நிகழ்தகவை தீர்மானிக்க பெர்னௌல்லி சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பெர்னோலி சுற்று மற்றும் சூத்திரத்தின் மீண்டும் மீண்டும் சுயாதீன சோதனைகள்

மீண்டும் மீண்டும் சுயாதீன சோதனைகள்

நடைமுறையில், மீண்டும் மீண்டும் மீண்டும் சோதனைகள் வடிவில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தக்கூடிய பணிகளை நாம் சமாளிக்க வேண்டும், ஒவ்வொன்றின் விளைவாக நிகழ்வு A தோன்றலாம் அல்லது தோன்றாமல் போகலாம். இந்த வழக்கில், ஆர்வமானது ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட சோதனையின் விளைவு அல்ல, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளின் விளைவாக நிகழ்வு A இன் மொத்த நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை, நீங்கள் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்க வேண்டும் n சோதனைகளின் விளைவாக நிகழ்வு A இன் எந்த எண்ணிக்கையிலான நிகழ்வுகளும் சுயாதீனமாக இருக்கும்போது, ​​​​ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A இன் நிகழ்தகவு நிலையானதாக இருக்கும். மீண்டும் மீண்டும் சுதந்திரமானது.

சுயாதீன சோதனையின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு, பல தொகுதிகளில் இருந்து எடுக்கப்பட்ட தயாரிப்புகளின் பொருத்தத்தை சரிபார்க்கிறது. இந்த லாட்களில் உள்ள குறைபாடுகளின் சதவீதம் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தயாரிப்பு குறைபாடுடையதாக இருக்கும் நிகழ்தகவு ஒவ்வொரு விஷயத்திலும் நிலையான எண்ணாகும்.

பெர்னோலியின் சூத்திரம்

கருத்தைப் பயன்படுத்துவோம் சிக்கலான நிகழ்வு, அதாவது i-th சோதனையில் நிகழ்வு A இன் தோற்றம் அல்லது நிகழாதது போன்ற பல அடிப்படை நிகழ்வுகளின் கலவையாகும். n சுயாதீன சோதனைகளை மேற்கொள்ளலாம், ஒவ்வொரு நிகழ்விலும் A நிகழ்தகவு p உடன் தோன்றலாம் அல்லது நிகழ்தகவு q=1-p உடன் தோன்றாது. B_m நிகழ்வைக் கவனியுங்கள், அதாவது நிகழ்வு A இந்த n சோதனைகளில் m முறை சரியாக நிகழும், எனவே, சரியாக (n-m) நேரங்கள் நிகழாது. குறிப்போம் A_i~(i=1,2,\ldots,(n))நிகழ்வின் நிகழ்வு A, a \overline(A)_i - i-th சோதனையில் நிகழ்வு A நிகழாதது. சோதனை நிலைமைகளின் நிலைத்தன்மை காரணமாக, எங்களிடம் உள்ளது

நிகழ்வு A ஆனது வெவ்வேறு வரிசைகள் அல்லது சேர்க்கைகளில் m முறை தோன்றும், எதிர் நிகழ்வு \overline(A) உடன் மாறி மாறி வரும். இந்த வகையான சாத்தியமான சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை m ஆல் n உறுப்புகளின் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம், அதாவது C_n^m. இதன் விளைவாக, B_m நிகழ்வானது ஒன்றுக்கொன்று முரணான சிக்கலான நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம், மேலும் சொற்களின் எண்ணிக்கை C_n^mக்கு சமம்:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

சுயாதீன நிகழ்வுகளுக்கான நிகழ்தகவுகளின் பெருக்கல் தேற்றத்தின்படி சூத்திரத்தில் (3.1) சேர்க்கப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு சிக்கலான நிகழ்வின் நிகழ்தகவு p^(m)q^(n-m) க்கு சமம். அத்தகைய நிகழ்வுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை C_n^m க்கு சமமாக இருப்பதால், பொருந்தாத நிகழ்வுகளுக்கான நிகழ்தகவுகளின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, B_m நிகழ்வின் நிகழ்தகவைப் பெறுகிறோம் (அதை நாம் P_(m,n) குறிக்கிறோம்)

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(or)\quad P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

சூத்திரம் (3.2) என்று அழைக்கப்படுகிறது பெர்னோலியின் சூத்திரம், மற்றும் அவை ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான சாத்தியக்கூறுகளின் சுதந்திரம் மற்றும் நிலைத்தன்மையின் நிலையை திருப்திப்படுத்தும் தொடர்ச்சியான சோதனைகள் அழைக்கப்படுகின்றன. பெர்னோலி சோதனைகள், அல்லது பெர்னோலி திட்டம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. பாகங்களை செயலாக்கும்போது சகிப்புத்தன்மை மண்டலத்திற்கு அப்பால் செல்லும் நிகழ்தகவு கடைசல் 0.07 க்கு சமம். மாற்றத்தின் போது சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஐந்து பாகங்களில், குறிப்பிட்ட சகிப்புத்தன்மைக்கு பொருந்தாத விட்டம் பரிமாணங்களைக் கொண்டிருப்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. பிரச்சனையின் நிலை பெர்னோலி திட்டத்தின் தேவைகளை பூர்த்தி செய்கிறது. எனவே, அனுமானம் n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (3.2) நாம் பெறுகிறோம்

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\தோராயமாக0,\!262.

எடுத்துக்காட்டு 2. ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியில் செப்டம்பர் மாதத்தில் 12 மழை நாட்கள் இருப்பதாக அவதானிப்புகள் நிறுவியுள்ளன. இந்த மாதம் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 8 நாட்களில் 3 நாட்கள் மழை பெய்யும் நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு.

P_(3;8)=C_8^3(\இடது(\frac(12)(30)\வலது)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

பெரும்பாலும் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை

பெரும்பாலும் நிகழ்வு தேதி n சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்வு A, அத்தகைய எண் m_0 என அழைக்கப்படுகிறது, இந்த எண்ணுடன் தொடர்புடைய நிகழ்தகவு அதிகமாக உள்ளது அல்லது படி குறைந்தபட்சம், நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான மற்ற சாத்தியமான எண்கள் ஒவ்வொன்றின் நிகழ்தகவை விட குறைவாக இல்லை. மிகவும் சாத்தியமான எண்ணைத் தீர்மானிக்க, ஒரு நிகழ்வின் சாத்தியமான எண்ணிக்கையின் நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை, ஒரு தனி சோதனையில் n சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் நிகழ்வு A நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றை அறிவது போதுமானது. P_(m_0,n) மிகவும் சாத்தியமான எண்ணான m_0 உடன் தொடர்புடைய நிகழ்தகவைக் குறிப்போம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (3.2), நாங்கள் எழுதுகிறோம்

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

மிகவும் சாத்தியமான எண்ணின் வரையறையின்படி, நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவுகள், முறையே m_0+1 மற்றும் m_0-1 முறை, குறைந்தபட்சம் நிகழ்தகவு P_(m_0,n) ஐ விட அதிகமாக இருக்கக்கூடாது, அதாவது.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

மதிப்பு P_(m_0,n) மற்றும் நிகழ்தகவு வெளிப்பாடுகள் P_(m_0+1,n) மற்றும் P_(m_0-1,n) ஆகியவற்றை ஏற்றத்தாழ்வுகளாக மாற்றினால், நாங்கள் பெறுகிறோம்

m_0க்கான இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது, நாங்கள் பெறுகிறோம்

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

கடைசி ஏற்றத்தாழ்வுகளை இணைத்து, இரட்டை சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம், இது மிகவும் சாத்தியமான எண்ணைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

சமத்துவமின்மையால் வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியின் நீளம் (3.4) ஒன்றுக்கு சமமாக இருப்பதால், அதாவது.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

1) np-q ஒரு முழு எண்ணாக இருந்தால், மிகவும் சாத்தியமான எண்ணின் இரண்டு மதிப்புகள் உள்ளன, அவை: m_0=np-q மற்றும் m"_0=np-q+1=np+p ;

