நேரியல் சமன்பாடுகள். தீர்வு, எடுத்துக்காட்டுகள். சமன்பாடுகளின் மிகவும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகள்

வேலையின் உரை படங்கள் மற்றும் சூத்திரங்கள் இல்லாமல் வெளியிடப்படுகிறது.
முழு பதிப்புவேலை "பணி கோப்புகள்" தாவலில் PDF வடிவத்தில் கிடைக்கும்

அறிமுகம்

"சமன்பாடு என்பது அனைத்து கணித எள்களையும் திறக்கும் தங்க விசை"

எஸ். கோவல்

பள்ளியில் பெற்ற கணிதக் கல்வி வாழ்க்கையின் மிக முக்கியமான பகுதியாகும். நவீன மனிதன். நம்மைச் சுற்றியுள்ள அனைத்தும் எப்படியாவது கணிதத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பல நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வருகிறது.

முழு இயற்கணித பாடத்தின் மிக விரிவான தலைப்பு சமன்பாடுகள். கடந்த காலத்தில் கல்வி ஆண்டுஇயற்கணிதம் பாடங்களில் இருபடி சமன்பாடுகள் பற்றி கற்றுக்கொண்டோம். கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் மற்றும் வேதியியல் ஆகிய இரண்டிலும் பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் இருபடிச் சமன்பாடுகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பள்ளிக் கணிதப் பாடமானது அடிப்படைப் பாடங்களை உள்ளடக்கியது தீர்வுகள்இருபடி சமன்பாடுகள். இருப்பினும், இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பிற நுட்பங்கள் உள்ளன, அவற்றில் சில அவற்றை விரைவாகவும் பகுத்தறிவு ரீதியாகவும் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

8-9 வகுப்புகளில் உள்ள 84 மாணவர்களிடையே இரண்டு கேள்விகளின் அடிப்படையில் நாங்கள் ஒரு கணக்கெடுப்பை நடத்தினோம்:

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான என்ன முறைகள் உங்களுக்குத் தெரியும்?

எவற்றை நீங்கள் அடிக்கடி பயன்படுத்துகிறீர்கள்?

கணக்கெடுப்பு முடிவுகளின் அடிப்படையில், பின்வரும் முடிவுகள் பெறப்பட்டன:

பெறப்பட்ட முடிவுகளை பகுப்பாய்வு செய்த பின்னர், இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது பெரும்பாலான மாணவர்கள் ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகின்றனர் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது பற்றி போதுமான அளவு அறிந்திருக்கவில்லை என்ற முடிவுக்கு வந்தோம்.

எனவே, நாங்கள் தேர்ந்தெடுத்த தலைப்பு பொருத்தமானது.

நாமே அமைத்துக் கொண்டோம் இலக்கு: ஆராயுங்கள் வழக்கத்திற்கு மாறான முறைகள்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, 8 மற்றும் 9 ஆம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துகிறது பல்வேறு வழிகளில்தீர்வுகள், பகுத்தறிவுத் தீர்வைத் தேர்ந்தெடுக்கும் திறனை வளர்த்தல் இருபடி சமன்பாடு.

இந்த இலக்கை அடைய, நீங்கள் பின்வருவனவற்றை தீர்க்க வேண்டும் பணிகள்:

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பல்வேறு வழிகளைப் பற்றிய தகவல்களைச் சேகரித்தல்,

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வுகளை மாஸ்டர்,

எக்செல் இல் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு நிரலை உருவாக்கவும்,

இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான தரமற்ற முறைகளில் பாடம் அல்லது பாடநெறிக்கு அப்பாற்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான உபதேசப் பொருட்களை உருவாக்குதல்,

8-9 வகுப்புகளில் படிக்கும் மாணவர்களுடன் "இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அசாதாரண வழிகள்" என்ற பாடத்தை நடத்துங்கள்.

ஆய்வின் பொருள்: இருபடி சமன்பாடுகள்.

ஆய்வு பொருள்: இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க பல்வேறு வழிகள்.

கணித பாடங்களில் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நுட்பங்கள் மற்றும் முறைகளின் வங்கியைப் பயன்படுத்துவதற்கான சாத்தியக்கூறுகளில் வேலையின் நடைமுறை முக்கியத்துவம் உள்ளது என்று நாங்கள் நம்புகிறோம். சாராத நடவடிக்கைகள், அத்துடன் 8-9 வகுப்புகளில் உள்ள மாணவர்களை இந்த விஷயத்துடன் பழக்கப்படுத்துதல்.

அத்தியாயம் 1. குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழக்கத்திற்கு மாறான முறைகள்

1. 1. திறன்களின் பண்புகள் (a,b,c)

முறை குணகங்களின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது a,b,c:

என்றால் a+b+c=0,பின்னர் = 1, =

எடுத்துக்காட்டு:

-6x 2 + 2x +4=0,பின்னர் = 1, = = .

என்றால் a - b+c=0,பின்னர் = -1, = -

எடுத்துக்காட்டு:

2017x 2 + 2001x +16 =0,பின்னர் = -1, -.

1. 1. திறன்களின் சார்புகள் (a,b,c)

குணகங்களின் பின்வரும் சார்புகள் செல்லுபடியாகும்: a,b,c:

b=a 2 +1, c=a என்றால் x 1 =-a; x 2 = - .

b=-(a 2 +1), a=c எனில், x 1 =a; x 2 =.

b=a 2 -1, c=-a எனில், x 1 =-a; x 2 = .

b=-(a 2 -1), -a=c என்றால், x 1 =a; x 2 = - .

பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்போம்:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. முக்கிய திறன்களின் "போக்குவரத்து"

குணகம் ஏஇலவச வார்த்தையால் பெருக்கப்படுகிறது, அதற்கு "எறியப்பட்டது", அதனால்தான் இது "எறிதல்" முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அடுத்து, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்கள் காணப்படுகின்றன. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்கள் முன்னர் மாற்றப்பட்ட குணகத்தால் வகுக்கப்படுகின்றன, இதற்கு நன்றி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் காண்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

இலவச காலத்திற்கு குணகம் 2 ஐ "தூக்கி" விடுவோம், இதன் விளைவாக நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

மணிக்கு 2 - 3у + 2 = 0.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி

மணிக்கு 1 = 2, x 1 = 2/2 , x 1 = 1,

மணிக்கு 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

பதில்: 0.5; 1.

1. 1. தீர்வுக்கான வரைகலை முறை

சமன்பாட்டில் இருந்தால் a x 2 + bx + c= 0 இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்களை வலது பக்கம் நகர்த்தினால், நமக்கு a கிடைக்கும் x 2 = -bx-c .

சார்பு வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் மணிக்கு= கோடாரி 2 மற்றும் மணிக்கு= -bx-cஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்.

முதல் சார்பின் வரைபடம் தோற்றம் வழியாக செல்லும் ஒரு பரவளையமாகும். இரண்டாவது சார்பின் வரைபடம் நேராக உள்ளது.

பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு பரவளையம் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டலாம், வெட்டுப்புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ்கள் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்;

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு பரவளையம் தொடலாம் (ஒரே ஒரு பொதுவான புள்ளி), அதாவது. சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது;

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு பரவளையத்திற்கு பொதுவான புள்ளிகள் இல்லை, அதாவது. ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்போம்:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 = - 2x + 3

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், y = x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், y = - 2x + 3 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் உருவாக்குவோம். குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிசாஸைக் குறிப்பதன் மூலம், நாம் பதிலைப் பெறுகிறோம்.

பதில்: x 1 = - 3, x 2 = 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 = - 6x - 9

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், y = x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், y = -6x - 9 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் உருவாக்குவோம். தொடு புள்ளியின் abscissaவைக் குறிப்பிட்டு, விடையைப் பெறுவோம்.

பதில்: x= - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y = 2x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் உருவாக்குவோம்.

பரவளைய y = 2x 2 மற்றும் நேர்கோட்டில் y = - 4x - 7 ஆகியவை பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை, எனவே சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

1. 1. திசைகாட்டிகள் மற்றும் ஆட்சியாளர்களைப் பயன்படுத்தி குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

aх 2 +bх+c=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

புள்ளிகளை உருவாக்குவோம் S(-b:2a,(a+c):2a) - வட்டத்தின் மையம் மற்றும் புள்ளி A(0,1).

SA ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை வரையவும்.

ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ்கள் அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

இந்த வழக்கில், மூன்று வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1) வட்டத்தின் ஆரம் மையத்தின் ஆர்டினேட்டை விட அதிகமாக உள்ளது ( AS>SK, அல்லது ஆர்>), வட்டம் அச்சை வெட்டுகிறது ஓஇரண்டு புள்ளிகளில்..B( எக்ஸ் 1 ; 0) மற்றும் D(x 2 ;0), எங்கே எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 - இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் ஓ 2 + bx + c = 0.

2) வட்டத்தின் ஆரம் மையத்தின் ஆர்டினேட்டுக்கு சமம் ( AS = SВ, அல்லது ஆர்=), வட்டம் அச்சைத் தொடுகிறது ஓபுள்ளி B( எக்ஸ் 1 ; 0), எங்கே எக்ஸ் 1 - இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்.

3) வட்டத்தின் ஆரம் மையத்தின் ஆர்டினேட்டை விட குறைவாக உள்ளது ( AS< SВ , அல்லது ஆர்< ), வட்டத்திற்கு x- அச்சுடன் பொதுவான புள்ளிகள் இல்லை, இந்த வழக்கில் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு இல்லை.

A) AS > SВஅல்லது ஆர்>, b) AS = SВஅல்லது ஆர்= V) AS< SВ, அல்லது ஆர்< .

இரண்டு தீர்வுகள் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 . ஒரு தீர்வு எக்ஸ் 1.. தீர்வு இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.

தீர்வு:

ஆரம் வட்டம் வரைவோம் எஸ்.ஏ.எங்கே ஏ (0;1).

பதில்: x 1 = 1, x 2 = 3.

எடுத்துக்காட்டு 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

தீர்வு: S: x=3, y=5 இன் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம்.

பதில்: x=3.

எடுத்துக்காட்டு 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

தீர்வு:வட்ட மையத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள்: x= - 2 மற்றும் y = 3.

பதில்: வேர்கள் இல்லை

1. 1. நோமோகிராம் பயன்படுத்தி தீர்வு

நோமோகிராம் (கிரேக்க மொழியில் இருந்து “நோமோஸ்” - சட்டம் மற்றும் கிராம்), பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவம், இது கணக்கீடுகள் இல்லாமல் செயல்பாட்டு சார்புகளைப் படிக்க எளிய வடிவியல் செயல்பாடுகளை (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்துதல்) பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தாமல் இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது.

இது ஒரு பழைய மற்றும் இப்போது மறந்துவிட்ட இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறையாகும், இது தொகுப்பின் பக்கம் 83 இல் உள்ளது: பிராடிஸ் வி.எம். "நான்கு இலக்க கணித அட்டவணைகள்." - எம்., "ட்ரோஃபா", 2000. அட்டவணை XXII. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான நோமோகிராம் z 2 + pz + q = 0(இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்).

இந்த நோமோகிராம் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்காமல், அதன் குணகங்களிலிருந்து சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது.

நோமோகிராமின் வளைவு அளவுகோல் சூத்திரங்களின்படி கட்டப்பட்டுள்ளது: OB= , ஏபி =

நம்புவது OS = p, ED = q, OE = a(அனைத்தும் செ.மீ.), முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து SANமற்றும் CDFமாற்றீடுகள் மற்றும் எளிமைப்படுத்தல்களுக்குப் பிறகு, z 2 + pz + q = 0 என்ற சமன்பாட்டைப் பின்பற்றும் விகிதத்தைப் பெறுகிறோம், மேலும் z என்ற எழுத்து வளைவு அளவில் எந்தப் புள்ளியின் அடையாளத்தையும் குறிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

p அளவுகோலில் நாம் குறி -9, மற்றும் q அளவு குறி 8 ஐக் காண்கிறோம். இந்த மதிப்பெண்கள் மூலம் நாம் ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம், இது 1 மற்றும் 8 மதிப்பெண்களில் நோமோகிராமின் வளைந்த அளவை வெட்டுகிறது. எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்கள் 1 ஆகும். மற்றும் 8.

பதில்: 1; 8.

இந்த சமன்பாடுதான் பக்கம் 83 இல் உள்ள பிராடிஸ் அட்டவணையில் தீர்க்கப்படுகிறது (பின் இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்).

எடுத்துக்காட்டு 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

இந்த சமன்பாட்டின் குணகங்களை 2 ஆல் வகுத்தால், நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

z 2 - 4.5z + 1 = 0.நோமோகிராம் வேர்களைக் கொடுக்கிறது z 1 = 4 மற்றும் z 2 = 0,5.

பதில்: 4; 0.5

எடுத்துக்காட்டு 3:x 2 - 25x + 66 = 0

p மற்றும் q குணகங்கள் அளவில் இல்லை. மாற்றீடு செய்வோம் x = 5z, நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

z 2 - 5z + 2.64 = 0,

நாம் ஒரு நோமோகிராம் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம்.

எங்களுக்கு z கிடைக்கும் 1 = 0,6 மற்றும் z 2 = 4,4,

எங்கே x 1 = 5z 1 = 3,0 மற்றும் x 2 = 5z 2 = 22,0.

பதில்: 3; 22.

எடுத்துக்காட்டு 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , ஏ எதிர்மறை வேர்இலிருந்து நேர்மறை மூலத்தைக் கழிப்பதன் மூலம் கண்டுபிடிக்கவும் - ப , அந்த. z 2 = - ப -1= - 5 - 1= -6.

பதில்: 1; -6.

