அதிவேக சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். அதிவேக சமன்பாடுகள். மிகவும் சிக்கலான வழக்குகள்

அன்று இந்த பாடம்நாம் மிகவும் சிக்கலான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மற்றும் அதிவேக செயல்பாடு தொடர்பான அடிப்படை கோட்பாட்டுக் கொள்கைகளை நினைவுபடுத்துவோம்.

1. அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் பண்புகள், எளிமையான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் அடிப்படை பண்புகளை நினைவுபடுத்துவோம். அனைத்து அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வு இந்த பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

அதிவேக செயல்பாடுபடிவத்தின் ஒரு செயல்பாடு ஆகும், இங்கு அடிப்படையானது பட்டம் மற்றும் இங்கே x என்பது சார்பற்ற மாறி, வாதம்; y என்பது சார்பு மாறி, செயல்பாடு.

அரிசி. 1. அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடம்

இந்த வரைபடம் அதிகரித்துவரும் மற்றும் குறையும் அடுக்குகளைக் காட்டுகிறது, அதிவேக செயல்பாட்டை முறையே ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மற்றும் ஒன்றுக்கும் குறைவான ஆனால் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான அடித்தளத்துடன் விளக்குகிறது.

இரண்டு வளைவுகளும் புள்ளியைக் கடந்து செல்கின்றன (0;1)

அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள்:

களம்: ;

மதிப்புகளின் வரம்பு: ;

செயல்பாடு மோனோடோனிக், உடன் அதிகரிக்கிறது, குறைகிறது.

ஒரு மோனோடோனிக் செயல்பாடு அதன் ஒவ்வொரு மதிப்புகளையும் ஒரு வாத மதிப்பைக் கொடுக்கிறது.

வாதம் மைனஸிலிருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு அதிகரிக்கிறது. மாறாக, வாதம் மைனஸிலிருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​செயல்பாடு முடிவிலியிலிருந்து பூஜ்ஜியத்திற்கு குறைகிறது, உள்ளடக்கியது அல்ல.

2. நிலையான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

எளிமையான அதிவேக சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுவோம். அவற்றின் தீர்வு அதிவேக செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியை அடிப்படையாகக் கொண்டது. கிட்டத்தட்ட அனைத்து சிக்கலான அதிவேக சமன்பாடுகளும் அத்தகைய சமன்பாடுகளாக குறைக்கப்படலாம்.

சம தளங்களைக் கொண்ட அடுக்குகளின் சமத்துவமானது அதிவேகச் செயல்பாட்டின் பண்பு, அதாவது அதன் மோனோடோனிசிட்டி காரணமாகும்.

தீர்வு முறை:

டிகிரிகளின் அடிப்படைகளை சமப்படுத்தவும்;

அடுக்குகளை சமன் செய்யவும்.

மிகவும் சிக்கலான அதிவேக சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொண்டு அவை ஒவ்வொன்றையும் எளிமையானதாகக் குறைப்போம்.

இடதுபுறத்தில் உள்ள வேரை அகற்றி, டிகிரிகளை அதே தளத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

ஒரு சிக்கலான அதிவேக சமன்பாட்டை அதன் எளிமையானதாகக் குறைக்க, மாறிகளின் மாற்றீடு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சக்தி பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம்:

நாங்கள் ஒரு மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். அப்போது இருக்கட்டும்

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை இரண்டால் பெருக்கி, எல்லா சொற்களையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

முதல் ரூட் y மதிப்புகளின் வரம்பை பூர்த்தி செய்யவில்லை, எனவே அதை நிராகரிக்கிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

டிகிரிகளை ஒரே குறிகாட்டியாகக் குறைப்போம்:

மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

அப்போது இருக்கட்டும் . அத்தகைய மாற்றீட்டின் மூலம், y கண்டிப்பாக நேர்மறை மதிப்புகளைப் பெறுகிறது என்பது வெளிப்படையானது. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

அத்தகைய இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது எங்களுக்குத் தெரியும், பதிலை எழுதலாம்:

வேர்கள் சரியாகக் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த, நீங்கள் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சரிபார்க்கலாம், அதாவது, வேர்கள் மற்றும் அவற்றின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிந்து அவற்றை சமன்பாட்டின் தொடர்புடைய குணகங்களுடன் ஒப்பிடவும்.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

3. இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறை

பின்வருவனவற்றைப் படிப்போம் முக்கியமான வகைஅதிவேக சமன்பாடுகள்:

இந்த வகை சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன ஒரே மாதிரியான இரண்டாவது f மற்றும் g செயல்பாடுகளைப் பொறுத்து டிகிரி. அதன் இடது பக்கத்தில் f ஐப் பொறுத்து ஒரு சதுர முக்கோணம் உள்ளது g அளவுருவுடன் அல்லது g ஐப் பொறுத்து f அளவுருவுடன் ஒரு சதுர முக்கோணம் உள்ளது.

