தீர்மானிக்கப்படாத பெருக்கிகளின் லாக்ரேஞ்ச் முறை உதாரணம். டைனமிக் சிஸ்டம்களின் மாடலிங் (லாக்ரேஞ்ச் முறை மற்றும் பாண்ட் கிராஃப் அணுகுமுறை)

ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலையை தீர்மானிப்பதற்கான முறையானது துணை லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டை உருவாக்குவதன் மூலம் தொடங்குகிறது, இது சாத்தியமான தீர்வுகளின் பிராந்தியத்தில் மாறிகளின் அதே மதிப்புகளுக்கு அதிகபட்சத்தை அடைகிறது. x 1 , x 2 , ..., x n , என புறநிலை செயல்பாடு z . செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையை தீர்மானிப்பதில் சிக்கல் தீர்க்கப்படட்டும் z = f(X) கட்டுப்பாடுகளின் கீழ் φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., மீ , மீ < n

ஒரு செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம்

என்று அழைக்கப்படும் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு. எக்ஸ் , - நிலையான காரணிகள் ( லக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகள்) லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகளுக்கு பொருளாதார அர்த்தத்தை கொடுக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். என்றால் f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - திட்டத்திற்கு இசைவான வருமானம் X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , மற்றும் செயல்பாடு φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - இந்தத் திட்டத்துடன் தொடர்புடைய i-th வளத்தின் செலவுகள் எக்ஸ் , i-th வளத்தின் விலை (மதிப்பீடு), i-th வளத்தின் அளவு (விளிம்பு மதிப்பீடு) மாற்றத்தைப் பொறுத்து புறநிலை செயல்பாட்டின் தீவிர மதிப்பில் ஏற்படும் மாற்றத்தை வகைப்படுத்துகிறது. L(X) - செயல்பாடு n+m மாறிகள் (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . இந்த செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளைத் தீர்மானிப்பது சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வழிவகுக்கிறது

அதைப் பார்ப்பது எளிது . இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறியும் பணி z = f(X) செயல்பாட்டின் உள்ளூர் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதைக் குறைக்கிறது L(X) . ஒரு நிலையான புள்ளி கண்டறியப்பட்டால், எளிமையான நிகழ்வுகளில் ஒரு முனையின் இருப்பு பற்றிய கேள்வி உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகளின் அடிப்படையில் தீர்க்கப்படுகிறது - இரண்டாவது வேறுபாட்டின் அடையாளத்தைப் படிப்பது ஈ 2 L(X) ஒரு நிலையான புள்ளியில், மாறி அதிகரிக்கும் Δx i - உறவுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது

இணைப்பு சமன்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதன் மூலம் பெறப்பட்டது.

சொல்யூஷன் ஃபைண்டர் கருவியைப் பயன்படுத்தி இரண்டு தெரியாதவற்றில் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

அமைப்புகள் தீர்வு காணுதல்கணினிக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள்இரண்டு தெரியாதவர்களுடன்:

எங்கே
- மாறிகளின் நேரியல் அல்லாத செயல்பாடு x மற்றும் ஒய் ,
- தன்னிச்சையான மாறிலி.

தம்பதிகள் என்று அறியப்படுகிறது ( x , ஒய் ) என்பது இரண்டு அறியப்படாத சமன்பாடுகளுடன் பின்வரும் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாக இருந்தால் மட்டுமே (10) சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வாகும்:

உடன்மறுபுறம், அமைப்புக்கான தீர்வு (10) என்பது இரண்டு வளைவுகளின் வெட்டுப்புள்ளிகள் ஆகும்: f ] (x, ஒய்) = சி மற்றும் f 2 (x, y) = C 2 விமானத்தில் XOஒய்.

இது அமைப்பின் வேர்களைக் கண்டறியும் முறைக்கு வழிவகுக்கிறது. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள்:

சமன்பாடுகள் (10) அல்லது சமன்பாடு (11) முறைக்கு ஒரு தீர்வு இருப்பதற்கான இடைவெளியை (குறைந்தது தோராயமாக) தீர்மானிக்கவும். இங்கே கணினியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடுகளின் வகை, அவற்றின் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளின் வரையறையின் களம், முதலியவற்றை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம். சில சமயங்களில் தீர்வுக்கான ஆரம்ப தோராயத்தின் தேர்வு பயன்படுத்தப்படுகிறது;

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் x மற்றும் y மாறிகளுக்கான சமன்பாட்டிற்கான (11) தீர்வை அட்டவணைப்படுத்தவும் அல்லது செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும் f 1 (x, ஒய்) = சி, மற்றும் f 2 (x,y) = C 2 (அமைப்பு(10)).

சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் கூறப்படும் வேர்களை உள்ளூர்மயமாக்கவும் - சமன்பாட்டின் வேர்களை (11) அட்டவணைப்படுத்தும் அட்டவணையில் இருந்து பல குறைந்தபட்ச மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் அல்லது கணினியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள வளைவுகளின் வெட்டுப்புள்ளிகளை தீர்மானிக்கவும் (10).

4. துணை நிரலைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் (10) அமைப்புக்கான வேர்களைக் கண்டறியவும் தீர்வு காணுதல்.

an(t)z(n)(t) + an - 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

பொதுவான தீர்வில் தன்னிச்சையான மாறிலிகள் ck ஐ மாற்றுவதைக் கொண்டுள்ளது

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

பொருத்தமானது ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு

an(t)z(n)(t) + an - 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

துணை செயல்பாடுகளுக்கு cc(t), அதன் வழித்தோன்றல்கள் நேரியல் இயற்கணித அமைப்பை திருப்திப்படுத்துகின்றன

அமைப்பு (1) இன் நிர்ணயிப்பான் z1,z2,...,zn செயல்பாடுகளின் வ்ரோன்ஸ்கியன் ஆகும், இது .

ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிகளின் நிலையான மதிப்புகளில் எடுக்கப்பட்ட, க்கு ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் என்றால், செயல்பாடு

அசல் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற ஒரு தீர்வு வேறுபட்ட சமன்பாடு. ஒருங்கிணைப்பு ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுதொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு முன்னிலையில், அது இருபடிகளாக குறைக்கப்படுகிறது.

லாக்ரேஞ்ச் முறை (தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை)

ஒரு ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைப் பெறுவதற்கான ஒரு முறை, ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிக்காமல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வை அறிந்து கொள்வது.

n வது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

இங்கு y = y(x) என்பது அறியப்படாத செயல்பாடாகும், a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) அறியப்படுகிறது, தொடர்ச்சி, உண்மை: 1) n நேரியல் சுதந்திரமான முடிவுகள்சமன்பாடுகள் y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) c1, c2, ..., cn ஆகிய மாறிலிகளின் எந்த மதிப்புகளுக்கும், y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) என்பது a சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு; 3) x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 எந்த ஆரம்ப மதிப்புகளுக்கும் c*1, c*n, ..., c*n போன்ற மதிப்புகள் உள்ளன, அத்தகைய தீர்வு y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) x = x0 க்கு திருப்தி அளிக்கிறது ஆரம்ப நிலைமைகள் y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) என்பது n வது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

n வது வரிசை y1(x), y2(x), ..., yn(x) ஆகியவற்றின் நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் n நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளின் தொகுப்பு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு நிலையான குணகங்கள்தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குவதற்கான எளிய வழிமுறை உள்ளது. சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை y(x) = exp(lx) வடிவத்தில் தேடுவோம்: exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, அதாவது l என்பது ரூட் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. பண்புச் சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை என அழைக்கப்படுகிறது: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. எனவே, நிலையான குணகங்களுடன் n வது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் சிக்கல் ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் குறைக்கப்படுகிறது.

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டில் n வெவ்வேறு உண்மையான வேர்கள் l1№ l2 № ... № ln இருந்தால், தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), மற்றும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx )

தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு மற்றும் எளிய உண்மையான வேர்களுக்கு பொதுவான தீர்வு.

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்கள் ஏதேனும் r முறை (r-மல்டிபிள் ரூட்) மீண்டும் மீண்டும் இருந்தால், தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பில் அதனுடன் தொடர்புடைய r செயல்பாடுகள் உள்ளன; lk=lk+1 = ... = lk+r-1 என்றால், in அடிப்படை அமைப்புசமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளில் r செயல்பாடுகள் அடங்கும்: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1(x) =xr-1 exp(lnx).

எடுத்துக்காட்டு 2. தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு மற்றும் பல உண்மையான வேர்களுக்கு பொதுவான தீர்வு.

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு சிக்கலான வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், ஒவ்வொரு ஜோடி எளிய (பெருக்கல் 1 உடன்) சிக்கலான வேர்களான lk,k+1=ak ± ibk தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பில் yk(x) = exp(akx) ஒரு ஜோடி செயல்பாடுகளுக்கு ஒத்திருக்கும். cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

எடுத்துக்காட்டு 4. தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு மற்றும் எளிய சிக்கலான வேர்களுக்கு பொதுவான தீர்வு. கற்பனை வேர்கள்.

ஒரு சிக்கலான ஜோடி வேர்கள் பெருக்கல் r ஐக் கொண்டிருந்தால், அத்தகைய ஜோடி lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பில் exp(akx)cos(செயல்பாடுகளை ஒத்துள்ளது. bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

எடுத்துக்காட்டு 5. தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு மற்றும் பல சிக்கலான வேர்களுக்கு பொதுவான தீர்வு.

