அளவுருக்கள் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறை. அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள்: வரைகலை தீர்வு முறை

அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள் பள்ளிக் கணிதத்தில் மிகவும் கடினமான பிரச்சனைகளில் ஒன்றாகக் கருதப்படுகிறது. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வகை B மற்றும் C இன் பணிகளின் பட்டியலில் ஆண்டுதோறும் முடிவடையும் இந்த பணிகள் துல்லியமாக உள்ளன. இருப்பினும், அளவுருக்கள் கொண்ட அதிக எண்ணிக்கையிலான சமன்பாடுகளில், வரைபட ரீதியாக எளிதில் தீர்க்கக்கூடியவை உள்ளன. பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த முறையைப் பார்ப்போம்.

சமன்பாடு |x 2 – 2x – 3| என்ற எண்ணின் முழு எண் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும் = a நான்கு வேர்களைக் கொண்டது.

தீர்வு.

சிக்கலின் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒன்றை உருவாக்குவோம் ஒருங்கிணைப்பு விமானம்செயல்பாட்டு வரைபடங்கள்

y = |x 2 – 2x – 3| மற்றும் y = a.

முதல் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = |x 2 – 2x – 3| ஆக்ஸ் அச்சுக்குக் கீழே உள்ள வரைபடத்தின் பகுதியை x-அச்சு தொடர்பாக சமச்சீராகக் காண்பிப்பதன் மூலம் y = x 2 – 2x – 3 என்ற பரவளையத்தின் வரைபடத்திலிருந்து பெறப்படும். x அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ள வரைபடத்தின் பகுதி மாறாமல் இருக்கும்.

இதை படிப்படியாக செய்வோம். y = x 2 - 2x - 3 செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும், அதன் கிளைகள் மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன. அதன் வரைபடத்தை உருவாக்க, உச்சியின் ஆயங்களை நாம் காண்கிறோம். x 0 = -b/2a சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்யலாம். எனவே, x 0 = 2/2 = 1. ஆர்டினேட் அச்சில் பரவளையத்தின் உச்சியின் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய, கேள்விக்குரிய செயல்பாட்டின் சமன்பாட்டில் x 0 க்கு விளைந்த மதிப்பை மாற்றுகிறோம். y 0 = 1 – 2 – 3 = -4 என்று பெறுகிறோம். இதன் பொருள் பரவளையத்தின் உச்சியில் ஆயத்தொகுதிகள் உள்ளன (1; -4).

அடுத்து, ஆய அச்சுகளுடன் பரவளைய கிளைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். abscissa அச்சுடன் பரவளையத்தின் கிளைகள் வெட்டும் புள்ளிகளில், செயல்பாட்டின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். எனவே நாங்கள் முடிவு செய்வோம் இருபடி சமன்பாடு x 2 – 2x – 3 = 0. அதன் வேர்கள் தேவையான புள்ளிகளாக இருக்கும். வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி நமக்கு x 1 = -1, x 2 = 3 உள்ளது.

ஆர்டினேட் அச்சுடன் பரவளைய கிளைகளின் வெட்டும் புள்ளிகளில், வாதத்தின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். எனவே, புள்ளி y = -3 என்பது y- அச்சுடன் பரவளையத்தின் கிளைகளை வெட்டும் புள்ளியாகும். இதன் விளைவாக வரைபடம் படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

y = |x 2 – 2x – 3| செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பெற, x அச்சுக்குக் கீழே உள்ள வரைபடத்தின் பகுதியை x அச்சுடன் சமச்சீராகக் காண்பிப்போம். இதன் விளைவாக வரைபடம் படம் 2 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

y = a செயல்பாட்டின் வரைபடம் abscissa அச்சுக்கு இணையான ஒரு நேர்கோடு. இது படம் 3 இல் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது. படத்தைப் பயன்படுத்தி, வரைபடங்கள் இடைவெளியில் (0; 4) சேர்ந்தால் நான்கு பொதுவான புள்ளிகள் (மற்றும் சமன்பாடு நான்கு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது) இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

இதன் விளைவாக வரும் இடைவெளியிலிருந்து a எண்ணின் முழு எண் மதிப்புகள்: 1; 2; 3. சிக்கலின் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம்: 1 + 2 + 3 = 6.

பதில்: 6.

