ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிதல். ஒரு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கு தூரம்கொடுக்கப்பட்ட அளவில் இந்த புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவின் நீளம். எனவே, தூரத்தை அளவிடும் போது, ​​​​அளவை எடுக்கப்படும் அளவை (நீளத்தின் அலகு) நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கு தூரத்தைக் கண்டறிவதில் சிக்கல் பொதுவாக ஒரு ஆயக் கோட்டில் அல்லது செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு விமானத்தில் அல்லது முப்பரிமாண இடத்தில் கருதப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பெரும்பாலும் நீங்கள் அவற்றின் ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை கணக்கிட வேண்டும்.

இந்த கட்டுரையில், ஒரு ஆயக் கோட்டில் புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கு தூரம் எவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை முதலில் நினைவுபடுத்துவோம். அடுத்து, கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்களின்படி ஒரு விமானம் அல்லது இடத்தின் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம். முடிவில், பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளை விரிவாகக் கருதுவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

ஒரு ஆயக் கோட்டில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்.

முதலில் குறியீட்டை வரையறுப்போம். புள்ளி A இலிருந்து B புள்ளிக்கு உள்ள தூரத்தை என குறிப்போம்.

இதிலிருந்து நாம் முடிவு செய்யலாம் ஆயத்துடன் கூடிய புள்ளி A இலிருந்து ஆயத்துடன் B புள்ளிக்கு உள்ள தூரம் ஆய வேறுபாடுகளின் மாடுலஸுக்கு சமம், அதாவது, ஆயக் கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் எந்த இடத்திற்கும்.

ஒரு விமானத்தில் புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கு தூரம், சூத்திரம்.

புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம் மற்றும் ஒரு விமானத்தில் செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளோம்.

A மற்றும் B புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தைப் பொறுத்து, பின்வரும் விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்.

புள்ளிகள் A மற்றும் B இணைந்தால், அவற்றுக்கிடையேயான தூரம் பூஜ்ஜியமாகும்.

A மற்றும் B புள்ளிகள் abscissa அச்சுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோட்டில் இருந்தால், புள்ளிகள் ஒன்றிணைந்து, தூரம் தூரத்திற்கு சமமாக இருக்கும். முந்தைய பத்தியில், ஒரு ஆயக் கோட்டில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் அவற்றின் ஆயங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் மாடுலஸுக்கு சமம் என்பதைக் கண்டறிந்தோம், எனவே, . எனவே, .

இதேபோல், A மற்றும் B புள்ளிகள் ஆர்டினேட் அச்சுக்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோட்டில் இருந்தால், புள்ளி A முதல் புள்ளி B வரையிலான தூரம் என காணப்படும்.

இந்த வழக்கில், முக்கோணம் ABC கட்டுமானத்தில் செவ்வகமானது, மற்றும் மற்றும் . மூலம் பித்தகோரியன் தேற்றம்நாம் சமத்துவத்தை எழுதலாம், எங்கிருந்து .

பெறப்பட்ட அனைத்து முடிவுகளையும் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்: ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு புள்ளிக்கு ஒரு விமானத்தில் உள்ள தூரம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது .

புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் A மற்றும் B புள்ளிகள் இணையும் போது அல்லது ஆய அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோட்டில் இருக்கும் போது பயன்படுத்தப்படலாம். உண்மையில், A மற்றும் B இணைந்தால், . A மற்றும் B புள்ளிகள் ஆக்ஸ் அச்சுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோட்டில் அமைந்திருந்தால். A மற்றும் B ஆகியவை Oy அச்சுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோட்டில் இருந்தால், .

விண்வெளியில் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம், சூத்திரம்.

விண்வெளியில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை Oxyz ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம். ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம் புள்ளி வரை .

பொதுவாக, புள்ளிகள் A மற்றும் B ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களில் ஒன்றிற்கு இணையான ஒரு விமானத்தில் இல்லை. ஆக்ஸ், ஓய் மற்றும் ஓஸ் ஆகிய ஆய அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக புள்ளிகள் A மற்றும் B விமானங்களை வரைவோம். ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் இந்த விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் இந்த அச்சுகளில் A மற்றும் B புள்ளிகளின் கணிப்புகளை நமக்கு வழங்கும். நாங்கள் கணிப்புகளைக் குறிக்கிறோம் .

