முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு மேட்ரிக்ஸைத் தீர்ப்பது. கிராமர் விதி. தலைகீழ் அணி முறை

(சில நேரங்களில் இந்த முறை மேட்ரிக்ஸ் முறை அல்லது தலைகீழ் அணி முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) SLAE இன் மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டு வடிவம் போன்ற ஒரு கருத்தாக்கத்துடன் பூர்வாங்க அறிமுகம் தேவைப்படுகிறது. தலைகீழ் அணி முறையானது நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, இதில் கணினி மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. இயற்கையாகவே, கணினியின் அணி சதுரம் என்று இது கருதுகிறது (ஒரு தீர்மானிப்பான் என்ற கருத்து சதுர மெட்ரிக்குகளுக்கு மட்டுமே உள்ளது). தலைகீழ் அணி முறையின் சாராம்சத்தை மூன்று புள்ளிகளில் வெளிப்படுத்தலாம்:

1. மூன்று அணிகளை எழுதவும்: கணினி அணி $A$, தெரியாதவர்களின் அணி $X$, இலவச சொற்களின் அணி $B$.
2. தலைகீழ் அணி $A^(-1)$ ஐக் கண்டறியவும்.
3. $X=A^(-1)\cdot B$ என்ற சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட SLAEக்கான தீர்வைப் பெறவும்.

எந்த SLAEஐயும் அணி வடிவில் $A\cdot X=B$ என எழுதலாம், $A$ என்பது கணினியின் அணி, $B$ என்பது இலவச விதிமுறைகளின் அணி, $X$ என்பது தெரியாதவற்றின் அணி. அணி $A^(-1)$ இருக்கட்டும். $A\cdot X=B$ என்ற சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் இடதுபுறத்தில் உள்ள அணி $A^(-1)$ மூலம் பெருக்குவோம்:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ என்பது அடையாள அணி), மேலே எழுதப்பட்ட சமத்துவம்:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$E\cdot X=X$ என்பதால், பின்:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\ right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\ right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் அணியைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது. $A^(-1)$ கணக்கிடுவோம். உதாரணம் எண். 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

இப்போது மூன்று மெட்ரிக்குகளையும் ($X$, $A^(-1)$, $B$) சமமாக $X=A^(-1)\cdot B$க்கு மாற்றுவோம். பின்னர் நாங்கள் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தைச் செய்கிறோம்

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

எனவே, எங்களுக்கு $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( வரிசை )\வலது)$. இந்த சமத்துவத்திலிருந்து நாம்: $x_1=-3$, $x_2=2$.

பதில்: $x_1=-3$, $x_2=2$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

SLAE ஐ தீர்க்கவும் $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ தலைகீழ் அணி முறையைப் பயன்படுத்துகிறது.

$A$ அமைப்பின் மேட்ரிக்ஸ், இலவச சொற்களின் அணி $B$ மற்றும் தெரியாதவற்றின் அணி $X$ ஆகியவற்றை எழுதுவோம்.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\ right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\ right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

இப்போது சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸுக்கு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறியும் முறை, அதாவது. $A^(-1)$ கண்டுபிடி. எடுத்துக்காட்டாக எண். 3 இல், தலைகீழ் மெட்ரிக்ஸைக் கண்டறிவதற்காக அர்ப்பணிக்கப்பட்ட பக்கத்தில், தலைகீழ் அணி ஏற்கனவே கண்டறியப்பட்டுள்ளது. முடிக்கப்பட்ட முடிவைப் பயன்படுத்தி $A^(-1)$ என்று எழுதுவோம்:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\இறுதி(வரிசை)\வலது). $$

இப்போது மூன்று மெட்ரிக்குகளையும் ($X$, $A^(-1)$, $B$) சமமாக $X=A^(-1)\cdot B$ க்கு மாற்றியமைப்போம், பின்னர் வலது பக்கத்தில் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கலைச் செய்வோம். இந்த சமத்துவத்தின்.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\ end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

எனவே, எங்களுக்கு $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 என்ற சமத்துவம் கிடைத்தது. \ \9\முடிவு(வரிசை)\வலது)$. இந்த சமத்துவத்தில் இருந்து நாம்: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

முதல் பகுதியில், சில தத்துவார்த்த பொருள், மாற்று முறை மற்றும் கணினி சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால சேர்க்கை முறை ஆகியவற்றைப் பார்த்தோம். இந்தப் பக்கத்தின் மூலம் தளத்தை அணுகிய அனைவரும் முதல் பகுதியைப் படிக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறேன். ஒருவேளை சில பார்வையாளர்கள் பொருள் மிகவும் எளிமையானதாகக் காணலாம், ஆனால் நாங்கள் அமைப்புகளைத் தீர்க்கிறோம் நேரியல் சமன்பாடுகள்தீர்மானம் தொடர்பாக நான் பல முக்கியமான அவதானிப்புகள் மற்றும் முடிவுகளை எடுத்தேன் கணித சிக்கல்கள்பொதுவாக.