எடுத்துக்காட்டு 5: z 2 - 2z - 8 = 0,நோமோகிராம் நேர்மறை z ரூட்டை வழங்குகிறது 1 =4, மற்றும் எதிர்மறையானது z க்கு சமம் 2 = - ப -4 =

= 2 - 4= -2.

பதில்: 4; -2.

அத்தியாயம் 2. EXCEL ஐப் பயன்படுத்தி ரூட் ஃபார்முலாக்கள் மூலம் ஒரு குவாட்ரேட் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க ஒரு திட்டத்தை உருவாக்க முடிவு செய்தோம் எக்செல் பயன்படுத்தி- இது பரவலாக உள்ளது கணினி நிரல். கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளவும், அட்டவணைகள் மற்றும் வரைபடங்களை தொகுக்கவும், எளிமையானவை மற்றும் கணக்கிடவும் இது தேவைப்படுகிறது சிக்கலான செயல்பாடுகள். இது Microsoft Office தொகுப்பின் ஒரு பகுதியாகும்.

எக்செல் தாள் சூத்திரங்களைக் காட்டுகிறது:

எக்செல் தாள் காண்பிக்கப்படுகிறது உறுதியான உதாரணம்இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள் x 2 - 14x - 15 = 0:

அத்தியாயம் 3. குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வெவ்வேறு வழிகளின் ஒப்பீடு

"இயற்கணிதம் படிக்கும் ஒருவருக்கு மூன்று அல்லது நான்கு வெவ்வேறு பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதை விட ஒரே பிரச்சனையை மூன்று வெவ்வேறு வழிகளில் தீர்ப்பது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்பது பல்வேறு முறைகள், எது குறுகியது மற்றும் அதிக திறன் கொண்டது என்பதை ஒப்பீடுகள் மூலம் நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். இப்படித்தான் அனுபவம் உருவாகிறது."

வால்டர் வார்விக் சாயர்

வேலையின் போது, ​​நாங்கள் பொருட்களை சேகரித்து, இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க (வேர்களைக் கண்டறிய) வழிகளைப் படித்தோம். வெவ்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பின் இணைப்பு 2 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

படிக்கிறது வெவ்வேறு வழிகளில்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம், ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான மிகவும் பயனுள்ள மற்றும் பகுத்தறிவு விருப்பத்தை நீங்கள் தேர்வு செய்யலாம் என்று நாங்கள் முடிவு செய்தோம். ஒவ்வொரு தீர்வும் தனிப்பட்டது மற்றும் சில சந்தர்ப்பங்களில் வசதியானது. சில தீர்வு முறைகள் நேரத்தைச் சேமிக்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன, இது OGE இல் பணிகளைத் தீர்க்கும் போது முக்கியமானது, மற்றவை மிகப் பெரிய குணகங்களுடன் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க உதவுகின்றன. ஒவ்வொரு முறையின் நன்மை தீமைகளையும் பிரதிபலிக்கும் அட்டவணையை தொகுத்து வெவ்வேறு தீர்வு முறைகளை ஒப்பிட முயற்சித்தோம்.

நாங்கள் கையேடுகளை உருவாக்கியுள்ளோம். பின் இணைப்பு 3 இல் உள்ள தலைப்பில் பணிகளின் வங்கியை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

பயன்படுத்தி மைக்ரோசாப்ட் எக்செல், ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தானாகக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கும் விரிதாளை நாங்கள் தொகுத்துள்ளோம்.

9 ஆம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கு இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அசாதாரண வழிகளைப் பற்றி நாங்கள் பாடம் நடத்தினோம். மாணவர்கள் இந்த முறைகளை மிகவும் விரும்பினர்; பாடத்தின் முடிவு மாணவர்களின் வேலை, அதில் அவர்கள் வழங்கினர் பல்வேறு விருப்பங்கள்இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது (பின் இணைப்பு 4 ஐப் பார்க்கவும்).

கணிதத்தை விரும்புவோர் மற்றும் கணிதத்தைப் பற்றி மேலும் அறிய விரும்புவோர் இருவரும் பணிப் பொருளைப் பயன்படுத்தலாம்.

இலக்கியம்

பிராடிஸ் வி.எம். "நான்கு இலக்க கணித அட்டவணைகள் உயர்நிலைப் பள்ளி", எம்.: பஸ்டர்ட், 2000.

விலென்கின் என்.யா. "8 ஆம் வகுப்புக்கான அல்ஜீப்ரா", எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனி, 2000.

கலிட்ஸ்கி எம்.எல். "இயற்கணிதத்தில் சிக்கல்களின் சேகரிப்பு", எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனி 2002.

Glazer G. I. "பள்ளியில் கணிதத்தின் வரலாறு", எம்.: ப்ரோஸ்வெஷ்செனி, 1982.

ஸ்வாவிச் எல்.ஐ. “இயற்கணிதம் 8ஆம் வகுப்பு”, எம்.: மெனிமோசைன், 2002.

மகரிச்சேவ் யு.என். "இயற்கணிதம் 8 ஆம் வகுப்பு", எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனி, 2015.

ப்ளூஸ்னிகோவ் I. "இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க 10 வழிகள்" // பள்ளியில் கணிதம். - 2000.- எண். 40.

பிரஸ்மேன் ஏ.ஏ. "ஒரு திசைகாட்டி மற்றும் ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது"//எம்., குவாண்ட், எண். 4/72, ப.34.

சவின் ஏ.பி. " கலைக்களஞ்சிய அகராதிஇளம் கணிதவியலாளர்"

எம்.: கல்வியியல், 1989.

இணைய ஆதாரங்கள்:

http://revolution.allbest.ru/

பின் இணைப்பு 1

"பிராடிஸ் V.M சேகரிப்பு."

பின் இணைப்பு 2

"எல்லா வழிகளிலும் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது"

அசல் சமன்பாடு:4x 2 +3x -1 = 0.

1.பாகுபாடு D ஐப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

4x 2 +3x -1 = 0

D=பி 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, =>சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. வியட்டாவின் தேற்றம்

4x 2 +3x -1 = 0,சமன்பாட்டை 4 ஆல் வகுத்தால் அது குறைக்கப்படும்

எக்ஸ் 2 +x -=0

எக்ஸ் 1 = -1

எக்ஸ் 2 =

3. முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2х *+)-1=0

(2x +) 2 -=0

(2x + -)(2x + +)=0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

எக்ஸ் 1 = x 2 = -1

4. குழுவாக்கும் முறை

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,காரணிகளில் ஒன்று =0 என்றால் தயாரிப்பு =0

(4x-1)=0 (x+1)=0

எக்ஸ் 1 = x 2 = -1

5. குணகங்களின் பண்புகள்

4x 2 +3x -1 = 0

a - b+c=0 எனில், = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. முக்கிய குணகம் "எறிந்து" முறை

4x 2 +3x -1 = 0

ஒய் 2 +3y - 4 = 0

வியட்டாவின் தேற்றம்:

ஒய் 1 = -4

ஒய் 2 = 1

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை முக்கிய குணகத்தால் பிரித்து நமது சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பெறுவோம்:

எக்ஸ் 1 = -1

எக்ஸ் 2 =

7. திசைகாட்டி மற்றும் ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறை

4x 2 +3x -1 = 0

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி வட்டத்தின் மையப் புள்ளியின் ஆயங்களைத் தீர்மானிப்போம்:

எக்ஸ் 1 = -1

எக்ஸ் 2 =

8. வரைகலை தீர்வு

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் y = 4x 2 மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடம்

y = - 3x+1.குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிசாஸை நியமித்த பிறகு, நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

எக்ஸ் 1 = -1

9. நோமோகிராம் பயன்படுத்துதல்

4x 2 +3x -1 = 0,சமன்பாட்டின் குணகங்களை 1/4 பிரித்தால், நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

எக்ஸ் 2 +x -= 0.

