வடிவியல் முன்னேற்றம் விளக்கம். வடிவியல் முன்னேற்றம். எடுத்துக்காட்டுகளுடன் கூடிய விரிவான வழிகாட்டி (2019)

இப்போது எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றத்தை சுருக்கமாகக் கூறுவது பற்றிய கேள்வியைக் கருத்தில் கொள்வோம். கொடுக்கப்பட்ட எல்லையற்ற முன்னேற்றத்தின் பகுதித் தொகையை அதன் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைப்போம். பகுதித் தொகையை சின்னத்தால் குறிப்போம்

ஒவ்வொரு எல்லையற்ற முன்னேற்றத்திற்கும்

ஒருவர் அதன் பகுதித் தொகைகளின் (முடிவற்ற) வரிசையை உருவாக்கலாம்

வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன் கூடிய வரிசைக்கு வரம்பு இருக்கட்டும்

இந்த வழக்கில், எண் S, அதாவது, ஒரு முன்னேற்றத்தின் பகுதித் தொகைகளின் வரம்பு, எல்லையற்ற முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது. எல்லையற்ற குறைகிறது என்பதை நிரூபிப்போம் வடிவியல் முன்னேற்றம்எப்பொழுதும் ஒரு தொகை இருக்கும், மேலும் இந்தத் தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம் (எல்லையற்ற முன்னேற்றத்திற்குத் தொகை இல்லாதபோது, ​​அது இல்லை என்பதையும் காட்டலாம்).

பகுதித் தொகைக்கான வெளிப்பாட்டை சூத்திரத்தின்படி (91.1) முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதுவோம் மற்றும் பகுதித் தொகையின் வரம்பைக் கருத்தில் கொள்வோம்

தேற்றம் 89 இலிருந்து அது குறைந்து வரும் முன்னேற்றத்திற்காக அறியப்படுகிறது; எனவே, வேறுபாடு வரம்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் காண்கிறோம்

(இங்கே விதியும் பயன்படுத்தப்படுகிறது: நிலையான காரணி வரம்பு அடையாளத்திற்கு அப்பால் எடுக்கப்படுகிறது). இருப்பு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் எண்ணற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம் பெறப்படுகிறது:

சமத்துவம் (92.1) வடிவத்திலும் எழுதலாம்

இங்கு எண்ணற்ற சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு மிகத் திட்டவட்டமான வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பு ஒதுக்கப்படுவது முரண்பாடாகத் தோன்றலாம்.

இந்த நிலைமையை விளக்குவதற்கு ஒரு தெளிவான உதாரணம் கொடுக்கப்படலாம். ஒரு பக்கத்திற்கு சமமான ஒரு சதுரத்தைக் கவனியுங்கள் (படம் 72). கிடைமட்டக் கோட்டுடன் இந்த சதுரத்தை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரித்து, மேல் பகுதியை கீழ் பகுதியுடன் இணைக்கவும், இதனால் ஒரு செவ்வகம் பக்கங்கள் 2 மற்றும் . இதற்குப் பிறகு, இந்த செவ்வகத்தின் வலது பாதியை மீண்டும் ஒரு கிடைமட்ட கோடுடன் பாதியாகப் பிரித்து, மேல் பகுதியை கீழ் பகுதிக்கு (படம் 72 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி) இணைப்போம். இந்த செயல்முறையைத் தொடர்ந்து, 1 க்கு சமமான பரப்பளவு கொண்ட அசல் சதுரத்தை சம அளவிலான உருவங்களாக மாற்றுகிறோம் (மெல்லிய படிகள் கொண்ட படிக்கட்டு வடிவத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம்).

இந்த செயல்முறையின் எல்லையற்ற தொடர்ச்சியுடன், சதுரத்தின் முழுப் பகுதியும் எல்லையற்ற சொற்களாக சிதைகிறது - செவ்வகங்களின் பகுதிகள் 1 க்கு சமமான மற்றும் உயரம் கொண்ட பகுதிகள் முடிவில்லாத குறையும் முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன

அதாவது, ஒருவர் எதிர்பார்ப்பது போல, சதுரத்தின் பரப்பளவுக்கு சமம்.

உதாரணம். பின்வரும் எல்லையற்ற முன்னேற்றங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு, அ) இந்த முன்னேற்றத்தை நாங்கள் கவனிக்கிறோம், எனவே, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (92.2) கண்டுபிடிக்கிறோம்

b) இங்கே நாம் அதே சூத்திரத்தை (92.2) பயன்படுத்துகிறோம் என்று அர்த்தம்

c) இந்த முன்னேற்றத்திற்கு எந்த தொகையும் இல்லை என்பதைக் காண்கிறோம்.

பத்தி 5 இல், ஒரு காலக்கெடுவின் தலைகீழாக வரம்பற்ற குறையும் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தின் பயன்பாட்டைக் காண்பித்தோம் தசமஒரு பொதுவான பின்னமாக.

பயிற்சிகள்

1. எல்லையில்லாமல் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை 3/5, அதன் முதல் நான்கு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை 13/27. முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் மற்றும் வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

2. மாற்று வடிவியல் முன்னேற்றத்தை உருவாக்கும் நான்கு எண்களைக் கண்டறியவும், இதில் இரண்டாவது சொல் முதல் 35 ஆல் குறைவாகவும், மூன்றாவது நான்காவது 560 ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கும்.

3. வரிசை என்றால் காட்டவும்

முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகிறது, பின்னர் வரிசை

எதற்கும், அது எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகிறது. இந்த கூற்று எப்போது உண்மையாக இருக்கும்

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் தயாரிப்புக்கான சூத்திரத்தைப் பெறவும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட தொடரைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

7 28 112 448 1792...

அதன் எந்த உறுப்புகளின் மதிப்பு முந்தையதை விட சரியாக நான்கு மடங்கு அதிகம் என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது. இந்த தொடர் ஒரு முன்னேற்றம் என்று அர்த்தம்.

வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது எல்லையற்ற வரிசைஎண்கள், இதன் முக்கிய அம்சம் என்னவென்றால், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் அடுத்த எண் முந்தைய எண்ணிலிருந்து பெறப்படுகிறது. இது பின்வரும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

a z +1 =a z ·q, இங்கு z என்பது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை.

அதன்படி, z ∈ N.

பள்ளியில் வடிவியல் முன்னேற்றம் படிக்கும் காலம் 9 ஆம் வகுப்பு. கருத்துகளைப் புரிந்துகொள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் உதவும்:

0.25 0.125 0.0625...

இந்த சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினை பின்வருமாறு காணலாம்:

q அல்லது b z பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது. மேலும், முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது.

அதன்படி, ஒரு தொடரின் அடுத்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் கடைசி எண்ணை q ஆல் பெருக்க வேண்டும்.

இந்த முன்னேற்றத்தை அமைக்க, அதன் முதல் உறுப்பு மற்றும் வகுப்பினை நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும். இதற்குப் பிறகு, அடுத்தடுத்த விதிமுறைகள் மற்றும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய முடியும்.

வகைகள்

q மற்றும் a 1 ஐப் பொறுத்து, இந்த முன்னேற்றம் பல வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது:

• ஒரு 1 மற்றும் q இரண்டும் ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், அத்தகைய வரிசையானது ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த உறுப்புக்கும் அதிகரிக்கும் வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். இதற்கான உதாரணம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு: a 1 =3, q=2 - இரண்டு அளவுருக்களும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை.

பின்னர் எண் வரிசையை இப்படி எழுதலாம்:

3 6 12 24 48 ...

• என்றால் |q| ஒன்றுக்குக் குறைவாக உள்ளது, அதாவது, அதன் மூலம் பெருக்குவது வகுத்தலுக்குச் சமம், பின்னர் இதே நிலைகளைக் கொண்ட முன்னேற்றம் குறைந்து வரும் வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். இதற்கான உதாரணம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு: a 1 =6, q=1/3 - a 1 என்பது ஒன்றை விட பெரியது, q என்பது குறைவு.

பின்னர் எண் வரிசையை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

6 2 2/3 ... - எந்த உறுப்பும் அதைத் தொடர்ந்து வரும் உறுப்பை விட 3 மடங்கு பெரியது.

• மாற்று அடையாளம். கே என்றால்<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

எடுத்துக்காட்டு: a 1 = -3, q = -2 - இரண்டு அளவுருக்களும் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும்.

எண் வரிசையை இப்படி எழுதலாம்:

3, 6, -12, 24,...

சூத்திரங்கள்

வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் வசதியான பயன்பாட்டிற்கு பல சூத்திரங்கள் உள்ளன:

• Z-கால சூத்திரம். முந்தைய எண்களைக் கணக்கிடாமல் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் கீழ் ஒரு உறுப்பைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு:கே = 3, அ 1 = 4. முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பை எண்ணுவது அவசியம்.

தீர்வு:அ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• அளவு சமமாக இருக்கும் முதல் தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகை z. வரையிலான வரிசையின் அனைத்து உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறதுஒரு இசட்உள்ளடக்கியது.

முதல் (1-கே) வகுப்பில் உள்ளது, பின்னர் (1 - q)≠ 0, எனவே q என்பது 1க்கு சமமாக இருக்காது.

குறிப்பு: q=1 எனில், முன்னேற்றமானது எண்ணிலடங்கா மீண்டும் வரும் எண்களின் தொடராக இருக்கும்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை, எடுத்துக்காட்டுகள்:அ 1 = 2, கே= -2. S5 ஐக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு:எஸ் 5 = 22 - சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடு.

• தொகை என்றால் |கே| < 1 и если z стремится к бесконечности.

எடுத்துக்காட்டு:அ 1 = 2 , கே= 0.5. தொகையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

சில பண்புகள்:

• சிறப்பியல்பு சொத்து. பின்வரும் நிபந்தனை என்றால் எதற்கும் வேலை செய்கிறதுz, கொடுக்கப்பட்ட எண் தொடர் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம்:

ஒரு இசட் 2 = ஒரு இசட் -1 · அz+1

• மேலும், ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் உள்ள எந்த எண்ணின் வர்க்கமும் இந்த உறுப்பிலிருந்து சமமான தொலைவில் இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட தொடரில் உள்ள வேறு ஏதேனும் இரண்டு எண்களின் சதுரங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது.

ஒரு இசட் 2 = ஒரு இசட் - டி 2 + ஒரு இசட் + டி 2 , எங்கேடி- இந்த எண்களுக்கு இடையிலான தூரம்.

• உறுப்புகள்q இல் வேறுபடுகின்றனஒருமுறை.
• ஒரு முன்னேற்றத்தின் உறுப்புகளின் மடக்கைகளும் ஒரு முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன, ஆனால் ஒரு எண்கணிதம், அதாவது அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் முந்தையதை விட அதிகமாக இருக்கும்.

சில உன்னதமான சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்

வடிவியல் முன்னேற்றம் என்றால் என்ன என்பதை நன்கு புரிந்து கொள்ள, 9 ஆம் வகுப்புக்கான தீர்வுகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகள் உதவும்.

• நிபந்தனைகள்:அ 1 = 3, அ 3 = 48. கண்டுபிடிகே.

தீர்வு: ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த உறுப்பும் முந்தையதை விட அதிகமாக உள்ளதுகே ஒருமுறை.ஒரு வகுப்பைப் பயன்படுத்தி சில கூறுகளை மற்றவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவது அவசியம்.

எனவே,அ 3 = கே 2 · அ 1

மாற்றும் போதுகே= 4

• நிபந்தனைகள்:அ 2 = 6, அ 3 = 12. S 6 ஐக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு:இதைச் செய்ய, முதல் உறுப்பு q ஐக் கண்டுபிடித்து அதை சூத்திரத்தில் மாற்றவும்.

அ 3 = கே· அ 2 , எனவே,கே= 2

a 2 = q · ஒரு 1,அதனால் தான் a 1 = 3

எஸ் 6 = 189

• · அ 1 = 10, கே= -2. முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: இதைச் செய்ய, நான்காவது உறுப்பை முதல் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் வெளிப்படுத்தினால் போதும்.

a 4 = q 3· a 1 = -80

விண்ணப்ப உதாரணம்:

• ஒரு வங்கி வாடிக்கையாளர் 10,000 ரூபிள் தொகையில் டெபாசிட் செய்தார், அதன் விதிமுறைகளின் கீழ் ஒவ்வொரு ஆண்டும் வாடிக்கையாளர் அதில் 6% அசல் தொகையில் சேர்க்கப்படுவார். 4 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கணக்கில் எவ்வளவு பணம் இருக்கும்?

தீர்வு: ஆரம்ப தொகை 10 ஆயிரம் ரூபிள் ஆகும். அதாவது முதலீட்டிற்கு ஒரு வருடம் கழித்து கணக்கில் 10,000 + 10,000 க்கு சமமான தொகை இருக்கும் · 0.06 = 10000 1.06

அதன்படி, மற்றொரு வருடத்திற்குப் பிறகு கணக்கில் உள்ள தொகை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

அதாவது, ஒவ்வொரு ஆண்டும் தொகை 1.06 மடங்கு அதிகரிக்கிறது. இதன் பொருள், 4 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கணக்கில் உள்ள நிதிகளின் அளவைக் கண்டுபிடிக்க, முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கண்டறிவது போதுமானது, இது 10 ஆயிரத்திற்கு சமமான முதல் உறுப்பு மற்றும் 1.06 க்கு சமமான வகுப்பால் வழங்கப்படுகிறது.

எஸ் = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

தொகைகளைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

பல்வேறு சிக்கல்களில் வடிவியல் முன்னேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தொகையைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணம் பின்வருமாறு கொடுக்கப்படலாம்:

அ 1 = 4, கே= 2, கணக்கிடுங்கள்எஸ் 5.

தீர்வு: கணக்கீட்டிற்கு தேவையான அனைத்து தரவும் அறியப்படுகிறது, நீங்கள் அவற்றை சூத்திரத்தில் மாற்ற வேண்டும்.

எஸ் 5 = 124

• அ 2 = 6, அ 3 = 18. முதல் ஆறு தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு:

ஜியோமில். முன்னேற்றம், ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பும் முந்தையதை விட q மடங்கு அதிகமாகும், அதாவது, நீங்கள் உறுப்பைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய தொகையைக் கணக்கிடஅ 1 மற்றும் வகுத்தல்கே.

அ 2 · கே = அ 3

கே = 3

இதேபோல், நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்அ 1 , தெரிந்துகொள்வதுஅ 2 மற்றும்கே.

அ 1 · கே = அ 2

a 1 =2

எஸ் 6 = 728.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது கால சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது. பொருளிலும் பொது தோற்றத்திலும். ஆனால் n வது கால சூத்திரத்தில் அனைத்து வகையான சிக்கல்களும் உள்ளன - மிகவும் பழமையானது முதல் மிகவும் தீவிரமானது. எங்கள் அறிமுகத்தின் செயல்பாட்டில், நாங்கள் நிச்சயமாக இரண்டையும் கருத்தில் கொள்வோம். சரி, பழகலாமா?)

எனவே, தொடங்குவதற்கு, உண்மையில் சூத்திரம்n

இதோ:

b n = பி 1 · qn -1

சூத்திரம் ஒரு சூத்திரம், இயற்கைக்கு அப்பாற்பட்டது எதுவுமில்லை. இது ஒரே மாதிரியான சூத்திரத்தை விட எளிமையானதாகவும் சுருக்கமாகவும் தெரிகிறது. ஃபார்முலாவின் அர்த்தமும் உணர்ந்த பூட்ஸ் போல எளிமையானது.

இந்த சூத்திரம் அதன் எண் மூலம் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது " n".

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அர்த்தம் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் முழுமையான ஒப்புமை. n எண் நமக்குத் தெரியும் - இந்த எண்ணின் கீழ் உள்ள சொல்லையும் எண்ணலாம். நமக்கு எது வேண்டும். திரும்பத் திரும்ப "q" ஆல் பல, பல முறை பெருக்காமல். அதுதான் முழுப் புள்ளி.)

முன்னேற்றங்களுடன் பணிபுரியும் இந்த நிலையில், சூத்திரத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அனைத்து அளவுகளும் உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெளிவாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நான் புரிந்துகொள்கிறேன், ஆனால் ஒவ்வொன்றையும் புரிந்துகொள்வது எனது கடமையாக நான் கருதுகிறேன். வழக்கில் தான்.

எனவே, இங்கே நாம் செல்கிறோம்:

பி 1 – முதலில்வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காலம்;

கே – ;

n- உறுப்பினர் எண்;

b n – வது (nவது)ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காலம்.

இந்த சூத்திரம் எந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் நான்கு முக்கிய அளவுருக்களை இணைக்கிறது - பிn, பி 1 , கேமற்றும் n. மேலும் அனைத்து முன்னேற்றப் பிரச்சனைகளும் இந்த நான்கு முக்கிய நபர்களைச் சுற்றியே உள்ளன.

"அது எப்படி அகற்றப்படுகிறது?"– நான் ஒரு வினோதமான கேள்வியை கேட்கிறேன்... தொடக்கநிலை! பார்!