புள்ளிகள் A மற்றும் B க்கு இடையில் தேவையான தூரம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள செவ்வக இணையான பைப்பின் மூலைவிட்டமாகும். கட்டுமானத்தின் மூலம், இந்த parallelepiped பரிமாணங்கள் சமமாக இருக்கும் மற்றும் . வடிவவியலின் போக்கில் உயர்நிலைப் பள்ளிஒரு செவ்வக இணைக்குழாயின் மூலைவிட்டத்தின் சதுரம் அதன் முப்பரிமாணங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே, . இந்த கட்டுரையின் முதல் பிரிவில் உள்ள தகவல்களின் அடிப்படையில், பின்வரும் சமத்துவங்களை நாம் எழுதலாம், எனவே,

எங்கிருந்து பெறுகிறோம் விண்வெளியில் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் .

புள்ளிகள் A மற்றும் B என்றால் இந்த சூத்திரமும் செல்லுபடியாகும்

• பொருத்தம்;
• ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் ஒன்று அல்லது ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு இணையான கோடுக்கு சொந்தமானது;
• ஆய விமானங்களில் ஒன்று அல்லது ஆய விமானங்களில் ஒன்றிற்கு இணையான விமானத்திற்கு சொந்தமானது.

புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கு தூரத்தைக் கண்டறிதல், எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகள்.

எனவே, ஒரு ஆயக் கோடு, விமானம் மற்றும் முப்பரிமாண இடைவெளியில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெற்றுள்ளோம். வழக்கமான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளைப் பார்க்க வேண்டிய நேரம் இது.

இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகளின்படி கண்டறிவதே இறுதி கட்டமாக இருக்கும் சிக்கல்களின் எண்ணிக்கை உண்மையிலேயே மிகப்பெரியது. அத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகளின் முழு மதிப்பாய்வு இந்த கட்டுரையின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது. இங்கே இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நம்மை மட்டுப்படுத்துவோம், அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தை நாம் கணக்கிட வேண்டும்.

ஆயத்தொலைவுகளுடன் விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன ஏ (x 1 , ஒய் 1) மற்றும் பி (x 2 , ஒய் 2).

ஒய்

ஒய் 2 பி

ஒய் 1 ஏ சி

0 x 1 x 2 எக்ஸ்

ஏபிசி முக்கோணத்திலிருந்து:

,
- ஒரு பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்கள்.

2.2.3. ஒரு கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடு

தேற்றம் 1 . இரண்டு மாறிகள் கொண்ட முதல் பட்டத்தின் ஒவ்வொரு சீரழிவடையாத சமன்பாடும் விமானத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட நேர்க்கோட்டை வரையறுக்கிறது, மேலும் நேர்மாறாகவும்.

ஏ x + IN ஒய் + உடன் =0 - பொது ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு,

- சீரழிவு இல்லாத நிலை.

பொதுவான சமன்பாட்டின் குணகங்களைப் பொறுத்து ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் இருப்பிடத்தின் பல்வேறு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1) உடன் = 0, கோடாரி + மூலம்= 0 - நேர் கோடு தோற்றம் வழியாக செல்கிறது;

ஏ= 0,மூலம்+C= 0 - நேர்கோடு அச்சுக்கு இணையாக செல்கிறது ஓ;

IN= 0,கோடாரி+சி= 0 - நேர் கோடு அச்சுக்கு இணையாக இயங்குகிறது Op-amp;

2) ஏ = சி= 0,மூலம்= 0 - நேர் கோடு அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது ஓ;

பி = சி = 0,கோடாரி= 0 - நேர் கோடு அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது Op-amp.

புள்ளியிலிருந்து தூரம்எம் 0 (x 0 , ஒய் 0 ) ஒரு நேர் கோட்டிற்கு, பொது சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்பட்டது கோடாரி + மூலம் + சி= 0, சூத்திரத்தால் கண்டறியப்பட்டது

.

2.2.4. சாய்வுடன் கூடிய நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

கோடு ஒரு கோணத்தில் இருப்பதாக வைத்துக் கொள்வோம் ஜேஅச்சுக்கு ஓமற்றும் அச்சில் இருந்து துண்டிக்கப்படுகிறது Op-ampபிரிவில் பிஅலகுகள். இந்த வரிக்கு ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்.