2) np-q ஒரு பின்ன எண் என்றால், மிகவும் சாத்தியமான எண் ஒன்று உள்ளது, அதாவது: இடையே உள்ள ஒரே முழு எண் பின்ன எண்கள், சமத்துவமின்மையிலிருந்து பெறப்பட்டது (3.4);

3) np ஒரு முழு எண்ணாக இருந்தால், மிகவும் சாத்தியமான எண் ஒன்று உள்ளது, அதாவது: m_0=np.

n இன் பெரிய மதிப்புகளுக்கு, மிகவும் சாத்தியமான எண்ணுடன் தொடர்புடைய நிகழ்தகவைக் கணக்கிட சூத்திரத்தை (3.3) பயன்படுத்துவது சிரமமாக உள்ளது. நாம் ஸ்டிர்லிங் சூத்திரத்தை சமத்துவமாக மாற்றினால் (3.3)

N!\தோராயமாக(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

P_(m_0,n)\தோராயமாக\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

எடுத்துக்காட்டு 2. வர்த்தக தளத்திற்கு ஆலையால் வழங்கப்பட்ட தயாரிப்புகளின் \frac(1)(15) பகுதியானது தரநிலையின் அனைத்து தேவைகளையும் பூர்த்தி செய்யவில்லை என்பது அறியப்படுகிறது. 250 தயாரிப்புகளின் ஒரு தொகுதி தளத்திற்கு வழங்கப்பட்டது. தரநிலையின் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் தயாரிப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிந்து, இந்தத் தொகுப்பில் அதிக எண்ணிக்கையிலான தயாரிப்புகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு. நிபந்தனையின்படி n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). சமத்துவமின்மையின் படி (3.4) நம்மிடம் உள்ளது

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

P_(234,250)\தோராயமாக\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\தோராயமாக0,\!101

உள்ளூர் லாப்லேஸ் தேற்றம்

n இன் பெரிய மதிப்புகளுக்கு பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் கடினம். உதாரணமாக, என்றால் n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, பின்னர் P_(30.50) நிகழ்தகவைக் கண்டறிய, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது அவசியம்.

பி_(30.50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

இயற்கையாகவே, கேள்வி எழுகிறது: பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தாமல் வட்டி நிகழ்தகவைக் கணக்கிட முடியுமா? அது சாத்தியம் என்று மாறிவிடும். லாப்லேஸின் உள்ளூர் தேற்றம் ஒரு அறிகுறியற்ற சூத்திரத்தை அளிக்கிறது, இது சோதனைகளின் எண்ணிக்கை போதுமானதாக இருந்தால், n சோதனைகளில் சரியாக m முறை நிகழும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவை தோராயமாக கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

தேற்றம் 3.1.

ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு p நிலையானதாகவும், பூஜ்ஜியம் மற்றும் ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டதாகவும் இருந்தால், அந்த நிகழ்வு A சரியாக m முறை n சோதனைகளில் தோன்றும் நிகழ்தகவு தோராயமாக சமமாக இருக்கும் (மிகவும் துல்லியமானது, பெரிய n) செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))

மணிக்கு. செயல்பாட்டு மதிப்புகளைக் கொண்ட அட்டவணைகள் உள்ளன\varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)) , வாதம் x இன் நேர்மறை மதிப்புகளுடன் தொடர்புடையது. க்குஎதிர்மறை மதிப்புகள் \varphi(x) செயல்பாடு சமமாக இருப்பதால், வாதங்கள் அதே அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, அதாவது..

எனவே, n சோதனைகளில் நிகழ்வு A சரியாக m முறை தோன்றும் என்பது தோராயமாக நிகழ்தகவு ஆகும் P_(m,n)\தோராயமாக\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), எங்கே.

x=\frac(m-np)(\sqrt(npq))

தீர்வு. நிபந்தனையின்படி எடுத்துக்காட்டு 3. ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A இன் நிகழ்தகவு 0.2 ஆக இருந்தால், 400 சோதனைகளில் நிகழ்வு A சரியாக 80 முறை நிகழும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.. அறிகுறியற்ற லாப்ளேஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

P_(80,400)\தோராயமாக\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x)

பணித் தரவால் நிர்ணயிக்கப்பட்ட மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

அட்டவணை adj படி நாம் கண்டுபிடிக்க \varphi(0)=0,\!3989. தேவையான நிகழ்தகவு

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

பெர்னௌலியின் சூத்திரம் ஏறக்குறைய அதே முடிவுக்கு இட்டுச் செல்கிறது (அவற்றின் சிக்கலான தன்மை காரணமாக கணக்கீடுகள் தவிர்க்கப்படுகின்றன):

பி_(80,100)=0,\!0498.

லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றம்

n சுயாதீன சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு நிலையானது மற்றும் p க்கு சமமானது. P_((m_1,m_2),n) நிகழ்வு n சோதனைகளில் குறைந்தபட்சம் m_1 மற்றும் அதிகபட்சம் m_2 முறை தோன்றும் (சுருக்கமாக நாம் "m_1 இலிருந்து m_2 முறை" என்று கூறுவோம்) நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவது அவசியம். லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்யலாம்.

தேற்றம் 3.2.

ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு p நிலையானது மற்றும் பூஜ்ஜியம் மற்றும் ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டால், தோராயமாக P_((m_1,m_2),n) அந்த நிகழ்வு M_1 முதல் m_2 முறை சோதனைகளில் தோன்றும், P_((m_1,m_2),n)\தோராயமாக\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,

எங்கே . Laplace இன் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தின் பயன்பாடு தேவைப்படும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​சிறப்பு அட்டவணைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு\int(e^(-x^2/2)\,dx) மூலம் வெளிப்படுத்தப்படவில்லைஅடிப்படை செயல்பாடுகள் . ஒருங்கிணைந்த அட்டவணை\Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\ வரம்புகள்_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>பின்னிணைப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 2, செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் \Phi(x) x இன் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு, x க்கு வழங்கப்படுகின்றன

5 நாம் \Phi(x)=0,\!5 ஐ எடுக்கலாம்.

எனவே, தோராயமாக நிகழ்வு A ஆனது m_1 இலிருந்து m_2 முறை n சுயாதீன சோதனைகளில் தோன்றும் நிகழ்தகவு P_(m,n)\தோராயமாக\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), P_((m_1,m_2),n)\தோராயமாக\Phi(x"")-\Phi(x"),.

x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))

தீர்வு. நிபந்தனையின்படி எடுத்துக்காட்டு 4. தரநிலைகளை மீறி ஒரு பகுதி உற்பத்தி செய்யப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு p=0,\!2. தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 400 தரமற்ற பாகங்களில் 70 முதல் 100 பாகங்கள் வரை இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100

. Laplace இன் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

P_((70,100),400)\தோராயமாக\Phi(x"")-\Phi(x").

குறைந்த

மேல்

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

P_((70,100),400)\தோராயமாக\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

அட்டவணைப்படி adj. 2 நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

தேவையான நிகழ்தகவு

பி_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தின் பயன்பாடு

m எண் (n சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்வு A இன் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை) m_1 இலிருந்து m_2 ஆக மாறினால், பின்னம் \frac(m-np)(\sqrt(npq))இருந்து மாறுபடும் \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"செய்ய \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". எனவே, ஒருங்கிணைந்த தேற்றம் Laplace ஐ பின்வருமாறு எழுதலாம்:

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

நிலையான நிகழ்தகவு p ஆல் இருந்து தொடர்புடைய அதிர்வெண் \frac(m)(n) விலகல் நிகழ்தகவைக் கண்டறியும் பணியை அமைப்போம் முழுமையான மதிப்புகுறிப்பிட்ட எண் \varepsilon>0 ஐ விட அதிகமாக இல்லை. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சமத்துவமின்மையின் நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம் \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, அதே தான் -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. இந்த நிகழ்தகவை பின்வருமாறு குறிப்பிடுவோம்: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). இந்த நிகழ்தகவுக்கான சூத்திரத்தை (3.6) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம்

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\தோராயமாக2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\வலது).

