க்ரேமர் முறை விரிவான உதாரணம். கிராமர் விதி. தலைகீழ் அணி முறை

க்ரேமர் முறை அல்லது க்ரேமர் விதி என அழைக்கப்படுவது சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளிலிருந்து அறியப்படாத அளவுகளைத் தேடும் ஒரு முறையாகும். தேடப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை அமைப்பில் உள்ள இயற்கணித சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே அதைப் பயன்படுத்த முடியும், அதாவது, கணினியிலிருந்து உருவாகும் முக்கிய அணி சதுரமாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் பூஜ்ஜிய வரிசைகளைக் கொண்டிருக்கக்கூடாது, மேலும் அதன் நிர்ணயம் கண்டிப்பாக இருக்க வேண்டும். பூஜ்ஜியமாக இருக்கக்கூடாது.

தேற்றம் 1

க்ரேமர் தேற்றம்சமன்பாடுகளின் குணகங்களின் அடிப்படையில் தொகுக்கப்பட்ட பிரதான மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய தீர்மானிப்பான் $D$ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சீரானது, மேலும் அது ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. அத்தகைய அமைப்புக்கான தீர்வு, தீர்வு அமைப்புகளுக்கான க்ரேமர் சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படுவதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது நேரியல் சமன்பாடுகள்: $x_i = \frac(D_i)(D)$

க்ரேமர் முறை என்றால் என்ன?

க்ரேமர் முறையின் சாராம்சம் பின்வருமாறு:

1. Cramer இன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினிக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறிய, முதலில் $D$ மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம். முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் கணக்கிடப்பட்ட நிர்ணயம், க்ரேமர் முறையால் கணக்கிடப்படும் போது, ​​பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக மாறும் போது, ​​கணினியில் ஒரு தீர்வு இல்லை அல்லது எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன. இந்த வழக்கில், கணினிக்கான பொதுவான அல்லது சில அடிப்படை பதிலைக் கண்டறிய, காசியன் முறையைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.
2. நீங்கள் முதன்மை மேட்ரிக்ஸின் வெளிப்புற நெடுவரிசையை இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையுடன் மாற்ற வேண்டும் மற்றும் தீர்மானிக்கும் $D_1$ ஐக் கணக்கிட வேண்டும்.
3. எல்லா நெடுவரிசைகளுக்கும் இதையே மீண்டும் செய்யவும், $D_1$ இலிருந்து $D_n$ வரையிலான தீர்மானிகளைப் பெறவும், இங்கு $n$ என்பது வலதுபுற நெடுவரிசையின் எண்.
4. $D_1$...$D_n$ ஆகிய அனைத்து தீர்மானங்களும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு, தெரியாத மாறிகள் $x_i = \frac(D_i)(D)$ சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான நுட்பங்கள்

2 க்கு 2 க்கும் அதிகமான பரிமாணத்துடன் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிட, நீங்கள் பல முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்:

• முக்கோணங்களின் விதி, அல்லது சர்ரஸின் விதி, அதே விதியை நினைவூட்டுகிறது. முக்கோண முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடும்போது, ​​வலதுபுறத்தில் உள்ள சிவப்புக் கோட்டால் படத்தில் இணைக்கப்பட்ட அனைத்து எண்களின் தயாரிப்புகளும் ஒரு கூட்டல் அடையாளத்துடன் எழுதப்படுகின்றன, மேலும் அனைத்து எண்களும் இடதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில் ஒரே மாதிரியாக இணைக்கப்பட்டுள்ளன. கழித்தல் குறியுடன் எழுதப்பட்டுள்ளன. இரண்டு விதிகளும் 3 x 3 அளவுள்ள மெட்ரிக்குகளுக்கு ஏற்றது. சர்ரஸ் விதியின் விஷயத்தில், மேட்ரிக்ஸ் முதலில் மீண்டும் எழுதப்படுகிறது, அதற்கு அடுத்ததாக அதன் முதல் மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசைகள் மீண்டும் எழுதப்படுகின்றன. மூலைவிட்டங்கள் அணி வழியாக வரையப்படுகின்றன மற்றும் பிரதான மூலைவிட்டத்தில் அல்லது அதற்கு இணையாக இருக்கும் இந்த கூடுதல் நெடுவரிசைகள் ஒரு கூட்டல் குறியுடன் எழுதப்படுகின்றன, மேலும் இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்தில் அல்லது அதற்கு இணையாக உள்ள கூறுகள் கழித்தல் குறியுடன் எழுதப்படுகின்றன.

படம் 1. க்ரேமர் முறைக்கான தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான முக்கோண விதி

• காசியன் முறை என அறியப்படும் ஒரு முறையைப் பயன்படுத்தி, இந்த முறை சில சமயங்களில் தீர்மானிப்பவரின் வரிசையைக் குறைத்தல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், அணி முக்கோண வடிவத்திற்கு மாற்றப்பட்டு குறைக்கப்படுகிறது, பின்னர் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள அனைத்து எண்களும் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த வழியில் ஒரு தீர்மானிப்பாளரைத் தேடும்போது, ​​​​வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளை ஒரு பெருக்கி அல்லது வகுப்பியாக எடுக்காமல் எண்களால் பெருக்கவோ அல்லது வகுக்கவோ முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். ஒரு தீர்மானிப்பாளரைத் தேடும் விஷயத்தில், வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை ஒன்றோடொன்று கழித்தல் மற்றும் சேர்ப்பது மட்டுமே சாத்தியமாகும், முன்பு கழித்த வரிசையை பூஜ்ஜியம் அல்லாத காரணி மூலம் பெருக்க வேண்டும். மேலும், மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளை நீங்கள் மறுசீரமைக்கும் போதெல்லாம், மேட்ரிக்ஸின் இறுதி அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டியதன் அவசியத்தை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.
• Cramer முறையைப் பயன்படுத்தி 4 அறியப்படாதவர்களுடன் SLAE ஐத் தீர்க்கும் போது, ​​காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தித் தேடவும், தீர்மானிப்பவர்களைக் கண்டறியவும் அல்லது சிறார்களைத் தேடுவதன் மூலம் தீர்மானிப்பதைத் தீர்மானிக்கவும் சிறந்தது.

