4 க்கு 4 மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு அணியின் தரவரிசையைக் கணக்கிடுகிறது

>>மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை

மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை

மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை தீர்மானித்தல்

கருத்தில் கொள்வோம் செவ்வக அணி. இந்த மேட்ரிக்ஸில் நாம் தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கிறோம் என்றால் கேகோடுகள் மற்றும் கேநெடுவரிசைகள், பின்னர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ள உறுப்புகள் உருவாகின்றன சதுர அணி kth வரிசை. இந்த மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் அழைக்கப்படுகிறது kth வரிசையில் சிறியது matrix A. வெளிப்படையாக, matrix A ஆனது m ​​மற்றும் n எண்களில் 1 முதல் சிறியது வரை எந்த வரிசையிலும் மைனர்களைக் கொண்டுள்ளது. மேட்ரிக்ஸ் A இன் அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற மைனர்களிலும் ஒன்று உள்ளது குறைந்தபட்சம்ஒரு மைனர் யாருடைய வரிசை மிகப் பெரியதாக இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற சிறிய ஆர்டர்களில் மிகப்பெரியது அழைக்கப்படுகிறது தரவரிசைமெட்ரிக்குகள். அணி A இன் ரேங்க் என்றால் ஆர், இதன் பொருள் அணி A பூஜ்ஜியமற்ற சிறிய வரிசையைக் கொண்டுள்ளது ஆர், ஆனால் ஒவ்வொரு மைனர் ஆர்டரை விட பெரியது ஆர், பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். அணி A இன் ரேங்க் r(A) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, உறவு வைத்திருக்கிறது

சிறார்களைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரத்தைக் கணக்கிடுதல்

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறை அல்லது அடிப்படை மாற்றங்களின் முறை மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. முதல் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கணக்கிடும்போது, ​​நீங்கள் குறைந்த வரிசை மைனர்களில் இருந்து உயர் வரிசை மைனர்களுக்கு மாற வேண்டும். பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட அணி A இன் kth வரிசையின் மைனர் D ஏற்கனவே கண்டறியப்பட்டிருந்தால், மைனர் Dயின் எல்லையில் உள்ள (k+1) வரிசை மைனர்களுக்கு மட்டுமே கணக்கீடு தேவைப்படுகிறது, அதாவது. மைனராக அதைக் கொண்டுள்ளது. அவை அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை சமமாக இருக்கும் கே.

எடுத்துக்காட்டு 1.சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

.

தீர்வு.நாங்கள் 1வது வரிசை சிறார்களுடன் தொடங்குகிறோம், அதாவது. அணி A இன் உறுப்புகளில் இருந்து, எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வரிசை மற்றும் முதல் நெடுவரிசையில் அமைந்துள்ள ஒரு சிறிய (உறுப்பு) M 1 = 1 ஐ தேர்வு செய்வோம். இரண்டாவது வரிசை மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசையின் உதவியுடன் எல்லை, பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட சிறிய M 2 = ஐப் பெறுகிறோம். இப்போது M2 எல்லையில் உள்ள 3வது வரிசை சிறார்களுக்கு திரும்புவோம். அவற்றில் இரண்டு மட்டுமே உள்ளன (நீங்கள் இரண்டாவது அல்லது நான்காவது நெடுவரிசையைச் சேர்க்கலாம்). அவற்றைக் கணக்கிடுவோம்: = 0. எனவே, மூன்றாம் வரிசையின் அனைத்து எல்லைக் மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக மாறினர். அணி A இன் தரவரிசை இரண்டு.

அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கணக்கிடுதல்

தொடக்கநிலைபின்வரும் மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன:

1) ஏதேனும் இரண்டு வரிசைகளின் (அல்லது நெடுவரிசைகள்) வரிசைமாற்றம்

2) ஒரு வரிசையை (அல்லது நெடுவரிசையை) பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண்ணால் பெருக்குதல்,

3) ஒரு வரிசையில் (அல்லது நெடுவரிசை) மற்றொரு வரிசையை (அல்லது நெடுவரிசை) சேர்த்தல், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது.

இரண்டு மெட்ரிக்குகள் அழைக்கப்படுகின்றன இணையான, வரையறுக்கப்பட்ட அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி அவற்றில் ஒன்று மற்றொன்றிலிருந்து பெறப்பட்டால்.

சமமான மெட்ரிக்குகள் பொதுவாகச் சமமாக இல்லை, ஆனால் அவற்றின் ரேங்க்கள் சமமாக இருக்கும். Matrices A மற்றும் B சமமானதாக இருந்தால், அது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: A~பி.

நியமனம்மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு அணி, இதில் பிரதான மூலைவிட்டத்தின் தொடக்கத்தில் ஒரு வரிசையில் பல உள்ளன (அவற்றின் எண்ணிக்கை பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம்), மற்ற அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், எடுத்துக்காட்டாக,

.

வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, எந்த மேட்ரிக்ஸையும் நியமனமாக குறைக்கலாம். கேனானிகல் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை எண்ணுக்கு சமம்அதன் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் அலகுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 2மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

A=

மற்றும் அதை நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வரவும்.

தீர்வு.இரண்டாவது வரியிலிருந்து, முதல் வரியைக் கழித்து, இந்த வரிகளை மறுசீரமைக்கவும்:

.

இப்போது இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிகளிலிருந்து முறையே 2 மற்றும் 5 ஆல் பெருக்கப்படும் முதல் வரியைக் கழிப்போம்:

;

மூன்றாவது வரியிலிருந்து முதலில் கழிக்கவும்; நாங்கள் ஒரு அணியைப் பெறுகிறோம்

பி = ,

இது மேட்ரிக்ஸ் A க்கு சமமானதாகும், ஏனெனில் இது வரையறுக்கப்பட்ட அடிப்படை மாற்றங்களின் தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, அணி B இன் தரவரிசை 2, எனவே r(A)=2. மேட்ரிக்ஸ் B ஐ எளிதாக நியமனமாக குறைக்கலாம். முதல் நெடுவரிசையைக் கழிப்பதன் மூலம், பொருத்தமான எண்களால் பெருக்கி, அனைத்து அடுத்தடுத்தவற்றிலிருந்தும், முதல் வரிசையைத் தவிர, முதல் வரிசையின் அனைத்து உறுப்புகளையும் பூஜ்ஜியமாக மாற்றுவோம், மீதமுள்ள வரிசைகளின் கூறுகள் மாறாது. பின்னர், இரண்டாவது நெடுவரிசையைக் கழித்து, பொருத்தமான எண்களால் பெருக்கி, அடுத்தடுத்த எல்லாவற்றிலிருந்தும், இரண்டாவது வரிசையைத் தவிர, இரண்டாவது வரிசையின் அனைத்து உறுப்புகளையும் பூஜ்ஜியமாக மாற்றி, நியமன மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம்:

.