எதற்கு சமம் இரண்டாவதுமுன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரா? கேள்வி இல்லை! நாங்கள் நேரடியாக எழுதுகிறோம்:

b 2 = b 1 ·q

மூன்றாவது உறுப்பினர் பற்றி என்ன? ஒரு பிரச்சனையும் இல்லை! நாம் இரண்டாவது காலத்தை பெருக்குகிறோம் மீண்டும் ஒருமுறைகே.

இது போல்:

B 3 = b 2 q

இரண்டாவது சொல், b 1 ·q க்கு சமம் என்பதை இப்போது நினைவில் கொள்வோம், மேலும் இந்த வெளிப்பாட்டை நமது சமத்துவத்தில் மாற்றுவோம்:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பி 3 = b 1 ·q 2

இப்போது ரஷ்ய மொழியில் எங்கள் பதிவைப் படிப்போம்: மூன்றாவதுகாலமானது q in ஆல் பெருக்கப்படும் முதல் சொல்லுக்கு சமம் இரண்டாவதுபட்டங்கள். புரிகிறதா? இன்னும் இல்லையா? சரி, இன்னும் ஒரு படி.

நான்காவது பதவிக்காலம் என்றால் என்ன? எல்லாம் ஒன்றே! பெருக்கவும் முந்தைய(அதாவது மூன்றாவது கால) q இல்:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

மொத்தம்:

பி 4 = b 1 ·q 3

மீண்டும் நாங்கள் ரஷ்ய மொழியில் மொழிபெயர்க்கிறோம்: நான்காவதுகாலமானது q in ஆல் பெருக்கப்படும் முதல் சொல்லுக்கு சமம் மூன்றாவதுபட்டங்கள்.

மற்றும் பல. எனவே எப்படி? மாதிரி பிடித்து விட்டீர்களா? ஆம்! எந்த எண்ணைக் கொண்ட எந்தச் சொல்லுக்கும், ஒரே மாதிரியான காரணிகளின் எண்ணிக்கை q (அதாவது வகுப்பின் அளவு) எப்போதும் இருக்கும் விரும்பிய உறுப்பினரின் எண்ணிக்கையை விட ஒன்று குறைவுn.

எனவே, எங்கள் சூத்திரம் விருப்பங்கள் இல்லாமல் இருக்கும்:

b n =பி 1 · qn -1

அவ்வளவுதான்.)

சரி, பிரச்சினைகளை தீர்ப்போம், நான் நினைக்கிறேன்?)

சூத்திர சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதுnவடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல்.

வழக்கம் போல், சூத்திரத்தின் நேரடி பயன்பாட்டுடன் தொடங்குவோம். இங்கே ஒரு பொதுவான பிரச்சனை:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில், அது அறியப்படுகிறது பி 1 = 512 மற்றும் கே = -1/2. முன்னேற்றத்தின் பத்தாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

நிச்சயமாக, இந்த சிக்கலை எந்த சூத்திரமும் இல்லாமல் தீர்க்க முடியும். நேரடியாக வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அர்த்தத்தில். ஆனால் nth term என்ற சூத்திரத்துடன் நாம் சூடுபிடிக்க வேண்டும், இல்லையா? இங்கே நாம் வெப்பமடைகிறோம்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எங்கள் தரவு பின்வருமாறு.

முதல் உறுப்பினர் அறியப்பட்டார். இது 512 ஆகும்.

பி 1 = 512.

முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் அறியப்படுகிறது: கே = -1/2.

உறுப்பினர் n இன் எண்ணிக்கை என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. கேள்வி இல்லை! பத்தாவது தவணையில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோமா? எனவே பொது சூத்திரத்தில் nக்கு பதிலாக பத்தை மாற்றுகிறோம்.

எண்கணிதத்தை கவனமாக கணக்கிடுங்கள்:

பதில்:-1

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முன்னேற்றத்தின் பத்தாவது காலமானது மைனஸாக மாறியது. ஆச்சர்யப்பட ஒன்றுமில்லை: எங்கள் முன்னேற்றப் பிரிவு -1/2, அதாவது. எதிர்மறைஎண். நமது முன்னேற்றத்தின் அறிகுறிகள் மாறி மாறி வருகின்றன என்பதை இது சொல்கிறது, ஆம்.)

இங்கே எல்லாம் எளிது. இங்கே இதே போன்ற சிக்கல் உள்ளது, ஆனால் கணக்கீடுகளின் அடிப்படையில் இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில், இது அறியப்படுகிறது:

பி 1 = 3

முன்னேற்றத்தின் பதின்மூன்றாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

எல்லாம் ஒன்றுதான், இந்த முறை மட்டுமே முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் பகுத்தறிவற்ற. இரண்டின் வேர். சரி, பரவாயில்லை. சூத்திரம் ஒரு உலகளாவிய விஷயம், அது எந்த எண்களையும் சமாளிக்க முடியும்.

நாங்கள் சூத்திரத்தின்படி நேரடியாக வேலை செய்கிறோம்:

ஃபார்முலா, நிச்சயமாக, அது போலவே வேலை செய்தது, ஆனால்... சிலர் இங்குதான் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள். ரூட் மூலம் அடுத்து என்ன செய்வது? பன்னிரண்டாம் சக்திக்கு ஒரு வேரை உயர்த்துவது எப்படி?

எப்படி-எப்படி... எந்த சூத்திரமும், நிச்சயமாக, ஒரு நல்ல விஷயம் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், ஆனால் முந்தைய கணிதம் பற்றிய அறிவு ரத்து செய்யப்படவில்லை! எப்படி கட்டுவது? ஆம், டிகிரிகளின் பண்புகளை நினைவில் வையுங்கள்! ரூட்டை மாற்றுவோம் பகுதியளவு பட்டம்மற்றும் - ஒரு பட்டப்படிப்பை உயர்த்துவதற்கான சூத்திரத்தின் படி.

இது போல்:

பதில்: 192

அவ்வளவுதான்.)

Nth term formulaவை நேரடியாகப் பயன்படுத்துவதில் உள்ள முக்கிய சிரமம் என்ன? ஆம்! முக்கிய சிரமம் பட்டங்களுடன் வேலை!அதாவது, எதிர்மறை எண்கள், பின்னங்கள், வேர்கள் மற்றும் ஒத்த கட்டுமானங்களை அதிகாரங்களுக்கு உயர்த்துதல். எனவே இதில் சிக்கல் உள்ளவர்கள், பட்டங்களையும் அவற்றின் பண்புகளையும் மீண்டும் செய்யவும்! இல்லையெனில், நீங்கள் இந்த தலைப்பை மெதுவாக்குவீர்கள், ஆம்...)

இப்போது வழக்கமான தேடல் சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம் சூத்திரத்தின் கூறுகளில் ஒன்று, மற்ற அனைத்தும் வழங்கப்பட்டால். இத்தகைய சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, செய்முறை சீரானது மற்றும் மிகவும் எளிமையானது - சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்nவது உறுப்பினர் பொதுவான பார்வை! நிபந்தனைக்கு அடுத்த நோட்புக்கில் சரி. பின்னர், நிபந்தனைகளில் இருந்து, நமக்கு என்ன கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, என்ன காணவில்லை என்பதைக் கண்டுபிடிக்கிறோம். மேலும் சூத்திரத்திலிருந்து விரும்பிய மதிப்பை வெளிப்படுத்துகிறோம். அனைத்து!

உதாரணமாக, அத்தகைய பாதிப்பில்லாத பிரச்சனை.

வகுத்தல் 3 உடன் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது சொல் 567. இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்லைக் கண்டறியவும்.

சிக்கலான எதுவும் இல்லை. நாங்கள் எழுத்துப்பிழைக்கு ஏற்ப நேரடியாக வேலை செய்கிறோம்.

nth termக்கான சூத்திரத்தை எழுதுவோம்!

b n = பி 1 · qn -1

நமக்கு என்ன கொடுக்கப்பட்டது? முதலில், முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: கே = 3.

மேலும், எங்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது ஐந்தாவது உறுப்பினர்: பி 5 = 567 .

அனைத்து? இல்லை! எங்களுக்கும் எண் n கொடுக்கப்பட்டுள்ளது! இது ஐந்து: n = 5.

பதிவில் உள்ளதை நீங்கள் ஏற்கனவே புரிந்து கொண்டிருப்பீர்கள் என்று நம்புகிறேன் பி 5 = 567 இரண்டு அளவுருக்கள் ஒரே நேரத்தில் மறைக்கப்பட்டுள்ளன - இது ஐந்தாவது சொல் (567) மற்றும் அதன் எண் (5). நான் ஏற்கனவே இதேபோன்ற பாடத்தில் இதைப் பற்றி பேசினேன், ஆனால் இங்கேயும் குறிப்பிடுவது மதிப்பு என்று நினைக்கிறேன்.)

இப்போது நாங்கள் எங்கள் தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:

567 = பி 1 · 3 5-1

நாங்கள் எண்கணிதத்தைச் செய்கிறோம், எளிமைப்படுத்துகிறோம் மற்றும் ஒரு எளிய நேரியல் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

81 பி 1 = 567

நாங்கள் தீர்க்கிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:

பி 1 = 7

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முதல் காலத்தை கண்டுபிடிப்பதில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை. ஆனால் பிரிவைத் தேடும் போது கேமற்றும் எண்கள் nஆச்சரியங்களும் இருக்கலாம். நீங்கள் அவர்களுக்கு தயாராக இருக்க வேண்டும் (ஆச்சரியங்கள்), ஆம்.)

உதாரணமாக, இந்த சிக்கல்:

நேர்மறை வகுப்பின் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது சொல் 162 ஆகும், மேலும் இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் 2. முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

இந்த முறை எங்களுக்கு முதல் மற்றும் ஐந்தாவது விதிமுறைகள் வழங்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறியும்படி கேட்கப்படுகிறோம். இதோ போகிறோம்.

நாங்கள் சூத்திரத்தை எழுதுகிறோம்nவது உறுப்பினர்!

b n = பி 1 · qn -1

எங்கள் ஆரம்ப தரவு பின்வருமாறு இருக்கும்:

பி 5 = 162

பி 1 = 2

n = 5

மதிப்பு இல்லை கே. கேள்வி இல்லை! இப்போது அதைக் கண்டுபிடிப்போம்.) நமக்குத் தெரிந்த அனைத்தையும் சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

162 = 2கே 5-1

2 கே 4 = 162

கே 4 = 81

நான்காவது பட்டத்தின் எளிய சமன்பாடு. இப்போது - கவனமாக!தீர்வின் இந்த கட்டத்தில், பல மாணவர்கள் உடனடியாக மகிழ்ச்சியுடன் (நான்காவது பட்டத்தின்) வேரைப் பிரித்தெடுத்து பதிலைப் பெறுகிறார்கள் கே=3 .

இது போல்:

q4 = 81

கே = 3

ஆனால் உண்மையில், இது ஒரு முடிக்கப்படாத பதில். இன்னும் துல்லியமாக, முழுமையற்றது. ஏன்? பதில் என்பதுதான் புள்ளி கே = -3 பொருத்தமானது: (-3) 4 என்பது 81 ஆகவும் இருக்கும்!

இதற்கு காரணம் சக்தி சமன்பாடு x n = அஎப்போதும் உண்டு இரண்டு எதிர் வேர்கள்மணிக்கு கூடn . கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்:

இரண்டும் பொருத்தமானவை.

உதாரணமாக, தீர்மானிக்கும் போது (அதாவது. இரண்டாவதுடிகிரி)

x 2 = 9

சில காரணங்களால் நீங்கள் தோற்றத்தில் ஆச்சரியப்படுவதில்லை இரண்டுவேர்கள் x=±3? இங்கேயும் அப்படித்தான். மற்றும் பிறவற்றுடன் கூடபட்டம் (நான்காவது, ஆறாவது, பத்தாவது, முதலியன) ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். என்ற தலைப்பில் விவரங்கள் உள்ளன

எனவே, சரியான தீர்வு:

கே 4 = 81

கே= ±3

சரி, நாங்கள் அறிகுறிகளை வரிசைப்படுத்திவிட்டோம். எது சரியானது - கூட்டல் அல்லது கழித்தல்? சரி, பிரச்சனை அறிக்கையைத் தேடி மீண்டும் படிக்கலாம் கூடுதல் தகவல்.நிச்சயமாக, அது இல்லாமல் இருக்கலாம், ஆனால் இந்த சிக்கலில் அத்தகைய தகவல்கள் கிடைக்கும்.ஒரு முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டதாக எங்கள் நிலை எளிய உரையில் கூறுகிறது நேர்மறை வகுத்தல்.

எனவே பதில் வெளிப்படையானது:

கே = 3

இங்கே எல்லாம் எளிது. பிரச்சனை அறிக்கை இப்படி இருந்தால் என்ன நடக்கும் என்று நீங்கள் நினைக்கிறீர்கள்:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது சொல் 162, இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் 2. முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

என்ன வித்தியாசம்? ஆம்! நிலையில் ஒன்றுமில்லைவகுப்பின் அடையாளம் பற்றி எதுவும் குறிப்பிடப்படவில்லை. நேரடியாகவோ அல்லது மறைமுகமாகவோ இல்லை. இங்கே பிரச்சனை ஏற்கனவே இருக்கும் இரண்டு தீர்வுகள்!

கே = 3 மற்றும் கே = -3

ஆம், ஆம்! பிளஸ் மற்றும் மைனஸ் இரண்டும்.) கணித ரீதியாக, இந்த உண்மை இருக்கிறது என்று அர்த்தம் இரண்டு முன்னேற்றங்கள், இது பிரச்சனையின் நிலைமைகளுக்கு பொருந்தும். மேலும் ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த வகுப்பைக் கொண்டுள்ளது. வேடிக்கைக்காக, பயிற்சி மற்றும் ஒவ்வொன்றின் முதல் ஐந்து சொற்களையும் எழுதுங்கள்.)

இப்போது உறுப்பினரின் எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க பயிற்சி செய்வோம். இந்த பிரச்சனை மிகவும் கடினமானது, ஆம். ஆனால் மேலும் ஆக்கப்பூர்வமானது.)

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டது:

3; 6; 12; 24; …

இந்த முன்னேற்றத்தில் உள்ள எண் 768 என்ன?

முதல் படி இன்னும் அப்படியே உள்ளது: சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்nவது உறுப்பினர்!

b n = பி 1 · qn -1

இப்போது, ​​வழக்கம் போல், நமக்குத் தெரிந்த தரவை அதில் மாற்றுகிறோம். ம்... வேலை செய்யாது! எங்கே முதல் பதம், எங்கே வகுத்தல், மற்றவை எல்லாம் எங்கே?!

எங்கே, எங்கே... நமக்கு ஏன் கண்கள் தேவை? உங்கள் கண் இமைகளை மடக்குகிறீர்களா? இந்த முறை முன்னேற்றம் நேரடியாக வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது தொடர்கள்.முதல் உறுப்பினரைப் பார்க்க முடியுமா? பார்க்கிறோம்! இது மூன்று மடங்கு (b 1 = 3). வகுத்தல் பற்றி என்ன? நாங்கள் அதை இன்னும் பார்க்கவில்லை, ஆனால் எண்ணுவது மிகவும் எளிதானது. நிச்சயமாக, நீங்கள் புரிந்து கொண்டால் ...

எனவே எண்ணுகிறோம். ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அர்த்தத்தின்படி நேரடியாக: அதன் விதிமுறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றை (முதல் தவிர) எடுத்து முந்தையதைக் கொண்டு வகுக்கிறோம்.

குறைந்தபட்சம் இப்படி:

கே = 24/12 = 2

நமக்கு வேறு என்ன தெரியும்? 768 க்கு சமமான இந்த முன்னேற்றத்தின் சில காலங்களையும் நாங்கள் அறிவோம். சில எண்ணின் கீழ் n:

b n = 768

அவரது எண் எங்களுக்குத் தெரியாது, ஆனால் அவரைக் கண்டுபிடிப்பதே எங்கள் பணி.) எனவே நாங்கள் தேடுகிறோம். சூத்திரத்தில் மாற்றுவதற்கு தேவையான அனைத்து தரவையும் நாங்கள் ஏற்கனவே பதிவிறக்கம் செய்துள்ளோம். உங்களை அறியாமல்.)

இங்கே நாம் மாற்றுகிறோம்:

768 = 3 2n -1

அடிப்படையானவற்றைச் செய்வோம் - இரு பக்கங்களையும் மூன்றால் வகுத்து, வழக்கமான வடிவத்தில் சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுங்கள்: தெரியாதது இடதுபுறத்தில் உள்ளது, தெரிந்தது வலதுபுறத்தில் உள்ளது.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

2 n -1 = 256

இது ஒரு சுவாரஸ்யமான சமன்பாடு. நாம் "n" கண்டுபிடிக்க வேண்டும். என்ன, அசாதாரணமா? ஆம், நான் வாதிடவில்லை. உண்மையில், இது மிகவும் எளிமையான விஷயம். தெரியாததால் இது அழைக்கப்படுகிறது (இந்த விஷயத்தில் இது எண் n) செலவுகள் காட்டிபட்டங்கள்.

