வெவ்வேறு தளங்களைக் கொண்ட மடக்கைகள். மடக்கை சூத்திரங்கள். மடக்கை எடுத்துக்காட்டுகள் தீர்வுகள்

பழமையான நிலை இயற்கணிதத்தின் கூறுகளில் ஒன்று மடக்கை ஆகும். பெயர் வந்தது கிரேக்க மொழி"எண்" அல்லது "சக்தி" என்ற வார்த்தையிலிருந்து, இறுதி எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க அடித்தளத்தில் உள்ள எண்ணை உயர்த்த வேண்டிய சக்தி என்று பொருள்.

மடக்கைகளின் வகைகள்

  • log a b - a க்கு அடிப்படை b எண்ணின் மடக்கை (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
  • பதிவு b - தசம மடக்கை (மடிக்கணினி முதல் அடிப்படை 10, a = 10);
  • ln b - இயற்கை மடக்கை (மடக்கை முதல் அடிப்படை e, a = e).

மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

b க்கு அடிப்படை a இன் மடக்கை என்பது ஒரு அடுக்கு ஆகும், இதற்கு b ஐ அடிப்படை a க்கு உயர்த்த வேண்டும். பெறப்பட்ட முடிவு இவ்வாறு உச்சரிக்கப்படுகிறது: "b இன் மடக்கை ஒரு அடிப்படை a." மடக்கைச் சிக்கல்களுக்கான தீர்வு என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட சக்தியை எண்களில் தீர்மானிக்க வேண்டும் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட எண்கள். மடக்கையைத் தீர்மானிக்க அல்லது தீர்க்க சில அடிப்படை விதிகள் உள்ளன, அதே போல் குறியீடை மாற்றவும். அவற்றைப் பயன்படுத்தி, மடக்கை சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன, வழித்தோன்றல்கள் கண்டறியப்படுகின்றன, ஒருங்கிணைப்புகள் தீர்க்கப்படுகின்றன, மேலும் பல செயல்பாடுகள் செய்யப்படுகின்றன. அடிப்படையில், மடக்கைக்கான தீர்வு அதன் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட குறிப்பேடாகும். கீழே அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் பண்புகள் உள்ளன:

எந்த ஒரு ; a > 0; ஒரு ≠ 1 மற்றும் எந்த x க்கும்; y > 0.

  • a log a b = b – அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்
  • பதிவு a 1 ​​= 0
  • loga a = 1
  • log a (x y) = log a x + log a y
  • log a x/ y = log a x – log a y
  • log a 1/x = -log a x
  • log a x p = p log a x
  • log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0 க்கு
  • log a x = log a c x c
  • log a x = log b x/ log b a – புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரம்
  • பதிவு a x = 1/log x a


மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது - தீர்ப்பதற்கான படிப்படியான வழிமுறைகள்

  • முதலில், தேவையான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: அடிப்படை மடக்கை 10 ஆக இருந்தால், நுழைவு சுருக்கப்பட்டு, தசம மடக்கைக்கு வழிவகுக்கும். அது மதிப்பு என்றால் இயற்கை எண் e, பின்னர் நாம் அதை எழுதுகிறோம், அதை இயற்கை மடக்கைக்கு குறைக்கிறோம். இதன் பொருள் அனைத்து மடக்கைகளின் முடிவு b எண்ணைப் பெற அடிப்படை எண்ணை உயர்த்தும் சக்தியாகும்.


நேரடியாக, இந்த பட்டத்தை கணக்கிடுவதில் தீர்வு உள்ளது. ஒரு மடக்கையுடன் ஒரு வெளிப்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு முன், அது விதியின் படி எளிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும், அதாவது சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி. கட்டுரையில் சிறிது பின்னோக்கிச் செல்வதன் மூலம் முக்கிய அடையாளங்களைக் காணலாம்.

மடக்கைகளை இரண்டுடன் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல் வெவ்வேறு எண்கள், மூக்கு அதே அடிப்படையில், முறையே b மற்றும் c எண்களின் தயாரிப்பு அல்லது பிரிவுடன் ஒரு மடக்கையை மாற்றவும். இந்த வழக்கில், நீங்கள் மற்றொரு தளத்திற்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் (மேலே காண்க).

மடக்கையை எளிமைப்படுத்த நீங்கள் வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தினால், கருத்தில் கொள்ள சில வரம்புகள் உள்ளன. அதாவது: மடக்கை a இன் அடிப்பகுதி நேர்மறை எண் மட்டுமே, ஆனால் ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லை. எண் b, a போன்றது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

ஒரு வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவதன் மூலம், மடக்கையை எண்ணியல் ரீதியாக கணக்கிட முடியாத சந்தர்ப்பங்கள் உள்ளன. பல சக்திகள் பகுத்தறிவற்ற எண்கள் என்பதால், அத்தகைய வெளிப்பாடு அர்த்தமற்றது. இந்த நிபந்தனையின் கீழ், எண்ணின் சக்தியை மடக்கையாக விடவும்.



    ஆரம்பிப்போம் ஒன்றின் மடக்கையின் பண்புகள். அதன் உருவாக்கம் பின்வருமாறு: ஒற்றுமையின் மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது, பதிவு a 1=0ஏதேனும் a>0, a≠1. ஆதாரம் கடினமானது அல்ல: மேலே உள்ள நிபந்தனைகள் a>0 மற்றும் a≠1 ஆகியவற்றிற்கு 0 =1 திருப்திகரமாக இருப்பதால், சமத்துவப் பதிவு a 1=0 என்பது மடக்கையின் வரையறையிலிருந்து உடனடியாகப் பின்பற்றப்படுகிறது.

