வீடு→பிளம்பிங், வெப்பமூட்டும்→பின்னமான பகுதி சரியான பின்னமாக இருந்தது. சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்கள்

பின்னமான பகுதி சரியான பின்னமாக இருந்தது. சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்கள்

"பின்னங்கள்" என்ற வார்த்தை பலருக்கு வாத்து கொடுக்கிறது. ஏனென்றால் பள்ளி மற்றும் கணிதத்தில் தீர்க்கப்பட்ட பணிகள் எனக்கு நினைவிருக்கிறது. இது நிறைவேற்றப்பட வேண்டிய கடமையாக இருந்தது. ஆனால் சரியான மற்றும் அடங்கிய பணிகளை நாம் நடத்தினால் என்ன ஆகும் முறையற்ற பின்னங்கள், எப்படி ஒரு புதிர்? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பல பெரியவர்கள் டிஜிட்டல் மற்றும் ஜப்பானிய குறுக்கெழுத்துக்களைத் தீர்க்கிறார்கள். நாங்கள் விதிகளைக் கண்டுபிடித்தோம், அவ்வளவுதான். இங்கேயும் அப்படித்தான். ஒருவர் கோட்பாட்டை மட்டுமே ஆராய வேண்டும் - எல்லாம் சரியாகிவிடும். மேலும் எடுத்துக்காட்டுகள் உங்கள் மூளையைப் பயிற்றுவிப்பதற்கான ஒரு வழியாக மாறும்.

என்ன வகையான பின்னங்கள் உள்ளன?

அது என்ன என்று ஆரம்பிக்கலாம். பின்னம் என்பது ஒன்றின் சில பகுதியைக் கொண்ட ஒரு எண். இதை இரண்டு வடிவங்களில் எழுதலாம். முதலாவது சாதாரணமானது. அதாவது, கிடைமட்ட அல்லது சாய்ந்த கோடு கொண்ட ஒன்று. இது பிரிவு குறிக்கு சமம்.

அத்தகைய குறியீட்டில், கோட்டின் மேலே உள்ள எண் எண் என்றும், அதற்குக் கீழே உள்ள எண் வகுத்தல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

சாதாரண பின்னங்களில், சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்கள் வேறுபடுகின்றன. முந்தையதைப் பொறுத்தவரை, எண்களின் முழுமையான மதிப்பு எப்போதும் வகுப்பை விட குறைவாகவே இருக்கும். தவறானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனென்றால் அவர்கள் எல்லாவற்றையும் எதிர்மாறாகக் கொண்டுள்ளனர். சரியான பின்னத்தின் மதிப்பு எப்போதும் ஒன்றை விட குறைவாகவே இருக்கும். இந்த எண்ணை விட தவறானது எப்போதும் அதிகமாக இருக்கும்.

கலப்பு எண்களும் உள்ளன, அதாவது முழு எண் மற்றும் பகுதியளவு கொண்டவை.

இரண்டாவது வகை குறியீடு ஒரு தசம பின்னம். அவளைப் பற்றி ஒரு தனி உரையாடல் உள்ளது.

கலப்பு எண்களிலிருந்து தவறான பின்னங்கள் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன?

சாராம்சத்தில், எதுவும் இல்லை. இவை ஒரே எண்ணின் வெவ்வேறு பதிவுகள். முறையற்ற பின்னங்கள் எளிய படிகளுக்குப் பிறகு கலப்பு எண்களாக மாறும். மற்றும் நேர்மாறாகவும்.

இது அனைத்தும் சார்ந்துள்ளது குறிப்பிட்ட சூழ்நிலை. சில நேரங்களில் பணிகளில் தவறான பகுதியைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது. மேலும் சில நேரங்களில் அதை மொழிபெயர்ப்பது அவசியம் கலப்பு எண்பின்னர் உதாரணம் மிக எளிதாக தீர்க்கப்படும். எனவே, எதைப் பயன்படுத்துவது: முறையற்ற பின்னங்கள், கலப்பு எண்கள், சிக்கலைத் தீர்க்கும் நபரின் கவனிப்புத் திறனைப் பொறுத்தது.

கலப்பு எண் முழு எண் பகுதி மற்றும் பின்ன பகுதியின் கூட்டுத்தொகையுடன் ஒப்பிடப்படுகிறது. மேலும், இரண்டாவது எப்போதும் ஒன்றை விட குறைவாகவே இருக்கும்.

ஒரு கலப்பு எண்ணை முறையற்ற பின்னமாக எவ்வாறு குறிப்பிடுவது?

எழுதப்பட்ட பல எண்களைக் கொண்டு ஏதேனும் செயலைச் செய்ய வேண்டும் என்றால் பல்வேறு வகையான, நீங்கள் அவற்றை ஒரே மாதிரியாக மாற்ற வேண்டும். எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாகக் குறிப்பிடுவது ஒரு முறை.

இந்த நோக்கத்திற்காக, நீங்கள் பின்வரும் வழிமுறையைச் செய்ய வேண்டும்:

வகுப்பினை முழுப் பகுதியால் பெருக்கவும்;
முடிவில் எண்ணின் மதிப்பைச் சேர்க்கவும்;
வரிக்கு மேலே பதில் எழுதவும்;
வகுப்பினை அப்படியே விட்டு விடுங்கள்.

கலப்பு எண்களிலிருந்து தவறான பின்னங்களை எவ்வாறு எழுதுவது என்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

தவறான பின்னத்தை எப்படி கலப்பு எண்ணாக எழுதுவது?