வடிவியல் முன்னேற்றம் (இது ஒன்பதாம் வகுப்பு) பற்றி கற்கும் கட்டத்தில், அதிவேக சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அவர்கள் உங்களுக்குக் கற்பிப்பதில்லை, ஆம்... இது உயர்நிலைப் பள்ளிக்கான தலைப்பு. ஆனால் பயமாக எதுவும் இல்லை. அத்தகைய சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்று உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டாலும், நம்முடையதைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம் n, எளிய தர்க்கம் மற்றும் பொது அறிவு மூலம் வழிநடத்தப்படுகிறது.

பேச ஆரம்பிப்போம். இடதுபுறத்தில் ஒரு டியூஸ் உள்ளது ஓரளவிற்கு. இந்த பட்டம் என்னவென்று எங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை, ஆனால் அது பயமாக இல்லை. ஆனால் இந்தப் பட்டம் 256க்கு சமம் என்பது நமக்குத் தெரியும்! இரண்டு நமக்கு எந்த அளவிற்கு 256 கொடுக்கிறது என்பதை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம். உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? ஆம்! IN எட்டாவதுபட்டங்கள்!

256 = 2 8

டிகிரிகளை அங்கீகரிப்பதில் உங்களுக்கு நினைவில் இல்லை அல்லது சிக்கல்கள் இருந்தால், அது பரவாயில்லை: நாங்கள் இரண்டு, கன சதுரம், நான்காவது, ஐந்தாவது மற்றும் பல. தேர்வு, உண்மையில், ஆனால் இந்த மட்டத்தில் நன்றாக வேலை செய்யும்.

ஒரு வழி அல்லது வேறு, நாம் பெறுகிறோம்:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

எனவே 768 ஆகும் ஒன்பதாவதுஎங்கள் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர். அவ்வளவுதான், பிரச்சனை தீர்ந்தது.)

பதில்: 9

என்ன? போரடிக்கிறதா? அடிப்படை விஷயங்களில் சோர்வாக இருக்கிறதா? ஒப்புக்கொள்கிறேன். நானும். அடுத்த கட்டத்திற்கு செல்வோம்.)

மிகவும் சிக்கலான பணிகள்.

இப்போது மேலும் சவாலான பிரச்சனைகளை தீர்ப்போம். மிக அருமையாக இல்லை, ஆனால் பதிலைப் பெறுவதற்கு கொஞ்சம் உழைக்க வேண்டியவை.

உதாரணமாக, இது ஒன்று.

நான்காவது சொல் -24 ஆகவும், ஏழாவது சொல் 192 ஆகவும் இருந்தால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் இரண்டாவது சொல்லைக் கண்டறியவும்.

இது வகையின் உன்னதமானது. முன்னேற்றத்தின் சில இரண்டு வெவ்வேறு சொற்கள் அறியப்படுகின்றன, ஆனால் மற்றொரு சொல் கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும். மேலும், அனைத்து உறுப்பினர்களும் அண்டை நாடுகளாக இல்லை. முதலில் குழப்பமாக இருக்கிறது, ஆம்...

இது போன்ற பிரச்சனைகளை தீர்க்க நாம் இரண்டு முறைகளை பரிசீலிப்போம். முதல் முறை உலகளாவியது. இயற்கணிதம். எந்த மூலத் தரவுகளுடனும் குறைபாடற்ற முறையில் செயல்படுகிறது. அதனால்தான் நாங்கள் அதைத் தொடங்குவோம்.)

ஒவ்வொரு சொல்லையும் சூத்திரத்தின்படி விவரிக்கிறோம் nவது உறுப்பினர்!

எல்லாமே ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தைப் போலவே உள்ளது. இந்த நேரத்தில் மட்டுமே நாங்கள் வேலை செய்கிறோம் மற்றொன்றுபொது சூத்திரம். அவ்வளவுதான்.) ஆனால் சாராம்சம் ஒன்றே: நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம் ஒவ்வொன்றாக n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தில் எங்கள் ஆரம்ப தரவை மாற்றுகிறோம். ஒவ்வொரு உறுப்பினருக்கும் - அவர்களின் சொந்த.

நான்காவது முறையாக நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

பி 4 = பி 1 · கே 3

-24 = பி 1 · கே 3

சாப்பிடு. ஒரு சமன்பாடு தயாராக உள்ளது.

ஏழாவது முறையாக நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

பி 7 = பி 1 · கே 6

192 = பி 1 · கே 6

மொத்தத்தில், எங்களுக்கு இரண்டு சமன்பாடுகள் கிடைத்தன அதே முன்னேற்றம் .

அவர்களிடமிருந்து ஒரு அமைப்பை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

அதன் அச்சுறுத்தும் தோற்றம் இருந்தபோதிலும், அமைப்பு மிகவும் எளிமையானது. மிகவும் தெளிவான தீர்வு எளிய மாற்று ஆகும். வெளிப்படுத்துகிறோம் பி 1 மேல் சமன்பாட்டில் இருந்து கீழே அதை மாற்றவும்:

கீழே உள்ள சமன்பாட்டுடன் சிறிது பிட்ல் செய்த பிறகு (அதிகாரங்களைக் குறைத்து -24 ஆல் வகுத்தால்), நாம் பெறுகிறோம்:

கே 3 = -8

மூலம், இதே சமன்பாட்டை எளிமையான முறையில் அடையலாம்! எது? இப்போது நான் உங்களுக்கு மற்றொரு ரகசியத்தைக் காண்பிப்பேன், ஆனால் அத்தகைய அமைப்புகளைத் தீர்க்க மிகவும் அழகான, சக்திவாய்ந்த மற்றும் பயனுள்ள வழி. அத்தகைய அமைப்புகள், இதில் சமன்பாடுகள் அடங்கும் மட்டுமே வேலை செய்கிறது.குறைந்தபட்சம் ஒன்றில். அழைக்கப்பட்டது பிரிவு முறைஒரு சமன்பாடு மற்றொன்று.

எனவே, நமக்கு முன் ஒரு அமைப்பு உள்ளது:

இடதுபுறத்தில் இரண்டு சமன்பாடுகளிலும் - வேலை, மற்றும் வலதுபுறத்தில் ஒரு எண் மட்டுமே உள்ளது. இது மிகவும் நல்ல அறிகுறி.) அதை எடுத்துக்கொண்டு... கீழ் சமன்பாட்டை மேல் ஒன்றால் வகுத்து, சொல்லுங்கள்! என்ன அர்த்தம் ஒரு சமன்பாட்டை மற்றொன்றால் வகுக்கலாமா?மிகவும் எளிமையானது. எடுக்கலாம் இடது பக்கம்ஒரு சமன்பாடு (கீழ்) மற்றும் பிரிக்கவும்அவள் மீது இடது பக்கம்மற்றொரு சமன்பாடு (மேல்). வலது பக்கம் ஒத்திருக்கிறது: வலது பக்கம்ஒரு சமன்பாடு பிரிக்கவும்அன்று வலது பக்கம்மற்றொன்று.

முழு பிரிவு செயல்முறை இதுபோல் தெரிகிறது:

இப்போது, ​​குறைக்கக்கூடிய அனைத்தையும் குறைத்து, நாம் பெறுகிறோம்:

கே 3 = -8

இந்த முறையில் என்ன நல்லது? ஆம், ஏனென்றால் அத்தகைய பிரிவின் செயல்பாட்டில் மோசமான மற்றும் சிரமமான அனைத்தையும் பாதுகாப்பாக குறைக்க முடியும் மற்றும் முற்றிலும் பாதிப்பில்லாத சமன்பாடு உள்ளது! இதனாலேயே இது மிகவும் முக்கியமானது பெருக்கல் மட்டுமேஅமைப்பின் சமன்பாடுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றில். பெருக்கல் இல்லை - குறைக்க எதுவும் இல்லை, ஆம்...

பொதுவாக, இந்த முறை (தீர்க்கும் அமைப்புகளின் பல அற்பமற்ற முறைகள் போன்றவை) ஒரு தனி பாடத்திற்கு கூட தகுதியானது. நான் நிச்சயமாக அதை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்பேன். சில நாள்…

இருப்பினும், நீங்கள் கணினியை எவ்வாறு சரியாக தீர்க்கிறீர்கள் என்பது முக்கியமல்ல, எப்படியிருந்தாலும், இப்போது நாம் சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும்:

கே 3 = -8

எந்த பிரச்சனையும் இல்லை: க்யூப் ரூட்டை பிரித்தெடுக்கவும், நீங்கள் முடித்துவிட்டீர்கள்!

பிரித்தெடுக்கும் போது இங்கே ப்ளஸ்/மைனஸ் போட வேண்டிய அவசியம் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். எங்கள் வேர் ஒற்றைப்படை (மூன்றாவது) டிகிரி ஆகும். பதில் ஒன்றுதான், ஆம்.)

எனவே, முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. மைனஸ் இரண்டு. அருமை! செயல்முறை நடந்து கொண்டிருக்கிறது.)

முதல் காலத்திற்கு (மேல் சமன்பாட்டிலிருந்து சொல்லுங்கள்) நாம் பெறுகிறோம்:

அருமை! நமக்கு முதல் பதம் தெரியும், வகுத்தல் தெரியும். இப்போது முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் கண்டுபிடிக்க எங்களுக்கு வாய்ப்பு உள்ளது. இரண்டாவது உட்பட.)

இரண்டாவது காலத்திற்கு எல்லாம் மிகவும் எளிது:

பி 2 = பி 1 · கே= 3·(-2) = -6

பதில்:-6

எனவே, சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான இயற்கணித முறையை நாங்கள் உடைத்துள்ளோம். சிரமமா? உண்மையில் இல்லை, நான் ஒப்புக்கொள்கிறேன். நீண்ட மற்றும் கடினமான? ஆம், நிச்சயமாக. ஆனால் சில நேரங்களில் நீங்கள் வேலையின் அளவை கணிசமாகக் குறைக்கலாம். இதற்காக உள்ளது வரைகலை முறை.நல்ல வயதானவர் மற்றும் எங்களுக்கு நன்கு தெரிந்தவர்.)

ஒரு சிக்கலை வரைவோம்!

ஆம்! அது சரிதான். மீண்டும் எண் அச்சில் நமது முன்னேற்றத்தை சித்தரிக்கிறோம். ஒரு ஆட்சியாளரைப் பின்பற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை, விதிமுறைகளுக்கு இடையில் சம இடைவெளிகளைப் பராமரிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை (இது, முன்னேற்றம் வடிவியல் என்பதால், ஒரே மாதிரியாக இருக்காது!), ஆனால் வெறுமனே திட்டவட்டமாகநம் வரிசையை வரைவோம்.

எனக்கு இப்படி கிடைத்தது:

இப்போது படத்தைப் பார்த்து அதைக் கண்டுபிடிக்கவும். எத்தனை ஒத்த காரணிகள் "q" பிரிக்கப்படுகின்றன நான்காவதுமற்றும் ஏழாவதுஉறுப்பினர்களா? அது சரி, மூன்று!

எனவே, எழுதுவதற்கு எங்களுக்கு முழு உரிமை உண்டு:

-24·கே 3 = 192

இங்கிருந்து இப்போது q ஐக் கண்டுபிடிப்பது எளிது:

கே 3 = -8

கே = -2

அது நன்றாக இருக்கிறது, ஏற்கனவே எங்கள் பாக்கெட்டில் வகுத்தல் உள்ளது. இப்போது மீண்டும் படத்தைப் பார்ப்போம்: இதுபோன்ற எத்தனை பிரிவுகள் இடையில் அமர்ந்துள்ளன இரண்டாவதுமற்றும் நான்காவதுஉறுப்பினர்களா? இரண்டு! எனவே, இந்த விதிமுறைகளுக்கு இடையிலான தொடர்பைப் பதிவு செய்ய, நாங்கள் வகுப்பினை உருவாக்குவோம் சதுரமானது.

எனவே நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

பி 2 · கே 2 = -24 , எங்கே பி 2 = -24/ கே 2

நாங்கள் கண்டறிந்த வகுப்பினை b 2க்கான வெளிப்பாட்டில் மாற்றியமைத்து, எண்ணி பெறவும்:

பதில்:-6

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் கணினி மூலம் விட மிகவும் எளிமையான மற்றும் வேகமாக உள்ளது. மேலும், இங்கே நாம் முதல் காலத்தை எண்ண வேண்டிய அவசியமில்லை! மொத்தத்தில்.)

இங்கே அத்தகைய எளிய மற்றும் தெளிவான வழி - ஒளி. ஆனால் இது ஒரு தீவிர குறைபாட்டையும் கொண்டுள்ளது. நீங்கள் அதை யூகித்தீர்களா? ஆம்! முன்னேற்றத்தின் மிகக் குறுகிய பகுதிகளுக்கு மட்டுமே இது நல்லது. எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள உறுப்பினர்களுக்கு இடையிலான தூரம் மிக அதிகமாக இல்லாத இடங்களில். ஆனால் மற்ற எல்லா நிகழ்வுகளிலும் ஏற்கனவே ஒரு படத்தை வரைய கடினமாக உள்ளது, ஆம் ... பின்னர் நாம் சிக்கலை பகுப்பாய்வு ரீதியாக, கணினி மூலம் தீர்க்கிறோம்.) மற்றும் அமைப்புகள் உலகளாவிய விஷயங்கள். அவர்கள் எந்த எண்களையும் கையாள முடியும்.

மற்றொரு காவிய சவால்:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் இரண்டாவது காலமானது முதல் காலத்தை விட 10 அதிகம், மற்றும் மூன்றாவது காலமானது இரண்டாவது விட 30 அதிகமாகும். முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

என்ன, குளிர்? இல்லவே இல்லை! எல்லாம் ஒன்றுதான். மீண்டும் நாம் பிரச்சனை அறிக்கையை தூய இயற்கணிதத்திற்கு மொழிபெயர்க்கிறோம்.

1) ஒவ்வொரு சொல்லையும் சூத்திரத்தின்படி விவரிக்கிறோம் nவது உறுப்பினர்!

இரண்டாவது கால: b 2 = b 1 q

மூன்றாவது கால: b 3 = b 1 q 2

2) பிரச்சனை அறிக்கையிலிருந்து உறுப்பினர்களுக்கு இடையிலான தொடர்பை நாங்கள் எழுதுகிறோம்.

நிபந்தனையைப் படித்தோம்: "வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் இரண்டாவது சொல் முதல் காலத்தை விட 10 அதிகம்."நிறுத்து, இது மதிப்புமிக்கது!

எனவே நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

பி 2 = பி 1 +10

இந்த சொற்றொடரை நாங்கள் தூய கணிதத்தில் மொழிபெயர்க்கிறோம்:

பி 3 = பி 2 +30

எங்களுக்கு இரண்டு சமன்பாடுகள் கிடைத்துள்ளன. அவற்றை ஒரு அமைப்பாக இணைப்போம்:

அமைப்பு எளிமையானதாகத் தெரிகிறது. ஆனால் எழுத்துக்களுக்கு பல வேறுபட்ட குறியீடுகள் உள்ளன. இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்களுக்குப் பதிலாக அவற்றின் வெளிப்பாடுகளை முதல் சொல் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் மாற்றுவோம்! நாம் அவற்றை வரைந்தது வீண்தானா?

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ஆனால் அத்தகைய அமைப்பு இனி ஒரு பரிசு அல்ல, ஆம்... இதை எப்படி தீர்ப்பது? துரதிர்ஷ்டவசமாக, சிக்கலைத் தீர்க்க உலகளாவிய ரகசிய எழுத்துப்பிழை எதுவும் இல்லை நேரியல் அல்லாதகணிதத்தில் அமைப்புகள் இல்லை, இருக்க முடியாது. இது அற்புதம்! ஆனால் அத்தகைய கடினமான கொட்டை உடைக்க முயற்சிக்கும்போது உங்கள் மனதில் வர வேண்டிய முதல் விஷயம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஆனால் அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்று ஒரு அழகான வடிவத்தில் குறைக்கப்படவில்லை, எடுத்துக்காட்டாக, மாறிகளில் ஒன்றை மற்றொன்றின் அடிப்படையில் எளிதாக வெளிப்படுத்த அனுமதிக்கிறது?

அதை கண்டுபிடிக்கலாம். கணினியின் முதல் சமன்பாடு இரண்டாவது விட எளிமையானது. நாம் அவரை சித்திரவதை செய்வோம்.) முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து முயற்சி செய்ய வேண்டாமா ஏதோ ஒன்றுமூலம் வெளிப்படுத்துங்கள் ஏதாவது?நாங்கள் வகுப்பினைக் கண்டுபிடிக்க விரும்புவதால் கே, பின்னர் வெளிப்படுத்துவது நமக்கு மிகவும் சாதகமாக இருக்கும் பி 1 மூலம் கே.

எனவே நல்ல பழையவற்றைப் பயன்படுத்தி முதல் சமன்பாட்டுடன் இந்த நடைமுறையைச் செய்ய முயற்சிப்போம்:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

அனைத்து! எனவே வெளிப்படுத்தினோம் தேவையற்றநமக்கு மாறி (b 1) மூலம் கொடுக்கவும் தேவையான(கே) ஆம், இது எங்களுக்கு கிடைத்த எளிமையான வெளிப்பாடு அல்ல. சில வகையான பின்னம் ... ஆனால் எங்கள் அமைப்பு ஒழுக்கமான அளவில் உள்ளது, ஆம்.)

