மேட்ரிக்ஸ் கேம்களை ஒரு நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலுக்கு குறைப்பதன் மூலம் கலப்பு உத்திகளில் தீர்வு. நேரியல் நிரலாக்க முறை

திட்டம்.

14.1. மேட்ரிக்ஸ் கேம்களுக்கு இடையிலான உறவு மற்றும் நேரியல் நிரலாக்க.

14.2. நேரியல் நிரலாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸ் கேம்களைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்.

மேட்ரிக்ஸ் கேம்களுக்கும் நேரியல் நிரலாக்கத்திற்கும் இடையிலான உறவு

விளையாட்டுக் கோட்பாடு நேரியல் நிரலாக்கத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது, ஏனெனில் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட இரு நபர் பூஜ்ஜிய-தொகை விளையாட்டையும் நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலாகக் குறிப்பிடலாம். ஜி. டான்சிக், கேம் தியரியை உருவாக்கியவர், சிம்ப்ளக்ஸ் முறையை முதன்முதலில் லீனியர் புரோகிராமிங்கில் (1947) அறிமுகப்படுத்திய ஜே. வான் நியூமன், இந்த உறவை நிறுவி, லீனியர் புரோகிராமிங்கில் இருமை என்ற கருத்தை மேலும் உறுதிப்படுத்தி உருவாக்கினார்.

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸால் குறிப்பிடப்பட்ட இரண்டு நபர் கேம் கொடுக்கப்பட்டதாக வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் முதல் வீரரின் உகந்த கலப்பு உத்தி நிபந்தனைகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

, . (14.1)

இந்த சிக்கலை நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலாக உருவாக்கலாம். விடுங்கள்

பிறகு அதை இயற்றலாம் கணித மாதிரிமுதல் வீரருக்கான பணிகள். இரண்டாவது வீரரின் தூய உத்திகளின் அடிப்படையில், விளையாட்டின் புறநிலை செயல்பாடு:

(14.2)

கட்டுப்பாடுகளின் கீழ்

இரண்டாவது வீரருக்கு பிரச்சனை என எழுதப்பட்டுள்ளது

, .

இடைநிலை விகிதம்:

பின்னர் பிரச்சனை வடிவம் எடுக்கும்

(14.3)

கட்டுப்பாடுகளின் கீழ்

.

இரண்டாவது வீரருக்கான பிரச்சனை (14.3) முதல் ஆட்டக்காரரின் பிரச்சனைக்கு (14.2) இரு மடங்கு ஆகும். இரண்டாவது வீரருக்கான சிக்கலைத் தீர்க்க முடியும், எடுத்துக்காட்டாக, நிலையான சிம்ப்ளக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி, முதல் வீரருக்கு - இரட்டை சிம்ப்ளக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி. எந்தச் சிக்கலுக்குக் குறைவான கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன என்பதன் மூலம் முறையின் தேர்வு தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இது ஒவ்வொரு வீரரின் தூய உத்திகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது.

சிக்கலின் கணித மாதிரி (14.2) அனைத்தையும் பிரிப்பதன் மூலம் எளிதாக்கலாம் ( n+ 1) கட்டுப்பாடுகள் v. இது சாத்தியமாகும் vஎண் 0. எப்போது v= 0 எதையும் சேர்க்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது நேர்மறை எண்பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளுக்கும், இது மாற்றியமைக்கப்பட்ட விளையாட்டின் நேர்மறையான மதிப்பிற்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. மாற்றியமைக்கப்பட்ட மதிப்பிலிருந்து இந்த நேர்மறை எண்ணைக் கழிப்பதன் மூலம் விளையாட்டின் உண்மையான மதிப்பு பெறப்படுகிறது. என்றால் v < 0, то надо сменить знаки неравенств.

நம்புவது v> 0, கட்டுப்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதலாம்:

நம்புவது X i = x i / vமற்றும் என்றால் v® அதிகபட்சம், பின்னர் 1/ v® நிமிடம், படிவத்தின் நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலைப் பெறுகிறோம்

கட்டுப்பாடுகளின் கீழ்

.

இதேபோல், முதல் வீரரின் தூய உத்திகளின் அடிப்படையில் அல்லது இரட்டை சிக்கல்களை உருவாக்குவதற்கான விதிகளின்படி, முதல் வீரரின் கணித மாதிரியை ஆரம்பமாக எடுத்துக் கொண்டால், இரண்டாவது வீரரின் கணித மாதிரி வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது.

கட்டுப்பாடுகளின் கீழ்

,

எங்கே எஸ்(ஒய்)அதிகபட்சம் = எல்(எக்ஸ்)நிமிடம் = 1/v, ஒய் ஜே = ஒய் ஜே/n.

கொடுக்கப்படட்டும் டிஎக்ஸ் ப-விளையாட்டு அதன் மூலம் அமைக்கப்பட்டது டிஎக்ஸ் ப-அணி ஏமுதல் வீரருக்கு, ஏ= [a^], ஜிஈ ஐ= (1,..., ?n), ஜே € ஜே== (1,..., ?r). அய் ^ ஓ என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த வழக்கில் விளையாட்டின் விலை v> 0. மேட்ரிக்ஸில் என்றும் வைத்துக்கொள்வோம் ஏஒரே மாதிரியான வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் எதுவும் இல்லை (ஏதேனும் இருந்தால், தேவையற்றவை அகற்றப்பட வேண்டும்). இறுதியாக, மேட்ரிக்ஸில் தேவையற்ற உத்திகள் எதுவும் இல்லை என்று நாங்கள் கருதுகிறோம், அதாவது. அதிகபட்சமாக விளையாடும் முதல் வீரருக்கு (முறையே குறைந்த பட்சம் விளையாடும் இரண்டாவது வீரருக்கு) மற்ற நெடுவரிசைகளின் (வரிசைகள்) தொடர்புடைய உறுப்புகளின் ^ (^) உறுப்புகள் உள்ள நெடுவரிசைகள் (வரிசைகள்) ஏற்கனவே விலக்கப்பட்டுள்ளன.

இந்த குறிப்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாங்கள் கட்டுப்பாடுகளை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

அதிகபட்சம் கண்டுபிடிக்க vக்கு v 9நாம் குறைந்தபட்சம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்

நீங்கள் செயல்பாட்டை உள்ளிட்டால் z = - = X4,அது மாறிவிடும்

முதல் வீரருக்கான உகந்த உத்திகளைக் கண்டறிய, பின்வரும் நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலை நாம் தீர்க்க வேண்டும்:

இதேபோல், இரண்டாவது வீரருக்கான உகந்த உத்திகளைக் கண்டறிய (எம் (ஆர்.கியூ) ^ ?;), நாம் நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும்:

உறுப்புகள் என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம் ஏ! n ^ a" i2, r = 1.3 எனவே, நாம் முதல் நெடுவரிசையை விலக்கலாம்.(strategy INதளபதியாக இருந்து (IN)குறைந்தபட்சமாக விளையாடுகிறது. உறுப்புகள் a" 3 ^ என்பதையும் நாங்கள் கவனிக்கிறோம் A[ 4 , ஜி= 1.3. எனவே, நான்காவது நெடுவரிசையை நாம் விலக்கலாம் (மூலோபாயம் IN4 ). விளையாட்டு அணி ஆகிறது

இறுதியாக, உறுப்புகள் என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம் a”j ^ a 2 р j = 1.2 எனவே, தளபதி (எல்) அதிகபட்சமாக விளையாடுவதால், இரண்டாவது வரியை (வியூகம் எல் 2) விலக்கலாம். விளையாட்டு அணி ஆகிறது

இதை தீர்க்க கடைசி ஆட்டம், நேரியல் நிரலாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவோம். இரட்டை சிக்கல்கள் உள்ளன (1.30) மற்றும்

வடிவியல் முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம் (படம் 1.5).

புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் உடன்அசல் பிரச்சனைக்கு ஒரு தீர்வு கொடுங்கள். புள்ளி C இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய, நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கிறோம்

அரிசி. 1.5

திட்டம் ( x = x 2 = 1/2) குறைந்தபட்ச பொருளாதார செயல்பாட்டைக் கொடுக்கும் z, z- Z m i n = 1.

புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் உடன்இரட்டைச் சிக்கலுக்கு உகந்த நிரலையும் கொடுக்கவும். நிரல் (ஒய் = மணிக்கு 2 = 1/2) பொருளாதாரச் செயல்பாட்டின் அதிகபட்சத்தைக் கொடுக்கும் w, w = = 1.