இப்போது நாம் கிராமரின் விதியை பகுப்பாய்வு செய்வோம், அதே போல் தலைகீழ் அணி (மேட்ரிக்ஸ் முறை) பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்போம். அனைத்து பொருட்களும் எளிமையாகவும் விரிவாகவும் தெளிவாகவும் வழங்கப்படுகின்றன, மேலே உள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி கணினிகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை கிட்டத்தட்ட அனைத்து வாசகர்களும் அறிந்து கொள்ள முடியும்.

முதலில், இரண்டு தெரியாதவற்றில் இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான க்ரேமரின் விதியை நாம் கூர்ந்து கவனிப்போம். எதற்காக? - அனைத்து பிறகு எளிமையான அமைப்புபள்ளி முறை, கால-படி-கால கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்!

உண்மை என்னவென்றால், சில சமயங்களில் இதுபோன்ற ஒரு பணி நிகழ்கிறது - க்ரேமரின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க. இரண்டாவதாக, ஒரு எளிய உதாரணம், க்ரேமர் விதியை எப்படிப் பயன்படுத்துவது என்பதைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் சிக்கலான வழக்கு- மூன்று அறியப்படாத மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்.

கூடுதலாக, இரண்டு மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் உள்ளன, அவை க்ரேமர் விதியைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க அறிவுறுத்தப்படுகின்றன!

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள்

முதல் கட்டத்தில், தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம், அது அழைக்கப்படுகிறது அமைப்பின் முக்கிய தீர்மானிப்பான்.

காஸ் முறை.

என்றால் , கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது, மேலும் வேர்களைக் கண்டறிய நாம் இன்னும் இரண்டு தீர்மானங்களை கணக்கிட வேண்டும்:
மற்றும்

நடைமுறையில், மேலே உள்ள தகுதிகளை லத்தீன் எழுத்து மூலம் குறிக்கலாம்.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் காண்கிறோம்:
,

எடுத்துக்காட்டு 7

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு: சமன்பாட்டின் குணகங்கள் மிகவும் பெரியதாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், வலது பக்கத்தில் உள்ளன தசமங்கள்கமாவுடன். கமா - போதும் அரிய விருந்தினர்கணிதத்தில் நடைமுறை பணிகளில், நான் இந்த அமைப்பை ஒரு பொருளாதார சிக்கலில் இருந்து எடுத்தேன்.

அத்தகைய அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது? நீங்கள் ஒரு மாறியை மற்றொன்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முயற்சி செய்யலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் நீங்கள் வேலை செய்ய மிகவும் சிரமமான பயங்கரமான ஆடம்பரமான பின்னங்களுடன் முடிவடையும், மேலும் தீர்வின் வடிவமைப்பு வெறுமனே பயங்கரமாக இருக்கும். நீங்கள் இரண்டாவது சமன்பாட்டை 6 ஆல் பெருக்கலாம் மற்றும் காலத்தை காலத்தால் கழிக்கலாம், ஆனால் அதே பின்னங்கள் இங்கும் எழும்.

என்ன செய்ய? IN இதே போன்ற வழக்குகள்மற்றும் க்ரேமரின் சூத்திரங்கள் மீட்புக்கு வருகின்றன.

;

;

பதில்: ,

இரண்டு வேர்களும் எல்லையற்ற வால்களைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவை தோராயமாக காணப்படுகின்றன, இது பொருளாதாரவியல் சிக்கல்களுக்கு மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது (மற்றும் பொதுவானது கூட).

இங்கே கருத்துகள் தேவையில்லை, ஏனெனில் ஆயத்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி பணி தீர்க்கப்படுகிறது, இருப்பினும், ஒரு எச்சரிக்கை உள்ளது. எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும் இந்த முறை, கட்டாயம்பணி வடிவமைப்பின் ஒரு பகுதி பின்வரும் பகுதி: "இதன் பொருள் கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது". இல்லையெனில், க்ரேமர் தேற்றத்தை அவமதித்ததற்காக மதிப்பாய்வாளர் உங்களைத் தண்டிக்கக்கூடும்.

அதைச் சரிபார்ப்பது மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது, இது ஒரு கால்குலேட்டரில் வசதியாக மேற்கொள்ளப்படலாம்: கணினியின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திலும் தோராயமான மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம். இதன் விளைவாக, ஒரு சிறிய பிழையுடன், நீங்கள் வலது பக்கங்களில் உள்ள எண்களைப் பெற வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 8

பதிலை சாதாரணமாக வழங்கவும் முறையற்ற பின்னங்கள். ஒரு சோதனை செய்யுங்கள்.

