தீர்க்கப்பட்ட சிக்கல்களை மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் முறை. மந்தநிலையைத் தீர்ப்பதற்கான மறுசெயல் முறைகள்

1. f(x) = 0 என்ற சமன்பாட்டின் ஒரு மூலத்தைக் கொண்ட ஒரு பிரிவை அறியலாம். f சார்பு இந்த பிரிவில் (f(x)OC 1) தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாகும். இந்த நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

2. f(x) செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, மூன்று நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் ஒரு சார்பு j(x) கட்டமைக்கப்படுகிறது: அது தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும் (j(x)OC 1 ), அதாவது சமன்பாடு x = j(x) என்பது f(x)=0 சமன்பாட்டிற்கு சமம்; வேண்டும் ஒரு பகுதியை மொழிபெயர்க்கவும் உங்களுக்குள்.

செயல்பாடு j என்று சொல்வோம் (எக்ஸ் ) பகுதியை மொழிபெயர்க்கிறது [அ , பி ] உங்களுக்குள், யாருக்காகவும் இருந்தால்எக்ஸ் Î [ அ , பி ], ஒய் = ஜே (எக்ஸ் ) சொந்தமானது[ அ , பி ] (ஒய் Î [ அ , பி ]).

மூன்றாவது நிபந்தனை j(x) செயல்பாட்டின் மீது விதிக்கப்பட்டுள்ளது:

முறை சூத்திரம்: x n +1 = j(xn)

3. இந்த மூன்று நிபந்தனைகளும் ஏதேனும் ஆரம்ப தோராயமான x பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் 0 மறு செய்கைகளின் வரிசை x n +1 = j(x n) சமன்பாட்டின் மூலத்துடன் ஒன்றிணைகிறது: x = j(x) பிரிவில் ().

ஒரு விதியாக, x 0 ஆக முனைகளில் ஒன்று தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

,

இதில் e என்பது குறிப்பிடப்பட்ட துல்லியம்

எண் x n +1 மறுசெயல் செயல்முறையை நிறுத்துவதற்கான நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், அது சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பு f(x) = 0 பிரிவில் , துல்லியத்துடன் எளிமையான மறு செய்கை முறை மூலம் கண்டறியப்பட்டதுஇ .

சமன்பாட்டின் மூலத்தை தெளிவுபடுத்த ஒரு அல்காரிதத்தை உருவாக்கவும்: x 3 + 5x – 1 = 0 துல்லியத்துடன் எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி e .

1. செயல்பாடு f(x) = x 3 +5x-1 சமன்பாட்டின் ஒரு மூலத்தைக் கொண்ட இடைவெளியில் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தப்படுகிறது.

2. எளிய மறு செய்கை முறையின் மிகப்பெரிய சிரமம், அனைத்து நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்யும் ஒரு செயல்பாட்டின் j(x) கட்டுமானமாகும்:

கருத்தில்: .

சமன்பாடு x = j 1 (x) சமன்பாடு f(x) = 0 க்கு சமமானது, ஆனால் j 1 (x) சார்பு இடைவெளியில் தொடர்ந்து வேறுபடுவதில்லை.

அரிசி. 2.4 செயல்பாட்டின் வரைபடம் j 2 (x)

மறுபுறம், எனவே, . எனவே: இது தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு. சமன்பாடு: x = j 2 (x) என்பது f(x) = 0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் . வரைபடத்திலிருந்து (படம். 2.4) j 2 (x) சார்பு பிரிவைத் தானே மாற்றுகிறது என்பது தெளிவாகிறது.

j(x) சார்பு பிரிவை தன்னகத்தே எடுத்துக்கொள்வதற்கான நிபந்தனை பின்வருமாறு மறுசீரமைக்கப்படலாம்: j(x) செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமாக இருக்கட்டும், மேலும் j(x) இன் மாறுபாட்டின் களமாக இருக்கட்டும்.

, .

j(x) செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளன.

மறுசெயல் முறை சூத்திரம்: x n +1 = ஜே 2(xn)

3. ஆரம்ப தோராயம்: x 0 = 0.

4. மீண்டும் செயல்படுவதை நிறுத்துவதற்கான நிபந்தனை:

அரிசி. 2.5 எளிய மறு செய்கை முறையின் வடிவியல் பொருள்

.

இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் x n +1 – பிரிவில் உள்ள ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பு, துல்லியத்துடன் எளிமையான மறு செய்கை மூலம் கண்டறியப்பட்டது இ. படத்தில். 2.5 எளிமையான மறு செய்கை முறையின் பயன்பாடு விளக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒருங்கிணைப்பு தேற்றம் மற்றும் பிழை மதிப்பீடு

பிரிவை விடுங்கள் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது x = j(x), செயல்பாடு j(x ) இடைவெளியில் தொடர்ந்து வேறுபடுகிறது , பகுதியை மொழிபெயர்க்கிறது தனக்குள்ளேயே, மற்றும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

.

பின்னர் எந்த ஆரம்ப தோராயத்திற்கும் x 0 ஓ அடுத்தடுத்து சமன்பாட்டின் மூலத்துடன் ஒன்றிணைகிறது ஒய் = j(x ) பிரிவில் மற்றும் பிழை மதிப்பீடு நியாயமானது:

.

எளிய மறு செய்கை முறையின் நிலைத்தன்மை. ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படும்போது, ​​எளிய மறு செய்கை முறையின் அல்காரிதம் நிலையானது.

எளிய மறு செய்கை முறையின் சிக்கலானது. எளிமையான மறு செய்கை முறையை செயல்படுத்த தேவையான கணினி நினைவகத்தின் அளவு அற்பமானது. ஒவ்வொரு அடியிலும் நீங்கள் x n ஐ சேமிக்க வேண்டும் , x n +1 , கே மற்றும் இ.

எண்ணிக்கையை மதிப்பிடுவோம் எண்கணித செயல்பாடுகள், எளிய மறு செய்கை முறையை செயல்படுத்துவது அவசியம். n 0 = n 0 (e) எண்ணுக்கான மதிப்பீட்டை எழுதுவோம், அதாவது அனைத்து n ³ n 0 க்கும் ஏற்றத்தாழ்வு உள்ளது:

இந்த மதிப்பீட்டிலிருந்து, q ஒன்றுக்கு நெருக்கமாக இருக்கும், மெதுவாக முறை ஒன்றிணைகிறது.