தீர்வு முறை:

இந்த சமன்பாட்டை ஒரு இருபடி சமன்பாடுகளாக தீர்க்க முடியும், ஆனால் அதை வித்தியாசமாக செய்வது எளிது. கருத்தில் கொள்ள இரண்டு வழக்குகள் உள்ளன:

முதல் வழக்கில் நாம் பெறுகிறோம்

இரண்டாவது வழக்கில், மிக உயர்ந்த அளவு மூலம் பிரித்து பெற எங்களுக்கு உரிமை உண்டு:

மாறிகளின் மாற்றத்தை அறிமுகப்படுத்துவது அவசியம், y க்கான இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

f மற்றும் g செயல்பாடுகள் ஏதேனும் இருக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்வோம், ஆனால் இவை அதிவேக செயல்பாடுகளாக இருக்கும் போது நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம்.

4. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

அனைத்து விதிமுறைகளையும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்துவோம்:

அதிவேகச் சார்புகள் கண்டிப்பாக நேர்மறை மதிப்புகளைப் பெறுவதால், சமன்பாட்டை உடனடியாகப் வகுக்க எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: (அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகளின்படி)

எங்களிடம் ஒரு இருபடி சமன்பாடு உள்ளது:

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களைத் தீர்மானிக்கிறோம்:

முதல் ரூட் y இன் மதிப்புகளின் வரம்பை பூர்த்தி செய்யவில்லை, அதை நிராகரிக்கிறோம், பெறுகிறோம்:

டிகிரிகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் அனைத்து டிகிரிகளையும் எளிய அடிப்படைகளாகக் குறைப்போம்:

f மற்றும் g செயல்பாடுகளைக் கவனிப்பது எளிது:

அதிவேக சார்புகள் கண்டிப்பாக நேர்மறை மதிப்புகளைப் பெறுவதால், எப்பொழுது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்ளாமல், சமன்பாட்டை உடனடியாக வகுக்க எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது.

தலைப்பில் பாடம் மற்றும் விளக்கக்காட்சி: "அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள்"

கூடுதல் பொருட்கள்
அன்புள்ள பயனர்களே, உங்கள் கருத்துகள், மதிப்புரைகள், விருப்பங்களைத் தெரிவிக்க மறக்காதீர்கள்! அனைத்து பொருட்களும் வைரஸ் தடுப்பு நிரலால் சரிபார்க்கப்பட்டன.

11 ஆம் வகுப்புக்கான ஒருங்கிணைந்த ஆன்லைன் ஸ்டோரில் கற்பித்தல் எய்ட்ஸ் மற்றும் சிமுலேட்டர்கள்
9-11 கிரேடுகளுக்கான ஊடாடும் கையேடு "முக்கோணவியல்"
10-11 கிரேடுகளுக்கான ஊடாடும் கையேடு "மடக்கை"

அதிவேக சமன்பாடுகளின் வரையறை

வரையறை. படிவத்தின் சமன்பாடுகள்: $a^(f(x))=a^(g(x))$, இங்கு $a>0$, $a≠1$ ஆகியவை அதிவேக சமன்பாடுகள் எனப்படும்.

"அதிவேக செயல்பாடு" என்ற தலைப்பில் நாங்கள் படித்த தேற்றங்களை நினைவுகூர்ந்து, ஒரு புதிய தேற்றத்தை அறிமுகப்படுத்தலாம்:
தேற்றம். அதிவேக சமன்பாடு $a^(f(x))=a^(g(x))$, இங்கு $a>0$, $a≠1$ என்பது $f(x)=g(x) சமன்பாட்டிற்கு சமம் $.

அதிவேக சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
பின்னர் நமது சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதலாம்: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
பதில்: $x=0$.

C) அசல் சமன்பாடு சமன்பாட்டிற்கு சமம்: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ மற்றும் $x_2=-3$.
பதில்: $x_1=6$ மற்றும் $x_2=-3$.