சில மேட்ரிக்ஸ் கொடுக்கலாம்:

.

இந்த மேட்ரிக்ஸில் தேர்ந்தெடுப்போம் தன்னிச்சையான சரங்கள் மற்றும் தன்னிச்சையான நெடுவரிசைகள்
. பின்னர் தீர்மானிப்பவர் வது வரிசை, அணி உறுப்புகளால் ஆனது
, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ளது, இது மைனர் என்று அழைக்கப்படுகிறது வது வரிசை அணி
.

வரையறை 1.13.மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை
இந்த மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனரின் மிகப்பெரிய வரிசையாகும்.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கணக்கிட, அதன் அனைத்து சிறார்களையும் மிகக் குறைந்த வரிசையாகக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால், உயர்ந்த வரிசையின் சிறார்களைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை நிர்ணயிப்பதற்கான இந்த அணுகுமுறை எல்லை முறை (அல்லது சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறை) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சிக்கல் 1.4.சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்தி, மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை தீர்மானிக்கவும்
.

.

எடுத்துக்காட்டாக, முதல்-வரிசை விளிம்பைக் கவனியுங்கள்,
. சில இரண்டாம் வரிசை விளிம்புகளைக் கருத்தில் கொள்ள நாங்கள் செல்கிறோம்.

உதாரணத்திற்கு,
.

இறுதியாக, மூன்றாம் வரிசை எல்லையை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

.

இதனால், மிக உயர்ந்த வரிசைசிறிய பூஜ்யம் அல்லாத 2, எனவே
.

சிக்கல் 1.4 ஐத் தீர்க்கும் போது, ​​பல இரண்டாம் வரிசை சிறார்களின் எண்ணிக்கை பூஜ்ஜியமாக இருப்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம். இது சம்பந்தமாக, பின்வரும் கருத்து பொருந்தும்.

வரையறை 1.14.மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை மைனர் என்பது பூஜ்ஜியமற்ற மைனர் ஆகும், அதன் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமம்.

தேற்றம் 1.2.(அடிப்படை சிறு தேற்றம்). அடிப்படை வரிசைகள் (அடிப்படை நெடுவரிசைகள்) நேரியல் சார்புடையவை.

மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் (நெடுவரிசைகள்) நேரியல் சார்ந்து இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்

தேற்றம் 1.3.நேரியல் சார்பற்ற அணி வரிசைகளின் எண்ணிக்கை நேரியல் சார்பற்ற அணி நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமம்.

தேற்றம் 1.4.(தீர்மானி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை). தீர்மானிப்பதற்காக -வது வரிசை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தது, அதன் வரிசைகள் (நெடுவரிசைகள்) நேரியல் சார்ந்து இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையை அதன் வரையறையின் அடிப்படையில் கணக்கிடுவது மிகவும் சிக்கலானது. உயர் ஆர்டர்களின் மெட்ரிக்குகளுக்கு இது மிகவும் முக்கியமானது. இது சம்பந்தமாக, நடைமுறையில், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 10.2 - 10.4 கோட்பாடுகளின் பயன்பாட்டின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகிறது, அதே போல் மேட்ரிக்ஸ் சமநிலை மற்றும் அடிப்படை மாற்றங்களின் கருத்துகளின் பயன்பாடு.

வரையறை 1.15.இரண்டு மெட்ரிக்குகள்
மற்றும் அவற்றின் ரேங்க்கள் சமமாக இருந்தால் அவை சமமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அதாவது.
.

மெட்ரிக்ஸ் என்றால்
மற்றும் சமமானவை, பின்னர் கவனிக்கவும்
 .

தேற்றம் 1.5.அடிப்படை மாற்றங்கள் காரணமாக மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மாறாது.

எலிமெண்டரி மேட்ரிக்ஸ் உருமாற்றங்கள் என்று சொல்வோம்
மேட்ரிக்ஸில் பின்வரும் செயல்பாடுகளில் ஏதேனும்:

வரிசைகளை நெடுவரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை தொடர்புடைய வரிசைகளுடன் மாற்றுதல்;

மேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளை மறுசீரமைத்தல்;

அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஒரு கோட்டைக் கடப்பது;

ஒரு சரத்தை பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் பெருக்குதல்;

ஒரு வரியின் உறுப்புகளுடன் சேர்த்து மற்றொரு வரியின் தொடர்புடைய உறுப்புகள் அதே எண்ணால் பெருக்கப்படும்
.

தேற்றத்தின் முடிவு 1.5.அணி என்றால்
மேட்ரிக்ஸிலிருந்து பெறப்பட்டது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, பின்னர் அணி
மற்றும் சமமானவை.

மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை கணக்கிடும் போது, ​​வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு ட்ரெப்சாய்டல் வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட வேண்டும்.

வரையறை 1.16.பூஜ்யம் அல்லாத உயர்ந்த வரிசையின் எல்லைக்குட்பட்ட மைனரில், மூலைவிட்டத்திற்குக் கீழே உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் மறைந்துவிடும் போது, ​​ட்ரெப்சாய்டலை அணி பிரதிநிதித்துவத்தின் ஒரு வடிவம் என்று அழைப்போம். உதாரணத்திற்கு:

.

இங்கே
, அணி உறுப்புகள்
பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்க. அத்தகைய மேட்ரிக்ஸின் பிரதிநிதித்துவ வடிவம் ட்ரெப்சாய்டலாக இருக்கும்.

ஒரு விதியாக, காஸியன் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி மெட்ரிக்குகள் ட்ரெப்சாய்டல் வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்படுகின்றன. காஸ் அல்காரிதத்தின் யோசனை என்னவென்றால், மேட்ரிக்ஸின் முதல் வரிசையின் கூறுகளை தொடர்புடைய காரணிகளால் பெருக்குவதன் மூலம், முதல் நெடுவரிசையின் அனைத்து கூறுகளும் உறுப்புக்கு கீழே அமைந்துள்ளன.
, பூஜ்ஜியமாக மாறும். பின்னர், இரண்டாவது நெடுவரிசையின் கூறுகளை தொடர்புடைய காரணிகளால் பெருக்கி, இரண்டாவது நெடுவரிசையின் அனைத்து கூறுகளும் உறுப்புக்கு கீழே இருப்பதை உறுதிசெய்கிறோம்.
, பூஜ்ஜியமாக மாறும். பின்னர் அதே வழியில் தொடரவும்.

சிக்கல் 1.5.மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை ட்ரெப்சாய்டல் வடிவத்திற்குக் குறைப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கவும்.

.

காஸியன் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவதை எளிதாக்க, நீங்கள் முதல் மற்றும் மூன்றாவது வரிகளை மாற்றலாம்.