நோமோகிராம் நேர்மறை மூலத்தை அளிக்கிறது = ,

மேலும் நேர்மறை மூலத்தை - p இலிருந்து கழிப்பதன் மூலம் எதிர்மறை மூலத்தைக் காண்கிறோம் , அந்த.

x 2 = - ப -=- -= -1.

10. இந்த சமன்பாட்டை EXCEL இல் தீர்ப்பது

பின் இணைப்பு 3

"தலைப்புக்கான டிடாக்டிகல் மெட்டீரியல்

“குவாட்ரேட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" »

10x 2 + 2017x + 2007 = 0 -1 -200.7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 = 0 1 -0.01

5x 2 + 9x + 4 = 0 -1 -0.8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s = 0 1 -1.5

55x 2 -44х -11= 0 1 -0.2

6x 2 - 7х - 3 = 0 - , 1.5

4x 2 -17x-15 = 0 -0.75, 5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 +10x + 7 = 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 = 0 2, 0.2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3

4x 2 + 4x -3= 0 -1.5, 0.5

5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1.5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

பின் இணைப்பு 4

"மாணவர்களின் பணி"

ஒரு விதியாக, சமன்பாடுகள்நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய சிக்கல்களில் தோன்றும். இயற்கணிதத்தின் மொழியில் சிக்கலை உருவாக்க சமன்பாடு உங்களை அனுமதிக்கிறது. சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, நாம் விரும்பிய அளவின் மதிப்பைப் பெறுகிறோம், இது தெரியாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது. "ஆண்ட்ரே தனது பணப்பையில் பல ரூபிள் வைத்திருக்கிறார். இந்த எண்ணை 2 ஆல் பெருக்கி 5ஐ கழித்தால் 10 கிடைக்கும். ஆண்ட்ரியிடம் எவ்வளவு பணம் இருக்கிறது? அறியப்படாத பணத்தின் அளவை x எனக் குறிப்பிட்டு சமன்பாட்டை எழுதுவோம்: 2x-5=10.

பற்றி பேச சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதற்கான வழிகள், முதலில் நீங்கள் அடிப்படைக் கருத்துகளை வரையறுத்து, பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறிப்புகளை நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும். க்கு பல்வேறு வகையானசமன்பாடுகள், அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கு பல்வேறு வழிமுறைகள் உள்ளன. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எளிதான வழி, அறியப்படாத ஒன்றைக் கொண்ட முதல் நிலை ஆகும். பள்ளியிலிருந்து இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தை பலர் அறிந்திருக்கிறார்கள். உயர் கணிதத்தின் நுட்பங்கள் சமன்பாடுகளை மேலும் தீர்க்க உதவும் உயர் ஒழுங்கு. ஒரு சமன்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பு அதன் தீர்வுகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. சமன்பாடுகள் மற்றும் செயல்பாட்டு வரைபடங்களுக்கிடையிலான உறவும் சுவாரஸ்யமானது, ஏனெனில் சமன்பாடுகளை வரைபடமாகப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது அவற்றைத் தீர்ப்பதில் பெரும் உதவியாக இருக்கும்.

விளக்கம். ஒரு சமன்பாடு என்பது ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அறியப்படாத அளவுகளைக் கொண்ட கணித சமத்துவமாகும், எடுத்துக்காட்டாக 2x+3y=0.

சம அடையாளத்தின் இருபுறமும் உள்ள வெளிப்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள். லத்தீன் எழுத்துக்களின் எழுத்துக்கள் தெரியாதவற்றைக் குறிக்கின்றன. தெரியாதவர்கள் எத்தனை வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம் என்றாலும், கீழே நாம் தெரியாத ஒரு சமன்பாடுகளைப் பற்றி மட்டுமே பேசுவோம், அதை நாம் x ஆல் குறிப்பிடுவோம்.

சமன்பாட்டின் பட்டம்- இது அதிகபட்ச பட்டம், இதில் தெரியாதது எழுப்பப்படுகிறது. உதாரணமாக,
$3x^4+6x-1=0$ என்பது நான்காவது பட்டத்தின் சமன்பாடு, $x-4x^2+6x=8$ என்பது இரண்டாம் பட்டத்தின் சமன்பாடு.

தெரியாதவை பெருக்கப்படும் எண்கள் எனப்படும் குணகங்கள். முந்தைய எடுத்துக்காட்டில், நான்காவது சக்திக்கு தெரியாதது 3 இன் குணகத்தைக் கொண்டுள்ளது. x ஐ இந்த எண்ணுடன் மாற்றும்போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவம் திருப்தி அடைந்தால், இந்த எண் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துவதாகக் கூறப்படுகிறது. இது அழைக்கப்படுகிறது சமன்பாட்டை தீர்க்கிறது, அல்லது அதன் வேர். எடுத்துக்காட்டாக, 3 என்பது 2x+8=14 என்ற சமன்பாட்டின் வேர் அல்லது தீர்வு, 2*3+8=6+8=14 என்பதால்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. 2x+5=11 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

நீங்கள் அதில் சில x மதிப்பை மாற்றலாம், எடுத்துக்காட்டாக x=2. x ஐ 2 ஆல் மாற்றவும் மற்றும் பெறவும்: 2*2+5=4+5=9.

இங்கே ஏதோ தவறு உள்ளது, ஏனென்றால் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் நாம் 11 ஐப் பெற்றிருக்க வேண்டும். x=3: 2*3+5=6+5=11 ஐ முயற்சிப்போம்.

பதில் சரிதான். தெரியாதது மதிப்பு 3 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், அது மாறிவிடும் சமத்துவம் திருப்தி அடைகிறது. எனவே, எண் 3 சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு என்று காட்டியுள்ளோம்.

இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க நாம் பயன்படுத்திய முறை அழைக்கப்படுகிறது தேர்வு முறை. வெளிப்படையாக, இது பயன்படுத்த சிரமமாக உள்ளது. மேலும், அதை ஒரு முறை என்று கூட அழைக்க முடியாது. இதைச் சரிபார்க்க, $x^4-5x^2+16=2365$ வடிவத்தின் சமன்பாட்டிற்குப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கவும்.