எனவே, நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிய, ஒருவர்: பண்புச் சமன்பாட்டை எழுத வேண்டும்; l1, l2, ... , ln என்ற சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும்; y1(x), y2(x), ..., yn(x) தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை எழுதவும்; பொதுவான தீர்வு y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x)க்கான வெளிப்பாட்டை எழுதவும். Cauchy சிக்கலைத் தீர்க்க, நீங்கள் ஆரம்ப நிலைகளில் பொதுவான தீர்வுக்கான வெளிப்பாட்டை மாற்ற வேண்டும் மற்றும் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு c1 y1(இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகளான c1,..., cn) மாறிலிகளின் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டும். x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn (x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) =y0 ,1, ........., c1 y1 (n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)(x0) = y0,n-1

n வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

இங்கு y = y(x) என்பது அறியப்படாத செயல்பாடாகும், a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) அறியப்பட்டவை, தொடர்ச்சியானவை, செல்லுபடியாகும்: 1 y1(x) மற்றும் y2(x) ஆகியவை ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு தீர்வுகளாக இருந்தால், y(x) = y1(x) - y2(x) என்பது தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும்; 2) y1(x) என்பது ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகவும், y2(x) தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகவும் இருந்தால், y(x) = y1(x) + y2(x) செயல்பாடு ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு; 3) y1(x), y2(x), ..., yn(x) ஆகியவை ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் n நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகள் மற்றும் ych(x) என்பது ஒரு சீரற்ற சமன்பாட்டின் தன்னிச்சையான தீர்வாக இருந்தால், எந்த ஆரம்ப மதிப்புகளுக்கும் x0, y0, y0 ,1, ..., y0,n-1 மதிப்புகள் உள்ளன c*1, c*n, ..., c*n அதாவது தீர்வு y*(x)=c *1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + yч(x) x = x0 இல் ஆரம்ப நிலைகளை y*(x0)=y0, (y*) பூர்த்தி செய்கிறது )"(x0)=y0,1 , ..,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) என்பது n வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

படிவத்தின் வலது பக்கங்களைக் கொண்ட நிலையான குணகங்களுடன் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பகுதி தீர்வுகளைக் கண்டறிய: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), Pk(x) ), Qm(x ) என்பது முறையே k மற்றும் m பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும், ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை உருவாக்குவதற்கான எளிய வழிமுறை உள்ளது, இது தேர்வு முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேர்வு முறை, அல்லது முறை நிச்சயமற்ற குணகங்கள், பின்வருமாறு. சமன்பாட்டிற்கு தேவையான தீர்வு வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, Pr(x), Qr(x ) என்பது அறியப்படாத குணகங்கள் pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 உடன் பட்டம் r = max(k, m) இன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். xs காரணி அதிர்வு காரணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. குணாதிசய சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒரு ரூட் l =a ± ib இன் பெருக்கல் s இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் அதிர்வு ஏற்படுகிறது. அந்த. தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்று இருந்தால், அதன் உண்மையான பகுதி அடுக்கு அடுக்குகளில் உள்ள குணகத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, மேலும் அதன் கற்பனை பகுதி வாதத்தில் உள்ள குணகத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. முக்கோணவியல் செயல்பாடுசமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில், இந்த மூலத்தின் பெருக்கம் s ஆகும், பின்னர் தேவையான பகுதி தீர்வு ஒரு அதிர்வு காரணி xs ஐக் கொண்டுள்ளது. அத்தகைய தற்செயல் (s=0) இல்லை என்றால், அதிர்வு காரணி இல்லை.

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வுக்கான வெளிப்பாட்டை மாற்றுவதன் மூலம், சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் அதே வடிவத்தின் பொதுவான பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பெறுகிறோம், அதன் குணகங்கள் தெரியவில்லை.

xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) வடிவத்தின் காரணிகளின் குணகங்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு பொதுவான பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சமமாக இருக்கும். அத்தகைய காரணிகளின் குணகங்களை சமன்படுத்தி, 2(r+1) தெரியாதவற்றிற்கான 2(r+1) நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம். அத்தகைய அமைப்பு சீரானது மற்றும் தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டலாம்.

முதல் வரிசையின் நேரியல் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(1) .
இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க மூன்று வழிகள் உள்ளன:

• மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை (Lagrange).

