ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் பட்டம், அதன் பண்புகள். பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம். அதிவேக செயல்பாடு

பகுதி II. அத்தியாயம் 6
எண்களின் வரிசைகள்

பகுத்தறிவற்ற அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் கருத்து

ஒரு - சில நேர்மறை எண்மற்றும் ஒரு - பகுத்தறிவற்ற.
a* என்ற சொல்லுக்கு என்ன அர்த்தம் கொடுக்க வேண்டும்?
விளக்கக்காட்சியை இன்னும் தெளிவாக்க, நாங்கள் அதை தனிப்பட்ட முறையில் நடத்துவோம்
உதாரணம். அதாவது, a - 2 மற்றும் a = 1, 624121121112 ஐ வைப்போம். . . .
இங்கே, மற்றும் - முடிவற்ற தசம, இதன்படி தொகுக்கப்பட்டது
சட்டம்: நான்காவது தசம இடத்திலிருந்து தொடங்கி, படத்திற்கு a
எண்கள் 1 மற்றும் 2 மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் எண்களின் எண்ணிக்கை 1 ஆகும்,
எண் 2 க்கு முன் ஒரு வரிசையில் எழுதப்பட்டது, எல்லா நேரத்திலும் அதிகரித்து வருகிறது
ஒன்று. பின்னம் a குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இல்லாதது, இல்லையெனில் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 1 ஆகும்,
அவரது படத்தில் ஒரு வரிசையில் பதிவு செய்யப்படுவது குறைவாக இருக்கும்.
எனவே, a என்பது ஒரு விகிதாசார எண்.
எனவே, வெளிப்பாட்டிற்கு என்ன அர்த்தம் கொடுக்க வேண்டும்
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . ஆர்
இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, மதிப்புகளின் வரிசையை உருவாக்குவோம்
மற்றும் (0.1)* என்ற துல்லியத்துடன் குறைபாடு மற்றும் அதிகப்படியானது. நாம் பெறுகிறோம்
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
எண் 2 இன் சக்திகளின் தொடர்புடைய வரிசைகளை உருவாக்குவோம்:
2M 2M*; 21*624; 21'62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Wu 21.6Sh; . (4)
வரிசை அதிகரிக்கும் போது வரிசை (3) அதிகரிக்கிறது
(1) (தேற்றம் 2 § 6).
வரிசை (4) குறைகிறது, ஏனெனில் வரிசை குறைகிறது
(2).
வரிசையின் ஒவ்வொரு காலமும் (3) வரிசையின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் விட குறைவாக உள்ளது
(4), இதனால் வரிசை (3) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது
மேலே இருந்து, மற்றும் வரிசை (4) கீழே வரம்பிடப்பட்டுள்ளது.
மோனோடோன் எல்லைக்குட்பட்ட வரிசை தேற்றத்தின் அடிப்படையில்
ஒவ்வொரு வரிசையும் (3) மற்றும் (4) வரம்பு உள்ளது. என்றால்

384 பட்டத்தின் கருத்து c பகுத்தறிவற்ற காட்டி. .

இப்போது வரிசைகள் (4) மற்றும் (3) இடையே உள்ள வேறுபாடு ஒன்றிணைகிறது என்று மாறிவிடும்
பூஜ்ஜியத்திற்கு, பின்னர் இந்த இரண்டு வரிசைகளும் பின்பற்றப்படும்,
பொதுவான வரம்பு உண்டு.
வரிசைகளின் முதல் விதிமுறைகளின் வேறுபாடு (3) மற்றும் (4)
21-7 - 21’* = 2|, இல் (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
இரண்டாவது சொற்களின் வேறுபாடு
21'63 - 21.62 = 21.62 (2°'01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
n-வது விதிமுறைகளின் வேறுபாடு
0,0000. ..0 1
2>.««...(2 " - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
தேற்றம் 3 § 6ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது
லிம் 10″ / 2 = 1.
எனவே, தொடர்கள் (3) மற்றும் (4) ஒரு பொதுவான வரம்பைக் கொண்டுள்ளன. இது
வரம்பு என்பது பெரியதாக இருக்கும் ஒரே உண்மையான எண்
வரிசையின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் (3) மற்றும் வரிசையின் அனைத்து உறுப்பினர்களை விட குறைவாகவும்
(4), அதை 2* இன் சரியான மதிப்பாகக் கருதுவது நல்லது.
சொல்லப்பட்டவற்றிலிருந்து பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்வது நல்லது
பின்வரும் வரையறை:
வரையறை. a^> 1 எனில், பகுத்தறிவற்ற உடன் a இன் சக்தி
அடுக்கு a ஒரு உண்மையான எண்
இந்த எண்ணின் அனைத்து சக்திகளையும் விட இது பெரியது
பகுத்தறிவு தோராயங்கள் ஒரு பாதகத்துடன், மற்றும் அனைத்து பட்டங்களையும் விட குறைவாக
இந்த எண், இதன் அடுக்குகள் பகுத்தறிவு தோராயங்கள் மற்றும் உடன்
அதிகப்படியான.
ஒரு என்றால்<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
அனைத்து சக்திகளையும் விட பெரிய உண்மையான எண்
இந்த எண், இதன் அடுக்குகள் பகுத்தறிவு தோராயங்கள் மற்றும்
இந்த எண்ணின் அனைத்து சக்திகளையும் விட அதிகமாகவும், குறைவாகவும், இதன் குறிகாட்டிகள்
- பகுத்தறிவு தோராயங்கள் ஒரு பாதகத்துடன்.
.a- 1 எனில், பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் அதன் பட்டம் a
1 ஆகும்.
வரம்பு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி, இந்த வரையறையை உருவாக்கலாம்
எனவே:
பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் நேர்மறை எண்ணின் சக்தி
மற்றும் வரிசையின் வரம்பு அழைக்கப்படுகிறது
இந்த எண்ணின் பகுத்தறிவு சக்திகள், அந்த வரிசையை வழங்குகின்றன
இந்த சக்திகளின் வெளிப்பாடுகள் ஒரு, அதாவது.
аа = லிம் аЧ
b — *
13 டி, கே. ஃபட்ஷீவ், ஐ.எஸ். சோமின்ஸ்கி

