எண்கணித முன்னேற்ற உதாரணத்தில் d என்றால் என்ன. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை

க்கான பணிகள் எண்கணித முன்னேற்றம்பண்டைய காலங்களில் ஏற்கனவே இருந்தது. தங்களுக்கு நடைமுறைத் தேவை இருப்பதால் அவர்கள் தோன்றி தீர்வைக் கோரினர்.

எனவே, பண்டைய எகிப்தின் பாப்பிரிகளில் ஒன்றான, கணித உள்ளடக்கம், ரைண்ட் பாப்பிரஸ் (கிமு 19 ஆம் நூற்றாண்டு) பின்வரும் பணியைக் கொண்டுள்ளது: பத்து அளவு ரொட்டியை பத்து நபர்களுக்குப் பிரித்து, அவர்கள் ஒவ்வொருவருக்கும் இடையே உள்ள வித்தியாசம் எட்டில் ஒரு பங்காகும். அளவு."

பண்டைய கிரேக்கர்களின் கணிதப் படைப்புகளில் எண்கணித முன்னேற்றம் தொடர்பான நேர்த்தியான கோட்பாடுகள் உள்ளன. எனவே, அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் ஹைப்சிகல்ஸ் (2 ஆம் நூற்றாண்டு, பல சுவாரஸ்யமான சிக்கல்களை உருவாக்கி, பதினான்காவது புத்தகத்தை யூக்ளிட்டின் கூறுகளில் சேர்த்தார்), "ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில், இது சம எண்விதிமுறைகள், 2 வது பாதியின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை, 1/2 என்ற வர்க்கத்தின் மூலம் 1 வது பாதியின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையை விட அதிகமாக உள்ளது."

வரிசை ஒரு ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு வரிசையின் எண்கள் அதன் உறுப்பினர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் பொதுவாக குறிக்கும் குறியீடுகளுடன் எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன வரிசை எண்இந்த உறுப்பினர் (a1, a2, a3 ... படிக்கிறது: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" மற்றும் பல).

வரிசை எல்லையற்றதாகவோ அல்லது வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ இருக்கலாம்.

எண்கணித முன்னேற்றம் என்றால் என்ன? இதன் மூலம் முந்தைய காலத்தை (n) அதே எண்ணுடன் d சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்டதைக் குறிக்கிறோம், இது முன்னேற்றத்தின் வித்தியாசம்.

டி என்றால்<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, பின்னர் அத்தகைய முன்னேற்றம் அதிகரித்துக் கருதப்படுகிறது.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் அதன் முதல் சில சொற்களை மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால் அது வரையறுக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது. மிகவும் மணிக்கு பெரிய அளவுஉறுப்பினர்கள் ஏற்கனவே முடிவற்ற முன்னேற்றம்.

எந்த எண்கணித முன்னேற்றமும் பின்வரும் சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது:

an =kn+b, b மற்றும் k என்பது சில எண்கள்.

எதிர் அறிக்கை முற்றிலும் உண்மை: ஒரு வரிசை ஒத்த சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்டால், அது சரியாக ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும், இது பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

1. முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் முந்தைய காலத்தின் எண்கணித சராசரி மற்றும் அதற்குப் பின் வரும் ஒன்று.
2. உரையாடல்: 2 ஆம் தேதியில் இருந்து தொடங்கி, ஒவ்வொரு காலமும் முந்தைய காலத்தின் எண்கணித சராசரி மற்றும் அதற்கு அடுத்ததாக இருந்தால், அதாவது. நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், இந்த வரிசை ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும். இந்த சமத்துவம் அதே நேரத்தில் முன்னேற்றத்தின் அறிகுறியாகும், எனவே இது பொதுவாக முன்னேற்றத்தின் சிறப்பியல்பு சொத்து என்று அழைக்கப்படுகிறது.
   அதே வழியில், இந்த பண்பைப் பிரதிபலிக்கும் தேற்றம் உண்மை: ஒரு வரிசை என்பது எண்கணித முன்னேற்றம் ஆகும், இந்த சமத்துவம் 2 வது முதல் தொடரின் எந்த விதிமுறைகளுக்கும் உண்மையாக இருந்தால் மட்டுமே.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஏதேனும் நான்கு எண்களுக்கான பண்புப் பண்பு, n + m = k + l (m, n, k என்பது முன்னேற்ற எண்கள்) எனில், an + am = ak + al சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படலாம்.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில், பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தேவையான (Nth) சொல்லைக் காணலாம்:

எடுத்துக்காட்டாக: ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில் முதல் சொல் (a1) கொடுக்கப்பட்டு மூன்றுக்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு (d) நான்குக்கு சமம். இந்த முன்னேற்றத்தின் நாற்பத்தி ஐந்தாவது காலத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) சூத்திரம் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது nவது பதவிக்காலம்அதன் kth விதிமுறைகளில் ஏதேனும் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம், அது தெரிந்திருந்தால்.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை (ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தின் 1வது n விதிமுறைகள்) பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

Sn = (a1+an) n/2.

1 வது காலமும் அறியப்பட்டால், மற்றொரு சூத்திரம் கணக்கிடுவதற்கு வசதியானது:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n சொற்களைக் கொண்ட ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

கணக்கீடுகளுக்கான சூத்திரங்களின் தேர்வு சிக்கல்களின் நிலைமைகள் மற்றும் ஆரம்ப தரவைப் பொறுத்தது.

1,2,3,...,n,...- போன்ற எந்த எண்களின் இயல்பான தொடர்கள் எளிய உதாரணம்எண்கணித முன்னேற்றம்.

எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு கூடுதலாக, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமும் உள்ளது, இது அதன் சொந்த பண்புகள் மற்றும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

நாங்கள் தீர்மானிக்கத் தொடங்குவதற்கு முன் எண்கணித முன்னேற்ற சிக்கல்கள், எண்கணித முன்னேற்றம் என்பதால் எண் வரிசை என்றால் என்ன என்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம் சிறப்பு வழக்குஎண் வரிசை.

எண் வரிசை என்பது ஒரு எண் தொகுப்பாகும், அதன் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் அதன் சொந்த வரிசை எண் உள்ளது. இந்த தொகுப்பின் கூறுகள் வரிசையின் உறுப்பினர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வரிசை உறுப்புகளின் வரிசை எண் ஒரு குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது:

வரிசையின் முதல் உறுப்பு;

வரிசையின் ஐந்தாவது உறுப்பு;

- வரிசையின் "nth" உறுப்பு, அதாவது. n எண்ணில் "வரிசையில் நிற்கும்" உறுப்பு.

