எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி ஸ்லோவைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம். மந்தநிலையைத் தீர்ப்பதற்கான மறுசெயல் முறைகள்

மறுசீரமைப்பு முறைகளின் நன்மை, மோசமான நிபந்தனைக்குட்பட்ட அமைப்புகள் மற்றும் உயர்-வரிசை அமைப்புகளுக்கு அவற்றின் பொருந்தக்கூடிய தன்மை, அவற்றின் சுய-திருத்தம் மற்றும் கணினியில் செயல்படுத்த எளிதானது. மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் முறைகள்தொடங்குவதற்கு, கணக்கீடுகள் விரும்பிய தீர்வுக்கு சில ஆரம்ப தோராயத்தைக் குறிப்பிட வேண்டும்.

செயல்பாட்டின் நிலைமைகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு விகிதம் கணிசமாக மேட்ரிக்ஸின் பண்புகளைப் பொறுத்தது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஏஅமைப்பு மற்றும் ஆரம்ப தோராயங்களின் தேர்வு.

மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு அசல் அமைப்பு(2.1) அல்லது (2.2) படிவத்தில் குறைக்கப்பட வேண்டும்

அதன் பிறகு மீண்டும் மீண்டும் வரும் சூத்திரங்களின்படி மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை செய்யப்படுகிறது

, கே = 0, 1, 2, ... . (2.26ஏ)

மேட்ரிக்ஸ் ஜிமற்றும் திசையன் அமைப்பின் மாற்றத்தின் விளைவாக பெறப்படுகிறது (2.1).

ஒன்றிணைவதற்கு (2.26 ஏ) அவசியம் மற்றும் போதுமானது அதனால் |எல் i(ஜி)| < 1, где li(ஜி) - அனைத்தும் சம மதிப்புகள்மெட்ரிக்குகள் ஜி. || ஜி|| < 1, так как |li(ஜி)| < " ||ஜி||, எங்கே "எது.

சின்னம் || ... || அணி நெறி என்று பொருள். அதன் மதிப்பை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​அவை பெரும்பாலும் இரண்டு நிபந்தனைகளைச் சரிபார்ப்பதை நிறுத்துகின்றன:

||ஜி|| = அல்லது || ஜி|| = , (2.27)

எங்கே . ஒரிஜினல் மேட்ரிக்ஸாக இருந்தால் கூடுதலும் உத்தரவாதம் ஏமூலைவிட்ட ஆதிக்கம் உள்ளது, அதாவது.

. (2.28)

(2.27) அல்லது (2.28) திருப்தி அடைந்தால், எந்த ஆரம்ப தோராயத்திற்கும் மறு செய்கை முறை ஒன்றிணைகிறது. பெரும்பாலும், திசையன் பூஜ்ஜியம் அல்லது அலகு அல்லது திசையன் (2.26) இலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது.

அசல் அமைப்பை (2.2) மேட்ரிக்ஸுடன் மாற்றுவதற்கு பல அணுகுமுறைகள் உள்ளன ஏபடிவத்தை உறுதி செய்ய (2.26) அல்லது ஒன்றிணைந்த நிலைகளை (2.27) மற்றும் (2.28) பூர்த்தி செய்யவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, (2.26) பின்வருமாறு பெறலாம்.

விடுங்கள் ஏ = IN+ உடன், det IN#0; பின்னர் ( பி+ உடன்)= Þ பி= −சி+ Þ Þ பி –1 பி= −பி –1 சி+ பி–1 , எங்கிருந்து= - பி –1 சி+ பி –1 .

போடுதல் - பி –1 சி = ஜி, பி–1 = , நாம் பெறுகிறோம் (2.26).

ஒன்றிணைந்த நிலைகளில் இருந்து (2.27) மற்றும் (2.28) பிரதிநிதித்துவம் என்பது தெளிவாகிறது ஏ = IN+ உடன்தன்னிச்சையாக இருக்க முடியாது.

அணி என்றால் ஏநிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது (2.28), பின்னர் ஒரு அணியாக INகீழ் முக்கோணத்தை நீங்கள் தேர்ந்தெடுக்கலாம்:

, ஒரு ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

a என்ற அளவுருவை தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், || ஜி|| = ||ஈ+ ஏ ஏ|| < 1.

(2.28) நிலவினால், ஒவ்வொன்றையும் தீர்ப்பதன் மூலம் (2.26) க்கு மாற்றத்தை செய்யலாம் iஅமைப்பின் சமன்பாடு (2.1) பொறுத்து x iபின்வரும் தொடர்ச்சியான சூத்திரங்களின்படி:

(2.28ஏ)

அணியில் இருந்தால் ஏமூலைவிட்ட ஆதிக்கம் இல்லை

உதாரணமாக, அமைப்பைக் கவனியுங்கள்

(2.29)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சமன்பாடுகளில் (1) மற்றும் (2) மூலைவிட்ட ஆதிக்கம் இல்லை, ஆனால் (3) இல் உள்ளது, எனவே அதை மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறோம்.

சமன்பாட்டில் (1) மூலைவிட்ட ஆதிக்கத்தை அடைவோம். (1) ஐ a, (2) ஆல் b ஆல் பெருக்குவோம், இரண்டு சமன்பாடுகளையும் சேர்த்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டில் a மற்றும் b ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும், இதனால் மூலைவிட்ட ஆதிக்கம் இருக்கும்:

(2a + 3b) எக்ஸ் 1 + (–1.8a + 2b) எக்ஸ் 2 +(0.4a - 1.1b) எக்ஸ் 3 = ஏ.

a = b = 5 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், நமக்கு 25 கிடைக்கும் எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2 – 3,5எக்ஸ் 3 = 5.

(2) சமன்பாட்டை மாற்றுவதற்கு (1) g ஆல் பெருக்கவும், (2) d ஆல் பெருக்கவும் (2) இலிருந்து (1) ஐ கழிக்கவும். நாம் பெறுகிறோம்

(3டி - 2 கிராம்) எக்ஸ் 1 + (2டி + 1.8 கிராம்) எக்ஸ் 2 +(–1.1d – 0.4g) எக்ஸ் 3 = -g.

d = 2, g = 3 என்று வைத்தால், நமக்கு 0 கிடைக்கும் எக்ஸ் 1 + 9,4 எக்ஸ் 2 – 3,4 எக்ஸ் 3 = -3. இதன் விளைவாக, நாங்கள் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

(2.30)

இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி பரந்த அளவிலான மெட்ரிக்குகளுக்கு தீர்வு காணலாம்.

அல்லது

வெக்டார் = (0.2; –0.32; 0) ஆரம்ப தோராயமாக எடுத்துக்கொள்வது டி, தொழில்நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்போம் (2.26 ஏ):

கே = 0, 1, 2, ... .