அடுத்த நுட்பம் மேலே விவாதிக்கப்பட்டதற்கு நேர்மாறானது. அதாவது, அனைத்து கலப்பு எண்களும் முறையற்ற பின்னங்களால் மாற்றப்படும் போது. செயல்களின் அல்காரிதம் பின்வருமாறு இருக்கும்:

மீதியைப் பெற, எண்ணை வகுப்பால் வகுக்கவும்;
கலப்பு ஒன்றின் முழுப் பகுதிக்கும் பதிலாக விகுதியை எழுதவும்;
மீதமுள்ளவை வரிக்கு மேலே வைக்கப்பட வேண்டும்;
வகுத்தல் வகுக்கப்படும்.

அத்தகைய மாற்றத்திற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

76/14; 76:14 = 5 மீதி 6; பதில் 5 முழு மற்றும் 6/14; இந்த எடுத்துக்காட்டில் உள்ள பகுதியின் பகுதியை 2 ஆல் குறைக்க வேண்டும், இதன் விளைவாக 3/7; இறுதி விடை 5 புள்ளி 3/7.

108/54; பிரிவுக்குப் பிறகு, 2 இன் பங்கு மீதம் இல்லாமல் பெறப்படுகிறது; இதன் பொருள் அனைத்து முறையற்ற பின்னங்களையும் ஒரு கலப்பு எண்ணாகக் குறிப்பிட முடியாது; பதில் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும் - 2.

ஒரு முழு எண்ணை முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுவது எப்படி?

அத்தகைய நடவடிக்கை தேவைப்படும் போது சூழ்நிலைகள் உள்ளன. அறியப்பட்ட வகுப்பினருடன் முறையற்ற பின்னங்களைப் பெற, நீங்கள் பின்வரும் வழிமுறையைச் செய்ய வேண்டும்:

விரும்பிய வகுப்பினால் ஒரு முழு எண்ணைப் பெருக்கவும்;
இந்த மதிப்பை வரிக்கு மேலே எழுதுங்கள்;
அதன் கீழே வகுப்பினை வைக்கவும்.

வகுத்தல் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்போது எளிமையான விருப்பம். பிறகு நீங்கள் எதையும் பெருக்க வேண்டியதில்லை. எடுத்துக்காட்டில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள முழு எண்ணை வெறுமனே எழுதி, கோட்டின் கீழ் ஒன்றை வைத்தால் போதும்.

உதாரணம்: 5-ஐ 3-ன் வகுத்து முறையற்ற பின்னமாக ஆக்குங்கள். 5-ஐ 3-ஆல் பெருக்கினால் 15 கிடைக்கும். இந்த எண் வகுக்கும். பணிக்கான பதில் ஒரு பகுதி: 15/3.

வெவ்வேறு எண்களுடன் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான இரண்டு அணுகுமுறைகள்

எடுத்துக்காட்டாக, கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும், அதே போல் இரண்டு எண்களின் தயாரிப்பு மற்றும் எண்ணிக்கையையும் கணக்கிட வேண்டும்: 2 முழு எண்கள் 3/5 மற்றும் 14/11.

முதல் அணுகுமுறையில்கலப்பு எண் தவறான பின்னமாக குறிப்பிடப்படும்.

மேலே விவரிக்கப்பட்ட படிகளைச் செய்த பிறகு, பின்வரும் மதிப்பைப் பெறுவீர்கள்: 13/5.

தொகையைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பின்னங்களைக் குறைக்க வேண்டும் அதே வகுத்தல். 13/5ஐ 11 ஆல் பெருக்கினால் 143/55 ஆகிறது. மேலும் 14/11 ஐ 5 ஆல் பெருக்குவது போல் இருக்கும்: 70/55. தொகையைக் கணக்கிட, நீங்கள் எண்களை மட்டுமே சேர்க்க வேண்டும்: 143 மற்றும் 70, பின்னர் பதிலை ஒரு வகுப்பில் எழுதவும். 213/55 - இந்த முறையற்ற பின்னம் பிரச்சனைக்கான பதில்.

வித்தியாசத்தைக் கண்டறியும் போது, அதே எண்கள் கழிக்கப்படும்: 143 - 70 = 73. பதில் ஒரு பின்னமாக இருக்கும்: 73/55.

13/5 மற்றும் 14/11 ஐப் பெருக்கும்போது, அவற்றைப் பொதுவான வகுப்பாகக் குறைக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை ஜோடிகளாகப் பெருக்கினால் போதும். பதில்: 182/55.

பிரிவுக்கும் அப்படித்தான். க்கு சரியான முடிவுநீங்கள் வகுப்பதைப் பெருக்கத்துடன் மாற்ற வேண்டும் மற்றும் வகுப்பியைத் தலைகீழாக மாற்ற வேண்டும்: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

இரண்டாவது அணுகுமுறையில்ஒரு முறையற்ற பின்னம் ஒரு கலப்பு எண்ணாக மாறும்.

அல்காரிதத்தின் செயல்களைச் செய்த பிறகு, 14/11 ஆனது 1 இன் முழு எண் பகுதி மற்றும் 3/11 இன் ஒரு பகுதியுடன் கலப்பு எண்ணாக மாறும்.

தொகையை கணக்கிடும் போது, நீங்கள் முழு மற்றும் பகுதியளவு பகுதிகளை தனித்தனியாக சேர்க்க வேண்டும். 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. இறுதி விடை 3 புள்ளி 48/55. முதல் அணுகுமுறையில் பின்னம் 213/55. கலப்பு எண்ணாக மாற்றுவதன் மூலம் அதன் சரியான தன்மையை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம். 213 ஐ 55 ஆல் வகுத்தால், புள்ளி 3 ஆகவும், மீதி 48 ஆகவும் உள்ளது. விடை சரியானது என்பதை எளிதாகக் காணலாம்.