எடுத்துக்காட்டு 5. பகுதி தரமற்றதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு p=0,\!1. தற்செயலாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 400 பாகங்களில், தரமற்ற பகுதிகளின் நிகழ்வுகளின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண், நிகழ்தகவு p=0,\!1 என்ற நிகழ்தகவு முழு மதிப்பில் இருந்து 0.03க்கு மிகாமல் விலகும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. நிபந்தனையின்படி n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. நிகழ்தகவை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (3.7), நாங்கள் பெறுகிறோம்

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\தோராயமாக2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\வலது)=2\Phi(2)

அட்டவணைப்படி adj. 2 நாம் \Phi(2)=0,\!4772 , எனவே, 2\Phi(2)=0,\!9544 . எனவே, விரும்பிய நிகழ்தகவு தோராயமாக 0.9544 ஆகும். முடிவின் பொருள் பின்வருமாறு: நீங்கள் ஒவ்வொன்றும் 400 பாகங்கள் கொண்ட போதுமான அளவு மாதிரிகளை எடுத்துக் கொண்டால், இந்த மாதிரிகளில் தோராயமாக 95.44% நிலையான நிகழ்தகவு p=0.\!1 இல் இருந்து ஒப்பீட்டு அதிர்வெண்ணின் விலகல். மதிப்பு 0.03 ஐ விட அதிகமாக இருக்காது.

சாத்தியமில்லாத நிகழ்வுகளுக்கான பாய்சனின் சூத்திரம்

ஒரு சோதனையில் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு p பூஜ்ஜியத்திற்கு அருகில் இருந்தால், அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள் n இருந்தாலும், ஆனால் தயாரிப்பு np இன் சிறிய மதிப்புடன், நிகழ்தகவு மதிப்புகள் P_(m,n) லாப்லேஸ் சூத்திரத்திலிருந்து பெறப்பட்டவை போதுமான அளவு துல்லியமாக இல்லை மற்றும் மற்றொரு தோராயமான சூத்திரத்தின் தேவை எழுகிறது.

தேற்றம் 3.3.

ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு p நிலையானது ஆனால் சிறியதாக இருந்தால், சுயாதீன சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n போதுமானதாக இருந்தால், np=\lambda தயாரிப்பின் மதிப்பு சிறியதாக இருக்கும் (பத்துக்கு மேல் இல்லை), பின்னர் நிகழ்தகவு இந்த சோதனைகளில் நிகழ்வு A பல முறை நிகழும்\,e^{-\lambda}. !}

P_(m,n)\approx\frac(\lambda^m)(m பாய்சன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளை எளிதாக்க, பாய்சன் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணை தொகுக்கப்பட்டுள்ளது.\,e^{-\lambda} !}\frac(\lambda^m)(m

(இணைப்பு 3 ஐப் பார்க்கவும்).

எடுத்துக்காட்டு 6. தரமற்ற பகுதியை உருவாக்குவதற்கான நிகழ்தகவு 0.004 ஆக இருக்கட்டும். 1000 பாகங்களில் 5 தரமற்றவை இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். தீர்வு. இங்கே n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4 . மூன்று எண்களும் தேற்றம் 3.3 இன் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்கின்றன, எனவே, விரும்பிய நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறிய P_(5,1000), நாங்கள் பாய்சன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். பாய்சன் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து (இணைப்பு 3) \lambda=4;m=5 உடன் நாம் பெறுகிறோம்.

பி_(5,1000)\தோராயமாக0,\!1563

Laplace இன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதே நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, முதலில் m=5 உடன் தொடர்புடைய x இன் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\தோராயமாக\frac(1)(1,\!996)\தோராயமாக0 ,\!501.

எனவே, Laplace இன் சூத்திரத்தின்படி, விரும்பிய நிகழ்தகவு

மற்றும் பெர்னோலியின் சூத்திரத்தின்படி அதன் சரியான மதிப்பு

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\தோராயமாக,\!1552. இவ்வாறு,உறவினர் பிழை

தோராயமான லாப்ளேஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி P_(5,1000) நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிடுவது\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\தோராயமாக0,\!196

மற்றும் பாய்சன் சூத்திரத்தின் படி -\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\தோராயமாக0,\!007

, அல்லது 0.\!7\%
அதாவது பல மடங்கு குறைவு.
அடுத்த பகுதிக்குச் செல்லவும் ஒரு பரிமாண சீரற்ற மாறிகள்
உங்கள் உலாவியில் Javascript முடக்கப்பட்டுள்ளது.

கணக்கீடுகளைச் செய்ய, நீங்கள் ActiveX கட்டுப்பாடுகளை இயக்க வேண்டும்!

பெர்னௌலியின் திட்டம் என்பது n ஒரே மாதிரியான சுயாதீன சோதனைகள் செய்யப்படும்போது, ​​ஒவ்வொன்றிலும் நமக்கு ஆர்வமுள்ள நிகழ்வு A தோன்றக்கூடும், மேலும் இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு P (A) = p அறியப்படுகிறது. n சோதனைகளுக்குப் பிறகு, நிகழ்வு A சரியாக k முறை நிகழும் நிகழ்தகவை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

பெர்னோலி திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கக்கூடிய சிக்கல்கள் மிகவும் வேறுபட்டவை: எளிமையானவை ("10 இல் 1 முறை துப்பாக்கி சுடும் நிகழ்தகவைக் கண்டறிதல் போன்றவை) முதல் மிகக் கடுமையானவை (எடுத்துக்காட்டாக, சதவீதங்கள் சம்பந்தப்பட்ட சிக்கல்கள் அல்லது சீட்டாட்டம்) உண்மையில், இந்த திட்டம் பெரும்பாலும் தயாரிப்புகளின் தரம் மற்றும் பல்வேறு வழிமுறைகளின் நம்பகத்தன்மையைக் கண்காணிப்பது தொடர்பான சிக்கல்களைத் தீர்க்கப் பயன்படுகிறது, இதன் அனைத்து பண்புகளும் வேலையைத் தொடங்குவதற்கு முன் அறியப்பட வேண்டும்.

வரையறைக்கு திரும்புவோம். நாங்கள் சுயாதீன சோதனைகளைப் பற்றி பேசுகிறோம், மேலும் ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A இன் நிகழ்தகவு ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், இரண்டு முடிவுகள் மட்டுமே சாத்தியமாகும்:

1. A என்பது நிகழ்தகவு p உடன் நிகழ்வு A இன் நிகழ்வாகும்;
2. “அல்ல” - நிகழ்வு A தோன்றவில்லை, இது நிகழ்தகவு q = 1 − p.

மிக முக்கியமான நிபந்தனை, இது இல்லாமல் பெர்னோலியின் திட்டம் அதன் அர்த்தத்தை இழக்கிறது, நிலையானது. நாம் எத்தனை பரிசோதனைகள் செய்தாலும், அதே நிகழ்தகவு p உடன் நிகழும் அதே நிகழ்வு A இல் ஆர்வமாக உள்ளோம்.

மூலம், நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் உள்ள அனைத்து சிக்கல்களும் நிலையான நிலைமைகளுக்கு குறைக்கப்படவில்லை. எந்தவொரு திறமையான உயர் கணித ஆசிரியரும் இதைப் பற்றி உங்களுக்குச் சொல்வார். ஒரு பெட்டியிலிருந்து வண்ணமயமான பந்துகளை எடுப்பது போன்ற எளிமையான ஒன்று கூட நிலையான நிலைமைகளுடன் ஒரு அனுபவமாக இருக்காது. அவர்கள் மற்றொரு பந்தை வெளியே எடுத்தனர் - பெட்டியில் நிறங்களின் விகிதம் மாறியது. இதன் விளைவாக, நிகழ்தகவுகளும் மாறிவிட்டன.

நிபந்தனைகள் நிலையானதாக இருந்தால், நிகழ்வு A ஆனது n இலிருந்து k நேரங்கள் நிகழும் நிகழ்தகவை துல்லியமாக தீர்மானிக்க முடியும். இந்த உண்மையை ஒரு தேற்றத்தின் வடிவத்தில் உருவாக்குவோம்:

பெர்னோலியின் தேற்றம். ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு நிலையானதாகவும் p க்கு சமமாகவும் இருக்கட்டும். n சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்வு A சரியாக k முறை தோன்றும் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

இதில் C n k என்பது சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை, q = 1 - p.