கருத்து. இல்லை பொது விதிஎஃப்(x) இலிருந்து j(x) ஐ உருவாக்குதல், இதனால் ஒன்றிணைந்த தேற்றத்தின் அனைத்து நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன. பின்வரும் அணுகுமுறை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது: j(x) = x + k× f(x) சார்பு j செயல்பாடாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, இங்கு k – நிலையான.

எளிமையான மறு செய்கை முறையை நிரலாக்கம் செய்யும் போது, ​​மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் செயல்முறையை நிறுத்துவதற்கு இரண்டு நிபந்தனைகளை ஒரே நேரத்தில் நிறைவேற்றுவது அவசியம்:

மற்றும் .

நாம் கருதும் மற்ற அனைத்து மறுசெயல் முறைகளும் எளிய மறு செய்கை முறையின் சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும். உதாரணமாக, எப்போது நியூட்டனின் முறையானது எளிமையான மறு செய்கை முறையின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு.

முறை எளிய மறு செய்கைகள்அசல் சமன்பாட்டை சமமான சமன்பாட்டுடன் மாற்றுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது:

மூலத்திற்கான ஆரம்ப தோராயத்தை அறியட்டும் x = x 0. அதை சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் (2.7) மாற்றினால், நாம் ஒரு புதிய தோராயத்தைப் பெறுகிறோம் , பின்னர் இதே வழியில் நாம் பெறுகிறோம் முதலியன:

. (2.8)

எல்லா நிபந்தனைகளின் கீழும் மறுசெயல் முறை சமன்பாட்டின் மூலத்துடன் ஒன்றிணைவதில்லை எக்ஸ். இந்த செயல்முறையை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம். படம் 2.6 ஒரு வழி குவியும் மற்றும் மாறுபட்ட செயல்முறையின் வரைகலை விளக்கத்தைக் காட்டுகிறது. படம் 2.7 இரண்டு வழி குவியும் மற்றும் மாறுபட்ட செயல்முறைகளைக் காட்டுகிறது. ஒரு மாறுபட்ட செயல்முறையானது வாதம் மற்றும் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளில் விரைவான அதிகரிப்பு மற்றும் தொடர்புடைய நிரலின் அசாதாரணமான முடிவு ஆகியவற்றால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது.

இரு வழி செயல்முறை மூலம், சைக்கிள் ஓட்டுதல் சாத்தியமாகும், அதாவது, அதே செயல்பாடு மற்றும் வாத மதிப்புகளின் முடிவில்லாத மறுபரிசீலனை. லூப்பிங் ஒரு மாறுபட்ட செயல்முறையை ஒன்றிணைந்த ஒன்றிலிருந்து பிரிக்கிறது.

ஒரு பக்க மற்றும் இரு பக்க செயல்முறைகளுக்கு, ரூட்டுடன் ஒன்றிணைவது, வேருக்கு அருகில் உள்ள வளைவின் சாய்வால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பது வரைபடங்களிலிருந்து தெளிவாகிறது. சிறிய சாய்வு, சிறந்த ஒருங்கிணைப்பு. அறியப்பட்டபடி, ஒரு வளைவின் சாய்வின் தொடுகோடு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வளைவின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம்.

எனவே, ரூட்டிற்கு அருகில் உள்ள சிறிய எண், செயல்முறை வேகமாக ஒன்றிணைகிறது.

மறு செய்கை செயல்முறை ஒன்றிணைவதற்கு, பின்வரும் சமத்துவமின்மை வேரின் சுற்றுப்புறத்தில் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:

சமன்பாடு (2.1) இலிருந்து சமன்பாட்டிற்கு (2.7) மாற்றத்தை மேற்கொள்ளலாம் வெவ்வேறு வழிகளில்செயல்பாட்டின் வகையைப் பொறுத்து f(x)அத்தகைய மாற்றத்தில், ஒருங்கிணைப்பு நிலை (2.9) திருப்தி அடையும் வகையில் செயல்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம்.

சமன்பாடு (2.1) இலிருந்து சமன்பாட்டிற்கு (2.7) மாறுவதற்கான பொதுவான வழிமுறைகளில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை (2.1) தன்னிச்சையான மாறிலியால் பெருக்குவோம் பிமற்றும் தெரியாதவற்றை இரு பகுதிகளிலும் சேர்க்கவும் எக்ஸ்.இந்த வழக்கில், அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மாறாது:

குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம் உறவிலிருந்து (2.10) சமன்பாட்டிற்கு (2.8) செல்லலாம்.

மாறிலியின் தன்னிச்சையான தேர்வு பிஒன்றிணைந்த நிலையை (2.9) நிறைவேற்றுவதை உறுதி செய்யும். மறுசெயல் செயல்முறையை முடிப்பதற்கான அளவுகோல் நிபந்தனையாக இருக்கும் (2.2). விவரிக்கப்பட்ட பிரதிநிதித்துவ முறையைப் பயன்படுத்தி எளிமையான மறு செய்கைகளின் முறையின் வரைகலை விளக்கத்தை படம் 2.8 காட்டுகிறது (எக்ஸ் மற்றும் ஒய் அச்சுகளில் உள்ள அளவுகள் வேறுபட்டவை).

படிவத்தில் ஒரு செயல்பாடு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இருக்கும். அதிக வேகம்ஒருங்கிணைத்தல் , இல் இருக்கும் மற்றும் மறு செய்கை சூத்திரம் (2.11) நியூட்டனின் சூத்திரத்தில் செல்கிறது. எனவே, நியூட்டனின் முறை மிகவும் அதிகமாக உள்ளது உயர் பட்டம்அனைத்து மறுசெயல் செயல்முறைகளிலிருந்தும் ஒன்றிணைதல்.

எளிய மறு செய்கை முறையின் மென்பொருள் செயல்படுத்தல் சப்ரூடின் செயல்முறை வடிவத்தில் செய்யப்படுகிறது இடெராஸ்(நிரல் 2.1).