ஏனெனில் z = 1= -, பின்னர் டி/ = - = 1 => விலை v = v"-l = 0.

தளபதிக்கு உகந்த உத்திகளைப் பெறுதல் (எல்):

அதாவது, அவர் தனது வசம் உள்ள அனைத்து வீரர்களையும் பயன்படுத்தி, ஏதேனும் ஒரு நுழைவாயில் வழியாக வசதிக்குள் நுழைய முயற்சிக்க வேண்டும்.

ஒரு தளபதிக்கு உகந்த உத்திகள் (IN):

டி.எஸ். ஒரு நுழைவாயில் இரண்டு வீரர்களால் பாதுகாக்கப்பட வேண்டும், மற்றொன்று ஒருவரால் பாதுகாக்கப்பட வேண்டும். ?

கருத்து 6. மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணங்களை நாம் குறைக்கவில்லை என்றால் ஏ!இரண்டாவது வரிசைக்கு, பின்னர் விளையாட்டைத் தீர்க்க, இரட்டைச் சிக்கலுக்கு (1.31) சிம்ப்ளக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும், இது நிலையான வடிவத்தில் வழங்கப்பட வேண்டும்:

மூன்று சிம்ப்ளக்ஸ் அட்டவணைகளை நிரப்புவோம்.

கே = 2 டி

தீர்மான உறுப்பு - 2*.

செய்ய! = 3 டி

தீர்மான உறுப்பு - 2*.

அனைத்து அளவுகோல்களின் மதிப்புகள் Aj ^ 0, (யு இன்^0). எனவே நிரல் (y 2 = 1/2; ?у 3 = 1/2; sch= 1; ?யி = 1M= 2У5 = 2У7 =

• 0) பொருளாதாரச் செயல்பாட்டின் அதிகபட்சத்தை gi, zD = கொடுக்கிறது w அதிகபட்சம் =

mt = - = 1 என்பதால், பிறகு டி/ = 1 v = T/ - 1 = 0 (ஏனெனில்

என்ன ஒய்"= v+1). நாங்கள் உகந்த தளபதி உத்திகளைப் பெறுகிறோம் (IN), இது பொருளைப் பாதுகாக்கிறது:

முதன்மைச் சிக்கலுக்கான உகந்த நிரலைக் கண்டறிய (1.30), நாங்கள் நியூமன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (ப. 34), அதன்படி

குறைந்தபட்சம் = Wmax - எனவே, குறைந்தபட்ச பொருளாதாரம் செயல்பாடுகள்அசல் பிரச்சனையின் 2 சமம் z - z m n = 1.

மாறிகள் இடையே கடித தொடர்பு X(மற்றும் yjஉறவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (1.24) (பக்கம் 34). எனவே,

அட்டவணை 3 இலிருந்து ஆரம்ப சிக்கலுக்கான உகந்த நிரலைக் காண்கிறோம்:

தளபதியின் (எல்) உகந்த உத்திகளை எங்கிருந்து பெறுகிறோம்:

வடிவியல் முறையைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்க்கும் போது இந்த முடிவு முன்பு பெறப்பட்டது. ?

goztzemrgim

இந்த கையேடு அறிவியல் பணியிடத்தைப் பயன்படுத்தி தொகுக்கப்பட்டது, இது மூன்று பகுதி தொகுப்பாகும். Scientific Word பகுதியானது உரைகளை தட்டச்சு செய்வதற்கும் வடிவமைப்பதற்கும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. Maple V அல்லது MuPAD இன் இரண்டாம் பகுதி, குறியீட்டு வடிவத்தில் அல்லது பயன்பாட்டில் கணிதக் கணக்கீடுகளைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது எண் முறைகள்மற்றும் வரைபடங்களை R 2 அல்லது R 3 இல் உருவாக்கவும். எக்ஸாம் பில்டரின் மூன்றாம் பகுதி அறிவு நிலை சோதனையை ஏற்பாடு செய்ய பயன்படுத்தப்படுகிறது.

உதாரணமாக, அறிவியல் பணியிடத்தைப் பயன்படுத்தி நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலைத் தீர்ப்போம்:

தீர்வு: விசைப்பலகை, முதன்மை மெனு மற்றும் கருவிப்பட்டிகளைப் பயன்படுத்தி, 8 x 1 மேட்ரிக்ஸை நிரப்பவும்:

மற்றும் பிரதான மெனுவில் கட்டளையைப் பயன்படுத்தவும் கம்ப்யூட் + சிம்ப்ளக்ஸ் + அதிகப்படுத்து.ஐந்து சிம்ப்ளக்ஸ் அட்டவணைகளை நிரப்புவதற்குப் பதிலாக, பதில் கிடைக்கும்: அதிகபட்சம்: (23 = 0, ?’1 = O.X2 = 40}.

• atjs இருந்தால்

எப்படி பெரிய அளவுவிளையாட்டின் கட்டண அணி, மிகவும் சிக்கலான பகுப்பாய்வு. எனவே, எதையும் முடிவு செய்வதற்கு முன் அணி விளையாட்டுமுதலாவதாக, வீரர்களின் ஆதிக்கம் செலுத்தும் உத்திகளை (ஏதேனும் இருந்தால்) விலக்குவது நல்லது, இதன் மூலம் கட்டண மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணத்தைக் குறைக்கிறது. ஆனால் ஆதிக்கம் செலுத்தும் உத்திகள் விலக்கப்பட்டாலும், ஒவ்வொரு வீரருக்கும் இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட தூய உத்திகள் இருக்கக்கூடும். (வ, ப> 2), வரைகலை பகுப்பாய்வு முறையைப் பயன்படுத்த முடியாதபோது.

ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான முறை உருவாக்கப்பட்டுள்ளது, இது மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டை நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலாகக் குறைப்பதில் உள்ளது, இது நன்கு அறியப்பட்ட முறைகள் (உதாரணமாக, சிம்ப்ளக்ஸ் முறை) அல்லது பல கணினி மாடலிங் கருவிகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படலாம். உதாரணமாக, தீர்வு தேடல் தொகுதியைப் பயன்படுத்துதல் » எம்எஸ் எக்செல்).

கேம் தியரியை உருவாக்கியவர் மட்டுமல்ல, லீனியர் புரோகிராமிங் கோட்பாட்டின் டெவலப்பர்களில் ஒருவரான ஜே. வான் நியூமன் முதலில் காட்டியது போல், எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட இரு நபர் பூஜ்ஜிய-தொகை விளையாட்டையும் நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலாகக் குறிப்பிடலாம். இந்த முறையை எளிய விளையாட்டுகள் உட்பட எந்த மேட்ரிக்ஸ் கேம்களுக்கும் பயன்படுத்தலாம், இதன் தீர்வு முந்தைய பத்தியில் விவாதிக்கப்பட்டது.

மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டை நேரியல் நிரலாக்கச் சிக்கலாகக் குறைக்கும் முறையைக் கருத்தில் கொள்ள, மேட்ரிக்ஸ் கேம்களின் மற்றொரு பண்புடன் பழகுவது அவசியம். இணைப்பு விதி.மேட்ரிக்ஸ் கேம்கள் A மற்றும் B இல் உகந்த உத்திகள், சமத்துவத்தால் தொடர்புடைய கட்டண மெட்ரிக்குகளின் கூறுகள்

எங்கே எக்ஸ்> 0, மற்றும் p என்பது எந்த உண்மையான எண்ணும், ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் சமநிலை சூழ்நிலைகள்(தூய்மையில் அல்லது உள்ளே கலப்பு உத்திகள்), மற்றும் விளையாட்டு விலைகள் பின்வரும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கின்றன: vB = XvA+ ஆர்.

இந்த விதி உள்ளது நடைமுறை முக்கியத்துவம், மேட்ரிக்ஸ் கேம்களைத் தீர்ப்பதற்கான பல அல்காரிதம்கள் பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் நேர்மறையானவை என்ற அனுமானத்தின் அடிப்படையில் அமைந்திருப்பதால், இது விளையாட்டின் நேர்மறையான விலைக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. மேட்ரிக்ஸில் நேர்மறை அல்லாத கூறுகள் இருந்தால், அதிகபட்ச மதிப்பை விட அதிகமான எந்த எண்ணையும் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து உறுப்புகளிலும் சேர்க்கலாம். முழுமையான மதிப்புஎதிர்மறை அணி கூறுகள்.