    கருதப்படும் சொத்தின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம்: பதிவு 3 1=0, log1=0 மற்றும் .

    அடுத்த சொத்துக்கு செல்லலாம்: அடிப்படைக்கு சமமான எண்ணின் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம், அதாவது, பதிவு a = 1 a>0, a≠1க்கு. உண்மையில், எந்த a க்கும் 1 =a என்பதால், மடக்கையின் வரையறையின்படி a=1.

    மடக்கைகளின் இந்த பண்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் சமத்துவ பதிவு 5 5=1, பதிவு 5.6 5.6 மற்றும் lne=1.

    எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 மற்றும் .

    இரண்டின் பொருளின் மடக்கை நேர்மறை எண்கள் x மற்றும் y இந்த எண்களின் மடக்கைகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . ஒரு பொருளின் மடக்கையின் சொத்தை நிரூபிப்போம். பட்டத்தின் பண்புகள் காரணமாக a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, மற்றும் முக்கிய மடக்கை அடையாளத்தின் மூலம் ஒரு பதிவு a x =x மற்றும் ஒரு log a y =y, பின்னர் ஒரு log a x ·a log a y =x·y. இவ்வாறு, ஒரு பதிவு a x+log a y =x·y, இதில் இருந்து, மடக்கையின் வரையறையின்படி, சமத்துவம் பின்வருமாறு நிரூபிக்கப்படுகிறது.

    ஒரு தயாரிப்பின் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்போம்: பதிவு 5 (2 3)=பதிவு 5 2+பதிவு 5 3 மற்றும் .

    ஒரு பொருளின் மடக்கையின் பண்பு நேர்மறை எண்கள் x 1 , x 2 , ..., x n என வரையறுக்கப்பட்ட எண் n இன் பெருக்கத்திற்கு பொதுமைப்படுத்தப்படலாம் பதிவு a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . இந்த சமத்துவத்தை பிரச்சனைகள் இல்லாமல் நிரூபிக்க முடியும்.

    எடுத்துக்காட்டாக, உற்பத்தியின் இயற்கை மடக்கை 4, e மற்றும் எண்களின் மூன்று இயற்கை மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையால் மாற்றப்படலாம்.

    இரண்டு நேர்மறை எண்களின் கோட்பாட்டின் மடக்கை x மற்றும் y இந்த எண்களின் மடக்கைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம். ஒரு கோட்பாட்டின் மடக்கையின் பண்பு, படிவத்தின் சூத்திரத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, இதில் a>0, a≠1, x மற்றும் y ஆகியவை சில நேர்மறை எண்களாகும். இந்த சூத்திரத்தின் செல்லுபடியாகும் தன்மையும், ஒரு தயாரிப்பின் மடக்கைக்கான சூத்திரமும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது: முதல் , பின்னர் ஒரு மடக்கையின் வரையறை.

    மடக்கையின் இந்த பண்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு இங்கே: .

    நாம் செல்லலாம் சக்தியின் மடக்கையின் சொத்து. ஒரு பட்டத்தின் மடக்கையானது அடுக்கு மற்றும் இந்த பட்டத்தின் அடிப்பகுதியின் மாடுலஸின் மடக்கையின் பெருக்கத்திற்கு சமம். ஒரு சக்தியின் மடக்கையின் இந்த பண்பை ஒரு சூத்திரமாக எழுதுவோம்: log a b p =p·log a |b|, இதில் a>0, a≠1, b மற்றும் p ஆகியவை எண்களாகும், அதாவது பட்டம் b p மற்றும் b p >0.

    முதலில் இந்த சொத்தை நேர்மறை b க்கு நிரூபிக்கிறோம். அடிப்படை மடக்கை அடையாளமானது, ஒரு log a b என்ற எண்ணைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த அனுமதிக்கிறது, பின்னர் b p =(a log a b) p , மற்றும் இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடு, சக்தியின் பண்பு காரணமாக, p·log a b க்கு சமமாக இருக்கும். எனவே நாம் சமத்துவத்திற்கு வருகிறோம் b p =a p·log a b, இதிலிருந்து, ஒரு மடக்கையின் வரையறையின்படி, log a b p =p·log a b என்று முடிவு செய்கிறோம்.

    இந்த சொத்தை நெகடிவ் பிக்கு நிரூபிக்க வேண்டும். எதிர்மறையான bக்கான log a b p என்ற வெளிப்பாடு, p என்ற அடுக்குகளுக்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் என்பதை இங்கே நாம் கவனிக்கிறோம் (பட்டம் b p இன் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், இல்லையெனில் மடக்கைக்கு அர்த்தம் இருக்காது), மேலும் இந்த வழக்கில் b p =|b| ப. பிறகு b p =|b| p =(ஒரு பதிவு a |b|) p =a p·log a |b|, எங்கிருந்து log a b p =p·log a |b| .

    உதாரணமாக, மற்றும் ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    இது முந்தைய சொத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது மூலத்திலிருந்து மடக்கையின் பண்பு: nவது மூலத்தின் மடக்கையானது, தீவிர வெளிப்பாட்டின் மடக்கையின் மூலம் 1/n பின்னத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமம், அதாவது, , இங்கு a>0, a≠1, n என்பது ஒன்றை விட அதிகமான இயற்கை எண், b>0.

    ஆதாரம் சமத்துவத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது (பார்க்க), இது எந்த நேர்மறை b க்கும் செல்லுபடியாகும், மற்றும் சக்தியின் மடக்கையின் பண்பு: .

    இந்த சொத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு இங்கே: .