கழிக்கும்போது, "+" அடையாளம் "-" ஆல் மாற்றப்படும். 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. சரிபார்க்க, முந்தைய அணுகுமுறையின் விடையை ஒரு கலப்பு எண்ணாக மாற்ற வேண்டும்: 73 ஐ 55 ஆல் வகுக்க வேண்டும், மேலும் பங்கு 1 மற்றும் மீதமுள்ளவை 18 ஆகும்.

தயாரிப்பு மற்றும் அளவைக் கண்டறிய, கலப்பு எண்களைப் பயன்படுத்துவது சிரமமாக உள்ளது. இங்கே தவறான பின்னங்களுக்கு செல்ல எப்போதும் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.

"பின்னங்கள்" என்ற வார்த்தை பலருக்கு வாத்து கொடுக்கிறது. ஏனென்றால் பள்ளி மற்றும் கணிதத்தில் தீர்க்கப்பட்ட பணிகள் எனக்கு நினைவிருக்கிறது. இது நிறைவேற்றப்பட வேண்டிய கடமையாக இருந்தது. ஒரு புதிர் போன்ற சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்கள் சம்பந்தப்பட்ட பிரச்சனைகளுக்கு நீங்கள் சிகிச்சை அளித்தால் என்ன செய்வது? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பல பெரியவர்கள் டிஜிட்டல் மற்றும் ஜப்பானிய குறுக்கெழுத்துக்களைத் தீர்க்கிறார்கள். நாங்கள் விதிகளைக் கண்டுபிடித்தோம், அவ்வளவுதான். இங்கேயும் அப்படித்தான். ஒருவர் கோட்பாட்டை மட்டுமே ஆராய வேண்டும் - எல்லாம் சரியாகிவிடும். மேலும் எடுத்துக்காட்டுகள் உங்கள் மூளையைப் பயிற்றுவிப்பதற்கான ஒரு வழியாக மாறும்.

என்ன வகையான பின்னங்கள் உள்ளன?

கலப்பு எண்களும் உள்ளன, அதாவது முழு எண் மற்றும் பகுதியளவு கொண்டவை.

கலப்பு எண்களிலிருந்து தவறான பின்னங்கள் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன?

இது அனைத்தும் குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையைப் பொறுத்தது. சில நேரங்களில் பணிகளில் தவறான பகுதியைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது. மேலும் சில நேரங்களில் அதை ஒரு கலப்பு எண்ணாக மாற்றுவது அவசியம், பின்னர் உதாரணம் மிக எளிதாக தீர்க்கப்படும். எனவே, எதைப் பயன்படுத்துவது: முறையற்ற பின்னங்கள், கலப்பு எண்கள், சிக்கலைத் தீர்க்கும் நபரின் கவனிப்புத் திறனைப் பொறுத்தது.

ஒரு கலப்பு எண்ணை முறையற்ற பின்னமாக எவ்வாறு குறிப்பிடுவது?

வெவ்வேறு வடிவங்களில் எழுதப்பட்ட பல எண்களுடன் நீங்கள் எந்த செயலையும் செய்ய வேண்டும் என்றால், நீங்கள் அவற்றை ஒரே மாதிரியாக செய்ய வேண்டும். எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாகக் குறிப்பிடுவது ஒரு முறை.

இந்த நோக்கத்திற்காக, நீங்கள் பின்வரும் வழிமுறையைச் செய்ய வேண்டும்:

வகுப்பினை முழுப் பகுதியால் பெருக்கவும்;
முடிவில் எண்ணின் மதிப்பைச் சேர்க்கவும்;
வரிக்கு மேலே பதில் எழுதவும்;
வகுப்பினை அப்படியே விட்டு விடுங்கள்.

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

தவறான பின்னத்தை எப்படி கலப்பு எண்ணாக எழுதுவது?

மீதியைப் பெற, எண்ணை வகுப்பால் வகுக்கவும்;
கலப்பு ஒன்றின் முழுப் பகுதிக்கும் பதிலாக விகுதியை எழுதவும்;
மீதமுள்ளவை வரிக்கு மேலே வைக்கப்பட வேண்டும்;
வகுத்தல் வகுக்கப்படும்.

அத்தகைய மாற்றத்திற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

ஒரு முழு எண்ணை முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுவது எப்படி?

விரும்பிய வகுப்பினால் ஒரு முழு எண்ணைப் பெருக்கவும்;
இந்த மதிப்பை வரிக்கு மேலே எழுதுங்கள்;
அதன் கீழே வகுப்பினை வைக்கவும்.

வெவ்வேறு எண்களுடன் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான இரண்டு அணுகுமுறைகள்

முதல் அணுகுமுறையில்கலப்பு எண் தவறான பின்னமாக குறிப்பிடப்படும்.

தொகையைக் கண்டறிய, பின்னங்களை ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும். 13/5ஐ 11 ஆல் பெருக்கினால் 143/55 ஆகிறது. மேலும் 14/11 ஐ 5 ஆல் பெருக்குவது போல் இருக்கும்: 70/55. தொகையைக் கணக்கிட, நீங்கள் எண்களை மட்டுமே சேர்க்க வேண்டும்: 143 மற்றும் 70, பின்னர் பதிலை ஒரு வகுப்பில் எழுதவும். 213/55 - இந்த முறையற்ற பின்னம் பிரச்சனைக்கான பதில்.