பேமெண்ட் மேட்ரிக்ஸ் கொண்ட விளையாட்டின் விலை என்று நாங்கள் கருதுகிறோம் ஒரு txpநேர்மறை (மற்றும் > 0). இது அவ்வாறு இல்லையென்றால், அஃபைன் விதியின்படி, p என்ற எண்ணைத் தேர்ந்தெடுப்பது எப்போதும் சாத்தியமாகும், அதாவது பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளிலும் அதைச் சேர்ப்பது நேர்மறை கூறுகளுடன் ஒரு அணியைக் கொடுக்கும், எனவே, விலைக்கு நேர்மறை மதிப்பை உறுதி செய்கிறது. விளையாட்டின். இந்த வழக்கில், இரு வீரர்களின் உகந்த கலப்பு உத்திகள் மாறாது.

ஒரு உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தின் வரையறையிலிருந்து, முதல் வீரர், தனது உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தைக் கடைப்பிடித்து, இரண்டாவது வீரரின் (தூய்மையானவை உட்பட) எந்த உத்திகளுக்கும் ஓக்குக் குறையாமல் வெற்றி பெறுவார், மேலும் இரண்டாவது வீரர் தனது உகந்ததைக் கடைப்பிடிப்பார். கலப்பு உத்தி, முதல் வீரர் (சுத்தமானவை உட்பட) எந்த உத்திகளுக்கும் o விட அதிகமாக இழக்காது. இதிலிருந்து கலவையான உத்திகள் பின்பற்றப்படுகின்றன எக்ஸ் = = (x v x t), y = (y v ..., மணிக்கு n) முறையே முதல் மற்றும் இரண்டாவது வீரர்கள் மற்றும் விளையாட்டின் விலை உறவுகளை திருப்திப்படுத்த வேண்டும்

இந்த அமைப்புகளில் உள்ள அனைத்து சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை நாம் பிரித்து (இதைச் செய்யலாம், ஏனெனில் o > 0 அனுமானத்தின் மூலம்) மற்றும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

பிறகு நமக்கு கிடைக்கும்

முதல் வீரர் மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் விளையாட்டின் விலையை அதிகரிக்க முற்படுகிறார் x [ஒய்பின்னர் 1/o என்ற பரஸ்பர மதிப்பு தேர்வு செய்வதன் மூலம் குறைக்கப்பட வேண்டும் ஆர் ஜிஎனவே, முதல் சிக்கலைத் தீர்ப்பது அத்தகைய எதிர்மறை மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் இறங்குகிறது ஆர்., 2=1,..., என்றுஇதில்

இரண்டாவது வீரர் அத்தகைய மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிக்க முற்படுகிறார் y)எனவே qyஅதனால் விளையாட்டின் விலை குறைவாக இருக்கும், பின்னர் இரண்டாவது சிக்கலுக்கான தீர்வு அத்தகைய எதிர்மறை மதிப்புகளைக் கண்டறிவதைக் குறைக்கிறது. q jy j = 1, ..., ப ஒய்இதில்

எனவே, இரட்டை நேரியல் நிரலாக்க (எல்பி) சிக்கல்கள் பெறப்பட்டுள்ளன, அவை தீர்க்கப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, சிம்ப்ளக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி.

இந்த சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நாம் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம் p®, i = 1,t q® y j = 1,..., ப.

பின்னர் விளையாட்டின் விலை o இன் மதிப்பு நிபந்தனையிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது

உகந்த கலப்பு உத்திகள், அதாவது. x®மற்றும் r/?, சூத்திரங்களால் பெறப்படுகின்றன

எடுத்துக்காட்டு 4.7. "சந்தைகளுக்கான சண்டை" விளையாட்டின் பதிப்பைக் கவனியுங்கள். இரண்டு போட்டியிடும் நிறுவனங்கள் A மற்றும் B மூன்று புதுமையான தொழில்நுட்ப திட்டங்களுக்கு நிதியளிக்க முடிவு செய்கின்றன. ஒவ்வொரு நிறுவனமும் 100 டிஎஸ்என் முதலீடு செய்யலாம். அலகுகள் நிறுவனம் A பாரம்பரியமாக முன்னணியில் இருக்கும் சந்தையை ஆக்கிரமிக்க முயற்சிக்கிறது. அதே திட்டங்களின் வளர்ச்சி மற்றும் மேம்பாட்டின் விஷயத்தில், நிறுவனம் A லாபம் ஈட்டும், அதே நேரத்தில் B நிறுவனம் நஷ்டத்தை சந்திக்கும். முதலீடுகள் வெவ்வேறு திட்டங்களுக்கு அனுப்பப்பட்டால், நிறுவனம் A சந்தை மறுவிநியோகத்துடன் தொடர்புடைய இழப்புகளை சந்திக்கும், மேலும் நிறுவன B இன் லாபம் நிறுவன A இன் இழப்புக்கு ஒத்திருக்கும். நிறுவனங்களுக்கான உகந்த உத்திகளைக் கண்டறிவது அவசியம். வெவ்வேறு மூலோபாய சூழ்நிலைகளின் கீழ் நிறுவன A இன் லாபம் அட்டவணையில் வழங்கப்படுகிறது:

தீர்வு எம்எஸ் எக்செல்

நிரலைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம் எம்எஸ் எக்செல்.மேஜைக்கு எம்எஸ் எக்செல்விளையாட்டின் கட்டண மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் உள்ளிடப்பட்டு, MIN() மற்றும் MAX() செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகள் முறையே வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளில் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, பின்னர் maximin மற்றும் minimax ஆகியவை ஒரே செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகின்றன ( அட்டவணை 4.2). இந்த மதிப்புகள் ஒத்துப்போவதில்லை என்பதால், விளையாட்டில் சேணம் புள்ளி இல்லை, அதாவது. அதை தூய உத்திகளில் தீர்க்க முடியாது. விளையாட்டின் விலை மதிப்பு வரம்பில் இருக்க வேண்டும் (-5; 10).

அட்டவணை 4.2

ஒரு விளையாட்டில் சேணம் புள்ளியை சரிபார்க்கிறது

ஒரு விளையாட்டை நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலாகக் குறைப்பதன் மூலம் அதைத் தீர்க்க அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்த, நாங்கள் ஒரு அஃபைன் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம். MIN() செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, கட்டண மேட்ரிக்ஸின் (-20) உறுப்புகளின் குறைந்தபட்ச மதிப்பைக் காண்கிறோம். இந்த எண்ணின் மாடுலஸ் ABS(MHH(...)) என வரையறுக்கப்படுகிறது. அளவுருக்கள் கொண்ட அஃபைன் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் X = 1 மற்றும் p = 20 நாங்கள் ஒரு புதிய கட்டண மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம் (அட்டவணை 4.3).

அட்டவணை 4.3

நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலுக்கு விளையாட்டைக் குறைத்தல்

கட்டண மேட்ரிக்ஸின் வலதுபுறத்தில், தேவையான மாறிகள் தன்னிச்சையாகக் குறிக்கப்படுகின்றன ஆர்.(இந்த கட்டத்தில் எந்த மதிப்புகளையும் குறிப்பிடலாம்). கட்டண மேட்ரிக்ஸின் கீழ் உள்ள கலங்களில், SUMPRODUCT() செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மதிப்புகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன

இது LI பிரச்சனையின் கட்டுப்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படும். இந்த மதிப்புகள் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவை ப டிஅட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 4.3.

"அப்ஜெக்டிவ் ஃபங்ஷன்" என்று குறிப்பிடப்பட்ட கலத்தில், புறநிலை செயல்பாட்டிற்கான வெளிப்பாட்டுடன் தொடர்புடைய SUM(...) சூத்திரத்தை உள்ளிடவும்.

"கேம் விலை" என்று குறிப்பிடப்பட்ட கலத்தில், புறநிலை செயல்பாட்டின் மதிப்பின் மூலம் விளையாட்டின் விலையை தீர்மானிக்க ஒரு சூத்திரத்தை உள்ளிடவும்:

என குறிக்கப்பட்ட கலங்களில் x அதுமாறிகளை நேர்மாறாக மாற்றுவதற்கும், முதல் வீரரின் கலப்பு மூலோபாயத்தின் தேவையான கூறுகளைக் கண்டறிவதற்கும் சூத்திரங்கள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. x i= யு Pj.