தீர்வு வெக்டரின் இரண்டு அண்டை தோராயங்கள் துல்லியமாக ஒத்துப்போகும் போது கணக்கீடு செயல்முறை நிறுத்தப்படும், அதாவது.

.

தொழில்நுட்பம் மீண்டும் மீண்டும் தீர்வுவகை (2.26 ஏ) பெயரிடப்பட்டது எளிய மறு செய்கை முறை .

எளிய மறு செய்கை முறைக்கான முழுமையான பிழை மதிப்பீடு:

சின்னம் எங்கே || ... || சாதாரணமானது என்று பொருள்.

எடுத்துக்காட்டு 2.1. e = 0.001 துல்லியத்துடன் ஒரு எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

e = 0.001 க்கு துல்லியமான பதிலை வழங்கும் படிகளின் எண்ணிக்கையை உறவில் இருந்து தீர்மானிக்க முடியும்

£0.001.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (2.27) ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பிடுவோம். இங்கே || ஜி|| = = அதிகபட்சம்(0.56; 0.61; 0.35; 0.61) = 0.61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

ஆரம்ப தோராயமாக, இலவச சொற்களின் வெக்டரை எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதாவது = (2.15; –0.83; 1.16; 0.44) டி. திசையன் மதிப்புகளை மாற்றுவோம் (2.26 ஏ):

கணக்கீடுகளைத் தொடர்ந்து, முடிவுகளை அட்டவணையில் உள்ளிடுகிறோம்:

ஆயிரத்தில் ஒருமுகம் 10வது படியில் ஏற்கனவே நிகழ்கிறது.

பதில்: எக்ஸ் 1 » 3.571; எக்ஸ் 2 "-0.957; எக்ஸ் 3 » 1.489; எக்ஸ் 4 "-0.836.

இந்த தீர்வை சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தியும் பெறலாம் (2.28 ஏ).

எடுத்துக்காட்டு 2.2. சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அல்காரிதத்தை விளக்குவதற்கு (2.28 ஏ) அமைப்பின் தீர்வைக் கவனியுங்கள் (இரண்டு மறு செய்கைகள் மட்டுமே):

; . (2.31)

(2.28) படி அமைப்பை (2.26) வடிவத்திற்கு மாற்றுவோம் ஏ):

Þ (2.32)

ஆரம்ப தோராயத்தை எடுத்துக் கொள்வோம் = (0; 0; 0) டி. பிறகு கே= 0 என்பது மதிப்பு = (0.5; 0.8; 1.5) என்பது தெளிவாகிறது. டி. இந்த மதிப்புகளை (2.32), அதாவது எப்போது என்று மாற்றுவோம் கே= 1 நாம் பெறுகிறோம் = (1.075; 1.3; 1.175) டி.

பிழை e 2 = = அதிகபட்சம்(0.575; 0.5; 0.325) = 0.575.

முறையைப் பயன்படுத்தி SLAE க்கு தீர்வைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறையின் தடுப்பு வரைபடம் எளிய மறு செய்கைகள்வேலை சூத்திரங்களின்படி (2.28 ஏ) படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 2.4

தொகுதி வரைபடத்தின் ஒரு சிறப்பு அம்சம் பின்வரும் தொகுதிகள் முன்னிலையில் உள்ளது:

- தொகுதி 13 - அதன் நோக்கம் கீழே விவாதிக்கப்படுகிறது;

- தொகுதி 21 - திரையில் முடிவுகளைக் காட்டுகிறது;

– தொகுதி 22 – சரிபார்ப்பு (காட்டி) ஒருங்கிணைப்பு.

அமைப்பின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி முன்மொழியப்பட்ட திட்டத்தை பகுப்பாய்வு செய்வோம் (2.31) ( n= 3, w = 1, e = 0.001):

= ; .

தடு 1. ஆரம்ப தரவை உள்ளிடவும் ஏ, ,w,e, n: n= 3, w = 1, e = 0.001.

சுழற்சி I. திசையன்களின் ஆரம்ப மதிப்புகளை அமைக்கவும் x 0iமற்றும் x i (i = 1, 2, 3).

தடு 5. மறு செய்கை கவுண்டரை மீட்டமைக்கவும்.

தடு 6. தற்போதைய பிழை கவுண்டரை பூஜ்ஜியத்திற்கு மீட்டமைக்கவும்.

INசுழற்சி II, அணி வரிசை எண்கள் மாற்றப்படுகின்றன ஏமற்றும் திசையன்.

சுழற்சி II:i = 1: கள் = பி 1 = 2 (தொகுதி 8).

உள்ளமைக்கப்பட்ட லூப் III க்குச் சென்று, தொகுதி 9 - மேட்ரிக்ஸ் நெடுவரிசை எண் கவுண்டருக்குச் செல்லவும் ஏ: ஜே = 1.

தடு 10: ஜே = i, எனவே, நாங்கள் தொகுதி 9 க்கு திரும்புகிறோம் மற்றும் அதிகரிக்கிறோம் ஜேஒரு அலகுக்கு: ஜே = 2.

தொகுதி 10ல் ஜே ¹ i(2 ¹ 1) - நாங்கள் பிளாக் 11 க்கு நகர்கிறோம்.

தடு 11: கள்= 2 – (–1) × எக்ஸ் 0 2 = 2 – (–1) × 0 = 2, தொகுதி 9க்குச் செல்லவும், அதில் ஜேஒன்று அதிகரிக்க: ஜே = 3.

தொகுதி 10 இல் நிபந்தனை ஜே ¹ iநிறைவேறியது, எனவே தொகுதி 11 க்கு செல்லலாம்.

தடு 11: கள்= 2 – (–1) × எக்ஸ் 0 3 = 2 – (–1) × 0 = 2, அதன் பிறகு 9ஐத் தடுக்கிறோம், அதில் ஜேஒன்று அதிகரிக்கும் ( ஜே= 4). பொருள் ஜேமேலும் n (n= 3) - நாங்கள் சுழற்சியை முடித்து, 12 வது தொகுதிக்கு செல்கிறோம்.

தடு 12: கள் = கள் / அ 11 = 2 / 4 = 0,5.

தடு 13: w = 1; கள் = கள் + 0 = 0,5.

தடு 14: ஈ = | x i – கள் | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

தடு 15: x i = 0,5 (i = 1).

தடு 16. நிலையைச் சரிபார்த்தல் ஈ > de: 0.5 > 0, எனவே, தொகுதி 17 க்குச் செல்லவும், அதில் நாங்கள் ஒதுக்குகிறோம் de= 0.5 மற்றும் இணைப்பைப் பயன்படுத்தி திரும்பவும் " ஏ» சுழற்சி II இன் அடுத்த கட்டத்திற்கு - 7 ஐத் தடுக்க, இதில் iஒன்று அதிகரிக்கும்.