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம் எம் (x, ஒய்), இந்த வரியில் படுத்து, மாறிகளை இணைக்கும் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும் xமற்றும் ஒய். படத்தில் இருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும்: ஏ.எம். = AN + என்.எம்., எங்கே ஏ.எம். = ஒய், AN = பி. முக்கோணத்தில் இருந்து பிஎம்என்: எம்.என் = பிஎன்டிஜி ஜே. tg ஐக் குறிப்போம் ஜே = கேமற்றும் அதை கோட்டின் சாய்வு என்று அழைப்போம். எம்.என் = கே · x. சமத்துவத்தில் மாற்றுதல் ஏ.எம். = AN + என்.எம். பிரிவு வெளிப்பாடுகள் ஏ.எம். = ஒய்,AN = பி,எம்.என் = கே · x; நாம் பெறுகிறோம் ஒய் = கே · x + பி - ஒரு கோண குணகத்துடன் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு.

2.2.5 கடந்து செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு

கொடுக்கப்பட்ட திசையில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி மூலம்

கோடு புள்ளி வழியாக செல்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம் எம் 1 (x 1 ,ஒய் 1) மற்றும் அச்சுடன் வடிவங்கள் OX

மூலையில் ஜே. இந்த வரிக்கு ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்.

ஒய் எம்(x, ஒய்)

மணிக்கு 1 எம் 1 (x 1 ,ஒய் 1)என்

ஜே

0 x1 x X

கோண குணகத்துடன் கூடிய சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டை நாங்கள் தேடுவோம்: ஒய் = கே · x + பி. சாய்வின் கோணத்தை அறிவதன் மூலம் நேர்கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறியலாம் கே = டிஜி ஜே. ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம் எம் (x, ஒய்), இந்த வரியில் படுத்து, மாறிகளை இணைக்கும் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும் xமற்றும் ஒய். புள்ளிகள் இருந்து எம்மற்றும் எம் 1 ஒரு நேர் கோட்டில் படுத்து, அதன் ஆயத்தொலைவுகள் நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கின்றன: ஒய் = கே · x + பி, ஒய் 1 = கே · x 1 + பி. இந்த சமத்துவங்களைக் கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

ஒய் - ஒய் 1 = கே · (x - x 1 ) என்பது கொடுக்கப்பட்ட திசையில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும்.

2.2.6. கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு

இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டது எம் 1 (x 1 , ஒய் 1) மற்றும் எம் 2 (x 2 , ஒய் 2) இந்த இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம்.

- கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் கோண குணகம்.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவோம் எம் 1 மற்றும் இந்த திசையில்
:

- கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு.

2.2.7. இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம். இணையான நிலை. கோடுகளின் செங்குத்தாக இருப்பதற்கான நிபந்தனை

வரையறை 1. I மற்றும் II ஆகிய இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் என்பது வரி I முதல் வரி II வரையிலான நேர்மறை திசையில் அளவிடப்படும் கோணமாகும்.

II

இரண்டு நேர்கோடுகள் கொடுக்கப்படட்டும், சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டதுசரிவுகளுடன்

ஒய் = கே 1 · x + பி 1 , ஒய் = கே 2 · x + பி 2 .

முதல் மற்றும் இரண்டாவது நேர்கோட்டுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். நேர் கோடுகளின் சாய்வின் கோணங்களைக் குறிப்போம் φ 1 மற்றும் φ2 . பிறகு

கே 1 = டிஜி φ 1, கே 2 = டிஜி φ 2 .

வெட்டுப்புள்ளி வழியாக அச்சுக்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டை வரைவோம் OX.

- இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்.

1. கோடுகள் இணையாக உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

Þtg  Þ

கே 1 = கே 2 - இணை கோடுகளின் நிலை.

2. கோடுகள் செங்குத்தாக உள்ளன என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

 0 Þtg  இல்லைÞctg  = 0Þ

Þ கே 1 · கே 2 = -1 - கோடுகளின் செங்குத்தாக நிலை

சுய பரிசோதனை கேள்விகள்.

1. அது எப்படி இருக்கும் பொது சமன்பாடுநேராக7 இந்த சமன்பாட்டின் சிறப்பு நிகழ்வுகளை விவரிக்கவும்.

2. இணை கோடுகளுக்கான நிபந்தனை.

3. கோடுகளின் செங்குத்து நிலை.

4. ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை கோண குணகத்துடன் எழுதவும்.