ஒரு வரிசை உறுப்பின் மதிப்புக்கும் அதன் வரிசை எண்ணுக்கும் இடையே ஒரு தொடர்பு உள்ளது. எனவே, ஒரு வரிசையை ஒரு செயல்பாடாகக் கருதலாம், அதன் வாதம் வரிசையின் தனிமத்தின் வரிசை எண்ணாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாம் அதைச் சொல்லலாம் வரிசை என்பது இயற்கை வாதத்தின் செயல்பாடாகும்:

வரிசையை மூன்று வழிகளில் அமைக்கலாம்:

1 . அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி வரிசையைக் குறிப்பிடலாம்.இந்த வழக்கில், வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரின் மதிப்பையும் நாங்கள் அமைக்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, யாரோ ஒருவர் தனிப்பட்ட நேர நிர்வாகத்தை எடுக்க முடிவு செய்தார், மேலும் தொடங்குவதற்கு, அவர் ஒரு வாரத்தில் VKontakte இல் எவ்வளவு நேரம் செலவிடுகிறார் என்பதைக் கணக்கிடுங்கள். அட்டவணையில் நேரத்தை பதிவு செய்வதன் மூலம், அவர் ஏழு கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு வரிசையைப் பெறுவார்:

அட்டவணையின் முதல் வரி வாரத்தின் நாளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, இரண்டாவது - நிமிடங்களில் நேரம். திங்களன்று யாரோ ஒருவர் VKontakte இல் 125 நிமிடங்கள் செலவிட்டார், அதாவது வியாழக்கிழமை - 248 நிமிடங்கள், அதாவது வெள்ளிக்கிழமை 15 மட்டுமே.

2 . nth term formula ஐப் பயன்படுத்தி வரிசையைக் குறிப்பிடலாம்.

இந்த வழக்கில், ஒரு வரிசை உறுப்பு அதன் எண்ணின் மதிப்பின் சார்பு நேரடியாக ஒரு சூத்திரத்தின் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

உதாரணமாக, என்றால், பின்னர்

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணுடன் ஒரு வரிசை உறுப்பு மதிப்பைக் கண்டறிய, உறுப்பு எண்ணை nவது கால சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்.

வாதத்தின் மதிப்பு தெரிந்தால், செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால் நாம் அதையே செய்கிறோம். வாதத்தின் மதிப்பை செயல்பாட்டு சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

உதாரணமாக, என்றால் , அது

ஒரு வரிசையில், தன்னிச்சையான எண் சார்பு போலல்லாமல், வாதம் ஒரு இயற்கை எண்ணாக மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை கவனிக்கிறேன்.

3 . முந்தைய உறுப்பினர்களின் மதிப்புகளின் மீது வரிசை உறுப்பினர் எண் n இன் மதிப்பின் சார்புநிலையை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வரிசையைக் குறிப்பிடலாம்.

இந்த வழக்கில், அதன் மதிப்பைக் கண்டறிய வரிசை உறுப்பினரின் எண்ணிக்கையை மட்டும் நாம் அறிந்தால் போதாது. வரிசையின் முதல் உறுப்பினர் அல்லது முதல் சில உறுப்பினர்களை நாம் குறிப்பிட வேண்டும். ,

உதாரணமாக, வரிசையைக் கவனியுங்கள் வரிசை உறுப்பினர்களின் மதிப்புகளை நாம் காணலாம்ஒவ்வொன்றாக

, மூன்றில் இருந்து தொடங்குகிறது: அதாவது, ஒவ்வொரு முறையும், வரிசையின் n வது காலத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிய, முந்தைய இரண்டிற்குத் திரும்புவோம். ஒரு வரிசையைக் குறிப்பிடும் இந்த முறை அழைக்கப்படுகிறதுமீண்டும் மீண்டும் , லத்தீன் வார்த்தையிலிருந்துமீண்டும் மீண்டும்

- திரும்பி வா.

இப்போது நாம் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை வரையறுக்கலாம். எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு எண் வரிசையின் எளிய சிறப்பு வழக்கு. எண்கணித முன்னேற்றம்

ஒரு எண் வரிசை, இதில் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, அதே எண்ணில் சேர்க்கப்பட்ட முந்தையதற்கு சமமாக இருக்கும். எண் அழைக்கப்படுகிறதுஎண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு

. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு நேர்மறை, எதிர்மறை அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம்.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} தலைப்பு="d>0.

அதிகரித்து வருகிறது

உதாரணமாக, 2; 5; 8; 11;... என்றால், ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் முந்தையதை விட குறைவாக இருக்கும், மேலும் முன்னேற்றம்.

குறைகிறது

என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளும் ஒரே எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் முன்னேற்றம் நிலையான.

உதாரணமாக, 2;2;2;2;...

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்து:

படத்தைப் பார்ப்போம்.

என்று பார்க்கிறோம்

, மற்றும் அதே நேரத்தில்

இந்த இரண்டு சமத்துவங்களையும் சேர்த்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

.

சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் பிரிப்போம்:

எனவே, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, இரண்டு அண்டை எண்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்:

மேலும், இருந்து

, மற்றும் அதே நேரத்தில்

, அது

, எனவே

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு சொல்லும் தலைப்பு="k>l. உடன் தொடங்கும்">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

வது கால சூத்திரம்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் பின்வரும் உறவுகளை திருப்திப்படுத்துவதை நாம் காண்கிறோம்:

மற்றும் இறுதியாக

எங்களுக்கு கிடைத்தது n வது கால சூத்திரம்.

முக்கியமானது!எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் வெளிப்படுத்தலாம். முதல் சொல் மற்றும் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டை அறிந்தால், அதன் எந்த விதிமுறைகளையும் நீங்கள் காணலாம்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை.

ஒரு தன்னிச்சையான எண்கணித முன்னேற்றத்தில், தீவிர சொற்களிலிருந்து சமமான சொற்களின் தொகைகள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்:

n விதிமுறைகளுடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தைக் கவனியுங்கள். இந்த முன்னேற்றத்தின் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கட்டும்.

முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை முதலில் எண்களின் ஏறுவரிசையிலும், பின்னர் இறங்கு வரிசையிலும் வரிசைப்படுத்துவோம்:

ஜோடிகளாக சேர்ப்போம்:

ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலும் கூட்டுத்தொகை, ஜோடிகளின் எண்ணிக்கை n.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

கருத்தில் கொள்வோம் எண்கணித முன்னேற்ற சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது.

1 . வரிசை n வது கால சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது: . இந்த வரிசை ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

வரிசையின் இரண்டு அடுத்தடுத்த சொற்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஒரே எண்ணுக்கு சமம் என்பதை நிரூபிப்போம்.

வரிசையின் இரண்டு அருகிலுள்ள உறுப்பினர்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு அவற்றின் எண்ணிக்கையைச் சார்ந்தது அல்ல, அது மாறிலியாக இருப்பதைக் கண்டறிந்தோம். எனவே, வரையறையின்படி, இந்த வரிசை ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும்.

