சமன்பாடுகளின் மிகவும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகள். ஒரு மாறியில் நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

வேலையின் உரை படங்கள் மற்றும் சூத்திரங்கள் இல்லாமல் வெளியிடப்படுகிறது.
முழு பதிப்புவேலை "பணி கோப்புகள்" தாவலில் PDF வடிவத்தில் கிடைக்கும்

அறிமுகம்

"சமன்பாடு என்பது அனைத்து கணித எள்களையும் திறக்கும் தங்க விசை"

எஸ்.கோவல்

பள்ளியில் பெற்ற கணிதக் கல்வி வாழ்க்கையின் மிக முக்கியமான பகுதியாகும். நவீன மனிதன். நம்மைச் சுற்றியுள்ள அனைத்தும் எப்படியாவது கணிதத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பல நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வருகிறது.

முழு இயற்கணித பாடத்தின் மிக விரிவான தலைப்பு சமன்பாடுகள். கடந்த காலத்தில் கல்வி ஆண்டுஇயற்கணிதம் பாடங்களில் இருபடிச் சமன்பாடுகளைப் பற்றி கற்றுக்கொண்டோம். கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் மற்றும் வேதியியல் ஆகிய இரண்டிலும் பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் இருபடிச் சமன்பாடுகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பள்ளிக் கணிதப் பாடமானது அடிப்படைப் பாடங்களை உள்ளடக்கியது தீர்வுகள் இருபடி சமன்பாடுகள். இருப்பினும், இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பிற நுட்பங்கள் உள்ளன, அவற்றில் சில அவற்றை விரைவாகவும் பகுத்தறிவு ரீதியாகவும் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

8-9 வகுப்புகளில் உள்ள 84 மாணவர்களிடையே இரண்டு கேள்விகளில் நாங்கள் ஒரு கணக்கெடுப்பை நடத்தினோம்:

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான என்ன முறைகள் உங்களுக்குத் தெரியும்?

எவற்றை நீங்கள் அடிக்கடி பயன்படுத்துகிறீர்கள்?

கணக்கெடுப்பு முடிவுகளின் அடிப்படையில், பின்வரும் முடிவுகள் பெறப்பட்டன:

பெறப்பட்ட முடிவுகளை பகுப்பாய்வு செய்த பின்னர், இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது பெரும்பாலான மாணவர்கள் ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகின்றனர் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது பற்றி போதுமான அளவு அறிந்திருக்கவில்லை என்ற முடிவுக்கு வந்தோம்.

எனவே, நாங்கள் தேர்ந்தெடுத்த தலைப்பு பொருத்தமானது.

நாமே அமைத்துக் கொண்டோம் இலக்கு: ஆராயுங்கள் வழக்கத்திற்கு மாறான முறைகள்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, 8 மற்றும் 9 ஆம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துகிறது பல்வேறு வழிகளில்தீர்வுகள், இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க ஒரு பகுத்தறிவு வழியைத் தேர்ந்தெடுக்கும் திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.

இந்த இலக்கை அடைய, நீங்கள் பின்வருவனவற்றை தீர்க்க வேண்டும் பணிகள்:

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பல்வேறு வழிகளைப் பற்றிய தகவல்களைச் சேகரித்தல்,

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வுகளை மாஸ்டர்,

எக்செல் இல் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு நிரலை உருவாக்கவும்,

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான தரமற்ற முறைகளில் ஒரு பாடம் அல்லது பாடநெறிக்கு அப்பாற்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான செயற்கையான விஷயங்களை உருவாக்குதல்,

8 - 9 வகுப்புகளில் உள்ள மாணவர்களுடன் " இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழக்கத்திற்கு மாறான வழிகள் " என்ற பாடத்தை நடத்துங்கள்.

ஆய்வின் பொருள்: இருபடி சமன்பாடுகள்.

ஆய்வு பொருள்: இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க பல்வேறு வழிகள்.

கணித பாடங்களில் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நுட்பங்கள் மற்றும் முறைகளின் வங்கியைப் பயன்படுத்துவதற்கான சாத்தியக்கூறுகளில் வேலையின் நடைமுறை முக்கியத்துவம் உள்ளது என்று நாங்கள் நம்புகிறோம். சாராத நடவடிக்கைகள், அத்துடன் 8-9 வகுப்புகளில் உள்ள மாணவர்களை இந்த விஷயத்துடன் பழக்கப்படுத்துதல்.

அத்தியாயம் 1. குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழக்கத்திற்கு மாறான முறைகள்

1. 1. திறன்களின் பண்புகள் (a,b,c)

முறை குணகங்களின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது a,b,c:

என்றால் a+b+c=0,பின்னர் = 1, =

எடுத்துக்காட்டு:

-6x 2 + 2x +4=0,பின்னர் = 1, = = .

என்றால் a - b+c=0,பின்னர் = -1, = -

எடுத்துக்காட்டு:

2017x 2 + 2001x +16 =0,பின்னர் = -1, -.

1. 1. திறன்களின் சார்புகள் (a,b,c)

குணகங்களின் பின்வரும் சார்புகள் செல்லுபடியாகும்: a,b,c:

b=a 2 +1, c=a என்றால் x 1 =-a; x 2 = - .

b=-(a 2 +1), a=c எனில், x 1 =a; x 2 =.

b=a 2 -1, c=-a எனில், x 1 =-a; x 2 = .

b=-(a 2 -1), -a=c என்றால், x 1 =a; x 2 = - .

பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்போம்:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. முக்கிய திறன்களின் "போக்குவரத்து"

குணகம் ஏஇலவச வார்த்தையால் பெருக்கப்படுகிறது, அதற்கு "எறியப்பட்டது", அதனால்தான் இது "எறிதல்" முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அடுத்து, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்கள் காணப்படுகின்றன. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்கள் முன்னர் மாற்றப்பட்ட குணகத்தால் வகுக்கப்படுகின்றன, இதற்கு நன்றி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் காண்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

இலவச காலத்திற்கு குணகம் 2 ஐ "தூக்கி" விடுவோம், இதன் விளைவாக நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

மணிக்கு 2 - 3у + 2 = 0.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி

மணிக்கு 1 = 2, x 1 = 2/2 , x 1 = 1,

மணிக்கு 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

பதில்: 0.5; 1.

1. 1. தீர்வுக்கான வரைகலை முறை

சமன்பாட்டில் இருந்தால் a x 2 + bx + c= 0 இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்களை வலது பக்கம் நகர்த்தினால், நமக்கு a கிடைக்கும் x 2 = -bx-c .

சார்பு வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் மணிக்கு= கோடாரி 2 மற்றும் மணிக்கு= -bx-cஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்.

முதல் சார்பின் வரைபடம் தோற்றம் வழியாக செல்லும் ஒரு பரவளையமாகும். இரண்டாவது சார்பின் வரைபடம் நேராக உள்ளது.

பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு பரவளையம் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டலாம், வெட்டுப்புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ்கள் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்;

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு பரவளையம் தொடலாம் (ஒரே ஒரு பொதுவான புள்ளி), அதாவது. சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது;

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு பரவளையத்திற்கு பொதுவான புள்ளிகள் இல்லை, அதாவது. ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்போம்:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 = - 2x + 3

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், y = x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், y = - 2x + 3 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் உருவாக்குவோம். குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிசாஸைக் குறிப்பதன் மூலம், நாம் பதிலைப் பெறுகிறோம்.