வழக்கமான. என்ன செய்வது என்று எங்களுக்குத் தெரியும்.

நாங்கள் ODZ என்று எழுதுகிறோம் (அவசியம்!) :

q ≠ 1

எல்லாவற்றையும் வகுப்பினால் (q-1) பெருக்கி அனைத்து பின்னங்களையும் ரத்து செய்கிறோம்:

10 கே 2 = 10 கே + 30(கே-1)

நாங்கள் எல்லாவற்றையும் பத்தால் பிரித்து, அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, இடதுபுறத்தில் இருந்து எல்லாவற்றையும் சேகரிக்கிறோம்:

கே 2 – 4 கே + 3 = 0

நாங்கள் முடிவைத் தீர்த்து இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்:

கே 1 = 1

கே 2 = 3

ஒரே ஒரு இறுதி பதில் மட்டுமே உள்ளது: கே = 3 .

பதில்: 3

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் n வது கால சூத்திரம் சம்பந்தப்பட்ட பெரும்பாலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பாதை எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்: படிக்கவும் கவனத்துடன்சிக்கலின் நிலை மற்றும் n வது வார்த்தையின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அனைத்து பயனுள்ள தகவல்களையும் தூய இயற்கணிதத்தில் மொழிபெயர்க்கிறோம்.

அதாவது:

1) சூத்திரத்தின்படி சிக்கலில் கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு சொல்லையும் தனித்தனியாக விவரிக்கிறோம்nவது உறுப்பினர்.

2) பிரச்சனையின் நிலைமைகளிலிருந்து உறுப்பினர்களுக்கு இடையேயான தொடர்பை கணித வடிவத்திற்கு மொழிபெயர்க்கிறோம். நாம் ஒரு சமன்பாடு அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம்.

3) இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம், முன்னேற்றத்தின் அறியப்படாத அளவுருக்களைக் கண்டறியவும்.

4) தெளிவற்ற பதில் ஏற்பட்டால், கூடுதல் தகவலைத் தேடுவதற்கான பணி நிலைமைகளை கவனமாகப் படிக்கிறோம் (ஏதேனும் இருந்தால்). DL இன் விதிமுறைகளுடன் (ஏதேனும் இருந்தால்) பெறப்பட்ட பதிலையும் சரிபார்க்கிறோம்.

இப்போது வடிவியல் முன்னேற்ற சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் பெரும்பாலும் பிழைகளுக்கு வழிவகுக்கும் முக்கிய சிக்கல்களை பட்டியலிடலாம்.

1. அடிப்படை எண்கணிதம். பின்னங்கள் மற்றும் எதிர்மறை எண்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள்.

2. இந்த மூன்று புள்ளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றில் சிக்கல்கள் இருந்தால், நீங்கள் தவிர்க்க முடியாமல் இந்த தலைப்பில் தவறுகளைச் செய்வீர்கள். துரதிர்ஷ்டவசமாக... சோம்பேறித்தனமாக இருக்காதீர்கள், மேலே குறிப்பிட்டதை மீண்டும் சொல்லுங்கள். மற்றும் இணைப்புகளைப் பின்பற்றவும் - செல்லவும். சில நேரங்களில் அது உதவுகிறது.)

மாற்றியமைக்கப்பட்ட மற்றும் மீண்டும் வரும் சூத்திரங்கள்.

இப்போது நிலைமையின் குறைவான பரிச்சயமான விளக்கக்காட்சியுடன் வழக்கமான தேர்வு சிக்கல்களைப் பார்ப்போம். ஆம், ஆம், நீங்கள் யூகித்தீர்கள்! இது மாற்றியமைக்கப்பட்டதுமற்றும் மீண்டும் மீண்டும் n வது கால சூத்திரங்கள். இதுபோன்ற சூத்திரங்களை நாங்கள் ஏற்கனவே சந்தித்து வேலை செய்துள்ளோம் எண்கணித முன்னேற்றம். இங்கே எல்லாம் ஒத்திருக்கிறது. சாராம்சம் ஒன்றே.

எடுத்துக்காட்டாக, OGE இலிருந்து இந்த சிக்கல்:

வடிவியல் முன்னேற்றம் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது b n = 3 2 n . அதன் முதல் மற்றும் நான்காவது சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

இந்த முறை முன்னேற்றம் எங்களுக்கு வழக்கம் போல் இல்லை. ஒருவித சூத்திரத்தின் வடிவத்தில். அதனால் என்ன? இந்த சூத்திரம் ஒரு சூத்திரமும்nவது உறுப்பினர்! Nth termக்கான சூத்திரத்தை பொதுவான வடிவத்திலும், எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தியும், மற்றும் அதற்கும் எழுதலாம் என்பது உங்களுக்கும் எனக்கும் தெரியும் குறிப்பிட்ட முன்னேற்றம். உடன் குறிப்பிட்டமுதல் கால மற்றும் வகுத்தல்.

எங்கள் விஷயத்தில், பின்வரும் அளவுருக்கள் கொண்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கான பொதுவான சொல் சூத்திரத்தை நாங்கள் வழங்குகிறோம்:

பி 1 = 6

கே = 2

நாம் சரிபார்க்கலாமா?) nth termக்கான சூத்திரத்தை பொது வடிவத்தில் எழுதி, அதை மாற்றுவோம் பி 1 மற்றும் கே. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

b n = பி 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

காரணியாக்கம் மற்றும் சக்திகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி நாங்கள் எளிமைப்படுத்துகிறோம், மேலும் நாங்கள் பெறுகிறோம்:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் நியாயமானது. ஆனால் எங்கள் குறிக்கோள் ஒரு குறிப்பிட்ட சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றலை நிரூபிப்பது அல்ல. இது ஒரு பாடல் வரிவடிவம். முற்றிலும் புரிந்துகொள்வதற்காக.) நிபந்தனையில் நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்பதே எங்கள் குறிக்கோள். உங்களுக்குப் புரிகிறதா?) எனவே நாங்கள் மாற்றியமைக்கப்பட்ட சூத்திரத்துடன் நேரடியாக வேலை செய்கிறோம்.

நாங்கள் முதல் காலத்தை எண்ணுகிறோம். மாற்றுவோம் n=1 பொதுவான சூத்திரத்தில்:

பி 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

இப்படி. மூலம், நான் சோம்பேறியாக இருக்க மாட்டேன், முதல் காலத்தின் கணக்கீட்டில் ஒரு பொதுவான தவறுக்கு மீண்டும் உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்கிறேன். சூத்திரத்தைப் பார்க்க வேண்டாம் b n= 3 2n, முதல் தவணை ஒரு மூன்று என்று உடனே விரைந்து எழுதுங்கள்! இது ஒரு பெரிய தவறு, ஆம்...)

தொடரலாம். மாற்றுவோம் n=4 மற்றும் நான்காவது காலத்தை எண்ணுங்கள்:

பி 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

இறுதியாக, தேவையான தொகையை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

பி 1 + பி 4 = 6+48 = 54

பதில்: 54

இன்னொரு பிரச்சனை.

வடிவியல் முன்னேற்றம் நிபந்தனைகளால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

பி 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

முன்னேற்றத்தின் நான்காவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

இங்கே முன்னேற்றம் ஒரு தொடர்ச்சியான சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. சரி, சரி.) இந்த சூத்திரத்துடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது - எங்களுக்கும் தெரியும்.

எனவே நாங்கள் செயல்படுகிறோம். படி படி.

1) இரண்டை எண்ணுங்கள் தொடர்ச்சியாகமுன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்.

முதல் பதவிக்காலம் ஏற்கனவே எங்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது. மைனஸ் ஏழு. ஆனால் மறுநிகழ்வு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அடுத்த, இரண்டாவது காலத்தை எளிதாகக் கணக்கிடலாம். அதன் செயல்பாட்டின் கொள்கையை நீங்கள் புரிந்து கொண்டால், நிச்சயமாக.)

எனவே நாம் இரண்டாவது காலத்தை எண்ணுகிறோம் நன்கு அறியப்பட்ட முதல் படி:

பி 2 = 3 பி 1 = 3·(-7) = -21

2) முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கணக்கிடவும்

பிரச்சனையும் இல்லை. நேராக, பிரிப்போம் இரண்டாவதுடிக் முதலில்.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

கே = -21/(-7) = 3

3) சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்nவது உறுப்பினர் வழக்கமான வடிவத்தில் மற்றும் தேவையான உறுப்பினரைக் கணக்கிடுங்கள்.

எனவே, முதல் காலத்தை நாங்கள் அறிவோம், மேலும் வகுப்பையும் அறிவோம். எனவே நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

b n= -7·3n -1

பி 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

பதில்: -189

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கான அத்தகைய சூத்திரங்களுடன் பணிபுரிவது அடிப்படையில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்திலிருந்து வேறுபட்டதல்ல. இந்த சூத்திரங்களின் பொதுவான சாராம்சத்தையும் பொருளையும் புரிந்துகொள்வது மட்டுமே முக்கியம். சரி, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அர்த்தத்தையும் நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், ஆம்.) பின்னர் முட்டாள்தனமான தவறுகள் இருக்காது.

சரி, நாமே முடிவு செய்வோம்?)

வெப்பமயமாதலுக்கான மிக அடிப்படையான பணிகள்:

1. இதில் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது பி 1 = 243, ஏ கே = -2/3. முன்னேற்றத்தின் ஆறாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

2. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது b n = 5∙2 n +1 . இந்த முன்னேற்றத்தின் கடைசி மூன்று இலக்க காலத்தின் எண்ணைக் கண்டறியவும்.

3. வடிவியல் முன்னேற்றம் நிபந்தனைகளால் வழங்கப்படுகிறது:

பி 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது:

4. வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டது:

பி 1 =2048; கே =-0,5

ஆறாவது எதிர்மறை சொல் எதற்கு சமம்?

எது மிகவும் கடினமாகத் தெரிகிறது? இல்லவே இல்லை. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அர்த்தத்தைப் பற்றிய தர்க்கமும் புரிதலும் உங்களைக் காப்பாற்றும். சரி, நிச்சயமாக nth termக்கான சூத்திரம்.

5. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் மூன்றாவது சொல் -14, மற்றும் எட்டாவது சொல் 112. முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

6. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது சொற்களின் கூட்டுத்தொகை 75, மற்றும் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்களின் கூட்டுத்தொகை 150. முன்னேற்றத்தின் ஆறாவது காலத்தைக் கண்டறியவும்.

பதில்கள் (சீரற்ற நிலையில்): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

கிட்டத்தட்ட அவ்வளவுதான். நாம் செய்ய வேண்டியது எல்லாம் எண்ணக் கற்றுக்கொள்வதுதான் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைஆம் கண்டுபிடி எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் குறைகிறதுமற்றும் அதன் அளவு. மிகவும் சுவாரஸ்யமான மற்றும் அசாதாரண விஷயம், மூலம்! இதைப் பற்றி அடுத்த பாடங்களில்.)

ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் என்றால் n உண்மையான எண்ணைப் பொருத்து ஒரு n , பிறகு கொடுக்கப்பட்டதாகச் சொல்கிறார்கள் எண் வரிசை :

அ 1 , அ 2 , அ 3 , . . . , ஒரு n , . . . .

எனவே, எண் வரிசை என்பது இயற்கை வாதத்தின் செயல்பாடாகும்.

எண் அ 1 அழைக்கப்பட்டது வரிசையின் முதல் காலம் , எண் அ 2 — வரிசையின் இரண்டாவது காலம் , எண் அ 3 — மூன்றாவது மற்றும் பல. எண் ஒரு n அழைக்கப்பட்டது வரிசையின் nவது உறுப்பினர் , மற்றும் ஒரு இயற்கை எண் n — அவரது எண் .

அருகிலுள்ள இரண்டு உறுப்பினர்களிடமிருந்து ஒரு n மற்றும் ஒரு n +1 வரிசை உறுப்பினர் ஒரு n +1 அழைக்கப்பட்டது தொடர்ந்து (உறவினர் ஒரு n ), ஏ ஒரு n — முந்தைய (உறவினர் ஒரு n +1 ).

ஒரு வரிசையை வரையறுக்க, நீங்கள் எந்த எண்ணிலும் வரிசையின் உறுப்பினரைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும் முறையைக் குறிப்பிட வேண்டும்.

பெரும்பாலும் வரிசையைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகிறது n வது கால சூத்திரங்கள் , அதாவது, ஒரு வரிசையின் உறுப்பினரை அதன் எண்ணால் தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கும் சூத்திரம்.

உதாரணமாக,

நேர்மறை ஒற்றைப்படை எண்களின் வரிசையை சூத்திரத்தால் கொடுக்கலாம்

ஒரு n= 2n- 1,

மற்றும் மாற்று வரிசை 1 மற்றும் -1 - சூத்திரம்

பி n = (-1)n +1 . ◄

வரிசையை தீர்மானிக்க முடியும் மீண்டும் மீண்டும் சூத்திரம், அதாவது, சிலவற்றில் தொடங்கி, முந்தைய (ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) உறுப்பினர்கள் மூலம் வரிசையின் எந்த உறுப்பினரையும் வெளிப்படுத்தும் சூத்திரம்.

உதாரணமாக,

என்றால் அ 1 = 1 , ஏ ஒரு n +1 = ஒரு n + 5

அ 1 = 1,

அ 2 = அ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

அ 3 = அ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

அ 4 = அ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

அ 5 = அ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

என்றால் ஒரு 1= 1, ஒரு 2 = 1, ஒரு n +2 = ஒரு n + ஒரு n +1 , எண் வரிசையின் முதல் ஏழு சொற்கள் பின்வருமாறு நிறுவப்பட்டுள்ளன:

ஒரு 1 = 1,

ஒரு 2 = 1,

ஒரு 3 = ஒரு 1 + ஒரு 2 = 1 + 1 = 2,

ஒரு 4 = ஒரு 2 + ஒரு 3 = 1 + 2 = 3,

ஒரு 5 = ஒரு 3 + ஒரு 4 = 2 + 3 = 5,

அ 6 = அ 4 + அ 5 = 3 + 5 = 8,

அ 7 = அ 5 + அ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

தொடர்களாக இருக்கலாம் இறுதி மற்றும் முடிவில்லாத .

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது இறுதி , அது வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால். வரிசை அழைக்கப்படுகிறது முடிவில்லாத , அது எண்ணற்ற உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால்.

உதாரணமாக,

இரண்டு இலக்க இயற்கை எண்களின் வரிசை:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

இறுதி.

பகா எண்களின் வரிசை:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

முடிவில்லாத. ◄

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது அதிகரித்து வருகிறது , அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தையதை விட அதிகமாக இருந்தால்.

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது குறைகிறது , அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தையதை விட குறைவாக இருந்தால்.

உதாரணமாக,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - அதிகரிக்கும் வரிசை;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - வரிசையை குறைத்தல். ◄

எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது தனிமங்கள் குறையாத வரிசை, அல்லது, மாறாக, அதிகரிக்காது, அழைக்கப்படுகிறது சலிப்பான வரிசை .

மோனோடோனிக் வரிசைகள், குறிப்பாக, வரிசைகளை அதிகரிக்கின்றன மற்றும் வரிசைகளைக் குறைக்கின்றன.

எண்கணித முன்னேற்றம்

எண்கணித முன்னேற்றம் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல் தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்குச் சமமாக இருக்கும், அதில் அதே எண் சேர்க்கப்படும்.

அ 1 , அ 2 , அ 3 , . . . , ஒரு n, . . .

ஏதேனும் இருந்தால் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும் இயற்கை எண் n நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

ஒரு n +1 = ஒரு n + ஈ,

எங்கே ஈ - ஒரு குறிப்பிட்ட எண்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அடுத்தடுத்த மற்றும் முந்தைய விதிமுறைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு எப்போதும் நிலையானது:

ஒரு 2 - அ 1 = ஒரு 3 - அ 2 = . . . = ஒரு n +1 - ஒரு n = ஈ.

எண் ஈ அழைக்கப்பட்டது எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை வரையறுக்க, அதன் முதல் சொல் மற்றும் வேறுபாட்டைக் குறிப்பிடுவது போதுமானது.

உதாரணமாக,

என்றால் அ 1 = 3, ஈ = 4 , பின்னர் வரிசையின் முதல் ஐந்து சொற்களை பின்வருமாறு காணலாம்:

ஒரு 1 =3,

ஒரு 2 = ஒரு 1 + ஈ = 3 + 4 = 7,

ஒரு 3 = ஒரு 2 + ஈ= 7 + 4 = 11,

ஒரு 4 = ஒரு 3 + ஈ= 11 + 4 = 15,

அ 5 = அ 4 + ஈ= 15 + 4 = 19. ◄

முதல் காலத்துடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு அ 1 மற்றும் வேறுபாடு ஈ அவளை n

ஒரு n = ஒரு 1 + (n- 1)ஈ.