Lagrange முறையைப் பயன்படுத்தி முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை (Lagrange)

நிலையான முறையின் மாறுபாட்டில், சமன்பாட்டை இரண்டு படிகளில் தீர்க்கிறோம். முதல் கட்டத்தில், அசல் சமன்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம் மற்றும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம். இரண்டாவது கட்டத்தில், தீர்வின் முதல் கட்டத்தில் பெறப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு மாறிலியை ஒரு செயல்பாட்டுடன் மாற்றுகிறோம். பின்னர் அசல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைத் தேடுகிறோம்.

சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(1)

படி 1 ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம்:

இது ஒரு பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடு

நாம் மாறிகளை பிரிக்கிறோம் - dx ஆல் பெருக்கவும், y ஆல் வகுக்கவும்:

ஒருங்கிணைப்போம்:

y-க்கு மேல் ஒருங்கிணைந்த அட்டவணை:

பிறகு

ஆற்றலைப் பெறுவோம்:

மாறிலி e C ஐ C உடன் மாற்றுவோம் மற்றும் மாடுலஸ் குறியை அகற்றுவோம், இது மாறிலியால் பெருக்கப்படும் ± 1, நாம் C இல் சேர்ப்போம்:

படி 2 நிலையான C ஐ செயல்பாட்டுடன் மாற்றவும்

இப்போது நிலையான C ஐ x இன் செயல்பாட்டுடன் மாற்றுவோம்:
C → u (x)
அதாவது, அசல் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைத் தேடுவோம் (1) வடிவத்தில்:
(2)
வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்.

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியின் படி:
.
தயாரிப்பு வேறுபாடு விதியின் படி:

.
அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும் (1) :
(1) ;

.
இரண்டு உறுப்பினர்கள் குறைக்கப்பட்டனர்:
;
.
ஒருங்கிணைப்போம்:
.
மாற்று (2) :
.
இதன் விளைவாக, முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்:
.

லாக்ரேஞ்ச் முறை மூலம் முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

நாங்கள் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:

இதன் மூலம் பெருக்கவும்:

ஒருங்கிணைப்போம்:

அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள்:

ஆற்றலைப் பெறுவோம்:

மாறிலி e C ஐ C உடன் மாற்றுவோம் மற்றும் மாடுலஸ் அறிகுறிகளை அகற்றுவோம்:

இங்கிருந்து:

மாறிலி C ஐ x இன் செயல்பாட்டுடன் மாற்றுவோம்:
C → u (x)

வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்:
.
அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:
;
;
அல்லது:
;
.
ஒருங்கிணைப்போம்:
;
சமன்பாட்டின் தீர்வு:
.

• பயிற்சி

அனைவரும் நல்ல மதியம். இந்த கட்டுரையில் நான் ஒன்றைக் காட்ட விரும்புகிறேன் வரைகலை முறைகள்டைனமிக் அமைப்புகளுக்கான கணித மாதிரிகளை உருவாக்குதல், இது அழைக்கப்படுகிறது பத்திர வரைபடம் ("பத்திரம்" - இணைப்புகள், "வரைபடம்" - வரைபடம்). ரஷ்ய இலக்கியத்தில், டாம்ஸ்க் பாலிடெக்னிக் பல்கலைக்கழகத்தின் பாடப்புத்தகத்தில் மட்டுமே இந்த முறையின் விளக்கங்களைக் கண்டேன், ஏ.வி. வோரோனின் “மெகாட்ரானிக் சிஸ்டம்ஸ் மாடலிங்” 2008 2வது வகையான லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடு மூலம் கிளாசிக்கல் முறையைக் காட்டுகிறது.

லாக்ரேஞ்ச் முறை

மாடலிங் முறைகளின் அம்சங்கள்:

• நியூட்டன்-ஆய்லர்: டைனமிக் சமநிலையை அடிப்படையாகக் கொண்ட திசையன் சமன்பாடுகள் படைமற்றும் தருணங்கள்
• லாக்ரேஞ்ச்: இயக்கவியல் மற்றும் சாத்தியக்கூறுகளுடன் தொடர்புடைய மாநில செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் அளவிடப்பட்ட சமன்பாடுகள் ஆற்றல்கள்
• பத்திர எண்ணிக்கை: ஓட்டம் சார்ந்த முறை சக்திஅமைப்பு கூறுகளுக்கு இடையில்

ஆரம்பிப்போம் எளிய உதாரணம். ஸ்பிரிங் மற்றும் டம்பர் கொண்ட நிறை. புவியீர்ப்பு விசையை நாம் புறக்கணிக்கிறோம்.