பதில்: x 1 = - 3, x 2 = 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 = - 6x - 9

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், y = x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், y = -6x - 9 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் உருவாக்குவோம். தொடு புள்ளியின் abscissaவைக் குறிப்பிட்டு, விடையைப் பெறுவோம்.

பதில்: x= - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y = 2x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் உருவாக்குவோம்.

பரவளைய y = 2x 2 மற்றும் நேர்கோட்டில் y = - 4x - 7 ஆகியவை பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை, எனவே சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

1. 1. திசைகாட்டிகள் மற்றும் ஆட்சியாளர்களைப் பயன்படுத்தி குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

aх 2 +bх+c=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

புள்ளிகளை உருவாக்குவோம் S(-b:2a,(a+c):2a) - வட்டத்தின் மையம் மற்றும் புள்ளி A(0,1).

SA ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை வரையவும்.

ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ்கள் அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

இந்த வழக்கில், மூன்று வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1) வட்டத்தின் ஆரம் மையத்தின் ஆர்டினேட்டை விட அதிகமாக உள்ளது ( AS>SK, அல்லது ஆர்>), வட்டம் அச்சை வெட்டுகிறது ஓஇரண்டு புள்ளிகளில்..B( எக்ஸ் 1 ; 0) மற்றும் D(x 2 ;0), எங்கே எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 - இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் ஓ 2 + bx + c = 0.

2) வட்டத்தின் ஆரம் மையத்தின் ஆர்டினேட்டுக்கு சமம் ( AS = SВ, அல்லது ஆர்=), வட்டம் அச்சைத் தொடுகிறது ஓபுள்ளி B( எக்ஸ் 1 ; 0), எங்கே எக்ஸ் 1 - இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்.

3) வட்டத்தின் ஆரம் மையத்தின் ஆர்டினேட்டை விட குறைவாக உள்ளது ( AS< SВ , அல்லது ஆர்< ), வட்டத்திற்கு x- அச்சுடன் பொதுவான புள்ளிகள் இல்லை, இந்த வழக்கில் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு இல்லை.

A) AS > SВஅல்லது ஆர்>, b) AS = SВஅல்லது ஆர்= V) AS< SВ, அல்லது ஆர்< .

இரண்டு தீர்வுகள் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 . ஒரு தீர்வு எக்ஸ் 1.. தீர்வு இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.

தீர்வு:

ஆரம் வட்டம் வரைவோம் எஸ்.ஏ.எங்கே ஏ (0;1).

பதில்: x 1 = 1, x 2 = 3.

எடுத்துக்காட்டு 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

தீர்வு: S: x=3, y=5 இன் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம்.

பதில்: x=3.

எடுத்துக்காட்டு 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

தீர்வு:வட்ட மையத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள்: x= - 2 மற்றும் y = 3.

பதில்: வேர்கள் இல்லை

1. 1. நோமோகிராம் பயன்படுத்தி தீர்வு

நோமோகிராம் (கிரேக்க மொழியில் இருந்து “நோமோஸ்” - சட்டம் மற்றும் கிராம்), பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவம், இது கணக்கீடுகள் இல்லாமல் செயல்பாட்டு சார்புகளைப் படிக்க எளிய வடிவியல் செயல்பாடுகளை (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்துதல்) பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தாமல் இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது.

இது ஒரு பழைய மற்றும் இப்போது மறந்துவிட்ட இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறையாகும், இது தொகுப்பின் பக்கம் 83 இல் உள்ளது: பிராடிஸ் வி.எம். "நான்கு இலக்க கணித அட்டவணைகள்." - எம்., "ட்ரோஃபா", 2000. அட்டவணை XXII. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான நோமோகிராம் z 2 + pz + q = 0(இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்).

இந்த நோமோகிராம் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்காமல், அதன் குணகங்களிலிருந்து சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது.

நோமோகிராமின் வளைவு அளவுகோல் சூத்திரங்களின்படி கட்டப்பட்டுள்ளது: OB= , ஏபி =

நம்புவது OS = p, ED = q, OE = a(அனைத்தும் செ.மீ.), முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து SANமற்றும் CDFமாற்றீடுகள் மற்றும் எளிமைப்படுத்தல்களுக்குப் பிறகு, z 2 + pz + q = 0 என்ற சமன்பாட்டைப் பின்பற்றும் விகிதத்தைப் பெறுகிறோம், மேலும் z என்ற எழுத்து வளைவு அளவில் எந்தப் புள்ளியின் அடையாளத்தையும் குறிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

p அளவுகோலில் நாம் குறி -9, மற்றும் q அளவு குறி 8 ஐக் காண்கிறோம். இந்த மதிப்பெண்கள் மூலம் நாம் ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம், இது 1 மற்றும் 8 மதிப்பெண்களில் நோமோகிராமின் வளைந்த அளவை வெட்டுகிறது. எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்கள் 1 ஆகும். மற்றும் 8.

பதில்: 1; 8.

இந்த சமன்பாடுதான் பக்கம் 83 இல் உள்ள பிராடிஸ் அட்டவணையில் தீர்க்கப்படுகிறது (பின் இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்).

எடுத்துக்காட்டு 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

இந்த சமன்பாட்டின் குணகங்களை 2 ஆல் வகுத்தால், சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

z 2 - 4.5z + 1 = 0.நோமோகிராம் வேர்களைக் கொடுக்கிறது z 1 = 4 மற்றும் z 2 = 0,5.

பதில்: 4; 0.5

எடுத்துக்காட்டு 3:x 2 - 25x + 66 = 0

p மற்றும் q குணகங்கள் அளவில் இல்லை. மாற்றீடு செய்வோம் x = 5z, நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

z 2 - 5z + 2.64 = 0,

நாம் ஒரு நோமோகிராம் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம்.

எங்களுக்கு z கிடைக்கும் 1 = 0,6 மற்றும் z 2 = 4,4,

எங்கே x 1 = 5z 1 = 3,0 மற்றும் x 2 = 5z 2 = 22,0.

பதில்: 3; 22.

எடுத்துக்காட்டு 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , ஏ எதிர்மறை வேர்இலிருந்து நேர்மறை மூலத்தைக் கழிப்பதன் மூலம் கண்டுபிடிக்கவும் - ப , அந்த. z 2 = - ப -1= - 5 - 1= -6.

பதில்: 1; -6.

எடுத்துக்காட்டு 5: z 2 - 2z - 8 = 0,நோமோகிராம் நேர்மறை z ரூட்டை வழங்குகிறது 1 =4, மற்றும் எதிர்மறையானது z க்கு சமம் 2 = - ப -4 =

= 2 - 4= -2.

பதில்: 4; -2.

அத்தியாயம் 2. EXCEL ஐப் பயன்படுத்தி ரூட் ஃபார்முலாக்கள் மூலம் ஒரு குவாட்ரேட் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க ஒரு திட்டத்தை உருவாக்க முடிவு செய்தோம் எக்செல் பயன்படுத்தி- இது பரவலாக உள்ளது கணினி நிரல். கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளவும், அட்டவணைகள் மற்றும் வரைபடங்களை தொகுக்கவும், எளிமையானவை மற்றும் கணக்கிடவும் இது தேவைப்படுகிறது சிக்கலான செயல்பாடுகள். இது Microsoft Office தொகுப்பின் ஒரு பகுதியாகும்.