க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது

2 சமன்பாடுகள் மற்றும் இரண்டு தேவையான அளவுகளின் அமைப்பிற்கு க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

வசதிக்காக அதை விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்தில் காண்பிப்போம்:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரைக் கண்டுபிடிப்போம், இது அமைப்பின் முக்கிய தீர்மானிப்பான் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \ end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

முக்கிய நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், க்ராமரின் முறையைப் பயன்படுத்தி மந்தநிலையைத் தீர்க்க, இரண்டு மெட்ரிக்ஸில் இருந்து இரண்டு கூடுதல் தீர்மானிப்பாளர்களைக் கணக்கிடுவது அவசியம், பிரதான மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளுடன் இலவச சொற்களின் வரிசையால் மாற்றப்படுகிறது:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \ end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

இப்போது தெரியாத $x_1$ மற்றும் $x_2$ ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

எடுத்துக்காட்டு 1

3வது வரிசையின் (3 x 3) முக்கிய அணி மற்றும் மூன்று தேவையானவற்றைக் கொண்டு SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கான க்ரேமரின் முறை.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

$\begin(வழக்குகள்) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \ end(cases)$

புள்ளி எண் 1 இன் கீழ் மேலே கூறப்பட்ட விதியைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

இப்போது மற்ற மூன்று தீர்மானங்கள்:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \ end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \ cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \ end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \ cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \ end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \ cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

தேவையான அளவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு, சார்பற்ற மாறிகளின் எண்ணிக்கையைப் போல பல சமன்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கட்டும், அதாவது. போல் தெரிகிறது

நேரியல் சமன்பாடுகளின் இத்தகைய அமைப்புகள் இருபடி என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சுயாதீனத்திற்கான குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு தீர்மானிப்பான் அமைப்பு மாறிகள்(1.5) அமைப்பின் முக்கிய நிர்ணயம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நாம் அதை கிரேக்க எழுத்தான D என்று குறிப்பிடுவோம்.

. (1.6)

முக்கிய தீர்மானிப்பான் தன்னிச்சையான ( ஜே th) நிரலை, கணினியின் இலவச விதிமுறைகளின் (1.5) நெடுவரிசையுடன் மாற்றவும், பின்னர் நீங்கள் பெறலாம் nதுணை தகுதிகள்:

(ஜே = 1, 2, …, n). (1.7)

க்ரேமர் விதிநேரியல் சமன்பாடுகளின் இருபடி அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது பின்வருமாறு. அமைப்பின் முக்கிய தீர்மானிப்பான் டி (1.5) பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால், கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது, அதை சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

(1.8)

எடுத்துக்காட்டு 1.5.க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

.

அமைப்பின் முக்கிய தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்:

D¹0 முதல், அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, இது சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (1.8):

இதனால்,

மெட்ரிக்குகள் மீதான செயல்கள்

1. ஒரு அணியை எண்ணால் பெருக்குதல்.ஒரு மேட்ரிக்ஸை எண்ணால் பெருக்கும் செயல்பாடு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.

2. ஒரு மேட்ரிக்ஸை எண்ணால் பெருக்க, அதன் அனைத்து உறுப்புகளையும் இந்த எண்ணால் பெருக்க வேண்டும். அது

. (1.9)

எடுத்துக்காட்டு 1.6. .

மேட்ரிக்ஸ் சேர்த்தல்.

இந்த செயல்பாடு ஒரே வரிசையின் மெட்ரிக்குகளுக்கு மட்டுமே அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

இரண்டு மெட்ரிக்ஸைச் சேர்க்க, ஒரு மேட்ரிக்ஸின் உறுப்புகளுடன் மற்றொரு மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய கூறுகளைச் சேர்க்க வேண்டியது அவசியம்:

(1.10)
மேட்ரிக்ஸ் கூட்டலின் செயல்பாடு அசோசியேட்டிவிட்டி மற்றும் கம்யூடாட்டிவிட்டி பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 1.7. .

மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல்.

அணி நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை என்றால் ஏமேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்துப்போகிறது IN, பின்னர் அத்தகைய மெட்ரிக்குகளுக்கு பெருக்கல் செயல்பாடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது:

2

இவ்வாறு, ஒரு அணியை பெருக்கும் போது ஏபரிமாணங்கள் மீ´ nஅணிக்கு INபரிமாணங்கள் n´ கேநாங்கள் ஒரு அணியைப் பெறுகிறோம் உடன்பரிமாணங்கள் மீ´ கே. இந்த வழக்கில், மேட்ரிக்ஸ் கூறுகள் உடன்பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

சிக்கல் 1.8.முடிந்தால், மெட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பைக் கண்டறியவும் ஏபிமற்றும் பி.ஏ.:

தீர்வு. 1) ஒரு வேலையைக் கண்டுபிடிப்பதற்காக ஏபி, உங்களுக்கு மேட்ரிக்ஸ் வரிசைகள் தேவை ஏமேட்ரிக்ஸ் நெடுவரிசைகளால் பெருக்கவும் பி:

2) வேலை பி.ஏ.இல்லை, ஏனெனில் மேட்ரிக்ஸ் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை பிமேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளின் எண்ணிக்கையுடன் பொருந்தவில்லை ஏ.

