பின்னம் என்றால் என்ன? சரியான பின்னம் என்றால் என்ன? சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்கள்: விதிகள்

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்கள் மற்றும் . எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்:

நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். பீட்சாவுடன் பீட்சாவை சேர்த்தால், பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .

பதில் வந்தது இல்லை சரியான பின்னம். பணியின் முடிவு வரும்போது, ​​முறையற்ற பின்னங்களை அகற்றுவது வழக்கம். ஒரு முறையற்ற பகுதியை அகற்ற, நீங்கள் அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில், முழு பகுதியும் எளிதில் தனிமைப்படுத்தப்படுகிறது - இரண்டை இரண்டால் வகுக்க ஒன்று சமம்:

இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவைப் பற்றி நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 3. பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .

மீண்டும், நாங்கள் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடுகிறோம்:

மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 4.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. எண்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டும் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும்:

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் ஒரு பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்து மேலும் அதிக பீட்சாக்களைச் சேர்த்தால், 1 முழு பீட்சாவும் மேலும் பீட்சாவும் கிடைக்கும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:

1. ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும்;

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பதை இப்போது கற்றுக்கொள்வோம். பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​பின்னங்களின் பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் அவை எப்போதும் ஒரே மாதிரி இருப்பதில்லை.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களைச் சேர்க்கலாம், ஏனெனில் அவை ஒரே வகுப்பினரைக் கொண்டுள்ளன.

ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், பின்னங்களை உடனடியாகச் சேர்க்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

பின்னங்களை ஒரே வகுப்பில் குறைக்க பல வழிகள் உள்ளன. இன்று நாம் அவற்றில் ஒன்றை மட்டுமே பார்ப்போம், ஏனென்றால் மற்ற முறைகள் ஒரு தொடக்கக்காரருக்கு சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம்.

இந்த முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், முதலில் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM தேடப்படுகிறது. முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெற, LCM ஆனது முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கப்படுகிறது. அவை இரண்டாவது பின்னத்துடன் அவ்வாறே செய்கின்றன - LCM இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது.

பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்தச் செயல்களின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாற்றப்படுகின்றன. அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. பின்னங்களைச் சேர்ப்போம் மற்றும்

முதலாவதாக, இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்குகளைக் காண்கிறோம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 6 ஆகும்.

LCM (2 மற்றும் 3) = 6

இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் . முதலில், LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3. 6 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 2 கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் எண் 2 முதல் கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை முதல் பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். இதைச் செய்ய, பின்னத்தின் மேல் ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதவும்:

இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் பிரித்து இரண்டாவது கூடுதல் காரணியைப் பெறுகிறோம். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 6 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் எண் 3 இரண்டாவது கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை இரண்டாவது பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். மீண்டும், இரண்டாவது பகுதியின் மீது ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் கூடுதலாக அனைத்தையும் தயார் செய்துள்ளோம். பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:

நாம் வந்ததை கவனமாக பாருங்கள். வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:

இது உதாரணத்தை நிறைவு செய்கிறது. இது சேர்க்க மாறிவிடும்.

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சாவும், பீட்சாவில் ஆறில் ஒரு பங்கும் கிடைக்கும்.

பின்னங்களை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைப்பதும் படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். பின்னங்களைக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த இரண்டு பின்னங்களும் ஒரே பீட்சா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும். ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், இந்த முறை அவை சம பங்குகளாக பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்கு குறைக்கப்படும்).

முதல் வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் நான்கு துண்டுகள்), மற்றும் இரண்டாவது வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் மூன்று துண்டுகள்). இந்த துண்டுகளைச் சேர்த்தால் நமக்குக் கிடைக்கும் (ஆறில் ஏழு துண்டுகள்). இந்த பின்னம் முறையற்றது, எனவே அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தினோம். இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு கிடைத்தது (ஒரு முழு பீஸ்ஸா மற்றும் மற்றொரு ஆறாவது பீஸ்ஸா).

இந்த உதாரணத்தை நாங்கள் மிகவும் விரிவாக விவரித்துள்ளோம் என்பதை நினைவில் கொள்க. IN கல்வி நிறுவனங்கள்இவ்வளவு விரிவாக எழுதுவது வழக்கம் இல்லை. நீங்கள் இரண்டு பிரிவுகளின் LCM மற்றும் அவற்றுக்கான கூடுதல் காரணிகளை விரைவாகக் கண்டறிய முடியும், அத்துடன் கண்டறியப்பட்ட கூடுதல் காரணிகளை உங்கள் எண்கள் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் விரைவாகப் பெருக்க வேண்டும். நாம் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை பின்வருமாறு எழுத வேண்டும்:

ஆனால் நாணயத்திற்கு மற்றொரு பக்கமும் உள்ளது. கணிதம் படிக்கும் முதல் கட்டங்களில் நீங்கள் விரிவான குறிப்புகளை எடுக்கவில்லை என்றால், அந்த வகையான கேள்விகள் தோன்ற ஆரம்பிக்கும். "அந்த எண் எங்கிருந்து வருகிறது?", "பின்னங்கள் ஏன் திடீரென்று முற்றிலும் மாறுபட்ட பின்னங்களாக மாறுகின்றன? «.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்வரும் படிப்படியான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்:

1. பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும்;
2. ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் LCM ஐப் பிரித்து ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்;
3. பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்;
4. ஒரே வகுப்பினைக் கொண்ட பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்;
5. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழுப் பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தவும்;

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் .

மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்துவோம்.

படி 1. பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும்

இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னங்களின் பிரிவுகள் எண்கள் 2, 3 மற்றும் 4 ஆகும்

படி 2. ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் LCM ஐப் பிரித்து ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்

LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 12 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 6 கிடைக்கும். முதல் கூடுதல் காரணி 6 கிடைத்தது. முதல் பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 4 ஐப் பெறுகிறோம். அதை இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் மூன்றாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 3. மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:

படி 3. பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்

எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்குகிறோம்:

படி 4. அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். இந்த பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. அதைச் சேர்க்கவும்:

கூட்டல் ஒரு வரியில் பொருந்தவில்லை, எனவே மீதமுள்ள வெளிப்பாட்டை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தினோம். இது கணிதத்தில் அனுமதிக்கப்படுகிறது. ஒரு வெளிப்பாடு ஒரு வரியில் பொருந்தாதபோது, ​​​​அது அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தப்படுகிறது, மேலும் முதல் வரியின் முடிவிலும் புதிய வரியின் தொடக்கத்திலும் சமமான அடையாளத்தை (=) வைக்க வேண்டியது அவசியம். இரண்டாவது வரியில் உள்ள சம அடையாளம் இது முதல் வரியில் இருந்த வெளிப்பாட்டின் தொடர்ச்சி என்பதைக் குறிக்கிறது.