என்பதற்கு இது ஒரு உதாரணம் சுதந்திரமான முடிவு(உதாரணமாக முடித்துவிட்டு பாடத்தின் முடிவில் பதில்).

மூன்று அறியப்படாத மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான க்ரேமரின் விதியைக் கருத்தில் கொண்டு செல்லலாம்:

அமைப்பின் முக்கிய தீர்மானத்தை நாங்கள் காண்கிறோம்:

என்றால், கணினி எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது அல்லது சீரற்றதாக உள்ளது (தீர்வுகள் இல்லை). இந்த வழக்கில், நீங்கள் காஸ் முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும், கிராமரின் விதி உதவாது.

என்றால் , கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது மற்றும் வேர்களைக் கண்டறிய நாம் மேலும் மூன்று தீர்மானங்களை கணக்கிட வேண்டும்:
, ,

இறுதியாக, பதில் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, "மூன்று மூன்று" வழக்கு அடிப்படையில் "இரண்டு மூலம் இரண்டு" இருந்து வேறுபட்டது இலவச சொற்கள் நெடுவரிசையில் முக்கிய தீர்மானிப்பான் நெடுவரிசைகள் வழியாக இடமிருந்து வலமாக.

எடுத்துக்காட்டு 9

Cramer இன் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு: Cramer இன் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்போம்.

, அதாவது கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

பதில்: .

உண்மையில், இங்கே மீண்டும் கருத்துத் தெரிவிக்க சிறப்பு எதுவும் இல்லை, ஏனெனில் தீர்வு ஆயத்த சூத்திரங்களைப் பின்பற்றுகிறது. ஆனால் ஓரிரு கருத்துகள் உள்ளன.

கணக்கீடுகளின் விளைவாக, "மோசமான" குறைக்க முடியாத பின்னங்கள் பெறப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக: .
பின்வரும் "சிகிச்சை" அல்காரிதத்தை நான் பரிந்துரைக்கிறேன். உங்களிடம் கணினி இல்லை என்றால், இதைச் செய்யுங்கள்:

1) கணக்கீடுகளில் பிழை இருக்கலாம். "மோசமான" பகுதியை நீங்கள் சந்தித்தவுடன், நீங்கள் உடனடியாக சரிபார்க்க வேண்டும் நிபந்தனை சரியாக எழுதப்பட்டதா?. நிபந்தனை பிழைகள் இல்லாமல் மீண்டும் எழுதப்பட்டால், மற்றொரு வரிசையில் (நெடுவரிசை) விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிப்பவர்களை மீண்டும் கணக்கிட வேண்டும்.

2) சரிபார்த்தலின் விளைவாக பிழைகள் எதுவும் கண்டறியப்படவில்லை என்றால், பெரும்பாலும் பணி நிலைமைகளில் எழுத்துப்பிழை இருக்கலாம். இந்த விஷயத்தில், அமைதியாகவும் கவனமாகவும் பணியின் மூலம் இறுதிவரை வேலை செய்யுங்கள், பின்னர் சரிபார்க்கவும்முடிவெடுத்த பிறகு அதை ஒரு சுத்தமான தாளில் வரைகிறோம். நிச்சயமாக, ஒரு பகுதியளவு பதிலைச் சரிபார்ப்பது விரும்பத்தகாத பணியாகும், ஆனால் ஆசிரியருக்கு இது ஒரு நிராயுதபாணியான வாதமாக இருக்கும். பின்னங்களை எவ்வாறு கையாள்வது என்பது எடுத்துக்காட்டு 8க்கான பதிலில் விரிவாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது.

உங்களிடம் கணினி இருந்தால், சரிபார்க்க ஒரு தானியங்கு நிரலைப் பயன்படுத்தவும், பாடத்தின் ஆரம்பத்தில் இலவசமாக பதிவிறக்கம் செய்யலாம். மூலம், இப்போதே நிரலைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் லாபகரமானது (தீர்வைத் தொடங்குவதற்கு முன்பே நீங்கள் தவறு செய்த இடைநிலைப் படியை உடனடியாகக் காண்பீர்கள்); அதே கால்குலேட்டர் தானாகவே மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியின் தீர்வைக் கணக்கிடுகிறது.