தலைகீழ் அணி. மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது

மேட்ரிக்ஸ் A- 1 ஒரு சதுர அணியின் தலைகீழ் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏ, சமத்துவம் திருப்தி அடைந்தால்:

எங்கே மூலம் நான்மேட்ரிக்ஸின் அதே வரிசையின் அடையாள அணியைக் குறிக்கிறது ஏ:

.

பொருட்டு சதுர அணிஒரு தலைகீழ் இருந்தது, அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டதாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. தலைகீழ் அணி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகிறது:

, (1.13)

எங்கே A ij - இயற்கணித சேர்த்தல்கள்உறுப்புகளுக்கு ஒரு ijமெட்ரிக்குகள் ஏ(மேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளுக்கு இயற்கணித சேர்த்தல் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் ஏதொடர்புடைய நெடுவரிசைகளின் வடிவத்தில் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸில் அமைந்துள்ளது).

எடுத்துக்காட்டு 1.9.தலைகீழ் அணியைக் கண்டறியவும் A- 1 முதல் அணி வரை

.

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (1.13) காண்கிறோம் n= 3 வடிவம் உள்ளது:

.

அதைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏ = | ஏ| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. அசல் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருப்பதால், தலைகீழ் அணி உள்ளது.

1) இயற்கணித நிரப்புகளைக் கண்டறியவும் A ij:

இருப்பிடத்தின் வசதிக்காக தலைகீழ் அணி, அசல் மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளுக்கு இயற்கணித சேர்த்தல்களை தொடர்புடைய நெடுவரிசைகளில் வைத்தோம்.

பெறப்பட்ட இயற்கணிதக் கூட்டல்களில் இருந்து ஒரு புதிய மேட்ரிக்ஸை உருவாக்கி அதை நிர்ணயிப்பதன் மூலம் வகுக்கிறோம். ஏ. இவ்வாறு, நாம் தலைகீழ் அணியைப் பெறுகிறோம்:

நேரியல் சமன்பாடுகளின் இருபடி அமைப்புகளை பூஜ்ஜியமற்ற முதன்மை தீர்மானிப்பான் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும். இதைச் செய்ய, கணினி (1.5) மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது:

எங்கே

சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் (1.14) இடமிருந்து பெருக்குதல் A- 1, கணினிக்கான தீர்வைப் பெறுகிறோம்:

, எங்கே

எனவே, ஒரு சதுர அமைப்பிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் அணியைக் கண்டுபிடித்து, இலவச சொற்களின் நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸால் வலதுபுறத்தில் பெருக்க வேண்டும்.

சிக்கல் 1.10.நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

தலைகீழ் அணியைப் பயன்படுத்தி.

தீர்வு.கணினியை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதுவோம்:

எங்கே - அமைப்பின் முக்கிய அணி, - தெரியாதவர்களின் நெடுவரிசை மற்றும் - இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசை. அமைப்பின் முக்கிய நிர்ணயம் என்பதால் , பின்னர் அமைப்பின் முக்கிய அணி ஏதலைகீழ் அணி உள்ளது ஏ-1. தலைகீழ் அணி கண்டுபிடிக்க ஏ-1 , மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் இயற்கணித நிரப்புகளை கணக்கிடுகிறோம் ஏ:

பெறப்பட்ட எண்களிலிருந்து ஒரு அணியை உருவாக்குவோம் (மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளுக்கு இயற்கணித சேர்த்தல் ஏபொருத்தமான நெடுவரிசைகளில் அதை எழுதவும்) மற்றும் அதை நிர்ணயிப்பவர் D ஆல் வகுக்கவும். இவ்வாறு, நாம் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடித்தோம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணினிக்கான தீர்வைக் காண்கிறோம் (1.15):

இதனால்,

சாதாரண ஜோர்டான் நீக்குதல் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வு முறைகள்

நேரியல் சமன்பாடுகளின் தன்னிச்சையான (அவசியம் இல்லை) அமைப்பு கொடுக்கப்படட்டும்:

(1.16)

கணினிக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க இது தேவைப்படுகிறது, அதாவது. அமைப்பின் அனைத்து சமத்துவங்களையும் பூர்த்தி செய்யும் மாறிகளின் அத்தகைய தொகுப்பு (1.16). பொது வழக்கில், அமைப்பு (1.16) ஒரு தீர்வு மட்டுமல்ல, எண்ணற்ற தீர்வுகளையும் கொண்டிருக்கலாம். இதற்கு தீர்வுகள் இல்லாமல் இருக்கலாம்.

இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​அறியப்படாதவற்றை நீக்குவதற்கான நன்கு அறியப்பட்ட பள்ளி பாடநெறி முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது சாதாரண ஜோர்டான் நீக்குதல் முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. சாரம் இந்த முறைஅமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் (1.16) மாறிகளில் ஒன்று மற்ற மாறிகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இந்த மாறி பின்னர் கணினியில் உள்ள மற்ற சமன்பாடுகளில் மாற்றப்படுகிறது. இதன் விளைவாக அசல் அமைப்பை விட ஒரு சமன்பாடு மற்றும் ஒரு மாறி குறைவாக உள்ள ஒரு அமைப்பு உள்ளது. மாறி வெளிப்படுத்தப்பட்ட சமன்பாடு நினைவில் உள்ளது.