    இப்போது நிரூபிப்போம் புதிய மடக்கை தளத்திற்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரம்வகையான . இதைச் செய்ய, சமத்துவப் பதிவேடு c b=log a b·log c a இன் செல்லுபடியை நிரூபிக்க போதுமானது. அடிப்படை மடக்கை அடையாளம் b எண்ணை ஒரு log a b ஆகக் குறிப்பிட அனுமதிக்கிறது, பின்னர் log c b=log c a log a b . பட்டத்தின் மடக்கையின் சொத்தைப் பயன்படுத்த இது உள்ளது: log c a log a b =log a b log c a. இது சமத்துவப் பதிவேடு c b=log a b·log c a ஐ நிரூபிக்கிறது, அதாவது புதிய மடக்கைத் தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரமும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

    மடக்கைகளின் இந்த பண்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்பிப்போம்: மற்றும் .

    புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரம், "வசதியான" தளத்தைக் கொண்ட மடக்கைகளுடன் பணிபுரிய உங்களை அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கை அல்லது தசம மடக்கைகளுக்குச் செல்ல இதைப் பயன்படுத்தலாம், இதன் மூலம் மடக்கைகளின் அட்டவணையில் இருந்து மடக்கையின் மதிப்பைக் கணக்கிடலாம். ஒரு புதிய மடக்கை தளத்திற்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரம், சில சமயங்களில், மற்ற தளங்களுடனான சில மடக்கைகளின் மதிப்புகள் அறியப்படும் போது கொடுக்கப்பட்ட மடக்கையின் மதிப்பைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

    அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது சிறப்பு வழக்குவடிவத்தின் c=b உடன் மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்கள் . இது log a b மற்றும் log b a – என்று காட்டுகிறது. உதாரணமாக, .

    சூத்திரமும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது , மடக்கை மதிப்புகளைக் கண்டறிய இது வசதியானது. எங்கள் வார்த்தைகளை உறுதிப்படுத்த, படிவத்தின் மடக்கையின் மதிப்பைக் கணக்கிட அதை எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம் என்பதைக் காண்பிப்போம். எங்களிடம் உள்ளது . சூத்திரத்தை நிரூபிக்க மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் போதும் a: .

    மடக்கைகளின் ஒப்பீட்டு பண்புகளை நிரூபிக்க இது உள்ளது.

    எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் b 1 மற்றும் b 2, b 1 என்பதை நிரூபிப்போம் log a b 2 , மற்றும் a>1 க்கு – சமத்துவமின்மை பதிவு a b 1

    இறுதியாக, மடக்கைகளின் பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகளில் கடைசியாக நிரூபிக்க இது உள்ளது. அதன் முதல் பகுதியின் ஆதாரத்திற்கு நம்மை மட்டுப்படுத்துவோம், அதாவது, 1 >1, 2 >1 மற்றும் 1 என நிரூபிப்போம். 1 உண்மை பதிவு a 1 ​​b>log a 2 b . மடக்கைகளின் இந்த சொத்தின் மீதமுள்ள அறிக்கைகள் இதேபோன்ற கொள்கையின்படி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன.

    எதிர் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். ஒரு 1 >1, a 2 >1 மற்றும் a 1 என்று வைத்துக்கொள்வோம் 1 உண்மை பதிவு a 1 ​​b≤log a 2 b . மடக்கைகளின் பண்புகளின் அடிப்படையில், இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம் மற்றும் முறையே, அவற்றிலிருந்து முறையே log b a 1 ≤log b a 2 மற்றும் log b a 1 ≥log b a 2 எனப் பின்தொடர்கிறது. பின்னர், அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட சக்திகளின் பண்புகளின்படி, சமத்துவங்கள் b log b a 1 ≥b log b a 2 மற்றும் b log b a 1 ≥b log b a 2 ஆகியவற்றை வைத்திருக்க வேண்டும், அதாவது a 1 ​​≥a 2 . எனவே நாங்கள் நிபந்தனை a 1 க்கு முரண்பட்டோம்

குறிப்புகள்.

  • கோல்மோகோரோவ் ஏ.என்., அப்ரமோவ் ஏ.எம்., டட்னிட்சின் யூ.பி. மற்றும் பிற இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 10 - 11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல்.
  • குசெவ் வி.ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு).

சமூகம் வளர்ச்சியடைந்து உற்பத்தி சிக்கலானதாக மாறியதால், கணிதமும் வளர்ந்தது. எளிமையானது முதல் சிக்கலானது வரை இயக்கம். கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி சாதாரண கணக்கியலில் இருந்து, மீண்டும் மீண்டும் மீண்டும் செய்வதன் மூலம், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் என்ற கருத்துக்கு வந்தோம். பெருக்கத்தின் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டைக் குறைப்பது அதிவேகத்தின் கருத்தாக மாறியது. எண்களின் அடிப்படை மற்றும் அதிவேக எண்ணிக்கையின் முதல் அட்டவணைகள் 8 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்திய கணிதவியலாளர் வரசேனாவால் தொகுக்கப்பட்டது. அவற்றிலிருந்து நீங்கள் மடக்கைகள் ஏற்படும் நேரத்தை எண்ணலாம்.