இந்த கட்டுரையில் அது என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் ஒரு எண்ணின் சக்தி. இங்கே நாம் எண்ணின் சக்தியின் வரையறைகளை வழங்குவோம், அதே நேரத்தில் இயற்கையான அடுக்குடன் தொடங்கி பகுத்தறிவற்ற ஒன்றில் முடிவடையும் அனைத்து சாத்தியமான அடுக்குகளையும் விரிவாகக் கருதுவோம். பொருளில் நீங்கள் டிகிரிகளின் நிறைய எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்பீர்கள், எழும் அனைத்து நுணுக்கங்களையும் உள்ளடக்கியது.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

இயற்கை அடுக்கு, ஒரு எண்ணின் வர்க்கம், ஒரு எண்ணின் கன சதுரம்

தொடங்குவோம். முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, ​​ஒரு எண்ணின் சக்தியின் வரையறை n இயற்கை அடுக்கு n உடன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதை நாம் அழைப்போம். பட்டப்படிப்பு அடிப்படையில், மற்றும் n, நாம் அழைப்போம் அடுக்கு. இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய பட்டம் ஒரு தயாரிப்பின் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதையும் நாங்கள் கவனிக்கிறோம், எனவே கீழே உள்ள பொருளைப் புரிந்து கொள்ள நீங்கள் எண்களைப் பெருக்குவதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

வரையறை.

இயற்கை அடுக்கு n கொண்ட எண்ணின் சக்தி a n என்ற வடிவத்தின் வெளிப்பாடாகும், இதன் மதிப்பு n காரணிகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம், அவை ஒவ்வொன்றும் a க்கு சமம், அதாவது, .
குறிப்பாக, அதிவேகம் 1 உடன் ஒரு எண்ணின் சக்தி a எண் தானே, அதாவது a 1 ​​=a.

டிகிரி படிப்பதற்கான விதிகள் பற்றி இப்போதே குறிப்பிடுவது மதிப்பு. a n குறியீட்டைப் படிக்க உலகளாவிய வழி: "a to the power of n". சில சமயங்களில், பின்வரும் விருப்பங்களும் ஏற்கத்தக்கவை: “a to the nth power” மற்றும் “nth power of a”. எடுத்துக்காட்டாக, சக்தி 8 12 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம், இது “எட்டு முதல் பன்னிரண்டின் சக்தி” அல்லது “எட்டு முதல் பன்னிரண்டாவது சக்தி” அல்லது “எட்டில் பன்னிரண்டாவது சக்தி”.

ஒரு எண்ணின் இரண்டாவது சக்தியும், ஒரு எண்ணின் மூன்றாவது சக்தியும் அவற்றின் சொந்த பெயர்களைக் கொண்டுள்ளன. எண்ணின் இரண்டாவது சக்தி அழைக்கப்படுகிறது எண் சதுரம்எடுத்துக்காட்டாக, 7 2 "ஏழு ஸ்கொயர்" அல்லது "எண் ஏழின் வர்க்கம்" என்று படிக்கப்படுகிறது. ஒரு எண்ணின் மூன்றாவது சக்தி அழைக்கப்படுகிறது கனசதுர எண்கள், எடுத்துக்காட்டாக, 5 3 ஐ "ஐந்து கன சதுரம்" என்று படிக்கலாம் அல்லது "எண் 5 இன் கன சதுரம்" என்று கூறலாம்.

கொண்டு வர வேண்டிய நேரம் இது இயற்கை அடுக்குகள் கொண்ட டிகிரிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். பட்டம் 5 7 உடன் தொடங்குவோம், இங்கே 5 என்பது பட்டத்தின் அடிப்படை மற்றும் 7 என்பது அடுக்கு. மற்றொரு உதாரணம் கொடுக்கலாம்: 4.32 அடிப்படை, மற்றும் இயற்கை எண் 9 - அடுக்கு (4.32) 9 .

கடைசி எடுத்துக்காட்டில், சக்தி 4.32 இன் அடிப்பகுதி அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க: முரண்பாடுகளைத் தவிர்க்க, இயற்கை எண்களிலிருந்து வேறுபட்ட சக்தியின் அனைத்து அடிப்படைகளையும் அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்போம். உதாரணமாக, இயற்கை அடுக்குகளுடன் பின்வரும் டிகிரிகளை நாங்கள் தருகிறோம் , அவற்றின் அடிப்படைகள் இயற்கை எண்கள் அல்ல, எனவே அவை அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதப்பட்டுள்ளன. சரி, முழுமையான தெளிவுக்காக, இந்த கட்டத்தில் (−2) 3 மற்றும் −2 3 ஆகியவற்றின் பதிவுகளில் உள்ள வேறுபாட்டைக் காண்பிப்போம். வெளிப்பாடு (−2) 3 என்பது 3 இன் இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய −2 இன் சக்தியாகும், மேலும் வெளிப்பாடு −2 3 (இதை −(2 3) என எழுதலாம்) 2 3 சக்தியின் மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கும். .

a^n வடிவத்தின் அடுக்கு n உடன் ஒரு எண்ணின் சக்திக்கு ஒரு குறியீடாக இருப்பதைக் கவனியுங்கள். மேலும், n என்பது பல மதிப்புள்ள இயற்கை எண்ணாக இருந்தால், அடுக்கு அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, 4^9 என்பது 4 9 இன் சக்திக்கான மற்றொரு குறியீடாகும். "^" குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி டிகிரி எழுதுவதற்கான இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே: 14^(21) , (−2,1)^(155) . பின்வருவனவற்றில், a n படிவத்தின் பட்டப்படிப்பை முதன்மையாகப் பயன்படுத்துவோம்.

ஒரு இயற்கை அடுக்குடன் ஒரு சக்தியை உயர்த்துவதற்கு நேர்மாறான சிக்கல்களில் ஒன்று, சக்தியின் அறியப்பட்ட மதிப்பு மற்றும் அறியப்பட்ட அடுக்கு ஆகியவற்றிலிருந்து ஒரு சக்தியின் அடித்தளத்தைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல் ஆகும். இந்த பணி வழிவகுக்கிறது.

பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பு முழு எண்கள் மற்றும் பின்னங்களைக் கொண்டுள்ளது என்பது அறியப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு பின்ன எண்ணையும் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாகக் குறிப்பிடலாம். பொதுவான பின்னம். முந்தைய பத்தியில் ஒரு முழு எண் அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தை வரையறுத்துள்ளோம், எனவே, ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தின் வரையறையை முடிக்க, நாம் ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு m/n உடன் எண்ணின் சக்திக்கு அர்த்தம் கொடுக்க வேண்டும். m ஒரு முழு எண் மற்றும் n என்பது ஒரு இயற்கை எண். இதைச் செய்வோம்.