பிரிவுக்கும் அப்படித்தான். சரியாகத் தீர்க்க, நீங்கள் வகுப்பதைப் பெருக்கத்துடன் மாற்ற வேண்டும் மற்றும் வகுப்பியைத் தலைகீழாக மாற்ற வேண்டும்: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

இரண்டாவது அணுகுமுறையில்ஒரு முறையற்ற பின்னம் ஒரு கலப்பு எண்ணாக மாறும்.

பொதுவான பின்னங்கள் \textit (சரியான) மற்றும் \textit (முறையற்ற) பின்னங்களாக பிரிக்கப்படுகின்றன. இந்த பிரிவு எண் மற்றும் வகுப்பின் ஒப்பீட்டின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது.

சரியான பின்னங்கள்

சரியான பின்னம்ஒரு சாதாரண பின்னம் $\frac(m)(n)$ என அழைக்கப்படுகிறது, இதில் எண் வகுப்பினை விட குறைவாக உள்ளது, அதாவது. $மீ

எடுத்துக்காட்டு 1

எடுத்துக்காட்டாக, $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ என்ற பின்னங்கள் சரியானவை. , அப்படியானால் அவை ஒவ்வொன்றிலும், சரியான பின்னத்தின் வரையறையை சந்திக்கும் வகுப்பை விட எண் எப்படி குறைவாக உள்ளது.

சரியான பின்னத்தின் வரையறை உள்ளது, இது பின்னத்தை ஒன்றோடு ஒப்பிடுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

சரி, ஒன்றுக்கு குறைவாக இருந்தால்:

எடுத்துக்காட்டு 2

எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவான பின்னம் $\frac(6)(13)$ சரியானது ஏனெனில் நிபந்தனை $\frac(6)(13) திருப்திகரமாக உள்ளது

தவறான பின்னங்கள்

தவறான பின்னம்ஒரு சாதாரண பின்னம் $\frac(m)(n)$ என அழைக்கப்படுகிறது, இதில் எண் வகுப்பினை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது, அதாவது. $m\ge n$.

எடுத்துக்காட்டு 3

எடுத்துக்காட்டாக, $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ என்ற பின்னங்கள் ஒழுங்கற்றவை. , அப்படியானால் அவை ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள எண்ணானது, ஒழுங்கற்ற பின்னத்தின் வரையறையைச் சந்திக்கும் வகுப்பினை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்.

ஒரு முறையற்ற பின்னத்தின் வரையறையை வழங்குவோம், இது ஒன்றோடு ஒப்பிடுவதன் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது.

பொதுவான பின்னம் $\frac(m)(n)$ ஆகும் தவறு, அது ஒன்றுக்கு சமமாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ இருந்தால்:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

எடுத்துக்காட்டு 4

எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவான பின்னம் $\frac(21)(4)$ தவறானது ஏனெனில் நிபந்தனை $\frac(21)(4) >1$ திருப்திகரமாக உள்ளது;

பொதுவான பின்னம் $\frac(8)(8)$ தவறானது ஏனெனில் நிபந்தனை $\frac(8)(8)=1$ திருப்திகரமாக உள்ளது.

முறையற்ற பின்னம் என்ற கருத்தை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

$\frac(7)(7)$ என்ற தவறான பின்னத்தை உதாரணமாக எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த பின்னத்தின் பொருள் ஒரு பொருளின் ஏழு பங்குகளை எடுத்துக்கொள்வதாகும், இது ஏழு சம பாகங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இவ்வாறு, கிடைக்கும் ஏழு பங்குகளில் இருந்து, முழுப் பொருளையும் இயற்றலாம். அந்த. முறையற்ற பின்னம் $\frac(7)(7)$ முழு பொருளையும் மற்றும் $\frac(7)(7)=1$. எனவே, தவறான பின்னங்கள், இதில் எண் வகுப்பிற்கு சமம், ஒரு முழு பொருளை விவரிக்கிறது மற்றும் அத்தகைய பின்னம் இயற்கை எண்ணாக $1$ மூலம் மாற்றப்படும்.

$\frac(5)(2)$ -- இந்த ஐந்து வினாடிப் பகுதிகளிலிருந்து $2$ முழுப் பொருட்களையும் (ஒரு முழுப் பொருளும் $2$ பாகங்களைக் கொண்டு உருவாக்கலாம், மேலும் இரண்டு முழுப் பொருட்களையும் நீங்கள் உருவாக்கலாம் என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது. $2+2=4$ பங்குகள் தேவை) மேலும் ஒரு வினாடி பங்கு உள்ளது. அதாவது, தவறான பின்னம் $\frac(5)(2)$ ஒரு பொருளின் $2$ மற்றும் இந்த பொருளின் பங்கை $\frac(1)(2)$ விவரிக்கிறது.

$\frac(21)(7)$ -- இருபத்தி ஒரு ஏழில் ஒரு பகுதியிலிருந்து $3$ முழுப் பொருட்களையும் ($3$ பொருள்கள் ஒவ்வொன்றிலும் $7$ பங்குகள்) உருவாக்கலாம். அந்த. $\frac(21)(7)$ என்ற பின்னம் $3$ முழு பொருட்களையும் விவரிக்கிறது.

பரிசீலிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, நாம் பின்வரும் முடிவுக்கு வரலாம்: எண் வகுப்பினால் வகுக்கப்பட்டால், தவறான பின்னத்தை இயற்கை எண்ணால் மாற்றலாம் (உதாரணமாக, $\frac(7)(7)=1$ மற்றும் $\frac (21)(7)=3$) , அல்லது தொகை இயற்கை எண்மற்றும் எண் வகுப்பினால் முழுமையாக வகுபடவில்லை என்றால் சரியான பின்னம் (உதாரணமாக, $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). அதனால்தான் இத்தகைய பின்னங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன தவறு.