கணினியில் ஒரு கடைசி சமன்பாடு இருக்கும் வரை இந்த செயல்முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. தெரியாதவற்றை நீக்கும் செயல்முறையின் மூலம், சில சமன்பாடுகள் உண்மையான அடையாளங்களாக மாறலாம், எ.கா. இத்தகைய சமன்பாடுகள் அமைப்பிலிருந்து விலக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை மாறிகளின் எந்த மதிப்புகளிலும் திருப்தி அடைகின்றன, எனவே, அமைப்பின் தீர்வை பாதிக்காது. அறியப்படாதவற்றை நீக்கும் செயல்பாட்டில், குறைந்தபட்சம் ஒரு சமன்பாடு மாறிகளின் எந்த மதிப்புகளுக்கும் (உதாரணமாக) திருப்தி அளிக்க முடியாத சமத்துவமாக மாறினால், கணினிக்கு தீர்வு இல்லை என்று முடிவு செய்கிறோம்.

தீர்வின் போது முரண்பாடான சமன்பாடுகள் எதுவும் எழவில்லை என்றால், அதில் மீதமுள்ள மாறிகளில் ஒன்று கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து காணப்படுகிறது. கடைசி சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு மாறி இருந்தால், அது ஒரு எண்ணாக வெளிப்படுத்தப்படும். மற்ற மாறிகள் கடைசி சமன்பாட்டில் இருந்தால், அவை அளவுருக்களாகக் கருதப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும் மாறி இந்த அளவுருக்களின் செயல்பாடாக இருக்கும். பின்னர் "தலைகீழ் நகர்வு" என்று அழைக்கப்படுவது நடைபெறுகிறது. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மாறி கடைசியாக நினைவுபடுத்தப்பட்ட சமன்பாட்டில் மாற்றப்பட்டது மற்றும் இரண்டாவது மாறி காணப்படுகிறது. பின்னர் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரண்டு மாறிகள் இறுதி நினைவூட்டப்பட்ட சமன்பாட்டில் மாற்றப்படுகின்றன மற்றும் மூன்றாவது மாறி கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, மேலும் முதல் மனப்பாடம் சமன்பாடு வரை.

இதன் விளைவாக, கணினிக்கு ஒரு தீர்வைப் பெறுகிறோம். இந்த முடிவுகண்டுபிடிக்கப்பட்ட மாறிகள் எண்களாக இருந்தால் தனித்துவமாக இருக்கும். முதல் மாறி கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, பின்னர் மற்ற அனைத்தும், அளவுருக்கள் சார்ந்து இருந்தால், கணினியில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்கும் (அளவுருக்களின் ஒவ்வொரு தொகுப்பும் ஒரு புதிய தீர்வுக்கு ஒத்திருக்கும்). ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுருக்களைப் பொறுத்து ஒரு கணினிக்கான தீர்வைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் சூத்திரங்கள் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1.11.

எக்ஸ்

முதல் சமன்பாட்டை மனப்பாடம் செய்த பிறகு இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளில் இதே போன்ற சொற்களைக் கொண்டு நாம் கணினிக்கு வருகிறோம்:

வெளிப்படுத்துவோம் ஒய்இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து அதை முதல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டை நினைவில் கொள்வோம், முதல் சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம் z:

பின்னோக்கி வேலை, நாம் தொடர்ந்து கண்டுபிடிக்க ஒய்மற்றும் z. இதைச் செய்ய, கடைசியாக நினைவில் வைத்திருக்கும் சமன்பாட்டை முதலில் மாற்றுகிறோம், எங்கிருந்து கண்டுபிடிக்கிறோம் ஒய்:

.

பின்னர் நாம் அதை முதலில் நினைவில் வைத்திருக்கும் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம் நாம் அதை எங்கே காணலாம் எக்ஸ்:

சிக்கல் 1.12.தெரியாதவற்றை நீக்குவதன் மூலம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

. (1.17)

தீர்வு.முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து மாறியை வெளிப்படுத்துவோம் எக்ஸ்இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளில் அதை மாற்றவும்:

.

முதல் சமன்பாட்டை நினைவில் கொள்வோம்

இந்த அமைப்பில், முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகள் ஒன்றுக்கொன்று முரண்படுகின்றன. உண்மையில், வெளிப்படுத்துகிறது ஒய் , நாம் 14 = 17 என்று பெறுகிறோம். இந்த சமத்துவம் மாறிகளின் எந்த மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தாது எக்ஸ், ஒய், மற்றும் z. இதன் விளைவாக, அமைப்பு (1.17) சீரற்றது, அதாவது. தீர்வு இல்லை.

முக்கிய நிர்ணயம் என்பதை வாசகர்கள் தங்களைத் தாங்களே சரிபார்க்க அழைக்கிறோம் அசல் அமைப்பு(1.17) என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம்.

அமைப்பிலிருந்து (1.17) ஒரே ஒரு இலவசச் சொல்லால் வேறுபடும் அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

சிக்கல் 1.13.தெரியாதவற்றை நீக்குவதன் மூலம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

. (1.18)

தீர்வு.முன்பு போலவே, முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து மாறியை வெளிப்படுத்துகிறோம் எக்ஸ்இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளில் அதை மாற்றவும்:

.