முதல் நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலின் உருவாக்கம்: மதிப்பைக் கண்டறியவும்

நானும் இல்லை ஆர்" யுகுறைந்தபட்ச செயல்பாடுகளை வழங்குகிறது நிபந்தனைகளின் கீழ் YjPi * pip ^ a ij p i > 1,

நிரலின் "தீர்வு தேடல்" தொகுதியைப் பயன்படுத்தி நேரியல் நிரலாக்க சிக்கல் தீர்க்கப்படுகிறது எம்எஸ் எக்செல்(இந்த தொகுதியின் பயன்பாடு ஏற்கனவே அத்தியாயம் 2 இல் விவாதிக்கப்பட்டது). இலக்கு செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கொண்ட கலத்தின் முகவரியை "இலக்கு செல் அமை" புலம் குறிப்பிடுகிறது; "சமமான: குறைந்தபட்ச மதிப்பு" பயன்முறையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். "செல்களை மாற்றுதல்" புலத்தில், விரும்பிய மாறிகளின் வரிசை குறிக்கப்படுகிறது ஆர் ஜி"சேர்" பொத்தானைக் கிளிக் செய்து, பணிக் கட்டுப்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய வரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், தொடர்புடைய நிபந்தனை "கட்டுப்பாடுகள்" புலத்தில் அமைக்கப்படுகிறது. "அளவுருக்கள்" பொத்தானைக் கிளிக் செய்வதன் மூலம், நீங்கள் "தீர்வு தேடல் அளவுருக்கள்" உரையாடல் பெட்டிக்குச் செல்கிறீர்கள், அதில் நீங்கள் அளவுருக்கள் " நேரியல் மாதிரி" மற்றும் "எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகள்"; மற்ற அளவுருக்களின் மதிப்புகள் மாறாமல் இருக்கும். "தீர்வு தேடல் விருப்பங்கள்" சாளரத்தை மூடிய பிறகு (பயன்படுத்தவும் சரி)"தீர்வைத் தேடு" சாளரத்தில் உள்ள "இயக்கு" பொத்தானைக் கிளிக் செய்வதன் மூலம், எல்பி சிக்கலுக்கான தீர்வைத் தேடும் செயல்முறை தொடங்கப்படுகிறது.

இந்த செயல்முறையின் முடிவில், "தீர்வு தேடல் முடிவுகள்" சாளரம் தோன்றும். சிக்கலின் அனைத்து நிபந்தனைகளும் சரியாக வடிவமைக்கப்பட்டிருந்தால், அனைத்து தரவு, சூத்திரங்கள் மற்றும் அளவுருக்கள் சரியாக உள்ளிடப்பட்டிருந்தால், சாளரம் "தீர்வு கிடைத்தது" என்பதைக் குறிக்கும். அனைத்து கட்டுப்பாடுகளும் உகந்த நிலைமைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், தீர்வைச் சேமிக்க நீங்கள் கிளிக் செய்ய வேண்டும் சரி.கணக்கீட்டு முடிவுகள் அட்டவணையில் வழங்கப்படுகின்றன. 4.4

LP சிக்கல் இரண்டாவது பிளேயருக்கும் இதேபோல் தீர்க்கப்படுகிறது (அட்டவணை 4.5). இந்த விஷயத்தில், தொழில்நுட்ப வசதிக்காக, தேவையான மாறிகளின் வரிசை வரிசையாக அமைக்கப்பட்டுள்ளது (இரண்டாவது பிளேயரின் உத்திகள் பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளுடன் ஒத்திருப்பதால்), மற்றும் கட்டுப்பாடுகள் கொண்ட கலங்கள் ஒரு நெடுவரிசையில் அமைக்கப்பட்டிருக்கும். சிக்கல் அதிகபட்சமாக தீர்க்கப்பட்டு பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் q jt

அதிகபட்ச செயல்பாட்டை வழங்குகிறது? நான்)* அதிகபட்ச P R I நிபந்தனைகள் ^ a i) q- q) > 0.

அட்டவணை 4.4

முதல் வீரருக்கான LP சிக்கலைத் தீர்ப்பதன் முடிவுகள்

இரண்டாவது வீரருக்கான LP சிக்கலைத் தீர்ப்பதன் முடிவுகள்

அட்டவணை 4.5

அஃபைன் விதியின் பூர்வாங்க பயன்பாட்டின் விஷயத்தில், விளையாட்டு விலையின் உண்மையான மதிப்பு p எண்ணைக் கழிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, இது பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் கூறுகளை அளவீடு செய்ய பயன்படுத்தப்பட்டது. விளையாட்டின் இறுதி தீர்வு:

29, 60 மற்றும் 11% விகிதாச்சாரத்தில் முதலீடு செய்ய நோக்கம் கொண்ட நிதிகளின் விநியோகம் நிறுவனம் A இன் உகந்த உத்தி என்று முடிவுகள் காட்டுகின்றன, அதாவது. 29, 60 மற்றும் 11 நாட்கள். அலகுகள் இந்த வழக்கில், நிறுவனம் A லாபம் ஈட்டும் குறைவாக இல்லை 0.5 டென். அலகுகள் நிறுவனம் B அதன் உகந்த திட்ட முதலீட்டு மூலோபாயமான 39, 25, 36%, அதாவது 39, 25, 36% ஆகியவற்றைக் கடைப்பிடித்தால், நிறுவனம் A குறைந்தபட்ச லாப மதிப்பை (0.5 பண அலகுகள்) பெறும். 39, 25 மற்றும் 36 டென்களுக்கான திட்டங்களில் முதலீடு செய்யுங்கள். அலகுகள் முறையே. இந்த உத்தியிலிருந்து பி நிறுவனம் விலகினால் (வேறு முதலீட்டு முறையைப் பின்பற்றுகிறது), A நிறுவனத்தின் லாபம் அதிகரிக்கும்.

தீர்வின் பகுப்பாய்வு B நிறுவனத்திற்கு இந்த விளையாட்டு லாபமற்றது என்பதைக் காட்டுகிறது (எதிர்பார்க்கப்படும் இழப்பு தோராயமாக 0.5 பண அலகுகள்). எவ்வாறாயினும், நிறுவனம் B அதன் இலக்கை அடைவதை ஒப்பிடுகையில் இந்த இழப்பை ஒப்பீட்டளவில் அற்பமானதாகக் கருதினால் - பாரம்பரியமாக A நிறுவனத்தால் கட்டுப்படுத்தப்படும் சந்தையில் நுழைந்து, அதன் உகந்த முதலீட்டு ஒதுக்கீடு மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், நிறுவனம் B 0.5 den ஐ விட அதிகமாக இழக்காது. அலகுகள் A நிறுவனம் பகுத்தறிவற்ற முறையில் நடந்து கொண்டால், B நிறுவனத்தின் இழப்புகள் குறையும்.

எனவே, எந்த மேட்ரிக்ஸ் கேமையும் இரண்டு நேரியல் நிரலாக்க சிக்கல்களுக்கு விளையாட்டைக் குறைப்பதன் மூலம் தீர்க்க முடியும். இருப்பினும், இதற்கு அதிக அளவு கணக்கீடு தேவைப்படுகிறது, இது தூய பிளேயர் உத்திகளின் எண்ணிக்கையுடன் அதிகரிக்கிறது. எனவே, முதலில், ஆதிக்கம் செலுத்தும் உத்திகளை அகற்றும் முறையைப் பயன்படுத்தி, முடிந்தால், நீங்கள் தூய பிளேயர் உத்திகளின் எண்ணிக்கையைக் குறைக்க வேண்டும். விதிவிலக்கு பலவீனமானஆதிக்கம் செலுத்தும் உத்திகள் சில தீர்வுகளை இழக்க வழிவகுக்கும். இருந்தால் மட்டும் வலுவாகஆதிக்கம் செலுத்தும் உத்திகள், பின்னர் விளையாட்டு தீர்வுகளின் தொகுப்பு மாறாது. பின்னர் நீங்கள் ஒரு சேணம் புள்ளி முன்னிலையில் அனைத்து நிகழ்வுகளிலும் சரிபார்க்க வேண்டும், அதாவது. நிபந்தனை சரிபார்ப்பின் பூர்த்தி min a- = நிமிடம் ma ha...

அது வைத்திருந்தால், வீரர்கள் தூய உகந்த உத்திகளைக் கொண்டுள்ளனர், மேலும் தீர்வு தானாகவே பெறப்படும். இல்லையெனில், உகந்த உத்திகள் கலக்கப்படும். எளிய மேட்ரிக்ஸ் கேம்களுக்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு வீரர் மட்டுமே இரண்டு உத்திகளைக் கொண்டிருக்கிறார், பிரிவு 4.2 இல் விவாதிக்கப்பட்ட கிராஃபிக்-பகுப்பாய்வு தீர்வு முறையைப் பயன்படுத்தலாம். மேலும் சவாலான விளையாட்டுகள்விளையாட்டை நேரியல் நிரலாக்கச் சிக்கலாகக் குறைக்கும் முறையையும் இந்தப் பிரச்சனையைத் தீர்ப்பதற்கான பொருத்தமான கருவிகளையும் பயன்படுத்துவது அவசியம்.