தீர்வு முறைகள். "விளையாட்டின் விதிகள்" என்று அழைக்கப்படுபவை உள்ளன, அவை உங்களைப் பழக்கப்படுத்திக்கொள்ள பயனுள்ளதாக இருக்கும். சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் தெரியாதவற்றின் மதிப்பை தீர்மானிப்பதே எங்கள் குறிக்கோள். எனவே, தெரியாததை ஏதாவது ஒரு வழியில் அடையாளம் காண வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டின் விதிமுறைகளை ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு மாற்றுவது அவசியம். சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முதல் விதி...

1. ஒரு சமன்பாட்டின் உறுப்பினரை ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு நகர்த்தும்போது, ​​அதன் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறுகிறது: கூட்டல் கழித்தல் மற்றும் நேர்மாறாகவும் மாறும். உதாரணமாக 2x+5=11 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். 5 ஐ இடது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கம் நகர்த்துவோம்: 2x=11-5. சமன்பாடு 2x=6 ஆக மாறும்.

இரண்டாவது விதிக்கு செல்லலாம்.
2. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எண்ணால் பெருக்கி வகுக்க முடியும். இந்த விதியை நமது சமன்பாட்டிற்குப் பயன்படுத்துவோம்: $x=\frac62=3$. சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில், தெரியாத x மட்டுமே உள்ளது, எனவே, அதன் மதிப்பைக் கண்டறிந்து சமன்பாட்டைத் தீர்த்தோம்.

நாங்கள் எளிமையான சிக்கலைப் பார்த்தோம் - தெரியாத ஒன்றுடன் நேரியல் சமன்பாடு. இந்த வகை சமன்பாடுகள் எப்போதும் ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளன, மேலும், அவை எப்போதும் எளிமையான செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும்: கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல். ஐயோ, எல்லா சமன்பாடுகளும் அவ்வளவு எளிதல்ல. மேலும், அவற்றின் சிக்கலான அளவு மிக விரைவாக அதிகரிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டாம் பட்டத்தின் சமன்பாடுகளை எந்த உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவரும் எளிதாகத் தீர்க்க முடியும், ஆனால் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் நேரியல் சமன்பாடுகள்அல்லது சமன்பாடுகள் உயர் பட்டங்கள்உயர்நிலைப் பள்ளியில் மட்டுமே படிக்கிறார்கள்.

52. மேலும் சிக்கலான உதாரணங்கள்சமன்பாடுகள்.
எடுத்துக்காட்டு 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1) என்பதனால், பொதுப் பிரிவு x 2 – 1 ஆகும். இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x 2 – 1 ஆல் பெருக்குவோம்.

அல்லது, குறைத்த பிறகு,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 மற்றும் x = 3½

மற்றொரு சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

மேலே உள்ளபடி தீர்ப்பது, நாம் பெறுகிறோம்:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 அல்லது 2x = 2 மற்றும் x = 1.

கருதப்படும் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளிலும் x ஐக் கண்டறிந்த எண்ணுடன் மாற்றினால் நமது சமத்துவங்கள் நியாயமானதா என்பதைப் பார்ப்போம்.

முதல் உதாரணத்திற்கு நாம் பெறுகிறோம்:

எந்த சந்தேகங்களுக்கும் இடமில்லை என்பதை நாங்கள் காண்கிறோம்: தேவையான சமத்துவம் நியாயப்படுத்தப்படும் வகையில் x க்கு ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம்.

இரண்டாவது உதாரணத்திற்கு நாம் பெறுகிறோம்:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) அல்லது 5/0 – 3/2 = 15/0

இங்கே சந்தேகங்கள் எழுகின்றன: நாம் பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பதை எதிர்கொள்கிறோம், இது சாத்தியமற்றது. எதிர்காலத்தில் இந்தப் பிரிவுக்கு மறைமுகமாக இருந்தாலும் ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளைக் கொடுக்க முடிந்தால், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வு x – 1 நமது சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை ஒப்புக் கொள்ளலாம். அதுவரை, நமது சமன்பாட்டில் நேரடி அர்த்தம் கொண்ட தீர்வு இல்லை என்பதை ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும்.

சமன்பாட்டில் இருக்கும் பின்னங்களின் வகுப்பில் தெரியாதவை எப்படியாவது சேர்க்கப்படும்போது இதே போன்ற நிகழ்வுகள் ஏற்படலாம், மேலும் இந்த வகைகளில் சில, தீர்வு கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், பூஜ்ஜியமாக மாறும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.

இந்த சமன்பாடு ஒரு விகிதாச்சாரத்தின் வடிவத்தைக் கொண்டிருப்பதை நீங்கள் உடனடியாகக் காணலாம்: x + 3 என்ற எண்ணின் விகிதம் x - 1 என்ற எண்ணின் விகிதம் 2x + 3 என்ற எண்ணின் விகிதத்திற்கு 2x - 2. ஒருவரை அனுமதிக்கவும். இந்த சூழ்நிலையின் பார்வையில், விகிதாச்சாரத்தின் முக்கிய சொத்தாகிய பின்னங்களிலிருந்து சமன்பாட்டை விடுவிக்க இங்கே விண்ணப்பிக்க முடிவு செய்யுங்கள் (தீவிரமான சொற்களின் தயாரிப்பு நடுத்தர சொற்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்). பின்னர் அவர் பெறுவார்:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

இங்கே, சமன்பாட்டில் x 2 உடன் சொற்கள் உள்ளதால், இந்த சமன்பாட்டை நாம் சமாளிக்க மாட்டோம் என்ற அச்சம் எழுப்பப்படலாம். இருப்பினும், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் 2x 2 ஐ கழிக்கலாம் - இது சமன்பாட்டை உடைக்காது; பின்னர் x 2 உடன் உள்ள விதிமுறைகள் அழிக்கப்பட்டு, நாம் பெறுகிறோம்:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

அறியப்படாத சொற்களை இடதுபுறமாகவும், தெரிந்தவற்றை வலதுபுறமாகவும் நகர்த்துவோம் - நாம் பெறுகிறோம்:

3x = 3 அல்லது x = 1

இந்த சமன்பாட்டை நினைவில் கொள்கிறோம்

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

x (x = 1) க்கான காணப்படும் மதிப்பு ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினையும் மறையச் செய்கிறது என்பதை உடனடியாக கவனிப்போம்; பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கும் கேள்வியை நாம் பரிசீலிக்கும் வரை அத்தகைய தீர்வை நாம் கைவிட வேண்டும்.