முதல் சமன்பாட்டை நினைவில் கொள்வோம் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளில் இதே போன்ற சொற்களை முன்வைக்கவும். நாங்கள் கணினிக்கு வருகிறோம்:

வெளிப்படுத்துகிறது ஒய்முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து அதை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றவும் , நாம் 14 = 14 என்ற அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம், இது அமைப்பின் தீர்வைப் பாதிக்காது, எனவே, அது அமைப்பிலிருந்து விலக்கப்படலாம்.

கடைசியாக நினைவுகூரப்பட்ட சமத்துவத்தில், மாறி zநாம் அதை ஒரு அளவுருவாக கருதுவோம். நாங்கள் நம்புகிறோம். பிறகு

மாற்றுவோம் ஒய்மற்றும் zமுதலில் நினைவுபடுத்தப்பட்ட சமத்துவத்தில் மற்றும் கண்டுபிடிக்க எக்ஸ்:

.

இவ்வாறு, அமைப்பு (1.18) எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் எந்தவொரு தீர்வையும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (1.19) காணலாம், அளவுருவின் தன்னிச்சையான மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது. டி:

(1.19)
எனவே அமைப்பின் தீர்வுகள், எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் மாறிகள் (1; 2; 0), (2; 26; 14), முதலியன. சூத்திரங்கள் (1.19) அமைப்பின் பொதுவான (ஏதேனும்) தீர்வை வெளிப்படுத்துகின்றன (1.18 )

அசல் அமைப்பு (1.16) போதுமானதாக இருக்கும்போது ஒரு பெரிய எண்ணிக்கைசமன்பாடுகள் மற்றும் தெரியாதவை, சாதாரண ஜோர்டான் நீக்குதலின் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட முறை சிக்கலானதாகத் தெரிகிறது. எனினும், அது இல்லை. ஒரு படிநிலையில் கணினி குணகங்களை மீண்டும் கணக்கிடுவதற்கு ஒரு வழிமுறையைப் பெறுவது போதுமானது. பொதுவான பார்வைமற்றும் சிறப்பு ஜோர்டான் அட்டவணைகள் வடிவில் பிரச்சனைக்கான தீர்வை உருவாக்கவும்.

நேரியல் வடிவங்களின் (சமன்பாடுகள்) ஒரு அமைப்பைக் கொடுக்கலாம்:

, (1.20)
எங்கே x ஜே- சுயாதீன (தேடப்பட்ட) மாறிகள், ஒரு ij- நிலையான முரண்பாடுகள்
(நான் = 1, 2,…, மீ; ஜே = 1, 2,…, n) அமைப்பின் வலது பாகங்கள் ஒய் ஐ (நான் = 1, 2,…, மீ) மாறிகள் (சார்பு) அல்லது மாறிலிகளாக இருக்கலாம். தெரியாதவற்றை நீக்கி இந்த முறைக்கு தீர்வு காண வேண்டும்.

இனிமேல் "சாதாரண ஜோர்டான் நீக்குதலின் ஒரு படி" என்று அழைக்கப்படும் பின்வரும் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். தன்னிச்சையாக இருந்து ( ஆர் th) சமத்துவம் நாம் ஒரு தன்னிச்சையான மாறியை வெளிப்படுத்துகிறோம் ( xs) மற்றும் மற்ற எல்லா சமத்துவங்களுக்கும் மாற்றாக. நிச்சயமாக, இது இருந்தால் மட்டுமே சாத்தியமாகும் ஒரு ரூ¹ 0. குணகம் ஒரு ரூதீர்க்கும் (சில நேரங்களில் வழிகாட்டும் அல்லது முக்கிய) உறுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பின்வரும் அமைப்பைப் பெறுவோம்:

. (1.21)

இருந்து கள்- அமைப்பின் சமத்துவம் (1.21), பின்னர் மாறியைக் கண்டுபிடிப்போம் xs(மீதமுள்ள மாறிகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு). எஸ்-வது வரி நினைவில் வைக்கப்பட்டு பின்னர் கணினியிலிருந்து விலக்கப்பட்டது. மீதமுள்ள அமைப்பு அசல் அமைப்பை விட ஒரு சமன்பாடு மற்றும் ஒரு குறைவான சுயாதீன மாறி கொண்டிருக்கும்.

அசல் அமைப்பின் (1.20) குணகங்கள் மூலம் விளைந்த அமைப்பின் குணகங்களை (1.21) கணக்கிடுவோம். ஆரம்பிப்போம் ஆர்வது சமன்பாடு, இது மாறியை வெளிப்படுத்திய பிறகு xsமீதமுள்ள மாறிகள் மூலம் இது இப்படி இருக்கும்:

எனவே, புதிய குணகங்கள் ஆர்சமன்பாடுகள் பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:

(1.23)
இப்போது புதிய குணகங்களைக் கணக்கிடுவோம் b ij(நான்¹ ஆர்) ஒரு தன்னிச்சையான சமன்பாடு. இதைச் செய்ய, (1.22) இல் வெளிப்படுத்தப்பட்ட மாறியை மாற்றுவோம். xsவி நான்அமைப்பின் சமன்பாடு (1.20):

ஒத்த விதிமுறைகளைக் கொண்டு வந்த பிறகு, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(1.24)
சமத்துவத்திலிருந்து (1.24) நாம் சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம், இதன் மூலம் அமைப்பின் மீதமுள்ள குணகங்கள் (1.21) கணக்கிடப்படுகின்றன (விதிவிலக்கு ஆர்சமன்பாடு):