முழு செயல்முறையும் நடைமுறையில் ஒரு மறுநிகழ்வைக் கொண்டுள்ளது ... சுழற்சி வரை, சூத்திரத்தை (2.11) செயல்படுத்தும் செயல்முறையை நிறுத்துவதற்கான நிபந்தனையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது (சூத்திரம் (2.2)).

Niter மாறியைப் பயன்படுத்தி லூப்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இந்த செயல்முறை உள்ளமைக்கப்பட்ட லூப் பாதுகாப்பைக் கொண்டுள்ளது. அன்று நடைமுறை பயிற்சிகள்குணகத்தின் தேர்வு எவ்வாறு பாதிக்கப்படுகிறது என்பதை நிரலை இயக்குவதன் மூலம் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம் பிமற்றும் ரூட்டைத் தேடும் செயல்பாட்டில் ஆரம்ப தோராயம். குணகத்தை மாற்றும்போது பிஆய்வின் கீழ் செயல்பாட்டிற்கான மறுசெயல்முறையின் தன்மை மாறுகிறது. இது முதலில் இரண்டு பக்கமாக மாறும், பின்னர் சுழல்கள் (படம் 2.9). அச்சு செதில்கள் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்வேறுபட்டவை. மாடுலஸ் b இன் இன்னும் பெரிய மதிப்பு வேறுபட்ட செயல்முறைக்கு வழிவகுக்கிறது.

சமன்பாடுகளின் தோராயமான தீர்வுக்கான முறைகளின் ஒப்பீடு

மேலே உள்ள முறைகளின் ஒப்பீடு எண் தீர்வுபிசி திரையில் வரைகலை வடிவத்தில் ரூட்டைக் கண்டறியும் செயல்முறையை நீங்கள் கவனிக்க அனுமதிக்கும் ஒரு நிரலைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன. நடைமுறைகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன இந்த திட்டம்மற்றும் ஒப்பிடப்பட்ட முறைகளை செயல்படுத்துவது கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (PROGRAM 2.1).

அரிசி. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 ஆகியவை மறு செய்கையின் முடிவில் PC திரையின் நகல்களாகும்.

எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும், ஆய்வின் கீழ் செயல்பாடு எடுக்கப்பட்டது இருபடி சமன்பாடு x 2 -x-6 = 0, ஒரு பகுப்பாய்வு தீர்வு x 1 = -2 மற்றும் x 2 = 3. பிழை மற்றும் ஆரம்ப தோராயங்கள் அனைத்து முறைகளுக்கும் சமமாக கருதப்படுகிறது. ரூட் தேடல் முடிவுகள் x= 3, புள்ளிவிவரங்களில் வழங்கப்பட்டுள்ளது, பின்வருமாறு. டிகோடமி முறையானது மெதுவான - 22 மறு செய்கைகளை ஒன்றிணைக்கிறது, வேகமானது b = -0.2 - 5 மறு செய்கைகளுடன் கூடிய எளிய மறு செய்கை முறையாகும். நியூட்டனின் முறை வேகமானது என்ற கூற்றுக்கு இங்கு எந்த முரண்பாடும் இல்லை.

புள்ளியில் படிக்கும் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் எக்ஸ்= 3 என்பது -0.2 க்கு சமம், அதாவது, இந்த வழக்கில் கணக்கீடு நியூட்டனின் முறையால் சமன்பாட்டின் மூல புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்புடன் நடைமுறையில் மேற்கொள்ளப்பட்டது. குணகத்தை மாற்றும்போது பிஒருங்கிணைப்பு விகிதம் குறைகிறது மற்றும் படிப்படியாக ஒன்றிணைக்கும் செயல்முறை முதலில் சுழற்சிகளில் செல்கிறது, பின்னர் வேறுபட்டது.

சொற்பொழிவு மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் முறைகள்இயற்கணித நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது.

ஜேக்கபி முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கான நிபந்தனை

எளிய மறு செய்கை முறை

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கருதப்படுகிறது

மறுசெயல் முறைகளைப் பயன்படுத்த, கணினியை சமமான வடிவத்திற்குக் குறைக்க வேண்டும்

பின்னர் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்வுக்கான ஆரம்ப தோராயமானது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது மற்றும் ரூட்டிற்கான தோராயங்களின் வரிசை காணப்படுகிறது.

மறுசெயல் செயல்முறை ஒன்றிணைவதற்கு, நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துவது போதுமானது
(மேட்ரிக்ஸ் விதிமுறை). மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கான அளவுகோல் பயன்படுத்தப்படும் மறு செய்கை முறையைப் பொறுத்தது.

ஜேக்கபி முறை .

கணினியை மீண்டும் செய்ய வசதியான வடிவத்தில் கொண்டு வருவதற்கான எளிய வழி பின்வருமாறு:

கணினியின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து தெரியாததை வெளிப்படுத்துகிறோம் எக்ஸ் 1, நாம் வெளிப்படுத்தும் அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து எக்ஸ் 2, முதலியன

இதன் விளைவாக, மேட்ரிக்ஸ் B உடன் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம், இதில் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் பூஜ்ஜிய கூறுகள் உள்ளன, மீதமுள்ள கூறுகள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:

திசையன் d இன் கூறுகள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:

எளிய மறு செய்கை முறைக்கான கணக்கீட்டு சூத்திரம்:

அல்லது ஒருங்கிணைப்பு குறியீட்டில் இது போல் தெரிகிறது:

ஜேகோபி முறையில் மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கான அளவுகோல் வடிவம் கொண்டது:

என்றால்
, பிறகு மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கு எளிமையான அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம்

எடுத்துக்காட்டு 1.ஜகோபி முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்படட்டும்:

கணினிக்கு துல்லியமான தீர்வைக் கண்டறிவது அவசியம்

கணினியை மீண்டும் செய்வதற்கு வசதியான படிவத்திற்குக் குறைப்போம்:

ஆரம்ப தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம், எடுத்துக்காட்டாக,

- வலது பக்க திசையன்.

பின்னர் முதல் மறு செய்கை இப்படி இருக்கும்:

தீர்வுக்கான பின்வரும் தோராயங்களும் இதேபோல் பெறப்படுகின்றன.

மேட்ரிக்ஸ் B இன் விதிமுறையைக் கண்டுபிடிப்போம்.