5. இந்த புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தத்துவார்த்த சிக்கல்கள்

விமானத்தில் பகுப்பாய்வு வடிவியல்

1. ஒருங்கிணைப்பு முறை: எண் வரி, ஒரு வரியில் ஆயத்தொகுப்புகள்; ஒரு விமானத்தில் செவ்வக (கார்டீசியன்) ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு; துருவ ஆயத்தொலைவுகள்.

சில நேர்க்கோட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். அதில் ஒரு திசையைத் தேர்வு செய்வோம் (பின் அது ஒரு அச்சாக மாறும்) மற்றும் சில புள்ளி 0 (ஆயத்தொகுதிகளின் தோற்றம்). தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட திசை மற்றும் தோற்றம் கொண்ட ஒரு நேர் கோடு அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைப்பு வரி(அளவிலான அலகு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டதாக நாங்கள் கருதுகிறோம்).

விடுங்கள் எம்- ஒருங்கிணைப்பு வரியில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி. பாயிண்ட்டுக்கு ஏற்ப போடுவோம் எம்உண்மையான எண் x, மதிப்புக்கு சமம் ஓம்பிரிவு: x=OM.எண் xபுள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது எம்.

எனவே, ஆயக் கோட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு குறிப்பிட்ட உண்மையான எண்ணுக்கு ஒத்திருக்கிறது - அதன் ஒருங்கிணைப்பு. உரையாடலும் உண்மைதான்: ஒவ்வொரு உண்மையான எண் x ஆயக் கோட்டில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது, அதாவது அத்தகைய புள்ளி எம், அதன் ஒருங்கிணைப்பு x. இந்த கடித தொடர்பு அழைக்கப்படுகிறது ஒன்றுக்கு ஒன்று.

எனவே, உண்மையான எண்களை ஒரு ஆயக் கோட்டின் புள்ளிகளால் குறிப்பிடலாம், அதாவது. ஆயக் கோடு அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் படமாக செயல்படுகிறது. எனவே, அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு அழைக்கப்படுகிறது எண் வரி, மற்றும் எந்த எண்ணும் இந்த வரியில் ஒரு புள்ளியாகும். எண் கோட்டில் ஒரு புள்ளிக்கு அருகில், ஒரு எண் அடிக்கடி குறிக்கப்படுகிறது - அதன் ஒருங்கிணைப்பு.

ஒரு விமானத்தில் செவ்வக (அல்லது கார்ட்டீசியன்) ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு.

இரண்டு பரஸ்பர செங்குத்து அச்சுகள் x பற்றிமற்றும் ஒய் பற்றிபொதுவான தோற்றம் கொண்டது பற்றிமற்றும் அதே அளவு அலகு, வடிவம் ஒரு விமானத்தில் செவ்வக (அல்லது கார்ட்டீசியன்) ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு.

அச்சு ஓ abscissa axis, axis எனப்படும் OY- ஆர்டினேட் அச்சு. புள்ளி பற்றிஅச்சுகளின் குறுக்குவெட்டு தோற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அச்சுகள் அமைந்துள்ள விமானம் ஓமற்றும் OY, ஒருங்கிணைப்பு விமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது xy பற்றி.

எனவே, ஒரு விமானத்தில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு விமானத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்புக்கும் ஜோடி எண்களின் தொகுப்பிற்கும் இடையே ஒரு கடிதத்தை நிறுவுகிறது, இது விண்ணப்பிக்க சாத்தியமாக்குகிறது. இயற்கணித முறைகள். ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் விமானத்தை 4 பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன, அவை அழைக்கப்படுகின்றன காலாண்டுகளில், சதுரம்அல்லது ஒருங்கிணைக்கும் கோணங்கள்.

துருவ ஆயத்தொலைவுகள்.

துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது பற்றி, அழைக்கப்பட்டது கம்பம், மற்றும் அதிலிருந்து வெளிப்படும் கதிர் OEஅழைக்கப்பட்டது துருவ அச்சு.கூடுதலாக, பிரிவுகளின் நீளத்தை அளவிடுவதற்கான அளவு அலகு அமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டு விடுங்கள் எம்- விமானத்தின் தன்னிச்சையான புள்ளி. மூலம் குறிப்போம் ஆர்- புள்ளி தூரம் எம்புள்ளியில் இருந்து பற்றி, மற்றும் மூலம் φ - துருவ அச்சை கற்றையுடன் சீரமைக்க கற்றை எதிரெதிர் திசையில் சுழலும் கோணம் ஓம்.