சுழற்சி II: i = 2: கள் = பி 2 = 4 (தொகுதி 8).

ஜே = 1.

தொகுதி 10 மூலம் ஜே ¹ i(1 ¹ 2) - நாங்கள் பிளாக் 11 க்கு நகர்கிறோம்.

தடு 11: கள்= 4 - 1 × 0 = 4, தொகுதி 9 க்குச் செல்லவும், அதில் ஜேஒன்று அதிகரிக்க: ஜே = 2.

தொகுதி 10 இல் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை, எனவே நாம் தொகுதி 9 க்கு செல்கிறோம், அதில் ஜேஒன்று அதிகரிக்க: ஜே= 3. ஒப்புமை மூலம், நாம் பிளாக் 11 க்கு செல்கிறோம்.

தடு 11: கள்= 4 – (–2) × 0 = 4, அதன் பிறகு நாம் சுழற்சி III ஐ முடித்து 12 வது தொகுதிக்கு செல்கிறோம்.

தடு 12: கள் = கள்/ அ 22 = 4 / 5 = 0,8.

தடு 13: w = 1; கள் = கள் + 0 = 0,8.

தடு 14: ஈ = | 1 – 0,8 | = 0,2.

தடு 15: x i = 0,8 (i = 2).

தடு 16. நிலையைச் சரிபார்த்தல் ஈ > de: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «ஏ» சுழற்சி II இன் அடுத்த கட்டத்திற்கு - 7ஐத் தடுக்க.

சுழற்சி II: i = 3: கள் = பி 3 = 6 (தொகுதி 8).

உள்ளமை லூப் III க்கு செல்க, தொகுதி 9: ஜே = 1.

தடு 11: கள்= 6 – 1 × 0 = 6, தொகுதி 9க்குச் செல்க: ஜே = 2.

பிளாக் 10ஐப் பயன்படுத்தி பிளாக் 11க்கு நகர்கிறோம்.

தடு 11: கள்= 6 – 1 × 0 = 6. சுழற்சி III ஐ முடித்து, பிளாக் 12 க்கு செல்கிறோம்.

தடு 12: கள் = கள்/ அ 33 = 6 / 4 = 1,5.

தடு 13: கள் = 1,5.

தடு 14: ஈ = | 1 – 1,5 | = 0,5.

தடு 15: x i = 1,5 (i = 3).

தொகுதி 16 இன் படி (குறிப்புகள் உட்பட " ஏ"மற்றும்" உடன்") நாங்கள் சுழற்சி II ஐ விட்டுவிட்டு 18 வது தொகுதிக்கு செல்கிறோம்.

தடு 18. மறு செய்கைகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரித்தல் அது = அது + 1 = 0 + 1 = 1.

சுழற்சி IV இன் 19 மற்றும் 20 தொகுதிகளில், ஆரம்ப மதிப்புகளை மாற்றுவோம் எக்ஸ் 0iபெறப்பட்ட மதிப்புகள் x i (i = 1, 2, 3).

தடு 21. அச்சிடுதல் இடைநிலை மதிப்புகள்தற்போதைய மறு செய்கை, இந்த வழக்கில்: = (0.5; 0.8; 1.5) டி, அது = 1; de = 0,5.

7 ஐத் தடுக்க சுழற்சி II க்குச் சென்று புதிய ஆரம்ப மதிப்புகளுடன் கருதப்பட்ட கணக்கீடுகளைச் செய்கிறோம் எக்ஸ் 0i (i = 1, 2, 3).

அதன் பிறகு நாம் பெறுகிறோம் எக்ஸ் 1 = 1,075; எக்ஸ் 2 = 1,3; எக்ஸ் 3 = 1,175.

இங்கே, சீடலின் முறை ஒன்றிணைகிறது.

சூத்திரங்களின்படி (2.33)

பதில்: x 1 = 0,248; x 2 = 1,115; x 3 = –0,224.

கருத்து. எளிய மறு செய்கை மற்றும் சீடல் முறைகள் ஒரே அமைப்பில் ஒன்றிணைந்தால், சீடல் முறை விரும்பத்தக்கது. இருப்பினும், நடைமுறையில், இந்த முறைகளின் ஒருங்கிணைப்பின் பகுதிகள் வேறுபட்டிருக்கலாம், அதாவது, எளிய மறு செய்கை முறை ஒன்றிணைகிறது, ஆனால் சீடல் முறை வேறுபடுகிறது, மற்றும் நேர்மாறாகவும். இரண்டு முறைகளுக்கும், என்றால் || ஜி|| அருகில் அலகு, குவிதல் வேகம் மிகக் குறைவு.

ஒருங்கிணைப்பை விரைவுபடுத்த, ஒரு செயற்கை நுட்பம் பயன்படுத்தப்படுகிறது - அழைக்கப்படுகிறது தளர்வு முறை . மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி அடுத்த மதிப்பு பெறப்பட்டது என்பதில் அதன் சாராம்சம் உள்ளது x i (கே) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் கணக்கிடப்படுகிறது

இங்கு w பொதுவாக 0 முதல் 2 வரையிலான வரம்பில் மாற்றப்படுகிறது (0< w £ 2) с каким-либо шагом (ம= 0.1 அல்லது 0.2). w அளவுரு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, இதனால் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையிலான மறு செய்கைகளில் அடையப்படுகிறது.

தளர்வு- இந்த நிலைக்கு (உடல் பொறியியல்) காரணமான காரணிகளை நிறுத்திய பிறகு உடலின் எந்த நிலையிலும் படிப்படியாக பலவீனமடைதல்.

எடுத்துக்காட்டு 2.4. தளர்வு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஐந்தாவது மறு செய்கையின் முடிவைப் பார்ப்போம். w = 1.5 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கிட்டத்தட்ட ஏழாவது மறு செய்கையின் முடிவு பெறப்பட்டது.

எளிமையான மறு செய்கை முறை, அடுத்தடுத்த தோராய முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு அறியப்படாத அளவின் மதிப்பை படிப்படியாக செம்மைப்படுத்துவதன் மூலம் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு கணித வழிமுறையாகும். இந்த முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், பெயர் குறிப்பிடுவது போல, ஆரம்ப தோராயத்திலிருந்து படிப்படியாக அடுத்தடுத்தவற்றை வெளிப்படுத்துவதன் மூலம், மேலும் மேலும் சுத்திகரிக்கப்பட்ட முடிவுகள் பெறப்படுகின்றன. ஒரு மாறியின் மதிப்பைக் கண்டறிய இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு, அதே போல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை தீர்க்கும் போது, ​​நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்ல.

