தேர்வு பணிகளில் டெரிவேடிவ்களின் பயன்பாடு. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழித்தோன்றலின் பயன்பாடு விரைவில் வருகிறது! ஆனால் தயார் செய்ய இன்னும் நேரம் இருக்கிறது

நுழைவு நிலை

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். விரிவான வழிகாட்டி (2019)

ஒரு மலைப்பாங்கான பகுதி வழியாக செல்லும் நேரான சாலையை கற்பனை செய்வோம். அதாவது, அது மேலும் கீழும் செல்கிறது, ஆனால் வலது அல்லது இடதுபுறம் திரும்பாது. அச்சு சாலையில் கிடைமட்டமாகவும் செங்குத்தாகவும் இயக்கப்பட்டால், சாலைக் கோடு சில தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கும்:

அச்சு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு பூஜ்ஜிய உயரம்; வாழ்க்கையில் நாம் கடல் மட்டத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

அத்தகைய பாதையில் நாம் முன்னேறும்போது, ​​​​நாமும் மேலே அல்லது கீழே செல்கிறோம். நாம் மேலும் கூறலாம்: வாதம் மாறும்போது (அப்சிஸ்ஸா அச்சில் இயக்கம்), செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறுகிறது (ஆர்டினேட் அச்சில் இயக்கம்). இப்போது நம் சாலையின் "செங்குத்தான தன்மையை" எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்று யோசிப்போம்? இது என்ன வகையான மதிப்பாக இருக்க முடியும்? இது மிகவும் எளிது: ஒரு குறிப்பிட்ட தூரம் முன்னோக்கி நகரும் போது உயரம் எவ்வளவு மாறும். உண்மையில், சாலையின் வெவ்வேறு பிரிவுகளில், ஒரு கிலோமீட்டர் முன்னோக்கி (x- அச்சில்) நகர்ந்தால், கடல் மட்டத்துடன் (y- அச்சில்) ஒப்பிடும்போது வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான மீட்டர்கள் உயரும் அல்லது விழும்.

முன்னேற்றத்தைக் குறிப்போம் ("டெல்டா x"ஐப் படிக்கவும்).

கிரேக்க எழுத்து (டெல்டா) பொதுவாக கணிதத்தில் "மாற்றம்" என்று பொருள்படும் முன்னொட்டாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதாவது - இது அளவு மாற்றம், - ஒரு மாற்றம்; பிறகு அது என்ன? அது சரி, அளவு மாற்றம்.

முக்கியமானது: ஒரு வெளிப்பாடு என்பது ஒரு முழு, ஒரு மாறி. "டெல்டா" ஐ "x" அல்லது வேறு எந்த எழுத்தில் இருந்து பிரிக்க வேண்டாம்!

அதாவது, உதாரணமாக, .

எனவே, நாங்கள் கிடைமட்டமாக முன்னேறிவிட்டோம். செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் சாலையின் கோட்டை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், உயர்வை எவ்வாறு குறிப்பிடுவது? நிச்சயமாக, . அதாவது, நாம் முன்னேறும்போது, ​​​​மேலும் உயருகிறோம்.

மதிப்பைக் கணக்கிடுவது எளிது: ஆரம்பத்தில் நாம் உயரத்தில் இருந்திருந்தால், நகர்ந்த பிறகு நாம் உயரத்தில் இருப்பதைக் கண்டோம். தொடக்கப் புள்ளியை விட முடிவுப் புள்ளி குறைவாக இருந்தால், அது எதிர்மறையாக இருக்கும் - இதன் பொருள் நாம் ஏறவில்லை, ஆனால் இறங்குகிறோம்.

"செங்குத்தான நிலைக்கு" திரும்புவோம்: இது ஒரு யூனிட் தூரத்தை முன்னோக்கி நகர்த்தும்போது உயரம் எவ்வளவு (செங்குத்தாக) அதிகரிக்கிறது என்பதைக் காட்டும் மதிப்பு:

இப்போது ஒரு மலையின் உச்சியைப் பார்ப்போம். உச்சிமாநாட்டிற்கு அரை கிலோமீட்டர் முன்பு பிரிவின் தொடக்கத்தையும், அதற்குப் பிறகு அரை கிலோமீட்டர் முடிவையும் எடுத்துக் கொண்டால், உயரம் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருப்பதைக் காணலாம்.

அதாவது, எங்கள் தர்க்கத்தின் படி, இங்கே சாய்வு கிட்டத்தட்ட பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று மாறிவிடும், இது தெளிவாக உண்மை இல்லை. ஒரு கிலோமீட்டர் தூரத்தில் நிறைய மாறலாம். செங்குத்தான தன்மையின் போதுமான மற்றும் துல்லியமான மதிப்பீட்டிற்கு சிறிய பகுதிகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு மீட்டரை நகர்த்தும்போது உயரத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தை அளந்தால், முடிவு மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும். ஆனால் இந்த துல்லியம் கூட நமக்கு போதுமானதாக இருக்காது - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, சாலையின் நடுவில் ஒரு கம்பம் இருந்தால், அதை நாம் கடந்து செல்லலாம். எந்த தூரத்தை நாம் தேர்வு செய்ய வேண்டும்? சென்டிமீட்டரா? மில்லிமீட்டரா? குறைவானது அதிகம்!

IN உண்மையான வாழ்க்கைஅருகிலுள்ள மில்லிமீட்டருக்கு தூரத்தை அளவிடுவது போதுமானதை விட அதிகம். ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் எப்போதும் முழுமைக்காக பாடுபடுகிறார்கள். எனவே, கருத்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது எல்லையற்ற, அதாவது, நாம் பெயரிடக்கூடிய எந்த எண்ணையும் விட முழுமையான மதிப்பு குறைவாக உள்ளது. உதாரணமாக, நீங்கள் சொல்கிறீர்கள்: ஒரு டிரில்லியன்! எவ்வளவு குறைவு? நீங்கள் இந்த எண்ணை வகுத்தால் - அது இன்னும் குறைவாக இருக்கும். மற்றும் பல. ஒரு அளவு எண்ணற்றது என்று எழுத விரும்பினால், நாம் இப்படி எழுதுகிறோம்: ("x என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு முனைகிறது" என்று படிக்கிறோம்). புரிந்து கொள்வது மிகவும் அவசியம் இந்த எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்று!ஆனால் அதற்கு மிக அருகில். இதன் மூலம் நீங்கள் பிரிக்கலாம் என்று அர்த்தம்.

முடிவிலிக்கு எதிரான கருத்து எல்லையற்ற பெரியது (). நீங்கள் ஏற்றத்தாழ்வுகளில் பணிபுரியும் போது நீங்கள் ஏற்கனவே அதைக் கண்டிருக்கலாம்: இந்த எண் நீங்கள் நினைக்கும் எந்த எண்ணையும் விட அதிகமாக உள்ளது. நீங்கள் மிகப்பெரிய எண்ணைக் கொண்டு வந்தால், அதை இரண்டால் பெருக்கினால், இன்னும் பெரிய எண்ணைப் பெறுவீர்கள். மேலும் முடிவிலி நடப்பதை விட பெரியது. உண்மையில், எல்லையற்ற பெரியது மற்றும் எல்லையற்ற சிறியது ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறானது, அதாவது at, மற்றும் நேர்மாறாக: at.

இப்போது நம் பாதைக்கு வருவோம். இலட்சியமாக கணக்கிடப்பட்ட சாய்வு என்பது பாதையின் எல்லையற்ற பகுதிக்கு கணக்கிடப்பட்ட சாய்வாகும், அதாவது:

எல்லையற்ற இடப்பெயர்ச்சியுடன், உயரத்தில் ஏற்படும் மாற்றமும் எல்லையற்றதாக இருக்கும் என்பதை நான் கவனிக்கிறேன். ஆனால் இன்ஃபினிட்டிசிமல் என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் அல்ல என்பதை நினைவூட்டுகிறேன். நீங்கள் எண்ணற்ற எண்களை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்தால், நீங்கள் முற்றிலும் சாதாரண எண்ணைப் பெறலாம், எடுத்துக்காட்டாக, . அதாவது, ஒரு சிறிய மதிப்பு மற்றொன்றை விட சரியாக மடங்கு பெரியதாக இருக்கும்.