(1.25)
சாதாரண ஜோர்டான் நீக்குதலின் முறையால் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் மாற்றம் அட்டவணைகள் (மெட்ரிக்குகள்) வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது. இந்த அட்டவணைகள் "ஜோர்டான் அட்டவணைகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

எனவே, சிக்கல் (1.20) பின்வரும் ஜோர்டான் அட்டவணையுடன் தொடர்புடையது:

அட்டவணை 1.1

ஜோர்டான் அட்டவணை 1.1 இடது தலைப்பு நெடுவரிசையைக் கொண்டுள்ளது, அதில் கணினியின் வலது பகுதிகள் (1.20) எழுதப்பட்டுள்ளன மற்றும் மேல் தலைப்பு வரிசையில் சுயாதீன மாறிகள் எழுதப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணையின் மீதமுள்ள கூறுகள் அமைப்பின் குணகங்களின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குகின்றன (1.20). மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்கினால் ஏமேல் தலைப்பு வரிசையின் உறுப்புகளைக் கொண்ட அணிக்கு, இடது தலைப்பு நெடுவரிசையின் உறுப்புகளைக் கொண்ட அணியைப் பெறுவீர்கள். அதாவது, அடிப்படையில், ஜோர்டான் அட்டவணை என்பது நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதும் அணி வடிவமாகும்: . அமைப்பு (1.21) பின்வரும் ஜோர்டான் அட்டவணைக்கு ஒத்திருக்கிறது:

அட்டவணை 1.2

அனுமதிக்கப்பட்ட உறுப்பு ஒரு ரூ அவற்றை தடிமனாக முன்னிலைப்படுத்துவோம். ஜோர்டான் நீக்குதலின் ஒரு படியை செயல்படுத்த, தீர்க்கும் உறுப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க. செயல்படுத்தும் உறுப்பைக் கொண்ட அட்டவணை வரிசை செயல்படுத்தும் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. செயல்படுத்தும் உறுப்பைக் கொண்ட நெடுவரிசையை இயக்கு நிரல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட அட்டவணையில் இருந்து அடுத்த அட்டவணைக்கு நகரும் போது, ​​ஒரு மாறி ( xs) அட்டவணையின் மேல் தலைப்பு வரிசையில் இருந்து இடது தலைப்பு நெடுவரிசைக்கு நகர்த்தப்பட்டது, மாறாக, கணினியின் இலவச உறுப்பினர்களில் ஒருவர் ( ஒய் ஆர்) அட்டவணையின் இடது தலை நெடுவரிசையிலிருந்து மேல் தலை வரிசைக்கு நகரும்.

ஜோர்டான் அட்டவணை (1.1) இலிருந்து அட்டவணை (1.2) க்கு நகரும் போது குணகங்களை மீண்டும் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறையை விவரிப்போம், இது சூத்திரங்கள் (1.23) மற்றும் (1.25) ஆகியவற்றிலிருந்து பின்பற்றுகிறது.

1. தீர்க்கும் உறுப்பு தலைகீழ் எண்ணால் மாற்றப்படுகிறது:

2. தீர்க்கும் சரத்தின் மீதமுள்ள கூறுகள் தீர்க்கும் உறுப்பாகப் பிரிக்கப்பட்டு, குறியை எதிர்க்கு மாற்றவும்:

3. தெளிவுத்திறன் நெடுவரிசையின் மீதமுள்ள கூறுகள் தீர்மான உறுப்புகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன:

4. அனுமதிக்கும் வரிசை மற்றும் அனுமதிக்கும் நெடுவரிசையில் சேர்க்கப்படாத கூறுகள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் கணக்கிடப்படுகின்றன:

பின்னத்தை உருவாக்கும் கூறுகளை நீங்கள் கவனித்தால் கடைசி சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வது எளிது , சந்திப்பில் உள்ளன நான்- ஓ மற்றும் ஆர்-வது வரிகள் மற்றும் ஜேவது மற்றும் கள்வது நெடுவரிசைகள் (வரிசையைத் தீர்க்கும், நெடுவரிசையைத் தீர்க்கும், மற்றும் மீண்டும் கணக்கிடப்பட்ட உறுப்பு அமைந்துள்ள குறுக்குவெட்டில் உள்ள வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை). இன்னும் துல்லியமாக, சூத்திரத்தை மனப்பாடம் செய்யும்போது நீங்கள் பின்வரும் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

ஜோர்டான் விதிவிலக்குகளின் முதல் படியைச் செய்யும்போது, ​​நெடுவரிசைகளில் அமைந்துள்ள அட்டவணை 1.3 இன் எந்த உறுப்பையும் தீர்க்கும் உறுப்பாக நீங்கள் தேர்ந்தெடுக்கலாம். எக்ஸ் 1 ,…, எக்ஸ் 5 (குறிப்பிட்ட அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியம் அல்ல). கடைசி நெடுவரிசையில் செயல்படுத்தும் உறுப்பைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டாம், ஏனெனில் நீங்கள் சுயாதீன மாறிகள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் எக்ஸ் 1 ,…, எக்ஸ் 5 . உதாரணமாக, நாம் குணகத்தை தேர்வு செய்கிறோம் 1 மாறி கொண்டு எக்ஸ்அட்டவணை 1.3 இன் மூன்றாவது வரியில் 3 (செயல்படுத்தும் உறுப்பு தடிமனாக காட்டப்பட்டுள்ளது). அட்டவணை 1.4 க்கு நகரும் போது, ​​மாறி எக்ஸ்மேல் தலைப்பு வரிசையில் இருந்து 3 இடது தலைப்பு நெடுவரிசையின் (மூன்றாவது வரிசை) மாறிலி 0 உடன் மாற்றப்பட்டது. இந்த வழக்கில், மாறி எக்ஸ் 3 மீதமுள்ள மாறிகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