வரையறை 1

முறையற்ற பின்னத்தை இயல் எண் மற்றும் சரியான பின்னத்தின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கும் செயல்முறை (எடுத்துக்காட்டாக, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) எனப்படும். ஒரு முறையற்ற பகுதியிலிருந்து முழு பகுதியையும் பிரிக்கிறது.

முறையற்ற பின்னங்களுடன் பணிபுரியும் போது, அவற்றுக்கும் கலப்பு எண்களுக்கும் இடையே நெருங்கிய தொடர்பு உள்ளது.

ஒரு முறையற்ற பின்னம் பெரும்பாலும் ஒரு கலப்பு எண்ணாக எழுதப்படுகிறது - ஒரு முழு எண் பகுதி மற்றும் ஒரு பின்னம் பகுதியைக் கொண்டிருக்கும் எண்.

ஒரு முறையற்ற பின்னத்தை கலப்பு எண்ணாக எழுத, நீங்கள் எஞ்சியிருக்கும் வகுப்பினால் எண்களை வகுக்க வேண்டும். பங்கு எண் கலப்பு எண்ணின் முழுப் பகுதியாகவும், மீதியானது பின்னப் பகுதியின் எண்ணாகவும், வகுத்தல் என்பது பின்னப் பகுதியின் வகுப்பாகவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 5

முறையற்ற பின்னம் $\frac(37)(12)$ ஒரு கலப்பு எண்ணாக எழுதவும்.

தீர்வு.

மீதியைக் கொண்டு எண்ணை வகுப்பால் வகுக்கவும்:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (மீதம்\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

பதில்.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

ஒரு கலப்பு எண்ணை முறையற்ற பின்னமாக எழுத, நீங்கள் எண்ணின் முழுப் பகுதியாலும் வகுப்பினைப் பெருக்க வேண்டும், அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புடன் பின்னப் பகுதியின் எண்ணைச் சேர்த்து, அதன் விளைவாக வரும் தொகையை பின்னத்தின் எண்ணில் எழுத வேண்டும். முறையற்ற பின்னத்தின் வகுத்தல், கலப்பு எண்ணின் பின்னப் பகுதியின் வகுப்பிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 6

$5\frac(3)(7)$ என்ற கலப்பு எண்ணை தவறான பின்னமாக எழுதவும்.

தீர்வு.

பதில்.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

கலப்பு எண்களையும் சரியான பின்னங்களையும் சேர்த்தல்

கலப்பு எண் சேர்த்தல்$a\frac(b)(c)$ மற்றும் சரியான பின்னம்$\frac(d)(e)$ ஆனது, கொடுக்கப்பட்ட கலப்பு எண்ணின் பின்னம் பகுதியைக் கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தில் சேர்ப்பதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 7

சரியான பின்னம் $\frac(4)(15)$ மற்றும் கலப்பு எண்ணை $3\frac(2)(5)$ சேர்க்கவும்.

தீர்வு.

ஒரு கலப்பு எண்ணையும் சரியான பின்னத்தையும் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\இடது(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\வலது)=3+\ இடது(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\வலது)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

\textit(5) என்ற எண்ணால் வகுப்பதன் மூலம் $\frac(10)(15)$ பின்னம் குறைக்கக்கூடியது என்பதை நாம் தீர்மானிக்கலாம். குறைப்பைச் செய்து, கூட்டலின் முடிவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எனவே, $\frac(4)(15)$ என்ற சரியான பின்னத்தையும் $3\frac(2)(5)$ என்ற கலப்பு எண்ணையும் சேர்த்ததன் விளைவு $3\frac(2)(3)$ ஆகும்.

பதில்:$3\frac(2)(3)$

கலப்பு எண்கள் மற்றும் முறையற்ற பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

முறையற்ற பின்னங்கள் மற்றும் கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்இரண்டு கலப்பு எண்களைச் சேர்ப்பதைக் குறைக்கிறது, இதற்காக முழு பகுதியையும் முறையற்ற பகுதியிலிருந்து தனிமைப்படுத்த போதுமானது.

எடுத்துக்காட்டு 8

கலப்பு எண்ணான $6\frac(2)(15)$ மற்றும் தவறான பின்னம் $\frac(13)(5)$ ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுக.

தீர்வு.

முதலில், $\frac(13)(5)$ என்ற தவறான பின்னத்திலிருந்து முழுப் பகுதியையும் பிரித்தெடுப்போம்:

பதில்:$8\frac(11)(15)$.

நாம் பள்ளியில் படிக்கத் தொடங்குவதற்கு முன்பே, வாழ்க்கையில் பின்னங்களை நாம் சந்திக்கிறோம். ஒரு முழு ஆப்பிளை பாதியாக வெட்டினால், ½ பழம் கிடைக்கும். அதை மீண்டும் வெட்டுவோம் - அது ¼ ஆக இருக்கும். இவை பின்னங்கள். மற்றும் எல்லாம் எளிமையானதாகத் தோன்றியது. ஒரு வயது வந்தவருக்கு. ஒரு குழந்தைக்கு (இந்த தலைப்பு ஆரம்பப் பள்ளியின் முடிவில் படிக்கத் தொடங்குகிறது), சுருக்கமான கணிதக் கருத்துக்கள் இன்னும் பயமுறுத்தும் வகையில் புரிந்துகொள்ள முடியாதவை, மேலும் சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னம், பொதுவான மற்றும் தசமம் என்ன, என்ன செயல்பாடுகளைச் செய்ய முடியும் என்பதை ஆசிரியர் தெளிவாக விளக்க வேண்டும். அவர்களுடன் மற்றும், மிக முக்கியமாக, இவை அனைத்தும் ஏன் தேவைப்படுகின்றன.