சமன்பாடு |x 2 – 4|x| எண்ணின் முழு எண் மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் கண்டறியவும் – 1| = a ஆறு வேர்களைக் கொண்டது.

y = |x 2 – 4|x| செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம் – 1|. இதைச் செய்ய, சமத்துவம் a 2 = |a| 2 மற்றும் செயல்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் எழுதப்பட்ட சப்மாடுலர் எக்ஸ்பிரஷனில் முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

பின்னர் அசல் செயல்பாடு y = |(|x| – 2) 2 – 5| வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்க, செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சியான வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம்:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – ஆய (2; -5) புள்ளியில் முனையுடன் கூடிய பரவளையம்; (வரைபடம். 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – ஆர்டினேட் அச்சின் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள படி 1 இல் கட்டப்பட்ட பரவளையத்தின் ஒரு பகுதி, Oy அச்சின் இடதுபுறத்தில் சமச்சீராகக் காட்டப்படுகிறது; (படம் 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - புள்ளி 2 இல் கட்டப்பட்ட வரைபடத்தின் பகுதி, இது x- அச்சுக்குக் கீழே அமைந்துள்ளது, x-அச்சு மேல்நோக்கி சமச்சீராகக் காட்டப்படும். (படம் 3).

இதன் விளைவாக வரும் வரைபடங்களைப் பார்ப்போம்:

y = a செயல்பாட்டின் வரைபடம் abscissa அச்சுக்கு இணையான ஒரு நேர்கோடு.

உருவத்தைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் இடைவெளியில் (1; 5) சேர்ந்தால், ஆறு பொதுவான புள்ளிகள் (சமன்பாடு ஆறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது) என்று முடிவு செய்கிறோம்.

இதை பின்வரும் படத்தில் காணலாம்:

அளவுரு a இன் முழு எண் மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

பதில்: 3.

இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

இந்த முறையின் திறன்களை முழுமையாக வெளிப்படுத்த, முக்கிய வகை சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்தி அளவுருக்களுடன் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது அறிவு மற்றும் திறன்களை சோதிப்பதற்கான மாதிரி பணிகள் (ஒருங்கிணைந்த விமானம்)

உடற்பயிற்சி 1.

என்ன மதிப்புகளில்அசமன்பாடு = இரண்டு வேர்கள் உள்ளதா?

தீர்வு.

சமமான அமைப்புக்கு செல்லலாம்:

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் (;) இந்த அமைப்பு ஒரு வளைவை வரையறுக்கிறது. இந்த பரவளைய வளைவின் அனைத்து புள்ளிகளும் (மற்றும் அவை மட்டுமே) அசல் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளன என்பது தெளிவாகிறது. எனவே, அளவுருவின் ஒவ்வொரு நிலையான மதிப்புக்கும் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை, இந்த அளவுரு மதிப்புடன் தொடர்புடைய கிடைமட்ட கோட்டுடன் வளைவின் வெட்டுப்புள்ளிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்.

பதில்:மணிக்கு.

பணி 2.

கணினிக்கான அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும் ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

தீர்வு.

இந்த வடிவத்தில் அசல் அமைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்:

இந்த அமைப்பின் அனைத்து தீர்வுகளும் (படிவத்தின் ஜோடிகள்) குஞ்சு பொரிப்பதன் மூலம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பகுதியை உருவாக்குகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பிற்கான தனித்துவமான தீர்வுக்கான தேவை பின்வருமாறு வரைகலை மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது: கிடைமட்ட கோடுகள் விளைந்த பகுதியுடன் ஒரே ஒரு பொதுவான புள்ளியை மட்டுமே கொண்டிருக்க வேண்டும். நேராக மட்டுமே பார்ப்பது எளிதுமற்றும் கூறப்பட்ட தேவையை பூர்த்தி செய்யுங்கள்.

இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட இரண்டு பணிகளும் முன்னர் கொடுக்கப்பட்டவற்றுடன் ஒப்பிடும்போது இன்னும் குறிப்பிட்ட பரிந்துரைகளை வழங்க அனுமதிக்கின்றன:

ஒரு மாறி மூலம் அளவுருவை வெளிப்படுத்த முயற்சிக்கவும், அதாவது படிவத்தின் சமத்துவங்களைப் பெறவும்

ஒரு விமானத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

பணி 3.

என்ன மதிப்புகளில்ஏ சமன்பாட்டிற்கு சரியாக மூன்று வேர்கள் உள்ளதா?

தீர்வு.