2 . ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டது -31; -27;...

a) முன்னேற்றத்தின் 31 விதிமுறைகளைக் கண்டறியவும்.

b) இந்த முன்னேற்றத்தில் எண் 41 சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

A)என்று பார்க்கிறோம் ;

நமது முன்னேற்றத்திற்கான nth termக்கான சூத்திரத்தை எழுதுவோம்.

பொதுவாக

எங்கள் விஷயத்தில் , அதனால் தான்

சிலர் "முன்னேற்றம்" என்ற வார்த்தையை உயர் கணிதத்தின் கிளைகளில் இருந்து மிகவும் சிக்கலான வார்த்தையாகக் கருதுகின்றனர். இதற்கிடையில், எளிமையான எண்கணித முன்னேற்றம் டாக்ஸி மீட்டரின் வேலை (அவை இன்னும் உள்ளன). ஒரு எண்கணித வரிசையின் சாரத்தைப் புரிந்துகொள்வது (மற்றும் கணிதத்தில் "சாரத்தைப் பெறுவதை" விட முக்கியமானது எதுவுமில்லை) ஒரு சில அடிப்படைக் கருத்துகளை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் அவ்வளவு கடினம் அல்ல.

கணித எண் வரிசை

ஒரு எண் வரிசை பொதுவாக எண்களின் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த எண்ணைக் கொண்டுள்ளன.

a 1 என்பது வரிசையின் முதல் உறுப்பினர்;

மற்றும் 2 என்பது வரிசையின் இரண்டாவது சொல்;

மற்றும் 7 என்பது வரிசையின் ஏழாவது உறுப்பினர்;

மற்றும் n என்பது வரிசையின் nவது உறுப்பினர்;

இருப்பினும், எந்த ஒரு தன்னிச்சையான எண்கள் மற்றும் எண்கள் எங்களுக்கு ஆர்வமாக இல்லை. n வது காலத்தின் மதிப்பு அதன் வரிசை எண்ணுடன் தொடர்புடைய ஒரு எண் வரிசையின் மீது எங்கள் கவனத்தை செலுத்துவோம், இது ஒரு உறவின் மூலம் கணித ரீதியாக தெளிவாக வடிவமைக்கப்படலாம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்: n வது எண்ணின் எண் மதிப்பு n இன் சில செயல்பாடு ஆகும்.

a என்பது ஒரு எண் வரிசையின் உறுப்பினரின் மதிப்பு;

n என்பது அதன் வரிசை எண்;

f(n) என்பது ஒரு சார்பு, இதில் எண் வரிசையில் n என்பது ஆர்டினல் எண்.

வரையறை

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் பொதுவாக ஒரு எண் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் முந்தையதை விட அதே எண்ணால் அதிகமாக (குறைவாக) இருக்கும். எண்கணித வரிசையின் nவது கால சூத்திரம் பின்வருமாறு:

a n - எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தற்போதைய உறுப்பினரின் மதிப்பு;

ஒரு n+1 - அடுத்த எண்ணின் சூத்திரம்;

d - வேறுபாடு (குறிப்பிட்ட எண்).

வேறுபாடு நேர்மறையாக (d>0) இருந்தால், பரிசீலனையில் உள்ள தொடரின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த உறுப்பினரும் முந்தையதை விட அதிகமாக இருக்கும் மற்றும் அத்தகைய எண்கணித முன்னேற்றம் அதிகரிக்கும் என்பதை தீர்மானிக்க எளிதானது.

கீழே உள்ள வரைபடத்தில் எண் வரிசை ஏன் "அதிகரித்தல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்பது எளிது.

வேறுபாடு எதிர்மறையாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

குறிப்பிட்ட உறுப்பினர் மதிப்பு

சில நேரங்களில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்த ஒரு தன்னிச்சையான காலத்தின் மதிப்பை தீர்மானிக்க வேண்டும். எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அனைத்து உறுப்பினர்களின் மதிப்புகளையும், முதலில் இருந்து விரும்பியது வரை வரிசையாகக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இதைச் செய்யலாம். இருப்பினும், இந்த பாதை எப்போதும் ஏற்றுக்கொள்ளப்படாது, உதாரணமாக, ஐயாயிரம் அல்லது எட்டு மில்லியன் காலத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம். பாரம்பரிய கணக்கீடுகள் நிறைய நேரம் எடுக்கும். இருப்பினும், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தை சில சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஆய்வு செய்யலாம். n வது காலத்திற்கான சூத்திரமும் உள்ளது: எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்தவொரு காலத்தின் மதிப்பையும் முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டுடன் முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்தின் கூட்டுத்தொகையாக தீர்மானிக்க முடியும், விரும்பிய காலத்தின் எண்ணிக்கையால் பெருக்கப்படுகிறது, குறைக்கப்பட்டது ஒன்று.

முன்னேற்றத்தை அதிகரிப்பதற்கும் குறைப்பதற்கும் சூத்திரம் உலகளாவியது.

கொடுக்கப்பட்ட காலத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டு

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிவதில் பின்வரும் சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

நிபந்தனை: அளவுருக்களுடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் உள்ளது:

வரிசையின் முதல் சொல் 3;

எண் வரிசையில் உள்ள வேறுபாடு 1.2.

பணி: நீங்கள் 214 சொற்களின் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்

தீர்வு: கொடுக்கப்பட்ட சொல்லின் மதிப்பைத் தீர்மானிக்க, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

a(n) = a1 + d(n-1)

சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து தரவை வெளிப்பாடாக மாற்றுவது, எங்களிடம் உள்ளது:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

பதில்: வரிசையின் 214 வது சொல் 258.6 க்கு சமம்.

இந்த கணக்கீட்டு முறையின் நன்மைகள் வெளிப்படையானவை - முழு தீர்வும் 2 வரிகளுக்கு மேல் எடுக்காது.

கொடுக்கப்பட்ட சொற்களின் கூட்டுத்தொகை

பெரும்பாலும், கொடுக்கப்பட்ட எண்கணிதத் தொடரில், அதன் சில பிரிவுகளின் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு காலத்தின் மதிப்புகளையும் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை, பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்க வேண்டும். தொகையைக் கண்டறிய வேண்டிய சொற்களின் எண்ணிக்கை சிறியதாக இருந்தால் இந்த முறை பொருந்தும். மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது.

1 முதல் n வரையிலான எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகை முதல் மற்றும் n வது சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், n என்ற சொல்லின் எண்ணிக்கையால் பெருக்கப்பட்டு இரண்டால் வகுக்கப்படும். சூத்திரத்தில் n வது காலத்தின் மதிப்பு கட்டுரையின் முந்தைய பத்தியிலிருந்து வெளிப்பாட்டால் மாற்றப்பட்டால், நாம் பெறுவோம்:

கணக்கீடு உதாரணம்

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் நிபந்தனைகளுடன் சிக்கலைத் தீர்ப்போம்:

வரிசையின் முதல் சொல் பூஜ்ஜியம்;

வித்தியாசம் 0.5.