படி 5. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழுப் பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தவும்

எங்கள் பதில் தவறான பின்னமாக மாறியது. அதன் முழுப் பகுதியையும் நாம் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். நாங்கள் முன்னிலைப்படுத்துகிறோம்:

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

பின்னங்களின் கழித்தல் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரு பின்னத்திலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும். இதைச் செய்வோம்:

நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

மீண்டும், முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்திலிருந்து, இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழித்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்:

மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் இருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீஸ்ஸா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து மீதமுள்ள பின்னங்களின் எண்களைக் கழிக்க வேண்டும்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதே பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:

1. ஒரு பின்னத்திலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்;
2. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்கலாம், ஏனெனில் பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பினரைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது நாம் பயன்படுத்திய அதே கொள்கையைப் பயன்படுத்தி பொதுவான வகுப்பான் காணப்படுகிறது. முதலில், இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னர் LCM முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் முதல் கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது. இதேபோல், LCM இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது.

பின்னங்கள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்பாட்டின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாற்றப்படுகின்றன. அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே நீங்கள் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.

முதலில் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 12 ஆகும்.

LCM (3 மற்றும் 4) = 12

இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் திரும்புவோம்

முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ முதல் பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். முதல் பின்னத்திற்கு மேலே நான்கை எழுதவும்:

இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். இரண்டாவது பின்னத்தின் மீது மூன்றை எழுதவும்:

இப்போது நாம் கழிப்பதற்கு தயாராக உள்ளோம். பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், பீட்சா கிடைக்கும்

இது தீர்வின் விரிவான பதிப்பாகும். நாங்கள் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை சுருக்கமாக தீர்க்க வேண்டும். அத்தகைய தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பது ஒரு படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். இந்த பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்து, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த பின்னங்கள் ஒரே பீஸ்ஸா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும், ஆனால் இந்த முறை அவை சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்படும்):

முதல் படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் எட்டு துண்டுகள்), இரண்டாவது படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் மூன்று துண்டுகள்). எட்டு துண்டுகளிலிருந்து மூன்று துண்டுகளை வெட்டுவதன் மூலம், பன்னிரண்டில் ஐந்து துண்டுகள் கிடைக்கும். பின்னம் இந்த ஐந்து பகுதிகளை விவரிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே முதலில் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.

இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

பின்னங்களின் வகுத்தல்கள் எண்கள் 10, 3 மற்றும் 5 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 30 ஆகும்.

LCM(10, 3, 5) = 30

இப்போது ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணிகளைக் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கவும்.

முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 10 ஆகும். 30 ஐ 10 ஆல் வகுத்தால், முதல் கூடுதல் காரணி 3 ஐப் பெறுகிறோம். அதை முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது இரண்டாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 30 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 10 ஐப் பெறுகிறோம். அதை இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது மூன்றாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் மூன்றாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 5 ஆகும். 30 ஐ 5 ஆல் வகுத்தால், மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 6 ஐப் பெறுகிறோம். அதை மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது எல்லாம் கழிக்க தயாராக உள்ளது. பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை முடிப்போம்.

உதாரணத்தின் தொடர்ச்சி ஒரு வரியில் பொருந்தாது, எனவே தொடர்ச்சியை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்துகிறோம். புதிய வரியில் சம அடையாளத்தை (=) மறந்துவிடாதீர்கள்:

பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, எல்லாமே நமக்கு ஏற்றதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் அது மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் அசிங்கமானது. நாம் அதை எளிதாக்க வேண்டும். என்ன செய்ய முடியும்? இந்த பகுதியை நீங்கள் சுருக்கலாம்.

ஒரு பகுதியைக் குறைக்க, அதன் எண் மற்றும் வகுப்பினை 20 மற்றும் 30 எண்களின் (GCD) மூலம் வகுக்க வேண்டும்.

எனவே, 20 மற்றும் 30 எண்களின் gcd ஐக் காண்கிறோம்:

இப்போது நாம் எங்கள் உதாரணத்திற்குத் திரும்பி, பின்னத்தின் எண்ணிக்கையையும் வகுப்பையும் கண்டறிந்த ஜிசிடியால் வகுக்கிறோம், அதாவது 10 ஆல் வகுக்கிறோம்.

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்குதல்

ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்க, பின்னத்தின் எண்ணை அந்த எண்ணால் பெருக்கி, வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு பகுதியை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்

ரெக்கார்டிங் அரை 1 முறை எடுத்ததை புரிந்து கொள்ளலாம். உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு முறை பீட்சா எடுத்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்

பெருக்கல் விதிகள் மூலம், பெருக்கல் மற்றும் காரணி மாற்றப்பட்டால், தயாரிப்பு மாறாது என்பதை நாம் அறிவோம். வெளிப்பாடு என எழுதப்பட்டால், தயாரிப்பு இன்னும் சமமாக இருக்கும். மீண்டும், ஒரு முழு எண்ணையும் ஒரு பகுதியையும் பெருக்குவதற்கான விதி செயல்படுகிறது:

இந்த குறியீடானது ஒன்றின் பாதியை எடுத்துக்கொள்வதாக புரிந்து கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 1 முழு பீட்சா இருந்தால், அதில் பாதியை எடுத்துக் கொண்டால், நாங்கள் பீட்சா சாப்பிடுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

பின்னத்தின் எண்ணை 4 ஆல் பெருக்கவும்

பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

இரண்டு காலாண்டுகளை 4 முறை எடுத்துக்கொள்வதாக வெளிப்பாடு புரிந்து கொள்ள முடியும். உதாரணமாக, நீங்கள் 4 பீஸ்ஸாக்களை எடுத்துக் கொண்டால், உங்களுக்கு இரண்டு முழு பீஸ்ஸாக்கள் கிடைக்கும்

மேலும் நாம் பெருக்கி மற்றும் பெருக்கியை மாற்றினால், வெளிப்பாடு கிடைக்கும். இது 2க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வெளிப்பாடு நான்கு முழு பீஸ்ஸாக்களிலிருந்து இரண்டு பீஸ்ஸாக்களை எடுப்பதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்:

பின்னங்களை பெருக்குதல்

பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை நீங்கள் பெருக்க வேண்டும். பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது. இந்த பகுதியைக் குறைப்பது நல்லது. பின்னத்தை 2 ஆல் குறைக்கலாம். பின்னர் இறுதி தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

அரை பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை எடுப்பது போன்ற வெளிப்பாடுகளை புரிந்து கொள்ளலாம். எங்களிடம் அரை பீட்சா உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இந்த பாதியில் இருந்து மூன்றில் இரண்டு பங்கை எப்படி எடுப்பது? முதலில் நீங்கள் இந்த பாதியை மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்க வேண்டும்:

இந்த மூன்று துண்டுகளிலிருந்து இரண்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:

நாங்கள் பீட்சா செய்வோம். மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீஸ்ஸா எப்படி இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

இந்த பீட்சாவின் ஒரு துண்டு மற்றும் நாங்கள் எடுத்த இரண்டு துண்டுகள் ஒரே பரிமாணங்களைக் கொண்டிருக்கும்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாங்கள் அதே அளவு பீட்சாவைப் பற்றி பேசுகிறோம். எனவே வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு

எடுத்துக்காட்டு 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும்:

பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும்:

பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, ஆனால் அதை சுருக்கினால் நன்றாக இருக்கும். இந்தப் பகுதியைக் குறைக்க, இந்த பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 105 மற்றும் 450 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பால் (GCD) வகுக்க வேண்டும்.

எனவே, 105 மற்றும் 450 எண்களின் gcd ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:

இப்போது நாம் கண்டறிந்த ஜிசிடியால், அதாவது 15ஆல் நமது பதிலின் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுக்கிறோம்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னமாகக் குறிக்கும்

எந்த முழு எண்ணையும் ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 5 ஐக் குறிப்பிடலாம். இது ஐந்தின் பொருளை மாற்றாது, ஏனெனில் வெளிப்பாட்டின் பொருள் "ஒன்றால் வகுக்கப்படும் எண் ஐந்து", மேலும் இது ஐந்துக்கு சமம்:

பரஸ்பர எண்கள்

இப்போது நாம் கணிதத்தில் மிகவும் சுவாரஸ்யமான தலைப்பைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். இது "தலைகீழ் எண்கள்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை. எண்ணுக்குத் தலைகீழாகஅ பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண்அ ஒன்றை கொடுக்கிறது.

இந்த வரையறையில் மாறிக்கு பதிலாக மாற்றுவோம் அஎண் 5 மற்றும் வரையறையைப் படிக்க முயற்சிக்கவும்:

எண்ணுக்குத் தலைகீழாக 5 பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண் 5 ஒன்றை கொடுக்கிறது.

5 ஆல் பெருக்கினால், ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? அது சாத்தியம் என்று மாறிவிடும். ஐந்தை ஒரு பின்னமாக கற்பனை செய்வோம்:

இந்த பின்னத்தை தானாகவே பெருக்கி, எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பின்னத்தை தானாகவே பெருக்கலாம், தலைகீழாக மட்டுமே:

இதன் விளைவாக என்ன நடக்கும்? இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்ப்பதைத் தொடர்ந்தால், ஒன்றைப் பெறுவோம்:

இதன் பொருள், எண் 5 இன் தலைகீழ் எண் , நீங்கள் 5 ஐப் பெருக்கும்போது ஒன்று கிடைக்கும்.

ஒரு எண்ணின் எதிரொலியை வேறு எந்த முழு எண்ணுக்கும் காணலாம்.

வேறு எந்தப் பகுதியினதும் எதிரொலியையும் நீங்கள் காணலாம். இதைச் செய்ய, அதைத் திருப்புங்கள்.

ஒரு பகுதியை எண்ணால் வகுத்தல்

எங்களிடம் அரை பீட்சா உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

அதை இரண்டிற்கும் சமமாகப் பிரிப்போம். ஒவ்வொருவருக்கும் எவ்வளவு பீட்சா கிடைக்கும்?

பாதி பீட்சாவைப் பிரித்த பிறகு, இரண்டு சமமான துண்டுகள் கிடைத்தன, அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு பீட்சாவை உருவாக்குகின்றன. அதனால் அனைவருக்கும் பீட்சா கிடைக்கும்.

பின்னங்களின் பிரிவு பரஸ்பரங்களைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது. பரஸ்பர எண்கள் வகுப்பை பெருக்கத்துடன் மாற்ற உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் வகுக்க, நீங்கள் பிரிவின் தலைகீழ் மூலம் பகுதியைப் பெருக்க வேண்டும்.

இந்த விதியைப் பயன்படுத்தி, பீட்சாவின் பாதியை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிப்பதை எழுதுவோம்.

எனவே, நீங்கள் பின்னத்தை எண் 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும். இங்கு ஈவுத்தொகை பின்னம் மற்றும் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும்.

ஒரு பின்னத்தை எண் 2 ஆல் வகுக்க, நீங்கள் இந்த பின்னத்தை வகுக்கும் 2 இன் பரஸ்பரத்தால் பெருக்க வேண்டும். எனவே நீங்கள் பெருக்க வேண்டும்

பின்னம்கணிதத்தில், ஒரு அலகின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பகுதிகளை (பின்னங்கள்) கொண்ட எண். பின்னங்கள் பகுத்தறிவு எண்களின் புலத்தின் ஒரு பகுதியாகும். அவை எழுதப்பட்ட விதத்தின் அடிப்படையில், பின்னங்கள் 2 வடிவங்களாக பிரிக்கப்படுகின்றன: சாதாரணவகை மற்றும் தசம .

பின்னத்தின் எண்ணிக்கை- எடுக்கப்பட்ட பங்குகளின் எண்ணிக்கையைக் காட்டும் எண் (பின்னத்தின் மேல் - கோட்டிற்கு மேலே அமைந்துள்ளது). பின்னம் வகுத்தல்- அலகு எத்தனை பங்குகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டும் எண் (கோட்டிற்கு கீழே - கீழே அமைந்துள்ளது). , இதையொட்டி, பிரிக்கப்படுகின்றன: சரிமற்றும் தவறான, கலந்ததுமற்றும் கூட்டுஅளவீட்டு அலகுகளுடன் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. 1 மீட்டரில் 100 செமீ உள்ளது, அதாவது 1 மீ 100 சம பாகங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இவ்வாறு, 1 செமீ = 1/100 மீ (ஒரு சென்டிமீட்டர் ஒரு மீட்டரின் நூறில் ஒரு பங்குக்கு சமம்).

