லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம். Moivre-Laplace தேற்றங்கள்

Laplace இன் உள்ளூர் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கோட்பாடுகள்

என்பது பற்றிய பாடத்தின் இயல்பான தொடர்ச்சியே இந்தக் கட்டுரை சுயாதீன சோதனைகள், நாங்கள் சந்தித்த இடம் பெர்னோலியின் சூத்திரம்மற்றும் பணியாற்றினார் வழக்கமான உதாரணங்கள்இந்த தலைப்பில். லாப்லேஸின் (மொய்வ்ரே-லாப்லேஸ்) உள்ளூர் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த தேற்றங்கள், அவை போதுமான எண்ணிக்கையில் பொருந்தக்கூடிய வேறுபாட்டுடன் இதேபோன்ற சிக்கலை தீர்க்கின்றன. சுயாதீன சோதனைகள். "உள்ளூர்", "ஒருங்கிணைந்த", "தேற்றங்கள்" என்ற வார்த்தைகளை பளபளக்க வேண்டிய அவசியமில்லை - லாப்லேஸ் நெப்போலியனின் சுருள் தலையைத் தட்டிய அதே எளிமையுடன் பொருள் தேர்ச்சி பெற்றது. எனவே, எந்த வளாகங்களும் பூர்வாங்க கருத்துகளும் இல்லாமல், உடனடியாக ஒரு ஆர்ப்பாட்ட உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

நாணயம் 400 முறை தூக்கி எறியப்படுகிறது. தலையை 200 முறை பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

சிறப்பியல்பு அம்சங்களின்படி, ஒருவர் இங்கே விண்ணப்பிக்க வேண்டும் பெர்னோலியின் சூத்திரம் . இந்த எழுத்துக்களின் அர்த்தத்தை நினைவில் கொள்வோம்:

- சுயாதீன சோதனைகளில் ஒரு சீரற்ற நிகழ்வு சரியாக ஒரு முறை நிகழும் நிகழ்தகவு;
– ஈருறுப்புக் குணகம்;
- ஒவ்வொரு சோதனையிலும் ஒரு நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவு;

எங்கள் பணி தொடர்பாக:
- சோதனைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை;
- தலைகள் விழ வேண்டிய வீசுதல்களின் எண்ணிக்கை;

இவ்வாறு, 400 காயின் டாஸ்களின் விளைவாக, தலைகள் சரியாக 200 முறை தோன்றும் நிகழ்தகவு: ...நிறுத்து, அடுத்து என்ன செய்வது? மைக்ரோகால்குலேட்டர் (குறைந்தபட்சம் என்னுடையது) 400வது பட்டத்தை சமாளிக்கத் தவறி, சரணடைந்தது காரணிகள். ஆனால் நான் ஒரு தயாரிப்பு மூலம் எதையாவது கணக்கிட விரும்பவில்லை =) பயன்படுத்துவோம் நிலையான எக்செல் செயல்பாடு, இது அசுரனை செயலாக்க முடிந்தது: .

பெறப்பட்டவை குறித்து உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன் சரியானஅர்த்தம் மற்றும் அத்தகைய தீர்வு சிறந்ததாகத் தெரிகிறது. முதல் பார்வையில். இங்கே சில அழுத்தமான எதிர் வாதங்கள் உள்ளன:

- முதலாவதாக, மென்பொருள் கையில் இல்லாமல் இருக்கலாம்;
- இரண்டாவதாக, தீர்வு தரமற்றதாக இருக்கும் (கணிசமான நிகழ்தகவுடன் நீங்கள் உங்கள் எண்ணத்தை மாற்ற வேண்டும்);

எனவே, அன்பான வாசகர்களே, எதிர்காலத்தில் நாங்கள் எதிர்பார்க்கிறோம்:

உள்ளூர் லாப்லேஸ் தேற்றம்

ஒவ்வொரு சோதனையிலும் ஒரு சீரற்ற நிகழ்வின் நிகழ்தகவு நிலையானதாக இருந்தால், ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு சரியாக ஒரு முறை நிகழும் நிகழ்தகவு தோராயமாக சமமாக இருக்கும்:
, எங்கே .

மேலும், பெரியது, சிறந்த கணக்கிடப்பட்ட நிகழ்தகவு பெறப்பட்ட சரியான மதிப்பை தோராயமாக மதிப்பிடும் (குறைந்தது அனுமானமாக)பெர்னோலியின் சூத்திரத்தின்படி. பரிந்துரைக்கப்பட்ட குறைந்தபட்ச சோதனைகள் தோராயமாக 50-100 ஆகும், இல்லையெனில் முடிவு உண்மையிலிருந்து வெகு தொலைவில் இருக்கலாம். கூடுதலாக, உள்ளூர் லாப்லேஸ் தேற்றம் நிகழ்தகவு 0.5 க்கு நெருக்கமாக செயல்படுகிறது, மேலும் நேர்மாறாகவும் - இது பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒன்றுக்கு நெருக்கமான மதிப்புகளுக்கு குறிப்பிடத்தக்க பிழையை அளிக்கிறது. இந்த காரணத்திற்காக, மற்றொரு அளவுகோல் பயனுள்ள பயன்பாடுசூத்திரங்கள் சமத்துவமின்மை ஆகும் () .

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, 50 சோதனைகளுக்கு லாப்லேஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது நியாயமானது. ஆனால் என்றால் மற்றும் , பின்னர் ஒரு தோராயம் (சரியான மதிப்பு)மோசமாக இருக்கும்.

ஏன் மற்றும் ஒரு சிறப்பு செயல்பாடு பற்றி பற்றி வகுப்பில் பேசுவோம் சாதாரண நிகழ்தகவு விநியோகம், ஆனால் இப்போதைக்கு சிக்கலின் முறையான கணக்கீட்டு பக்கம் நமக்குத் தேவை. குறிப்பாக, முக்கியமான உண்மைஇருக்கிறது சமத்துவம்இந்த செயல்பாடு: .

எங்கள் உதாரணத்துடன் உறவை முறைப்படுத்துவோம்:

பிரச்சனை 1

நாணயம் 400 முறை தூக்கி எறியப்படுகிறது. தலைகள் சரியாக இறங்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்:

a) 200 முறை;
b) 225 முறை.

எங்கு தொடங்குவது தீர்வு? முதலில், அறியப்பட்ட அளவுகளை எழுதுவோம், இதனால் அவை நம் கண்களுக்கு முன்னால் இருக்கும்:

- சுயாதீன சோதனைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை;
- ஒவ்வொரு வீசுதலிலும் தலைகள் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு;
- தரையிறங்கும் தலைகளின் நிகழ்தகவு.

அ) 400 டாஸ்கள் கொண்ட தொடரில் சரியாக ஒரு முறை வரும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம். பார்வையில் பெரிய அளவுலாப்லேஸின் உள்ளூர் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தும் சோதனைகள்: , எங்கே .

முதல் கட்டத்தில், வாதத்தின் தேவையான மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்:

அடுத்து நாம் தொடர்புடைய செயல்பாட்டு மதிப்பைக் காண்கிறோம்: . இதை பல வழிகளில் செய்யலாம். முதலாவதாக, நிச்சயமாக, நேரடி கணக்கீடுகள் தங்களை பரிந்துரைக்கின்றன:

வட்டமிடுதல் பொதுவாக 4 தசம இடங்களுக்கு செய்யப்படுகிறது.

நேரடி கணக்கீட்டின் தீமை என்னவென்றால், ஒவ்வொரு மைக்ரோகால்குலேட்டரும் அதிவேகத்தை ஜீரணிக்க முடியாது, கணக்கீடுகள் குறிப்பாக இனிமையானவை அல்ல மற்றும் நேரம் எடுக்கும். ஏன் இவ்வளவு துன்பம்? பயன்படுத்தவும் டெர்வர் கால்குலேட்டர் (புள்ளி 4)மற்றும் மதிப்புகளை உடனடியாகப் பெறுங்கள்!