இந்த பிரிவை முடிக்க, கேம் கைமுறையாக தீர்க்கப்பட்டால், ஆதிக்கம் செலுத்தும் உத்திகளை அகற்றுவதன் மூலம் பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸை எளிதாக்குவது முக்கியம் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். உகந்த உத்திகளைக் கண்டறிய ஒரு கணினி பயன்படுத்தப்பட்டால், ஆதிக்கம் செலுத்தும் உத்திகளைத் தேடுவதில் செலவழித்த முயற்சியும் நேரமும் வீணாகலாம், ஏனெனில் அசல் மற்றும் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட மெட்ரிக்குகளின் எண்ணியல் பகுப்பாய்வு ஒரே வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது, மேலும் கணக்கீட்டு நேர வேறுபாடு மிகக் குறைவு. .

2.3 மேட்ரிக்ஸ் கேம்களை நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலுக்கு குறைப்பதன் மூலம் கலப்பு உத்திகளில் தீர்வு

மேட்ரிக்ஸ் கேம்களில் ஆராய்ச்சி அதன் சேணம் புள்ளியை தூய உத்திகளில் கண்டுபிடிப்பதில் தொடங்குகிறது. ஒரு மேட்ரிக்ஸ் கேம் தூய உத்திகளில் சேணம் புள்ளியைக் கொண்டிருந்தால், இந்த சேணம் புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் விளையாட்டின் ஆய்வு முடிவடைகிறது. கேமில் தூய உத்திகளில் சேணம் புள்ளி இல்லை என்றால், இந்த விளையாட்டின் குறைந்த மற்றும் மேல் நிகர விலைகளை ஒருவர் காணலாம், இது விளையாட்டின் அதிக விலையை விட அதிக வெற்றியை வீரர் 1 எதிர்பார்க்கக்கூடாது என்பதைக் குறிக்கிறது, மேலும் உறுதியாக இருக்க முடியும். குறைந்த ஒரு விளையாட்டு விலையை விட குறைவான வெற்றியைப் பெறுவது. மேட்ரிக்ஸ் கேம்களுக்கான தீர்வுகளை மேம்படுத்துவது, தூய உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதன் ரகசியத்தன்மை மற்றும் கேம் வடிவத்தில் பல முறை கேம்களை மீண்டும் மீண்டும் செய்வதற்கான சாத்தியக்கூறுகளைப் பயன்படுத்துவதில் தேடப்பட வேண்டும். ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவுடன், தூய உத்திகளை சீரற்ற முறையில் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இந்த முடிவு அடையப்படுகிறது.

வரையறை. ஒரு வீரரின் கலப்பு உத்தி என்பது அவரது தூய உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவுகளின் முழு தொகுப்பாகும்.

இவ்வாறு, வீரர் 1 க்கு m தூய உத்திகள் 1,2,...,m இருந்தால், அவரது கலப்பு உத்தி x என்பது உறவுகளை திருப்திப்படுத்தும் எண்களின் x = (x1, ..., xm) ஆகும்.

xi >= 0 (i = 1,m), = 1.

இதேபோல், n தூய உத்திகளைக் கொண்ட வீரர் 2 க்கு, கலப்பு உத்தி y என்பது எண்களின் தொகுப்பாகும்.

y = (y1, ..., yn), yj >= 0, (j = 1,n), = 1.

ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு வீரர் ஒரு தூய உத்தியைப் பயன்படுத்துவதால், மற்றொன்றைப் பயன்படுத்துவதைத் தவிர்த்து, தூய உத்திகள் பொருந்தாத நிகழ்வுகளாகும். மேலும், அவை மட்டுமே சாத்தியமான நிகழ்வுகள்.

ஒரு தூய உத்தி உள்ளது சிறப்பு வழக்குகலப்பு உத்தி. உண்மையில், ஒரு கலப்பு உத்தியில் ஏதேனும் இருந்தால் நான்-வது சுத்தமானமூலோபாயம் நிகழ்தகவு 1 உடன் பயன்படுத்தப்படுகிறது, பின்னர் மற்ற அனைத்து தூய உத்திகளும் பயன்படுத்தப்படாது. இந்த i-th தூய மூலோபாயம் ஒரு கலப்பு உத்தியின் சிறப்பு வழக்கு. இரகசியத்தைப் பேண, ஒவ்வொரு வீரரும் மற்ற வீரர்களின் விருப்பங்களைப் பொருட்படுத்தாமல் தனது சொந்த உத்திகளைப் பயன்படுத்துகிறார்கள்.

வரையறை. மேட்ரிக்ஸ் ஏ உடன் மேட்ரிக்ஸ் கேமில் பிளேயர் 1 இன் சராசரி ஊதியம் இவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது கணித எதிர்பார்ப்புஅவரது வெற்றிகள்

E (A, x, y) == x A yT

முதல் வீரர் தனது இலக்கை அதிகரிக்க வேண்டும் சராசரி வெற்றிகள் E (A, x, y), மற்றும் இரண்டாவது, அதன் கலவையான உத்திகள் காரணமாக, E (A, x, y) ஐ குறைந்தபட்சமாக்க முயற்சிக்கிறது, அதாவது. விளையாட்டைத் தீர்க்க, விளையாட்டின் அதிக விலையை எட்டிய x மற்றும் y ஐக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்

E (A, x, y).

பிளேயர் 2 க்கும் இதே நிலை இருக்க வேண்டும், அதாவது. விளையாட்டின் குறைந்த விலை இருக்க வேண்டும்

E (A, x, y).

தூய உத்திகளில் சேணம் புள்ளிகளைக் கொண்ட கேம்களைப் போலவே, பின்வரும் வரையறை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது: 1 மற்றும் 2 வீரர்களின் உகந்த கலப்பு உத்திகள் முறையே xo, yo, சமத்துவத்தை பூர்த்தி செய்யும் செட் ஆகும்.

E (A, x, y) = E (A, x, y) = E (A, xo, yo).

மதிப்பு E (A, xo, yo) விளையாட்டின் விலை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் u ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

உகந்த கலப்பு உத்திகளுக்கு மற்றொரு வரையறை உள்ளது: xo, oo ஆகியவை முறையே 1 மற்றும் 2 வீரர்களின் உகந்த கலப்பு உத்திகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை சேணம் புள்ளியை உருவாக்கினால்:

E (A, x, oo)<= Е (А, хо, уо)<= Е (А, хо, у)

விளையாட்டின் உகந்த கலப்பு உத்திகள் மற்றும் விலை ஆகியவை மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டின் தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டுகளின் முக்கிய தேற்றம்:

தேற்றம் (மினிமேக்ஸ் பற்றி). எந்த மேட்ரிக்ஸ் ஏ அளவு கொண்ட மேட்ரிக்ஸ் கேமுக்கு

E (A, x, y) மற்றும் E (A, x, y) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று சமமாக உள்ளன.

பொது வழக்கில், m × n விளையாட்டுக்கு தெளிவான வடிவியல் விளக்கம் இல்லை. அதன் தீர்வு பெரிய m மற்றும் n க்கு மிகவும் உழைப்பு-தீவிரமானது, ஆனால் இது ஒரு நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு குறைக்கப்படலாம் என்பதால், எந்த அடிப்படை சிரமங்களையும் ஏற்படுத்தாது.

m × n விளையாட்டை பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸ் p = (a ij), i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. பிளேயர் A க்கு A 1, A 2, ..., A m உத்திகள் உள்ளன, B பிளேயர் B க்கு B 1, B 2, ..., B m உத்திகள் உள்ளன. S* A = (p* 1, p* 2, ..., p* m) மற்றும் S* B = (q* 1, q* 2, ..., q* n ஆகிய உகந்த உத்திகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். ), இங்கு p * i , q* j - தொடர்புடைய தூய உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவுகள் A i , B j , p* 1 + p* 2 +...+ p* m =1, q* 1 + q* 2 + ...+ q* n = 1.

