மூன்று புள்ளிகளால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு. ஒரே கோட்டில் இல்லாத மூன்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு

விண்வெளியில் ஏதேனும் மூன்று புள்ளிகள் வழியாக ஒற்றை விமானம் வரையப்படுவதற்கு, இந்த புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் இருக்காமல் இருப்பது அவசியம்.

பொதுவாக M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள் கார்ட்டீசியன் அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள்

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x, y, z) M 1, M 2, M 3 புள்ளிகளுடன் ஒரே விமானத்தில் இருக்க, திசையன்கள் கோப்லனராக இருப்பது அவசியம்.

(
) = 0

இவ்வாறு,

மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு:

விமானத்திற்கு இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் ஒரு திசையன் கோலினியர் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு.

புள்ளிகள் M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) மற்றும் திசையன் கொடுக்கப்பட வேண்டும்
.

கொடுக்கப்பட்ட M 1 மற்றும் M 2 புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் மற்றும் திசையனுக்கு இணையான ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M (x, y, z) .

திசையன்கள்
மற்றும் திசையன்
coplanar இருக்க வேண்டும், அதாவது.

(
) = 0

விமானச் சமன்பாடு:

ஒரு புள்ளி மற்றும் இரண்டு திசையன்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு,

விமானத்திற்கு நேர்கோட்டு.

இரண்டு திசையன்களை கொடுக்கலாம்
மற்றும்
, கோலினியர் விமானங்கள். பின்னர் விமானத்தைச் சேர்ந்த ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x, y, z) க்கு, திசையன்கள்
கோப்ளனாராக இருக்க வேண்டும்.

விமானச் சமன்பாடு:

புள்ளி மற்றும் சாதாரண திசையன் மூலம் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு .

தேற்றம். விண்வெளியில் ஒரு புள்ளி M கொடுக்கப்பட்டால் 0 (எக்ஸ் 0 , ஒய் 0 , z 0 ), பின்னர் புள்ளி எம் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு 0 சாதாரண வெக்டருக்கு செங்குத்தாக (ஏ, பி, சி) வடிவம் உள்ளது:

ஏ(x – x 0 ) + பி(ஒய் – ஒய் 0 ) + சி(z – z 0 ) = 0.

ஆதாரம். விமானத்திற்குச் சொந்தமான ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x, y, z) க்கு, நாம் ஒரு திசையன் உருவாக்குகிறோம். ஏனெனில் திசையன் சாதாரண திசையன், பின்னர் அது விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, எனவே, திசையன் செங்குத்தாக
. பின்னர் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு

= 0

இவ்வாறு, விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரிவுகளில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு.

பொதுச் சமன்பாட்டில் Ax + Bi + Cz + D = 0 எனில் இரு பக்கங்களையும் (-D) ஆல் வகுக்கிறோம்

,

பதிலாக
, விமானத்தின் சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் பெறுகிறோம்:

எண்கள் a, b, c ஆகியவை முறையே x, y, z அச்சுகளுடன் கூடிய விமானத்தின் வெட்டுப்புள்ளிகள் ஆகும்.

திசையன் வடிவத்தில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு.

எங்கே

- தற்போதைய புள்ளியின் ஆரம் திசையன் M(x, y, z),

ஒரு செங்குத்து திசையைக் கொண்ட ஒரு அலகு திசையன் தோற்றத்திலிருந்து ஒரு விமானத்தில் கைவிடப்பட்டது.

,  மற்றும்  ஆகியவை இந்த திசையன் x, y, z அச்சுகளுடன் உருவாகும் கோணங்கள்.

p என்பது இந்த செங்குத்து நீளம்.

ஒருங்கிணைப்புகளில், இந்த சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரம்.

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M 0 (x 0, y 0, z 0) இலிருந்து Ax+By+Cz+D=0 விமானத்திற்கான தூரம்:

உதாரணம்.புள்ளி P(4; -3; 12) என்பது இந்த விமானத்தின் தோற்றத்திலிருந்து கைவிடப்பட்ட செங்குத்தான அடித்தளம் என்பதை அறிந்து, விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

எனவே A = 4/13; பி = -3/13; சி = 12/13, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

A(x – x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

உதாரணம். P(2; 0; -1) மற்றும் இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்

Q(1; -1; 3) விமானத்திற்கு செங்குத்தாக 3x + 2y – z + 5 = 0.

விமானத்தின் இயல்பான திசையன் 3x + 2y – z + 5 = 0
விரும்பிய விமானத்திற்கு இணையாக.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

உதாரணம். A(2, -1, 4) மற்றும் புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்

B(3, 2, -1) விமானத்திற்கு செங்குத்தாக எக்ஸ் + மணிக்கு + 2z – 3 = 0.

விமானத்தின் தேவையான சமன்பாடு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: ஏ x+பி ஒய்+சி z+ D = 0, இந்த விமானத்திற்கான சாதாரண திசையன் (ஏ, பி, சி). திசையன்
(1, 3, -5) விமானத்திற்கு உரியது. எங்களுக்கு கொடுக்கப்பட்ட விமானம், விரும்பிய ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக, ஒரு சாதாரண திசையன் உள்ளது (1, 1, 2). ஏனெனில் புள்ளிகள் A மற்றும் B இரண்டு விமானங்களுக்கும் சொந்தமானது, மேலும் விமானங்கள் பரஸ்பர செங்குத்தாக இருக்கும்

எனவே சாதாரண திசையன் (11, -7, -2). ஏனெனில் புள்ளி A விரும்பிய விமானத்திற்கு சொந்தமானது, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் இந்த விமானத்தின் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும், அதாவது. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

மொத்தத்தில், விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: 11 x - 7ஒய் – 2z – 21 = 0.

உதாரணம்.விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும், புள்ளி P(4, -3, 12) என்பது இந்த விமானத்தின் தோற்றத்திலிருந்து கீழே விழுந்த செங்குத்தாக அடிப்பாகம்.

சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை கண்டறிதல்
= (4, -3, 12). விமானத்தின் தேவையான சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: 4 x – 3ஒய் + 12z+ D = 0. குணகம் D ஐக் கண்டுபிடிக்க, நாம் புள்ளி P இன் ஆயங்களை சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

16 + 9 + 144 + D = 0

மொத்தத்தில், தேவையான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: 4 x – 3ஒய் + 12z – 169 = 0

உதாரணம். A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1) என்ற பிரமிட்டின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

விளிம்பு A 1 A 2 இன் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

A 1 A 2 மற்றும் A 1 A 4 விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

விளிம்பு A 1 A 4 மற்றும் முகம் A 1 A 2 A 3 ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

முதலில் A 1 A 2 A 3 முகத்திற்கு சாதாரண திசையன் இருப்பதைக் காண்கிறோம் திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியாக
மற்றும்
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

சாதாரண வெக்டருக்கும் வெக்டருக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்
.

-4 – 4 = -8.

திசையன் மற்றும் விமானம் இடையே விரும்பிய கோணம்  = 90 0 -  சமமாக இருக்கும்.

முகத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் A 1 A 2 A 3.

பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறியவும்.