விகிதாச்சாரத்தின் சொத்தின் பயன்பாடு விஷயத்தை சிக்கலாக்கியுள்ளது என்பதையும், கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு பக்கங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்குவதன் மூலம் எளிமையான சமன்பாட்டைப் பெற முடியும் என்பதையும் கவனத்தில் கொண்டால், அதாவது 2(x – 1) - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, 2x – 2 = 2 (x – 1), பிறகு நாம் பெறுவோம்:

2(x + 3) = 2x – 3 அல்லது 2x + 6 = 2x – 3 அல்லது 6 = –3,

சாத்தியமற்றது.

இந்தச் சமன்பாட்டின் வகுப்புகளை பூஜ்ஜியமாக மாற்றாத நேரடிப் பொருளைக் கொண்ட எந்த தீர்வுகளும் இந்தச் சமன்பாட்டில் இல்லை என்பதை இந்தச் சூழ்நிலை சுட்டிக்காட்டுகிறது.
இப்போது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

2(x – 1) சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவோம், அதாவது ஒரு பொதுவான வகுப்பினால், நாம் பெறுவது:

6x + 10 = 2x + 18

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வு வகுப்பினை மறையச் செய்யாது மற்றும் நேரடி அர்த்தத்தைக் கொண்டுள்ளது:

அல்லது 11 = 11

ஒருவர், இரு பகுதிகளையும் 2(x – 1) ஆல் பெருக்குவதற்குப் பதிலாக, விகிதாச்சாரத்தின் சொத்தைப் பயன்படுத்தினால், அவர்கள் பெறுவார்கள்:

(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) அல்லது
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

இங்கே x 2 உடன் உள்ள விதிமுறைகள் அழிக்கப்படாது. அறியப்படாத அனைத்து சொற்களையும் இடது பக்கமாகவும், தெரிந்தவற்றை வலப்பக்கமாகவும் நகர்த்தினால், நாம் பெறுவோம்

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

இப்போது நாம் இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க முடியாது. எதிர்காலத்தில், அத்தகைய சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது மற்றும் அதற்கு இரண்டு தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்: 1) நீங்கள் x = 2 மற்றும் 2 ஐ எடுக்கலாம்) நீங்கள் x = 1 ஐ எடுக்கலாம். இரண்டு தீர்வுகளையும் சரிபார்ப்பது எளிது:

1) 2 2 – 3 2 = –2 மற்றும் 2) 1 2 – 3 1 = –2

ஆரம்ப சமன்பாட்டை நாம் நினைவில் வைத்திருந்தால்

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

இப்போது நாம் அதன் இரண்டு தீர்வுகளையும் பெறுகிறோம் என்பதைக் காண்போம்: 1) x = 2 என்பது நேரடி அர்த்தத்தைக் கொண்ட தீர்வு மற்றும் வகுப்பினை பூஜ்ஜியமாக மாற்றாது, 2) x = 1 என்பது வகுப்பினை பூஜ்ஜியமாக மாற்றும் தீர்வு மற்றும் நேரடி அர்த்தம் இல்லை .

எடுத்துக்காட்டு 3.

இந்த சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பின்னங்களின் பொதுவான வகுப்பினை ஒவ்வொரு வகுப்பினையும் காரணியாக்குவதன் மூலம் கண்டுபிடிப்போம்:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

பொதுவான வகுத்தல் (x – 3)(x – 2)(x + 1).

இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவோம் (இப்போது அதை மீண்டும் எழுதலாம்:

ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் (x – 3) (x – 2) (x + 1). பின்னர், ஒவ்வொரு பகுதியையும் குறைத்த பிறகு நாம் பெறுகிறோம்:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) அல்லது
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்:

–x = –13 மற்றும் x = 13.

இந்த தீர்வுக்கு நேரடி அர்த்தம் உள்ளது: இது எந்த வகுப்பினையும் மறையச் செய்யாது.

நாம் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டால்:

பின்னர், மேலே உள்ளதைப் போலவே, நாம் பெறுவோம்

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

நீங்கள் அதை எங்கிருந்து பெறுவீர்கள்?

சாத்தியமற்றது. இந்தச் சூழல், நேரடிப் பொருளைக் கொண்ட கடைசி சமன்பாட்டிற்கு தீர்வைக் காண இயலாது என்பதைக் காட்டுகிறது.

பள்ளிக் கணிதப் பாடத்தில், ஒரு குழந்தை முதல் முறையாக "சமன்பாடு" என்ற சொல்லைக் கேட்கிறது. இது என்ன, அதை ஒன்றாக கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். இந்த கட்டுரையில் தீர்வு வகைகள் மற்றும் முறைகள் பற்றி பார்ப்போம்.

கணிதம். சமன்பாடுகள்

தொடங்குவதற்கு, நீங்கள் கருத்தை புரிந்து கொள்ள பரிந்துரைக்கிறோம், அது என்ன? பல கணித பாடப்புத்தகங்கள் சொல்வது போல், சமன்பாடு என்பது சில வெளிப்பாடுகள், அவற்றுக்கிடையே சமமான அடையாளம் இருக்க வேண்டும். இந்த வெளிப்பாடுகளில் எழுத்துக்கள் உள்ளன, அவை மாறிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் மதிப்பு கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும்.

இது அதன் மதிப்பை மாற்றும் ஒரு கணினி பண்பு ஆகும். தெளிவான உதாரணம்மாறிகள்:

• காற்று வெப்பநிலை;
• குழந்தையின் வளர்ச்சி;
• எடை மற்றும் பல.

கணிதத்தில், அவை எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, x, a, b, c... பொதுவாக ஒரு கணிதப் பணி இப்படிச் செல்கிறது: சமன்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும். இதன் பொருள் இந்த மாறிகளின் மதிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம்.

வகைகள்

சமன்பாடு (முந்தைய பத்தியில் அது என்ன என்பதை நாங்கள் விவாதித்தோம்) பின்வரும் வடிவத்தில் இருக்கலாம்:

• நேரியல்;
• சதுரம்;
• கன சதுரம்;
• இயற்கணிதம்;
• ஆழ்நிலை.

அனைத்து வகைகளுடனும் இன்னும் விரிவான அறிமுகத்திற்கு, ஒவ்வொன்றையும் தனித்தனியாகக் கருதுவோம்.

நேரியல் சமன்பாடு

பள்ளி மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட முதல் இனம் இதுவாகும். அவை மிக விரைவாகவும் எளிமையாகவும் தீர்க்கப்படுகின்றன. எனவே, நேரியல் சமன்பாடு என்றால் என்ன? இது வடிவத்தின் வெளிப்பாடு: ah=c. இது குறிப்பாக தெளிவாக இல்லை, எனவே சில எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம்: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.

