எண்கணித முன்னேற்றத்தில் குவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது.

வீடு
ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்.
ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தைத் தீர்ப்பது.
கொடுக்கப்பட்டவை: a n , d, n

கண்டுபிடி: a 1
இந்த கணித நிரல் பயனர் குறிப்பிட்ட எண்கள் \(a_n, d\) மற்றும் \(n\) அடிப்படையில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை \(a_1\) கண்டுபிடிக்கிறது. \(a_n\) மற்றும் \(d\) எண்களை முழு எண்களாக மட்டும் குறிப்பிடாமல் பின்னங்களாகவும் குறிப்பிடலாம். மேலும்,பின்ன எண் தசம பின்னம் (\(2.5\)) மற்றும் என உள்ளிடலாம்பொதுவான பின்னம்

(\(-5\frac(2)(7)\)).

நிரல் சிக்கலுக்கான பதிலை வழங்குவது மட்டுமல்லாமல், தீர்வைக் கண்டறியும் செயல்முறையையும் காட்டுகிறது. இந்த ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்மேல்நிலைப் பள்ளிகள் தயாரிப்பில்சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகள், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கு முன் அறிவை சோதிக்கும் போது, ​​கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல பிரச்சனைகளின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோர்கள்.அல்லது நீங்கள் ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது முடிந்தவரை விரைவாகச் செய்து முடிக்க வேண்டுமா?

வீட்டுப்பாடம் கணிதம் அல்லது இயற்கணிதம்? இந்த வழக்கில், விரிவான தீர்வுகளுடன் எங்கள் நிரல்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.இந்த வழியில் நீங்கள் உங்கள் சொந்த பயிற்சி மற்றும்/அல்லது உங்களுடைய பயிற்சியை நடத்தலாம்.

இளைய சகோதரர்கள்

அல்லது சகோதரிகள், பிரச்சினைகள் தீர்க்கப்படும் துறையில் கல்வி நிலை அதிகரிக்கிறது.

எண்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகளை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை என்றால், அவற்றை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்குமாறு நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம்.
எண்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்

\(a_n\) மற்றும் \(d\) எண்களை முழு எண்களாக மட்டும் குறிப்பிடாமல் பின்னங்களாகவும் குறிப்பிடலாம்.
எண் \(n\) நேர்மறை முழு எண்ணாக மட்டுமே இருக்க முடியும். தசம பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.முழு மற்றும்
பகுதியளவு தசம பின்னங்களில் ஒரு காலம் அல்லது கமாவால் பிரிக்கலாம்.உதாரணமாக, நீங்கள் நுழையலாம்

தசமங்கள்
எனவே 2.5 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட 2.5

சாதாரண பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.

ஒரு முழு எண் மட்டுமே ஒரு பகுதியின் எண், வகுப்பி மற்றும் முழு எண் பகுதியாக செயல்பட முடியும். /
வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.
ஒரு எண் பின்னத்தை உள்ளிடும்போது, ​​எண் வகுப்பிலிருந்து ஒரு பிரிவு அடையாளத்தால் பிரிக்கப்படுகிறது:

உள்ளீடு: &
வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.
முடிவு: \(-\frac(2)(3)\)

எண்களை உள்ளிடவும் a n , d, n
1 ஐக் கண்டுபிடி
இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மேலும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம்.

ஏனெனில் பிரச்சனையை தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசையாக உள்ளது.
சில நொடிகளில் தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவுசெய்து காத்திருக்கவும் நொடி...

நீங்கள் என்றால் தீர்வில் பிழை இருப்பதை கவனித்தேன், பிறகு இதைப் பற்றி பின்னூட்டப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறக்காதே எந்த பணியைக் குறிக்கவும்நீங்கள் என்ன முடிவு செய்யுங்கள் துறைகளில் நுழையுங்கள்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

எண் வரிசை

அன்றாட நடைமுறையில், பல்வேறு பொருட்களின் எண்ணிக்கையானது அவை ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட வரிசையைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. உதாரணமாக, ஒவ்வொரு தெருவிலும் உள்ள வீடுகளுக்கு எண்ணிடப்பட்டுள்ளது. நூலகத்தில், வாசகரின் சந்தாக்கள் எண்ணப்பட்டு, பின்னர் சிறப்பு அட்டை கோப்புகளில் ஒதுக்கப்பட்ட எண்களின் வரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன.

சேமிப்பு வங்கியில், வைப்பாளரின் தனிப்பட்ட கணக்கு எண்ணைப் பயன்படுத்தி, இந்தக் கணக்கை எளிதாகக் கண்டுபிடித்து அதில் என்ன வைப்பு உள்ளது என்பதைப் பார்க்கலாம். கணக்கு எண். 1ல் a1 ரூபிள் வைப்பு இருக்கட்டும், கணக்கு எண் 2ல் a2 ரூபிள் வைப்புத்தொகை இருக்கட்டும். எண் வரிசை
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
N என்பது அனைத்து கணக்குகளின் எண்ணிக்கை. இங்கே, 1 முதல் N வரையிலான ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் ஒரு n எண்ணுடன் தொடர்புடையது.

கணிதத்திலும் படித்தவர் எல்லையற்ற எண் வரிசைகள்:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
எண் a 1 என்று அழைக்கப்படுகிறது வரிசையின் முதல் காலம், எண் a 2 - வரிசையின் இரண்டாவது காலம், எண் a 3 - வரிசையின் மூன்றாவது காலம்முதலியன
a n என்ற எண் அழைக்கப்படுகிறது வரிசையின் nth (nth) உறுப்பினர், மற்றும் இயற்கை எண் n அதன் எண்.

எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கை எண்கள் 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... மற்றும் 1 = 1 என்பது வரிசையின் முதல் சொல்; மற்றும் n = n 2 ஆகும் nவது பதவிக்காலம்தொடர்கள்; a n+1 = (n + 1) 2 என்பது வரிசையின் (n + 1)வது (n கூட்டல் முதல்) சொல். பெரும்பாலும் ஒரு வரிசையை அதன் nவது காலத்தின் சூத்திரத்தால் குறிப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, சூத்திரம் \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) வரிசையை வரையறுக்கிறது \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dts \)

எண்கணித முன்னேற்றம்

வருடத்தின் நீளம் தோராயமாக 365 நாட்கள். மிகவும் துல்லியமான மதிப்பு \(365\frac(1)(4)\) நாட்கள், எனவே ஒவ்வொரு நான்கு வருடங்களுக்கும் ஒரு நாளின் பிழை கூடுகிறது.

இந்த பிழையைக் கணக்கிட, ஒவ்வொரு நான்காவது ஆண்டிலும் ஒரு நாள் சேர்க்கப்படும், மேலும் நீட்டிக்கப்பட்ட ஆண்டு லீப் ஆண்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக, மூன்றாம் மில்லினியத்தில் லீப் ஆண்டுகள் 2004, 2008, 2012, 2016, ...

இந்த வரிசையில், ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது இருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒரு சமமாக, அதே எண் 4 சேர்க்கப்பட்டது. அத்தகைய தொடர்கள் அழைக்கப்படுகின்றன எண்கணித முன்னேற்றங்கள்.

வரையறை.
எண் வரிசை a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... என்று அழைக்கப்படுகிறது எண்கணித முன்னேற்றம், அனைத்து இயற்கை n சமத்துவம் என்றால்
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
d என்பது சில எண்.

இந்த சூத்திரத்திலிருந்து ஒரு n+1 - a n = d. எண் d வித்தியாசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது எண்கணித முன்னேற்றம்.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
எங்கே
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), இங்கு \(n>1 \)

இவ்வாறு, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு சொல்லும், இரண்டாவது தொடங்கி, அதன் இரண்டு அடுத்தடுத்த சொற்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம். இது "எண்கணிதம்" முன்னேற்றத்தின் பெயரை விளக்குகிறது.