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முப்பதாவது காலத்தைக் கண்டறியவும்

1, 4, 7, 10, . . .

ஒரு 1 =1, ஈ = 3,

ஒரு 30 = ஒரு 1 + (30 - 1)ஈ = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ஒரு n-1 = ஒரு 1 + (n- 2)d,

ஒரு n= ஒரு 1 + (n- 1)d,

ஒரு n +1 = அ 1 + nd,

பின்னர் வெளிப்படையாக

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்.

a, b மற்றும் c எண்கள் சில எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான சொற்களாகும், அவற்றில் ஒன்று மற்ற இரண்டின் எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே.

உதாரணமாக,

ஒரு n = 2n- 7 , ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம்.

மேலே உள்ள கூற்றைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

ஒரு n = 2n- 7,

ஒரு n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

ஒரு n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

எனவே,

◄

என்பதை கவனிக்கவும் n ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல் மூலம் மட்டும் கண்டுபிடிக்க முடியாது அ 1 , ஆனால் எந்த முந்தைய ஒரு கே

ஒரு n = ஒரு கே + (n- கே)ஈ.

உதாரணமாக,

க்கு அ 5 எழுதி வைக்க முடியும்

ஒரு 5 = ஒரு 1 + 4ஈ,

ஒரு 5 = ஒரு 2 + 3ஈ,

ஒரு 5 = ஒரு 3 + 2ஈ,

ஒரு 5 = ஒரு 4 + ஈ. ◄

ஒரு n = ஒரு என்-கே + kd,

ஒரு n = ஒரு n+k - kd,

பின்னர் வெளிப்படையாக

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் பாதி தொகைக்கு சமமான இடைவெளியில் சமமாக இருக்கும்.

கூடுதலாக, எந்த எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தில்

1) அ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (அ 9 + அ 11 )/2;

2) 28 = ஒரு 10 = ஒரு 3 + 7ஈ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ஒரு 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ஏனெனில்

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

எஸ் என்= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ஒரு n,

முதலில் n எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் தீவிர சொற்களின் பாதி கூட்டுத்தொகை மற்றும் சொற்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்:

இங்கிருந்து, குறிப்பாக, நீங்கள் விதிமுறைகளை சுருக்க வேண்டும் என்றால் அது பின்வருமாறு

ஒரு கே, ஒரு கே +1 , . . . , ஒரு n,

முந்தைய சூத்திரம் அதன் கட்டமைப்பைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது:

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தில் 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

எஸ் 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = எஸ் 10 - எஸ் 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

எண்கணித முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டால், அளவுகள் அ 1 , ஒரு n, ஈ, nமற்றும்எஸ் n இரண்டு சூத்திரங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது:

எனவே, இந்த மூன்று அளவுகளின் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால், மற்ற இரண்டு அளவுகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் இணைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு மோனோடோனிக் வரிசை. இந்த வழக்கில்:

• என்றால் ஈ > 0 , பின்னர் அது அதிகரித்து வருகிறது;
• என்றால் ஈ < 0 , பின்னர் அது குறைகிறது;
• என்றால் ஈ = 0 , பின்னர் வரிசை நிலையானதாக இருக்கும்.

வடிவியல் முன்னேற்றம்

வடிவியல் முன்னேற்றம் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது இருந்து தொடங்கி, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படும் முந்தைய ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு வரிசை.

பி 1 , பி 2 , பி 3 , . . . , b n, . . .

எந்த இயற்கை எண்ணாக இருந்தாலும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும் n நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

b n +1 = b n · கே,

எங்கே கே ≠ 0 - ஒரு குறிப்பிட்ட எண்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடுத்த காலத்தின் விகிதம் முந்தைய ஒரு நிலையான எண்ணாகும்:

பி 2 / பி 1 = பி 3 / பி 2 = . . . = b n +1 / b n = கே.

எண் கே அழைக்கப்பட்டது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்.

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை வரையறுக்க, அதன் முதல் சொல் மற்றும் வகுப்பினைக் குறிப்பிடுவது போதுமானது.

உதாரணமாக,

என்றால் பி 1 = 1, கே = -3 , பின்னர் வரிசையின் முதல் ஐந்து சொற்களை பின்வருமாறு காணலாம்:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · கே = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · கே= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · கே= 9 · (-3) = -27,

பி 5 = பி 4 · கே= -27 · (-3) = 81. ◄

பி 1 மற்றும் வகுத்தல் கே அவளை n சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வது சொல்லைக் காணலாம்:

b n = பி 1 · qn -1 .

உதாரணமாக,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஏழாவது காலத்தைக் கண்டறியவும் 1, 2, 4, . . .

பி 1 = 1, கே = 2,

பி 7 = பி 1 · கே 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = பி 1 · qn,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களின் வடிவியல் சராசரிக்கு (விகிதாசார) சமமாக இருக்கும்.

உரையாடலும் உண்மையாக இருப்பதால், பின்வரும் கூற்று உள்ளது:

a, b மற்றும் c எண்கள் சில வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான சொற்களாகும், அவற்றில் ஒன்றின் வர்க்கம் மற்ற இரண்டின் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது எண்களில் ஒன்று மற்ற இரண்டின் வடிவியல் சராசரியாக இருக்கும்.

உதாரணமாக,

சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட வரிசை என்பதை நிரூபிப்போம் b n= -3 2 n , ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம். மேலே உள்ள கூற்றைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

எனவே,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

இது விரும்பிய அறிக்கையை நிரூபிக்கிறது. ◄

என்பதை கவனிக்கவும் n ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல் மூலம் மட்டும் காணலாம் பி 1 , ஆனால் எந்த முந்தைய உறுப்பினரும் பி கே , இதற்கு ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்தினால் போதும்

b n = பி கே · qn - கே.

உதாரணமாக,

க்கு பி 5 எழுதி வைக்க முடியும்

b 5 = b 1 · கே 4 ,

b 5 = b 2 · கே 3,

b 5 = b 3 · கே 2,

b 5 = b 4 · கே. ◄

b n = பி கே · qn - கே,

b n = b n - கே · கே கே,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n 2 = b n - கே· b n + கே

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்தச் சொல்லின் சதுரமும், இரண்டாவதாகத் தொடங்கி, இந்த முன்னேற்றத்தின் சம இடைவெளியில் உள்ள சொற்களின் பெருக்கத்திற்குச் சமம்.

கூடுதலாக, எந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும் சமத்துவம் உண்மை:

b m· b n= பி கே· பி எல்,

மீ+ n= கே+ எல்.

உதாரணமாக,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில்

1) பி 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = பி 5 · பி 7 ;

2) 1024 = பி 11 = பி 6 · கே 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) பி 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = பி 4 · பி 8 ;

4) பி 2 · பி 7 = பி 4 · பி 5 , ஏனெனில்

பி 2 · பி 7 = 2 · 64 = 128,

பி 4 · பி 5 = 8 · 16 = 128. ◄

எஸ் என்= பி 1 + பி 2 + பி 3 + . . . + b n

முதலில் n வகுப்புடன் கூடிய வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் கே ≠ 0 சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

மற்றும் எப்போது கே = 1 - சூத்திரத்தின் படி

எஸ் என்= nb 1

நீங்கள் விதிமுறைகளை தொகுக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க

பி கே, பி கே +1 , . . . , b n,

பின்னர் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

உதாரணமாக,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

எஸ் 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = எஸ் 10 - எஸ் 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டால், அளவுகள் பி 1 , b n, கே, nமற்றும் எஸ் என் இரண்டு சூத்திரங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது:

எனவே, இந்த அளவுகளில் ஏதேனும் மூன்றின் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால், மற்ற இரண்டு அளவுகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக இணைக்கப்படுகின்றன.

முதல் காலத்துடன் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு பி 1 மற்றும் வகுத்தல் கே பின்வரும் நடக்கும் மோனோடோனிசிட்டியின் பண்புகள் :

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் முன்னேற்றம் அதிகரிக்கிறது:

பி 1 > 0 மற்றும் கே> 1;

பி 1 < 0 மற்றும் 0 < கே< 1;

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் முன்னேற்றம் குறைகிறது:

பி 1 > 0 மற்றும் 0 < கே< 1;

பி 1 < 0 மற்றும் கே> 1.

என்றால் கே< 0 , பின்னர் வடிவியல் முன்னேற்றம் மாறி மாறி வருகிறது: ஒற்றைப்படை எண்களைக் கொண்ட அதன் சொற்கள் அதன் முதல் காலத்தின் அதே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இரட்டை எண்களைக் கொண்ட சொற்கள் எதிர் அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு மாற்று வடிவியல் முன்னேற்றம் மோனோடோனிக் அல்ல என்பது தெளிவாகிறது.

முதல் தயாரிப்பு n வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

உதாரணமாக,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைகிறது

வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைகிறது எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் வகுத்தல் மாடுலஸ் குறைவாக உள்ளது 1 , அதாவது

|கே| < 1 .

எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம் குறையும் வரிசையாக இருக்காது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இது சந்தர்ப்பத்திற்கு பொருந்தும்

1 < கே< 0 .

அத்தகைய வகுப்பினருடன், வரிசை மாறி மாறி வருகிறது. உதாரணமாக,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை முதல் தொகையின் கூட்டு வரம்பு இல்லாமல் அணுகும் எண்ணுக்கு பெயரிடவும் n எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் n . இந்த எண் எப்போதும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

உதாரணமாக,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்களுக்கு இடையிலான உறவு

எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்கள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இரண்டு உதாரணங்களை மட்டும் பார்ப்போம்.

அ 1 , அ 2 , அ 3 , . . . ஈ , அது

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . பி டி .

உதாரணமாக,

1, 3, 5, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் 2 மற்றும்

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - வகுப்பினருடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் 7 2 . ◄

பி 1 , பி 2 , பி 3 , . . . - வகுப்பினருடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் கே , அது

பதிவு a b 1, பதிவு a b 2, பதிவு a b 3, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் பதிவு aகே .

உதாரணமாக,

2, 12, 72, . . . - வகுப்பினருடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் 6 மற்றும்

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் lg 6 . ◄

வடிவியல் முன்னேற்றம் ஆகும் புதிய தோற்றம்நாம் தெரிந்துகொள்ள இருக்கும் எண் வரிசை. வெற்றிகரமான டேட்டிங்கிற்கு, குறைந்தபட்சம் தெரிந்துகொள்வதும் புரிந்துகொள்வதும் வலிக்காது. பின்னர் வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது.)

வடிவியல் முன்னேற்றம் என்றால் என்ன? வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கருத்து.

நாங்கள் வழக்கம் போல், அடிப்படைகளுடன் சுற்றுப்பயணத்தைத் தொடங்குகிறோம். எண்களின் முடிக்கப்படாத வரிசையை எழுதுகிறேன்:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

பேட்டர்னைக் கண்டுபிடித்து அடுத்து எந்த எண்கள் வரும் என்று சொல்ல முடியுமா? மிளகு தெளிவாக உள்ளது, பின்னர் 100,000, 1,000,000 மற்றும் பல எண்கள் பின்பற்றப்படும். அதிக மன முயற்சி இல்லாமல், எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது, இல்லையா?)

சரி. மற்றொரு உதாரணம். நான் இந்த வரிசையை எழுதுகிறேன்:

1, 2, 4, 8, 16, …

16 என்ற எண்ணையும் பெயரையும் அடுத்து எந்த எண்கள் வரும் என்று சொல்ல முடியுமா? எட்டாவதுவரிசை உறுப்பினர்? அது 128 என்ற எண்ணாக இருக்கும் என்று நீங்கள் கண்டறிந்தால், மிகவும் நல்லது. எனவே, புரிந்து கொள்வதில் பாதி போர் உள்ளது உணர்வுமற்றும் முக்கிய புள்ளிகள்வடிவியல் முன்னேற்றம் ஏற்கனவே செய்யப்பட்டுள்ளது. நீங்கள் மேலும் வளரலாம்.)

இப்போது நாம் உணர்வுகளிலிருந்து கடுமையான கணிதத்திற்கு மீண்டும் நகர்கிறோம்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய புள்ளிகள்.

முக்கிய புள்ளி #1

வடிவியல் முன்னேற்றம் ஆகும் எண்களின் வரிசை.முன்னேற்றமும் அப்படித்தான். ஆடம்பரமாக எதுவும் இல்லை. இந்த வரிசை மட்டுமே ஏற்பாடு செய்யப்பட்டுள்ளது வித்தியாசமாக.எனவே, இயற்கையாகவே, அதற்கு வேறு பெயர் உண்டு, ஆம்...

முக்கிய புள்ளி #2

இரண்டாவது முக்கிய புள்ளியுடன், கேள்வி தந்திரமானதாக இருக்கும். சற்று பின்னோக்கிச் சென்று எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முக்கியப் பண்புகளை நினைவில் கொள்வோம். இதோ: ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் முந்தையதை விட வேறுபட்டவர்கள் அதே அளவு.

ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றத்திற்கு இதே போன்ற முக்கிய சொத்தை உருவாக்க முடியுமா? கொஞ்சம் யோசியுங்கள்... கொடுக்கப்பட்டுள்ள உதாரணங்களை கூர்ந்து கவனியுங்கள். நீங்கள் அதை யூகித்தீர்களா? ஆம்! வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் (ஏதேனும்!) அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினர்களும் முந்தையவற்றிலிருந்து வேறுபடுகிறார்கள் அதே எண்ணிக்கையில்.எப்போதும்!

முதல் எடுத்துக்காட்டில், இந்த எண் பத்து. வரிசையின் எந்த உறுப்பினரை நீங்கள் எடுத்தாலும், அது முந்தையதை விட அதிகமாக இருக்கும் பத்து முறை.

இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில் இது இரண்டு: ஒவ்வொரு காலமும் முந்தையதை விட பெரியது இரண்டு முறை.

இந்த முக்கிய புள்ளிதான் வடிவியல் முன்னேற்றம் எண்கணித முன்னேற்றத்திலிருந்து வேறுபடுகிறது. ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில், ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் பெறப்படுகிறது சேர்ப்பதன் மூலம்முந்தைய காலத்தின் அதே மதிப்பு. மற்றும் இங்கே - பெருக்கல்முந்தைய கால அளவு அதே அளவு. அதுதான் முழு வித்தியாசம்.)

முக்கிய புள்ளி #3

இந்த முக்கிய புள்ளி எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு முற்றிலும் ஒத்ததாக உள்ளது. அதாவது: ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் அதன் இடத்தில் நிற்கிறது.எல்லாமே எண்கணித முன்னேற்றத்தில் உள்ளதைப் போலவே உள்ளது மற்றும் கருத்துகள் தேவையற்றவை என்று நான் நினைக்கிறேன். முதல் பதம் உள்ளது, நூறாவது முதல் உள்ளது, முதலியன. குறைந்தது இரண்டு சொற்களை மாற்றுவோம் - முறை (மற்றும் அதனுடன் வடிவியல் முன்னேற்றம்) மறைந்துவிடும். எஞ்சியிருப்பது எந்த தர்க்கமும் இல்லாத எண்களின் வரிசை மட்டுமே.

அவ்வளவுதான். வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முழுப் புள்ளியும் இதுதான்.

விதிமுறைகள் மற்றும் பதவிகள்.

ஆனால் இப்போது, ​​அர்த்தம் புரிந்துவிட்டது மற்றும் முக்கிய புள்ளிகள்வடிவியல் முன்னேற்றம், நாம் கோட்பாட்டிற்கு செல்லலாம். இல்லையெனில், அர்த்தம் புரியாமல் ஒரு கோட்பாடு என்ன, இல்லையா?

வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எவ்வாறு குறிப்பது?

வடிவியல் முன்னேற்றம் எவ்வாறு பொதுவான வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது? பிரச்சனை இல்லை! முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் ஒரு கடிதமாக எழுதப்பட்டுள்ளது. எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு மட்டுமே, பொதுவாக எழுத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது "ஏ", வடிவியல் - கடிதம் "b". உறுப்பினர் எண், வழக்கம் போல், குறிக்கப்படுகிறது கீழே வலதுபுறத்தில் குறியீட்டு. காற்புள்ளிகள் அல்லது அரைப்புள்ளிகளால் பிரிக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களை நாங்கள் பட்டியலிடுகிறோம்.

இது போல்:

b 1,பி 2 , பி 3 , பி 4 , பி 5 , பி 6 , …

சுருக்கமாக, இந்த முன்னேற்றம் இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: (b n) .

அல்லது இது போன்ற, வரையறுக்கப்பட்ட முன்னேற்றங்களுக்கு:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, ..., b 29, b 30.

அல்லது, சுருக்கமாக:

(b n), n=30 .

உண்மையில், அதுதான் அனைத்து பதவி. எல்லாம் ஒன்றுதான், கடிதம் மட்டுமே வேறுபட்டது, ஆம்.) இப்போது நாம் நேரடியாக வரையறைக்கு செல்கிறோம்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறை.

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதில் முதல் சொல் பூஜ்ஜியமற்றது, மேலும் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் அதே பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண்ணால் பெருக்கப்படும் முந்தைய சொல்லுக்கு சமம்.