இதெல்லாம் எதற்கு? சாலை, செங்குத்தான... நாங்கள் கார் பேரணியில் செல்லவில்லை, ஆனால் நாங்கள் கணிதம் கற்பிக்கிறோம். மேலும் கணிதத்தில் எல்லாமே ஒரே மாதிரியானவை, வித்தியாசமாக மட்டுமே அழைக்கப்படுகிறது.

வழித்தோன்றல் கருத்து

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதமாகும்.

அதிகரித்துகணிதத்தில் மாற்றம் என்பார்கள். வாதம் () அச்சில் நகரும்போது எந்த அளவிற்கு மாறுகிறது என்பது அழைக்கப்படுகிறது வாதம் அதிகரிப்புமற்றும் தொலைவில் அச்சில் முன்னோக்கி நகரும் போது செயல்பாடு (உயரம்) எவ்வளவு மாறிவிட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகரிப்புமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது எப்போது என்பதற்கான விகிதமாகும். செயல்பாட்டின் அதே எழுத்துடன், மேல் வலதுபுறத்தில் ஒரு பிரைமுடன் மட்டுமே வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறோம்: அல்லது எளிமையாக. எனவே, இந்த குறிப்புகளைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தை எழுதுவோம்:

சாலையுடனான ஒப்புமையைப் போலவே, இங்கே செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, ​​வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியுமா? நிச்சயமாக. உதாரணமாக, நாம் ஒரு தட்டையான கிடைமட்ட சாலையில் ஓட்டினால், செங்குத்தானது பூஜ்ஜியமாகும். அது உண்மைதான், உயரம் மாறாது. இது வழித்தோன்றலுடன் உள்ளது: நிலையான செயல்பாட்டின் (நிலையான) வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

அத்தகைய செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு எதற்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

மலை உச்சி உதாரணத்தை நினைவில் கொள்வோம். பிரிவின் முனைகளை ஏற்பாடு செய்வது சாத்தியம் என்று மாறியது வெவ்வேறு பக்கங்கள்மேலே இருந்து, முனைகளில் உள்ள உயரம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதாவது, பிரிவு அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்:

ஆனால் பெரிய பகுதிகள் துல்லியமற்ற அளவீட்டின் அறிகுறியாகும். நமது பிரிவை தனக்கு இணையாக உயர்த்துவோம், பிறகு அதன் நீளம் குறையும்.

இறுதியில், நாம் எல்லையின்றி மேலே இருக்கும் போது, ​​பிரிவின் நீளம் எல்லையற்றதாக மாறும். ஆனால் அதே நேரத்தில், அது அச்சுக்கு இணையாக இருந்தது, அதாவது, அதன் முனைகளில் உயர வேறுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (அது முனையவில்லை, ஆனால் சமமாக உள்ளது). எனவே வழித்தோன்றல்

இதை இவ்வாறு புரிந்து கொள்ளலாம்: நாம் மிக உச்சியில் நிற்கும்போது, ​​இடது அல்லது வலது பக்கம் ஒரு சிறிய மாற்றம் நமது உயரத்தை அலட்சியமாக மாற்றுகிறது.

முற்றிலும் இயற்கணித விளக்கமும் உள்ளது: உச்சியின் இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, வலதுபுறம் குறைகிறது. நாம் முன்பு கண்டறிந்தபடி, ஒரு செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, ​​வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும். ஆனால் அது தாவல்கள் இல்லாமல் சீராக மாறுகிறது (சாலை அதன் சாய்வை எங்கும் கூர்மையாக மாற்றாது). எனவே, எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு இடையில் இருக்க வேண்டும். செயல்பாடு அதிகரிக்காமலும் குறையாமலும் இருக்கும் - உச்சியில்.

தொட்டிக்கும் இது பொருந்தும் (இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு குறைந்து வலதுபுறம் அதிகரிக்கும் பகுதி):

அதிகரிப்பு பற்றி இன்னும் கொஞ்சம்.

எனவே நாம் வாதத்தை பெரிதாக்குகிறோம். எந்த மதிப்பில் இருந்து மாறுகிறோம்? அது (வாதம்) இப்போது என்ன ஆனது? நாம் எந்த புள்ளியையும் தேர்வு செய்யலாம், இப்போது அதிலிருந்து நடனமாடுவோம்.

ஒரு ஆயத்துடன் ஒரு புள்ளியைக் கவனியுங்கள். அதில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு சமம். பின்னர் அதே அதிகரிப்பு செய்கிறோம்: ஆயத்தொகையை அதிகரிக்கிறோம். இப்போது என்ன வாதம்? மிகவும் எளிதானது: . இப்போது செயல்பாட்டின் மதிப்பு என்ன? வாதம் செல்லும் இடத்தில், செயல்பாடும் செல்கிறது: . செயல்பாடு அதிகரிப்பு பற்றி என்ன? புதிதாக எதுவும் இல்லை: இது இன்னும் செயல்பாடு மாறிய அளவு:

அதிகரிப்புகளைக் கண்டறிய பயிற்சி செய்யுங்கள்:

1. வாதத்தின் அதிகரிப்பு சமமாக இருக்கும்போது ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்.
2. ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டிற்கும் இதுவே செல்கிறது.

தீர்வுகள்:

ஒரே வாத அதிகரிப்புடன் வெவ்வேறு புள்ளிகளில், செயல்பாடு அதிகரிப்பு வேறுபட்டதாக இருக்கும். இதன் பொருள் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள வழித்தோன்றல் வேறுபட்டது (இதை நாங்கள் ஆரம்பத்தில் விவாதித்தோம் - சாலையின் செங்குத்தானது வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வேறுபட்டது). எனவே, நாம் ஒரு வழித்தோன்றலை எழுதும்போது, ​​எந்த புள்ளியில் குறிப்பிட வேண்டும்:

சக்தி செயல்பாடு.

சக்தி செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு ஆகும், அங்கு வாதம் ஓரளவுக்கு (தர்க்கரீதியானது, சரியா?).

மேலும் - எந்த அளவிற்கு: .

எளிமையான வழக்கு- இது அடுக்கும் போது:

ஒரு கட்டத்தில் அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். வழித்தோன்றலின் வரையறையை நினைவு கூர்வோம்:

எனவே வாதம் மாறுகிறது. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு என்ன?

அதிகரிப்பு இது. ஆனால் எந்த புள்ளியிலும் ஒரு செயல்பாடு அதன் வாதத்திற்கு சமம். அதனால்தான்:

வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

இதன் வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

b) இப்போது கவனியுங்கள் இருபடி செயல்பாடு (): .

இப்போது அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள் அதிகரிப்பின் மதிப்பு புறக்கணிக்கப்படலாம், ஏனெனில் இது எண்ணற்றது, எனவே மற்ற சொல்லின் பின்னணிக்கு எதிராக முக்கியமற்றது:

எனவே, நாங்கள் மற்றொரு விதியைக் கொண்டு வந்தோம்:

c) நாங்கள் தருக்க தொடரை தொடர்கிறோம்: .

இந்த வெளிப்பாட்டை வெவ்வேறு வழிகளில் எளிமைப்படுத்தலாம்: தொகையின் கனசதுரத்தின் சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முதல் அடைப்புக்குறியைத் திறக்கவும் அல்லது க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி முழு வெளிப்பாட்டையும் காரணியாக்கவும். பரிந்துரைக்கப்பட்ட முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி அதை நீங்களே செய்ய முயற்சிக்கவும்.

எனவே, நான் பின்வருவனவற்றைப் பெற்றேன்:

மீண்டும் அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள், பின்வரும் அனைத்து விதிமுறைகளையும் நாம் புறக்கணிக்கலாம்:

நாம் பெறுகிறோம்: .