நாங்கள் விதிமுறையைப் பயன்படுத்துவோம்

ஒவ்வொரு வரிசையிலும் உள்ள உறுப்புகளின் தொகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை 0.2 ஆக இருப்பதால்
, எனவே இந்த சிக்கலில் மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கான அளவுகோல்

திசையன் வேறுபாடுகளின் விதிமுறைகளை கணக்கிடுவோம்:

ஏனெனில்
நான்காவது மறு செய்கையில் குறிப்பிட்ட துல்லியம் அடையப்பட்டது.

பதில்: எக்ஸ் 1 = 1.102, எக்ஸ் 2 = 0.991, எக்ஸ் 3 = 1.0 1 1

சீடல் முறை .

இந்த முறையை ஜேக்கபி முறையின் மாற்றமாகக் கருதலாம். முக்கிய யோசனை என்னவென்றால், அடுத்ததைக் கணக்கிடும்போது (n+1)- தெரியாத அணுகுமுறை எக்ஸ் நான்மணிக்கு i >1பயன்பாடு ஏற்கனவே கண்டறியப்பட்டுள்ளது (n+1)-அறியப்படாததை நெருங்குகிறது எக்ஸ் 1 ,எக்ஸ் 2 , ...,எக்ஸ்நான் - 1 மற்றும் இல்லை nதோராயமாக, ஜேக்கபி முறையில் உள்ளது.

ஒருங்கிணைப்பு குறியீட்டில் உள்ள முறையின் கணக்கீட்டு சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

ஒருங்கிணைப்பு நிலைமைகள் மற்றும் மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கான அளவுகோல் ஆகியவை ஜேக்கபி முறையைப் போலவே எடுக்கப்படலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.சீடல் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

சமன்பாடுகளின் 3 அமைப்புகளின் தீர்வை இணையாகக் கருதுவோம்:

கணினிகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்வதற்கு வசதியான படிவத்திற்குக் குறைப்போம்:

குவியும் நிலை என்பதை கவனத்தில் கொள்ளவும்
முதல் அமைப்புக்கு மட்டுமே செய்யப்பட்டது. ஒவ்வொரு வழக்கிலும் தீர்வுக்கான 3 முதல் தோராயங்களைக் கணக்கிடுவோம்.

1வது அமைப்பு:

சரியான தீர்வு பின்வரும் மதிப்புகளாக இருக்கும்: எக்ஸ் 1 = 1.4, எக்ஸ் 2 = 0.2 . மறுசெயல் செயல்முறை ஒன்றிணைகிறது.

2வது அமைப்பு:

மறு செய்கை செயல்முறை வேறுபடுவதைக் காணலாம்.

சரியான தீர்வு எக்ஸ் 1 = 1, எக்ஸ் 2 = 0.2 .

3வது அமைப்பு:

மறு செய்கை செயல்முறை சுழற்சியில் சென்றிருப்பதைக் காணலாம்.

சரியான தீர்வு எக்ஸ் 1 = 1, எக்ஸ் 2 = 2 .

சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் அணி A சமச்சீர் மற்றும் நேர்மறை திட்டவட்டமானதாக இருக்கட்டும். பின்னர், ஆரம்ப தோராயத்தின் எந்தவொரு தேர்வுக்கும், சீடெல் முறை ஒன்றிணைகிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட மேட்ரிக்ஸின் நெறிமுறையின் சிறிய தன்மைக்கு கூடுதல் நிபந்தனைகள் எதுவும் விதிக்கப்படவில்லை.

எளிய மறு செய்கை முறை.

A என்பது சமச்சீர் மற்றும் நேர்மறை திட்டவட்ட அணியாக இருந்தால், சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பெரும்பாலும் சமமான வடிவத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது:

எக்ஸ்=எக்ஸ்-τ (ஏ எக்ஸ்- b), τ – மறு செய்கை அளவுரு.

இந்த வழக்கில் எளிய மறு செய்கை முறையின் கணக்கீட்டு சூத்திரம் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

எக்ஸ் (n+1) =எக்ஸ் n- τ (ஏ எக்ஸ் (n) - b).

மற்றும் τ > 0 அளவுரு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, அதனால் முடிந்தால், மதிப்பைக் குறைக்கலாம்

λ நிமிடம் மற்றும் λ அதிகபட்சம் குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சமாக இருக்கட்டும் சம மதிப்புகள்அணி A. அளவுருவின் உகந்த தேர்வு

இந்த வழக்கில்
குறைந்தபட்ச மதிப்பை இதற்கு சமமாக எடுத்துக்கொள்கிறது:

எடுத்துக்காட்டு 3. அமைப்புகள் தீர்வு நேரியல் சமன்பாடுகள்எளிய மறு செய்கை முறை மூலம். (MathCAD இல்)

Ax = b என்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கொடுக்கலாம்

மறு செய்கை செயல்முறையை உருவாக்க, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் சம மதிப்புகள்மெட்ரிக்குகள் ஏ:

- ஈஜென் மதிப்புகளைக் கண்டறிய உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது.

மறு செய்கை அளவுருவைக் கணக்கிட்டு, ஒருங்கிணைப்பு நிலையைச் சரிபார்ப்போம்

ஒருங்கிணைப்பு நிலை திருப்திகரமாக உள்ளது.

ஆரம்ப தோராயத்தை எடுத்துக் கொள்வோம் - திசையன் x0, துல்லியத்தை 0.001 க்கு அமைக்கவும் மற்றும் கீழே உள்ள நிரலைப் பயன்படுத்தி ஆரம்ப தோராயங்களைக் கண்டறியவும்:

சரியான தீர்வு

கருத்து. நிரல் rez மேட்ரிக்ஸை வழங்கினால், நீங்கள் கண்டறிந்த அனைத்து மறு செய்கைகளையும் பார்க்கலாம்.

மறுசீரமைப்பு முறைகளின் நன்மை, மோசமான நிபந்தனையற்ற அமைப்புகள் மற்றும் உயர்-வரிசை அமைப்புகளுக்கு அவற்றின் பொருந்தக்கூடிய தன்மை, அவற்றின் சுய-திருத்தம் மற்றும் ஒரு கணினியில் செயல்படுத்த எளிதானது. கணக்கீடுகளைத் தொடங்க, மறுசெயல் முறைகள் விரும்பிய தீர்வுக்கு சில ஆரம்ப தோராயத்தைக் குறிப்பிட வேண்டும்.