.

அது இங்கே தெளிவாக உள்ளது
. இருப்பினும், முடிவை மிகவும் நேர்த்தியான வடிவத்திற்கு கொண்டு வர, நீங்கள் நெடுவரிசைகளை மாற்றுவதைத் தொடரலாம்.










.

தலைப்பின் முக்கியமான நடைமுறை பயன்பாட்டையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்: அமைப்பு ஆராய்ச்சி நேரியல் சமன்பாடுகள்கூட்டுக்கு.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்ன?

கட்டுரையின் நகைச்சுவையான கல்வெட்டில் உள்ளது பெரிய பங்குஉண்மை. நாங்கள் வழக்கமாக "தரவரிசை" என்ற வார்த்தையை ஒருவித வரிசைமுறையுடன் தொடர்புபடுத்துகிறோம், பெரும்பாலும் ஒரு தொழில் ஏணியுடன். ஒருவருக்கு அறிவு, அனுபவம், திறன்கள், தொடர்புகள் போன்றவை அதிகமாக இருக்கும். - அவரது நிலை மற்றும் வாய்ப்புகளின் வரம்பு உயர்ந்தது. இளைஞர்களின் அடிப்படையில், ரேங்க் என்பது "செங்குத்தான" பொது அளவைக் குறிக்கிறது.

எங்கள் கணித சகோதரர்கள் அதே கொள்கைகளின்படி வாழ்கின்றனர். தற்செயலாக சிலவற்றை நடைப்பயிற்சிக்கு எடுத்துக்கொள்வோம் பூஜ்ஜிய மெட்ரிக்குகள்:

மேட்ரிக்ஸில் இருந்தால் அதைப் பற்றி யோசிப்போம் அனைத்து பூஜ்ஜியங்கள், அப்புறம் என்ன ரேங்க் பற்றி பேசலாம்? "மொத்த பூஜ்யம்" என்ற முறைசாரா வெளிப்பாடு அனைவருக்கும் தெரிந்ததே. மெட்ரிக்குகளின் சமூகத்தில் எல்லாம் சரியாகவே உள்ளது:

பூஜ்ஜிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசைஎந்த அளவும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

குறிப்பு : பூஜ்ஜிய அணி "தீட்டா" என்ற கிரேக்க எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை நன்றாகப் புரிந்துகொள்வதற்காக, இனிமேல் நான் உதவும் பொருட்களைப் பயன்படுத்துவேன் பகுப்பாய்வு வடிவியல். பூஜ்ஜியத்தைக் கவனியுங்கள் திசையன்எங்கள் முப்பரிமாண இடம், இது ஒரு குறிப்பிட்ட திசையை அமைக்காது மற்றும் கட்டிடத்திற்கு பயனற்றது இணைப்பு அடிப்படையில். இயற்கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், இந்த வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் எழுதப்பட்டுள்ளன அணி"மூன்று ஒன்று" மற்றும் தர்க்கரீதியானது (குறிப்பிடப்பட்ட வடிவியல் அர்த்தத்தில்)இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை பூஜ்ஜியம் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

இப்போது சிலவற்றைப் பார்ப்போம் பூஜ்யம் அல்லாத நெடுவரிசை திசையன்கள்மற்றும் வரிசை திசையன்கள்:


ஒவ்வொரு நிகழ்விலும் குறைந்தது ஒரு பூஜ்ஜியம் அல்லாத உறுப்பு உள்ளது, அது ஒன்றுதான்!

பூஜ்ஜியமற்ற வரிசை வெக்டரின் (நெடுவரிசை திசையன்) ரேங்க் ஒன்றுக்கு சமம்

மற்றும் பொதுவாகச் சொன்னால் - அணியில் இருந்தால் தன்னிச்சையான அளவுகள்குறைந்தது ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு உள்ளது, பின்னர் அதன் தரவரிசை குறையாமல்அலகுகள்.

இயற்கணித வரிசை திசையன்கள் மற்றும் நெடுவரிசை திசையன்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிற்கு சுருக்கமானவை, எனவே மீண்டும் வடிவியல் தொடர்புக்கு திரும்புவோம். பூஜ்யம் அல்லாதது திசையன்விண்வெளியில் மிகவும் திட்டவட்டமான திசையை அமைக்கிறது மற்றும் கட்டுமானத்திற்கு ஏற்றது அடிப்படையில், எனவே மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை ஒன்றுக்கு சமமாக கருதப்படும்.

தத்துவார்த்த தகவல் : நேரியல் இயற்கணிதத்தில், திசையன் என்பது ஒரு திசையன் இடத்தின் ஒரு உறுப்பு (8 கோட்பாடுகள் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது), இது குறிப்பாக, வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உண்மையான எண்ணால் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன் உண்மையான எண்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வரிசையை (அல்லது நெடுவரிசை) குறிக்கும். அவர்களுக்காக. மேலும் விரிவான தகவல்திசையன்கள் பற்றி கட்டுரையில் காணலாம் நேரியல் மாற்றங்கள்.

நேரியல் சார்ந்தது(ஒருவருக்கொருவர் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது). உடன் வடிவியல் புள்ளிபார்க்க, இரண்டாவது வரியில் கோலினியர் வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் உள்ளன , இது கட்டியமைப்பதில் விஷயத்தை முன்னேற்றவில்லை முப்பரிமாண அடிப்படையில், இந்த அர்த்தத்தில் இருப்பது மிகையானது. எனவே, இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரமும் ஒன்றுக்கு சமம்.

திசையன்களின் ஆயங்களை நெடுவரிசைகளாக மீண்டும் எழுதுவோம் ( அணியை மாற்றவும்):

ரேங்க் அடிப்படையில் என்ன மாறிவிட்டது? ஒன்றுமில்லை. நெடுவரிசைகள் விகிதாசாரமாக உள்ளன, அதாவது தரவரிசை ஒன்றுக்கு சமம். மூலம், மூன்று வரிகளும் விகிதாசாரமாக உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. அவற்றை ஆயத்தொகுப்புகளுடன் அடையாளம் காணலாம் மூன்றுவிமானத்தின் கோலினியர் திசையன்கள், இதில் ஒரே ஒருஒரு "பிளாட்" அடிப்படையை உருவாக்க பயனுள்ளதாக இருக்கும். மேலும் இது நமது வடிவியல் ரேங்க் உணர்வோடு முற்றிலும் ஒத்துப்போகிறது.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் இருந்து ஒரு முக்கியமான அறிக்கை பின்வருமாறு:

வரிசைகளில் உள்ள மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் நெடுவரிசைகளில் உள்ள மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமம். திறம்பட பற்றி பாடத்தில் இதை ஏற்கனவே கொஞ்சம் குறிப்பிட்டுள்ளேன் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்.