அல்லது 3/5 (மூன்று ஐந்தில்), இங்கே 3 என்பது எண், 5 என்பது வகுத்தல். எண் வகுப்பை விட குறைவாக இருந்தால், பின்னம் ஒன்றுக்கு குறைவாக உள்ளது மற்றும் அழைக்கப்படுகிறது சரி:

எண் வகுப்பிற்கு சமமாக இருந்தால், பின்னம் ஒன்றுக்கு சமம். எண் வகுப்பை விட அதிகமாக இருந்தால், பின்னம் ஒன்றை விட அதிகமாக இருக்கும். இரண்டு கடைசி நிகழ்வுகளிலும் பின்னம் அழைக்கப்படுகிறது தவறு:

முறையற்ற பின்னத்தில் உள்ள மிகப்பெரிய முழு எண்ணைத் தனிமைப்படுத்த, நீங்கள் எண்களை வகுப்பால் வகுக்க வேண்டும். பிரித்தல் மீதியின்றி நிகழ்த்தப்பட்டால், எடுக்கப்பட்ட முறையற்ற பின்னம் பங்குக்கு சமம்:

வகுத்தல் ஒரு மீதியுடன் நிகழ்த்தப்பட்டால், (முழுமையற்ற) பகுதியானது விரும்பிய முழு எண்ணைக் கொடுக்கிறது, மேலும் மீதியானது பின்னப் பகுதியின் எண்ணாக மாறும்; பின்ன பகுதியின் வகுத்தல் அப்படியே இருக்கும்.

ஒரு முழு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியளவு கொண்ட ஒரு எண் அழைக்கப்படுகிறது கலந்தது. பின்ன பகுதி கலப்பு எண் ஒருவேளை முறையற்ற பின்னம். நீங்கள் பின்ன பகுதியிலிருந்து மிகப்பெரிய முழு எண்ணைத் தேர்ந்தெடுத்து, கலப்பு எண்ணைக் குறிக்கலாம் பகுதியளவுசரியான பின்னமாக மாறியது (அல்லது முற்றிலும் மறைந்தது).

கணிதத்தில், பின்னம் என்பது ஒரு அலகின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பகுதிகளை (பின்னங்கள்) கொண்ட எண்ணாகும். பதிவு வடிவத்தின் படி, பின்னங்கள் சாதாரணமாக பிரிக்கப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டு \frac(5)(8)) மற்றும் தசமம் (உதாரணமாக 123.45).

வரையறை. பொதுவான பின்னம் (அல்லது எளிய பின்னம்)

சாதாரண (எளிய) பின்னம்\pm\frac(m)(n) வடிவத்தின் எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இங்கு m மற்றும் n இயற்கை எண்கள். மீ எண் அழைக்கப்படுகிறது எண்இந்த பின்னம், மற்றும் எண் n அதன் வகுத்தல்.

கிடைமட்ட அல்லது சாய்வு ஒரு பிரிவு அடையாளத்தைக் குறிக்கிறது, அதாவது \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

பொதுவான பின்னங்கள் இரண்டு வகைகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன: சரியான மற்றும் முறையற்றவை.

வரையறை. சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்கள்

சரிஒரு பகுதியின் எண் அதன் வகுப்பை விட குறைவாக இருந்தால், அது பின்னம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, \frac(9)(11) , ஏனெனில் 9

தவறுதொகுதியின் மாடுலஸ் வகுப்பின் மாடுலஸை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் ஒரு பகுதி அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய பின்னம் ஒன்றுக்கு அதிகமான அல்லது அதற்கு சமமான மாடுலஸ் கொண்ட விகிதமுறு எண். ஒரு உதாரணம் பின்னங்கள் \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

முறையற்ற பின்னத்துடன், எண்ணின் மற்றொரு பிரதிநிதித்துவம் உள்ளது, இது கலப்பு பின்னம் (கலப்பு எண்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு சாதாரண பின்னம் அல்ல.

வரையறை. கலப்பு பின்னம் (கலப்பு எண்)

கலப்பு பின்னம்ஒரு முழு எண்ணாகவும் சரியான பின்னமாகவும் எழுதப்பட்ட பின்னம் மற்றும் இந்த எண் மற்றும் பின்னத்தின் கூட்டுத்தொகையாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 2\frac(5)(7)

(கலப்பு எண்ணாக எழுதப்பட்டது) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19 )(7) (முறையற்ற பின்னமாக எழுதப்பட்டது)

பின்னம் என்பது ஒரு எண்ணின் பிரதிநிதித்துவம் மட்டுமே. அதே எண் ஒத்திருக்கலாம் வெவ்வேறு பின்னங்கள், சாதாரண மற்றும் தசம இரண்டும். இரண்டு சாதாரண பின்னங்களின் சமத்துவத்திற்கான அடையாளத்தை உருவாக்குவோம்.

வரையறை. பின்னங்களின் சமத்துவத்தின் அடையாளம்

இரண்டு பின்னங்கள் \frac(a)(b) மற்றும் \frac(c)(d) சமமான, a\cdot d=b\cdot c என்றால். எடுத்துக்காட்டாக, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) இலிருந்து 2\cdot12=3\cdot8

இந்த பண்புக்கூறிலிருந்து ஒரு பகுதியின் முக்கிய சொத்தை பின்பற்றுகிறது.

சொத்து. ஒரு பகுதியின் முக்கிய சொத்து

கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாமல் அதே எண்ணால் பெருக்கினால் அல்லது வகுத்தால், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான பின்னம் கிடைக்கும்.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படைப் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட பகுதிக்கு சமமான மற்றொரு பின்னத்தை நீங்கள் மாற்றலாம், ஆனால் ஒரு சிறிய எண் மற்றும் வகுப்பைக் கொண்டு. இந்த மாற்றீடு பின்னம் குறைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (இங்கு எண் மற்றும் வகுப்பினை முதலில் 2ஆல் வகுத்து, பின்னர் மேலும் 2ஆல் வகுக்கப்பட்டது). ஒரு பின்னம் அதன் எண் மற்றும் வகுப்பானது பரஸ்பர பகா எண்களாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே குறைக்கப்படும். கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பானது பரஸ்பர முதன்மையாக இருந்தால், பின்னத்தை குறைக்க முடியாது, எடுத்துக்காட்டாக, \frac(3)(4) என்பது குறைக்க முடியாத பின்னமாகும்.