எங்களிடம் உள்ளது

இந்த தொகுப்பின் வரைபடம் ஒரு "மூலை" மற்றும் ஒரு பரவளையத்தின் ஒன்றியமாகும். வெளிப்படையாக, ஒரு நேர் கோடு மட்டுமே மூன்று புள்ளிகளில் விளைந்த தொழிற்சங்கத்தை வெட்டுகிறது.

கருத்து: அளவுரு பொதுவாக கருதப்படுகிறது நிலையான ஆனால் தெரியாத எண்ணாக. இதற்கிடையில், ஒரு முறையான பார்வையில், ஒரு அளவுரு என்பது ஒரு மாறி, மேலும் சிக்கலில் இருக்கும் மற்றவர்களுக்கு "சமமானது". படிவ அளவுருவின் இந்த பார்வையில், செயல்பாடுகள் ஒன்றுடன் அல்ல, ஆனால் இரண்டு மாறிகள் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றன.

பணி 4.

அனைத்து அளவுரு மதிப்புகளையும் கண்டறியவும், இதற்கு சமன்பாடு ஒரு தீர்வு உள்ளது.

தீர்வு.

பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியமாகவும், வகுப்பு பூஜ்ஜியமற்றதாகவும் இருந்தால் மட்டுமே ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டறிதல்:

பதில்: மற்றும்.

பணி 5.

எந்த அளவுரு மதிப்புகளில்,ஏ சமன்பாடு ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது.

தீர்வு.

அசல் சமன்பாட்டிற்கு சமமான அமைப்பை எழுதுவோம்

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கி, அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோடுகளை வரைவோம்ஏ .

கணினியின் முதல் இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகள் நிழலின் மூலம் காட்டப்படும் புள்ளிகளின் தொகுப்பை வரையறுக்கின்றன, மேலும் இந்த தொகுப்பில் ஹைப்பர்போலஸ் மற்றும் சேர்க்கப்படவில்லை.

பதில் : 2 < < или < или = .

பணி 6.

அனைத்து அளவுரு மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்ஏ , அதற்கான சமன்பாடு

சரியாக இரண்டு வெவ்வேறு தீர்வுகள் உள்ளன

தீர்வு.

இரண்டு அமைப்புகளின் தொகுப்பைக் கவனியுங்கள்

என்றால் , அந்த.

என்றால் < , அந்த.

இங்கிருந்து

அல்லது

பரபோலாக்கள் மற்றும் ஒரு நேர்கோட்டில் இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள் உள்ளன:ஏ (-2; - 2), IN(-1; -1), மற்றும், IN முதல் பரவளையத்தின் உச்சி,டி - இரண்டாவது மேல். எனவே, அசல் சமன்பாட்டின் வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

சரியாக இரண்டு வெவ்வேறு தீர்வுகள் இருக்க வேண்டும். இது அல்லது செய்யப்படுகிறது.

பதில்:அல்லது.

பணி 7.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் அனைத்து எண்களின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்

இரண்டு வெவ்வேறு வேர்கள் மட்டுமே உள்ளன.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்

சமன்பாட்டின் வேர்கள் அதை வழங்குகின்றன.

இந்த சமன்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம். இந்த வழக்கில், மாறிக்கு ஆர்டினேட் அச்சை ஒதுக்குவதன் மூலம் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது வசதியானது. இங்கே நாம் செங்குத்து நேர்கோடுகளைப் பயன்படுத்தி பதிலை "படிக்கிறோம்", இந்த சமன்பாடு = -1 அல்லது அல்லது இல் இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம்.

பதில்:மணிக்கு = -1 அல்லது அல்லது.

பணி 8.

சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு ஒரு இடைவெளியைக் கொண்டுள்ளது.

தீர்வு.

அசல் சமன்பாட்டிற்கு சமமான இரண்டு அமைப்புகளின் தொகுப்பை எழுதுவோம்:

அல்லது

முதல் முறைக்கு தீர்வு இல்லை என்பதால்ஏ பிரிவில் சேர்க்க முடியாது, பின்னர் இரண்டாவது அமைப்புக்கு தேவையான ஆய்வுகளை மேற்கொள்வோம்.

எங்களிடம் உள்ளது

குறிப்போம் . பின்னர் அமைப்பின் இரண்டாவது சமத்துவமின்மை வடிவம் பெறுகிறது< - மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள தொகுப்பை வரையறுக்கிறது.

பின்னர், இங்கிருந்து.

பதில் : .