எக்செல் தாள் சூத்திரங்களைக் காட்டுகிறது:

எக்செல் தாள் காண்பிக்கப்படுகிறது உறுதியான உதாரணம்இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள் x 2 - 14x - 15 = 0:

அத்தியாயம் 3. குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வெவ்வேறு வழிகளின் ஒப்பீடு

"இயற்கணிதம் படிக்கும் ஒருவருக்கு மூன்று அல்லது நான்கு வெவ்வேறு பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதை விட ஒரே பிரச்சனையை மூன்று வெவ்வேறு வழிகளில் தீர்ப்பது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்பது பல்வேறு முறைகள், எது குறுகியது மற்றும் அதிக திறன் கொண்டது என்பதை ஒப்பீடுகள் மூலம் நீங்கள் கண்டறியலாம். இப்படித்தான் அனுபவம் உருவாகிறது."

வால்டர் வார்விக் சாயர்

வேலையின் போது, ​​நாங்கள் பொருட்களை சேகரித்து, இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க (வேர்களைக் கண்டறிய) வழிகளைப் படித்தோம். வெவ்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பின் இணைப்பு 2 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

படிக்கிறது வெவ்வேறு வழிகளில்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம், ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான மிகவும் பயனுள்ள மற்றும் பகுத்தறிவு விருப்பத்தை நீங்கள் தேர்வு செய்யலாம் என்று நாங்கள் முடிவு செய்தோம். ஒவ்வொரு தீர்வும் தனிப்பட்டது மற்றும் சில சந்தர்ப்பங்களில் வசதியானது. சில தீர்வு முறைகள் நேரத்தைச் சேமிக்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன, இது OGE இல் பணிகளைத் தீர்க்கும் போது முக்கியமானது, மற்றவை மிகப் பெரிய குணகங்களுடன் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க உதவுகின்றன. ஒவ்வொரு முறையின் நன்மை தீமைகளையும் பிரதிபலிக்கும் அட்டவணையை தொகுத்து வெவ்வேறு தீர்வு முறைகளை ஒப்பிட முயற்சித்தோம்.

நாங்கள் கையேடுகளை உருவாக்கியுள்ளோம். பின் இணைப்பு 3 இல் உள்ள தலைப்பில் பணிகளின் வங்கியை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

பயன்படுத்தி மைக்ரோசாப்ட் எக்செல், ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தானாகக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கும் விரிதாளை நாங்கள் தொகுத்துள்ளோம்.

9 ஆம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கு இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அசாதாரண வழிகளைப் பற்றி நாங்கள் பாடம் நடத்தினோம். மாணவர்கள் இந்த முறைகளை மிகவும் விரும்பினர்; பாடத்தின் முடிவு மாணவர்களின் வேலை, அதில் அவர்கள் வழங்கினர் பல்வேறு விருப்பங்கள்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது (இணைப்பு 4 ஐப் பார்க்கவும்).

கணிதத்தை விரும்புவோர் மற்றும் கணிதத்தைப் பற்றி மேலும் அறிய விரும்புவோர் இருவரும் பணிப் பொருளைப் பயன்படுத்தலாம்.

இலக்கியம்

பிராடிஸ் வி.எம். "நான்கு இலக்க கணித அட்டவணைகள் உயர்நிலைப் பள்ளி", எம்.: பஸ்டர்ட், 2000.

விலென்கின் என்.யா. "8 ஆம் வகுப்புக்கான அல்ஜீப்ரா", எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனி, 2000.

கலிட்ஸ்கி எம்.எல். "இயற்கணிதத்தில் சிக்கல்களின் சேகரிப்பு", எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனி 2002.

கிளேசர் ஜி.ஐ. "பள்ளியில் கணிதத்தின் வரலாறு", எம்.: ப்ரோஸ்வெஷ்செனி, 1982.

ஸ்வாவிச் எல்.ஐ. "இயற்கணிதம் 8 ஆம் வகுப்பு", எம்.: மெனிமோசைன், 2002.

மகரிச்சேவ் யு.என். "இயற்கணிதம் 8 ஆம் வகுப்பு", எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனி, 2015.

ப்ளூஸ்னிகோவ் I. "இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க 10 வழிகள்" // பள்ளியில் கணிதம். - 2000.- எண். 40.

பிரஸ்மேன் ஏ.ஏ. "ஒரு திசைகாட்டி மற்றும் ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது"//எம்., குவாண்ட், எண். 4/72, ப.34.

சவின் ஏ.பி. " கலைக்களஞ்சிய அகராதிஇளம் கணிதவியலாளர்"

எம்.: கல்வியியல், 1989.

இணைய ஆதாரங்கள்:

http://revolution.allbest.ru/

பின் இணைப்பு 1

"பிராடிஸ் V.M சேகரிப்பு."

பின் இணைப்பு 2

"எல்லா வழிகளிலும் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது"

அசல் சமன்பாடு:4x 2 +3x -1 = 0.

1.பாகுபாடு D ஐப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

4x 2 +3x -1 = 0

D=பி 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, =>சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. வியட்டாவின் தேற்றம்

4x 2 +3x -1 = 0,சமன்பாட்டை 4 ஆல் வகுத்தால் அது குறைக்கப்படும்

எக்ஸ் 2 +x -=0

எக்ஸ் 1 = -1

எக்ஸ் 2 =

3. முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2х *+)-1=0

(2x +) 2 -=0

(2x + -)(2x + +)=0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

எக்ஸ் 1 = x 2 = -1

4. குழுவாக்கும் முறை

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,காரணிகளில் ஒன்று =0 என்றால் தயாரிப்பு =0

(4x-1)=0 (x+1)=0

எக்ஸ் 1 = x 2 = -1

5. குணகங்களின் பண்புகள்

4x 2 +3x -1 = 0

a - b+c=0 எனில், = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. முக்கிய குணகம் "எறிந்து" முறை

4x 2 +3x -1 = 0

ஒய் 2 +3y - 4 = 0

வியட்டாவின் தேற்றம்:

ஒய் 1 = -4

ஒய் 2 = 1

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை முக்கிய குணகத்தால் பிரித்து நமது சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பெறுவோம்:

எக்ஸ் 1 = -1

எக்ஸ் 2 =

7. திசைகாட்டி மற்றும் ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறை

4x 2 +3x -1 = 0

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி வட்டத்தின் மையப் புள்ளியின் ஆயங்களைத் தீர்மானிப்போம்:

எக்ஸ் 1 = -1

எக்ஸ் 2 =

8. வரைகலை தீர்வு

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் y = 4x 2 மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடம்

y = - 3x+1.குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிசாஸை நியமித்த பிறகு, நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

எக்ஸ் 1 = -1

9. நோமோகிராம் பயன்படுத்துதல்

4x 2 +3x -1 = 0,சமன்பாட்டின் குணகங்களை 1/4 பிரித்தால், நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

எக்ஸ் 2 +x -= 0.

நோமோகிராம் நேர்மறை மூலத்தை அளிக்கிறது = ,

மேலும் நேர்மறை மூலத்தை - p இலிருந்து கழிப்பதன் மூலம் எதிர்மறை மூலத்தைக் கண்டறிகிறோம் , அந்த.

x 2 = - ப -=- -= -1.