நேர்மறை பின்னங்களுக்கான விதிகள்:

இரண்டு பின்னங்களில் இருந்து அதே வகைப்பாடுகளுடன்எண் அதிகமாக உள்ள பின்னம் அதிகம். எடுத்துக்காட்டாக, \frac(3)(15)

இரண்டு பின்னங்களில் இருந்து அதே எண்களுடன்பெரியது அதன் பிரிவு சிறியது. எடுத்துக்காட்டாக, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

இரண்டு பின்னங்களை வெவ்வேறு எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளுடன் ஒப்பிட, நீங்கள் இரண்டு பின்னங்களையும் மாற்ற வேண்டும், இதனால் அவற்றின் பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். இந்த மாற்றம் பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு அலகின் பின்னங்கள் மற்றும் இவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகிறது \frac(a)(b).

பின்னத்தின் எண்ணிக்கை (அ)- பின்னம் கோட்டிற்கு மேலே அமைந்துள்ள எண் மற்றும் அலகு பிரிக்கப்பட்ட பங்குகளின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது.

பின்னம் வகுத்தல் (b)- பகுதியின் கோட்டின் கீழ் அமைந்துள்ள எண் மற்றும் அலகு எத்தனை பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது.

மறை நிகழ்ச்சி

ஒரு பகுதியின் முக்கிய சொத்து

ad=bc எனில் இரண்டு பின்னங்கள் \frac(a)(b)மற்றும் \frac(c)(d)சமமாகக் கருதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்கள் சமமாக இருக்கும் \frac35மற்றும் \frac(9)(15), 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 என்பதால், \frac(12)(7)மற்றும் \frac(24)(14), 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 என்பதால்.

பின்னங்களின் சமத்துவத்தின் வரையறையிலிருந்து, பின்னங்கள் சமமாக இருக்கும் \frac(a)(b)மற்றும் \frac(am)(bm), a(bm)=b(am) என்பதால் - தெளிவான உதாரணம்செயலில் உள்ள இயற்கை எண்களின் பெருக்கத்தின் துணை மற்றும் பரிமாற்ற பண்புகளின் பயன்பாடு.

பொருள் \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- இது போல் தெரிகிறது ஒரு பகுதியின் முக்கிய சொத்து.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அசல் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பெருக்குவதன் மூலம் அல்லது வகுப்பதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான பகுதியைப் பெறுகிறோம். இயற்கை எண்.

ஒரு பகுதியைக் குறைத்தல்புதிய பின்னம் அசல் ஒன்றிற்கு சமமாக இருக்கும், ஆனால் ஒரு சிறிய எண் மற்றும் வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு பகுதியை மாற்றும் செயல்முறையாகும்.

பின்னத்தின் அடிப்படைப் பண்புகளின் அடிப்படையில் பின்னங்களைக் குறைப்பது வழக்கம்.

உதாரணமாக, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(எண் மற்றும் வகுத்தல் எண் 3 ஆல் வகுக்கப்படுகின்றன); இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தை மீண்டும் 5 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் குறைக்கலாம், அதாவது \frac(15)(20)=\frac 34.

குறைக்க முடியாத பின்னம்வடிவத்தின் ஒரு பகுதி \frac 34, இங்கு எண் மற்றும் வகுப்பானது பரஸ்பர பகா எண்கள். ஒரு பகுதியைக் குறைப்பதன் முக்கிய நோக்கம், பின்னத்தை குறைக்க முடியாததாக மாற்றுவதாகும்.

பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்தல்

உதாரணமாக இரண்டு பின்னங்களை எடுத்துக் கொள்வோம்: \frac(2)(3)மற்றும் \frac(5)(8)வெவ்வேறு பிரிவுகள் 3 மற்றும் 8 உடன். இந்தப் பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வர, நாம் முதலில் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பெருக்குகிறோம். \frac(2)(3) 8 மூலம். பின்வரும் முடிவைப் பெறுகிறோம்: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). பின்னர் நாம் பின்னத்தின் எண்ணையும் வகுப்பையும் பெருக்குகிறோம் \frac(5)(8)மூலம் 3. இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). எனவே, அசல் பின்னங்கள் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைக்கப்படுகின்றன 24.

சாதாரண பின்னங்களில் எண்கணித செயல்பாடுகள்

சாதாரண பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

அ) பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், முதல் பின்னத்தின் எண்ணானது இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணுடன் சேர்க்கப்பட்டு, வகுப்பை அப்படியே விட்டுவிடும். எடுத்துக்காட்டில் நீங்கள் பார்க்க முடியும்:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) வெவ்வேறு பிரிவுகளுக்கு, பின்னங்கள் முதலில் பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்படுகின்றன, பின்னர் எண்கள் விதியின்படி சேர்க்கப்படும்:

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

பின்னங்களைக் கழித்தல்

அ) பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிக்கவும், வகுப்பை அப்படியே விட்டுவிடவும்:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) பின்னங்களின் பிரிவுகள் வேறுபட்டால், முதலில் பின்னங்கள் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வரப்படும், பின்னர் செயல்கள் புள்ளியில் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன).

பொதுவான பின்னங்களைப் பெருக்குதல்

பின்னங்களைப் பெருக்குவது பின்வரும் விதிக்குக் கீழ்ப்படிகிறது:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

அதாவது, அவை தனித்தனியாக எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை பெருக்குகின்றன.

உதாரணமாக:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

பிரித்தல் பின்னங்கள்

பின்னங்கள் பின்வரும் வழிகளில் பிரிக்கப்படுகின்றன:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

அதாவது ஒரு பின்னம் \frac(a)(b)ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கப்படுகிறது \frac(d)(c).

எடுத்துக்காட்டு: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

பரஸ்பர எண்கள்

ab=1 என்றால், b என்பது எண் பரஸ்பர எண் எண்ணுக்கு a.

எடுத்துக்காட்டு: எண் 9 க்கு பரஸ்பரம் \frac(1)(9), ஏனெனில் 9\cdot\frac(1)(9)=1, எண் 5 க்கு - \frac(1)(5), ஏனெனில் 5\cdot\frac(1)(5)=1.

தசமங்கள்

தசம 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n என்ற வகுப்பின் சரியான பின்னம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக: \frac(6)(10)=0.6;\nspace \frac(44)(1000)=0.044.

10^n அல்லது கலப்பு எண்களைக் கொண்ட ஒழுங்கற்ற எண்கள் அதே வழியில் எழுதப்படுகின்றன.