A 1 A 2 A 3 விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

கணினி பதிப்பைப் பயன்படுத்தும் போது " உயர் கணிதப் படிப்பு” நீங்கள் ஒரு நிரலை இயக்கலாம், அது மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்கும் பிரமிட்டின் முனைகளின் எந்த ஆயத்தொலைவுகளுக்கும்.

நிரலைத் தொடங்க, ஐகானில் இருமுறை கிளிக் செய்யவும்:

திறக்கும் நிரல் சாளரத்தில், பிரமிட்டின் முனைகளின் ஆயங்களை உள்ளிட்டு Enter ஐ அழுத்தவும். இந்த வழியில், அனைத்து முடிவு புள்ளிகளையும் ஒவ்வொன்றாகப் பெறலாம்.

குறிப்பு: நிரலை இயக்க, MapleV வெளியீடு 4 இல் தொடங்கி எந்தப் பதிப்பின் Maple நிரல் ( Waterloo Maple Inc.) உங்கள் கணினியில் நிறுவப்பட்டிருக்க வேண்டும்.

இந்த பாடத்தில், தீர்மானிப்பதை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்று பார்ப்போம் விமான சமன்பாடு. நிர்ணயம் என்றால் என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், பாடத்தின் முதல் பகுதிக்குச் செல்லவும் - "மெட்ரிஸ்கள் மற்றும் தீர்மானிப்பவர்கள்". இல்லையெனில், இன்றைய பொருளில் நீங்கள் எதையும் புரிந்து கொள்ளாத அபாயம் உள்ளது.

மூன்று புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு

நமக்கு ஏன் ஒரு விமானச் சமன்பாடு தேவை? இது எளிமையானது: அதை அறிந்தால், சிக்கல் C2 இல் கோணங்கள், தூரங்கள் மற்றும் பிற முட்டாள்தனங்களை எளிதாக கணக்கிடலாம். பொதுவாக, இந்த சமன்பாடு இல்லாமல் நீங்கள் செய்ய முடியாது. எனவே, நாங்கள் சிக்கலை உருவாக்குகிறோம்:

பணி. ஒரே கோட்டில் அமையாத மூன்று புள்ளிகள் விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகள்:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

இந்த மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கு நீங்கள் ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும். மேலும், சமன்பாடு இப்படி இருக்க வேண்டும்:

Ax + By + Cz + D = 0

எண்கள் A, B, C மற்றும் D ஆகியவை குணகங்களாகும், அவை உண்மையில் கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும்.

சரி, புள்ளிகளின் ஆய மட்டுமே தெரிந்தால் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு பெறுவது? Ax + By + Cz + D = 0 என்ற சமன்பாட்டில் ஆயங்களை மாற்றுவதே எளிதான வழி. நீங்கள் எளிதாக தீர்க்கக்கூடிய மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுவீர்கள்.

பல மாணவர்கள் இந்த தீர்வை மிகவும் கடினமானதாகவும் நம்பமுடியாததாகவும் கருதுகின்றனர். கடந்த ஆண்டு கணிதத்தில் ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட மாநிலத் தேர்வில், கணக்கீட்டுப் பிழை ஏற்படுவதற்கான வாய்ப்பு உண்மையில் அதிகம் என்பதைக் காட்டுகிறது.

எனவே, மிகவும் மேம்பட்ட ஆசிரியர்கள் எளிமையான மற்றும் நேர்த்தியான தீர்வுகளைத் தேடத் தொடங்கினர். அவர்கள் அதை கண்டுபிடித்தார்கள்! உண்மை, பெறப்பட்ட நுட்பம் உயர் கணிதத்துடன் தொடர்புடையது. தனிப்பட்ட முறையில், எந்தவொரு நியாயமும் அல்லது ஆதாரமும் இல்லாமல் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்த எங்களுக்கு உரிமை உள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த, முழு ஃபெடரல் பாடப்புத்தகப் பட்டியலையும் நான் அலச வேண்டியிருந்தது.

ஒரு தீர்மானி மூலம் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு

பாடல் வரிகள் போதும், இனி விஷயத்திற்கு வருவோம். தொடங்குவதற்கு, ஒரு மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் மற்றும் விமானத்தின் சமன்பாடு எவ்வாறு தொடர்புடையது என்பது பற்றிய ஒரு தேற்றம்.

தேற்றம். விமானம் வரையப்பட வேண்டிய மூன்று புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட வேண்டும்: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). இந்த விமானத்தின் சமன்பாட்டை தீர்மானிப்பதன் மூலம் எழுதலாம்:

உதாரணமாக, C2 சிக்கல்களில் உண்மையில் ஏற்படும் ஒரு ஜோடி விமானங்களைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். எல்லாம் எவ்வளவு விரைவாக கணக்கிடப்படுகிறது என்பதைப் பாருங்கள்:

A 1 = (0, 0, 1);
பி = (1, 0, 0);
சி 1 = (1, 1, 1);

நாங்கள் ஒரு தீர்மானத்தை உருவாக்கி அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

நாங்கள் தீர்மானிப்பதை விரிவுபடுத்துகிறோம்:

a = 1 1 (z - 1) + 0 0 x + (-1) 1 y = z - 1 - y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a - b = z - 1 - y - (-x ) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எண்ணை d கணக்கிடும் போது, ​​நான் சமன்பாட்டை சிறிது "சீப்பு" செய்தேன், அதனால் மாறிகள் x, y மற்றும் z உள்ளே சென்றது சரியான வரிசை. அவ்வளவுதான்! விமான சமன்பாடு தயாராக உள்ளது!

பணி. புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்:

A = (0, 0, 0);
பி 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

புள்ளிகளின் ஆயங்களை உடனடியாக தீர்மானிப்பதில் மாற்றுகிறோம்:

தீர்மானிப்பதை மீண்டும் விரிவுபடுத்துகிறோம்:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a - b = z - (x + y) = z - x - y;
d = 0 ⇒ z - x - y = 0 ⇒ x + y - z = 0;

எனவே, விமானத்தின் சமன்பாடு மீண்டும் பெறப்பட்டது! மீண்டும், அன்று கடைசி படிஇன்னும் "அழகான" சூத்திரத்தைப் பெற, அதில் உள்ள அடையாளங்களை மாற்ற வேண்டியிருந்தது. இந்த தீர்வில் இதைச் செய்வது அவசியமில்லை, ஆனால் இது இன்னும் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது - சிக்கலின் மேலும் தீர்வை எளிதாக்குவதற்கு.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவது இப்போது மிகவும் எளிதானது. நாங்கள் புள்ளிகளை மேட்ரிக்ஸில் மாற்றுகிறோம், தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம் - அவ்வளவுதான், சமன்பாடு தயாராக உள்ளது.

இது பாடத்தை முடிக்கலாம். இருப்பினும், பல மாணவர்கள் தீர்மானிக்குள் என்ன இருக்கிறது என்பதை தொடர்ந்து மறந்து விடுகிறார்கள். எடுத்துக்காட்டாக, எந்த வரியில் x 2 அல்லது x 3 உள்ளது, எந்த வரியில் x மட்டுமே உள்ளது. உண்மையில் இதைப் பெற, ஒவ்வொரு எண்ணும் எங்கிருந்து வருகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

தீர்மானிப்புடன் கூடிய சூத்திரம் எங்கிருந்து வருகிறது?