கூடுதலாக, உள்ளது செயல்பாட்டு மதிப்பு அட்டவணை, இது நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் எந்த புத்தகத்திலும் உள்ளது, குறிப்பாக, இல் பாடநூல் வி.இ. க்மர்மன். நீங்கள் இன்னும் பதிவிறக்கம் செய்யவில்லை என்றால், பதிவிறக்கவும் - நிறைய பயனுள்ள விஷயங்கள் உள்ளன ;-) அட்டவணையை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை அறிய மறக்காதீர்கள் (இப்போதே!)- பொருத்தமான கணினி உபகரணங்கள் எப்போதும் கையில் இருக்காது!

இறுதி கட்டத்தில், நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் :
- 400 காயின் டாஸ்களில், தலைகள் சரியாக 200 முறை தரையிறங்கும் நிகழ்தகவு.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பெறப்பட்ட முடிவு கணக்கிடப்பட்ட சரியான மதிப்புக்கு மிக அருகில் உள்ளது பெர்னோலியின் சூத்திரம்.

b) 400 சோதனைத் தலைகள் ஒருமுறை சரியாகத் தோன்றும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். நாங்கள் லாப்லேஸின் உள்ளூர் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். ஒன்று, இரண்டு, மூன்று - நீங்கள் முடித்துவிட்டீர்கள்:

- விரும்பிய நிகழ்தகவு.

பதில்:

அடுத்த உதாரணம், பலர் யூகித்தபடி, பிரசவத்திற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது - இது உங்களுக்கானது சுதந்திரமான முடிவு:)

பிரச்சனை 2

ஆண் குழந்தை பிறக்கும் நிகழ்தகவு 0.52. புதிதாகப் பிறந்த 100 குழந்தைகளில் சரியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: a) 40 சிறுவர்கள், b) 50 சிறுவர்கள், c) 30 பெண்கள்.

முடிவுகளை 4 தசம இடங்களுக்குச் சுற்றவும்.

... "சுயாதீன சோதனைகள்" என்ற சொற்றொடர் இங்கே சுவாரஸ்யமாக இருக்கிறது =) மூலம், உண்மையானது புள்ளியியல் நிகழ்தகவுஉலகின் பல பகுதிகளில் ஆண் குழந்தைகளின் பிறப்பு விகிதம் 0.51 முதல் 0.52 வரை உள்ளது.

பாடத்தின் முடிவில் ஒரு பணியின் தோராயமான உதாரணம்.

எண்கள் மிகவும் சிறியதாக இருப்பதை அனைவரும் கவனித்தனர், இது தவறாக வழிநடத்தக்கூடாது - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நாங்கள் தனிப்பட்ட நிகழ்தகவுகளைப் பற்றி பேசுகிறோம், உள்ளூர்மதிப்புகள் (எனவே தேற்றத்தின் பெயர்). மேலும் இதுபோன்ற பல மதிப்புகள் உள்ளன, மேலும், அடையாளப்பூர்வமாகச் சொன்னால், நிகழ்தகவு "அனைவருக்கும் போதுமானதாக இருக்க வேண்டும்." உண்மை, பல நிகழ்வுகள் நடக்கும் கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது.

நாணயங்களின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி மேலே உள்ளவற்றை விளக்குகிறேன்: நானூறு சோதனைகளின் தொடரில், தலைகள் கோட்பாட்டளவில் 0 முதல் 400 முறை வரை விழலாம், மேலும் இந்த நிகழ்வுகள் உருவாகின்றன. முழு குழு:

இருப்பினும், இந்த மதிப்புகளில் பெரும்பாலானவை மிகச் சிறியவை, எடுத்துக்காட்டாக, தலைகள் 250 முறை தோன்றும் நிகழ்தகவு ஏற்கனவே பத்து மில்லியனில் ஒன்று: . போன்ற மதிப்புகள் பற்றி தந்திரமாக அமைதியாக இருப்போம் =)

மறுபுறம், சுமாரான முடிவுகளை குறைத்து மதிப்பிடக்கூடாது: இது பற்றி மட்டும் இருந்தால், தலைகள் தரையிறங்குவதற்கான நிகழ்தகவு, சொல்லுங்கள், 220 முதல் 250 முறை, மிகவும் கவனிக்கத்தக்கதாக இருக்கும்.

இப்போது யோசிப்போம்: இந்த நிகழ்தகவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது? எண்ண வேண்டாம் பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் தேற்றம்தொகை:

இந்த மதிப்புகள் மிகவும் எளிமையானவை இணைக்க. உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, எதையாவது இணைப்பது அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைப்பு:

லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றம்

ஒவ்வொரு சோதனையிலும் சீரற்ற நிகழ்வின் நிகழ்தகவு நிலையானதாக இருந்தால், நிகழ்தகவு அந்த நிகழ்வு சோதனைகளில் நிகழும் குறைவான மற்றும் அதிக முறை இல்லை (காலங்களில் இருந்து உட்பட), தோராயமாக இதற்கு சமம்:

இந்த வழக்கில், சோதனைகளின் எண்ணிக்கை, நிச்சயமாக, போதுமானதாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் நிகழ்தகவு மிகவும் சிறியதாக/அதிகமாக இருக்கக்கூடாது (தோராயமாக), இல்லையெனில் தோராயமானது முக்கியமற்றதாகவோ அல்லது மோசமாகவோ இருக்கும்.

செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது Laplace செயல்பாடு, மற்றும் அதன் மதிப்புகள் மீண்டும் ஒரு நிலையான அட்டவணையில் சுருக்கப்பட்டுள்ளன ( கண்டுபிடித்து அதனுடன் வேலை செய்ய கற்றுக்கொள்ளுங்கள்!!) ஒரு மைக்ரோகால்குலேட்டர் இங்கு உதவாது, ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பானது இணைக்க முடியாதது. ஆனால் எக்செல் தொடர்புடைய செயல்பாடு - பயன்பாடு உள்ளது புள்ளி 5 வடிவமைப்பு அமைப்பு.

நடைமுறையில், மிகவும் பொதுவான மதிப்புகள்:
- அதை உங்கள் நோட்புக்கில் நகலெடுக்கவும்.
இலிருந்து தொடங்கி, நாம் அதைக் கருதலாம், அல்லது, அதை இன்னும் கண்டிப்பாக எழுதலாம்:

மேலும், Laplace செயல்பாடு ஒற்றைப்படை: , மற்றும் இந்த சொத்து நாம் ஏற்கனவே சோர்வாக இருக்கும் பணிகளில் தீவிரமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது:

பிரச்சனை 3

துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.7 ஆகும். 100 ஷாட்கள் மூலம் இலக்கை 65 முதல் 80 முறை தாக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

நான் மிகவும் யதார்த்தமான உதாரணத்தைத் தேர்ந்தெடுத்தேன், இல்லையெனில் துப்பாக்கி சுடும் வீரர் ஆயிரக்கணக்கான ஷாட்களை சுடும் பல பணிகளைக் கண்டேன் =)

தீர்வு: இந்த பிரச்சனையில் நாம் பேசுகிறோம் மீண்டும் மீண்டும் சுயாதீன சோதனைகள், மற்றும் அவர்களின் எண்ணிக்கை மிகவும் பெரியது. நிபந்தனையின் படி, இலக்கை குறைந்தபட்சம் 65 அடிக்கும் நிகழ்தகவை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், ஆனால் 80 முறைக்கு மேல் இல்லை, அதாவது நீங்கள் லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: , எங்கே

வசதிக்காக, அசல் தரவை ஒரு நெடுவரிசையில் மீண்டும் எழுதலாம்:
- மொத்த காட்சிகள்;
- வெற்றிகளின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கை;
- அதிகபட்ச வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை;
- ஒவ்வொரு ஷாட்டிலும் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு;
- ஒவ்வொரு ஷாட்டிலும் தவறவிடுவதற்கான நிகழ்தகவு.