படிவத்தின் ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தை கருத்தில் கொள்வோம். அதிகாரம்-அதிகார சொத்து செல்லுபடியாக இருக்க, சமத்துவம் இருக்க வேண்டும் . இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவத்தையும் நாம் எவ்வாறு தீர்மானித்தோம் என்பதையும் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், அதை ஏற்றுக்கொள்வது தர்க்கரீதியானது, m, n மற்றும் a கொடுக்கப்பட்டால், வெளிப்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.

முழு எண் அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் அனைத்து பண்புகளுக்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது (இது பகுத்தறிவு அடுக்குடன் கூடிய பட்டத்தின் பிரிவு பண்புகளில் செய்யப்பட்டது).

மேலே உள்ள பகுத்தறிவு பின்வருவனவற்றைச் செய்ய அனுமதிக்கிறது முடிவு: m, n மற்றும் a வெளிப்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருந்தால், m/n என்ற பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட a இன் சக்தி, m இன் சக்திக்கு a இன் nth வேர் எனப்படும்.

இந்த அறிக்கை ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் கூடிய பட்டத்தின் வரையறைக்கு நம்மை நெருங்குகிறது. m, n மற்றும் a வெளிப்பாடு என்ன என்பதை விவரிப்பது மட்டுமே மீதமுள்ளது. m, n மற்றும் a ஆகியவற்றில் வைக்கப்பட்டுள்ள கட்டுப்பாடுகளைப் பொறுத்து, இரண்டு முக்கிய அணுகுமுறைகள் உள்ளன.

நேர்மறை m க்கு a≥0 மற்றும் எதிர்மறை m க்கு a>0 (m≤0 க்கு m இன் டிகிரி 0 வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால்) a க்கு ஒரு தடையை விதிப்பதே எளிதான வழி. ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் பின்வரும் வரையறையைப் பெறுகிறோம்.

வரையறை.

பகுதியளவு அடுக்கு m/n உடன் நேர்மறை எண்ணின் சக்தி, m என்பது ஒரு முழு எண் மற்றும் n என்பது ஒரு இயற்கை எண் ஆகும், இது ஒரு எண்ணின் n வது ரூட் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது, .

குறிகாட்டி நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும் என்ற ஒரே எச்சரிக்கையுடன் பூஜ்ஜியத்தின் பகுதியளவு சக்தியும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

வரையறை.

பகுதி நேர்மறை அடுக்கு m/n உடன் பூஜ்ஜியத்தின் சக்தி, m என்பது நேர்மறை முழு எண் மற்றும் n என்பது இயற்கை எண்ணாக வரையறுக்கப்படுகிறது .
பட்டம் தீர்மானிக்கப்படாத போது, ​​அதாவது, பின்னம் எதிர்மறை அடுக்குடன் கூடிய பூஜ்ஜிய எண்ணின் அளவு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்காது.

ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் கூடிய பட்டத்தின் இந்த வரையறையுடன், ஒரு எச்சரிக்கை உள்ளது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்: சில எதிர்மறையான a மற்றும் சில m மற்றும் n க்கு, வெளிப்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் a≥0 என்ற நிபந்தனையை அறிமுகப்படுத்தி இந்த நிகழ்வுகளை நிராகரித்தோம். உதாரணமாக, உள்ளீடுகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் அல்லது, மற்றும் மேலே கொடுக்கப்பட்ட வரையறை, வடிவத்தின் ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் சக்திகள் என்று கூறுவதற்கு நம்மைத் தூண்டுகிறது அர்த்தம் இல்லை, ஏனெனில் அடிப்படை எதிர்மறையாக இருக்கக்கூடாது.

ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு m/n உடன் பட்டத்தை நிர்ணயிப்பதற்கான மற்றொரு அணுகுமுறை, மூலத்தின் இரட்டை மற்றும் ஒற்றைப்படை அடுக்குகளை தனித்தனியாகக் கருதுவதாகும். இந்த அணுகுமுறைக்கு ஒரு கூடுதல் நிபந்தனை தேவைப்படுகிறது: எண்ணின் சக்தி, அதன் அடுக்கு , எண்ணின் சக்தியாகக் கருதப்படுகிறது, இதன் அதிவேகமானது தொடர்புடைய குறைக்க முடியாத பின்னம் (இந்த நிலையின் முக்கியத்துவத்தை கீழே விளக்குவோம். ) அதாவது, m/n என்பது குறைக்க முடியாத பின்னமாக இருந்தால், எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் k பட்டம் முதலில் மாற்றப்படும்.

n மற்றும் நேர்மறை m க்கு கூட, எந்த எதிர்மில்லாத a (எதிர்மறை எண்ணின் சம மூலமும் அர்த்தமல்ல, a என்ற எண் இன்னும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டிருக்க வேண்டும்) (இல்லையெனில் பிரிவு இருக்கும்) பூஜ்ஜியத்தால்). ஒற்றைப்படை n மற்றும் நேர்மறை m க்கு, a எண் ஏதேனும் இருக்கலாம் (ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் வேர் எந்த உண்மையான எண்ணுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது), மற்றும் எதிர்மறை m க்கு, எண் பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும் (இதனால் எந்த வகுபாடும் இல்லை பூஜ்யம்).

மேலே உள்ள பகுத்தறிவு ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் இந்த வரையறைக்கு நம்மை இட்டுச் செல்கிறது.

வரையறை.

m/n ஒரு குறைக்க முடியாத பின்னமாகவும், m ஒரு முழு எண்ணாகவும், n ஒரு இயற்கை எண்ணாகவும் இருக்கட்டும். குறைக்கக்கூடிய எந்தப் பகுதிக்கும், பட்டம் ஆல் மாற்றப்படுகிறது. குறைக்க முடியாத பின்னம் அடுக்கு m/n கொண்ட எண்ணின் சக்தி



குறைக்கக்கூடிய பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட பட்டம் ஏன் குறைக்க முடியாத அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தால் மாற்றப்படுகிறது என்பதை விளக்குவோம். பட்டப்படிப்பை நாம் எளிமையாக வரையறுத்து, m/n என்ற பின்னத்தின் குறைப்புத் தன்மையைப் பற்றி முன்பதிவு செய்யவில்லை என்றால், பின்வருவனவற்றைப் போன்ற சூழ்நிலைகளை நாம் சந்திக்க நேரிடும்: 6/10 = 3/5 என்பதால், சமத்துவம் இருக்க வேண்டும். , ஆனால் , ஏ.