எப்படி என்று பார்க்கலாம் இந்த முறை SLAE ஐ தீர்க்கும் போது செயல்படுத்தப்படுகிறது. எளிய மறு செய்கை முறை பின்வரும் வழிமுறையைக் கொண்டுள்ளது:

1. ஒரிஜினல் மேட்ரிக்ஸில் ஒன்றிணைந்த நிலையின் பூர்த்தியைச் சரிபார்க்கிறது. ஒருங்கிணைப்பு தேற்றம்: கணினியின் அசல் அணி மூலைவிட்ட மேலாதிக்கத்தைக் கொண்டிருந்தால் (அதாவது, ஒவ்வொரு வரிசையிலும், பிரதான மூலைவிட்டத்தின் கூறுகள் முழுமையான மதிப்பில் உள்ள இரண்டாம் மூலைவிட்டங்களின் தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகையை விட முழுமையான மதிப்பில் அதிகமாக இருக்க வேண்டும்), பின்னர் எளிமையானது மறு செய்கை முறை ஒருமுகமானது.

2. அசல் அமைப்பின் மேட்ரிக்ஸ் எப்போதும் மூலைவிட்ட மேலாதிக்கத்தைக் கொண்டிருக்காது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், கணினியை மாற்றலாம். ஒருங்கிணைப்பு நிலையை திருப்திப்படுத்தும் சமன்பாடுகள் தீண்டப்படாமல் விடப்படுகின்றன, மேலும் இல்லாதவற்றுடன் நேரியல் சேர்க்கைகள் செய்யப்படுகின்றன, அதாவது. விரும்பிய முடிவைப் பெறும் வரை, பெருக்கவும், கழிக்கவும், சமன்பாடுகளைச் சேர்க்கவும்.

இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பில் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் சிரமமான குணகங்கள் இருந்தால், i * x i உடன் படிவத்தின் விதிமுறைகள் அத்தகைய சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் சேர்க்கப்படும், இதன் அறிகுறிகள் மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் அறிகுறிகளுடன் ஒத்துப்போக வேண்டும்.

3. விளைந்த அமைப்பை சாதாரண வடிவத்திற்கு மாற்றுதல்:

x - =β - +α*x -

இது பல வழிகளில் செய்யப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்றது: முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து, மற்ற அறியப்படாதவற்றின் அடிப்படையில் x 1 ஐ வெளிப்படுத்தவும், இரண்டாவது - x 2, மூன்றாவது - x 3, முதலியன. இந்த வழக்கில், நாங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
சாதாரண வடிவத்தின் விளைவான அமைப்பு ஒருங்கிணைப்பு நிலையை சந்திக்கிறதா என்பதை நீங்கள் மீண்டும் உறுதிசெய்ய வேண்டும்:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, i= 1,2,...n

4. உண்மையில், அடுத்தடுத்த தோராயங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தத் தொடங்குகிறோம்.

x (0) என்பது ஆரம்ப தோராயமாகும், அதன் மூலம் x (1) ஐ வெளிப்படுத்துவோம், பின்னர் x (2) ஐ x (1) மூலம் வெளிப்படுத்துவோம். மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் உள்ள பொதுவான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

x (n) = β - +α*x (n-1)

தேவையான துல்லியத்தை அடையும் வரை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

அதிகபட்சம் |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

எனவே, எளிய மறு செய்கை முறையை நடைமுறைக்குக் கொண்டு வருவோம். எடுத்துக்காட்டு:
SLAE ஐ தீர்க்கவும்:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 துல்லியத்துடன் ε=10 -3

மாடுலஸில் மூலைவிட்ட உறுப்புகள் ஆதிக்கம் செலுத்துகின்றனவா என்பதைப் பார்ப்போம்.

மூன்றாவது சமன்பாடு மட்டுமே ஒருங்கிணைப்பு நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை நாம் காண்கிறோம். நாம் முதல் மற்றும் இரண்டாவதாக மாற்றி, இரண்டாவது சமன்பாட்டில் சேர்க்கிறோம்:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

மூன்றில் இருந்து நாம் முதலில் கழிக்கிறோம்:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

அசல் அமைப்பை சமமான ஒன்றாக மாற்றினோம்:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

இப்போது கணினியை அதன் இயல்பான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

மறுசெயல் செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1, அதாவது. நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது.

0,3947
ஆரம்ப யூகம் x(0) = 0.4762
0,8511

இந்த மதிப்புகளை சாதாரண வடிவ சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம், பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:

0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639

புதிய மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் மதிப்புகளை அணுகும் வரை கணக்கீடுகளைத் தொடர்கிறோம்.

x (7) = 0.441091

பெறப்பட்ட முடிவுகளின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும்:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை அசல் சமன்பாடுகளில் மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட முடிவுகள் சமன்பாட்டின் நிபந்தனைகளை முழுமையாக பூர்த்தி செய்கின்றன.

நாம் பார்க்க முடியும் என, எளிய மறு செய்கை முறை மிகவும் துல்லியமான முடிவுகளை அளிக்கிறது, ஆனால் இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க நாம் நிறைய நேரம் செலவழித்து சிக்கலான கணக்கீடுகளை செய்ய வேண்டியிருந்தது.

விரிவுரை இயற்கணித நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான மறுசெயல் முறைகள்.

ஜேக்கபி முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கான நிபந்தனை

எளிய மறு செய்கை முறை

நேரியல் அமைப்பை நாங்கள் கருதுகிறோம் இயற்கணித சமன்பாடுகள்

மறுசெயல் முறைகளைப் பயன்படுத்த, கணினியை சமமான வடிவத்திற்குக் குறைக்க வேண்டும்

பின்னர் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்வுக்கான ஆரம்ப தோராயமானது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது மற்றும் ரூட்டிற்கான தோராயங்களின் வரிசை காணப்படுகிறது.

மறுசெயல் செயல்முறை ஒன்றிணைவதற்கு, நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துவது போதுமானது
(மேட்ரிக்ஸ் விதிமுறை). மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கான அளவுகோல் பயன்படுத்தப்படும் மறு செய்கை முறையைப் பொறுத்தது.

ஜேக்கபி முறை .