லேசான கயிறு எக்ஸ் 3 (அட்டவணை 1.4) முன்கூட்டியே நினைவில் வைத்த பிறகு, அட்டவணை 1.4 இலிருந்து விலக்கப்படலாம். மேல் தலைப்பு வரியில் பூஜ்ஜியத்துடன் மூன்றாவது நெடுவரிசையும் அட்டவணை 1.4 இலிருந்து விலக்கப்பட்டுள்ளது. புள்ளி என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட நெடுவரிசையின் குணகங்களைப் பொருட்படுத்தாமல் b i 3 ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் அனைத்து தொடர்புடைய விதிமுறைகள் 0 b i 3 அமைப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். எனவே, இந்த குணகங்களை கணக்கிட தேவையில்லை. ஒரு மாறியை நீக்குதல் எக்ஸ் 3 மற்றும் சமன்பாடுகளில் ஒன்றை நினைவில் வைத்துக் கொண்டு, அட்டவணை 1.4 க்கு ஒத்த ஒரு அமைப்பிற்கு வருகிறோம் (கோடு கடக்கப்பட்டது எக்ஸ் 3) அட்டவணை 1.4 இல் ஒரு தீர்க்கும் உறுப்பாகத் தேர்ந்தெடுப்பது பி 14 = -5, அட்டவணை 1.5க்குச் செல்லவும். அட்டவணை 1.5 இல், முதல் வரிசையை நினைவில் வைத்து, நான்காவது நெடுவரிசையுடன் (மேலே பூஜ்ஜியத்துடன்) அதை அட்டவணையில் இருந்து விலக்கவும்.

அட்டவணை 1.5 அட்டவணை 1.6

கடைசி அட்டவணை 1.7 இலிருந்து நாம் காண்கிறோம்: எக்ஸ் 1 = - 3 + 2எக்ஸ் 5 .

ஏற்கனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மாறிகளை நினைவில் வைத்திருக்கும் வரிகளில் தொடர்ந்து மாற்றுவதன் மூலம், மீதமுள்ள மாறிகளைக் காண்கிறோம்:

இவ்வாறு, கணினி எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. மாறி எக்ஸ் 5, தன்னிச்சையான மதிப்புகளை ஒதுக்கலாம். இந்த மாறி ஒரு அளவுருவாக செயல்படுகிறது எக்ஸ் 5 = டி. கணினியின் பொருந்தக்கூடிய தன்மையை நாங்கள் நிரூபித்து அதைக் கண்டுபிடித்தோம் பொதுவான முடிவு:

எக்ஸ் 1 = - 3 + 2டி

எக்ஸ் 2 = - 1 - 3டி

எக்ஸ் 3 = - 2 + 4டி . (1.27)
எக்ஸ் 4 = 4 + 5டி

எக்ஸ் 5 = டி

அளவுருவை வழங்குதல் டி வெவ்வேறு அர்த்தங்கள், அசல் அமைப்பிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகளைப் பெறுவோம். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, கணினிக்கான தீர்வு பின்வரும் மாறிகள் (- 3; - 1; - 2; 4; 0) ஆகும்.

கிராமரின் முறையானது நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதில் தீர்மானிப்பவர்களின் பயன்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இது தீர்வு செயல்முறையை கணிசமாக துரிதப்படுத்துகிறது.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் அறியப்படாத பல நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க க்ராமரின் முறை பயன்படுத்தப்படலாம். அமைப்பின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், க்ரேமரின் முறையை கரைசலில் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் அது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அது முடியாது. கூடுதலாக, ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்க க்ராமரின் முறை பயன்படுத்தப்படலாம்.

வரையறை. தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்களால் ஆன ஒரு தீர்மானிப்பான் அமைப்பின் தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது (டெல்டா).

தீர்மானிப்பவர்கள்

தொடர்புடைய தெரியாதவற்றின் குணகங்களை இலவச விதிமுறைகளுடன் மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது:

;

.

க்ரேமர் தேற்றம். அமைப்பின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அறியப்படாதது தீர்மானிப்பவர்களின் விகிதத்திற்கு சமம். வகுப்பில் கணினியின் நிர்ணயிப்பான் உள்ளது, மேலும் இந்த அறியப்படாத குணகங்களை இலவச சொற்களால் மாற்றுவதன் மூலம் கணினியின் நிர்ணயிப்பாளரிடமிருந்து பெறப்பட்ட தீர்மானிப்பான் எண்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த தேற்றம் எந்தவொரு வரிசையின் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கொண்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 1.நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

படி க்ரேமர் தேற்றம்எங்களிடம் உள்ளது:

எனவே, அமைப்புக்கான தீர்வு (2):

ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் , தீர்க்கமான முறைகிராமர்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் போது மூன்று வழக்குகள்

இருந்து தெளிவாக உள்ளது க்ரேமர் தேற்றம், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும் போது, ​​மூன்று வழக்குகள் ஏற்படலாம்:

முதல் வழக்கு: நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது

(அமைப்பு சீரானது மற்றும் திட்டவட்டமானது)

இரண்டாவது வழக்கு: நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது

(அமைப்பு சீரானது மற்றும் நிச்சயமற்றது)

** ,

அந்த. தெரியாதவற்றின் குணகங்கள் மற்றும் இலவச விதிமுறைகள் விகிதாசாரமாகும்.