ஒரு 1 மற்றும் d கொடுக்கப்பட்டால், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் மீதமுள்ள சொற்களை மீண்டும் மீண்டும் வரும் சூத்திரம் a n+1 = a n + d ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். இந்த வழியில் முன்னேற்றத்தின் முதல் சில சொற்களைக் கணக்கிடுவது கடினம் அல்ல, இருப்பினும், எடுத்துக்காட்டாக, 100 க்கு ஏற்கனவே நிறைய கணக்கீடுகள் தேவைப்படும். பொதுவாக, nth term formula இதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வரையறையின்படி
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
முதலியன
மொத்தத்தில்,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
ஏனெனில் nவது பதவிக்காலம்ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் முதல் காலத்திலிருந்து (n-1) எண் d ஐச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.
இந்த சூத்திரம் அழைக்கப்படுகிறது எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரம்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை

1 முதல் 100 வரையிலான அனைத்து இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.
இந்த தொகையை இரண்டு வழிகளில் எழுதலாம்:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
இந்த சமத்துவங்களை காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்ப்போம்:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
இந்தத் தொகையில் 100 விதிமுறைகள் உள்ளன
எனவே, 2S = 101 * 100, எனவே S = 101 * 50 = 5050.

இப்போது ஒரு தன்னிச்சையான எண்கணித முன்னேற்றத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
S n என்பது இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் n விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கட்டும்:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
பிறகு ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை சமம்
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

\(a_n=a_1+(n-1)d\), பின்னர் இந்த சூத்திரத்தில் n ஐ மாற்றினால், கண்டுபிடிப்பதற்கான மற்றொரு சூத்திரம் கிடைக்கும் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

ஒரு எண் வரிசையின் கருத்து ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் சில உண்மையான மதிப்புடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. அத்தகைய எண்களின் தொடர் தன்னிச்சையாகவோ அல்லது கொண்டதாகவோ இருக்கலாம் சில பண்புகள்- முன்னேற்றம். பிந்தைய வழக்கில், வரிசையின் ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பு (உறுப்பினர்) முந்தையதைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும்.

எண்கணித முன்னேற்றம்- எண் மதிப்புகளின் வரிசை, அதன் அண்டை உறுப்பினர்கள் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகிறார்கள் அதே எண்(2 வது முதல் தொடரின் அனைத்து கூறுகளும் ஒரே மாதிரியான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன). இந்த எண்- முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த சொற்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு நிலையானது மற்றும் முன்னேற்ற வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முன்னேற்ற வேறுபாடு: வரையறை

J மதிப்புகள் A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j என்பது N இயற்கை எண்களின் தொகுப்பைச் சேர்ந்தது. ஒரு எண்கணிதம் கொண்ட ஒரு வரிசையைக் கவனியுங்கள். முன்னேற்றம், அதன் வரையறையின்படி, ஒரு வரிசையாகும், இதில் a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) =… = a(j) – a(j-1) = d. மதிப்பு d என்பது இந்த முன்னேற்றத்தின் விரும்பிய வேறுபாடாகும்.

d = a(j) – a(j-1).

சிறப்பம்சமாக:

• அதிகரிக்கும் முன்னேற்றம், இதில் d > 0. எடுத்துக்காட்டு: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• முன்னேற்றத்தைக் குறைத்தல், பின்னர் டி< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

வேறுபாடு முன்னேற்றம் மற்றும் அதன் தன்னிச்சையான கூறுகள்

முன்னேற்றத்தின் 2 தன்னிச்சையான சொற்கள் (i-th, k-th) தெரிந்தால், கொடுக்கப்பட்ட வரிசைக்கான வேறுபாட்டை உறவின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்க முடியும்:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, அதாவது d = (a(i) – a(k))/(i-k).

முன்னேற்றம் மற்றும் அதன் முதல் கால வேறுபாடு

வரிசை உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை அறியப்பட்ட சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே அறியப்படாத மதிப்பைத் தீர்மானிக்க இந்த வெளிப்பாடு உதவும்.

முன்னேற்ற வேறுபாடு மற்றும் அதன் கூட்டுத்தொகை

முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை அதன் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். அதன் முதல் j உறுப்புகளின் மொத்த மதிப்பைக் கணக்கிட, பொருத்தமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ஆனால் முதல் a(j) = a(1) + d(j – 1), பின்னர் S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

I. V. யாகோவ்லேவ் | கணிதப் பொருட்கள் | MathUs.ru

எண்கணித முன்னேற்றம்

எண்கணித முன்னேற்றம் ஆகும் சிறப்பு வகைஅடுத்தடுத்து. எனவே, ஒரு எண்கணித (பின்னர் வடிவியல்) முன்னேற்றத்தை வரையறுக்கும் முன், நாம் சுருக்கமாக விவாதிக்க வேண்டும் முக்கியமான கருத்துஎண் வரிசை.

பின்தொடர்

குறிப்பிட்ட எண்கள் ஒன்றன் பின் ஒன்றாகக் காட்டப்படும் ஒரு சாதனத்தை திரையில் கற்பனை செய்து பாருங்கள். 2 என்று வைத்துக்கொள்வோம்; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : இந்த எண்களின் தொகுப்பு துல்லியமாக ஒரு வரிசையின் உதாரணம்.

வரையறை. எண் வரிசை என்பது எண்களின் தொகுப்பாகும், இதில் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் ஒரு தனிப்பட்ட எண்ணை ஒதுக்கலாம் (அதாவது, ஒரு இயற்கை எண்ணுடன் தொடர்புடையது)1. எண் n வரிசையின் n வது சொல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எனவே, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், முதல் எண் 2, இது வரிசையின் முதல் உறுப்பினர், இது a1 ஆல் குறிக்கப்படலாம்; எண் ஐந்து என்பது வரிசையின் ஐந்தாவது கால எண் 6 ஆகும், இது a5 ஆல் குறிக்கப்படலாம். பொதுவாக, ஒரு வரிசையின் n வது சொல் ஒரு (அல்லது bn, cn, முதலியன) மூலம் குறிக்கப்படுகிறது.

வரிசையின் nவது காலத்தை சில சூத்திரத்தால் குறிப்பிடுவது மிகவும் வசதியான சூழ்நிலை. எடுத்துக்காட்டாக, சூத்திரம் an = 2n 3 வரிசையைக் குறிப்பிடுகிறது: 1; 1; 3; 5; 7; : : : சூத்திரம் an = (1)n வரிசையைக் குறிப்பிடுகிறது: 1; 1; 1; 1; :::

எண்களின் ஒவ்வொரு தொகுப்பும் ஒரு வரிசை அல்ல. எனவே, ஒரு பிரிவு என்பது ஒரு வரிசை அல்ல; மறுபெயரிடப்பட வேண்டிய "மிக அதிகமான" எண்கள் இதில் உள்ளன. அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு R என்பதும் ஒரு வரிசை அல்ல. இந்த உண்மைகள் கணித பகுப்பாய்வின் போக்கில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன.

எண்கணித முன்னேற்றம்: அடிப்படை வரையறைகள்

இப்போது நாம் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை வரையறுக்க தயாராக இருக்கிறோம்.

வரையறை. எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒவ்வொரு காலமும் (இரண்டாவது தொடங்கி) முந்தைய கால மற்றும் சில நிலையான எண்ணின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு வரிசையாகும் (எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு எனப்படும்).

எடுத்துக்காட்டாக, வரிசை 2; 5; 8; 11; : : : முதல் கால 2 மற்றும் வேறுபாடு 3 உடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம். வரிசை 7; 2; 3; 8; : : : முதல் கால 7 மற்றும் வேறுபாடு 5 உடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம். வரிசை 3; 3; 3; : : : என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான வேறுபாட்டைக் கொண்ட ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும்.

சமமான வரையறை: an+1 a வேறுபாடு ஒரு நிலையான மதிப்பாக இருந்தால் (n இன் சார்பற்ற) ஒரு வரிசை a எண்கணித முன்னேற்றம் எனப்படும்.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் அதன் வேறுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால் அதிகரிப்பது என்றும், அதன் வேறுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால் குறைவது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

1 ஆனால் இங்கே இன்னும் சுருக்கமான வரையறை உள்ளது: ஒரு வரிசை என்பது இயற்கை எண்களின் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு. எடுத்துக்காட்டாக, உண்மையான எண்களின் வரிசையானது f: N ! ஆர்.