துருவ ஆயத்தொலைவுகள்புள்ளிகள் எம்அழைப்பு எண்கள் ஆர்மற்றும் φ . எண் ஆர்முதல் ஒருங்கிணைப்பாகக் கருதப்படுகிறது மற்றும் அழைக்கப்படுகிறது துருவ ஆரம், எண் φ - இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு அழைக்கப்படுகிறது துருவ கோணம்.

புள்ளி எம்துருவ ஆயங்களுடன் ஆர்மற்றும் φ பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படுகின்றன: M( ;φ).ஒரு புள்ளியின் துருவ ஆயங்களுக்கும் அதன் செவ்வக ஆயங்களுக்கும் இடையே ஒரு தொடர்பை ஏற்படுத்துவோம்.
இந்த வழக்கில், செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றம் துருவத்தில் இருப்பதாகவும், அப்சிசாவின் நேர்மறை அரை-அச்சு துருவ அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது என்றும் கருதுவோம்.

புள்ளி M செவ்வக ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கட்டும் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்மற்றும் துருவ ஆயத்தொலைவுகள் ஆர்மற்றும் φ .

ஆதாரம்.

புள்ளிகளிலிருந்து கைவிடவும் எம் 1மற்றும் எம் 2செங்குத்தாக எம் 1 விமற்றும் எம் 1 ஏ,. ஏனெனில் (x 2; y 2). தேற்றம் மூலம், என்றால் M 1 (x 1)மற்றும் M 2 (x 2)ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் α என்பது அவற்றுக்கிடையேயான தூரம் α = |x 2 - x 1 | .

இந்த கட்டுரையில் கோட்பாட்டளவில் புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கு தூரத்தை தீர்மானிப்பதற்கான வழிகளைப் பார்ப்போம் மற்றும் குறிப்பிட்ட பணிகளின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்துவோம். தொடங்குவதற்கு, சில வரையறைகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1 வரையறை 1

புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம்தற்போதுள்ள அளவில், அவற்றை இணைக்கும் பிரிவின் நீளம். அளவீட்டுக்கு ஒரு அலகு நீளம் இருக்க ஒரு அளவை அமைக்க வேண்டியது அவசியம். எனவே, அடிப்படையில் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல், ஆயக் கோட்டில் அவற்றின் ஆயங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பு விமானம்அல்லது முப்பரிமாண வெளி.

ஆரம்ப தரவு: ஆயக் கோடு O x மற்றும் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி A யின் மீது இருக்கும் எந்தப் புள்ளியும் ஒரு உண்மையான எண்ணைக் கொண்டுள்ளது: அது A புள்ளிக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணாக இருக்கட்டும் x ஏ,இது புள்ளி A இன் ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.

பொதுவாக, ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவின் நீளம், கொடுக்கப்பட்ட அளவில் நீளத்தின் அலகாக எடுக்கப்பட்ட ஒரு பிரிவோடு ஒப்பிடுகையில் மதிப்பிடப்படுகிறது என்று நாம் கூறலாம்.

புள்ளி A ஒரு முழு எண் உண்மையான எண்ணுடன் ஒத்திருந்தால், O A பிரிவுகளின் நேர் கோட்டுடன் புள்ளி O முதல் புள்ளி வரை வரிசையாக இடுவதன் மூலம் - நீளத்தின் அலகுகள், ஒதுக்கப்பட்ட அலகு பிரிவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையிலிருந்து O A பிரிவின் நீளத்தை நாம் தீர்மானிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி A எண் 3 க்கு ஒத்திருக்கிறது - புள்ளி O இலிருந்து அதைப் பெற, நீங்கள் மூன்று அலகு பிரிவுகளை நீக்க வேண்டும். புள்ளி A ஒருங்கிணைப்பு - 4 இருந்தால், அலகு பிரிவுகள் இதே வழியில் அமைக்கப்பட்டன, ஆனால் வேறுபட்ட, எதிர்மறை திசையில். எனவே, முதல் வழக்கில், O A தூரம் 3க்கு சமம்; இரண்டாவது வழக்கில் O A = 4.