எனவே, லாப்லேஸ் தேற்றம் ஒரு நல்ல தோராயத்தைக் கொடுக்கும்.

வாதங்களின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவோம்:

வேலையை அதன் வேர்களிலிருந்து முழுமையாகப் பிரித்தெடுக்க வேண்டியதில்லை என்பதை உங்கள் கவனத்திற்கு ஈர்க்க விரும்புகிறேன். (சிக்கல் ஆசிரியர்கள் எண்களை "சரிசெய்ய" விரும்புவதால்)- சந்தேகத்தின் நிழல் இல்லாமல், வேரைப் பிரித்தெடுத்து, முடிவைச் சுற்றவும்; நான் 4 தசம இடங்களை விட்டுப் பழகிவிட்டேன். ஆனால் இதன் விளைவாக வரும் மதிப்புகள் வழக்கமாக 2 தசம இடங்களுக்கு வட்டமிடப்படுகின்றன - இந்த பாரம்பரியம் இருந்து வருகிறது செயல்பாட்டு மதிப்பு அட்டவணைகள், வாதங்கள் இந்த வடிவத்தில் சரியாக வழங்கப்படுகின்றன.

மேலே உள்ள அட்டவணையைப் பயன்படுத்துகிறோம் அல்லது டெர்வருக்கான வடிவமைப்பு தளவமைப்பு (புள்ளி 5).
எழுதப்பட்ட கருத்தாக, பின்வரும் சொற்றொடரை வைக்க நான் உங்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறேன்: தொடர்புடைய அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டு மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

- 100 ஷாட்களுடன் இலக்கை 65 முதல் 80 முறை தாக்கும் நிகழ்தகவு.

செயல்பாட்டின் ஒற்றைப்படை எண்ணைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்!ஒரு வேளை, நான் அதை விரிவாக எழுதுகிறேன்:

உண்மை அதுதான் செயல்பாட்டு மதிப்பு அட்டவணைநேர்மறை "X"களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது, நாங்கள் வேலை செய்கிறோம் (குறைந்தபட்சம் "புராணத்தின்" படி)ஒரு மேஜையுடன்!

பதில்:

முடிவு பெரும்பாலும் 4 தசம இடங்களுக்கு வட்டமானது (மீண்டும் அட்டவணை வடிவத்தின் படி).

அதை நீங்களே தீர்க்க:

பிரச்சனை 4

கட்டிடத்தில் 2500 விளக்குகள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றையும் இயக்குவதற்கான நிகழ்தகவு மாலை நேரம் 0.5 க்கு சமம். மாலையில் குறைந்தபட்சம் 1250 மற்றும் 1275 க்கும் மேற்பட்ட விளக்குகள் இயக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

பாடத்தின் முடிவில் இறுதி வடிவமைப்பின் தோராயமான மாதிரி.

பரிசீலனையில் உள்ள பணிகள் பெரும்பாலும் "ஆள்மாறான" வடிவத்தில் நிகழ்கின்றன என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக:

0.5 நிகழ்தகவுடன் ஒரு சீரற்ற நிகழ்வு நிகழக்கூடிய சில சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. சோதனை மாறாத நிலையில் 2500 முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. 2500 சோதனைகளில் நிகழ்வு 1250 முதல் 1275 முறை நிகழும் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும்

மற்றும் இதே போன்ற சூத்திரங்கள் கூரை வழியாக உள்ளன. பணிகளின் க்ளிஷே தன்மை காரணமாக, அவர்கள் அடிக்கடி நிலைமையை மறைக்க முயற்சி செய்கிறார்கள் - எப்படியாவது தீர்வை வேறுபடுத்துவதற்கும் சிக்கலாக்குவதற்கும் இது "ஒரே வாய்ப்பு":

பிரச்சனை 5

இக்கல்லூரியில் 1000 மாணவர்கள் படிக்கின்றனர். சாப்பாட்டு அறையில் 105 உள்ளது இருக்கைகள். ஒவ்வொரு மாணவர் நிகழ்தகவு 0.1 உடன் பெரிய இடைவேளையின் போது உணவு விடுதிக்குச் செல்கிறார். ஒரு பொதுவான பள்ளி நாளில் நிகழ்தகவு என்ன:

a) சாப்பாட்டு அறை மூன்றில் இரண்டு பங்கிற்கு மேல் இருக்காது;
b) அனைவருக்கும் போதுமான இருக்கைகள் இல்லை.

"வழக்கமான பள்ளி நாளில்" என்ற முக்கியமான ஷரத்துக்கு உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன் - இது நிலைமை ஒப்பீட்டளவில் மாறாமல் இருப்பதை உறுதி செய்கிறது. விடுமுறைக்குப் பிறகு, "நாளில்" நிறுவனத்திற்கு கணிசமாக குறைவான மாணவர்கள் வரலாம். திறந்த கதவுகள்"பசியுள்ள தூதுக்குழு வரும் =) அதாவது, ஒரு "அசாதாரண" நாளில் நிகழ்தகவுகள் குறிப்பிடத்தக்க அளவில் வேறுபடும்.

தீர்வு: நாங்கள் லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

இந்த பணியில்:
- நிறுவனத்தில் மொத்த மாணவர்கள்;
- ஒரு மாணவர் நீண்ட இடைவேளையின் போது உணவு விடுதிக்குச் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு;
- எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு.

a) மொத்த எண்ணிக்கையில் மூன்றில் இரண்டு பங்கு எத்தனை இருக்கைகள் என்பதை கணக்கிடுவோம்: இருக்கைகள்

ஒரு சாதாரண பள்ளி நாளில் சிற்றுண்டிச்சாலை மூன்றில் இரண்டு பங்கிற்கு மேல் நிரம்பாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம். இதற்கு என்ன அர்த்தம்? அதாவது பெரிய இடைவேளையின் போது 0 முதல் 70 பேர் வரை வருவார்கள். யாரும் வருவதில்லை அல்லது ஒரு சில மாணவர்கள் மட்டுமே வருவதில்லை - நிகழ்வுகள் உள்ளன நடைமுறையில் சாத்தியமற்றதுஇருப்பினும், லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான நோக்கத்திற்காக, இந்த நிகழ்தகவுகள் இன்னும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும். இதனால்:

தொடர்புடைய வாதங்களைக் கணக்கிடுவோம்:

அதன் விளைவாக:

- ஒரு சாதாரண பள்ளி நாளில் சிற்றுண்டிச்சாலை மூன்றில் இரண்டு பங்கிற்கு மேல் இருக்காது.

நினைவூட்டல் : Laplace செயல்பாடு சமமாகக் கருதப்படும் போது.

இது ஒரு கூட்டத்தை மகிழ்விக்கிறது =)

b) நிகழ்வு "அனைவருக்கும் போதுமான இருக்கைகள் இல்லை"பெரிய இடைவேளையின் போது 106 முதல் 1000 பேர் வரை மதிய உணவுக்காக சாப்பாட்டு அறைக்கு வருவார்கள். (முக்கிய விஷயம் அதை நன்றாக சுருக்க வேண்டும் =)).அதிக வருகை நம்பமுடியாதது என்பது தெளிவாகிறது, இருப்பினும்: .