முன்னிருப்பாக, வரிசைகள் எல்லையற்றதாகக் கருதப்படுகின்றன, அதாவது எண்ணற்ற எண்களைக் கொண்டிருக்கும். ஆனால் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்களைக் கருத்தில் கொள்ள யாரும் நம்மைத் தொந்தரவு செய்வதில்லை; உண்மையில், எந்த வரையறுக்கப்பட்ட எண்களையும் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை என்று அழைக்கலாம். உதாரணமாக, இறுதி வரிசை 1; 2; 3; 4; 5 என்பது ஐந்து எண்களைக் கொண்டது.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரம்

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் இரண்டு எண்களால் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை புரிந்துகொள்வது எளிது: முதல் சொல் மற்றும் வேறுபாடு. எனவே, கேள்வி எழுகிறது: முதல் சொல் மற்றும் வேறுபாட்டை அறிந்து, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தன்னிச்சையான வார்த்தையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்திற்கு தேவையான சூத்திரத்தைப் பெறுவது கடினம் அல்ல. ஒரு விடுங்கள்

சிக்கல் 1. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் 2; 5; 8; 11; : : : nth termக்கான சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடித்து நூறாவது காலத்தைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. சூத்திரம் (1) இன் படி எங்களிடம் உள்ளது:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொத்து மற்றும் அடையாளம்

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொத்து. எந்த ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில்

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் (இரண்டாவது தொடங்கி) அதன் அண்டை உறுப்பினர்களின் எண்கணித சராசரி.

எது தேவைப்பட்டது.

மிகவும் பொதுவாக, எண்கணித முன்னேற்றம் சமத்துவத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது

a n = a n k+ a n+k

எந்த n > 2 மற்றும் எந்த இயற்கை k க்கும்< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

சூத்திரம் (2) அவசியமானதாக மட்டுமல்லாமல், வரிசை ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு போதுமான நிபந்தனையாகவும் செயல்படுகிறது.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அடையாளம். அனைத்து n > 2 க்கும் சமத்துவம் (2) இருந்தால், வரிசை a எண்கணித முன்னேற்றமாகும்.

ஆதாரம். சூத்திரத்தை (2) பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

a na n 1= a n+1a n:

இதிலிருந்து an+1 an வேறுபாடு nஐச் சார்ந்து இல்லை என்பதை நாம் காணலாம், மேலும் இதன் துல்லியமாக an வரிசை ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்று பொருள்படும்.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொத்து மற்றும் அடையாளத்தை ஒரு அறிக்கையின் வடிவத்தில் உருவாக்கலாம்; வசதிக்காக, இதை மூன்று எண்களுக்குச் செய்வோம் (இது பெரும்பாலும் சிக்கல்களில் ஏற்படும் சூழ்நிலை).

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சிறப்பியல்பு. a, b, c ஆகிய மூன்று எண்கள் 2b = a + c எனில் மட்டுமே எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன.

சிக்கல் 2. (MSU, பொருளாதார பீடம், 2007) சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வரிசையில் மூன்று எண்கள் 8x, 3 x2 மற்றும் 4 ஆகியவை குறைந்து வரும் எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன. x ஐக் கண்டுபிடித்து இந்த முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் குறிக்கவும்.

தீர்வு. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொத்தின் மூலம் எங்களிடம் உள்ளது:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

x = 1 எனில், 6 இன் வித்தியாசத்துடன் 8, 2, 4 இன் குறையும் முன்னேற்றத்தைப் பெறுகிறோம். x = 5 எனில், 40, 22, 4 இன் அதிகரிக்கும் முன்னேற்றத்தைப் பெறுகிறோம்; இந்த வழக்கு பொருத்தமானது அல்ல.

பதில்: x = 1, வித்தியாசம் 6.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை

ஒரு நாள் ஆசிரியர் குழந்தைகளிடம் 1 முதல் 100 வரையிலான எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்கச் சொல்லிவிட்டு அமைதியாக உட்கார்ந்து செய்தித்தாள்களைப் படித்தார் என்று புராணக்கதை கூறுகிறது. இருப்பினும், ஒரு சிறுவன் பிரச்சினையைத் தீர்த்துவிட்டதாகச் சொல்வதற்கு சில நிமிடங்கள் கூட கடக்கவில்லை. அது 9 வயது கார்ல் ஃபிரெட்ரிக் காஸ், பின்னர் அவர்களில் ஒருவர் சிறந்த கணிதவியலாளர்கள்வரலாற்றில்.

குட்டி கவுஸின் யோசனை பின்வருமாறு இருந்தது. விடுங்கள்

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

இந்தத் தொகையை தலைகீழ் வரிசையில் எழுதுவோம்:

S = 100 + 99 + 98 + : :: + 3 + 2 + 1;

இந்த இரண்டு சூத்திரங்களைச் சேர்க்கவும்:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : :: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு சொல் 101 க்கு சமம், எனவே மொத்தம் 100 சொற்கள் உள்ளன

2S = 101 100 = 10100;

தொகை சூத்திரத்தைப் பெற இந்த யோசனையைப் பயன்படுத்துகிறோம்

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

n வது வார்த்தையான an = a1 + (n 1)d இன் சூத்திரத்தை மாற்றினால் சூத்திரத்தின் (3) பயனுள்ள மாற்றம் பெறப்படும்:

சிக்கல் 3. 13 ஆல் வகுபடும் அனைத்து நேர்மறை மூன்று இலக்க எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. மூன்று இலக்க எண்கள், 13 இன் மடங்குகள், முதல் சொல் 104 மற்றும் வேறுபாடு 13 உடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகிறது; இந்த முன்னேற்றத்தின் n வது கால வடிவம் உள்ளது:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

நமது முன்னேற்றத்தில் எத்தனை சொற்கள் உள்ளன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

ஒரு 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

எனவே, எங்கள் முன்னேற்றத்தில் 69 உறுப்பினர்கள் உள்ளனர். சூத்திரம் (4) ஐப் பயன்படுத்தி தேவையான தொகையைக் கண்டறிகிறோம்:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் என்றால் n உண்மையான எண்ணைப் பொருத்து ஒரு n , பிறகு கொடுக்கப்பட்டதாகச் சொல்கிறார்கள் எண் வரிசை :

அ 1 , அ 2 , அ 3 , . . . , ஒரு n , . . . .

எனவே, எண் வரிசை என்பது இயற்கை வாதத்தின் செயல்பாடாகும்.

எண் அ 1 அழைக்கப்பட்டது வரிசையின் முதல் காலம் , எண் அ 2 — வரிசையின் இரண்டாவது காலம் , எண் அ 3 — மூன்றாவது மற்றும் பல. எண் ஒரு n அழைக்கப்பட்டது வரிசையின் nவது உறுப்பினர் , மற்றும் ஒரு இயற்கை எண் n — அவரது எண் .

அருகிலுள்ள இரண்டு உறுப்பினர்களிடமிருந்து ஒரு n மற்றும் ஒரு n +1 வரிசை உறுப்பினர் ஒரு n +1 அழைக்கப்பட்டது தொடர்ந்து (உறவினர் ஒரு n ), ஏ ஒரு n — முந்தைய (உறவினர் ஒரு n +1 ).

ஒரு வரிசையை வரையறுக்க, நீங்கள் எந்த எண்ணிலும் வரிசையின் உறுப்பினரைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும் முறையைக் குறிப்பிட வேண்டும்.

பெரும்பாலும் வரிசையைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகிறது n வது கால சூத்திரங்கள் , அதாவது, ஒரு வரிசையின் உறுப்பினரை அதன் எண்ணால் தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கும் சூத்திரம்.

உதாரணமாக,

நேர்மறை வரிசை ஒற்றைப்படை எண்கள்சூத்திரம் மூலம் கொடுக்க முடியும்

ஒரு n= 2n- 1,

மற்றும் மாற்று வரிசை 1 மற்றும் -1 - சூத்திரம்

பி n = (-1)n +1 . ◄

வரிசையை தீர்மானிக்க முடியும் மீண்டும் மீண்டும் சூத்திரம், அதாவது, சிலவற்றில் தொடங்கி, முந்தைய (ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) உறுப்பினர்கள் மூலம் வரிசையின் எந்த உறுப்பினரையும் வெளிப்படுத்தும் சூத்திரம்.