குறிப்பு : வரிசைகளின் நேரியல் சார்பு என்பது நெடுவரிசைகளின் நேரியல் சார்ந்திருப்பதைக் குறிக்கிறது (மற்றும் நேர்மாறாகவும்). ஆனால் நேரத்தை மிச்சப்படுத்தவும், பழக்கத்திற்கு மாறாகவும், நான் எப்போதும் சரங்களின் நேரியல் சார்பு பற்றி பேசுவேன்.

எங்கள் அன்பான செல்லப்பிராணிக்கு தொடர்ந்து பயிற்சி அளிப்போம். மூன்றாவது வரிசையில் உள்ள மேட்ரிக்ஸில் மற்றொரு கோலினியர் வெக்டரின் ஆயங்களைச் சேர்ப்போம் :

முப்பரிமாண அடிப்படையை உருவாக்க அவர் எங்களுக்கு உதவி செய்தாரா? நிச்சயமாக இல்லை. மூன்று திசையன்களும் ஒரே பாதையில் முன்னும் பின்னுமாக நடக்கின்றன, மேலும் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை ஒன்றுக்கு சமம். நீங்கள் விரும்பும் பல கோலினியர் திசையன்களை நீங்கள் எடுக்கலாம், 100 என்று சொல்லுங்கள், அவற்றின் ஆயங்களை “நூறுக்கு மூன்று” மேட்ரிக்ஸில் வைக்கவும், அத்தகைய வானளாவிய கட்டிடத்தின் தரம் இன்னும் ஒன்றாகவே இருக்கும்.

மேட்ரிக்ஸைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம், அதன் வரிசைகள் நேரியல் சார்பற்றது. ஒரு ஜோடி அல்லாத கோலினியர் திசையன்கள் முப்பரிமாண அடிப்படையை உருவாக்க ஏற்றது. இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை இரண்டு.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்ன? கோடுகள் விகிதாசாரமாகத் தெரியவில்லை... எனவே, கோட்பாட்டில், அவை மூன்று. இருப்பினும், இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரமும் இரண்டு. நான் முதல் இரண்டு வரிகளைச் சேர்த்து, முடிவை கீழே எழுதினேன், அதாவது. நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்பட்டதுமுதல் இரண்டு வழியாக மூன்றாவது வரி. வடிவியல் ரீதியாக, மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் மூன்றின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கு ஒத்திருக்கும் coplanar திசையன்கள், மற்றும் இந்த மூவரில் ஒரு ஜோடி அல்லாத கோலினியர் தோழர்கள் உள்ளனர்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நேரியல் சார்புகருதப்படும் மேட்ரிக்ஸில் வெளிப்படையாக இல்லை, இன்று அதை எவ்வாறு திறந்த வெளியில் கொண்டு வருவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்ன என்பதை பலர் யூகிக்க முடியும் என்று நினைக்கிறேன்!

வரிசைகளைக் கொண்ட மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் நேரியல் சார்பற்றது. திசையன்கள் உருவாகின்றன இணைப்பு அடிப்படையில், மற்றும் இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மூன்று.

உங்களுக்கு தெரியும், முப்பரிமாண இடத்தின் எந்த நான்காவது, ஐந்தாவது, பத்தாவது திசையன் மூலம் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்படும் அடிப்படை திசையன்கள். எனவே, ஒரு மேட்ரிக்ஸில் ஏதேனும் வரிசைகளைச் சேர்த்தால், அதன் தரவரிசை இன்னும் மூன்று சமமாக இருக்கும்.

மெட்ரிக்குகளுக்கும் இதே போன்ற பகுத்தறிவை மேற்கொள்ளலாம் பெரிய அளவுகள்(நிச்சயமாக, எந்த வடிவியல் பொருள் இல்லாமல்).

வரையறை : மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அதிகபட்ச தொகைநேரியல் சார்பற்ற வரிசைகள். அல்லது: மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்பது நேரியல் சார்பற்ற நெடுவரிசைகளின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கையாகும். ஆம், அவர்களின் எண்ணிக்கை எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

மேற்கூறியவற்றிலிருந்து ஒரு முக்கியமான நடைமுறை வழிகாட்டுதலும் பின்வருமாறு: மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அதன் குறைந்தபட்ச பரிமாணத்தை விட அதிகமாக இல்லை. உதாரணமாக, மேட்ரிக்ஸில் நான்கு வரிசைகள் மற்றும் ஐந்து நெடுவரிசைகள். குறைந்தபட்ச பரிமாணம் நான்கு, எனவே, இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நிச்சயமாக 4 ஐ விட அதிகமாக இருக்காது.

பதவிகள்: உலகக் கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறையில், ஒரு மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை நியமிப்பதற்கு பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தரநிலை எதுவும் இல்லை: - அவர்கள் சொல்வது போல், ஒரு ஆங்கிலேயர் ஒரு விஷயத்தை எழுதுகிறார். எனவே, அமெரிக்க மற்றும் ரஷ்ய நரகத்தைப் பற்றிய பிரபலமான நகைச்சுவையின் அடிப்படையில், மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை ஒரு சொந்த வார்த்தையுடன் குறிப்போம். உதாரணத்திற்கு: . மேட்ரிக்ஸ் "பெயரிடப்படாதது" என்றால், அதில் பல உள்ளன, நீங்கள் வெறுமனே எழுதலாம் .

சிறார்களைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

என் பாட்டியின் மேட்ரிக்ஸில் ஐந்தாவது நெடுவரிசை இருந்தால், அவர் 4 வது வரிசையில் (“நீலம்”, “ராஸ்பெர்ரி” + 5 வது நெடுவரிசை) மற்றொரு மைனரைக் கணக்கிட வேண்டும்.

முடிவுரை: பூஜ்ஜியம் அல்லாத மைனரின் அதிகபட்ச வரிசை மூன்று, அதாவது .

ஒருவேளை எல்லோரும் இந்த சொற்றொடரை முழுமையாகப் புரிந்து கொள்ளவில்லை: 4 வது வரிசையின் மைனர் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், ஆனால் 3 வது வரிசையின் சிறார்களில் பூஜ்ஜியமற்ற ஒன்று இருந்தது - எனவே அதிகபட்ச வரிசை பூஜ்யம் அல்லாதசிறிய மற்றும் சமம் மூன்று.

கேள்வி எழுகிறது: தீர்மானிப்பதை ஏன் உடனடியாக கணக்கிடக்கூடாது? சரி, முதலாவதாக, பெரும்பாலான பணிகளில் மேட்ரிக்ஸ் சதுரமாக இல்லை, இரண்டாவதாக, நீங்கள் பூஜ்ஜியமற்ற மதிப்பைப் பெற்றாலும், பணி பெரும்பாலும் நிராகரிக்கப்படும், ஏனெனில் இது வழக்கமாக நிலையான "கீழ்-மேல்" தீர்வை உள்ளடக்கியது. கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், 4 வது வரிசையின் பூஜ்ஜிய நிர்ணயிப்பானது, மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நான்கிற்கு குறைவாக இருப்பதைக் கூற அனுமதிக்கிறது.