முதலில், நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம்:

• ஆரம்ப ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு(NSK) அல்லது நிலையான sk R0(i0,j0,k0). எங்கே? நீங்கள் வானத்தை நோக்கி விரலைக் காட்டலாம், ஆனால் மூளையில் உள்ள நியூரான்களின் நுனிகளை இழுப்பதன் மூலம், M1 உடலின் இயக்கத்தின் வரிசையில் NSC ஐ வைக்க யோசனை செல்கிறது.
• வெகுஜனத்துடன் ஒவ்வொரு உடலுக்கும் ஒருங்கிணைக்கும் அமைப்புகள்(எங்களிடம் M1 உள்ளது R1(i1,j1,k1)), நோக்குநிலை தன்னிச்சையாக இருக்கலாம், ஆனால் உங்கள் வாழ்க்கையை ஏன் சிக்கலாக்குகிறீர்கள், அதை வைத்து குறைந்தபட்ச வேறுபாடு NSC இலிருந்து
• பொதுவான ஆயத்தொகுப்புகள் q_i(இயக்கத்தை விவரிக்கக்கூடிய குறைந்தபட்ச மாறிகளின் எண்ணிக்கை), இல் இந்த எடுத்துக்காட்டில்ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு, j அச்சில் மட்டுமே இயக்கம்

பின்னர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி டம்பருக்கான இயக்கவியல் (C) மற்றும் சாத்தியமான (P) ஆற்றல்கள் மற்றும் சிதறல் செயல்பாடு (D) ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் சுழற்சி இல்லை, இரண்டாவது கூறு 0 க்கு சமம்.

லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

டெல்டா W_iஇது பயன்படுத்தப்பட்ட சக்திகள் மற்றும் தருணங்களால் செய்யப்படும் மெய்நிகர் வேலை. அவளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எங்கே டெல்டா q_1மெய்நிகர் இயக்கம்.

லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாட்டில் எல்லாவற்றையும் மாற்றுகிறோம்:

இங்குதான் லாக்ரேங்கின் முறை முடிந்தது. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இது மிகவும் சிக்கலானது அல்ல, ஆனால் இது மிகவும் எளிமையான உதாரணம், பெரும்பாலும் நியூட்டன்-ஆய்லர் முறை இன்னும் எளிமையானதாக இருக்கும். மிகவும் சிக்கலான அமைப்புகளுக்கு, வெவ்வேறு கோணங்களில் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடைய பல உடல்கள் சுழலும், Lagrange முறை எளிதாக இருக்கும்.

பத்திர வரைபட முறை

இங்கே நீங்கள் ஒரு சிறிய கோட்பாட்டைச் சொல்ல வேண்டும், இது உருவாக்க போதுமானதாக இருக்கும் எளிய மாதிரிகள். யாராவது ஆர்வமாக இருந்தால், நீங்கள் புத்தகத்தைப் படிக்கலாம் ( பத்திர வரைபட முறை) அல்லது ( வோரோனின் ஏ.வி. மெகாட்ரானிக் அமைப்புகளின் மாதிரியாக்கம்: பயிற்சி கையேடு. – டாம்ஸ்க்: டாம்ஸ்க் பாலிடெக்னிக் யுனிவர்சிட்டி பப்ளிஷிங் ஹவுஸ், 2008).

சிக்கலான அமைப்புகள் பல டொமைன்களைக் கொண்டவை என்பதை முதலில் வரையறுப்போம். எடுத்துக்காட்டாக, மின்சார மோட்டார் மின்சார மற்றும் இயந்திர பாகங்கள் அல்லது களங்களைக் கொண்டுள்ளது.

பத்திர வரைபடம்இந்த களங்கள், துணை அமைப்புகளுக்கு இடையேயான அதிகார பரிமாற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. எந்தவொரு வடிவத்திலும் ஆற்றல் பரிமாற்றம் எப்போதும் இரண்டு மாறிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க ( மாறி சக்தி) அதன் உதவியுடன் ஒரு மாறும் அமைப்பினுள் பல்வேறு துணை அமைப்புகளின் தொடர்புகளை நாம் படிக்கலாம் (அட்டவணையைப் பார்க்கவும்).

அட்டவணையில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், அதிகாரத்தின் வெளிப்பாடு எல்லா இடங்களிலும் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருக்கிறது. சுருக்கமாக, சக்தி- இந்த வேலை " ஓட்டம் - ஊ"க்கு" முயற்சி - இ».

முயற்சி(ஆங்கிலம்) முயற்சி) மின் களத்தில் இது மின்னழுத்தம் (e), இயந்திர டொமைனில் இது விசை (F) அல்லது முறுக்கு (T), ஹைட்ராலிக்ஸில் இது அழுத்தம் (p) ஆகும்.

ஓட்டம்(ஆங்கிலம்) ஓட்டம்) மின் களத்தில் இது மின்னோட்டம் (i), மெக்கானிக்கல் டொமைனில் வேகம் (v) அல்லது கோண வேகம் (ஒமேகா), ஹைட்ராலிக்ஸில் இது திரவத்தின் ஓட்டம் அல்லது ஓட்ட விகிதம் (Q) ஆகும்.