உதாரணமாக,

என்றால் அ 1 = 1 , ஏ ஒரு n +1 = ஒரு n + 5

அ 1 = 1,

அ 2 = அ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

அ 3 = அ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

அ 4 = அ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

அ 5 = அ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

என்றால் ஒரு 1= 1, ஒரு 2 = 1, ஒரு n +2 = ஒரு n + ஒரு n +1 , எண் வரிசையின் முதல் ஏழு சொற்கள் பின்வருமாறு நிறுவப்பட்டுள்ளன:

ஒரு 1 = 1,

ஒரு 2 = 1,

ஒரு 3 = ஒரு 1 + ஒரு 2 = 1 + 1 = 2,

ஒரு 4 = ஒரு 2 + ஒரு 3 = 1 + 2 = 3,

ஒரு 5 = ஒரு 3 + ஒரு 4 = 2 + 3 = 5,

அ 6 = அ 4 + அ 5 = 3 + 5 = 8,

அ 7 = அ 5 + அ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

தொடர்களாக இருக்கலாம் இறுதி மற்றும் முடிவில்லாத .

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது இறுதி , அது வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால். வரிசை அழைக்கப்படுகிறது முடிவில்லாத , அது எண்ணற்ற உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால்.

உதாரணமாக,

இரண்டு இலக்க இயற்கை எண்களின் வரிசை:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

இறுதி.

பகா எண்களின் வரிசை:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

முடிவில்லாத. ◄

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது அதிகரித்து வருகிறது , அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தையதை விட அதிகமாக இருந்தால்.

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது குறைகிறது , அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தையதை விட குறைவாக இருந்தால்.

உதாரணமாக,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - அதிகரிக்கும் வரிசை;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - வரிசையை குறைத்தல். ◄

எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது தனிமங்கள் குறையாத வரிசை, அல்லது, மாறாக, அதிகரிக்காது, அழைக்கப்படுகிறது சலிப்பான வரிசை .

மோனோடோனிக் வரிசைகள், குறிப்பாக, வரிசைகளை அதிகரிக்கின்றன மற்றும் வரிசைகளைக் குறைக்கின்றன.

எண்கணித முன்னேற்றம்

எண்கணித முன்னேற்றம் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல் தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்குச் சமமாக இருக்கும், அதில் அதே எண் சேர்க்கப்படும்.

அ 1 , அ 2 , அ 3 , . . . , ஒரு n, . . .

ஏதேனும் இருந்தால் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும் இயற்கை எண் n நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

ஒரு n +1 = ஒரு n + ஈ,

எங்கே ஈ - ஒரு குறிப்பிட்ட எண்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அடுத்தடுத்த மற்றும் முந்தைய விதிமுறைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு எப்போதும் நிலையானது:

ஒரு 2 - அ 1 = ஒரு 3 - அ 2 = . . . = ஒரு n +1 - ஒரு n = ஈ.

எண் ஈ அழைக்கப்பட்டது எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை வரையறுக்க, அதன் முதல் சொல் மற்றும் வேறுபாட்டைக் குறிப்பிடுவது போதுமானது.

உதாரணமாக,

என்றால் அ 1 = 3, ஈ = 4 , பின்னர் வரிசையின் முதல் ஐந்து சொற்களை பின்வருமாறு காணலாம்:

ஒரு 1 =3,

ஒரு 2 = ஒரு 1 + ஈ = 3 + 4 = 7,

ஒரு 3 = ஒரு 2 + ஈ= 7 + 4 = 11,

ஒரு 4 = ஒரு 3 + ஈ= 11 + 4 = 15,

அ 5 = அ 4 + ஈ= 15 + 4 = 19. ◄

முதல் காலத்துடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு அ 1 மற்றும் வேறுபாடு ஈ அவளை n

ஒரு n = ஒரு 1 + (n- 1)ஈ.

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முப்பதாவது காலத்தைக் கண்டறியவும்

1, 4, 7, 10, . . .

ஒரு 1 =1, ஈ = 3,

ஒரு 30 = ஒரு 1 + (30 - 1)ஈ = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ஒரு n-1 = ஒரு 1 + (n- 2)d,

ஒரு n= ஒரு 1 + (n- 1)d,

ஒரு n +1 = அ 1 + nd,

பின்னர் வெளிப்படையாக

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்.

a, b மற்றும் c எண்கள் சில எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான சொற்களாகும், அவற்றில் ஒன்று மற்ற இரண்டின் எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே.

உதாரணமாக,

ஒரு n = 2n- 7 , ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம்.

மேலே உள்ள கூற்றைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

ஒரு n = 2n- 7,

ஒரு n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

ஒரு n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

எனவே,

◄

என்பதை கவனிக்கவும் n ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல் மூலம் மட்டும் கண்டுபிடிக்க முடியாது அ 1 , ஆனால் எந்த முந்தைய ஒரு கே

ஒரு n = ஒரு கே + (n- கே)ஈ.

உதாரணமாக,

க்கு அ 5 எழுதி வைக்க முடியும்

ஒரு 5 = ஒரு 1 + 4ஈ,

ஒரு 5 = ஒரு 2 + 3ஈ,

ஒரு 5 = ஒரு 3 + 2ஈ,

ஒரு 5 = ஒரு 4 + ஈ. ◄

ஒரு n = ஒரு என்-கே + kd,

ஒரு n = ஒரு n+k - kd,

பின்னர் வெளிப்படையாக

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் பாதி தொகைக்கு சமமான இடைவெளியில் சமமாக இருக்கும்.

கூடுதலாக, எந்த எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தில்

1) அ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (அ 9 + அ 11 )/2;

2) 28 = ஒரு 10 = ஒரு 3 + 7ஈ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ஒரு 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ஏனெனில்

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

எஸ் என்= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ஒரு n,

முதலில் n ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் தீவிர சொற்களின் பாதி கூட்டுத்தொகை மற்றும் சொற்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்:

இங்கிருந்து, குறிப்பாக, நீங்கள் விதிமுறைகளை சுருக்க வேண்டும் என்றால் அது பின்வருமாறு

ஒரு கே, ஒரு கே +1 , . . . , ஒரு n,

முந்தைய சூத்திரம் அதன் கட்டமைப்பைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது:

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தில் 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

எஸ் 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = எஸ் 10 - எஸ் 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

எண்கணித முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டால், அளவுகள் அ 1 , ஒரு n, ஈ, nமற்றும்எஸ் n இரண்டு சூத்திரங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது:

எனவே, இந்த மூன்று அளவுகளின் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால், மற்ற இரண்டு அளவுகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் இணைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு மோனோடோனிக் வரிசை. இந்த வழக்கில்:

• என்றால் ஈ > 0 , பின்னர் அது அதிகரித்து வருகிறது;
• என்றால் ஈ < 0 , பின்னர் அது குறைகிறது;
• என்றால் ஈ = 0 , பின்னர் வரிசை நிலையானதாக இருக்கும்.

வடிவியல் முன்னேற்றம்

வடிவியல் முன்னேற்றம் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது இருந்து தொடங்கி, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படும் முந்தைய ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு வரிசை.

பி 1 , பி 2 , பி 3 , . . . , b n, . . .

எந்த இயற்கை எண்ணாக இருந்தாலும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும் n நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

b n +1 = b n · கே,

எங்கே கே ≠ 0 - ஒரு குறிப்பிட்ட எண்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடுத்த காலத்தின் விகிதம் முந்தைய ஒரு நிலையான எண்ணாகும்:

பி 2 / பி 1 = பி 3 / பி 2 = . . . = b n +1 / b n = கே.

எண் கே அழைக்கப்பட்டது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்.

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை வரையறுக்க, அதன் முதல் சொல் மற்றும் வகுப்பினைக் குறிப்பிடுவது போதுமானது.