வாதங்களை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

இதனால், அனைவருக்கும் போதுமான இருக்கைகள் கிடைக்காத நிகழ்தகவு:

பதில்:

இப்போது ஒன்றில் கவனம் செலுத்துவோம் முக்கியமான நுணுக்கம் முறை: நாம் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளும்போது ஒரு பிரிவு, பின்னர் எல்லாம் “மேகமற்றது” - கருதப்பட்ட டெம்ப்ளேட்டின் படி முடிவு செய்யுங்கள். இருப்பினும், நாம் கருத்தில் கொண்டால் நிகழ்வுகளின் முழு குழுகாட்டப்பட வேண்டும் ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியம். இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட சிக்கலின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த விஷயத்தை விளக்குகிறேன். "இருங்கள்" என்ற கட்டத்தில், அனைவருக்கும் போதுமான இருக்கைகள் இருக்காது என்ற நிகழ்தகவைக் கண்டறிந்தோம். அடுத்து, அதே திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:
- போதுமான இடங்கள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு.

இந்த நிகழ்வுகளிலிருந்து எதிர், பின்னர் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்:

என்ன விஷயம்? - இங்கே எல்லாம் தர்க்கரீதியானதாகத் தெரிகிறது. புள்ளி Laplace செயல்பாடு என்று தொடர்ச்சியான, ஆனால் நாங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவில்லை இடைவெளி 105 முதல் 106 வரை. இங்குதான் 0.0338 துண்டு மறைந்தது. அதனால் தான் அதே நிலையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திகணக்கிடப்பட வேண்டும்:

சரி, அல்லது இன்னும் எளிமையானது:

என்ற கேள்வி எழுகிறது: நாம் முதலில் கண்டுபிடித்தால் என்ன செய்வது? பின்னர் தீர்வின் மற்றொரு பதிப்பு இருக்கும்:

ஆனால் இது எப்படி இருக்க முடியும்?! - இரண்டு முறைகளும் வெவ்வேறு பதில்களைத் தருகின்றன! இது எளிது: லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றம் ஒரு முறை நெருக்கமானகணக்கீடுகள், எனவே இரண்டு வழிகளும் ஏற்கத்தக்கவை.

மிகவும் துல்லியமான கணக்கீடுகளுக்கு நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும் பெர்னோலியின் சூத்திரம்மற்றும், எடுத்துக்காட்டாக, எக்செல் செயல்பாடு BINOMIDST. அதன் விளைவாக அதன் பயன்பாடுநாம் பெறுகிறோம்:

இந்த நுணுக்கத்திற்கு கவனத்தை ஈர்த்த தள பார்வையாளர்களில் ஒருவருக்கு எனது நன்றியைத் தெரிவித்துக் கொள்கிறேன் - இது எனது பார்வைத் துறையில் இருந்து வெளியேறியது, ஏனெனில் ஒரு முழுமையான நிகழ்வுகளின் ஆய்வு நடைமுறையில் அரிதாகவே காணப்படுகிறது. ஆர்வமுள்ளவர்கள் தங்களைப் பற்றி அறிந்து கொள்ளலாம்

Moivre-Laplace ஒருங்கிணைந்த தேற்றம் . ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு p நிலையானதாகவும் 0 மற்றும் 1 இலிருந்து வேறுபட்டதாகவும் இருந்தால், n சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்வு A நிகழ்வின் எண் m ஆனது a முதல் b வரையிலான வரம்பில் இருக்கும் (உள்ளடங்கியது) , போதுமான பெரிய எண்ணுடன் n தோராயமாக சமமாக இருக்கும்

எங்கே
- Laplace செயல்பாடு (அல்லது நிகழ்தகவு ஒருங்கிணைந்த);

,
.

சூத்திரம் Moivre-Laplace ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பெரிய n, இந்த சூத்திரம் மிகவும் துல்லியமானது. நிபந்தனை npq ≥ 20 பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம்
, அத்துடன் உள்ளூர், ஒரு விதியாக, நடைமுறைக்கு திருப்திகரமாக இருக்கும் நிகழ்தகவுகளை கணக்கிடுவதில் ஒரு பிழையை அளிக்கிறது.

செயல்பாடு Ф(х) அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது (அட்டவணையைப் பார்க்கவும்). இந்த அட்டவணையைப் பயன்படுத்த நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் செயல்பாட்டு பண்புகள் :

செயல்பாடு Ф(х) ஒற்றைப்படை, அதாவது. Ф(-х) = -Ф(х).

செயல்பாடு Ф(х) ஏகபோகமாக அதிகரித்து வருகிறது, மேலும் x → +∞ Ф(х) → 1 (நடைமுறையில் நாம் ஏற்கனவே x > 4 Ф(х) ≈ 1 என்று கருதலாம்).

உதாரணமாக . சில பகுதிகளில் 100 குடும்பங்களில் 80 பேர் குளிர்சாதனப் பெட்டிகள் வைத்துள்ளனர். 400 குடும்பங்களில் 300 முதல் 360 (உள்ளடக்கிய) குடும்பங்கள் குளிர்சாதனப் பெட்டிகளைக் கொண்டிருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு. Moivre-Laplace இன் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் (npq = 64 ≥ 20). முதலில் நாம் வரையறுக்கிறோம்:

,

.

இப்போது சூத்திரத்தின் படி
, Ф(х) இன் பண்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாம் பெறுகிறோம்

(அட்டவணையின் படி F(2.50) = 0.9876, F(5.0) ≈ 1)

1. மொய்வ்ரே-லாப்லேஸ் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தில் இருந்து தொடர்ச்சிகள் (முடிவுடன்). எடுத்துக்காட்டுகள்.

Moivre-Laplace இன் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தின் ஒரு தொடர்பைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

விளைவு. ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு p நிலையானது மற்றும் 0 மற்றும் 1 இலிருந்து வேறுபட்டால், போதுமான அளவு n சுயாதீன சோதனைகளுடன், நிகழ்தகவு:

a) நிகழ்வு A இன் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை nr மதிப்பில் இருந்து ε > ஐ விட அதிகமாக வேறுபடவில்லை
;

b) அதிர்வெண் நிகழ்வு A ஆனது α இலிருந்து β வரையிலான வரம்பில் உள்ளது (உள்ளடங்கியது), அதாவது.
, எங்கே
,
.

c) அதிர்வெண் நிகழ்வு A அதன் நிகழ்தகவு p இலிருந்து Δ > 0 (ஆல் துல்லியமான மதிப்பு), அதாவது.
.

□ 1) சமத்துவமின்மை
இரட்டை சமத்துவமின்மை pr - E ~ m ~ pr + E. எனவே, ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தின்படி
:

.

2) சமத்துவமின்மை
a = nα மற்றும் b = nβ க்கான சமத்துவமின்மை a ≤ m ≤ b க்கு சமமானதாகும். சூத்திரங்களில் மாற்றுதல்
மற்றும்
,
பெறப்பட்ட வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி a மற்றும் b மதிப்புகள், நிரூபிக்க வேண்டிய சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்
மற்றும்
,
.

3) சமத்துவமின்மை
சமத்துவமின்மைக்கு சமம்
. சூத்திரத்தில் மாற்றுதல்

, நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்
.

உதாரணமாக . புள்ளிவிவரங்களின்படி, புதிதாகப் பிறந்தவர்களில் சராசரியாக 87% பேர் 50 வயது வரை வாழ்கின்றனர். புதிதாகப் பிறந்த 1000 குழந்தைகளில் 50 வயது வரை உயிர் பிழைத்தவர்களின் விகிதம் (அதிர்வெண்) நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: a) 0.9 முதல் 0.95 வரை இருக்கும்; b) இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவிலிருந்து 0.04 (முழுமையான மதிப்பில்) வேறுபடுமா?