சிக்கலுக்கு 56 முதல் 101 வரையிலான தொடரின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையைத் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

தீர்வு. முன்னேற்றத்தின் அளவை தீர்மானிக்க சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

முதலில், எங்கள் சிக்கலின் கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளை சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம் முன்னேற்றத்தின் 101 விதிமுறைகளின் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

வெளிப்படையாக, 56 முதல் 101 வரையிலான முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய, S 101 இலிருந்து S 55 ஐக் கழிக்க வேண்டியது அவசியம்.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

எனவே, இந்த உதாரணத்திற்கான எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் நடைமுறை பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டு

கட்டுரையின் முடிவில், முதல் பத்தியில் கொடுக்கப்பட்ட எண்கணித வரிசையின் உதாரணத்திற்குத் திரும்புவோம் - ஒரு டாக்ஸிமீட்டர் (டாக்ஸி கார் மீட்டர்). இந்த உதாரணத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு டாக்ஸியில் ஏறுவது (இதில் 3 கிமீ பயணமும் அடங்கும்) 50 ரூபிள் செலவாகும். ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த கிலோமீட்டருக்கும் 22 ரூபிள்/கிமீ வீதம் செலுத்தப்படுகிறது. பயண தூரம் 30 கி.மீ. பயணத்தின் செலவைக் கணக்கிடுங்கள்.

1. முதல் 3 கிமீ தூரத்தை நிராகரிக்கலாம், அதன் விலை தரையிறங்கும் செலவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

30 - 3 = 27 கி.மீ.

2. மேலும் கணக்கீடு என்பது ஒரு எண்கணித எண் தொடரைப் பாகுபடுத்துவதைத் தவிர வேறில்லை.

உறுப்பினர் எண் - பயணித்த கிலோமீட்டர்களின் எண்ணிக்கை (முதல் மூன்றைக் கழித்தல்).

உறுப்பினரின் மதிப்பு கூட்டுத்தொகை.

இந்த சிக்கலில் முதல் கால அளவு 1 = 50 ரூபிள் சமமாக இருக்கும்.

முன்னேற்ற வேறுபாடு d = 22 r.

நாம் ஆர்வமாக உள்ள எண் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் (27+1) வது காலத்தின் மதிப்பு - 27 வது கிலோமீட்டரின் முடிவில் மீட்டர் ரீடிங் 27.999... = 28 கிமீ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

தன்னிச்சையாக நீண்ட காலத்திற்கு காலெண்டர் தரவு கணக்கீடுகள் குறிப்பிட்ட எண் வரிசைகளை விவரிக்கும் சூத்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. வானவியலில், சுற்றுப்பாதையின் நீளம் வடிவியல் ரீதியாக நட்சத்திரத்திற்கு வான உடலின் தூரத்தைப் பொறுத்தது. கூடுதலாக, புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் கணிதத்தின் பிற பயன்பாட்டுப் பகுதிகளில் பல்வேறு எண் தொடர்கள் வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

மற்றொரு வகை எண் வரிசை வடிவியல்

எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் ஒப்பிடும்போது வடிவியல் முன்னேற்றம் அதிக மாற்ற விகிதங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. அரசியல், சமூகவியல் மற்றும் மருத்துவம் ஆகியவற்றில், ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வின் அதிவேக பரவலைக் காட்ட, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தொற்றுநோய்களின் போது ஏற்படும் நோய், வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் செயல்முறை உருவாகிறது என்று அவர்கள் அடிக்கடி கூறுவது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல.

வடிவியல் எண் தொடரின் N வது சொல் முந்தைய ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டது, அது சில நிலையான எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது - வகுத்தல், எடுத்துக்காட்டாக, முதல் சொல் 1, வகுத்தல் அதற்கேற்ப 2 க்கு சமம், பின்னர்:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தற்போதைய காலத்தின் மதிப்பு;

b n+1 - வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடுத்த கால சூத்திரம்;

q என்பது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் (ஒரு நிலையான எண்).

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வரைபடம் ஒரு நேர் கோடாக இருந்தால், ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் சற்று வித்தியாசமான படத்தை வரைகிறது:

எண்கணிதத்தைப் போலவே, வடிவியல் முன்னேற்றம்தன்னிச்சையான காலத்தின் மதிப்பிற்கான சூத்திரத்தைக் கொண்டுள்ளது. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த nவது காலமும் முதல் காலத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமம் மற்றும் n இன் சக்திக்கான முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் ஒன்று குறைக்கப்பட்டது:

உதாரணம். எங்களிடம் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் உள்ளது, முதல் சொல் 3 க்கு சமம் மற்றும் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பானது 1.5 க்கு சமம். முன்னேற்றத்தின் 5 வது காலத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

கொடுக்கப்பட்ட சொற்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு சிறப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகையானது, முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்தின் பெருக்கத்திற்கும் அதன் வகுப்பிற்கும் மற்றும் முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்திற்கும் இடையே உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும்.

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி b n மாற்றப்பட்டால், பரிசீலனையில் உள்ள எண் தொடரின் முதல் n விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு படிவத்தை எடுக்கும்:

உதாரணம். வடிவியல் முன்னேற்றம் 1 க்கு சமமான முதல் வார்த்தையுடன் தொடங்குகிறது. வகுத்தல் 3 ஆக அமைக்கப்பட்டுள்ளது. முதல் எட்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம்.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் என்றால் n உண்மையான எண்ணைப் பொருத்து ஒரு n , பிறகு கொடுக்கப்பட்டதாகச் சொல்கிறார்கள் எண் வரிசை :

அ 1 , அ 2 , அ 3 , . . . , ஒரு n , . . . .

எனவே, எண் வரிசை என்பது இயற்கை வாதத்தின் செயல்பாடாகும்.

எண் அ 1 அழைக்கப்பட்டது வரிசையின் முதல் காலம் , எண் அ 2 — வரிசையின் இரண்டாவது காலம் , எண் அ 3 — மூன்றாவது மற்றும் பல. எண் ஒரு n அழைக்கப்பட்டது வரிசையின் nவது உறுப்பினர் , மற்றும் ஒரு இயற்கை எண் n — அவரது எண் .

அருகிலுள்ள இரண்டு உறுப்பினர்களிடமிருந்து ஒரு n மற்றும் ஒரு n +1 வரிசை உறுப்பினர் ஒரு n +1 அழைக்கப்பட்டது தொடர்ந்து (உறவினர் ஒரு n ), ஏ ஒரு n — முந்தைய (உறவினர் ஒரு n +1 ).