10. இந்த சமன்பாட்டை EXCEL இல் தீர்ப்பது

பின் இணைப்பு 3

"தலைப்புக்கான டிடாக்டிகல் மெட்டீரியல்

“குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" »

10x 2 + 2017x + 2007 = 0 -1 -200.7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 = 0 1 -0.01

5x 2 + 9x + 4 = 0 -1 -0.8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s = 0 1 -1.5

55x 2 -44х -11= 0 1 -0.2

6x 2 - 7х - 3 = 0 - , 1.5

4x 2 -17x-15 = 0 -0.75, 5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 +10x + 7 = 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 = 0 2, 0.2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3

4x 2 + 4x -3= 0 -1.5, 0.5

5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1.5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

பின் இணைப்பு 4

"மாணவர்களின் பணி"

கணித சமன்பாடுகள் பயனுள்ளவை மட்டுமல்ல - அவை அழகாகவும் இருக்கும். பல விஞ்ஞானிகள் சில சூத்திரங்களை அவற்றின் செயல்பாட்டிற்காக மட்டுமல்லாமல், அவற்றின் வடிவத்திற்காகவும், ஒரு குறிப்பிட்ட சிறப்புக் கவிதைக்காகவும் விரும்புகிறார்கள் என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறார்கள். E = mc^2 போன்ற உலகம் முழுவதும் அறியப்பட்ட சமன்பாடுகள் உள்ளன. மற்றவை பரவலாக இல்லை, ஆனால் சமன்பாட்டின் அழகு அதன் பிரபலத்தைப் பொறுத்தது அல்ல.

பொது சார்பியல் கோட்பாடு

மேலே விவரிக்கப்பட்ட சமன்பாடு ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீனால் 1915 இல் அவரது புதுமையான பொது சார்பியல் கோட்பாட்டின் ஒரு பகுதியாக உருவாக்கப்பட்டது. இந்த கோட்பாடு உண்மையில் அறிவியல் உலகில் புரட்சியை ஏற்படுத்தியது. ஒரு சமன்பாடு விண்வெளி மற்றும் நேரம் உட்பட சுற்றியுள்ள அனைத்தையும் எவ்வாறு விவரிக்கிறது என்பது ஆச்சரியமாக இருக்கிறது. ஐன்ஸ்டீனின் உண்மையான மேதைகள் அனைத்தும் அவருக்குள் பொதிந்துள்ளன. இது மிகவும் நேர்த்தியான சமன்பாடு, உங்களைச் சுற்றியுள்ள அனைத்தும் எவ்வாறு இணைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை சுருக்கமாக விவரிக்கிறது - எடுத்துக்காட்டாக, விண்மீன் மண்டலத்தில் சூரியனின் இருப்பு எவ்வாறு இடத்தையும் நேரத்தையும் வளைக்கிறது, இதனால் பூமி அதைச் சுற்றி வருகிறது.

நிலையான மாதிரி

ஸ்டாண்டர்ட் மாடல் என்பது இயற்பியலின் மிக முக்கியமான கோட்பாடுகளில் ஒன்றாகும், இது பிரபஞ்சத்தை உருவாக்கும் அனைத்து அடிப்படைத் துகள்களையும் விவரிக்கிறது. இந்த கோட்பாட்டை விவரிக்கக்கூடிய பல்வேறு சமன்பாடுகள் உள்ளன, ஆனால் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படும் சமன்பாடு 18 ஆம் நூற்றாண்டின் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளரும் வானவியலாளருமான லாக்ரேஞ்சின் சமன்பாடு ஆகும். புவியீர்ப்பு விசையைத் தவிர, அனைத்து துகள்களையும் அவற்றின் மீது செயல்படும் சக்திகளையும் அவர் வெற்றிகரமாக விவரித்தார். சமீபத்தில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஹிக்ஸ் போசனும் இதில் அடங்கும். இது குவாண்டம் இயக்கவியல் மற்றும் முழுமையாக இணக்கமானது பொது கோட்பாடுசார்பியல்.

கணித பகுப்பாய்வு

முதல் இரண்டு சமன்பாடுகள் பிரபஞ்சத்தின் குறிப்பிட்ட அம்சங்களை விவரிக்கும் போது, ​​இந்த சமன்பாடு சாத்தியமான எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் பயன்படுத்தப்படலாம். கணித பகுப்பாய்வின் அடிப்படை தேற்றம் அடிப்படையை உருவாக்குகிறது கணித முறை, கால்குலஸ் என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதன் இரண்டு முக்கிய யோசனைகளை தொடர்புபடுத்துகிறது - ஒரு ஒருங்கிணைந்த கருத்து மற்றும் ஒரு வழித்தோன்றலின் கருத்து. தோற்றுவிக்கப்பட்டது கணித பகுப்பாய்வுபண்டைய காலங்களில், ஆனால் அனைத்து கோட்பாடுகளும் 17 ஆம் நூற்றாண்டில் ஐசக் நியூட்டனால் ஒன்றிணைக்கப்பட்டன - சூரியனைச் சுற்றியுள்ள கிரகங்களின் இயக்கத்தைக் கணக்கிடவும் விவரிக்கவும் அவற்றைப் பயன்படுத்தினார்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்

அனைவருக்கும் தெரிந்த நல்ல பழைய சமன்பாடு புகழ்பெற்ற பித்தகோரியன் தேற்றத்தை வெளிப்படுத்துகிறது, இது அனைத்து பள்ளி மாணவர்களும் வடிவியல் பாடங்களில் கற்றுக்கொள்கிறார்கள். இந்த சூத்திரம் எந்த ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திலும், அனைத்து பக்கங்களிலும் (c) நீளமான ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், கால்கள் (a மற்றும் b). இதன் விளைவாக, சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது: a^2 + b^2 = c^2. இந்த தேற்றம் பல தொடக்க கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் இயற்பியலாளர்களை அவர்கள் பள்ளியில் படிக்கும்போது ஆச்சரியப்படுத்துகிறது, மேலும் புதிய உலகம் அவர்களுக்காக என்ன சேமித்து வைத்திருக்கிறது என்று இன்னும் தெரியவில்லை.

1 = 0.999999999….

இந்த எளிய சமன்பாடு எண் 0.999, தசமப் புள்ளிக்குப் பிறகு எண்ணற்ற ஒன்பதுகளின் எண்ணிக்கையுடன், உண்மையில் ஒன்றுக்கு சமம் என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த சமன்பாடு குறிப்பிடத்தக்கது, ஏனெனில் இது மிகவும் எளிமையானது, நம்பமுடியாத காட்சியானது, ஆனால் இன்னும் பலரை ஆச்சரியப்படுத்தவும் ஆச்சரியப்படுத்தவும் நிர்வகிக்கிறது. இது உண்மையில் உண்மை என்று சிலரால் நம்ப முடியாது. மேலும், சமன்பாடு அழகாக இருக்கிறது - அதன் இடது பக்கம் கணிதத்தின் எளிய அடிப்படையைக் குறிக்கிறது, மேலும் வலது பக்கம் முடிவிலியின் ரகசியங்களையும் மர்மங்களையும் மறைக்கிறது.

சிறப்பு சார்பியல் கோட்பாடு

ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன் மீண்டும் பட்டியலை உருவாக்குகிறார், இந்த முறை அவரது சிறப்பு சார்பியல் கோட்பாட்டின் மூலம், நேரம் மற்றும் இடம் எவ்வாறு முழுமையான கருத்துக்கள் அல்ல, ஆனால் பார்ப்பவரின் வேகத்துடன் தொடர்புடையது என்பதை விவரிக்கிறது. இந்த சமன்பாடு நேரம் எவ்வாறு "விரிவடைகிறது," வேகமாக நகரும் வேகத்தை குறைக்கிறது. உண்மையில், சமன்பாடு அவ்வளவு சிக்கலானது அல்ல, எளிய வழித்தோன்றல்கள், நேரியல் இயற்கணிதம். இருப்பினும், அது உள்ளடக்கியது முற்றிலும் புதிய வழிஉலகத்தைப் பாருங்கள்.