செயல்பாட்டின் நிலைமைகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு விகிதம் கணிசமாக மேட்ரிக்ஸின் பண்புகளைப் பொறுத்தது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஏஅமைப்பு மற்றும் ஆரம்ப தோராயங்களின் தேர்வு.

மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு அசல் அமைப்பு(2.1) அல்லது (2.2) படிவத்தில் குறைக்கப்பட வேண்டும்

அதன் பிறகு மீண்டும் மீண்டும் வரும் சூத்திரங்களின்படி மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை செய்யப்படுகிறது

, கே = 0, 1, 2, ... . (2.26ஏ)

மேட்ரிக்ஸ் ஜிமற்றும் திசையன் அமைப்பின் மாற்றத்தின் விளைவாக பெறப்படுகிறது (2.1).

ஒன்றிணைவதற்கு (2.26 ஏ) அவசியம் மற்றும் போதுமானது அதனால் |எல் நான்(ஜி)| < 1, где lநான்(ஜி) - மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து ஈஜென் மதிப்புகளும் ஜி. என்றால் கூடிவரும் || ஜி|| < 1, так как |lநான்(ஜி)| < " ||ஜி||, எங்கே "எது.

சின்னம் || ... || அணி நெறி என்று பொருள். அதன் மதிப்பை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​அவை பெரும்பாலும் இரண்டு நிபந்தனைகளைச் சரிபார்ப்பதை நிறுத்துகின்றன:

||ஜி|| = அல்லது || ஜி|| = , (2.27)

எங்கே . ஒரிஜினல் மேட்ரிக்ஸாக இருந்தால் கூடுதலும் உத்தரவாதம் ஏமூலைவிட்ட ஆதிக்கம் உள்ளது, அதாவது.

. (2.28)

(2.27) அல்லது (2.28) திருப்தி அடைந்தால், எந்த ஆரம்ப தோராயத்திற்கும் மறு செய்கை முறை ஒன்றிணைகிறது. பெரும்பாலும், திசையன் பூஜ்ஜியம் அல்லது அலகு அல்லது திசையன் (2.26) இலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது.

அசல் அமைப்பை (2.2) மேட்ரிக்ஸுடன் மாற்றுவதற்கு பல அணுகுமுறைகள் உள்ளன ஏபடிவத்தை உறுதி செய்ய (2.26) அல்லது ஒன்றிணைந்த நிலைகளை (2.27) மற்றும் (2.28) பூர்த்தி செய்யவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, (2.26) பின்வருமாறு பெறலாம்.

விடுங்கள் ஏ = IN+ உடன், det IN#0; பிறகு ( பி+ உடன்)= Þ பி= −சி+ Þ Þ பி –1 பி= −பி –1 சி+ பி–1, எங்கிருந்து= - பி –1 சி+ பி –1 .

போடுதல் - பி –1 சி = ஜி, பி–1 = , நாம் பெறுகிறோம் (2.26).

ஒன்றிணைந்த நிலைகளில் இருந்து (2.27) மற்றும் (2.28) பிரதிநிதித்துவம் என்பது தெளிவாகிறது ஏ = IN+ உடன்தன்னிச்சையாக இருக்க முடியாது.

அணி என்றால் ஏநிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது (2.28), பின்னர் ஒரு அணியாக INகீழ் முக்கோணத்தை நீங்கள் தேர்ந்தெடுக்கலாம்:

, ஒரு ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

a என்ற அளவுருவை தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், || ஜி|| = ||ஈ+ ஏ ஏ|| < 1.

(2.28) நிலவினால், ஒவ்வொன்றையும் தீர்ப்பதன் மூலம் (2.26) க்கு மாற்றத்தை செய்யலாம் நான்அமைப்பின் சமன்பாடு (2.1) பொறுத்து x iபின்வரும் தொடர்ச்சியான சூத்திரங்களின்படி:

(2.28ஏ)

அணியில் இருந்தால் ஏமூலைவிட்ட ஆதிக்கம் இல்லை

உதாரணமாக, அமைப்பைக் கவனியுங்கள்

(2.29)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சமன்பாடுகளில் (1) மற்றும் (2) மூலைவிட்ட ஆதிக்கம் இல்லை, ஆனால் (3) இல் உள்ளது, எனவே அதை மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறோம்.

சமன்பாட்டில் (1) மூலைவிட்ட ஆதிக்கத்தை அடைவோம். (1) ஐ a, (2) ஆல் b ஆல் பெருக்குவோம், இரண்டு சமன்பாடுகளையும் சேர்த்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டில் a மற்றும் b ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும், இதனால் மூலைவிட்ட ஆதிக்கம் இருக்கும்:

(2a + 3b) எக்ஸ் 1 + (–1.8a + 2b) எக்ஸ் 2 +(0.4a - 1.1b) எக்ஸ் 3 = ஏ.

a = b = 5 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், நமக்கு 25 கிடைக்கும் எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2 – 3,5எக்ஸ் 3 = 5.

(2) சமன்பாட்டை (1) g ஆல் பெருக்கவும், (2) d ஆல் பெருக்கவும் (2) இலிருந்து (1) ஐ கழிக்கவும். நாம் பெறுகிறோம்

(3டி - 2 கிராம்) எக்ஸ் 1 + (2டி + 1.8 கிராம்) எக்ஸ் 2 +(–1.1d – 0.4g) எக்ஸ் 3 = -g.

d = 2, g = 3 என்று வைத்தால், நமக்கு 0 கிடைக்கும் எக்ஸ் 1 + 9,4 எக்ஸ் 2 – 3,4 எக்ஸ் 3 = -3. இதன் விளைவாக, நாங்கள் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

(2.30)

இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி பரந்த அளவிலான மெட்ரிக்குகளுக்கு தீர்வு காணலாம்.

அல்லது

வெக்டார் = (0.2; –0.32; 0) ஆரம்ப தோராயமாக எடுத்துக்கொள்வது டி, தொழில்நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்போம் (2.26 ஏ):

கே = 0, 1, 2, ... .