இந்த சூத்திரம் பெர்னோலியின் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தாமல் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சிக்கல்களை முழுமையாக தீர்க்க முடியும் என்பது கவனிக்கத்தக்கது. எடுத்துக்காட்டாக, நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இருப்பினும், கணக்கீட்டின் அளவு வெறுமனே நம்பத்தகாததாக இருக்கும்.

பணி. ஒரு கணினியில் குறைபாடுள்ள பொருளை உற்பத்தி செய்வதற்கான நிகழ்தகவு 0.2 ஆகும். இந்த இயந்திரத்தில் உற்பத்தி செய்யப்படும் பத்து பாகங்களின் தொகுப்பில் சரியாக k பாகங்கள் குறைபாடுகள் இல்லாமல் இருக்கும் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும். கே = 0, 1, 10க்கான சிக்கலைத் தீர்க்கவும்.

நிபந்தனையின்படி, குறைபாடுகள் இல்லாமல் தயாரிப்புகளை வெளியிடும் நிகழ்வில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம், இது ஒவ்வொரு முறையும் p = 1 - 0.2 = 0.8 நிகழ்தகவுடன் நடக்கும். இந்த நிகழ்வு k முறை நிகழும் நிகழ்தகவை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும். நிகழ்வு A என்பது "A அல்ல" என்ற நிகழ்வோடு முரண்படுகிறது, அதாவது. ஒரு குறைபாடுள்ள தயாரிப்பு வெளியீடு.

இவ்வாறு, நாம்: n = 10; ப = 0.8; q = 0.2.

எனவே, ஒரு தொகுப்பில் உள்ள அனைத்து பகுதிகளும் குறைபாடுள்ளவை (k = 0), குறைபாடுகள் இல்லாமல் ஒரே ஒரு பகுதி மட்டுமே உள்ளது (k = 1), மற்றும் குறைபாடுள்ள பாகங்கள் எதுவும் இல்லை (k = 10):

பணி. நாணயம் 6 முறை தூக்கி எறியப்படுகிறது. ஒரு கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் மற்றும் ஹெட்ஸ் தரையிறங்குவது சமமாக சாத்தியமாகும். நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்:

1. கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் மூன்று முறை தோன்றும்;
2. கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் ஒரு முறை தோன்றும்;
3. கோட் ஆப் ஆர்ம்ஸ் குறைந்தது இரண்டு முறை தோன்றும்.

எனவே, கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் வெளியேறும் நிகழ்வு A இல் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு p = 0.5. நிகழ்வு A ஆனது "A அல்ல" என்ற நிகழ்வோடு முரண்படுகிறது, இதன் விளைவாக ஹெட்ஸ் ஆகும், இது நிகழ்தகவு q = 1 - 0.5 = 0.5 உடன் நிகழும். கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் கே முறை தோன்றும் நிகழ்தகவை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

இவ்வாறு, நாம்: n = 6; ப = 0.5; q = 0.5.

கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் மூன்று முறை வரையப்பட்ட நிகழ்தகவைத் தீர்மானிப்போம், அதாவது. கே = 3:

இப்போது கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் ஒரு முறை மட்டுமே வந்ததற்கான நிகழ்தகவைத் தீர்மானிப்போம், அதாவது. கே = 1:

கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் குறைந்தது இரண்டு முறை தோன்றும் நிகழ்தகவுடன் தீர்மானிக்க உள்ளது. முக்கிய பிடிப்பு "குறைவாக இல்லை" என்ற சொற்றொடரில் உள்ளது. 0 மற்றும் 1 ஐத் தவிர எந்த k இல் நாங்கள் திருப்தி அடைவோம் என்று மாறிவிடும், அதாவது. X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6) தொகையின் மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

இந்த கூட்டுத்தொகை (1 - P 6 (0) - P 6 (1)), அதாவது. அனைத்து போதும் சாத்தியமான விருப்பங்கள்கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் 1 முறை (k = 1) விழுந்துவிட்டாலோ அல்லது வெளியே விழாதபோதும் (k = 0) "வெட்டி". நாம் ஏற்கனவே P 6 (1) ஐ அறிந்திருப்பதால், P 6 (0) ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

பணி. டிவியில் மறைந்திருக்கும் குறைபாடுகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.2 ஆகும். கிடங்கிற்கு 20 டிவிக்கள் வந்தன. எந்த நிகழ்வு அதிகமாக உள்ளது: இந்த தொகுப்பில் இரண்டு தொலைக்காட்சிகள் உள்ளன மறைக்கப்பட்ட குறைபாடுகள்அல்லது மூன்று?

ஆர்வத்தின் நிகழ்வு A என்பது ஒரு மறைந்த குறைபாடு இருப்பது. மொத்தத்தில் n = 20 தொலைக்காட்சிகள் உள்ளன, மறைக்கப்பட்ட குறைபாட்டின் நிகழ்தகவு p = 0.2 ஆகும். அதன்படி, மறைக்கப்பட்ட குறைபாடு இல்லாமல் டிவியைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு q = 1 - 0.2 = 0.8 ஆகும்.

பெர்னோலி திட்டத்திற்கான தொடக்க நிலைகளை நாங்கள் பெறுகிறோம்: n = 20; ப = 0.2; q = 0.8.

இரண்டு "குறைபாடுள்ள" தொலைக்காட்சிகள் (k = 2) மற்றும் மூன்று (k = 3) பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac(20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

வெளிப்படையாக, P 20 (3) > P 20 (2), அதாவது. மறைக்கப்பட்ட குறைபாடுகளுடன் மூன்று தொலைக்காட்சிகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு, அத்தகைய இரண்டு தொலைக்காட்சிகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவை விட அதிகமாக உள்ளது. மேலும், வேறுபாடு பலவீனமாக இல்லை.

காரணிகளைப் பற்றிய விரைவான குறிப்பு. “0!” என்ற பதிவைக் காணும் போது, ​​பலர் ஒரு தெளிவற்ற அசௌகரியத்தை அனுபவிக்கின்றனர். ("பூஜ்ஜிய காரணி" என்பதைப் படிக்கவும்). எனவே, 0! வரையறையின்படி = 1.

பி. எஸ். மற்றும் மறைந்திருக்கும் குறைபாடுகளுடன் நான்கு தொலைக்காட்சிகளைப் பெறுவதே கடைசிப் பணியில் மிகப்பெரிய நிகழ்தகவு. நீங்களே கணக்கிட்டு நீங்களே பாருங்கள்.

பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் புள்ளிவிவரங்கள் நமக்கு உதவுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக: ஒரு உறுதியான மாதிரியை உருவாக்க முடியாதபோது, ​​பல காரணிகள் இருக்கும்போது அல்லது கிடைக்கக்கூடிய தரவை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு கட்டப்பட்ட மாதிரியின் சாத்தியக்கூறுகளை மதிப்பிட வேண்டியிருக்கும் போது. புள்ளிவிவரங்கள் மீதான அணுகுமுறை தெளிவற்றது. மூன்று வகையான பொய்கள் உள்ளன என்று ஒரு கருத்து உள்ளது: பொய்கள், மோசமான பொய்கள் மற்றும் புள்ளிவிவரங்கள். மறுபுறம், புள்ளிவிவரங்களின் பல “பயனர்கள்” இது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை முழுமையாகப் புரிந்து கொள்ளாமல் அதை அதிகமாக நம்புகிறார்கள்: எடுத்துக்காட்டாக, எந்தவொரு தரவையும் அதன் இயல்பான தன்மையைச் சரிபார்க்காமல் சோதனையைப் பயன்படுத்துதல். இத்தகைய அலட்சியம் கடுமையான பிழைகளை உருவாக்கி, சோதனை "ரசிகர்களை" புள்ளிவிவர வெறுப்பாளர்களாக மாற்றும். iக்கு மேல் மின்னோட்டங்களை வைத்து, சில நிகழ்வுகளை விவரிக்க எந்த சீரற்ற மாறிகளின் மாதிரிகள் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் மற்றும் அவற்றுக்கிடையே என்ன மரபணு தொடர்பு உள்ளது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்.