வரலாற்று ஓவியம்

16 ஆம் நூற்றாண்டில் ஐரோப்பாவின் மறுமலர்ச்சியும் இயக்கவியலின் வளர்ச்சியைத் தூண்டியது. டி ஒரு பெரிய அளவு கணக்கீடு தேவைபல இலக்க எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் தொடர்பானது. பழங்கால அட்டவணைகள் சிறந்த சேவையாக இருந்தன. சிக்கலான செயல்பாடுகளை எளிமையானவற்றுடன் மாற்றுவதை அவர்கள் சாத்தியமாக்கினர் - கூட்டல் மற்றும் கழித்தல். 1544 இல் வெளியிடப்பட்ட கணிதவியலாளர் மைக்கேல் ஸ்டீஃபலின் பணி ஒரு பெரிய படியாகும், அதில் அவர் பல கணிதவியலாளர்களின் யோசனையை உணர்ந்தார். இது பகா எண்களின் வடிவில் உள்ள சக்திகளுக்கு மட்டுமல்ல, தன்னிச்சையான பகுத்தறிவுகளுக்கும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்துவதை சாத்தியமாக்கியது.

1614 ஆம் ஆண்டில், ஸ்காட்ஸ்மேன் ஜான் நேப்பியர், இந்த யோசனைகளை உருவாக்கி, "ஒரு எண்ணின் மடக்கை" என்ற புதிய வார்த்தையை முதலில் அறிமுகப்படுத்தினார். சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் மடக்கைகள் மற்றும் தொடுகோடுகளைக் கணக்கிட புதிய சிக்கலான அட்டவணைகள் தொகுக்கப்பட்டன. இது வானியலாளர்களின் பணியை வெகுவாகக் குறைத்தது.

புதிய அட்டவணைகள் தோன்றத் தொடங்கின, அவை மூன்று நூற்றாண்டுகளாக விஞ்ஞானிகளால் வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்தப்பட்டன. இயற்கணிதத்தில் புதிய செயல்பாடு அதன் முடிக்கப்பட்ட வடிவத்தைப் பெறுவதற்கு முன்பு நிறைய நேரம் கடந்துவிட்டது. மடக்கையின் வரையறை கொடுக்கப்பட்டது மற்றும் அதன் பண்புகள் ஆய்வு செய்யப்பட்டது.

20 ஆம் நூற்றாண்டில், கால்குலேட்டர் மற்றும் கணினியின் வருகையுடன், 13 ஆம் நூற்றாண்டு முழுவதும் வெற்றிகரமாக வேலை செய்த பண்டைய அட்டவணைகளை மனிதகுலம் கைவிட்டது.

இன்று நாம் b இன் மடக்கையை a x என்ற எண்ணை அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளோம், இது b ஐ உருவாக்கும் சக்தியாகும். இது ஒரு சூத்திரமாக எழுதப்பட்டுள்ளது: x = log a(b).

எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 3(9) 2 க்கு சமமாக இருக்கும். நீங்கள் வரையறையைப் பின்பற்றினால் இது தெளிவாகத் தெரியும். நாம் 3 ஐ 2 இன் சக்திக்கு உயர்த்தினால், நமக்கு 9 கிடைக்கும்.

எனவே, வடிவமைக்கப்பட்ட வரையறை ஒரே ஒரு வரம்பை அமைக்கிறது: எண்கள் a மற்றும் b உண்மையானதாக இருக்க வேண்டும்.

மடக்கைகளின் வகைகள்

உன்னதமான வரையறை உண்மையான மடக்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் உண்மையில் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு a x = b. விருப்பம் a = 1 என்பது எல்லைக்கோடு மற்றும் ஆர்வம் இல்லை. கவனம்: எந்த சக்திக்கும் 1 என்பது 1க்கு சமம்.

மடக்கையின் உண்மையான மதிப்புஅடிப்படை மற்றும் வாதம் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்போது மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் அடிப்படை 1 க்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது.

கணிதத் துறையில் தனி இடம்மடக்கைகளை இயக்கவும், அவை அவற்றின் தளத்தின் அளவைப் பொறுத்து பெயரிடப்படும்:

விதிகள் மற்றும் கட்டுப்பாடுகள்

மடக்கைகளின் அடிப்படைப் பண்பு விதி: ஒரு பொருளின் மடக்கை மடக்கைத் தொகைக்கு சமம். பதிவு abp = பதிவு a(b) + log a(p).

இந்த அறிக்கையின் மாறுபாடாக இது இருக்கும்: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), quotient செயல்பாடு செயல்பாடுகளின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

முந்தைய இரண்டு விதிகளிலிருந்து இதைப் பார்ப்பது எளிது: log a(b p) = p * log a(b).

மற்ற பண்புகள் அடங்கும்:

கருத்து. பொதுவான தவறைச் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை - ஒரு தொகையின் மடக்கை மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்காது.

பல நூற்றாண்டுகளாக, மடக்கைக் கண்டறிதல் என்பது நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் பணியாக இருந்தது. கணிதவியலாளர்கள் பல்லுறுப்புக்கோவை விரிவாக்கத்தின் மடக்கைக் கோட்பாட்டின் நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினர்:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), இங்கு n என்பது 1 ஐ விட அதிகமான இயற்கை எண்ணாகும், இது கணக்கீட்டின் துல்லியத்தை தீர்மானிக்கிறது.

மற்ற தளங்களுடனான மடக்கைகள் ஒரு தளத்திலிருந்து மற்றொரு தளத்திற்கு மாறுவது மற்றும் தயாரிப்பின் மடக்கையின் பண்பு பற்றிய தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்டன.

இந்த முறை மிகவும் உழைப்பு-தீவிரமானது மற்றும் நடைமுறை சிக்கல்களை தீர்க்கும் போதுசெயல்படுத்த கடினமாக உள்ளது, நாங்கள் மடக்கைகளின் முன் தொகுக்கப்பட்ட அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தினோம், இது அனைத்து வேலைகளையும் கணிசமாக துரிதப்படுத்தியது.