உதாரணமாக: 5\frac(1)(10)=5.1;\nspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

வடிவத்தில் தசமஎண் 10 இன் ஒரு குறிப்பிட்ட சக்தியின் வகுப்பான வகுப்புடன் கூடிய எந்த சாதாரண பின்னமும் குறிப்பிடப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு: 5 என்பது 100ன் வகுத்தல், எனவே இது ஒரு பின்னமாகும் \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

தசமங்களில் எண்கணித செயல்பாடுகள்

தசமங்களைச் சேர்த்தல்

இரண்டு தசம பின்னங்களைச் சேர்க்க, நீங்கள் அவற்றை ஒழுங்கமைக்க வேண்டும், அதனால் ஒன்றோடொன்று ஒரே மாதிரியான இலக்கங்களும், கமாவின் கீழ் ஒரு கமாவும் இருக்கும், பின்னர் சாதாரண எண்கள் போன்ற பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்.

தசமங்களைக் கழித்தல்

இது கூடுதலாக அதே வழியில் செய்யப்படுகிறது.

தசமங்களை பெருக்குதல்

பெருக்கும் போது தசம எண்கள்கொடுக்கப்பட்ட எண்களைப் பெருக்கினால் போதும், காற்புள்ளிகளுக்கு (இயற்கை எண்கள் போன்றவை) கவனம் செலுத்தாமல், அதன் விளைவாக வரும் பதிலில், வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒரு கமா மொத்தம் இரண்டு காரணிகளிலும் தசம புள்ளிக்குப் பிறகு உள்ள பல இலக்கங்களைப் பிரிக்கிறது.

2.7ஐ 1.3 ஆல் பெருக்குவோம். எங்களிடம் 27 \cdot 13=351 உள்ளது. வலதுபுறத்தில் உள்ள இரண்டு இலக்கங்களை காற்புள்ளியால் பிரிக்கிறோம் (முதல் மற்றும் இரண்டாவது எண்கள் தசம புள்ளிக்குப் பிறகு ஒரு இலக்கத்தைக் கொண்டிருக்கும்; 1+1=2). இதன் விளைவாக, நமக்கு 2.7 \cdot 1.3=3.51 கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் முடிவு கமாவால் பிரிக்கப்பட வேண்டியதை விட குறைவான இலக்கங்களைக் கொண்டிருந்தால், விடுபட்ட பூஜ்ஜியங்கள் முன்னால் எழுதப்படும், எடுத்துக்காட்டாக:

10, 100, 1000 ஆல் பெருக்க, நீங்கள் தசம புள்ளி 1, 2, 3 இலக்கங்களை வலது பக்கம் நகர்த்த வேண்டும் (தேவைப்பட்டால், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான பூஜ்ஜியங்கள் வலதுபுறம் ஒதுக்கப்படும்).

எடுத்துக்காட்டாக: 1.47\cdot 10\,000 = 14,700.

தசம பிரிவு

ஒரு தசமப் பகுதியை இயற்கை எண்ணால் வகுத்தல், இயற்கை எண்ணை இயற்கை எண்ணால் வகுப்பதைப் போலவே செய்யப்படுகிறது. முழுப் பகுதியையும் பிரித்து முடித்த பிறகு, புள்ளியில் உள்ள கமா வைக்கப்படும்.

ஈவுத்தொகையின் முழு எண் பகுதி வகுப்பியை விட குறைவாக இருந்தால், பதில் பூஜ்ஜிய முழு எண்கள், எடுத்துக்காட்டாக:

ஒரு தசமத்தை ஒரு தசமத்தால் வகுப்பதைப் பார்ப்போம். 2.576 ஐ 1.12 ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம். முதலாவதாக, பின்னத்தின் ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பானை 100 ஆல் பெருக்குவோம், அதாவது ஈவுத்தொகையில் தசமப் புள்ளியை வலதுபுறமாக நகர்த்துவோம் மற்றும் தசமப் புள்ளிக்குப் பிறகு வகுப்பியில் உள்ள பல தசம இடங்களால் வகுப்போம். இந்த எடுத்துக்காட்டில்இருவரால்). நீங்கள் பின்னம் 257.6 ஐ இயற்கை எண் 112 ஆல் வகுக்க வேண்டும், அதாவது, ஏற்கனவே கருதப்பட்ட வழக்கில் சிக்கல் குறைக்கப்படுகிறது:

ஒரு எண்ணை மற்றொன்றால் வகுக்கும் போது இறுதி தசம பின்னம் எப்போதும் பெறப்படாது. இதன் விளைவாக எல்லையற்ற தசம பின்னம். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நாங்கள் சாதாரண பின்னங்களுக்கு செல்கிறோம்.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

அனைத்து அறிவியல்களின் ராணியைப் படிப்பது - கணிதம், இல் குறிப்பிட்ட தருணம்எல்லோரும் பின்னங்களை சந்திக்கிறார்கள். இந்த கருத்து (பின்னங்களின் வகைகள் அல்லது அவற்றுடனான கணித செயல்பாடுகள் போன்றவை) சிக்கலானதாக இல்லாவிட்டாலும், அதை கவனமாகக் கையாள வேண்டும், ஏனெனில் உண்மையான வாழ்க்கைஇது பள்ளிக்கு வெளியே மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். எனவே, பின்னங்களைப் பற்றிய நமது அறிவைப் புதுப்பிப்போம்: அவை என்ன, அவை எதற்காக, அவை என்ன வகைகள் மற்றும் அவற்றைக் கொண்டு வெவ்வேறு விஷயங்களை எவ்வாறு செய்வது எண்கணித செயல்பாடுகள்.

அவரது மாட்சிமை பின்னம்: அது என்ன

கணிதத்தில், பின்னங்கள் எண்கள், அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு அலகின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பகுதிகளைக் கொண்டிருக்கும். இத்தகைய பின்னங்கள் சாதாரண அல்லது எளிமையானவை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு விதியாக, அவை கிடைமட்ட அல்லது சாய்வு கோட்டால் பிரிக்கப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வடிவத்தில் எழுதப்படுகின்றன, இது "பின்ன" கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக: ½, ¾.

இந்த எண்களின் மேல் அல்லது முதல் எண் எண் (எண்ணிலிருந்து எத்தனை பகுதிகள் எடுக்கப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகிறது), மற்றும் கீழ் அல்லது இரண்டாவது வகுத்தல் (அலகு எத்தனை பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது).

பின்னம் பட்டை உண்மையில் ஒரு பிரிவு அடையாளமாக செயல்படுகிறது. உதாரணமாக, 7:9=7/9

பாரம்பரியமாக பொதுவான பின்னங்கள்ஒன்றுக்கும் குறைவானது. தசமங்கள் அதை விட பெரியதாக இருக்கும் போது.