தீர்வு வெக்டரின் இரண்டு அண்டை தோராயங்கள் துல்லியமாக ஒத்துப்போகும் போது கணக்கீடு செயல்முறை நிறுத்தப்படும், அதாவது.

.

தொழில்நுட்பம் மீண்டும் மீண்டும் தீர்வுவகை (2.26 ஏ) பெயரிடப்பட்டது எளிய மறு செய்கை முறை .

எளிய மறு செய்கை முறைக்கான முழுமையான பிழை மதிப்பீடு:

சின்னம் எங்கே || ... || சாதாரணமானது என்று பொருள்.

எடுத்துக்காட்டு 2.1. e = 0.001 துல்லியத்துடன் ஒரு எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

e = 0.001 க்கு துல்லியமான பதிலை வழங்கும் படிகளின் எண்ணிக்கையை உறவில் இருந்து தீர்மானிக்க முடியும்

£0.001.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (2.27) ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பிடுவோம். இங்கே || ஜி|| = = அதிகபட்சம்(0.56; 0.61; 0.35; 0.61) = 0.61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

ஆரம்ப தோராயமாக, இலவச சொற்களின் வெக்டரை எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதாவது = (2.15; –0.83; 1.16; 0.44) டி. திசையன் மதிப்புகளை மாற்றுவோம் (2.26 ஏ):

கணக்கீடுகளைத் தொடர்ந்து, முடிவுகளை அட்டவணையில் உள்ளிடுகிறோம்:

ஆயிரத்தில் ஒருமுகம் 10வது படியில் ஏற்கனவே நிகழ்கிறது.

பதில்: எக்ஸ் 1 » 3.571; எக்ஸ் 2 "-0.957; எக்ஸ் 3 » 1.489; எக்ஸ் 4 "-0.836.

இந்த தீர்வை சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தியும் பெறலாம் (2.28 ஏ).

எடுத்துக்காட்டு 2.2. சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அல்காரிதத்தை விளக்குவதற்கு (2.28 ஏ) அமைப்பின் தீர்வைக் கவனியுங்கள் (இரண்டு மறு செய்கைகள் மட்டுமே):

; . (2.31)

(2.28) படி அமைப்பை (2.26) வடிவத்திற்கு மாற்றுவோம் ஏ):

Þ (2.32)

ஆரம்ப தோராயத்தை எடுத்துக் கொள்வோம் = (0; 0; 0) டி. பிறகு கே= 0 என்பது மதிப்பு = (0.5; 0.8; 1.5) என்பது தெளிவாகிறது. டி. இந்த மதிப்புகளை (2.32), அதாவது எப்போது என்று மாற்றுவோம் கே= 1 நாம் பெறுகிறோம் = (1.075; 1.3; 1.175) டி.

பிழை e 2 = = அதிகபட்சம்(0.575; 0.5; 0.325) = 0.575.

வேலை செய்யும் சூத்திரங்களின்படி எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி SLAE க்கு தீர்வைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறையின் தடுப்பு வரைபடம் (2.28 ஏ) படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 2.4

தொகுதி வரைபடத்தின் ஒரு சிறப்பு அம்சம் பின்வரும் தொகுதிகள் இருப்பது:

- தொகுதி 13 - அதன் நோக்கம் கீழே விவாதிக்கப்படுகிறது;

- தொகுதி 21 - திரையில் முடிவுகளைக் காட்டுகிறது;

– தொகுதி 22 – சரிபார்ப்பு (காட்டி) ஒருங்கிணைப்பு.

அமைப்பின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி முன்மொழியப்பட்ட திட்டத்தை பகுப்பாய்வு செய்வோம் (2.31) ( n= 3, w = 1, e = 0.001):

= ; .

தடு 1. ஆரம்ப தரவை உள்ளிடவும் ஏ, ,w,e, n: n= 3, w = 1, e = 0.001.

சுழற்சி I. திசையன்களின் ஆரம்ப மதிப்புகளை அமைக்கவும் எக்ஸ் 0நான்மற்றும் x i (நான் = 1, 2, 3).

தடு 5. மறு செய்கை கவுண்டரை மீட்டமைக்கவும்.

தடு 6. தற்போதைய பிழை கவுண்டரை பூஜ்ஜியத்திற்கு மீட்டமைக்கவும்.

INசுழற்சி II, அணி வரிசை எண்கள் மாற்றப்படுகின்றன ஏமற்றும் திசையன்.

சுழற்சி II:நான் = 1: கள் = பி 1 = 2 (தொகுதி 8).

உள்ளமைக்கப்பட்ட லூப் III க்குச் சென்று, தொகுதி 9 - மேட்ரிக்ஸ் நெடுவரிசை எண் கவுண்டருக்குச் செல்லவும் ஏ: ஜே = 1.

தடு 10: ஜே = நான், எனவே, நாங்கள் தொகுதி 9 க்கு திரும்புகிறோம் மற்றும் அதிகரிக்கிறோம் ஜேஒரு யூனிட்டுக்கு: ஜே = 2.

தொகுதி 10ல் ஜே ¹ நான்(2 ¹ 1) - நாங்கள் பிளாக் 11 க்கு செல்கிறோம்.

தடு 11: கள்= 2 – (–1) × எக்ஸ் 0 2 = 2 – (–1) × 0 = 2, தொகுதி 9க்குச் செல்லவும், அதில் ஜேஒன்று அதிகரிக்க: ஜே = 3.

தொகுதி 10 இல் நிபந்தனை ஜே ¹ நான்நிறைவேற்றப்பட்டது, எனவே தொகுதி 11 க்கு செல்லலாம்.

தடு 11: கள்= 2 – (–1) × எக்ஸ் 0 3 = 2 – (–1) × 0 = 2, அதன் பிறகு 9ஐத் தடுக்கிறோம், அதில் ஜேஒன்று அதிகரிக்கும் ( ஜே= 4). பொருள் ஜேமேலும் n (n= 3) - நாங்கள் சுழற்சியை முடித்து, 12 வது தொகுதிக்கு செல்கிறோம்.

தடு 12: கள் = கள் / அ 11 = 2 / 4 = 0,5.

தடு 13: w = 1; கள் = கள் + 0 = 0,5.

தடு 14: ஈ = | x i – கள் | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

தடு 15: x i = 0,5 (நான் = 1).