சில சந்தர்ப்பங்களில், மடக்கைகளின் சிறப்பாக தொகுக்கப்பட்ட வரைபடங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன, இது குறைவான துல்லியத்தை அளித்தது, ஆனால் விரும்பிய மதிப்பிற்கான தேடலை கணிசமாக துரிதப்படுத்தியது. y = log a(x) செயல்பாட்டின் வளைவு, பல புள்ளிகளில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது, வேறு எந்த புள்ளியிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிய வழக்கமான ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்த உங்களை அனுமதிக்கிறது. பொறியாளர்கள் நீண்ட காலமாக இந்த நோக்கங்களுக்காக வரைபட காகிதம் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.

17 ஆம் நூற்றாண்டில், முதல் துணை அனலாக் கம்ப்யூட்டிங் நிலைமைகள் தோன்றின, இது 19 ஆம் நூற்றாண்டில் ஒரு முழுமையான வடிவத்தைப் பெற்றது. மிகவும் வெற்றிகரமான சாதனம் ஸ்லைடு விதி என்று அழைக்கப்பட்டது. சாதனத்தின் எளிமை இருந்தபோதிலும், அதன் தோற்றம் அனைத்து பொறியியல் கணக்கீடுகளின் செயல்முறையையும் கணிசமாக துரிதப்படுத்தியது, மேலும் இது மிகைப்படுத்துவது கடினம். தற்போது, ​​சிலருக்கு இந்த சாதனம் தெரிந்திருக்கிறது.

கால்குலேட்டர்கள் மற்றும் கணினிகளின் வருகை மற்ற சாதனங்களைப் பயன்படுத்துவதை அர்த்தமற்றதாக்கியது.

சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

மடக்கைகளைப் பயன்படுத்தி பல்வேறு சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க, பின்வரும் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

  • ஒரு தளத்திலிருந்து மற்றொன்றுக்கு நகரும்: பதிவு a(b) = log c(b) / log c(a);
  • முந்தைய விருப்பத்தின் விளைவாக: log a(b) = 1 / log b(a).

ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க, தெரிந்து கொள்வது பயனுள்ளது:

  • தளம் மற்றும் வாதம் இரண்டும் ஒன்றுக்கு அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருந்தால் மட்டுமே மடக்கையின் மதிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும்; குறைந்தபட்சம் ஒரு நிபந்தனையை மீறினால், மடக்கை மதிப்பு எதிர்மறையாக இருக்கும்.
  • மடக்கைச் செயல்பாடு ஒரு சமத்துவமின்மையின் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களுக்குப் பயன்படுத்தப்பட்டு, மடக்கையின் அடிப்பகுதி ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் பாதுகாக்கப்படுகிறது; இல்லையெனில் அது மாறுகிறது.

மாதிரி சிக்கல்கள்

மடக்கைகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான பல விருப்பங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம். சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

மடக்கையை ஒரு சக்தியில் வைப்பதற்கான விருப்பத்தைக் கவனியுங்கள்:

  • சிக்கல் 3. 25^log 5(3)ஐக் கணக்கிடுக. தீர்வு: சிக்கலின் நிலைமைகளில், உள்ளீடு பின்வரும் (5^2)^log5(3) அல்லது 5^(2 * log 5(3)) போன்றது. அதை வேறு விதமாக எழுதலாம்: 5^log 5(3*2), அல்லது ஒரு சார்பு வாதமாக ஒரு எண்ணின் வர்க்கத்தை செயல்பாட்டின் வர்க்கமாக எழுதலாம் (5^log 5(3))^2. மடக்கைகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, இந்த வெளிப்பாடு 3^2 க்கு சமம். பதில்: கணக்கீட்டின் விளைவாக நாம் 9 ஐப் பெறுகிறோம்.

நடைமுறை பயன்பாடு

முற்றிலும் கணிதக் கருவியாக இருப்பதால், நிஜ உலகில் உள்ள பொருள்களை விவரிக்க மடக்கை திடீரென்று பெரும் முக்கியத்துவத்தைப் பெற்றுள்ளது என்பது நிஜ வாழ்க்கையிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது. பயன்படுத்தப்படாத அறிவியலைக் கண்டுபிடிப்பது கடினம். இது இயற்கைக்கு மட்டுமல்ல, மனிதாபிமான அறிவுத் துறைகளுக்கும் முழுமையாகப் பொருந்தும்.

மடக்கை சார்புகள்

எண் சார்புகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

இயக்கவியல் மற்றும் இயற்பியல்

வரலாற்று ரீதியாக, இயக்கவியல் மற்றும் இயற்பியல் எப்போதுமே கணித ஆராய்ச்சி முறைகளைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்பட்டன, அதே நேரத்தில் மடக்கைகள் உட்பட கணிதத்தின் வளர்ச்சிக்கு ஊக்கமளிக்கின்றன. இயற்பியலின் பெரும்பாலான விதிகளின் கோட்பாடு கணிதத்தின் மொழியில் எழுதப்பட்டுள்ளது. மடக்கையைப் பயன்படுத்தி இயற்பியல் விதிகளை விவரிக்கும் இரண்டு உதாரணங்களை மட்டும் தருவோம்.

ராக்கெட்டின் வேகம் போன்ற சிக்கலான அளவைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலை, சியோல்கோவ்ஸ்கி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும், இது விண்வெளி ஆய்வுக் கோட்பாட்டிற்கு அடித்தளம் அமைத்தது:

V = I * ln (M1/M2), எங்கே

  • V என்பது விமானத்தின் இறுதி வேகம்.
  • நான் - இயந்திரத்தின் குறிப்பிட்ட தூண்டுதல்.
  • எம் 1 - ராக்கெட்டின் ஆரம்ப நிறை.
  • M 2 - இறுதி நிறை.