பின்னங்கள் எதற்காக? ஆம், எல்லாவற்றிற்கும், ஏனென்றால் நிஜ உலகில், எல்லா எண்களும் முழு எண்கள் அல்ல. உதாரணமாக, உணவு விடுதியில் இரண்டு பள்ளி மாணவிகள் ஒன்றாக ஒரு சுவையான சாக்லேட் பட்டை வாங்கினார்கள். அவர்கள் இனிப்பைப் பகிர்ந்து கொள்ள இருந்தபோது, ​​அவர்கள் ஒரு நண்பரைச் சந்தித்து அவளுக்கும் உபசரிக்க முடிவு செய்தனர். இருப்பினும், இப்போது சாக்லேட் பட்டியை சரியாகப் பிரிக்க வேண்டியது அவசியம், அது 12 சதுரங்களைக் கொண்டுள்ளது.

முதலில், பெண்கள் எல்லாவற்றையும் சமமாகப் பிரிக்க விரும்பினர், பின்னர் ஒவ்வொருவருக்கும் நான்கு துண்டுகள் கிடைக்கும். ஆனால், யோசித்த பிறகு, அவர்கள் தங்கள் நண்பருக்கு 1/3 அல்ல, ஆனால் 1/4 சாக்லேட் வழங்க முடிவு செய்தனர். பள்ளி மாணவிகள் பின்னங்களை நன்றாகப் படிக்காததால், அத்தகைய சூழ்நிலையில் அவர்கள் 9 துண்டுகளுடன் முடிவடையும் என்பதை அவர்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவில்லை, அவை இரண்டாகப் பிரிப்பது மிகவும் கடினம். இந்த எளிமையான உதாரணம், எண்ணின் ஒரு பகுதியை சரியாகக் கண்டுபிடிப்பது எவ்வளவு முக்கியம் என்பதைக் காட்டுகிறது. ஆனால் வாழ்க்கையில் இதே போன்ற வழக்குகள்இன்னும் அதிகம்.

பின்னங்களின் வகைகள்: சாதாரண மற்றும் தசம

அனைத்து கணித பின்னங்களும் இரண்டு பெரிய வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன: சாதாரண மற்றும் தசம. அவற்றில் முதலாவது அம்சங்கள் முந்தைய பத்தியில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன, எனவே இப்போது இரண்டாவது கவனம் செலுத்துவது மதிப்பு.

தசமம் என்பது ஒரு எண்ணின் ஒரு பகுதியின் நிலைக் குறியீடாகும், இது ஒரு கோடு அல்லது சாய்வு இல்லாமல் கமாவால் பிரிக்கப்பட்ட எழுத்தில் எழுதப்படுகிறது. உதாரணமாக: 0.75, 0.5.

உண்மையில், ஒரு தசம பின்னம் ஒரு சாதாரண பின்னத்திற்கு ஒத்ததாக இருக்கும், இருப்பினும், அதன் வகுத்தல் எப்போதும் பூஜ்ஜியங்களுடன் ஒன்றாக இருக்கும் - எனவே அதன் பெயர்.

காற்புள்ளிக்கு முந்திய எண் ஒரு முழு எண் பகுதியாகும், அதற்குப் பின் உள்ள அனைத்தும் பின்னமாகும். எந்த எளிய பின்னத்தையும் தசமமாக மாற்றலாம். எனவே, முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தசம பின்னங்களை வழக்கம் போல் எழுதலாம்: ¾ மற்றும் ½.

தசம மற்றும் சாதாரண பின்னங்கள் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருக்கலாம் என்பது கவனிக்கத்தக்கது. அவைகளுக்கு முன்னால் “-” அடையாளம் இருந்தால், இந்த பின்னம் எதிர்மறையாக இருக்கும், “+” என்பது நேர்மறை பின்னமாக இருந்தால்.

சாதாரண பின்னங்களின் துணை வகைகள்

இந்த வகையான எளிய பின்னங்கள் உள்ளன.

தசம பின்னத்தின் துணை வகைகள்

ஒரு எளிய பின்னம் போலல்லாமல், ஒரு தசம பின்னம் 2 வகைகளாக மட்டுமே பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.

• இறுதி - தசம புள்ளிக்குப் பிறகு அது வரையறுக்கப்பட்ட (வரையறுக்கப்பட்ட) இலக்கங்களைக் கொண்டிருப்பதால் இந்த பெயரைப் பெற்றது: 19.25.
• எல்லையற்ற பின்னம் என்பது தசமப் புள்ளிக்குப் பிறகு எண்ணற்ற இலக்கங்களைக் கொண்ட எண்ணாகும். எடுத்துக்காட்டாக, 10 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், முடிவிலா பின்னம் 3.333...

பின்னங்கள் சேர்த்தல்

பின்னங்களுடன் பல்வேறு எண்கணித கையாளுதல்களை மேற்கொள்வது சாதாரண எண்களை விட சற்று கடினமாக உள்ளது. இருப்பினும், அடிப்படை விதிகளை நீங்கள் புரிந்து கொண்டால், அவர்களுடன் எந்த உதாரணத்தையும் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல.

உதாரணமாக: 2/3+3/4. அவற்றுக்கான குறைந்தபட்ச பொதுவான மடங்கு 12 ஆக இருக்கும், எனவே, இந்த எண் ஒவ்வொரு வகுப்பிலும் இருப்பது அவசியம். இதைச் செய்ய, முதல் பகுதியின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 4 ஆல் பெருக்குகிறோம், அது 8/12 ஆக மாறும், இரண்டாவது காலத்திலும் அதையே செய்கிறோம், ஆனால் 3 - 9/12 ஆல் பெருக்குகிறோம். இப்போது நீங்கள் உதாரணத்தை எளிதாக தீர்க்கலாம்: 8/12+9/12= 17/12. இதன் விளைவாக வரும் பின்னம் தவறான மதிப்பாகும், ஏனெனில் எண் வகுப்பினை விட அதிகமாக உள்ளது. இது 17:12 = 1 மற்றும் 5/12 ஐப் பிரிப்பதன் மூலம் சரியான கலவையாக மாற்றப்படலாம் மற்றும் மாற்றப்பட வேண்டும்.