ஒரு வரிசையை வரையறுக்க, நீங்கள் எந்த எண்ணிலும் வரிசையின் உறுப்பினரைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும் முறையைக் குறிப்பிட வேண்டும்.

பெரும்பாலும் வரிசையைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகிறது n வது கால சூத்திரங்கள் , அதாவது, ஒரு வரிசையின் உறுப்பினரை அதன் எண்ணால் தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கும் சூத்திரம்.

உதாரணமாக,

நேர்மறை ஒற்றைப்படை எண்களின் வரிசையை சூத்திரத்தால் கொடுக்கலாம்

ஒரு n= 2n- 1,

மற்றும் மாற்று வரிசை 1 மற்றும் -1 - சூத்திரம்

பி n = (-1)n +1 . ◄

வரிசையை தீர்மானிக்க முடியும் மீண்டும் மீண்டும் சூத்திரம், அதாவது, சிலவற்றில் தொடங்கி, முந்தைய (ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) உறுப்பினர்கள் மூலம் வரிசையின் எந்த உறுப்பினரையும் வெளிப்படுத்தும் சூத்திரம்.

உதாரணமாக,

என்றால் அ 1 = 1 , ஏ ஒரு n +1 = ஒரு n + 5

அ 1 = 1,

அ 2 = அ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

அ 3 = அ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

அ 4 = அ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

அ 5 = அ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

என்றால் ஒரு 1= 1, ஒரு 2 = 1, ஒரு n +2 = ஒரு n + ஒரு n +1 , எண் வரிசையின் முதல் ஏழு சொற்கள் பின்வருமாறு நிறுவப்பட்டுள்ளன:

ஒரு 1 = 1,

ஒரு 2 = 1,

ஒரு 3 = ஒரு 1 + ஒரு 2 = 1 + 1 = 2,

ஒரு 4 = ஒரு 2 + ஒரு 3 = 1 + 2 = 3,

ஒரு 5 = ஒரு 3 + ஒரு 4 = 2 + 3 = 5,

அ 6 = அ 4 + அ 5 = 3 + 5 = 8,

அ 7 = அ 5 + அ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

தொடர்களாக இருக்கலாம் இறுதி மற்றும் முடிவில்லாத .

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது இறுதி , அது வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால். வரிசை அழைக்கப்படுகிறது முடிவில்லாத , அது எண்ணற்ற உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால்.

உதாரணமாக,

இரண்டு இலக்க இயற்கை எண்களின் வரிசை:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

இறுதி.

பகா எண்களின் வரிசை:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

முடிவில்லாத. ◄

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது அதிகரித்து வருகிறது , அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தையதை விட அதிகமாக இருந்தால்.

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது குறைகிறது , அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தையதை விட குறைவாக இருந்தால்.

உதாரணமாக,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - அதிகரிக்கும் வரிசை;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - வரிசையை குறைத்தல். ◄

எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது தனிமங்கள் குறையாத வரிசை, அல்லது, மாறாக, அதிகரிக்காது, அழைக்கப்படுகிறது சலிப்பான வரிசை .

மோனோடோனிக் வரிசைகள், குறிப்பாக, வரிசைகளை அதிகரிக்கின்றன மற்றும் வரிசைகளைக் குறைக்கின்றன.

எண்கணித முன்னேற்றம்

இப்போது நாம் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை வரையறுக்கலாம். எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு எண் வரிசையின் எளிய சிறப்பு வழக்கு. ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல் தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு வரிசை, அதில் அதே எண் சேர்க்கப்படுகிறது.

அ 1 , அ 2 , அ 3 , . . . , ஒரு n, . . .

ஏதேனும் இருந்தால் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும் இயற்கை எண் n நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

ஒரு n +1 = ஒரு n + ஈ,

எங்கே ஈ - ஒரு குறிப்பிட்ட எண்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அடுத்தடுத்த மற்றும் முந்தைய விதிமுறைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு எப்போதும் நிலையானது:

ஒரு 2 - அ 1 = ஒரு 3 - அ 2 = . . . = ஒரு n +1 - ஒரு n = ஈ.

எண் ஈ அழைக்கப்பட்டது எண் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை வரையறுக்க, அதன் முதல் சொல் மற்றும் வேறுபாட்டைக் குறிப்பிடுவது போதுமானது.

உதாரணமாக,

என்றால் அ 1 = 3, ஈ = 4 , பின்னர் வரிசையின் முதல் ஐந்து சொற்களை பின்வருமாறு காணலாம்:

ஒரு 1 =3,

ஒரு 2 = ஒரு 1 + ஈ = 3 + 4 = 7,

ஒரு 3 = ஒரு 2 + ஈ= 7 + 4 = 11,

ஒரு 4 = ஒரு 3 + ஈ= 11 + 4 = 15,

அ 5 = அ 4 + ஈ= 15 + 4 = 19. ◄

முதல் காலத்துடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு அ 1 மற்றும் வேறுபாடு ஈ அவளை n

ஒரு n = ஒரு 1 + (n- 1)ஈ.

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முப்பதாவது காலத்தைக் கண்டறியவும்

1, 4, 7, 10, . . .

ஒரு 1 =1, ஈ = 3,

ஒரு 30 = ஒரு 1 + (30 - 1)ஈ = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ஒரு n-1 = ஒரு 1 + (n- 2)d,

ஒரு n= ஒரு 1 + (n- 1)d,

ஒரு n +1 = அ 1 + nd,

பின்னர் வெளிப்படையாக

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்.

a, b மற்றும் c எண்கள் சில எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான சொற்களாகும், அவற்றில் ஒன்று மற்ற இரண்டின் எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே.

உதாரணமாக,

ஒரு n = 2n- 7 , ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம்.

மேலே உள்ள கூற்றைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

ஒரு n = 2n- 7,

ஒரு n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

ஒரு n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

எனவே,

◄

என்பதை கவனிக்கவும் n ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல் மூலம் மட்டும் கண்டுபிடிக்க முடியாது அ 1 , ஆனால் எந்த முந்தைய ஒரு கே

ஒரு n = ஒரு கே + (n- கே)ஈ.

உதாரணமாக,

க்கு அ 5 எழுதி வைக்க முடியும்

ஒரு 5 = ஒரு 1 + 4ஈ,

ஒரு 5 = ஒரு 2 + 3ஈ,

ஒரு 5 = ஒரு 3 + 2ஈ,

ஒரு 5 = ஒரு 4 + ஈ. ◄

ஒரு n = ஒரு என்-கே + kd,

ஒரு n = ஒரு n+k - kd,

பின்னர் வெளிப்படையாக

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் பாதி தொகைக்கு சமமான இடைவெளியில் சமமாக இருக்கும்.