எனவே, ஒரு தீர்மானிப்பாளருடன் அத்தகைய கடுமையான சமன்பாடு எங்கிருந்து வருகிறது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இது அதை நினைவில் வைத்து வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்த உதவும்.

சிக்கல் C2 இல் தோன்றும் அனைத்து விமானங்களும் மூன்று புள்ளிகளால் வரையறுக்கப்படுகின்றன. இந்த புள்ளிகள் எப்போதும் வரைபடத்தில் குறிக்கப்படுகின்றன அல்லது சிக்கலின் உரையில் நேரடியாகக் குறிக்கப்படுகின்றன. எப்படியிருந்தாலும், ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்க, அவற்றின் ஆயங்களை நாம் எழுத வேண்டும்:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

தன்னிச்சையான ஒருங்கிணைப்புகளுடன் எங்கள் விமானத்தில் மற்றொரு புள்ளியைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

T = (x, y, z)

முதல் மூன்றிலிருந்து ஏதேனும் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (உதாரணமாக, புள்ளி M) மற்றும் அதிலிருந்து மீதமுள்ள மூன்று புள்ளிகளுக்கு திசையன்களை வரையவும். நாங்கள் மூன்று திசையன்களைப் பெறுகிறோம்:

MN = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 );
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ).

இப்போது இந்த வெக்டார்களில் இருந்து உருவாக்குவோம் சதுர அணிமற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு அதன் தீர்மானிப்பான். திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளாக மாறும் - மேலும் தேற்றத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள தீர்மானத்தை நாம் பெறுவோம்:

இந்த சூத்திரம் என்பது MN, MK மற்றும் MT ஆகிய திசையன்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணைக் குழாய்களின் அளவு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதாகும். எனவே, மூன்று திசையன்களும் ஒரே விமானத்தில் உள்ளன. குறிப்பாக, ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி T = (x, y, z) என்பது நாம் தேடுவதுதான்.

ஒரு தீர்மானியின் புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகளை மாற்றுதல்

தீர்மானிப்பவர்கள் அதை இன்னும் எளிதாக்கும் பல சிறந்த பண்புகளைக் கொண்டுள்ளனர் சிக்கலுக்கு தீர்வு C2. எடுத்துக்காட்டாக, திசையன்களை எந்த புள்ளியில் இருந்து வரைகிறோம் என்பது நமக்கு முக்கியமில்லை. எனவே, பின்வரும் தீர்மானிப்பான்கள் மேலே உள்ள அதே சமன்பாட்டைக் கொடுக்கின்றன:

டிடர்மினண்டின் வரிகளையும் நீங்கள் மாற்றலாம். சமன்பாடு மாறாமல் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, பலர் T = (x; y; z) புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒரு வரியை மிக மேலே எழுத விரும்புகிறார்கள். தயவுசெய்து, இது உங்களுக்கு வசதியாக இருந்தால்:

வரிகளில் ஒன்றில் x, y மற்றும் z ஆகிய மாறிகள் இருப்பதால், புள்ளிகளை மாற்றும்போது அவை மறைந்துவிடாது என்று சிலர் குழப்பமடைகிறார்கள். ஆனால் அவை மறைந்துவிடக்கூடாது! எண்களை தீர்மானிப்பதில் மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் இந்த கட்டுமானத்தைப் பெற வேண்டும்:

பாடத்தின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் படி தீர்மானிப்பான் விரிவுபடுத்தப்பட்டு, விமானத்தின் நிலையான சமன்பாடு பெறப்படுகிறது:

Ax + By + Cz + D = 0

ஒரு உதாரணத்தைப் பாருங்கள். இன்றைய பாடத்தின் கடைசி பாடம் இது. பதில் விமானத்தின் அதே சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும் என்பதை உறுதிப்படுத்த, நான் வேண்டுமென்றே வரிகளை மாற்றுவேன்.

பணி. புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்:

பி 1 = (1, 0, 1);
சி = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

எனவே, நாங்கள் 4 புள்ளிகளைக் கருதுகிறோம்:

பி 1 = (1, 0, 1);
சி = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

முதலில், ஒரு நிலையான தீர்மானியை உருவாக்கி அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்:

நாங்கள் தீர்மானிப்பதை விரிவுபடுத்துகிறோம்:

a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x - 1) + 1 (-1) (z - 1) + 0 0 y = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
d = a - b = y - (2 - x - z) = y - 2 + x + z = x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

அவ்வளவுதான், எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது: x + y + z - 2 = 0.

இப்போது டிடர்மினண்டில் ஓரிரு வரிகளை மறுசீரமைத்து என்ன நடக்கிறது என்று பார்ப்போம். எடுத்துக்காட்டாக, x, y, z மாறிகள் மூலம் ஒரு வரியை கீழே எழுதாமல் மேலே எழுதுவோம்:

இதன் விளைவாக வரும் தீர்மானத்தை மீண்டும் விரிவுபடுத்துகிறோம்:

a = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
b = (z - 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x - 1) 1 0 = y;
d = a - b = 2 - x - z - y;
d = 0 ⇒ 2 - x - y - z = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

நாம் அதே சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம்: x + y + z - 2 = 0. இது உண்மையில் வரிசைகளின் வரிசையைப் பொறுத்தது அல்ல. பதிலை எழுதுவதுதான் மிச்சம்.

எனவே, விமானத்தின் சமன்பாடு கோடுகளின் வரிசையைப் பொறுத்தது அல்ல என்று நாங்கள் நம்புகிறோம். இதேபோன்ற கணக்கீடுகளை நாம் மேற்கொள்ளலாம் மற்றும் விமானத்தின் சமன்பாடு மற்ற புள்ளிகளிலிருந்து நாம் கழிக்கும் ஆயப் புள்ளியைப் பொறுத்தது அல்ல என்பதை நிரூபிக்க முடியும்.

மேலே கருதப்பட்ட சிக்கலில், B 1 = (1, 0, 1) என்ற புள்ளியைப் பயன்படுத்தினோம், ஆனால் C = (1, 1, 0) அல்லது D 1 = (0, 1, 1) ஐ எடுப்பது மிகவும் சாத்தியம். பொதுவாக, அறியப்பட்ட ஆயங்களைக் கொண்ட எந்தப் புள்ளியும் விரும்பிய விமானத்தில் கிடக்கிறது.

ஒரே கோட்டில் இல்லாத மூன்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அவற்றின் ஆரம் திசையன்கள் மூலம் மற்றும் தற்போதைய ஆரம் திசையன் மூலம் குறிக்கும், நாம் எளிதாக திசையன் வடிவத்தில் தேவையான சமன்பாட்டைப் பெறலாம். உண்மையில், திசையன்கள் கோப்லனராக இருக்க வேண்டும் (அவை அனைத்தும் விரும்பிய விமானத்தில் உள்ளன). எனவே, இந்த திசையன்களின் வெக்டார்-ஸ்கேலர் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்:

இது திசையன் வடிவில் கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு ஆகும்.