ஆய்லரின் சமன்பாடு

இது எளிய சூத்திரம்கோளங்களின் தன்மை பற்றிய அடிப்படை அறிவை உள்ளடக்கியது. நீங்கள் ஒரு கோளத்தை வெட்டி முகங்கள், விளிம்புகள் மற்றும் முனைகளைப் பெற்றால், நீங்கள் F ஐ முகங்களின் எண்ணிக்கையாகவும், E ஐ விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையாகவும், V முனைகளின் எண்ணிக்கையாகவும் எடுத்துக் கொண்டால், நீங்கள் எப்போதும் ஒரே பொருளைப் பெறுவீர்கள் என்று அது கூறுகிறது. : V - E + F = 2. இந்தச் சமன்பாடு இப்படித்தான் தெரிகிறது. ஆச்சரியமான விஷயம் என்னவென்றால், நீங்கள் எந்த கோள வடிவத்தை எடுத்தாலும் - அது ஒரு டெட்ராஹெட்ரான், ஒரு பிரமிட் அல்லது வேறு எந்த முகங்கள், விளிம்புகள் மற்றும் முனைகளின் கலவையாக இருந்தாலும், நீங்கள் எப்போதும் அதே முடிவைப் பெறுவீர்கள். இந்த கலவையானது கோள வடிவங்களைப் பற்றிய அடிப்படையான ஒன்றை மக்களுக்குச் சொல்கிறது.

ஆய்லர்-லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடு மற்றும் நோதர் தேற்றம்

இந்த கருத்துக்கள் மிகவும் சுருக்கமானவை, ஆனால் மிகவும் சக்திவாய்ந்தவை. மிகவும் சுவாரஸ்யமான விஷயம் என்னவென்றால், இயற்பியலைப் பற்றிய இந்த புதிய சிந்தனை இந்த அறிவியலில் குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ் கண்டுபிடிப்பு, சார்பியல் கோட்பாடு மற்றும் பல புரட்சிகளைத் தக்கவைக்க முடிந்தது. இங்கே L என்பது லக்ரேஞ்ச் சமன்பாட்டைக் குறிக்கிறது, இது ஒரு இயற்பியல் அமைப்பில் உள்ள ஆற்றலின் அளவீடு ஆகும். இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அமைப்பு காலப்போக்கில் எவ்வாறு உருவாகும் என்பதை உங்களுக்குத் தெரிவிக்கும். லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாட்டின் மாறுபாடு நோத்தரின் தேற்றம் ஆகும், இது இயற்பியலுக்கும் சமச்சீர் பங்கிற்கும் அடிப்படையாகும். தேற்றத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், உங்கள் அமைப்பு சமச்சீராக இருந்தால், அதற்குரிய பாதுகாப்புச் சட்டம் பொருந்தும். உண்மையில், இந்த தேற்றத்தின் முக்கிய யோசனை இயற்பியல் விதிகள் எல்லா இடங்களிலும் பொருந்தும்.

மறுசீரமைப்பு குழு சமன்பாடு

இந்த சமன்பாடு அதன் படைப்பாளிகளின் பெயரால் காலன்-சைமான்சிக் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இது 1970 இல் எழுதப்பட்ட ஒரு முக்கிய அடிப்படை சமன்பாடு ஆகும். குவாண்டம் உலகில் அப்பாவி எதிர்பார்ப்புகள் எவ்வாறு சிதைக்கப்படுகின்றன என்பதை நிரூபிக்க இது உதவுகிறது. ஒரு அணுவின் கருவை உருவாக்கும் புரோட்டான் மற்றும் நியூட்ரானின் நிறை மற்றும் அளவை மதிப்பிடுவதற்கும் சமன்பாடு பல பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு சமன்பாடு

இந்த சமன்பாடு சோப்பு நீரில் நனைக்கும்போது கம்பியில் உருவாகும் அந்த அழகான சோப்புப் படலங்களை நம்பமுடியாத அளவிற்கு கணக்கிட்டு குறியாக்கம் செய்கிறது. இருப்பினும், இந்த சமன்பாடு அதே புலத்திலிருந்து வழக்கமான நேரியல் சமன்பாடுகளிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டது, எடுத்துக்காட்டாக, வெப்ப சமன்பாடு, அலை உருவாக்கம் மற்றும் பல. இந்த சமன்பாடு நேரியல் அல்லாதது, இது வெளிப்புற சக்திகள் மற்றும் வழித்தோன்றல் தயாரிப்புகளின் செல்வாக்கை உள்ளடக்கியது.

ஆய்லரின் வரி

எந்த முக்கோணத்தையும் எடுத்து, முக்கோணத்தை உள்ளடக்கிய சிறிய வட்டத்தை வரைந்து, அதன் மையத்தைக் கண்டறியவும். முக்கோணத்தின் வெகுஜன மையத்தைக் கண்டறியவும் - முக்கோணத்தை சமநிலைப்படுத்த அனுமதிக்கும் புள்ளி, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பென்சிலின் புள்ளியில் காகிதத்தில் இருந்து வெட்டப்பட்டால். இந்த முக்கோணத்தின் மூன்று உயரங்களை வரையவும் (அவை வரையப்பட்ட முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் கோடுகள்) மற்றும் அவற்றின் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும். தேற்றத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே நேர்கோட்டில் இருக்கும், இது தான் ஆய்லரின் நேர்கோடு. தேற்றம் கணிதத்தின் அனைத்து அழகு மற்றும் சக்தியைக் கொண்டுள்ளது, எளிமையான விஷயங்களில் அற்புதமான வடிவங்களை வெளிப்படுத்துகிறது.

52. மேலும் சிக்கலான உதாரணங்கள்சமன்பாடுகள்.
எடுத்துக்காட்டு 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1) என்பதால், பொதுப் பிரிவு x 2 – 1 ஆகும். இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x 2 – 1 ஆல் பெருக்கலாம்.

அல்லது, குறைத்த பிறகு,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 மற்றும் x = 3½

மற்றொரு சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

மேலே உள்ளபடி தீர்ப்பது, நாம் பெறுகிறோம்:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 அல்லது 2x = 2 மற்றும் x = 1.

கருதப்படும் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளிலும் x ஐக் கண்டறிந்த எண்ணுடன் மாற்றினால் நமது சமத்துவங்கள் நியாயமானதா என்பதைப் பார்ப்போம்.

முதல் உதாரணத்திற்கு நாம் பெறுகிறோம்:

எந்த சந்தேகங்களுக்கும் இடமில்லை என்பதை நாங்கள் காண்கிறோம்: தேவையான சமத்துவம் நியாயப்படுத்தப்படும் வகையில் x க்கு ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம்.

இரண்டாவது உதாரணத்திற்கு நாம் பெறுகிறோம்:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) அல்லது 5/0 – 3/2 = 15/0

இங்கே சந்தேகங்கள் எழுகின்றன: நாம் பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பதை எதிர்கொள்கிறோம், இது சாத்தியமற்றது. எதிர்காலத்தில் இந்தப் பிரிவுக்கு மறைமுகமாக இருந்தாலும் ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளைக் கொடுக்க முடிந்தால், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வு x – 1 நமது சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை ஒப்புக் கொள்ளலாம். அதுவரை, நமது சமன்பாட்டில் நேரடி அர்த்தம் கொண்ட தீர்வு இல்லை என்பதை ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும்.