உதாரணமாக,

என்றால் பி 1 = 1, கே = -3 , பின்னர் வரிசையின் முதல் ஐந்து சொற்களை பின்வருமாறு காணலாம்:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · கே = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · கே= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · கே= 9 · (-3) = -27,

பி 5 = பி 4 · கே= -27 · (-3) = 81. ◄

பி 1 மற்றும் வகுத்தல் கே அவளை n சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வது சொல்லைக் காணலாம்:

b n = பி 1 · qn -1 .

உதாரணமாக,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஏழாவது காலத்தைக் கண்டறியவும் 1, 2, 4, . . .

பி 1 = 1, கே = 2,

பி 7 = பி 1 · கே 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = பி 1 · qn,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களின் வடிவியல் சராசரிக்கு (விகிதாசார) சமமாக இருக்கும்.

உரையாடலும் உண்மை என்பதால், பின்வரும் கூற்று உள்ளது:

a, b மற்றும் c எண்கள் சில வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான சொற்களாகும், அவற்றில் ஒன்றின் வர்க்கம் மற்ற இரண்டின் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது எண்களில் ஒன்று மற்ற இரண்டின் வடிவியல் சராசரியாக இருக்கும்.

உதாரணமாக,

சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட வரிசை என்பதை நிரூபிப்போம் b n= -3 2 n , ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம். மேலே உள்ள கூற்றைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

எனவே,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

இது விரும்பிய அறிக்கையை நிரூபிக்கிறது. ◄

என்பதை கவனிக்கவும் n ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல் மூலம் மட்டும் காணலாம் பி 1 , ஆனால் எந்த முந்தைய உறுப்பினரும் பி கே , இதற்கு ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்தினால் போதும்

b n = பி கே · qn - கே.

உதாரணமாக,

க்கு பி 5 எழுதி வைக்க முடியும்

b 5 = b 1 · கே 4 ,

b 5 = b 2 · கே 3,

b 5 = b 3 · கே 2,

b 5 = b 4 · கே. ◄

b n = பி கே · qn - கே,

b n = b n - கே · கே கே,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n 2 = b n - கே· b n + கே

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்தச் சொல்லின் சதுரமும், இரண்டாவதாகத் தொடங்கி, இந்த முன்னேற்றத்தின் சம இடைவெளியில் உள்ள சொற்களின் பெருக்கத்திற்குச் சமம்.

கூடுதலாக, எந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும் சமத்துவம் உண்மை:

b m· b n= பி கே· பி எல்,

மீ+ n= கே+ எல்.

உதாரணமாக,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில்

1) பி 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = பி 5 · பி 7 ;

2) 1024 = பி 11 = பி 6 · கே 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) பி 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = பி 4 · பி 8 ;

4) பி 2 · பி 7 = பி 4 · பி 5 , ஏனெனில்

பி 2 · பி 7 = 2 · 64 = 128,

பி 4 · பி 5 = 8 · 16 = 128. ◄

எஸ் என்= பி 1 + பி 2 + பி 3 + . . . + b n

முதலில் n வகுப்புடன் கூடிய வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் கே ≠ 0 சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

மற்றும் எப்போது கே = 1 - சூத்திரத்தின் படி

எஸ் என்= nb 1

நீங்கள் விதிமுறைகளை தொகுக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க

பி கே, பி கே +1 , . . . , b n,

பின்னர் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

உதாரணமாக,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

எஸ் 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = எஸ் 10 - எஸ் 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டால், அளவுகள் பி 1 , b n, கே, nமற்றும் எஸ் என் இரண்டு சூத்திரங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது:

எனவே, இந்த அளவுகளில் ஏதேனும் மூன்றின் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால், மற்ற இரண்டு அளவுகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக இணைக்கப்படுகின்றன.

முதல் காலத்துடன் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு பி 1 மற்றும் வகுத்தல் கே பின்வரும் நடக்கும் மோனோடோனிசிட்டியின் பண்புகள் :

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் முன்னேற்றம் அதிகரிக்கிறது:

பி 1 > 0 மற்றும் கே> 1;

பி 1 < 0 மற்றும் 0 < கே< 1;

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் முன்னேற்றம் குறைகிறது:

பி 1 > 0 மற்றும் 0 < கே< 1;

பி 1 < 0 மற்றும் கே> 1.

என்றால் கே< 0 , பின்னர் வடிவியல் முன்னேற்றம் மாறி மாறி வருகிறது: ஒற்றைப்படை எண்களைக் கொண்ட அதன் சொற்கள் அதன் முதல் காலத்தின் அதே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இரட்டை எண்களைக் கொண்ட சொற்கள் எதிர் அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு மாற்று வடிவியல் முன்னேற்றம் மோனோடோனிக் அல்ல என்பது தெளிவாகிறது.

முதல் தயாரிப்பு n வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

பி என்= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

உதாரணமாக,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைகிறது

வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைகிறது எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் வகுத்தல் மாடுலஸ் குறைவாக உள்ளது 1 , அதாவது

|கே| < 1 .

எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம் குறையும் வரிசையாக இருக்காது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இது சந்தர்ப்பத்திற்கு பொருந்தும்

1 < கே< 0 .

அத்தகைய வகுப்பினருடன், வரிசை மாறி மாறி வருகிறது. உதாரணமாக,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை முதல் தொகையின் கூட்டு வரம்பு இல்லாமல் அணுகும் எண்ணுக்கு பெயரிடவும் n எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் n . இந்த எண் எப்போதும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

உதாரணமாக,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்களுக்கு இடையிலான உறவு

எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றம்ஒன்றுக்கொன்று நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இரண்டு உதாரணங்களை மட்டும் பார்ப்போம்.

அ 1 , அ 2 , அ 3 , . . . ஈ , அது

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . பி டி .

உதாரணமாக,

1, 3, 5, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் 2 மற்றும்

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - வகுப்பினருடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் 7 2 . ◄

பி 1 , பி 2 , பி 3 , . . . - வகுப்பினருடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் கே , அது

பதிவு a b 1, பதிவு a b 2, பதிவு a b 3, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் பதிவு aகே .

உதாரணமாக,

2, 12, 72, . . . - வகுப்பினருடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் 6 மற்றும்

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் lg 6 . ◄

என்ன முக்கிய புள்ளிசூத்திரங்கள்?

இந்த சூத்திரம் உங்களை கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறது ஏதேனும் அவரது எண் மூலம் " n" .

நிச்சயமாக, நீங்கள் முதல் காலத்தையும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் ஒரு 1மற்றும் முன்னேற்ற வேறுபாடு ஈ, சரி, இந்த அளவுருக்கள் இல்லாமல் நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட முன்னேற்றத்தை எழுத முடியாது.

இந்த சூத்திரத்தை மனப்பாடம் செய்வது (அல்லது கிரிப்பிங்) போதாது. நீங்கள் அதன் சாராம்சத்தைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் பல்வேறு சிக்கல்களில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். மேலும் சரியான தருணத்தில் மறக்கக்கூடாது, ஆம்...) எப்படி மறக்காதே- எனக்குத் தெரியாது. ஆனால் எப்படி நினைவில் கொள்வதுதேவைப்பட்டால், நான் நிச்சயமாக உங்களுக்கு ஆலோசனை கூறுவேன். இறுதிவரை பாடத்தை முடிப்பவர்களுக்கு.)

எனவே, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம்.

பொதுவாக ஃபார்முலா என்றால் என்ன? மூலம், நீங்கள் படிக்கவில்லை என்றால் பாருங்கள். அங்கு எல்லாம் எளிமையானது. அது என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிக்க உள்ளது nவது பதவிக்காலம்.

முன்னேற்றம் பொதுவான பார்வைஎண்களின் வரிசையாக எழுதலாம்:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

ஒரு 1- ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்லைக் குறிக்கிறது, ஒரு 3- மூன்றாவது உறுப்பினர், ஒரு 4- நான்காவது, மற்றும் பல. ஐந்தாவது பதவிக்காலத்தில் நாங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், நாங்கள் வேலை செய்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம் ஒரு 5, நூற்றி இருபதாவது என்றால் - கள் ஒரு 120.