முதலில், இந்த பொருள்நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களைப் படிக்கும் மாணவர்களுக்கு ஆர்வமாக இருக்கும், இருப்பினும் "முதிர்ந்த" வல்லுநர்கள் அதை ஒரு குறிப்பாகப் பயன்படுத்த முடியும். ஒன்றில் அடுத்த படைப்புகள்பங்கு வர்த்தக உத்திகளின் குறிகாட்டிகளின் முக்கியத்துவத்தை மதிப்பிடுவதற்கான சோதனையை உருவாக்க புள்ளிவிவரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான உதாரணத்தைக் காண்பிப்பேன்.

வேலை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்:

கட்டுரையின் முடிவில் பிரதிபலிப்புக்கு ஒரு கேள்வி இருக்கும். இந்த விஷயத்தில் எனது எண்ணங்களை அடுத்த கட்டுரையில் முன்வைக்கிறேன்.

மேலே உள்ள தொடர்ச்சியான விநியோகங்களில் சில சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும்.

தனித்துவமான விநியோகங்கள்

விவரிக்கப்பட்டது தனித்துவமான விநியோகம்ஒரு நிகழ்வின் சாத்தியமான ஒவ்வொரு முடிவின் நிகழ்தகவு. எந்தவொரு விநியோகத்திற்கும் (தொடர்ச்சியானவை உட்பட), எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல் பற்றிய கருத்துக்கள் தனித்துவமான நிகழ்வுகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகின்றன. எவ்வாறாயினும், ஒரு தனித்த சீரற்ற நிகழ்விற்கான கணித எதிர்பார்ப்பு என்பது பொதுவான வழக்கில் ஒரு மதிப்பாகும், இது ஒரு சீரற்ற நிகழ்வின் விளைவாக உணர முடியாது, மாறாக நிகழ்வுகளின் விளைவுகளின் எண்கணித சராசரி மதிப்பாக உள்ளது. அவர்களின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது முனையும்.

தனித்த சீரற்ற நிகழ்வுகளின் மாதிரியாக்கத்தில் முக்கிய பங்குகாம்பினேட்டரிக்ஸ் ஒரு பாத்திரத்தை வகிக்கிறது, ஏனெனில் ஒரு நிகழ்வின் விளைவின் நிகழ்தகவு, மொத்த சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கைக்கு தேவையான விளைவை அளிக்கும் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கையின் விகிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக: ஒரு கூடையில் 3 வெள்ளை பந்துகள் மற்றும் 7 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. கூடையிலிருந்து 1 பந்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​அதை 10வது பந்தாக மாற்றலாம் வெவ்வேறு வழிகளில்(சேர்க்கைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை), ஆனால் வெள்ளைப் பந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படும் 3 விருப்பங்கள் மட்டுமே (தேவையான முடிவைக் கொடுக்கும் 3 சேர்க்கைகள்). எனவே, வெள்ளை பந்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு: ().

ஒருவர் திரும்பிய மற்றும் திரும்பாத மாதிரிகளை வேறுபடுத்திப் பார்க்க வேண்டும். உதாரணமாக, இரண்டு வெள்ளைப் பந்துகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவை விவரிக்க, முதல் பந்து கூடைக்குத் திரும்புமா என்பதைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். இல்லையெனில், நாங்கள் திரும்பப் பெறாமல் ஒரு மாதிரியைக் கையாளுகிறோம் () மற்றும் நிகழ்தகவு பின்வருமாறு இருக்கும்: - ஆரம்ப மாதிரியிலிருந்து வெள்ளைப் பந்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு, கூடையில் மீதமுள்ளவர்களிடமிருந்து மீண்டும் ஒரு வெள்ளைப் பந்தை தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்தகவால் பெருக்கப்படுகிறது. . முதல் பந்து கூடைக்குத் திரும்பினால், இது ரிட்டர்ன்() உடன் எடுக்கப்படும். இந்த வழக்கில், இரண்டு வெள்ளை பந்துகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு .

ஒரு கூடையுடன் எடுத்துக்காட்டை நாம் ஓரளவு முறைப்படுத்தினால்: ஒரு நிகழ்வின் விளைவு நிகழ்தகவுகளுடன் 0 அல்லது 1 என்ற இரண்டு மதிப்புகளில் ஒன்றை எடுக்கட்டும் மற்றும் முறையே, ஒவ்வொரு முன்மொழியப்பட்ட விளைவுகளையும் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு விநியோகம் பெர்னௌல்லி விநியோகம் எனப்படும். :

நிறுவப்பட்ட பாரம்பரியத்தின் படி, 1 இன் மதிப்பைக் கொண்ட ஒரு விளைவு "வெற்றி" என்றும், 0 மதிப்பைக் கொண்ட ஒரு விளைவு "தோல்வி" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, "வெற்றி அல்லது தோல்வி" முடிவைப் பெறுவது நிகழ்தகவுடன் நிகழ்கிறது.

பெர்னோலி விநியோகத்தின் எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு:

சோதனைகளில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை, அதன் விளைவு வெற்றியின் நிகழ்தகவின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது (பந்துகளை கூடைக்குத் திரும்புவதற்கான உதாரணம்), ஒரு பைனோமியல் விநியோகத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வெற்றியின் நிகழ்தகவுடன் விநியோகிக்கக்கூடிய சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையை பைனோமியல் விநியோகம் விவரிக்கிறது என்று நாம் கூறலாம்.
எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு:

அளவுகள் இருந்தால் இருவகைப் பரவல்கள்அளவுருக்கள் மற்றும் , முறையே, அவற்றின் கூட்டுத்தொகை அளவுருக்களுடன் ஈருறுப்பாகவும் விநியோகிக்கப்படும்.

கூடையிலிருந்து பந்துகளை வெளியே இழுத்து, ஒரு வெள்ளைப் பந்தை வெளியே இழுக்கும் வரை திருப்பி அனுப்பும் சூழ்நிலையை கற்பனை செய்து கொள்வோம். அத்தகைய செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கை ஒரு வடிவியல் விநியோகத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்: வடிவியல் விநியோகம் ஒவ்வொரு சோதனையிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவுடன் முதல் வெற்றி வரை சோதனைகளின் எண்ணிக்கையை விவரிக்கிறது. வெற்றி பெற்ற சோதனையின் எண்ணிக்கை குறிக்கப்பட்டால், வடிவியல் விநியோகம் பின்வரும் சூத்திரத்தால் விவரிக்கப்படும்:

பாஸ்கல் விநியோகம் என்பது விநியோகத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்: இது சுயாதீன சோதனைகளில் தோல்விகளின் எண்ணிக்கையின் விநியோகத்தை விவரிக்கிறது, இதன் விளைவு மொத்த வெற்றிக்கு முன் வெற்றியின் நிகழ்தகவு மீது விநியோகிக்கப்படுகிறது. எப்போது, ​​அளவுக்கான விநியோகத்தைப் பெறுகிறோம்.

எதிர்மறை இருவகைப் பரவலின் எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு:

இதுவரை நாம் மாதிரிகளின் உதாரணங்களை தலைகீழாகப் பார்த்தோம், அதாவது, விளைவின் நிகழ்தகவு சோதனையிலிருந்து சோதனைக்கு மாறவில்லை.

இப்போது திரும்பப் பெறாமல் நிலைமையைக் கருத்தில் கொண்டு, முன்பே அறியப்பட்ட வெற்றிகள் மற்றும் தோல்விகளைக் கொண்ட மக்கள்தொகையில் இருந்து வெற்றிகரமான தேர்வுகளின் எண்ணிக்கையின் நிகழ்தகவை விவரிக்கவும் (கூடையில் வெள்ளை மற்றும் கருப்பு பந்துகளின் முன்பே அறியப்பட்ட எண்ணிக்கை, டெக்கில் உள்ள துருப்புச் சீட்டுகள், விளையாட்டில் குறைபாடுள்ள பாகங்கள், முதலியன).