பணி 9.

கணினியை திருப்திப்படுத்தும் தனிப்பட்ட எண் உள்ள அனைத்து எதிர்மறை எண்களையும் கண்டறியவும்

தீர்வு.

எங்களிடம் உள்ளது

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தின் முதல் சமன்பாடு செங்குத்து கோடுகளின் குடும்பத்தைக் குறிக்கிறது. நேராக கோடுகள் மற்றும் விமானங்களை நான்கு பகுதிகளாக பிரிக்கவும். அவற்றில் சில சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கான தீர்வுகள். ஒவ்வொரு பிராந்தியத்திலிருந்தும் ஒரு சோதனைப் புள்ளியை எடுப்பதன் மூலம் சரியாகத் தீர்மானிக்க முடியும். சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தும் பகுதி அதன் தீர்வாகும் (இந்த நுட்பம் ஒரு மாறியுடன் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் போது இடைவெளிகளின் முறையுடன் தொடர்புடையது). நேர் கோடுகளை உருவாக்குதல்

எடுத்துக்காட்டாக, நாம் ஒரு புள்ளியை எடுத்து, சமத்துவமின்மையைத் திருப்திப்படுத்தும் புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகளில் அதை மாற்றுகிறோம்.

அதனால், அசல் அமைப்புஅனைத்து புள்ளிகளையும் (அவை மட்டும்) கதிர்களின் மீது படுத்து, தடிமனான கோடுகளுடன் வரைபடத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்படுகின்றன (அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட பகுதியில் புள்ளிகளை உருவாக்குகிறோம்).

இப்போது நாம் சரிசெய்யும்போது தனித்துவமான ஒன்றைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அச்சில் வெட்டும் இணை கோடுகளை உருவாக்குகிறோம். மற்றும் கோட்டுடன் வெட்டும் ஒரு புள்ளி எங்கே இருக்கும் என்பதைக் கண்டறியவும்.

(ஏற்கனவே 2 புள்ளிகளுக்கு) இருந்தால், தீர்வின் தனித்தன்மையின் தேவை அடையப்படுகிறது என்பதை படத்தில் இருந்து காண்கிறோம்.

கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியின் ஒழுங்குமுறை எங்கே மற்றும்,

கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஒழுங்குமுறை எங்கே மற்றும்.

எனவே நாம் பெறுகிறோம்< .

பதில்: < .

பணி 10.

அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில் கணினி தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது?

தீர்வு.

கணினி சமத்துவமின்மையின் இடது புறத்தை காரணியாக்குவோம், நம்மிடம் உள்ளது

நாங்கள் நேர் கோடுகளை உருவாக்குகிறோம் மற்றும் ... அமைப்பின் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யும் விமானத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பை நிழலிடுவதன் மூலம் படத்தில் காட்டுகிறோம்.

பின்னர் ஹைப்பர்போலாவின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வளைவுகளின் அப்சிசாஸ்கள் அசல் அமைப்பின் தீர்வுகள்.எம் , பி , என் , கே - நோடல் புள்ளிகள். அவர்களின் அபத்தங்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.

புள்ளிகளுக்கு பி , கே எங்களிடம் உள்ளது

பதிலை எழுதுவதற்கு இது உள்ளது: அல்லது.

பதில்:அல்லது.

பணி 11.

மாடுலஸில் உள்ள சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இரண்டு () ஐ விட அதிகமாக இல்லாத அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்.

தீர்வு .

இந்த சமத்துவமின்மையை இந்த வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம். சமன்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் மற்றும் =.

"இடைவெளி முறை" பயன்படுத்தி, அசல் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு நிழல் பகுதிகளாக இருக்கும் என்பதை நாங்கள் நிறுவுகிறோம்.

அந்த. இப்போது, ​​சில நிலையான மதிப்பிற்கு, விளைந்த பகுதியுடன் குறுக்குவெட்டில் நேர் கோடு இருந்தால், அதன் அப்சிசாஸ் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் புள்ளிகளை மட்டுமே அளிக்கிறது < 2, பின்னர் தேவையான அளவுரு மதிப்புகளில் ஒன்றாகும்.

எனவே நாம் அதை பார்க்கிறோம்.

பதில்: .

பணி 12.

அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளுக்கு ஏற்றத்தாழ்வுக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு நான்கு முழு எண்களுக்கு மேல் இல்லை?

தீர்வு.