கணினியை மீண்டும் செய்ய வசதியான வடிவத்தில் கொண்டு வருவதற்கான எளிய வழி பின்வருமாறு:

கணினியின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் தெரியாததை வெளிப்படுத்துகிறோம் x 1, நாம் வெளிப்படுத்தும் அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x 2, முதலியன

இதன் விளைவாக, மேட்ரிக்ஸ் B உடன் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம், இதில் பூஜ்ஜிய கூறுகள் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ளன, மீதமுள்ள கூறுகள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:

திசையன் d இன் கூறுகள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:

எளிய மறு செய்கை முறைக்கான கணக்கீட்டு சூத்திரம்:

அல்லது ஒருங்கிணைப்பு குறியீட்டில் இது போல் தெரிகிறது:

ஜகோபி முறையில் மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கான அளவுகோல் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

என்றால்
, பிறகு மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கு எளிமையான அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம்

எடுத்துக்காட்டு 1.ஜகோபி முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்படட்டும்:

கணினிக்கு துல்லியமான தீர்வைக் கண்டறிவது அவசியம்

கணினியை மீண்டும் செய்வதற்கு வசதியான படிவத்திற்குக் குறைப்போம்:

ஆரம்ப தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம், எடுத்துக்காட்டாக,

- வலது பக்க திசையன்.

பின்னர் முதல் மறு செய்கை இப்படி இருக்கும்:

தீர்வுக்கான பின்வரும் தோராயங்களும் இதேபோல் பெறப்படுகின்றன.

மேட்ரிக்ஸ் B இன் விதிமுறையைக் கண்டுபிடிப்போம்.

நாங்கள் விதிமுறையைப் பயன்படுத்துவோம்

ஒவ்வொரு வரிசையிலும் உள்ள உறுப்புகளின் தொகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை 0.2 ஆக இருப்பதால்
, எனவே இந்த சிக்கலில் மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கான அளவுகோல்

திசையன் வேறுபாடுகளின் விதிமுறைகளை கணக்கிடுவோம்:

ஏனெனில்
நான்காவது மறு செய்கையில் குறிப்பிட்ட துல்லியம் அடையப்பட்டது.

பதில்: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

சீடல் முறை .

இந்த முறையை ஜேக்கபி முறையின் மாற்றமாகக் கருதலாம். முக்கிய யோசனை என்னவென்றால், அடுத்ததைக் கணக்கிடும்போது (n+1)- தெரியாத அணுகுமுறை x iமணிக்கு i >1பயன்பாடு ஏற்கனவே கண்டறியப்பட்டுள்ளது (n+1)-அறியப்படாததை நெருங்குகிறது x 1 ,x 2 , ...,xநான் - 1 மற்றும் இல்லை nதோராயமாக, ஜேக்கபி முறையில் உள்ளது.

ஒருங்கிணைப்பு குறியீட்டில் உள்ள முறையின் கணக்கீட்டு சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

ஒருங்கிணைப்பு நிலைமைகள் மற்றும் மறு செய்கைகளை முடிப்பதற்கான அளவுகோல் ஆகியவை ஜேக்கபி முறையைப் போலவே எடுக்கப்படலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.சீடல் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

சமன்பாடுகளின் 3 அமைப்புகளின் தீர்வை இணையாகக் கருதுவோம்:

கணினிகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்வதற்கு வசதியான படிவத்திற்குக் குறைப்போம்:

குவியும் நிலை என்பதை கவனத்தில் கொள்ளவும்
முதல் அமைப்புக்கு மட்டுமே செய்யப்பட்டது. ஒவ்வொரு வழக்கிலும் தீர்வுக்கான 3 முதல் தோராயங்களைக் கணக்கிடுவோம்.

1வது அமைப்பு:

சரியான தீர்வு பின்வரும் மதிப்புகளாக இருக்கும்: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 . மறுசெயல் செயல்முறை ஒன்றிணைகிறது.

2வது அமைப்பு:

மறு செய்கை செயல்முறை வேறுபடுவதைக் காணலாம்.

சரியான தீர்வு x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

3வது அமைப்பு:

மறு செய்கை செயல்முறை சுழற்சியில் சென்றிருப்பதைக் காணலாம்.

சரியான தீர்வு x 1 = 1, x 2 = 2 .

சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் அணி A சமச்சீர் மற்றும் நேர்மறை திட்டவட்டமானதாக இருக்கட்டும். பின்னர், ஆரம்ப தோராயத்தின் எந்தவொரு தேர்வுக்கும், சீடெல் முறை ஒன்றிணைகிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட மேட்ரிக்ஸின் நெறிமுறையின் சிறிய தன்மைக்கு கூடுதல் நிபந்தனைகள் எதுவும் விதிக்கப்படவில்லை.

எளிய மறு செய்கை முறை.

A என்பது சமச்சீர் மற்றும் நேர்மறை திட்டவட்ட அணியாக இருந்தால், சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பெரும்பாலும் சமமான வடிவத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது:

x=x-τ (ஏ x- b), τ – மறு செய்கை அளவுரு.

இந்த வழக்கில் எளிய மறு செய்கை முறையின் கணக்கீட்டு சூத்திரம் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

x (n+1) =x n- τ (ஏ x (n) - ஆ).

மற்றும் τ > 0 அளவுரு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, அதனால் முடிந்தால், மதிப்பைக் குறைக்கலாம்

λ நிமிடம் மற்றும் λ அதிகபட்சம் அணி A இன் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச ஈஜென் மதிப்புகளாக இருக்கட்டும். அளவுருவின் உகந்த தேர்வு

இந்த வழக்கில்
இதற்கு சமமான குறைந்தபட்ச மதிப்பை எடுக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 3. எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது. (MathCAD இல்)

Ax = b என்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கொடுக்கலாம்

மறுசெயல் செயல்முறையை உருவாக்க, நாங்கள் காண்கிறோம் சம மதிப்புகள்மெட்ரிக்குகள் ஏ:

- ஈஜென் மதிப்புகளைக் கண்டறிய உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது.

மறு செய்கை அளவுருவைக் கணக்கிட்டு, ஒருங்கிணைப்பு நிலையைச் சரிபார்ப்போம்

ஒருங்கிணைப்பு நிலை திருப்திகரமாக உள்ளது.

ஆரம்ப தோராயத்தை எடுத்துக் கொள்வோம் - திசையன் x0, துல்லியத்தை 0.001 க்கு அமைக்கவும் மற்றும் கீழே உள்ள நிரலைப் பயன்படுத்தி ஆரம்ப தோராயங்களைக் கண்டறியவும்:

சரியான தீர்வு

கருத்து. நிரல் rez மேட்ரிக்ஸை வழங்கினால், நீங்கள் கண்டறியப்பட்ட அனைத்து மறு செய்கைகளையும் பார்க்கலாம்.

தலைப்பு 3. மறுமுறை முறைகளைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் தீர்வு முறைகள்.

பெரிய பரிமாண அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் போது மேலே விவரிக்கப்பட்ட SLAE களைத் தீர்ப்பதற்கான நேரடி முறைகள் மிகவும் பயனுள்ளதாக இல்லை (அதாவது, மதிப்பின் போது n போதுமான அளவு). இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கு மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் முறைகள் மிகவும் பொருத்தமானவை.

SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கான மறுசெயல் முறைகள்(அவற்றின் இரண்டாவது பெயர் தீர்வுக்கான அடுத்தடுத்த தோராயமான முறைகள்) SLAE இன் சரியான தீர்வைக் கொடுக்கவில்லை, ஆனால் தீர்வுக்கான தோராயத்தை மட்டுமே கொடுக்க வேண்டும், மேலும் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த தோராயமும் முந்தையதை விடவும் மிகவும் துல்லியமானது ( என்று வழங்கியது ஒன்றிணைதல்மறு செய்கைகள்). ஆரம்ப (அல்லது பூஜ்ஜியம் என்று அழைக்கப்படும்) தோராயமானது எதிர்பார்க்கப்படும் தீர்வுக்கு அருகில் அல்லது தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது (கணினியின் வலது பக்கத்தின் திசையன் அதை எடுத்துக் கொள்ளலாம்). அவற்றின் எண்ணிக்கை முடிவிலியை நோக்கிச் செல்வதால், அத்தகைய தோராயங்களின் வரம்பாக சரியான தீர்வு காணப்படுகிறது. ஒரு விதியாக, இந்த வரம்பு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான படிகளில் (அதாவது மறு செய்கைகள்) எட்டப்படவில்லை. எனவே, நடைமுறையில், கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது தீர்வு துல்லியம், அதாவது, சில நேர்மறை மற்றும் போதுமான சிறிய எண் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது இமற்றும் கணக்கீடுகளின் செயல்முறை (மறு செய்கைகள்) உறவு திருப்தி அடையும் வரை மேற்கொள்ளப்படுகிறது .

மறு செய்கை எண்ணுக்குப் பிறகு பெறப்பட்ட தீர்வுக்கான தோராயம் இங்கே உள்ளது n , a என்பது SLAE இன் சரியான தீர்வு (இது முன்கூட்டியே தெரியவில்லை). மறு செய்கைகளின் எண்ணிக்கை n = n (இ ) , கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்தை அடைய அவசியம் குறிப்பிட்ட முறைகள்கோட்பாட்டுப் பரிசீலனைகளிலிருந்து பெறலாம் (அதாவது, இதற்கான கணக்கீட்டு சூத்திரங்கள் உள்ளன). வெவ்வேறு செயல் முறைகளின் தரத்தை ஒரே துல்லியத்தை அடைய தேவையான மறு செய்கைகளின் எண்ணிக்கையால் ஒப்பிடலாம்.

மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் முறைகளைப் படிக்க ஒன்றிணைதல்நீங்கள் மெட்ரிக்குகளின் விதிமுறைகளை கணக்கிட முடியும். மேட்ரிக்ஸ் விதிமுறை- இது ஒரு குறிப்பிட்ட எண் மதிப்பாகும், இது மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளின் அளவை முழுமையான மதிப்பில் வகைப்படுத்துகிறது. உயர் கணிதத்தில் பல உள்ளன பல்வேறு வகையானமெட்ரிக்குகளின் விதிமுறைகள், அவை பொதுவாக சமமானவை. எங்கள் பாடத்தில் அவற்றில் ஒன்றை மட்டுமே பயன்படுத்துவோம். அதாவது, கீழ் அணி விதிமுறைநாம் புரிந்துகொள்வோம் தொகைகளில் அதிகபட்ச மதிப்பு முழுமையான மதிப்புகள்தனிப்பட்ட அணி வரிசைகளின் கூறுகள். மேட்ரிக்ஸின் விதிமுறையைக் குறிக்க, அதன் பெயர் இரண்டு ஜோடி செங்குத்து பட்டிகளில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, அணிக்கு ஏ அதன் விதிமுறைப்படி நாம் அளவைக் குறிக்கிறோம்

. (3.1)

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, எடுத்துக்காட்டு 1 இலிருந்து அணி A இன் விதிமுறை பின்வருமாறு காணப்படுகிறது:

SLAE களைத் தீர்ப்பதற்கு மூன்று மறுசெயல் முறைகள் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

எளிய மறு செய்கை முறை

ஜேக்கபி முறை

குவாஸ்-சீடல் முறை.

எளிய மறு செய்கை முறை SLAE ஐ அதன் அசல் வடிவில் (2.1) எழுதுவதிலிருந்து வடிவில் எழுதுவதற்கு மாற்றத்தை உள்ளடக்கியது

(3.2)

அல்லது, இதுவும் ஒன்றுதான், மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில்,

x = உடன் × x + டி , (3.3)

சி - மாற்றப்பட்ட பரிமாண அமைப்பின் குணகங்களின் அணி n ´ n

x - அறியப்படாத திசையன்களைக் கொண்டுள்ளது n கூறு

டி - மாற்றப்பட்ட அமைப்பின் வலது பகுதிகளின் திசையன், கொண்டிருக்கும் n கூறு.

வடிவத்தில் உள்ள அமைப்பு (3.2) குறைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்

இந்த பார்வையின் அடிப்படையில் எளிய மறு செய்கை சூத்திரம்போல் இருக்கும்

எங்கே மீ மறு செய்கை எண், மற்றும் - மதிப்பு x ஜே அன்று மீ -வது மறு செய்கை படி. பிறகு, மறு செய்கை செயல்முறை ஒன்றிணைந்தால்,அதிக எண்ணிக்கையிலான மறு செய்கைகளுடன் அது கவனிக்கப்படும்

என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது மறு செய்கை செயல்முறை ஒன்றிணைகிறது,என்றால் விதிமுறைமெட்ரிக்குகள் டி சாப்பிடுவேன் குறைவான அலகுகள்கள்.

இலவச சொற்களின் வெக்டரை ஆரம்ப (பூஜ்ஜியம்) தோராயமாக எடுத்துக் கொண்டால், அதாவது. x (0) = டி , அது பிழையின் அளவுபோல் தெரிகிறது

(3.5)

இங்கே கீழ் x * அமைப்பின் சரியான தீர்வு புரிகிறது. எனவே,

என்றால் , பின்னர் படி குறிப்பிட்ட துல்லியம்இ முன்கூட்டியே கணக்கிட முடியும் தேவையான எண்ணிக்கையிலான மறு செய்கைகள். அதாவது, உறவிலிருந்து

சிறிய மாற்றங்களுக்குப் பிறகு நாம் பெறுகிறோம்

. (3.6)

இதுபோன்ற பல மறு செய்கைகளைச் செய்யும்போது, ​​கணினிக்கான தீர்வைக் கண்டறிவதற்கான குறிப்பிட்ட துல்லியம் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. இந்த கோட்பாட்டு மதிப்பீடு தேவையான அளவுமறு செய்கையின் படிகள் ஓரளவு மிகையாக மதிப்பிடப்படுகின்றன. நடைமுறையில், தேவையான துல்லியத்தை குறைவான மறு செய்கைகளில் அடையலாம்.