மொத்த சேகரிப்பில் பொருள்கள் இருக்கட்டும், அவற்றில் சில "1" என்றும் "0" என்றும் குறிக்கப்பட்டுள்ளன. "1" என்ற லேபிளுடன் ஒரு பொருளைத் தேர்ந்தெடுப்பது வெற்றியாகவும், "0" என்ற லேபிளை தோல்வியாகவும் கருதுவோம். நாங்கள் n சோதனைகளை மேற்கொள்வோம், மேலும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பொருள்கள் மேலும் சோதனைகளில் பங்கேற்காது. வெற்றியின் நிகழ்தகவு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது:

எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு:

விஷம் விநியோகம்

பாய்சன் விநியோகம் அதன் “பொருள்” பகுதியில் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட விநியோகங்களிலிருந்து கணிசமாக வேறுபடுகிறது: இப்போது இது ஒன்று அல்லது மற்றொரு சோதனை முடிவு ஏற்படுவதற்கான நிகழ்தகவு அல்ல, ஆனால் நிகழ்வுகளின் தீவிரம், அதாவது நிகழ்வுகளின் சராசரி எண்ணிக்கை ஒரு யூனிட் நேரத்திற்கு.

பாய்சன் விநியோகம் நிகழ்வுகளின் சராசரி தீவிரத்தில் காலப்போக்கில் சுயாதீன நிகழ்வுகள் நிகழும் நிகழ்தகவை விவரிக்கிறது:

பாய்சன் விநியோகம், உடன் இணைந்து, சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான நேர இடைவெளியை விவரிக்கிறது, நம்பகத்தன்மை கோட்பாட்டின் கணித அடிப்படையை உருவாக்குகிறது.

சீரற்ற மாறிகள் x மற்றும் y () ஆகியவற்றின் பெருக்கத்தின் நிகழ்தகவு அடர்த்தியை விநியோகங்களுடன் பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்:

கீழே உள்ள சில விநியோகங்கள் பியர்சன் விநியோகத்தின் சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும், இது சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும்:

இந்த பிரிவில் விவாதிக்கப்படும் விநியோகங்கள் ஒருவருக்கொருவர் நெருங்கிய உறவைக் கொண்டுள்ளன. சில விநியோகங்கள் மற்ற விநியோகங்களின் சிறப்பு நிகழ்வுகள் அல்லது பிற விநியோகங்களைக் கொண்ட சீரற்ற மாறிகளின் மாற்றங்களை விவரிக்கின்றன என்பதில் இந்த இணைப்புகள் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.

கீழே உள்ள வரைபடம் விவாதிக்கப்படும் சில தொடர்ச்சியான விநியோகங்களுக்கு இடையிலான உறவுகளைக் காட்டுகிறது இந்த வேலை. வரைபடத்தில், திட அம்புகள் சீரற்ற மாறிகளின் மாற்றத்தைக் காட்டுகின்றன (அம்புக்குறியின் ஆரம்பம் ஆரம்ப விநியோகத்தைக் குறிக்கிறது, அம்புக்குறியின் முடிவு விளைந்ததைக் குறிக்கிறது), மற்றும் புள்ளியிடப்பட்ட அம்புகள் பொதுமைப்படுத்தல் உறவைக் குறிக்கின்றன (அம்புக்குறியின் ஆரம்பம் விநியோகம், இது அம்புக்குறியின் முடிவுக்கான ஒரு சிறப்பு வழக்கு). பியர்சன் விநியோகத்தின் சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு, புள்ளியிடப்பட்ட அம்புக்குறிகளுக்கு மேலே பியர்சன் விநியோகத்தின் தொடர்புடைய வகை குறிப்பிடப்படுகிறது.

இயல்பான விநியோகம் (காஸியன் விநியோகம்)

அளவுருக்கள் கொண்ட ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி மற்றும் காஸியன் செயல்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகிறது:

மற்றும் என்றால், அத்தகைய விநியோகம் நிலையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இயல்பான விநியோகத்தின் எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு:

சாதாரண விநியோகம் ஒரு வகை VI விநியோகமாகும்.

சுயேச்சையான சாதாரண அளவுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை உள்ளது, மற்றும் சுயாதீன காசியன் அளவுகளின் விகிதம் விநியோகிக்கப்படுகிறது.

இயல்பான பரவலானது எண்ணற்ற முறையில் வகுக்கக்கூடியது: பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் அளவுகள் மற்றும் அளவுருக்கள் ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை, அதன்படி, அளவுருக்கள் , எங்கே மற்றும் .

சாதாரண விநியோக மாதிரிகள் விவரிக்கும் அளவுகளை நன்றாகச் செய்கிறது இயற்கை நிகழ்வுகள், தெர்மோடைனமிக் இயற்கையின் சத்தம் மற்றும் அளவீட்டு பிழைகள்.

கூடுதலாக, மத்திய வரம்பு தேற்றத்தின்படி, விதிமுறைகளின் பரவல்களைப் பொருட்படுத்தாமல், அதே வரிசையின் ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன சொற்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு சாதாரண விநியோகமாக மாறுகிறது. இந்த சொத்து காரணமாக, சாதாரண விநியோகம் பிரபலமாக உள்ளது புள்ளியியல் பகுப்பாய்வு, பல புள்ளியியல் சோதனைகள் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் தரவுகளுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன.

z-சோதனையானது இயல்பான விநியோகத்தின் எல்லையற்ற வகுக்கும் தன்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் மதிப்புகளின் மாதிரியின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்புக்கு சமமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்க இந்தச் சோதனை பயன்படுத்தப்படுகிறது. மாறுபாடு மதிப்பு இருக்க வேண்டும் அறியப்படுகிறது. மாறுபாடு மதிப்பு தெரியவில்லை மற்றும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட மாதிரியின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்பட்டால், அதன் அடிப்படையில் டி-டெஸ்ட்.

இதிலிருந்து n சார்பற்ற பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் மதிப்புகளின் மாதிரியைப் பெறுவோம் மக்கள் தொகைஉடன் நிலையான விலகல்என்று ஒரு கருதுகோளை முன்வைப்போம். பின்னர் மதிப்பு நிலையான இயல்பான விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கும். பெறப்பட்ட z மதிப்பை நிலையான விநியோகத்தின் அளவுகளுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், நீங்கள் கருதுகோளை தேவையான அளவு முக்கியத்துவத்துடன் ஏற்கலாம் அல்லது நிராகரிக்கலாம்.

காஸியன் விநியோகத்தின் பரவலான பயன்பாட்டின் காரணமாக, புள்ளிவிவரங்களை அதிகம் அறிந்திராத பல ஆராய்ச்சியாளர்கள், தாங்கள் காஸியன் தரவைக் கையாள்வதாக கண்மூடித்தனமாக நம்பி, சாதாரண தரவை சரிபார்க்க அல்லது விநியோக அடர்த்தி வரைபடத்தை "கண்ணால்" மதிப்பிட மறந்துவிட்டனர். அதன்படி, சாதாரண விநியோகத்திற்காக வடிவமைக்கப்பட்ட சோதனைகளை நீங்கள் பாதுகாப்பாகப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் முற்றிலும் தவறான முடிவுகளைப் பெறலாம். புள்ளிவிபரங்கள் மிகவும் பயங்கரமான பொய் என வதந்தி வந்திருக்கலாம்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்: ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பின் மின்தடையங்களின் தொகுப்பின் எதிர்ப்பை நாம் அளவிட வேண்டும். எதிர்ப்பு உள்ளது உடல் இயல்பு, பெயரளவு மதிப்பில் இருந்து எதிர்ப்பு விலகல்களின் விநியோகம் சாதாரணமாக இருக்கும் என்று கருதுவது தர்க்கரீதியானது. மின்தடை மதிப்பின் அருகாமையில் ஒரு பயன்முறையுடன் அளவிடப்பட்ட மதிப்புகளுக்கான மணி வடிவ நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டை அளவிடுகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம். இது சாதாரண விநியோகமா? ஆம் எனில், விநியோகத்தின் பரவலை முன்கூட்டியே அறிந்தால், அல்லது z- சோதனையைப் பயன்படுத்தி குறைபாடுள்ள மின்தடையங்களைத் தேடுவோம். பலர் அதைத்தான் செய்வார்கள் என்று நினைக்கிறேன்.