இந்த சமத்துவமின்மையை வடிவமாக மாற்றுவோம். இந்த சமத்துவமின்மை இரண்டு அமைப்புகளின் கலவைக்கு சமம்

அல்லது

எங்கே நேர்கோடுகள் வரைவோம். குறிக்கப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து நான்கு புள்ளிகளுக்கு மேல் கோடுகளை வெட்டும் மதிப்பு விரும்பிய மதிப்பாக இருக்கும். எனவே அது ஒன்று அல்லது என்று பார்க்கிறோம்.

பதில்:அல்லது அல்லது.

பணி 13.

என்ன அளவுரு மதிப்புகள்ஏ ஒரு தீர்வு அமைப்பு உள்ளது

தீர்வு.

ஒரு இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்கள் மற்றும்.

பிறகு

நாங்கள் நேர் கோடுகளை உருவாக்குகிறோம் மற்றும் ...

"இடைவெளி" முறையைப் பயன்படுத்தி, கணினி சமத்துவமின்மைக்கு (ஷேடட் பகுதி) ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

கணினியிலிருந்து மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்

என்பதன் பொருள் மற்றும் அமைப்பிலிருந்து.

பதில்:

பணி 14.

அளவுரு மதிப்புகளைப் பொறுத்துஏ சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் > .

தீர்வு.

இந்த சமத்துவமின்மையை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் மற்றும் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம், தொகுதிகளை விரிவுபடுத்தி, பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்:

படத்தில் இருந்து நேரடியாக நாம் பெறுகிறோம்:

தீர்வுகள் இல்லை;

மணிக்கு ;

மணிக்கு.

பதில்: தீர்வுகள் இல்லை;

மணிக்கு ;

மணிக்கு.

பணி 15.

ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புக்கான அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்

ஒன்றில் மட்டும் திருப்தி அடைகிறது.

தீர்வு.

இந்த வடிவத்தில் இந்த அமைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்:

இந்த அமைப்பால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியை உருவாக்குவோம்.

1), பரவளையத்தின் உச்சி.

2) - புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோடு மற்றும்.

மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

= (பிரச்சனையின் நோக்கத்திற்கு ஏற்றதல்ல),

ஒழுங்குமுறையைக் கண்டறிதல்:

பதில்:,

பணி 16.

அனைத்து அளவுரு மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்ஏ, அதன் கீழ் சமத்துவமின்மை அமைப்பு

ஒரு xக்கு மட்டுமே திருப்தி அளிக்கிறது.

தீர்வு .

பரவளையங்களை உருவாக்கி, கடைசி அமைப்பின் தீர்வை நிழலிடுவதன் மூலம் காட்டுவோம்.

2) , .

அல்லது பிரச்சனையின் நிலை திருப்தி அடையும் என்பதை படம் காட்டுகிறது.

பதில்:அல்லது.

பணி 17.

எந்த மதிப்புகளுக்கு சமன்பாடு சரியாக மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது?

தீர்வு.

இந்த சமன்பாடு தொகுப்பிற்கு சமம்

மக்கள்தொகை வரைபடம் என்பது பரவளைய மற்றும் கோண வரைபடங்களின் கலவையாகும்.

பதில்:மணிக்கு.

பணி 18.

எந்த மதிப்புகளுக்கு சமன்பாடு சரியாக மூன்று தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது?

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை மாற்றுவோம். தொடர்புடைய இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

இது மொத்தத்திற்கு சமம்

பரவளையங்களின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்:

படத்தில் இருந்து தேவையான தகவலைப் படிக்கிறோம்: இந்த சமன்பாட்டில் மூன்று தீர்வுகள் உள்ளன

பதில்:இல் அல்லது

பணி 19.

அளவுருவைப் பொறுத்து, சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கவும்

தீர்வு .

இந்த சமன்பாட்டை ஒரு இருபடியாகக் கருதுங்கள்.

,

.

நாம் மொத்தத்தைப் பெறுகிறோம்

பதில்:தீர்வுகள் இல்லை;

: ஒரு தீர்வு;

: இரண்டு தீர்வுகள்;

அல்லது: மூன்று தீர்வுகள்;

அல்லது: நான்கு தீர்வுகள்.

பணி 20.

கணினியில் எத்தனை தீர்வுகள் உள்ளன?

தீர்வு.

கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கை அமைப்பின் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது.

எங்களிடம் உள்ளது, .

இந்த சமன்பாட்டை ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாகக் கருதி, நாம் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம்.

