மெட்ரிக்குகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள். தலைகீழ் அணியைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் தீர்வு முறைகள்

பொதுவாக சமன்பாடுகள், நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் அமைப்புகள், அத்துடன் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள், கணிதத்தில் கோட்பாட்டு மற்றும் பயன்பாட்டு ஆகிய இரண்டிலும் ஒரு சிறப்பு இடத்தைப் பெறுகின்றன.

பெரும்பாலான உடல், பொருளாதார, தொழில்நுட்ப மற்றும் கல்வியியல் சிக்கல்கள் பல்வேறு சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் அமைப்புகளைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்பட்டு தீர்க்கப்படுவதே இதற்குக் காரணம். IN சமீபத்தில்கணித மாடலிங் ஆராய்ச்சியாளர்கள், விஞ்ஞானிகள் மற்றும் பயிற்சியாளர்களிடையே கிட்டத்தட்ட அனைத்து பாடப் பகுதிகளிலும் குறிப்பிட்ட பிரபலத்தைப் பெற்றுள்ளது, இது மற்ற நன்கு அறியப்பட்ட மற்றும் நிரூபிக்கப்பட்ட பொருட்களை ஆய்வு செய்யும் முறைகளை விட அதன் வெளிப்படையான நன்மைகளால் விளக்கப்படுகிறது. வெவ்வேறு இயல்புடையது, குறிப்பாக, சிக்கலான அமைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுபவை. விஞ்ஞானிகளால் வழங்கப்பட்ட கணித மாதிரியின் பல்வேறு வரையறைகள் உள்ளன வெவ்வேறு நேரங்களில், ஆனால் எங்கள் கருத்துப்படி, மிகவும் வெற்றிகரமான ஒன்று பின்வரும் அறிக்கை. கணித மாதிரிஒரு சமன்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும் கருத்து. எனவே, சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் அமைப்புகளை உருவாக்கி தீர்க்கும் திறன் ஒரு நவீன நிபுணரின் ஒருங்கிணைந்த பண்பு ஆகும்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்க, பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் முறைகள் க்ரேமர், ஜோர்டான்-காஸ் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் முறை.

மேட்ரிக்ஸ் தீர்வு முறை - பயன்படுத்தி தீர்வு முறை தலைகீழ் அணிபூஜ்ஜியமற்ற தீர்மானிப்பான் கொண்ட நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்.

மேட்ரிக்ஸ் A இல் xi தெரியாத அளவுகளுக்கான குணகங்களை எழுதினால், திசையன் நெடுவரிசை X இல் தெரியாத அளவுகளையும், திசையன் நெடுவரிசை B இல் உள்ள இலவச சொற்களையும் சேகரித்தால், நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதலாம். பின்வரும் அணி சமன்பாடு A · X = B, இது அணி A இன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாதபோது மட்டுமே ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வை பின்வரும் வழியில் காணலாம் எக்ஸ் = ஏ-1 · பி, எங்கே ஏ-1 என்பது தலைகீழ் அணி.

மேட்ரிக்ஸ் தீர்வு முறை பின்வருமாறு.

அமைப்பு கொடுக்கப்படட்டும் நேரியல் சமன்பாடுகள்உடன் nதெரியவில்லை:

இது மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படலாம்: AX = பி, எங்கே ஏ- அமைப்பின் முக்கிய அணி, பிமற்றும் எக்ஸ்- முறையே இலவச உறுப்பினர்களின் நெடுவரிசைகள் மற்றும் அமைப்பின் தீர்வுகள்:

இதை பெருக்குவோம் அணி சமன்பாடுவிட்டு ஏ-1 - மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் அணி ஏ: ஏ -1 (AX) = ஏ -1 பி

ஏனெனில் ஏ -1 ஏ = ஈ, நாம் பெறுகிறோம் எக்ஸ்=ஏ -1 பி. இந்த சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் தீர்வு நிரலைக் கொடுக்கும் அசல் அமைப்பு. பொருந்தக்கூடிய நிலை இந்த முறை(அத்துடன் பொதுவாக ஒரு தீர்வின் இருப்பு ஒரே மாதிரியான அமைப்புஅறியப்படாத எண்ணிக்கைக்கு சமமான சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையுடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாடுகள்) என்பது மேட்ரிக்ஸின் சிதைவின்மை ஏ. இதற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை ஏ:det ஏ≠ 0.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கு, அதாவது திசையன் போது பி = 0 , உண்மையில் தலைகீழ் விதி: அமைப்பு AX = 0 க்கு அற்பமான (அதாவது பூஜ்ஜியம் அல்லாத) தீர்வு உள்ளது ஏ= 0. நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகளின் தீர்வுகளுக்கு இடையேயான இத்தகைய இணைப்பு ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்று என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உதாரணம் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பிற்கான தீர்வுகள்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் அறியப்படாத குணகங்களால் ஆன மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்பதை உறுதி செய்வோம்.