உயிரியலில் தகவல் ஏற்றம் - பெட்ரி உணவில் உள்ள நுண்ணுயிரிகளின் காலனிகள் ஆஸ்திரேலியாவில் முயல்கள் சங்கிலி எதிர்வினைகள் - இயற்பியலில் - கதிரியக்கச் சிதைவு, உயரத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்துடன் வளிமண்டல அழுத்தத்தில் மாற்றம், இயற்பியலில் - கதிரியக்கச் சிதைவு, வளிமண்டலத்தில் மாற்றம் உயரத்தில் மாற்றத்துடன் அழுத்தம், உடலின் குளிர்ச்சி. இரத்தத்தில் அட்ரினலின் வெளியீடு மற்றும் அதன் அழிவு ஒவ்வொரு 10 வருடங்களுக்கும் தகவல்களின் அளவு இரட்டிப்பாகிறது என்றும் அவர்கள் கூறுகின்றனர்.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5

வெளிப்பாடு 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1.7 1.73; 1.732;1.73205; 1,;... வரிசை அதிகரிக்கிறது 2 1 ; 2 1.7; 2 1.73;2 1.732; 2 1.73205; 2 1, ;... வரிசையானது எல்லையை அதிகரிக்கிறது, அதாவது அது ஒரு வரம்பிற்கு இணைகிறது - மதிப்பு 2 3

ஒருவர் π 0 ஐ வரையறுக்கலாம்

10 10 18 y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title=" y = a x n \ n a >10 21 செயல்பாட்டின் பண்புகள்

எருது அச்சில் ஒவ்வொரு 10 வருடங்களுக்கும் தகவலின் அளவு இரட்டிப்பாகிறது - எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதியின்படி: 1,2,3,4…. ஓய் அச்சில் - சட்டத்தின் படி வடிவியல் முன்னேற்றம்: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடம், இது ஒரு அடுக்கு என அழைக்கப்படுகிறது (லத்தீன் எக்ஸ்போனரில் இருந்து - காட்ட)

எண்ணின் சக்தி தீர்மானிக்கப்பட்ட பிறகு, அதைப் பற்றி பேசுவது தர்க்கரீதியானது பட்டம் பண்புகள். இந்த கட்டுரையில், சாத்தியமான அனைத்து அடுக்குகளையும் தொடும் போது, ​​எண்ணின் சக்தியின் அடிப்படை பண்புகளை வழங்குவோம். டிகிரிகளின் அனைத்து பண்புகளின் சான்றுகளையும் இங்கே வழங்குவோம், மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது இந்த பண்புகள் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதையும் காண்பிப்போம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

இயற்கை அடுக்குகளுடன் கூடிய பட்டங்களின் பண்புகள்

இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய சக்தியின் வரையறையின்படி, சக்தி a n என்பது n காரணிகளின் விளைபொருளாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் a க்கு சமம். இந்த வரையறையின் அடிப்படையில், மேலும் பயன்படுத்தவும் உண்மையான எண்களின் பெருக்கத்தின் பண்புகள், பின்வருவனவற்றை நாம் பெற்று நியாயப்படுத்தலாம் இயற்கை அடுக்குடன் பட்டத்தின் பண்புகள்:

1. ஒரு m ·a n = a m+n என்ற பட்டத்தின் முக்கிய சொத்து, அதன் பொதுமைப்படுத்தல்;
2. பங்கு அதிகாரங்களின் சொத்து அதே அடிப்படையில் a m:a n = a m−n ;
3. தயாரிப்பு சக்தி பண்பு (a·b) n =a n ·b n, அதன் நீட்டிப்பு;
4. இயற்கை அளவு (a:b) n =a n:b n
5. ஒரு பட்டத்தை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது (a m) n =a m·n, அதன் பொதுமைப்படுத்தல் (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. பட்டத்தை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுதல்:
   • a>0 எனில், எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் n>0;
   • a=0 என்றால், a n =0;
   • ஒரு என்றால்<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 என்றால் a<0 и показатель степени есть ஒற்றைப்படை எண் 2 m−1 , பின்னர் a 2 m−1<0 ;
7. a மற்றும் b நேர்மறை எண்கள் மற்றும் a
8. m மற்றும் n என்பது m>n போன்ற இயற்கை எண்கள் என்றால், 0 இல் 0 சமத்துவமின்மை a m >a n உண்மை.

எழுதப்பட்ட அனைத்து சமத்துவங்களும் உள்ளன என்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம் ஒரே மாதிரியானகுறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு, அவற்றின் வலது மற்றும் இடது பாகங்கள் இரண்டையும் மாற்றிக்கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, a m ·a n =a m+n உடன் பின்னத்தின் முக்கிய பண்பு எளிமைப்படுத்தும் வெளிப்பாடுகள்பெரும்பாலும் a m+n =a m ·a n வடிவத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இப்போது அவை ஒவ்வொன்றையும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

இரண்டு சக்திகளின் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்ட பொருளின் பண்புடன் ஆரம்பிக்கலாம், இது அழைக்கப்படுகிறது பட்டத்தின் முக்கிய சொத்து: எந்த ஒரு உண்மையான எண் மற்றும் எந்த இயற்கை எண்களான m மற்றும் n க்கும், a m ·a n =a m+n என்பது உண்மை.

பட்டத்தின் முக்கிய சொத்தை நிரூபிப்போம். இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய சக்தியின் வரையறையின்படி, m ·a n வடிவத்தின் அதே தளங்களைக் கொண்ட சக்திகளின் பெருக்கத்தை ஒரு விளைபொருளாக எழுதலாம். பெருக்கத்தின் பண்புகள் காரணமாக, விளைவான வெளிப்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம் , மற்றும் இந்த தயாரிப்பு ஒரு இயற்கை அடுக்கு m+n, அதாவது ஒரு m+n கொண்ட எண்ணின் சக்தி. இது ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது.

