வெவ்வேறு அடிப்படைகளைக் கொண்ட சக்திகளைப் பெருக்குவதற்கான விதி

கடந்த வீடியோ பாடத்தில், ஒரு குறிப்பிட்ட அடித்தளத்தின் பட்டம் என்பது அடித்தளத்தின் விளைபொருளைக் குறிக்கும் வெளிப்பாடாகும், இது அதிவேகத்திற்குச் சமமான அளவில் எடுக்கப்பட்டது. சக்திகளின் சில முக்கியமான பண்புகள் மற்றும் செயல்பாடுகளை இப்போது படிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு வெவ்வேறு சக்திகளைக் கொண்டு பெருக்கலாம் அதே அடிப்படையில்:

இந்த வேலையை முழுமையாக வழங்குவோம்:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட்டால், நாம் எண் 32 ஐப் பெறுகிறோம். மறுபுறம், அதே எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், 32 ஐ 5 முறை எடுக்கப்பட்ட அதே அடித்தளத்தின் (இரண்டு) பலனாகக் குறிப்பிடலாம். உண்மையில், நீங்கள் அதை எண்ணினால், பின்:

எனவே, நாம் நம்பிக்கையுடன் முடிவு செய்யலாம்:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

இந்த விதி எந்த குறிகாட்டிகள் மற்றும் எந்த காரணங்களுக்காகவும் வெற்றிகரமாக செயல்படுகிறது. சக்தி பெருக்கத்தின் இந்த பண்பு ஒரு தயாரிப்பில் மாற்றங்களின் போது வெளிப்பாடுகளின் பொருள் பாதுகாக்கப்படுகிறது என்ற விதியிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. எந்த அடிப்படை a க்கும், (a)x மற்றும் (a)y ஆகிய இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் பெருக்கல் a(x + y) க்கு சமம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரே அடிப்படையிலான எந்த வெளிப்பாடுகளும் உருவாக்கப்படும்போது, ​​​​விளைவான மோனோமியல் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வெளிப்பாடுகளின் பட்டங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட மொத்தப் பட்டத்தை கொண்டுள்ளது.

பல வெளிப்பாடுகளை பெருக்கும் போது வழங்கப்பட்ட விதி சிறப்பாக செயல்படுகிறது. முக்கிய நிபந்தனை என்னவென்றால், அனைவருக்கும் ஒரே அடிப்படைகள் உள்ளன. உதாரணமாக:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

பட்டங்களைச் சேர்ப்பது சாத்தியமற்றது, மேலும் அவற்றின் அடிப்படைகள் வேறுபட்டால் வெளிப்பாட்டின் இரண்டு கூறுகளைக் கொண்ட எந்தவொரு சக்தி அடிப்படையிலான கூட்டுச் செயல்களையும் உண்மையில் செயல்படுத்த முடியாது.
எங்கள் வீடியோ காண்பிக்கிறபடி, பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்முறைகளின் ஒற்றுமை காரணமாக, ஒரு தயாரிப்பில் சக்திகளைச் சேர்ப்பதற்கான விதிகள் வகுத்தல் நடைமுறைக்கு மாற்றப்படுகின்றன. இந்த உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

வெளிப்பாடு காலத்தை அதன் முழு வடிவமாக மாற்றுவோம் மற்றும் ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பியில் உள்ள அதே கூறுகளைக் குறைப்போம்:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

இந்த எடுத்துக்காட்டின் இறுதி முடிவு அவ்வளவு சுவாரஸ்யமாக இல்லை, ஏனென்றால் ஏற்கனவே அதை தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு இரண்டின் சதுரத்திற்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது. மேலும் இது இரண்டாவது வெளிப்பாட்டின் பட்டத்தை முதல் அளவிலிருந்து கழிப்பதன் மூலம் பெறப்படும் இரண்டு.

பங்கீட்டின் அளவைத் தீர்மானிக்க, டிவிடெண்டின் அளவிலிருந்து வகுப்பின் அளவைக் கழிப்பது அவசியம். விதி அதன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் மற்றும் அனைத்து இயற்கை சக்திகளுக்கும் ஒரே அடித்தளத்துடன் செயல்படுகிறது. சுருக்கத்தின் வடிவத்தில் எங்களிடம் உள்ளது:

(a) x / (a) y = (a) x - y

ஒரே மாதிரியான அடிப்படைகளை டிகிரிகளுடன் பிரிக்கும் விதியிலிருந்து, பூஜ்ஜிய டிகிரிக்கான வரையறை பின்வருமாறு. என்பது வெளிப்படையானது அடுத்த வெளிப்பாடுவடிவம் உள்ளது:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

மறுபுறம், நாம் அதிகமாகப் பிரித்தால் ஒரு காட்சி வழியில், பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

ஒரு பகுதியின் அனைத்து புலப்படும் கூறுகளையும் குறைக்கும் போது, ​​வெளிப்பாடு 1/1 எப்போதும் பெறப்படுகிறது, அதாவது ஒன்று. எனவே, பூஜ்ஜிய சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட எந்த அடித்தளமும் ஒன்றுக்கு சமம் என்பது பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது:

ஒரு மதிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல்.

இருப்பினும், 0 (இன்னும் எந்தப் பெருக்கத்திற்கும் 0 கொடுக்கிறது) எப்படியாவது ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால் அது அபத்தமானது, எனவே (0) 0 (பூஜ்ஜிய சக்திக்கு பூஜ்ஜியம்) வடிவத்தின் வெளிப்பாடு வெறுமனே அர்த்தமற்றது மற்றும் சூத்திரத்திற்கு ( a) 0 = 1 ஒரு நிபந்தனையைச் சேர்க்கவும்: "a 0 க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால்."

உடற்பயிற்சியை தீர்ப்போம். வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

அடிப்படை எல்லா இடங்களிலும் ஒரே மாதிரியாகவும் 34 க்கு சமமாகவும் இருப்பதால், இறுதி மதிப்பு ஒரு பட்டத்துடன் அதே அடித்தளத்தைக் கொண்டிருக்கும் (மேலே உள்ள விதிகளின்படி):

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

பதில்: வெளிப்பாடு ஒன்றுக்கு சமம்.

இயற்கணித வகுப்பில் 7 ஆம் வகுப்பில் கணிதத்தில் பட்டம் என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. பின்னர், கணிதத்தைப் படிக்கும் முழுப் பாடத்திலும், இந்த கருத்து அதன் பல்வேறு வடிவங்களில் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பட்டங்கள் மிகவும் கடினமான தலைப்பு, மதிப்புகளை மனப்பாடம் செய்வது மற்றும் சரியாகவும் விரைவாகவும் எண்ணும் திறன் தேவைப்படுகிறது. வேகமான மற்றும் தரமான வேலைடிகிரிகளுடன், கணிதவியலாளர்கள் டிகிரிகளின் பண்புகளைக் கொண்டு வந்தனர். அவை பெரிய கணக்கீடுகளைக் குறைக்க உதவுகின்றன, ஒரு பெரிய உதாரணத்தை ஓரளவிற்கு ஒற்றை எண்ணாக மாற்றுகின்றன. பல பண்புகள் இல்லை, மேலும் அவை அனைத்தையும் நினைவில் வைத்து நடைமுறையில் பயன்படுத்த எளிதானது. எனவே, பட்டத்தின் அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் அவை எங்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைப் பற்றி கட்டுரை விவாதிக்கிறது.

பட்டத்தின் பண்புகள்

டிகிரிகளின் 12 பண்புகளைப் பார்ப்போம், அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட டிகிரிகளின் பண்புகள் உட்பட, ஒவ்வொரு பண்புக்கும் ஒரு உதாரணம் தருவோம். இந்த பண்புகள் ஒவ்வொன்றும் டிகிரிகளில் உள்ள சிக்கல்களை விரைவாக தீர்க்க உதவும், மேலும் பல கணக்கீட்டு பிழைகளிலிருந்தும் உங்களை காப்பாற்றும்.

1 வது சொத்து.

பலர் இந்த சொத்தை அடிக்கடி மறந்துவிட்டு தவறு செய்கிறார்கள், பூஜ்ஜிய சக்திக்கு ஒரு எண்ணை பூஜ்ஜியமாகக் குறிப்பிடுகிறார்கள்.

2 வது சொத்து.

3 வது சொத்து.

எண்களை பெருக்கும் போது மட்டுமே இந்த சொத்து பயன்படுத்தப்பட முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்; இதுவும் பின்வரும் பண்புகளும் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்ட அதிகாரங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும் என்பதை நாம் மறந்துவிடக் கூடாது.

4 வது சொத்து.

வகுப்பில் ஒரு எண்ணை உயர்த்தியிருந்தால் எதிர்மறை பட்டம், பின்னர் வகுப்பின் அளவைக் கழிக்கும்போது அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கப்படுகிறது சரியான மாற்றுமேலும் கணக்கீடுகளில் உள்நுழைக.

சொத்து பிரிக்கும் போது மட்டுமே வேலை செய்கிறது, கழிக்கும்போது அது பொருந்தாது!

5 வது சொத்து.

6 வது சொத்து.

இந்த பண்பு எதிர் திசையிலும் பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு எண்ணை ஓரளவிற்கு வகுத்தால் அந்த எண்ணை மைனஸ் பவர் ஆகும்.

7 வது சொத்து.

இந்த சொத்தை தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்குப் பயன்படுத்த முடியாது! ஒரு சக்திக்கு ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டை உயர்த்துவது ஆற்றல் பண்புகளை விட சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறது.

8 வது சொத்து.

9 வது சொத்து.

இந்த குணம் ஒன்றுக்கு சமமான எண் கொண்ட எந்த பகுதியளவு சக்திக்கும் வேலை செய்கிறது, சூத்திரம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், சக்தியின் வகுப்பைப் பொறுத்து மூலத்தின் சக்தி மட்டுமே மாறும்.

இந்த சொத்து பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது தலைகீழ் வரிசை. ஒரு எண்ணின் எந்த சக்தியின் மூலத்தையும் இந்த எண்ணின் சக்தியால் வகுக்கப்படும். எண்ணின் மூலத்தை பிரித்தெடுக்க முடியாத சந்தர்ப்பங்களில் இந்த பண்பு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

10 வது சொத்து.

இந்த சொத்து மட்டும் வேலை செய்கிறது சதுர வேர்மற்றும் இரண்டாம் பட்டம். வேரின் அளவும் இந்த வேர் உயர்த்தப்பட்ட பட்டமும் ஒத்துப் போனால், பதில் தீவிர வெளிப்பாடாக இருக்கும்.

11 வது சொத்து.

பெரிய கணக்கீடுகளில் இருந்து உங்களைக் காப்பாற்றிக் கொள்ள, அதைத் தீர்க்கும் போது இந்தச் சொத்தை நீங்கள் சரியான நேரத்தில் பார்க்க வேண்டும்.

12 வது சொத்து.

இந்த பண்புகள் ஒவ்வொன்றும் பணிகளில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை உங்களுக்கு வரும்; எனவே சரியான முடிவுநீங்கள் பயிற்சி செய்து மற்ற கணித அறிவை இணைத்துக்கொள்ள வேண்டிய பண்புகள் மட்டும் போதாது.

பட்டங்களின் பயன்பாடு மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்

அவை இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலில் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கணிதத்தில் பட்டங்கள் தனித்தனியாக உள்ளன, முக்கியமான இடம். அவற்றின் உதவியுடன், அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன, மேலும் கணிதத்தின் பிற கிளைகளுடன் தொடர்புடைய சமன்பாடுகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் பெரும்பாலும் சக்திகளால் சிக்கலாக்கப்படுகின்றன. சக்திகள் பெரிய மற்றும் நீண்ட கணக்கீடுகளைத் தவிர்க்க உதவுகின்றன. ஆனால் பெரிய சக்திகளுடன் அல்லது பெரிய எண்களின் சக்திகளுடன் பணிபுரிய, நீங்கள் சக்தியின் பண்புகளை மட்டும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், ஆனால் அடிப்படைகளுடன் திறமையாக வேலை செய்ய வேண்டும், உங்கள் பணியை எளிதாக்க அவற்றை விரிவாக்க முடியும். வசதிக்காக, சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட எண்களின் அர்த்தத்தையும் நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இது தீர்க்கும் போது உங்கள் நேரத்தை குறைக்கும், நீண்ட கணக்கீடுகளின் தேவையை நீக்குகிறது.

மடக்கைகளில் பட்டம் என்ற கருத்து சிறப்புப் பங்கு வகிக்கிறது. மடக்கை, சாராம்சத்தில், ஒரு எண்ணின் சக்தி என்பதால்.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் அதிகாரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு. டிகிரிகளின் பண்புகளை அவற்றில் பயன்படுத்த முடியாது, அவை சிறப்பு விதிகளின்படி விரிவாக்கப்படுகின்றன, ஆனால் சுருக்கமான பெருக்கத்தின் ஒவ்வொரு சூத்திரத்திலும் மாறாமல் டிகிரி உள்ளன.

இயற்பியல் மற்றும் கணினி அறிவியலிலும் பட்டங்கள் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. SI அமைப்புக்கான அனைத்து மாற்றங்களும் அதிகாரங்களைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகின்றன, மேலும் எதிர்காலத்தில், சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​சக்தியின் பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கணினி அறிவியலில், எண்களை எண்ணுவதற்கும் எளிமைப்படுத்துவதற்கும் வசதிக்காக இரண்டின் சக்திகள் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இயற்பியலில் உள்ளதைப் போலவே, அளவீட்டு அலகுகள் அல்லது சிக்கல்களின் கணக்கீடுகளை மாற்றுவதற்கான கூடுதல் கணக்கீடுகள் டிகிரிகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி நிகழ்கின்றன.

பட்டங்கள் வானவியலில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், அங்கு ஒரு பட்டத்தின் பண்புகளை நீங்கள் அரிதாகவே பார்க்கிறீர்கள், ஆனால் பல்வேறு அளவுகள் மற்றும் தூரங்களின் குறிப்பைக் குறைக்க டிகிரிகள் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பகுதிகள், தொகுதிகள் மற்றும் தூரங்களைக் கணக்கிடும்போது, ​​அன்றாட வாழ்விலும் டிகிரி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எந்த அறிவியல் துறையிலும் மிகப் பெரிய மற்றும் மிகச் சிறிய அளவுகளை பதிவு செய்ய பட்டங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

டிகிரிகளின் பண்புகள் துல்லியமாக ஒரு சிறப்பு இடத்தைப் பெறுகின்றன அதிவேக சமன்பாடுகள்மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள். இந்தப் பணிகள் பள்ளிப் படிப்புகளிலும் தேர்வுகளிலும் மிகவும் பொதுவானவை. அவை அனைத்தும் பட்டத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன. அறியப்படாதது எப்போதும் பட்டத்தில் காணப்படுகிறது, எனவே அனைத்து பண்புகளையும் அறிந்து, அத்தகைய சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல.

நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்த வேண்டும் என்றால், நீங்கள் பயன்படுத்தலாம். இப்போது நாம் ஒரு நெருக்கமான தோற்றத்தை எடுப்போம் டிகிரி பண்புகள்.

அதிவேக எண்கள்திறந்த பெரிய வாய்ப்புகள், அவை பெருக்கத்தை கூட்டலாக மாற்ற அனுமதிக்கின்றன, மேலும் பெருக்குவதை விட கூட்டுவது மிகவும் எளிதானது.

எடுத்துக்காட்டாக, நாம் 16 ஐ 64 ஆல் பெருக்க வேண்டும். இந்த இரண்டு எண்களையும் பெருக்கினால் கிடைக்கும் பலன் 1024. ஆனால் 16 என்பது 4x4, மற்றும் 64 என்பது 4x4x4. அதாவது, 16 ஆல் 64 = 4x4x4x4x4, இதுவும் 1024க்கு சமம்.

எண் 16 ஐ 2x2x2x2 என்றும், 64 ஐ 2x2x2x2x2x2 என்றும் குறிப்பிடலாம், மேலும் நாம் பெருக்கினால், மீண்டும் 1024 கிடைக்கும்.

இப்போது விதியைப் பயன்படுத்துவோம். 16=4 2, அல்லது 2 4, 64=4 3, அல்லது 2 6, அதே நேரத்தில் 1024=6 4 =4 5, அல்லது 2 10.

எனவே, எங்கள் சிக்கலை வித்தியாசமாக எழுதலாம்: 4 2 x4 3 =4 5 அல்லது 2 4 x2 6 =2 10, ஒவ்வொரு முறையும் 1024 கிடைக்கும்.

இதே போன்ற பல எடுத்துக்காட்டுகளை நாம் தீர்க்கலாம் மற்றும் எண்களை சக்திகளுடன் பெருக்குவது குறைவதைக் காணலாம் அடுக்குகளைச் சேர்த்தல், அல்லது அதிவேக, நிச்சயமாக, காரணிகளின் அடிப்படைகள் சமமாக இருக்கும்.

இவ்வாறு, பெருக்கல் செய்யாமல், உடனடியாக 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20 என்று சொல்லலாம்.

எண்களை அதிகாரங்களுடன் வகுக்கும் போது இந்த விதி செல்லுபடியாகும், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் வகுப்பியின் அடுக்கு ஈவுத்தொகையின் அடுக்கு இலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது. எனவே, 2 5:2 3 =2 2, இது சாதாரண எண்களில் 32:8 = 4, அதாவது 2 2. சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, m மற்றும் n ஆகியவை முழு எண்கள்.

முதல் பார்வையில் இது தான் என்று தோன்றலாம் எண்களை அதிகாரங்களுடன் பெருக்கி வகுத்தல்மிகவும் வசதியானது அல்ல, ஏனென்றால் முதலில் நீங்கள் எண்ணை அதிவேக வடிவத்தில் குறிப்பிட வேண்டும். இந்த வடிவத்தில் 8 மற்றும் 16 எண்களை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது கடினம் அல்ல, அதாவது 2 3 மற்றும் 2 4, ஆனால் 7 மற்றும் 17 எண்களுடன் இதை எப்படி செய்வது? அல்லது ஒரு எண்ணை அதிவேக வடிவத்தில் குறிப்பிடக்கூடிய சந்தர்ப்பங்களில் என்ன செய்வது, ஆனால் எண்களின் அதிவேக வெளிப்பாடுகளுக்கான அடிப்படைகள் மிகவும் வேறுபட்டவை. எடுத்துக்காட்டாக, 8x9 என்பது 2 3 x 3 2 ஆகும், இதில் நாம் அடுக்குகளை தொகுக்க முடியாது. 2 5 அல்லது 3 5 பதில் இல்லை, அல்லது இந்த இரண்டு எண்களுக்கு இடையிலான இடைவெளியில் பதில் இல்லை.

இந்த முறையைப் பற்றி கவலைப்படுவது மதிப்புக்குரியதா? நிச்சயமாக அது மதிப்பு. இது மகத்தான நன்மைகளை வழங்குகிறது, குறிப்பாக சிக்கலான மற்றும் நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் கணக்கீடுகளுக்கு.

அதிகாரங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்

சக்திகள் கொண்ட எண்கள் மற்ற அளவுகளைப் போலவே சேர்க்கப்படலாம் என்பது வெளிப்படையானது , அவற்றின் அடையாளங்களுடன் அவற்றை ஒன்றன் பின் ஒன்றாகச் சேர்ப்பதன் மூலம்.

எனவே, a 3 மற்றும் b 2 இன் கூட்டுத்தொகை ஒரு 3 + b 2 ஆகும்.
a 3 - b n மற்றும் h 5 -d 4 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 3 - b n + h 5 - d 4 ஆகும்.

முரண்பாடுகள் ஒரே மாதிரியான மாறிகளின் சம சக்திகள்சேர்க்கலாம் அல்லது கழிக்கலாம்.

எனவே, 2a 2 மற்றும் 3a 2 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 5a 2 க்கு சமம்.

நீங்கள் இரண்டு சதுரங்கள் a, அல்லது மூன்று சதுரங்கள் a, அல்லது ஐந்து சதுரங்கள் a என எடுத்துக் கொண்டால் அதுவும் வெளிப்படையானது.

ஆனால் பட்டங்கள் பல்வேறு மாறிகள்மற்றும் பல்வேறு பட்டங்கள் ஒரே மாதிரியான மாறிகள், அவற்றை அவற்றின் அடையாளங்களுடன் சேர்த்து இயற்ற வேண்டும்.

எனவே, ஒரு 2 மற்றும் ஒரு 3 இன் கூட்டுத்தொகை 2 + a 3 ஆகும்.

a இன் சதுரமும் a இன் கனசதுரமும் a இன் இரண்டு மடங்கு சதுரத்திற்கு சமமாக இல்லை, ஆனால் a இன் கனசதுரத்தின் இருமடங்காக இருக்கும் என்பது வெளிப்படையானது.

ஒரு 3 b n மற்றும் 3a 5 b 6 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 3 b n + 3a 5 b 6 ஆகும்.

கழித்தல்சப்ட்ராஹெண்டுகளின் அறிகுறிகள் அதற்கேற்ப மாற்றப்பட வேண்டும் என்பதைத் தவிர, அதிகாரங்கள் கூட்டல் போலவே மேற்கொள்ளப்படுகின்றன.

அல்லது:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

சக்திகளை பெருக்கும்

அதிகாரங்களைக் கொண்ட எண்களை, மற்ற அளவுகளைப் போலவே, அவற்றை ஒன்றன் பின் ஒன்றாக எழுதுவதன் மூலம், அவற்றுக்கிடையே ஒரு பெருக்கல் அடையாளத்துடன் அல்லது இல்லாமல் பெருக்க முடியும்.

எனவே, a 3 ஐ b 2 ஆல் பெருக்குவதன் விளைவு 3 b 2 அல்லது aaabb ஆகும்.

அல்லது:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

கடைசி எடுத்துக்காட்டில் உள்ள முடிவை ஒரே மாதிரியான மாறிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் ஆர்டர் செய்யலாம்.
வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: a 5 b 5 y 3.

பல எண்களை (மாறிகள்) சக்திகளுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், அவற்றில் ஏதேனும் இரண்டை பெருக்கினால், அதன் விளைவாக ஒரு எண் (மாறி) சக்தியுடன் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். தொகைவிதிமுறைகளின் அளவுகள்.

எனவே, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

இங்கே 5 என்பது பெருக்கல் முடிவின் சக்தியாகும், இது 2 + 3 க்கு சமம், விதிமுறைகளின் அதிகாரங்களின் கூட்டுத்தொகை.

எனவே, a n .a m = a m+n .

ஒரு n க்கு, n இன் சக்தியைப் போல் பல மடங்கு ஒரு காரணியாக a எடுக்கப்படுகிறது;

மேலும் ஒரு m என்பது ஒரு காரணியாக எடுத்துக் கொள்ளப்படும் போது m பட்டம் எவ்வளவு சமமாக இருக்கிறதோ அவ்வளவு முறை;

அதனால் தான், சக்திகளின் அடுக்குகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட சக்திகளை பெருக்க முடியும்.

எனவே, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . மற்றும் x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

அல்லது:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

பெருக்கவும் (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
பதில்: x 4 - y 4.
பெருக்கவும் (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

இந்த விதி அதிவேகங்களைக் கொண்ட எண்களுக்கும் பொருந்தும் எதிர்மறை.

1. எனவே, a -2 .a -3 = a -5 . இதை (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa என எழுதலாம்.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b ஐ a - b ஆல் பெருக்கினால், முடிவு 2 - b 2 ஆக இருக்கும்: அதாவது

இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டைப் பெருக்குவதன் விளைவாக அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டை உயர்த்தினால் சதுரம், முடிவு இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும் நான்காவதுபட்டங்கள்.

எனவே, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

பட்டங்களின் பிரிவு

அதிகாரங்களைக் கொண்ட எண்களை மற்ற எண்களைப் போல, ஈவுத்தொகையிலிருந்து கழிப்பதன் மூலம் அல்லது அவற்றை பின்னம் வடிவத்தில் வைப்பதன் மூலம் பிரிக்கலாம்.

எனவே, a 3 b 2 ஐ b 2 ஆல் வகுத்தல் a 3 க்கு சமம்.

5 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால் $\frac போல் தெரிகிறது $. ஆனால் இது 2 க்கு சமம். எண்களின் வரிசையில்
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
எந்த எண்ணையும் மற்றொன்றால் வகுக்க முடியும், மேலும் அடுக்கு சமமாக இருக்கும் வேறுபாடுவகுக்கக்கூடிய எண்களின் குறிகாட்டிகள்.

டிகிரிகளை ஒரே அடித்தளத்துடன் வகுக்கும் போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் கழிக்கப்படுகின்றன..

எனவே, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. அதாவது, $\frac = y$.

மற்றும் a n+1:a = a n+1-1 = a n . அதாவது $\frac = a^n$.

அல்லது:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

உடன் எண்களுக்கும் விதி பொருந்தும் எதிர்மறைடிகிரி மதிப்புகள்.
ஒரு -5 ஐ -3 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் விளைவு -2 ஆகும்.
மேலும், $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 அல்லது $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

இயற்கணிதத்தில் இத்தகைய செயல்பாடுகள் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதால், பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதில் தேர்ச்சி பெறுவது அவசியம்.

சக்திகளுடன் எண்களைக் கொண்ட பின்னங்களுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

1. அடுக்குகளை $\frac $ ஆல் குறைக்கவும் பதில்: $\frac $.

2. அடுக்குகளை $\frac$ ஆல் குறைக்கவும். பதில்: $\frac$ அல்லது 2x.

3. அடுக்குகளை a 2 /a 3 மற்றும் a -3 /a -4 ஐக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள்.
a 2 .a -4 என்பது a -2 முதல் எண்ணாகும்.
a 3 .a -3 என்பது 0 = 1, இரண்டாவது எண்.
a 3 .a -4 என்பது a -1 , பொதுவான எண்.
எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பிறகு: a -2 /a -1 மற்றும் 1/a -1 .

4. அடுக்குகள் 2a 4 /5a 3 மற்றும் 2 /a 4 ஐக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வரவும்.
பதில்: 2a 3 /5a 7 மற்றும் 5a 5 /5a 7 அல்லது 2a 3 /5a 2 மற்றும் 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ஐ (a - b)/3 ஆல் பெருக்கவும்.

6. (a 5 + 1)/x 2 ஐ (b 2 - 1)/(x + a) ஆல் பெருக்கவும்.

7. b 4 /a -2 ஐ h -3 /x மற்றும் a n /y -3 ஆல் பெருக்கவும்.

8. a 4 /y 3 ஐ 3 /y 2 ஆல் வகுக்கவும். பதில்: a/y.

பட்டத்தின் பண்புகள்

அதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறோம் இந்த பாடம்அதை வரிசைப்படுத்துகிறார்கள் டிகிரி பண்புகள்இயற்கை குறிகாட்டிகள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்துடன். உடன் பட்டங்கள் பகுத்தறிவு குறிகாட்டிகள்மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் 8 ஆம் வகுப்புக்கான பாடங்களில் விவாதிக்கப்படும்.

இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய சக்தியானது பல முக்கியமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை சக்திகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகளில் கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த அனுமதிக்கின்றன.

சொத்து எண். 1
அதிகாரங்களின் தயாரிப்பு

அதே அடிப்படைகளுடன் சக்திகளைப் பெருக்கும்போது, ​​அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும், மேலும் சக்திகளின் அடுக்குகள் சேர்க்கப்படுகின்றன.

a m · a n = a m + n, இங்கு “a” என்பது எந்த எண்ணாகவும், “m”, “n” என்பது எந்த இயற்கை எண்களாகவும் இருக்கும்.

அதிகாரங்களின் இந்தப் பண்பு மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அதிகாரங்களின் தயாரிப்புக்கும் பொருந்தும்.

  • வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.
    b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • அதை ஒரு பட்டமாக முன்வைக்கவும்.
    6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
  • அதை ஒரு பட்டமாக முன்வைக்கவும்.
    (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

    • குறிப்பிடப்பட்ட சொத்தில், அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட அதிகாரங்களின் பெருக்கத்தைப் பற்றி மட்டுமே நாங்கள் பேசுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்க.. அவர்களின் சேர்க்கைக்கு இது பொருந்தாது.

    நீங்கள் தொகையை (3 3 + 3 2) 3 5 உடன் மாற்ற முடியாது. என்றால் இது புரியும்
    எண்ணிக்கை (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, மற்றும் 3 5 = 243

    சொத்து எண். 2
    பகுதி டிகிரி

    அதே அடிப்படைகளைக் கொண்டு அதிகாரங்களைப் பிரிக்கும்போது, ​​அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும், மேலும் ஈவுத்தொகை அதிவேகத்திலிருந்து கழிக்கப்படும். அடுக்குபிரிப்பான்

  • விகுதியை ஒரு சக்தியாக எழுதுங்கள்
    (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
  • கணக்கிடுங்கள்.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
உதாரணம். சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். பங்கு அதிகாரங்களின் சொத்தை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்.
3 8: t = 3 4

பதில்: t = 3 4 = 81

பண்புகள் எண். 1 மற்றும் எண். 2 ஐப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எளிதாக வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம் மற்றும் கணக்கீடுகளைச் செய்யலாம்.

உதாரணம். வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.
4 5 மீ + 6 4 மீ + 2: 4 4 மீ + 3 = 4 5 மீ + 6 + மீ + 2: 4 4 மீ + 3 = 4 6 மீ + 8 - 4 மீ - 3 = 4 2 மீ + 5

உதாரணம். அடுக்குகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

ப்ராப்பர்டி 2ல் ஒரே அடிப்படையிலான அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதைப் பற்றி மட்டுமே பேசிக் கொண்டிருந்தோம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

நீங்கள் வேறுபாட்டை (4 3 -4 2) 4 1 உடன் மாற்ற முடியாது. (4 3 -4 2) = (64 - 16) = 48, மற்றும் 4 1 = 4 என்று கணக்கிட்டால் இது புரியும்.

சொத்து எண். 3
ஒரு பட்டத்தை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துதல்

ஒரு பட்டத்தை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும்போது, ​​பட்டத்தின் அடிப்பகுதி மாறாமல் இருக்கும், மேலும் அடுக்குகள் பெருக்கப்படும்.

(a n) m = a n · m, இதில் "a" என்பது எந்த எண்ணாகவும் இருக்கும், மேலும் "m", "n" என்பது இயற்கை எண்களாகும்.

ஒரு கோட்பாட்டை ஒரு பின்னமாகக் குறிப்பிடலாம் என்பதை நாங்கள் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறோம். எனவே, ஒரு பகுதியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது என்ற தலைப்பில் அடுத்த பக்கத்தில் இன்னும் விரிவாக வாழ்வோம்.

சக்திகளை எவ்வாறு பெருக்குவது

சக்திகளை எவ்வாறு பெருக்குவது? எந்த சக்திகளை பெருக்க முடியும், எது முடியாது? ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியால் பெருக்குவது எப்படி?

இயற்கணிதத்தில், நீங்கள் இரண்டு நிகழ்வுகளில் சக்திகளின் பலனைக் காணலாம்:

1) டிகிரிகளுக்கு ஒரே அடிப்படைகள் இருந்தால்;

2) டிகிரிகளில் ஒரே குறிகாட்டிகள் இருந்தால்.

அதே அடிப்படைகளுடன் சக்திகளைப் பெருக்கும்போது, ​​அடித்தளத்தை அப்படியே விட்டுவிட்டு, அடுக்குகளைச் சேர்க்க வேண்டும்:

ஒரே குறிகாட்டிகளுடன் டிகிரிகளை பெருக்கும்போது, ​​ஒட்டுமொத்த காட்டி அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கப்படலாம்:

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி அதிகாரங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது என்பதைப் பார்ப்போம்.

அலகு அடுக்குகளில் எழுதப்படவில்லை, ஆனால் சக்திகளை பெருக்கும்போது, ​​அவை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன:

பெருக்கும்போது, ​​எத்தனை சக்திகள் வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம். கடிதத்திற்கு முன் நீங்கள் பெருக்கல் குறியை எழுத வேண்டியதில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

வெளிப்பாடுகளில், விரிவுபடுத்தல் முதலில் செய்யப்படுகிறது.

நீங்கள் ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியால் பெருக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் முதலில் அதிவேகத்தை செய்ய வேண்டும், பின்னர் மட்டுமே பெருக்க வேண்டும்:

அதே அடிப்படைகளுடன் சக்திகளைப் பெருக்குதல்

இந்த வீடியோ டுடோரியல் சந்தா மூலம் கிடைக்கும்

ஏற்கனவே சந்தா உள்ளதா? உள்நுழைக

இந்தப் பாடத்தில், ஒரே மாதிரியான அடிப்படைகளைக் கொண்ட சக்திகளின் பெருக்கத்தைப் படிப்போம். முதலாவதாக, பட்டத்தின் வரையறையை நினைவுபடுத்தி, சமத்துவத்தின் செல்லுபடியாகும் ஒரு தேற்றத்தை உருவாக்குவோம் . பின்னர் குறிப்பிட்ட எண்களில் அதன் பயன்பாட்டின் உதாரணங்களைக் கொடுத்து அதை நிரூபிப்போம். பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கும் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

தலைப்பு: இயற்கை அடுக்கு மற்றும் அதன் பண்புகள் கொண்ட சக்தி

பாடம்: ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்ட சக்திகளைப் பெருக்குதல் (சூத்திரம்)

1. அடிப்படை வரையறைகள்

அடிப்படை வரையறைகள்:

n- அடுக்கு,

— nஒரு எண்ணின் சக்தி.

2. தேற்றத்தின் அறிக்கை 1

தேற்றம் 1.எந்த எண்ணுக்கும் ஏமற்றும் எந்த இயற்கை nமற்றும் கேசமத்துவம் உண்மை:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்: என்றால் ஏ- எந்த எண்; nமற்றும் கேஇயற்கை எண்கள், பின்னர்:

எனவே விதி 1:

3. விளக்கப் பணிகள்

முடிவு:சிறப்பு வழக்குகள் தேற்றம் எண் 1 இன் சரியான தன்மையை உறுதிப்படுத்தியது. பொது வழக்கில், அதாவது எதற்கும் அதை நிரூபிப்போம் ஏமற்றும் எந்த இயற்கை nமற்றும் கே.

4. தேற்றத்தின் ஆதாரம் 1

ஒரு எண் கொடுக்கப்பட்டது ஏ- ஏதேனும்; எண்கள் nமற்றும் கே -இயற்கை. நிரூபிக்க:

ஆதாரம் பட்டத்தின் வரையறையை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

5. தேற்றம் 1 ஐப் பயன்படுத்தி எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது

எடுத்துக்காட்டு 1:அதை ஒரு பட்டமாக நினைத்துக்கொள்ளுங்கள்.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க, நாங்கள் தேற்றம் 1 ஐப் பயன்படுத்துவோம்.

மற்றும்)

6. தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் 1

இங்கே பயன்படுத்தப்படும் ஒரு பொதுமைப்படுத்தல்:

7. தேற்றம் 1 இன் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது

8. தேற்றம் 1 ஐப் பயன்படுத்தி பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

எடுத்துக்காட்டு 2:கணக்கிடுங்கள் (நீங்கள் அடிப்படை அதிகாரங்களின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தலாம்).

A) (அட்டவணையின் படி)

b)

எடுத்துக்காட்டு 3:அடிப்படை 2 உடன் சக்தியாக எழுதவும்.

A)

எடுத்துக்காட்டு 4:எண்ணின் அடையாளத்தை தீர்மானிக்கவும்:

, ஏ -எதிர்மறை, ஏனெனில் -13 இல் உள்ள அடுக்கு ஒற்றைப்படை.

எடுத்துக்காட்டு 5:(·) ஐ ஒரு எண்ணின் சக்தியுடன் அடித்தளத்துடன் மாற்றவும் ஆர்:

எங்களிடம் உள்ளது, அதாவது.

9. சுருக்கமாக

1. டோரோஃபீவ் ஜி.வி., சுவோரோவா எஸ்.பி., புனிமோவிச் ஈ.ஏ. மற்றும் பிற அல்ஜீப்ரா 7. 6வது பதிப்பு. எம்.: அறிவொளி. 2010

1. பள்ளி உதவியாளர் (ஆதாரம்).

1. ஒரு சக்தியாக வழங்குதல்:

a) b) c) d) e)

3. அடிப்படை 2 உடன் சக்தியாக எழுதவும்:

4. எண்ணின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்கவும்:

A)

5. (·) ஒரு எண்ணின் சக்தியை அடிப்படையுடன் மாற்றவும் ஆர்:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

ஒரே அடுக்குகளுடன் கூடிய அதிகாரங்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்

இந்த பாடத்தில் சமமான அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் பெருக்கத்தைப் படிப்போம். முதலாவதாக, அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட சக்திகளைப் பெருக்குதல் மற்றும் வகுத்தல் மற்றும் அதிகாரங்களுக்கு அதிகாரங்களை உயர்த்துதல் பற்றிய அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் கோட்பாடுகளை நினைவுபடுத்துவோம். பின்னர் அதே அடுக்குகளுடன் பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரித்தல் பற்றிய கோட்பாடுகளை உருவாக்கி நிரூபிக்கிறோம். பின்னர் அவர்களின் உதவியுடன் பல பொதுவான சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்.

அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் கோட்பாடுகளின் நினைவூட்டல்

இங்கே அ- பட்டத்தின் அடிப்படை,

— nஒரு எண்ணின் சக்தி.

தேற்றம் 1.எந்த எண்ணுக்கும் ஏமற்றும் எந்த இயற்கை nமற்றும் கேசமத்துவம் உண்மை:

அதே அடிப்படைகளுடன் சக்திகளை பெருக்கும் போது, ​​அடுக்குகள் சேர்க்கப்படும், அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும்.

தேற்றம் 2.எந்த எண்ணுக்கும் ஏமற்றும் எந்த இயற்கை nமற்றும் கே,அத்தகைய n > கேசமத்துவம் உண்மை:

அதே அடிப்படைகளுடன் டிகிரிகளை வகுக்கும் போது, ​​அடுக்குகள் கழிக்கப்படுகின்றன, ஆனால் அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும்.

தேற்றம் 3.எந்த எண்ணுக்கும் ஏமற்றும் எந்த இயற்கை nமற்றும் கேசமத்துவம் உண்மை:

பட்டியலிடப்பட்ட அனைத்து கோட்பாடுகளும் ஒரே சக்திகளைப் பற்றியவை காரணங்கள், இந்த பாடத்தில் நாம் பட்டங்களை அதையே பார்ப்போம் குறிகாட்டிகள்.

ஒரே அடுக்குகளுடன் சக்திகளைப் பெருக்குவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பின்வரும் உதாரணங்களைக் கவனியுங்கள்:

பட்டத்தை நிர்ணயிப்பதற்கான வெளிப்பாடுகளை எழுதுவோம்.

முடிவு:என்பதை உதாரணங்களிலிருந்து அறியலாம் , ஆனால் இது இன்னும் நிரூபிக்கப்பட வேண்டும். தேற்றத்தை உருவாக்கி, பொது வழக்கில், அதாவது எதற்கும் நிரூபிப்போம் ஏமற்றும் பிமற்றும் எந்த இயற்கை n

தேற்றம் 4 இன் உருவாக்கம் மற்றும் ஆதாரம்

எந்த எண்களுக்கும் ஏமற்றும் பிமற்றும் எந்த இயற்கை nசமத்துவம் உண்மை:

ஆதாரம்தேற்றம் 4 .

பட்டத்தின் வரையறையின்படி:

எனவே நாங்கள் அதை நிரூபித்துள்ளோம் .

அதே அடுக்குகளுடன் சக்திகளை பெருக்க, அடிப்படைகளை பெருக்கி, அடுக்கு மாறாமல் விட்டால் போதும்.

தேற்றம் 5 இன் உருவாக்கம் மற்றும் ஆதாரம்

அதே அடுக்குகளுடன் அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதற்கான ஒரு தேற்றத்தை உருவாக்குவோம்.

எந்த எண்ணுக்கும் ஏமற்றும் b() மற்றும் எந்த இயற்கை nசமத்துவம் உண்மை:

ஆதாரம்தேற்றம் 5 .

பட்டத்தின் வரையறையை எழுதுவோம்:

வார்த்தைகளில் கோட்பாடுகளின் அறிக்கை

எனவே, நாங்கள் அதை நிரூபித்துள்ளோம்.

ஒரே அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளை ஒன்றுக்கொன்று பிரிக்க, ஒரு தளத்தை மற்றொன்றால் வகுத்து, அடுக்கு மாறாமல் விடவும்.

தேற்றம் 4 ஐப் பயன்படுத்தி வழக்கமான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

எடுத்துக்காட்டு 1:சக்திகளின் விளைபொருளாக வழங்கவும்.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க, நாங்கள் தேற்றம் 4 ஐப் பயன்படுத்துவோம்.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, சூத்திரங்களை நினைவுபடுத்தவும்:

தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் 4

தேற்றம் 4 பொதுமைப்படுத்தல்:

பொதுவான தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது 4

வழக்கமான சிக்கல்களைத் தொடர்ந்து தீர்க்கவும்

எடுத்துக்காட்டு 2:அதை உற்பத்தியின் சக்தியாக எழுதுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 3:அடுக்கு 2 உடன் அதை ஒரு சக்தியாக எழுதவும்.

கணக்கீட்டு எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 4:மிகவும் பகுத்தறிவு வழியில் கணக்கிடுங்கள்.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. இயற்கணிதம் 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., ஃபெடோரோவா N.E. மற்றும் பிற இயற்கணிதம் 7.எம்.: அறிவொளி. 2006

2. பள்ளி உதவியாளர் (ஆதாரம்).

1. அதிகாரங்களின் விளைபொருளாக வழங்குதல்:

A) ; b) ; V) ; ஜி) ;

2. தயாரிப்பின் சக்தியாக எழுதவும்:

3. அடுக்கு 2 உடன் சக்தியாக எழுதவும்:

4. மிகவும் பகுத்தறிவு வழியில் கணக்கிடுங்கள்.

"அதிகாரங்களின் பெருக்கல் மற்றும் பிரிவு" என்ற தலைப்பில் கணித பாடம்

பிரிவுகள்:கணிதம்

கல்வியியல் இலக்கு:

  • மாணவர் கற்றுக் கொள்வார்இயற்கையான அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவற்றின் பண்புகளை வேறுபடுத்துங்கள்; இந்த பண்புகளை அதே தளங்களில் பயன்படுத்தவும்;
  • மாணவருக்கு வாய்ப்பு கிடைக்கும்உடன் சக்தி மாற்றங்களைச் செய்ய முடியும் வெவ்வேறு காரணங்களுக்காகமற்றும் ஒருங்கிணைந்த பணிகளில் மாற்றங்களைச் செய்ய முடியும்.

    • பணிகள்:

  • முன்னர் படித்த விஷயங்களை மீண்டும் செய்வதன் மூலம் மாணவர்களின் வேலையை ஒழுங்கமைக்கவும்;
  • பல்வேறு வகையான பயிற்சிகளைச் செய்வதன் மூலம் இனப்பெருக்கத்தின் அளவை உறுதிப்படுத்தவும்;
  • சோதனை மூலம் மாணவர்களின் சுய மதிப்பீட்டை சரிபார்க்க ஏற்பாடு செய்யுங்கள்.

    • கற்பித்தலின் செயல்பாட்டு அலகுகள்:ஒரு இயற்கை காட்டி பட்டம் தீர்மானித்தல்; பட்டம் கூறுகள்; பிரைவேட் வரையறை; பெருக்கல் கூட்டுச் சட்டம்.

    I. ஏற்கனவே உள்ள அறிவில் மாணவர்களின் தேர்ச்சியின் ஆர்ப்பாட்டத்தை ஏற்பாடு செய்தல். (படி 1)

    அ) அறிவைப் புதுப்பித்தல்:

    2) ஒரு இயற்கை அடுக்குடன் பட்டத்தின் வரையறையை உருவாக்கவும்.

    a n =a a a a ... a (n முறை)

    b k =b b b b a… b (k முறை) பதிலை நியாயப்படுத்தவும்.

    II. தற்போதைய அனுபவத்தில் மாணவர்களின் தேர்ச்சியின் சுய மதிப்பீட்டின் அமைப்பு. (படி 2)

    சுய சோதனை: (தனிப்பட்ட வேலை இரண்டு பதிப்புகளில்.)

    A1) தயாரிப்பு 7 7 7 7 x x x ஐ சக்தியாக வழங்கவும்:

    A2) சக்தி (-3) 3 x 2 ஐ ஒரு பொருளாகக் குறிக்கவும்

    A3) கணக்கிடவும்: -2 3 2 + 4 5 3

    வகுப்பின் தயாரிப்பு நிலைக்கு ஏற்ப தேர்வில் உள்ள பணிகளின் எண்ணிக்கையை நான் தேர்ந்தெடுக்கிறேன்.

    சுய பரிசோதனைக்கான சோதனைக்கான திறவுகோலை நான் உங்களுக்கு தருகிறேன். அளவுகோல்: பாஸ் - பாஸ் இல்லை.

    III. கல்வி மற்றும் நடைமுறைப் பணி (படி 3) + படி 4. (மாணவர்களே பண்புகளை உருவாக்குவார்கள்)

  • கணக்கிட: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?
  • எளிமையாக்கு: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

    • சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது 1) மற்றும் 2), மாணவர்கள் ஒரு தீர்வை முன்மொழிகிறார்கள், நான் ஒரு ஆசிரியராக, அதே அடிப்படைகளுடன் பெருக்கும் போது அதிகாரங்களை எளிமைப்படுத்துவதற்கான வழியைக் கண்டறிய வகுப்பை ஒழுங்கமைக்கிறேன்.

    ஆசிரியர்: அதே அடிப்படைகளுடன் பெருக்கும் போது சக்திகளை எளிமையாக்க ஒரு வழியைக் கொண்டு வாருங்கள்.

    கிளஸ்டரில் ஒரு நுழைவு தோன்றும்:

    பாடத்தின் தலைப்பு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. சக்திகளின் பெருக்கம்.

    ஆசிரியர்: அதே அடிப்படைகளுடன் அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதியைக் கொண்டு வாருங்கள்.

    காரணம்: பிரிவை சரிபார்க்க என்ன நடவடிக்கை பயன்படுத்தப்படுகிறது? a 5: a 3 = ? அதாவது a 2 a 3 = a 5

    நான் வரைபடத்திற்குத் திரும்புகிறேன் - ஒரு கிளஸ்டர் மற்றும் உள்ளீட்டில் சேர்க்கிறேன் - .. வகுக்கும் போது, ​​பாடத்தின் தலைப்பைக் கழித்துவிட்டு சேர்க்கிறோம். ... மற்றும் பட்டங்களின் பிரிவு.

    IV. அறிவின் வரம்புகளை மாணவர்களுடன் தொடர்புபடுத்துதல் (குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சம்).

    ஆசிரியர்: இன்றைய பாடத்திற்கான குறைந்தபட்ச பணி, பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதற்கான பண்புகளை ஒரே அடிப்படைகளுடன் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்வது, மேலும் அதிகபட்ச பணி பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவற்றை ஒன்றாகப் பயன்படுத்துவதாகும்.

    நாங்கள் பலகையில் எழுதுகிறோம் : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

    V. புதிய பொருள் படிக்கும் அமைப்பு. (படி 5)

    அ) பாடப்புத்தகத்தின்படி: எண். 403 (a, c, e) வெவ்வேறு சொற்களைக் கொண்ட பணிகள்

    எண். 404 (a, d, f) சுதந்திரமான வேலை, பின்னர் நான் பரஸ்பர சரிபார்ப்பை ஏற்பாடு செய்து சாவியைக் கொடுக்கிறேன்.

    b) m இன் எந்த மதிப்புக்கு சமத்துவம் செல்லுபடியாகும்? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

    பணி: பிரிவுக்கு இதே போன்ற உதாரணங்களைக் கொண்டு வாருங்கள்.

    c) எண். 417 (a), எண். 418 (a) மாணவர்களுக்கான பொறிகள்: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.

    VI. கற்றுக்கொண்டவற்றைச் சுருக்கமாகக் கூறுதல், நோயறிதல் பணியை நடத்துதல் (இது மாணவர்களைத் தூண்டுகிறது, ஆசிரியர் அல்ல, இந்தத் தலைப்பைப் படிக்க ஊக்குவிக்கிறது) (படி 6)

    கண்டறியும் பணி.

    சோதனை(விசைகளை மாவின் பின்புறத்தில் வைக்கவும்).

    பணி விருப்பங்கள்: x 15 ஐ ஒரு சக்தியாகக் குறிக்கவும்: x 3; ஒரு சக்தியாக தயாரிப்பு (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; எந்த m க்கு சமத்துவம் a 16 a m = a 32 செல்லுபடியாகும்? h 0: h 2 என்ற வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை h = 0.2 இல் கண்டறியவும்; வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள் (5 2 5 0) : 5 2 .

    பாடத்தின் சுருக்கம். பிரதிபலிப்பு.நான் வகுப்பை இரண்டு குழுக்களாகப் பிரிக்கிறேன்.

    குழு I இல் வாதங்களைக் கண்டறியவும்: பட்டத்தின் பண்புகளை அறிவதற்கு ஆதரவாக, மற்றும் குழு II - நீங்கள் பண்புகள் இல்லாமல் செய்ய முடியும் என்று சொல்லும் வாதங்கள். நாங்கள் எல்லா பதில்களையும் கேட்டு முடிவுகளை எடுக்கிறோம். அடுத்தடுத்த பாடங்களில், நீங்கள் புள்ளிவிவரத் தரவை வழங்கலாம் மற்றும் "இது பைத்தியம்!"

  • சராசரியாக ஒரு நபர் தனது வாழ்நாளில் 32 10 2 கிலோ வெள்ளரிகளை சாப்பிடுகிறார்.
  • குளவி 3.2 10 2 கிமீ தூரம் இடைநில்லா விமானத்தை உருவாக்கும் திறன் கொண்டது.
  • கண்ணாடி விரிசல் போது, ​​விரிசல் சுமார் 5 10 3 கிமீ / மணி வேகத்தில் பரவுகிறது.
  • ஒரு தவளை தன் வாழ்நாளில் 3 டன் கொசுக்களை உண்ணும். பட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, கிலோவில் எழுதுங்கள்.
  • கடல் மீன் மிகவும் செழிப்பானதாகக் கருதப்படுகிறது - சந்திரன் (மோலா மோலா), இது ஒரு முட்டையிடலில் சுமார் 1.3 மிமீ விட்டம் கொண்ட 300,000,000 முட்டைகள் வரை இடுகிறது. சக்தியைப் பயன்படுத்தி இந்த எண்ணை எழுதவும்.

    • VII. வீட்டுப்பாடம்.

    வரலாற்று தகவல்கள். என்ன எண்கள் ஃபெர்மாட் எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

    பி.19 எண். 403, எண். 408, எண். 417

    பயன்படுத்தப்பட்ட இலக்கியம்:

  • பாடநூல் "இயற்கணிதம்-7", ஆசிரியர்கள் யு.என். மகரிச்சேவ், என்.ஜி. Mindyuk மற்றும் பலர்.
  • 7 ஆம் வகுப்புக்கான டிடாக்டிக் மெட்டீரியல், எல்.வி. குஸ்னெட்சோவா, எல்.ஐ. ஸ்வாவிச், எஸ்.பி. சுவோரோவ்.
  • கணிதத்தின் கலைக்களஞ்சியம்.
  • இதழ் "குவாண்ட்".

    • பட்டங்களின் பண்புகள், சூத்திரங்கள், சான்றுகள், எடுத்துக்காட்டுகள்.

    எண்ணின் சக்தி தீர்மானிக்கப்பட்ட பிறகு, அதைப் பற்றி பேசுவது தர்க்கரீதியானது பட்டம் பண்புகள். இந்த கட்டுரையில், சாத்தியமான அனைத்து அடுக்குகளையும் தொடும் போது, ​​எண்ணின் சக்தியின் அடிப்படை பண்புகளை வழங்குவோம். டிகிரிகளின் அனைத்து பண்புகளின் சான்றுகளையும் இங்கே வழங்குவோம், மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது இந்த பண்புகள் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதையும் காண்பிப்போம்.

    பக்க வழிசெலுத்தல்.

    இயற்கை அடுக்குகளுடன் கூடிய பட்டங்களின் பண்புகள்

    இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய சக்தியின் வரையறையின்படி, சக்தி a n என்பது n காரணிகளின் விளைபொருளாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் a க்கு சமம். இந்த வரையறையின் அடிப்படையில், மேலும் பயன்படுத்தவும் உண்மையான எண்களின் பெருக்கத்தின் பண்புகள், பின்வருவனவற்றை நாம் பெற்று நியாயப்படுத்தலாம் இயற்கை அடுக்குடன் பட்டத்தின் பண்புகள்:

  • பட்டத்தின் முக்கிய சொத்து a m ·a n =a m+n, அதன் பொதுமைப்படுத்தல் a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;
  • ஒரே மாதிரியான அடிப்படைகள் கொண்ட பங்கு சக்திகளின் சொத்து a m:a n =a m−n ;
  • ஒரு பொருளின் பட்டத்தின் சொத்து (a·b) n =a n ·b n, அதன் நீட்டிப்பு (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;
  • இயற்கையான அளவு (a:b) n =a n:b n
  • ஒரு சக்தியை (a m) n =a m·n ஆக உயர்த்துதல், அதன் பொதுமைப்படுத்தல் (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
  • பூஜ்ஜியத்துடன் டிகிரி ஒப்பீடு:
    • a>0 எனில், எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் n>0;
    • a=0 என்றால், a n =0;
    • ஒரு 2·m >0 என்றால், 2·m−1 n என்றால்;
    • m மற்றும் n என்பது m>n போன்ற இயற்கை எண்களாக இருந்தால், 0m nக்கு, மற்றும் a>0க்கு சமத்துவமின்மை a m >a n உண்மையாகும்.

      • எழுதப்பட்ட அனைத்து சமத்துவங்களும் உள்ளன என்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம் ஒரே மாதிரியானகுறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு, அவற்றின் வலது மற்றும் இடது பாகங்கள் இரண்டையும் மாற்றிக்கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, a m ·a n =a m+n உடன் பின்னத்தின் முக்கிய பண்பு எளிமைப்படுத்தும் வெளிப்பாடுகள்பெரும்பாலும் a m+n =a m ·a n வடிவத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

      இப்போது அவை ஒவ்வொன்றையும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

      இரண்டு சக்திகளின் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்ட பொருளின் பண்புடன் ஆரம்பிக்கலாம், இது அழைக்கப்படுகிறது பட்டத்தின் முக்கிய சொத்து: எந்த ஒரு உண்மையான எண் மற்றும் எந்த இயற்கை எண்களான m மற்றும் n க்கும், a m ·a n =a m+n என்பது உண்மை.

      பட்டத்தின் முக்கிய சொத்தை நிரூபிப்போம். இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய சக்தியின் வரையறையின்படி, m ·a n வடிவத்தின் ஒரே மாதிரியான தளங்களைக் கொண்ட சக்திகளின் பெருக்கத்தை உற்பத்தியாக எழுதலாம். . பெருக்கத்தின் பண்புகள் காரணமாக, விளைவான வெளிப்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம் , மற்றும் இந்த தயாரிப்பு ஒரு இயற்கை அடுக்கு m+n, அதாவது m+n கொண்ட எண்ணின் சக்தியாகும். இது ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது.

      பட்டத்தின் முக்கிய சொத்தை உறுதிப்படுத்தும் ஒரு உதாரணம் தருவோம். அதே அடிப்படைகள் 2 மற்றும் இயற்கை சக்திகள் 2 மற்றும் 3 உடன் டிகிரிகளை எடுத்துக்கொள்வோம், டிகிரிகளின் அடிப்படை பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சமத்துவம் 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 ஐ எழுதலாம். 2 2 · 2 3 மற்றும் 2 5 வெளிப்பாடுகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் அதன் செல்லுபடியை சரிபார்க்கலாம். அதிவேகத்தை மேற்கொள்ளும்போது, ​​எங்களிடம் 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 மற்றும் 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 , நாம் சம மதிப்புகளைப் பெறுவதால், சமத்துவம் 2 2 ·2 3 =2 5 சரியானது, மேலும் இது பட்டத்தின் முக்கிய சொத்தை உறுதிப்படுத்துகிறது.

      பெருக்கல் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு பட்டத்தின் அடிப்படைப் பண்பு மூன்றின் பெருக்கத்திற்குப் பொதுமைப்படுத்தப்படலாம் மற்றும் மேலும்அதே அடிப்படைகள் மற்றும் இயற்கை குறிகாட்டிகள் கொண்ட டிகிரி. n 1 , n 2 , …, n k இயல் எண்களின் எந்த எண் k க்கும் சமத்துவம் a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k என்பது உண்மை.

      எடுத்துக்காட்டாக, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

      இயற்கையான அடுக்குடன் சக்திகளின் அடுத்த சொத்துக்கு நாம் செல்லலாம் - அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட பங்கு அதிகாரங்களின் சொத்து: எந்த பூஜ்ஜியமற்ற உண்மையான எண் a மற்றும் தன்னிச்சையான இயற்கை எண்களான m மற்றும் n நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் m>n, சமத்துவம் a m:a n =a m−n.

      இந்தச் சொத்தின் ஆதாரத்தை முன்வைப்பதற்கு முன், உருவாக்கத்தில் உள்ள கூடுதல் நிபந்தனைகளின் பொருளைப் பற்றி விவாதிப்போம். பூஜ்ஜியத்தால் வகுபடுவதைத் தவிர்க்க a≠0 நிபந்தனை அவசியம், 0 n =0 என்பதால், வகுத்தல் பற்றி நாம் அறிந்தபோது, ​​பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது என்று ஒப்புக்கொண்டோம். நிபந்தனை m>n அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அதனால் நாம் இயற்கை அடுக்குகளுக்கு அப்பால் செல்லக்கூடாது. உண்மையில், m>nக்கு ஒரு m−n என்பது ஒரு இயற்கை எண்ணாகும், இல்லையெனில் அது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் (m−nக்கு நிகழும்) அல்லது எதிர்மறை எண்ணாக (m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m விளைந்த சமத்துவத்திலிருந்து ஒரு m−n ·a n =a m மற்றும் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான இணைப்பிலிருந்து ஒரு m−n என்பது ஒரு m மற்றும் a n என்பது சக்திகளின் பண்பை நிரூபிக்கிறது அதே அடிப்படைகள்.

      ஒரு உதாரணம் தருவோம். இரண்டு டிகிரிகளை ஒரே அடிப்படையான π மற்றும் இயற்கை அடுக்குகள் 5 மற்றும் 2 உடன் எடுத்துக் கொள்வோம், சமத்துவம் π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 என்பது பட்டத்தின் கருதப்படும் பண்புக்கு ஒத்திருக்கிறது.

      இப்போது கருத்தில் கொள்வோம் தயாரிப்பு சக்தி சொத்து: எந்த இரண்டு நிஜ எண்களான a மற்றும் b இன் பெருக்கத்தின் இயற்கையான சக்தி n என்பது a n மற்றும் b n ஆகிய சக்திகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம், அதாவது (a·b) n =a n ·b n .

      உண்மையில், இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய பட்டத்தின் வரையறையின்படி நம்மிடம் உள்ளது . கடைசி துண்டுபெருக்கத்தின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு மீண்டும் எழுதலாம் , இது a n · b n க்கு சமம்.

      இங்கே ஒரு உதாரணம்: .

      இந்த சொத்து மூன்று மற்றும் உற்பத்தியின் சக்திக்கு நீண்டுள்ளது மேலும்பெருக்கிகள். அதாவது, k காரணிகளின் ஒரு விளைபொருளின் இயற்கையான டிகிரி n இன் பண்பு (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n என எழுதப்படுகிறது.

      தெளிவுக்காக, இந்த சொத்தை ஒரு உதாரணத்துடன் காண்பிப்போம். 7-ன் சக்திக்கு மூன்று காரணிகளின் பெருக்கத்திற்கு நம்மிடம் உள்ளது.

      பின்வரும் சொத்து உள்ளது வகையான ஒரு பங்குதாரர் சொத்து: நிஜ எண்கள் a மற்றும் b, b≠0 க்கு இயற்க்கை சக்தி n என்பது a n மற்றும் b n ஆகிய அதிகாரங்களின் பகுதிக்கு சமம், அதாவது (a:b) n =a n:b n.

      முந்தைய சொத்தைப் பயன்படுத்தி ஆதாரத்தை மேற்கொள்ளலாம். எனவே (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n பிரிவு a n on bn.

      குறிப்பிட்ட எண்களை உதாரணமாகப் பயன்படுத்தி இந்த சொத்தை எழுதுவோம்: .

      இப்போது குரல் கொடுப்போம் ஒரு அதிகாரத்தை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும் சொத்து: எந்த ஒரு உண்மையான எண் மற்றும் எந்த இயல் எண்களான m மற்றும் n க்கும், n இன் சக்திக்கு ஒரு m இன் சக்தியானது, m·n என்ற அடுக்குடன் உள்ள எண்ணின் சக்திக்கு சமம், அதாவது (a m) n =a m·n.

      எடுத்துக்காட்டாக, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

      பவர்-டு-டிகிரி சொத்துக்கான ஆதாரம் பின்வரும் சமத்துவங்களின் சங்கிலி: .

      கருதப்படும் சொத்தை பட்டம் முதல் பட்டம் வரை நீட்டிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, எந்த இயற்கை எண்களுக்கும் p, q, r மற்றும் s, சமத்துவம் . அதிக தெளிவுக்காக, குறிப்பிட்ட எண்களுடன் ஒரு உதாரணம் தருவோம்: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

      டிகிரிகளை இயற்கையான அடுக்குடன் ஒப்பிடும் பண்புகளில் இது தங்கியிருக்கிறது.

      பூஜ்ஜியத்தையும் சக்தியையும் இயற்கையான அடுக்குடன் ஒப்பிடும் பண்புகளை நிரூபிப்பதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம்.

      முதலில், எந்த a>0க்கும் n >0 என்பதை நிரூபிப்போம்.

      இரண்டின் தயாரிப்பு நேர்மறை எண்கள்பெருக்கல் வரையறையில் இருந்து பின்வருமாறு நேர்மறை எண். இந்த உண்மையும், பெருக்கத்தின் பண்புகளும், நேர்மறை எண்களை எந்த எண்ணைப் பெருக்கினாலும் அது நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும் என்று கூறுகின்றன. மற்றும் இயற்கை அடுக்கு n உடன் ஒரு எண்ணின் சக்தி, வரையறையின்படி, n காரணிகளின் பெருக்கமாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் a க்கு சமம். இந்த வாதங்கள் எந்த ஒரு நேர்மறை அடித்தளத்திற்கும், டிகிரி a n ஒரு நேர்மறை எண் என்று கூற அனுமதிக்கிறது. நிரூபிக்கப்பட்ட சொத்து காரணமாக 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 மற்றும் .

      a=0 உடன் எந்த நேர்மறை முழு எண் n க்கும் ஒரு n இன் பட்டம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது. உண்மையில், 0 n =0·0·…·0=0 . எடுத்துக்காட்டாக, 0 3 =0 மற்றும் 0 762 =0.

      பட்டத்தின் எதிர்மறை அடிப்படைகளுக்கு செல்லலாம்.

      அடுக்கு இரட்டை எண்ணாக இருக்கும் போது வழக்கிலிருந்து தொடங்குவோம், அதை 2·m எனக் குறிப்பிடுவோம், இங்கு m என்பது இயற்கை எண்ணாகும். பிறகு . எதிர்மறை எண்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியின்படி, a·a வடிவத்தின் ஒவ்வொரு தயாரிப்புகளும் a மற்றும் a எண்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் பெருக்கத்திற்குச் சமம், அதாவது அது நேர்மறை எண். எனவே, தயாரிப்பு நேர்மறையானதாக இருக்கும் மற்றும் பட்டம் a 2·m. எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 மற்றும் .

      இறுதியாக, அடிப்படை a எதிர்மறை எண்ணாகவும், அடுக்கு என்பதும் ஆகும் ஒற்றைப்படை எண் 2 m−1 , பின்னர் . அனைத்து தயாரிப்புகளும் a·a நேர்மறை எண்கள், இந்த நேர்மறை எண்களின் பெருக்கமும் நேர்மறை, மற்றும் மீதமுள்ள எதிர்மறை எண்ணால் அதன் பெருக்கல் எதிர்மறை எண்ணில் விளைகிறது. இந்தப் பண்பு காரணமாக (−5) 3 17 n n என்பது n உண்மையான சமத்துவமின்மையின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களின் விளைபொருளாகும் a ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகள், a n n வடிவத்தின் நிரூபிக்கக்கூடிய சமத்துவமின்மையும் உண்மை. உதாரணமாக, இந்த சொத்து காரணமாக, ஏற்றத்தாழ்வுகள் 3 7 7 மற்றும் .

      பட்டியலிடப்பட்ட டிகிரிகளின் பண்புகளில் கடைசியாக இயற்கையான அடுக்குகளுடன் நிரூபிக்க இது உள்ளது. அதை முறைப்படுத்துவோம். இயற்கை அடுக்குகள் மற்றும் ஒரே மாதிரியான நேர்மறைத் தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு சக்திகளில் ஒன்றுக்குக் குறைவானது, அதன் அடுக்கு சிறியது பெரியது; மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட இயற்கை அடுக்குகள் மற்றும் ஒரே மாதிரியான தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு சக்திகளில், அதன் அடுக்கு பெரியது. இந்தச் சொத்தின் ஆதாரத்திற்குச் செல்வோம்.

      m>n மற்றும் 0m n க்கு என்பதை நிரூபிப்போம். இதைச் செய்ய, a m - a n வித்தியாசத்தை எழுதி பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுகிறோம். பதிவு செய்யப்பட்ட வேறுபாடு, அடைப்புக்குறிக்குள் n ஐ எடுத்த பிறகு, n ·(a m−n−1) வடிவத்தை எடுக்கும். இதன் விளைவாக வரும் விளைபொருளானது நேர்மறை எண் a n மற்றும் எதிர்மறை எண் ஒரு m−n -1 (a n என்பது நேர்மறை எண்ணின் இயற்கை சக்தியாக நேர்மறை மற்றும் m−n −1 வேறுபாடு எதிர்மறையானது, ஏனெனில் m−n >0 தொடக்க நிலை m>n என்பதன் காரணமாக, 0m−n ஒற்றுமையை விட குறைவாக இருக்கும்போது). எனவே, ஒரு m -a n m n , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும். உதாரணமாக, சரியான சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தருகிறோம்.

      சொத்தின் இரண்டாவது பகுதியை நிரூபிக்க இது உள்ளது. m>n மற்றும் a>1 a m >a n க்கு உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம். அடைப்புக்குறிக்குள் n ஐ எடுத்த பிறகு ஒரு m -a n வேறுபாடு a n ·(a m−n -1) வடிவத்தை எடுக்கும். இந்த தயாரிப்பு நேர்மறையாக உள்ளது, ஏனெனில் a>1 பட்டம் n என்பது நேர்மறை எண்ணாகும், மேலும் m−n -1 என்பது நேர்மறை எண்ணாகும், ஏனெனில் m−n>0 ஆரம்ப நிலை, மற்றும் a>1க்கு ஒரு m−n இன் அளவு ஒன்று விட அதிகமாகும். இதன் விளைவாக, ஒரு m −a n >0 மற்றும் a m >a n , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும். இந்த சொத்து சமத்துவமின்மை 3 7 >3 2 மூலம் விளக்கப்படுகிறது.

      முழு எண் அடுக்குகளுடன் கூடிய அதிகாரங்களின் பண்புகள்

      நேர்மறை முழு எண்கள் இயற்கை எண்கள் என்பதால், நேர்மறை முழு எண் அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் அனைத்து பண்புகளும் முந்தைய பத்தியில் பட்டியலிடப்பட்ட மற்றும் நிரூபிக்கப்பட்ட இயற்கை அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் பண்புகளுடன் சரியாக ஒத்துப்போகின்றன.

      ஒரு முழு எண் எதிர்மறை அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தையும், அதே போல் பூஜ்ஜிய அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தையும் வரையறுத்துள்ளோம், இயற்கையான அடுக்குகளுடன் கூடிய டிகிரிகளின் அனைத்து பண்புகளும், சமத்துவத்தால் வெளிப்படுத்தப்படும், செல்லுபடியாகும் வகையில் இருக்கும். எனவே, இந்த பண்புகள் அனைத்தும் பூஜ்ஜிய அடுக்குகள் மற்றும் எதிர்மறை அடுக்குகள் இரண்டிற்கும் செல்லுபடியாகும், அதே நேரத்தில், சக்திகளின் அடிப்படைகள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டவை.

      எனவே, எந்த உண்மையான மற்றும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண்கள் a மற்றும் b, அத்துடன் எந்த முழு எண்கள் m மற்றும் n, பின்வருபவை உண்மை: முழு எண் அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் பண்புகள்:

    • ஒரு m ·a n = a m+n ;
    • a m:a n = a m−n ;
    • (a·b) n =a n ·b n;
    • (a:b) n =a n:b n ;
    • (a m) n = a m·n ;
    • n நேர்மறை முழு எண்ணாக இருந்தால், a மற்றும் b நேர்மறை எண்கள், மற்றும் a n n மற்றும் a -n >b -n ;
    • m மற்றும் n முழு எண்கள் மற்றும் m>n என்றால், 0m n க்கு, மற்றும் a>1 க்கு சமத்துவமின்மை a m >a n.

      • a=0 எனும்போது, ​​m மற்றும் n ஆகிய இரண்டும் நேர்மறை முழு எண்களாக இருக்கும் போது மட்டுமே, a m மற்றும் a n சக்திகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும், அதாவது இயற்கை எண்கள். எனவே, இப்போது எழுதப்பட்ட பண்புகள் a=0 மற்றும் m மற்றும் n எண்கள் நேர்மறை முழு எண்களாக இருக்கும் நிகழ்வுகளுக்கும் செல்லுபடியாகும்.

      இந்த பண்புகள் ஒவ்வொன்றையும் நிரூபிப்பது கடினம் அல்ல, இயற்கை மற்றும் முழு எண் அடுக்குகளுடன் டிகிரிகளின் வரையறைகளையும், உண்மையான எண்களுடன் செயல்பாடுகளின் பண்புகளையும் பயன்படுத்தினால் போதும். உதாரணமாக, பவர்-டு-பவர் சொத்து நேர்மறை முழு எண்கள் மற்றும் நேர்மறை முழு எண்கள் இரண்டிற்கும் உள்ளது என்பதை நிரூபிப்போம். இதைச் செய்ய, p பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் அல்லது என்பதைக் காட்ட வேண்டும் இயற்கை எண்மற்றும் q என்பது பூஜ்ஜியம் அல்லது இயற்கை எண், பின்னர் சமத்துவங்கள் (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (−p)·q, (a p) -q =a p·(−q) மற்றும் ( a -p) −q =a (-p)·(−q) . இதைச் செய்வோம்.

      நேர்மறை p மற்றும் q க்கு, சமத்துவம் (a p) q =a p·q முந்தைய பத்தியில் நிரூபிக்கப்பட்டது. p=0 எனில், நம்மிடம் (a 0) q =1 q =1 மற்றும் a 0·q =a 0 =1, எங்கிருந்து (a 0) q =a 0·q. இதேபோல், q=0 என்றால், (a p) 0 =1 மற்றும் a p·0 =a 0 =1, எங்கிருந்து (a p) 0 =a p·0. p=0 மற்றும் q=0 ஆகிய இரண்டும் இருந்தால், (a 0) 0 =1 0 =1 மற்றும் a 0·0 =a 0 =1, எங்கிருந்து (a 0) 0 =a 0·0.

      இப்போது நாம் (a -p) q =a (-p)·q என்பதை நிரூபிக்கிறோம். எதிர்மறை முழு எண் அடுக்கு கொண்ட சக்தியின் வரையறையின்படி . நாம் பெற்றுள்ள அதிகாரங்களுக்கு பங்குதாரர்களின் சொத்துக்களால் . 1 p =1·1·…·1=1 மற்றும் , பின்னர் . கடைசி வெளிப்பாடு, வரையறையின்படி, a −(p·q) வடிவத்தின் சக்தியாகும், இது பெருக்கல் விதிகளின் காரணமாக (−p)·q என எழுதப்படலாம்.

      அதேபோல் .

      மற்றும் .

      அதே கொள்கையைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் ஒரு பட்டத்தின் மற்ற எல்லா பண்புகளையும் ஒரு முழு எண் அடுக்குடன் நிரூபிக்க முடியும்.

      பதிவுசெய்யப்பட்ட பண்புகளின் இறுதிக் கட்டத்தில், சமத்துவமின்மையின் நிரூபணமான a -n >b -n, எந்த எதிர்மறை முழு எண் −n மற்றும் எந்த நேர்மறை a மற்றும் b நிபந்தனைக்கு திருப்தி அளிக்கும் என்பதற்கும் செல்லுபடியாகும். . இந்த சமத்துவமின்மையின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டை எழுதி மாற்றுவோம்: . நிபந்தனையின்படி ஏ n n , எனவே, b n -a n >0 . a n · b n ஆனது நேர்மறை எண்களான a n மற்றும் b n ஆகியவற்றின் பெருக்கமாகவும் நேர்மறையாக இருக்கும். பின்னர் விளைந்த பின்னம் நேர்மறை எண்களான b n -a n மற்றும் a n ·b n ஆகியவற்றின் புள்ளியாக நேர்மறையாக இருக்கும். எனவே, எங்கிருந்து a −n >b -n , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

      முழு எண் அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் கடைசி சொத்து, இயற்கை அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் ஒத்த பண்புகளைப் போலவே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

      பகுத்தறிவு அடுக்குகளுடன் கூடிய அதிகாரங்களின் பண்புகள்

      ஒரு பட்டத்தின் பண்புகளை முழு எண் அடுக்குடன் விரிவாக்குவதன் மூலம் ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தை வரையறுத்தோம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பகுதியளவு அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகள் முழு எண் அடுக்குகளுடன் கூடிய அதே பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. அதாவது:

    1. அதே தளங்களைக் கொண்ட சக்திகளின் உற்பத்தியின் சொத்து a>0க்கு, மற்றும் என்றால் மற்றும், பிறகு a≥0;
    2. அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட பங்கு அதிகாரங்களின் சொத்து ஒரு>0க்கு;
    3. ஒரு பொருளின் ஒரு பகுதி சக்திக்கு சொத்து a>0 மற்றும் b>0, மற்றும் என்றால் மற்றும், பின்னர் a≥0 மற்றும் (அல்லது) b≥0;
    4. ஒரு பகுதியளவு சக்திக்கு ஒரு பங்கின் சொத்து a>0 மற்றும் b>0, மற்றும் என்றால், a≥0 மற்றும் b>0;
    5. பட்டம் பட்டம் சொத்து a>0க்கு, மற்றும் என்றால் மற்றும், பிறகு a≥0;
    6. சம பகுத்தறிவு அடுக்குகளுடன் சக்திகளை ஒப்பிடுவதற்கான சொத்து: எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் a மற்றும் b, a 0 சமத்துவமின்மை a p p உண்மை, மற்றும் p p >b p க்கு;
    7. பகுத்தறிவு அடுக்குகள் மற்றும் சமமான அடிப்படைகளுடன் சக்திகளை ஒப்பிடுவதற்கான சொத்து: பகுத்தறிவு எண்களுக்கு p மற்றும் q, p>q க்கு 0p q, மற்றும் a>0 - சமத்துவமின்மை a p >a q.

      8. பகுதியளவு அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் பண்புகளின் ஆதாரம் ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட சக்தியின் வரையறை, nth டிகிரியின் எண்கணித மூலத்தின் பண்புகள் மற்றும் ஒரு முழு எண் அடுக்கு கொண்ட சக்தியின் பண்புகள் ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது. ஆதாரம் தருவோம்.

      பின்னம் கொண்ட ஒரு சக்தியின் வரையறை மற்றும் , பின்னர் . எண்கணித மூலத்தின் பண்புகள் பின்வரும் சமத்துவங்களை எழுத அனுமதிக்கின்றன. மேலும், ஒரு முழு எண் அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம் , மற்றும் பெறப்பட்ட பட்டத்தின் குறிகாட்டியை பின்வருமாறு மாற்றலாம்: . இது ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது.

      பகுதியளவு அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் இரண்டாவது சொத்து முற்றிலும் ஒத்த வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது:

      மீதமுள்ள சமத்துவங்கள் இதே போன்ற கொள்கைகளைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்படுகின்றன:

      அடுத்த சொத்தை நிருபிக்க போகலாம். எந்த நேர்மறை a மற்றும் b , a என்பதை நிரூபிப்போம் 0 சமத்துவமின்மை a p p உண்மை, மற்றும் p p >b p க்கு. பகுத்தறிவு எண்ணை m/n என எழுதுவோம், இங்கு m என்பது முழு எண் மற்றும் n என்பது இயற்கை எண். இந்த வழக்கில் p 0 நிபந்தனைகள் முறையே m 0 க்கு சமமாக இருக்கும். m>0 மற்றும் am m க்கு. இந்த சமத்துவமின்மையிலிருந்து, வேர்களின் சொத்தின் மூலம், நம்மிடம் உள்ளது, மேலும் a மற்றும் b நேர்மறை எண்கள் என்பதால், ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் வரையறையின் அடிப்படையில், விளைவாக சமத்துவமின்மையை மீண்டும் எழுதலாம், அதாவது p p .

      இதேபோல், m m >b m , எங்கிருந்து, அதாவது a p >b p .

      பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகளில் கடைசியாக நிரூபிக்க இது உள்ளது. பகுத்தறிவு எண்களுக்கு p மற்றும் q, p>q 0p q, மற்றும் a>0 - சமத்துவமின்மை a p >a q என்று நிரூபிப்போம். சாதாரண பின்னங்கள் மற்றும் , m 1 மற்றும் m 2 ஆகியவை முழு எண்களாக இருந்தாலும், n என்பது ஒரு இயற்கை எண்ணாக இருந்தாலும், பகுத்தறிவு எண்களான p மற்றும் q ஐ எப்போதும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைக்கலாம். இந்த வழக்கில், p>q நிபந்தனை m 1 >m 2 உடன் ஒத்திருக்கும், இது ஒப்பீட்டு விதியிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. சாதாரண பின்னங்கள்உடன் அதே பிரிவுகள். பின்னர், 0m 1 m 2 க்கும், a >1 க்கு, சமத்துவமின்மை a m 1 >a m 2 க்கும், அதே அடிப்படைகள் மற்றும் இயற்கை அடுக்குகளுடன் டிகிரிகளை ஒப்பிடும் பண்பு மூலம். வேர்களின் பண்புகளில் உள்ள இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை அதற்கேற்ப மாற்றி எழுதலாம் மற்றும் . மற்றும் ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தின் வரையறை நம்மை ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு செல்ல அனுமதிக்கிறது மற்றும் அதன்படி. இங்கிருந்து நாம் இறுதி முடிவுக்கு வருகிறோம்: p> q மற்றும் 0p q , மற்றும் a> 0 - சமத்துவமின்மை a p >a q .

      பகுத்தறிவற்ற அடுக்குகளைக் கொண்ட அதிகாரங்களின் பண்புகள்

      பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் ஒரு பட்டம் வரையறுக்கப்பட்ட விதத்திலிருந்து, அது பகுத்தறிவு அடுக்குகளுடன் கூடிய டிகிரிகளின் அனைத்து பண்புகளையும் கொண்டுள்ளது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். எனவே எந்த a>0, b>0 மற்றும் விகிதாசார எண்களான p மற்றும் q க்கு பின்வருபவை உண்மை பகுத்தறிவற்ற அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் பண்புகள்:

      1. a p ·a q = a p+q ;
      2. a p:a q =a p−q ;
      3. (a·b) p =a p ·b p ;
      4. (a:b) p =a p:b p ;
      5. (a p) q =a p·q ;
      6. எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் a மற்றும் b, a 0 சமத்துவமின்மை a p p உண்மை, மற்றும் p p >b p க்கு;
      7. விகிதாசார எண்களுக்கு p மற்றும் q, p>q 0p q, மற்றும் a>0 - சமத்துவமின்மை a p >a q.

        8. இதிலிருந்து, a>0க்கான p மற்றும் q ஆகிய உண்மையான அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகள் ஒரே மாதிரியான பண்புகளைக் கொண்டிருப்பதாக நாம் முடிவு செய்யலாம்.

    • அல்ஜீப்ரா - 10ம் வகுப்பு. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் தலைப்பில் பாடம் மற்றும் விளக்கக்காட்சி: "எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" கூடுதல் பொருட்கள் அன்பான பயனர்களே, உங்கள் கருத்துகள், மதிப்புரைகள், பரிந்துரைகளை விட்டுவிட மறக்காதீர்கள்! அனைத்து பொருட்களும் […]
    • "விற்பனையாளர் - ஆலோசகர்" பதவிக்கு ஒரு போட்டி திறக்கப்பட்டுள்ளது: பொறுப்புகள்: விற்பனை மொபைல் போன்கள்மற்றும் பாகங்கள் மொபைல் தொடர்புகள் Beeline, Tele2, MTS இணைப்புகளுக்கான வாடிக்கையாளர் சேவை கட்டண திட்டங்கள்மற்றும் Beeline மற்றும் Tele2 சேவைகள், MTS ஆலோசனை [...]
    • Parallelepiped formula A parallelepiped என்பது 6 முகங்களைக் கொண்ட ஒரு பாலிஹெட்ரான் ஆகும், அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு இணையான வரைபடம் ஆகும். ஒரு கனசதுரம் என்பது ஒரு இணையான குழாய் ஆகும், அதன் ஒவ்வொரு முகமும் ஒரு செவ்வகமாகும். எந்த இணையான குழாய்களும் 3 ஆல் வகைப்படுத்தப்படும் […]
    • பேச்சின் வெவ்வேறு பகுதிகளில் N மற்றும் NN எழுத்துப்பிழை S.G. ZELINSKAYA டிடாக்டிக் மெட்டீரியல் கோட்பாட்டுப் பயிற்சி 1. உரிச்சொற்களில் nn எப்போது எழுதப்படுகிறது? 2. இந்த விதிகளுக்கு விதிவிலக்குகளை பெயரிடவும். 3. எப்படி வேறுபடுத்துவது வாய்மொழி உரிச்சொல்பின்னொட்டு -n- உடன் பங்கேற்பிலிருந்து […]
    • BRYANSK பிராந்தியத்தின் GOSTEKHNADZOR இன் ஆய்வு மாநில கடமை செலுத்துவதற்கான ரசீது (பதிவிறக்கம்-12.2 kb) தனிநபர்களுக்கான பதிவுக்கான விண்ணப்பங்கள் (பதிவிறக்கம்-12 kb) சட்ட நிறுவனங்களுக்கான பதிவுக்கான விண்ணப்பங்கள் (பதிவிறக்கம்-11.4 kb) ஒரு புதிய காரைப் பதிவு செய்யும் போது. 1. விண்ணப்பம் 2. பாஸ்போர்ட் […]
    • நுகர்வோர் உரிமைகள் பாதுகாப்பிற்கான சங்கம் அஸ்தானா எங்கள் இணையதளத்தில் இந்த ஆவணத்தை அணுக பின் குறியீட்டைப் பெற, ஜிஎஸ்எம் ஆபரேட்டர்களின் (ஆக்டிவ், கேசெல், பீலைன், NEO, Tele2) எண் சந்தாதாரர்களுக்கு ஜான் என்ற உரையுடன் SMS செய்தியை அனுப்பவும். எண்ணுக்கு SMS அனுப்புதல், […]
    • குடும்ப சொத்துக்கள் மீதான சட்டத்தை ஏற்கவும் கூட்டாட்சி சட்டம்விரும்பும் ஒவ்வொரு குடிமகனுக்கும் இலவச ஒதுக்கீடு ரஷ்ய கூட்டமைப்புஅல்லது பின்வரும் நிபந்தனைகளின் அடிப்படையில் ஒரு நிலத்தின் குடிமக்கள் குடும்பம் அதன் மீது ஒரு குடும்ப தோட்டத்தை உருவாக்குவதற்காக: 1. சதி ஒதுக்கப்பட்டது […]
    • பிவோவ் வி.எம். அறிவியலின் தத்துவம் மற்றும் முறை: பயிற்சி கையேடுமுதுநிலை மற்றும் பட்டதாரி மாணவர்களுக்கு Petrozavodsk: PetrSU பப்ளிஷிங் ஹவுஸ், 2013. - 320 pp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb இந்த பாடநூல் மூத்த மாணவர்கள், முதுநிலை மற்றும் பட்டதாரி மாணவர்கள் மற்றும் சமூக மற்றும் […]

    • பட்டம் சூத்திரங்கள்சமன்பாடுகள் மற்றும் சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பதில், சிக்கலான வெளிப்பாடுகளைக் குறைத்தல் மற்றும் எளிமைப்படுத்துதல் ஆகியவற்றில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

    எண் cஉள்ளது nஒரு எண்ணின் சக்தி அஎப்போது:

    டிகிரி கொண்ட செயல்பாடுகள்.

    1. ஒரே அடித்தளத்துடன் டிகிரிகளை பெருக்குவதன் மூலம், அவற்றின் குறிகாட்டிகள் சேர்க்கப்படுகின்றன:

    ஒரு மீ·a n = a m + n.

    2. டிகிரிகளை ஒரே அடித்தளத்துடன் வகுக்கும் போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் கழிக்கப்படுகின்றன:

    3. 2 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளின் பெருக்கத்தின் அளவு இந்த காரணிகளின் அளவுகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்:

    (abc…) n = a n · b n · c n …

    4. ஒரு பகுதியின் அளவு ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பியின் டிகிரிகளின் விகிதத்திற்கு சமம்:

    (a/b) n = a n /b n .

    5. ஒரு சக்தியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தினால், அடுக்குகள் பெருக்கப்படுகின்றன:

    (a m) n = a m n .

    மேலே உள்ள ஒவ்வொரு சூத்திரமும் இடமிருந்து வலமாகவும், நேர்மாறாகவும் இருக்கும்.

    உதாரணமாக. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

    வேர்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள்.

    1. பல காரணிகளின் உற்பத்தியின் மூலமானது இந்த காரணிகளின் வேர்களின் உற்பத்திக்கு சமம்:

    2. ஒரு விகிதத்தின் வேர் ஈவுத்தொகையின் விகிதத்திற்கும் வேர்களின் வகுக்கும் விகிதத்திற்கும் சமம்:

    3. ஒரு சக்திக்கு ஒரு மூலத்தை உயர்த்தும் போது, ​​இந்த சக்திக்கு தீவிர எண்ணை உயர்த்தினால் போதும்:

    4. நீங்கள் ரூட் பட்டம் அதிகரித்தால் nஒரு முறை மற்றும் அதே நேரத்தில் கட்டமைக்க nவது சக்தி ஒரு தீவிர எண், பின்னர் ரூட்டின் மதிப்பு மாறாது:

    5. நீங்கள் வேரின் அளவைக் குறைத்தால் nஅதே நேரத்தில் வேரை பிரித்தெடுக்கவும் nஒரு தீவிர எண்ணின் -வது சக்தி, பின்னர் ரூட்டின் மதிப்பு மாறாது:

    எதிர்மறை அடுக்குடன் பட்டம்.நேர்மறை அல்லாத (முழு எண்) அடுக்கு கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் சக்தி, அதே எண்ணின் சக்தியால் வகுக்கப்படும் ஒன்று என வரையறுக்கப்படுகிறது. முழுமையான மதிப்புநேர்மறை அல்லாத காட்டி:

    சூத்திரம் ஒரு மீ: a n = a m - nக்கு மட்டும் பயன்படுத்த முடியாது மீ> n, ஆனால் உடன் மீ< n.

    உதாரணமாக. அ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

    சூத்திரத்திற்கு ஒரு மீ: a n = a m - nஎப்போது நியாயமானது m=n, பூஜ்ஜிய பட்டம் இருப்பது அவசியம்.

    பூஜ்ஜிய குறியீட்டுடன் ஒரு பட்டம்.பூஜ்ஜிய அடுக்குடன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எந்த எண்ணின் சக்தியும் ஒன்றுக்கு சமம்.

    உதாரணமாக. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

    ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் பட்டம்.உண்மையான எண்ணை உயர்த்த ஏபட்டத்திற்கு m/n, நீங்கள் ரூட் பிரித்தெடுக்க வேண்டும் nவது பட்டம் மீ-இந்த எண்ணின் சக்தி ஏ.