நான் ஒப்புக்கொள்ள வேண்டும், சிறார்களை எல்லைக்குட்படுத்தும் முறையை சிறப்பாக விளக்குவதற்காக என்னை நானே பகுப்பாய்வு செய்த சிக்கலை நான் கொண்டு வந்தேன். நடைமுறையில், எல்லாம் எளிமையானது:

எடுத்துக்காட்டு 2

எட்ஜ் மைனர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

அல்காரிதம் எப்போது வேகமாக வேலை செய்யும்? அதே நான்கால் நான்கு அணிக்கு வருவோம். . வெளிப்படையாக, தீர்வு "நல்லது" விஷயத்தில் மிகக் குறுகியதாக இருக்கும். மூலையில் சிறார்:

மற்றும், என்றால் , பின்னர் , இல்லையெனில் – .

சிந்தனை முற்றிலும் கற்பனையானது அல்ல - முழு விஷயமும் கோண சிறார்களுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்ட பல எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன.

இருப்பினும், சில சந்தர்ப்பங்களில் மற்றொரு முறை மிகவும் பயனுள்ளதாகவும் விரும்பத்தக்கதாகவும் இருக்கும்:

காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

பத்தி ஏற்கனவே தெரிந்த வாசகர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது காசியன் முறைமற்றும் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தங்கள் கைகளில் கிடைத்தது.

தொழில்நுட்பக் கண்ணோட்டத்தில், முறை புதுமையானது அல்ல:

1) அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, மேட்ரிக்ஸை ஒரு படிநிலை வடிவத்தில் குறைக்கிறோம்;

2) மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்.

என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்துவதால் மேட்ரிக்ஸின் தரம் மாறாது, மற்றும் இங்கே சாராம்சம் மிகவும் எளிமையானது: அல்காரிதம் படி, அடிப்படை மாற்றங்களின் போது, ​​அனைத்து தேவையற்ற விகிதாசார (நேரியல் சார்ந்த) வரிசைகள் அடையாளம் காணப்பட்டு அகற்றப்படுகின்றன, இதன் விளைவாக "உலர்ந்த எச்சம்" - அதிகபட்ச நேரியல் சுயாதீன வரிசைகள்.

பழைய பரிச்சயமான மேட்ரிக்ஸை மாற்றுவோம் மூன்றின் ஆயத்தொகுப்புகள்கோலினியர் திசையன்கள்:

(1) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –2. முதல் வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது.

(2) பூஜ்ஜிய கோடுகள் அகற்றப்படும்.

எனவே, ஒரு வரி மீதமுள்ளது, எனவே . 2 வது வரிசையின் ஒன்பது பூஜ்ஜிய மைனர்களைக் கணக்கிடுவதை விட இது மிக விரைவானது என்று சொல்லத் தேவையில்லை.

அதையே உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் இயற்கணித அணிஎதையும் மாற்ற முடியாது, மேலும் தரவரிசையை நிர்ணயிக்கும் நோக்கத்திற்காக மட்டுமே மாற்றங்கள் செய்யப்படுகின்றன! மூலம், கேள்வியில் மீண்டும் ஒருமுறை வாழ்வோம், ஏன் இல்லை? மூல அணி அணி மற்றும் வரிசையின் தகவலிலிருந்து அடிப்படையில் வேறுபட்ட தகவலைக் கொண்டுள்ளது. சிலவற்றில் கணித மாதிரிகள்(மிகைப்படுத்தல் இல்லை) ஒரு எண்ணில் உள்ள வேறுபாடு வாழ்க்கை மற்றும் இறப்பு விஷயமாக இருக்கலாம். ... ஞாபகம் வந்தது பள்ளி ஆசிரியர்கள்ஆரம்ப மற்றும் இடைநிலை வகுப்புகளின் கணிதவியலாளர்கள், சிறிதளவு துல்லியமின்மை அல்லது அல்காரிதத்திலிருந்து விலகலுக்கு இரக்கமின்றி தரத்தை 1-2 புள்ளிகளால் குறைக்கிறார்கள். வெளித்தோற்றத்தில் உத்தரவாதம் அளிக்கப்பட்ட "A" க்கு பதிலாக, அது "நல்லது" அல்லது அதைவிட மோசமாக மாறியது மிகவும் ஏமாற்றத்தை அளித்தது. புரிதல் மிகவும் பின்னர் வந்தது - செயற்கைக்கோள்கள், அணு ஆயுதங்கள் மற்றும் மின் உற்பத்தி நிலையங்களை ஒரு நபரிடம் வேறு எப்படி ஒப்படைப்பது? ஆனால் கவலைப்பட வேண்டாம், நான் இந்த பகுதிகளில் வேலை செய்யவில்லை =)

மிகவும் அர்த்தமுள்ள பணிகளுக்குச் செல்வோம், மற்றவற்றுடன், முக்கியமான கணக்கீட்டு நுட்பங்களைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். காஸ் முறை:

எடுத்துக்காட்டு 3

அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: ஒரு "நான்கு ஐந்து" அணி வழங்கப்படுகிறது, அதாவது அதன் தரவரிசை நிச்சயமாக 4 க்கு மேல் இல்லை.

முதல் நெடுவரிசையில், 1 அல்லது –1 இல்லை, எனவே, குறைந்தபட்சம் ஒரு யூனிட்டையாவது பெற கூடுதல் நடவடிக்கைகள் தேவை. தளத்தின் இருப்பு முழுவதும், என்னிடம் மீண்டும் மீண்டும் கேள்வி கேட்கப்பட்டது: "அடிப்படை மாற்றங்களின் போது நெடுவரிசைகளை மறுசீரமைக்க முடியுமா?" இங்கே - நாங்கள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசைகளை மறுசீரமைத்தோம், எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது! இது பயன்படுத்தப்படும் பெரும்பாலான பணிகளில் காசியன் முறை, நெடுவரிசைகளை உண்மையில் மறுசீரமைக்க முடியும். ஆனால் தேவையில்லை. மேலும் புள்ளியானது மாறிகளுடன் சாத்தியமான குழப்பத்தில் கூட இல்லை, புள்ளி என்னவென்றால், உயர் கணிதத்தின் கிளாசிக்கல் போக்கில் இந்த நடவடிக்கை பாரம்பரியமாக கருதப்படுவதில்லை, எனவே அத்தகைய தலையீடு மிகவும் வக்கிரமாக பார்க்கப்படும் (அல்லது எல்லாவற்றையும் மீண்டும் செய்ய வேண்டிய கட்டாயம் கூட).

