வழித்தோன்றல். ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். தி அல்டிமேட் கைடு (2019)



வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள் X Y 0 தொடுகோடு α k என்பது நேர் கோட்டின் கோண குணகம் (தொடுகோடு) வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்: புள்ளியில் உள்ள y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரையப்பட்டால் abscissa உடன், y-அச்சுக்கு இணையாக இல்லை, பின்னர் அது தொடுகோட்டின் கோண குணகத்தை வெளிப்படுத்துகிறது, அதாவது e. அப்போதிருந்து, நேர்கோட்டின் சமத்துவம் உண்மை


X y என்றால் α 0. α > 90° எனில், k 90°, பின்னர் k 90°, k 90°, k 90°, k தலைப்பு="х y என்றால் α 0. என்றால் α > 90°, பின்னர் கே


X y பணி 1. படம் y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், அப்சிஸ்ஸா -1 புள்ளியில் வரையப்பட்ட இந்த வரைபடத்தின் தொடுகையும் காட்டுகிறது. x = புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்






Y x x0x y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், abscissa x 0 உடன் புள்ளியில் அதன் தொடுகையும் படம் காட்டுகிறது. x 0 புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும். பதில்: -0.25








படம் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது, இது இடைவெளியில் (-6;6) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. f(x) செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும். உங்கள் பதிலில், இந்த இடைவெளிகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள முழு எண் புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிப்பிடவும். பி =...



கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் $y = f(x)$ என்ற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் $x_0$ என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பாகும், இது பிந்தையது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

$f"(x_0)=(லிம்)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

வேறுபாடு என்பது வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்பாடாகும்.

சிலவற்றின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை அடிப்படை செயல்பாடுகள்

செயல்பாடு வழித்தோன்றல்
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n$ $nx^(n-1)$
$(1)/(x)$ $-(1)/(x^2)$
$√x$ $(1)/(2√x)$
$e^x$ $e^x$
$lnx$ $(1)/(x)$
$சின்க்ஸ்$ $cosx$
$cosx$ $-சின்க்ஸ்$
$tgx$ $(1)/(cos^2x)$
$ctgx$ $-(1)/(பாவம்^2x)$

வேறுபாட்டின் அடிப்படை விதிகள்

1. தொகையின் வழித்தோன்றல் (வேறுபாடு) வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு (வேறுபாடு) சமம்

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

ஒரு தொகையின் (வேறுபாடு) வழித்தோன்றல், வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு (வேறுபாடு) சமம்.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ என்ற வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. விகுதியின் வழித்தோன்றல்

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

வழித்தோன்றல் $f(x)=(5x^5)/(e^x)$ ஐக் கண்டறியவும்

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் உள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புக்கு சமம்

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள்

$x(t)$ சட்டத்தின்படி ஒரு பொருள் புள்ளி நேர்கோட்டில் நகர்ந்து அதன் ஒருங்கிணைப்பு நேரத்தைப் பொறுத்து மாறினால், இந்த புள்ளியின் உடனடி வேகம் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு சமமாக இருக்கும்.

$x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ சட்டத்தின்படி புள்ளியானது ஆயக் கோட்டுடன் நகர்கிறது, இங்கு $x(t)$ என்பது $t$ நேரத்தில் ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். எந்த நேரத்தில் புள்ளியின் வேகம் $12$க்கு சமமாக இருக்கும்?

1. வேகம் என்பது $x(t)$ இன் வழித்தோன்றல், எனவே வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு

$v(t) = x"(t) = 1.5 2t -3 = 3t -3$

2. எந்த நேரத்தில் $t$ வேகம் $12$ க்கு சமமாக இருந்தது என்பதைக் கண்டறிய, நாங்கள் சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்க்கிறோம்:

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்

ஆய அச்சுகளுக்கு இணையாக இல்லாத ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு $y = kx + b$ வடிவத்தில் எழுதப்படலாம், இங்கு $k$ என்பது கோட்டின் சாய்வாகும். குணகம் $k$ என்பது நேர் கோட்டிற்கும் $Ox$ அச்சின் நேர் திசைக்கும் இடையே உள்ள சாய்வு கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும்.

$x_0$ புள்ளியில் $f(x)$ செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இந்த புள்ளியில் உள்ள வரைபடத்தின் தொடுகோட்டின் $k$ சாய்வுக்கு சமம்:

எனவே, நாம் ஒரு பொதுவான சமத்துவத்தை உருவாக்க முடியும்:

$f"(x_0) = k = tanα$

படத்தில், $f(x)$ செயல்பாட்டின் தொடுகோடு அதிகரிக்கிறது, எனவே குணகம் $k > 0$. $k > 0$ என்பதால், $f"(x_0) = tanα > 0$. தொடுகோடு மற்றும் நேர்மறை திசை $Ox$ இடையே $α$ கோணம் தீவிரமானது.

படத்தில், $f(x)$ செயல்பாட்டின் தொடுகோடு குறைகிறது, எனவே, குணகம் $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

படத்தில், $f(x)$ செயல்பாட்டின் தொடுகோடு $Ox$ அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது, எனவே, குணகம் $k = 0$, எனவே, $f"(x_0) = tan α = 0$. புள்ளி $x_0$ இதில் $f "(x_0) = 0$, அழைக்கப்படுகிறது உச்சநிலை.

படம் $y=f(x)$ செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும், அப்சிஸ்ஸா $x_0$ என்ற புள்ளியில் வரையப்பட்ட இந்த வரைபடத்தின் தொடுகையும் காட்டுகிறது. $x_0$ புள்ளியில் $f(x)$ செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

வரைபடத்தின் தொடுகோடு அதிகரிக்கிறது, எனவே, $f"(x_0) = tan α > 0$

$f"(x_0)$ ஐக் கண்டறிய, $Ox$ அச்சின் தொடுகோணத்திற்கும் நேர்மறைத் திசைக்கும் இடையே உள்ள சாய்வுக் கோணத்தின் தொடுகைக் கண்டறிகிறோம். இதைச் செய்ய, $ABC$ முக்கோணத்திற்கு தொடுகோட்டை உருவாக்குகிறோம்.

$BAC$ கோணத்தின் தொடுகைக் கண்டுபிடிப்போம். (தொடுநிலை கடுமையான கோணம்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் எதிரெதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும்.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0.25

$f"(x_0) = tg BAC = 0.25$

பதில்: $0.25$

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும் வழித்தோன்றல் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

ஒரு இடைவெளியில் $f"(x) > 0$ எனில், இந்த இடைவெளியில் $f(x)$ செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது.

$f"(x) எனில்< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

படம் $y = f(x)$ செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. $х_1,х_2,х_3…х_7$ புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இருக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.

பதிலுக்கு, இந்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை எழுதுங்கள்.

நுழைவு நிலை

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். விரிவான வழிகாட்டி (2019)

ஒரு மலைப்பாங்கான பகுதி வழியாக செல்லும் நேரான சாலையை கற்பனை செய்வோம். அதாவது, அது மேலும் கீழும் செல்கிறது, ஆனால் வலது அல்லது இடதுபுறம் திரும்பாது. அச்சு சாலையில் கிடைமட்டமாகவும் செங்குத்தாகவும் இயக்கப்பட்டால், சாலைக் கோடு சில தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கும்:

அச்சு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு பூஜ்ஜிய உயரம்; வாழ்க்கையில் நாம் கடல் மட்டத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

அத்தகைய பாதையில் நாம் முன்னேறும்போது, ​​​​நாமும் மேலே அல்லது கீழே செல்கிறோம். நாம் மேலும் கூறலாம்: வாதம் மாறும்போது (அப்சிஸ்ஸா அச்சில் இயக்கம்), செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறுகிறது (ஆர்டினேட் அச்சில் இயக்கம்). இப்போது நமது சாலையின் "செங்குத்தான தன்மையை" எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்று யோசிப்போம்? இது என்ன வகையான மதிப்பாக இருக்க முடியும்? இது மிகவும் எளிது: ஒரு குறிப்பிட்ட தூரம் முன்னோக்கி நகரும் போது உயரம் எவ்வளவு மாறும். உண்மையில், சாலையின் வெவ்வேறு பிரிவுகளில், ஒரு கிலோமீட்டர் முன்னோக்கி (x- அச்சில்) நகர்ந்தால், கடல் மட்டத்துடன் (y- அச்சில்) ஒப்பிடும்போது வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான மீட்டர்கள் உயரும் அல்லது விழும்.

முன்னேற்றத்தைக் குறிப்போம் ("டெல்டா x"ஐப் படிக்கவும்).

கிரேக்க எழுத்து (டெல்டா) பொதுவாக கணிதத்தில் "மாற்றம்" என்று பொருள்படும் முன்னொட்டாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதாவது, இது அளவு மாற்றம், - ஒரு மாற்றம்; பிறகு அது என்ன? அது சரி, அளவு மாற்றம்.

முக்கியமானது: ஒரு வெளிப்பாடு என்பது ஒரு முழு, ஒரு மாறி. "டெல்டா" ஐ "x" அல்லது வேறு எந்த எழுத்தில் இருந்து பிரிக்க வேண்டாம்!

அதாவது, உதாரணமாக, .

எனவே, நாங்கள் கிடைமட்டமாக முன்னேறிவிட்டோம். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் சாலையின் கோட்டை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், உயர்வை எவ்வாறு குறிப்பிடுவது? நிச்சயமாக, . அதாவது, நாம் முன்னேறும்போது, ​​​​மேலும் உயருகிறோம்.

மதிப்பைக் கணக்கிடுவது எளிது: ஆரம்பத்தில் நாம் உயரத்தில் இருந்திருந்தால், நகர்ந்த பிறகு நாம் உயரத்தில் இருப்பதைக் கண்டோம். தொடக்கப் புள்ளியை விட முடிவுப் புள்ளி குறைவாக இருந்தால், அது எதிர்மறையாக இருக்கும் - இதன் பொருள் நாம் ஏறவில்லை, ஆனால் இறங்குகிறோம்.

"செங்குத்தான நிலைக்கு" திரும்புவோம்: இது ஒரு யூனிட் தூரத்தை முன்னோக்கி நகர்த்தும்போது உயரம் எவ்வளவு (செங்குத்தாக) அதிகரிக்கிறது என்பதைக் காட்டும் மதிப்பு:

சாலையின் சில பகுதியில், ஒரு கிலோமீட்டர் முன்னோக்கிச் செல்லும்போது, ​​​​சாலை ஒரு கிலோமீட்டர் வரை உயர்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் இந்த இடத்தில் சாய்வு சமமாக இருக்கும். மேலும் சாலை, மீ முன்னோக்கி நகரும் போது, ​​கிமீ குறையுமா? பின்னர் சாய்வு சமமாக இருக்கும்.

அதாவது, எங்கள் தர்க்கத்தின் படி, இங்கே சாய்வு கிட்டத்தட்ட பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று மாறிவிடும், இது தெளிவாக உண்மை இல்லை. ஒரு கிலோமீட்டர் தூரத்தில் நிறைய மாறலாம். செங்குத்தான தன்மையின் போதுமான மற்றும் துல்லியமான மதிப்பீட்டிற்கு சிறிய பகுதிகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு மீட்டரை நகர்த்தும்போது உயரத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தை அளந்தால், முடிவு மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும். ஆனால் இந்த துல்லியம் கூட நமக்கு போதுமானதாக இருக்காது - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, சாலையின் நடுவில் ஒரு கம்பம் இருந்தால், அதை நாம் கடந்து செல்லலாம். நாம் எந்த தூரத்தை தேர்வு செய்ய வேண்டும்? சென்டிமீட்டரா? மில்லிமீட்டரா? குறைவானது அதிகம்!

IN உண்மையான வாழ்க்கைஅருகிலுள்ள மில்லிமீட்டருக்கு தூரத்தை அளவிடுவது போதுமானதை விட அதிகம். ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் எப்போதும் முழுமைக்காக பாடுபடுகிறார்கள். எனவே, கருத்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது எல்லையற்ற, அதாவது, நாம் பெயரிடக்கூடிய எந்த எண்ணையும் விட முழுமையான மதிப்பு குறைவாக உள்ளது. உதாரணமாக, நீங்கள் சொல்கிறீர்கள்: ஒரு டிரில்லியன்! எவ்வளவு குறைவு? நீங்கள் இந்த எண்ணை வகுத்தால் - அது இன்னும் குறைவாக இருக்கும். மற்றும் பல. ஒரு அளவு எண்ணற்றது என்று எழுத விரும்பினால், நாம் இப்படி எழுதுகிறோம்: ("x என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு முனைகிறது" என்று படிக்கிறோம்). புரிந்து கொள்வது மிகவும் அவசியம் இந்த எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்று!ஆனால் அதற்கு மிக அருகில். இதன் மூலம் நீங்கள் பிரிக்கலாம் என்று அர்த்தம்.

முடிவிலிக்கு எதிரான கருத்து எல்லையற்ற பெரியது (). நீங்கள் ஏற்றத்தாழ்வுகளில் பணிபுரியும் போது நீங்கள் ஏற்கனவே அதைக் கண்டிருக்கலாம்: இந்த எண் நீங்கள் நினைக்கும் எந்த எண்ணையும் விட அதிகமாக உள்ளது. நீங்கள் மிகப்பெரிய எண்ணைக் கொண்டு வந்தால், அதை இரண்டால் பெருக்கினால், இன்னும் பெரிய எண்ணைப் பெறுவீர்கள். மேலும் முடிவிலி நடப்பதை விட பெரியது. உண்மையில், எல்லையற்ற பெரியது மற்றும் எல்லையற்ற சிறியது ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறானது, அதாவது at, மற்றும் நேர்மாறாக: at.

இப்போது நம் பாதைக்கு வருவோம். இலட்சியமாக கணக்கிடப்பட்ட சாய்வு என்பது பாதையின் எல்லையற்ற பகுதிக்கு கணக்கிடப்பட்ட சாய்வாகும், அதாவது:

எல்லையற்ற இடப்பெயர்ச்சியுடன், உயரத்தின் மாற்றமும் எல்லையற்றதாக இருக்கும் என்பதை நான் கவனிக்கிறேன். ஆனால் இன்ஃபினிட்டிசிமல் என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் அல்ல என்பதை நினைவூட்டுகிறேன். நீங்கள் எண்ணற்ற எண்களை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்தால், நீங்கள் முற்றிலும் சாதாரண எண்ணைப் பெறலாம், எடுத்துக்காட்டாக, . அதாவது, ஒரு சிறிய மதிப்பு மற்றொன்றை விட சரியாக மடங்கு பெரியதாக இருக்கும்.

இதெல்லாம் எதற்கு? சாலை, செங்குத்தான... நாங்கள் கார் பேரணியில் செல்லவில்லை, ஆனால் நாங்கள் கணிதம் கற்பிக்கிறோம். மேலும் கணிதத்தில் எல்லாமே ஒரே மாதிரியானவை, வித்தியாசமாக மட்டுமே அழைக்கப்படுகிறது.

வழித்தோன்றல் கருத்து

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதமாகும்.

அதிகரித்துகணிதத்தில் மாற்றம் என்பார்கள். வாதம் () அச்சில் நகரும்போது எந்த அளவிற்கு மாறுகிறது என்பது அழைக்கப்படுகிறது வாதம் அதிகரிப்புமற்றும் தொலைவில் அச்சில் முன்னோக்கி நகரும் போது செயல்பாடு (உயரம்) எவ்வளவு மாறிவிட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகரிப்புமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது எப்போது என்பதற்கான விகிதமாகும். செயல்பாட்டின் அதே எழுத்துடன், மேல் வலதுபுறத்தில் ஒரு ப்ரைமுடன் மட்டுமே வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறோம்: அல்லது எளிமையாக. எனவே, இந்த குறிப்புகளைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தை எழுதுவோம்:

சாலையுடனான ஒப்புமையைப் போலவே, இங்கே செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, ​​வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியுமா? நிச்சயமாக. உதாரணமாக, நாம் ஒரு தட்டையான கிடைமட்ட சாலையில் வாகனம் ஓட்டினால், செங்குத்தானது பூஜ்ஜியமாகும். அது உண்மைதான், உயரம் மாறாது. இது வழித்தோன்றலுடன் உள்ளது: நிலையான செயல்பாட்டின் (நிலையான) வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

அத்தகைய செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு எதற்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

மலை உச்சி உதாரணத்தை நினைவில் கொள்வோம். பிரிவின் முனைகளை ஏற்பாடு செய்வது சாத்தியம் என்று மாறியது வெவ்வேறு பக்கங்கள்மேலே இருந்து, முனைகளில் உயரம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதாவது, பிரிவு அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்:

ஆனால் பெரிய பகுதிகள் துல்லியமற்ற அளவீட்டின் அடையாளம். நமது பிரிவை தனக்கு இணையாக உயர்த்துவோம், பிறகு அதன் நீளம் குறையும்.

இறுதியில், நாம் எல்லையின்றி மேலே இருக்கும் போது, ​​பிரிவின் நீளம் எல்லையற்றதாக மாறும். ஆனால் அதே நேரத்தில், அது அச்சுக்கு இணையாக இருந்தது, அதாவது, அதன் முனைகளில் உயர வேறுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (அது முனையவில்லை, ஆனால் சமமாக உள்ளது). எனவே வழித்தோன்றல்

இதை இவ்வாறு புரிந்து கொள்ளலாம்: நாம் மிக உச்சியில் நிற்கும்போது, ​​இடது அல்லது வலது பக்கம் ஒரு சிறிய மாற்றம் நமது உயரத்தை அலட்சியமாக மாற்றுகிறது.

முற்றிலும் இயற்கணித விளக்கமும் உள்ளது: உச்சியின் இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, வலதுபுறம் குறைகிறது. நாம் முன்பு கண்டறிந்தபடி, ஒரு செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, ​​வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும். ஆனால் அது தாவல்கள் இல்லாமல் சீராக மாறுகிறது (சாலை அதன் சாய்வை எங்கும் கூர்மையாக மாற்றாது). எனவே, எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு இடையில் இருக்க வேண்டும். செயல்பாடு அதிகரிக்காமலும் குறையாமலும் இருக்கும் - உச்சியில்.

தொட்டிக்கும் இது பொருந்தும் (இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு குறைந்து வலதுபுறம் அதிகரிக்கும் பகுதி):

அதிகரிப்பு பற்றி இன்னும் கொஞ்சம்.

எனவே நாம் வாதத்தை பெரிதாக்குகிறோம். எந்த மதிப்பில் இருந்து மாறுகிறோம்? அது (வாதம்) இப்போது என்ன ஆனது? நாம் எந்த புள்ளியையும் தேர்வு செய்யலாம், இப்போது அதிலிருந்து நடனமாடுவோம்.

ஒரு ஆயத்துடன் ஒரு புள்ளியைக் கவனியுங்கள். அதில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு சமம். பின்னர் அதே அதிகரிப்பு செய்கிறோம்: நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பை அதிகரிக்கிறோம். இப்போது என்ன வாதம்? மிகவும் எளிதானது: . இப்போது செயல்பாட்டின் மதிப்பு என்ன? வாதம் செல்லும் இடத்தில், செயல்பாடும் செல்கிறது: . செயல்பாடு அதிகரிப்பு பற்றி என்ன? புதிதாக எதுவும் இல்லை: இது இன்னும் செயல்பாடு மாறிய அளவு:

அதிகரிப்புகளைக் கண்டறிய பயிற்சி செய்யுங்கள்:

  1. வாதத்தின் அதிகரிப்பு சமமாக இருக்கும்போது ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்.
  2. ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டிற்கும் இதுவே செல்கிறது.

தீர்வுகள்:

ஒரே வாத அதிகரிப்புடன் வெவ்வேறு புள்ளிகளில், செயல்பாடு அதிகரிப்பு வேறுபட்டதாக இருக்கும். இதன் பொருள் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள வழித்தோன்றல் வேறுபட்டது (இதை நாங்கள் ஆரம்பத்தில் விவாதித்தோம் - சாலையின் செங்குத்தானது வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வேறுபட்டது). எனவே, நாம் ஒரு வழித்தோன்றலை எழுதும்போது, ​​எந்த புள்ளியில் குறிப்பிட வேண்டும்:

சக்தி செயல்பாடு.

ஒரு சக்தி செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு ஆகும், அங்கு வாதம் ஓரளவிற்கு (தர்க்கரீதியானது, சரியா?).

மேலும் - எந்த அளவிற்கு: .

எளிமையான வழக்கு- இது அடுக்கும் போது:

ஒரு கட்டத்தில் அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். வழித்தோன்றலின் வரையறையை நினைவு கூர்வோம்:

எனவே வாதம் மாறுகிறது. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு என்ன?

அதிகரிப்பு இது. ஆனால் எந்த புள்ளியிலும் ஒரு செயல்பாடு அதன் வாதத்திற்கு சமம். அதனால்தான்:

வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

இதன் வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

b) இப்போது கவனியுங்கள் இருபடி செயல்பாடு (): .

இப்போது அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள் அதிகரிப்பின் மதிப்பு புறக்கணிக்கப்படலாம், ஏனெனில் இது எண்ணற்றது, எனவே மற்ற சொல்லின் பின்னணிக்கு எதிராக முக்கியமற்றது:

எனவே, நாங்கள் மற்றொரு விதியைக் கொண்டு வந்தோம்:

c) நாங்கள் தருக்க தொடரை தொடர்கிறோம்: .

இந்த வெளிப்பாட்டை வெவ்வேறு வழிகளில் எளிமைப்படுத்தலாம்: தொகையின் கனசதுரத்தின் சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முதல் அடைப்புக்குறியைத் திறக்கவும் அல்லது க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி முழு வெளிப்பாட்டையும் காரணியாக்கவும். பரிந்துரைக்கப்பட்ட முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி அதை நீங்களே செய்ய முயற்சிக்கவும்.

எனவே, நான் பின்வருவனவற்றைப் பெற்றேன்:

மீண்டும் அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள், பின்வரும் அனைத்து விதிமுறைகளையும் நாம் புறக்கணிக்கலாம்:

நாம் பெறுகிறோம்: .

ஈ) பெரிய அதிகாரங்களுக்கு இதே போன்ற விதிகளைப் பெறலாம்:

e) ஒரு முழு எண்ணாகக் கூட இல்லாமல், தன்னிச்சையான அடுக்குடன் கூடிய ஆற்றல் செயல்பாட்டிற்கு இந்த விதியை பொதுமைப்படுத்தலாம்:

(2)

விதியை வார்த்தைகளில் உருவாக்கலாம்: "பட்டம் ஒரு குணகமாக முன்னோக்கி கொண்டு வரப்படுகிறது, பின்னர் குறைக்கப்படுகிறது."

இந்த விதியை நாங்கள் பின்னர் நிரூபிப்போம் (கிட்டத்தட்ட முடிவில்). இப்போது சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

  1. (இரண்டு வழிகளில்: சூத்திரம் மற்றும் வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல் - செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம்);
  1. . நம்புங்கள் அல்லது இல்லை, இது ஒரு சக்தி செயல்பாடு. உங்களுக்கு இதுபோன்ற கேள்விகள் இருந்தால் “இது எப்படி? பட்டம் எங்கே?”, தலைப்பை நினைவில் கொள்க “”!
    ஆம், ஆம், மூலமும் ஒரு பட்டம், பின்னம் மட்டுமே: .
    எனவே நம்முடையது சதுர வேர்- இது ஒரு குறிகாட்டியுடன் கூடிய பட்டம் மட்டுமே:
    .
    சமீபத்தில் கற்றுக்கொண்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம்:

    இந்த கட்டத்தில் அது மீண்டும் தெளிவில்லாமல் இருந்தால், "" என்ற தலைப்பை மீண்டும் செய்யவும்!!! (எதிர்மறை அடுக்குடன் சுமார் ஒரு டிகிரி)

  2. . இப்போது அடுக்கு:

    இப்போது வரையறை மூலம் (நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா?):
    ;
    .
    இப்போது, ​​​​வழக்கமாக, நாங்கள் அடங்கிய சொல்லை புறக்கணிக்கிறோம்:
    .

  3. . முந்தைய வழக்குகளின் சேர்க்கை: .

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்.

இங்கே நாம் உயர் கணிதத்திலிருந்து ஒரு உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம்:

வெளிப்பாட்டுடன்.

இன்ஸ்டிட்யூட்டின் முதல் ஆண்டில் நீங்கள் ஆதாரத்தைக் கற்றுக்கொள்வீர்கள் (மேலும் அங்கு செல்ல, நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற வேண்டும்). இப்போது நான் அதை வரைபடமாகக் காட்டுகிறேன்:

செயல்பாடு இல்லாதபோது - வரைபடத்தின் புள்ளி வெட்டப்பட்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். ஆனால் மதிப்புக்கு நெருக்கமாக, செயல்பாடு இதுவே "நோக்கம்" ஆகும்.

கூடுதலாக, கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி இந்த விதியை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம். ஆம், ஆம், வெட்கப்பட வேண்டாம், கால்குலேட்டரை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், நாங்கள் இன்னும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இல்லை.

எனவே, முயற்சிப்போம்: ;

உங்கள் கால்குலேட்டரை ரேடியன்ஸ் பயன்முறைக்கு மாற்ற மறக்காதீர்கள்!

முதலியன விகிதத்தின் மதிப்பு சிறியதாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

அ) செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். வழக்கம் போல், அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

சைன்களின் வித்தியாசத்தை ஒரு தயாரிப்பாக மாற்றுவோம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ("" தலைப்பை நினைவில் கொள்க): .

இப்போது வழித்தோன்றல்:

மாற்றீடு செய்வோம்: . பிறகு எல்லையற்ற அற்பத்திற்கு அதுவும் எல்லையற்றது: . இதற்கான வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கிறது:

இப்போது நாம் அதை வெளிப்பாடுடன் நினைவில் கொள்கிறோம். மேலும், எல்லையற்றதாக இருந்தால் என்ன சிறிய அளவுதொகையில் (அதாவது மணிக்கு) புறக்கணிக்கப்படலாம்.

எனவே, பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்: சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம்:

இவை அடிப்படை ("அட்டவணை") வழித்தோன்றல்கள். இங்கே அவை ஒரு பட்டியலில் உள்ளன:

பின்னர் அவற்றில் இன்னும் சிலவற்றைச் சேர்ப்போம், ஆனால் இவை மிக முக்கியமானவை, ஏனெனில் அவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பயிற்சி:

  1. ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்;
  2. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள்:

  1. முதலில், உள்ள வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் பொதுவான பார்வை, பின்னர் அதன் மதிப்பை மாற்றவும்:
    ;
    .
  2. இங்கே நமக்கு ஒத்த ஒன்று உள்ளது சக்தி செயல்பாடு. அவளை அழைத்து வர முயற்சிப்போம்
    இயல்பான பார்வை:
    .
    அருமை, இப்போது நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
    .
    .
  3. . ஈஈஈஈ.....என்ன இது????

சரி, நீங்கள் சொல்வது சரிதான், அத்தகைய வழித்தோன்றல்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது எங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை. இங்கே நாம் பல வகையான செயல்பாடுகளின் கலவையைக் கொண்டுள்ளோம். அவர்களுடன் பணியாற்ற, நீங்கள் இன்னும் சில விதிகளைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்:

அடுக்கு மற்றும் இயற்கை மடக்கை.

கணிதத்தில் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது, அதன் வழித்தோன்றல் எந்த மதிப்பிற்கும் அதே நேரத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும். இது "அடுக்கு" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ஒரு அதிவேக செயல்பாடு ஆகும்

இந்த செயல்பாட்டின் அடிப்படை ஒரு நிலையானது - இது எல்லையற்றது தசம, அதாவது, ஒரு விகிதமுறா எண் (அதாவது). இது "ஆய்லர் எண்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதனால்தான் இது ஒரு கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

எனவே, விதி:

நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது.

சரி, நாம் வெகுதூரம் செல்ல வேண்டாம், உடனடியாக தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். அதிவேக செயல்பாட்டின் தலைகீழ் செயல்பாடு எது? மடக்கை:

எங்கள் விஷயத்தில், அடிப்படை எண்:

அத்தகைய மடக்கை (அதாவது, அடித்தளத்துடன் கூடிய மடக்கை) "இயற்கை" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதற்கு ஒரு சிறப்பு குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்: அதற்கு பதிலாக எழுதுகிறோம்.

அது எதற்கு சமம்? நிச்சயமாக.

இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றலும் மிகவும் எளிமையானது:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  1. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
  2. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்ன?

பதில்கள்: அதிவேக மற்றும் இயற்கை மடக்கை ஒரு வழித்தோன்றல் கண்ணோட்டத்தில் தனித்துவமான எளிமையான செயல்பாடுகள். வேறு எந்த அடிப்படையையும் கொண்ட அதிவேக மற்றும் மடக்கைச் சார்புகள் வேறுபட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கும், அதை நாம் வேறுபாட்டின் விதிகளுக்குப் பிறகு பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

வேறுபாடு விதிகள்

என்ன விதிகள்? மீண்டும் ஒரு புதிய சொல்?!...

வேறுபாடுவழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறையாகும்.

அவ்வளவுதான். இந்த செயல்முறையை ஒரே வார்த்தையில் வேறு என்ன அழைக்கலாம்? வழித்தோன்றல் அல்ல... ஒரு செயல்பாட்டின் அதே அதிகரிப்பு என்று கணிதவியலாளர்கள் வேறுபாட்டை அழைக்கின்றனர். இந்த சொல் லத்தீன் வேறுபாடு - வேறுபாடு இருந்து வந்தது. இங்கே.

இந்த விதிகள் அனைத்தையும் பெறும்போது, ​​நாம் இரண்டு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவோம், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும். அவற்றின் அதிகரிப்புக்கான சூத்திரங்களும் நமக்குத் தேவைப்படும்:

மொத்தம் 5 விதிகள் உள்ளன.

மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது.

என்றால் - சில நிலையான எண் (நிலையான), பின்னர்.

வெளிப்படையாக, இந்த விதி வேறுபாட்டிற்கும் வேலை செய்கிறது: .

நிரூபிப்போம். அது இருக்கட்டும், அல்லது எளிமையாக இருக்கட்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

  1. ஒரு கட்டத்தில்;
  2. ஒரு கட்டத்தில்;
  3. ஒரு கட்டத்தில்;
  4. புள்ளியில்.

தீர்வுகள்:

  1. (இதிலிருந்து வழித்தோன்றல் எல்லா புள்ளிகளிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் நேரியல் செயல்பாடு, நினைவிருக்கிறதா?);

தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்

இங்கே எல்லாம் ஒத்திருக்கிறது: ஒரு புதிய செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்தி அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்:

வழித்தோன்றல்:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  1. செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும் மற்றும்;
  2. ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள்:

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறிய இப்போது உங்கள் அறிவு போதுமானது, ஆனால் அடுக்குகள் மட்டுமல்ல (அது என்ன என்பதை நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா?).

எனவே, சில எண் எங்கே.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம், எனவே எங்கள் செயல்பாட்டை ஒரு புதிய தளத்திற்கு கொண்டு வர முயற்சிப்போம்:

இதைச் செய்ய, நாங்கள் ஒரு எளிய விதியைப் பயன்படுத்துவோம்: . பிறகு:

சரி, அது வேலை செய்தது. இப்போது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும், இந்த செயல்பாடு சிக்கலானது என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.

அது வேலை செய்ததா?

இங்கே, உங்களை நீங்களே சரிபார்க்கவும்:

சூத்திரம் ஒரு அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றலுக்கு மிகவும் ஒத்ததாக மாறியது: அது அப்படியே உள்ளது, ஒரு காரணி மட்டுமே தோன்றியது, இது ஒரு எண், ஆனால் ஒரு மாறி அல்ல.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

பதில்கள்:

இது ஒரு கால்குலேட்டர் இல்லாமல் கணக்கிட முடியாத ஒரு எண், அதாவது, இதை இனி எழுத முடியாது. எளிய வடிவத்தில். எனவே, பதிலில் இந்த வடிவத்தில் விட்டுவிடுகிறோம்.

மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

இது இங்கே ஒத்திருக்கிறது: இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல் உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்:

எனவே, வேறு தளத்துடன் தன்னிச்சையான மடக்கையைக் கண்டறிய, எடுத்துக்காட்டாக:

இந்த மடக்கையை அடிப்படையாக குறைக்க வேண்டும். மடக்கையின் அடித்தளத்தை எவ்வாறு மாற்றுவது? இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள் என்று நம்புகிறேன்:

இப்போது நாம் அதற்கு பதிலாக எழுதுவோம்:

வகுத்தல் என்பது வெறுமனே ஒரு மாறிலி (ஒரு மாறிலி இல்லாத ஒரு நிலையான எண்). வழித்தோன்றல் மிகவும் எளிமையாக பெறப்படுகிறது:

அதிவேக மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் கிட்டத்தட்ட ஒருபோதும் காணப்படவில்லை, ஆனால் அவற்றை அறிவது மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது.

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

என்ன நடந்தது" சிக்கலான செயல்பாடு"? இல்லை, இது மடக்கை அல்ல, ஆர்க்டஜென்ட் அல்ல. இந்த செயல்பாடுகளை புரிந்துகொள்வது கடினமாக இருக்கலாம் (நீங்கள் மடக்கை கடினமாக இருந்தால், "மடக்கை" என்ற தலைப்பைப் படிக்கவும், நீங்கள் நன்றாக இருப்பீர்கள்), ஆனால் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், "சிக்கலானது" என்ற வார்த்தையானது "கடினமானது" என்று அர்த்தமல்ல.

ஒரு சிறிய கன்வேயர் பெல்ட்டை கற்பனை செய்து பாருங்கள்: இரண்டு பேர் உட்கார்ந்து சில பொருட்களைக் கொண்டு சில செயல்களைச் செய்கிறார்கள். உதாரணமாக, முதல் ஒரு சாக்லேட் பட்டியை ஒரு ரேப்பரில் போர்த்தி, இரண்டாவது அதை ரிப்பனுடன் இணைக்கிறது. இதன் விளைவாக ஒரு கலப்பு பொருள்: ஒரு சாக்லேட் பட்டை மூடப்பட்டு, ரிப்பனுடன் கட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு சாக்லேட் பார் சாப்பிட, நீங்கள் தலைகீழ் படிகளை செய்ய வேண்டும் தலைகீழ் வரிசை.

இதேபோன்ற கணிதக் குழாய் ஒன்றை உருவாக்குவோம்: முதலில் ஒரு எண்ணின் கோசைனைக் கண்டுபிடித்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணை சதுரமாக்குவோம். எனவே, எங்களுக்கு ஒரு எண் (சாக்லேட்) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் கொசைனை (ரேப்பர்) நான் கண்டுபிடித்தேன், பின்னர் எனக்கு கிடைத்ததை நீங்கள் சதுரமாக்குங்கள் (அதை ரிப்பனுடன் கட்டவும்). என்ன நடந்தது? செயல்பாடு. இது ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு: அதன் மதிப்பைக் கண்டறிய, முதல் செயலை நேரடியாக மாறியுடன் செய்கிறோம், பின்னர் முதல் செயலின் விளைவாக இரண்டாவது செயலைச் செய்கிறோம்.

அதே படிகளை நாம் தலைகீழ் வரிசையில் எளிதாகச் செய்யலாம்: முதலில் நீங்கள் அதைச் சதுரம் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணின் கொசைனைத் தேடுகிறேன்: . முடிவு எப்போதும் வித்தியாசமாக இருக்கும் என்று யூகிக்க எளிதானது. முக்கிய அம்சம்சிக்கலான செயல்பாடுகள்: செயல்களின் வரிசை மாறும்போது, ​​செயல்பாடு மாறுகிறது.

வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு, அதன் வாதம் மற்றொரு செயல்பாடு: .

முதல் உதாரணத்திற்கு, .

இரண்டாவது உதாரணம்: (அதே விஷயம்). .

கடைசியாக நாம் செய்யும் செயல் அழைக்கப்படும் "வெளிப்புற" செயல்பாடு, மற்றும் முதலில் செய்யப்படும் செயல் - அதன்படி "உள்" செயல்பாடு(இவை முறைசாரா பெயர்கள், நான் அவற்றை எளிய மொழியில் பொருள் விளக்க மட்டுமே பயன்படுத்துகிறேன்).

எந்த செயல்பாடு வெளிப்புறமானது மற்றும் எந்த உள் செயல்பாடு என்பதை நீங்களே தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:

பதில்கள்:உள் மற்றும் வெளிப்புற செயல்பாடுகளை பிரிப்பது மாறிகளை மாற்றுவதைப் போன்றது: எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாட்டில்

  1. முதலில் நாம் என்ன செயலைச் செய்வோம்? முதலில், சைனைக் கணக்கிடுவோம், பின்னர் அதை கனசதுரமாக்குவோம். இதன் பொருள் இது ஒரு உள் செயல்பாடு, ஆனால் வெளிப்புறமானது.
    மற்றும் அசல் செயல்பாடு அவற்றின் கலவை: .
  2. அக: ; வெளி:.
    தேர்வு: .
  3. அக: ; வெளி:.
    தேர்வு: .
  4. அக: ; வெளி:.
    தேர்வு: .
  5. அக: ; வெளி:.
    தேர்வு: .

நாம் மாறிகளை மாற்றி ஒரு செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

சரி, இப்போது நாம் சாக்லேட் பட்டையை பிரித்தெடுத்து அதன் வழித்தோன்றலைத் தேடுவோம். செயல்முறை எப்போதும் தலைகீழாக இருக்கும்: முதலில் நாம் வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம், பின்னர் உள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலால் முடிவைப் பெருக்குகிறோம். அசல் எடுத்துக்காட்டுடன், இது போல் தெரிகிறது:

மற்றொரு உதாரணம்:

எனவே, இறுதியாக அதிகாரப்பூர்வ விதியை உருவாக்குவோம்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

இது எளிமையானதாகத் தெரிகிறது, இல்லையா?

எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சரிபார்க்கலாம்:

தீர்வுகள்:

1) உள்: ;

வெளி: ;

2) உள்:;

(இப்போது அதை வெட்ட முயற்சிக்காதீர்கள்! கொசைன் கீழ் இருந்து எதுவும் வெளிவரவில்லை, நினைவிருக்கிறதா?)

3) உள்: ;

வெளி: ;

இது மூன்று-நிலை சிக்கலான செயல்பாடு என்பது உடனடியாகத் தெளிவாகிறது: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஏற்கனவே ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகும், மேலும் அதிலிருந்து வேரைப் பிரித்தெடுக்கிறோம், அதாவது மூன்றாவது செயலைச் செய்கிறோம் (சாக்லேட்டை ஒரு இடத்தில் வைக்கிறோம். ரேப்பர் மற்றும் பிரீஃப்கேஸில் ஒரு ரிப்பனுடன்). ஆனால் பயப்படுவதற்கு எந்த காரணமும் இல்லை: இந்த செயல்பாட்டை வழக்கம் போல் அதே வரிசையில் "திறப்போம்": முடிவில் இருந்து.

அதாவது, முதலில் நாம் மூலத்தையும், பின்னர் கொசைனையும், பின்னர் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டையும் வேறுபடுத்துகிறோம். பின்னர் நாம் அனைத்தையும் பெருக்குகிறோம்.

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், செயல்களை எண்ணுவது வசதியானது. அதாவது, நமக்குத் தெரிந்ததைக் கற்பனை செய்வோம். இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட எந்த வரிசையில் செயல்களைச் செய்வோம்? ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

செயல் எவ்வளவு தாமதமாக செய்யப்படுகிறதோ, அவ்வளவு "வெளிப்புறமாக" தொடர்புடைய செயல்பாடு இருக்கும். செயல்களின் வரிசை முந்தையதைப் போலவே உள்ளது:

இங்கே கூடு பொதுவாக 4-நிலை. நடவடிக்கை வரிசையை தீர்மானிப்போம்.

1. தீவிர வெளிப்பாடு. .

2. வேர். .

3. சைன். .

4. சதுரம். .

5. அனைத்தையும் ஒன்றாக இணைத்தல்:

வழித்தோன்றல். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்- வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதம்:

அடிப்படை வழித்தோன்றல்கள்:

வேறுபாடு விதிகள்:

மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது:

தொகையின் வழித்தோன்றல்:

தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்:

விகுதியின் வழித்தோன்றல்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

  1. "உள்" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
  2. நாங்கள் "வெளிப்புற" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்.
  3. முதல் மற்றும் இரண்டாவது புள்ளிகளின் முடிவுகளை நாங்கள் பெருக்குகிறோம்.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

உள்ளடக்கம்

உள்ளடக்க கூறுகள்

டெரிவேடிவ், டேன்ஜென்ட், ஆன்டிடெரிவேடிவ், சார்புகள் மற்றும் டெரிவேடிவ்களின் வரைபடங்கள்.

வழித்தோன்றல்\(f(x)\) செயல்பாடு \(x_0\) புள்ளியின் சில பகுதியில் வரையறுக்கப்படட்டும்.

\(x_0\) புள்ளியில் \(f\) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

இந்த வரம்பு இருந்தால்.

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் இந்தச் செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தை வகைப்படுத்துகிறது.

வழித்தோன்றல்கள் அட்டவணை

செயல்பாடு வழித்தோன்றல்
\(நிலை\) \(0\)
\(x\) \(1\)
\(x^n\) \(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\) \(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\) \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\) \(e^x\)
\(a^x\) \(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\) \(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\) \(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\) \(\cos x\)
\(\cos x\) \(-\sin x\)
\(\tg x\) \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\) \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

வேறுபாடு விதிகள்\(f\) மற்றும் \(g\) ஆகியவை \(x\) மாறியைப் பொறுத்து செயல்பாடுகளாகும்; \(c\) என்பது ஒரு எண்.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\இடது(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு- அச்சுக்கு இணையாக இல்லை \(Oy\) என்பதை \(y=kx+b\) வடிவத்தில் எழுதலாம். இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள குணகம் \(k\) என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒரு நேர் கோட்டின் சாய்வு. இது தொடுகோடு சமம் சாய்வு கோணம்இந்த நேர்கோடு.

நேரான கோணம்- \(Ox\) அச்சின் நேர்மறையான திசைக்கும் இந்த நேர்கோட்டிற்கும் இடையே உள்ள கோணம், நேர்கோணங்களின் திசையில் அளவிடப்படுகிறது (அதாவது, \(Ox\) அச்சில் இருந்து \ க்கு சிறிய சுழற்சியின் திசையில் (ஓய்\) அச்சு).

\(x_0\) புள்ளியில் உள்ள \(f(x)\) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சாய்வுக்கு சமம்: \(f"(x_0)=\tg\ ஆல்பா.\)

\(f"(x_0)=0\) எனில், \(x_0\) புள்ளியில் உள்ள \(f(x)\) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு அச்சுக்கு இணையாக \(Ox\) இருக்கும்.

தொடு சமன்பாடு

\(x_0\) புள்ளியில் \(f(x)\) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாடு:

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டிஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இடைவெளியின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் நேர்மறையாக இருந்தால், இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இடைவெளியின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் எதிர்மறையாக இருந்தால், இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு குறைகிறது.

குறைந்தபட்ச, அதிகபட்ச மற்றும் ஊடுருவல் புள்ளிகள் நேர்மறைஅன்று எதிர்மறைஇந்த கட்டத்தில், \(x_0\) என்பது செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளி \(f\).

\(f\) சார்பு \(x_0\) புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால் மற்றும் இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பு \(f"\) மாறினால் எதிர்மறைஅன்று நேர்மறைஇந்த கட்டத்தில், \(x_0\) என்பது செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி \(f\).

வழித்தோன்றல் \(f"\) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன முக்கியமான புள்ளிகள் செயல்பாடுகள் \(f\).

\(f(x)\) செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனின் உள் புள்ளிகள், இதில் \(f"(x)=0\) குறைந்தபட்சம், அதிகபட்சம் அல்லது ஊடுருவல் புள்ளிகளாக இருக்கலாம்.

வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள்ஒரு பொருள் புள்ளி நேர்கோட்டில் நகரும் மற்றும் அதன் ஒருங்கிணைப்பு சட்டத்தின்படி நேரத்தைப் பொறுத்து மாறினால், இந்த புள்ளியின் வேகம் நேரத்தைப் பொறுத்து ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றலுக்கு சமமாக இருக்கும்:

முடுக்கம் பொருள் புள்ளிநேரத்தைப் பொறுத்து இந்தப் புள்ளியின் வேகத்தின் வழித்தோன்றலுக்குச் சமம்:

\(a(t)=v"(t).\)