மூன்றாவது வழக்கு: நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு தீர்வுகள் இல்லை

(அமைப்பு சீரற்றது)

எனவே அமைப்பு மீஉடன் நேரியல் சமன்பாடுகள் nமாறிகள் எனப்படும் கூட்டு அல்லாத, அவள் ஒரு ஒற்றை தீர்வு இல்லை என்றால், மற்றும் கூட்டு, அதற்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வு இருந்தால். ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்ட சமன்பாடுகளின் ஒரே நேரத்தில் அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது உறுதி, மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை - நிச்சயமற்ற.

க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

அமைப்பு கொடுக்கப்படட்டும்

.

க்ரேமர் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது

………….
,

எங்கே
-

அமைப்பு தீர்மானிப்பவர். இலவச விதிமுறைகளுடன் தொடர்புடைய மாறியின் (தெரியாத) குணகங்களுடன் நெடுவரிசையை மாற்றுவதன் மூலம் மீதமுள்ள தீர்மானங்களை நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.

.

எனவே, அமைப்பு உறுதியானது. அதன் தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிடுகிறோம்

க்ரேமரின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நாம் காணலாம்:

எனவே, (1; 0; -1) அமைப்புக்கு ஒரே தீர்வு.

3 X 3 மற்றும் 4 X 4 ஆகிய சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கான தீர்வுகளைச் சரிபார்க்க, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர், க்ரேமர் தீர்வு முறை.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமன்பாடுகளில் மாறிகள் இல்லை என்றால், தீர்மானிப்பதில் தொடர்புடைய கூறுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! இது அடுத்த உதாரணம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

.

தீர்வு. அமைப்பின் தீர்மானிப்பதைக் காண்கிறோம்:

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு மற்றும் அமைப்பின் நிர்ணயிப்பாளரைக் கவனமாகப் பார்த்து, நிர்ணயிப்பவரின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூறுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் கேள்விக்கான பதிலை மீண்டும் செய்யவும். எனவே, தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, எனவே அமைப்பு திட்டவட்டமானது. அதன் தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, தெரியாதவற்றிற்கான தீர்மானங்களை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்

க்ரேமரின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நாம் காணலாம்:

எனவே, கணினிக்கான தீர்வு (2; -1; 1).

3 X 3 மற்றும் 4 X 4 ஆகிய சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கான தீர்வுகளைச் சரிபார்க்க, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர், க்ரேமர் தீர்வு முறை.

பக்கத்தின் மேல்

நாங்கள் ஒன்றாக க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளைத் தொடர்ந்து தீர்க்கிறோம்

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, கணினியின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மற்றும் தெரியாதவற்றின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், கணினி சீரற்றது, அதாவது அதற்கு தீர்வுகள் இல்லை. பின்வரும் உதாரணத்தின் மூலம் விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6.க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

தீர்வு. அமைப்பின் தீர்மானிப்பதைக் காண்கிறோம்:

அமைப்பின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், எனவே, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சீரற்றதாகவும் திட்டவட்டமானதாகவும் அல்லது சீரற்றதாகவும் இருக்கும், அதாவது தீர்வுகள் இல்லை. தெளிவுபடுத்த, தெரியாதவர்களுக்கான தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம்

தெரியாதவற்றின் தீர்மானங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, எனவே, அமைப்பு சீரற்றது, அதாவது அதற்கு தீர்வுகள் இல்லை.

3 X 3 மற்றும் 4 X 4 ஆகிய சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கான தீர்வுகளைச் சரிபார்க்க, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர், க்ரேமர் தீர்வு முறை.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை உள்ளடக்கிய சிக்கல்களில், மாறிகளைக் குறிக்கும் எழுத்துக்களைத் தவிர, மற்ற எழுத்துக்களும் உள்ளன. இந்த எழுத்துக்கள் ஒரு எண்ணைக் குறிக்கின்றன, பெரும்பாலும் உண்மையானவை. நடைமுறையில், தேடல் சிக்கல்கள் அத்தகைய சமன்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு வழிவகுக்கும் பொது பண்புகள்ஏதேனும் நிகழ்வுகள் அல்லது பொருள்கள். அதாவது, நீங்கள் ஏதாவது கண்டுபிடித்தீர்களா? புதிய பொருள்அல்லது ஒரு சாதனம், மற்றும் ஒரு நிகழ்வின் அளவு அல்லது எண்ணிக்கையைப் பொருட்படுத்தாமல் பொதுவான அதன் பண்புகளை விவரிக்க, நீங்கள் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டும், அங்கு மாறிகளுக்கான சில குணகங்களுக்கு பதிலாக எழுத்துக்கள் உள்ளன. உதாரணங்களுக்காக நீங்கள் வெகுதூரம் பார்க்க வேண்டியதில்லை.

பின்வரும் உதாரணம் இதேபோன்ற சிக்கலுக்கானது, ஒரு குறிப்பிட்ட உண்மையான எண்ணைக் குறிக்கும் சமன்பாடுகள், மாறிகள் மற்றும் எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கை மட்டுமே அதிகரிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 8.க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

தீர்வு. அமைப்பின் தீர்மானிப்பதைக் காண்கிறோம்:

தெரியாதவற்றை தீர்மானிப்பதைக் கண்டறிதல்