இந்த குறிப்புகளை எடுத்துக் கொண்டால், சக்திக்கான வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பாண்ட்-கிராப் மொழியில், சக்தியை பரிமாறிக்கொள்ளும் இரண்டு துணை அமைப்புகளுக்கு இடையிலான இணைப்பு ஒரு பிணைப்பால் குறிப்பிடப்படுகிறது. பத்திரம்) அதனால்தான் இந்த முறை அழைக்கப்படுகிறது பத்திர வரைபடம்அல்லது ஜி raf-இணைப்புகள், இணைக்கப்பட்ட வரைபடம். கருத்தில் கொள்வோம் தொகுதி வரைபடம்மின்சார மோட்டார் கொண்ட மாதிரியில் உள்ள இணைப்புகள் (இது இன்னும் ஒரு பிணைப்பு-வரைபடம் அல்ல):

எங்களிடம் ஒரு மின்னழுத்த ஆதாரம் இருந்தால், அதற்கேற்ப அது மின்னழுத்தத்தை உருவாக்கி அதை முறுக்குவதற்கு மோட்டாருக்கு மாற்றுகிறது (இதனால்தான் அம்பு மோட்டாரை நோக்கி செலுத்தப்படுகிறது), முறுக்கின் எதிர்ப்பைப் பொறுத்து, ஓம் விதியின் படி ஒரு மின்னோட்டம் தோன்றும் (இயக்கப்பட்டது மோட்டரிலிருந்து மூலத்திற்கு). அதன்படி, ஒரு மாறி என்பது துணை அமைப்பிற்கான உள்ளீடு, இரண்டாவது இருக்க வேண்டும் வெளியேறுதுணை அமைப்பில் இருந்து. இங்கே மின்னழுத்தம் ( முயற்சி) - உள்ளீடு, தற்போதைய ( ஓட்டம்) - வெளியேறு.

தற்போதைய மூலத்தைப் பயன்படுத்தினால், வரைபடம் எப்படி மாறும்? சரி. மின்னோட்டம் மோட்டாருக்கும், மின்னழுத்தம் மூலத்திற்கும் செலுத்தப்படும். பின்னர் தற்போதைய ( ஓட்டம்) – உள்ளீடு, மின்னழுத்தம் ( முயற்சி) - வெளியேறு.

இயக்கவியலில் ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு வெகுஜனத்தில் செயல்படும் சக்தி.

தொகுதி வரைபடம் பின்வருமாறு இருக்கும்:

இந்த எடுத்துக்காட்டில், வலிமை ( முயற்சி) – நிறைக்கான உள்ளீட்டு மாறி. (நிறைக்கு விசை பயன்படுத்தப்படுகிறது)
நியூட்டனின் இரண்டாவது விதியின்படி:

நிறை வேகத்துடன் பதிலளிக்கிறது:

இந்த எடுத்துக்காட்டில், ஒரு மாறி என்றால் ( வலிமை - முயற்சி) ஆகும் நுழைவாயில்இயந்திர களத்தில், பின்னர் மற்றொரு சக்தி மாறி ( வேகம் - ஓட்டம்) - தானாகவே மாறும் வெளியேறு.

உள்ளீடு எங்கே மற்றும் வெளியீடு எங்கே என்பதை வேறுபடுத்தி அறிய, உறுப்புகளுக்கு இடையே அம்புக்குறியின் (இணைப்பு) முடிவில் ஒரு செங்குத்து கோடு பயன்படுத்தப்படுகிறது, இந்த வரி அழைக்கப்படுகிறது காரணகாரியத்தின் அடையாளம் அல்லது காரணம் (காரணகாரியம்) அது மாறிவிடும்: பயன்படுத்தப்பட்ட சக்தி காரணம், மற்றும் வேகம் விளைவு. இந்த அடையாளம் மிகவும் முக்கியமானது சரியான கட்டுமானம்அமைப்பின் மாதிரி, இரண்டு துணை அமைப்புகளின் உடல் நடத்தை மற்றும் அதிகாரங்களின் பரிமாற்றத்தின் விளைவாக காரண காரியம் இருப்பதால், காரண அடையாளத்தின் இருப்பிடத்தின் தேர்வு தன்னிச்சையாக இருக்க முடியாது.