சமன்பாட்டில் இருக்கும் பின்னங்களின் வகுப்பில் தெரியாதவை எப்படியாவது சேர்க்கப்படும்போது இதுபோன்ற நிகழ்வுகள் நிகழலாம், மேலும் இந்த வகைகளில் சில, தீர்வு காணப்பட்டால், பூஜ்ஜியமாக மாறும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.

இந்த சமன்பாடு ஒரு விகிதாச்சாரத்தின் வடிவத்தைக் கொண்டிருப்பதை நீங்கள் உடனடியாகக் காணலாம்: x + 3 என்ற எண்ணின் விகிதம் x - 1 என்ற எண்ணின் விகிதம் 2x + 3 என்ற எண்ணின் விகிதத்திற்கு 2x - 2. ஒருவரை அனுமதிக்கவும். இந்த சூழ்நிலையின் பார்வையில், விகிதாச்சாரத்தின் முக்கிய சொத்தாகிய பின்னங்களிலிருந்து சமன்பாட்டை விடுவிக்க இங்கே விண்ணப்பிக்க முடிவு செய்யுங்கள் (தீவிரமான சொற்களின் தயாரிப்பு நடுத்தர சொற்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்). பின்னர் அவர் பெறுவார்:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

இங்கே, சமன்பாட்டில் x 2 உடன் சொற்கள் உள்ளதால், இந்த சமன்பாட்டை நாம் சமாளிக்க மாட்டோம் என்ற அச்சம் எழலாம். இருப்பினும், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் 2x 2 ஐ கழிக்கலாம் - இது சமன்பாட்டை உடைக்காது; பின்னர் x 2 உடன் உள்ள விதிமுறைகள் அழிக்கப்படும், மேலும் நாம் பெறுவோம்:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

அறியப்படாத சொற்களை இடதுபுறமாகவும், தெரிந்தவற்றை வலதுபுறமாகவும் நகர்த்துவோம் - நாம் பெறுகிறோம்:

3x = 3 அல்லது x = 1

இந்த சமன்பாட்டை நினைவில் கொள்கிறோம்

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

x (x = 1) க்கான காணப்படும் மதிப்பு ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினையும் மறையச் செய்கிறது என்பதை உடனடியாக கவனிப்போம்; பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கும் கேள்வியை நாம் பரிசீலிக்கும் வரை அத்தகைய தீர்வை நாம் கைவிட வேண்டும்.

விகிதாச்சாரத்தின் சொத்தின் பயன்பாடு விஷயத்தை சிக்கலாக்கியுள்ளது என்பதையும், கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு பக்கங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்குவதன் மூலம் எளிமையான சமன்பாட்டைப் பெற முடியும் என்பதையும் கவனத்தில் கொண்டால், அதாவது 2(x – 1) - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, 2x – 2 = 2 (x – 1), பிறகு நாம் பெறுவோம்:

2(x + 3) = 2x – 3 அல்லது 2x + 6 = 2x – 3 அல்லது 6 = –3,

சாத்தியமற்றது.

இந்தச் சமன்பாட்டின் வகுப்புகளை பூஜ்ஜியமாக மாற்றாத நேரடிப் பொருளைக் கொண்ட எந்த தீர்வுகளும் இந்தச் சமன்பாட்டில் இல்லை என்பதை இந்தச் சூழ்நிலை சுட்டிக்காட்டுகிறது.
இப்போது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

2(x – 1) சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவோம், அதாவது ஒரு பொதுவான வகுப்பினால், நாம் பெறுகிறோம்:

6x + 10 = 2x + 18

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வு வகுப்பினை மறையச் செய்யாது மற்றும் நேரடி அர்த்தத்தைக் கொண்டுள்ளது:

அல்லது 11 = 11

ஒருவர், இரு பகுதிகளையும் 2(x – 1) ஆல் பெருக்குவதற்குப் பதிலாக, விகிதாச்சாரத்தின் சொத்தைப் பயன்படுத்தினால், அவர்கள் பெறுவார்கள்:

(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) அல்லது
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

இங்கே x 2 உடன் உள்ள விதிமுறைகள் அழிக்கப்படாது. அறியப்படாத அனைத்து சொற்களையும் இடது பக்கமாகவும், தெரிந்தவற்றை வலப்புறமாகவும் நகர்த்தினால், நாம் பெறுவோம்

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

இப்போது நாம் இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க முடியாது. எதிர்காலத்தில், அத்தகைய சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது மற்றும் அதற்கு இரண்டு தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்: 1) நீங்கள் x = 2 மற்றும் 2 ஐ எடுக்கலாம்) நீங்கள் x = 1 ஐ எடுக்கலாம். இரண்டு தீர்வுகளையும் சரிபார்ப்பது எளிது:

1) 2 2 – 3 2 = –2 மற்றும் 2) 1 2 – 3 1 = –2

ஆரம்ப சமன்பாட்டை நாம் நினைவில் வைத்திருந்தால்

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

இப்போது நாம் அதன் இரண்டு தீர்வுகளையும் பெறுகிறோம் என்பதைக் காண்போம்: 1) x = 2 என்பது நேரடி அர்த்தத்தைக் கொண்ட தீர்வு மற்றும் வகுப்பினை பூஜ்ஜியமாக மாற்றாது, 2) x = 1 என்பது வகுப்பினை பூஜ்ஜியமாக மாற்றும் தீர்வு மற்றும் நேரடி அர்த்தம் இல்லை .

எடுத்துக்காட்டு 3.

இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள பின்னங்களின் பொதுவான வகுப்பினை ஒவ்வொரு வகுப்பினையும் காரணியாக்குவதன் மூலம் கண்டுபிடிப்போம்:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

பொதுவான வகுத்தல் (x – 3)(x – 2)(x + 1).

இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவோம் (இப்போது அதை மீண்டும் எழுதலாம்:

ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் (x – 3) (x – 2) (x + 1). பின்னர், ஒவ்வொரு பகுதியையும் குறைத்த பிறகு நாம் பெறுகிறோம்:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) அல்லது
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்:

–x = –13 மற்றும் x = 13.

இந்த தீர்வுக்கு நேரடி அர்த்தம் உள்ளது: இது எந்த வகுப்பினையும் மறையச் செய்யாது.

நாம் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டால்:

பிறகு, மேலே சொன்னதைப் போலவே செய்தால், நாம் பெறுவோம்

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

நீங்கள் அதை எங்கிருந்து பெறுவீர்கள்?

சாத்தியமற்றது. இந்தச் சூழல், நேரடிப் பொருளைக் கொண்ட கடைசி சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வைக் காண இயலாது என்பதைக் காட்டுகிறது.

முதலியன, மற்ற வகைகளின் சமன்பாடுகளுடன் பழகுவது தர்க்கரீதியானது. வரிசையில் அடுத்தது நேரியல் சமன்பாடுகள், 7 ஆம் வகுப்பில் இயற்கணிதம் பாடங்களில் தொடங்கும் இலக்கு ஆய்வு.