கூடுதலாக, எந்த எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தில்

1) அ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (அ 9 + அ 11 )/2;

2) 28 = ஒரு 10 = ஒரு 3 + 7ஈ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ஒரு 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ஏனெனில்

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

எஸ் என்= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ஒரு n,

முதலில் n ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் தீவிர சொற்களின் பாதி கூட்டுத்தொகை மற்றும் சொற்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்:

இங்கிருந்து, குறிப்பாக, நீங்கள் விதிமுறைகளை சுருக்க வேண்டும் என்றால் அது பின்வருமாறு

ஒரு கே, ஒரு கே +1 , . . . , ஒரு n,

முந்தைய சூத்திரம் அதன் கட்டமைப்பைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது:

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தில் 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

எஸ் 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = எஸ் 10 - எஸ் 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

எண்கணித முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டால், அளவுகள் அ 1 , ஒரு n, ஈ, nமற்றும்எஸ் n இரண்டு சூத்திரங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது:

எனவே, இந்த மூன்று அளவுகளின் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால், மற்ற இரண்டு அளவுகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் இணைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு மோனோடோனிக் வரிசை. இந்த வழக்கில்:

• என்றால் ஈ > 0 , பின்னர் அது அதிகரித்து வருகிறது;
• என்றால் ஈ < 0 , பின்னர் அது குறைகிறது;
• என்றால் ஈ = 0 , பின்னர் வரிசை நிலையானதாக இருக்கும்.

வடிவியல் முன்னேற்றம்

வடிவியல் முன்னேற்றம் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது இருந்து தொடங்கி, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படும் முந்தைய ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு வரிசை.

பி 1 , பி 2 , பி 3 , . . . , b n, . . .

எந்த இயற்கை எண்ணாக இருந்தாலும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும் n நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

b n +1 = b n · கே,

எங்கே கே ≠ 0 - ஒரு குறிப்பிட்ட எண்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடுத்த காலத்தின் விகிதம் முந்தைய ஒரு நிலையான எண்ணாகும்:

பி 2 / பி 1 = பி 3 / பி 2 = . . . = b n +1 / b n = கே.

எண் கே அழைக்கப்பட்டது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்.

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை வரையறுக்க, அதன் முதல் சொல் மற்றும் வகுப்பினைக் குறிப்பிடுவது போதுமானது.

உதாரணமாக,

என்றால் பி 1 = 1, கே = -3 , பின்னர் வரிசையின் முதல் ஐந்து சொற்களை பின்வருமாறு காணலாம்:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · கே = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · கே= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · கே= 9 · (-3) = -27,

பி 5 = பி 4 · கே= -27 · (-3) = 81. ◄

பி 1 மற்றும் வகுத்தல் கே அவளை n சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வது சொல்லைக் காணலாம்:

b n = பி 1 · qn -1 .

உதாரணமாக,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஏழாவது காலத்தைக் கண்டறியவும் 1, 2, 4, . . .

பி 1 = 1, கே = 2,

பி 7 = பி 1 · கே 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = பி 1 · qn,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களின் வடிவியல் சராசரிக்கு (விகிதாசார) சமமாக இருக்கும்.

உரையாடலும் உண்மை என்பதால், பின்வரும் கூற்று உள்ளது:

a, b மற்றும் c எண்கள் சில வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான சொற்களாகும், அவற்றில் ஒன்றின் வர்க்கம் மற்ற இரண்டின் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது எண்களில் ஒன்று மற்ற இரண்டின் வடிவியல் சராசரியாக இருக்கும்.

உதாரணமாக,

சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட வரிசை என்பதை நிரூபிப்போம் b n= -3 2 n , ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம். மேலே உள்ள கூற்றைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

எனவே,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

இது விரும்பிய அறிக்கையை நிரூபிக்கிறது. ◄

என்பதை கவனிக்கவும் n ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல் மூலம் மட்டும் காணலாம் பி 1 , ஆனால் எந்த முந்தைய உறுப்பினரும் பி கே , இதற்கு ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்தினால் போதும்

b n = பி கே · qn - கே.

உதாரணமாக,

க்கு பி 5 எழுதி வைக்க முடியும்

b 5 = b 1 · கே 4 ,

b 5 = b 2 · கே 3,

b 5 = b 3 · கே 2,

b 5 = b 4 · கே. ◄

b n = பி கே · qn - கே,

b n = b n - கே · கே கே,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n 2 = b n - கே· b n + கே

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்தச் சொல்லின் சதுரமும், இரண்டாவதாகத் தொடங்கி, இந்த முன்னேற்றத்தின் சம இடைவெளியில் உள்ள சொற்களின் பெருக்கத்திற்குச் சமம்.

கூடுதலாக, எந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும் சமத்துவம் உண்மை:

b m· b n= பி கே· பி எல்,

மீ+ n= கே+ எல்.

உதாரணமாக,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில்

1) பி 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = பி 5 · பி 7 ;

2) 1024 = பி 11 = பி 6 · கே 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) பி 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = பி 4 · பி 8 ;

4) பி 2 · பி 7 = பி 4 · பி 5 , ஏனெனில்

பி 2 · பி 7 = 2 · 64 = 128,

பி 4 · பி 5 = 8 · 16 = 128. ◄

எஸ் என்= பி 1 + பி 2 + பி 3 + . . . + b n

முதலில் n வகுப்புடன் கூடிய வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் கே ≠ 0 சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

மற்றும் எப்போது கே = 1 - சூத்திரத்தின் படி

எஸ் என்= nb 1

நீங்கள் விதிமுறைகளை தொகுக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க

பி கே, பி கே +1 , . . . , b n,

பின்னர் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

உதாரணமாக,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

எஸ் 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = எஸ் 10 - எஸ் 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டால், அளவுகள் பி 1 , b n, கே, nமற்றும் எஸ் என் இரண்டு சூத்திரங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது:

எனவே, இந்த அளவுகளில் ஏதேனும் மூன்றின் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால், மற்ற இரண்டு அளவுகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக இணைக்கப்படுகின்றன.

முதல் காலத்துடன் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு பி 1 மற்றும் வகுத்தல் கே பின்வரும் நடக்கும் மோனோடோனிசிட்டியின் பண்புகள் :

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் முன்னேற்றம் அதிகரிக்கிறது:

பி 1 > 0 மற்றும் கே> 1;

பி 1 < 0 மற்றும் 0 < கே< 1;

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் முன்னேற்றம் குறைகிறது:

பி 1 > 0 மற்றும் 0 < கே< 1;

பி 1 < 0 மற்றும் கே> 1.

என்றால் கே< 0 , பின்னர் வடிவியல் முன்னேற்றம் மாறி மாறி வருகிறது: ஒற்றைப்படை எண்களைக் கொண்ட அதன் சொற்கள் அதன் முதல் காலத்தின் அதே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இரட்டை எண்களைக் கொண்ட சொற்கள் எதிர் அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு மாற்று வடிவியல் முன்னேற்றம் மோனோடோனிக் அல்ல என்பது தெளிவாகிறது.