அறியப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட மேட்ரிக்ஸின் உறுப்புகளுக்கான இயற்கணித நிரப்புகளை கணக்கிடுவது அடுத்த படியாகும். தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிக்க அவை தேவைப்படும்.

இது எல்லாவற்றையும் சுருக்கமாகக் கூறும் கருத்து சாத்தியமான செயல்பாடுகள், மெட்ரிக்குகளுடன் தயாரிக்கப்பட்டது. கணித அணி - உறுப்புகளின் அட்டவணை. எங்கே ஒரு அட்டவணை பற்றி மீகோடுகள் மற்றும் nநெடுவரிசைகள், இந்த அணி பரிமாணத்தைக் கொண்டிருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது மீஅன்று n.

மேட்ரிக்ஸின் பொதுவான பார்வை:

க்கு மேட்ரிக்ஸ் தீர்வுகள்மேட்ரிக்ஸ் என்றால் என்ன என்பதைப் புரிந்துகொள்வது மற்றும் அதன் முக்கிய அளவுருக்களை அறிந்து கொள்வது அவசியம். மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய கூறுகள்:

• முக்கிய மூலைவிட்டம், உறுப்புகளைக் கொண்டது a 11, a 22..... a mn.
• உறுப்புகளைக் கொண்ட பக்க மூலைவிட்டம் a 1n , a 2n-1 .....a m1.

மெட்ரிக்ஸின் முக்கிய வகைகள்:

• சதுரம் என்பது வரிசைகளின் எண்ணிக்கை = நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை ( m=n).
• பூஜ்யம் - அனைத்து அணி உறுப்புகள் = 0.
• இடமாற்ற அணி - அணி IN, இது அசல் மேட்ரிக்ஸிலிருந்து பெறப்பட்டது ஏநெடுவரிசைகளுடன் வரிசைகளை மாற்றுவதன் மூலம்.
• ஒற்றுமை - முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் அனைத்து கூறுகளும் = 1, மற்ற அனைத்தும் = 0.
• தலைகீழ் அணி என்பது ஒரு அணி, இது அசல் அணியால் பெருக்கப்படும்போது, ​​​​அடையாள அணியில் விளைகிறது.

மேட்ரிக்ஸ் பிரதான மற்றும் இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டங்களைப் பொறுத்து சமச்சீர் இருக்க முடியும். அதாவது, என்றால் a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. ஒரு m-1n = a mn-1, பின்னர் அணி முக்கிய மூலைவிட்டத்தைப் பற்றி சமச்சீராக இருக்கும். சதுர மெட்ரிக்குகள் மட்டுமே சமச்சீர் இருக்க முடியும்.

மெட்ரிக்குகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.

கிட்டத்தட்ட எல்லாமே மேட்ரிக்ஸ் தீர்க்கும் முறைகள்அதன் தீர்மானிப்பதைக் கண்டறிவதில் அடங்கும் n-வது வரிசை மற்றும் அவற்றில் பெரும்பாலானவை மிகவும் சிக்கலானவை. 2 வது மற்றும் 3 வது வரிசையின் தீர்மானிப்பதைக் கண்டறிய, பிற, அதிக பகுத்தறிவு முறைகள் உள்ளன.

2வது வரிசையை தீர்மானிப்பவர்களை கண்டறிதல்.

மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிட ஏ 2 வது வரிசையில், பிரதான மூலைவிட்டத்தின் உறுப்புகளின் உற்பத்தியிலிருந்து இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்தின் உறுப்புகளின் பெருக்கத்தை கழிக்க வேண்டியது அவசியம்:

3 வது வரிசை தீர்மானிப்பவர்களைக் கண்டறிவதற்கான முறைகள்.

3வது வரிசையை தீர்மானிப்பதற்கான விதிகள் கீழே உள்ளன.