சமன்பாடுகளின் உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். இதைச் செய்ய, அறியப்பட்ட அனைத்து தரவையும் ஒரு பக்கத்திலும், தெரியாதவை மறுபுறத்திலும் சேகரிக்க வேண்டும்: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. இங்கே கணிதத்தின் அடிப்படை விதிகள் பயன்படுத்தப்பட்டன: a*c=e, இதிலிருந்து c=e/a; a=e/c. சமன்பாட்டின் தீர்வை முடிக்க, நாம் ஒரு செயலைச் செய்கிறோம் (எங்கள் விஷயத்தில், பிரிவு) x = 13; x=8; x=5. இவை பெருக்கலின் எடுத்துக்காட்டுகள், இப்போது கழித்தல் மற்றும் கூட்டல் பற்றி பார்க்கலாம்: x+3=9; 10x-5=15. அறியப்பட்ட தரவை ஒரு திசையில் மாற்றுகிறோம்: x=9-3; x=20/10. கடைசி செயலைச் செய்யவும்: x=6; x=2.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் மாறுபாடுகளும் சாத்தியமாகும், இதில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: 2x-2y=4. தீர்க்க, ஒவ்வொரு பகுதிக்கும் 2y சேர்க்க வேண்டும், நாம் கவனித்தபடி, 2x-2y+2y=4-2y ஐப் பெறுகிறோம், சமமான அடையாளமான -2y மற்றும் +2y ரத்து இடது பக்கத்தில், எங்களிடம் பின்வருபவை: 2x=4 -2у. கடைசி படிஒவ்வொரு பகுதியையும் இரண்டாகப் பிரித்தால், விடை கிடைக்கும்: x என்பது இரண்டு கழித்தல் yக்கு சமம்.

சமன்பாடுகளில் சிக்கல்கள் அஹ்மஸ் பாப்பிரியில் கூட காணப்படுகின்றன. இங்கே ஒரு சிக்கல் உள்ளது: ஒரு எண்ணும் அதன் நான்காவது பகுதியும் 15 ஆகக் கூட்டப்படும். அதைத் தீர்க்க, பின்வரும் சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம்: x கூட்டல் நான்கில் ஒரு பங்கு x என்பது பதினைந்துக்கு சமம். தீர்வின் முடிவின் அடிப்படையில் மற்றொரு உதாரணத்தைப் பார்க்கிறோம், பதில் கிடைக்கும்: x=12. ஆனால் இந்த சிக்கலை வேறு வழியில் தீர்க்க முடியும், அதாவது எகிப்திய அல்லது, அது வித்தியாசமாக அழைக்கப்படுகிறது, அனுமான முறை. பாப்பிரஸ் பின்வரும் தீர்வைப் பயன்படுத்துகிறது: நான்கு மற்றும் நான்கில் ஒரு பகுதியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், அதாவது ஒன்று. மொத்தத்தில் அவர்கள் ஐந்து கொடுக்கிறார்கள், இப்போது பதினைந்து தொகையால் வகுக்கப்பட வேண்டும், நமக்கு மூன்று கிடைக்கும், கடைசி படி மூன்றை நான்கால் பெருக்க வேண்டும். பதிலைப் பெறுகிறோம்: 12. கரைசலில் பதினைந்தை ஐந்தால் ஏன் வகுக்கிறோம்? எனவே பதினைந்து முறை எத்தனை முறை என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது, நாம் பெற வேண்டிய பலன் ஐந்திற்கும் குறைவாக உள்ளது. இடைக்காலத்தில் பிரச்சனைகள் இந்த வழியில் தீர்க்கப்பட்டன, இது தவறான நிலை முறை என்று அறியப்பட்டது.

இருபடி சமன்பாடுகள்

முன்னர் விவாதிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு கூடுதலாக, மற்றவை உள்ளன. சரியாக எவை? இருபடி சமன்பாடு, அது என்ன? அவை கோடாரி 2 +bx+c=0 போல இருக்கும். அவற்றைத் தீர்க்க, நீங்கள் சில கருத்துகள் மற்றும் விதிகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

முதலில், பி 2 -4 ஏசி என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாடு காண்பவரைக் கண்டறிய வேண்டும். முடிவின் மூன்று சாத்தியமான முடிவுகள் உள்ளன:

• பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது;
• பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக;
• பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

முதல் விருப்பத்தில், சூத்திரத்தின்படி காணப்படும் இரண்டு வேர்களிலிருந்து விடையை நாம் பெறலாம்: -b+-ரூட் முதல் குணகத்தை இரட்டிப்பாக்கி முதல் குணகத்தால் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது 2a.

இரண்டாவது வழக்கில், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை. மூன்றாவது வழக்கில், ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகிறது: -b/2a.

இன்னும் விரிவான அறிமுகத்திற்கான இருபடிச் சமன்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: மூன்று x சதுரம் மைனஸ் பதினான்கு x கழித்தல் ஐந்து பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம். தொடங்குவதற்கு, முன்பு எழுதப்பட்டதைப் போல, நாங்கள் ஒரு பாகுபாட்டைத் தேடுகிறோம், எங்கள் விஷயத்தில் இது 256 க்கு சமம். இதன் விளைவாக வரும் எண் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே, இரண்டு வேர்களைக் கொண்ட ஒரு பதிலைப் பெற வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் பாகுபாட்டை வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம். இதன் விளைவாக, எங்களிடம் உள்ளது: x ஐ ஐந்து மற்றும் கழித்தல் மூன்றில் ஒரு பங்கு.

இருபடி சமன்பாடுகளில் சிறப்பு வழக்குகள்

சில மதிப்புகள் பூஜ்ஜியம் (a, b அல்லது c) மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவையாக இருக்கும் எடுத்துக்காட்டுகள் இவை.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம், இது ஒரு இருபடி: இரண்டு x வர்க்கம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், இங்கே நாம் b மற்றும் c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதைக் காண்கிறோம். அதைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம், இதைச் செய்ய சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் இரண்டாகப் பிரிக்கிறோம், எங்களிடம் உள்ளது: x 2 =0. இதன் விளைவாக, நாம் x=0 ஐப் பெறுகிறோம்.

மற்றொரு வழக்கு 16x 2 -9=0. இங்கே b=0 மட்டுமே. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம், இலவச குணகத்தை வலது பக்கத்திற்கு மாற்றுவோம்: 16x 2 = 9, இப்போது ஒவ்வொரு பகுதியையும் பதினாறால் வகுக்கிறோம்: x 2 = ஒன்பது பதினாறில். எங்களிடம் x ஸ்கொயர் இருப்பதால், 9/16 இன் ரூட் எதிர்மறையாகவோ அல்லது நேர்மறையாகவோ இருக்கலாம். பதிலைப் பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்: x என்பது கூட்டல்/கழித்தல் முக்கால்.