பின்வரும் படிவத்தின் அட்டவணையில் பெறப்பட்ட முடிவுகளை உள்ளிடுவதன் மூலம் ஒரு எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட SLAEக்கான தீர்வுகளைத் தேடுவது வசதியானது:

இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி SLAE களைத் தீர்ப்பதில் குறிப்பாக கவனிக்க வேண்டும் மிகவும் சிக்கலான மற்றும் நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும்அமைப்பில் (2.1) இருந்து வடிவத்திற்கு (3.2) ஒரு மாற்றத்தைச் செய்வதாகும். இந்த மாற்றங்கள் சமமானதாக இருக்க வேண்டும், அதாவது. அசல் அமைப்பின் தீர்வை மாற்றாமல், மேட்ரிக்ஸின் நெறிமுறையின் மதிப்பை உறுதிப்படுத்துகிறது சி (அவற்றை முடித்த பிறகு) சிறிய அலகு. இத்தகைய மாற்றங்களைச் செய்வதற்கு எந்த ஒரு செய்முறையும் இல்லை. இங்கே, ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட விஷயத்திலும், ஆக்கப்பூர்வமாக இருக்க வேண்டியது அவசியம். கருத்தில் கொள்வோம் உதாரணங்கள், இது கணினியை தேவையான படிவத்திற்கு மாற்ற சில வழிகளை வழங்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.எளிமையான மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம் (துல்லியத்துடன் இ= 0.001)

இந்த அமைப்பு எளிமையான முறையில் தேவையான படிவத்திற்கு கொண்டு வரப்படுகிறது. அனைத்து சொற்களையும் இடது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கம் நகர்த்துவோம், பின்னர் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் சேர்ப்போம் x i (i =1, 2, 3, 4). பின்வரும் படிவத்தின் மாற்றப்பட்ட அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

.

மேட்ரிக்ஸ் சி மற்றும் திசையன் டி இந்த வழக்கில் பின்வருமாறு இருக்கும்

சி = , டி = .

மேட்ரிக்ஸின் நெறியைக் கணக்கிடுவோம் சி . நாம் பெறுகிறோம்

விதிமுறை ஒற்றுமையை விட குறைவாக மாறியதால், எளிய மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்பு உறுதி செய்யப்படுகிறது. ஆரம்ப (பூஜ்ஜியம்) தோராயமாக, நாம் திசையன் கூறுகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம் டி . நாம் பெறுகிறோம்

, , , .

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (3.6), தேவையான எண்ணிக்கையிலான மறு செய்கை படிகளைக் கணக்கிடுகிறோம். முதலில் வெக்டரின் நெறியை தீர்மானிப்போம் டி . நாம் பெறுகிறோம்

.

எனவே, குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை அடைய, குறைந்தது 17 மறு செய்கைகளைச் செய்வது அவசியம். முதல் மறு செய்கை செய்வோம். நாம் பெறுகிறோம்

அனைத்து எண்கணித செயல்பாடுகளையும் செய்த பிறகு, நாங்கள் பெறுகிறோம்

.

இதேபோல் தொடர்ந்து, மேலும் மறு செய்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்வோம். அவற்றின் முடிவுகளை பின்வரும் அட்டவணையில் சுருக்கமாகக் கூறுகிறோம் ( டி - மிகப்பெரிய மதிப்புதற்போதைய மற்றும் முந்தைய படிகளுக்கு இடையே தீர்வு கூறுகளில் மாற்றங்கள்)

பத்தாவது படிக்குப் பிறகு, கடைசி இரண்டு மறு செய்கைகளின் மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை விட குறைவாக இருப்பதால், மறு செய்கை செயல்முறையை நிறுத்துவோம். தீர்வு கண்டுபிடிக்கப்பட்டதால், பெறப்பட்ட மதிப்புகளை நாங்கள் ஏற்றுக்கொள்வோம் கடைசி படி.

எடுத்துக்காட்டு 2.

முதலில் முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே தொடரலாம். நாம் பெறுகிறோம்

மேட்ரிக்ஸ் சி அத்தகைய அமைப்பு இருக்கும்

சி =.

அதன் நெறிமுறையைக் கணக்கிடுவோம். நாம் பெறுகிறோம்

வெளிப்படையாக, அத்தகைய மேட்ரிக்ஸிற்கான மறு செய்கை செயல்முறை ஒன்றிணைக்கப்படாது. கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பை மாற்றுவதற்கு மற்றொரு வழியைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பில் அதன் தனிப்பட்ட சமன்பாடுகளை மறுசீரமைப்போம், இதனால் மூன்றாவது வரி முதல், முதல் - இரண்டாவது, இரண்டாவது - மூன்றாவது. பின்னர், அதை அதே வழியில் மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்

மேட்ரிக்ஸ் சி அத்தகைய அமைப்பு இருக்கும்

சி =.

அதன் நெறிமுறையைக் கணக்கிடுவோம். நாம் பெறுகிறோம்

மேட்ரிக்ஸின் விதிமுறை இருந்து சி ஒற்றுமையை விட குறைவாக மாறியது, இந்த வழியில் மாற்றப்பட்ட அமைப்பு எளிய மறு செய்கை முறை மூலம் தீர்வுக்கு ஏற்றது.

எடுத்துக்காட்டு 3.சமன்பாடுகளின் அமைப்பை மாற்றுவோம்

அதைத் தீர்ப்பதில் எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கும் படிவத்திற்கு.

நாம் முதலில் உதாரணம் 1 போலவே தொடரலாம். நாம் பெறுகிறோம்

மேட்ரிக்ஸ் சி அத்தகைய அமைப்பு இருக்கும்

சி =.

அதன் நெறிமுறையைக் கணக்கிடுவோம். நாம் பெறுகிறோம்

வெளிப்படையாக, அத்தகைய மேட்ரிக்ஸிற்கான மறு செய்கை செயல்முறை ஒன்றிணைக்கப்படாது.

அசல் மேட்ரிக்ஸை எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு வசதியான படிவமாக மாற்ற, நாங்கள் பின்வருமாறு தொடர்கிறோம். முதலில், நாம் சமன்பாடுகளின் "இடைநிலை" அமைப்பை உருவாக்குகிறோம்

- முதல் சமன்பாடுஅசல் அமைப்பின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்

- இரண்டாவது சமன்பாடு- இரண்டாவது மைனஸ் முதல் மூன்றாவது சமன்பாட்டின் இரண்டு மடங்கு கூட்டுத்தொகை

- மூன்றாவது சமன்பாடு- அசல் அமைப்பின் மூன்றாவது மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு.