முக்கோணத்தின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட விதி ஒன்று மேட்ரிக்ஸ் தீர்க்கும் முறைகள், இவ்வாறு சித்தரிக்கலாம்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நேர் கோடுகளால் இணைக்கப்பட்ட முதல் தீர்மானிப்பதில் உள்ள உறுப்புகளின் தயாரிப்பு "+" அடையாளத்துடன் எடுக்கப்படுகிறது; மேலும், 2 வது தீர்மானிக்கு, தொடர்புடைய தயாரிப்புகள் “-” அடையாளத்துடன் எடுக்கப்படுகின்றன, அதாவது பின்வரும் திட்டத்தின் படி:

மணிக்கு சர்ரஸின் விதியைப் பயன்படுத்தி மெட்ரிக்குகளைத் தீர்ப்பது, தீர்மானிப்பவரின் வலதுபுறத்தில், முதல் 2 நெடுவரிசைகளைச் சேர்க்கவும், முக்கிய மூலைவிட்டம் மற்றும் அதற்கு இணையாக இருக்கும் மூலைவிட்டங்களில் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் தயாரிப்புகள் "+" அடையாளத்துடன் எடுக்கப்படுகின்றன; இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டம் மற்றும் அதற்கு இணையான மூலைவிட்டங்களின் தொடர்புடைய கூறுகளின் தயாரிப்புகள், “-” என்ற அடையாளத்துடன்:

மெட்ரிக்ஸைத் தீர்க்கும்போது ஒரு வரிசை அல்லது நெடுவரிசையில் தீர்மானிப்பதை சிதைத்தல்.

தீர்மானிப்பான் என்பது நிர்ணயிப்பவரின் வரிசையின் தனிமங்களின் தயாரிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் இயற்கணித நிரப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். பொதுவாக பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட வரிசை/நெடுவரிசை தேர்ந்தெடுக்கப்படும். சிதைவு மேற்கொள்ளப்படும் வரிசை அல்லது நெடுவரிசை அம்புக்குறி மூலம் குறிக்கப்படும்.

மெட்ரிக்குகளைத் தீர்க்கும் போது தீர்மானிப்பதை முக்கோண வடிவத்திற்குக் குறைத்தல்.

மணிக்கு மெட்ரிக்குகளைத் தீர்க்கிறதுநிர்ணயிப்பவரை முக்கோண வடிவமாகக் குறைக்கும் முறை, அவை இப்படிச் செயல்படுகின்றன: வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளில் எளிமையான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, தீர்மானிப்பான் முக்கோண வடிவத்தில் மாறும், பின்னர் அதன் மதிப்பு, தீர்மானிப்பவரின் பண்புகளுக்கு ஏற்ப, தயாரிப்புக்கு சமமாக இருக்கும். முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் இருக்கும் உறுப்புகள்.

மெட்ரிக்குகளைத் தீர்ப்பதற்கான லாப்லேஸ் தேற்றம்.

லாப்லேஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மெட்ரிக்குகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் தேற்றத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். லாப்லாஸ் தேற்றம்: நாம் Δ - இது ஒரு தீர்மானம் n-வது வரிசை. நாங்கள் எதையும் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் கேவரிசைகள் (அல்லது நெடுவரிசைகள்) வழங்கப்பட்டுள்ளன கே≤ n - 1. இந்த வழக்கில், அனைத்து சிறார்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை கேதேர்ந்தெடுக்கப்பட்டதில் உள்ள வரிசை கேவரிசைகள் (நெடுவரிசைகள்), அவற்றின் இயற்கணித நிரப்புகளால் தீர்மானிக்கும் பொருளுக்கு சமமாக இருக்கும்.

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைத் தீர்ப்பது.

அதற்கான செயல்களின் வரிசை தலைகீழ் அணி தீர்வுகள்:

1. அது சதுரமாக இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும் கொடுக்கப்பட்ட அணி. பதில் எதிர்மறையாக இருந்தால், அதற்கு ஒரு தலைகீழ் அணி இருக்க முடியாது என்பது தெளிவாகிறது.
2. இயற்கணித நிரப்புகளை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்.
3. நாங்கள் ஒரு யூனியன் (பரஸ்பர, இணைந்த) மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குகிறோம் சி.
4. இயற்கணிதக் கூட்டல்களில் இருந்து தலைகீழ் அணியை உருவாக்குகிறோம்: இணைந்த மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் சிஆரம்ப மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பாளரால் வகுக்கவும். கொடுக்கப்பட்ட அணியுடன் தொடர்புடைய தலைகீழ் அணி இறுதி அணியாக இருக்கும்.
5. நாங்கள் செய்த வேலையைச் சரிபார்க்கிறோம்: ஆரம்ப அணி மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்கவும், இதன் விளைவாக ஒரு அடையாள அணியாக இருக்க வேண்டும்.