பட்டத்தின் முக்கிய சொத்தை உறுதிப்படுத்தும் ஒரு உதாரணம் தருவோம். அதே அடிப்படைகள் 2 மற்றும் இயற்கை சக்திகள் 2 மற்றும் 3 உடன் டிகிரிகளை எடுத்துக்கொள்வோம், டிகிரிகளின் அடிப்படை பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சமத்துவம் 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 ஐ எழுதலாம். 2 2 · 2 3 மற்றும் 2 5 வெளிப்பாடுகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் அதன் செல்லுபடியை சரிபார்க்கலாம். எக்ஸ்போனென்ஷியேஷன் செய்கிறோம், எங்களிடம் உள்ளது 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32மற்றும் 2 5 =2·2·2·2·2=32, சம மதிப்புகள் பெறப்பட்டதால், சமத்துவம் 2 2 ·2 3 =2 5 சரியாக இருக்கும், மேலும் இது பட்டத்தின் முக்கிய சொத்தை உறுதிப்படுத்துகிறது.

ஒரு பட்டத்தின் அடிப்படைப் பண்பு, பெருக்கத்தின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது, அதே அடிப்படைகள் மற்றும் இயற்கை அடுக்குகளைக் கொண்ட மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சக்திகளின் தயாரிப்புக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். எனவே இயல் எண்கள் n 1, n 2, ..., n k இன் எந்த எண் k க்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

உதாரணமாக, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

இயற்கையான அடுக்குடன் சக்திகளின் அடுத்த சொத்துக்கு நாம் செல்லலாம் - அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட பங்கு அதிகாரங்களின் சொத்து: எந்த பூஜ்ஜியமற்ற உண்மையான எண் a மற்றும் தன்னிச்சையான இயற்கை எண்களான m மற்றும் n நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் m>n, சமத்துவம் a m:a n =a m−n.

இந்தச் சொத்தின் ஆதாரத்தை முன்வைப்பதற்கு முன், உருவாக்கத்தில் உள்ள கூடுதல் நிபந்தனைகளின் பொருளைப் பற்றி விவாதிப்போம். பூஜ்ஜியத்தால் வகுபடுவதைத் தவிர்க்க a≠0 நிபந்தனை அவசியம், 0 n =0 என்பதால், வகுத்தல் பற்றி நாம் அறிந்தபோது, ​​பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது என்று ஒப்புக்கொண்டோம். நிபந்தனை m>n அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அதனால் நாம் இயற்கை அடுக்குகளுக்கு அப்பால் செல்லக்கூடாது. உண்மையில், m>n அடுக்குக்கு ஒரு m−n என்பது ஒரு இயற்கை எண்ணாகும், இல்லையெனில் அது பூஜ்ஜியமாக (m−n க்கு நிகழும்) அல்லது எதிர்மறை எண்ணாக (m க்கு நிகழும்)

ஆதாரம். ஒரு பகுதியின் முக்கிய சொத்து சமத்துவத்தை எழுத அனுமதிக்கிறது a m−n ·a n =a (m−n)+n = a m. இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவத்திலிருந்து ஒரு m−n ·a n =a m மற்றும் ஒரு m−n என்பது a m மற்றும் a n ஆகிய சக்திகளின் ஒரு விகுதியாகும். இது ஒரே மாதிரியான அடிப்படைகளைக் கொண்ட பங்கு சக்திகளின் சொத்துக்களை நிரூபிக்கிறது.

ஒரு உதாரணம் தருவோம். இரண்டு டிகிரிகளை ஒரே அடிப்படையான π மற்றும் இயற்கை அடுக்குகள் 5 மற்றும் 2 உடன் எடுத்துக் கொள்வோம், சமத்துவம் π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 என்பது பட்டத்தின் கருதப்படும் பண்புக்கு ஒத்திருக்கிறது.

இப்போது கருத்தில் கொள்வோம் தயாரிப்பு சக்தி சொத்து: எந்த இரண்டு நிஜ எண்களான a மற்றும் b இன் பெருக்கத்தின் இயற்கையான சக்தி n என்பது a n மற்றும் b n ஆகிய சக்திகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம், அதாவது (a·b) n =a n ·b n .

உண்மையில், இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய பட்டத்தின் வரையறையின்படி நம்மிடம் உள்ளது . பெருக்கத்தின் பண்புகளின் அடிப்படையில், கடைசி தயாரிப்பு என மீண்டும் எழுதலாம் , இது ஒரு n · b n க்கு சமம்.

இங்கே ஒரு உதாரணம்: .

இந்த பண்பு மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளின் விளைபொருளின் சக்திக்கு நீண்டுள்ளது. அதாவது, கே காரணிகளின் விளைபொருளின் இயற்கையான பட்டம் n இன் பண்பு என எழுதப்பட்டுள்ளது (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

தெளிவுக்காக, இந்த சொத்தை ஒரு உதாரணத்துடன் காண்பிப்போம். 7-ன் சக்திக்கு மூன்று காரணிகளின் பெருக்கத்திற்கு நம்மிடம் உள்ளது.

பின்வரும் சொத்து உள்ளது வகையான ஒரு பங்குதாரர் சொத்து: நிஜ எண்கள் a மற்றும் b, b≠0 க்கு இயற்க்கை சக்தி n என்பது a n மற்றும் b n ஆகிய அதிகாரங்களின் பகுதிக்கு சமம், அதாவது (a:b) n =a n:b n.

முந்தைய சொத்தைப் பயன்படுத்தி ஆதாரத்தை மேற்கொள்ளலாம். எனவே (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, மற்றும் சமத்துவம் (a:b) n ·b n =a n என்பதிலிருந்து (a:b) n என்பது b n ஆல் வகுக்கப்படும் ஒரு n இன் விகிதமாகும்.

குறிப்பிட்ட எண்களை உதாரணமாகப் பயன்படுத்தி இந்த சொத்தை எழுதுவோம்: .

இப்போது குரல் கொடுப்போம் ஒரு சக்தியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும் சொத்து: எந்த ஒரு உண்மையான எண் மற்றும் எந்த இயற்கை எண்களான m மற்றும் n க்கும், n இன் சக்திக்கு ஒரு m இன் சக்தியானது, m·n என்ற அடுக்குடன் கூடிய எண்ணின் சக்திக்கு சமம், அதாவது (a m) n =a m·n.

எடுத்துக்காட்டாக, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

பவர்-டு-டிகிரி சொத்துக்கான ஆதாரம் பின்வரும் சமத்துவங்களின் சங்கிலி: .