தீர்வு. a) புதிதாகப் பிறந்த குழந்தை 50 வயது வரை வாழ்வதற்கான நிகழ்தகவு p 0.87. ஏனெனில் n = 1000 பெரியது (நிபந்தனை npq = 1000 0.87 0.13 = 113.1 ≥ 20 திருப்திகரமாக உள்ளது), பின்னர் நாம் Moivre-Laplace ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தின் தொடர்ச்சியைப் பயன்படுத்துகிறோம். முதலில் நாம் வரையறுக்கிறோம்:

,
. இப்போது சூத்திரத்தின் படி
:

பி) சூத்திரத்தின் படி
:

சமத்துவமின்மை இருந்து
சமத்துவமின்மைக்கு சமம்
, பெறப்பட்ட முடிவு, 1000-ல் புதிதாகப் பிறந்த குழந்தைகளில் 0.83 முதல் 0.91 வரை 50 வயது வரை வாழ்வது கிட்டத்தட்ட உறுதியாகிவிட்டது.

"சீரற்ற மாறி" கருத்து மற்றும் அதன் விளக்கம். தனித்தனி சீரற்ற மாறி மற்றும் அதன் விதி (தொடர்) விநியோகம். சுதந்திரமான சீரற்ற மாறிகள். எடுத்துக்காட்டுகள்.

கீழ் சீரற்ற மாறி சோதனையின் விளைவாக, வழக்கைப் பொறுத்து, அதன் சாத்தியமான மதிப்புகளில் ஒன்றை (முன்கூட்டியே அறியப்படவில்லை) ஒரு மாறியாகப் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.

சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் : 1) மாஸ்கோவில் பகலில் பிறந்த குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை; 2) கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் உள்ள குறைபாடுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கை; 3) முதல் வெற்றிக்கு முன் சுடப்பட்ட ஷாட்களின் எண்ணிக்கை; 4) ஒரு பீரங்கி ஷெல் விமான வரம்பு; 5) ஆலையில் மாதத்திற்கு மின் நுகர்வு.

சீரற்ற மாறி அழைக்கப்படுகிறது தனித்தனி (தொடர்ந்து) , அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது எல்லையற்றதாகவோ இருந்தால், ஆனால் எண்ணக்கூடியது.

கீழ் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி எண் அச்சின் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் (வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது முடிவிலா) எல்லையற்ற கணக்கிட முடியாத மதிப்புகளின் அளவை நாம் புரிந்துகொள்வோம்.

எனவே, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் 1-3 இல் தனித்தனி சீரற்ற மாறிகள் உள்ளன (எடுத்துக்காட்டுகள் 1 மற்றும் 2 இல் - வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுடன்; உதாரணம் 3 - எண்ணற்ற ஆனால் எண்ணக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பு); மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் 4 மற்றும் 5 - தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள்.

க்கு தனித்தனி சீரற்ற மாறி ஒரு கொத்து சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள், அதாவது. செயல்பாடுகள்
, வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது கணக்கிடக்கூடிய, க்கான தொடர்ச்சியான- முடிவற்ற மற்றும் கணக்கிட முடியாத.

சீரற்ற மாறிகள் பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன எழுத்துக்கள் X, Y, Z,..., மற்றும் அவற்றின் மதிப்புகள் - தொடர்புடைய சிறிய எழுத்துக்கள் x, y, z,....

ஒரு சீரற்ற மாறி, கொடுக்கப்பட்ட விநியோகச் சட்டத்தின்படி "விநியோகிக்கப்படுகிறது" அல்லது இந்த விநியோகச் சட்டத்திற்கு உட்பட்டது என்று கூறப்படுகிறது.

தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு விநியோக சட்டம் எம்.பி. ஒரு அட்டவணை வடிவில், பகுப்பாய்வு முறையில் (சூத்திர வடிவில்) மற்றும் வரைபடமாக கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதியைக் குறிப்பிடுவதற்கான எளிய வடிவம் ஒரு அட்டவணை (மேட்ரிக்ஸ்), இது சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளையும் ஏறுவரிசையில் பட்டியலிடுகிறது, அதாவது.

இந்த அட்டவணை அழைக்கப்படுகிறது ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்திற்கு அருகில் .

நிகழ்வுகள் X=x 1, X=x 2,...,X=x n, சோதனையின் விளைவாக, சீரற்ற மாறி X மதிப்புகள் x 1, x 2, ... , x n, முறையே, சீரற்ற மற்றும் ஒரே சாத்தியமானவை (ஏனெனில் அட்டவணையில் சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளும் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன), அதாவது. ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்குங்கள். எனவே, அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம். எனவே, எந்தவொரு தனித்த சீரற்ற மாறிக்கும்
.

விநியோகத் தொடர் எம்.பி. ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகள் abscissa அச்சில் வரையப்பட்டிருந்தால், அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்பட்டால் வரைபடமாக சித்தரிக்கப்படுகிறது. பெறப்பட்ட புள்ளிகளின் இணைப்பு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு உடைந்த கோட்டை உருவாக்குகிறது பலகோணம் அல்லது நிகழ்தகவு பரவல் பலகோணம் .

இரண்டு சீரற்ற மாறிகள் அழைக்கப்படுகின்றன சுதந்திரமான , அவற்றில் ஒன்றின் விநியோகச் சட்டம் மாறாமல் இருந்தால், மற்ற அளவு என்ன சாத்தியமான மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பதைப் பொறுத்து. எனவே, ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X ஆனது x i (i = 1, 2, ..., n) மதிப்புகளை எடுக்க முடியும் என்றால், ஒரு சீரற்ற மாறி Y ஆனது y j (j = 1, 2, ..., m), பின்னர் தனித்துவமான சீரற்ற அளவுகள் X மற்றும் Y இன் சுதந்திரம் என்பது X = x i மற்றும் Y = y நிகழ்வுகளின் சுதந்திரம் ஐ = 1, 2, ... , n மற்றும் j = 1, 2, ..., மீ. இல்லையெனில், சீரற்ற மாறிகள் அழைக்கப்படுகின்றன சார்ந்து .

உதாரணத்திற்கு , இரண்டு வெவ்வேறு பண லாட்டரிகளுக்கான டிக்கெட்டுகள் இருந்தால், ஒவ்வொரு டிக்கெட்டின் வெற்றிகளையும் (பண அலகுகளில்) வெளிப்படுத்தும் சீரற்ற மாறிகளான X மற்றும் Y, சுதந்திரமான, ஏனெனில் ஒரு லாட்டரியின் டிக்கெட்டில் வெற்றி பெற்றால் (உதாரணமாக, X = x i உடன்), மற்றொரு டிக்கெட்டில் (Y) வெற்றிகளை விநியோகிக்கும் சட்டம் மாறாது.

சீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y ஒரு டிக்கெட்டில் வெற்றிகளை வெளிப்படுத்தினால் பண லாட்டரி, இந்த வழக்கில் X மற்றும் Y சார்ந்து இருக்கும், ஏனெனில் ஒரு டிக்கெட்டில் (X = x i) எந்த வெற்றியும் மற்றொரு டிக்கெட்டில் (Y) வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவுகளில் மாற்றத்திற்கு வழிவகுக்கும், அதாவது. U இன் விநியோக சட்டத்தில் மாற்றம்

தனித்த சீரற்ற பொருள்களில் கணித செயல்பாடுகள் தனிநபர்கள் மற்றும் விநியோக சட்டங்களை உருவாக்குவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் KH, எக்ஸ்" 1 , எக்ஸ் + கே, XV சுயாதீன வழக்குகளின் விநியோகம் கொடுக்கப்பட்டது எண் அளவுகள் எக்ஸ் மற்றும் யு.

வரையறுப்போம் கணித செயல்பாடுகள் தனித்த சீரற்ற மாறிகள் மீது.

இரண்டு சீரற்ற மாறிகள் கொடுக்கப்படட்டும்:

ஒரு நிலையான மதிப்பு k மூலம் சீரற்ற மாறி X இன் தயாரிப்பு kX p i (i = 1,2,...,n) அதே நிகழ்தகவுகளுடன் kx i மதிப்புகளை எடுக்கும் சீரற்ற மாறி ஆகும்.