மேட்ரிக்ஸ் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

க்கு மேட்ரிக்ஸ் அமைப்புகளின் தீர்வுகள்காஸியன் முறை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

காஸின் முறை நிலையான வழிநேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் (SLAE) தீர்வு முறைகள் மற்றும் மாறிகள் வரிசையாக அகற்றப்படுகின்றன என்பதில் உள்ளது, அதாவது, அடிப்படை மாற்றங்களின் உதவியுடன், சமன்பாடுகளின் அமைப்பு முக்கோண வடிவத்தின் சமமான அமைப்பிற்கு கொண்டு வரப்படுகிறது மற்றும் அதிலிருந்து, வரிசையாக, தொடங்குகிறது கடைசியாக (எண் மூலம்), கணினியின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் கண்டறியவும்.

காஸ் முறைமிகவும் பல்துறை மற்றும் சிறந்த கருவிமெட்ரிக்ஸின் தீர்வைக் கண்டறிய. ஒரு அமைப்பில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருந்தால் அல்லது கணினி இணக்கமற்றதாக இருந்தால், அதை க்ரேமர் விதி மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியாது.

காஸ் முறையானது நேரடி (நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்குக் குறைத்தல், அதாவது, பிரதான மூலைவிட்டத்தின் கீழ் பூஜ்ஜியங்களைப் பெறுதல்) மற்றும் தலைகீழ் (நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு மேல் பூஜ்ஜியங்களைப் பெறுதல்) நகர்வுகளையும் குறிக்கிறது. முன்னோக்கி நகர்வது காஸ் முறை, தலைகீழ் நகர்வு காஸ்-ஜோர்டான் முறை. காஸ்-ஜோர்டான் முறையானது காஸ் முறையிலிருந்து மாறிகளை நீக்கும் வரிசையில் மட்டுமே வேறுபடுகிறது.

கொடுக்கப்பட்டது ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கிறது. இது மிகவும் வழங்கப்படுகிறது விரிவான தீர்வு. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க, மாறிகளின் எண்ணிக்கையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவதற்கான முறையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். பின்னர் கலங்களில் தரவை உள்ளிட்டு "கணக்கிடு" பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும்.

×

எச்சரிக்கை

அனைத்து கலங்களையும் அழிக்கவா?

மூடு அழி

தரவு உள்ளீடு வழிமுறைகள்.எண்கள் முழு எண்களாக உள்ளிடப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டுகள்: 487, 5, -7623, முதலியன), தசமங்கள் (எ.கா. 67., 102.54, முதலியன) அல்லது பின்னங்கள். பின்னம் a/b வடிவத்தில் உள்ளிடப்பட வேண்டும், இதில் a மற்றும் b முழு எண்கள் அல்லது தசம எண்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, முதலியன.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான மேட்ரிக்ஸ் முறை

பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள்:

ஒரு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் வரையறை கொடுக்கப்பட்டால், எங்களிடம் உள்ளது ஏ −1 ஏ=ஈ, எங்கே ஈ- அடையாள அணி. எனவே (4) பின்வருமாறு எழுதலாம்:

எனவே, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க (1) (அல்லது (2)), இன் தலைகீழ் பெருக்கினால் போதும். ஏஒரு கட்டுப்பாட்டு திசையன் ஒன்றுக்கு அணி பி.

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1. மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

ஜோர்டான்-காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி அணி A இன் தலைகீழ் நிலையைக் கண்டுபிடிப்போம். மேட்ரிக்ஸின் வலது பக்கத்தில் ஏஅடையாள அணியை எழுதுவோம்:

பிரதான மூலைவிட்டத்திற்கு கீழே உள்ள மேட்ரிக்ஸின் 1 வது நெடுவரிசையின் கூறுகளை விலக்குவோம். இதைச் செய்ய, வரி 1 உடன் 2,3 வரிகளைச் சேர்க்கவும், முறையே -1/3, -1/3 ஆல் பெருக்கவும்:

பிரதான மூலைவிட்டத்திற்கு கீழே உள்ள மேட்ரிக்ஸின் 2 வது நெடுவரிசையின் கூறுகளை விலக்குவோம். இதைச் செய்ய, வரி 3-ஐ -24/51 ஆல் பெருக்க வரி 2 உடன் சேர்க்கவும்:

பிரதான மூலைவிட்டத்திற்கு மேலே உள்ள மேட்ரிக்ஸின் 2 வது நெடுவரிசையின் கூறுகளை விலக்குவோம். இதைச் செய்ய, வரி 1-ஐ -3/17 ஆல் பெருக்க வரி 2 உடன் சேர்க்கவும்:

மேட்ரிக்ஸின் வலது பக்கத்தைப் பிரிக்கவும். இதன் விளைவாக வரும் அணி தலைகீழ் அணி ஆகும் ஏ :

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதும் மேட்ரிக்ஸ் வடிவம்: கோடாரி=ஆ, எங்கே

மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து இயற்கணித நிரப்புகளையும் கணக்கிடுவோம் ஏ:

,

,

,

,

,

எங்கே ஏ ij - இயற்கணித நிரப்புஅணி உறுப்பு ஏ, சந்திப்பில் அமைந்துள்ளது i-வது வரி மற்றும் ஜே-வது நெடுவரிசை, மற்றும் Δ என்பது அணியை நிர்ணயிப்பதாகும் ஏ.

தலைகீழ் அணி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

பல மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள்:

aij என்பது தெரியாத xiக்கான குணகங்கள்; இரு-இலவச உறுப்பினர்கள்;

குறியீடுகள்: i = 1,2,3...m - சமன்பாட்டின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கவும் மற்றும் j = 1,2,3...n - தெரியாத எண்ணிக்கை.

வரையறை: சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான தீர்வு (5) என்பது n எண்களின் தொகுப்பாகும் (x10, x20,....xn0), அதை கணினியில் மாற்றினால், அனைத்து சமன்பாடுகளும் சரியான எண் அடையாளங்களாக மாறும்.

வரையறை: சமன்பாடுகளின் அமைப்பு குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருந்தால் சீரானதாக அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு சீரான அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு (x10, x20,....xn0) இருந்தால் அது definite என்றும், பல தீர்வுகள் இருந்தால் காலவரையற்றது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை: தீர்வு இல்லை என்றால் ஒரு அமைப்பு சீரற்றதாக அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை: சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் (5) எண் குணகங்கள் (AIj) மற்றும் இலவச சொற்கள் (bi) ஆகியவற்றால் ஆன அட்டவணைகள் கணினி அணி (A) மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி (A1) என அழைக்கப்படுகின்றன, அவை பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகின்றன:

வரையறை: வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் (n?m) சமமற்ற எண்ணிக்கையைக் கொண்ட அமைப்பு A இன் அணி, செவ்வகமானது என அழைக்கப்படுகிறது. வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் (n=m), அணி சதுரம் எனப்படும்.

ஒரு அமைப்பில் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கை சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கைக்கு (n=m) சமமாக இருந்தால், அந்த அமைப்பு சதுர அணி n வது வரிசை.

அணி A இல் k-தன்னிச்சையான வரிசைகள் மற்றும் k-தன்னிச்சையான நெடுவரிசைகளை (கிமீ, kn) தேர்ந்தெடுப்போம்.

வரையறை: தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ள அணி A இன் உறுப்புகளைக் கொண்ட k-வரிசை தீர்மானிப்பான், அணி A இன் k-order Miner என அழைக்கப்படுகிறது.

மேட்ரிக்ஸ் A இன் சாத்தியமான அனைத்து மைனர்களையும் கருத்தில் கொள்வோம். (k+1)-வரிசையின் அனைத்து மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மற்றும் k-வரிசையின் மைனர்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், அணி கூறப்படும் k க்கு சமமான ரேங்க் வேண்டும்.

வரையறை: மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை A என்பது இந்த மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனரின் மிக உயர்ந்த வரிசையாகும். மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை r(A) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

வரையறை: மேட்ரிக்ஸின் வரிசைக்கு சமமாக இருக்கும் மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனர் அடிப்படை எனப்படும்.