அதுதான் முழு வரையறை. பெரும்பாலான சொற்கள் மற்றும் சொற்றொடர்கள் உங்களுக்கு தெளிவாகவும் நன்கு தெரிந்ததாகவும் இருக்கும். நிச்சயமாக, "உங்கள் விரல்களில்" மற்றும் பொதுவாக வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அர்த்தத்தை நீங்கள் புரிந்து கொண்டால். ஆனால் நான் சிறப்பு கவனம் செலுத்த விரும்பும் சில புதிய சொற்றொடர்களும் உள்ளன.

முதலில், வார்த்தைகள்: "இதில் முதல் உறுப்பினர் பூஜ்யம் அல்லாத".

முதல் காலக்கட்டத்தில் இந்த கட்டுப்பாடு தற்செயலாக அறிமுகப்படுத்தப்படவில்லை. முதல் உறுப்பினரானால் என்ன நடக்கும் என்று நினைக்கிறீர்கள் பி 1 பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்குமா? ஒவ்வொரு காலமும் முந்தைய காலத்தை விட அதிகமாக இருந்தால் இரண்டாவது கால அளவு எதற்கு சமமாக இருக்கும்? அதே எண்ணிக்கையில்?மூன்று முறை சொல்லட்டுமா? பார்ப்போம்... முதல் காலத்தை (அதாவது 0) 3 ஆல் பெருக்கி... பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுங்கள்! மூன்றாவது உறுப்பினர் பற்றி என்ன? மேலும் பூஜ்யம்! மேலும் நான்காவது காலமும் பூஜ்யம்தான்! மேலும்...

பூஜ்ஜியங்களின் வரிசையான பேகல்களின் ஒரு பையைப் பெறுகிறோம்:

0, 0, 0, 0, …

நிச்சயமாக, அத்தகைய வரிசைக்கு வாழ்வதற்கான உரிமை உண்டு, ஆனால் அது நடைமுறையில் ஆர்வமில்லை. எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது. அதில் எந்த உறுப்பினரும் பூஜ்ஜியம். எத்தனை சொற்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும்... அதை வைத்து நீங்கள் என்ன சுவாரஸ்யமான விஷயங்களைச் செய்யலாம்? எதுவும் இல்லை…

பின்வரும் முக்கிய வார்த்தைகள்: "அதே பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது."

இதே எண்ணுக்கு அதன் சொந்த சிறப்புப் பெயரும் உள்ளது - வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல். பழக ஆரம்பிப்போம்.)

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்.

பேரிக்காய் ஷெல் செய்வது போல் எல்லாம் எளிது.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்பது பூஜ்ஜியமற்ற எண் (அல்லது அளவு) குறிக்கும்எத்தனை முறைமுன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் முந்தையதை விட அதிகம்.

மீண்டும், எண்கணித முன்னேற்றத்தைப் போலவே, இந்த வரையறையில் பார்க்க வேண்டிய முக்கிய சொல் வார்த்தை "மேலும்". வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் பெறப்படுகிறது என்று அர்த்தம் பெருக்கல்இந்த மிகவும் வகுப்பிற்கு முந்தைய உறுப்பினர்.

விளக்குகிறேன்.

கணக்கிட, சொல்லலாம் இரண்டாவதுடிக், எடுக்க வேண்டும் முதலில்உறுப்பினர் மற்றும் பெருக்கிஅது வகுப்பிற்கு. கணக்கீட்டிற்கு பத்தாவதுடிக், எடுக்க வேண்டும் ஒன்பதாவதுஉறுப்பினர் மற்றும் பெருக்கிஅது வகுத்தலுக்கு.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் எதுவாகவும் இருக்கலாம். முற்றிலும் யாரேனும்! முழு, பகுதியளவு, நேர்மறை, எதிர்மறை, பகுத்தறிவற்ற - எல்லாம். பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர. வரையறையில் உள்ள "பூஜ்ஜியமற்ற" வார்த்தை இதைத்தான் நமக்குச் சொல்கிறது. இந்த வார்த்தை ஏன் இங்கே தேவை - அது பற்றி பின்னர்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்பெரும்பாலும் கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது கே.

அதை எப்படி கண்டுபிடிப்பது கே? கேள்வி இல்லை! முன்னேற்றத்தின் எந்த காலத்தையும் நாம் எடுக்க வேண்டும் முந்தைய காலத்தால் வகுக்கவும். பிரிவு ஆகும் பின்னம். எனவே பெயர் - "முன்னேற்ற வகுத்தல்". வகுத்தல், இது வழக்கமாக ஒரு பின்னத்தில் அமர்ந்திருக்கும், ஆம்...) இருப்பினும், தர்க்கரீதியாக, மதிப்பு கேஅழைக்கப்பட வேண்டும் தனிப்பட்டவடிவியல் முன்னேற்றம், போன்றது வேறுபாடுஎண்கணித முன்னேற்றத்திற்காக. ஆனால் நாங்கள் அழைக்க ஒப்புக்கொண்டோம் வகுத்தல். நாங்கள் சக்கரத்தை மீண்டும் கண்டுபிடிக்க மாட்டோம்.)

எடுத்துக்காட்டாக, அளவை வரையறுப்போம் கேஇந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு:

2, 6, 18, 54, …

எல்லாம் ஆரம்பநிலை. எடுக்கலாம் ஏதேனும்வரிசை எண். நாங்கள் எதை வேண்டுமானாலும் எடுத்துக்கொள்கிறோம். முதல் ஒன்றைத் தவிர. உதாரணமாக, 18. மற்றும் வகுக்க முந்தைய எண். அதாவது 6 மணிக்கு.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

கே = 18/6 = 3

அவ்வளவுதான். இதுவே சரியான விடை. இந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு, வகுத்தல் மூன்று.

இப்போது பிரிவைக் கண்டுபிடிப்போம் கேமற்றொரு வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு. உதாரணமாக, இது:

1, -2, 4, -8, 16, …

எல்லாம் ஒன்றுதான். உறுப்பினர்களுக்கு என்ன அறிகுறிகள் இருந்தாலும், நாங்கள் இன்னும் எடுத்துக்கொள்கிறோம் ஏதேனும்வரிசையின் எண்ணிக்கை (உதாரணமாக, 16) மற்றும் வகுக்கவும் முந்தைய எண்(அதாவது -8).

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ஈ = 16/(-8) = -2

அவ்வளவுதான்.) இந்த முறை முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் எதிர்மறையாக மாறியது. மைனஸ் இரண்டு. நடக்கும்.)

இப்போது இந்த முன்னேற்றத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

மீண்டும், வரிசையில் உள்ள எண்களின் வகையைப் பொருட்படுத்தாமல் (முழு எண்கள், பின்னங்கள் கூட, எதிர்மறை, பகுத்தறிவற்றது கூட), நாம் எந்த எண்ணையும் (உதாரணமாக, 1/9) எடுத்து முந்தைய எண்ணால் (1/3) வகுக்கிறோம். பின்னங்களுடன் பணிபுரியும் விதிகளின்படி, நிச்சயமாக.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

அவ்வளவுதான்.) இங்கே வகுத்தல் பின்னமாக மாறியது: கே = 1/3.

இந்த "முன்னேற்றம்" பற்றி நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள்?

3, 3, 3, 3, 3, …

வெளிப்படையாக இங்கே கே = 1 . முறைப்படி, இதுவும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம், உடன் மட்டுமே ஒரே மாதிரியான உறுப்பினர்கள்.) ஆனால் அத்தகைய முன்னேற்றங்கள் படிப்பு மற்றும் நடைமுறை பயன்பாடுசுவாரசியமாக இல்லை. திடமான பூஜ்ஜியங்களுடன் கூடிய முன்னேற்றங்களைப் போலவே. எனவே, அவற்றை நாங்கள் கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் எதுவும் இருக்கலாம் - முழு எண், பின்னம், நேர்மறை, எதிர்மறை - எதுவும்! இது பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது. ஏன் என்று யூகிக்க முடியவில்லையா?

சரி, சிலவற்றிற்கு செல்வோம் குறிப்பிட்ட உதாரணம்பகுத்தறிவாக எடுத்துக் கொண்டால் என்ன ஆகும் என்று பார்ப்போம் கேபூஜ்யம்.) உதாரணமாக, நாம் பி 1 = 2 , ஏ கே = 0 . அப்படியென்றால் இரண்டாவது பதவிக்காலம் எதற்குச் சமமாக இருக்கும்?

நாங்கள் எண்ணுகிறோம்:

பி 2 = பி 1 · கே= 2 0 = 0

மூன்றாவது உறுப்பினர் பற்றி என்ன?

பி 3 = பி 2 · கே= 0 0 = 0

வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் வகைகள் மற்றும் நடத்தை.

எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக இருந்தது: முன்னேற்ற வேறுபாடு என்றால் ஈநேர்மறையானது, பின்னர் முன்னேற்றம் அதிகரிக்கிறது. வேறுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், முன்னேற்றம் குறைகிறது. இரண்டு விருப்பங்கள் மட்டுமே உள்ளன. மூன்றாவது விருப்பம் இல்லை.)

ஆனால் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் நடத்தையுடன், எல்லாம் மிகவும் சுவாரஸ்யமாகவும் மாறுபட்டதாகவும் இருக்கும்!)

விதிமுறைகள் இங்கே எவ்வாறு நடந்துகொண்டாலும் பரவாயில்லை: அவை அதிகரிக்கின்றன, குறைக்கின்றன, காலவரையின்றி பூஜ்ஜியத்தை நெருங்குகின்றன, மேலும் அறிகுறிகளை மாற்றுகின்றன, மாறி மாறி தங்களை "பிளஸ்" ஆகவும் பின்னர் "மைனஸ்" ஆகவும் வீசுகின்றன! இந்த பன்முகத்தன்மையில் நீங்கள் நன்றாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும், ஆம்...

அதை கண்டுபிடிக்கலாமா?) எளிமையான வழக்கிலிருந்து ஆரம்பிக்கலாம்.

வகுத்தல் நேர்மறை ( கே >0)

நேர்மறை வகுப்பின் மூலம், முதலில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் செல்லலாம் மேலும் முடிவிலி(அதாவது வரம்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கும்) மற்றும் உள்ளே செல்லலாம் கழித்தல் முடிவிலி(அதாவது, வரம்பு இல்லாமல் குறையும்). முன்னேற்றங்களின் இந்த நடத்தைக்கு நாங்கள் ஏற்கனவே பழக்கமாகிவிட்டோம்.

உதாரணமாக:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

இங்கே எல்லாம் எளிது. முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் பெறப்படுகிறது முந்தையதை விட அதிகம். மேலும், ஒவ்வொரு காலமும் மாறிவிடும் பெருக்கல்அன்று முந்தைய உறுப்பினர் நேர்மறைஎண் +2 (அதாவது கே = 2 ) அத்தகைய முன்னேற்றத்தின் நடத்தை வெளிப்படையானது: முன்னேற்றத்தின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் வரம்பில்லாமல் வளர்ந்து, விண்வெளிக்குச் செல்கிறார்கள். மேலும் முடிவிலி...

இப்போது இங்கே முன்னேற்றம்:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

இங்கேயும், முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் பெறப்படுகிறது பெருக்கல்அன்று முந்தைய உறுப்பினர் நேர்மறைஎண் +2. ஆனால் அத்தகைய முன்னேற்றத்தின் நடத்தை முற்றிலும் நேர்மாறானது: முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் பெறப்படுகிறது முந்தையதை விட குறைவாக, மற்றும் அதன் அனைத்து விதிமுறைகளும் வரம்பில்லாமல் குறைந்து, மைனஸ் முடிவிலிக்கு செல்லும்.

இப்போது சிந்திப்போம்: இந்த இரண்டு முன்னேற்றங்களுக்கும் பொதுவானது என்ன? அது சரி, வகுத்தல்! அங்கேயும் அங்கேயும் கே = +2 . நேர்மறை எண்.இரண்டு. ஆனால் நடத்தைஇந்த இரண்டு முன்னேற்றங்களும் அடிப்படையில் வேறுபட்டவை! ஏன் என்று யூகிக்க முடியவில்லையா? ஆம்! இது பற்றியது முதல் உறுப்பினர்!அவர்கள் சொல்வது போல், அவர்தான் ட்யூனை அழைக்கிறார்.) நீங்களே பாருங்கள்.

முதல் வழக்கில், முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் நேர்மறை(+1) மற்றும், ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்ட அனைத்து அடுத்தடுத்த சொற்களும் நேர்மறைவகுத்தல் கே = +2 , கூட இருக்கும் நேர்மறை.

ஆனால் இரண்டாவது வழக்கில், முதல் கால எதிர்மறை(-1) எனவே, முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும், பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன நேர்மறை கே = +2 , கூட பெறப்படும் எதிர்மறை.ஏனெனில் “மைனஸ்” முதல் “பிளஸ்” வரை எப்போதும் “மைனஸ்” கொடுக்கிறது, ஆம்.)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் போலல்லாமல், ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் சார்ந்து மட்டும் முற்றிலும் மாறுபட்டு செயல்பட முடியும் வகுப்பிலிருந்துகே, ஆனால் பொறுத்து முதல் உறுப்பினரிடமிருந்து, ஆம்.)

நினைவில் கொள்ளுங்கள்: வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் நடத்தை அதன் முதல் காலத்தால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது பி 1 மற்றும் வகுத்தல்கே .

இப்போது நாம் குறைவான பழக்கமான, ஆனால் மிகவும் சுவாரஸ்யமான நிகழ்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்யத் தொடங்குகிறோம்!

உதாரணமாக, இந்த வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம்:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

இந்த வரிசையும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமே! இந்த முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் மாறிவிடும் பெருக்கல்முந்தைய உறுப்பினர், அதே எண்ணில். இது வெறும் எண் - பகுதியளவு: கே = +1/2 . அல்லது +0,5 . மேலும் (முக்கியம்!) எண் ஒன்றுக்கும் குறைவாக:கே = 1/2<1.

இந்த வடிவியல் முன்னேற்றம் ஏன் சுவாரஸ்யமானது? அதன் உறுப்பினர்கள் எங்கு செல்கிறார்கள்? பார்ப்போம்:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

இங்கே என்ன சுவாரஸ்யமான விஷயங்களை நீங்கள் கவனிக்க முடியும்? முதலாவதாக, முன்னேற்றத்தின் அடிப்படையில் குறைவு உடனடியாக கவனிக்கப்படுகிறது: அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினர்களும் குறைவாகமுந்தையது சரியாக 2 முறை.அல்லது, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறையின்படி, ஒவ்வொரு காலமும் மேலும்முந்தைய 1/2 முறை, ஏனெனில் முன்னேற்றம் வகுத்தல் கே = 1/2 . மேலும் பெருக்குவதில் இருந்து நேர்மறை எண், ஒன்றுக்கும் குறைவானது, விளைவு பொதுவாக குறைகிறது, ஆம்...

என்ன மேலும்இந்த முன்னேற்றத்தின் நடத்தையில் பார்க்க முடியுமா? அதன் உறுப்பினர்கள் குறைகிறதா? வரம்பற்ற, மைனஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு போகிறதா? இல்லை! அவை ஒரு சிறப்பு வழியில் மறைந்துவிடும். முதலில் அவை மிக விரைவாக குறைகின்றன, பின்னர் மேலும் மேலும் மெதுவாக. மற்றும் எல்லா நேரத்திலும் இருக்கும் போது நேர்மறை. மிக மிக சிறியதாக இருந்தாலும். மேலும் அவர்கள் எதற்காக பாடுபடுகிறார்கள்? நீங்கள் யூகிக்கவில்லையா? ஆம்! அவர்கள் பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி பாடுபடுகிறார்கள்!) மேலும், கவனம் செலுத்துங்கள், நமது முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் பூஜ்ஜியத்தில் உள்ளனர் அடையவே இல்லை!வெறும் அவரை எல்லையில்லாமல் நெருங்குகிறது. இது மிகவும் முக்கியமானது.)

பின்வரும் முன்னேற்றத்தில் இதேபோன்ற நிலை ஏற்படும்:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

இங்கே பி 1 = -1 , ஏ கே = 1/2 . எல்லாம் ஒன்றுதான், இப்போதுதான் விதிமுறைகள் மறுபுறம், கீழே இருந்து பூஜ்ஜியத்தை அணுகும். எப்பொழுதும் தங்குவது எதிர்மறை.)

அத்தகைய வடிவியல் முன்னேற்றம் யாருடைய விதிமுறைகள் வரம்பு இல்லாமல் பூஜ்ஜியத்தை அணுகவும்(நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை பக்கத்திலிருந்து பொருட்படுத்தாமல்), கணிதத்தில் ஒரு சிறப்பு பெயர் உள்ளது - எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் குறைகிறது.இந்த முன்னேற்றம் மிகவும் சுவாரஸ்யமானது மற்றும் அசாதாரணமானது, அது விவாதிக்கப்படும் தனி பாடம் .)