தடு 16. நிலையைச் சரிபார்த்தல் ஈ > de: 0.5 > 0, எனவே, தொகுதி 17 க்குச் செல்லவும், அதில் நாங்கள் ஒதுக்குகிறோம் de= 0.5 மற்றும் இணைப்பைப் பயன்படுத்தி திரும்பவும் " ஏ»சுழற்சி II இன் அடுத்த கட்டத்திற்கு - 7ஐத் தடுக்க, இதில் நான்ஒன்று அதிகரிக்கும்.

சுழற்சி II: நான் = 2: கள் = பி 2 = 4 (தொகுதி 8).

ஜே = 1.

தொகுதி 10 மூலம் ஜே ¹ நான்(1 ¹ 2) - நாங்கள் பிளாக் 11 க்கு நகர்கிறோம்.

தடு 11: கள்= 4 - 1 × 0 = 4, தொகுதி 9 க்குச் செல்லவும், அதில் ஜேஒன்று அதிகரிக்க: ஜே = 2.

தொகுதி 10 இல் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை, எனவே நாம் தொகுதி 9 க்கு செல்கிறோம், அதில் ஜேஒன்று அதிகரிக்க: ஜே= 3. ஒப்புமை மூலம், நாம் பிளாக் 11 க்கு செல்கிறோம்.

தடு 11: கள்= 4 – (–2) × 0 = 4, அதன் பிறகு நாம் சுழற்சி III ஐ முடித்து 12 வது தொகுதிக்கு செல்கிறோம்.

தடு 12: கள் = கள்/ அ 22 = 4 / 5 = 0,8.

தடு 13: w = 1; கள் = கள் + 0 = 0,8.

தடு 14: ஈ = | 1 – 0,8 | = 0,2.

தடு 15: x i = 0,8 (நான் = 2).

தடு 16. நிலையைச் சரிபார்த்தல் ஈ > de: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «ஏ»சுழற்சி II இன் அடுத்த கட்டத்திற்கு - 7ஐத் தடுக்க.

சுழற்சி II: நான் = 3: கள் = பி 3 = 6 (தொகுதி 8).

உள்ளமை லூப் III க்கு செல்க, தொகுதி 9: ஜே = 1.

தடு 11: கள்= 6 – 1 × 0 = 6, தொகுதி 9க்குச் செல்க: ஜே = 2.

பிளாக் 10ஐப் பயன்படுத்தி பிளாக் 11க்கு நகர்கிறோம்.

தடு 11: கள்= 6 – 1 × 0 = 6. சுழற்சி III ஐ முடித்துவிட்டு, பிளாக் 12க்கு செல்கிறோம்.

தடு 12: கள் = கள்/ அ 33 = 6 / 4 = 1,5.

தடு 13: கள் = 1,5.

தடு 14: ஈ = | 1 – 1,5 | = 0,5.

தடு 15: x i = 1,5 (நான் = 3).

தொகுதி 16 இன் படி (குறிப்புகள் உட்பட " ஏ"மற்றும்" உடன்") நாங்கள் சுழற்சி II ஐ விட்டுவிட்டு 18 வது தொகுதிக்கு செல்கிறோம்.

தடு 18. மறு செய்கைகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரித்தல் அது = அது + 1 = 0 + 1 = 1.

சுழற்சி IV இன் 19 மற்றும் 20 தொகுதிகளில், ஆரம்ப மதிப்புகளை மாற்றுவோம் எக்ஸ் 0நான்பெறப்பட்ட மதிப்புகள் x i (நான் = 1, 2, 3).

தடு 21. அச்சிடுதல் இடைநிலை மதிப்புகள்தற்போதைய மறு செய்கை, இந்த வழக்கில்: = (0.5; 0.8; 1.5) டி, அது = 1; de = 0,5.

நாங்கள் 7 ஐத் தடுக்க சுழற்சி II க்குச் சென்று புதிய ஆரம்ப மதிப்புகளுடன் கருதப்பட்ட கணக்கீடுகளைச் செய்கிறோம் எக்ஸ் 0நான் (நான் = 1, 2, 3).

அதன் பிறகு நாம் பெறுகிறோம் எக்ஸ் 1 = 1,075; எக்ஸ் 2 = 1,3; எக்ஸ் 3 = 1,175.

இங்கே, சீடலின் முறை ஒன்றிணைகிறது.

சூத்திரங்களின்படி (2.33)

பதில்: எக்ஸ் 1 = 0,248; எக்ஸ் 2 = 1,115; எக்ஸ் 3 = –0,224.

கருத்து. எளிய மறு செய்கை மற்றும் சீடல் முறைகள் ஒரே அமைப்பில் ஒன்றிணைந்தால், சீடெல் முறை விரும்பத்தக்கது. இருப்பினும், நடைமுறையில், இந்த முறைகளின் ஒருங்கிணைப்பின் பகுதிகள் வேறுபட்டிருக்கலாம், அதாவது, எளிய மறு செய்கை முறை ஒன்றிணைகிறது, ஆனால் சீடல் முறை வேறுபடுகிறது, மற்றும் நேர்மாறாகவும். இரண்டு முறைகளுக்கும், என்றால் || ஜி|| அருகில் அலகு, குவிதல் வேகம் மிகக் குறைவு.

ஒருங்கிணைப்பை விரைவுபடுத்த, ஒரு செயற்கை நுட்பம் பயன்படுத்தப்படுகிறது - அழைக்கப்படுகிறது தளர்வு முறை . மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி அடுத்த மதிப்பு பெறப்பட்டது என்பதில் அதன் சாராம்சம் உள்ளது x i (கே) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் கணக்கிடப்படுகிறது

w பொதுவாக 0 முதல் 2 வரையிலான வரம்பில் மாற்றப்படும் (0< w £ 2) с каким-либо шагом (ம= 0.1 அல்லது 0.2). w அளவுரு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, இதனால் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையிலான மறு செய்கைகளில் அடையப்படுகிறது.

தளர்வு- இந்த நிலைக்கு (உடல் பொறியியல்) காரணமான காரணிகளை நிறுத்திய பிறகு உடலின் எந்த நிலையிலும் படிப்படியாக பலவீனமடைதல்.