ஆனால் மின்தடை அளவீட்டு தொழில்நுட்பத்தை ஒரு நெருக்கமான தோற்றத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்: மின்னழுத்தம் மின்னோட்டத்திற்கு பயன்படுத்தப்படும் மின்னழுத்தத்தின் விகிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. மின்னோட்டத்தையும் மின்னழுத்தத்தையும் கருவிகளைக் கொண்டு அளந்தோம், அதையொட்டி, பொதுவாக பிழைகள் விநியோகிக்கப்படுகின்றன. அதாவது, தற்போதைய மற்றும் மின்னழுத்தத்தின் அளவிடப்பட்ட மதிப்புகள் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள்அளவிடப்பட்ட அளவுகளின் உண்மையான மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய கணித எதிர்பார்ப்புகளுடன். இதன் பொருள் பெறப்பட்ட எதிர்ப்பு மதிப்புகள் காசியன் படி அல்ல, படி விநியோகிக்கப்படுகின்றன.

சீரற்ற மாறிகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை விநியோகம் விவரிக்கிறது, அவை ஒவ்வொன்றும் நிலையான சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகின்றன:

சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை எங்கே, .

விநியோகத்தின் எதிர்பார்ப்பு மற்றும் பரவல்:

இது ஒரு சிறப்பு வழக்கு (எனவே ஒரு வகை III விநியோகம்) மற்றும் ஒரு பொதுமைப்படுத்தல். விநியோகிக்கப்படும் அளவுகளின் விகிதம் விநியோகிக்கப்படுகிறது.

பியர்சன் நல்ல தகுதி சோதனை விநியோகத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி, மாதிரியின் நம்பகத்தன்மையை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம் சீரற்ற மாறிசில தத்துவார்த்த விநியோகம்.

எங்களிடம் சில சீரற்ற மாறிகளின் மாதிரி உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த மாதிரியின் அடிப்படையில், இடைவெளிகளில் () விழும் மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம். விநியோகத்தின் பகுப்பாய்வு வெளிப்பாடு பற்றிய அனுமானமும் இருக்கட்டும், அதன்படி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இடைவெளிகளில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவுகள் இருக்க வேண்டும். பின்னர் அளவுகள் சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும்.

நிலையான இயல்பான விநியோகத்திற்குக் குறைப்போம்: ,
எங்கே மற்றும்.

இதன் விளைவாக வரும் மதிப்புகள் அளவுருக்கள் (0, 1) உடன் இயல்பான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளன, எனவே, அவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை சுதந்திரத்தின் அளவிற்கு விநியோகிக்கப்படுகிறது. சுதந்திரத்தின் அளவு குறைவது இடைவெளியில் விழும் மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகையின் கூடுதல் கட்டுப்பாட்டுடன் தொடர்புடையது: இது 1 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.

மதிப்பை விநியோகத்தின் அளவுகளுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், தேவையான அளவு முக்கியத்துவத்துடன் தரவின் தத்துவார்த்த விநியோகம் பற்றிய கருதுகோளை நீங்கள் ஏற்கலாம் அல்லது நிராகரிக்கலாம்.

மாணவர் விநியோகம் t-சோதனையை நடத்தப் பயன்படுகிறது: விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் மாதிரியின் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்பை ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்புக்கு சமன்படுத்துவதற்கான சோதனை அல்லது ஒரே மாறுபாடு கொண்ட இரண்டு மாதிரிகளின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பின் சமத்துவம் (சமத்துவம்) மாறுபாடுகள் சரிபார்க்கப்பட வேண்டும்). மாணவர் விநியோகம் என்பது விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் விகிதத்தை விரவிக்கப்பட்ட மாறிக்கு விவரிக்கிறது.

முறையே சுதந்திரத்தின் அளவுகளைக் கொண்ட சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளாக இருக்கட்டும். பின்னர் அளவு சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் ஃபிஷர் விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கும், மேலும் அளவு சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் ஃபிஷர் விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கும்.
ஃபிஷர் விநியோகம் உண்மையான எதிர்மறை அல்லாத வாதங்களுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் நிகழ்தகவு அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது:


மீன்பிடி விநியோகத்தின் எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு:

இந்தத் தொடர் ஃபிஷர் விநியோகத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது புள்ளியியல் சோதனைகள், பின்னடைவு அளவுருக்களின் முக்கியத்துவத்தை மதிப்பிடுவது, பன்முகத்தன்மைக்கான சோதனை மற்றும் மாதிரி மாறுபாடுகளின் சமத்துவத்திற்கான சோதனை (எஃப்-டெஸ்ட், இதிலிருந்து வேறுபடுத்தப்பட வேண்டும் துல்லியமானதுஃபிஷர் சோதனை).

எஃப்-சோதனை: முறையே இரண்டு சுயாதீன மாதிரிகள் மற்றும் விநியோகிக்கப்பட்ட தரவு தொகுதிகள் இருக்கட்டும். மாதிரி மாறுபாடுகளின் சமத்துவம் பற்றி ஒரு கருதுகோளை முன்வைத்து, அதை புள்ளிவிவர ரீதியாக சோதிப்போம்.

மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம். இது சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் ஒரு ஃபிஷர் விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

தொடர்புடைய ஃபிஷர் விநியோகத்தின் அளவுகளுடன் மதிப்பை ஒப்பிடுவதன் மூலம், தேவையான அளவு முக்கியத்துவத்துடன் மாதிரி மாறுபாடுகளின் சமத்துவத்தின் கருதுகோளை நாம் ஏற்கலாம் அல்லது நிராகரிக்கலாம்.

அதிவேக (அதிவேக) விநியோகம் மற்றும் லாப்ளேஸ் விநியோகம் (இரட்டை அதிவேக, இரட்டை அதிவேக)

அதிவேக விநியோகம் இடைப்பட்ட நேர இடைவெளிகளை விவரிக்கிறது சுயாதீன நிகழ்வுகள், நடுத்தர தீவிரத்துடன் நிகழ்கிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் இதுபோன்ற நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை தனித்தனியாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. அதிவேக விநியோகம் நம்பகத்தன்மை கோட்பாட்டின் கணித அடிப்படையை உருவாக்குகிறது.

நம்பகத்தன்மை கோட்பாட்டிற்கு கூடுதலாக, அதிவேக விநியோகம்சமூக நிகழ்வுகளை விவரிப்பதில், பொருளாதாரத்தில், கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது வரிசையில் நிற்கிறது, போக்குவரத்து தளவாடங்களில் - நிகழ்வுகளின் ஓட்டத்தை உருவகப்படுத்துவது அவசியமான இடங்களில்.

அதிவேக விநியோகம் என்பது ஒரு சிறப்பு வழக்கு (n=2க்கு), எனவே . அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்பட்ட அளவு என்பது 2 டிகிரி சுதந்திரத்துடன் கூடிய ஒரு சி-சதுர அளவு என்பதால், இது இரண்டு சுயாதீன பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்ட அளவுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாக விளக்கப்படலாம்.

மேலும், அதிவேக விநியோகம் நியாயமான வழக்கு

பெர்னோலியின் சூத்திரம்- நிகழும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின் சூத்திரம் A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)சுயாதீன சோதனைகளில். பெர்னௌலியின் சூத்திரம், ஏராளமான கணக்கீடுகளில் இருந்து விடுபட உங்களை அனுமதிக்கிறது - நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் - போதுமானது பெரிய அளவுசோதனைகள். இந்த சூத்திரத்தைப் பெற்ற சிறந்த சுவிஸ் கணிதவியலாளர் ஜேக்கப் பெர்னௌலியின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது.