முதல் தயாரிப்பு n வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

உதாரணமாக,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைகிறது

வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைகிறது எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் வகுத்தல் மாடுலஸ் குறைவாக உள்ளது 1 , அதாவது

|கே| < 1 .

எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம் குறையும் வரிசையாக இருக்காது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இது சந்தர்ப்பத்திற்கு பொருந்தும்

1 < கே< 0 .

அத்தகைய வகுப்பினருடன், வரிசை மாறி மாறி வருகிறது. உதாரணமாக,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை முதல் தொகையின் தொகை வரம்பில்லாமல் அணுகும் எண்ணுக்கு பெயரிடவும் n எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் n . இந்த எண் எப்போதும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

உதாரணமாக,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்களுக்கு இடையிலான உறவு

எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்கள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இரண்டு உதாரணங்களை மட்டும் பார்ப்போம்.

அ 1 , அ 2 , அ 3 , . . . ஈ , அது

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . பி டி .

உதாரணமாக,

1, 3, 5, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் 2 மற்றும்

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - வகுப்பினருடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் 7 2 . ◄

பி 1 , பி 2 , பி 3 , . . . - வகுப்பினருடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் கே , அது

பதிவு a b 1, பதிவு a b 2, பதிவு a b 3, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் பதிவு aகே .

உதாரணமாக,

2, 12, 72, . . . - வகுப்பினருடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் 6 மற்றும்

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் lg 6 . ◄

இயற்கணிதம் படிக்கும் போது மேல்நிலைப் பள்ளி(9 ஆம் வகுப்பு) முக்கியமான தலைப்புகளில் ஒன்று எண் வரிசைகளின் ஆய்வு ஆகும், இதில் முன்னேற்றங்கள் அடங்கும் - வடிவியல் மற்றும் எண்கணிதம். இந்த கட்டுரையில் நாம் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் மற்றும் தீர்வுகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எண்கணித முன்னேற்றம் என்றால் என்ன?

இதைப் புரிந்து கொள்ள, கேள்விக்குரிய முன்னேற்றத்தை வரையறுக்க வேண்டியது அவசியம், அத்துடன் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பின்னர் பயன்படுத்தப்படும் அடிப்படை சூத்திரங்களை வழங்கவும்.

சில இயற்கணித முன்னேற்றத்தில் 1 வது சொல் 6 க்கு சமம் என்றும், 7 வது சொல் 18 க்கு சமம் என்றும் அறியப்படுகிறது. வேறுபாட்டைக் கண்டறிந்து இந்த வரிசையை 7 வது காலத்திற்கு மீட்டமைக்க வேண்டியது அவசியம்.

அறியப்படாத சொல்லைத் தீர்மானிக்க சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: a n = (n - 1) * d + a 1 . நிபந்தனையிலிருந்து அறியப்பட்ட தரவை அதில் மாற்றுவோம், அதாவது எண்கள் a 1 மற்றும் a 7, எங்களிடம் உள்ளது: 18 = 6 + 6 * d. இந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து நீங்கள் வித்தியாசத்தை எளிதாகக் கணக்கிடலாம்: d = (18 - 6) /6 = 2. எனவே, சிக்கலின் முதல் பகுதிக்கு நாங்கள் பதிலளித்துள்ளோம்.

வரிசையை 7 வது வார்த்தைக்கு மீட்டமைக்க, நீங்கள் ஒரு இயற்கணித முன்னேற்றத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அதாவது, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, மற்றும் பல. இதன் விளைவாக, முழு வரிசையையும் மீட்டெடுக்கிறோம்: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3: ஒரு முன்னேற்றத்தை வரைதல்

பிரச்சனையை இன்னும் சிக்கலாக்குவோம். இப்போது ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்விக்கு நாம் பதிலளிக்க வேண்டும். பின்வரும் உதாரணத்தை கொடுக்கலாம்: இரண்டு எண்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, உதாரணமாக - 4 மற்றும் 5. இயற்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குவது அவசியம், இதனால் மேலும் மூன்று சொற்கள் இவைகளுக்கு இடையில் வைக்கப்படும்.

இந்த சிக்கலைத் தீர்க்கத் தொடங்குவதற்கு முன், எதிர்கால முன்னேற்றத்தில் கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் எந்த இடத்தைப் பிடிக்கும் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். அவற்றுக்கிடையே இன்னும் மூன்று சொற்கள் இருப்பதால், ஒரு 1 = -4 மற்றும் 5 = 5. இதை நிறுவிய பின், முந்தையதைப் போன்ற சிக்கலுக்குச் செல்கிறோம். மீண்டும், n வது முறையாக நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், நாம் பெறுகிறோம்: a 5 = a 1 + 4 * d. இருந்து: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. நாம் இங்கு பெறுவது வேறுபாட்டின் முழு எண் மதிப்பு அல்ல, ஆனால் அது ஒரு விகிதமுறு எண், எனவே இயற்கணித முன்னேற்றத்திற்கான சூத்திரங்கள் அப்படியே இருக்கும்.

இப்போது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வித்தியாசத்தை 1 இல் சேர்த்து, முன்னேற்றத்தின் விடுபட்ட விதிமுறைகளை மீட்டெடுப்போம். நாம் பெறுகிறோம்: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, இது இணைந்தது பிரச்சனையின் நிலைமைகளுடன்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 4: முன்னேற்றத்தின் முதல் நிலை

தீர்வுகளுடன் எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கான உதாரணங்களைத் தொடர்வோம். முந்தைய அனைத்து சிக்கல்களிலும், இயற்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் எண் அறியப்பட்டது. இப்போது வேறு வகையான சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்: இரண்டு எண்களைக் கொடுக்கலாம், இதில் 15 = 50 மற்றும் 43 = 37. இந்த வரிசை எந்த எண்ணில் தொடங்குகிறது என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும்.

இதுவரை பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரங்கள் ஒரு 1 மற்றும் d பற்றிய அறிவைக் கருதுகின்றன. சிக்கல் அறிக்கையில், இந்த எண்களைப் பற்றி எதுவும் தெரியவில்லை. இருந்தபோதிலும், ஒவ்வொரு வார்த்தையின் வெளிப்பாடுகளையும் எழுதுவோம்: எந்தத் தகவல் கிடைக்கிறது: a 15 = a 1 + 14 * d மற்றும் a 43 = a 1 + 42 * d. அறியப்படாத 2 அளவுகள் (a 1 மற்றும் d) உள்ள இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெற்றோம். இதன் பொருள் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதில் சிக்கல் குறைக்கப்படுகிறது.

இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான எளிதான வழி, ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் 1 ஐ வெளிப்படுத்துவதும், அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை ஒப்பிடுவதும் ஆகும். முதல் சமன்பாடு: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; இரண்டாவது சமன்பாடு: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. இந்த வெளிப்பாடுகளை சமன் செய்தால், நாம் பெறுகிறோம்: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, எங்கிருந்து வேறுபாடு d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (3 தசம இடங்கள் மட்டுமே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன).

d ஐ அறிந்தால், மேலே உள்ள 2 வெளிப்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றை 1க்கு பயன்படுத்தலாம். உதாரணமாக, முதலில்: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

பெறப்பட்ட முடிவைப் பற்றி உங்களுக்கு சந்தேகம் இருந்தால், அதை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, முன்னேற்றத்தின் 43 வது காலத்தை தீர்மானிக்கவும், இது நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. நாம் பெறுகிறோம்: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. சிறிய பிழையானது கணக்கீடுகளில் ஆயிரத்தில் ஒரு பகுதிக்கு ரவுண்டிங் பயன்படுத்தப்பட்டதன் காரணமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 5: தொகை

இப்போது எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான தீர்வுகளுடன் பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

ஒரு எண்ணியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்படட்டும் பின்வரும் வகை: 1, 2, 3, 4, ...,. இந்த 100 எண்களின் கூட்டுத்தொகையை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

கணினி தொழில்நுட்பத்தின் வளர்ச்சிக்கு நன்றி, இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியும், அதாவது, அனைத்து எண்களையும் வரிசையாகச் சேர்க்கவும், ஒரு நபர் Enter விசையை அழுத்தியவுடன் கணினி செய்யும். இருப்பினும், வழங்கப்பட்ட எண்களின் தொடர் இயற்கணித முன்னேற்றம் என்பதையும், அதன் வேறுபாடு 1 க்கு சமமாக இருப்பதையும் நீங்கள் கவனத்தில் கொண்டால், சிக்கலை மனரீதியாக தீர்க்க முடியும். தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம்: S n = n * a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

இந்த சிக்கல் "காசியன்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது கவனிக்கத்தக்கது ஆரம்ப XVIIIநூற்றாண்டு, பிரபலமான ஜெர்மன், இன்னும் 10 வயது இருக்கும் போது, ​​ஒரு சில நொடிகளில் அவரது தலையில் அதை தீர்க்க முடிந்தது. இயற்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம் சிறுவனுக்குத் தெரியாது, ஆனால் வரிசையின் முனைகளில் உள்ள எண்களை ஜோடிகளாகச் சேர்த்தால், நீங்கள் எப்போதும் ஒரே முடிவைப் பெறுவீர்கள், அதாவது 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., மற்றும் இந்த தொகைகள் சரியாக 50 (100/2) இருக்கும் என்பதால், சரியான பதிலைப் பெற, 50 ஐ 101 ஆல் பெருக்க போதுமானது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 6: n முதல் m வரையிலான சொற்களின் கூட்டுத்தொகை

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையின் மற்றொரு பொதுவான உதாரணம் பின்வருமாறு: எண்களின் வரிசையைக் கொடுத்தால்: 3, 7, 11, 15, ..., 8 முதல் 14 வரையிலான அதன் சொற்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். .

பிரச்சனை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கப்படுகிறது. அவற்றில் முதலாவது 8 முதல் 14 வரையிலான அறியப்படாத சொற்களைக் கண்டறிந்து, பின்னர் அவற்றை வரிசையாக தொகுக்க வேண்டும். சில விதிமுறைகள் இருப்பதால், இந்த முறை மிகவும் உழைப்பு-தீவிரமானது அல்ல. ஆயினும்கூட, இரண்டாவது முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சிக்கலை தீர்க்க முன்மொழியப்பட்டது, இது மிகவும் உலகளாவியது.

n > m என்பது முழு எண்களாக இருக்கும் m மற்றும் n ஆகிய சொற்களுக்கு இடையிலான இயற்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவதே யோசனை. இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கும், கூட்டுத்தொகைக்கு இரண்டு வெளிப்பாடுகளை எழுதுகிறோம்:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m என்பதால், 2வது தொகையானது முதல் தொகையை உள்ளடக்கியது என்பது தெளிவாகிறது. கடைசி முடிவு என்னவென்றால், இந்தத் தொகைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை எடுத்து, அதனுடன் a m என்ற சொல்லைச் சேர்த்தால் (வேறுபாடு எடுக்கும் விஷயத்தில், அது S n என்ற தொகையிலிருந்து கழிக்கப்படும்), சிக்கலுக்குத் தேவையான பதிலைப் பெறுவோம். எங்களிடம் உள்ளது: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). இந்த வெளிப்பாட்டில் ஒரு n மற்றும் m க்கான சூத்திரங்களை மாற்றுவது அவசியம். பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம் சற்றே சிக்கலானது, இருப்பினும், S mn கூட்டுத்தொகை n, m, a 1 மற்றும் d ஐ மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. எங்கள் விஷயத்தில், a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. இந்த எண்களை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: S mn = 301.

மேலே உள்ள தீர்வுகளில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், அனைத்து சிக்கல்களும் n வது காலத்திற்கான வெளிப்பாடு மற்றும் முதல் சொற்களின் தொகுப்பின் கூட்டுக்கான சூத்திரத்தின் அறிவை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. இந்த சிக்கல்களில் ஏதேனும் ஒன்றைத் தீர்க்கத் தொடங்குவதற்கு முன், நீங்கள் நிலைமையை கவனமாகப் படிக்கவும், நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டியதை தெளிவாகப் புரிந்து கொள்ளவும், அதன் பிறகு மட்டுமே தீர்வுக்குத் தொடரவும் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.

மற்றொரு உதவிக்குறிப்பு எளிமைக்காக பாடுபடுவது, அதாவது, சிக்கலான கணிதக் கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தாமல் ஒரு கேள்விக்கு நீங்கள் பதிலளிக்க முடிந்தால், நீங்கள் அதைச் செய்ய வேண்டும், ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் தவறு செய்வதற்கான வாய்ப்பு குறைவாக உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, தீர்வு எண். 6 உடன் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எடுத்துக்காட்டில், S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, மற்றும் உடைக்க பொதுவான பணிதனித்தனி துணைப் பணிகளாக (இந்த வழக்கில், முதலில் a n மற்றும் a m என்ற சொற்களைக் கண்டறியவும்).

பெறப்பட்ட முடிவைப் பற்றி உங்களுக்கு சந்தேகம் இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட சில எடுத்துக்காட்டுகளில் செய்யப்பட்டதைப் போல அதைச் சரிபார்க்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. எண்கணித முன்னேற்றத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம். நீங்கள் அதை கண்டுபிடித்தால், அது அவ்வளவு கடினம் அல்ல.