இந்த செங்குத்து கோடு எந்த துணை அமைப்பு சக்தியைப் பெறுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது ( முயற்சி) மற்றும் அதன் விளைவாக ஒரு ஓட்டத்தை உருவாக்குகிறது ( ஓட்டம்) நிறை கொண்ட எடுத்துக்காட்டில் இது இப்படி இருக்கும்:

நிறைக்கான உள்ளீடு என்பது அம்புக்குறியிலிருந்து தெளிவாகிறது - வலிமை, மற்றும் வெளியீடு ஆகும் வேகம். வரைபடத்தை அம்புகளால் ஒழுங்கீனம் செய்யாமல், மாதிரியின் கட்டுமானத்தை முறைப்படுத்த இது செய்யப்படுகிறது.

அடுத்து முக்கியமான புள்ளி. பொதுவான தூண்டுதல்(இயக்கத்தின் அளவு) மற்றும் நகரும்(ஆற்றல் மாறிகள்).

வெவ்வேறு களங்களில் உள்ள ஆற்றல் மற்றும் ஆற்றல் மாறிகளின் அட்டவணை

மின் களத்தில் :

ஃபாரடேயின் சட்டத்தின் அடிப்படையில், மின்னழுத்தம்கடத்தியின் முனைகளில் இந்த கடத்தி மூலம் காந்தப் பாய்வின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம்.

நியூட்டனின் 2வது விதியிலிருந்து, வலிமை- உந்துதலின் நேர வழித்தோன்றல்

அடிப்படை கூறுகள்

ஆதாரங்கள்
முயற்சி மற்றும் ஓட்டம் இரண்டிற்கும் ஆதாரங்கள் உள்ளன. மின் களத்தில் ஒப்புமை: முயற்சியின் ஆதாரம் – மின்னழுத்த ஆதாரம், ஸ்ட்ரீம் மூல – தற்போதைய ஆதாரம். ஆதாரங்களுக்கான காரண அடையாளங்கள் இப்படித்தான் இருக்க வேண்டும்.

கூறு ஆர் - சிதறல் உறுப்பு

கூறு I - செயலற்ற உறுப்பு

கூறு சி - கொள்ளளவு உறுப்பு

புள்ளிவிவரங்களில் இருந்து பார்க்க முடியும், அதே வெவ்வேறு கூறுகள் R,C,I வகைஅதே சமன்பாடுகளால் விவரிக்கப்பட்டது. மின் கொள்ளளவிற்கு மட்டுமே வித்தியாசம் உள்ளது, நீங்கள் அதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்!

குவாட்ரூபோல் கூறுகள்:

இரண்டு கூறுகளைப் பார்ப்போம்: ஒரு மின்மாற்றி மற்றும் ஒரு கைரேட்டர்.

பிணைப்பு-வரைபட முறையின் கடைசி முக்கிய கூறுகள் இணைப்புகள். இரண்டு வகையான முனைகள் உள்ளன:

பிணைப்பு வரைபடத்தை உருவாக்கிய பிறகு காரண உறவுகளை நிறுவுவதற்கான முக்கிய படிகள்:

1. அனைவருக்கும் காரண தொடர்புகளை கொடுங்கள் ஆதாரங்கள்
2. எல்லா முனைகளிலும் சென்று புள்ளி 1 க்குப் பிறகு காரண உறவுகளைக் கீழே வைக்கவும்
3. க்கு கூறுகள் Iஒரு உள்ளீடு காரண உறவை ஒதுக்க (முயற்சி இந்த கூறு சேர்க்கப்பட்டுள்ளது), க்கான கூறுகள் சிவெளியீட்டு காரணத்தை ஒதுக்கு (முயற்சி இந்த கூறு வெளியே வருகிறது)
4. புள்ளி 2 ஐ மீண்டும் செய்யவும்
5. இதற்கான காரண இணைப்புகளைச் செருகவும் ஆர் கூறுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

பின்வரும் இணைப்பு வரைபடத்தைப் பெறுவீர்கள்:

இப்போது நாம் காரண உறவுகளை நிறுவ வேண்டும். அவற்றின் இடத்தின் வரிசைக்கான வழிமுறைகளைப் பின்பற்றி, மூலத்துடன் தொடங்குவோம்.

1. எங்களிடம் மின்னழுத்தத்தின் (முயற்சி) ஆதாரம் உள்ளது, அத்தகைய மூலத்திற்கு ஒரே ஒரு காரண விருப்பம் உள்ளது - வெளியீடு. போடுவோம்.
2. அடுத்து கூறு I உள்ளது, அவர்கள் என்ன பரிந்துரைக்கிறார்கள் என்று பார்ப்போம். நாங்கள் வைத்தோம்
3. நாங்கள் அதை 1-முனைக்கு கீழே வைக்கிறோம். சாப்பிடு
4. 0-முனையில் ஒரு உள்ளீடு மற்றும் அனைத்து வெளியீட்டு காரண இணைப்புகளும் இருக்க வேண்டும். இப்போதைக்கு எங்களுக்கு ஒரு நாள் விடுமுறை. நாங்கள் C அல்லது I கூறுகளைத் தேடுகிறோம். அதைக் கண்டுபிடித்தோம். நாங்கள் வைத்தோம்
5. எஞ்சியிருப்பதை பட்டியலிடுவோம்