இப்போது ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தை அணுகுவது பணியை எளிதாக்குகிறது. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் வெட்டுப்புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம்

பரவளையங்களின் முனைகள் மற்றும்.

பதில்:: நான்கு தீர்வுகள்;

: இரண்டு தீர்வுகள்;

: ஒரு தீர்வு;

: தீர்வுகள் இல்லை.

பணி 21.

சமன்பாடு இரண்டு தனித்துவமான வேர்களைக் கொண்ட அளவுருவின் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளையும் கண்டறியவும். இந்த வேர்களை எழுதுங்கள்.

தீர்வு .

அடைப்புக்குறிக்குள் இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

படத்திலிருந்து தேவையான தகவல்களைப் படித்தோம். எனவே, இந்த சமன்பாடு (மற்றும்) மற்றும் (மற்றும்) இல் இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது

பதில்: மணிக்கு (மற்றும்) மற்றும்

மணிக்கு (மற்றும்).

பணி 2 2 .

சமத்துவமின்மை அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

தீர்வு.

நிழல் பகுதியில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வாகும். கட்டப்பட்ட பகுதியை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிப்போம்.

அப்படியானால், தீர்வுகள் இல்லை.

அப்படியானால், நிழலாடிய பகுதியின் புள்ளிகளின் அப்சிஸ்ஸா நேர்கோட்டின் புள்ளிகளின் அப்சிஸ்ஸாவை விட அதிகமாக இருக்கும், ஆனால் பரவளையத்தின் அப்சிஸ்ஸா (சமன்பாட்டின் பெரிய வேர்) விட குறைவாக இருக்கும்.

நேர்கோட்டு சமன்பாட்டின் மூலம் அதை வெளிப்படுத்துவோம்:

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பிறகு.

அப்படியானால், பிறகு.

பதில்: மற்றும் 1 தீர்வுகள் இல்லை;

மணிக்கு;

மணிக்கு.

பணி 23.

சமத்துவமின்மை அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு.

– பரவளையத்தின் மேல்.

பரவளையத்தின் மேல்.

பரவளையங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிஸ்ஸாவைக் கண்டறியவும்:

பரவளையங்களின் சமன்பாடுகளில் நாம் அவற்றை வெளிப்படுத்துகிறோம்:

பதிவு பதில்:

மற்றும், பின்னர் தீர்வுகள் இல்லை;

என்றால், பின்னர்< ;

என்றால், பின்னர்.

பணி 24.

என்ன மதிப்புகள் மற்றும் சமன்பாடு தீர்வுகள் இல்லையா?

தீர்வு.

சமன்பாடு அமைப்புக்கு சமமானது

அமைப்பின் பல தீர்வுகளை உருவாக்குவோம்.

எதில் கண்டுபிடித்து அதை விலக்குவோம்.

எனவே, தீர்வுகள் இல்லை;

தீர்வுகள் இல்லாத போது;

(குறிப்பு: மீதமுள்ளவர்களுக்குஏஒன்று அல்லது இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன).

பதில்: ; .

பணி 25.

அளவுருவின் உண்மையான மதிப்புகளுக்கு, நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் குறைந்தபட்சம் ஒன்று உள்ளது:

தீர்வு.

"இடைவெளி முறையை" பயன்படுத்தி வரைபடத்தில் சமத்துவமின்மையைத் தீர்த்து ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம். சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்காக வரைபடத்தின் எந்தப் பகுதி கட்டப்பட்ட பகுதியில் விழுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம், அதனுடன் தொடர்புடைய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்ஏ.

நாங்கள் நேர் கோடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம்

அவை ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தை 4 பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன.

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி கடைசி சமத்துவமின்மையை வரைபடமாகத் தீர்ப்போம்.

நிழலாடிய பகுதியே அவரது தீர்வு. பரவளைய வரைபடத்தின் ஒரு பகுதி இந்தப் பகுதியில் விழுகிறது. இடைவெளியில்; (நிபந்தனையின்படி, அமைப்பின் சமத்துவமின்மை கடுமையானது) கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும்.

பதில்:

பணி 26.

சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பில் சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வு இல்லை, ஒவ்வொன்றிற்கும் அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

பதில்:அல்லது.

பணி 27.

அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளுக்கு சமன்பாடு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது?

தீர்வு.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை காரணியாக்குவோம்.