உகந்த உத்தி S* A பின்வரும் தேவையை பூர்த்தி செய்கிறது. இது ஆட்டக்காரர் A க்கு கேம் vயின் விலையை விடக் குறையாத சராசரி ஊதியத்தை, பிளேயர் B இன் எந்தவொரு மூலோபாயத்திற்கும், மற்றும் கேம் v இன் விலைக்கு சமமான பலனையும், பி பிளேயரின் உகந்த உத்திக்காக வழங்குகிறது. பொதுத்தன்மையை இழக்காமல், v > 0 என்று கருதுகிறோம்: ij ≥ 0 இன் அனைத்து கூறுகளையும் உருவாக்குவதன் மூலம் இதை அடைய முடியும். A வீரர் A கலப்பு உத்தியை S* A = (p* 1, p* 2, ..., p* m) பயன்படுத்தினால் பி ஜே பிளேயரின் எந்த தூய மூலோபாயமும், பின்னர் அவர் சராசரி பலனைப் பெறுகிறார், அல்லது ஊதியத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு a j = a 1j p 1 + a 2j p 2 +...+ a m j p m , o = 1, 2, ..., n (அதாவது, கட்டண மேட்ரிக்ஸின் j-வது நெடுவரிசையின் கூறுகள் A 1, A 2, ..., A m உத்திகளின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளால் காலத்தால் காலத்தால் பெருக்கப்படுகின்றன மற்றும் முடிவுகள் சேர்க்கப்படுகின்றன).

உகந்த மூலோபாயம் S* A க்கு, அனைத்து சராசரி ஊதியங்களும் கேம் விலை v ஐ விட குறைவாக இல்லை, எனவே நாம் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

(2.3.1)

ஒவ்வொரு ஏற்றத்தாழ்வுகளையும் v > 0 என்ற எண்ணால் வகுக்க முடியும். புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

x 1 = p 1 /v, x 2 = p 2 /v, ..., p m /v (2.3.2)

பின்னர் அமைப்பு (2.3.1) படிவத்தை எடுக்கும்:

(2.3.3)

வீரர் A இன் குறிக்கோள், அவரது உத்தரவாதமான வெற்றிகளை அதிகப்படுத்துவதாகும், அதாவது. விளையாட்டு விலை v.

சமத்துவம் p 1 + p 2 + ...+ p m = 1 ஐ v ≠ 0 ஆல் வகுத்தால், மாறிகள் x 1 (i = 1, 2, ..., m) நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்வதைப் பெறுகிறோம்: x 1 + x 2 + .. .+ x m = 1/v. விளையாட்டின் விலையை அதிகரிப்பது 1/v மதிப்பைக் குறைப்பதற்குச் சமம், எனவே சிக்கலைப் பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்: x i ≥ 0, i = 1, 2, ..., m, மாறிகளின் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கவும். அதனால் அவை நேரியல் கட்டுப்பாடுகள் (2.3.3) மற்றும் நேரியல் செயல்பாடுகளை பூர்த்தி செய்கின்றன

Z = x 1 + x 2 + ...+ x m , (2.3.4)

குறைந்தபட்சம் பயன்படுத்தப்பட்டது. இது ஒரு நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனை. சிக்கலைத் தீர்ப்பது (2.3.3)-(2.3.4), நாம் உகந்த தீர்வு p* 1 + p* 2 + ...+ p* m மற்றும் உகந்த மூலோபாயம் S A ஐப் பெறுகிறோம்.

S* B = (q* 1 + q* 2 + ...+ q* n) உகந்த மூலோபாயத்தைத் தீர்மானிக்க, வீரர் B உத்தரவாதமான ஊதியத்தைக் குறைக்க முயல்கிறார் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும், அதாவது. கண்டுபிடி . q 1, q 2, ..., q n ஆகிய மாறிகள் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பூர்த்தி செய்கின்றன:

(2.3.5)

பிளேயர் B இன் சராசரி இழப்பு விளையாட்டின் விலையை விட அதிகமாக இல்லை என்ற உண்மையைப் பின்பற்றுகிறது, எந்த தூய உத்தி பிளேயர் A பயன்படுத்தினாலும்.
நாம் நியமித்தால்

y j = q j /v, j = 1, 2, ..., n, (2.3.6)

பின்னர் நாம் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

(2.3.7)

y j (1, 2, ..., n) மாறிகள் நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்கின்றன .

விளையாட்டு பின்வரும் சிக்கலுக்கு வந்தது

y j ≥ 0, j = 1, 2, ..., n ஆகிய மாறிகளின் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கவும், இது ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பை (2.3.7) திருப்திப்படுத்துகிறது மற்றும் அதிகப்படுத்துகிறது நேரியல் செயல்பாடு

Z" = y 1 + y 2 + ...+ y n, (2.3.8)

நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலுக்கான தீர்வு (2.3.6), (2.3.7) உகந்த மூலோபாயத்தை தீர்மானிக்கிறது S* B = (q* 1 + q* 2 + ...+ q* n) . அதே நேரத்தில், விளையாட்டின் விலை

v = 1 / அதிகபட்சம், Z" = 1 / நிமிடம் Z (2.3.9)

சிக்கல்களுக்கு (2.3.3), (2.3.4) மற்றும் (2.3.7), (2.3.8) நீட்டிக்கப்பட்ட மெட்ரிக்ஸைத் தொகுத்த பிறகு, இடமாற்றம் மூலம் ஒரு அணி மற்றொன்றிலிருந்து பெறப்பட்டதை உறுதிசெய்கிறோம்:

எனவே, நேரியல் நிரலாக்கச் சிக்கல்கள் (2.3.3), (2.3.4) மற்றும் (2.3.7), (2.3.8) ஆகியவை பரஸ்பரம் இரண்டும் ஆகும். வெளிப்படையாக, குறிப்பிட்ட சிக்கல்களில் உகந்த உத்திகளைத் தீர்மானிக்கும் போது, ​​ஒருவர் பரஸ்பர இரட்டைச் சிக்கல்களில் ஒன்றைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும், அதன் தீர்வு குறைவான உழைப்பு ஆகும், மேலும் இருமைத் தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தி மற்ற பிரச்சனைக்கு தீர்வு காண வேண்டும்.