எஞ்சியிருப்பது நமது அமைப்பை விவரிக்கும் சமன்பாடுகளை எழுதுவதுதான். இதைச் செய்ய, 3 நெடுவரிசைகளுடன் ஒரு அட்டவணையை உருவாக்கவும். முதலாவது கணினியின் அனைத்து கூறுகளையும் கொண்டிருக்கும், இரண்டாவது ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் உள்ளீட்டு மாறியைக் கொண்டிருக்கும், மூன்றாவது ஒரே கூறுக்கான வெளியீட்டு மாறியைக் கொண்டிருக்கும். நாம் ஏற்கனவே உள்ளீடு மற்றும் வெளியீட்டை காரண உறவுகளால் வரையறுத்துள்ளோம். எனவே எந்த பிரச்சனையும் இருக்கக்கூடாது.

நிலைகளை எளிதாகப் பதிவுசெய்ய ஒவ்வொரு இணைப்பையும் எண்ணுவோம். சி, ஆர், ஐ கூறுகளின் பட்டியலிலிருந்து ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் சமன்பாடுகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2. புகைப்படத்தின் தரத்திற்கு நான் உடனடியாக மன்னிப்பு கேட்க விரும்புகிறேன், முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், நீங்கள் படிக்கலாம்

லாக்ரேஞ்ச் முறையைப் பயன்படுத்தி நாம் தீர்த்த அதே ஒரு இயந்திர அமைப்புக்கான மற்றொரு உதாரணத்தைத் தீர்ப்போம். கருத்து இல்லாமல் தீர்வு காண்பேன். இந்த முறைகளில் எது எளிமையானது மற்றும் எளிதானது என்று பார்ப்போம்.

மட்பாலாவில், ஒரே அளவுருக்கள் கொண்ட இரண்டு கணித மாதிரிகளும் தொகுக்கப்பட்டன, அவை லாக்ரேஞ்ச் முறை மற்றும் பாண்ட்-கிராஃப் மூலம் பெறப்பட்டன. முடிவு கீழே உள்ளது: குறிச்சொற்களைச் சேர்க்கவும்

லாக்ரேஞ்ச் முறை

1759 ஆம் ஆண்டில் ஜே. லாக்ரேஞ்ச் என்பவரால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு இருபடி வடிவத்தைக் குறைப்பதற்கான ஒரு முறை. கொடுக்கப்படட்டும்

மாறிகள் x 0 இலிருந்து , x 1 ,..., x பக். புலத்தில் இருந்து குணகங்களுடன் கேபண்புகள் இந்த படிவத்தை நியமனத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும். மனம்

மாறிகளின் சிதைவடையாத நேரியல் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல். எல்.எம் பின்வருவனவற்றைக் கொண்டுள்ளது. படிவத்தின் அனைத்து குணகங்களும் (1) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்று நாம் கருதலாம்.

எனவே, இரண்டு வழக்குகள் சாத்தியமாகும். 1) சிலருக்கு g,

மூலைவிட்ட பின்னர் இதில் f 1 (x) வடிவம் மாறியைக் கொண்டிருக்கவில்லை x ஜி . 2) எல்லாம் என்றால் ஆனால்

என்று f 2 (x) வடிவத்தில் இரண்டு மாறிகள் இல்லைமற்றும் x ஜி x h

(4) இல் உள்ள சதுர அடையாளங்களின் கீழ் உள்ள படிவங்கள் நேரியல் சார்புடையவை. படிவத்தின் (3) மற்றும் (4) மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான படிகளுக்குப் பிறகு படிவம் (1) நேரியல் சார்பற்ற நேரியல் வடிவங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறைக்கப்படுகிறது. பகுதி வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி, சூத்திரங்கள் (3) மற்றும் (4) வடிவத்தில் எழுதலாம்லிட். : G a n t m a kh e r F.ஆர்., தியரி ஆஃப் மெட்ரிக்ஸ், 2வது பதிப்பு., எம்., 1966; K u r o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11th ed., M., 1975; அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் பி.எஸ்., பகுப்பாய்வு வடிவியல் பற்றிய விரிவுரைகள்..., எம்., 1968.

I. V. Proskuryakov.கணித கலைக்களஞ்சியம். - எம்.: சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா

.

I. M. வினோகிராடோவ். 1977-1985. பிற அகராதிகளில் "லாக்ரேஞ்ச் முறை" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்:

I. M. வினோகிராடோவ்.லாக்ரேஞ்ச் முறை