புள்ளி A ஆனது ஒரு ஒருங்கிணைப்பாக ஒரு பகுத்தறிவு எண்ணைக் கொண்டிருந்தால், தோற்றத்திலிருந்து (புள்ளி O) அலகு பிரிவுகளின் முழு எண் எண்ணையும் அதன் தேவையான பகுதியையும் வரைகிறோம். ஆனால் வடிவியல் ரீதியாக அளவீடு செய்வது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஆயக் கோட்டில் பின்னம் 4 111 ஐத் திட்டமிடுவது கடினம்.

மேலே உள்ள முறையைப் பயன்படுத்தி, ஒரு நேர்கோட்டில் ஒரு விகிதாசார எண்ணைத் திட்டமிடுவது முற்றிலும் சாத்தியமற்றது. எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி A இன் ஒருங்கிணைப்பு 11 ஆக இருக்கும்போது. இந்த வழக்கில், சுருக்கத்திற்கு திரும்புவது சாத்தியம்: புள்ளி A இன் கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், O A = x A (எண் தூரமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது); ஒருங்கிணைப்பு என்றால் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக, பின்னர் O A = - x A . பொதுவாக, இந்த அறிக்கைகள் எந்த உண்மையான எண் x A க்கும் உண்மையாக இருக்கும்.

சுருக்கமாக: ஆயக் கோட்டில் உள்ள உண்மையான எண்ணுடன் தொடர்புடைய மூலத்திலிருந்து புள்ளிக்கு உள்ள தூரம் இதற்கு சமம்:

• 0 புள்ளி தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போனால்;

• x A, என்றால் x A > 0;

• - x A என்றால் x A< 0 .

இந்த வழக்கில், பிரிவின் நீளம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது என்பது வெளிப்படையானது, எனவே, மாடுலஸ் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி, புள்ளி O இலிருந்து புள்ளி A வரையிலான தூரத்தை ஒருங்கிணைப்புடன் எழுதுகிறோம். xA: ஓ ஏ = x ஏ

பின்வரும் கூற்று உண்மையாக இருக்கும்: ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு புள்ளிக்கு உள்ள தூரம் ஆய வேறுபாட்டின் மாடுலஸுக்கு சமமாக இருக்கும்.அந்த. புள்ளிகள் A மற்றும் B எந்த இடத்திற்கும் ஒரே ஆயக் கோட்டில் அமைந்திருக்கும் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும் xAமற்றும் x B: A B = x B - x A .

ஆரம்ப தரவு: புள்ளிகள் A மற்றும் B ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் O x y உடன் ஒரு விமானத்தில் கிடக்கிறது கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகள்: A (x A , y A) மற்றும் B (x B , y B) .

O x மற்றும் O y ஆகிய ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு A மற்றும் B புள்ளிகள் மூலம் செங்குத்தாக வரைவோம் மற்றும் அதன் விளைவாக ப்ராஜெக்ஷன் புள்ளிகளைப் பெறுவோம்: A x, A y, B x, B y. A மற்றும் B புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தின் அடிப்படையில், பின்வரும் விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்:

A மற்றும் B புள்ளிகள் இணைந்தால், அவற்றுக்கிடையேயான தூரம் பூஜ்ஜியமாகும்;

புள்ளிகள் A மற்றும் B O x அச்சுக்கு (அப்சிஸ்ஸா அச்சு) செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோட்டில் இருந்தால், புள்ளிகள் இணைகின்றன, மேலும் | A B | = | A y B y | . புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் அவற்றின் ஆயங்களின் வேறுபாட்டின் மாடுலஸுக்கு சமமாக இருப்பதால், A y B y = y B - y A, எனவே, A B = A y B y = y B - y A.

A மற்றும் B புள்ளிகள் O y அச்சுக்கு (ஆர்டினேட் அச்சு) செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோட்டில் அமைந்திருந்தால் - முந்தைய பத்தியுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம்: A B = A x B x = x B - x A

A மற்றும் B புள்ளிகள் ஆய அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர் கோட்டில் அமையவில்லை என்றால், கணக்கீட்டு சூத்திரத்தைப் பெறுவதன் மூலம் அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

கட்டுமானத்தில் A B C என்ற முக்கோணம் செவ்வக வடிவில் இருப்பதைக் காண்கிறோம். இந்த வழக்கில், A C = A x B x மற்றும் B C = A y B y. பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவத்தை உருவாக்குகிறோம்: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , பின்னர் அதை மாற்றவும்: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