இதன் விளைவாக, அசல் சமன்பாட்டிற்கு சமமான சமன்பாடுகளின் "இடைநிலை" அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.

அதிலிருந்து மற்றொரு அமைப்பைப் பெறுவது எளிது, ஒரு "இடைநிலை" அமைப்பு

,

மற்றும் அதிலிருந்து மாற்றப்பட்டது

.

மேட்ரிக்ஸ் சி அத்தகைய அமைப்பு இருக்கும்

சி =.

அதன் நெறிமுறையைக் கணக்கிடுவோம். நாம் பெறுகிறோம்

அத்தகைய மேட்ரிக்ஸின் மறு செய்கை செயல்முறை ஒன்றிணைந்ததாக இருக்கும்.

ஜேக்கபி முறை மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து மூலைவிட்ட கூறுகளும் என்று கருதுகிறது ஏ அசல் அமைப்பின் (2.2) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை. பின்னர் அசல் அமைப்பை மீண்டும் எழுதலாம்

(3.7)

அத்தகைய பதிவிலிருந்து அமைப்பு உருவாகிறது ஜேக்கபி முறையின் மறு செய்கை சூத்திரம்

ஜகோபி முறையின் மறுசெயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கான நிபந்தனை நிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது மூலைவிட்டத்தின் ஆதிக்கம்அசல் அமைப்பில் (வகை (2,1)). பகுப்பாய்வு ரீதியாக, இந்த நிபந்தனை இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது

. (3.9)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பில், ஜாகோபி முறையின் ஒருங்கிணைப்பு நிலை (அதாவது, மூலைவிட்டத்தின் ஆதிக்க நிலை) திருப்தி அடையவில்லை என்றால், பல சந்தர்ப்பங்களில், அசல் SLAE இன் சமமான மாற்றங்களின் மூலம் இது சாத்தியமாகும் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். , இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்ட சமமான SLAE இன் தீர்வுக்கு அதன் தீர்வைக் கொண்டு வர.

எடுத்துக்காட்டு 4.சமன்பாடுகளின் அமைப்பை மாற்றுவோம்

அதைத் தீர்ப்பதில் ஜேக்கபி முறையைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கும் படிவத்திற்கு.

எடுத்துக்காட்டு 3 இல் இந்த அமைப்பை நாங்கள் ஏற்கனவே கருத்தில் கொண்டுள்ளோம், எனவே அதிலிருந்து "இடைநிலை" சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு செல்லலாம். அதன் மூலைவிட்ட மேலாதிக்க நிலை திருப்திகரமாக இருப்பதை நிறுவுவது எளிது, எனவே ஜாகோபி முறையைப் பயன்படுத்துவதற்குத் தேவையான படிவத்திற்கு மாற்றுவோம். நாம் பெறுகிறோம்

கொடுக்கப்பட்ட SLAEக்கான Jacobi முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளைச் செய்வதற்கான சூத்திரத்தை அதிலிருந்து பெறுகிறோம்

ஆரம்பமாக எடுத்துக்கொள்வது, அதாவது. பூஜ்ஜியம், இலவச விதிமுறைகளின் தோராயமான திசையன், தேவையான அனைத்து கணக்கீடுகளையும் நாங்கள் செய்வோம். முடிவுகளை அட்டவணையில் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

பெறப்பட்ட தீர்வின் மிக உயர்ந்த துல்லியம் ஆறு மறு செய்கைகளில் அடையப்பட்டது.

காஸ்-சீடல் முறை இது ஜேக்கபி முறையின் முன்னேற்றம் மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து மூலைவிட்ட கூறுகளையும் கருதுகிறது ஏ அசல் அமைப்பின் (2.2) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை. பின்னர் அசல் அமைப்பை ஜகோபி முறையைப் போன்ற வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம், ஆனால் அதிலிருந்து சற்று வித்தியாசமாக

கூட்டுத்தொகை குறியீடானது கீழ் குறியீட்டை விட மேல் குறியீடு குறைவாக இருந்தால், எந்த கூட்டுத்தொகையும் செய்யப்படாது என்பதை இங்கே நினைவில் கொள்வது அவசியம்.

Gauss-Seidel முறையின் யோசனை என்னவென்றால், அடுத்த மறு செய்கையின் செயல்பாட்டில், ஒரு புதிய மதிப்பைக் கண்டறிந்ததன் காரணமாக, ஜாகோபி முறையுடன் தொடர்புடைய கணக்கீட்டு செயல்முறையை விரைவுபடுத்துவதற்கான வாய்ப்பை இந்த முறையின் ஆசிரியர்கள் கண்டனர். x 1 முடியும் உடனடியாகஇந்த புதிய மதிப்பைப் பயன்படுத்தவும் அதே மறுமுறையில்மீதமுள்ள மாறிகளை கணக்கிட. இதேபோல், மேலும், ஒரு புதிய மதிப்பு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது x 2 நீங்கள் உடனடியாக அதை அதே மறு செய்கையில் பயன்படுத்தலாம்.

இதன் அடிப்படையில், காஸ்-சீடல் முறைக்கான மறு செய்கை சூத்திரம்உள்ளது அடுத்த பார்வை

போதுமானதுஒருங்கிணைப்பு விதி Gauss-Seidel முறையின் மறு செய்கை செயல்முறை அதே நிலையில் உள்ளது மூலைவிட்டத்தின் ஆதிக்கம் (3.9). குவிதல் வேகம்இந்த முறை ஜாகோபி முறையை விட சற்று அதிகமாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 5.காஸ்-சீடல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்போம்

3 மற்றும் 4 எடுத்துக்காட்டுகளில் இந்த அமைப்பை நாங்கள் ஏற்கனவே பரிசீலித்துள்ளோம், எனவே அதிலிருந்து உடனடியாக மாற்றப்பட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு நகர்த்துவோம் (எடுத்துக்காட்டு 4 ஐப் பார்க்கவும்), இதில் மூலைவிட்டத்தின் ஆதிக்கத்திற்கான நிபந்தனை திருப்தி அளிக்கிறது. அதிலிருந்து காஸ்-சீடல் முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளைச் செய்வதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்

இலவச சொற்களின் வெக்டரை ஆரம்ப (அதாவது பூஜ்ஜியம்) தோராயமாக எடுத்துக் கொண்டு, தேவையான அனைத்து கணக்கீடுகளையும் நாங்கள் செய்கிறோம். முடிவுகளை அட்டவணையில் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

பெறப்பட்ட தீர்வின் மிக உயர்ந்த துல்லியம் ஐந்து மறு செய்கைகளில் அடையப்பட்டது.