உதாரணமாக.
சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
தீர்வு:
தொடர்ச்சியான செயல்களை வரிசையாகச் செய்து, நமது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரே தளத்திற்குக் கொண்டு வருவோம்.
இடது பக்கத்தில் பல செயல்பாடுகளைச் செய்வோம்:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
வலது பக்கம் செல்லலாம்:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
அசல் சமன்பாடு சமன்பாட்டிற்கு சமம்:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
பதில்: $x=0$.

உதாரணமாக.
சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
தீர்வு:
நமது சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
மாறிகளை மாற்றுவோம், $a=3^x$ ஆகலாம்.
புதியதில் மாறி சமன்பாடுபடிவத்தை எடுக்கும்: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ மற்றும் $a_2=3$.
மாறிகளின் தலைகீழ் மாற்றத்தைச் செய்வோம்: $3^x=-12$ மற்றும் $3^x=3$.
கடந்த பாடத்தில், அதிவேக வெளிப்பாடுகள் நேர்மறையான மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும் என்பதை நாங்கள் கற்றுக்கொண்டோம், வரைபடத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள். இதன் பொருள் முதல் சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை, இரண்டாவது சமன்பாட்டில் ஒரு தீர்வு உள்ளது: $x=1$.
பதில்: $x=1$.

அதிவேக சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நினைவூட்டுவோம்:
1. கிராஃபிக் முறை.சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் செயல்பாடுகளின் வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம் மற்றும் அவற்றின் வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம், வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். (கடந்த பாடத்தில் இந்த முறையைப் பயன்படுத்தினோம்).
2. குறிகாட்டிகளின் சமத்துவத்தின் கொள்கை.கொள்கை இரண்டு வெளிப்பாடுகள் என்ற உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது அதே அடிப்படையில்இந்த அடிப்படைகளின் டிகிரி (குறிகாட்டிகள்) சமமாக இருந்தால் மட்டுமே சமமாக இருக்கும். $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. மாறி மாற்று முறை. இந்த முறைசமன்பாடு, மாறிகளை மாற்றும் போது, ​​அதன் வடிவத்தை எளிதாக்குகிறது மற்றும் தீர்க்க மிகவும் எளிதாக இருந்தால் அதைப் பயன்படுத்துவது மதிப்பு.

உதாரணமாக.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்: $\தொடங்கு (வழக்குகள்) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \முடிவு (வழக்குகள்)$.
தீர்வு.
கணினியின் இரண்டு சமன்பாடுகளையும் தனித்தனியாகக் கருதுவோம்:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
மாறிகள் மாற்றும் முறையைப் பயன்படுத்துவோம், $y=2^(x+y)$.
பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ மற்றும் $y_2=-3$.
ஆரம்ப மாறிகளுக்குச் செல்வோம், முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து $x+y=2$ கிடைக்கும். இரண்டாவது சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை. பின்னர் நமது ஆரம்ப சமன்பாடு அமைப்பு முறைக்கு சமமானது: $\begin (வழக்குகள்) x+3y=0, \\ x+y=2. \முடிவு (வழக்குகள்)$.
முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து இரண்டாவது கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்: $\begin (வழக்குகள்) 2y=-2, \\ x+y=2. \முடிவு (வழக்குகள்)$.
$\தொடங்கு (வழக்குகள்) y=-1, \\ x=3. \முடிவு (வழக்குகள்)$.
பதில்: $(3;-1)$.

அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள்

தேற்றம். $a>1$ எனில், அதிவேக சமத்துவமின்மை $a^(f(x))>a^(g(x))$ சமத்துவமின்மை $f(x)>g(x)$ க்கு சமம்.
$0 என்றால் a^(g(x))$ என்பது சமத்துவமின்மைக்கு சமமான $f(x)

உதாரணமாக.
ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்க:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
தீர்வு.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
நமது சமத்துவமின்மை சமத்துவமின்மைக்கு சமம்:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.

B) $((\frac(1)(4))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) நமது சமன்பாட்டில், அடிப்படையானது பட்டம் ஆகும் போது 1 ஐ விட குறைவாக உள்ளது, பின்னர் ஒரு சமத்துவமின்மையை சமமானதாக மாற்றும் போது, ​​அடையாளத்தை மாற்றுவது அவசியம்.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) நமது சமத்துவமின்மை சமத்துவமின்மைக்கு சமம்:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
இடைவெளி தீர்வு முறையைப் பயன்படுத்துவோம்:
பதில்: $(-∞;-5]U)