இந்த சமன்பாடு அமைப்புக்கு சமம்:

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் மக்கள்தொகையின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்.

அல்லது

– கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி மற்றும். மக்கள்தொகை வரைபடம் என்பது நேர் கோடுகளின் ஒன்றியம்.

கிராஃப் புள்ளிகளை அப்சிசாஸுடன் "பஞ்ச் அவுட்" செய்யவும்.

இந்தச் சமன்பாட்டிற்கு மட்டுமே ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது என்பது வெளிப்படையானது.

பதில்:அல்லது.

பணி 28.

எந்த அளவுருவின் உண்மையான மதிப்புகளுக்கு ஏற்றத்தாழ்வு அமைப்பில் தீர்வுகள் இல்லை?

தீர்வு.

நாங்கள் நேர் கோடுகளை உருவாக்குகிறோம். (ஹைபர்போலா மற்றும் நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் abscissa) எப்போது என்பதை படத்தில் இருந்து தீர்மானிக்கிறோம், நேர்கோடுகள் நிழலாடிய பகுதியை வெட்டுவதில்லை.

பதில்:மணிக்கு.

பணி 29.

என்ன அளவுரு மதிப்புகள்ஏ அமைப்பு ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது.

தீர்வு.

இதற்கு இணையான அமைப்பிற்கு செல்லலாம்.

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில், நாம் முறையே, புள்ளிகள் மற்றும் பரவளையங்களின் செங்குத்துகள் மற்றும் பரவளையங்களின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பரவளையங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிசாஸைக் கணக்கிடுவோம்

நிழலாடிய பகுதி சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கான தீர்வாகும். நேரடி மற்றும்

பதில்: i இல்.

பணி 30.

சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க:

தீர்வு.

அளவுருவைப் பொறுத்து, மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

"இடைவெளி முறையை" பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையை தீர்ப்போம்.

பரவளையங்களை உருவாக்குவோம்

: .

பரவளையங்களின் வெட்டுப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளை கணக்கிடுவோம்:

1) என்றால், தீர்வுகள் இல்லை.

2) என்றால், சமன்பாட்டில் நாம் அதை வெளிப்படுத்துகிறோம்:

இதனால், அப்பகுதியில்நான் எங்களிடம் உள்ளது.

அப்படியானால், பாருங்கள்:

a) பிராந்தியம் II .

மூலம் சமன்பாட்டில் வெளிப்படுத்துவோம்.

சிறிய வேர்

பெரிய வேர்.

எனவே, பகுதியில் II எங்களிடம் உள்ளது.

b) பகுதி III : .

பதில்: தீர்வுகள் இல்லாத போது;

மணிக்கு

மணிக்கு,.

இலக்கியம்:

கலிட்ஸ்கி எம்.எல்., கோல்ட்மேன் ஏ.எம்., ஸ்வாவிச் எல்.ஐ. 8 - 9 வகுப்புகளுக்கான அல்ஜீப்ரா சிக்கல்களின் தொகுப்பு: பயிற்சிபள்ளிகள் மற்றும் வகுப்புகளின் மாணவர்களுக்கு கணிதத்தின் மேம்பட்ட படிப்பு - 2வது பதிப்பு. – எம்.: கல்வி, 1994.

பி.ஐ. கோர்ன்ஷ்டீன், வி.பி. போலோன்ஸ்கி, எம்.எஸ். யாகீர். அளவுருக்கள் உள்ள சிக்கல்கள். 3வது பதிப்பு, விரிவாக்கப்பட்டது மற்றும் திருத்தப்பட்டது. – எம்.: இலெக்சா, கார்கோவ்: ஜிம்னாசியம், 2003.

Faddeev D.K இயற்கணிதம் 6 – 8. – M.: கல்வி, 1983 (b – ka கணித ஆசிரியர்).

A.H. ஷக்மீஸ்டர். அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள். திருத்தியவர் பி.ஜி.ஜிவ். எஸ் - பீட்டர்ஸ்பர்க். மாஸ்கோ. 2004.

வி.வி. அமெல்கின், வி.எல். ரப்ட்செவிச். மின்ஸ்க் "அசார்", 2002 அளவுருக்களில் சிக்கல்கள்.

A.H. ஷக்மீஸ்டர். ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் அளவுருக்கள் உள்ள சிக்கல்கள். மாஸ்கோ பல்கலைக்கழக பப்ளிஷிங் ஹவுஸ், Neva MTsNMO இல் CheRo.