கலப்பு பின்னங்கள் சேர்க்கப்படும் போது, ​​செயல்பாடுகள் முதலில் முழு எண்களுடனும், பின்னர் பின்னங்களுடனும் செய்யப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டில் தசம பின்னம் மற்றும் வழக்கமான பின்னம் இருந்தால், இரண்டையும் எளிமையாக்குவது அவசியம், பின்னர் அவற்றை ஒரே வகுப்பில் கொண்டு வந்து சேர்க்கவும். உதாரணமாக 3.1+1/2. 3.1 என்ற எண்ணை இவ்வாறு எழுதலாம் கலப்பு பின்னம் 3 மற்றும் 1/10 அல்லது தவறானது - 31/10. விதிமுறைகளுக்கான பொதுவான வகுத்தல் 10 ஆக இருக்கும், எனவே நீங்கள் 1/2 இன் எண் மற்றும் வகுப்பினை மாறி மாறி 5 ஆல் பெருக்க வேண்டும், உங்களுக்கு 5/10 கிடைக்கும். பின்னர் நீங்கள் எல்லாவற்றையும் எளிதாகக் கணக்கிடலாம்: 31/10+5/10=35/10. பெறப்பட்ட முடிவு ஒரு முறையற்ற குறைக்கக்கூடிய பின்னமாகும், நாங்கள் அதை சாதாரண வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம், அதை 5: 7/2 = 3 மற்றும் 1/2 அல்லது தசம - 3.5 ஆல் குறைக்கிறோம்.

2 தசம பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​தசமப் புள்ளிக்குப் பிறகு அதே எண்ணிக்கையிலான இலக்கங்கள் இருப்பது முக்கியம். இது அவ்வாறு இல்லையென்றால், நீங்கள் சேர்க்க வேண்டும் தேவையான அளவுபூஜ்ஜியங்கள், ஏனெனில் தசம பின்னங்களில் இது வலியின்றி செய்யப்படலாம். உதாரணமாக, 3.5+3.005. இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, முதல் எண்ணுடன் 2 பூஜ்ஜியங்களைச் சேர்த்து, பின்னர் ஒவ்வொன்றாகச் சேர்க்க வேண்டும்: 3.500+3.005=3.505.

பின்னங்களைக் கழித்தல்

பின்னங்களைக் கழிக்கும்போது, ​​​​சேர்க்கும் போது நீங்கள் அதையே செய்ய வேண்டும்: ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கவும், ஒரு எண்ணை மற்றொன்றிலிருந்து கழிக்கவும், தேவைப்பட்டால், முடிவை கலவையான பின்னமாக மாற்றவும்.

உதாரணமாக: 16/20-5/10. பொதுப் பிரிவு 20 ஆக இருக்கும். இந்த வகுப்பின் இரண்டு பகுதிகளையும் 2 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் இரண்டாவது பகுதியை நீங்கள் கொண்டு வர வேண்டும், உங்களுக்கு 10/20 கிடைக்கும். இப்போது நீங்கள் உதாரணத்தை தீர்க்கலாம்: 16/20-10/20= 6/20. இருப்பினும், இந்த முடிவு குறைக்கக்கூடிய பின்னங்களுக்கு பொருந்தும், எனவே இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் வகுத்தல் மதிப்பு மற்றும் இதன் விளைவாக 3/10 ஆகும்.

பின்னங்களை பெருக்குதல்

கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை விட பின்னங்களை வகுத்தல் மற்றும் பெருக்குதல் மிகவும் எளிமையான செயல்பாடுகள் ஆகும். உண்மை என்னவென்றால், இந்த பணிகளைச் செய்யும்போது, ​​​​ஒரு பொதுவான வகுப்பைத் தேட வேண்டிய அவசியமில்லை.

பின்னங்களைப் பெருக்க, நீங்கள் இரண்டு எண்களையும் ஒன்றன் பின் ஒன்றாகப் பெருக்க வேண்டும், பின்னர் இரண்டு வகுப்பினரையும் பெருக்க வேண்டும். பின்னம் குறைக்கக்கூடிய அளவாக இருந்தால், விளைந்த முடிவைக் குறைக்கவும்.

உதாரணமாக: 4/9x5/8. மாற்று பெருக்கலுக்குப் பிறகு, முடிவு 4x5/9x8=20/72 ஆகும். இந்த பின்னத்தை 4 ஆல் குறைக்கலாம், எனவே எடுத்துக்காட்டில் இறுதி பதில் 5/18 ஆகும்.

பின்னங்களை எவ்வாறு பிரிப்பது

பின்னங்களைப் பிரிப்பதும் ஒரு எளிய செயலாகும்; ஒரு பகுதியை மற்றொரு பகுதியால் வகுக்க, நீங்கள் இரண்டாவதாக தலைகீழாக மாற்ற வேண்டும் மற்றும் முதல் மூலம் பெருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்கள் 5/19 மற்றும் 5/7 பிரித்தல். எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் மற்றும் எண்களை மாற்றி, பெருக்க வேண்டும்: 5/19x7/5=35/95. முடிவை 5 ஆல் குறைக்கலாம் - அது 7/19 மாறிவிடும்.

நீங்கள் ஒரு பகுதியைப் பகா எண்ணால் வகுக்க வேண்டும் என்றால், நுட்பம் சற்று வித்தியாசமானது. ஆரம்பத்தில், நீங்கள் இந்த எண்ணை தவறான பின்னமாக எழுத வேண்டும், பின்னர் அதே திட்டத்தின் படி பிரிக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, 2/13:5 என்பதை 2/13: 5/1 என்று எழுத வேண்டும். இப்போது நீங்கள் 5/1 ஐ மாற்றி, அதன் விளைவாக வரும் பின்னங்களை பெருக்க வேண்டும்: 2/13x1/5= 2/65.

சில நேரங்களில் நீங்கள் கலப்பு பின்னங்களை பிரிக்க வேண்டும். நீங்கள் முழு எண்களுடன் அவற்றை நீங்கள் கையாள வேண்டும்: அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றவும், வகுப்பியைத் தலைகீழாக மாற்றவும் மற்றும் எல்லாவற்றையும் பெருக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, 8 ½: 3. எல்லாவற்றையும் முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றவும்: 17/2: 3/1. இதைத் தொடர்ந்து 3/1 புரட்டு மற்றும் பெருக்கல்: 17/2x1/3= 17/6. இப்போது நீங்கள் தவறான பின்னத்தை சரியானதாக மாற்ற வேண்டும் - 2 முழு மற்றும் 5/6.

எனவே, பின்னங்கள் என்றால் என்ன, அவற்றுடன் பல்வேறு எண்கணித செயல்பாடுகளை நீங்கள் எவ்வாறு செய்ய முடியும் என்பதைக் கண்டுபிடித்த பிறகு, அதை மறந்துவிடாமல் இருக்க முயற்சி செய்ய வேண்டும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, மக்கள் எப்போதும் எதையாவது சேர்ப்பதை விட பகுதிகளாகப் பிரிக்க விரும்புகிறார்கள், எனவே நீங்கள் அதைச் சரியாகச் செய்ய வேண்டும்.