ஒரு நேரியல் சமன்பாடு என்றால் என்ன என்பதை முதலில் நீங்கள் விளக்க வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது, ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டின் வரையறை, அதன் குணகங்கள், அதைக் காட்டுங்கள் பொதுவான பார்வை. குணகங்களின் மதிப்புகள் மற்றும் வேர்கள் எவ்வாறு காணப்படுகின்றன என்பதைப் பொறுத்து ஒரு நேரியல் சமன்பாடு எத்தனை தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். இது எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்ல உங்களை அனுமதிக்கும், மேலும் கற்றறிந்த கோட்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கும். இந்த கட்டுரையில் நாம் இதைச் செய்வோம்: நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுகள் தொடர்பான அனைத்து தத்துவார்த்த மற்றும் நடைமுறை புள்ளிகளிலும் விரிவாக வாழ்வோம்.

இங்கே நாம் ஒரு மாறியுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம் என்று இப்போதே கூறுவோம், மேலும் ஒரு தனி கட்டுரையில் தீர்வின் கொள்கைகளைப் படிப்போம். இரண்டு மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகள்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

நேரியல் சமன்பாடு என்றால் என்ன?

ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டின் வரையறை அது எழுதப்பட்ட முறையால் வழங்கப்படுகிறது. மேலும், வெவ்வேறு கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதம் பாடப்புத்தகங்களில், நேரியல் சமன்பாடுகளின் வரையறைகளின் சூத்திரங்கள் சிக்கலின் சாரத்தை பாதிக்காத சில வேறுபாடுகளைக் கொண்டுள்ளன.

எடுத்துக்காட்டாக, தரம் 7க்கான இயற்கணிதப் பாடப்புத்தகத்தில் யு.என்.மகரிச்சேவ் மற்றும் பலர்., ஒரு நேரியல் சமன்பாடு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:

வரையறை.

படிவத்தின் சமன்பாடு a x=b, x என்பது ஒரு மாறி, a மற்றும் b ஆகியவை சில எண்கள், அழைக்கப்படுகிறது ஒரு மாறியுடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாடு.

கூறப்பட்ட வரையறையை சந்திக்கும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம். எடுத்துக்காட்டாக, 5 x = 10 என்பது ஒரு மாறி x உடன் நேரியல் சமன்பாடு ஆகும், இங்கே குணகம் a 5 மற்றும் எண் b 10 ஆகும். மற்றொரு உதாரணம்: −2.3·y=0 என்பது ஒரு நேரியல் சமன்பாடாகும், ஆனால் ஒரு மாறி y உடன், இதில் a=−2.3 மற்றும் b=0. மேலும் நேரியல் சமன்பாடுகளில் x=−2 மற்றும் -x=3.33 a ஆகியவை வெளிப்படையாக இல்லை, மேலும் அவை முறையே 1 மற்றும் −1 க்கு சமமாக இருக்கும், அதே சமயம் முதல் சமன்பாட்டில் b=−2, மற்றும் இரண்டாவது - b=3.33.

ஒரு வருடம் முன்பு, என். யாவின் கணிதப் பாடப்புத்தகத்தில், ஒரு x = b வடிவத்தின் சமன்பாடுகளுக்கு கூடுதலாக, அறியப்படாத ஒன்றைக் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகள், ஒரு பகுதியிலிருந்து சொற்களை மாற்றுவதன் மூலம் இந்த வடிவத்திற்கு கொண்டு வரக்கூடிய சமன்பாடுகளாகவும் கருதப்படுகின்றன. எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் மற்றொரு சமன்பாட்டின் சமன்பாடு, அதே போல் ஒத்த சொற்களைக் குறைப்பதன் மூலம். இந்த வரையறையின்படி, 5 x = 2 x + 6 போன்ற வடிவத்தின் சமன்பாடுகள். மேலும் நேரியல்.

இதையொட்டி, ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச்சின் 7 ஆம் வகுப்புக்கான அல்ஜீப்ரா பாடப்புத்தகத்தில் பின்வரும் வரையறை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

வரையறை.

ஒரு மாறி x உடன் நேரியல் சமன்பாடு a·x+b=0 என்ற வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், இதில் a மற்றும் b ஆகியவை நேரியல் சமன்பாட்டின் குணகங்கள் எனப்படும் சில எண்கள்.

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த வகையின் நேரியல் சமன்பாடுகள் 2 x−12=0, இங்கே குணகம் a 2, மற்றும் b என்பது −12, மற்றும் 0.2 y+4.6=0 குணகங்களுடன் a=0.2 மற்றும் b =4.6. ஆனால் அதே நேரத்தில், a·x+b=0 அல்ல, ஆனால் a·x=b, எடுத்துக்காட்டாக, 3·x=12 வடிவத்தைக் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன.

ஒரு மாறி x மற்றும் குணகங்கள் a மற்றும் b கொண்ட நேரியல் சமன்பாட்டின் மூலம், எதிர்காலத்தில் நமக்கு எந்த முரண்பாடுகளும் ஏற்படாமல் இருக்க, a x + b = 0 வடிவத்தின் சமன்பாட்டைப் புரிந்துகொள்வோம். நேரியல் சமன்பாடுகள் என்பதால், இந்த வகை நேரியல் சமன்பாடு மிகவும் நியாயமானதாகத் தெரிகிறது இயற்கணித சமன்பாடுகள் முதல் பட்டம். மேலும் மேலே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள மற்ற அனைத்து சமன்பாடுகளும், சமமான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, ஒரு x + b = 0 வடிவத்தில் குறைக்கப்படும் சமன்பாடுகள், நாம் அழைப்போம் நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கு குறைக்கும் சமன்பாடுகள். இந்த அணுகுமுறையுடன், சமன்பாடு 2 x+6=0 ஒரு நேரியல் சமன்பாடு, மற்றும் 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, முதலியன. - இவை நேரியல் ஒன்றைக் குறைக்கும் சமன்பாடுகள்.

நேரியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

இப்போது நேரியல் சமன்பாடுகள் a·x+b=0 எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைக் கண்டறியும் நேரம் வந்துவிட்டது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் உள்ளதா, அப்படியானால், அவற்றில் எத்தனை மற்றும் அவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கண்டறிய வேண்டிய நேரம் இது.

நேரியல் சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு a மற்றும் b குணகங்களின் மதிப்புகளைப் பொறுத்தது. இந்த வழக்கில், நேரியல் சமன்பாடு a x+b=0 உள்ளது

• a≠0க்கான ஒரே ரூட்,
• a=0 மற்றும் b≠0க்கு வேர்கள் இல்லை,
• a=0 மற்றும் b=0 க்கு எண்ணற்ற பல வேர்கள் உள்ளன, இதில் எந்த எண்ணும் நேரியல் சமன்பாட்டின் மூலமாகும்.

இந்த முடிவுகள் எவ்வாறு பெறப்பட்டன என்பதை விளக்குவோம்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, அசல் சமன்பாட்டிலிருந்து சமமான சமன்பாடுகளுக்கு, அதாவது, அதே வேர்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகளுக்கு அல்லது அசல் ஒன்றைப் போலவே, வேர்கள் இல்லாமல் செல்லலாம் என்பதை நாம் அறிவோம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் பின்வரும் சமமான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தலாம்:

• சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு எதிர் அடையாளத்துடன் ஒரு சொல்லை மாற்றுதல்,
• அத்துடன் ஒரு சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரே பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்குதல் அல்லது வகுத்தல்.