ஆயத்தொகுப்புகளுக்குச் செல்லும்போது, ​​ஆயங்களில் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகள் ஒரே வரியில் இருந்தால், திசையன்கள் கோலினியர்களாக இருக்கும். எனவே, சமன்பாட்டில் (18) தீர்மானிப்பவரின் கடைசி இரண்டு வரிகளின் தொடர்புடைய கூறுகள் விகிதாசாரமாக இருக்கும் மற்றும் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, சமன்பாடு (18) x, y மற்றும் z இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் ஒரே மாதிரியாக மாறும். வடிவியல் ரீதியாக, இதன் பொருள் விண்வெளியில் ஒவ்வொரு புள்ளியின் வழியாகவும் கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகள் இருக்கும் ஒரு விமானம் உள்ளது.

குறிப்பு 1. அதே சிக்கலை திசையன்களைப் பயன்படுத்தாமல் தீர்க்க முடியும்.

கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளை முறையே, முதல் புள்ளி வழியாக செல்லும் எந்த விமானத்தின் சமன்பாட்டையும் எழுதுவோம்:

விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெற, சமன்பாடு (17) மற்ற இரண்டு புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகளால் திருப்திப்படுத்தப்பட வேண்டும்:

சமன்பாடுகளிலிருந்து (19), இரண்டு குணகங்களின் விகிதத்தை மூன்றாவதாக தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம் மற்றும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை சமன்பாட்டில் உள்ளிடவும் (17).

எடுத்துக்காட்டு 1. புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

இந்த புள்ளிகளில் முதலாவது வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு:

விமானம் (17) மற்ற இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் முதல் புள்ளியைக் கடப்பதற்கான நிபந்தனைகள்:

முதல் சமன்பாட்டுடன் இரண்டாவது சமன்பாட்டைச் சேர்த்தால், நாம் காணலாம்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம்:

A, B, C க்கு பதிலாக, 1, 5, -4 (அவற்றுக்கு விகிதாசார எண்கள்) பதிலாக சமன்பாடு (17) க்கு மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2. புள்ளிகள் (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் எந்த விமானத்தின் சமன்பாடும் (0, 0, 0) இருக்கும்]

இந்த விமானம் புள்ளிகள் (1, 1, 1) மற்றும் (2, 2, 2) வழியாக செல்வதற்கான நிபந்தனைகள்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டை 2 ஆல் குறைத்து, இரண்டு அறியப்படாதவற்றைத் தீர்மானிக்க, ஒரு சமன்பாடு இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம். இப்போது சமன்பாட்டில் விமானத்தின் மதிப்பை மாற்றுவதன் மூலம், நாம் காண்கிறோம்:

இது விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாடு; அது தன்னிச்சையாக சார்ந்துள்ளது

அளவுகள் B, C (அதாவது, உறவில் இருந்து அதாவது மூன்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் வழியாக எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான விமானங்கள் உள்ளன (மூன்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் உள்ளன).

குறிப்பு 2. ஒரே கோட்டில் இல்லாத மூன்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் மூலம் விமானத்தை வரைவதில் உள்ள சிக்கல் எளிதில் தீர்க்கப்படுகிறது பொதுவான பார்வை, நாம் தீர்மானிகளைப் பயன்படுத்தினால். உண்மையில், சமன்பாடுகளில் (17) மற்றும் (19) குணகங்கள் A, B, C ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது, பின்னர், இந்த சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் ஒரே மாதிரியான அமைப்புமூன்று அறியப்படாத A, B, C உடன், பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட இந்த அமைப்பிற்கான தீர்வு இருப்பதற்கான தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனையை நாங்கள் எழுதுகிறோம் (பகுதி 1, அத்தியாயம் VI, § 6):

இந்த தீர்மானத்தை முதல் வரிசையின் கூறுகளாக விரிவுபடுத்திய பின்னர், தற்போதைய ஆயத்தொலைவுகளைப் பொறுத்து முதல் பட்டத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், இது மூன்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகளால் திருப்தி அடையும்.

க்குப் பதிலாக இந்தப் புள்ளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றின் ஆயங்களை மாற்றுவதன் மூலம் இதை நேரடியாகச் சரிபார்க்கலாம். இடதுபுறத்தில், முதல் வரிசையின் உறுப்புகள் பூஜ்ஜியங்களாக இருக்கும் அல்லது ஒரே மாதிரியான இரண்டு வரிசைகளைக் கொண்ட ஒரு தீர்மானிப்பைப் பெறுகிறோம். இவ்வாறு, கட்டப்பட்ட சமன்பாடு மூன்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு விமானத்தை குறிக்கிறது.

நீங்கள் அமைக்கலாம் வெவ்வேறு வழிகளில்(ஒரு புள்ளி மற்றும் ஒரு திசையன், இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் ஒரு திசையன், மூன்று புள்ளிகள், முதலியன). இதைக் கருத்தில் கொண்டுதான் விமானத்தின் சமன்பாடு இருக்க முடியும் பல்வேறு வகையான. மேலும், சில நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு, விமானங்கள் இணையாக, செங்குத்தாக, வெட்டும், முதலியன இருக்கலாம். இதைப் பற்றி இந்த கட்டுரையில் பேசுவோம். பொதுவான விமானச் சமன்பாட்டை எவ்வாறு உருவாக்குவது மற்றும் பலவற்றைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

சமன்பாட்டின் இயல்பான வடிவம்

செவ்வக XYZ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் கொண்ட ஸ்பேஸ் R 3 உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். வெக்டார் α ஐ வரையறுப்போம், இது ஆரம்ப புள்ளி O இலிருந்து வெளியிடப்படும். திசையன் α முடிவின் மூலம் நாம் ஒரு விமானம் P வரைகிறோம், அது அதற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

P இல் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை Q = (x, y, z) எனக் குறிப்பிடுவோம். புள்ளி Q இன் ஆரம் வெக்டரை p என்ற எழுத்தில் கையொப்பமிடுவோம். இந்த வழக்கில், திசையன் α இன் நீளம் р=IαI மற்றும் Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) க்கு சமமாக இருக்கும்.

இது அலகு திசையன், இது திசையன் α போன்ற பக்கத்திற்கு இயக்கப்படுகிறது. α, β மற்றும் γ ஆகியவை திசையன் Ʋ மற்றும் x, y, z ஆகிய விண்வெளி அச்சுகளின் நேர்மறை திசைகளுக்கு இடையே உருவாகும் கோணங்களாகும். திசையன் Ʋ மீது எந்தப் புள்ளி QϵП ப்ராஜெக்ஷன் என்பது p: (p,Ʋ) = p(p≥0) க்கு சமமான ஒரு நிலையான மதிப்பாகும்.