எடுத்துக்காட்டு 2.4. தளர்வு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஐந்தாவது மறு செய்கையின் முடிவைப் பார்ப்போம். w = 1.5 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கிட்டத்தட்ட ஏழாவது மறு செய்கையின் முடிவு பெறப்பட்டது.

எளிமையான மறு செய்கை முறை, அடுத்தடுத்த தோராய முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு அறியப்படாத அளவின் மதிப்பை படிப்படியாக செம்மைப்படுத்துவதன் மூலம் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு கணித வழிமுறையாகும். இந்த முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், பெயர் குறிப்பிடுவது போல, ஆரம்ப தோராயத்திலிருந்து படிப்படியாக அடுத்தடுத்தவற்றை வெளிப்படுத்துவதன் மூலம், மேலும் மேலும் சுத்திகரிக்கப்பட்ட முடிவுகள் பெறப்படுகின்றன. ஒரு மாறியின் மதிப்பைக் கண்டறிய இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு, அத்துடன் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்லாதவை.

எப்படி என்று பார்க்கலாம் இந்த முறை SLAE ஐ தீர்க்கும் போது செயல்படுத்தப்படுகிறது. எளிய மறு செய்கை முறை பின்வரும் வழிமுறையைக் கொண்டுள்ளது:

1. ஒரிஜினல் மேட்ரிக்ஸில் ஒன்றிணைந்த நிலையின் பூர்த்தியைச் சரிபார்க்கிறது. ஒருங்கிணைப்பு தேற்றம்: அமைப்பின் அசல் அணி மூலைவிட்ட மேலாதிக்கத்தைக் கொண்டிருந்தால் (அதாவது, ஒவ்வொரு வரிசையிலும், பிரதான மூலைவிட்டத்தின் கூறுகள் முழுமையான மதிப்பில் உள்ள இரண்டாம் மூலைவிட்டங்களின் தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகையை விட முழுமையான மதிப்பில் அதிகமாக இருக்க வேண்டும்), பின்னர் எளிமையானது மறு செய்கை முறை ஒருமுகமானது.

2. அசல் அமைப்பின் மேட்ரிக்ஸ் எப்போதும் மூலைவிட்ட மேலாதிக்கத்தைக் கொண்டிருக்காது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், கணினியை மாற்றலாம். ஒருங்கிணைப்பு நிலையை திருப்திப்படுத்தும் சமன்பாடுகள் தீண்டப்படாமல் விடப்படுகின்றன, மேலும் இல்லாதவற்றுடன் நேரியல் சேர்க்கைகள் செய்யப்படுகின்றன, அதாவது. விரும்பிய முடிவு கிடைக்கும் வரை, பெருக்கவும், கழிக்கவும், சமன்பாடுகளைச் சேர்க்கவும்.

இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பில் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் சிரமமான குணகங்கள் இருந்தால், i * x i உடன் படிவத்தின் விதிமுறைகள் அத்தகைய சமன்பாட்டின் இருபுறமும் சேர்க்கப்படும், இதன் அறிகுறிகள் மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் அறிகுறிகளுடன் ஒத்துப்போக வேண்டும்.

3. விளைந்த அமைப்பை சாதாரண வடிவத்திற்கு மாற்றுதல்:

x - =β - +α*x -

இது பல வழிகளில் செய்யப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்றது: முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து, மற்ற அறியப்படாதவற்றின் அடிப்படையில் x 1 ஐ வெளிப்படுத்தவும், இரண்டாவது - x 2, மூன்றாவது - x 3, முதலியன. இந்த வழக்கில், நாங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
சாதாரண வடிவத்தின் விளைவான அமைப்பு ஒருங்கிணைப்பு நிலையை சந்திக்கிறதா என்பதை நீங்கள் மீண்டும் உறுதிசெய்ய வேண்டும்:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, i= 1,2,...n

4. உண்மையில், அடுத்தடுத்த தோராயங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தத் தொடங்குகிறோம்.

x (0) என்பது ஆரம்ப தோராயமாகும், அதன் மூலம் x (1) ஐ வெளிப்படுத்துவோம், பின்னர் x (2) ஐ x (1) மூலம் வெளிப்படுத்துவோம். மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் உள்ள பொதுவான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

x (n) = β - +α*x (n-1)

தேவையான துல்லியத்தை அடையும் வரை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

அதிகபட்சம் |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

எனவே, எளிய மறு செய்கை முறையை நடைமுறைக்குக் கொண்டு வருவோம். உதாரணமாக:
SLAE ஐ தீர்க்கவும்:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 துல்லியத்துடன் ε=10 -3

மாடுலஸில் மூலைவிட்ட உறுப்புகள் ஆதிக்கம் செலுத்துகின்றனவா என்பதைப் பார்ப்போம்.

மூன்றாவது சமன்பாடு மட்டுமே ஒருங்கிணைப்பு நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை நாம் காண்கிறோம். முதல் மற்றும் இரண்டாவதாக மாற்றி, முதல் சமன்பாட்டில் இரண்டாவதாக சேர்ப்போம்:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

மூன்றில் இருந்து நாம் முதலில் கழிக்கிறோம்:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

அசல் அமைப்பை சமமான ஒன்றாக மாற்றினோம்:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

இப்போது கணினியை அதன் இயல்பான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

மறுசெயல் செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1, அதாவது. நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது.

0,3947
ஆரம்ப யூகம் x(0) = 0.4762
0,8511

இந்த மதிப்புகளை சாதாரண வடிவ சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம், பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:

0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639

புதிய மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் மதிப்புகளை அணுகும் வரை கணக்கீடுகளைத் தொடர்கிறோம்.

x(7) = 0.441091

பெறப்பட்ட முடிவுகளின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும்:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை அசல் சமன்பாடுகளில் மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட முடிவுகள் சமன்பாட்டின் நிபந்தனைகளை முழுமையாக பூர்த்தி செய்கின்றன.

நாம் பார்க்க முடியும் என, எளிய மறு செய்கை முறை மிகவும் துல்லியமான முடிவுகளை அளிக்கிறது, ஆனால் இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க நாம் நிறைய நேரம் செலவழித்து சிக்கலான கணக்கீடுகளை செய்ய வேண்டியிருந்தது.