பின்னங்கள் என்றால் என்ன?

தெரிந்து கொள்வது புதிய தலைப்புபள்ளியில் அது சாதாரண பின்னங்களுடன் தொடங்குகிறது. இரண்டு எண்களைப் பிரிக்கும் கிடைமட்டக் கோட்டால் அவை எளிதில் அடையாளம் காணப்படுகின்றன - மேலே மற்றும் கீழே. மேலே உள்ளதை எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது, கீழே உள்ளது வகுத்தல். முறையற்ற மற்றும் சரியான சாதாரண பின்னங்களை எழுதுவதற்கான சிறிய எழுத்து விருப்பமும் உள்ளது - ஒரு சாய்வு மூலம், எடுத்துக்காட்டாக: ½, 4/9, 384/183. வரி உயரம் குறைவாக இருக்கும் போது இந்த விருப்பம் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் "இரண்டு-அடுக்கு" நுழைவு படிவத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது. ஏன்? ஆம், ஏனெனில் இது மிகவும் வசதியானது. இதை சிறிது நேரம் கழித்து பார்ப்போம்.

வழக்கமானவற்றைத் தவிர, மேலும் உள்ளன தசமங்கள். அவற்றை வேறுபடுத்துவது மிகவும் எளிது: ஒரு வழக்கில் கிடைமட்ட அல்லது சாய்வு பயன்படுத்தப்பட்டால், மற்றொன்றில் எண்களின் வரிசைகளை பிரிக்க கமா பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: 2.9; 163.34; 1.953. எண்களை வரையறுக்க அரைப்புள்ளியை வேண்டுமென்றே பிரிப்பானாகப் பயன்படுத்தினோம். அவற்றில் முதலாவது இப்படிப் படிக்கும்: "இரண்டு புள்ளி ஒன்பது."

புதிய கருத்துக்கள்

மீண்டும் செல்வோம் சாதாரண பின்னங்கள். அவை இரண்டு வகைகளில் வருகின்றன.

சரியான பின்னத்தின் வரையறை பின்வருமாறு: இது ஒரு பின்னமாகும், அதன் எண் அதன் வகுப்பை விட குறைவாக உள்ளது. இது ஏன் முக்கியமானது? இப்போது பார்ப்போம்!

உங்களிடம் பல ஆப்பிள்கள் உள்ளன, பாதியாக. மொத்தம் - 5 பாகங்கள். நீங்கள் எப்படி சொல்வீர்கள்: உங்களிடம் "இரண்டரை" அல்லது "ஐந்தரை" ஆப்பிள்கள் உள்ளதா? நிச்சயமாக, முதல் விருப்பம் மிகவும் இயற்கையானது, மேலும் நண்பர்களுடன் பேசும்போது அதைப் பயன்படுத்துவோம். ஆனால் ஒவ்வொருவருக்கும் எத்தனை பழங்கள் கிடைக்கும் என்று கணக்கிட வேண்டும் என்றால், நிறுவனத்தில் ஐந்து பேர் இருந்தால், 5/2 என்ற எண்ணை எழுதி 5 ஆல் வகுப்போம் - கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், இது இன்னும் தெளிவாகத் தெரியும். .

எனவே, சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்களுக்கு பெயரிடுவதற்கான விதி இதுதான்: ஒரு முழு பகுதியையும் ஒரு பின்னத்தில் (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) வேறுபடுத்தினால், அது ஒழுங்கற்றது. ½, 13/16, 9/10 போன்றவற்றைச் செய்ய முடியாவிட்டால், அது சரியாக இருக்கும்.

ஒரு பகுதியின் முக்கிய சொத்து

ஒரு பகுதியின் எண் மற்றும் வகுப்பினை ஒரே நேரத்தில் பெருக்கினால் அல்லது அதே எண்ணால் வகுத்தால், அதன் மதிப்பு மாறாது. கற்பனை செய்து பாருங்கள்: அவர்கள் கேக்கை 4 சம பாகங்களாக வெட்டி உங்களுக்கு ஒன்றைக் கொடுத்தார்கள். அதே கேக்கை எட்டுத் துண்டுகளாக வெட்டி, இரண்டைக் கொடுத்தார்கள். இது உண்மையில் முக்கியமா? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ¼ மற்றும் 2/8 ஒன்றுதான்!

குறைப்பு

கணித பாடப்புத்தகங்களில் உள்ள சிக்கல்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளை எழுதுபவர்கள், எழுதுவதற்கு சிரமமான பின்னங்களை வழங்குவதன் மூலம் மாணவர்களை குழப்ப முற்படுகின்றனர், ஆனால் உண்மையில் சுருக்கமாக எழுதலாம். சரியான பின்னத்தின் எடுத்துக்காட்டு இங்கே: 167/334, இது மிகவும் "பயங்கரமானதாக" தோன்றுகிறது. ஆனால் நாம் உண்மையில் அதை ½ என்று எழுதலாம். எண் 334 எஞ்சியாமல் 167 ஆல் வகுபடும் - இந்த செயல்பாட்டைச் செய்த பிறகு, நமக்கு 2 கிடைக்கும்.

கலப்பு எண்கள்

ஒரு முறையற்ற பின்னத்தை கலப்பு எண்ணாகக் குறிப்பிடலாம். இது முழுப் பகுதியையும் முன்னோக்கி கொண்டு வந்து கிடைமட்ட கோட்டின் மட்டத்தில் எழுதப்படும் போது. உண்மையில், வெளிப்பாடு ஒரு தொகையின் வடிவத்தை எடுக்கும்: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 மற்றும் பல.