ஈ) பெரிய அதிகாரங்களுக்கு இதே போன்ற விதிகளைப் பெறலாம்:

e) ஒரு முழு எண்ணாகக் கூட இல்லாமல், தன்னிச்சையான அடுக்குடன் கூடிய ஆற்றல் செயல்பாட்டிற்கு இந்த விதியை பொதுமைப்படுத்தலாம்:

விதியை வார்த்தைகளில் உருவாக்கலாம்: "பட்டம் ஒரு குணகமாக முன்னோக்கி கொண்டு வரப்படுகிறது, பின்னர் குறைக்கப்படுகிறது."

இந்த விதியை நாங்கள் பின்னர் நிரூபிப்போம் (கிட்டத்தட்ட முடிவில்). இப்போது சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

1. (இரண்டு வழிகளில்: சூத்திரம் மற்றும் வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல் - செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம்);

1. . நம்புங்கள் அல்லது இல்லை, இது ஒரு சக்தி செயல்பாடு. உங்களுக்கு இதுபோன்ற கேள்விகள் இருந்தால் “இது எப்படி? பட்டம் எங்கே?”, தலைப்பை நினைவில் கொள்க “”!
   ஆம், ஆம், மூலமும் ஒரு பட்டம், பின்னம் மட்டுமே: .
   எனவே நம்முடையது சதுர வேர்- இது ஒரு குறிகாட்டியுடன் கூடிய பட்டம் மட்டுமே:
   .
   சமீபத்தில் கற்றுக்கொண்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம்:

   இந்த கட்டத்தில் அது மீண்டும் தெளிவில்லாமல் இருந்தால், "" தலைப்பை மீண்டும் செய்யவும்!!! (எதிர்மறை அடுக்குடன் ஒரு டிகிரி)

2. . இப்போது அடுக்கு:

   இப்போது வரையறை மூலம் (நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா?):
   ;
   .
   இப்போது, ​​​​வழக்கமாக, நாங்கள் கொண்டிருக்கும் சொல்லை புறக்கணிக்கிறோம்:
   .

3. . முந்தைய வழக்குகளின் சேர்க்கை: .

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்.

இங்கே நாம் உயர் கணிதத்தில் இருந்து ஒரு உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம்:

வெளிப்பாட்டுடன்.

இன்ஸ்டிட்யூட்டின் முதல் ஆண்டில் நீங்கள் ஆதாரத்தைக் கற்றுக்கொள்வீர்கள் (மேலும் அங்கு செல்ல, நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற வேண்டும்). இப்போது நான் அதை வரைபடமாகக் காட்டுகிறேன்:

செயல்பாடு இல்லாதபோது - வரைபடத்தின் புள்ளி வெட்டப்பட்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். ஆனால் மதிப்புக்கு நெருக்கமாக, செயல்பாடு இதுவே "நோக்கம்" ஆகும்.

கூடுதலாக, கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி இந்த விதியை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம். ஆம், ஆம், வெட்கப்பட வேண்டாம், கால்குலேட்டரை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், நாங்கள் இன்னும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இல்லை.

எனவே, முயற்சிப்போம்: ;

உங்கள் கால்குலேட்டரை ரேடியன்ஸ் பயன்முறைக்கு மாற்ற மறக்காதீர்கள்!

முதலியன விகிதத்தின் மதிப்பு சிறியதாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

அ) செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். வழக்கம் போல், அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

சைன்களின் வித்தியாசத்தை ஒரு தயாரிப்பாக மாற்றுவோம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ("" தலைப்பை நினைவில் கொள்க): .

இப்போது வழித்தோன்றல்:

மாற்றீடு செய்வோம்: . பிறகு எல்லையற்ற அற்பத்திற்கு அதுவும் எல்லையற்றது: . இதற்கான வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கிறது:

இப்போது நாம் அதை வெளிப்பாடுடன் நினைவில் கொள்கிறோம். மேலும், எல்லையற்றதாக இருந்தால் என்ன சிறிய அளவுதொகையில் (அதாவது மணிக்கு) புறக்கணிக்கப்படலாம்.

எனவே, பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்: சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம்:

இவை அடிப்படை ("அட்டவணை") வழித்தோன்றல்கள். இங்கே அவை ஒரு பட்டியலில் உள்ளன:

பின்னர் அவற்றில் இன்னும் சிலவற்றைச் சேர்ப்போம், ஆனால் இவை மிக முக்கியமானவை, ஏனெனில் அவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பயிற்சி:

1. ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்;
2. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள்:

1. முதலில், உள்ள வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் பொதுவான பார்வை, பின்னர் அதன் மதிப்பை மாற்றவும்:
   ;
   .
2. இங்கே நாம் ஒரு சக்தி செயல்பாடு போன்ற ஒன்று உள்ளது. அவளை அழைத்து வர முயற்சிப்போம்
   இயல்பான பார்வை:
   .
   அருமை, இப்போது நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
   .
   .
3. . ஈஈஈஈ.....என்ன இது????

சரி, நீங்கள் சொல்வது சரிதான், அத்தகைய வழித்தோன்றல்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது எங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை. இங்கே நாம் பல வகையான செயல்பாடுகளின் கலவையைக் கொண்டுள்ளோம். அவர்களுடன் பணிபுரிய, நீங்கள் இன்னும் சில விதிகளைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்:

அடுக்கு மற்றும் இயற்கை மடக்கை.

கணிதத்தில் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது, அதன் வழித்தோன்றல் எந்த மதிப்பிற்கும் அதே நேரத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும். இது "அடுக்கு" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ஒரு அதிவேக செயல்பாடு ஆகும்

இந்த செயல்பாட்டின் அடிப்படை ஒரு நிலையானது - இது எல்லையற்றது தசம, அதாவது, ஒரு விகிதமுறா எண் (அதாவது). இது "ஆய்லர் எண்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதனால்தான் இது ஒரு கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

எனவே, விதி:

நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது.

சரி, நாம் வெகுதூரம் செல்ல வேண்டாம், உடனடியாக தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். அதிவேக செயல்பாட்டின் தலைகீழ் செயல்பாடு எது? மடக்கை:

எங்கள் விஷயத்தில், அடிப்படை எண்:

அத்தகைய மடக்கை (அதாவது, அடித்தளத்துடன் கூடிய மடக்கை) "இயற்கை" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதற்கு ஒரு சிறப்பு குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்: அதற்கு பதிலாக எழுதுகிறோம்.

அது எதற்கு சமம்? நிச்சயமாக.

இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றலும் மிகவும் எளிமையானது:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
2. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்ன?

பதில்கள்: அதிவேக மற்றும் இயற்கை மடக்கை ஒரு வழித்தோன்றல் கண்ணோட்டத்தில் தனித்துவமான எளிமையான செயல்பாடுகள். வேறு எந்த அடிப்படையையும் கொண்ட அதிவேக மற்றும் மடக்கைச் சார்புகள் வேறுபட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கும், அதை நாம் வேறுபாட்டின் விதிகளுக்குப் பிறகு பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

வேறுபாடு விதிகள்

என்ன விதிகள்? மீண்டும் ஒரு புதிய சொல்?!...

வேறுபாடுவழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறையாகும்.

அவ்வளவுதான். இந்த செயல்முறையை ஒரே வார்த்தையில் வேறு என்ன அழைக்கலாம்? வழித்தோன்றல் அல்ல... ஒரு செயல்பாட்டின் அதே அதிகரிப்பு என்று கணிதவியலாளர்கள் வேறுபாட்டை அழைக்கின்றனர். இந்த சொல் லத்தீன் வேறுபாடு - வேறுபாடு இருந்து வந்தது. இங்கே.

இந்த விதிகள் அனைத்தையும் பெறும்போது, ​​நாம் இரண்டு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவோம், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும். அவற்றின் அதிகரிப்புக்கான சூத்திரங்களும் நமக்குத் தேவைப்படும்:

மொத்தம் 5 விதிகள் உள்ளன.

மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது.

என்றால் - சில நிலையான எண் (நிலையான), பின்னர்.

வெளிப்படையாக, இந்த விதி வேறுபாட்டிற்கும் வேலை செய்கிறது: .

நிரூபிப்போம். அது இருக்கட்டும், அல்லது எளிமையாக இருக்கட்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

1. ஒரு கட்டத்தில்;
2. ஒரு கட்டத்தில்;
3. ஒரு கட்டத்தில்;
4. புள்ளியில்.

தீர்வுகள்:

1. (இதிலிருந்து வழித்தோன்றல் எல்லா புள்ளிகளிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் நேரியல் செயல்பாடு, நினைவிருக்கிறதா?);

தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்

இங்கே எல்லாம் ஒத்திருக்கிறது: ஒரு புதிய செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்தி அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்:

வழித்தோன்றல்:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1. செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும் மற்றும்;
2. ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள்:

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறிய இப்போது உங்கள் அறிவு போதுமானது, ஆனால் அடுக்குகள் மட்டுமல்ல (அது என்ன என்பதை நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா?).

எனவே, சில எண் எங்கே.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம், எனவே எங்கள் செயல்பாட்டை ஒரு புதிய தளத்திற்கு கொண்டு வர முயற்சிப்போம்:

இதைச் செய்ய, நாங்கள் ஒரு எளிய விதியைப் பயன்படுத்துவோம்: . பிறகு:

சரி, அது வேலை செய்தது. இப்போது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும், இந்த செயல்பாடு சிக்கலானது என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.

அது வேலை செய்ததா?

இங்கே, உங்களை நீங்களே சரிபார்க்கவும்:

சூத்திரம் ஒரு அடுக்கு வகையின் வழித்தோன்றலுக்கு மிகவும் ஒத்ததாக மாறியது: அது அப்படியே உள்ளது, ஒரு காரணி மட்டுமே தோன்றியது, இது ஒரு எண், ஆனால் ஒரு மாறி அல்ல.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

பதில்கள்:

இது ஒரு கால்குலேட்டர் இல்லாமல் கணக்கிட முடியாத ஒரு எண், அதாவது, இதை இனி எழுத முடியாது. எளிய வடிவத்தில். எனவே, பதிலில் இந்த வடிவத்தில் விட்டுவிடுகிறோம்.

மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

இது இங்கே ஒத்திருக்கிறது: இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல் உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்:

எனவே, வேறு தளத்துடன் தன்னிச்சையான மடக்கையைக் கண்டறிய, எடுத்துக்காட்டாக:

இந்த மடக்கையை நாம் அடித்தளமாகக் குறைக்க வேண்டும். மடக்கையின் அடித்தளத்தை எவ்வாறு மாற்றுவது? இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள் என்று நம்புகிறேன்:

இப்போது நாம் அதற்கு பதிலாக எழுதுவோம்:

வகுத்தல் என்பது வெறுமனே ஒரு மாறிலி (ஒரு மாறிலி இல்லாத ஒரு நிலையான எண்). வழித்தோன்றல் மிகவும் எளிமையாக பெறப்படுகிறது:

அதிவேக மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகள்ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட மாநிலத் தேர்வில் ஏறக்குறைய ஒருபோதும் தோன்றாது, ஆனால் அவற்றை அறிவது வலிக்காது.

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

"சிக்கலான செயல்பாடு" என்றால் என்ன? இல்லை, இது மடக்கை அல்ல, ஆர்க்டஜென்ட் அல்ல. இந்த செயல்பாடுகளை புரிந்துகொள்வது கடினமாக இருக்கலாம் (நீங்கள் மடக்கை கடினமாக இருந்தால், "மடக்கை" என்ற தலைப்பைப் படிக்கவும், நீங்கள் நன்றாக இருப்பீர்கள்), ஆனால் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், "சிக்கலானது" என்ற வார்த்தையானது "கடினமானது" என்று அர்த்தமல்ல.

ஒரு சிறிய கன்வேயர் பெல்ட்டை கற்பனை செய்து பாருங்கள்: இரண்டு பேர் உட்கார்ந்து சில பொருட்களைக் கொண்டு சில செயல்களைச் செய்கிறார்கள். உதாரணமாக, முதல் ஒரு சாக்லேட் பட்டியை ஒரு ரேப்பரில் போர்த்தி, இரண்டாவது அதை ரிப்பனுடன் இணைக்கிறது. இதன் விளைவாக ஒரு கலப்பு பொருள்: ஒரு சாக்லேட் பட்டை மூடப்பட்டு, ரிப்பனுடன் கட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு சாக்லேட் பார் சாப்பிட, நீங்கள் தலைகீழ் படிகளை செய்ய வேண்டும் தலைகீழ் வரிசை.

இதேபோன்ற கணிதக் குழாய் ஒன்றை உருவாக்குவோம்: முதலில் ஒரு எண்ணின் கோசைனைக் கண்டுபிடித்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணை சதுரமாக்குவோம். எனவே, எங்களுக்கு ஒரு எண் (சாக்லேட்) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் கொசைனை (ரேப்பர்) நான் கண்டுபிடித்தேன், பின்னர் எனக்கு கிடைத்ததை நீங்கள் சதுரமாக்குங்கள் (அதை ரிப்பனுடன் கட்டவும்). என்ன நடந்தது? செயல்பாடு. இது ஒரு உதாரணம் சிக்கலான செயல்பாடு: எப்போது, ​​அதன் மதிப்பைக் கண்டறிய, முதல் செயலை மாறியுடன் நேரடியாகச் செய்கிறோம், பின்னர் முதல் செயலின் விளைவாக இரண்டாவது செயலைச் செய்கிறோம்.

அதே படிகளை நாம் தலைகீழ் வரிசையில் எளிதாகச் செய்யலாம்: முதலில் நீங்கள் அதைச் சதுரம் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணின் கொசைனைத் தேடுகிறேன்: . முடிவு எப்போதும் வித்தியாசமாக இருக்கும் என்று யூகிக்க எளிதானது. முக்கிய அம்சம்சிக்கலான செயல்பாடுகள்: செயல்களின் வரிசை மாறும்போது, ​​செயல்பாடு மாறுகிறது.

வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு, அதன் வாதம் மற்றொரு செயல்பாடு: .

முதல் உதாரணத்திற்கு, .

இரண்டாவது உதாரணம்: (அதே விஷயம்). .

கடைசியாக நாம் செய்யும் செயல் அழைக்கப்படும் "வெளிப்புற" செயல்பாடு, மற்றும் முதலில் செய்யப்படும் செயல் - அதன்படி "உள்" செயல்பாடு(இவை முறைசாரா பெயர்கள், நான் அவற்றை எளிய மொழியில் பொருள் விளக்க மட்டுமே பயன்படுத்துகிறேன்).

எந்த செயல்பாடு வெளிப்புறமானது மற்றும் எந்த உள் செயல்பாடு என்பதை நீங்களே தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:

பதில்கள்:உள் மற்றும் வெளிப்புற செயல்பாடுகளைப் பிரிப்பது மாறிகளை மாற்றுவதைப் போன்றது: எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாட்டில்

1. முதலில் நாம் என்ன செயலைச் செய்வோம்? முதலில், சைனைக் கணக்கிடுவோம், பின்னர் அதை கனசதுரமாக்குவோம். இதன் பொருள் இது ஒரு உள் செயல்பாடு, ஆனால் வெளிப்புறமானது.
   மற்றும் அசல் செயல்பாடு அவற்றின் கலவை: .
2. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .
3. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .
4. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .
5. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .

நாம் மாறிகளை மாற்றி ஒரு செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

சரி, இப்போது நாம் சாக்லேட் பட்டையை பிரித்தெடுத்து அதன் வழித்தோன்றலைத் தேடுவோம். செயல்முறை எப்போதும் தலைகீழாக இருக்கும்: முதலில் நாம் வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம், பின்னர் உள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலால் முடிவைப் பெருக்குகிறோம். அசல் எடுத்துக்காட்டுடன், இது போல் தெரிகிறது:

மற்றொரு உதாரணம்:

எனவே, இறுதியாக அதிகாரப்பூர்வ விதியை உருவாக்குவோம்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

இது எளிமையானதாகத் தெரிகிறது, இல்லையா?

எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சரிபார்க்கலாம்:

தீர்வுகள்:

1) உள்: ;

வெளி: ;

2) உள்:;

(இப்போது அதை வெட்ட முயற்சிக்காதீர்கள்! கொசைன் கீழ் இருந்து எதுவும் வெளிவரவில்லை, நினைவிருக்கிறதா?)

3) உள்: ;

வெளி: ;

இது மூன்று-நிலை சிக்கலான செயல்பாடு என்பது உடனடியாகத் தெளிவாகிறது: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஏற்கனவே ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகும், மேலும் அதிலிருந்து வேரைப் பிரித்தெடுக்கிறோம், அதாவது மூன்றாவது செயலைச் செய்கிறோம் (சாக்லேட்டை ஒரு இடத்தில் வைக்கிறோம். ரேப்பர் மற்றும் பிரீஃப்கேஸில் ஒரு ரிப்பனுடன்). ஆனால் பயப்படுவதற்கு எந்த காரணமும் இல்லை: இந்த செயல்பாட்டை வழக்கம் போல் அதே வரிசையில் "திறப்போம்": முடிவில் இருந்து.

அதாவது, முதலில் நாம் மூலத்தையும், பின்னர் கொசைனையும், பின்னர் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டையும் வேறுபடுத்துகிறோம். பின்னர் நாம் அனைத்தையும் பெருக்குகிறோம்.

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், செயல்களை எண்ணுவது வசதியானது. அதாவது, நமக்குத் தெரிந்ததைக் கற்பனை செய்வோம். இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட எந்த வரிசையில் செயல்களைச் செய்வோம்? ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

செயல் எவ்வளவு தாமதமாக செய்யப்படுகிறதோ, அவ்வளவு "வெளிப்புறமாக" தொடர்புடைய செயல்பாடு இருக்கும். செயல்களின் வரிசை முந்தையதைப் போலவே உள்ளது:

இங்கே கூடு பொதுவாக 4-நிலை. நடவடிக்கையின் போக்கை தீர்மானிப்போம்.

1. தீவிர வெளிப்பாடு. .

2. வேர். .

3. சைன். .

4. சதுரம். .

5. அனைத்தையும் ஒன்றாக இணைத்தல்:

வழித்தோன்றல். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்- வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதம்:

அடிப்படை வழித்தோன்றல்கள்:

வேறுபாடு விதிகள்:

மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது:

தொகையின் வழித்தோன்றல்:

தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்:

விகுதியின் வழித்தோன்றல்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

1. "உள்" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
2. நாங்கள் "வெளிப்புற" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்.
3. முதல் மற்றும் இரண்டாவது புள்ளிகளின் முடிவுகளை நாங்கள் பெருக்குகிறோம்.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

கல்வி: "வழித்தோன்றல்களின் பயன்பாடு" என்ற தலைப்பில் தத்துவார்த்த தகவலை மீண்டும் செய்யவும், இந்த தலைப்பில் அறிவைப் பொதுமைப்படுத்தவும், ஒருங்கிணைக்கவும் மற்றும் மேம்படுத்தவும்.

தீர்க்கும் போது பெற்ற கோட்பாட்டு அறிவை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்று கற்பிக்க பல்வேறு வகையான கணித சிக்கல்கள்.

அடித்தளத்தின் வழித்தோன்றல் மற்றும் கருத்தாக்கம் தொடர்பான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைக் கவனியுங்கள். உயர் நிலைசிக்கலானது.

கல்வி:

திறன் பயிற்சி: திட்டமிடல் நடவடிக்கைகள், ஒரு உகந்த வேகத்தில் வேலை, ஒரு குழு வேலை, சுருக்கம்.

ஒருவரின் திறன்களை மதிப்பிடும் திறனையும் நண்பர்களுடன் தொடர்பு கொள்ளும் திறனையும் வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.

ஒரு குழுவில் பணிபுரியும் திறனை வளர்ப்பதற்கு பொறுப்பு மற்றும் பச்சாதாப உணர்வுகளை வளர்ப்பது; திறன்கள்.. வகுப்பு தோழர்களின் கருத்துக்களைக் குறிக்கிறது.

வளர்ச்சி: வரைய முடியும் முக்கிய கருத்துக்கள்ஆய்வு செய்யப்படும் தலைப்பு. குழு வேலை திறன்களை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.

பாடம் வகை: ஒருங்கிணைந்த:

பொதுமைப்படுத்தல், திறன்களின் ஒருங்கிணைப்பு, அடிப்படை செயல்பாடுகளின் பண்புகளின் பயன்பாடு, ஏற்கனவே உருவாக்கப்பட்ட அறிவு, திறன்கள் மற்றும் திறன்களின் பயன்பாடு, தரமற்ற சூழ்நிலைகளில் வழித்தோன்றல்களின் பயன்பாடு.

உபகரணங்கள்: கணினி, ப்ரொஜெக்டர், திரை, கையேடுகள்.

பாடத் திட்டம்:

1. நிறுவன நடவடிக்கைகள்

மனநிலையின் பிரதிபலிப்பு

2. மாணவரின் அறிவைப் புதுப்பித்தல்

3. வாய்வழி வேலை

4. சுதந்திரமான வேலைகுழுக்களாக

5. முடிக்கப்பட்ட வேலையின் பாதுகாப்பு

6. சுதந்திரமான வேலை

7. வீட்டுப்பாடம்

8. பாடம் சுருக்கம்

9. மனநிலையின் பிரதிபலிப்பு

பாடம் முன்னேற்றம்

1. மனநிலையின் பிரதிபலிப்பு.

நண்பர்களே, இந்த மனநிலையுடன் (சூரியனின் உருவத்தைக் காட்டி) உங்கள் பாடத்திற்கு வந்தேன்.

உங்கள் மனநிலை என்ன?

உங்கள் மேசையில் சூரியன், மேகத்தின் பின்னால் சூரியன் மற்றும் நீங்கள் என்ன மனநிலையில் இருக்கிறீர்கள் என்பதைக் காட்டும் அட்டைகள் உள்ளன.

2. சோதனைத் தேர்வுகளின் முடிவுகளையும், சமீபத்திய ஆண்டுகளின் இறுதி சான்றிதழின் முடிவுகளையும் பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம், கணித பகுப்பாய்வு பணிகளைக் கொண்டு, ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு வேலை 30% -35% க்கும் அதிகமான பட்டதாரிகள் சமாளிக்க மாட்டார்கள், மேலும் எங்கள் வகுப்பில், பயிற்சி மற்றும் கண்டறியும் பணியின் முடிவுகளின் அடிப்படையில், அவர்கள் அனைவரும் அவற்றைச் சரியாகச் செய்யவில்லை. இதுவே எங்கள் தேர்வுக்கான காரணம், யூஎஸ்இ பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் போது டெரிவேட்டிவ்களைப் பயன்படுத்தும் திறனைப் பயிற்சி செய்வோம்.

இறுதி சான்றிதழின் சிக்கல்களுக்கு மேலதிகமாக, இந்த பகுதியில் பெறப்பட்ட அறிவு எதிர்காலத்தில் எந்த அளவிற்கு தேவைப்படலாம் மற்றும் தேவைப்படும், மற்றும் இந்த தலைப்பைப் படிப்பதில் நேரம் மற்றும் ஆரோக்கியத்தின் முதலீடு எவ்வளவு நியாயமானது என்பது பற்றிய கேள்விகளும் சந்தேகங்களும் எழுகின்றன.

ஒரு வழித்தோன்றல் ஏன் தேவைப்படுகிறது? வழித்தோன்றலை எங்கே சந்தித்துப் பயன்படுத்துகிறோம்? கணிதத்தில் மட்டும் இல்லாமல் செய்ய முடியுமா?

மாணவர் செய்தி 3 நிமிடங்கள் -

3. வாய்வழி வேலை.

4. குழுக்களில் சுயாதீனமான வேலை (3 குழுக்கள்)

குழு 1 பணி

) வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள் என்ன?

2) அ) படம் y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், அப்சிஸ்ஸா x0 புள்ளியில் வரையப்பட்ட இந்த வரைபடத்தின் தொடுகையும் காட்டுகிறது. x0 புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

b) படம் y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், அப்சிஸ்ஸா x0 புள்ளியில் வரையப்பட்ட இந்த வரைபடத்தின் தொடுகையும் காட்டுகிறது. x0 புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

குழு 1 பதில்:

1) x=x0 புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பு, அப்சிஸ்ஸா x0 புள்ளியில் இந்தச் சார்பின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் நிபந்தனைக் குணகத்திற்குச் சமம் தொடுகோணத்தின் சாய்வின் கோணம் (அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால்) தொடுகால் உருவான கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும்... எருது அச்சின் திசை)

2) A)f1(x)=4/2=2

3) B)f1(x)=-4/2=-2

குழு 2 பணி

1) வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள் என்ன?

2) பொருள் புள்ளி சட்டத்தின் படி நேர்கோட்டில் நகரும்
x(t)=-t2+8t-21, இதில் x என்பது மீட்டரில் உள்ள குறிப்பு புள்ளியிலிருந்து தூரம், t என்பது வினாடிகளில் நேரம், இயக்கத்தின் தொடக்கத்திலிருந்து அளவிடப்படுகிறது. t=3 s நேரத்தில் அதன் வேகத்தை (வினாடிக்கு மீட்டரில்) கண்டறியவும்.

3) பொருள் புள்ளி சட்டத்தின் படி நேர்கோட்டில் நகரும்
x(t)= ½*t2-t-4, இதில் x என்பது மீட்டரில் உள்ள குறிப்பு புள்ளியிலிருந்து உள்ள தூரம், t என்பது வினாடிகளில் நேரம், இயக்கத்தின் தொடக்கத்திலிருந்து அளவிடப்படுகிறது. எந்த நேரத்தில் (வினாடிகளில்) அதன் வேகம் 6 மீ/விக்கு சமமாக இருந்தது?

குழு 2 பதில்:

1) வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் (இயந்திர) பொருள் பின்வருமாறு.

S(t) என்பது உடலின் நேர்கோட்டு இயக்கத்தின் விதி எனில், வழித்தோன்றல் t நேரத்தில் உடனடி வேகத்தை வெளிப்படுத்துகிறது:

V(t)=-x(t)=-2t=8=-2*3+8=2

3) X(t)=1/2t^2-t-4

குழு 3 பணி

1) y= 3x-5 என்ற நேர்கோடு y=x2+2x-7 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டுக்கு இணையாக உள்ளது. தொடு புள்ளியின் abscissa ஐக் கண்டறியவும்.

2) படம் y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது, இது இடைவெளியில் (-9;8) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக இருக்கும் இந்த இடைவெளியில் முழு எண் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும்.

குழு 3 பதில்:

1) y=3x-5 என்ற நேர்கோடு தொடுகோடு இணையாக இருப்பதால், தொடுகோட்டின் கோண குணகம் y=3x-5 என்ற நேர்கோட்டின் கோண குணகத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது k=3.

Y1(x)=3 ,y1=(x^2+2x-7)1=2x=2 2x+2=3

2) முழு எண் புள்ளிகள் முழு எண் abscissa மதிப்புகள் கொண்ட புள்ளிகள்.

f(x) சார்பின் வழித்தோன்றல், செயல்பாடு அதிகரித்துக் கொண்டிருந்தால் நேர்மறையாக இருக்கும்.

கேள்வி: செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும், இது "மேலும் காட்டுக்குள், அதிக விறகு" என்ற பழமொழியால் விவரிக்கப்படுகிறது.

பதில்: வழித்தோன்றல் வரையறையின் முழு களத்திலும் நேர்மறையாக உள்ளது, ஏனெனில் இந்த செயல்பாடு ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது

6. சுதந்திரமான வேலை (6 விருப்பங்கள்)

7. வீட்டுப்பாடம்.

பயிற்சி வேலை பதில்கள்:

பாடத்தின் சுருக்கம்.

"இசையால் ஆன்மாவை உயர்த்தலாம் அல்லது அமைதிப்படுத்தலாம், ஓவியம் கண்ணை மகிழ்விக்கும், கவிதை உணர்வுகளை எழுப்பலாம், தத்துவம் மனதின் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்யும், பொறியியல் மக்களின் வாழ்க்கையின் பொருள் பக்கத்தை மேம்படுத்தும். ஆனால் கணிதம் இந்த இலக்குகளை அடைய முடியும்.

இவ்வாறு அமெரிக்கக் கணிதவியலாளர் மாரிஸ் க்லைன் கூறினார்.

பணிக்கு நன்றி!

கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வின் பணி எண் 13 இல் அடிப்படை நிலைஒரு செயல்பாட்டின் நடத்தையின் கருத்துக்களில் ஒன்றின் திறன்களையும் அறிவையும் நீங்கள் நிரூபிக்க வேண்டும்: ஒரு புள்ளியில் வழித்தோன்றல்கள் அல்லது அதிகரிப்பு அல்லது குறைப்பு விகிதங்கள். இந்த பணிக்கான கோட்பாடு சிறிது நேரம் கழித்து சேர்க்கப்படும், ஆனால் இது பலவற்றை விரிவாக ஆராய்வதைத் தடுக்காது வழக்கமான விருப்பங்கள்.

அடிப்படை நிலை கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் எண். 14 பணிகளுக்கான பொதுவான விருப்பங்களின் பகுப்பாய்வு

பணியின் முதல் பதிப்பு (டெமோ பதிப்பு 2018)

என்ஜின் வெப்பமடையும் போது வெப்பநிலை மற்றும் நேரம் ஆகியவற்றை வரைபடம் காட்டுகிறது. பயணிகள் கார். கிடைமட்ட அச்சு இயந்திரம் துவங்கியதில் இருந்து கடந்த நிமிடங்களில் நேரத்தைக் காட்டுகிறது; செங்குத்து அச்சில் இன்ஜின் வெப்பநிலை டிகிரி செல்சியஸ் ஆகும்.

வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒவ்வொரு நேர இடைவெளியையும் இந்த இடைவெளியில் இயந்திர வெப்பமாக்கல் செயல்முறையின் பண்புகளுடன் பொருத்தவும்.

அட்டவணையில், ஒவ்வொரு எழுத்தின் கீழும், தொடர்புடைய எண்ணைக் குறிக்கவும்.

செயல்படுத்தும் அல்காரிதம்:

1. வெப்பநிலை வீழ்ச்சியடைந்த நேர இடைவெளியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
2. 30 ° C க்கு ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்துங்கள் மற்றும் வெப்பநிலை 30 ° C க்குக் கீழே இருக்கும் நேர இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு:

வெப்பநிலை குறைந்த நேர இடைவெளியைத் தேர்வு செய்வோம். இந்த பகுதி நிர்வாணக் கண்ணுக்குத் தெரியும்; இது இயந்திரம் தொடங்கிய தருணத்திலிருந்து 8 நிமிடங்களில் தொடங்குகிறது.

30 ° C க்கு ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்துங்கள் மற்றும் வெப்பநிலை 30 ° C க்குக் கீழே இருக்கும் நேர இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும்.

ஆட்சியாளருக்கு கீழே 0 - 1 நிமிட நேர இடைவெளியுடன் தொடர்புடைய ஒரு பிரிவு இருக்கும்.

ஒரு பென்சில் மற்றும் ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி, எந்த நேர இடைவெளியில் வெப்பநிலை 40 ° C முதல் 80 ° C வரை இருந்தது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

வரைபடத்தில் 40 ° С மற்றும் 80 ° C உடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளிலிருந்து செங்குத்தாக விடுவோம், இதன் விளைவாக வரும் புள்ளிகளிலிருந்து நேர அச்சில் செங்குத்தாகக் குறைக்கிறோம்.

இந்த வெப்பநிலை இடைவெளியானது 3 - 6.5 நிமிட நேர இடைவெளிக்கு ஒத்திருப்பதைக் காண்கிறோம். அதாவது, நிபந்தனை 3 - 6 நிமிடங்களில் கொடுக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து.

நீக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி, விடுபட்ட பதில் விருப்பத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம்.

பணியின் இரண்டாவது பதிப்பு

தீர்வு:

A செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை பகுப்பாய்வு செய்வோம். செயல்பாடு அதிகரித்தால், வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும். செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் தீவிர புள்ளிகளில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

முதலில், செயல்பாடு A அதிகரிக்கிறது, அதாவது. வழித்தோன்றல் நேர்மறை. இது 2 மற்றும் 3 வழித்தோன்றல்களின் வரைபடங்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது. x = -2 செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளியில், அதாவது, இந்த கட்டத்தில் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இந்த நிலை வரைபட எண் 3 க்கு ஒத்திருக்கிறது.

முதலில், செயல்பாடு B குறைகிறது, அதாவது. வழித்தோன்றல் எதிர்மறையானது. இது 1 மற்றும் 4 வழித்தோன்றல்களின் வரைபடங்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது. செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளி x=-2 ஆகும், அதாவது, இந்த கட்டத்தில் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இந்த நிலை வரைபட எண் 4 க்கு ஒத்திருக்கிறது.

முதலில், செயல்பாடு B அதிகரிக்கிறது, அதாவது. வழித்தோன்றல் நேர்மறை. இது 2 மற்றும் 3 வழித்தோன்றல்களின் வரைபடங்களுடன் ஒத்துள்ளது. செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளி x = 1 ஆகும், அதாவது, இந்த கட்டத்தில் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இந்த நிலை வரைபட எண் 2 க்கு ஒத்திருக்கிறது.

நீக்குதல் முறையைப் பயன்படுத்தி, Г செயல்பாட்டின் வரைபடம் 1 எண்ணிடப்பட்ட வழித்தோன்றலின் வரைபடத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதை நாம் தீர்மானிக்க முடியும்.

பதில்: 3421.

பணியின் மூன்றாவது பதிப்பு

செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களுக்கும் அவற்றின் வழித்தோன்றல்களின் வரைபடங்களுக்கும் இடையே ஒரு கடிதத்தை நிறுவவும்.

ஒவ்வொரு செயல்பாட்டிற்கும் செயல்படுத்தும் அல்காரிதம்:

1. செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்கவும்.
2. செயல்பாடுகளின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்கவும்.
3. முடிவுகளை வரைந்து முன்மொழியப்பட்ட வரைபடங்களுடன் பொருத்தவும்.

தீர்வு:

A செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

செயல்பாடு அதிகரித்தால், வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும். செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் தீவிர புள்ளிகளில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

எக்ஸ்ட்ரம் புள்ளி என்பது செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்பை அடையும் புள்ளியாகும்.

முதலில், செயல்பாடு A அதிகரிக்கிறது, அதாவது. வழித்தோன்றல் நேர்மறை. இது 3 மற்றும் 4 வழித்தோன்றல்களின் வரைபடங்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது. x=0 செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளியில், அதாவது, இந்த கட்டத்தில் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இந்த நிலை வரைபட எண் 4 க்கு ஒத்திருக்கிறது.

செயல்பாடு B இன் வரைபடத்தை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

முதலில், செயல்பாடு B குறைகிறது, அதாவது. வழித்தோன்றல் எதிர்மறையானது. இது வழித்தோன்றல்கள் 1 மற்றும் 2 இன் வரைபடங்களுடன் ஒத்துள்ளது. செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி x=-1 ஆகும், அதாவது, இந்த கட்டத்தில் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இந்த நிலை வரைபட எண் 2 க்கு ஒத்திருக்கிறது.

செயல்பாடு B இன் வரைபடத்தை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

முதலில், செயல்பாடு B குறைகிறது, அதாவது. வழித்தோன்றல் எதிர்மறையானது. இது வழித்தோன்றல்கள் 1 மற்றும் 2 இன் வரைபடங்களுடன் ஒத்துள்ளது. செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி x = 0 ஆகும், அதாவது, இந்த கட்டத்தில் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இந்த நிலை வரைபட எண் 1 க்கு ஒத்திருக்கிறது.

நீக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி, Г செயல்பாட்டின் வரைபடம் 3 என்ற வழித்தோன்றலின் வரைபடத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதை நாம் தீர்மானிக்க முடியும்.

பதில்: 4213.

பதினான்காவது பணியின் விருப்பம் 2017

படம் A, B, C மற்றும் D ஆகிய அப்சிஸ்ஸா புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் அதனுடன் வரையப்பட்ட தொடுகோடுகளையும் காட்டுகிறது.வலது நெடுவரிசை A, B, C மற்றும் D புள்ளிகளில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்புகளைக் காட்டுகிறது. வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒவ்வொரு புள்ளியையும் அதிலுள்ள செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்புடன் பொருத்தவும்.

புள்ளிகள்
ஏ
IN
உடன்
டி

டெரிவேடிவ் மதிப்புகள்
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வோம், அதாவது புள்ளியில் அதன் மதிப்பு - ஒரு புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டின் மதிப்பு, தொடுகோட்டின் சாய்வுக் கோணத்தின் (குணகம்) தொடுகோடுக்கு சமம்.

பதில்களில் இரண்டு நேர்மறை மற்றும் இரண்டு எதிர்மறை விருப்பங்கள் உள்ளன. நாம் நினைவில் வைத்துள்ளபடி, குணகம் நேராக இருந்தால் (கிராபிக்ஸ் y = kx+ b) நேர்மறை, பின்னர் வரி அதிகரிக்கிறது, ஆனால் அது எதிர்மறையாக இருந்தால், வரி குறைகிறது.

எங்களிடம் இரண்டு அதிகரிக்கும் கோடுகள் உள்ளன - புள்ளிகள் A மற்றும் D. இப்போது குணகம் k இன் மதிப்பு என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வோம்?

குணகம் k செயல்பாடு எவ்வளவு விரைவாக அதிகரிக்கிறது அல்லது குறைகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது (உண்மையில், குணகம் k என்பது y = kx+ b செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும்).

எனவே, k = 2/3 ஒரு தட்டையான நேர் கோட்டுடன் ஒத்துள்ளது - D, மற்றும் k = 3 - A.

எதிர்மறை மதிப்புகளின் விஷயத்திலும் இதுவே உண்மை: புள்ளி B என்பது k = - 4 மற்றும் புள்ளி C - -1/2 உடன் செங்குத்தான நேர்கோட்டுடன் ஒத்துள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் $y = f(x)$ என்ற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் $x_0$ என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பாகும்.

$f"(x_0)=(லிம்)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

வேறுபாடு என்பது வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்பாடாகும்.

சில அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை

வேறுபாட்டின் அடிப்படை விதிகள்

1. தொகையின் வழித்தோன்றல் (வேறுபாடு) வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு (வேறுபாடு) சமம்

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

ஒரு தொகையின் (வேறுபாடு) வழித்தோன்றல், வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு (வேறுபாடு) சமம்.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ என்ற வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. விகுதியின் வழித்தோன்றல்

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ என்ற வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் உள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புக்கு சமம்

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள்

என்றால் பொருள் புள்ளிநேராக நகர்கிறது மற்றும் $x(t)$ சட்டத்தின்படி நேரத்தைப் பொறுத்து அதன் ஒருங்கிணைப்பு மாறுகிறது, பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் உடனடி வேகம் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு சமமாக இருக்கும்.

$x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ சட்டத்தின்படி புள்ளியானது ஆயக் கோட்டுடன் நகர்கிறது, இங்கு $x(t)$ என்பது $t$ நேரத்தில் ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். எந்த நேரத்தில் புள்ளியின் வேகம் $12$க்கு சமமாக இருக்கும்?

1. வேகம் என்பது $x(t)$ இன் வழித்தோன்றல், எனவே கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்

$v(t) = x"(t) = 1.5 2t -3 = 3t -3$

2. எந்த நேரத்தில் $t$ வேகம் $12$ க்கு சமமாக இருந்தது என்பதைக் கண்டறிய, நாங்கள் சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்க்கிறோம்:

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்

ஆய அச்சுகளுக்கு இணையாக இல்லாத ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை $y = kx + b$ வடிவத்தில் எழுதலாம், இங்கு $k$ என்பது நேர்கோட்டின் சாய்வாகும். குணகம் $k$ என்பது நேர் கோட்டிற்கும் $Ox$ அச்சின் நேர் திசைக்கும் இடையே உள்ள சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடுக்கு சமம்.

$x_0$ புள்ளியில் $f(x)$ செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இந்த புள்ளியில் உள்ள வரைபடத்தின் தொடுகோட்டின் $k$ சாய்வுக்கு சமம்:

எனவே, நாம் ஒரு பொதுவான சமத்துவத்தை உருவாக்க முடியும்:

$f"(x_0) = k = tanα$

படத்தில், $f(x)$ செயல்பாட்டின் தொடுகோடு அதிகரிக்கிறது, எனவே குணகம் $k > 0$. $k > 0$ என்பதால், $f"(x_0) = tanα > 0$. தொடுகோடு மற்றும் நேர்மறை திசை $Ox$ இடையே $α$ கோணம் தீவிரமானது.

படத்தில், $f(x)$ செயல்பாட்டின் தொடுகோடு குறைகிறது, எனவே, குணகம் $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

படத்தில், $f(x)$ செயல்பாட்டின் தொடுகோடு $Ox$ அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது, எனவே, குணகம் $k = 0$, எனவே, $f"(x_0) = tan α = 0$. புள்ளி $x_0$ இதில் $f "(x_0) = 0$, அழைக்கப்படுகிறது உச்சநிலை.

படம் $y=f(x)$ செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், அப்சிஸ்ஸா $x_0$ என்ற புள்ளியில் வரையப்பட்ட இந்த வரைபடத்தின் தொடுகையும் காட்டுகிறது. $x_0$ புள்ளியில் $f(x)$ செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

வரைபடத்தின் தொடுகோடு அதிகரிக்கிறது, எனவே, $f"(x_0) = tan α > 0$

$f"(x_0)$ ஐக் கண்டறிய, $Ox$ அச்சின் தொடுகோணத்திற்கும் நேர்மறைத் திசைக்கும் இடையே உள்ள சாய்வுக் கோணத்தின் தொடுகைக் கண்டறிகிறோம். இதைச் செய்ய, $ABC$ முக்கோணத்திற்கு தொடுகோட்டை உருவாக்குகிறோம்.

$BAC$ கோணத்தின் தொடுகைக் கண்டுபிடிப்போம். (தொடுநிலை கடுமையான கோணம்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் எதிரெதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும்.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0.25

$f"(x_0) = tg BAC = 0.25$

பதில்: $0.25$

இந்த வழித்தோன்றல் செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

ஒரு இடைவெளியில் $f"(x) > 0$ எனில், இந்த இடைவெளியில் $f(x)$ செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது.

$f"(x) எனில்< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

படம் $y = f(x)$ செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. $х_1,х_2,х_3...х_7$ புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இருக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.

பதிலுக்கு, இந்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை எழுதுங்கள்.

வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திற்கும் செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியின் தன்மைக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைக் காட்டுகிறது.

பின்வருவனவற்றில் மிகவும் கவனமாக இருக்கவும். பாருங்கள், உங்களுக்கு என்ன கொடுக்கப்பட்டுள்ளது! செயல்பாடு அல்லது அதன் வழித்தோன்றல்

வழித்தோன்றலின் வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டால், பின்னர் நாம் செயல்பாட்டு அறிகுறிகள் மற்றும் பூஜ்ஜியங்களில் மட்டுமே ஆர்வமாக இருப்போம். கொள்கையளவில் எந்த "மலைகள்" அல்லது "வெள்ளைகள்" மீது எங்களுக்கு ஆர்வம் இல்லை!

பணி 1.

படம் இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இருக்கும் முழு எண் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு:

படத்தில், செயல்பாடு குறையும் பகுதிகள் நிறத்தில் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளன:

செயல்பாட்டின் இந்த குறையும் பகுதிகள் 4 முழு எண் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கின்றன.

பணி 2.

படம் இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு இணையாக அல்லது கோட்டுடன் இணைந்திருக்கும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு ஒரு நேர்கோட்டுடன் இணையாக (அல்லது ஒத்துப்போகும்) ஒருமுறை (அல்லது, அதே விஷயம்), சாய்வு, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், பின்னர் தொடுவானம் ஒரு கோண குணகத்தைக் கொண்டுள்ளது.

இதையொட்டி, தொடுவானம் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது, ஏனெனில் சாய்வு என்பது தொடுவானின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு ஆகும்.

எனவே, வரைபடத்தில் தீவிர புள்ளிகளை (அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்) காண்கிறோம் - இந்த புள்ளிகளில்தான் வரைபடத்தின் தொடுகோடு செயல்பாடுகள் அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்.

அத்தகைய 4 புள்ளிகள் உள்ளன.

பணி 3.

இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரைபடத்தை படம் காட்டுகிறது. செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு இணையாக அல்லது கோட்டுடன் இணைந்திருக்கும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

ஒரு சார்பின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு ஒரு சாய்வைக் கொண்ட ஒரு கோட்டுடன் இணையாக (அல்லது இணைகிறது) என்பதால், தொடுவானுக்கும் ஒரு சாய்வு உள்ளது.

இதையொட்டி தொடு புள்ளிகளில் என்று அர்த்தம்.

எனவே, வரைபடத்தில் எத்தனை புள்ளிகளுக்கு சமமான ஆர்டினேட் உள்ளது என்பதைப் பார்க்கிறோம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அத்தகைய நான்கு புள்ளிகள் உள்ளன.

பணி 4.

படம் இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் 0 ஆக இருக்கும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

வழித்தோன்றல் தீவிர புள்ளிகளில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். அவற்றில் 4 எங்களிடம் உள்ளன:

பணி 5.

படம் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் மற்றும் x- அச்சில் பதினொரு புள்ளிகளைக் காட்டுகிறது :. இதில் எத்தனை புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக உள்ளது?

தீர்வு:

செயல்பாடு குறையும் இடைவெளியில், அதன் வழித்தோன்றல் எடுக்கும் எதிர்மறை மதிப்புகள். மற்றும் செயல்பாடு புள்ளிகளில் குறைகிறது. அத்தகைய 4 புள்ளிகள் உள்ளன.

பணி 6.

படம் இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

தீவிர புள்ளிகள்- இவை அதிகபட்ச புள்ளிகள் (-3, -1, 1) மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் (-2, 0, 3).

தீவிர புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை: -3-1+1-2+0+3=-2.

பணி 7.

இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரைபடத்தை படம் காட்டுகிறது. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கான இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும். உங்கள் பதிலில், இந்த இடைவெளியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள முழு எண் புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிப்பிடவும்.

தீர்வு:

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இல்லாத இடைவெளிகளை படம் எடுத்துக்காட்டுகிறது.

அதிகரித்து வரும் சிறிய இடைவெளியில் முழு எண் புள்ளிகள் இல்லை: நான்கு முழு எண் மதிப்புகள் உள்ளன: , , மற்றும் .

அவற்றின் கூட்டுத்தொகை:

பணி 8.

இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரைபடத்தை படம் காட்டுகிறது. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கான இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும். உங்கள் பதிலில், அவற்றில் பெரியவற்றின் நீளத்தைக் குறிப்பிடவும்.

தீர்வு:

படத்தில், வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக இருக்கும் அனைத்து இடைவெளிகளும் நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்படுகின்றன, அதாவது இந்த இடைவெளிகளில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

அவற்றில் மிகப்பெரிய நீளம் 6 ஆகும்.

பணி 9.

இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரைபடத்தை படம் காட்டுகிறது. பிரிவில் எந்த கட்டத்தில் அது மிகப்பெரிய மதிப்பைப் பெறுகிறது?

தீர்வு:

நாம் ஆர்வமாக உள்ள பிரிவில் வரைபடம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம் வழித்தோன்றலின் அடையாளம் மட்டுமே .

இந்த பிரிவில் உள்ள வரைபடம் அச்சுக்குக் கீழே இருப்பதால், on வழித்தோன்றலின் அடையாளம் கழித்தல் ஆகும்.