இரண்டாவது புள்ளி எண்களைப் பற்றியது. நீங்கள் உங்கள் முடிவை எடுக்கும்போது, ​​பின்வரும் கட்டைவிரல் விதியைப் பயன்படுத்துவது உதவியாக இருக்கும்: அடிப்படை மாற்றங்கள், முடிந்தால், மேட்ரிக்ஸ் எண்களைக் குறைக்க வேண்டும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒன்று, இரண்டு, மூன்றுடன் வேலை செய்வது மிகவும் எளிதானது, எடுத்துக்காட்டாக, 23, 45 மற்றும் 97 ஐ விட. மேலும் முதல் செயல், முதல் நெடுவரிசையில் ஒன்றைப் பெறுவது மட்டுமல்லாமல், எண்களை நீக்குவதையும் நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. 7 மற்றும் 11.

முதலில் முழுமையான தீர்வு, பின்னர் கருத்துகள்:

(1) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –2. முதல் வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, -3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. மற்றும் குவியலுக்கு: 1 வது வரி 4 வது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, -1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

(2) கடைசி மூன்று வரிகள் விகிதாசாரமாக உள்ளன. 3 மற்றும் 4 வது வரிகள் அகற்றப்பட்டன, இரண்டாவது வரி முதல் இடத்திற்கு மாற்றப்பட்டது.

(3) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, -3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

எக்கலான் வடிவத்தில் குறைக்கப்பட்ட அணி இரண்டு வரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்:

இப்போது நான்கால் நான்கு மேட்ரிக்ஸை சித்திரவதை செய்வது உங்கள் முறை:

எடுத்துக்காட்டு 4

காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

அதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் காசியன் முறைதெளிவற்ற கடினத்தன்மையைக் குறிக்கவில்லை, உங்கள் முடிவு பெரும்பாலும் எனது முடிவிலிருந்து மாறுபடும். பாடத்தின் முடிவில் ஒரு பணியின் சுருக்கமான எடுத்துக்காட்டு.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிய நான் எந்த முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும்?

நடைமுறையில், தரவரிசையைக் கண்டறிய எந்த முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பது பெரும்பாலும் குறிப்பிடப்படவில்லை. அத்தகைய சூழ்நிலையில், நிபந்தனை பகுப்பாய்வு செய்யப்பட வேண்டும் - சில மெட்ரிக்குகளுக்கு சிறார்களின் மூலம் தீர்க்க மிகவும் பகுத்தறிவு உள்ளது, மற்றவர்களுக்கு அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் லாபகரமானது:

எடுத்துக்காட்டு 5

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: முதல் முறை எப்படியோ உடனடியாக மறைந்துவிடும் =)

சற்று அதிகமாக, மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளைத் தொட வேண்டாம் என்று நான் அறிவுறுத்தினேன், ஆனால் பூஜ்ஜிய நெடுவரிசை அல்லது விகிதாசார/ஒத்திசைவு நெடுவரிசைகள் இருக்கும்போது, ​​​​அதை இன்னும் வெட்டுவது மதிப்பு:

(1) ஐந்தாவது நெடுவரிசை பூஜ்ஜியமாகும், அதை மேட்ரிக்ஸிலிருந்து அகற்றவும். எனவே, மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நான்குக்கு மேல் இல்லை. முதல் வரி –1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. இது காஸ் முறையின் மற்றொரு கையொப்ப அம்சமாகும், இது பின்வரும் செயலை இனிமையான நடையாக மாற்றுகிறது:

(2) அனைத்து வரிகளிலும், இரண்டாவது முதல், முதல் வரி சேர்க்கப்பட்டது.

(3) முதல் வரி –1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது, மூன்றாவது வரி 2 ஆல் வகுக்கப்பட்டது, நான்காவது வரி 3 ஆல் வகுக்கப்பட்டது. இரண்டாவது வரி ஐந்தாவது வரியுடன், –1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

(4) மூன்றாவது வரி ஐந்தாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, அது –2 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

(5) கடைசி இரண்டு வரிகள் விகிதாசாரத்தில் உள்ளன, ஐந்தாவது நீக்கப்பட்டது.

முடிவு 4 வரிகள்.

பதில்:

சுயாதீன ஆய்வுக்கான நிலையான ஐந்து மாடி கட்டிடம்:

எடுத்துக்காட்டு 6

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

பாடத்தின் முடிவில் ஒரு சிறிய தீர்வு மற்றும் பதில்.

"மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை" என்ற சொற்றொடர் நடைமுறையில் அடிக்கடி காணப்படவில்லை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், மேலும் பெரும்பாலான சிக்கல்களில் நீங்கள் அதை இல்லாமல் செய்ய முடியும். ஆனால் கேள்விக்குரிய கருத்து முக்கியமாக இருக்கும் ஒரு பணி உள்ளது நடிகர், மற்றும் கட்டுரையை முடிக்க இந்த நடைமுறை பயன்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

நிலைத்தன்மைக்கான நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எவ்வாறு படிப்பது?

பெரும்பாலும், தீர்வுக்கு கூடுதலாக நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்நிபந்தனையின் படி, முதலில் பொருந்தக்கூடிய தன்மைக்காக அதை ஆய்வு செய்ய வேண்டும், அதாவது எந்தவொரு தீர்வும் உள்ளது என்பதை நிரூபிக்க வேண்டும். அத்தகைய சரிபார்ப்பில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது குரோனெக்கர்-காபெல்லி தேற்றம், தேவையான வடிவத்தில் நான் உருவாக்குவேன்:

தரவரிசை என்றால் கணினி மெட்ரிக்குகள்தரத்திற்கு சமம் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி அமைப்பு, பின்னர் அமைப்பு சீரானது, மற்றும் என்றால் கொடுக்கப்பட்ட எண்தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்துப்போகிறது, பிறகு தீர்வு தனித்துவமானது.

எனவே, பொருந்தக்கூடிய அமைப்பைப் படிக்க, சமத்துவத்தை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம் , எங்கே - அமைப்பு அணி(பாடத்திலிருந்து சொற்களை நினைவில் கொள்க காஸ் முறை), ஏ - நீட்டிக்கப்பட்ட கணினி அணி(அதாவது மாறிகளின் குணகங்களைக் கொண்ட அணி + இலவச சொற்களின் நெடுவரிசை).