மேலே உள்ள சமன்பாடு p=0 ஆக இருக்கும் போது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், இந்த வழக்கில் உள்ள விமானம் P ஆனது O (α = 0) புள்ளியை வெட்டும், இது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் ஆகும், மேலும் O புள்ளியில் இருந்து வெளியிடப்படும் அலகு திசையன் Ʋ அதன் திசையில் இருந்தாலும், P க்கு செங்குத்தாக இருக்கும். திசையன் Ʋ குறிக்கு துல்லியமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. முந்தைய சமன்பாடு எங்கள் விமானம் P இன் சமன்பாடு ஆகும், இது திசையன் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஆனால் ஒருங்கிணைப்புகளில் இது இப்படி இருக்கும்:

இங்கு P என்பது 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது. விண்வெளியில் உள்ள விமானத்தின் சமன்பாட்டை சாதாரண வடிவத்தில் கண்டுபிடித்துள்ளோம்.

பொது சமன்பாடு

ஆய சமன்பாட்டை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எந்த எண்ணாலும் பெருக்கினால், இந்த சமன்பாட்டிற்கு சமமான ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அந்த விமானத்தை வரையறுக்கிறோம். இது இப்படி இருக்கும்:

இங்கே A, B, C ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒரே நேரத்தில் வேறுபட்ட எண்கள். இந்த சமன்பாடு பொது விமானச் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

விமானங்களின் சமன்பாடுகள். சிறப்பு வழக்குகள்

பொதுவான வடிவத்தில் உள்ள சமன்பாடு கூடுதல் நிபந்தனைகளின் முன்னிலையில் மாற்றியமைக்கப்படலாம். அவற்றில் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்.

குணகம் A 0 என்று வைத்துக் கொள்வோம். இதன் பொருள் இந்த விமானம் கொடுக்கப்பட்ட ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது. இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் வடிவம் மாறும்: Ву+Cz+D=0.

இதேபோல், பின்வரும் நிபந்தனைகளின் கீழ் சமன்பாட்டின் வடிவம் மாறும்:

• முதலில், B = 0 எனில், சமன்பாடு Ax + Cz + D = 0 ஆக மாறும், இது Oy அச்சுக்கு இணையான தன்மையைக் குறிக்கும்.
• இரண்டாவதாக, C=0 எனில், சமன்பாடு Ax+By+D=0 ஆக மாற்றப்படும், இது கொடுக்கப்பட்ட Oz அச்சுக்கு இணையான தன்மையைக் குறிக்கும்.
• மூன்றாவதாக, D=0 எனில், சமன்பாடு Ax+By+Cz=0 போல இருக்கும், அதாவது விமானம் O (தோற்றம்) வெட்டுகிறது.
• நான்காவதாக, A=B=0 எனில், சமன்பாடு Cz+D=0 ஆக மாறும், இது Oxy க்கு இணையாக இருக்கும்.
• ஐந்தாவதாக, B=C=0 எனில், சமன்பாடு Ax+D=0 ஆக மாறும், அதாவது Oyzக்கு விமானம் இணையாக உள்ளது.
• ஆறாவது, A=C=0 என்றால், சமன்பாடு Ву+D=0 வடிவத்தை எடுக்கும், அதாவது, அது Oxz க்கு இணையான தன்மையைப் புகாரளிக்கும்.

பிரிவுகளில் சமன்பாட்டின் வகை

A, B, C, D எண்கள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால், சமன்பாட்டின் வடிவம் (0) பின்வருமாறு இருக்கலாம்:

x/a + y/b + z/c = 1,

இதில் a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

இதன் விளைவாக, இந்த விமானம் ஆக்ஸ் (a,0,0), Oy - (0,b,0) மற்றும் Oz - (0,0,c) உடன் ஒரு புள்ளியில் எருது அச்சில் வெட்டும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. )

x/a + y/b + z/c = 1 என்ற சமன்பாட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் தொடர்புடைய விமானத்தின் இடத்தை கற்பனை செய்வது கடினம் அல்ல.

சாதாரண திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்

சாதாரண திசையன் n முதல் விமானம் P க்கு குணகங்களாக இருக்கும் ஆயத்தொலைவுகள் உள்ளன பொது சமன்பாடுகொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின், அதாவது, n (A, B, C).

சாதாரண n இன் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்க, கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டை அறிந்தால் போதும்.

x/a + y/b + z/c = 1 வடிவத்தைக் கொண்ட பிரிவுகளில் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​ஒரு பொதுவான சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் எந்த சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளையும் எழுதலாம்: (1/a + 1/b + 1/ உடன்).

என்பது குறிப்பிடத்தக்கது சாதாரண திசையன்பல்வேறு பிரச்சனைகளை தீர்க்க உதவுகிறது. விமானங்களின் செங்குத்தாக அல்லது இணையான தன்மையை நிரூபிப்பதில் உள்ள சிக்கல்கள், விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணங்கள் அல்லது விமானங்கள் மற்றும் நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணங்களைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்கள் ஆகியவை மிகவும் பொதுவானவை.

புள்ளி மற்றும் சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளின்படி விமானச் சமன்பாட்டின் வகை

கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் n கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு இயல்பானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒருங்கிணைப்பு இடத்தில் (செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு) Oxyz கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

• புள்ளி Mₒ ஒருங்கிணைப்புகளுடன் (xₒ,yₒ,zₒ);
• பூஜ்ஜிய திசையன் n=A*i+B*j+C*k.

சாதாரண n க்கு செங்குத்தாக Mₒ புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம்.

விண்வெளியில் உள்ள தன்னிச்சையான புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து அதை M (x y, z) என்று குறிப்பிடுகிறோம். எந்தப் புள்ளியின் ஆரம் திசையன் M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k என்றும், புள்ளியின் ஆரம் திசையன் Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. திசையன் MₒM திசையன் n க்கு செங்குத்தாக இருந்தால் புள்ளி M கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு சொந்தமானது. ஸ்கேலர் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி ஆர்த்தோகனாலிட்டி நிலையை எழுதுவோம்:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ என்பதால், விமானத்தின் திசையன் சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

இந்த சமன்பாடு மற்றொரு வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கலாம். இதைச் செய்ய, அளவிடுதல் உற்பத்தியின் பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் மாற்றப்படுகிறது.

= - . நாம் அதை c எனக் குறிப்பிட்டால், பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: - c = 0 அல்லது = c, இது விமானத்திற்குச் சொந்தமான புள்ளிகளின் ஆரம் திசையன்களின் சாதாரண திசையன் மீது கணிப்புகளின் நிலைத்தன்மையை வெளிப்படுத்துகிறது.

இப்போது நாம் நமது விமானத்தின் திசையன் சமன்பாட்டை எழுதுவதற்கான ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தைப் பெறலாம் = 0. ஏனெனில் r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, மற்றும் n = A*i+B *j+С*k, எங்களிடம் உள்ளது:

சாதாரண n க்கு செங்குத்தாக ஒரு புள்ளி வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாடு நம்மிடம் உள்ளது.

இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் விமானத்திற்கு ஒரு திசையன் கோலினியர் ஆகியவற்றின் படி விமான சமன்பாட்டின் வகை

இரண்டு தன்னிச்சையான புள்ளிகள் M′ (x′,y′,z′) மற்றும் M″ (x″,y″,z″), அத்துடன் ஒரு திசையன் a (a′,a″,a‴) ஆகியவற்றை வரையறுப்போம்.