கருதப்படும் சொத்தை பட்டம் முதல் பட்டம் வரை நீட்டிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, எந்த இயற்கை எண்களுக்கும் p, q, r மற்றும் s, சமத்துவம் . அதிக தெளிவுக்காக, குறிப்பிட்ட எண்களுடன் ஒரு எடுத்துக்காட்டு இங்கே: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

டிகிரிகளை இயற்கையான அடுக்குடன் ஒப்பிடும் பண்புகளில் இது தங்கியிருக்கிறது.

பூஜ்ஜியத்தையும் சக்தியையும் இயற்கையான அடுக்குடன் ஒப்பிடும் பண்புகளை நிரூபிப்பதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம்.

முதலில், எந்த a>0க்கும் n >0 என்பதை நிரூபிப்போம்.

இரண்டு நேர்மறை எண்களின் பெருக்கல் ஒரு நேர்மறை எண், பெருக்கல் வரையறையில் இருந்து பின்வருமாறு. இந்த உண்மையும், பெருக்கத்தின் பண்புகளும், நேர்மறை எண்களை எந்த எண்ணைப் பெருக்கினாலும் அது நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும் என்று கூறுகின்றன. மற்றும் இயற்கை அடுக்கு n உடன் ஒரு எண்ணின் சக்தி, வரையறையின்படி, n காரணிகளின் பெருக்கமாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் a க்கு சமம். இந்த வாதங்கள் எந்த ஒரு நேர்மறை அடித்தளத்திற்கும், டிகிரி a n ஒரு நேர்மறை எண் என்று கூற அனுமதிக்கிறது. நிரூபிக்கப்பட்ட சொத்து காரணமாக 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 மற்றும் .

a=0 உடன் எந்த நேர்மறை முழு எண் n க்கும் ஒரு n இன் பட்டம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது. உண்மையில், 0 n =0·0·…·0=0 . எடுத்துக்காட்டாக, 0 3 =0 மற்றும் 0 762 =0.

பட்டத்தின் எதிர்மறை அடிப்படைகளுக்கு செல்லலாம்.

அடுக்கு இரட்டை எண்ணாக இருக்கும் போது வழக்கிலிருந்து தொடங்குவோம், அதை 2·m எனக் குறிப்பிடுவோம், இங்கு m என்பது இயற்கை எண்ணாகும். பிறகு . படிவத்தின் ஒவ்வொரு தயாரிப்புக்கும் a·a என்பது a மற்றும் a எண்களின் மாடுலியின் பெருக்கத்திற்கு சமம், அதாவது இது ஒரு நேர்மறை எண். எனவே, தயாரிப்பு நேர்மறையானதாக இருக்கும் மற்றும் பட்டம் a 2·m. எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 மற்றும் .

இறுதியாக, அடிப்படை a எதிர்மறை எண்ணாகவும், அடுக்கு ஒற்றைப்படை எண் 2 m−1 ஆகவும் இருக்கும் போது . அனைத்து தயாரிப்புகளும் a·a நேர்மறை எண்கள், இந்த நேர்மறை எண்களின் பெருக்கமும் நேர்மறை மற்றும் மீதமுள்ளவற்றால் அதன் பெருக்கல் எதிர்மறை எண்எதிர்மறை எண்ணில் முடிவு. இந்த சொத்து காரணமாக (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

பின்வரும் சூத்திரத்தைக் கொண்ட அதே இயற்கை அடுக்குகளுடன் சக்திகளை ஒப்பிடும் பண்புக்கு செல்வோம்: ஒரே இயற்கை அடுக்குகளைக் கொண்ட இரண்டு சக்திகளில், n என்பது அதன் அடித்தளத்தை விட சிறியது மற்றும் பெரியது அதன் அடித்தளத்தை விட பெரியது. . நிரூபிப்போம்.

சமத்துவமின்மை a n ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகள் a n வடிவத்தின் நிரூபிக்கக்கூடிய சமத்துவமின்மையும் உண்மை .

பட்டியலிடப்பட்ட சக்திகளின் கடைசி பண்புகளை இயற்கையான அடுக்குகளுடன் நிரூபிக்க இது உள்ளது. அதை முறைப்படுத்துவோம். இயற்கை அடுக்குகள் மற்றும் ஒரே மாதிரியான நேர்மறை அடிப்படைகள் கொண்ட இரண்டு சக்திகளில் ஒன்றுக்குக் குறைவானது, அதன் அடுக்கு சிறியது பெரியது; மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட இயற்கை அடுக்குகள் மற்றும் ஒரே மாதிரியான தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு சக்திகளில், அதன் அடுக்கு பெரியது. இந்தச் சொத்தின் ஆதாரத்திற்குச் செல்வோம்.

m>n மற்றும் 0 க்கு என்பதை நிரூபிப்போம் ஆரம்ப நிலை m>n காரணமாக 0, அதாவது 0 இல்

சொத்தின் இரண்டாவது பகுதியை நிரூபிக்க இது உள்ளது. m>n மற்றும் a>1 a m >a n க்கு உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம். அடைப்புக்குறிக்குள் n ஐ எடுத்த பிறகு ஒரு m -a n வேறுபாடு a n ·(a m−n -1) வடிவத்தை எடுக்கும். இந்த தயாரிப்பு நேர்மறையாக உள்ளது, ஏனெனில் a>1க்கு ஒரு n என்பது நேர்மறை எண்ணாகும், மேலும் ஒரு m−n -1 என்பது நேர்மறை எண்ணாகும், ஏனெனில் ஆரம்ப நிலையின் காரணமாக m−n>0 மற்றும் a>1க்கு பட்டம் ஒரு m−n ஒன்று விட பெரியது. இதன் விளைவாக, ஒரு m -a n >0 மற்றும் a m >a n , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும். இந்த சொத்து சமத்துவமின்மை 3 7 >3 2 மூலம் விளக்கப்படுகிறது.

முழு எண் அடுக்குகளுடன் கூடிய அதிகாரங்களின் பண்புகள்

நேர்மறை முழு எண்கள் இயற்கை எண்கள் என்பதால், நேர்மறை முழு எண் அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் அனைத்து பண்புகளும் முந்தைய பத்தியில் பட்டியலிடப்பட்ட மற்றும் நிரூபிக்கப்பட்ட இயற்கை அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் பண்புகளுடன் சரியாக ஒத்துப்போகின்றன.