மற்றொரு முக்கியமான உதாரணம்- இது மற்றொரு சிறந்த விஞ்ஞானியான மேக்ஸ் பிளாங்கின் சூத்திரத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது வெப்ப இயக்கவியலில் சமநிலை நிலையை மதிப்பிட உதவுகிறது.

S = k * ln (Ω), எங்கே

  • எஸ் - வெப்ப இயக்கவியல் பண்பு.
  • கே - போல்ட்ஸ்மேன் மாறிலி.
  • Ω என்பது வெவ்வேறு மாநிலங்களின் புள்ளிவிவர எடை.

வேதியியல்

மடக்கைகளின் விகிதத்தைக் கொண்ட வேதியியலில் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது குறைவான வெளிப்படையானது. இரண்டு உதாரணங்களை மட்டும் தருவோம்:

  • நெர்ன்ஸ்ட் சமன்பாடு, பொருட்களின் செயல்பாடு மற்றும் சமநிலை மாறிலி ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய ஊடகத்தின் ரெடாக்ஸ் திறனின் நிலை.
  • ஆட்டோலிசிஸ் இன்டெக்ஸ் மற்றும் கரைசலின் அமிலத்தன்மை போன்ற மாறிலிகளின் கணக்கீடும் நமது செயல்பாடு இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

உளவியல் மற்றும் உயிரியல்

மேலும் உளவியலுக்கும் இதற்கும் என்ன சம்பந்தம் என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. இந்தச் செயல்பாட்டின் மூலம் உணர்வின் வலிமையானது தூண்டுதலின் தீவிர மதிப்பின் தலைகீழ் விகிதமாக குறைந்த தீவிர மதிப்புக்கு நன்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ளது.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பிறகு, மடக்கைகளின் தலைப்பு உயிரியலில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதில் ஆச்சரியமில்லை. மடக்கைச் சுழல்களுடன் தொடர்புடைய உயிரியல் வடிவங்களைப் பற்றி முழு தொகுதிகளும் எழுதப்படலாம்.

மற்ற பகுதிகள்

இந்த செயல்பாட்டுடன் தொடர்பு இல்லாமல் உலகின் இருப்பு சாத்தியமற்றது என்று தோன்றுகிறது, மேலும் அது அனைத்து சட்டங்களையும் கட்டுப்படுத்துகிறது. குறிப்பாக இயற்கையின் விதிகள் வடிவியல் முன்னேற்றத்துடன் தொடர்புடையதாக இருக்கும் போது. MatProfi வலைத்தளத்திற்குத் திரும்புவது மதிப்புக்குரியது, மேலும் பின்வரும் செயல்பாடுகளில் இதுபோன்ற பல எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன:

பட்டியல் முடிவற்றதாக இருக்கலாம். இந்த செயல்பாட்டின் அடிப்படைக் கொள்கைகளில் தேர்ச்சி பெற்ற பிறகு, நீங்கள் எல்லையற்ற ஞானத்தின் உலகில் மூழ்கலாம்.

மடக்கை வெளிப்பாடுகள், தீர்க்கும் எடுத்துக்காட்டுகள். இந்தக் கட்டுரையில் மடக்கைகளைத் தீர்ப்பது தொடர்பான சிக்கல்களைப் பார்ப்போம். பணிகள் ஒரு வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியும் கேள்வியைக் கேட்கின்றன. மடக்கையின் கருத்து பல பணிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் அதன் பொருளைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியமானது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வைப் பொறுத்தவரை, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​பயன்பாட்டு சிக்கல்களில் மற்றும் செயல்பாடுகளின் ஆய்வு தொடர்பான பணிகளில் மடக்கை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மடக்கையின் பொருளைப் புரிந்துகொள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்:


அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்:

எப்போதும் நினைவில் கொள்ள வேண்டிய மடக்கைகளின் பண்புகள்:

*பொருளின் மடக்கையானது காரணிகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

* * *

*ஒரு விகுதியின் மடக்கை (பிராக்ஷன்) காரணிகளின் மடக்கைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

* * *

*ஒரு சக்தியின் மடக்கையானது அதிவேகத்தின் பெருக்கத்திற்கும் அதன் தளத்தின் மடக்கைக்கும் சமம்.

* * *

*புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுதல்

* * *

மேலும் பண்புகள்:

* * *

மடக்கைகளின் கணக்கீடு அடுக்குகளின் பண்புகளின் பயன்பாட்டுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது.

அவற்றில் சிலவற்றை பட்டியலிடுவோம்:

இந்த சொத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், எண் வகுப்பிற்கு மாற்றப்படும்போது மற்றும் அதற்கு நேர்மாறாக, அதிவேகத்தின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறுகிறது. உதாரணமாக:

இந்த சொத்திலிருந்து ஒரு தொடர்ச்சி:

* * *

ஒரு சக்தியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும் போது, ​​அடித்தளம் அப்படியே இருக்கும், ஆனால் அடுக்குகள் பெருக்கப்படுகின்றன.

* * *

நீங்கள் பார்த்தபடி, மடக்கையின் கருத்து எளிமையானது. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், உங்களுக்கு நல்ல பயிற்சி தேவை, இது உங்களுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட திறனை அளிக்கிறது. நிச்சயமாக, சூத்திரங்கள் பற்றிய அறிவு தேவை. அடிப்படை மடக்கைகளை மாற்றும் திறன் உருவாக்கப்படவில்லை என்றால், எளிய பணிகளைத் தீர்க்கும்போது நீங்கள் எளிதாக தவறு செய்யலாம்.