மீ சீரற்ற மாறி X இன் பட்டம், அதாவது.
, மதிப்புகளை எடுக்கும் சீரற்ற மாறி அதே நிகழ்தகவுகளுடன் p i (i = 1,2,...,n).

X மற்றும் Y ஆகிய சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை (வேறுபாடு அல்லது தயாரிப்பு). xi+yj (xj-yj அல்லது xj·yj) வடிவத்தின் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளையும் எடுக்கும் ஒரு சீரற்ற மாறி, இங்கு i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, நிகழ்தகவுகளுடன் pij ரேண்டம் மாறி X ஆனது xi மதிப்பையும், y yj மதிப்பையும் எடுக்கும்:

சீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y ஆகியவை சுயாதீனமாக இருந்தால், அதாவது. X=xi, Y=yj எந்த நிகழ்வுகளும் சுயாதீனமானவை, பின்னர் சுயாதீன நிகழ்வுகளுக்கான நிகழ்தகவுகளின் பெருக்கல் தேற்றம் மூலம்

3 குறிப்பு . தனித்த சீரற்ற மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் மேலே உள்ள வரையறைகள் தெளிவுபடுத்தப்பட வேண்டும்: ஏனெனில் பல சந்தர்ப்பங்களில் ஒரே மதிப்புகள் ,
,
மாறிவிடலாம் வெவ்வேறு வழிகளில்வெவ்வேறு xi, yj நிகழ்தகவுகளுடன் pi, pij, பின்னர் மீண்டும் மீண்டும் வரும் மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள், அதன் விளைவாக வரும் நிகழ்தகவுகளான pi அல்லது pij ஐச் சேர்ப்பதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது.

தேற்றம் 2 (Moivre-Laplace (உள்ளூர்)). ஏஒவ்வொரு nசுயாதீன சோதனைகள் சமம் ஆர் nசோதனை நிகழ்வு ஏஒருமுறை நிகழும், தோராயமாக சமமாக இருக்கும் (அதிகமாக n, மிகவும் துல்லியமானது) செயல்பாட்டின் மதிப்பு

,

எங்கே , . செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணை பின்னிணைப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 1.

எடுத்துக்காட்டு 6.5.கண்டுபிடிக்கும் நிகழ்தகவு வெள்ளை காளான்மற்றவற்றுடன் சமமாக உள்ளது. 300 போர்சினி காளான்களில் 75 இருக்கும் நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு.பிரச்சனையின் நிலைமைகளின்படி , . கண்டுபிடிக்கிறோம் . அட்டவணையில் இருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் .

.

பதில்: .

தேற்றம் 3 (Moivre-Laplace (integral)).ஒரு நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவு என்றால் ஏஒவ்வொரு nசுயாதீன சோதனைகள் சமம் ஆர்மற்றும் பூஜ்ஜியம் மற்றும் ஒன்று ஆகியவற்றிலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை போதுமானதாக உள்ளது, பின்னர் நிகழ்தகவு nவெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை சோதிக்கிறது மீஇடையே உள்ளது மற்றும் தோராயமாக சமம் (மேலும் n, மிகவும் துல்லியமானது)

,

எங்கே ஆர்- ஒவ்வொரு சோதனையிலும் வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு, , மதிப்புகள் பின்னிணைப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 2.

எடுத்துக்காட்டு 6.6. 768 தர்பூசணிகளின் தொகுப்பில், ஒவ்வொரு தர்பூசணியும் நிகழ்தகவுடன் பழுக்காமல் இருக்கும். பழுத்த தர்பூசணிகளின் எண்ணிக்கை 564 முதல் 600 வரை இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.நிபந்தனையின்படி லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றம்

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 6.7.இந்த நகரத்திற்கு தினமும் 1,000 சுற்றுலா பயணிகள் பகலில் மதிய உணவுக்காக வெளியே செல்கின்றனர். அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் சமமான சாத்தியக்கூறுகள் மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக மதிய உணவிற்கு இரண்டு நகர உணவகங்களில் ஒன்றைத் தேர்வு செய்கிறார்கள். ஒரு உணவகத்தின் உரிமையாளர், தோராயமாக 0.99 நிகழ்தகவுடன், தனது உணவகத்திற்கு வரும் அனைத்து சுற்றுலாப் பயணிகளும் ஒரே நேரத்தில் அங்கு உணவருந்தலாம் என்று விரும்புகிறார். இதற்கு அவருடைய உணவகத்தில் எத்தனை இருக்கைகள் இருக்க வேண்டும்?

தீர்வு.விடுங்கள் ஏ= "சுற்றுலா ஆர்வமுள்ள உரிமையாளருடன் உணவருந்தினார்." நிகழ்வு நிகழ்வு ஏஅதை "வெற்றி" என்று கருதுவோம் , . இதில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம் மிகச்சிறிய எண் கே, நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு குறைவாக இல்லை கேவெற்றிக்கான நிகழ்தகவுடன் கூடிய சுயாதீன சோதனைகளின் வரிசையில் "வெற்றிகள்" ஆர்= 0.5 என்பது தோராயமாக 1 – 0.99 = 0.01 க்கு சமம். உணவகத்தில் கூட்டம் அதிகமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு இதுதான். எனவே, இந்த சிறிய எண்ணிக்கையில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம் கே, என்ன . Moivre-Laplace ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம்

அது எங்கிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது

.

அட்டவணையைப் பயன்படுத்துதல் எஃப்(எக்ஸ்) (இணைப்பு 2), நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம் , பொருள் . எனவே, உணவகத்தில் 537 இருக்கைகள் இருக்க வேண்டும்.

பதில்: 537 இடங்கள்.

லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்திலிருந்து நாம் சூத்திரத்தைப் பெறலாம்

.

எடுத்துக்காட்டு 6.8. 625 சுயாதீன சோதனைகள் ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.8 ஆகும். ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண் அதன் நிகழ்தகவிலிருந்து முழுமையான மதிப்பில் 0.04 க்கு மிகாமல் விலகும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

n இன் சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்தகவு, ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு p(0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணை φ(x); x இன் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு, அதே அட்டவணையைப் பயன்படுத்தவும் (செயல்பாடு φ (x) சமமானது: φ(-x) = φ(x)).

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. 700 சுயாதீன சோதனைகள் ஒவ்வொன்றிலும், நிகழ்வு A ஆனது 0.35 என்ற நிலையான நிகழ்தகவுடன் நிகழ்கிறது. நிகழ்வு A நிகழும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: a) சரியாக 270 முறை; b) 270 க்கும் குறைவான மற்றும் 230 க்கும் மேற்பட்ட முறை; c) 270 முறைக்கு மேல்.
தீர்வு.சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n = 700 மிகப் பெரியதாக இருப்பதால், நாங்கள் லாப்லேஸின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
a) கொடுக்கப்பட்டவை: n = 700, p = 0.35, k = 270.
பி 700 (270) ஐக் கண்டுபிடிப்போம். நாங்கள் லாப்லேஸின் உள்ளூர் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
நாம் காண்கிறோம்:

அட்டவணையில் இருந்து φ(x) செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் காண்கிறோம்:

b) கொடுக்கப்பட்டவை: n = 700, p = 0.35, a = 230, b = 270.
பி 700 (230< k < 270).
நாங்கள் லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (23), (24). நாம் காண்கிறோம்:

அட்டவணையில் இருந்து Ф(x) செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் காண்கிறோம்:

c) கொடுக்கப்பட்டவை: n = 700, p = 0.35, a = 270, b = 700.
P 700 (k > 270) ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.
எங்களிடம் உள்ளது:

