவது நெடுவரிசையில் நாம் முதலில் சேர்க்கிறோம், இரண்டாவது - முதல், -2 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது: . முதல் நெடுவரிசையில் இருந்து நாம் இரண்டாவது இரட்டிப்பாக கழிக்கிறோம், மூன்றாவது - இரண்டாவது 6 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது; . முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசையில் மூன்றாவது நெடுவரிசையைச் சேர்ப்போம்: . கடைசி நெடுவரிசையை -1 ஆல் பெருக்கவும்: . செங்குத்து பட்டியின் வலதுபுறத்தில் பெறப்பட்ட சதுர அணி, கொடுக்கப்பட்ட அணி A இன் தலைகீழ் அணி ஆகும். எனவே,
.