வரையறை: A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு மெட்ரிக்குகளுக்கு அவற்றின் தரவரிசைகள் r(A) = r(B) உடன் இணைந்தால், இந்த மெட்ரிக்குகள் சமமானவை என அழைக்கப்பட்டு A B எனக் குறிக்கப்படும்.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அடிப்படை, சமமான மாற்றங்களிலிருந்து மாறாது, இதில் பின்வருவன அடங்கும்:

• 1. வரிசைகளை நெடுவரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை தொடர்புடைய வரிசைகளுடன் மாற்றுதல்;
• 2. வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளை மறுசீரமைத்தல்;
• 3. அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளை கடத்தல்;
• 4. பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் ஒரு வரிசை அல்லது நெடுவரிசையைப் பெருக்குதல் அல்லது வகுத்தல்;
• 5. ஒரு வரிசை அல்லது நெடுவரிசையின் கூறுகளை மற்றொன்றிலிருந்து கூட்டுதல் அல்லது கழித்தல், எந்த எண்ணாலும் பெருக்கப்படும்.

மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​​​சமமான மாற்றங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இதன் உதவியுடன் அசல் அணி ஒரு படி (முக்கோண) மேட்ரிக்ஸாக குறைக்கப்படுகிறது.

ஒரு படி மேட்ரிக்ஸில், பிரதான மூலைவிட்டத்தின் கீழ் பூஜ்ஜிய கூறுகள் உள்ளன, மேலும் ஒவ்வொரு வரிசையின் முதல் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு, இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தைய வரிசையின் முதல் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புக்கு வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளது.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்பதை நினைவில் கொள்க எண்ணுக்கு சமம்படி மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகள்.

எடுத்துக்காட்டாக, அணி A= ஒரு படிநிலை வடிவம் மற்றும் அதன் தரவரிசை அணி r(A)=3 இன் பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். உண்மையில், 4வது வரிசையின் பூஜ்ஜிய கூறுகளைக் கொண்ட அனைத்து 4வது வரிசை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மேலும் 3வது வரிசை மைனர்கள் பூஜ்ஜியமற்றவர்கள். சரிபார்க்க, முதல் 3 வரிசைகள் மற்றும் 3 நெடுவரிசைகளின் மைனரின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம்:

அடிப்படை செயல்களைப் பயன்படுத்தி முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கீழ் மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளை பூஜ்ஜியமாக்குவதன் மூலம் எந்த அணியையும் ஒரு படி அணியாகக் குறைக்கலாம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் ஆய்வு மற்றும் தீர்வுக்கு திரும்புவோம் (5).

க்ரோனெக்கர்-கபேலி தேற்றம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் ஆய்வில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. இந்த தேற்றத்தை உருவாக்குவோம்.

க்ரோனெக்கர்-கபேலி தேற்றம்: சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் A இன் ரேங்க் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி A1 இன் தரவரிசைக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சீராக இருக்கும், அதாவது. r(A)=r(A1). நிலைத்தன்மையின் விஷயத்தில், கணினி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால், கணினி திட்டவட்டமானது, அதாவது. r(A)=r(A1)=n மற்றும் இந்த ரேங்க் என்றால் வரையறுக்கப்படவில்லை குறைவான எண்ணிக்கைதெரியாதவர்கள், அதாவது. r(A)= r(A1)

உதாரணம். நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை ஆராயுங்கள்:

சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் ஏ மற்றும் எக்ஸ்டெண்டட் மேட்ரிக்ஸ் ஏ1 ஆகியவற்றின் ரேங்க்களை நிர்ணயிப்போம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி A1 ஐ உருவாக்கி, அதை படிப்படியாக படிவமாகக் குறைப்போம்.

மேட்ரிக்ஸைக் குறைக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் செயல்களைச் செய்கிறோம்:

• 2) 3 மற்றும் 4 வரிகளிலிருந்து 1 வது வரியை 4 ஆல் பெருக்கி கழிக்கவும்;
• 3) 4 வது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கி, 2 வது வரியுடன் இடங்களை மாற்றவும்;
• 4) 2 வது வரியுடன் 3 மற்றும் 4 வரிகளைச் சேர்க்கவும், முறையே 5 மற்றும் 4 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது;
• 5) 4 வது வரியிலிருந்து 3 வது வரியைக் கழித்து, 4 வது வரியை பூஜ்ஜிய கூறுகளுடன் கடக்கவும்.

நிகழ்த்தப்பட்ட செயல்களின் விளைவாக, சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸிலும் (கோடு வரை) மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸிலும் மூன்று பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளைக் கொண்ட படி மேட்ரிக்ஸைப் பெற்றோம். கணினி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமம் மற்றும் 3 க்கு சமம், ஆனால் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட (n=4) குறைவாக உள்ளது என்பதை இது காட்டுகிறது.