தற்போதுள்ள M′ மற்றும் M″ புள்ளிகள் வழியாகவும், கொடுக்கப்பட்ட திசையன் a க்கு இணையான ஆயத்தொகுதிகளுடன் (x, y, z) எந்தப் புள்ளி M ஐயும் கடந்து செல்லும் ஒரு சமன்பாட்டை இப்போது உருவாக்கலாம்.

இந்த வழக்கில், திசையன்களான M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) மற்றும் M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ஆகியவை திசையன் உடன் இணையாக இருக்க வேண்டும். a=(a′,a″,a‴), அதாவது (M′M, M″M, a)=0.

எனவே, விண்வெளியில் நமது விமானச் சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

மூன்று புள்ளிகளை வெட்டும் விமானத்தின் சமன்பாட்டின் வகை

நம்மிடம் மூன்று புள்ளிகள் உள்ளன என்று வைத்துக் கொள்வோம்: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), இவை ஒரே வரியில் இல்லை. கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுவது அவசியம். வடிவவியலின் கோட்பாடு இந்த வகையான விமானம் உண்மையில் இருப்பதாகக் கூறுகிறது, ஆனால் அது ஒரே ஒரு மற்றும் தனித்துவமானது. இந்த விமானம் புள்ளியை (x′,y′,z′) வெட்டுவதால், அதன் சமன்பாட்டின் வடிவம் பின்வருமாறு இருக்கும்:

இங்கே A, B, C ஆகியவை ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபடுகின்றன. மேலும், கொடுக்கப்பட்ட விமானம் மேலும் இரண்டு புள்ளிகளை வெட்டுகிறது: (x″,y″,z″) மற்றும் (x‴,y‴,z‴). இது சம்பந்தமாக, பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:

இப்போது நாம் தெரியாத u, v, w: உடன் ஒரே மாதிரியான அமைப்பை உருவாக்கலாம்:

எங்கள் வழக்கு x,yஅல்லது z சமன்பாட்டை (1) திருப்திப்படுத்தும் தன்னிச்சையான புள்ளியாக செயல்படுகிறது. சமன்பாடு (1) மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (2) மற்றும் (3), மேலே உள்ள படத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு N (A,B,C) திசையன் மூலம் திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது, இது அற்பமானது அல்ல. அதனால்தான் இந்த அமைப்பின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

நாம் பெற்ற சமன்பாடு (1) விமானத்தின் சமன்பாடு ஆகும். இது சரியாக 3 புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது, இதை சரிபார்க்க எளிதானது. இதைச் செய்ய, முதல் வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளில் நமது தீர்மானிப்பதை விரிவுபடுத்த வேண்டும். நிர்ணயிப்பவரின் தற்போதைய பண்புகளிலிருந்து, நமது விமானம் ஆரம்பத்தில் கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளை (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ஒரே நேரத்தில் வெட்டுகிறது. . அதாவது, எங்களுக்கு ஒதுக்கப்பட்ட பணியை நாங்கள் தீர்த்துவிட்டோம்.

விமானங்களுக்கு இடையில் இருமுனை கோணம்

ஒரு இருமுனைக் கோணம் ஒரு இடத்தைக் குறிக்கிறது வடிவியல் உருவம், ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்து வெளிப்படும் இரண்டு அரை விமானங்களால் உருவாக்கப்பட்டது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த அரை-விமானங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட இடத்தின் பகுதி இதுவாகும்.

பின்வரும் சமன்பாடுகளுடன் இரண்டு விமானங்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

N=(A,B,C) மற்றும் N¹=(A¹,B¹,C¹) ஆகிய திசையன்கள் செங்குத்தாக இருப்பதை நாம் அறிவோம். கொடுக்கப்பட்ட விமானங்கள். இது சம்பந்தமாக, N மற்றும் N¹ ஆகிய திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் φ இந்த விமானங்களுக்கு இடையில் அமைந்துள்ள கோணத்திற்கு (இரண்டு ஹெட்ரல்) சமமாக இருக்கும். புள்ளி தயாரிப்பு வடிவம் உள்ளது:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

துல்லியமாக ஏனெனில்

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤φ≤π என்பதை கணக்கில் கொண்டால் போதும்.

உண்மையில், வெட்டும் இரண்டு விமானங்கள் இரண்டு கோணங்களை (டைஹெட்ரல்) உருவாக்குகின்றன: φ 1 மற்றும் φ 2. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை π (φ 1 + φ 2 = π) க்கு சமம். அவற்றின் கொசைன்களைப் பொறுத்தவரை, அவற்றின் முழுமையான மதிப்புகள் சமமானவை, ஆனால் அவை அடையாளத்தில் வேறுபடுகின்றன, அதாவது cos φ 1 = -cos φ 2. சமன்பாட்டில் (0) நாம் A, B மற்றும் C ஐ முறையே -A, -B மற்றும் -C எண்களுடன் மாற்றினால், நாம் பெறும் சமன்பாடு அதே விமானத்தை, ஒரே ஒரு, சமன்பாட்டில் φ கோணத்தை தீர்மானிக்கும். φ= NN 1 /|. N||N 1 | π-φ ஆல் மாற்றப்படும்.

ஒரு செங்குத்து விமானத்தின் சமன்பாடு

90 டிகிரி கோணத்தில் இருக்கும் விமானங்கள் செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகின்றன. மேலே வழங்கப்பட்ட பொருளைப் பயன்படுத்தி, ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை மற்றொன்றுக்கு செங்குத்தாகக் காணலாம். எங்களிடம் இரண்டு விமானங்கள் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்: Ax+By+Cz+D=0 மற்றும் A¹x+B¹y+C¹z+D=0. cosφ=0 எனில் அவை செங்குத்தாக இருக்கும் என்று சொல்லலாம். இதன் பொருள் NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

இணை விமானச் சமன்பாடு

பொதுவான புள்ளிகள் இல்லாத இரண்டு விமானங்கள் இணை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

நிபந்தனை (அவற்றின் சமன்பாடுகள் முந்தைய பத்தியில் உள்ளதைப் போலவே இருக்கும்) அவற்றிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் N மற்றும் N¹ திசையன்கள் கோலினியர் ஆகும். இதன் பொருள் பின்வரும் விகிதாசார நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

விகிதாச்சார நிபந்தனைகள் நீட்டிக்கப்பட்டால் - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

இந்த விமானங்கள் இணைந்திருப்பதை இது குறிக்கிறது. அதாவது Ax+By+Cz+D=0 மற்றும் A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 ஆகிய சமன்பாடுகள் ஒரு விமானத்தை விவரிக்கின்றன.

புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம்

எங்களிடம் ஒரு விமானம் P உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது சமன்பாடு (0) மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஆய (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ கொண்ட ஒரு புள்ளியில் இருந்து அதற்கான தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் P விமானத்தின் சமன்பாட்டை சாதாரண வடிவத்தில் கொண்டு வர வேண்டும்:

(ρ,v)=р (р≥0).

இந்த வழக்கில், ρ (x, y, z) என்பது P இல் அமைந்துள்ள Q இன் ஆரம் திசையன் ஆகும், p என்பது பூஜ்ஜியப் புள்ளியில் இருந்து வெளியிடப்பட்ட செங்குத்தாக P இன் நீளம், v என்பது அலகு திசையன், இதில் அமைந்துள்ளது. திசை a.