ஒரு முழு எண் எதிர்மறை அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தையும், அதே போல் பூஜ்ஜிய அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தையும் வரையறுத்துள்ளோம், இயற்கையான அடுக்குகளுடன் கூடிய டிகிரிகளின் அனைத்து பண்புகளும், சமத்துவத்தால் வெளிப்படுத்தப்படும், செல்லுபடியாகும் வகையில் இருக்கும். எனவே, இந்த பண்புகள் அனைத்தும் பூஜ்ஜிய அடுக்குகள் மற்றும் எதிர்மறை அடுக்குகள் இரண்டிற்கும் செல்லுபடியாகும், அதே நேரத்தில், சக்திகளின் அடிப்படைகள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டவை.

எனவே, உண்மையான மற்றும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்கள் a மற்றும் b, அத்துடன் m மற்றும் n ஆகிய எந்த முழு எண்களுக்கும், பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும்: முழு எண் அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் பண்புகள்:

1. ஒரு m ·a n = a m+n ;
2. a m:a n = a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m·n ;
6. n நேர்மறை முழு எண்ணாக இருந்தால், a மற்றும் b நேர்மறை எண்கள், மற்றும் a b−n ;
7. m மற்றும் n முழு எண்கள் மற்றும் m>n என்றால் 0 இல் 1 சமத்துவமின்மை a m >a n கொண்டுள்ளது.

a=0 போது, ​​m மற்றும் n ஆகிய இரண்டும் நேர்மறை முழு எண்களாக இருக்கும் போது மட்டுமே, a m மற்றும் a n ஆகிய சக்திகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும், அதாவது இயற்கை எண்கள். எனவே, இப்போது எழுதப்பட்ட பண்புகள் a=0 மற்றும் m மற்றும் n எண்கள் நேர்மறை முழு எண்களாக இருக்கும் நிகழ்வுகளுக்கும் செல்லுபடியாகும்.

இந்த பண்புகள் ஒவ்வொன்றையும் நிரூபிப்பது கடினம் அல்ல, இயற்கை மற்றும் முழு எண் அடுக்குகளுடன் டிகிரிகளின் வரையறைகளையும், உண்மையான எண்களுடன் செயல்பாடுகளின் பண்புகளையும் பயன்படுத்தினால் போதும். உதாரணமாக, பவர்-டு-பவர் சொத்து நேர்மறை முழு எண்கள் மற்றும் நேர்மறை அல்லாத முழு எண்கள் இரண்டையும் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிப்போம். இதைச் செய்ய, p பூஜ்ஜியம் அல்லது இயற்கை எண் மற்றும் q என்பது பூஜ்ஜியம் அல்லது இயற்கை எண் என்றால், சமத்துவங்கள் (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (-p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) மற்றும் (a -p) −q =a (−p)·(−q). இதைச் செய்வோம்.

நேர்மறை p மற்றும் q க்கு, சமத்துவம் (a p) q =a p·q முந்தைய பத்தியில் நிரூபிக்கப்பட்டது. p=0 எனில், நம்மிடம் (a 0) q =1 q =1 மற்றும் a 0·q =a 0 =1, எங்கிருந்து (a 0) q =a 0·q. இதேபோல், q=0 என்றால், (a p) 0 =1 மற்றும் a p·0 =a 0 =1, எங்கிருந்து (a p) 0 =a p·0. p=0 மற்றும் q=0 ஆகிய இரண்டும் இருந்தால், (a 0) 0 =1 0 =1 மற்றும் a 0·0 =a 0 =1, எங்கிருந்து (a 0) 0 =a 0·0.

இப்போது நாம் (a -p) q =a (-p)·q என்பதை நிரூபிக்கிறோம். எதிர்மறை முழு எண் அடுக்கு கொண்ட சக்தியின் வரையறையின்படி . நமக்கு இருக்கும் அதிகாரங்களுக்கு பங்குகளின் சொத்து மூலம் . 1 p =1·1·…·1=1 மற்றும் , பின்னர் . கடைசி வெளிப்பாடு, வரையறையின்படி, a −(p·q) வடிவத்தின் சக்தியாகும், இது பெருக்கல் விதிகளின் காரணமாக (−p)·q என எழுதப்படலாம்.

அதேபோல் .

மற்றும் .

அதே கொள்கையைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் ஒரு பட்டத்தின் மற்ற எல்லா பண்புகளையும் ஒரு முழு எண் அடுக்குடன் நிரூபிக்க முடியும்.

பதிவுசெய்யப்பட்ட பண்புகளின் இறுதிக் கட்டத்தில், சமத்துவமின்மையின் நிரூபணமான a -n >b -n, எந்த எதிர்மறை முழு எண் −n மற்றும் எந்த நேர்மறை a மற்றும் b நிபந்தனைக்கு திருப்தி அளிக்கும் என்பதற்கும் செல்லுபடியாகும். . நிபந்தனையின்படி ஏ 0 . a n · b n ஆனது நேர்மறை எண்களான a n மற்றும் b n ஆகியவற்றின் பெருக்கமாகவும் நேர்மறையாக இருக்கும். பின்னர் விளைந்த பின்னம் நேர்மறை எண்களான b n -a n மற்றும் a n ·b n ஆகியவற்றின் புள்ளியாக நேர்மறையாக இருக்கும். எனவே, எங்கிருந்து a −n >b -n , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

முழு எண் அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் கடைசி சொத்து, இயற்கை அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் ஒத்த பண்புகளைப் போலவே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பகுத்தறிவு அடுக்குகளுடன் கூடிய அதிகாரங்களின் பண்புகள்

ஒரு பட்டத்தின் பண்புகளை முழு எண் அடுக்குடன் விரிவாக்குவதன் மூலம் ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தை வரையறுத்தோம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பகுதியளவு அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகள் முழு எண் அடுக்குகளுடன் கூடிய அதே பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. அதாவது:

பகுதியளவு அடுக்குகளுடன் கூடிய டிகிரிகளின் பண்புகளின் ஆதாரம் ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் வரையறையின் அடிப்படையிலும், ஒரு முழு எண் அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் பண்புகளின் அடிப்படையிலும் உள்ளது. ஆதாரம் தருவோம்.