முழு பகுதியையும் வெளியே எடுக்க, நீங்கள் எண்களை வகுப்பால் வகுக்க வேண்டும். பிரிவின் எஞ்சிய பகுதியை மேலேயும், கோட்டிற்கு மேலேயும், முழுப் பகுதியையும் - வெளிப்பாட்டிற்கு முன் எழுதவும். இவ்வாறு, நாம் இரண்டு கட்டமைப்பு பகுதிகளைப் பெறுகிறோம்: முழு அலகுகள் + சரியான பின்னம்.

நீங்கள் தலைகீழ் செயல்பாட்டையும் செய்யலாம் - இதைச் செய்ய, நீங்கள் முழு எண் பகுதியை வகுப்பினால் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை எண்ணுடன் சேர்க்க வேண்டும். சிக்கலான எதுவும் இல்லை.

பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்

விந்தை போதும், பின்னங்களை பெருக்குவது சேர்ப்பதை விட எளிதானது. தேவையான அனைத்து கிடைமட்ட வரி நீட்டிக்க வேண்டும்: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

பிரிப்பதன் மூலம், எல்லாம் எளிமையானது: நீங்கள் பின்னங்களை குறுக்கு வழியில் பெருக்க வேண்டும்: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

பின்னங்கள் சேர்த்தல்

நீங்கள் கூட்டல் செய்ய வேண்டும் என்றால் என்ன செய்ய வேண்டும் அல்லது அவற்றின் வகுத்தல் வெவ்வேறு எண்கள்? பெருக்குவதைப் போலவே செய்வது வேலை செய்யாது - இங்கே நீங்கள் சரியான பின்னத்தின் வரையறை மற்றும் அதன் சாரத்தை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். விதிமுறைகளை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவது அவசியம், அதாவது, இரண்டு பின்னங்களின் கீழ் பகுதியும் ஒரே எண்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

இதைச் செய்ய, நீங்கள் ஒரு பகுதியின் அடிப்படை சொத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: இரண்டு பகுதிகளையும் ஒரே எண்ணால் பெருக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

விதிமுறைகளைக் குறைக்க எந்த வகுப்பினை எவ்வாறு தேர்வு செய்வது? பின்னங்களின் வகுப்பில் உள்ள இரண்டு எண்களின் பெருக்கமாக இருக்கும் குறைந்தபட்ச எண்ணாக இது இருக்க வேண்டும்: 1/3 மற்றும் 1/9க்கு இது 9 ஆக இருக்கும்; ½ மற்றும் 1/7 - 14க்கு, மீதி இல்லாமல் 2 மற்றும் 7 ஆல் வகுக்கும் சிறிய மதிப்பு இல்லை.

பயன்பாடு

தவறான பின்னங்கள் எதற்காகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, முழு பகுதியையும் உடனடியாகத் தேர்ந்தெடுப்பது மிகவும் வசதியானது, கலப்பு எண்ணைப் பெறுங்கள் - அதைச் செய்யுங்கள்! நீங்கள் இரண்டு பின்னங்களைப் பெருக்கவோ அல்லது வகுக்கவோ வேண்டும் என்றால், ஒழுங்கற்றவற்றைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் லாபகரமானது என்று மாறிவிடும்.

பின்வரும் உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்: (2 + 3/17) / (37 / 68).

வெட்டுவதற்கு எதுவும் இல்லை என்று தோன்றுகிறது. ஆனால், கூட்டல் முடிவை முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் தவறான பின்னமாக எழுதினால் என்ன செய்வது? பார்: (37/17) / (37/68)

இப்போது எல்லாம் சரியான இடத்தில் விழுகிறது! எல்லாம் தெளிவாகத் தெரியும் வகையில் உதாரணத்தை எழுதுவோம்: (37*68) / (17*37).

எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள 37 ஐ ரத்து செய்து, இறுதியாக மேல் மற்றும் கீழ் பகுதியை 17 ஆல் வகுப்போம். சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்களுக்கான அடிப்படை விதி உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? ஒரே நேரத்தில் எண் மற்றும் வகுப்பிற்குச் செய்யும் பட்சத்தில் அவற்றை எந்த எண்ணாலும் பெருக்கி வகுக்கலாம்.

எனவே, நாம் பதில் பெறுகிறோம்: 4. உதாரணம் சிக்கலானதாகத் தோன்றியது, ஆனால் பதிலில் ஒரே ஒரு எண் மட்டுமே உள்ளது. இது கணிதத்தில் அடிக்கடி நடக்கும். முக்கிய விஷயம் பயப்பட வேண்டாம் மற்றும் எளிய விதிகளை பின்பற்றவும்.

பொதுவான தவறுகள்

செயல்படுத்தும் போது, ஒரு மாணவர் எளிதில் பொதுவான தவறுகளில் ஒன்றைச் செய்யலாம். பொதுவாக அவை கவனக்குறைவு காரணமாகவும், சில சமயங்களில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட பொருள் இன்னும் தலையில் சரியாக சேமிக்கப்படவில்லை என்பதாலும் நிகழ்கின்றன.