மற்றொரு சாத்தியமான பதில் என்னவென்றால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை. இந்த எடுத்துக்காட்டைப் பார்ப்போம்: 5x 2 +80=0, இங்கே b=0. தீர்க்க, இலவச காலத்தை வலது பக்கமாக எறியுங்கள், இந்த செயல்களுக்குப் பிறகு நாம் பெறுகிறோம்: 5x 2 = -80, இப்போது நாம் ஒவ்வொரு பகுதியையும் ஐந்தால் வகுக்கிறோம்: x 2 = கழித்தல் பதினாறு. எந்த எண்ணும் வர்க்கமாக இருந்தால், பிறகு எதிர்மறை மதிப்புநாங்கள் அதைப் பெற மாட்டோம். எனவே, எங்கள் பதில்: சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

முக்கோண விரிவாக்கம்

இருபடிச் சமன்பாடுகளில் ஒரு பணி இதுபோல் ஒலிக்கலாம்: காரணி ஒரு இருபடி முக்கோணம். பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்யலாம்: a(x-x 1)(x-x 2). இதைச் செய்ய, பணியின் மற்ற பதிப்பைப் போலவே, ஒரு பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்: 3x 2 -14x-5, டிரினோமியலின் காரணி. ஏற்கனவே நமக்குத் தெரிந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாரபட்சம் காட்டுவது 256க்கு சமமாக மாறிவிடும். 256 என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது என்பதை உடனடியாகக் கவனிக்கிறோம், எனவே சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். முந்தைய பத்தியில் உள்ளதைப் போலவே அவற்றைக் காண்கிறோம்: x = ஐந்து மற்றும் மூன்றில் ஒரு பங்கு கழித்தல். டிரினோமியலை காரணியாக்குவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: 3(x-5)(x+1/3). இரண்டாவது அடைப்புக்குறியில் நமக்கு சமமான அடையாளம் கிடைத்தது, ஏனெனில் சூத்திரத்தில் கழித்தல் குறி உள்ளது, மேலும் ரூட் எதிர்மறையானது, கணிதத்தின் அடிப்படை அறிவைப் பயன்படுத்தி, கூட்டுத்தொகையில் நமக்கு ஒரு கூட்டல் அடையாளம் உள்ளது. எளிமைப்படுத்த, பின்னத்திலிருந்து விடுபட சமன்பாட்டின் முதல் மற்றும் மூன்றாவது சொற்களைப் பெருக்கலாம்: (x-5)(x+1).

இருபடிக்கு குறையும் சமன்பாடுகள்

இந்த கட்டத்தில் நாம் இன்னும் எப்படி தீர்க்க வேண்டும் என்பதை கற்றுக்கொள்வோம் சிக்கலான சமன்பாடுகள். ஒரு உதாரணத்துடன் இப்போதே தொடங்குவோம்:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. மீண்டும் மீண்டும் வரும் கூறுகளை நாம் கவனிக்கலாம்: (x 2 - 2x), அதைத் தீர்க்க, அதை மற்றொரு மாறி மூலம் மாற்றுவது எங்களுக்கு வசதியானது, பின்னர் வழக்கமான இருபடி சமன்பாட்டை உடனடியாக தீர்க்கவும், அத்தகைய பணியில் நாங்கள் நான்கு வேர்களைப் பெறுவோம் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம், இது உங்களை பயமுறுத்தக்கூடாது. a என்ற மாறியின் மறுநிகழ்வைக் குறிக்கிறோம். நாம் பெறுகிறோம்: a 2 -2a-3=0. புதிய சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே எங்கள் அடுத்த படியாகும். நாம் 16 ஐப் பெறுகிறோம், இரண்டு வேர்களைக் கண்டறியவும்: கழித்தல் ஒன்று மற்றும் மூன்று. நாங்கள் மாற்றியமைத்ததை நினைவில் கொள்கிறோம், இந்த மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம், இதன் விளைவாக சமன்பாடுகள் உள்ளன: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. முதல் பதிலில் அவற்றைத் தீர்க்கிறோம்: x ஒன்றுக்கு சமம், இரண்டாவது: x என்பது கழித்தல் ஒன்று மற்றும் மூன்றிற்கு சமம். நாங்கள் விடையை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்: பிளஸ்/மைனஸ் ஒன்று மற்றும் மூன்று. ஒரு விதியாக, பதில் ஏறுவரிசையில் எழுதப்பட்டுள்ளது.

கன சமன்பாடுகள்

இன்னும் ஒன்றைப் பார்ப்போம் சாத்தியமான விருப்பம். கன சமன்பாடுகளைப் பற்றி பேசுவோம். அவை இப்படி இருக்கும்: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. கீழே உள்ள சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம், ஆனால் முதலில், ஒரு சிறிய கோட்பாடு. அவை மூன்று வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம், மேலும் ஒரு கன சமன்பாட்டிற்கான பாகுபாட்டைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரமும் உள்ளது.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: 3x 3 +4x 2 +2x=0. அதை எப்படி தீர்ப்பது? இதைச் செய்ய, நாம் x ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கிறோம்: x(3x 2 +4x+2)=0. நாம் செய்ய வேண்டியது சமன்பாட்டின் வேர்களை அடைப்புக்குறிக்குள் கணக்கிடுவதுதான். அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டின் பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக உள்ளது, இதன் அடிப்படையில், வெளிப்பாடு ஒரு ரூட்டைக் கொண்டுள்ளது: x=0.

இயற்கணிதம். சமன்பாடுகள்

நாம் செல்லலாம் அடுத்த பார்வை. இப்போது இயற்கணித சமன்பாடுகளை சுருக்கமாகப் பார்ப்போம். பணிகளில் ஒன்று பின்வருமாறு: காரணி 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. மிகவும் ஒரு வசதியான வழியில்பின்வரும் குழுவாக இருக்கும்: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). 3x 2 மற்றும் 5x 2 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக முதல் வெளிப்பாட்டிலிருந்து 8x 2 ஐக் குறிப்பிடுகிறோம். இப்போது நாம் ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலிருந்தும் 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1) என்ற பொதுவான காரணியை எடுக்கிறோம். எங்களிடம் ஒரு பொதுவான காரணி இருப்பதைக் காண்கிறோம்: x ஸ்கொயர் பிளஸ் ஒன், அதை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கிறோம்: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). இரண்டு சமன்பாடுகளும் எதிர்மறையான பாகுபாட்டைக் கொண்டிருப்பதால் மேலும் விரிவாக்கம் சாத்தியமில்லை.

ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள்

பின்வரும் வகையைச் சமாளிக்க பரிந்துரைக்கிறோம். இவை ஆழ்நிலை செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகள், அதாவது மடக்கை, முக்கோணவியல் அல்லது அதிவேக. எடுத்துக்காட்டுகள்: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 மற்றும் பல. முக்கோணவியல் பாடத்தில் அவை எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்வீர்கள்.

செயல்பாடு

ஒரு செயல்பாட்டின் சமன்பாட்டின் கருத்தை கருத்தில் கொள்வது இறுதி படியாகும். முந்தைய விருப்பங்களைப் போலன்றி, இந்த வகை தீர்க்கப்படவில்லை, ஆனால் அதன் அடிப்படையில் ஒரு வரைபடம் கட்டப்பட்டுள்ளது. இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டை நன்கு பகுப்பாய்வு செய்வது, கட்டுமானத்திற்கு தேவையான அனைத்து புள்ளிகளையும் கண்டுபிடித்து, குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகளைக் கணக்கிடுவது மதிப்பு.