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. நிலையாக தொழில்நுட்ப செயல்முறைஒரு நெசவு ஆலையில் ஒரு மணி நேரத்திற்கு 100 சுழல்களுக்கு 10 நூல் உடைப்புகள் உள்ளன. தீர்மானிக்கவும்: அ) ஒரு மணி நேரத்திற்குள் 80 சுழல்களில் 7 நூல் முறிவுகள் ஏற்படும் நிகழ்தகவு; b) ஒரு மணி நேரத்திற்குள் 80 சுழல்களில் நூல் முறிவுகள் ஏற்பட வாய்ப்புள்ளது.
தீர்வு. புள்ளியியல் நிகழ்தகவுஒரு மணி நேரத்திற்குள் நூல் உடைப்பு p = 10/100 = 0.1 மற்றும், எனவே, q = 1 - 0.1 = 0.9; n = 80; கே = 7.
n பெரியதாக இருப்பதால், உள்ளூர் Laplace தேற்றம் (23) பயன்படுத்தப்படுகிறது. நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

φ(-x) = φ(x) பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம், φ(0.37) ≈ 0.3726 ஐக் கண்டுபிடித்து, பின்னர் விரும்பிய நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவோம்:

எனவே, ஒரு மணி நேரத்திற்குள் 80 சுழல்களில் 7 நூல் முறிவுகள் ஏற்படுவதற்கான நிகழ்தகவு தோராயமாக 0.139 ஆகும்.
மீண்டும் மீண்டும் சோதனைகளின் போது ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் மிகவும் சாத்தியமான எண் k 0 சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படும் (14). நாம் காண்கிறோம்: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3. ஒரு பகுதி முதல் தரமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.4 ஆகும். 150 பாகங்கள் தயாரிக்கப்பட்டன. அவற்றில் 68 முதல் வகுப்பு பாகங்கள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 4. ஒவ்வொரு சுயாதீன சோதனையிலும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு p.
m சோதனைகள் நடத்தப்பட்டால் நிகழ்வு n முறை நிகழும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.
மூன்று முக்கியமான புள்ளிவிவரங்களுக்கு உங்கள் பதிலை வழங்கவும்.
р=0.75, n=87, m=120

போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்கும்போது, ​​பெர்னௌல்லியின் சூத்திரம் சிக்கலான கணக்கீடுகளை உருவாக்குகிறது. எனவே, இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், உள்ளூர் லாப்லேஸ் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தேற்றம்(உள்ளூர் லாப்லேஸ் தேற்றம்). ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு p நிலையானதாகவும் 0 மற்றும் 1 இலிருந்து வேறுபட்டதாகவும் இருந்தால், நிகழ்தகவு
n சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்வு A சரியாக k முறை தோன்றும் என்பது செயல்பாட்டின் மதிப்பிற்கு தோராயமாக சமம்:

,

.

செயல்பாட்டு மதிப்புகள் அமைந்துள்ள அட்டவணைகள் உள்ளன
நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு x.

செயல்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்க
கூட

எனவே, நிகழ்வு A n சோதனைகளில் தோன்றும் நிகழ்தகவு சரியாக k மடங்கு தோராயமாக சமமாக இருக்கும்

, எங்கே
.

உதாரணமாக.சோதனை வயலில் 1500 விதைகள் விதைக்கப்பட்டன. நிகழ்தகவு என்றால் நாற்றுகள் 1200 விதைகளை உற்பத்தி செய்யும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் தானியம் முளைக்கும், 0.9 க்கு சமம்.

தீர்வு.

லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றம்

நின்டிபென்டன்ட் ட்ரையல்ஸ் நிகழ்வில் A குறைந்தது k1 முறையும் அதிகபட்சம் k2 முறையும் தோன்றும் நிகழ்தகவு Laplace இன் ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.

தேற்றம்(லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த தேற்றம்). ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு a நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு p நிலையானது மற்றும் 0 மற்றும் 1 இலிருந்து வேறுபட்டால், n சோதனைகளில் நிகழ்வு A குறைந்தது k 1 முறை தோன்றும் மற்றும் k 2 முறைக்கு மேல் இல்லாத நிகழ்தகவு தோராயமாக சமமாக இருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு:

.

செயல்பாடு
லாப்லேஸ் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒற்றைப்படை மற்றும் அதன் மதிப்பு நேர்மறை மதிப்புகள் x அட்டவணையில் காணப்படுகிறது.

உதாரணமாக.ஆய்வகத்தில், 90% முளைப்பு விகிதம் கொண்ட ஒரு தொகுதி விதைகளிலிருந்து, 600 விதைகள் விதைக்கப்பட்டன, அவை முளைத்தன, 520 க்கும் குறைவாகவும் 570 க்கும் அதிகமாகவும் இல்லை.

தீர்வு.

பாய்சன் சூத்திரம்

n சுயாதீன சோதனைகள் செய்யப்படட்டும், ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு நிலையானது மற்றும் p க்கு சமம். நாம் ஏற்கனவே கூறியது போல, சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவை பெர்னௌல்லியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி துல்லியமாக k நேரங்களைக் கண்டறியலாம். n போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்கும் போது, ​​Laplace இன் உள்ளூர் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இருப்பினும், ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சிறியதாகவோ அல்லது 1க்கு நெருக்கமாகவோ இருக்கும்போது இந்த சூத்திரம் பொருந்தாது. மேலும் p=0 அல்லது p=1 எனும்போது அது பொருந்தாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பாய்சன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

தேற்றம்(போய்சன் தேற்றம்). ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு p நிலையானது மற்றும் 0 அல்லது 1 க்கு அருகில் இருந்தால், மற்றும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை போதுமானதாக இருந்தால், n சுயாதீன சோதனை நிகழ்வில் A சரியாக k நேரங்கள் தோன்றும் நிகழ்தகவு சூத்திரம்:

.

உதாரணமாக.கையெழுத்துப் பிரதி ஆயிரம் பக்கங்கள் தட்டச்சு செய்யப்பட்ட உரை மற்றும் ஆயிரம் எழுத்துப்பிழைகளைக் கொண்டுள்ளது. சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்ட பக்கம் குறைந்தது ஒரு எழுத்துப்பிழையையாவது கொண்டிருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

கேள்விகள்க்கு சுய சோதனைகள்

ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கான உன்னதமான வரையறையை உருவாக்கவும்.

நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்திற்கான மாநில கோட்பாடுகள்.

நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவை வரையறுக்கவும்.

மொத்த நிகழ்தகவுக்கான சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்.

பேய்ஸின் சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்.

பெர்னோலியின் சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்.

பாய்சனின் சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்.

உள்ளூர் Laplace சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்.

லாப்லேஸின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்.

தலைப்பு 13. ரேண்டம் மாறி மற்றும் அதன் எண் பண்புகள்

இலக்கியம்: ,,,,,.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படை கருத்துக்களில் ஒன்று சீரற்ற மாறியின் கருத்து. வழக்கைப் பொறுத்து அதன் மதிப்புகளை எடுக்கும் மாறி அளவுக்கான பொதுவான பெயர் இது. இரண்டு வகையான சீரற்ற மாறிகள் உள்ளன: தனி மற்றும் தொடர்ச்சியான. சீரற்ற மாறிகள் பொதுவாக X,Y,Z எனக் குறிக்கப்படுகின்றன.

ஒரு சீரற்ற மாறி X ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணக்கூடிய மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடிந்தால் அது தொடர்ச்சியான (தனிப்பட்ட) என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X அதன் சாத்தியமான மதிப்புகள் x 1 , x 2 , x 3 , ... x n (அவற்றின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்றதாக இருக்கலாம்) மற்றும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் p 1 , p 2 , p என வரையறுக்கப்படுகிறது. 3, ... p n கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதி பொதுவாக அட்டவணையில் கொடுக்கப்படுகிறது:

முதல் வரி சீரற்ற மாறி X இன் சாத்தியமான மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இரண்டாவது வரி இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளைக் குறிக்கிறது. சீரற்ற மாறி X அதன் அனைத்து மதிப்புகளையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம், அதாவது

р 1 +р 2 + р 3 +…+р n =1.

ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதியை வரைபடமாக சித்தரிக்கலாம். இதைச் செய்ய, ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், புள்ளிகள் M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) மற்றும் அவற்றை நேராக பிரிவுகளுடன் இணைக்கவும் இதன் விளைவாக உருவானது சீரற்ற மாறி X இன் பரவல் பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக.தனித்துவமான மதிப்பு X பின்வரும் விநியோகச் சட்டத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

கணக்கிட வேண்டியது அவசியம்: அ) கணித எதிர்பார்ப்பு M(X), b) மாறுபாடு D(X), c) நிலையான விலகல் σ.

தீர்வு . அ) ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் கணித எதிர்பார்ப்பு M(X) என்பது, இந்த சாத்தியமான மதிப்புகளின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளால் சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். அட்டவணை (1) ஐப் பயன்படுத்தி ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறி X குறிப்பிடப்பட்டால், கணித எதிர்பார்ப்பு M(X) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.

M(X)=x 1 ∙p 1 +x 2 ∙p 2 +x 3 ∙p 3 +…+x n ∙p n. (2)

கணித எதிர்பார்ப்பு M(X) ரேண்டம் மாறி X இன் சராசரி மதிப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. (2) பயன்படுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம்:

M(X)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54.

b) M(X) என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் கணித எதிர்பார்ப்பு எனில், X-M(X) வேறுபாடு அழைக்கப்படுகிறது விலகல்சராசரி மதிப்பிலிருந்து சீரற்ற மாறி X. இந்த வேறுபாடு ஒரு சீரற்ற மாறியின் சிதறலை வகைப்படுத்துகிறது.

மாறுபாடுஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் (சிதறல்) என்பது அதன் கணித எதிர்பார்ப்பிலிருந்து சீரற்ற மாறியின் வர்க்க விலகலின் கணித எதிர்பார்ப்பு (சராசரி மதிப்பு) ஆகும். எனவே, வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

D(X)=M 2 . (3)

ஸ்கொயர்டு விலகலின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் கணக்கிடுவோம்.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

சிதறல் D(X)ஐக் கணக்கிட, சதுர விலகலின் விநியோகச் சட்டத்தை வரைந்து பின்னர் சூத்திரத்தைப் (2) பயன்படுத்துகிறோம்.

D(X)= 36∙0.2+1∙0.4+9∙0.3 +49∙0.1=15.2.

பின்வரும் பண்பு மாறுபாட்டைக் கணக்கிடப் பயன்படுகிறது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்: மாறுபாடு D(X) என்பது ரேண்டம் மாறி X இன் சதுரத்தின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கும் அதன் கணித எதிர்பார்ப்பின் வர்க்கத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம், அதாவது

D(X)-M(X 2)- 2. (4)

சூத்திரம் (4) ஐப் பயன்படுத்தி சிதறலைக் கணக்கிட, சீரற்ற மாறி X 2 இன் விநியோக விதியை உருவாக்குகிறோம்:

இப்போது கணித எதிர்பார்ப்பு M(X 2) ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

M(X 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

விண்ணப்பிக்கும் (4), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

D(X)=2931.2-(54) 2 =2931.2-2916=15.2.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எங்களுக்கு அதே முடிவு கிடைத்தது.

c) மாறுபாட்டின் பரிமாணம் சீரற்ற மாறியின் பரிமாணத்தின் சதுரத்திற்கு சமம். எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் பரவலை அதன் சராசரி மதிப்பைச் சுற்றி வகைப்படுத்த, மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலத்தின் எண்கணித மதிப்பிற்கு சமமான மதிப்பைக் கருத்தில் கொள்வது மிகவும் வசதியானது, அதாவது
. இந்த மதிப்பு சீரற்ற மாறி X இன் நிலையான விலகல் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் σ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. இதனால்

σ=
. (5)

விண்ணப்பிக்கும் (5), எங்களிடம் உள்ளது: σ=
.

உதாரணமாக.சீரற்ற மாறி X சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. கணித எதிர்பார்ப்பு M(X)=5; மாறுபாடுD(X)=0.64. சோதனையின் விளைவாக X இடைவெளியில் (4;7) மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுஒரு சீரற்ற மாறி X ஆனது f(x) சார்பினால் குறிப்பிடப்பட்டால், X ஆனது இடைவெளிக்கு (α, β) சேர்ந்த மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.

. (1)

X மதிப்பு சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்பட்டால், வேறுபட்ட செயல்பாடு

,

எங்கே ஏ=M(X) மற்றும் σ=
. இந்த வழக்கில், நாங்கள் (1) இலிருந்து பெறுகிறோம்

. (2)

லாப்ளேஸ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஃபார்முலா (2) மாற்றப்படலாம்.

ஒரு மாற்று செய்வோம். விடுங்கள்
. பிறகு
அல்லது dx=σ∙ dt.

எனவே
, t 1 மற்றும் t 2 ஆகியவை t மாறிக்கான தொடர்புடைய வரம்புகளாகும்.

σ ஆல் குறைத்தல், எங்களிடம் உள்ளது

உள்ளிடப்பட்ட மாற்றிலிருந்து
அதை பின்பற்றுகிறது
மற்றும்
.

இதனால்,

(3)

சிக்கலின் நிபந்தனைகளின்படி எங்களிடம் உள்ளது: a=5; σ=
=0.8; α=4; β=7. இந்தத் தரவை (3) க்கு மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

=Ф(2.5)-Ф(-1.25)=

=F(2.5)+F(1.25)=0.4938+0.3944=0.8882.

உதாரணமாக.தரநிலையிலிருந்து தயாரிக்கப்பட்ட பகுதிகளின் நீளத்தின் விலகல் ஒரு சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி என்று நம்பப்படுகிறது. நிலையான நீளம் (கணித எதிர்பார்ப்பு) a=40 செ.மீ., நிலையான விலகல் σ=0.4 செ.மீ.

தீர்வு.X என்பது பகுதியின் நீளம் என்றால், சிக்கலின் நிபந்தனைகளின்படி இந்த மதிப்பு இடைவெளியில் (a-δ,a+δ) இருக்க வேண்டும், இங்கு a=40 மற்றும் δ=0.6.

α= a-δ மற்றும் β= a+δ ஆகியவற்றை சூத்திரத்தில் (3) வைத்து, நாம் பெறுகிறோம்

. (4)

கிடைக்கக்கூடிய தரவை (4) மாற்றினால், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பாகங்களின் நீளம் 39.4 முதல் 40.6 செமீ வரம்பில் இருக்கும் நிகழ்தகவு 0.8664 ஆகும்.

உதாரணமாக.ஒரு ஆலையால் தயாரிக்கப்படும் பாகங்களின் விட்டம் ஒரு சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியாகும். நிலையான விட்டம் நீளம் a=2.5செமீ, நிலையான விலகல் σ=0.01. 0.9973 நிகழ்தகவு கொண்ட நிகழ்வு நம்பகமானதாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், இந்த பகுதியின் விட்டத்தின் நீளத்திற்கு எந்த வரம்புகளுக்குள் ஒருவர் நடைமுறையில் உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும்?

தீர்வு.சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

a=2.5; σ=0.01; .

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (4), நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்:

அல்லது
.

அட்டவணை 2 இலிருந்து, Laplace செயல்பாடு x=3 இல் இந்த மதிப்பைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். எனவே,
; எங்கிருந்து σ=0.03.

இந்த வழியில், விட்டம் நீளம் 2.47 முதல் 2.53 செமீ வரை மாறுபடும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும்.