பெரும்பாலும் எண்களில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை அதன் தனிப்பட்ட கூறுகளைக் குறைக்க விரும்புகிறது. எடுத்துக்காட்டில் கூறுவோம்: (13 + 2) / 13, அடைப்புக்குறி இல்லாமல் எழுதப்பட்டது (கிடைமட்ட கோட்டுடன்), பல மாணவர்கள், அனுபவமின்மை காரணமாக, 13 ஐ மேலேயும் கீழேயும் கடக்கிறார்கள். ஆனால் இது எந்த சூழ்நிலையிலும் செய்யப்படக்கூடாது, ஏனென்றால் இது ஒரு பெரிய தவறு! கூட்டலுக்குப் பதிலாக ஒரு பெருக்கல் குறி இருந்தால், பதிலில் 2 என்ற எண்ணைப் பெறுவோம்.

பின்னங்களைப் பிரிக்கும்போது தோழர்களும் பெரும்பாலும் தவறு செய்கிறார்கள். இரண்டு சரியான குறைக்க முடியாத பின்னங்களை எடுத்து ஒன்றையொன்று பிரிப்போம்: (5/6) / (25/33). மாணவர் அதைக் கலந்து அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை (5*25) / (6*33) என்று எழுதலாம். ஆனால் இது பெருக்கத்துடன் நடக்கும், ஆனால் எங்கள் விஷயத்தில் எல்லாம் சற்று வித்தியாசமாக இருக்கும்: (5*33) / (6*25). சாத்தியமானதை நாங்கள் குறைக்கிறோம், பதில் 11/10 ஆக இருக்கும். இதன் விளைவாக வரும் முறையற்ற பகுதியை தசமமாக எழுதுகிறோம் - 1.1.

அடைப்புக்குறிகள்

எந்தவொரு கணித வெளிப்பாட்டிலும் செயல்பாடுகளின் வரிசையானது செயல்பாட்டு அறிகுறிகளின் முன்னுரிமை மற்றும் அடைப்புக்குறிகளின் இருப்பு ஆகியவற்றால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். மற்ற அனைத்தும் சமமாக இருப்பதால், செயல்களின் வரிசை இடமிருந்து வலமாக கணக்கிடப்படுகிறது. இது பின்னங்களுக்கும் பொருந்தும் - எண் அல்லது வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடு இந்த விதியின் படி கண்டிப்பாக கணக்கிடப்படுகிறது.

எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஒரு எண்ணை மற்றொன்றால் வகுப்பதன் விளைவாகும். அவை சமமாகப் பிரிக்கப்படாவிட்டால், அது ஒரு பின்னமாக மாறும் - அவ்வளவுதான்.

ஒரு கணினியில் ஒரு பகுதியை எழுதுவது எப்படி

நிலையான கருவிகள் எப்போதும் இரண்டு "அடுக்குகள்" கொண்ட ஒரு பகுதியை உருவாக்க அனுமதிக்காது என்பதால், மாணவர்கள் சில நேரங்களில் பல்வேறு தந்திரங்களை நாடுகிறார்கள். எடுத்துக்காட்டாக, அவை எண்கள் மற்றும் வகுப்பினரை பெயிண்ட் கிராஃபிக் எடிட்டரில் நகலெடுத்து அவற்றை ஒன்றாக ஒட்டுகின்றன, அவற்றுக்கிடையே ஒரு கிடைமட்ட கோட்டை வரைகின்றன. நிச்சயமாக, ஒரு எளிய விருப்பம் உள்ளது, இது எதிர்காலத்தில் உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும் கூடுதல் அம்சங்களை வழங்குகிறது.

மைக்ரோசாஃப்ட் வேர்டைத் திறக்கவும். திரையின் மேற்புறத்தில் உள்ள பேனல்களில் ஒன்று "செருகு" என்று அழைக்கப்படுகிறது - அதைக் கிளிக் செய்யவும். வலதுபுறத்தில், சாளரத்தை மூடும் மற்றும் குறைக்கும் ஐகான்கள் அமைந்துள்ள பக்கத்தில், ஒரு "ஃபார்முலா" பொத்தான் உள்ளது. இதுதான் நமக்குத் தேவை!

நீங்கள் இந்த செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தினால், ஒரு செவ்வகப் பகுதி திரையில் தோன்றும், அதில் நீங்கள் எதையும் பயன்படுத்தலாம் கணித அறிகுறிகள், கீபோர்டில் காணவில்லை, மேலும் கிளாசிக் வடிவத்தில் பின்னங்களை எழுதவும். அதாவது, எண் மற்றும் வகுப்பினை கிடைமட்டக் கோட்டுடன் பிரித்தல். அத்தகைய சரியான பகுதியை எழுதுவது மிகவும் எளிதானது என்று நீங்கள் ஆச்சரியப்படலாம்.

கணிதம் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்

நீங்கள் 5-6 ஆம் வகுப்புகளில் இருந்தால், பல பள்ளி பாடங்களில் கணிதத்தின் அறிவு (பின்னங்களுடன் பணிபுரியும் திறன் உட்பட!) விரைவில் தேவைப்படும். இயற்பியலில் எந்தவொரு பிரச்சனையிலும், வேதியியலில், வடிவியல் மற்றும் முக்கோணவியலில் உள்ள பொருட்களின் நிறை அளவிடும் போது, நீங்கள் பின்னங்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது. காகிதத்தில் வெளிப்பாடுகளை எழுதாமல், உங்கள் மனதில் உள்ள அனைத்தையும் கணக்கிட விரைவில் நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள், ஆனால் மேலும் மேலும் சிக்கலான உதாரணங்கள். எனவே, சரியான பின்னம் என்றால் என்ன, அதனுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது என்பதை அறிந்து கொள்ளுங்கள் பாடத்திட்டம், உங்கள் வீட்டுப்பாடத்தை சரியான நேரத்தில் செய்யுங்கள், நீங்கள் வெற்றி பெறுவீர்கள்.