பெறப்பட்ட முடிவிலிருந்து ஒரு முடிவை எடுப்போம்: இந்த புள்ளிகளின் ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடு செய்வதன் மூலம் விமானத்தில் புள்ளி A முதல் புள்ளி B வரையிலான தூரம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம், புள்ளிகள் அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோட்டில் இருக்கும் போது புள்ளிகள் அல்லது சூழ்நிலைகளின் தற்செயல் நிகழ்வுகளுக்கான முன்னர் உருவாக்கப்பட்ட அறிக்கைகளை உறுதிப்படுத்துகிறது. எனவே, A மற்றும் B புள்ளிகள் இணைந்தால், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

புள்ளிகள் A மற்றும் B x-அச்சுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோட்டில் இருக்கும் சூழ்நிலைக்கு:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

A மற்றும் B புள்ளிகள் ஆர்டினேட் அச்சுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோட்டில் இருக்கும் போது:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

ஆரம்ப தரவு: கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்கள் A (x A, y A, z A) மற்றும் B (x B, y B, z B) உடன் தன்னிச்சையான புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y z. இந்த புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

A மற்றும் B புள்ளிகள் ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களில் ஒன்றிற்கு இணையாக ஒரு விமானத்தில் இல்லாதபோது பொதுவான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். A மற்றும் B புள்ளிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக விமானங்களை வரைவோம் மற்றும் தொடர்புடைய திட்ட புள்ளிகளைப் பெறுவோம்: A x , A y , A z , B x , B y , B z

புள்ளிகள் A மற்றும் B க்கு இடையே உள்ள தூரம் இதன் விளைவாக வரும் parallelepiped மூலைவிட்டமாகும். இந்த parallelepiped அளவீடுகளின் கட்டுமானத்தின் படி: A x B x , A y B y மற்றும் A z B z

வடிவவியல் பாடத்தில் இருந்து, ஒரு இணையான பைப்பின் மூலைவிட்டத்தின் சதுரம் அதன் பரிமாணங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நாம் அறிவோம். இந்த அறிக்கையின் அடிப்படையில், நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

முன்னர் பெறப்பட்ட முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி, பின்வருவனவற்றை எழுதுகிறோம்:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

இறுதி விண்வெளியில் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரம்இப்படி இருக்கும்:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம் பின்வரும் நிகழ்வுகளுக்கும் செல்லுபடியாகும்:

புள்ளிகள் ஒத்துப்போகின்றன;

அவை ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் அல்லது ஆய அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டில் உள்ளன.

புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

ஆரம்ப தரவு: A (1 - 2) மற்றும் B (11 + 2) ஆயத்தொகுப்புகளுடன் ஒரு ஆயக் கோடு மற்றும் புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. தோற்றப் புள்ளி O இலிருந்து புள்ளி A மற்றும் A மற்றும் B புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம்.

தீர்வு

1. குறிப்பு புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கான தூரம் இந்த புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பின் மாடுலஸுக்கு சமம், முறையே O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. புள்ளிகள் A மற்றும் B க்கு இடையிலான தூரத்தை இந்த புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் மாடுலஸ் என வரையறுக்கிறோம்: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

பதில்: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

எடுத்துக்காட்டு 2

ஆரம்ப தரவு: ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு மற்றும் அதன் மீது A (1, - 1) மற்றும் B (λ + 1, 3) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. λ என்பது சில உண்மையான எண். இந்த எண்ணின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது அவசியம், இதில் A B தூரம் 5 க்கு சமமாக இருக்கும்.

தீர்வு

புள்ளிகள் A மற்றும் B இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிய, நீங்கள் A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்

உண்மையான ஒருங்கிணைப்பு மதிப்புகளை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

A B = 5 என்று இருக்கும் நிபந்தனையையும் நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம், பின்னர் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

பதில்: A B = 5 என்றால் λ = ± 3.

எடுத்துக்காட்டு 3

ஆரம்ப தரவு: செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான O x y z இல் முப்பரிமாண இடைவெளி குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது மற்றும் அதில் A (1, 2, 3) மற்றும் B - 7, - 2, 4 புள்ளிகள் உள்ளன.

தீர்வு

சிக்கலைத் தீர்க்க, A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

உண்மையான மதிப்புகளை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

பதில்: | A B | = 9

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்