சில புள்ளி Q = (x, y, z) இன் ρ-ρº ஆரம் வெக்டரின் வேறுபாடு P க்கு சொந்தமானது, அதே போல் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் ஆரம் திசையன் Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) அத்தகைய திசையன், முழுமையான மதிப்பு V மீதான ப்ரொஜெக்ஷன் தூரம் d க்கு சமம், இது Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) இலிருந்து P வரை காணப்பட வேண்டும்:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ஆனால்

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

எனவே அது மாறிவிடும்

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

இவ்வாறு, விளைந்த வெளிப்பாட்டின் முழுமையான மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது விரும்பிய டி.

அளவுரு மொழியைப் பயன்படுத்தி, நாம் தெளிவாகப் பெறுகிறோம்:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

என்றால் புள்ளி அமைக்க Q 0 என்பது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் போன்ற P இன் மறுபுறத்தில் உள்ளது, பின்னர் ρ-ρ 0 மற்றும் v ஆகிய திசையன்களுக்கு இடையில் அமைந்துள்ளது:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

புள்ளி Q 0, ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் சேர்ந்து, P இன் ஒரே பக்கத்தில் அமைந்திருந்தால், உருவாக்கப்பட்ட கோணம் கடுமையானது, அதாவது:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

இதன் விளைவாக, முதல் வழக்கில் (ρ 0 ,v)>р, இரண்டாவது (ρ 0 ,v)<р.

தொடு விமானம் மற்றும் அதன் சமன்பாடு

Mº தொடர்பு புள்ளியில் மேற்பரப்புக்கு தொடும் விமானம் என்பது மேற்பரப்பில் இந்த புள்ளியின் வழியாக வரையப்பட்ட வளைவுகளுக்கு சாத்தியமான அனைத்து தொடுகோடுகளையும் கொண்ட ஒரு விமானமாகும்.

இந்த வகையான மேற்பரப்பு சமன்பாடு F(x,y,z)=0 உடன், Mº(xº,yº,zº) என்ற தொடு புள்ளியில் உள்ள தொடுவான விமானத்தின் சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

நீங்கள் மேற்பரப்பை வெளிப்படையான வடிவத்தில் z=f (x,y) இல் குறிப்பிட்டால், தொடுவான விமானம் சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படும்:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

இரண்டு விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு

ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் (செவ்வக) Oxyz அமைந்துள்ளது, இரண்டு விமானங்கள் П′ மற்றும் П″ கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, அவை வெட்டும் மற்றும் ஒத்துப்போவதில்லை. ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் அமைந்துள்ள எந்த விமானமும் ஒரு பொதுவான சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுவதால், P′ மற்றும் P″ ஆகியவை A′x+B′y+C′z+D′=0 மற்றும் A″x சமன்பாடுகளால் வழங்கப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். +B″y+ С″z+D″=0. இந்த வழக்கில், நாம் P′ விமானத்தின் இயல்பான n′ (A′,B′,C′) மற்றும் P″ விமானத்தின் சாதாரண n″ (A″,B″,C″) ஐக் கொண்டுள்ளோம். எங்கள் விமானங்கள் இணையாக இல்லை மற்றும் ஒத்துப்போவதில்லை என்பதால், இந்த திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல. கணிதத்தின் மொழியைப் பயன்படுத்தி, இந்த நிபந்தனையை பின்வருமாறு எழுதலாம்: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P′ மற்றும் P″ குறுக்குவெட்டில் இருக்கும் நேர்கோட்டை a என்ற எழுத்தால் குறிக்கலாம், இந்த வழக்கில் a = P′ ∩ P″.

a என்பது P′ மற்றும் P″ விமானங்களின் (பொதுவான) அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பையும் கொண்ட ஒரு நேர்கோடு. இதன் பொருள், ஒரு வரியைச் சேர்ந்த எந்தப் புள்ளியின் ஆயங்களும் ஒரே நேரத்தில் A′x+B′y+C′z+D′=0 மற்றும் A″x+B″y+C″z+D″=0 ஆகிய சமன்பாடுகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். . இதன் பொருள், புள்ளியின் ஆயங்கள் பின்வரும் சமன்பாடுகளின் ஒரு பகுதி தீர்வாக இருக்கும்:

இதன் விளைவாக, இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் (பொது) தீர்வு கோட்டின் ஒவ்வொரு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளையும் தீர்மானிக்கும், இது P′ மற்றும் P″ வெட்டும் புள்ளியாக செயல்படும் மற்றும் நேர்கோட்டை தீர்மானிக்கும். விண்வெளியில் Oxyz (செவ்வக) ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் a.

இந்த பொருளில், ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத மூன்று வெவ்வேறு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளை அறிந்தால், ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைப் பார்ப்போம். இதைச் செய்ய, முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு என்ன என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். தொடங்குவதற்கு, இந்த சமன்பாட்டின் அடிப்படைக் கொள்கையை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துவோம் மற்றும் குறிப்பிட்ட சிக்கல்களைத் தீர்க்க அதை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் காண்பிப்போம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

முதலில், நாம் ஒரு கோட்பாட்டை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், இது போல் தெரிகிறது:

வரையறை 1

மூன்று புள்ளிகள் ஒன்றோடொன்று ஒத்துப்போகவில்லை மற்றும் ஒரே நேர்கோட்டில் பொய் இல்லை என்றால், முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு விமானம் மட்டுமே அவற்றின் வழியாக செல்கிறது.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எங்களிடம் மூன்று வெவ்வேறு புள்ளிகள் இருந்தால், அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் ஒத்துப்போகாத மற்றும் ஒரு நேர் கோட்டால் இணைக்கப்பட முடியாதவை, அதன் வழியாக செல்லும் விமானத்தை நாம் தீர்மானிக்க முடியும்.

நம்மிடம் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். அதை O x y z குறிப்போம். இணைக்க முடியாத M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ஆகிய மூன்று புள்ளிகள் M ஐக் கொண்டுள்ளது. நேர் கோடு. இந்த நிபந்தனைகளின் அடிப்படையில், நமக்குத் தேவையான விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதலாம். இந்த சிக்கலை தீர்க்க இரண்டு அணுகுமுறைகள் உள்ளன.

1. முதல் அணுகுமுறை பொது விமானச் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. எழுத்து வடிவில், A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 என எழுதப்பட்டுள்ளது. அதன் உதவியுடன், ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் நீங்கள் முதலில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி M 1 (x 1, y 1, z 1) வழியாக செல்லும் ஒரு குறிப்பிட்ட ஆல்பா விமானத்தை வரையறுக்கலாம். விமானம் α இன் சாதாரண திசையன் A, B, C ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும் என்று மாறிவிடும்.

N இன் வரையறை

சாதாரண திசையன் மற்றும் விமானம் கடந்து செல்லும் புள்ளியின் ஆயங்களை அறிந்து, இந்த விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டை எழுதலாம்.

இதைத்தான் எதிர்காலத்தில் தொடருவோம்.