பொதுவான சொற்களில் அதை எவ்வாறு வரையறுக்கலாம்? ஏதேனும்ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொல், உடன் ஏதேனும்எண்? மிகவும் எளிமையானது! இது போல்:

ஒரு n

இதுதான் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nth term. n என்ற எழுத்து அனைத்து உறுப்பினர் எண்களையும் ஒரே நேரத்தில் மறைக்கிறது: 1, 2, 3, 4, மற்றும் பல.

அத்தகைய பதிவு நமக்கு என்ன தருகிறது? எண்ணுக்கு பதிலாக அவர்கள் ஒரு கடிதத்தை எழுதினார்கள்...

இந்த குறியீடானது, எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் வேலை செய்வதற்கான சக்திவாய்ந்த கருவியை நமக்கு வழங்குகிறது. குறியீட்டைப் பயன்படுத்துதல் ஒரு n, நாம் விரைவில் கண்டுபிடிக்க முடியும் ஏதேனும்உறுப்பினர் ஏதேனும்எண்கணித முன்னேற்றம். மற்றும் பிற முன்னேற்ற சிக்கல்களை தீர்க்கவும். நீங்களே மேலும் பார்க்கலாம்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது கால சூத்திரத்தில்:

ஒரு 1- ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்;

n- உறுப்பினர் எண்.

ஃபார்முலா பிணைக்கிறது முக்கிய அளவுருக்கள்எந்த முன்னேற்றமும்: ஒரு n ; ஒரு 1 ; ஈமற்றும் n. அனைத்து முன்னேற்ற சிக்கல்களும் இந்த அளவுருக்களை சுற்றியே உள்ளன.

ஒரு குறிப்பிட்ட முன்னேற்றத்தை எழுத n வது கால சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, முன்னேற்றம் நிபந்தனையால் குறிப்பிடப்படுகிறது என்று சிக்கல் கூறலாம்:

a n = 5 + (n-1) 2.

இது போன்ற பிரச்சனை ஒரு முட்டுச்சந்தாக இருக்கலாம்... தொடரும் இல்லை, வித்தியாசமும் இல்லை... ஆனால், நிபந்தனையை ஃபார்முலாவுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், இந்த முன்னேற்றத்தில் இருப்பதைப் புரிந்துகொள்வது எளிது. a 1 =5, மற்றும் d=2.

மேலும் இது இன்னும் மோசமாக இருக்கலாம்!) இதே நிலையை நாம் எடுத்துக் கொண்டால்: a n = 5 + (n-1) 2,ஆம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து ஒத்தவற்றைக் கொடுக்கவா? நாங்கள் ஒரு புதிய சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

a n = 3 + 2n.

இது பொதுவானதல்ல, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட முன்னேற்றத்திற்காக. இங்குதான் பள்ளம் பதுங்கியிருக்கிறது. சிலர் முதல் பதம் மூன்று என்று நினைக்கிறார்கள். நிஜத்தில் முதல் தவணை ஐந்தாக இருந்தாலும்... கொஞ்சம் குறைவாக இப்படி மாற்றியமைக்கப்பட்ட ஃபார்முலாவுடன் வேலை செய்வோம்.

முன்னேற்றச் சிக்கல்களில் மற்றொரு குறிப்பு உள்ளது - ஒரு n+1. இது, நீங்கள் யூகித்தபடி, முன்னேற்றத்தின் "n பிளஸ் முதல்" சொல். இதன் பொருள் எளிமையானது மற்றும் பாதிப்பில்லாதது.) இது முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினராகும், அதன் எண் n ஐ விட ஒரு எண்ணை விட அதிகமாக உள்ளது. உதாரணமாக, சில பிரச்சனைகளில் நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம் ஒரு nபின்னர் ஐந்தாவது முறை ஒரு n+1ஆறாவது உறுப்பினராக இருப்பார். மற்றும் போன்றவை.

பெரும்பாலும் பதவி ஒரு n+1மறுநிகழ்வு சூத்திரங்களில் காணப்படுகிறது. இந்த பயங்கரமான வார்த்தைக்கு பயப்பட வேண்டாம்!) இது ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரை வெளிப்படுத்தும் ஒரு வழியாகும். முந்தைய வழியாக.மீண்டும் வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இந்த வடிவத்தில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

நான்காவது - மூன்றாவது வழியாக, ஐந்தாவது - நான்காவது வழியாக, மற்றும் பல. இருபதாம் காலத்தை நாம் எப்படி உடனடியாக எண்ண முடியும்? ஒரு 20? ஆனால் எந்த வழியும் இல்லை!) 19 வது காலத்தை கண்டுபிடிக்கும் வரை, 20 வது எண்ணை கணக்கிட முடியாது. இதுதான் அடிப்படை வேறுபாடு n வது கால சூத்திரத்தில் இருந்து மீண்டும் வரும் சூத்திரம். மீண்டும் மீண்டும் வேலைகள் மூலம் மட்டுமே முந்தையகால, மற்றும் n வது கால சூத்திரம் மூலம் முதலில்மற்றும் அனுமதிக்கிறது நேராகஎந்த உறுப்பினரையும் அதன் எண் மூலம் கண்டுபிடிக்கவும். எண்களின் முழுத் தொடரையும் வரிசையாகக் கணக்கிடாமல்.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில், மீண்டும் மீண்டும் வரும் சூத்திரத்தை வழக்கமான ஒன்றாக மாற்றுவது எளிது. ஒரு ஜோடி தொடர்ச்சியான சொற்களை எண்ணுங்கள், வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள் d,தேவைப்பட்டால், முதல் வார்த்தையைக் கண்டறியவும் ஒரு 1, சூத்திரத்தை அதன் வழக்கமான வடிவத்தில் எழுதி, அதனுடன் வேலை செய்யுங்கள். இத்தகைய பணிகள் பெரும்பாலும் மாநில அறிவியல் அகாடமியில் சந்திக்கப்படுகின்றன.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரத்தின் பயன்பாடு.

முதலில், பார்க்கலாம் நேரடி விண்ணப்பம்சூத்திரங்கள். முந்தைய பாடத்தின் முடிவில் ஒரு சிக்கல் இருந்தது:

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் (a n) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 1 =3 மற்றும் d=1/6 எனில் 121ஐக் கண்டறியவும்.

இந்த சிக்கலை எந்த சூத்திரமும் இல்லாமல், ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அர்த்தத்தின் அடிப்படையில் தீர்க்க முடியும். சேர் மற்றும் சேர்... ஒரு மணி நேரம் அல்லது இரண்டு.)

மற்றும் சூத்திரத்தின் படி, தீர்வு ஒரு நிமிடத்திற்கும் குறைவாக எடுக்கும். நீங்கள் அதை நேரம் செய்யலாம்.) முடிவு செய்வோம்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான அனைத்து தரவையும் நிபந்தனைகள் வழங்குகின்றன: a 1 =3, d=1/6.எது சமம் என்பதைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது nகேள்வி இல்லை! நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஒரு 121. எனவே நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்! ஒரு குறியீட்டுக்கு பதிலாக nஒரு குறிப்பிட்ட எண் தோன்றியது: 121. இது மிகவும் தர்க்கரீதியானது.) எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம் எண் நூற்று இருபத்தி ஒன்று.இது நம்முடையதாக இருக்கும் nஇதுதான் அர்த்தம் n= 121 அடைப்புக்குறிக்குள் சூத்திரத்தில் மேலும் மாற்றுவோம். சூத்திரத்தில் அனைத்து எண்களையும் மாற்றி கணக்கிடுகிறோம்:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

அவ்வளவுதான். ஐந்நூற்று பத்தாவது காலத்தையும், ஆயிரத்தி மூன்றாவதாக, எந்த ஒன்றையும் ஒருவர் விரைவாகக் கண்டுபிடிக்க முடியும். அதற்கு பதிலாக வைத்தோம் n விரும்பிய எண்கடிதத்தின் குறியீட்டில் " ஒரு"மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள், நாங்கள் எண்ணுகிறோம்.