பயிற்சி, கணித பாடத்தில் இருந்து எளிமையான உதாரணங்களை முதலில் தீர்க்கவும், பின்னர் மிகவும் சிக்கலானவற்றுக்கு செல்லவும். எதிர்காலத்தில், "அசிங்கமான" மடக்கைகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை நான் நிச்சயமாகக் காண்பிப்பேன், இவை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தோன்றாது, ஆனால் அவை ஆர்வமாக உள்ளன, அவற்றைத் தவறவிடாதீர்கள்!

அவ்வளவுதான்! உங்களுக்கு நல்ல அதிர்ஷ்டம்!

உண்மையுள்ள, அலெக்சாண்டர் க்ருடிட்ஸ்கிக்

பி.எஸ்: சமூக வலைப்பின்னல்களில் தளத்தைப் பற்றி என்னிடம் சொன்னால் நான் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன்.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

இன்னும் எளிமையாக விளக்குவோம். எடுத்துக்காட்டாக, \(\log_(2)(8)\) என்பது \(8\) பெற \(2\) உயர்த்தப்பட வேண்டிய சக்திக்கு சமம். இதிலிருந்து \(\log_(2)(8)=3\) என்பது தெளிவாகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

\(\log_(5)(25)=2\)

ஏனெனில் \(5^(2)=25\)

\(\log_(3)(81)=4\)

ஏனெனில் \(3^(4)=81\)

\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)

ஏனெனில் \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

மடக்கையின் வாதம் மற்றும் அடிப்படை

எந்த மடக்கையிலும் பின்வரும் "உடற்கூறியல்" உள்ளது:

ஒரு மடக்கையின் வாதம் பொதுவாக அதன் மட்டத்தில் எழுதப்படுகிறது, மேலும் தளமானது மடக்கை அடையாளத்திற்கு நெருக்கமாக சப்ஸ்கிரிப்டில் எழுதப்படுகிறது. மேலும் இந்த பதிவு இப்படி உள்ளது: "இருபத்தைந்து முதல் அடிப்படை ஐந்து வரையிலான மடக்கை."

மடக்கையை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

மடக்கை கணக்கிட, நீங்கள் கேள்விக்கு பதிலளிக்க வேண்டும்: வாதத்தைப் பெற எந்த சக்திக்கு அடித்தளத்தை உயர்த்த வேண்டும்?

உதாரணமாக, மடக்கை கணக்கிடவும்: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

அ) \(16\) பெறுவதற்கு \(4\) எந்த சக்திக்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும்? வெளிப்படையாக இரண்டாவது. அதனால்தான்:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) பெற \(\sqrt(5)\) எந்த அதிகாரத்திற்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும்? எந்த சக்தியை நம்பர் ஒன் ஆக்குகிறது? பூஜ்யம், நிச்சயமாக!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

ஈ) \(\sqrt(7)\) பெறுவதற்கு \(\sqrt(7)\) எந்த அதிகாரத்திற்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும்? முதலாவதாக, எந்த எண்ணும் முதல் சக்திக்கு சமமாக இருக்கும்.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

இ) \(\sqrt(3)\) பெறுவதற்கு \(3\) எந்த அதிகாரத்திற்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும்? இது ஒரு பகுதியளவு சக்தி என்பதை நாம் அறிவோம், அதாவது வர்க்கமூலம் என்பது \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

உதாரணம் : மடக்கை கணக்கிடு \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

தீர்வு :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)

மடக்கையின் மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதை x எனக் குறிப்பிடலாம். இப்போது மடக்கையின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம்:
\(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)

\((4\sqrt(2))^(x)=8\)

\(4\sqrt(2)\) மற்றும் \(8\) என்ன இணைக்கிறது? இரண்டு, ஏனெனில் இரண்டு எண்களையும் இரண்டால் குறிப்பிடலாம்:
\(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)

\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)

இடதுபுறத்தில் நாம் பட்டத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) மற்றும் \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)

\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)

அடிப்படைகள் சமம், நாங்கள் குறிகாட்டிகளின் சமத்துவத்திற்கு செல்கிறோம்

\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \(\frac(2)(5)\) ஆல் பெருக்கவும்

இதன் விளைவாக வரும் மூலமானது மடக்கையின் மதிப்பாகும்

பதில் : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

மடக்கை ஏன் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது?

இதைப் புரிந்துகொள்ள, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்: \(3^(x)=9\). சமன்பாடு செயல்பட \(x\) ஐ பொருத்தவும். நிச்சயமாக, \(x=2\).

இப்போது சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: \(3^(x)=8\).x என்பது எதற்கு சமம்? அதுதான் விஷயம்.

புத்திசாலிகள் சொல்வார்கள்: "X என்பது இரண்டை விட சற்று குறைவு." இந்த எண்ணை எப்படி சரியாக எழுதுவது? இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, மடக்கை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அவருக்கு நன்றி, இங்கே பதில் \(x=\log_(3)(8)\) என எழுதலாம்.

\(\log_(3)(8)\), போன்றவற்றை நான் வலியுறுத்த விரும்புகிறேன் எந்த மடக்கையும் ஒரு எண் மட்டுமே. ஆம், இது அசாதாரணமானது, ஆனால் அது குறுகியது. ஏனெனில் அதை தசமமாக எழுத விரும்பினால், அது இப்படி இருக்கும்: \(1.892789260714.....\)

உதாரணம் : சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் \(4^(5x-4)=10\)

தீர்வு :

\(4^(5x-4)=10\)

\(4^(5x-4)\) மற்றும் \(10\) ஆகியவற்றை ஒரே தளத்தில் கொண்டு வர முடியாது. இதன் பொருள் மடக்கை இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

மடக்கையின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம்:
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

\(\log_(4)(10)=5x-4\)

சமன்பாட்டை புரட்டுவோம், அதனால் X இடதுபுறம் இருக்கும்

\(5x-4=\log_(4)(10)\)

எங்களுக்கு முன். \(4\) வலதுபுறம் நகர்த்துவோம்.