வரையறை. மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசைதிசையன்களாகக் கருதப்படும் நேரியல் சார்பற்ற வரிசைகளின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கையாகும்.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை பற்றிய தேற்றம் 1. மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசைஒரு மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனரின் அதிகபட்ச வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தீர்மானிப்பவர்கள் பற்றிய பாடத்தில் மைனர் என்ற கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே விவாதித்தோம், இப்போது அதை பொதுமைப்படுத்துவோம். மேட்ரிக்ஸில் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான வரிசைகள் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான நெடுவரிசைகளை எடுத்துக்கொள்வோம், இது "எத்தனை" இருக்க வேண்டும் குறைவான எண்ணிக்கைமேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் மற்றும் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளுக்கு இந்த "எவ்வளவு" என்பது ஒரே எண்ணாக இருக்க வேண்டும். பின்னர் எத்தனை வரிசைகள் மற்றும் எத்தனை நெடுவரிசைகளின் சந்திப்பில் நமது அசல் மேட்ரிக்ஸை விட குறைந்த வரிசையின் அணி இருக்கும். தீர்மானிப்பான் ஒரு அணி மற்றும் குறிப்பிடப்பட்ட "சில" (வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை) k ஆல் குறிக்கப்பட்டால், kth வரிசையில் சிறியதாக இருக்கும்.

வரையறை.சிறிய ( ஆர்+1)தேர்வு செய்யப்பட்ட மைனர் இருக்கும் வரிசை ஆர்-வது வரிசை கொடுக்கப்பட்ட மைனருக்கு எல்லை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மிகவும் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படும் இரண்டு முறைகள் மேட்ரிக்ஸின் தரத்தைக் கண்டறிதல். இது சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் வழிமற்றும் அடிப்படை மாற்றங்களின் முறை(காஸ் முறை).

எல்லை மைனர்கள் முறையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​பின்வரும் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையில் தேற்றம் 2.ஒரு மைனர் மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளிலிருந்து இயற்றப்பட்டால் ஆர்வது வரிசை, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, பின்னர் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை சமமாக இருக்கும் ஆர்.

அடிப்படை உருமாற்ற முறையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​​​பின்வரும் சொத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது:

அடிப்படை மாற்றங்களின் மூலம், அசல் ஒன்றிற்கு சமமான ட்ரெப்சாய்டல் மேட்ரிக்ஸ் பெறப்பட்டால், பின்னர் இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசைபூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட கோடுகளைத் தவிர, அதில் உள்ள கோடுகளின் எண்ணிக்கை.

சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிதல்

ஒரு உயர் வரிசையின் இந்த மைனர் கொடுக்கப்பட்ட மைனரைக் கொண்டிருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட ஒரு உயர் வரிசையின் மைனர் என்பது இணைக்கப்பட்ட மைனர் ஆகும்.

உதாரணமாக, அணி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

மைனரை எடுத்துக் கொள்வோம்

எல்லைக்குட்பட்ட சிறார்களாக இருப்பார்கள்:

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்அடுத்தது.

1. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத இரண்டாவது வரிசையின் சிறார்களைக் கண்டறியவும். அனைத்து இரண்டாம் வரிசை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் ( ஆர் =1 ).

2. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத இரண்டாவது வரிசையில் குறைந்தபட்சம் ஒரு மைனர் இருந்தால், மூன்றாவது வரிசையின் எல்லை மைனர்களை உருவாக்குகிறோம். மூன்றாவது வரிசையின் அனைத்து எல்லை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை இரண்டுக்கு சமம் ( ஆர் =2 ).

3. மூன்றாவது வரிசையின் எல்லைக்குட்பட்ட மைனர்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், நாங்கள் எல்லைக்குட்பட்ட மைனர்களை உருவாக்குகிறோம். நான்காவது வரிசையின் அனைத்து எல்லை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மூன்றுக்கு சமம் ( ஆர் =2 ).

4. மேட்ரிக்ஸ் அளவு அனுமதிக்கும் வரை இந்த வழியில் தொடரவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

.

தீர்வு. இரண்டாவது வரிசையில் சிறியது .

அதை எல்லை படுத்துவோம். நான்கு எல்லை சிறார்களும் இருப்பார்கள்:

,

,

எனவே, மூன்றாவது வரிசையின் அனைத்து எல்லை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், எனவே, இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை இரண்டுக்கு சமம் ( ஆர் =2 ).

எடுத்துக்காட்டு 2.மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 1 க்கு சமம், ஏனெனில் இந்த மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து இரண்டாம் வரிசை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (இதில், பின்வரும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளில் எல்லைக்குட்பட்ட சிறார்களின் நிகழ்வுகளைப் போலவே, அன்புள்ள மாணவர்கள் சரிபார்க்க அழைக்கப்படுகிறார்கள் தங்களை, ஒருவேளை தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்தலாம்), மற்றும் முதல்-வரிசை சிறார்களிடையே, அதாவது, மேட்ரிக்ஸின் கூறுகளில், பூஜ்ஜியமற்றவை உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 3.மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. இந்த மேட்ரிக்ஸின் இரண்டாவது வரிசை மைனர், மேலும் இந்த மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து மூன்றாம் வரிசை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். எனவே, இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை இரண்டு.

எடுத்துக்காட்டு 4.மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 3 ஆகும், ஏனெனில் இந்த மேட்ரிக்ஸின் ஒரே மூன்றாவது-வரிசை மைனர் 3 ஆகும்.

அடிப்படை மாற்றங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரத்தைக் கண்டறிதல் (காஸ் முறை)

ஏற்கனவே எடுத்துக்காட்டு 1 இல், சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை நிர்ணயிக்கும் பணிக்கு அதிக எண்ணிக்கையிலான தீர்மானிப்பவர்களின் கணக்கீடு தேவைப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது. இருப்பினும், கணக்கீட்டின் அளவை குறைந்தபட்சமாக குறைக்க ஒரு வழி உள்ளது. இந்த முறை அடிப்படை மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்களின் பயன்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது மற்றும் காஸ் முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

பின்வரும் செயல்பாடுகள் அடிப்படை மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்களாக புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன:

1) பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் மேட்ரிக்ஸின் எந்த வரிசை அல்லது நெடுவரிசையையும் பெருக்குதல்;

2) மேட்ரிக்ஸின் எந்த வரிசை அல்லது நெடுவரிசையின் உறுப்புகளுடன் மற்றொரு வரிசை அல்லது நெடுவரிசையின் தொடர்புடைய கூறுகளைச் சேர்ப்பது, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது;

3) மேட்ரிக்ஸின் இரண்டு வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளை மாற்றுதல்;

4) "பூஜ்ய" வரிசைகளை அகற்றுதல், அதாவது, அதன் கூறுகள் அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்;

5) ஒன்றைத் தவிர அனைத்து விகிதாசாரக் கோடுகளையும் நீக்குதல்.

தேற்றம்.ஒரு அடிப்படை மாற்றத்தின் போது, ​​மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மாறாது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மேட்ரிக்ஸில் இருந்து அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தினால் ஏஅணிக்கு சென்றார் பி, அந்த .

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கணக்கிட, நீங்கள் சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறை அல்லது காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தலாம். காஸியன் முறை அல்லது அடிப்படை மாற்றங்களின் முறையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அதன் சிறார்களின் அதிகபட்ச வரிசையாகும், அவற்றில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத குறைந்தபட்சம் ஒன்று உள்ளது.