எனவே, சாத்தியமான அனைத்தையும் நாங்கள் கருத்தில் கொண்டுள்ளோம் நேர்மறைபிரிவுகள் பெரியவை மற்றும் சிறியவை. மேலே கூறப்பட்ட காரணங்களுக்காக அலகையே ஒரு வகுப்பாக நாங்கள் கருதவில்லை (மூன்றுகளின் வரிசையுடன் உதாரணத்தை நினைவில் கொள்க...)

சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

நேர்மறைமற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை (கே>1), பின்னர் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள்:

அ) வரம்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கவும் (என்றால்பி 1 >0);

b) வரம்பு இல்லாமல் குறையும் (என்றால்பி 1 <0).

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்றால் நேர்மறை மற்றும் ஒன்றுக்கும் குறைவானது (0< கே<1), то члены прогрессии:

a) பூஜ்ஜியத்திற்கு எல்லையற்ற அருகில் மேலே(என்றால்பி 1 >0);

b) பூஜ்ஜியத்திற்கு எல்லையில்லாமல் நெருங்குகிறது கீழே இருந்து(என்றால்பி 1 <0).

இப்போது வழக்கை பரிசீலிக்க வேண்டும் எதிர்மறை வகுத்தல்.

வகுத்தல் எதிர்மறையானது ( கே <0)

ஒரு உதாரணத்திற்கு நாங்கள் வெகுதூரம் செல்ல மாட்டோம். ஏன், சரியாக, ஷாகி பாட்டி?!) எடுத்துக்காட்டாக, முன்னேற்றத்தின் முதல் வார்த்தையாக இருக்கட்டும் பி 1 = 1 , மற்றும் வகுப்பினை எடுத்துக் கொள்வோம் q = -2.

பின்வரும் வரிசையைப் பெறுகிறோம்:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

மற்றும் பல.) முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் பெறப்படுகிறது பெருக்கல்அன்று முந்தைய உறுப்பினர் எதிர்மறை எண்-2. இந்த வழக்கில், ஒற்றைப்படை இடங்களில் (முதல், மூன்றாவது, ஐந்தாவது, முதலியன) நிற்கும் அனைத்து உறுப்பினர்களும் நேர்மறை, மற்றும் சம இடங்களில் (இரண்டாவது, நான்காவது, முதலியன) - எதிர்மறை.அறிகுறிகள் கண்டிப்பாக மாறி மாறி இருக்கும். பிளஸ்-மைனஸ்-பிளஸ்-மைனஸ்... இந்த வடிவியல் முன்னேற்றம் அழைக்கப்படுகிறது - மாறி மாறி அதிகரிக்கும் அடையாளம்.

அதன் உறுப்பினர்கள் எங்கு செல்கிறார்கள்? ஆனால் எங்கும் இல்லை.) ஆம், முழுமையான மதிப்பில் (அதாவது மாடுலோ)எங்கள் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் வரம்பில்லாமல் அதிகரிக்கிறார்கள் (எனவே "அதிகரித்து" என்று பெயர்). ஆனால் அதே நேரத்தில், முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் மாறி மாறி உங்களை வெப்பத்திலும், பின்னர் குளிரிலும் தள்ளுகிறார்கள். ஒன்று "பிளஸ்" அல்லது "மைனஸ்". நமது முன்னேற்றம் அலைக்கழிக்கப்படுகிறது... மேலும், ஒவ்வொரு அடியிலும் ஏற்ற இறக்கங்களின் வீச்சு வேகமாக வளர்ந்து வருகிறது, ஆம்.) எனவே, முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் அபிலாஷைகள் எங்கோ சென்று கொண்டிருக்கின்றன. குறிப்பாகஇங்கே இல்லைகூட்டல் முடிவிலி, அல்லது கழித்தல் முடிவிலி, அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு - எங்கும் இல்லை.

இப்போது பூஜ்ஜியத்திற்கும் கழித்தல் ஒன்றிற்கும் இடையே உள்ள சில பகுதியளவு வகுப்பினைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக, அது இருக்கட்டும் பி 1 = 1 , ஏ q = -1/2.

பின்னர் நாம் முன்னேற்றத்தைப் பெறுகிறோம்:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

மீண்டும் எங்களிடம் அறிகுறிகளின் மாற்று உள்ளது! ஆனால், முந்தைய உதாரணத்தைப் போலல்லாமல், விதிமுறைகள் பூஜ்ஜியத்தை அணுகுவதற்கான தெளிவான போக்கு ஏற்கனவே உள்ளது.) இந்த முறை மட்டுமே எங்கள் விதிமுறைகள் பூஜ்ஜியத்தை மேலே அல்லது கீழே இருந்து கண்டிப்பாக அணுகவில்லை, ஆனால் மீண்டும் தயங்குகிறது. நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளை மாறி மாறி எடுத்துக்கொள்வது. ஆனால் அதே நேரத்தில் அவர்கள் தொகுதிகள்நேசத்துக்குரிய பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கி வருகின்றன.)

இந்த வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது எல்லையில்லாமல் குறையும் அடையாளம், மாறி மாறி.

இந்த இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள் ஏன் சுவாரஸ்யமானவை? மற்றும் இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் நடைபெறுகிறது என்பது உண்மை மாற்று அறிகுறிகள்!இந்த தந்திரம் எதிர்மறை வகுப்பில் உள்ள முன்னேற்றங்களுக்கு மட்டுமே பொதுவானது, ஆம்.) எனவே, சில பணிகளில் நீங்கள் மாற்று சொற்களுடன் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் கண்டால், அதன் வகுத்தல் 100% எதிர்மறையானது என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருப்பீர்கள், மேலும் நீங்கள் தவறு செய்ய மாட்டீர்கள். அடையாளத்தில்.)

மூலம், எதிர்மறை வகுப்பின் விஷயத்தில், முதல் காலத்தின் அடையாளம் முன்னேற்றத்தின் நடத்தையை பாதிக்காது. முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்தின் அடையாளத்தைப் பொருட்படுத்தாமல், எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் விதிமுறைகளின் அடையாளம் கவனிக்கப்படும். ஒரே கேள்வி, எந்தெந்த இடங்களில்(கூட அல்லது ஒற்றைப்படை) குறிப்பிட்ட அடையாளங்களுடன் உறுப்பினர்கள் இருப்பார்கள்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்றால் எதிர்மறை , பின்னர் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் அறிகுறிகள் எப்போதும் இருக்கும் மாற்று.

அதே நேரத்தில், உறுப்பினர்களே:

a) வரம்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கும்தொகுதி, என்றால்கே<-1;

b) பூஜ்ஜியத்தை எல்லையின்றி அணுகினால் -1< கே<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

அவ்வளவுதான். அனைத்து வழக்கமான வழக்குகளும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன.)

வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகளை பகுப்பாய்வு செய்யும் செயல்பாட்டில், நான் அவ்வப்போது வார்த்தைகளைப் பயன்படுத்தினேன்: "பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது", "முடிவிலியை கூட்டுகிறது", "மைனஸ் முடிவிலிக்கு முனைகிறது"... பரவாயில்லை.) பேச்சின் இந்த புள்ளிவிவரங்கள் (மற்றும் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்) ஒரு ஆரம்ப அறிமுகம் மட்டுமே நடத்தைபல்வேறு எண் வரிசைகள். வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

முன்னேற்றத்தின் நடத்தையை நாம் ஏன் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்? அவள் செல்லும் இடத்திற்கு என்ன வித்தியாசம்? பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி, முடிவிலிக்கு கூட்டல், முடிவிலி கழித்தல்... இது நம்மை என்ன செய்கிறது?

விஷயம் என்னவென்றால், ஏற்கனவே பல்கலைக்கழகத்தில், உயர் கணிதப் பாடத்தில், பலவிதமான எண் வரிசைகளுடன் பணிபுரியும் திறன் உங்களுக்குத் தேவைப்படும் (ஏதேனும், முன்னேற்றங்கள் மட்டும் அல்ல!) மற்றும் இந்த அல்லது அந்த வரிசை எவ்வாறு சரியாக கற்பனை செய்யும் திறன். நடந்துகொள்கிறது - அது வரம்பற்றதாகக் குறைகிறதா, அது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்கு (மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு அவசியமில்லை) அல்லது எதற்கும் முனையாவிட்டாலும் சரி... கணிதப் பகுப்பாய்வின் போது இந்த தலைப்புக்கு முழுப் பகுதியும் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது. - வரம்புகளின் கோட்பாடு.மற்றும் இன்னும் கொஞ்சம் குறிப்பாக - கருத்து எண் வரிசையின் வரம்பு.மிகவும் சுவாரஸ்யமான தலைப்பு! கல்லூரிக்குச் சென்று அதைக் கண்டுபிடிப்பதில் அர்த்தமுள்ளது.)

இந்தப் பகுதியிலிருந்து சில எடுத்துக்காட்டுகள் (வரம்பைக் கொண்ட தொடர்கள்) மற்றும் குறிப்பாக, எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் குறைகிறதுபள்ளியில் பழகத் தொடங்குகிறார்கள். நாங்கள் பழகி வருகிறோம்.)

மேலும், வரிசைகளின் நடத்தையை நன்கு படிக்கும் திறன் எதிர்காலத்தில் உங்களுக்கு பெரிதும் பயனளிக்கும் மற்றும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் செயல்பாடு ஆராய்ச்சி.மிகவும் மாறுபட்டது. ஆனால் செயல்பாடுகளுடன் திறமையாக வேலை செய்யும் திறன் (வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுங்கள், அவற்றை முழுமையாகப் படிக்கவும், அவற்றின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும்) ஏற்கனவே உங்கள் கணித அளவை வியத்தகு முறையில் அதிகரிக்கிறது! உங்களுக்கு ஏதேனும் சந்தேகம் இருக்கிறதா? தேவை இல்லை. என் வார்த்தைகளையும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்.)

வாழ்க்கையின் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைப் பார்ப்போமா?

நம்மைச் சுற்றியுள்ள வாழ்க்கையில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தை நாம் அடிக்கடி சந்திக்கிறோம். தெரியாமல் கூட.)

எடுத்துக்காட்டாக, எல்லா இடங்களிலும் பெரிய அளவில் நம்மைச் சூழ்ந்திருக்கும் மற்றும் நுண்ணோக்கி இல்லாமல் நம்மால் பார்க்க முடியாத பல்வேறு நுண்ணுயிரிகள் வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் துல்லியமாகப் பெருகும்.

ஒரு பாக்டீரியம் பாதியாகப் பிரித்து, சந்ததிகளை 2 பாக்டீரியாக்களாகப் பிரிப்பதன் மூலம் இனப்பெருக்கம் செய்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதையொட்டி, அவை ஒவ்வொன்றும், பெருக்கும்போது, ​​பாதியாகப் பிரிந்து, 4 பாக்டீரியாக்களின் பொதுவான சந்ததியைக் கொடுக்கும். அடுத்த தலைமுறை 8 பாக்டீரியாக்களை உற்பத்தி செய்யும், பின்னர் 16 பாக்டீரியாக்கள், 32, 64 மற்றும் பல. ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த தலைமுறையிலும், பாக்டீரியாக்களின் எண்ணிக்கை இரட்டிப்பாகிறது. வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கான ஒரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு.)

மேலும், சில பூச்சிகள் - அஃபிட்ஸ் மற்றும் ஈக்கள் - அதிவேகமாக பெருகும். மற்றும் சில நேரங்களில் முயல்களும் கூட.)

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் மற்றொரு உதாரணம், அன்றாட வாழ்க்கைக்கு நெருக்கமானது, என்று அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு வட்டி.இந்த சுவாரஸ்யமான நிகழ்வு பெரும்பாலும் வங்கி வைப்புகளில் காணப்படுகிறது மற்றும் அழைக்கப்படுகிறது வட்டியின் மூலதனமாக்கல்.அது என்ன?

நீங்களே இன்னும், நிச்சயமாக, இளமையாக இருக்கிறீர்கள். நீங்கள் பள்ளியில் படிக்கிறீர்கள், நீங்கள் வங்கிகளுக்கு செல்ல மாட்டீர்கள். ஆனால் உங்கள் பெற்றோர் ஏற்கனவே பெரியவர்கள் மற்றும் சுதந்திரமானவர்கள். அவர்கள் வேலைக்குச் செல்கிறார்கள், தினசரி ரொட்டிக்கு பணம் சம்பாதிப்பார்கள், மேலும் பணத்தின் ஒரு பகுதியை வங்கியில் வைத்து சேமிப்பார்கள்.)

துருக்கியில் ஒரு குடும்ப விடுமுறைக்காக உங்கள் அப்பா குறிப்பிட்ட தொகையைச் சேமிக்க விரும்புகிறார் என்றும், மூன்று வருட காலத்திற்கு 50,000 ரூபிள்களை ஆண்டுக்கு 10% வங்கியில் வைப்பார் என்றும் சொல்லலாம். வருடாந்திர வட்டி மூலதனத்துடன்.மேலும், இந்த முழு காலகட்டத்திலும் டெபாசிட் மூலம் எதுவும் செய்ய முடியாது. நீங்கள் வைப்புத்தொகையை நிரப்பவோ அல்லது கணக்கில் இருந்து பணத்தை எடுக்கவோ முடியாது. இந்த மூன்று ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவருக்கு எவ்வளவு லாபம்?

சரி, முதலில், ஆண்டுக்கு 10% என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். என்று அர்த்தம் ஒரு வருடத்தில்வங்கி ஆரம்ப வைப்புத் தொகையில் 10% சேர்க்கும். எதிலிருந்து? நிச்சயமாக, இருந்து ஆரம்ப வைப்புத் தொகை.

ஒரு வருடம் கழித்து கணக்கின் அளவைக் கணக்கிடுகிறோம். ஆரம்ப வைப்புத் தொகை 50,000 ரூபிள் (அதாவது 100%) என்றால், ஒரு வருடம் கழித்து கணக்கில் எவ்வளவு வட்டி இருக்கும்? அது சரி, 110%! 50,000 ரூபிள் இருந்து.

எனவே 50,000 ரூபிள்களில் 110% கணக்கிடுகிறோம்:

50000·1.1 = 55000 ரூபிள்.

ஒரு மதிப்பின் 110%ஐக் கண்டறிவது என்பது அந்த மதிப்பை 1.1 என்ற எண்ணால் பெருக்குவது என்று உங்களுக்குப் புரிந்திருக்கும் என்று நம்புகிறேன்? இது ஏன் என்று உங்களுக்கு புரியவில்லை என்றால், ஐந்தாம் மற்றும் ஆறாம் வகுப்புகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள். அதாவது - சதவீதங்கள் மற்றும் பின்னங்கள் மற்றும் பகுதிகளுக்கு இடையேயான இணைப்பு.)

இவ்வாறு, முதல் ஆண்டு அதிகரிப்பு 5,000 ரூபிள் இருக்கும்.

இரண்டு ஆண்டுகளில் கணக்கில் எவ்வளவு பணம் இருக்கும்? 60,000 ரூபிள்? துரதிருஷ்டவசமாக (அல்லது மாறாக, அதிர்ஷ்டவசமாக), எல்லாம் அவ்வளவு எளிதல்ல. வட்டி மூலதனமாக்கலின் முழு தந்திரம் என்னவென்றால், ஒவ்வொரு புதிய வட்டி திரட்டலிலும், இதே ஆர்வங்கள் ஏற்கனவே பரிசீலிக்கப்படும் புதிய தொகையிலிருந்து!யார் ஒருவரிடமிருந்து ஏற்கனவேகணக்கில் உள்ளது இந்த நேரத்தில்.முந்தைய காலத்திற்கான வட்டியானது அசல் வைப்புத் தொகையுடன் சேர்க்கப்பட்டு, புதிய வட்டியைக் கணக்கிடுவதில் பங்கேற்கிறது! அதாவது, அவை ஒட்டுமொத்த கணக்கின் முழு பகுதியாக மாறும். அல்லது பொது மூலதனம்.எனவே பெயர் - வட்டியின் மூலதனமாக்கல்.

இது பொருளாதாரத்தில் உள்ளது. மேலும் கணிதத்தில் அத்தகைய சதவீதங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன கூட்டு வட்டி.அல்லது வட்டி சதவீதம்.) அவர்களின் தந்திரம் என்னவென்றால், வரிசையாகக் கணக்கிடும்போது, ​​ஒவ்வொரு முறையும் சதவீதங்கள் கணக்கிடப்படுகின்றன புதிய மதிப்பிலிருந்து.மேலும் அசலில் இருந்து அல்ல...

எனவே, மூலம் தொகையை கணக்கிட இரண்டு ஆண்டுகள், கணக்கில் இருக்கும் தொகையில் 110% கணக்கிட வேண்டும் ஒரு வருடத்தில்.அதாவது, ஏற்கனவே 55,000 ரூபிள் இருந்து.

55,000 ரூபிள்களில் 110% கணக்கிடுகிறோம்:

55000 · 1.1 = 60500 ரூபிள்.

இதன் பொருள் இரண்டாவது வருடத்திற்கான சதவீத அதிகரிப்பு 5,500 ரூபிள், மற்றும் இரண்டு ஆண்டுகளுக்கு - 10,500 ரூபிள் ஆகும்.