மற்றும் மடக்கைக்கு பயப்பட வேண்டாம், அதை ஒரு சாதாரண எண்ணாக கருதுங்கள்.

\(5x=\log_(4)(10)+4\)

சமன்பாட்டை 5 ஆல் வகுக்கவும்

\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

இதுவே நமது வேர். ஆம், இது அசாதாரணமாகத் தெரிகிறது, ஆனால் அவர்கள் பதிலைத் தேர்ந்தெடுக்கவில்லை.

பதில் : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

தசம மற்றும் இயற்கை மடக்கைகள்

மடக்கையின் வரையறையில் கூறப்பட்டுள்ளபடி, அதன் அடிப்படை ஒன்று \((a>0, a\neq1)\) தவிர வேறு எந்த நேர்மறை எண்ணாகவும் இருக்கலாம். சாத்தியமான அனைத்து அடிப்படைகளிலும், அடிக்கடி நிகழும் இரண்டு உள்ளன, அவற்றுடன் மடக்கைகளுக்கு ஒரு சிறப்பு குறுகிய குறியீடு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது:

இயற்கை மடக்கை: ஆய்லரின் எண் \(e\) (தோராயமாக \(2.7182818…\)க்கு சமம்) மற்றும் மடக்கை \(\ln(a)\) என எழுதப்பட்ட மடக்கை.

அதாவது, \(\ln(a)\) என்பது \(\log_(e)(a)\)

தசம மடக்கை: 10 அடியாக இருக்கும் மடக்கை \(\lg(a)\) என்று எழுதப்படுகிறது.

அதாவது, \(\lg(a)\) என்பது \(\log_(10)(a)\), \(a\) என்பது சில எண்.

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

மடக்கைகள் பல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. அவற்றில் ஒன்று "அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது போல் தெரிகிறது:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

இந்த சொத்து வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்தொடர்கிறது. இந்த ஃபார்முலா எப்படி வந்தது என்று பார்ப்போம்.

மடக்கையின் வரையறையின் ஒரு சிறிய குறிப்பை நினைவு கூர்வோம்:

\(a^(b)=c\), பிறகு \(\log_(a)(c)=b\)

அதாவது, \(b\) என்பது \(\log_(a)(c)\). பிறகு \(a^(b)=c\) சூத்திரத்தில் \(b\) என்பதற்கு பதிலாக \(\log_(a)(c)\) என்று எழுதலாம். இது \(a^(\log_(a)(c))=c\) - முக்கிய மடக்கை அடையாளம்.

மடக்கைகளின் பிற பண்புகளை நீங்கள் காணலாம். அவர்களின் உதவியுடன், நீங்கள் நேரடியாக கணக்கிட கடினமாக இருக்கும் மடக்கைகளுடன் வெளிப்பாடுகளின் மதிப்புகளை எளிதாக்கலாம் மற்றும் கணக்கிடலாம்.

உதாரணம் : வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் \(36^(\log_(6)(5))\)

தீர்வு :

பதில் : \(25\)

ஒரு எண்ணை மடக்கையாக எழுதுவது எப்படி?

மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, எந்த மடக்கையும் ஒரு எண் மட்டுமே. உரையாடலும் உண்மைதான்: எந்த எண்ணையும் மடக்கையாக எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, \(\log_(2)(4)\) என்பது இரண்டுக்கு சமம் என்பது நமக்குத் தெரியும். இரண்டுக்கு பதிலாக \(\log_(2)(4)\) என்று எழுதலாம்.

ஆனால் \(\log_(3)(9)\) என்பது \(2\) க்கு சமம், அதாவது \(2=\log_(3)(9)\) . அதேபோல \(\log_(5)(25)\), மற்றும் \(\log_(9)(81)\), போன்றவற்றுடன். அதாவது, அது மாறிவிடும்

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ பதிவு_(7)(49)...\)

எனவே, நமக்குத் தேவைப்பட்டால், எந்த இடத்திலும் (ஒரு சமன்பாட்டிலும், ஒரு வெளிப்பாட்டிலும், ஒரு சமத்துவமின்மையிலும் கூட) எந்த அடிப்படையிலும் இரண்டை மடக்கையாக எழுதலாம் - ஸ்கொயர் அடிப்பை ஒரு வாதமாக எழுதலாம்.

மும்மடங்கிலும் இதுவே தான் – இதை \(\log_(2)(8)\), அல்லது \(\log_(3)(27)\), அல்லது \(\log_(4)( என எழுதலாம். 64) \)... இங்கே நாம் கனசதுரத்தில் அடித்தளத்தை ஒரு வாதமாக எழுதுகிறோம்:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ பதிவு_(7)(343)...\)

மற்றும் நான்குடன்:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ பதிவு_(7)(2401)...\)

மற்றும் கழித்தல் ஒன்றுடன்:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

மற்றும் மூன்றில் ஒரு பகுதியுடன்:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

எந்த எண்ணையும் \(a\) அடிப்படை \(b\) கொண்ட மடக்கையாகக் குறிப்பிடலாம்: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

உதாரணம் : வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியவும் \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

தீர்வு :

பதில் : \(1\)