இரண்டாவது கருத்து. சமன்பாடுகளில் அவ்வப்போது சில மாறிகள் இல்லாத அமைப்புகள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக:

இங்கு முதல் சமன்பாட்டில் மாறி இல்லை , இரண்டாவதில் மாறி இல்லை . இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், முக்கிய தீர்மானிப்பதை சரியாகவும் கவனமாகவும் எழுதுவது மிகவும் முக்கியம்:
- காணாமல் போன மாறிகளின் இடத்தில் பூஜ்ஜியங்கள் வைக்கப்படுகின்றன.
குறிப்பிடத்தக்க வகையில் குறைவான கணக்கீடுகள் இருப்பதால், பூஜ்ஜியம் அமைந்துள்ள வரிசையின் (நெடுவரிசை) படி பூஜ்ஜியங்களுடன் தீர்மானிப்பவர்களைத் திறப்பது பகுத்தறிவு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 10

Cramer இன் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்.

இது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு (இறுதி வடிவமைப்பின் மாதிரி மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் பதில்).

4 அறியப்படாத 4 சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கு, க்ரேமரின் சூத்திரங்கள் ஒத்த கொள்கைகளின்படி எழுதப்படுகின்றன. டிடர்மினண்டுகளின் பண்புகள் என்ற பாடத்தில் நேரடி உதாரணத்தை நீங்கள் பார்க்கலாம். தீர்மானிப்பவரின் வரிசையைக் குறைத்தல் - ஐந்து 4 வது வரிசை தீர்மானிப்பான்கள் மிகவும் தீர்க்கக்கூடியவை. பணி ஏற்கனவே ஒரு அதிர்ஷ்ட மாணவரின் மார்பில் பேராசிரியரின் காலணியை மிகவும் நினைவூட்டுகிறது.

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி ஒரு அமைப்பைத் தீர்ப்பது

தலைகீழ் அணி முறை அடிப்படையில் உள்ளது சிறப்பு வழக்கு அணி சமன்பாடு(குறிப்பிட்ட பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு எண். 3 ஐப் பார்க்கவும்).

இந்தப் பிரிவைப் படிக்க, நீங்கள் தீர்மானிப்பான்களை விரிவுபடுத்தவும், மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் நிலையைக் கண்டறியவும் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தை செய்யவும் முடியும். விளக்கங்கள் முன்னேறும்போது தொடர்புடைய இணைப்புகள் வழங்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 11

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு: கணினியை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதுவோம்:
, எங்கே

சமன்பாடுகள் மற்றும் மெட்ரிக்குகளின் அமைப்பைப் பாருங்கள். கூறுகளை மெட்ரிக்ஸில் எழுதும் கொள்கையை அனைவரும் புரிந்துகொள்கிறார்கள் என்று நினைக்கிறேன். ஒரே கருத்து: சமன்பாடுகளில் சில மாறிகள் விடுபட்டிருந்தால், பூஜ்ஜியங்கள் மேட்ரிக்ஸில் தொடர்புடைய இடங்களில் வைக்கப்பட வேண்டும்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் காண்கிறோம்:
, மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் இயற்கணித நிரப்புகளின் இடமாற்ற அணி எங்கே.

முதலில், தீர்மானிப்பதைப் பார்ப்போம்:

இங்கே தீர்மானிப்பான் முதல் வரியில் விரிவடைகிறது.

கவனம்! என்றால், தலைகீழ் அணி இல்லை, மேலும் மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்க முடியாது. இந்த வழக்கில், கணினி தெரியாதவற்றை நீக்கும் முறையால் தீர்க்கப்படுகிறது (காஸ் முறை).

இப்போது நாம் 9 மைனர்களைக் கணக்கிட்டு அவற்றை மைனர்ஸ் மேட்ரிக்ஸில் எழுத வேண்டும்

குறிப்பு:நேரியல் இயற்கணிதத்தில் இரட்டை சப்ஸ்கிரிப்ட்களின் பொருளை அறிவது பயனுள்ளது. முதல் இலக்கமானது உறுப்பு அமைந்துள்ள கோட்டின் எண்ணிக்கையாகும். இரண்டாவது இலக்கமானது உறுப்பு அமைந்துள்ள நெடுவரிசையின் எண்ணிக்கை:

அதாவது, இரட்டை சப்ஸ்கிரிப்ட் என்பது உறுப்பு முதல் வரிசையில், மூன்றாவது நெடுவரிசையில் இருப்பதையும், எடுத்துக்காட்டாக, உறுப்பு 3 வரிசை, 2 நெடுவரிசையில் இருப்பதையும் குறிக்கிறது.

• அணி A இன் தீர்மானிப்பான் கணக்கிடப்படுகிறது;
• மூலம் இயற்கணித சேர்த்தல்கள்தலைகீழ் அணி A -1 காணப்படுகிறது;
• எக்செல் இல் ஒரு தீர்வு வார்ப்புரு உருவாக்கப்பட்டது;

வழிமுறைகள். தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு தீர்வைப் பெற, நீங்கள் மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணத்தைக் குறிப்பிட வேண்டும். அடுத்து, ஒரு புதிய உரையாடல் பெட்டியில், மேட்ரிக்ஸ் A மற்றும் முடிவுகளின் வெக்டரை நிரப்பவும்.

தீர்வு அல்காரிதம்

1. அணி A இன் தீர்மானிப்பான் கணக்கிடப்படுகிறது. தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், தீர்வு முடிந்துவிட்டது. கணினியில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.
2. நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால், தலைகீழ் அணி A -1 இயற்கணிதக் கூட்டல் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது.
3. தீர்வு திசையன் X =(x 1, x 2, ..., x n) தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸை முடிவு திசையன் B ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

தி ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கிறது. இது மிகவும் வழங்கப்படுகிறது விரிவான தீர்வு. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க, மாறிகளின் எண்ணிக்கையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவதற்கான முறையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். பின்னர் கலங்களில் தரவை உள்ளிட்டு "கணக்கிடு" பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும்.

×

எச்சரிக்கை

அனைத்து கலங்களையும் அழிக்கவா?

மூடு அழி

தரவு உள்ளீடு வழிமுறைகள்.எண்கள் முழு எண்களாக உள்ளிடப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டுகள்: 487, 5, -7623, முதலியன), தசமங்கள் (எ.கா. 67., 102.54, முதலியன) அல்லது பின்னங்கள். பின்னமானது a/b வடிவத்தில் உள்ளிடப்பட வேண்டும், இதில் a மற்றும் b முழு எண்கள் அல்லது தசம எண்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, முதலியன.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான மேட்ரிக்ஸ் முறை

பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள்:

ஒரு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் வரையறை கொடுக்கப்பட்டால், எங்களிடம் உள்ளது ஏ −1 ஏ=ஈ, எங்கே ஈ- முற்றொருமை. எனவே (4) பின்வருமாறு எழுதலாம்:

எனவே, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க (1) (அல்லது (2)), இன் தலைகீழ் பெருக்கினால் போதும். ஏஒரு கட்டுப்பாட்டு திசையன் ஒன்றுக்கு அணி பி.

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1. மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

ஜோர்டான்-காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி அணி A இன் தலைகீழ் நிலையைக் கண்டுபிடிப்போம். மேட்ரிக்ஸின் வலது பக்கத்தில் ஏஅடையாள அணியை எழுதுவோம்:

பிரதான மூலைவிட்டத்திற்கு கீழே உள்ள மேட்ரிக்ஸின் 1 வது நெடுவரிசையின் கூறுகளை விலக்குவோம். இதைச் செய்ய, வரி 1 உடன் 2,3 வரிகளைச் சேர்க்கவும், முறையே -1/3, -1/3 ஆல் பெருக்கவும்:

பிரதான மூலைவிட்டத்திற்குக் கீழே உள்ள மேட்ரிக்ஸின் 2 வது நெடுவரிசையின் கூறுகளை விலக்குவோம். இதைச் செய்ய, வரி 3-ஐ -24/51 ஆல் பெருக்க வரி 2 உடன் சேர்க்கவும்:

பிரதான மூலைவிட்டத்திற்கு மேலே உள்ள மேட்ரிக்ஸின் 2 வது நெடுவரிசையின் கூறுகளை விலக்குவோம். இதைச் செய்ய, வரி 1-ஐ -3/17 ஆல் பெருக்க வரி 2 உடன் சேர்க்கவும்:

மேட்ரிக்ஸின் வலது பக்கத்தைப் பிரிக்கவும். இதன் விளைவாக வரும் அணி தலைகீழ் அணிசெய்ய ஏ :

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதும் மேட்ரிக்ஸ் வடிவம்: கோடாரி=ஆ, எங்கே

மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து இயற்கணித நிரப்புகளையும் கணக்கிடுவோம் ஏ:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

தலைகீழ் அணி பின்வரும் வெளிப்பாட்டிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது.

பல மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள்:

aij என்பது தெரியாத xiக்கான குணகங்கள்; இரு-இலவச உறுப்பினர்கள்;

குறியீடுகள்: i = 1,2,3...m - சமன்பாட்டின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கவும் மற்றும் j = 1,2,3...n - தெரியாத எண்ணிக்கை.

வரையறை: சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான தீர்வு (5) என்பது n எண்களின் தொகுப்பாகும் (x10, x20,....xn0), அதை கணினியில் மாற்றினால் அனைத்து சமன்பாடுகளும் சரியான எண் அடையாளங்களாக மாறும்.

வரையறை: சமன்பாடுகளின் அமைப்பு குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருந்தால் சீரானதாக அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு கூட்டு அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு (x10, x20,....xn0) இருந்தால் அது திட்டவட்டமானது என்றும், பல தீர்வுகள் இருந்தால் காலவரையற்றது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை: தீர்வு இல்லை என்றால் ஒரு அமைப்பு சீரற்றதாக அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை: சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் (5) எண் குணகங்கள் (AIj) மற்றும் இலவச சொற்கள் (bi) ஆகியவற்றால் ஆன அட்டவணைகள் கணினி அணி (A) மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி (A1) என அழைக்கப்படுகின்றன, அவை பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகின்றன:

வரையறை: அமைப்பு A இன் அணி, வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் (n வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் (n=m), அணி சதுரம் எனப்படும்.

ஒரு அமைப்பில் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கை சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கைக்கு (n=m) சமமாக இருந்தால், அந்த அமைப்பு சதுர அணி n வது வரிசை.

அணி A இல் k-தன்னிச்சையான வரிசைகள் மற்றும் k-தன்னிச்சையான நெடுவரிசைகளை (கிமீ, kn) தேர்ந்தெடுப்போம்.

வரையறை: தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ள அணி A இன் உறுப்புகளைக் கொண்ட k-வரிசை தீர்மானிப்பான், அணி A இன் k-order Miner என அழைக்கப்படுகிறது.

மேட்ரிக்ஸ் A இன் சாத்தியமான அனைத்து மைனர்களையும் கருத்தில் கொள்வோம். (k+1)-வரிசையின் அனைத்து மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மற்றும் k-வரிசையின் மைனர்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், அணி கூறப்படும் k க்கு சமமான ரேங்க் வேண்டும்.

வரையறை: மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை A என்பது இந்த மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனரின் மிக உயர்ந்த வரிசையாகும். மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை r(A) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

வரையறை: மேட்ரிக்ஸின் வரிசைக்கு சமமாக இருக்கும் மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனர் அடிப்படை எனப்படும்.

வரையறை: A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு மெட்ரிக்குகளுக்கு அவற்றின் தரவரிசைகள் r(A) = r(B) உடன் இணைந்தால், இந்த மெட்ரிக்குகள் சமமானவை என அழைக்கப்பட்டு A B எனக் குறிக்கப்படும்.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அடிப்படை, சமமான மாற்றங்களிலிருந்து மாறாது, இதில் பின்வருவன அடங்கும்:

• 1. வரிசைகளை நெடுவரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை தொடர்புடைய வரிசைகளுடன் மாற்றுதல்;
• 2. வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளை மறுசீரமைத்தல்;
• 3. அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளை கடத்தல்;
• 4. பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் ஒரு வரிசை அல்லது நெடுவரிசையைப் பெருக்குதல் அல்லது வகுத்தல்;
• 5. ஒரு வரிசை அல்லது நெடுவரிசையின் கூறுகளை மற்றொன்றிலிருந்து கூட்டுதல் அல்லது கழித்தல், எந்த எண்ணாலும் பெருக்கப்படும்.

மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​​​சமமான மாற்றங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இதன் உதவியுடன் அசல் அணி ஒரு படி (முக்கோண) மேட்ரிக்ஸாக குறைக்கப்படுகிறது.

ஒரு படி மேட்ரிக்ஸில், பிரதான மூலைவிட்டத்தின் கீழ் பூஜ்ஜிய கூறுகள் உள்ளன, மேலும் ஒவ்வொரு வரிசையின் முதல் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு, இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தைய வரிசையின் முதல் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புக்கு வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளது.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்பதை நினைவில் கொள்க எண்ணுக்கு சமம்படி மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகள்.

எடுத்துக்காட்டாக, அணி A= ஒரு படிநிலை வடிவம் மற்றும் அதன் தரவரிசை அணி r(A)=3 இன் பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். உண்மையில், 4வது வரிசையின் பூஜ்ஜிய கூறுகளைக் கொண்ட அனைத்து 4வது வரிசை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மேலும் 3வது வரிசை மைனர்கள் பூஜ்ஜியமற்றவர்கள். சரிபார்க்க, முதல் 3 வரிசைகள் மற்றும் 3 நெடுவரிசைகளின் மைனரின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம்:

அடிப்படை செயல்களைப் பயன்படுத்தி முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கீழ் மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளை பூஜ்ஜியமாக்குவதன் மூலம் எந்த அணியையும் ஒரு படி அணியாகக் குறைக்கலாம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் ஆய்வு மற்றும் தீர்வுக்கு திரும்புவோம் (5).

க்ரோனெக்கர்-கபேலி தேற்றம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் ஆய்வில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. இந்த தேற்றத்தை உருவாக்குவோம்.

க்ரோனெக்கர்-கபேலி தேற்றம்: சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் A இன் ரேங்க் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி A1 இன் தரவரிசைக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சீராக இருக்கும், அதாவது. r(A)=r(A1). நிலைத்தன்மையின் விஷயத்தில், கணினி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால், கணினி திட்டவட்டமானது, அதாவது. r(A)=r(A1)=n மற்றும் இந்த ரேங்க் என்றால் வரையறுக்கப்படவில்லை குறைவான எண்ணிக்கைதெரியாதவர்கள், அதாவது. r(A)= r(A1)

உதாரணமாக. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை ஆராயுங்கள்:

சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் ஏ மற்றும் எக்ஸ்டெண்டட் மேட்ரிக்ஸ் ஏ1 ஆகியவற்றின் ரேங்க்களை நிர்ணயிப்போம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி A1 ஐ உருவாக்கி, அதை படிப்படியாக படிவமாகக் குறைப்போம்.

மேட்ரிக்ஸைக் குறைக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் செயல்களைச் செய்கிறோம்:

• 2) 3 மற்றும் 4 வரிகளிலிருந்து 1 வது வரியை 4 ஆல் பெருக்கி கழிக்கவும்;
• 3) 4 வது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கி, 2 வது வரியுடன் இடங்களை மாற்றவும்;
• 4) 2 வது வரியுடன் 3 மற்றும் 4 வரிகளைச் சேர்க்கவும், முறையே 5 மற்றும் 4 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது;
• 5) 4 வது வரியிலிருந்து 3 வது வரியைக் கழித்து, 4 வது வரியை பூஜ்ஜிய கூறுகளுடன் கடக்கவும்.

நிகழ்த்தப்பட்ட செயல்களின் விளைவாக, சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸிலும் (கோடு வரை) மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸிலும் மூன்று பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளைக் கொண்ட படி மேட்ரிக்ஸைப் பெற்றோம். கணினி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமம் மற்றும் 3 க்கு சமம், ஆனால் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட (n=4) குறைவாக உள்ளது என்பதை இது காட்டுகிறது.

பதில்: ஏனெனில் r(A)=r(A1)=3

மெட்ரிக்குகளின் தரத்தை படிப்படியாகக் குறைப்பதன் மூலம் அவற்றைத் தீர்மானிப்பது வசதியானது என்பதால், காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

காசியன் முறை

காஸியன் முறையின் சாராம்சம் தெரியாதவற்றை வரிசையாக நீக்குவதாகும். நீட்டிக்கப்பட்ட அணி A1 ஐ ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்குக் குறைப்பதன் மூலம், A அமைப்பின் அணியை வரி வரை உள்ளடக்கியது. . கடைசி கட்டத்தில், படிநிலை சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தீர்க்கப்படுகிறது, அறியப்படாதவற்றின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு கீழே இருந்து மேல் மாற்றங்களை உருவாக்குகிறது.

காஸ் முறை மற்றும் க்ரோனெக்கர்-கபேலி தேற்றத்தின் பயன்பாட்டை ஒரு எடுத்துக்காட்டைப் பயன்படுத்திப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக. காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்:

கணினி அணி A மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி A1 ஆகியவற்றின் தரவரிசைகளை நிர்ணயிப்போம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி A1 ஐ உருவாக்கி, அதை படிப்படியாக படிவமாகக் குறைப்போம். அனுப்பும் போது, ​​பின்வரும் செயல்களைச் செய்யவும்:

• 1) 2 வது வரியிலிருந்து 1 வது வரியை கழிக்கவும்;
• 2) 3 வது வரியிலிருந்து 1 வது வரியை 2 ஆல் பெருக்கி கழிக்கவும்;
• 3) 2 வது வரியை (-2) வகுக்கவும், மேலும் 3 வது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கி அவற்றை மாற்றவும்.

நாங்கள் ஒரு படி மேட்ரிக்ஸைப் பெற்றுள்ளோம், அதில் வரிசைகளின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும், மேலும் கணினி மேட்ரிக்ஸில் (வரி வரை) பூஜ்ஜிய உள்ளீடுகள் இல்லை. இதன் விளைவாக, சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க்கள் 3க்கு சமம் மற்றும் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம், அதாவது. r(A)=r(A1)=n=3.. க்ரோனெக்கர்-கபேலி தேற்றத்தின்படி, அமைப்பு சீரானது மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

மேட்ரிக்ஸ் A1 ஐ மாற்றியதன் விளைவாக, தெரியாதவற்றின் குணகங்களை பூஜ்ஜியமாக்குவதன் விளைவாக, அவற்றை சமன்பாடுகளிலிருந்து தொடர்ச்சியாக விலக்கி, ஒரு படிநிலை (முக்கோண) சமன்பாடுகளைப் பெற்றோம்:

கீழிருந்து மேல் வரிசையாக நகர்ந்து, மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவதாக உள்ள தீர்வை (x3=1) மாற்றவும், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளில் இருந்து தீர்வுகளை (x2=1, x3=1) முதலாவதாக மாற்றவும், நாம் ஒரு தீர்வைப் பெறுகிறோம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு: x1=1, x2=1, x3=1.