இந்த விஷயத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: இந்த சூத்திரம் உங்களை கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறது ஏதேனும்எண்கணித முன்னேற்றம் சொல் அவரது எண் மூலம் " n" .

சிக்கலை இன்னும் தந்திரமாக தீர்ப்போம். பின்வரும் சிக்கலைச் சந்திப்போம்:

17 =-2 எனில், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் (a n) முதல் சொல்லைக் கண்டறியவும்; d=-0.5.

உங்களுக்கு ஏதேனும் சிரமம் இருந்தால், முதல் படியை நான் உங்களுக்கு சொல்கிறேன். எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்!ஆம், ஆம். உங்கள் நோட்புக்கில் உங்கள் கைகளால் எழுதுங்கள்:

இப்போது, ​​​​சூத்திரத்தின் எழுத்துக்களைப் பார்க்கும்போது, ​​​​எங்களிடம் என்ன தரவு உள்ளது மற்றும் என்ன காணவில்லை என்பதை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்? கிடைக்கும் d=-0.5,பதினேழாவது உறுப்பினர் இருக்கிறார்... அதுவா? அவ்வளவுதான் என்று நீங்கள் நினைத்தால், நீங்கள் சிக்கலை தீர்க்க மாட்டீர்கள், ஆம் ...

எங்களிடம் இன்னும் ஒரு எண் உள்ளது n! நிலையில் a 17 =-2மறைக்கப்பட்டுள்ளது இரண்டு அளவுருக்கள்.இது பதினேழாவது காலத்தின் மதிப்பு (-2) மற்றும் அதன் எண் (17) ஆகிய இரண்டும் ஆகும். அந்த. n=17.இந்த "அற்பம்" பெரும்பாலும் தலையை கடந்து செல்கிறது, அது இல்லாமல், ("அற்பம்" இல்லாமல், தலை அல்ல!) சிக்கலை தீர்க்க முடியாது. இருந்தாலும்... தலை இல்லாமல் கூட.)

இப்போது நாம் முட்டாள்தனமாக எங்கள் தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றலாம்:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

ஓ ஆமாம், ஒரு 17அது -2 என்று எங்களுக்குத் தெரியும். சரி, மாற்றுவோம்:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

அடிப்படையில் அவ்வளவுதான். சூத்திரத்திலிருந்து எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்லை வெளிப்படுத்தவும் அதைக் கணக்கிடவும் இது உள்ளது. பதில் இருக்கும்: a 1 = 6.

இந்த நுட்பம் - ஒரு சூத்திரத்தை எழுதுவது மற்றும் அறியப்பட்ட தரவை மாற்றுவது - நிறைய உதவுகிறது எளிய பணிகள். சரி, நிச்சயமாக, நீங்கள் ஒரு சூத்திரத்திலிருந்து ஒரு மாறியை வெளிப்படுத்த முடியும், ஆனால் என்ன செய்வது!? இந்த திறமை இல்லாமல், கணிதம் படிக்கவே முடியாது.

மற்றொரு பிரபலமான புதிர்:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும் (a n), a 1 =2 என்றால்; a 15 =12.

நாம் என்ன செய்கிறோம்? நீங்கள் ஆச்சரியப்படுவீர்கள், நாங்கள் சூத்திரத்தை எழுதுகிறோம்!)

நமக்குத் தெரிந்ததைக் கருத்தில் கொள்வோம்: a 1 =2; ஒரு 15 =12; மற்றும் (நான் குறிப்பாக முன்னிலைப்படுத்துகிறேன்!) n=15. இதை சூத்திரத்தில் மாற்ற தயங்க வேண்டாம்:

12=2 + (15-1)d

நாங்கள் எண்கணிதத்தை செய்கிறோம்.)

12=2 + 14டி

ஈ=10/14 = 5/7

இதுவே சரியான விடை.

எனவே, அதற்கான பணிகள் a n, a 1மற்றும் ஈமுடிவு செய்தார். எண்ணை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது மட்டுமே மீதமுள்ளது:

எண் 99 என்பது எண்கணித முன்னேற்றத்தின் (a n) உறுப்பினராகும், இங்கு a 1 ​​=12; d=3. இந்த உறுப்பினரின் எண்ணைக் கண்டறியவும்.

n வது கால சூத்திரத்தில் எங்களுக்குத் தெரிந்த அளவுகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:

a n = 12 + (n-1) 3

முதல் பார்வையில், அறியப்படாத இரண்டு அளவுகள் இங்கே உள்ளன: a n மற்றும் n.ஆனால் ஒரு n- இது ஒரு எண்ணைக் கொண்ட முன்னேற்றத்தின் சில உறுப்பினர் n...மேலும் இந்த முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரை நாங்கள் அறிவோம்! அது 99. அதன் எண் எங்களுக்குத் தெரியாது. n,எனவே இந்த எண்ணை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முன்னேற்றம் 99 என்ற சொல்லை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:

99 = 12 + (n-1) 3

நாங்கள் சூத்திரத்திலிருந்து வெளிப்படுத்துகிறோம் n, நாங்கள் நினைக்கிறோம். நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்: n=30.

இப்போது அதே தலைப்பில் ஒரு சிக்கல், ஆனால் மிகவும் ஆக்கப்பூர்வமானது):

எண் 117 எண்கணித முன்னேற்றத்தின் (a n) உறுப்பினரா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

மீண்டும் சூத்திரத்தை எழுதுவோம். என்ன, அளவுருக்கள் எதுவும் இல்லையா? ம்... நமக்கு ஏன் கண்கள் கொடுக்கப்படுகின்றன?) முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்தை நாம் பார்க்கிறோமா? பார்க்கிறோம். இது -3.6. நீங்கள் பாதுகாப்பாக எழுதலாம்: a 1 = -3.6.வேறுபாடு ஈதொடரிலிருந்து சொல்ல முடியுமா? எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு என்ன என்பதை நீங்கள் அறிந்தால் இது எளிதானது:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

எனவே, நாங்கள் எளிய காரியத்தைச் செய்தோம். தெரியாத எண்ணை சமாளிக்க இது உள்ளது nமற்றும் புரிந்துகொள்ள முடியாத எண் 117. முந்தைய சிக்கலில், குறைந்தபட்சம் அது கொடுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தின் சொல் என்று அறியப்பட்டது. ஆனால் இங்கே நமக்குத் தெரியாது... என்ன செய்வது!? சரி, எப்படி இருக்க வேண்டும், எப்படி இருக்க வேண்டும்... உங்கள் படைப்பு திறன்களை இயக்கவும்!)

நாங்கள் நினைக்கிறேன் 117, எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எங்கள் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர். தெரியாத எண்ணுடன் n. மேலும், முந்தைய சிக்கலைப் போலவே, இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். அந்த. நாங்கள் சூத்திரத்தை எழுதுகிறோம் (ஆம், ஆம்!)) மற்றும் எங்கள் எண்களை மாற்றவும்:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

மீண்டும் நாம் சூத்திரத்திலிருந்து வெளிப்படுத்துகிறோம்n, நாங்கள் எண்ணி பெறுகிறோம்:

அச்சச்சோ! எண் மாறியது பகுதியளவு!நூற்றி ஒன்றரை. மற்றும் முன்னேற்றங்களில் பின்ன எண்கள் நடக்காது.நாம் என்ன முடிவை எடுக்க முடியும்? ஆம்! எண் 117 இல்லைஎங்கள் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர். இது நூறு மற்றும் முதல் மற்றும் நூற்றி இரண்டாவது விதிமுறைகளுக்கு இடையில் எங்கோ உள்ளது. எண் இயற்கையாக மாறினால், அதாவது. ஒரு நேர்மறை முழு எண், பின்னர் எண் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்ணுடன் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினராக இருக்கும். எங்கள் விஷயத்தில், சிக்கலுக்கான பதில் பின்வருமாறு: இல்லை

GIA இன் உண்மையான பதிப்பின் அடிப்படையில் ஒரு பணி:

எண்கணித முன்னேற்றம் நிபந்தனையால் வழங்கப்படுகிறது:

a n = -4 + 6.8n

முன்னேற்றத்தின் முதல் மற்றும் பத்தாவது விதிமுறைகளைக் கண்டறியவும்.