மூன்று ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கணக்கில் உள்ள தொகை 60,500 ரூபிள்களில் 110% ஆக இருக்கும் என்று இப்போது நீங்கள் ஏற்கனவே யூகிக்க முடியும். அது மீண்டும் 110% முந்தைய ஆண்டிலிருந்து (கடந்த ஆண்டு)தொகைகள்.

இங்கே நாம் நினைக்கிறோம்:

60500·1.1 = 66550 ரூபிள்.

இப்போது நாம் நமது பணத் தொகைகளை ஆண்டு வாரியாக வரிசைப்படுத்துகிறோம்:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

எனவே எப்படி? ஏன் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் இல்லை? முதல் உறுப்பினர் பி 1 = 50000 , மற்றும் வகுத்தல் கே = 1,1 . ஒவ்வொரு காலமும் முந்தையதை விட கண்டிப்பாக 1.1 மடங்கு பெரியது. அனைத்தும் வரையறைக்கு இணங்க கண்டிப்பாக உள்ளன.)

உங்கள் தந்தையின் 50,000 ரூபிள் மூன்று ஆண்டுகளாக அவரது வங்கிக் கணக்கில் இருக்கும் போது எத்தனை கூடுதல் வட்டி போனஸ் "குவிப்பார்"?

நாங்கள் எண்ணுகிறோம்:

66550 - 50000 = 16550 ரூபிள்

அதிகம் இல்லை, நிச்சயமாக. ஆனால் இது ஆரம்ப வைப்புத் தொகை சிறியதாக இருந்தால். இன்னும் இருந்தால் என்ன? 50 அல்ல, 200 ஆயிரம் ரூபிள் என்று சொல்லலாமா? பின்னர் மூன்று ஆண்டுகளில் அதிகரிப்பு 66,200 ரூபிள் இருக்கும் (நீங்கள் கணிதம் செய்தால்). ஏற்கனவே மிகவும் நல்லது.) பங்களிப்பு இன்னும் அதிகமாக இருந்தால் என்ன செய்வது? அவ்வளவுதான்...

முடிவு: ஆரம்ப வைப்பு எவ்வளவு அதிகமாக இருக்கிறதோ, அவ்வளவு லாபம் தரும் வட்டி மூலதனம். அதனால்தான் வட்டி மூலதனத்துடன் கூடிய வைப்புத்தொகை நீண்ட காலத்திற்கு வங்கிகளால் வழங்கப்படுகிறது. ஐந்து வருடங்கள் என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

மேலும், இன்ஃப்ளூயன்ஸா, தட்டம்மை மற்றும் இன்னும் பயங்கரமான நோய்கள் (2000 களின் முற்பகுதியில் அதே SARS அல்லது இடைக்காலத்தில் பிளேக்) போன்ற அனைத்து வகையான மோசமான நோய்களும் அதிவேகமாக பரவ விரும்புகின்றன. எனவே தொற்றுநோய்களின் அளவு, ஆம்...) மற்றும் அனைத்துமே வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காரணமாக முழு நேர்மறை வகுத்தல் (கே>1) - மிக விரைவாக வளரும் ஒரு விஷயம்! பாக்டீரியாவின் இனப்பெருக்கத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: ஒரு பாக்டீரியாவிலிருந்து இரண்டு பெறப்படுகிறது, இரண்டு - நான்கு, நான்கு - எட்டு, மற்றும் பல ... எந்த நோய்த்தொற்றின் பரவலும் இதுவே.)

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் எளிமையான சிக்கல்கள்.

எப்பொழுதும் போல ஒரு எளிய பிரச்சனையுடன் ஆரம்பிக்கலாம். முற்றிலும் அர்த்தம் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

1. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் இரண்டாவது சொல் 6 க்கு சமம் என்பதும், வகுத்தல் -0.5 க்கு சமம் என்றும் அறியப்படுகிறது. முதல், மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது சொற்களைக் கண்டறியவும்.

எனவே எங்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது முடிவில்லாதவடிவியல் முன்னேற்றம், ஆனால் அறியப்படுகிறது இரண்டாவது பதவிக்காலம்இந்த முன்னேற்றம்:

b 2 = 6

கூடுதலாக, எங்களுக்கும் தெரியும் முன்னேற்றம் வகுத்தல்:

q = -0.5

மற்றும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் முதல், மூன்றாவதுமற்றும் நான்காவதுஇந்த முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள்.

எனவே நாங்கள் செயல்படுகிறோம். சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப வரிசையை எழுதுகிறோம். நேரடியாக பொது வடிவத்தில், இரண்டாவது சொல் ஆறு:

b 1, 6,பி 3 , பி 4 , …

இப்போது தேட ஆரம்பிக்கலாம். நாங்கள் எப்போதும் போல, எளிமையானவற்றுடன் தொடங்குகிறோம். உதாரணமாக, மூன்றாவது காலத்தை நீங்கள் கணக்கிடலாம் b 3? முடியும்! உங்களுக்கும் எனக்கும் ஏற்கனவே தெரியும் (நேரடியாக வடிவியல் முன்னேற்றம் என்ற அர்த்தத்தில்) மூன்றாவது காலகட்டம் (பி 3)இரண்டாவது விட (பி 2 ) வி "q"ஒருமுறை!

எனவே நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

b 3 =பி 2 · கே

அதற்குப் பதிலாக இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு ஆறாக மாற்றுகிறோம் b 2மற்றும் -0.5 பதிலாக கேமற்றும் நாங்கள் எண்ணுகிறோம். நாங்கள் கழிப்பையும் புறக்கணிக்க மாட்டோம், நிச்சயமாக ...

b 3 = 6·(-0.5) = -3

இப்படி. மூன்றாவது முறை எதிர்மறையாக மாறியது. ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை: எங்கள் வகுத்தல் கே- எதிர்மறை. மேலும் ஒரு கூட்டலை மைனஸால் பெருக்குவது நிச்சயமாக மைனஸாக இருக்கும்.)

இப்போது நாம் முன்னேற்றத்தின் அடுத்த, நான்காவது காலத்தை எண்ணுகிறோம்:

b 4 =பி 3 · கே

b 4 = -3·(-0.5) = 1.5

நான்காவது தவணை மீண்டும் ஒரு பிளஸுடன் உள்ளது. ஐந்தாவது முறை மீண்டும் கழித்தல், ஆறாவது பிளஸ், மற்றும் பல. அடையாளங்கள் மாறி மாறி!

எனவே, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது சொற்கள் காணப்பட்டன. இதன் விளைவாக பின்வரும் வரிசை உள்ளது:

b 1 ; 6; -3; 1.5; ...

இப்போது எஞ்சியிருப்பது முதல் வார்த்தையைக் கண்டுபிடிப்பதுதான் b 1நன்கு அறியப்பட்ட இரண்டாவது படி. இதைச் செய்ய, நாங்கள் மற்ற திசையில், இடதுபுறம் செல்கிறோம். இதன் பொருள், இந்த விஷயத்தில் நாம் முன்னேற்றத்தின் இரண்டாவது காலத்தை வகுப்பினால் பெருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் பிரிக்கவும்.

நாங்கள் பிரித்து பெறுகிறோம்:

அவ்வளவுதான்.) பிரச்சனைக்கான பதில் இப்படி இருக்கும்:

-12; 6; -3; 1,5; …

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, தீர்வு கொள்கை உள்ள அதே தான். எங்களுக்கு தெரியும் ஏதேனும்உறுப்பினர் மற்றும் வகுத்தல்வடிவியல் முன்னேற்றம் - அதில் வேறு எந்த உறுப்பினரையும் நாம் காணலாம். நாம் விரும்பும் ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்போம்.) ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், கூட்டல்/கழித்தல் என்பது பெருக்கல்/வகுப்பால் மாற்றப்படுகிறது.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்: வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பினர் மற்றும் வகுப்பினை நாம் அறிந்திருந்தால், இந்த முன்னேற்றத்தின் வேறு எந்த உறுப்பினரையும் நாம் எப்போதும் காணலாம்.

பின்வரும் சிக்கல், பாரம்பரியத்தின் படி, OGE இன் உண்மையான பதிப்பிலிருந்து வந்தது:

2.

...; 150; எக்ஸ்; 6; 1.2; ...

எனவே எப்படி? இம்முறை முதல் தவணை இல்லை, வர்ணம் இல்லை கே, எண்களின் வரிசை மட்டுமே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது... ஏற்கனவே தெரிந்த ஒன்று, இல்லையா? ஆம்! இதே போன்ற பிரச்சனை ஏற்கனவே எண்கணித முன்னேற்றத்தில் தீர்க்கப்பட்டுள்ளது!

அதனால் நாங்கள் பயப்படவில்லை. எல்லாம் ஒன்றுதான். நம் தலையை இயக்கி, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை அர்த்தத்தை நினைவில் கொள்வோம். நாங்கள் எங்கள் வரிசையை கவனமாகப் பார்த்து, மூன்று முக்கியவற்றின் (முதல் கால, வகுத்தல், கால எண்) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த அளவுருக்கள் அதில் மறைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதைக் கண்டறியவும்.

உறுப்பினர் எண்கள்? உறுப்பினர் எண்கள் இல்லை, ஆம்... ஆனால் நான்கு உள்ளன தொடர்ச்சியாகஎண்கள். இந்த கட்டத்தில் இந்த வார்த்தையின் அர்த்தம் என்ன என்பதை நான் விளக்குவதில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை.) இரண்டு உள்ளனவா அண்டை அறியப்பட்ட எண்கள்?சாப்பிடு! இவை 6 மற்றும் 1.2 ஆகும். எனவே நாம் கண்டுபிடிக்க முடியும் முன்னேற்றம் வகுத்தல்.எனவே 1.2 என்ற எண்ணை எடுத்து வகுக்கிறோம் முந்தைய எண்ணுக்கு.ஆறு வரை.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

x= 150·0.2 = 30

பதில்: x = 30 .

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் மிகவும் எளிது. முக்கிய சிரமம் கணக்கீடுகளில் மட்டுமே உள்ளது. எதிர்மறை மற்றும் பகுதியளவு பிரிவின் விஷயத்தில் இது மிகவும் கடினம். அதனால் பிரச்சனை உள்ளவர்கள் மீண்டும் எண்கணிதத்தை சொல்லுங்கள்! பின்னங்களுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது, எதிர்மறை எண்களுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது மற்றும் பல... இல்லையெனில், நீங்கள் இங்கே இரக்கமின்றி மெதுவாகச் செல்வீர்கள்.

இப்போது சிக்கலைக் கொஞ்சம் மாற்றியமைப்போம். இப்போது அது சுவாரஸ்யமாகப் போகிறது! அதிலிருந்து கடைசி எண் 1.2 ஐ அகற்றுவோம். இப்போது இந்த சிக்கலை தீர்க்கலாம்:

3. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பல தொடர்ச்சியான சொற்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன:

...; 150; எக்ஸ்; 6; ...

x என்ற எழுத்தால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட முன்னேற்றத்தின் காலத்தைக் கண்டறியவும்.

எல்லாம் ஒன்றுதான், இரண்டு மட்டுமே அருகில் உள்ளன பிரபலமானஇப்போது எங்களிடம் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் இல்லை. இதுதான் முக்கிய பிரச்சனை. ஏனெனில் அளவு கேஇரண்டு அண்டை சொற்கள் மூலம் நாம் எளிதாக தீர்மானிக்க முடியும் நம்மால் முடியாது.பணியைச் சமாளிக்க நமக்கு வாய்ப்பு உள்ளதா? நிச்சயமாக!

தெரியாத சொல்லை எழுதுவோம்" x"நேரடியாக வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொருளுக்குள்! பொது அடிப்படையில்.

ஆம், ஆம்! அறியப்படாத வகுப்போடு சரி!

ஒருபுறம், X க்கு நாம் பின்வரும் விகிதத்தை எழுதலாம்:

x= 150·கே

மறுபுறம், இதே X ஐ விவரிக்க எங்களுக்கு முழு உரிமையும் உள்ளது அடுத்ததுஉறுப்பினர், ஆறு மூலம்! ஆறால் வகுக்கவும்.

இது போல்:

x = 6/ கே

வெளிப்படையாக, இப்போது இந்த இரண்டு விகிதங்களையும் நாம் சமன் செய்யலாம். நாங்கள் வெளிப்படுத்துவதால் அதே ஒன்றுஅளவு (x), ஆனால் இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில்.

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

எல்லாவற்றையும் பெருக்குதல் கே, எளிமைப்படுத்துதல் மற்றும் சுருக்குதல், நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

q2 = 1/25

நாங்கள் தீர்க்கிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:

q = ± 1/5 = ± 0.2

அச்சச்சோ! வகுத்தல் இரட்டிப்பாக மாறியது! +0.2 மற்றும் -0.2. மற்றும் நீங்கள் எதை தேர்வு செய்ய வேண்டும்? முட்டுக்கட்டையா?

அமைதி! ஆம், பிரச்சனை உண்மையில் உள்ளது இரண்டு தீர்வுகள்!அதில் தவறில்லை. இது நடக்கும்.) உதாரணமாக, வழக்கமான சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது இரண்டு வேர்களைப் பெறும்போது நீங்கள் ஆச்சரியப்படுவதில்லையா? இங்கேயும் அதே கதைதான்.)

க்கு q = +0.2நாம் பெறுவோம்:

X = 150 0.2 = 30

மற்றும் கே = -0,2 சாப்பிடுவேன்:

X = 150·(-0.2) = -30

நாங்கள் இரட்டை பதிலைப் பெறுகிறோம்: x = 30; x = -30.

இந்த சுவாரஸ்யமான உண்மை என்ன அர்த்தம்? மற்றும் என்ன இருக்கிறது இரண்டு முன்னேற்றங்கள், பிரச்சனையின் நிலைமைகளை திருப்திப்படுத்துதல்!

இதோ அவை:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

இரண்டும் பொருத்தமானவை.) பதில்களில் நாம் ஏன் பிளவுபட்டோம் என்று நினைக்கிறீர்கள்? ஆறிற்குப் பிறகு வரும் முன்னேற்றத்தின் (1,2) ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பினர் நீக்கப்பட்டதால். மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முந்தைய (n-1)வது மற்றும் அடுத்தடுத்த (n+1) வது விதிமுறைகளை மட்டுமே அறிந்திருப்பதால், அவற்றுக்கிடையேயான nth term நிற்பதைப் பற்றி நாம் சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி எதையும் கூற முடியாது. இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன - பிளஸ் மற்றும் மைனஸ் உடன்.

ஆனால் பிரச்சனை இல்லை. ஒரு விதியாக, வடிவியல் முன்னேற்றப் பணிகளில் தெளிவற்ற பதிலைத் தரும் கூடுதல் தகவல்கள் உள்ளன. வார்த்தைகளைச் சொல்வோம்: "மாற்று முன்னேற்றம்"அல்லது "ஒரு நேர்மறை வகுப்போடு முன்னேற்றம்"மற்றும் பல... இந்த வார்த்தைகள்தான் இறுதி விடையைத் தயாரிக்கும் போது எந்தக் குறி, கூட்டல் அல்லது கழித்தல் என்பதைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் என்பதற்கான துப்பு. அத்தகைய தகவல் இல்லை என்றால், ஆம், பணி இருக்கும் இரண்டு தீர்வுகள்.)

இப்போது நாமே முடிவு செய்கிறோம்.

4. எண் 20 ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:

4 ; 6; 9; …

5. மாற்று வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடையாளம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

…; 5; x ; 45; …

கடிதத்தால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட முன்னேற்றத்தின் காலத்தைக் கண்டறியவும் x .

6. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் நான்காவது நேர்மறை சொல்லைக் கண்டறியவும்:

625; -250; 100; …

7. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் இரண்டாவது சொல் -360 க்கு சமம், அதன் ஐந்தாவது கால அளவு 23.04. இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

பதில்கள் (கோளாறில்): -15; 900; இல்லை; 2.56.

எல்லாம் செயல்பட்டால் வாழ்த்துக்கள்!

ஏதாவது பொருந்தவில்லையா? எங்காவது இரட்டை பதில் வந்ததா? பணியின் விதிமுறைகளை கவனமாகப் படியுங்கள்!

கடைசி பிரச்சனை தீரவில்லையா? அங்கு சிக்கலான எதுவும் இல்லை.) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொருளின் படி நாங்கள் நேரடியாக வேலை செய்கிறோம். சரி, நீங்கள் ஒரு படத்தை வரையலாம். இது உதவுகிறது.)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் அடிப்படை. முன்னேற்றம் குறுகியதாக இருந்தால். நீளமாக இருந்தால் என்ன? அல்லது தேவையான உறுப்பினர் எண்ணிக்கை மிகப் பெரியதா? எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், எப்படியாவது ஒரு வசதியான சூத்திரத்தைப் பெற விரும்புகிறேன், அது எளிதாகக் கண்டுபிடிக்கும் ஏதேனும்எந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கால அவரது எண் மூலம்.பல, பல மடங்கு பெருக்காமல் கே. மற்றும் அத்தகைய சூத்திரம் உள்ளது!) விவரங்கள் அடுத்த பாடத்தில் உள்ளன.