எனவே, a·x+b=0 என்ற வடிவத்தின் ஒரு மாறியுடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாட்டில், எதிர் குறியுடன் b என்ற வார்த்தையை இடது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கமாக நகர்த்தலாம். இந்த வழக்கில், சமன்பாடு a·x=−b வடிவத்தை எடுக்கும்.

பின்னர் அது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் a என்ற எண்ணால் வகுக்கும் கேள்வியைக் கேட்கிறது. ஆனால் ஒன்று உள்ளது: எண் a பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம், இதில் அத்தகைய பிரிவு சாத்தியமற்றது. இந்தச் சிக்கலைச் சமாளிக்க, முதலில் a எண் பூஜ்ஜியமற்றது என்று கருதுவோம், மேலும் சிறிது நேரம் கழித்து தனித்தனியாக பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எனவே, a என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இல்லாதபோது, ​​a·x=−b என்ற சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுக்க முடியும், அதன் பிறகு அது x=(-b):a வடிவத்திற்கு மாறும், இந்த முடிவை எழுதலாம். பகுதியளவு சாய்வாகப் பயன்படுத்துகிறது.

எனவே, a≠0 க்கு, a·x+b=0 என்ற நேர்கோட்டுச் சமன்பாடு அதன் மூலத்தைக் காணக்கூடிய சமன்பாட்டிற்குச் சமமானது.

இந்த ரூட் தனித்துவமானது, அதாவது நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு வேறு வேர்கள் இல்லை என்பதைக் காட்டுவது எளிது. இது எதிர் முறையைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

மூலத்தை x 1 ஆகக் குறிப்போம். x 2 மற்றும் x 2 ≠x 1 என நாம் குறிக்கும் நேரியல் சமன்பாட்டின் மற்றொரு வேர் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். வரையறைகள் சம எண்கள்வேறுபாடு மூலம் x 1 - x 2 ≠0 நிபந்தனைக்கு சமம். x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை a·x+b=0 என்ற நேர்கோட்டுச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்பதால், எண்ணியல் சமன்பாடுகள் a·x 1 +b=0 மற்றும் a·x 2 +b=0 ஆகியவை உள்ளன. இந்த சமத்துவங்களின் தொடர்புடைய பகுதிகளை நாம் கழிக்கலாம், எண் சமத்துவங்களின் பண்புகள் நம்மைச் செய்ய அனுமதிக்கின்றன, எங்களிடம் a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 உள்ளது, அதில் இருந்து a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 பின்னர் a·(x 1 -x 2)=0 . ஆனால் இந்த சமத்துவம் சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் a≠0 மற்றும் x 1 - x 2 ≠0. எனவே நாம் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்தோம், இது a≠0க்கான a·x+b=0 என்ற நேரியல் சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தனித்தன்மையை நிரூபிக்கிறது.

எனவே a≠0க்கான நேரியல் சமன்பாட்டை a·x+b=0 தீர்த்தோம். இந்த பத்தியின் ஆரம்பத்தில் கொடுக்கப்பட்ட முதல் முடிவு நியாயமானது. a=0 நிபந்தனையை சந்திக்க இன்னும் இரண்டு உள்ளன.

a=0 போது, ​​நேரியல் சமன்பாடு a·x+b=0 ஆனது 0·x+b=0 வடிவத்தை எடுக்கும். இந்த சமன்பாடு மற்றும் எண்களை பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கும் குணத்தின் அடிப்படையில், நாம் எந்த எண்ணை x ஆக எடுத்துக் கொண்டாலும், அதை 0 x + b=0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு மாற்றும் போது, ​​எண் சமத்துவம் b=0 பெறப்படும். இந்த சமத்துவம் b=0 ஆக இருக்கும், மற்ற சமயங்களில் b≠0 போது இந்த சமத்துவம் தவறானது.

எனவே, a=0 மற்றும் b=0 உடன், எந்த எண்ணும் a·x+b=0 என்ற நேரியல் சமன்பாட்டின் மூலமாகும், ஏனெனில் இந்த நிபந்தனைகளின் கீழ், x க்கு எந்த எண்ணையும் மாற்றினால் சரியான எண் சமத்துவம் 0=0 கிடைக்கும். மேலும் a=0 மற்றும் b≠0 ஆகிய போது, ​​நேரியல் சமன்பாடு a·x+b=0க்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் இந்த நிலைமைகளின் கீழ், x க்கு எந்த எண்ணையும் மாற்றினால் தவறான எண் சமத்துவம் b=0 க்கு வழிவகுக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட நியாயப்படுத்தல்கள் எந்த நேரியல் சமன்பாட்டையும் தீர்க்க அனுமதிக்கும் செயல்களின் வரிசையை உருவாக்க அனுமதிக்கின்றன. எனவே, நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைஎன்பது:

• முதலில், நேரியல் சமன்பாட்டை எழுதுவதன் மூலம், a மற்றும் b குணகங்களின் மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்.
• a=0 மற்றும் b=0 எனில், இந்த சமன்பாடு எண்ணற்ற பல வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, எந்த எண்ணும் இந்த நேரியல் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமாகும்.
• a என்றால் பூஜ்ஜியம் அல்ல
• குணகம் b எதிர் குறியுடன் வலது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது, மேலும் நேரியல் சமன்பாடு a·x=−b வடிவத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது,
• இதன் விளைவாக சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற எண் a ஆல் வகுக்கப்படுகின்றன, இது அசல் நேரியல் சமன்பாட்டின் விரும்பிய மூலத்தை அளிக்கிறது.

எழுதப்பட்ட வழிமுறையானது நேரியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்ற கேள்விக்கு ஒரு விரிவான பதில்.

இந்த புள்ளியின் முடிவில், a·x=b வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இதேபோன்ற அல்காரிதம் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்று சொல்வது மதிப்பு. அதன் வித்தியாசம் என்னவென்றால், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் உடனடியாக இந்த எண்ணால் வகுக்கப்படும்போது, ​​​​இங்கே b ஏற்கனவே சமன்பாட்டின் தேவையான பகுதியில் உள்ளது மற்றும் அதை மாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை.

a x = b வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, பின்வரும் அல்காரிதம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

• a=0 மற்றும் b=0 எனில், சமன்பாடு எண்ணற்ற பல வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஏதேனும் எண்களாகும்.
• a=0 மற்றும் b≠0 எனில், அசல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.
• a என்பது பூஜ்ஜியமல்ல எனில், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண் a ஆல் வகுக்கப்படும், இதில் இருந்து சமன்பாட்டின் ஒரே வேர் b/a க்கு சமமாக இருக்கும்.

நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பயிற்சிக்கு செல்லலாம். நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம். தொடர்புடைய பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு தீர்வுகளை வழங்குவோம் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்நேரியல் சமன்பாடுகளின் குணகங்கள்.

உதாரணம்.

நேரியல் சமன்பாட்டை 0·x−0=0 தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த நேரியல் சமன்பாட்டில், a=0 மற்றும் b=−0 , இது b=0 க்கு சமம். எனவே, இந்த சமன்பாடு எண்ணற்ற பல வேர்களைக் கொண்டுள்ளது;

பதில்:

x - எந்த எண்.

உதாரணம்.

நேரியல் சமன்பாடு 0 x + 2.7 = 0 தீர்வுகள் உள்ளதா?

தீர்வு.

இந்த வழக்கில், குணகம் a பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மேலும் இந்த நேரியல் சமன்பாட்டின் குணகம் b 2.7 க்கு சமம், அதாவது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. எனவே, ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.