இங்கே முன்னேற்றம் ஒரு அசாதாரண வழியில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒருவித சூத்திரம்... அது நடக்கும்.) இருப்பினும், இந்த சூத்திரம் (நான் மேலே எழுதியது போல்) - எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரமும் கூட!அவளும் அனுமதிக்கிறாள் முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் அதன் எண்ணின் மூலம் கண்டறியவும்.

முதல் உறுப்பினரை தேடி வருகிறோம். சிந்திப்பவர். முதல் சொல் மைனஸ் ஃபோர் என்பது தவறாகக் கருதப்படுகிறது!) ஏனெனில் சிக்கலில் உள்ள சூத்திரம் மாற்றியமைக்கப்பட்டுள்ளது. அதில் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் மறைக்கப்பட்டுள்ளது.பரவாயில்லை, இப்போது கண்டுபிடிப்போம்.)

முந்தைய சிக்கல்களைப் போலவே, நாங்கள் மாற்றுகிறோம் n=1இந்த சூத்திரத்தில்:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

இங்கே! முதல் சொல் 2.8, -4 அல்ல!

நாங்கள் பத்தாவது காலத்தை அதே வழியில் பார்க்கிறோம்:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

அவ்வளவுதான்.

இப்போது, ​​இந்த வரிகளைப் படித்தவர்களுக்கு, வாக்குறுதியளிக்கப்பட்ட போனஸ்.)

மாநிலத் தேர்வு அல்லது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் கடினமான போர்ச் சூழ்நிலையில், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான பயனுள்ள சூத்திரத்தை நீங்கள் மறந்துவிட்டீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். எனக்கு ஏதோ ஞாபகம் இருக்கிறது, ஆனால் எப்படியோ நிச்சயமில்லாமல்... அல்லது nஅங்கு, அல்லது n+1, அல்லது n-1...எப்படி இருக்க!?

அமைதி! இந்த சூத்திரம் பெற எளிதானது. மிகவும் கண்டிப்பாக இல்லை, ஆனால் நம்பிக்கை மற்றும் சரியான முடிவுநிச்சயமாக போதுமானது!) ஒரு முடிவை எடுக்க, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை அர்த்தத்தை நினைவில் வைத்துக் கொள்வதும், இரண்டு நிமிட நேரம் ஒதுக்குவதும் போதுமானது. நீங்கள் ஒரு படத்தை வரைய வேண்டும். தெளிவுக்காக.

ஒரு எண் கோட்டை வரைந்து அதில் முதல் ஒன்றைக் குறிக்கவும். இரண்டாவது, மூன்றாவது, முதலியன உறுப்பினர்கள். மற்றும் வித்தியாசத்தை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் ஈஉறுப்பினர்களுக்கு இடையே. இது போல்:

நாங்கள் படத்தைப் பார்த்து சிந்திக்கிறோம்: இரண்டாவது சொல் என்ன? இரண்டாவது ஒன்று ஈ:

அ 2 =அ 1 + 1 ஈ

மூன்றாவது பதவிக்காலம் என்றால் என்ன? மூன்றாவதுகாலமானது முதல் கால கூட்டலுக்கு சமம் இரண்டு ஈ.

அ 3 =அ 1 + 2 ஈ

புரிகிறதா? நான் சில வார்த்தைகளை தடிமனாக உயர்த்திக் காட்டுவது சும்மா இல்லை. சரி, இன்னும் ஒரு படி).

நான்காவது பதவிக்காலம் என்றால் என்ன? நான்காவதுகாலமானது முதல் கால கூட்டலுக்கு சமம் மூன்று ஈ.

அ 4 =அ 1 + 3 ஈ

இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கை என்பதை உணர வேண்டிய நேரம் இது, அதாவது. ஈ, எப்போதும் நீங்கள் தேடும் உறுப்பினரின் எண்ணிக்கையை விட ஒன்று குறைவு n. அதாவது, எண்ணுக்கு n, இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கைசாப்பிடுவேன் n-1.எனவே, சூத்திரம் (மாறுபாடுகள் இல்லாமல்!):

பொதுவாக, கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க காட்சிப் படங்கள் மிகவும் உதவியாக இருக்கும். படங்களை புறக்கணிக்காதீர்கள். ஆனால் ஒரு படத்தை வரைவது கடினம் என்றால், ஒரு சூத்திரம் மட்டுமே!) கூடுதலாக, n வது காலத்தின் சூத்திரம் கணிதத்தின் முழு சக்திவாய்ந்த ஆயுதக் களஞ்சியத்தையும் தீர்வுடன் இணைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது - சமன்பாடுகள், ஏற்றத்தாழ்வுகள், அமைப்புகள் போன்றவை. சமன்பாட்டில் படத்தைச் செருக முடியாது...

சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்.

சூடுபடுத்த:

1. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. ஒரு 3 ஐக் கண்டுபிடி.

குறிப்பு: படத்தின் படி, சிக்கலை 20 வினாடிகளில் தீர்க்க முடியும் ... சூத்திரத்தின் படி, இது மிகவும் கடினமாக மாறும். ஆனால் சூத்திரத்தில் தேர்ச்சி பெற இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.) பிரிவு 555 இல், படம் மற்றும் சூத்திரம் இரண்டையும் பயன்படுத்தி இந்தப் பிரச்சனை தீர்க்கப்படுகிறது. வித்தியாசத்தை உணருங்கள்!)

மேலும் இது இனி வார்ம்-அப் அல்ல.)

2. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. ஒரு 3 ஐக் கண்டறியவும்.

என்ன, நீங்கள் ஒரு படத்தை வரைய விரும்பவில்லை?) நிச்சயமாக! சூத்திரத்தின்படி சிறந்தது, ஆம்...

3. எண்கணித முன்னேற்றம் நிபந்தனையால் வழங்கப்படுகிறது:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. இந்த முன்னேற்றத்தின் நூற்றி இருபத்தைந்தாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

இந்த பணியில், முன்னேற்றம் ஒரு தொடர்ச்சியான முறையில் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஆனால் நூற்றி இருபத்தைந்தாவது தவணைக்கு எண்ணிக்கொண்டால்... இப்படிப்பட்ட சாதனையை எல்லோராலும் செய்ய முடியாது.) ஆனால் nth termக்கான ஃபார்முலா அனைவரின் அதிகாரத்திலும் உள்ளது!

4. எண்கணித முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டால் (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

முன்னேற்றத்தின் மிகச் சிறிய நேர்மறை காலத்தின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

5. பணி 4 இன் நிபந்தனைகளின்படி, முன்னேற்றத்தின் சிறிய நேர்மறை மற்றும் மிகப்பெரிய எதிர்மறை சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

6. அதிகரித்து வரும் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது மற்றும் பன்னிரண்டாவது சொற்களின் பலன் -2.5 க்கு சமம், மூன்றாவது மற்றும் பதினொன்றாவது சொற்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். 14 ஐக் கண்டுபிடி.

எளிதான பணி அல்ல, ஆம்...) "விரல் நுனி" முறை இங்கு வேலை செய்யாது. நீங்கள் சூத்திரங்களை எழுத வேண்டும் மற்றும் சமன்பாடுகளை தீர்க்க வேண்டும்.

பதில்கள் (குழப்பத்தில்):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

அது வேலை செய்ததா? நன்றாக இருக்கிறது!)

எல்லாம் சரியாகவில்லையா? நடக்கும். மூலம், கடைசி பணியில் ஒரு நுட்பமான புள்ளி உள்ளது. சிக்கலைப் படிக்கும்போது கவனம் தேவை. மற்றும் தர்க்கம்.

இந்த அனைத்து பிரச்சனைகளுக்கும் தீர்வு பிரிவு 555 இல் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் நான்காவிற்கான கற்பனையின் உறுப்பு, மற்றும் ஆறாவது நுட்பமான புள்ளி மற்றும் n வது காலத்தின் சூத்திரம் சம்பந்தப்பட்ட ஏதேனும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான அணுகுமுறைகள் - அனைத்தும் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. நான் அதை பரிந்துரைக்கிறேன்.

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.