பதில்: ஏனெனில் r(A)=r(A1)=3

மெட்ரிக்குகளின் தரத்தை படிப்படியாகக் குறைப்பதன் மூலம் அவற்றைத் தீர்மானிப்பது வசதியானது என்பதால், காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

காசியன் முறை

காஸியன் முறையின் சாராம்சம் தெரியாதவற்றை வரிசையாக நீக்குவதாகும். நீட்டிக்கப்பட்ட அணி A1 ஐ ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்குக் குறைப்பதன் மூலம், A அமைப்பின் அணியை வரி வரை உள்ளடக்கியது. . கடைசி கட்டத்தில், படிநிலை சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தீர்க்கப்படுகிறது, அறியப்படாதவற்றின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு கீழே இருந்து மேல் மாற்றங்களை உருவாக்குகிறது.

காஸ் முறை மற்றும் க்ரோனெக்கர்-கபேலி தேற்றத்தின் பயன்பாட்டை ஒரு எடுத்துக்காட்டைப் பயன்படுத்திப் பார்ப்போம்.

உதாரணம். காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்:

சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் ஏ மற்றும் எக்ஸ்டெண்டட் மேட்ரிக்ஸ் ஏ1 ஆகியவற்றின் ரேங்க்களை நிர்ணயிப்போம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி A1 ஐ உருவாக்கி, அதை படிப்படியாக படிவமாகக் குறைப்போம். அனுப்பும் போது, ​​பின்வரும் செயல்களைச் செய்யவும்:

• 1) 2 வது வரியிலிருந்து 1 வது வரியை கழிக்கவும்;
• 2) 3 வது வரியிலிருந்து 1 வது வரியை 2 ஆல் பெருக்கி கழிக்கவும்;
• 3) 2 வது வரியை (-2) வகுக்கவும், மேலும் 3 வது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கி அவற்றை மாற்றவும்.

நாங்கள் ஒரு படி மேட்ரிக்ஸைப் பெற்றுள்ளோம், அதில் வரிசைகளின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும், மேலும் கணினி மேட்ரிக்ஸில் (வரி வரை) பூஜ்ஜிய உள்ளீடுகள் இல்லை. இதன் விளைவாக, சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க்கள் 3க்கு சமம் மற்றும் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம், அதாவது. r(A)=r(A1)=n=3.. க்ரோனெக்கர்-கபேலி தேற்றத்தின்படி, அமைப்பு சீரானது மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

மேட்ரிக்ஸ் A1 ஐ மாற்றியதன் விளைவாக, தெரியாதவற்றின் குணகங்களை பூஜ்ஜியமாக்குவதன் விளைவாக, அவற்றை சமன்பாடுகளிலிருந்து தொடர்ச்சியாக விலக்கி, ஒரு படிநிலை (முக்கோண) சமன்பாடுகளைப் பெற்றோம்:

கீழிருந்து மேல் வரிசையாக நகர்ந்து, மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவதாக உள்ள தீர்வை (x3=1) மாற்றவும், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளில் இருந்து தீர்வுகளை (x2=1, x3=1) முதலாவதாக மாற்றவும், நாம் ஒரு தீர்வைப் பெறுகிறோம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு: x1=1, x2=1, x3=1.

சரிபார்க்கவும்: -(!) பதில்: (x1=1, x2=1, x3=1).

ஜோர்டானோ-காஸ் முறை

இந்த அமைப்பை மேம்படுத்தப்பட்ட ஜோர்டானோ-காஸ் முறை மூலம் தீர்க்க முடியும், இது நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில் (கோடு வரை) அமைப்பின் A இன் அணி அடையாள அணியாக குறைக்கப்படுகிறது: E=அலகு மூலைவிட்டம் மற்றும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத மூலைவிட்ட கூறுகள் மற்றும் கூடுதல் மாற்றீடுகள் இல்லாமல் கணினிக்கு உடனடியாக ஒரு தீர்வைப் பெறுங்கள்.

ஜோர்டானோ-காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி மேலே கருதப்பட்ட அமைப்பைத் தீர்ப்போம். இதைச் செய்ய, பின்வரும் படிகளைச் செய்வதன் மூலம் பெறப்பட்ட படி மேட்ரிக்ஸை ஒரு யூனிட் மேட்ரிக்ஸாக மாற்றுகிறோம்:

• 1) 1 வது வரியிலிருந்து 2 வது வரியை கழிக்கவும்;
• 2) 3 வது வரியை 1 வது வரியில் சேர்க்கவும், 3 ஆல் பெருக்கவும்;
• 3) 2 வது வரியிலிருந்து 3 வது வரியைக் கழிக்கவும், 4 ஆல் பெருக்கவும்.

சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பு முறைக்கு குறைக்கப்பட்டது:, இது தீர்வை தீர்மானிக்கிறது.

மெட்ரிக்குகளுடன் அடிப்படை செயல்பாடுகள்

இரண்டு மெட்ரிக்குகளை கொடுக்கலாம்: A= பி=.

• 1. ஒரே பெயரின் கூறுகள் சமமாக இருந்தால், Matrices A=B சமமாக இருக்கும்:aij=bij
• 2. மெட்ரிக்ஸின் கூட்டுத்தொகை (வேறுபாடு) (A ± B) என்பது சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட அணி:

மெட்ரிக்ஸைச் சுருக்கும்போது (கழித்தல்), அதே பெயரில் அவற்றின் கூறுகள் சேர்க்கப்படுகின்றன (கழிக்கப்படுகின்றன).

3. எண் k மற்றும் அணி A இன் பெருக்கல் சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட அணி:

ஒரு மேட்ரிக்ஸை ஒரு எண்ணால் பெருக்கினால், மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் அந்த எண்ணால் பெருக்கப்படும்.

4. மேட்ரிக்ஸ் AB இன் பெருக்கல் என்பது சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட அணி:

மெட்ரிக்ஸைப் பெருக்கும் போது, ​​முதல் மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளின் உறுப்புகள் இரண்டாவது மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளின் உறுப்புகளால் பெருக்கப்பட்டு சுருக்கமாக இருக்கும், மேலும் i-வது வரிசை மற்றும் j-வது நெடுவரிசையில் உள்ள தயாரிப்பு மேட்ரிக்ஸின் உறுப்பு சமமாக இருக்கும் முதல் அணி மற்றும் j-வது நெடுவரிசை இரண்டாவது அணியின் i-வது வரிசையின் தொடர்புடைய கூறுகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை.

மெட்ரிக்குகளைப் பெருக்கும் போது, ​​பொது வழக்கில், பரிமாற்றச் சட்டம் பொருந்தாது, அதாவது. AB?VA.

5. மேட்ரிக்ஸ் A ஐ இடமாற்றம் செய்வது என்பது வரிசைகளை நெடுவரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளுடன் தொடர்புடைய வரிசைகளுடன் மாற்றும் ஒரு செயலாகும்.

அணி AT= அணி A= க்கு மாற்றப்பட்ட அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அணி A இன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு (D?0) சமமாக இல்லாவிட்டால், அத்தகைய அணி ஒருமை அல்லாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது. எந்த ஒருமை அல்லாத அணி A-க்கும், ஒரு தலைகீழ் அணி A-1 உள்ளது, இதற்கு சமத்துவம் உள்ளது: A-1 A= A A-1=E, E= என்பது அடையாள அணி.

6. மேட்ரிக்ஸ் A இன் இன்வெர்ஷன் என்பது தலைகீழ் அணி A-1 இல் விளையும் செயல்கள்

அணி A தலைகீழாக மாற்றும் போது, ​​பின்வரும் செயல்கள் செய்யப்படுகின்றன.

• அணி A இன் தீர்மானிப்பான் கணக்கிடப்படுகிறது;
• இயற்கணிதக் கூட்டல் மூலம் தலைகீழ் அணி A -1 காணப்படுகிறது;
• எக்செல் இல் ஒரு தீர்வு வார்ப்புரு உருவாக்கப்பட்டது;

வழிமுறைகள். தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு தீர்வைப் பெற, நீங்கள் மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணத்தைக் குறிப்பிட வேண்டும். அடுத்து, ஒரு புதிய உரையாடல் பெட்டியில், மேட்ரிக்ஸ் A மற்றும் முடிவுகளின் வெக்டரை நிரப்பவும்.

தீர்வு அல்காரிதம்

1. அணி A இன் தீர்மானிப்பான் கணக்கிடப்படுகிறது. தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், தீர்வு முடிந்துவிட்டது. கணினியில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.
2. தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால், இயற்கணிதச் சேர்த்தல் மூலம் தலைகீழ் அணி A -1 கண்டறியப்படுகிறது.
3. தீர்வு திசையன் X =(x 1, x 2, ..., x n) தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸை முடிவு திசையன் B ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.