எனவே, சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, விமானம் கடந்து செல்லும் விரும்பிய புள்ளியின் (மூன்று கூட) ஆயத்தொலைவுகள் எங்களிடம் உள்ளன. சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிக்க, அதன் சாதாரண திசையன் ஆயங்களை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும். அதை n → குறிப்போம்.

விதியை நினைவில் கொள்வோம்: கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் எந்த பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் அதே விமானத்தின் சாதாரண திசையனுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும். பின்னர் n → என்பது M 1 M 2 → மற்றும் M 1 M 3 → ஆகிய அசல் புள்ளிகளால் ஆன திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும். பின்னர் n → ஐ M 1 M 2 → · M 1 M 3 → வடிவத்தின் வெக்டார் உற்பத்தியாகக் குறிக்கலாம்.

M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) மற்றும் M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (இந்த சமத்துவங்களின் சான்றுகள் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன), பின்னர் அது மாறிவிடும்:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - 1

நாம் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிட்டால், நமக்குத் தேவையான சாதாரண திசையன் n → இன் ஆயத்தொலைவுகளைப் பெறுவோம். கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்குத் தேவையான சமன்பாட்டை இப்போது எழுதலாம்.

2. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) வழியாகச் செல்லும் சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கான இரண்டாவது அணுகுமுறை திசையன்களின் கோப்லானரிட்டி போன்ற ஒரு கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

நம்மிடம் M (x, y, z) புள்ளிகள் இருந்தால், ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2) புள்ளிகளுக்கு ஒரு விமானத்தை வரையறுக்கிறார்கள். , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) திசையன்கள் M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) மற்றும் M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) coplanar ஆக இருக்கும் .

வரைபடத்தில் இது இப்படி இருக்கும்:

M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → ஆகிய திசையன்களின் கலப்புப் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , இது கோப்லானாரிட்டியின் முக்கிய நிபந்தனை என்பதால்: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) மற்றும் M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் எழுதுவோம்:

தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிட்ட பிறகு, ஒரே வரியில் M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) இல் இல்லாத மூன்று புள்ளிகளுக்குத் தேவையான விமானச் சமன்பாட்டைப் பெறலாம். , M 3 (x 3, y 3, z 3) .

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டிலிருந்து, சிக்கலின் நிலைமைகள் தேவைப்பட்டால், நீங்கள் பிரிவுகளில் விமானத்தின் சமன்பாட்டிற்கு அல்லது விமானத்தின் சாதாரண சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம்.

அடுத்த பத்தியில் நாம் சுட்டிக்காட்டிய அணுகுமுறைகள் நடைமுறையில் எவ்வாறு செயல்படுத்தப்படுகின்றன என்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்.

3 புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்

முன்னதாக, விரும்பிய சமன்பாட்டைக் கண்டறிய பயன்படுத்தக்கூடிய இரண்டு அணுகுமுறைகளை நாங்கள் அடையாளம் கண்டோம். சிக்கல்களைத் தீர்க்க அவை எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன மற்றும் ஒவ்வொன்றையும் நீங்கள் எப்போது தேர்வு செய்ய வேண்டும் என்பதைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1) ஆகிய ஆயத்தொகுதிகளுடன் ஒரே வரியில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகள் உள்ளன. அவற்றைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தீர்வு

இரண்டு முறைகளையும் மாறி மாறி பயன்படுத்துகிறோம்.

1. நமக்கு தேவையான இரண்டு திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும் M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

இப்போது அவற்றின் திசையன் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுவோம். தீர்மானிப்பவரின் கணக்கீடுகளை நாங்கள் விவரிக்க மாட்டோம்:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

தேவையான மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்தின் சாதாரண திசையன் எங்களிடம் உள்ளது: n → = (- 5, 30, 2) . அடுத்து, நாம் புள்ளிகளில் ஒன்றை எடுக்க வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, M 1 (- 3, 2, - 1), மற்றும் திசையன் n → = (- 5, 30, 2) உடன் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதவும். நாம் பெறுவது: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கு தேவையான சமன்பாடு இதுதான்.

2. வித்தியாசமான அணுகுமுறையை எடுப்போம். மூன்று புள்ளிகள் M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) உள்ள ஒரு விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுவோம் பின்வரும் படிவம்:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

இங்கே நீங்கள் சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து தரவை மாற்றலாம். x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

எங்களுக்கு தேவையான சமன்பாடு கிடைத்தது.

பதில்:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் இன்னும் ஒரே வரியில் இருந்தால், அவற்றுக்கான விமானச் சமன்பாட்டை நாம் உருவாக்க வேண்டுமா என்ன? இந்த நிலை முற்றிலும் சரியாக இருக்காது என்று இங்கே சொல்ல வேண்டும். எண்ணற்ற விமானங்கள் அத்தகைய புள்ளிகளைக் கடந்து செல்ல முடியும், எனவே ஒரு பதிலைக் கணக்கிடுவது சாத்தியமில்லை. கேள்வியின் அத்தகைய சூத்திரத்தின் தவறான தன்மையை நிரூபிக்க இதுபோன்ற சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

எம் 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 ஆகிய ஆயத்தொகுதிகளுடன் மூன்று புள்ளிகள் வைக்கப்படும் முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு உள்ளது. , 1) அதன் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கு சமன்பாடு எழுதுவது அவசியம்.

தீர்வு

முதல் முறையைப் பயன்படுத்தி, M 1 M 2 → மற்றும் M 1 M 3 → ஆகிய இரண்டு திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் தொடங்குவோம். அவற்றின் ஆயங்களை கணக்கிடுவோம்: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

குறுக்கு தயாரிப்பு சமமாக இருக்கும்:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → என்பதால், எங்கள் திசையன்கள் கோலினியராக இருக்கும் (இந்த கருத்தின் வரையறையை நீங்கள் மறந்துவிட்டால் அவற்றைப் பற்றிய கட்டுரையை மீண்டும் படிக்கவும்). எனவே, ஆரம்ப புள்ளிகள் M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) ஒரே வரியில் உள்ளன, மேலும் எங்கள் பிரச்சனை எண்ணற்றது. விருப்பங்கள் பதில்.

நாம் இரண்டாவது முறையைப் பயன்படுத்தினால், நாம் பெறுவோம்:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவத்திலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) ஆகியவை ஒரே வரியில் உள்ளன.

அதன் எண்ணற்ற விருப்பங்களில் இருந்து இந்த சிக்கலுக்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு பதிலையாவது நீங்கள் கண்டுபிடிக்க விரும்பினால், நீங்கள் பின்வரும் படிகளைப் பின்பற்ற வேண்டும்:

1. M 1 M 2, M 1 M 3 அல்லது M 2 M 3 என்ற நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள் (தேவைப்பட்டால், இந்த செயலைப் பற்றிய பொருளைப் பாருங்கள்).

2. ஒரு புள்ளி M 4 (x 4, y 4, z 4) ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், இது M 1 M 2 என்ற நேர் கோட்டில் இல்லை.

3. ஒரே கோட்டில் அமையாத M 1, M 2 மற்றும் M 4 ஆகிய மூன்று வெவ்வேறு புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதவும்.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்