பொதுத்தன்மையை இழக்காமல் mxpifu ஐக் கருத்தில் கொள்வோம், மேட்ரிக்ஸ் A இன் அனைத்து கூறுகளும் நேர்மறையானவை என்று கருதுவோம் (இதை எப்போதும் விளையாட்டின் கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை மாற்றும் ஒரு அஃபைன் விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அடையலாம். வீரர்களின் உகந்த கலப்பு உத்திகள்). எனவே, கேம் v இன் தேவையான விலை நேர்மறை எண்ணாகும். வீரர் A இன் ஆர்வங்கள், வீரர்களின் உகந்த கலப்பு உத்திகளின் பண்புகள் பற்றிய தேற்றத்திலிருந்து, பிளேயர் B, n இன் எந்தவொரு தூய மூலோபாயத்திற்கும், உகந்த கலப்பு உத்தியான P = வீரர் A என்பது அவரது சராசரி ஊதியத்தை vக்குக் குறையாமல் உறுதி செய்கிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டை நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலாகக் குறைப்பது என்ற குறிப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, உறவுகள் திருப்தி அடைந்துள்ளன: வீரர் A தனது உத்தரவாத வெற்றியை அதிகபட்சமாக சாத்தியமாக்க முயற்சிப்பதால், அதற்கான தீர்வைக் கண்டறியும் பணி மேட்ரிக்ஸ் கேம் பின்வரும் பணியாக குறைக்கப்படுகிறது: ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்யும் எதிர்மறையான அளவுகளைக் கண்டறிதல் மற்றும் அவற்றின் தொகை குறைந்தபட்சம் பி பிளேயரின் நலன்கள் ஆகும். அதேபோன்று பி பிளேயரின் உகந்த கலப்பு மூலோபாயம் பிளேயர் m இன் எந்தவொரு தூய மூலோபாயத்திற்கும் Ai உறுதிசெய்கிறது என்று நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம். அவரது சராசரி இழப்பு v ஐ விட அதிகமாக இல்லை. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உறவுகள் திருப்தி அடைகின்றன, குறிப்பைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, பின்வருமாறு எழுதலாம்: வீரர் B தனது உத்தரவாத இழப்பை முடிந்தவரை குறைக்க முயற்சிப்பதால், மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டிற்கு தீர்வு காணும் பணி குறைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் பணி: ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பூர்த்தி செய்யும் எதிர்மறை அல்லாத அளவுகளைக் கண்டறிதல் மற்றும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை அதிகபட்சம் n எனவே, பின்வரும் முக்கியமான முடிவைப் பெறுகிறோம். தேற்றம் 3. ஒரு மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டை நேர்மறை பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸுடன் (a,k) தீர்ப்பது இரட்டை நேரியல் நிரலாக்க சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்குச் சமம், மேலும், 0 இன் தலைகீழ் விளையாட்டின் விலை ஒட்டுமொத்த மதிப்புஉகந்த அளவு, மற்றும் உகந்த மதிப்புகள் p மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் கேம் 1வது படியைத் தீர்ப்பதற்கான சமத்துவ அல்காரிதம் மூலம் உகந்த x° (மற்றும் yj. உடன் தொடர்புடையது. அதே நேர்மறை எண் 7 ஆனது விளையாட்டின் அசல் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளிலும் சேர்க்கப்படும், இதனால் புதிய மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் இருக்கும். கண்டிப்பாக நேர்மறை 2 வது படி (A) மற்றும் (B) சிம்ப்ளக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி, 4 வது படி 9. ஒரு மேட்ரிக்ஸுடன் கூடிய 2x2 கேமைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் இதன் விளைவாக, மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டை நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலாகக் குறைத்தல் §4 மேட்ரிக்ஸ் கேம்களாகக் குறைக்கப்பட்ட சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் அவற்றின் தூய வடிவத்தில், முரண்பாடான மோதல்கள் அரிதானவை (இராணுவ நடவடிக்கைகள் மற்றும் விளையாட்டுப் போட்டிகள் தவிர). எவ்வாறாயினும், பெரும்பாலும் கட்சிகளின் நலன்கள் எதிர்மாறாக இருக்கும் மோதல்கள், கட்சிகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்கள் உள்ளன என்ற அனுமானத்தின் கீழ், மேட்ரிக்ஸ் கேம்களால் மாதிரியாக இருக்கலாம். பல குறிப்பிட்ட சூழ்நிலைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். எடுத்துக்காட்டு 10. "திட்டமிடுதல் விதைத்தல்." ஒரு விவசாய நிறுவனத்திற்கு இரண்டு பயிர்களை வளர்க்க வாய்ப்பு உள்ளது - A\ மற்றும் இந்த பயிர்களை எவ்வாறு விதைப்பது என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம், மற்ற விஷயங்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் விளைச்சல் வானிலை சார்ந்தது, மற்றும் விதைப்பு திட்டம் உறுதி செய்யப்பட வேண்டும். அதிக வருமானம்(வளர்ந்த பயிரின் விற்பனையின் லாபம் பெறப்பட்ட அளவின் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது). ஆபத்தான விவசாய மண்டலத்தில் (இது ரஷ்யாவின் பெரும்பகுதி), குறைந்தபட்சம் சாதகமான வானிலை நிலைமைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு நடவு திட்டமிடல் மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும். எனவே, ஒரு கட்சி விவசாய நிறுவனமாகும், இது மிகப்பெரிய வருமானத்தைப் பெறுவதில் ஆர்வமாக உள்ளது (பிளேயர் ஏ), மற்றும் மற்றொரு கட்சி இயற்கையானது, இது விவசாய நிறுவனத்திற்கு தீங்கு விளைவிக்கும். அதிகபட்ச பட்டம்(அதைப் பொறுத்து வானிலை நிலைமைகள் ) மற்றும் அதன் மூலம் நேரடியாக எதிர் இலக்குகளைப் பின்தொடர்வது (பிளேயர் பி). எதிரிக்கு இயற்கையைத் தவறாகப் புரிந்துகொள்வது, மிகவும் சாதகமற்ற நிலைமைகளைக் கருத்தில் கொண்டு பயிர்களைத் திட்டமிடுவதற்குச் சமம்; வானிலை சாதகமாக மாறினால், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட திட்டம் வருமானத்தை அதிகரிக்க வாய்ப்பளிக்கும். ஒரு முரண்பாடான மோதல் உள்ளது, இதில் A பிளேயர் A இரண்டு உத்திகளைக் கொண்டுள்ளது - A\ மற்றும் L?, மற்றும் பிளேயர் B மூன்று - //| (வறண்ட கோடை), B2 (சாதாரண கோடை) மற்றும் B$ (மழை கோடை). பிளேயர் A இன் வெற்றிகளாக, விற்பனையிலிருந்து கிடைக்கும் லாபத்தை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்வோம், மேலும் வானிலை நிலையைப் பொறுத்து ஒரு விவசாய நிறுவனத்தின் லாபத்தின் கணக்கீடுகள் (2 3 b) பின்வரும் மேட்ரிக்ஸில் சுருக்கப்பட்டுள்ளன என்று கருதுவோம். இந்த மேட்ரிக்ஸில் சேணம் புள்ளி இல்லை என்பதைக் கவனிக்க, கிராஃபிக் முறையைப் பயன்படுத்தி A இன் உகந்த மூலோபாயம் கலவையாக இருக்கும் ஒரு ஒப்பந்தத்தை முடிப்பது பற்றி "உடல்" செயலாக்கம் என்று அழைக்கப்படுபவர்களில் ஒருவர் அனுமதிக்கிறார். ஒரு மணி நேரத்திற்கு சென்ட்களில் குறிக்கப்படுகின்றன மற்றும் அனைத்து சேர்க்கைகளுடன் நிறுவனத்தின் பணியாளரின் சராசரி சம்பளத்தையும் குறிக்கின்றன. இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட அணி தொழிற்சங்கத்தின் லாபம் (பிளேயர் ஏ) மற்றும் நிறுவன நிர்வாகத்தின் (பிளேயர் பி) செலவுகளை விவரிக்கிறது. தொழிற்சங்கம் தொழிலாளர்கள் மற்றும் ஊழியர்களின் வருமானத்தை அதிகரிக்க முயல்கிறது, அதே நேரத்தில் நிர்வாகம் அதன் சொந்த இழப்புகளைக் குறைக்க விரும்புகிறது. நோட்டுகளின் பேமெண்ட் மேட்ரிக்ஸில் சேணம் புள்ளி இருப்பதைப் பார்ப்பது எளிது. கூடுதலாக, மேலும் பகுப்பாய்விற்கு, பிளேயர் A இன் A\ மற்றும் A4 உத்திகள் மற்றும் பிளேயர் B இன் Bi மற்றும் B4 உத்திகள் மட்டுமே குறிப்பிடத்தக்கவை (இதை மூலோபாய ஆதிக்க விதியைப் பயன்படுத்தி சரிபார்க்க எளிதானது). தொடர்புடைய துண்டிப்பின் விளைவாக, மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் உறவுகளால் முந்தைய மேட்ரிக்ஸின் கூறுகளுடன் தொடர்புடையவை. வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் இறுதியில் பெறுகிறோம், எனவே தொழிற்சங்கமானது 20% வழக்குகளில் A\ மூலோபாயத்தையும் 80% இல் A4 மூலோபாயத்தையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். நிர்வாகத்தைப் பொறுத்தவரை, நிகழ்தகவு 