வரிசைகள் (நெடுவரிசைகள்) அமைப்பின் தரவரிசை இந்த அமைப்பின் அதிகபட்ச நேரியல் சார்பற்ற வரிசைகள் (நெடுவரிசைகள்) ஆகும்.

பார்டர்டிங் மைனர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

1. மைனர் எம் கே-அதுஒழுங்கு பூஜ்ஜியம் அல்ல.
2. மைனர்களுக்கு மைனர்களை எல்லைப்படுத்தினால் எம் (k+1)வதுஆர்டர், இயற்றுவது சாத்தியமில்லை (அதாவது மேட்ரிக்ஸ் கொண்டுள்ளது கேகோடுகள் அல்லது கேநெடுவரிசைகள்), பின்னர் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை சமமாக இருக்கும் கே. எல்லைக்குட்பட்ட மைனர்கள் இருந்தால் மற்றும் அனைத்தும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், தரவரிசை k ஆகும். எல்லைக்குட்பட்ட சிறார்களில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத ஒன்று இருந்தால், நாங்கள் புதிய மைனரை உருவாக்க முயற்சிக்கிறோம் k+2முதலியன

அல்காரிதத்தை இன்னும் விரிவாக ஆராய்வோம். முதலில், மேட்ரிக்ஸின் முதல் (மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகள்) வரிசையின் மைனர்களைக் கவனியுங்கள் ஏ. அவை அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் தரவரிசை = 0. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத முதல் வரிசை மைனர்கள் (மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகள்) இருந்தால் எம் 1 ≠ 0, பின்னர் தரவரிசை தரவரிசை ≥ 1.

எம் 1. அத்தகைய சிறார்கள் இருந்தால், அவர்கள் இரண்டாவது வரிசையில் சிறார்களாக இருப்பார்கள். அனைத்து சிறார்களும் ஒரு மைனரின் எல்லையில் இருந்தால் எம் 1பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் தரவரிசை = 1. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத இரண்டாவது வரிசையில் குறைந்தபட்சம் ஒரு மைனர் இருந்தால் M2 ≠ 0, பின்னர் தரவரிசை தரவரிசை ஏ ≥ 2.

மைனருக்கு எல்லையோர மைனர்கள் இருக்கிறார்களா என்று பார்க்கலாம் எம் 2. அத்தகைய சிறார் இருந்தால், அவர்கள் மூன்றாவது வரிசையில் சிறார்களாக இருப்பார்கள். அனைத்து சிறார்களும் ஒரு மைனரின் எல்லையில் இருந்தால் எம் 2பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் தரவரிசை = 2. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத மூன்றாவது வரிசையில் குறைந்தபட்சம் ஒரு மைனர் இருந்தால் எம் 3 ≠ 0, பின்னர் தரவரிசை தரவரிசை ≥ 3.

மைனருக்கு எல்லையோர மைனர்கள் இருக்கிறார்களா என்று பார்க்கலாம் எம் 3. அப்படிப்பட்ட மைனர்கள் இருந்தால் அவர்கள் மைனர்களாகத்தான் இருப்பார்கள் நான்காவது வரிசை. அனைத்து சிறார்களும் ஒரு மைனரின் எல்லையில் இருந்தால் எம் 3பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் தரவரிசை = 3. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத நான்காவது வரிசையில் குறைந்தபட்சம் ஒரு மைனர் இருந்தால் M4 ≠ 0, பின்னர் தரவரிசை தரவரிசை ≥ 4.

மைனருக்கான எல்லையோர மைனர் இருக்கிறாரா என்று சரிபார்க்கிறது எம் 4, மற்றும் பல. சில கட்டத்தில் எல்லைக்குட்பட்ட மைனர்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் அல்லது எல்லைக்குட்பட்ட மைனரைப் பெற முடியாவிட்டால் அல்காரிதம் நிறுத்தப்படும் (வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளின் மேட்ரிக்ஸ் "முடிந்துவிடும்"). உருவாக்கப்பட்ட பூஜ்ஜியமற்ற மைனரின் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தரமாக இருக்கும்.

உதாரணமாக

கருத்தில் கொள்வோம் இந்த முறைஉதாரணத்திற்கு. 4x5 அணி கொடுக்கப்பட்டது:

இந்த அணி 4 ஐ விட அதிக தரவரிசையைக் கொண்டிருக்க முடியாது. மேலும், இந்த அணி பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது (முதல் வரிசையின் சிறியது), அதாவது மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை ≥ 1 ஆகும்.

மைனர் இசையமைப்போம் 2வதுஉத்தரவு. மூலையில் இருந்து ஆரம்பிக்கலாம்.

எனவே தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மற்றொரு சிறியதை உருவாக்குவோம்.

இந்த மைனரின் தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

கொடுக்கப்பட்ட மைனரை சமமாக வரையறுக்கவும் -2 . எனவே மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை ≥ 2 .

இந்த மைனர் 0 க்கு சமமாக இருந்தால், மற்ற மைனர்கள் உருவாகும். இறுதிவரை 1வது மற்றும் 2வது வரிகளில் அனைத்து சிறார்களையும் இயற்றியிருப்பார்கள். பின்னர் வரி 1 மற்றும் 3, வரி 2 மற்றும் 3, வரி 2 மற்றும் 4, 0க்கு சமமாக இல்லாத மைனரைக் கண்டுபிடிக்கும் வரை, எடுத்துக்காட்டாக:

அனைத்து இரண்டாம் வரிசை மைனர்களும் 0 ஆக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 1 ஆக இருக்கும். தீர்வு நிறுத்தப்படலாம்.

3வதுஉத்தரவு.

மைனர் பூஜ்ஜியமாக இல்லை. மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்று பொருள் ≥ 3 .

இந்த மைனர் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், மற்ற சிறார்களை உருவாக்க வேண்டும். உதாரணத்திற்கு:

அனைத்து மூன்றாம் வரிசை மைனர்களும் 0 ஆக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 2 ஆக இருக்கும். தீர்வு நிறுத்தப்படலாம்.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைத் தேடுவதைத் தொடரலாம். மைனர் இசையமைப்போம் 4வதுஉத்தரவு.

இந்த மைனரின் தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

மைனரின் தீர்மானம் சமமாக மாறியது 0 . இன்னொரு மைனர் கட்டலாம்.

இந்த மைனரின் தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

மைனர் சமமாக மாறினார் 0 .

மைனர் கட்டவும் 5வதுஆர்டர் வேலை செய்யாது, இந்த மேட்ரிக்ஸில் இதற்கு வரிசை இல்லை. கடைசி மைனர் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை 3வதுஒழுங்கு, அதாவது மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை சமம் 3 .