சரிபார்க்கவும்: -(!) பதில்: (x1=1, x2=1, x3=1).

ஜோர்டானோ-காஸ் முறை

இந்த அமைப்பை மேம்படுத்தப்பட்ட ஜோர்டானோ-காஸ் முறை மூலம் தீர்க்க முடியும், இது நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில் (வரி வரை) அமைப்பின் A இன் அணி அடையாள அணியாகக் குறைக்கப்படுகிறது: E=அலகு மூலைவிட்டம் மற்றும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத மூலைவிட்ட கூறுகள் மற்றும் கூடுதல் மாற்றீடுகள் இல்லாமல் கணினிக்கு உடனடியாக ஒரு தீர்வைப் பெறுங்கள்.

ஜோர்டானோ-காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி மேலே கருதப்பட்ட அமைப்பைத் தீர்ப்போம். இதைச் செய்ய, பின்வரும் படிகளைச் செய்வதன் மூலம் பெறப்பட்ட படி மேட்ரிக்ஸை ஒரு யூனிட் மேட்ரிக்ஸாக மாற்றுகிறோம்:

• 1) 1 வது வரியிலிருந்து 2 வது வரியை கழிக்கவும்;
• 2) 3 வது வரியை 1 வது வரியில் சேர்க்கவும், 3 ஆல் பெருக்கவும்;
• 3) 2 வது வரியிலிருந்து 3 வது வரியைக் கழிக்கவும், 4 ஆல் பெருக்கவும்.

சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பு முறைக்கு குறைக்கப்பட்டது:, இது தீர்வை தீர்மானிக்கிறது.

மெட்ரிக்குகளுடன் அடிப்படை செயல்பாடுகள்

இரண்டு மெட்ரிக்குகளை கொடுக்கலாம்: A= பி=.

• 1. ஒரே பெயரின் கூறுகள் சமமாக இருந்தால், Matrices A=B சமமாக இருக்கும்:aij=bij
• 2. மெட்ரிக்ஸின் கூட்டுத்தொகை (வேறுபாடு) (A ± B) என்பது சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட அணி:

மெட்ரிக்ஸைச் சுருக்கும்போது (கழித்தல்), அதே பெயரில் அவற்றின் கூறுகள் சேர்க்கப்படுகின்றன (கழிக்கப்படுகின்றன).

3. எண் k மற்றும் அணி A இன் பெருக்கல் சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட அணி:

ஒரு மேட்ரிக்ஸை ஒரு எண்ணால் பெருக்கினால், மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் அந்த எண்ணால் பெருக்கப்படும்.

4. மேட்ரிக்ஸ் AB இன் பெருக்கல் என்பது சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட அணி:

மெட்ரிக்ஸைப் பெருக்கும் போது, ​​முதல் மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளின் உறுப்புகள் இரண்டாவது மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளின் உறுப்புகளால் பெருக்கப்பட்டு சுருக்கமாக இருக்கும், மேலும் i-வது வரிசை மற்றும் j-வது நெடுவரிசையில் உள்ள தயாரிப்பு மேட்ரிக்ஸின் உறுப்பு சமமாக இருக்கும் முதல் அணி மற்றும் j-வது நெடுவரிசை இரண்டாவது அணியின் i-வது வரிசையின் தொடர்புடைய கூறுகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை.

பொது வழக்கில் மெட்ரிக்ஸைப் பெருக்கும் போது, ​​பரிமாற்றச் சட்டம் பொருந்தாது, அதாவது. AB?VA.

5. மேட்ரிக்ஸ் A ஐ இடமாற்றம் செய்வது என்பது வரிசைகளை நெடுவரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை தொடர்புடைய வரிசைகளுடன் மாற்றும் ஒரு செயலாகும்.

மேட்ரிக்ஸ் AT= அணி A= க்கு மாற்றப்பட்ட அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அணி A இன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு (D?0) சமமாக இல்லாவிட்டால், அத்தகைய அணி ஒருமை அல்லாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது. எந்த ஒருமை அல்லாத அணி A-க்கும், ஒரு தலைகீழ் அணி A-1 உள்ளது, இதற்கு சமத்துவம் உள்ளது: A-1 A= A A-1=E, E= என்பது அடையாள அணி.

6. மேட்ரிக்ஸ் A இன் இன்வெர்ஷன் என்பது தலைகீழ் அணி A-1 இல் விளையும் செயல்கள்

அணி A தலைகீழாக மாற்றும் போது, ​​பின்வரும் செயல்கள் செய்யப்படுகின்றன.