என்சைக்ளோபீடிக் YouTube

1 / 3

✪ நிகழ்தகவு கோட்பாடு. 22. பெர்னோலி சூத்திரம். சிக்கல் தீர்க்கும்

✪ பெர்னோலி சூத்திரம்

✪ 20 பெர்னோலி ஃபார்முலா சோதனைகளை மீண்டும் செய்யவும்

வசன வரிகள்

உருவாக்கம்

தேற்றம்.நிகழ்தகவு என்றால் ப (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ப)ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வு A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிலையானது, பின்னர் நிகழ்தகவு P k , n (\ displaystyle P_(k,n))அந்த நிகழ்வு A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)சரியாக வரும் கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​கே)ஒவ்வொரு முறையும் n (\displaystyle n)சுயாதீன சோதனைகள், இதற்கு சமம்: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), எங்கே q = 1 − p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​q=1-p).

ஆதாரம்

அது நிறைவேற்றப்படட்டும் n (\displaystyle n)சுயாதீன சோதனைகள், மற்றும் ஒவ்வொரு சோதனையின் விளைவாக நிகழ்வு என்று அறியப்படுகிறது A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)நிகழ்தகவுடன் நிகழ்கிறது P (A) = p (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​P\left(A\ right)=p)எனவே, நிகழ்தகவுடன் ஏற்படாது P (A ¯) = 1 − p = q (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). நிகழ்தகவு சோதனைகளின் போது, ​​கூட ப (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ப)மற்றும் q (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​q)மாறாமல் இருக்கும். இதன் விளைவாக என்ன நிகழ்தகவு உள்ளது n (\displaystyle n)சுயாதீன சோதனைகள், நிகழ்வு A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)சரியாக வரும் கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​கே)ஒருமுறை?

நிகழ்வுக்கான சோதனை முடிவுகளின் "வெற்றிகரமான" சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கையை துல்லியமாக கணக்கிட முடியும் என்று மாறிவிடும். A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)வருகிறது கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​கே)ஒவ்வொரு முறையும் n (\displaystyle n)சுயாதீன சோதனைகள் - இது சரியாக சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை  n (\displaystyle n)  மூலம்  கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​கே) :

C n (k) = n !{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

கே! A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)(n - k) !

(\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n n (\displaystyle n)அதே நேரத்தில், அனைத்து சோதனைகளும் சுயாதீனமானவை மற்றும் அவற்றின் முடிவுகள் பொருந்தாதவை (நிகழ்வு A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)சரியாக வரும் கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​கே)நிகழ்கிறதோ இல்லையோ), பின்னர் "வெற்றிகரமான" கலவையைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு சரியாக சமமாக இருக்கும்: . p k ⋅ q n − k (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​p^(k)\cdot q^(n-k)), "வெற்றிகரமான" சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை சமம் C n (k) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​C_(n)(k)), எனவே நாம் இறுதியாகப் பெறுகிறோம்:

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

கடைசி வெளிப்பாடு பெர்னோலியின் ஃபார்முலாவைத் தவிர வேறில்லை. நிகழ்வுகளின் குழுவின் முழுமையின் காரணமாக, இது உண்மையாக இருக்கும் என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்:

∑ k = 0 n (P k, n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).

N சோதனைகள் பெர்னௌல்லி திட்டத்தின் படி வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு p. X என்பது வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். சீரற்ற மாறி X ஆனது மதிப்புகளின் வரம்பைக் கொண்டுள்ளது (0,1,2,...,n). இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்: , C m n என்பது n முதல் m வரையிலான சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை.
விநியோகத் தொடர் இதுபோல் தெரிகிறது:

சேவையின் நோக்கம். சதி செய்ய ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் பயன்படுத்தப்படுகிறது இருபக்க தொடர் விநியோகம்மற்றும் தொடரின் அனைத்து குணாதிசயங்களின் கணக்கீடு: கணித எதிர்பார்ப்பு, சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகல். முடிவோடு அறிக்கை வேர்ட் வடிவத்தில் வரையப்பட்டுள்ளது (எடுத்துக்காட்டு).

வீடியோ வழிமுறைகள்

பெர்னோலி சோதனை சுற்று

ஒரு சீரற்ற மாறியின் எண்ணியல் பண்புகள் ஈருறுப்புச் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகின்றன

ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் மாறுபாடு பைனோமியல் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது.
D[X]=npq

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. தயாரிப்பு p = 0.3 நிகழ்தகவுடன் குறைபாடுடையதாக இருக்கலாம். தொகுப்பிலிருந்து மூன்று தயாரிப்புகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. X என்பது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் உள்ள குறைபாடுள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கை. கண்டுபிடி (அனைத்து பதில்களையும் படிவத்தில் உள்ளிடவும் தசமங்கள்): a) விநியோகத் தொடர் X; b) விநியோக செயல்பாடு F(x) .
தீர்வு. சீரற்ற மாறி X மதிப்புகளின் வரம்பைக் கொண்டுள்ளது (0,1,2,3).
X இன் விநியோகத் தொடரைக் கண்டுபிடிப்போம்.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0.3) 3 = 0.34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0.3) 3-1 = 0.44

P 3 (3) = p n = 0.3 3 = 0.027

1. ஒரு சோதனையில் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.6 ஆகும். 5 சோதனைகள் நடத்தப்படுகின்றன. சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதியை வரையவும் - நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை.
2. ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.8 ஆக இருந்தால், நான்கு ஷாட்களுடன் வெற்றிகளின் சீரற்ற மாறி X எண்களுக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.
3. நாணயம் 7 முறை தூக்கி எறியப்படுகிறது. கண்டுபிடி கணித எதிர்பார்ப்புமற்றும் கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் தோற்றங்களின் எண்ணிக்கையில் உள்ள மாறுபாடு. குறிப்பு: இங்கு கோட் ஆப் ஆர்ம்ஸ் தோன்றுவதற்கான நிகழ்தகவு p = 1/2 (நாணயத்திற்கு இரண்டு பக்கங்கள் இருப்பதால்).

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. ஒரு சோதனையில் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.6 ஆகும். பெர்னோலியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், ஒரு நிகழ்வின் அதிர்வெண் விலகல் நிகழ்தகவு அதன் முழுமையான மதிப்பில் 0.1 க்கும் குறைவாகவும், 0.97 ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கும் சுயாதீன சோதனைகளின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும். (பதில்: 801)

எடுத்துக்காட்டு எண். 3. மாணவர்கள் நிகழ்த்துகிறார்கள் சோதனை வேலைகணினி அறிவியல் வகுப்பில். வேலை மூன்று பணிகளைக் கொண்டுள்ளது. நல்ல தரத்தைப் பெற, குறைந்தது இரண்டு சிக்கல்களுக்கு சரியான பதில்களைக் கண்டறிய வேண்டும். ஒவ்வொரு பிரச்சனைக்கும், 5 பதில்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, அதில் ஒன்று மட்டுமே சரியானது. மாணவர் சீரற்ற முறையில் ஒரு பதிலைத் தேர்வு செய்கிறார். அவர் நல்ல மதிப்பெண் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
தீர்வு. கேள்விக்கு சரியாக பதிலளிக்கும் நிகழ்தகவு: p=1/5=0.2; n=3.
இந்த தரவு கால்குலேட்டரில் உள்ளிடப்பட வேண்டும். பதிலுக்கு, P(2)+P(3) ஐப் பார்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 4. துப்பாக்கி சுடும் வீரர் ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு (m+n)/(m+n+2) . n+4 ஷாட்கள் சுடப்படுகின்றன. அவர் இரண்டு முறைக்கு மேல் தவறவிடாத நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

குறிப்பு. அவர் இரண்டு முறைக்கு மேல் தவறவிடாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு பின்வரும் நிகழ்வுகளை உள்ளடக்கியது: P(4), ஒருமுறை P(3), இரண்டு முறை P(2) ஆகியவற்றை தவறவிடுவதில்லை.

எடுத்துக்காட்டு எண். 5. 4 விமானங்கள் புறப்பட்டால், தோல்வியுற்ற விமானங்களின் எண்ணிக்கையின் நிகழ்தகவு பரவலைத் தீர்மானிக்கவும். விமானத்தின் தோல்வி-இல்லாத செயல்பாட்டின் நிகழ்தகவு P = 0.99. ஒவ்வொரு விமானத்திலும் தோல்வியுற்ற விமானங்களின் எண்ணிக்கை பைனாமியல் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது.