அதிவேக செயல்பாடு. பாடம் நோக்கங்கள்: ஒரு பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம் கருதுங்கள்; அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துங்கள். பட்டம் மற்றும் அதன் பண்புகள். விரிவான வழிகாட்டி (2019)


எண்ணின் சக்தி தீர்மானிக்கப்பட்ட பிறகு, அதைப் பற்றி பேசுவது தர்க்கரீதியானது பட்டம் பண்புகள். இந்த கட்டுரையில், சாத்தியமான அனைத்து அடுக்குகளையும் தொடும் போது, ​​எண்ணின் சக்தியின் அடிப்படை பண்புகளை வழங்குவோம். டிகிரிகளின் அனைத்து பண்புகளின் சான்றுகளையும் இங்கே வழங்குவோம், மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது இந்த பண்புகள் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதையும் காண்பிப்போம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

இயற்கை அடுக்குகளுடன் கூடிய பட்டங்களின் பண்புகள்

இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய சக்தியின் வரையறையின்படி, சக்தி a n என்பது n காரணிகளின் விளைபொருளாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் a க்கு சமம். இந்த வரையறையின் அடிப்படையில், மேலும் பயன்படுத்தவும் உண்மையான எண்களின் பெருக்கத்தின் பண்புகள், பின்வருவனவற்றை நாம் பெற்று நியாயப்படுத்தலாம் இயற்கை அடுக்குடன் பட்டத்தின் பண்புகள்:

  1. ஒரு m ·a n = a m+n என்ற பட்டத்தின் முக்கிய சொத்து, அதன் பொதுமைப்படுத்தல்;
  2. பங்கு அதிகாரங்களின் சொத்து அதே அடிப்படையில் a m:a n = a m−n ;
  3. தயாரிப்பு சக்தி பண்பு (a·b) n =a n ·b n, அதன் நீட்டிப்பு;
  4. இயற்கை அளவு (a:b) n =a n:b n
  5. ஒரு பட்டத்தை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது (a m) n =a m·n, அதன் பொதுமைப்படுத்தல் (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
  6. பட்டத்தை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுதல்:
    • a>0 எனில், எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் n>0;
    • a=0 என்றால், a n =0;
    • ஒரு என்றால்<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 என்றால் a<0 и показатель степени есть ஒற்றைப்படை எண் 2 m−1 , பின்னர் a 2 m−1<0 ;
  7. a மற்றும் b நேர்மறை எண்கள் மற்றும் a
  8. m மற்றும் n என்பது m>n போன்ற இயற்கை எண்கள் என்றால், 0 இல் 0 சமத்துவமின்மை a m >a n உண்மை.

எழுதப்பட்ட அனைத்து சமத்துவங்களும் உள்ளன என்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம் ஒரே மாதிரியானகுறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு, அவற்றின் வலது மற்றும் இடது பாகங்கள் இரண்டையும் மாற்றிக்கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, a m ·a n =a m+n உடன் பின்னத்தின் முக்கிய பண்பு எளிமைப்படுத்தும் வெளிப்பாடுகள்பெரும்பாலும் a m+n =a m ·a n வடிவத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இப்போது அவை ஒவ்வொன்றையும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

    இரண்டு சக்திகளின் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்ட பொருளின் பண்புடன் ஆரம்பிக்கலாம், இது அழைக்கப்படுகிறது பட்டத்தின் முக்கிய சொத்து: எந்த ஒரு உண்மையான எண் மற்றும் எந்த இயற்கை எண்களான m மற்றும் n க்கும், a m ·a n =a m+n என்பது உண்மை.

    பட்டத்தின் முக்கிய சொத்தை நிரூபிப்போம். இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய சக்தியின் வரையறையின்படி, m ·a n வடிவத்தின் அதே தளங்களைக் கொண்ட சக்திகளின் பெருக்கத்தை ஒரு விளைபொருளாக எழுதலாம். பெருக்கத்தின் பண்புகள் காரணமாக, விளைவான வெளிப்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம் , மற்றும் இந்த தயாரிப்பு ஒரு இயற்கை அடுக்கு m+n, அதாவது ஒரு m+n கொண்ட எண்ணின் சக்தி. இது ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது.

    பட்டத்தின் முக்கிய சொத்தை உறுதிப்படுத்தும் ஒரு உதாரணம் தருவோம். அதே அடிப்படைகள் 2 மற்றும் இயற்கை சக்திகள் 2 மற்றும் 3 உடன் டிகிரிகளை எடுத்துக்கொள்வோம், டிகிரிகளின் அடிப்படை பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சமத்துவம் 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 ஐ எழுதலாம். 2 2 · 2 3 மற்றும் 2 5 வெளிப்பாடுகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் அதன் செல்லுபடியை சரிபார்க்கலாம். எக்ஸ்போனென்ஷியேஷன் செய்கிறோம், எங்களிடம் உள்ளது 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32மற்றும் 2 5 =2·2·2·2·2=32, சம மதிப்புகள் பெறப்பட்டதால், சமத்துவம் 2 2 ·2 3 =2 5 சரியாக இருக்கும், மேலும் இது பட்டத்தின் முக்கிய சொத்தை உறுதிப்படுத்துகிறது.

    ஒரு பட்டத்தின் அடிப்படைப் பண்பு, பெருக்கத்தின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது, அதே அடிப்படைகள் மற்றும் இயற்கை அடுக்குகளைக் கொண்ட மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சக்திகளின் தயாரிப்புக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். எனவே இயல் எண்கள் n 1, n 2, ..., n k இன் எந்த எண்ணுக்கும் சமத்துவம் உண்மை a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    உதாரணமாக, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    இயற்கையான அடுக்குடன் சக்திகளின் அடுத்த சொத்துக்கு நாம் செல்லலாம் - அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட பங்கு அதிகாரங்களின் சொத்து: எந்த பூஜ்ஜியமற்ற உண்மையான எண் a மற்றும் தன்னிச்சையான இயற்கை எண்களான m மற்றும் n நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் m>n, சமத்துவம் a m:a n =a m−n.

    இந்தச் சொத்தின் ஆதாரத்தை முன்வைப்பதற்கு முன், உருவாக்கத்தில் உள்ள கூடுதல் நிபந்தனைகளின் பொருளைப் பற்றி விவாதிப்போம். பூஜ்ஜியத்தால் வகுபடுவதைத் தவிர்க்க a≠0 நிபந்தனை அவசியம், 0 n =0 என்பதால், வகுத்தல் பற்றி நாம் அறிந்தபோது, ​​பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது என்று ஒப்புக்கொண்டோம். நிபந்தனை m>n அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அதனால் நாம் இயற்கை அடுக்குகளுக்கு அப்பால் செல்லக்கூடாது. உண்மையில், m>n அடுக்குக்கு ஒரு m−n என்பது ஒரு இயற்கை எண்ணாகும், இல்லையெனில் அது பூஜ்ஜியமாக (m−n க்கு நிகழும்) அல்லது எதிர்மறை எண்ணாக (m க்கு நிகழும்)

    ஆதாரம். ஒரு பகுதியின் முக்கிய சொத்து சமத்துவத்தை எழுத அனுமதிக்கிறது a m−n ·a n =a (m−n)+n = a m. இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவத்திலிருந்து ஒரு m−n ·a n =a m மற்றும் ஒரு m−n என்பது a m மற்றும் a n ஆகிய சக்திகளின் ஒரு விகுதியாகும். இது ஒரே மாதிரியான அடிப்படைகளைக் கொண்ட பங்கு சக்திகளின் சொத்துக்களை நிரூபிக்கிறது.

    ஒரு உதாரணம் தருவோம். இரண்டு டிகிரிகளை ஒரே அடிப்படையான π மற்றும் இயற்கை அடுக்குகள் 5 மற்றும் 2 உடன் எடுத்துக் கொள்வோம், சமத்துவம் π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 என்பது பட்டத்தின் கருதப்படும் பண்புக்கு ஒத்திருக்கிறது.

    இப்போது கருத்தில் கொள்வோம் தயாரிப்பு சக்தி சொத்து: எந்த இரண்டு நிஜ எண்களான a மற்றும் b இன் பெருக்கத்தின் இயற்கையான சக்தி n என்பது a n மற்றும் b n ஆகிய சக்திகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம், அதாவது (a·b) n =a n ·b n .

    உண்மையில், இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய பட்டத்தின் வரையறையின்படி நம்மிடம் உள்ளது . பெருக்கத்தின் பண்புகளின் அடிப்படையில், கடைசி தயாரிப்பு என மீண்டும் எழுதலாம் , இது ஒரு n · b n க்கு சமம்.

    இங்கே ஒரு உதாரணம்: .

    இந்த பண்பு மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளின் விளைபொருளின் சக்திக்கு நீண்டுள்ளது. அதாவது, கே காரணிகளின் விளைபொருளின் இயற்கையான பட்டம் n இன் பண்பு என எழுதப்பட்டுள்ளது (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

    தெளிவுக்காக, இந்த சொத்தை ஒரு உதாரணத்துடன் காண்பிப்போம். 7-ன் சக்திக்கு மூன்று காரணிகளின் பெருக்கத்திற்கு நம்மிடம் உள்ளது.

    பின்வரும் சொத்து உள்ளது வகையான ஒரு பங்குதாரர் சொத்து: நிஜ எண்கள் a மற்றும் b, b≠0 க்கு இயற்க்கை சக்தி n என்பது a n மற்றும் b n ஆகிய அதிகாரங்களின் பகுதிக்கு சமம், அதாவது (a:b) n =a n:b n.

    முந்தைய சொத்தைப் பயன்படுத்தி ஆதாரத்தை மேற்கொள்ளலாம். எனவே (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, மற்றும் சமத்துவம் (a:b) n ·b n =a n என்பதிலிருந்து (a:b) n என்பது b n ஆல் வகுக்கப்படும் ஒரு n இன் விகிதமாகும்.

    குறிப்பிட்ட எண்களை உதாரணமாகப் பயன்படுத்தி இந்த சொத்தை எழுதுவோம்: .

    இப்போது குரல் கொடுப்போம் ஒரு அதிகாரத்தை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும் சொத்து: எந்த ஒரு உண்மையான எண் மற்றும் எந்த இயற்கை எண்களான m மற்றும் n க்கும், n இன் சக்திக்கு ஒரு m இன் சக்தியானது, m·n என்ற அடுக்குடன் கூடிய எண்ணின் சக்திக்கு சமம், அதாவது (a m) n =a m·n.

    எடுத்துக்காட்டாக, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

    பவர்-டு-டிகிரி சொத்துக்கான ஆதாரம் பின்வரும் சமத்துவங்களின் சங்கிலி: .

    கருதப்படும் சொத்தை பட்டம் முதல் பட்டம் வரை நீட்டிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, எந்த இயற்கை எண்களுக்கும் p, q, r மற்றும் s, சமத்துவம் . அதிக தெளிவுக்காக, குறிப்பிட்ட எண்களுடன் ஒரு எடுத்துக்காட்டு இங்கே: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    டிகிரிகளை இயற்கையான அடுக்குடன் ஒப்பிடும் பண்புகளில் இது தங்கியிருக்கிறது.

    பூஜ்ஜியத்தையும் சக்தியையும் இயற்கையான அடுக்குடன் ஒப்பிடும் பண்புகளை நிரூபிப்பதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம்.

    முதலில், எந்த a>0க்கும் n >0 என்பதை நிரூபிப்போம்.

    இரண்டின் தயாரிப்பு நேர்மறை எண்கள்பெருக்கல் வரையறையில் இருந்து பின்வருமாறு நேர்மறை எண். இந்த உண்மையும், பெருக்கத்தின் பண்புகளும், நேர்மறை எண்களை எந்த எண்ணைப் பெருக்கினாலும் அது நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும் என்று கூறுகின்றன. மற்றும் இயற்கை அடுக்கு n உடன் ஒரு எண்ணின் சக்தி, வரையறையின்படி, n காரணிகளின் பெருக்கமாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் a க்கு சமம். இந்த வாதங்கள் எந்த ஒரு நேர்மறை அடித்தளத்திற்கும், டிகிரி a n ஒரு நேர்மறை எண் என்று கூற அனுமதிக்கிறது. நிரூபிக்கப்பட்ட சொத்து காரணமாக 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 மற்றும் .

    a=0 உடன் உள்ள எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் n இன் அளவு பூஜ்ஜியமாகும் என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது. உண்மையில், 0 n =0·0·…·0=0 . எடுத்துக்காட்டாக, 0 3 =0 மற்றும் 0 762 =0.

    பட்டத்தின் எதிர்மறை அடிப்படைகளுக்கு செல்லலாம்.

    அடுக்கு இரட்டை எண்ணாக இருக்கும் போது வழக்கிலிருந்து தொடங்குவோம், அதை 2·m எனக் குறிப்பிடுவோம், இங்கு m என்பது இயற்கை எண்ணாகும். பிறகு . படிவத்தின் ஒவ்வொரு தயாரிப்புக்கும் a·a என்பது a மற்றும் a எண்களின் மாடுலியின் பெருக்கத்திற்கு சமம், அதாவது இது ஒரு நேர்மறை எண். எனவே, தயாரிப்பு நேர்மறையானதாக இருக்கும் மற்றும் பட்டம் a 2·m. எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 மற்றும் .

    இறுதியாக, அடிப்படை a எதிர்மறை எண்ணாகவும், அடுக்கு ஒற்றைப்படை எண் 2 m−1 ஆகவும் இருக்கும் போது . அனைத்து தயாரிப்புகளும் a·a நேர்மறை எண்கள், இந்த நேர்மறை எண்களின் பெருக்கமும் நேர்மறை மற்றும் மீதமுள்ளவற்றால் அதன் பெருக்கல் எதிர்மறை எண்எதிர்மறை எண்ணில் முடிவு. இந்த சொத்து காரணமாக (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    பின்வரும் சூத்திரத்தைக் கொண்ட அதே இயற்கை அடுக்குகளுடன் சக்திகளை ஒப்பிடும் பண்புக்கு செல்வோம்: ஒரே இயற்கை அடுக்குகளைக் கொண்ட இரண்டு சக்திகளில், n என்பது அதன் அடித்தளத்தை விட சிறியது மற்றும் பெரியது அதன் அடித்தளத்தை விட பெரியது. . நிரூபிப்போம்.

    சமத்துவமின்மை a n ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகள் a n வடிவத்தின் நிரூபிக்கக்கூடிய சமத்துவமின்மையும் உண்மை .

    பட்டியலிடப்பட்ட சக்திகளின் கடைசி பண்புகளை இயற்கையான அடுக்குகளுடன் நிரூபிக்க இது உள்ளது. அதை முறைப்படுத்துவோம். இயற்கை அடுக்குகள் மற்றும் ஒரே மாதிரியான நேர்மறை அடிப்படைகள் கொண்ட இரண்டு சக்திகளில் ஒன்றுக்குக் குறைவானது, அதன் அடுக்கு சிறியது பெரியது; மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட இயற்கை அடுக்குகள் மற்றும் ஒரே மாதிரியான தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு சக்திகளில், அதன் அடுக்கு பெரியது. இந்தச் சொத்தின் ஆதாரத்திற்குச் செல்வோம்.

    m>n மற்றும் 0 க்கு என்பதை நிரூபிப்போம் ஆரம்ப நிலை m>n காரணமாக 0, அதாவது 0 இல்

    சொத்தின் இரண்டாவது பகுதியை நிரூபிக்க இது உள்ளது. m>n மற்றும் a>1 a m >a n க்கு உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம். அடைப்புக்குறிக்குள் n ஐ எடுத்த பிறகு ஒரு m -a n வேறுபாடு a n ·(a m−n -1) வடிவத்தை எடுக்கும். இந்த தயாரிப்பு நேர்மறையாக உள்ளது, ஏனெனில் a>1க்கு ஒரு n என்பது நேர்மறை எண்ணாகும், மேலும் ஒரு m−n -1 என்பது நேர்மறை எண்ணாகும், ஏனெனில் ஆரம்ப நிலையின் காரணமாக m−n>0 மற்றும் a>1க்கு பட்டம் ஒரு m−n ஒன்று விட பெரியது. இதன் விளைவாக, ஒரு m -a n >0 மற்றும் a m >a n , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும். இந்த சொத்து சமத்துவமின்மை 3 7 >3 2 மூலம் விளக்கப்படுகிறது.

முழு எண் அடுக்குகளுடன் கூடிய அதிகாரங்களின் பண்புகள்

நேர்மறை முழு எண்கள் இயற்கை எண்கள் என்பதால், நேர்மறை முழு எண் அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் அனைத்து பண்புகளும் முந்தைய பத்தியில் பட்டியலிடப்பட்ட மற்றும் நிரூபிக்கப்பட்ட இயற்கை அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் பண்புகளுடன் சரியாக ஒத்துப்போகின்றன.

ஒரு முழு எண் எதிர்மறை அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தையும், அதே போல் பூஜ்ஜிய அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தையும் வரையறுத்துள்ளோம், இயற்கையான அடுக்குகளுடன் கூடிய டிகிரிகளின் அனைத்து பண்புகளும், சமத்துவத்தால் வெளிப்படுத்தப்படும், செல்லுபடியாகும் வகையில் இருக்கும். எனவே, இந்த பண்புகள் அனைத்தும் பூஜ்ஜிய அடுக்குகள் மற்றும் எதிர்மறை அடுக்குகள் இரண்டிற்கும் செல்லுபடியாகும், அதே நேரத்தில், சக்திகளின் அடிப்படைகள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டவை.

எனவே, உண்மையான மற்றும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்கள் a மற்றும் b, அத்துடன் m மற்றும் n ஆகிய எந்த முழு எண்களுக்கும், பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும்: முழு எண் அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் பண்புகள்:

  1. ஒரு m ·a n = a m+n ;
  2. a m:a n = a m−n ;
  3. (a·b) n =a n ·b n;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n = a m·n ;
  6. n நேர்மறை முழு எண்ணாக இருந்தால், a மற்றும் b நேர்மறை எண்கள், மற்றும் a b−n ;
  7. m மற்றும் n முழு எண்கள் மற்றும் m>n என்றால் 0 இல் 1 சமத்துவமின்மை a m >a n கொண்டுள்ளது.

a=0 போது, ​​m மற்றும் n ஆகிய இரண்டும் நேர்மறை முழு எண்களாக இருக்கும் போது மட்டுமே, a m மற்றும் a n ஆகிய சக்திகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும், அதாவது இயற்கை எண்கள். எனவே, இப்போது எழுதப்பட்ட பண்புகள் a=0 மற்றும் m மற்றும் n எண்கள் நேர்மறை முழு எண்களாக இருக்கும் நிகழ்வுகளுக்கும் செல்லுபடியாகும்.

இந்த பண்புகள் ஒவ்வொன்றையும் நிரூபிப்பது கடினம் அல்ல, இயற்கை மற்றும் முழு எண் அடுக்குகளுடன் டிகிரிகளின் வரையறைகளையும், உண்மையான எண்களுடன் செயல்பாடுகளின் பண்புகளையும் பயன்படுத்தினால் போதும். உதாரணமாக, பவர்-டு-பவர் சொத்து நேர்மறை முழு எண்கள் மற்றும் நேர்மறை அல்லாத முழு எண்கள் இரண்டையும் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிப்போம். இதைச் செய்ய, p பூஜ்ஜியம் அல்லது இயற்கை எண் மற்றும் q என்பது பூஜ்ஜியம் அல்லது இயற்கை எண் என்றால், சமத்துவங்கள் (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (-p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) மற்றும் (a -p) −q =a (−p)·(−q). இதைச் செய்வோம்.

நேர்மறை p மற்றும் q க்கு, சமத்துவம் (a p) q =a p·q முந்தைய பத்தியில் நிரூபிக்கப்பட்டது. p=0 எனில், நம்மிடம் (a 0) q =1 q =1 மற்றும் a 0·q =a 0 =1, எங்கிருந்து (a 0) q =a 0·q. இதேபோல், q=0 என்றால், (a p) 0 =1 மற்றும் a p·0 =a 0 =1, எங்கிருந்து (a p) 0 =a p·0. p=0 மற்றும் q=0 ஆகிய இரண்டும் இருந்தால், (a 0) 0 =1 0 =1 மற்றும் a 0·0 =a 0 =1, எங்கிருந்து (a 0) 0 =a 0·0.

இப்போது நாம் (a -p) q =a (-p)·q என்பதை நிரூபிக்கிறோம். எதிர்மறை முழு எண் அடுக்கு கொண்ட சக்தியின் வரையறையின்படி . நமக்கு இருக்கும் அதிகாரங்களுக்கு பங்குகளின் சொத்து மூலம் . 1 p =1·1·…·1=1 மற்றும் , பின்னர் . கடைசி வெளிப்பாடு, வரையறையின்படி, a −(p·q) வடிவத்தின் சக்தியாகும், இது பெருக்கல் விதிகளின் காரணமாக (−p)·q என எழுதப்படலாம்.

அதேபோல் .

மற்றும் .

அதே கொள்கையைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் ஒரு பட்டத்தின் மற்ற எல்லா பண்புகளையும் ஒரு முழு எண் அடுக்குடன் நிரூபிக்க முடியும்.

பதிவுசெய்யப்பட்ட பண்புகளின் இறுதிக் கட்டத்தில், சமத்துவமின்மையின் நிரூபணமான a -n >b -n, எந்த எதிர்மறை முழு எண் −n மற்றும் எந்த நேர்மறை a மற்றும் b நிபந்தனைக்கு திருப்தி அளிக்கும் என்பதற்கும் செல்லுபடியாகும். . நிபந்தனையின்படி ஏ 0 . a n · b n ஆனது நேர்மறை எண்களான a n மற்றும் b n ஆகியவற்றின் பெருக்கமாகவும் நேர்மறையாக இருக்கும். பின்னர் விளைந்த பின்னம் நேர்மறை எண்களான b n -a n மற்றும் a n ·b n ஆகியவற்றின் புள்ளியாக நேர்மறையாக இருக்கும். எனவே, எங்கிருந்து a −n >b -n , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

முழு எண் அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் கடைசி சொத்து, இயற்கை அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் ஒத்த பண்புகளைப் போலவே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பகுத்தறிவு அடுக்குகளுடன் கூடிய அதிகாரங்களின் பண்புகள்

ஒரு பட்டத்தின் பண்புகளை முழு எண் அடுக்குடன் விரிவாக்குவதன் மூலம் ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தை வரையறுத்தோம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பகுதியளவு அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகள் முழு எண் அடுக்குகளுடன் கூடிய அதே பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. அதாவது:

பகுதியளவு அடுக்குகளுடன் கூடிய டிகிரிகளின் பண்புகளின் ஆதாரம் ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் வரையறையின் அடிப்படையிலும், ஒரு முழு எண் அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் பண்புகளின் அடிப்படையிலும் உள்ளது. ஆதாரம் தருவோம்.

பின்னம் கொண்ட ஒரு சக்தியின் வரையறை மற்றும் , பின்னர் . எண்கணித மூலத்தின் பண்புகள் பின்வரும் சமத்துவங்களை எழுத அனுமதிக்கின்றன. மேலும், ஒரு முழு எண் அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம் , மற்றும் பெறப்பட்ட பட்டத்தின் குறிகாட்டியை பின்வருமாறு மாற்றலாம்: . இது ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது.

பகுதியளவு அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் இரண்டாவது சொத்து முற்றிலும் ஒத்த வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது:

மீதமுள்ள சமத்துவங்கள் இதே போன்ற கொள்கைகளைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்படுகின்றன:

அடுத்த சொத்தை நிருபிக்க போகலாம். எந்த நேர்மறை a மற்றும் b, a என்பதை நிரூபிப்போம் பி ப. பகுத்தறிவு எண்ணை m/n என எழுதுவோம், இங்கு m என்பது முழு எண் மற்றும் n என்பது இயற்கை எண். நிபந்தனைகள் ப<0 и p>0 இந்த வழக்கில் நிபந்தனைகள் m<0 и m>அதன்படி 0. m>0 மற்றும் aக்கு

இதேபோல், எம்<0 имеем a m >b m , எங்கிருந்து, அதாவது, மற்றும் a p >b p .

பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகளில் கடைசியாக நிரூபிக்க இது உள்ளது. பகுத்தறிவு எண்களான p மற்றும் q, p>q என்பதை 0 இல் நிரூபிப்போம் 0 – சமத்துவமின்மை a p >a q . சாதாரண பின்னங்கள் மற்றும் , m 1 மற்றும் m 2 ஆகியவை முழு எண்களாக இருந்தாலும், n என்பது ஒரு இயற்கை எண்ணாக இருந்தாலும், பகுத்தறிவு எண்களான p மற்றும் q ஐ எப்போதும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைக்கலாம். இந்த வழக்கில், p>q நிபந்தனை m 1 >m 2 உடன் ஒத்திருக்கும், இது பின்வருபவை. பின்னர், சக்திகளை அதே அடிப்படைகள் மற்றும் 0 இல் உள்ள இயற்கை அடுக்குகளுடன் ஒப்பிடும் பண்பு மூலம் 1 - சமத்துவமின்மை a m 1 >a m 2 . வேர்களின் பண்புகளில் உள்ள இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை அதற்கேற்ப மாற்றி எழுதலாம் மற்றும் . மற்றும் ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தின் வரையறை நம்மை ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு செல்ல அனுமதிக்கிறது மற்றும் அதன்படி. இங்கிருந்து நாம் இறுதி முடிவுக்கு வருகிறோம்: p>q மற்றும் 0 க்கு 0 – சமத்துவமின்மை a p >a q .

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குகளைக் கொண்ட அதிகாரங்களின் பண்புகள்

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் ஒரு பட்டம் வரையறுக்கப்பட்ட விதத்திலிருந்து, அது பகுத்தறிவு அடுக்குகளுடன் கூடிய டிகிரிகளின் அனைத்து பண்புகளையும் கொண்டுள்ளது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். எனவே எந்த a>0, b>0 மற்றும் விகிதாசார எண்களான p மற்றும் q க்கு பின்வருபவை உண்மை பகுத்தறிவற்ற அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் பண்புகள்:

  1. a p ·a q = a p+q ;
  2. a p:a q =a p−q ;
  3. (a·b) p =a p ·b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q =a p·q ;
  6. எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் a மற்றும் b, a 0 சமத்துவமின்மை a p b p ;
  7. விகிதாசார எண்களுக்கு p மற்றும் q, p>q 0 இல் 0 – சமத்துவமின்மை a p >a q .

இதிலிருந்து, a>0க்கான p மற்றும் q ஆகிய உண்மையான அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகள் ஒரே மாதிரியான பண்புகளைக் கொண்டிருப்பதாக நாம் முடிவு செய்யலாம்.

குறிப்புகள்.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5 ஆம் வகுப்புக்கான கணித பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்கள்.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., சுவோரோவா S.B. இயற்கணிதம்: 7 ஆம் வகுப்புக்கான பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்கள்.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., சுவோரோவா S.B. இயற்கணிதம்: 8 ஆம் வகுப்புக்கான பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்கள்.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., சுவோரோவா S.B. இயற்கணிதம்: 9 ஆம் வகுப்புக்கான பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்கள்.
  • கோல்மோகோரோவ் ஏ.என்., அப்ரமோவ் ஏ.எம்., டட்னிட்சின் யூ.பி. மற்றும் பிற இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 10 - 11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல்.
  • குசெவ் வி.ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு).

நுழைவு நிலை

பட்டம் மற்றும் அதன் பண்புகள். விரிவான வழிகாட்டி (2019)

பட்டங்கள் ஏன் தேவை? உங்களுக்கு அவை எங்கே தேவைப்படும்? அவற்றைப் படிக்க நீங்கள் ஏன் நேரம் ஒதுக்க வேண்டும்?

பட்டங்கள், அவை எதற்குத் தேவை, அன்றாட வாழ்க்கையில் உங்கள் அறிவை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைப் பற்றி அனைத்தையும் அறிய, இந்தக் கட்டுரையைப் படியுங்கள்.

மற்றும், நிச்சயமாக, பட்டங்களைப் பற்றிய அறிவு, ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு அல்லது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெறுவதற்கும் உங்கள் கனவுகளின் பல்கலைக்கழகத்தில் நுழைவதற்கும் உங்களை நெருக்கமாகக் கொண்டுவரும்.

போகலாம்... (போகலாம்!)

முக்கிய குறிப்பு! சூத்திரங்களுக்குப் பதிலாக gobbledygookஐப் பார்த்தால், உங்கள் தற்காலிக சேமிப்பை அழிக்கவும். இதைச் செய்ய, CTRL+F5 (விண்டோஸில்) அல்லது Cmd+R (Mac இல்) அழுத்தவும்.

நுழைவு நிலை

கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் அல்லது வகுத்தல் போன்ற ஒரு கணிதச் செயல்பாடுதான் அதிவேகமாகும்.

இப்போது நான் எல்லாவற்றையும் மனித மொழியில் மிக எளிய உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி விளக்குகிறேன். கவனமாக இருங்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் அடிப்படை, ஆனால் முக்கியமான விஷயங்களை விளக்குகின்றன.

கூட்டலுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

இங்கே விளக்க எதுவும் இல்லை. உங்களுக்கு ஏற்கனவே எல்லாம் தெரியும்: நாங்கள் எட்டு பேர் இருக்கிறோம். ஒவ்வொரு நபரிடமும் இரண்டு பாட்டில்கள் கோலா உள்ளது. எவ்வளவு கோலா உள்ளது? அது சரி - 16 பாட்டில்கள்.

இப்போது பெருக்கல்.

கோலாவுடன் அதே உதாரணத்தை வேறு விதமாக எழுதலாம்: . கணிதவியலாளர்கள் தந்திரமான மற்றும் சோம்பேறிகள். அவர்கள் முதலில் சில வடிவங்களைக் கவனிக்கிறார்கள், பின்னர் அவற்றை விரைவாக "எண்ண" ஒரு வழியைக் கண்டுபிடிக்கிறார்கள். எங்கள் விஷயத்தில், எட்டு பேரில் ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான கோலா பாட்டில்கள் இருப்பதை அவர்கள் கவனித்தனர் மற்றும் பெருக்கல் என்ற நுட்பத்தை கண்டுபிடித்தனர். ஒப்புக்கொள், அதை விட எளிதாகவும் வேகமாகவும் கருதப்படுகிறது.


எனவே, வேகமாக, எளிதாக மற்றும் பிழைகள் இல்லாமல் எண்ண, நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும் பெருக்கல் அட்டவணை. நிச்சயமாக, நீங்கள் எல்லாவற்றையும் மெதுவாகவும், கடினமாகவும், தவறுகளுடனும் செய்யலாம்! ஆனால்…

இங்கே பெருக்கல் அட்டவணை உள்ளது. மீண்டும் செய்யவும்.

மற்றொன்று, மிகவும் அழகான ஒன்று:

சோம்பேறி கணிதவியலாளர்கள் வேறு என்ன புத்திசாலித்தனமான எண்ணும் தந்திரங்களைக் கொண்டு வருகிறார்கள்? வலது - ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துதல்.

ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துதல்

நீங்கள் ஒரு எண்ணை ஐந்து முறை பெருக்க வேண்டும் என்றால், அந்த எண்ணை ஐந்தாவது சக்தியாக உயர்த்த வேண்டும் என்று கணிதவியலாளர்கள் கூறுகிறார்கள். உதாரணமாக, . இரண்டு முதல் ஐந்தாவது சக்தி என்று கணிதவியலாளர்கள் நினைவில் கொள்கிறார்கள்... மேலும் அவர்கள் அத்தகைய பிரச்சினைகளை தங்கள் தலையில் தீர்க்கிறார்கள் - வேகமாக, எளிதாக மற்றும் தவறுகள் இல்லாமல்.

நீங்கள் செய்ய வேண்டியது எல்லாம் எண்களின் அதிகாரங்களின் அட்டவணையில் நிறத்தில் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளதை நினைவில் கொள்க. என்னை நம்புங்கள், இது உங்கள் வாழ்க்கையை மிகவும் எளிதாக்கும்.

மூலம், அது ஏன் இரண்டாவது பட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது? சதுரம்எண்கள், மற்றும் மூன்றாவது - கன சதுரம்? அது என்ன அர்த்தம்? மிக நல்ல கேள்வி. இப்போது உங்களிடம் சதுரங்கள் மற்றும் க்யூப்ஸ் இரண்டும் இருக்கும்.

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணம் #1

எண்ணின் சதுரம் அல்லது இரண்டாவது சக்தியுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

ஒரு சதுரக் குளம் ஒரு மீட்டர் மற்றும் ஒரு மீட்டர் அளவிடும் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். குளம் உங்கள் டச்சாவில் உள்ளது. இது சூடாக இருக்கிறது, எனக்கு நீந்த வேண்டும். ஆனால்... குளத்துக்கு அடியில்ல! நீங்கள் குளத்தின் அடிப்பகுதியை ஓடுகளால் மூட வேண்டும். உங்களுக்கு எத்தனை ஓடுகள் தேவை? இதைத் தீர்மானிக்க, நீங்கள் குளத்தின் அடிப்பகுதியை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

குளத்தின் அடிப்பகுதி மீட்டர் பை மீட்டர் க்யூப்ஸ் கொண்டது என்பதை உங்கள் விரலை சுட்டிக்காட்டி கணக்கிடலாம். உங்களிடம் ஒரு மீட்டர் ஒரு மீட்டர் ஓடுகள் இருந்தால், உங்களுக்கு துண்டுகள் தேவைப்படும். இது எளிதானது ... ஆனால் அத்தகைய ஓடுகளை நீங்கள் எங்கே பார்த்தீர்கள்? ஓடு பெரும்பாலும் செ.மீ ஆக இருக்கும், பின்னர் "விரலால் எண்ணி" நீங்கள் சித்திரவதை செய்யப்படுவீர்கள். பின்னர் நீங்கள் பெருக்க வேண்டும். எனவே, குளத்தின் அடிப்பகுதியில் ஒரு பக்கத்தில் நாம் ஓடுகள் (துண்டுகள்) மற்றும் மறுபுறம், ஓடுகள் பொருத்துவோம். மூலம் பெருக்கவும் மற்றும் நீங்கள் ஓடுகள் () கிடைக்கும்.

குளத்தின் அடிப்பகுதியை தீர்மானிக்க, அதே எண்ணை தானே பெருக்கினோம் என்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்களா? அது என்ன அர்த்தம்? நாம் ஒரே எண்ணைப் பெருக்குவதால், "அதிவேக" நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தலாம். (நிச்சயமாக, உங்களிடம் இரண்டு எண்கள் மட்டுமே இருக்கும்போது, ​​​​நீங்கள் இன்னும் அவற்றைப் பெருக்க வேண்டும் அல்லது அவற்றை ஒரு சக்தியாக உயர்த்த வேண்டும். ஆனால் உங்களிடம் நிறைய இருந்தால், அவற்றை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது மிகவும் எளிதானது மற்றும் கணக்கீடுகளில் குறைவான பிழைகள் உள்ளன. ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வுக்கு, இது மிகவும் முக்கியமானது).
எனவே, முப்பது முதல் இரண்டாவது சக்தி () ஆக இருக்கும். அல்லது முப்பது சதுரமாக இருக்கும் என்று சொல்லலாம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு எண்ணின் இரண்டாவது சக்தியை எப்போதும் ஒரு சதுரமாக குறிப்பிடலாம். மற்றும் நேர்மாறாக, நீங்கள் ஒரு சதுரத்தைக் கண்டால், அது எப்போதும் சில எண்ணின் இரண்டாவது சக்தியாகும். சதுரம் என்பது எண்ணின் இரண்டாவது சக்தியின் உருவம்.

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணம் #2

இதோ உங்களுக்காக ஒரு பணி: சதுரங்கப் பலகையில் எத்தனை சதுரங்கள் உள்ளன என்பதை எண்ணின் வர்க்கத்தைப் பயன்படுத்தி எண்ணுங்கள்... கலங்களின் ஒரு பக்கமும் மறுபுறமும். அவற்றின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிட, நீங்கள் எட்டை எட்டால் பெருக்க வேண்டும் அல்லது... சதுரங்கப் பலகை என்பது பக்கவாட்டுடன் கூடிய சதுரம் என்பதை நீங்கள் கவனித்தால், நீங்கள் எட்டாக சதுரம் செய்யலாம். நீங்கள் செல்களைப் பெறுவீர்கள். () அப்படியா?

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணம் #3

இப்போது கன சதுரம் அல்லது ஒரு எண்ணின் மூன்றாவது சக்தி. அதே குளம். ஆனால் இந்த குளத்தில் எவ்வளவு தண்ணீர் ஊற்ற வேண்டும் என்பதை இப்போது நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நீங்கள் அளவைக் கணக்கிட வேண்டும். (வால்யூம்கள் மற்றும் திரவங்கள், க்யூபிக் மீட்டரில் அளவிடப்படுகின்றன. எதிர்பாராதது, சரியா?) ஒரு குளத்தை வரையவும்: கீழே ஒரு மீட்டர் அளவு மற்றும் ஒரு மீட்டர் ஆழம், மற்றும் ஒரு மீட்டர் மூலம் ஒரு மீட்டர் அளவிடும் எத்தனை கனசதுரங்களைக் கணக்கிட முயற்சிக்கவும். உங்கள் குளத்தில் பொருந்தும்.

விரல் நீட்டி எண்ணினால் போதும்! ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, நான்கு... இருபத்தி இரண்டு, இருபத்தி மூன்று... உங்களுக்கு எத்தனை கிடைத்தது? இழக்கவில்லையா? விரலால் எண்ணுவது கடினமா? அவ்வளவுதான்! கணிதவியலாளர்களிடமிருந்து ஒரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அவர்கள் சோம்பேறிகள், எனவே குளத்தின் அளவைக் கணக்கிட, அதன் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்தை ஒருவருக்கொருவர் பெருக்க வேண்டும் என்பதை அவர்கள் கவனித்தனர். எங்கள் விஷயத்தில், குளத்தின் அளவு க்யூப்ஸுக்கு சமமாக இருக்கும் ... எளிதானது, இல்லையா?

இதையும் எளிமைப்படுத்திய கணிதவியலாளர்கள் எவ்வளவு சோம்பேறிகளாகவும் தந்திரமாகவும் இருக்கிறார்கள் என்பதை இப்போது கற்பனை செய்து பாருங்கள். எல்லாவற்றையும் ஒரே செயலாகக் குறைத்தோம். நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் சமமாக இருப்பதையும், அதே எண்ணை தானே பெருக்குவதையும் அவர்கள் கவனித்தனர்... இதன் பொருள் என்ன? இதன் பொருள் நீங்கள் பட்டத்தைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளலாம். எனவே, நீங்கள் ஒருமுறை உங்கள் விரலால் எண்ணியதை, அவர்கள் ஒரே செயலில் செய்கிறார்கள்: மூன்று கனசதுரங்கள் சமம். இது இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: .

எஞ்சியிருப்பது அவ்வளவுதான் டிகிரி அட்டவணையை நினைவில் கொள்க. நிச்சயமாக, நீங்கள் கணிதவியலாளர்களைப் போல சோம்பேறியாகவும் தந்திரமாகவும் இல்லை. நீங்கள் கடினமாக உழைத்து தவறு செய்ய விரும்பினால், உங்கள் விரல் விட்டு எண்ணிக்கொண்டே இருக்கலாம்.

சரி, படிப்பை விட்டு வெளியேறுபவர்கள் மற்றும் தந்திரமான நபர்களால் அவர்களின் வாழ்க்கைப் பிரச்சினைகளைத் தீர்ப்பதற்காகவும், உங்களுக்காக சிக்கல்களை உருவாக்குவதற்காகவும் அல்ல, பட்டங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன என்பதை இறுதியாக உங்களை நம்ப வைக்க, வாழ்க்கையிலிருந்து இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே.

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணம் #4

உங்களிடம் ஒரு மில்லியன் ரூபிள் உள்ளது. ஒவ்வொரு வருடத்தின் தொடக்கத்திலும், நீங்கள் சம்பாதிக்கும் ஒவ்வொரு மில்லியனுக்கும், நீங்கள் மற்றொரு மில்லியன் சம்பாதிக்கிறீர்கள். அதாவது, ஒவ்வொரு வருடத்தின் தொடக்கத்திலும் உங்களிடம் உள்ள ஒவ்வொரு மில்லியனும் இரட்டிப்பாகும். ஆண்டுகளில் உங்களிடம் எவ்வளவு பணம் இருக்கும்? நீங்கள் இப்போது உட்கார்ந்து, "விரலால் எண்ணுகிறீர்கள்" என்றால், நீங்கள் மிகவும் கடின உழைப்பாளி மற்றும் ... முட்டாள். ஆனால் பெரும்பாலும் நீங்கள் இரண்டு வினாடிகளில் பதிலைக் கொடுப்பீர்கள், ஏனென்றால் நீங்கள் புத்திசாலி! ஆக, முதல் ஆண்டில் - இரண்டை இரண்டால் பெருக்கி... இரண்டாம் ஆண்டில் - என்ன நடந்தது, இன்னும் இரண்டால், மூன்றாம் ஆண்டில்... நிறுத்து! எண்ணானது பல முறைகளால் பெருக்கப்படுவதை நீங்கள் கவனித்தீர்கள். எனவே இரண்டு முதல் ஐந்தாவது சக்தி ஒரு மில்லியன்! இப்போது உங்களுக்கு ஒரு போட்டி இருப்பதாக கற்பனை செய்து பாருங்கள், வேகமாக எண்ணக்கூடியவர் இந்த மில்லியன்களைப் பெறுவார் ... எண்களின் சக்திகளை நினைவில் கொள்வது மதிப்பு, நீங்கள் நினைக்கவில்லையா?

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணம் #5

உங்களிடம் ஒரு மில்லியன் உள்ளது. ஒவ்வொரு வருடத்தின் தொடக்கத்திலும், நீங்கள் சம்பாதிக்கும் ஒவ்வொரு மில்லியனுக்கும், மேலும் இரண்டு சம்பாதிக்கிறீர்கள். அருமை, இல்லையா? ஒவ்வொரு மில்லியன் மும்மடங்காகும். ஒரு வருடத்தில் உங்களிடம் எவ்வளவு பணம் இருக்கும்? எண்ணுவோம். முதல் ஆண்டு - மூலம் பெருக்கவும், பின்னர் மற்றொரு முடிவு ... இது ஏற்கனவே சலிப்பாக இருக்கிறது, ஏனென்றால் நீங்கள் ஏற்கனவே எல்லாவற்றையும் புரிந்து கொண்டீர்கள்: மூன்று தானே முறை பெருக்கப்படுகிறது. எனவே நான்காவது சக்திக்கு இது ஒரு மில்லியனுக்கு சமம். மூன்று முதல் நான்காவது சக்தி அல்லது என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவதன் மூலம் உங்கள் வாழ்க்கையை மிகவும் எளிதாக்குவீர்கள் என்பதை இப்போது நீங்கள் அறிவீர்கள். பட்டங்கள் மூலம் நீங்கள் என்ன செய்யலாம் மற்றும் அவற்றைப் பற்றி நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது என்ன என்பதைப் பற்றி மேலும் பார்க்கலாம்.

விதிமுறைகள் மற்றும் கருத்துக்கள்... குழப்பமடையாமல் இருக்க

எனவே, முதலில், கருத்துகளை வரையறுப்போம். நீங்கள் நினைக்கிறீர்களா ஒரு அடுக்கு என்றால் என்ன? இது மிகவும் எளிமையானது - இது எண்ணின் சக்தியின் "மேல்" உள்ள எண். விஞ்ஞானம் அல்ல, ஆனால் தெளிவாகவும் நினைவில் கொள்ளவும் எளிதானது.

சரி, அதே நேரத்தில், என்ன அத்தகைய பட்டப்படிப்பு அடிப்படை? இன்னும் எளிமையானது - இது கீழே, அடிவாரத்தில் அமைந்துள்ள எண்.

நல்ல அளவிற்கான ஒரு வரைபடம் இங்கே உள்ளது.

சரி, பொதுவாக, பொதுமைப்படுத்தவும், சிறப்பாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ளவும்... அடிப்படை "" மற்றும் ஒரு அடுக்கு "" கொண்ட பட்டம் "பட்டம்" என வாசிக்கப்பட்டு, பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:

இயற்கை அடுக்கு கொண்ட எண்ணின் சக்தி

நீங்கள் ஏற்கனவே யூகித்திருக்கலாம்: ஏனெனில் அடுக்கு ஒரு இயற்கை எண். ஆம், ஆனால் அது என்ன இயற்கை எண்? தொடக்கநிலை! இயற்கை எண்கள் என்பது பொருட்களைப் பட்டியலிடும்போது எண்ணுவதில் பயன்படுத்தப்படும் எண்கள்: ஒன்று, இரண்டு, மூன்று... நாம் பொருள்களை எண்ணும் போது, ​​"கழித்தல் ஐந்து," "கழித்தல் ஆறு," "கழித்தல் ஏழு" என்று சொல்ல மாட்டோம். "மூன்றில் ஒரு பங்கு" அல்லது "பூஜ்ஜிய புள்ளி ஐந்து" என்று நாங்கள் கூறவில்லை. இவை இயற்கை எண்கள் அல்ல. இவை என்ன எண்கள் என்று நினைக்கிறீர்கள்?

"மைனஸ் ஐந்து", "மைனஸ் ஆறு", "மைனஸ் ஏழு" போன்ற எண்கள் குறிப்பிடுகின்றன முழு எண்கள்.பொதுவாக, முழு எண்களில் அனைத்து இயற்கை எண்கள், இயற்கை எண்களுக்கு எதிர் எண்கள் (அதாவது ஒரு கழித்தல் குறியுடன் எடுக்கப்பட்டது) மற்றும் எண் ஆகியவை அடங்கும். பூஜ்ஜியத்தைப் புரிந்துகொள்வது எளிது - அது எதுவும் இல்லாதபோது. எதிர்மறை ("மைனஸ்") எண்கள் எதைக் குறிக்கின்றன? ஆனால் அவை முதன்மையாக கடன்களைக் குறிக்க கண்டுபிடிக்கப்பட்டன: உங்கள் தொலைபேசியில் ரூபிள் இருப்பு இருந்தால், நீங்கள் ஆபரேட்டர் ரூபிள் கடன்பட்டிருக்கிறீர்கள் என்று அர்த்தம்.

அனைத்து பின்னங்களும் பகுத்தறிவு எண்கள். அவர்கள் எப்படி எழுந்தார்கள், நீங்கள் நினைக்கிறீர்களா? மிகவும் எளிமையானது. பல ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, நம் முன்னோர்கள் நீளம், எடை, பரப்பளவு போன்றவற்றை அளவிட இயற்கை எண்கள் இல்லை என்று கண்டுபிடித்தனர். அவர்கள் கொண்டு வந்தனர் பகுத்தறிவு எண்கள்... சுவாரஸ்யமாக இருக்கிறது, இல்லையா?

விகிதாசார எண்களும் உள்ளன. இந்த எண்கள் என்ன? சுருக்கமாக, இது ஒரு எல்லையற்ற தசம பின்னம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவை அதன் விட்டத்தால் வகுத்தால், நீங்கள் ஒரு விகிதாசார எண்ணைப் பெறுவீர்கள்.

ரெஸ்யூம்:

ஒரு இயல் எண் (அதாவது முழு எண் மற்றும் நேர்மறை) அதிவேகமாக இருக்கும் பட்டத்தின் கருத்தை வரையறுப்போம்.

  1. முதல் சக்திக்கு எந்த எண்ணும் தனக்கு சமம்:
  2. ஒரு எண்ணை வகுப்பது என்றால் அதை தன்னால் பெருக்குவது:
  3. ஒரு எண்ணை க்யூப் செய்வது என்றால் அதை மூன்று மடங்கு பெருக்குவது.

வரையறை.ஒரு எண்ணை இயற்கையான சக்தியாக உயர்த்துவது என்பது எண்ணை பலமுறை பெருக்குவதாகும்:
.

பட்டங்களின் பண்புகள்

இந்த சொத்துக்கள் எங்கிருந்து வந்தன? நான் இப்போது காட்டுகிறேன்.

பார்ப்போம்: அது என்ன மற்றும் ?

வரையறையின்படி:

மொத்தம் எத்தனை பெருக்கிகள் உள்ளன?

இது மிகவும் எளிமையானது: காரணிகளுக்கு பெருக்கிகளைச் சேர்த்துள்ளோம், இதன் விளைவாக பெருக்கிகள் ஆகும்.

ஆனால் வரையறையின்படி, இது ஒரு அதிவேகத்துடன் கூடிய எண்ணின் சக்தியாகும், அதாவது: , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியது.

உதாரணம்: வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு.

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு:வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.

தீர்வு:நமது ஆட்சியில் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது அவசியம்அதே காரணங்கள் இருக்க வேண்டும்!
எனவே, நாங்கள் சக்திகளை அடித்தளத்துடன் இணைக்கிறோம், ஆனால் அது ஒரு தனி காரணியாக உள்ளது:

சக்திகளின் உற்பத்திக்காக மட்டுமே!

எந்த சூழ்நிலையிலும் அப்படி எழுத முடியாது.

2. அவ்வளவுதான் ஒரு எண்ணின் சக்தி

முந்தைய சொத்தைப் போலவே, பட்டத்தின் வரையறைக்கு வருவோம்:

வெளிப்பாடு தானே பல மடங்கு பெருக்கப்படுகிறது என்று மாறிவிடும், அதாவது, வரையறையின்படி, இது எண்ணின் வது சக்தி:

சாராம்சத்தில், இதை "அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து காட்டி எடுப்பது" என்று அழைக்கலாம். ஆனால் நீங்கள் இதை ஒருபோதும் செய்ய முடியாது:

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களை நினைவில் கொள்வோம்: எத்தனை முறை எழுத விரும்புகிறோம்?

ஆனால் இது உண்மையல்ல, எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக.

எதிர்மறை அடித்தளத்துடன் சக்தி

இது வரை, அடுக்கு என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்பதை மட்டுமே நாங்கள் விவாதித்தோம்.

ஆனால் என்ன அடிப்படையாக இருக்க வேண்டும்?

அதிகாரங்களில் இயற்கை காட்டிஅடிப்படை இருக்கலாம் எந்த எண். உண்மையில், நாம் எந்த எண்களையும் ஒருவருக்கொருவர் பெருக்கலாம், அவை நேர்மறை, எதிர்மறை அல்லது கூட.

எந்த அறிகுறிகளில் ("" அல்லது "") நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்கள் இருக்கும் என்று சிந்திப்போம்?

எடுத்துக்காட்டாக, எண் நேர்மறையா அல்லது எதிர்மறையா? ஏ? ? முதலாவதாக, எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது: எத்தனை நேர்மறை எண்களை நாம் ஒருவருக்கொருவர் பெருக்கினாலும், விளைவு நேர்மறையாக இருக்கும்.

ஆனால் எதிர்மறையானவை இன்னும் கொஞ்சம் சுவாரஸ்யமானவை. 6 ஆம் வகுப்பிலிருந்து எளிய விதியை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம்: "மைனஸ் மைனஸ் ஒரு பிளஸ் கொடுக்கிறது." அதாவது, அல்லது. ஆனால் நாம் பெருக்கினால், அது வேலை செய்கிறது.

பின்வரும் வெளிப்பாடுகள் என்ன அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்கும் என்பதை நீங்களே தீர்மானிக்கவும்:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

சமாளித்தாயா?

இங்கே பதில்கள் உள்ளன: முதல் நான்கு எடுத்துக்காட்டுகளில், எல்லாம் தெளிவாக இருப்பதாக நம்புகிறேன்? நாம் அடிப்படை மற்றும் அடுக்கு ஆகியவற்றைப் பார்த்து, பொருத்தமான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

எடுத்துக்காட்டு 5) எல்லாமே தோன்றும் அளவுக்கு பயமாக இல்லை: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அடிப்படை என்னவாக இருந்தாலும் பரவாயில்லை - பட்டம் சமமாக உள்ளது, இதன் விளைவாக எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்.

சரி, அடிப்படை பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தவிர. அடிப்படை சமமாக இல்லை, இல்லையா? வெளிப்படையாக இல்லை, ஏனெனில் (ஏனெனில்).

எடுத்துக்காட்டு 6) இனி அவ்வளவு எளிதல்ல!

பயிற்சி செய்ய 6 எடுத்துக்காட்டுகள்

தீர்வு 6 எடுத்துக்காட்டுகளின் பகுப்பாய்வு

எட்டாவது சக்தியைப் புறக்கணித்தால், நாம் இங்கே என்ன பார்க்கிறோம்? 7 ஆம் வகுப்பு திட்டத்தை நினைவில் கொள்வோம். எனவே, உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? இது சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரம், அதாவது சதுரங்களின் வேறுபாடு! நாங்கள் பெறுகிறோம்:

வகுத்தலை கவனமாகப் பார்ப்போம். இது எண் காரணிகளில் ஒன்று போல் தெரிகிறது, ஆனால் என்ன தவறு? விதிமுறைகளின் வரிசை தவறானது. அவை தலைகீழாக மாற்றப்பட்டால், விதி பொருந்தும்.

ஆனால் இதை எப்படி செய்வது? இது மிகவும் எளிதானது என்று மாறிவிடும்: வகுப்பின் சம அளவு இங்கே நமக்கு உதவுகிறது.

மந்திரமாக விதிமுறைகள் இடம் மாறியது. இந்த "நிகழ்வு" எந்தவொரு வெளிப்பாட்டிற்கும் சமமான அளவிற்கு பொருந்தும்: அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அறிகுறிகளை எளிதாக மாற்றலாம்.

ஆனால் நினைவில் கொள்வது முக்கியம்: அனைத்து அறிகுறிகளும் ஒரே நேரத்தில் மாறுகின்றன!

உதாரணத்திற்கு திரும்புவோம்:

மீண்டும் சூத்திரம்:

முழுஇயற்கை எண்கள், அவற்றின் எதிரெதிர்கள் (அதாவது, "" அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டவை) மற்றும் எண்ணை அழைக்கிறோம்.

நேர்மறை முழு எண், மற்றும் இது இயற்கையிலிருந்து வேறுபட்டதல்ல, பின்னர் எல்லாம் முந்தைய பிரிவில் சரியாகத் தெரிகிறது.

இப்போது புதிய வழக்குகளைப் பார்ப்போம். சமமான குறிகாட்டியுடன் தொடங்குவோம்.

பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எந்த எண்ணும் ஒன்றுக்கு சமம்:

எப்போதும் போல, நம்மை நாமே கேட்டுக்கொள்வோம்: இது ஏன்?

ஒரு அடிப்படையுடன் சில பட்டத்தை கருத்தில் கொள்வோம். உதாரணமாக எடுத்து, பெருக்கவும்:

எனவே, நாம் எண்ணைப் பெருக்கினோம், அது இருந்ததைப் போலவே கிடைத்தது - . எதுவும் மாறாமல் இருக்க எந்த எண்ணால் பெருக்க வேண்டும்? அது சரி, அன்று. பொருள்.

நாம் ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணுடன் இதைச் செய்யலாம்:

விதியை மீண்டும் செய்வோம்:

பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எந்த எண்ணும் ஒன்றுக்கு சமம்.

ஆனால் பல விதிகளுக்கு விதிவிலக்குகள் உள்ளன. இங்கே அதுவும் உள்ளது - இது ஒரு எண் (அடிப்படையாக).

ஒருபுறம், அது எந்த அளவிற்கும் சமமாக இருக்க வேண்டும் - நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தை எவ்வளவு பெருக்கினாலும், நீங்கள் இன்னும் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுவீர்கள், இது தெளிவாகிறது. ஆனால் மறுபுறம், பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எந்த எண்ணையும் போல, அது சமமாக இருக்க வேண்டும். அப்படியானால் இதில் எந்த அளவு உண்மை இருக்கிறது? கணிதவியலாளர்கள் ஈடுபட வேண்டாம் என்று முடிவு செய்தனர் மற்றும் பூஜ்ஜிய சக்தியை பூஜ்ஜியமாக உயர்த்த மறுத்துவிட்டனர். அதாவது, இப்போது நாம் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது, ஆனால் அதை பூஜ்ஜிய சக்தியாக உயர்த்தவும் முடியாது.

தொடரலாம். இயற்கை எண்கள் மற்றும் எண்கள் தவிர, முழு எண்களில் எதிர்மறை எண்களும் அடங்கும். எதிர்மறை சக்தி என்றால் என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, கடைசியாகச் செய்வோம்: சில சாதாரண எண்ணை அதே எண்ணால் எதிர்மறை சக்தியாகப் பெருக்கவும்:

இங்கிருந்து நீங்கள் தேடுவதை வெளிப்படுத்துவது எளிது:

இப்போது இதன் விளைவாக வரும் விதியை தன்னிச்சையான அளவிற்கு நீட்டிப்போம்:

எனவே, ஒரு விதியை உருவாக்குவோம்:

எதிர்மறை சக்தியைக் கொண்ட ஒரு எண் நேர்மறை சக்தியுடன் அதே எண்ணின் எதிரொலியாகும். ஆனால் அதே நேரத்தில் அடிப்படை பூஜ்யமாக இருக்க முடியாது:(ஏனென்றால் நீங்கள் பிரிக்க முடியாது).

சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

I. வழக்கில் வெளிப்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை. என்றால், பின்னர்.

II. பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எந்த எண்ணும் ஒன்று: .

III. எதிர்மறை சக்திக்கு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எண், அதே எண்ணின் நேர்மாறாக நேர்மாறாக இருக்கும்: .

சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்:

சரி, வழக்கம் போல், சுயாதீன தீர்வுகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

சுயாதீன தீர்வுக்கான சிக்கல்களின் பகுப்பாய்வு:

எனக்குத் தெரியும், எனக்குத் தெரியும், எண்கள் பயங்கரமானவை, ஆனால் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் நீங்கள் எதற்கும் தயாராக இருக்க வேண்டும்! இந்த உதாரணங்களைத் தீர்க்கவும் அல்லது அவற்றைத் தீர்க்க முடியாவிட்டால் அவற்றின் தீர்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்யவும், தேர்வில் அவற்றை எளிதாகச் சமாளிக்க நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள்!

"பொருத்தமான" எண்களின் வரம்பை ஒரு அடுக்கு என விரிவுபடுத்துவோம்.

இப்போது கருத்தில் கொள்வோம் பகுத்தறிவு எண்கள்.என்ன எண்கள் பகுத்தறிவு என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

பதில்: ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடக்கூடிய அனைத்தும், எங்கே மற்றும் முழு எண்கள், மற்றும்.

அது என்னவென்று புரிந்து கொள்ள "பிரிவு பட்டம்", பகுதியைக் கவனியுங்கள்:

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவோம்:

இப்போது விதியை நினைவில் கொள்வோம் "பட்டம் முதல் பட்டம்":

பெறுவதற்கு எந்த எண்ணை சக்தியாக உயர்த்த வேண்டும்?

இந்த உருவாக்கம் வது பட்டத்தின் மூலத்தின் வரையறை ஆகும்.

நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: ஒரு எண்ணின் () வது சக்தியின் வேர், ஒரு சக்தியாக உயர்த்தப்படும் போது, ​​சமமாக இருக்கும் எண்.

அதாவது, வது சக்தியின் வேர் ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவதற்கான தலைகீழ் செயல்பாடு: .

என்று மாறிவிடும். வெளிப்படையாக, இந்த சிறப்பு வழக்கு விரிவாக்கப்படலாம்: .

இப்போது நாம் எண்ணைச் சேர்க்கிறோம்: அது என்ன? பவர்-டு-பவர் விதியைப் பயன்படுத்தி பதிலைப் பெறுவது எளிது:

ஆனால் அடிப்படை ஏதேனும் எண்ணாக இருக்க முடியுமா? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எல்லா எண்களிலிருந்தும் மூலத்தை பிரித்தெடுக்க முடியாது.

இல்லை!

விதியை நினைவில் கொள்வோம்: சம சக்தியாக உயர்த்தப்படும் எந்த எண்ணும் நேர்மறை எண்ணாகும். அதாவது, எதிர்மறை எண்களிலிருந்து வேர்களைக் கூட பிரித்தெடுப்பது சாத்தியமில்லை!

இதன் பொருள், அத்தகைய எண்களை ஒரு சமமான வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு பகுதியளவு சக்தியாக உயர்த்த முடியாது, அதாவது வெளிப்பாடு அர்த்தமற்றது.

வெளிப்பாடு பற்றி என்ன?

ஆனால் இங்கே ஒரு சிக்கல் எழுகிறது.

எண்ணை மற்ற, குறைக்கக்கூடிய பின்னங்களின் வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, அல்லது.

அது உள்ளது, ஆனால் இல்லை என்று மாறிவிடும், ஆனால் இவை ஒரே எண்ணின் இரண்டு வெவ்வேறு பதிவுகள்.

அல்லது மற்றொரு உதாரணம்: ஒருமுறை, நீங்கள் அதை எழுதலாம். ஆனால் நாம் குறிகாட்டியை வித்தியாசமாக எழுதினால், நாங்கள் மீண்டும் சிக்கலில் சிக்குவோம்: (அதாவது, எங்களுக்கு முற்றிலும் மாறுபட்ட முடிவு கிடைத்தது!).

இத்தகைய முரண்பாடுகளைத் தவிர்க்க, நாங்கள் கருதுகிறோம் பகுதியளவு அடுக்குடன் மட்டுமே நேர்மறை அடிப்படை அடுக்கு.

அப்படியானால்:

  • - இயற்கை எண்;
  • - முழு எண்;

எடுத்துக்காட்டுகள்:

பகுத்தறிவு அடுக்குகள் வெளிப்பாடுகளை வேர்களுடன் மாற்றுவதற்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக:

பயிற்சி செய்ய 5 எடுத்துக்காட்டுகள்

பயிற்சிக்கான 5 எடுத்துக்காட்டுகளின் பகுப்பாய்வு

சரி, இப்போது கடினமான பகுதி வருகிறது. இப்போது நாம் அதை கண்டுபிடிப்போம் பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம்.

இங்குள்ள டிகிரிகளின் அனைத்து விதிகள் மற்றும் பண்புகள் விதிவிலக்கு இல்லாமல், பகுத்தறிவு அடுக்குடன் கூடிய பட்டம் போலவே இருக்கும்.

எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வரையறையின்படி, பகுத்தறிவற்ற எண்கள் ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடப்பட முடியாத எண்கள், எங்கே மற்றும் அவை முழு எண்கள் (அதாவது, விகிதாசார எண்கள் அனைத்தும் உண்மையான எண்கள் தவிர அனைத்து உண்மையான எண்கள்).

இயற்கை, முழு எண் மற்றும் பகுத்தறிவு அடுக்குகளுடன் பட்டங்களைப் படிக்கும் போது, ​​ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு குறிப்பிட்ட "படம்", "ஒப்புமை" அல்லது மிகவும் பழக்கமான சொற்களில் விளக்கத்தை உருவாக்குகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய பட்டம் என்பது பலமுறை தன்னால் பெருக்கப்படும் எண்ணாகும்;

...பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எண்- இது, ஒரு முறை தன்னால் பெருக்கப்பட்ட எண், அதாவது, அவர்கள் இன்னும் அதைப் பெருக்கத் தொடங்கவில்லை, அதாவது அந்த எண் இன்னும் தோன்றவில்லை - எனவே முடிவு ஒரு குறிப்பிட்ட "வெற்று எண்" மட்டுமே. , அதாவது ஒரு எண்;

...எதிர்மறை முழு எண் பட்டம்- இது சில "தலைகீழ் செயல்முறை" நிகழ்ந்தது போல் உள்ளது, அதாவது, எண் தன்னால் பெருக்கப்படவில்லை, ஆனால் வகுக்கப்பட்டது.

மூலம், அறிவியலில் ஒரு சிக்கலான அடுக்கு கொண்ட பட்டம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது, அடுக்கு உண்மையான எண் கூட இல்லை.

ஆனால் பள்ளியில் இதுபோன்ற சிரமங்களைப் பற்றி நாங்கள் சிந்திக்க மாட்டோம்;

நீங்கள் எங்கு செல்வீர்கள் என்று நாங்கள் உறுதியாக நம்புகிறோம்! (அத்தகைய உதாரணங்களைத் தீர்க்க நீங்கள் கற்றுக்கொண்டால் :))

உதாரணமாக:

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

தீர்வுகளின் பகுப்பாய்வு:

1. ஒரு அதிகாரத்தை அதிகாரத்திற்கு உயர்த்துவதற்கான வழக்கமான விதியுடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

இப்போது காட்டி பாருங்கள். அவர் உங்களுக்கு எதையும் நினைவூட்டவில்லையா? சதுரங்களின் வேறுபாட்டின் சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரத்தை நினைவு கூர்வோம்:

இந்நிலையில்,

அது மாறிவிடும்:

பதில்: .

2. அடுக்குகளில் உள்ள பின்னங்களை ஒரே வடிவத்தில் குறைக்கிறோம்: இரண்டு தசமங்கள் அல்லது இரண்டும் சாதாரணமானவை. நாம் பெறுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக:

பதில்: 16

3. சிறப்பு எதுவும் இல்லை, டிகிரிகளின் வழக்கமான பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

மேம்பட்ட நிலை

பட்டம் தீர்மானித்தல்

பட்டம் என்பது படிவத்தின் வெளிப்பாடு: , எங்கே:

  • — பட்டப்படிப்பு அடிப்படை;
  • - அடுக்கு.

இயற்கை காட்டி கொண்ட பட்டம் (n = 1, 2, 3,...)

ஒரு எண்ணை இயற்கையான சக்தி nக்கு உயர்த்துவது என்பது எண்ணை பலமுறை பெருக்குவதாகும்:

முழு எண் அடுக்குடன் பட்டம் (0, ±1, ±2,...)

அடுக்கு என்றால் நேர்மறை முழு எண்எண்:

கட்டுமானம் பூஜ்ஜிய டிகிரிக்கு:

வெளிப்பாடு காலவரையற்றது, ஏனென்றால், ஒருபுறம், எந்த அளவிற்கு இது உள்ளது, மறுபுறம், வது டிகிரிக்கு எந்த எண்ணும் இதுதான்.

அடுக்கு என்றால் எதிர்மறை முழு எண்எண்:

(ஏனென்றால் நீங்கள் பிரிக்க முடியாது).

பூஜ்ஜியங்களைப் பற்றி மீண்டும் ஒருமுறை: வெளிப்பாடு வழக்கில் வரையறுக்கப்படவில்லை. என்றால், பின்னர்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

பகுத்தறிவு அடுக்குடன் சக்தி

  • - இயற்கை எண்;
  • - முழு எண்;

எடுத்துக்காட்டுகள்:

பட்டங்களின் பண்புகள்

சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதை எளிதாக்க, புரிந்து கொள்ள முயற்சிப்போம்: இந்த பண்புகள் எங்கிருந்து வந்தன? அவற்றை நிரூபிப்போம்.

பார்ப்போம்: என்ன மற்றும்?

வரையறையின்படி:

எனவே, இந்த வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் பின்வரும் தயாரிப்பைப் பெறுகிறோம்:

ஆனால் வரையறையின்படி இது ஒரு அடுக்குடன் கூடிய எண்ணின் சக்தியாகும், அதாவது:

கே.இ.டி.

உதாரணம் : வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு.

தீர்வு : .

உதாரணம் : வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு.

தீர்வு : நமது ஆட்சியில் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது அவசியம்அதே காரணங்கள் இருக்க வேண்டும். எனவே, நாங்கள் சக்திகளை அடித்தளத்துடன் இணைக்கிறோம், ஆனால் அது ஒரு தனி காரணியாக உள்ளது:

மற்றொரு முக்கிய குறிப்பு: இந்த விதி - சக்திகளின் உற்பத்திக்காக மட்டுமே!

எந்த சூழ்நிலையிலும் அப்படி எழுத முடியாது.

முந்தைய சொத்தைப் போலவே, பட்டத்தின் வரையறைக்கு வருவோம்:

இந்த வேலையை இப்படி மீண்டும் ஒருங்கிணைப்போம்:

வெளிப்பாடு தானே பல மடங்கு பெருக்கப்படுகிறது என்று மாறிவிடும், அதாவது, வரையறையின்படி, இது எண்ணின் வது சக்தி:

சாராம்சத்தில், இதை "அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து காட்டி எடுப்பது" என்று அழைக்கலாம். ஆனால் இதை நீங்கள் ஒருபோதும் மொத்தமாக செய்ய முடியாது: !

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களை நினைவில் கொள்வோம்: எத்தனை முறை எழுத விரும்புகிறோம்? ஆனால் இது உண்மையல்ல, எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக.

எதிர்மறை அடித்தளத்துடன் சக்தி.

அது எப்படி இருக்க வேண்டும் என்பதை மட்டுமே இது வரை விவாதித்தோம் காட்டிபட்டங்கள். ஆனால் என்ன அடிப்படையாக இருக்க வேண்டும்? அதிகாரங்களில் இயற்கை காட்டி அடிப்படை இருக்கலாம் எந்த எண் .

உண்மையில், நாம் எந்த எண்களையும் ஒருவருக்கொருவர் பெருக்கலாம், அவை நேர்மறை, எதிர்மறை அல்லது கூட. எந்த அறிகுறிகளில் ("" அல்லது "") நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்கள் இருக்கும் என்று சிந்திப்போம்?

எடுத்துக்காட்டாக, எண் நேர்மறையா அல்லது எதிர்மறையா? ஏ? ?

முதலாவதாக, எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது: எத்தனை நேர்மறை எண்களை நாம் ஒருவருக்கொருவர் பெருக்கினாலும், விளைவு நேர்மறையாக இருக்கும்.

ஆனால் எதிர்மறையானவை இன்னும் கொஞ்சம் சுவாரஸ்யமானவை. 6 ஆம் வகுப்பிலிருந்து எளிமையான விதியை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம்: "மைனஸ் மைனஸ் பிளஸ் கொடுக்கிறது." அதாவது, அல்லது. ஆனால் () ஆல் பெருக்கினால் - கிடைக்கும்.

மற்றும் விளம்பர முடிவில்லாதது: ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த பெருக்கத்திலும் அடையாளம் மாறும். பின்வரும் எளிய விதிகளை உருவாக்கலாம்:

  1. கூடபட்டம், - எண் நேர்மறை.
  2. எதிர்மறை எண் உயர்த்தப்பட்டது ஒற்றைப்படைபட்டம், - எண் எதிர்மறை.
  3. எந்த அளவிற்கு நேர்மறை எண் என்பது நேர்மறை எண்ணாகும்.
  4. எந்த சக்திக்கும் பூஜ்ஜியம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

பின்வரும் வெளிப்பாடுகள் என்ன அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்கும் என்பதை நீங்களே தீர்மானிக்கவும்:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

சமாளித்தாயா? இதோ பதில்கள்:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

முதல் நான்கு எடுத்துக்காட்டுகளில், எல்லாம் தெளிவாக இருக்கும் என்று நம்புகிறேன்? நாம் அடிப்படை மற்றும் அடுக்கு ஆகியவற்றைப் பார்த்து, பொருத்தமான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5) எல்லாமே தோன்றும் அளவுக்கு பயமாக இல்லை: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அடிப்படை என்னவாக இருந்தாலும் பரவாயில்லை - பட்டம் சமமாக உள்ளது, இதன் விளைவாக எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும். சரி, அடிப்படை பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தவிர. அடிப்படை சமமாக இல்லை, இல்லையா? வெளிப்படையாக இல்லை, ஏனெனில் (ஏனெனில்).

எடுத்துக்காட்டு 6) இனி அவ்வளவு எளிதல்ல. எது குறைவு என்பதை இங்கே நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்: அல்லது? நாம் அதை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால், அடிப்படை பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. அதாவது, நாங்கள் விதி 2 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்: முடிவு எதிர்மறையாக இருக்கும்.

மீண்டும் நாம் பட்டத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எல்லாம் வழக்கம் போல் உள்ளது - நாங்கள் டிகிரி வரையறையை எழுதி, அவற்றை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்து, ஜோடிகளாகப் பிரித்து பெறுகிறோம்:

கடைசி விதியைப் பார்ப்பதற்கு முன், சில எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்போம்.

வெளிப்பாடுகளைக் கணக்கிடுங்கள்:

தீர்வுகள் :

எட்டாவது சக்தியைப் புறக்கணித்தால், நாம் இங்கே என்ன பார்க்கிறோம்? 7 ஆம் வகுப்பு திட்டத்தை நினைவில் கொள்வோம். எனவே, உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? இது சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரம், அதாவது சதுரங்களின் வேறுபாடு!

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

வகுத்தலை கவனமாகப் பார்ப்போம். இது எண் காரணிகளில் ஒன்று போல் தெரிகிறது, ஆனால் என்ன தவறு? விதிமுறைகளின் வரிசை தவறானது. அவை தலைகீழாக மாற்றப்பட்டால், விதி 3 எவ்வாறு பொருந்தும்? இது மிகவும் எளிதானது என்று மாறிவிடும்: வகுப்பின் சம அளவு இங்கே நமக்கு உதவுகிறது.

நீங்கள் அதை பெருக்கினால், எதுவும் மாறாது, இல்லையா? ஆனால் இப்போது அது இப்படி மாறிவிடும்:

மந்திரமாக விதிமுறைகள் இடம் மாறின. இந்த "நிகழ்வு" எந்தவொரு வெளிப்பாட்டிற்கும் சமமான அளவிற்கு பொருந்தும்: அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அறிகுறிகளை எளிதாக மாற்றலாம். ஆனால் நினைவில் கொள்வது முக்கியம்: எல்லா அறிகுறிகளும் ஒரே நேரத்தில் மாறுகின்றன!நாங்கள் விரும்பாத ஒரே ஒரு குறைபாட்டை மாற்றுவதன் மூலம் நீங்கள் அதை மாற்ற முடியாது!

உதாரணத்திற்கு திரும்புவோம்:

மீண்டும் சூத்திரம்:

எனவே இப்போது கடைசி விதி:

அதை எப்படி நிரூபிப்போம்? நிச்சயமாக, வழக்கம் போல்: பட்டம் என்ற கருத்தை விரிவுபடுத்தி அதை எளிதாக்குவோம்:

சரி, இப்போது அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம். மொத்தம் எத்தனை எழுத்துக்கள் உள்ளன? பெருக்கல் முறைகள் - இது உங்களுக்கு எதை நினைவூட்டுகிறது? இது ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையைத் தவிர வேறில்லை பெருக்கல்: அங்கே பெருக்கிகள் மட்டுமே இருந்தன. அதாவது, இது, வரையறையின்படி, ஒரு அடுக்கு கொண்ட எண்ணின் சக்தி:

எடுத்துக்காட்டு:

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம்

சராசரி நிலைக்கான டிகிரி பற்றிய தகவலுடன் கூடுதலாக, பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டத்தை பகுப்பாய்வு செய்வோம். இங்குள்ள டிகிரிகளின் அனைத்து விதிகளும் பண்புகளும் ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் கூடிய பட்டத்திற்கு ஒரே மாதிரியானவை, விதிவிலக்கு - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வரையறையின்படி, பகுத்தறிவற்ற எண்கள் ஒரு பின்னமாக குறிப்பிட முடியாத எண்கள், எங்கே மற்றும் முழு எண்கள் (அதாவது , பகுத்தறிவற்ற எண்கள் விகிதமுறு எண்கள் தவிர அனைத்து உண்மையான எண்கள்).

இயற்கை, முழு எண் மற்றும் பகுத்தறிவு அடுக்குகளுடன் பட்டங்களைப் படிக்கும்போது, ​​ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு குறிப்பிட்ட "படம்", "ஒப்புமை" அல்லது விளக்கத்தை மிகவும் பழக்கமான சொற்களில் உருவாக்குகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய பட்டம் என்பது பலமுறை தன்னால் பெருக்கப்படும் எண்ணாகும்; பூஜ்ஜிய சக்திக்கு ஒரு எண், அது போலவே, ஒரு முறை தன்னால் பெருக்கப்படும் எண், அதாவது, அவர்கள் இன்னும் அதைப் பெருக்கத் தொடங்கவில்லை, அதாவது அந்த எண் இன்னும் தோன்றவில்லை - எனவே முடிவு ஒரு குறிப்பிட்டது "வெற்று எண்", அதாவது ஒரு எண்; ஒரு முழு எண் எதிர்மறை அடுக்கு கொண்ட ஒரு பட்டம் - இது ஏதோ "தலைகீழ் செயல்முறை" நிகழ்ந்தது போல் உள்ளது, அதாவது, எண்ணானது தன்னால் பெருக்கப்படவில்லை, ஆனால் வகுக்கப்பட்டது.

ஒரு பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தை கற்பனை செய்வது மிகவும் கடினம் (4-பரிமாண இடத்தை கற்பனை செய்வது கடினம்). இது முற்றிலும் கணிதப் பொருளாகும், இது கணிதவியலாளர்கள் பட்டம் என்ற கருத்தை எண்களின் முழு இடத்திற்கும் நீட்டிக்க உருவாக்கியது.

மூலம், அறிவியலில் ஒரு சிக்கலான அடுக்கு கொண்ட பட்டம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது, அடுக்கு உண்மையான எண் கூட இல்லை. ஆனால் பள்ளியில் இதுபோன்ற சிரமங்களைப் பற்றி நாங்கள் சிந்திக்க மாட்டோம்;

நாம் ஒரு பகுத்தறிவற்ற அடுக்கு கண்டால் என்ன செய்வது? அதிலிருந்து விடுபட எங்களால் முடிந்தவரை முயற்சி செய்கிறோம். :)

உதாரணமாக:

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

1) 2) 3)

பதில்கள்:

  1. சதுர சூத்திரத்தின் வித்தியாசத்தை நினைவில் கொள்வோம். பதில்: .
  2. பின்னங்களை ஒரே வடிவத்தில் குறைக்கிறோம்: இரண்டு தசமங்கள் அல்லது இரண்டும் சாதாரணமானவை. நாம் பெறுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக: .
  3. சிறப்பு எதுவும் இல்லை, டிகிரிகளின் வழக்கமான பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

பிரிவின் சுருக்கம் மற்றும் அடிப்படை சூத்திரங்கள்

பட்டம்படிவத்தின் வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது: , எங்கே:

ஒரு முழு எண் அடுக்குடன் பட்டம்

இயல் எண்ணாக இருக்கும் ஒரு பட்டம் (அதாவது முழு எண் மற்றும் நேர்மறை).

பகுத்தறிவு அடுக்குடன் சக்தி

பட்டம், இதன் அடுக்கு எதிர்மறை மற்றும் பின்ன எண்கள் ஆகும்.

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம்

ஒரு எல்லையற்ற தசம பின்னம் அல்லது மூலத்தின் அடுக்கு.

பட்டங்களின் பண்புகள்

டிகிரி அம்சங்கள்.

  • எதிர்மறை எண் உயர்த்தப்பட்டது கூடபட்டம், - எண் நேர்மறை.
  • எதிர்மறை எண் உயர்த்தப்பட்டது ஒற்றைப்படைபட்டம், - எண் எதிர்மறை.
  • எந்த அளவிற்கு நேர்மறை எண் என்பது நேர்மறை எண்ணாகும்.
  • பூஜ்ஜியம் எந்த சக்திக்கும் சமம்.
  • பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எந்த எண்ணும் சமம்.

இப்போது உங்களிடம் வார்த்தை இருக்கிறது...

நீங்கள் கட்டுரையை எப்படி விரும்புகிறீர்கள்? நீங்கள் விரும்பினாலும் விரும்பாவிட்டாலும் கீழே உள்ள கருத்துகளில் எழுதுங்கள்.

டிகிரி பண்புகளைப் பயன்படுத்தி உங்கள் அனுபவத்தைப் பற்றி எங்களிடம் கூறுங்கள்.

ஒருவேளை உங்களிடம் கேள்விகள் இருக்கலாம். அல்லது பரிந்துரைகள்.

கருத்துகளில் எழுதுங்கள்.

மற்றும் உங்கள் தேர்வுகளில் நல்ல அதிர்ஷ்டம்!

இந்த பொருளில் ஒரு எண்ணின் சக்தி என்ன என்பதைப் பார்ப்போம். அடிப்படை வரையறைகளுக்கு கூடுதலாக, இயற்கை, முழு எண், பகுத்தறிவு மற்றும் பகுத்தறிவற்ற அடுக்குகளுடன் என்ன சக்திகள் உள்ளன என்பதை நாங்கள் உருவாக்குவோம். எப்பொழுதும் போல, எல்லா கருத்துக்களும் எடுத்துக்காட்டு சிக்கல்களுடன் விளக்கப்படும்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

முதலில், இயற்கையான அடுக்குடன் பட்டத்தின் அடிப்படை வரையறையை உருவாக்குவோம். இதைச் செய்ய, பெருக்கத்தின் அடிப்படை விதிகளை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இப்போதைக்கு ஒரு உண்மையான எண்ணை அடிப்படையாகவும் (எழுத்து a ஆல் குறிக்கப்படுகிறது), மற்றும் ஒரு இயற்கை எண்ணை ஒரு குறிகாட்டியாகவும் (n எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது) எடுப்போம் என்பதை முன்கூட்டியே தெளிவுபடுத்துவோம்.

வரையறை 1

ஒரு இயற்கை அடுக்கு n உடன் ஒரு எண்ணின் சக்தி n வது எண் காரணிகளின் பெருக்கமாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் a எண்ணுக்கு சமம். பட்டம் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: ஒரு n, மற்றும் ஒரு சூத்திரத்தின் வடிவத்தில் அதன் கலவையை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

எடுத்துக்காட்டாக, அடுக்கு 1 மற்றும் அடிப்படை a எனில், a இன் முதல் சக்தி இவ்வாறு எழுதப்படும் ஒரு 1. a என்பது காரணியின் மதிப்பு மற்றும் 1 என்பது காரணிகளின் எண்ணிக்கை என்று நாம் முடிவு செய்யலாம் a 1 = a.

பொதுவாக, ஒரு பட்டம் என்பது ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான சமமான காரணிகளை எழுதுவதற்கான வசதியான வடிவம் என்று நாம் கூறலாம். எனவே, படிவத்தின் பதிவு 8 8 8 8என சுருக்கலாம் 8 4 . அதே வழியில், தயாரிப்பு அதிக எண்ணிக்கையிலான சொற்களை எழுதுவதைத் தவிர்க்க உதவுகிறது (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); இயற்கை எண்களின் பெருக்கத்திற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கட்டுரையில் இதை ஏற்கனவே விவாதித்தோம்.

பட்டப்படிப்பை எவ்வாறு சரியாகப் படிப்பது? பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட விருப்பம் "a to the power of n" ஆகும். அல்லது "a இன் nth power" அல்லது "anth power" என்று சொல்லலாம். உதாரணமாக, நாம் நுழைவை சந்தித்தால் 8 12 , "8 to the 12th power", "8 to the power of 12" அல்லது "12th power of 8" என்று படிக்கலாம்.

எண்களின் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சக்திகள் அவற்றின் சொந்த நிறுவப்பட்ட பெயர்களைக் கொண்டுள்ளன: சதுரம் மற்றும் கன சதுரம். நாம் இரண்டாவது சக்தியைப் பார்த்தால், எடுத்துக்காட்டாக, எண் 7 (7 2), பின்னர் நாம் "7 ஸ்கொயர்" அல்லது "எண் 7 இன் சதுரம்" என்று கூறலாம். இதேபோல், மூன்றாம் பட்டம் பின்வருமாறு படிக்கப்படுகிறது: 5 3 - இது "எண் 5" அல்லது "5 கனசதுரத்தின் கன சதுரம்." இருப்பினும், "இரண்டாவது/மூன்றாவது சக்திக்கு" நீங்கள் நிலையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்;

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு இயற்கை அடுக்குடன் பட்டத்தின் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: க்கு 5 7 ஐந்து அடிப்படையாகவும், ஏழு அடுக்குகளாகவும் இருக்கும்.

அடிப்படை ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டியதில்லை: பட்டத்திற்கு (4 , 32) 9 அடிப்படையானது பின்னம் 4, 32 ஆகவும், அடுக்கு ஒன்பதாகவும் இருக்கும். அடைப்புக்குறிக்குள் கவனம் செலுத்துங்கள்: இயற்கை எண்களிலிருந்து அடிப்படைகள் வேறுபடும் அனைத்து சக்திகளுக்கும் இந்தக் குறியீடு உருவாக்கப்பட்டது.

உதாரணமாக: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

அடைப்புக்குறிகள் எதற்காக? கணக்கீடுகளில் பிழைகளைத் தவிர்க்க அவை உதவுகின்றன. எங்களிடம் இரண்டு உள்ளீடுகள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம்: (− 2) 3 மற்றும் − 2 3 . இவற்றில் முதலாவது எதிர்மறை எண்ணைக் கழித்தல் இரண்டைக் கழித்து மூன்று இயற்கையான அடுக்குடன் சக்தியாக உயர்த்தப்படுகிறது; இரண்டாவது பட்டத்தின் எதிர் மதிப்புடன் தொடர்புடைய எண் 2 3 .

சில நேரங்களில் புத்தகங்களில் நீங்கள் எண்ணின் சக்தியின் சற்று வித்தியாசமான எழுத்துப்பிழைகளைக் காணலாம் - a^n(இங்கு a என்பது அடிப்படை மற்றும் n என்பது அடுக்கு ஆகும்). அதாவது, 4^9 என்பது ஒன்றே 4 9 . n என்பது பல இலக்க எண்ணாக இருந்தால், அது அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . ஆனால் நாம் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம் ஒரு nமிகவும் பொதுவானது.

இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய ஒரு அடுக்கு மதிப்பை அதன் வரையறையிலிருந்து எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை யூகிப்பது எளிது: நீங்கள் n வது எண்ணிக்கையை பெருக்க வேண்டும். இதைப் பற்றி மேலும் ஒரு கட்டுரையில் எழுதினோம்.

பட்டம் என்ற கருத்து மற்றொரு கணிதக் கருத்தின் தலைகீழ் - ஒரு எண்ணின் வேர். சக்தி மற்றும் அடுக்கு ஆகியவற்றின் மதிப்பை நாம் அறிந்தால், அதன் அடிப்படையை நாம் கணக்கிடலாம். பட்டம் சில குறிப்பிட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை சிக்கல்களைத் தீர்க்க பயனுள்ளதாக இருக்கும், அதை நாங்கள் ஒரு தனி பொருளில் விவாதித்தோம்.

அடுக்குகள் இயற்கை எண்களை மட்டுமல்ல, எதிர்மறை மற்றும் பூஜ்ஜியங்கள் உட்பட பொதுவாக எந்த முழு எண் மதிப்புகளையும் சேர்க்கலாம், ஏனெனில் அவை முழு எண்களின் தொகுப்பையும் சேர்ந்தவை.

வரையறை 2

நேர்மறை முழு எண் அடுக்கு கொண்ட எண்ணின் சக்தியை ஒரு சூத்திரமாக குறிப்பிடலாம்: .

இந்த வழக்கில், n என்பது நேர்மறை முழு எண்.

பூஜ்ஜிய பட்டத்தின் கருத்தை புரிந்து கொள்வோம். இதைச் செய்ய, சமமான அடிப்படைகளைக் கொண்ட அதிகாரங்களுக்கான பங்குச் சொத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளும் அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். இது பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது:

வரையறை 3

சமத்துவம் a m: a n = a m - nபின்வரும் நிபந்தனைகளின் கீழ் உண்மையாக இருக்கும்: m மற்றும் n என்பது இயற்கை எண்கள், m< n , a ≠ 0 .

கடைசி நிபந்தனை முக்கியமானது, ஏனெனில் இது பூஜ்ஜியத்தால் வகுப்பதைத் தவிர்க்கிறது. m மற்றும் n இன் மதிப்புகள் சமமாக இருந்தால், பின்வரும் முடிவைப் பெறுகிறோம்: a n: a n = a n - n = a 0

ஆனால் அதே நேரத்தில் a n: a n = 1 என்பது சம எண்களின் விகுதி ஒரு nமற்றும் ஏ. பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணின் பூஜ்ஜிய சக்தி ஒன்றுக்கு சமம் என்று மாறிவிடும்.

இருப்பினும், அத்தகைய ஆதாரம் பூஜ்ஜிய சக்திக்கு பூஜ்ஜியத்திற்கு பொருந்தாது. இதைச் செய்ய, நமக்கு அதிகாரங்களின் மற்றொரு சொத்து தேவை - சம தளங்களைக் கொண்ட சக்திகளின் தயாரிப்புகளின் சொத்து. இது போல் தெரிகிறது: a m · a n = a m + n .

n என்பது 0 க்கு சமமாக இருந்தால் ஒரு மீ · ஒரு 0 = ஒரு மீ(இந்த சமத்துவமும் நமக்கு அதை நிரூபிக்கிறது a 0 = 1) ஆனால் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், நமது சமத்துவம் வடிவம் பெறுகிறது 0 மீ · 0 0 = 0 மீ, n இன் எந்தவொரு இயற்கை மதிப்புக்கும் இது உண்மையாக இருக்கும், மேலும் பட்டத்தின் மதிப்பு சரியாக என்னவாக இருக்கும் என்பது முக்கியமல்ல. 0 0 , அதாவது, இது எந்த எண்ணுக்கும் சமமாக இருக்கலாம், மேலும் இது சமத்துவத்தின் துல்லியத்தை பாதிக்காது. எனவே, படிவத்தின் குறியீடு 0 0 அதன் சொந்த சிறப்பு அர்த்தம் இல்லை, அதற்கு நாங்கள் அதைக் கூற மாட்டோம்.

விரும்பினால், அதை சரிபார்க்க எளிதானது a 0 = 1பட்டம் சொத்துடன் சங்கமிக்கிறது (a m) n = a m nபட்டத்தின் அடிப்படை பூஜ்ஜியமாக இல்லை. எனவே, அதிவேக பூஜ்ஜியத்துடன் எந்த பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணின் சக்தியும் ஒன்று.

எடுத்துக்காட்டு 2

குறிப்பிட்ட எண்களுடன் ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: எனவே, 5 0 - அலகு, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , மற்றும் மதிப்பு 0 0 வரையறுக்கப்படவில்லை.

ஜீரோ டிகிரிக்குப் பிறகு, எதிர்மறை பட்டம் என்றால் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, மேலே நாம் ஏற்கனவே பயன்படுத்திய சம தளங்களைக் கொண்ட சக்திகளின் உற்பத்தியின் அதே சொத்து நமக்குத் தேவை: a m · a n = a m + n.

நிபந்தனையை அறிமுகப்படுத்துவோம்: m = - n, பின்னர் a பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது. இதிலிருந்து இது பின்வருமாறு a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. இது ஒரு n மற்றும் என்று மாறிவிடும் a−nஎங்களிடம் பரஸ்பர எண்கள் உள்ளன.

இதன் விளைவாக, எதிர்மறை முழு சக்திக்கு a என்பது பின்னம் 1 a n ஐத் தவிர வேறில்லை.

முழு எண் எதிர்மறை அடுக்கு கொண்ட பட்டத்திற்கு, இயற்கையான அடுக்கு கொண்ட பட்டம் (அடிப்படை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை எனில்) கொண்டிருக்கும் அதே பண்புகள் அனைத்தும் செல்லுபடியாகும் என்பதை இந்த உருவாக்கம் உறுதிப்படுத்துகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 3

எதிர்மறை முழு எண் அடுக்கு n உடன் ஒரு சக்தி ஒரு பின்னம் 1 a n என குறிப்பிடப்படலாம். எனவே, a - n = 1 a n உட்பட்டது a ≠ 0மற்றும் n என்பது இயற்கை எண்.

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடன் எங்கள் யோசனையை விளக்குவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

பத்தியின் கடைசி பகுதியில், ஒரு சூத்திரத்தில் தெளிவாகக் கூறப்பட்ட அனைத்தையும் சித்தரிக்க முயற்சிப்போம்:

வரையறை 4

இயற்கையான அடுக்கு z கொண்ட எண்ணின் சக்தி: a z = a z, e உடன் l மற்றும் z - நேர்மறை முழு எண் 1, z = 0 மற்றும் a ≠ 0, (z = 0 மற்றும் a = 0 க்கு விளைவு 0 0, 0 0 என்ற வெளிப்பாட்டின் மதிப்புகள் வரையறுக்கப்படவில்லை) 1 a z, மற்றும் z என்பது எதிர்மறை முழு எண் மற்றும் ≠ 0 (z என்பது எதிர்மறை முழு எண் மற்றும் a = 0 எனில் நீங்கள் 0 z ஐப் பெற்றால், மதிப்பு தீர்மானிக்கப்படவில்லை)

பகுத்தறிவு அடுக்குடன் கூடிய சக்திகள் என்ன?

அடுக்கு முழு எண்ணைக் கொண்டிருக்கும் போது நாங்கள் வழக்குகளை ஆய்வு செய்தோம். இருப்பினும், அதிர்வெண் ஒரு பகுதி எண்ணைக் கொண்டிருக்கும்போதும், எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தலாம். இது பகுத்தறிவு அடுக்குடன் கூடிய சக்தி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த பிரிவில் மற்ற சக்திகளைப் போலவே இதுவும் அதே பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிப்போம்.

பகுத்தறிவு எண்கள் என்றால் என்ன? அவற்றின் தொகுப்பில் முழு மற்றும் பகுதி எண்கள் உள்ளன, மேலும் பின்ன எண்களை சாதாரண பின்னங்களாகக் குறிப்பிடலாம் (நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை இரண்டும்). ஒரு எண்ணின் சக்தியின் வரையறையை ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு m / n உடன் உருவாக்குவோம், இங்கு n என்பது ஒரு இயற்கை எண் மற்றும் m ஒரு முழு எண்.

எங்களிடம் ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு ஒரு m n உடன் சில அளவு உள்ளது. சொத்துக்களை வைத்திருக்கும் சக்திக்கு, சமத்துவம் a m n n = a m n · n = a m உண்மையாக இருக்க வேண்டும்.

n வது மூலத்தின் வரையறை மற்றும் a m n n = a m என்று கொடுக்கப்பட்டால், m, n மற்றும் a ஆகியவற்றின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு ஒரு m n அர்த்தமுள்ளதாக இருந்தால், a m n = a m n நிபந்தனையை ஏற்கலாம்.

ஒரு முழு எண் அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் மேலே உள்ள பண்புகள் a m n = a m n நிபந்தனையின் கீழ் உண்மையாக இருக்கும்.

எங்கள் பகுத்தறிவின் முக்கிய முடிவு இதுதான்: ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் சக்தி ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு m / n உடன் m / n என்ற எண்ணின் n வது மூலமாகும். m, n மற்றும் a இன் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு, a m n என்ற வெளிப்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருந்தால் இது உண்மையாகும்.

1. பட்டத்தின் அடிப்பகுதியின் மதிப்பை நாம் கட்டுப்படுத்தலாம்: a ஐ எடுத்துக்கொள்வோம், இது m இன் நேர்மறை மதிப்புகள் 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும், மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு - கண்டிப்பாக குறைவாக (m ≤ 0 க்கு என்பதால் நாம் பெறுகிறோம் 0 மீ, ஆனால் அத்தகைய பட்டம் வரையறுக்கப்படவில்லை). இந்த வழக்கில், ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் வரையறை இப்படி இருக்கும்:

சில நேர்மறை எண்ணுக்கு m/n என்ற பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட சக்தியானது m ​​க்கு உயர்த்தப்பட்ட ஒரு n வது மூலமாகும். இதை ஒரு சூத்திரமாக வெளிப்படுத்தலாம்:

பூஜ்ஜிய அடிப்படை கொண்ட சக்திக்கு, இந்த ஏற்பாடும் பொருத்தமானது, ஆனால் அதன் அடுக்கு நேர்மறை எண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே.

ஒரு அடிப்படை பூஜ்ஜியம் மற்றும் ஒரு பகுதியளவு நேர்மறை அடுக்கு m/n உடன் ஒரு சக்தியை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம்

0 m n = 0 m n = 0 வழங்கப்பட்ட m என்பது நேர்மறை முழு எண் மற்றும் n என்பது இயற்கை எண்.

எதிர்மறை விகிதத்திற்கு m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ஒரு விஷயத்தைக் கவனிக்கலாம். a என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது அல்லது சமமானது என்ற நிபந்தனையை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்தியதால், சில நிகழ்வுகளை நிராகரித்தோம்.

a m n என்ற வெளிப்பாடு சில நேரங்களில் a மற்றும் சில m இன் சில எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். எனவே, சரியான உள்ளீடுகள் (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, இதில் அடிப்படை எதிர்மறையாக உள்ளது.

2. இரண்டாவது அணுகுமுறை, சம மற்றும் ஒற்றைப்படை அடுக்குகளுடன் ஒரு m n என்ற மூலத்தை தனித்தனியாகக் கருதுவது. பின்னர் நாம் இன்னும் ஒரு நிபந்தனையை அறிமுகப்படுத்த வேண்டும்: டிகிரி a, இதில் குறைக்கக்கூடிய சாதாரண பின்னம் உள்ளது, டிகிரி a ஆகக் கருதப்படுகிறது, அதன் அடுக்குகளில் தொடர்புடைய குறைக்க முடியாத பின்னம் உள்ளது. இந்த நிலை நமக்கு ஏன் தேவை, அது ஏன் மிகவும் முக்கியமானது என்பதை பின்னர் விளக்குவோம். எனவே, a m · k n · k என்ற குறியீடாக இருந்தால், அதை ஒரு m n ஆகக் குறைத்து கணக்கீடுகளை எளிதாக்கலாம்.

n என்பது ஒற்றைப்படை எண்ணாகவும், m இன் மதிப்பு நேர்மறையாகவும், a என்பது எதிர்மறை எண்ணாகவும் இருந்தால், m n என்பது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து சம பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க முடியாது என்பதால், எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டிய நிபந்தனை அவசியம். m இன் மதிப்பு நேர்மறையாக இருந்தால், a எதிர்மறையாகவும் பூஜ்ஜியமாகவும் இருக்கலாம், ஏனெனில் எந்த உண்மையான எண்ணிலிருந்தும் ஒற்றைப்படை மூலத்தை எடுக்கலாம்.

மேலே உள்ள அனைத்து வரையறைகளையும் ஒரே பதிவில் இணைப்போம்:

இங்கே m/n என்பது குறைக்க முடியாத பின்னம், m என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு எண், மற்றும் n என்பது இயற்கை எண்.

வரையறை 5

எந்த ஒரு சாதாரண குறைக்கக்கூடிய பின்னத்திற்கும் m · k n · k பட்டத்தை m n ஆல் மாற்றலாம்.

ஒரு எண்ணின் ஆற்றல் குறைக்க முடியாத பின்னம் அடுக்கு m / n - பின்வரும் நிகழ்வுகளில் m n ஆக வெளிப்படுத்தப்படலாம்: - எந்த உண்மையான a, நேர்மறை முழு மதிப்புகள் m மற்றும் ஒற்றைப்படை இயற்கை மதிப்புகள் n. எடுத்துக்காட்டு: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

பூஜ்ஜியம் அல்லாத உண்மையான a, m இன் எதிர்மறை முழு எண் மற்றும் n இன் ஒற்றைப்படை மதிப்புகள், எடுத்துக்காட்டாக, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

எதிர்மில்லாத எந்த a, நேர்மறை முழு எண் m மற்றும் n கூட, எடுத்துக்காட்டாக, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

எந்த நேர்மறை a, எதிர்மறை முழு எண் m மற்றும் n கூட, எடுத்துக்காட்டாக, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

மற்ற மதிப்புகளின் விஷயத்தில், ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் பட்டம் தீர்மானிக்கப்படவில்லை. அத்தகைய பட்டங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

இப்போது மேலே விவாதிக்கப்பட்ட நிபந்தனையின் முக்கியத்துவத்தை விளக்குவோம்: குறைக்கக்கூடிய அடுக்குடன் ஒரு பகுதியை ஏன் குறைக்க முடியாத அடுக்குடன் மாற்ற வேண்டும். நாங்கள் இதைச் செய்யவில்லை என்றால், 6/10 = 3/5 என்று சொல்லும் பின்வரும் சூழ்நிலைகள் நமக்கு ஏற்பட்டிருக்கும். பின்னர் அது உண்மையாக இருக்க வேண்டும் (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ஆனால் - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , மற்றும் (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

நாம் முதலில் வழங்கிய ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் வரையறை, இரண்டாவது விட நடைமுறையில் பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானது, எனவே நாங்கள் அதை தொடர்ந்து பயன்படுத்துவோம்.

வரையறை 6

எனவே, ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு m/n உடன் நேர்மறை எண்ணின் சக்தி 0 m n = 0 m n = 0 என வரையறுக்கப்படுகிறது. எதிர்மறை வழக்கில் அ a m n என்ற குறியீடானது அர்த்தமற்றது. நேர்மறை பின்ன அடுக்குகளுக்கு பூஜ்ஜியத்தின் சக்தி m/n 0 m n = 0 m n = 0 என வரையறுக்கப்படுகிறது, எதிர்மறை பகுதியளவு அடுக்குகளுக்கு நாம் பூஜ்ஜியத்தின் அளவை வரையறுக்கவில்லை.

முடிவுகளில், நீங்கள் எந்த பின்னம் குறிகாட்டியையும் கலப்பு எண்ணாகவும் தசமப் பின்னமாகவும் எழுதலாம் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

கணக்கிடும் போது, ​​அடுக்குகளை ஒரு சாதாரண பின்னத்துடன் மாற்றுவது நல்லது, பின்னர் அடுக்கு அடுக்குகளின் வரையறையை பின்ன அடுக்குடன் பயன்படுத்துவது நல்லது. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நாம் பெறுகிறோம்:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

பகுத்தறிவற்ற மற்றும் உண்மையான அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகள் என்ன?

உண்மையான எண்கள் என்றால் என்ன? அவற்றின் தொகுப்பில் பகுத்தறிவு மற்றும் பகுத்தறிவற்ற எண்கள் உள்ளன. எனவே, ஒரு உண்மையான அடுக்குடன் பட்டம் என்றால் என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, நாம் பகுத்தறிவு மற்றும் பகுத்தறிவற்ற அடுக்குகளுடன் டிகிரிகளை வரையறுக்க வேண்டும். நாம் ஏற்கனவே பகுத்தறிவுகளை மேலே குறிப்பிட்டுள்ளோம். பகுத்தறிவற்ற குறிகாட்டிகளை படிப்படியாகக் கையாள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5

எங்களிடம் ஒரு விகிதமுறா எண் மற்றும் அதன் தசம தோராயமான 0 , a 1 , a 2 , வரிசை உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம். . . . எடுத்துக்காட்டாக, a = 1.67175331 மதிப்பை எடுத்துக் கொள்வோம். . . , பிறகு

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1.67, a 1 = 1.6717, a 2 = 1.671753, . . .

தோராயங்களின் வரிசையை a 0, a 1, a 2, டிகிரிகளின் வரிசையுடன் இணைக்கலாம். . . . பகுத்தறிவு சக்திகளுக்கு எண்களை உயர்த்துவது பற்றி நாம் முன்பு கூறியதை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால், இந்த சக்திகளின் மதிப்புகளை நாமே கணக்கிடலாம்.

உதாரணத்திற்கு எடுத்துக் கொள்வோம் a = 3, பின்னர் a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . முதலியன

அதிகாரங்களின் வரிசையை எண்ணாகக் குறைக்கலாம், இது அடிப்படை a மற்றும் பகுத்தறிவற்ற அடுக்கு a உடன் சக்தியின் மதிப்பாக இருக்கும். இதன் விளைவாக: படிவம் 3 1, 67175331 இன் பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம். . 6, 27 என்ற எண்ணாகக் குறைக்கலாம்.

வரையறை 7

பகுத்தறிவற்ற அடுக்கு a உடன் நேர்மறை எண்ணின் சக்தி a என எழுதப்படுகிறது. அதன் மதிப்பு a 0 , a a 1 , a 2 , வரிசையின் வரம்பு. . . , எங்கே a 0 , a 1 , a 2 , . . . பகுத்தறிவற்ற எண்ணின் தொடர்ச்சியான தசம தோராயங்கள் a. 0 a = 0 ஆக, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0 உடன், நேர்மறை பகுத்தறிவற்ற அடுக்குகளுக்கு பூஜ்ஜிய அடித்தளத்துடன் ஒரு பட்டம் வரையறுக்கப்படலாம். ஆனால் எதிர்மறையானவற்றுக்கு இதைச் செய்ய முடியாது, எடுத்துக்காட்டாக, மதிப்பு 0 - 5, 0 - 2 π வரையறுக்கப்படவில்லை. எந்தவொரு பகுத்தறிவற்ற சக்திக்கும் உயர்த்தப்பட்ட அலகு ஒரு யூனிட்டாகவே உள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, 2 இல் 1 2, 1 5 மற்றும் 1 - 5 1 க்கு சமமாக இருக்கும்.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

பகுதி II. அத்தியாயம் 6
எண்களின் வரிசைகள்

பகுத்தறிவற்ற அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் கருத்து

ஒரு சில நேர்மறை எண்ணாகவும், ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகவும் இருக்கட்டும்.
a* என்ற சொல்லுக்கு என்ன அர்த்தம் கொடுக்க வேண்டும்?
விளக்கக்காட்சியை இன்னும் தெளிவாக்க, நாங்கள் அதை தனிப்பட்ட முறையில் நடத்துவோம்
உதாரணம். அதாவது, a - 2 மற்றும் a = 1, 624121121112 ஐ வைப்போம். . . .
இங்கே, a என்பது ஒரு எல்லையற்ற தசமப் பின்னம் என்பது பின்வருமாறு தொகுக்கப்பட்டுள்ளது
சட்டம்: நான்காவது தசம இடத்திலிருந்து தொடங்கி, படத்திற்கு a
எண்கள் 1 மற்றும் 2 மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் எண்களின் எண்ணிக்கை 1 ஆகும்,
எண் 2 க்கு முன் ஒரு வரிசையில் எழுதப்பட்டது, எல்லா நேரத்திலும் அதிகரித்து வருகிறது
ஒன்று. பின்னம் a குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இல்லாதது, இல்லையெனில் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 1 ஆகும்,
அவரது படத்தில் ஒரு வரிசையில் பதிவு செய்யப்படுவது குறைவாக இருக்கும்.
எனவே, a என்பது ஒரு விகிதாசார எண்.
எனவே, வெளிப்பாட்டிற்கு என்ன அர்த்தம் கொடுக்க வேண்டும்
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . ஆர்
இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, மதிப்புகளின் வரிசையை உருவாக்குவோம்
மற்றும் (0.1)* என்ற துல்லியத்துடன் குறைபாடு மற்றும் அதிகப்படியானது. நாம் பெறுகிறோம்
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
எண் 2 இன் சக்திகளின் தொடர்புடைய வரிசைகளை உருவாக்குவோம்:
2M 2M*; 21*624; 21'62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Wu 21.6Sh; . (4)
வரிசை அதிகரிக்கும் போது வரிசை (3) அதிகரிக்கிறது
(1) (தேற்றம் 2 § 6).
வரிசை (4) குறைகிறது, ஏனெனில் வரிசை குறைகிறது
(2).
வரிசையின் ஒவ்வொரு காலமும் (3) வரிசையின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் விட குறைவாக உள்ளது
(4), இதனால் வரிசை (3) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது
மேலே இருந்து, மற்றும் வரிசை (4) கீழே வரம்பிடப்பட்டுள்ளது.
மோனோடோன் எல்லைக்குட்பட்ட வரிசை தேற்றத்தின் அடிப்படையில்
ஒவ்வொரு வரிசையும் (3) மற்றும் (4) வரம்பு உள்ளது. என்றால்

384 பகுத்தறிவற்ற அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் கருத்து . .

இப்போது வரிசைகள் (4) மற்றும் (3) இடையே உள்ள வேறுபாடு ஒன்றிணைகிறது என்று மாறிவிடும்
பூஜ்ஜியத்திற்கு, பின்னர் இந்த இரண்டு வரிசைகளும் பின்பற்றப்படும்,
பொதுவான வரம்பு உண்டு.
வரிசைகளின் முதல் விதிமுறைகளின் வேறுபாடு (3) மற்றும் (4)
21-7 - 21’* = 2|, இல் (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
இரண்டாவது சொற்களின் வேறுபாடு
21'63 - 21.62 = 21.62 (2°'01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
n-வது விதிமுறைகளின் வேறுபாடு
0,0000. ..0 1
2>.««...(2 " - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
தேற்றம் 3 § 6ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது
லிம் 10″ / 2 = 1.
எனவே, தொடர்கள் (3) மற்றும் (4) ஒரு பொதுவான வரம்பைக் கொண்டுள்ளன. இது
வரம்பு என்பது பெரியதாக இருக்கும் ஒரே உண்மையான எண்
வரிசையின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் (3) மற்றும் வரிசையின் அனைத்து உறுப்பினர்களை விட குறைவாகவும்
(4), அதை 2* இன் சரியான மதிப்பாகக் கருதுவது நல்லது.
சொல்லப்பட்டவற்றிலிருந்து பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்வது நல்லது
பின்வரும் வரையறை:
வரையறை. a^> 1 எனில், பகுத்தறிவற்ற உடன் a இன் சக்தி
அடுக்கு a ஒரு உண்மையான எண்
இந்த எண்ணின் அனைத்து சக்திகளையும் விட இது பெரியது
பகுத்தறிவு தோராயங்கள் ஒரு பாதகத்துடன், மற்றும் அனைத்து பட்டங்களையும் விட குறைவாக
இந்த எண், இதன் அடுக்குகள் பகுத்தறிவு தோராயங்கள் மற்றும் உடன்
அதிகப்படியான.
ஒரு என்றால்<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
அனைத்து சக்திகளையும் விட உண்மையான எண்
இந்த எண், இதன் அடுக்குகள் பகுத்தறிவு தோராயங்கள் மற்றும்
இந்த எண்ணின் அனைத்து சக்திகளையும் விட அதிகமாகவும், குறைவாகவும், இதன் குறிகாட்டிகள்
- பகுத்தறிவு தோராயங்கள் ஒரு பாதகத்துடன்.
.a- 1 எனில், பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் அதன் பட்டம் a
1 ஆகும்.
வரம்பு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி, இந்த வரையறையை உருவாக்கலாம்
எனவே:
பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் நேர்மறை எண்ணின் சக்தி
மற்றும் வரிசையின் வரம்பு அழைக்கப்படுகிறது
இந்த எண்ணின் பகுத்தறிவு சக்திகள், அந்த வரிசையை வழங்குகின்றன
இந்த சக்திகளின் வெளிப்பாடுகள் ஒரு, அதாவது.
аа = லிம் аЧ
b — *
13 டி, கே. ஃபட்ஷீவ், ஐ.எஸ். சோமின்ஸ்கி

ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் பட்டம், அதன் பண்புகள்.

வெளிப்பாடு a n n≤0 க்கான a=0 தவிர, அனைத்து a மற்றும் n க்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. அத்தகைய சக்திகளின் பண்புகளை நினைவு கூர்வோம்.

எந்த எண்களுக்கும் a, b மற்றும் எந்த முழு எண்களுக்கும் m மற்றும் n சமன்கள் செல்லுபடியாகும்:

ஒரு m *a n = a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn ; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 = a; a 0 =1 (a≠0).

பின்வரும் பண்புகளையும் கவனியுங்கள்:

m>n எனில், a m >a n for a>1 மற்றும் a m<а n при 0<а<1.

இந்த பிரிவில், வகை 2 இன் வெளிப்பாடுகளுக்கு அர்த்தம் கொடுக்கும் எண்ணின் சக்திகளின் கருத்தை நாம் பொதுமைப்படுத்துவோம் 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 முதலியன. பகுத்தறிவு அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகள் ஒரு முழு எண் அடுக்கு கொண்ட சக்திகளைப் போலவே (அல்லது குறைந்தபட்சம் அவற்றின் ஒரு பகுதியையாவது) கொண்டிருக்கும் வகையில் ஒரு வரையறையை வழங்குவது இயற்கையானது. பின்னர், குறிப்பாக, எண்ணின் n வது சக்திa க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்மீ . உண்மையில், சொத்து என்றால்

(a p) q =a pq

பின்னர் செயல்படுத்தப்படுகிறது



கடைசி சமத்துவம் என்பது (nth மூலத்தின் வரையறையின்படி) அந்த எண்a இன் nவது வேராக இருக்க வேண்டும்மீ.

வரையறை.

ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்கு r= உடன் ஒரு எண்ணின் சக்தி a>0, இங்கு m ஒரு முழு எண் மற்றும் n என்பது ஒரு இயற்கை எண் (n > 1), எண்

எனவே, வரையறையின்படி

(1)

0 இன் சக்தி நேர்மறை அடுக்குகளுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது; வரையறையின்படி 0எந்த r>0க்கும் r = 0.

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம்.

விகிதாசார எண்வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்பகுத்தறிவு எண்களின் வரிசையின் வரம்பு: .

விடுங்கள் . பின்னர் ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் சக்திகள் உள்ளன. இந்த சக்திகளின் வரிசை ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது என்பதை நிரூபிக்க முடியும். இந்த வரிசையின் வரம்பு அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படை மற்றும் பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம்: .

நேர்மறை எண்ணை a சரிசெய்து ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் ஒதுக்குவோம். இவ்வாறு நாம் எண் சார்பு f(x) = a ஐப் பெறுகிறோம் x , பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பு Q இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் முன்னர் பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. போது a=1 செயல்பாடு f(x) = a x 1 முதல் நிலையானது x எந்த பகுத்தறிவு xக்கும் =1.



y = 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் பல புள்ளிகளைத் திட்டமிடுவோம் x முன்பு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி மதிப்பு 2 ஐக் கணக்கிட்டது x பிரிவில் [—2; 3] 1/4 படி (படம் 1, a), பின்னர் 1/8 ஒரு படி (படம். 1, b) 1/16, 1/32 படிகளுடன் அதே கட்டுமானங்களைத் தொடர்கிறது. முதலியன. இதன் விளைவாக வரும் புள்ளிகளை ஒரு மென்மையான வளைவு மூலம் இணைக்க முடியும் என்பதைக் காண்கிறோம், இது இயற்கையாகவே சில செயல்பாட்டின் வரைபடமாகக் கருதப்படலாம், முழு எண் கோட்டுடன் வரையறுக்கப்பட்டு அதிகரிக்கும் மற்றும் மதிப்புகளை எடுக்கும்.பகுத்தறிவு புள்ளிகளில்(படம் 1, c). செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் போதுமான எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளை உருவாக்கியது, இந்த செயல்பாடு ஒரே மாதிரியான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளலாம் (வேறுபாடு என்னவென்றால் செயல்பாடு R இல் குறைகிறது).

இந்த அவதானிப்புகள் எண்கள் 2 ஐ இவ்வாறு வரையறுக்கலாம் என்று கூறுகின்றனα மற்றும் ஒவ்வொரு பகுத்தறிவற்ற αக்கும், y=2 சூத்திரங்களால் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் x மற்றும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், மற்றும் செயல்பாடு y=2 x அதிகரிக்கிறது, மற்றும் செயல்பாடுமுழு எண் கோட்டிலும் குறைகிறது.

எண் a எவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை பொதுவான சொற்களில் விவரிப்போம் α a>1க்கு பகுத்தறிவற்ற α. செயல்பாடு y = a என்பதை உறுதிப்படுத்த விரும்புகிறோம் x அதிகரித்து இருந்தது. பின்னர் எந்த பகுத்தறிவு ஆர் 1 மற்றும் r 2 போன்ற r 1<αஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் aஆர் 1<а α <а r 1 .

r மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது 1 மற்றும் ஆர் 2 x ஐ நெருங்கும்போது, ​​a இன் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இருப்பதை ஒருவர் கவனிக்கலாம் r 1 மற்றும் a r 2 கொஞ்சம் மாறுபடும். உள்ளது என்பதை நிரூபிக்க முடியும், ஒரே ஒரு எண் y, இது எல்லாவற்றையும் விட பெரியதுஆர் 1 அனைத்து பகுத்தறிவு ஆர் 1 மற்றும் குறைந்தது ஒரு ஆர் 2 அனைத்து பகுத்தறிவு ஆர் 2 . வரையறையின்படி இந்த எண் y என்பது a α .

எடுத்துக்காட்டாக, கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி மதிப்பு 2ஐக் கணக்கிடலாம் x புள்ளிகள் x n மற்றும் x` n, அங்கு x n மற்றும் x` n - எண்களின் தசம தோராயங்கள்நாம் நெருக்கமாக x என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் n மற்றும் x`n k , 2 குறைவாக வேறுபடுகின்றன x n மற்றும் 2 x` n .

அன்றிலிருந்து



எனவே,



இதேபோல், பின்வரும் தசம தோராயங்களைக் கருத்தில் கொண்டுகுறைபாடு மற்றும் அதிகப்படியான படி, நாங்கள் உறவுகளை அடைகிறோம்

;

;

;

;

.

பொருள் கால்குலேட்டரில் கணக்கிடப்படுகிறது:

.

எண் a இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது α 0க்கு<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 எந்த α மற்றும் 0α>0க்கு α =0.

அதிவேக செயல்பாடு.

மணிக்கு அ > 0, அ = 1, செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டது y = a x, மாறிலியிலிருந்து வேறுபட்டது. இந்த செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது அதிவேக செயல்பாடுஅடித்தளத்துடன்அ.

ஒய்=அ xமணிக்கு அ> 1:

அடிப்படை 0 உடன் அதிவேக சார்புகளின் வரைபடங்கள்< அ < 1 и அ> 1 படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

அதிவேக செயல்பாட்டின் அடிப்படை பண்புகள் ஒய்=அ x 0 இல்< அ < 1:

  • ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் முழு எண் கோடு ஆகும்.
  • செயல்பாட்டு வரம்பு - இடைவெளி (0; + ) .
  • செயல்பாடு முழு எண் கோட்டிலும் கண்டிப்பாக சலிப்பான முறையில் அதிகரிக்கிறது, அதாவது என்றால் x 1 < x 2, பின்னர் ஒரு x 1 > ஒரு எக்ஸ் 2 .
  • மணிக்கு x= 0 செயல்பாடு மதிப்பு 1.
  • என்றால் x> 0, பின்னர் 0< அ < 1 மற்றும் என்றால் x < 0, то ஒரு x > 1.
    • 0 இல் உள்ள அதிவேக செயல்பாட்டின் பொதுவான பண்புகளுக்கு< a < 1, так и при a > 1 அடங்கும்:
    • அ x 1 அ x 2 = அ x 1 + x 2, அனைவருக்கும் x 1 மற்றும் x 2.
    • அ − x= ( அ x) − 1 = 1 அxயாருக்கும் x.
    • nஅ x= அ