0.4 உடன் உத்தி B3 மற்றும் நிகழ்தகவு 0.6 உடன் உத்தி B4 ஆகியவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், விளையாட்டின் எதிர்பார்க்கப்படும் விலை 53. குறிப்பு. பேச்சுவார்த்தை செயல்முறை பல முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டால், சராசரியானது எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பான 53 க்கு ஒன்றிணைக்க வேண்டும் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். பேச்சுவார்த்தைகள் ஒரு முறை மட்டுமே நடந்தால், பின்னர் உண்மையான முடிவுஒவ்வொரு வீரரும் தனது சொந்த தூய மூலோபாயத்தை தேர்ந்தெடுக்கும்போது நடக்கும். எனவே, வீரர்களில் ஒருவரான சங்கமோ அல்லது நிர்வாகமோ அதிருப்தி அடைவார்கள். எடுத்துக்காட்டு 12. "உள்ளூர் மோதல்." இரண்டு சிறிய மாநிலங்களான A மற்றும் B இடையே 30 நாட்கள் நடக்கும் போரைக் கவனியுங்கள். ஒரு சிறிய பாலத்தில் வெடிகுண்டு வைக்க - நாட்டின் B - A நாட்டின் முக்கியமான இராணுவ நிறுவல் அதன் இரண்டு விமானங்களையும் பயன்படுத்துகிறது. சேதமடைந்த பாலம் 24 மணி நேரத்திற்குள் மீட்டெடுக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு விமானமும் இந்த நாடுகளை இணைக்கும் இரண்டு விமானப் பாதைகளில் ஒன்றில் ஒரு நாளுக்கு ஒரு விமானத்தை இயக்குகிறது. நாடு B க்கு இரண்டு விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கிகள் உள்ளன, இதன் மூலம் A நாட்டின் விமானங்களை சுட்டு வீழ்த்த முடியும். விமானம் சுட்டு வீழ்த்தப்பட்டால், மூன்றாவது நாடு A நாட்டிற்கு 24 மணி நேரத்திற்குள் புதிய விமானத்தை வழங்கும். A நாடு ஒரே பாதையில் அல்லது வெவ்வேறு வழிகளில் விமானங்களை அனுப்பலாம். நாடு B ஒரு வழித்தடத்தில் விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கிகள் இரண்டையும் வைக்கலாம் அல்லது ஒவ்வொரு பாதையிலும் ஒரு விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கியை வைக்கலாம். ஒரு விமானம் ஒரு விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கி அமைந்துள்ள பாதையில் பறந்தால், இந்த விமானம் சுட்டு வீழ்த்தப்படும். இரண்டு விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கிகள் அமைந்துள்ள பாதையில் இரண்டு விமானங்கள் பறந்தால், இரண்டு விமானங்களும் சுட்டு வீழ்த்தப்படும். ஒரு விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கி இருக்கும் பாதையில் இரண்டு விமானங்கள் பறந்தால், ஒரே ஒரு விமானம் சுட்டு வீழ்த்தப்படும். விமானம் இலக்கை அடைந்தால், பாலம் அழிக்கப்படும். நாடு A க்கு இரண்டு உத்திகள் உள்ளன: வெவ்வேறு வழிகளில் விமானங்களை அனுப்பவும் - L|, ஒரு வழியில் விமானங்களை அனுப்பவும் - Ag- நாடு B க்கு இரண்டு உத்திகள் உள்ளன: வெவ்வேறு வழிகளில் விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கிகளை வைக்கவும் - B\, ஒரு பாதையில் விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கிகளை வைக்கவும் - நாடு A மூலம் பங்களித்தது, நாடு B மூலோபாயத்தைத் தேர்வுசெய்தால், நாடு A பூஜ்ஜிய ஆதாயத்தைப் பெறும், ஏனெனில் எந்த விமானமும் இலக்கை அடையாது. நாடு A உத்தியை தேர்வு செய்தால் Ag. மற்றும் நாடு B மூலோபாயத்தை B\ தேர்வு செய்கிறது, பின்னர் குறைந்தபட்சம் ஒரு விமானம் இலக்கை அடையும் மற்றும் பாலத்தை அழிக்கும் நிகழ்தகவு 1 க்கு சமமாக இருக்கும். நாடு A மூலோபாயம் A\, மற்றும் நாடு B மூலோபாயம் Bj ஐ தேர்வு செய்தால், மீண்டும் குறைந்தபட்சம் ஒன்று விமானம் இலக்கை அடையும் மற்றும் பாலத்தை அழிப்பதற்கான நிகழ்தகவு 1 க்கு சமமாக இருக்கும். நாடு A மூலோபாயத்தை தேர்வு செய்தால், மற்றும் நாடு B மூலோபாயத்தை Bi தேர்வு செய்தால், நிகழ்தகவு 1/2 கொண்ட நாடு A விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கிகள் எந்த பாதையில் இருக்கும் நிறுவப்பட்டுள்ளன, எனவே, இலக்கு நிகழ்தகவு 1/2 உடன் அழிக்கப்படும். பகுப்பாய்வின் முடிவுகளை ஒரு நிலையான விளையாட்டு வடிவத்தில் முறைப்படுத்துவோம்: மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டை நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலாகக் குறைத்தல் வரைகலை முறைவீரர்களின் உகந்த கலவையான உத்திகள் மற்றும் விளையாட்டின் விலையை நாங்கள் காண்கிறோம், இதன் பொருள் என்னவென்றால், போருக்காக ஒதுக்கப்பட்ட முப்பது நாட்களில் (மற்றும், இருபது நாட்களுக்கு ஒரு பாதையில்) நாடு A வெவ்வேறு வழிகளில் விமானங்களை அனுப்புகிறது. சராசரியாக A நாட்டில் 66.7% வெற்றிகரமான வழக்குகள் இருக்கும் (பாலம் செயல்படாமல் இருக்கும்). அதன் விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கிகளுக்கான முன்மொழியப்பட்ட தேர்வைப் பயன்படுத்தி, 66.7% வழக்குகளில் பாலத்தை அடிக்கடி குண்டுவீசுவதற்கு B நாடு அனுமதிக்காது. § 5. முடிவில் மேட்ரிக்ஸ் கேம்ஸ் மாதிரியில் சில வார்த்தைகள் மோதல் சூழ்நிலைகள், இதில் பங்கேற்கும் ஒவ்வொரு பக்கமும் மற்ற பக்கத்துடன் ஒரே நேரத்தில் நகர்கிறது. இந்த விஷயத்தில், வீரர்கள் ஒரே நேரத்தில் ஒரு ஜோடி நகர்வுகளை செய்த பிறகு விளையாட்டு உடனடியாக முடிவடையாமல், ஆனால் பல முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும் போது, ​​மிகப்பெரிய ஆர்வம் உள்ளது. மேலும், விளையாட்டின் ஒவ்வொரு மறுதொடக்கத்திற்கு முன்பும், வீரர்கள் மோதலைப் பற்றியோ அல்லது எதிரணியின் சாத்தியமான செயல்களைப் பற்றியோ எந்த புதிய தகவலையும் பெற மாட்டார்கள் என்று நம்பப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டு பல முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும்போது, ​​ஒவ்வொரு பக்கமும் ஒவ்வொரு முறையும் ஒரே மாதிரியான உத்திகளிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட உத்தியைத் தேர்ந்தெடுக்கும், இது ஒவ்வொரு வீரருக்கும் மாறாது. இருப்பினும், இதுபோன்ற தொடர்ச்சியான சூழ்நிலைகளில், விளையாட்டு பகுப்பாய்வு, பூர்வாங்க மற்றும் இடைநிலை, ஒரு முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டின் நியாயமான முறையில் நடத்தப்பட்ட பூர்வாங்க பகுப்பாய்வின் விளைவாக, பகுப்பாய்வில் ஆர்வமுள்ள தரப்பினர் முழுத் தொடர் விளையாட்டுகளுக்கும் அதன் நடத்தை வரிசையை (உத்திகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான விதி) தீர்மானிக்க முடியும். நிச்சயமாக, மேலே விவரிக்கப்பட்ட அதிகபட்ச அணுகுமுறை ஒரே வழிமுறையிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது. எவ்வாறாயினும், இந்த அணுகுமுறையின் அடிப்படை அம்சம் என்னவென்றால், அதன் அடிப்படையில் பெறப்பட்ட உத்திகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான விதியைக் கடைப்பிடிக்கும் ஒரு வீரர் தனது உத்தரவாதமான வெற்றிகளின் அற்பமான அளவை முன்கூட்டியே துல்லியமாக மதிப்பிட முடியும் என்பதை நாம் மறந்துவிடக் கூடாது. கூடுதலாக, மேக்சிமின் அணுகுமுறையானது, ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான நேரியல் நிரலாக்க சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்வதற்கும், அதன் மூலம் பெறுவதற்கும், விளையாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலைக் குறைக்க அனுமதிக்கிறது. பயனுள்ள பரிந்துரைகள்ஒரு குறிப்பிட்ட விளையாட்டில் பல முறை மீண்டும் மீண்டும் உத்திகளை எவ்வாறு தேர்வு செய்வது என்பது பற்றி. விளையாட்டு பல முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டால், வீரர் இன்னும் சில கூடுதல் தகவல்களைப் பெறுவார் - எதிர் தரப்பு தேர்ந்தெடுக்கும் உத்திகள் மற்றும் உத்திகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான எந்த விதிகள் வழிநடத்தப்படுகின்றன. இந்த தகவல் மற்றும் விளையாட்டின் பூர்வாங்க பகுப்பாய்வின் முடிவுகளின் அடிப்படையில், அவர் எதிரியை மிகவும் துல்லியமாக மதிப்பிட முடியும், மேலும் அவர் சமரச மாக்சிமின் அணுகுமுறையை கடைபிடிக்கவில்லை என்றால், அவரது சொந்த நடத்தையில் பொருத்தமான மாற்றங்களைச் செய்து வெற்றிகளை அதிகரிக்கலாம்.