பின்னம் கொண்ட ஒரு சக்தியின் வரையறை மற்றும் , பின்னர் . எண்கணித மூலத்தின் பண்புகள் பின்வரும் சமத்துவங்களை எழுத அனுமதிக்கின்றன. மேலும், ஒரு முழு எண் அடுக்கு கொண்ட பட்டத்தின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம் , மற்றும் பெறப்பட்ட பட்டத்தின் குறிகாட்டியை பின்வருமாறு மாற்றலாம்: . இது ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது.

பகுதியளவு அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் இரண்டாவது சொத்து முற்றிலும் ஒத்த வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது:

மீதமுள்ள சமத்துவங்கள் இதே போன்ற கொள்கைகளைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்படுகின்றன:

அடுத்த சொத்தை நிருபிக்க போகலாம். எந்த நேர்மறை a மற்றும் b, a என்பதை நிரூபிப்போம் பி ப. பகுத்தறிவு எண்ணை m/n என எழுதுவோம், இங்கு m என்பது முழு எண் மற்றும் n என்பது இயற்கை எண். நிபந்தனைகள் ப<0 и p>0 இந்த வழக்கில் நிபந்தனைகள் m<0 и m>அதன்படி 0. m>0 மற்றும் aக்கு

இதேபோல், எம்<0 имеем a m >b m , எங்கிருந்து, அதாவது, மற்றும் a p >b p .

பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகளில் கடைசியாக நிரூபிக்க இது உள்ளது. பகுத்தறிவு எண்களான p மற்றும் q, p>q என்பதை 0 இல் நிரூபிப்போம் 0 – சமத்துவமின்மை a p >a q . சாதாரண பின்னங்கள் மற்றும் , m 1 மற்றும் m 2 ஆகியவை முழு எண்களாக இருந்தாலும், n என்பது ஒரு இயற்கை எண்ணாக இருந்தாலும், பகுத்தறிவு எண்களான p மற்றும் q ஐ எப்போதும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைக்கலாம். இந்த வழக்கில், p>q நிபந்தனை m 1 >m 2 உடன் ஒத்திருக்கும், இது பின்வருபவை. பின்னர், சக்திகளை அதே அடிப்படைகள் மற்றும் 0 இல் உள்ள இயற்கை அடுக்குகளுடன் ஒப்பிடும் பண்பு மூலம் 1 - சமத்துவமின்மை a m 1 >a m 2 . வேர்களின் பண்புகளில் உள்ள இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை அதற்கேற்ப மாற்றி எழுதலாம் மற்றும் . மற்றும் ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தின் வரையறை நம்மை ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு செல்ல அனுமதிக்கிறது மற்றும் அதன்படி. இங்கிருந்து நாம் இறுதி முடிவுக்கு வருகிறோம்: p>q மற்றும் 0 க்கு 0 – சமத்துவமின்மை a p >a q .

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குகளைக் கொண்ட அதிகாரங்களின் பண்புகள்

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் ஒரு பட்டம் வரையறுக்கப்பட்ட விதத்திலிருந்து, அது பகுத்தறிவு அடுக்குகளுடன் கூடிய டிகிரிகளின் அனைத்து பண்புகளையும் கொண்டுள்ளது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். எனவே எந்த a>0, b>0 மற்றும் விகிதாசார எண்களான p மற்றும் q க்கு பின்வருபவை உண்மை பகுத்தறிவற்ற அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளின் பண்புகள்:

1. a p ·a q = a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் a மற்றும் b, a 0 சமத்துவமின்மை a p b p ;
7. விகிதாசார எண்களுக்கு p மற்றும் q, p>q 0 இல் 0 – சமத்துவமின்மை a p >a q .

இதிலிருந்து, a>0க்கான p மற்றும் q ஆகிய உண்மையான அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகள் ஒரே மாதிரியான பண்புகளைக் கொண்டிருப்பதாக நாம் முடிவு செய்யலாம்.

குறிப்புகள்.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5 ஆம் வகுப்புக்கான கணித பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்கள்.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., சுவோரோவா S.B. இயற்கணிதம்: 7 ஆம் வகுப்புக்கான பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்கள்.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., சுவோரோவா S.B. இயற்கணிதம்: 8 ஆம் வகுப்புக்கான பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்கள்.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., சுவோரோவா S.B. இயற்கணிதம்: 9 ஆம் வகுப்புக்கான பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்கள்.
• கோல்மோகோரோவ் ஏ.என்., அப்ரமோவ் ஏ.எம்., டட்னிட்சின் யூ.பி. மற்றும் பிற இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 10 - 11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல்.
• குசெவ் வி.ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு).

ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் பட்டம், அதன் பண்புகள்.

வெளிப்பாடு a n n≤0 க்கான a=0 தவிர, அனைத்து a மற்றும் n க்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. அத்தகைய சக்திகளின் பண்புகளை நினைவு கூர்வோம்.

எந்த எண்களுக்கும் a, b மற்றும் எந்த முழு எண்களுக்கும் m மற்றும் n சமன்கள் செல்லுபடியாகும்:

ஒரு m *a n = a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn ; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 = a; a 0 =1 (a≠0).

பின்வரும் பண்புகளையும் கவனியுங்கள்:

m>n எனில், a m >a n for a>1 மற்றும் a m<а n при 0<а<1.

இந்த பிரிவில், வகை 2 இன் வெளிப்பாடுகளுக்கு அர்த்தம் கொடுக்கும் எண்ணின் சக்திகளின் கருத்தை நாம் பொதுமைப்படுத்துவோம் 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 முதலியன. பகுத்தறிவு அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகள் ஒரு முழு எண் அடுக்கு கொண்ட சக்திகளைப் போலவே (அல்லது குறைந்தபட்சம் அவற்றின் ஒரு பகுதியையாவது) கொண்டிருக்கும் வகையில் ஒரு வரையறையை வழங்குவது இயற்கையானது. பின்னர், குறிப்பாக, எண்ணின் n வது சக்திa க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்மீ . உண்மையில், சொத்து என்றால்

(a p) q =a pq

பின்னர் செயல்படுத்தப்படுகிறது

கடைசி சமத்துவம் என்பது (nth மூலத்தின் வரையறையின்படி) அந்த எண்a இன் nவது வேராக இருக்க வேண்டும்மீ.

வரையறை.

ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்கு r= உடன் ஒரு எண்ணின் சக்தி a>0, இங்கு m ஒரு முழு எண் மற்றும் n என்பது ஒரு இயற்கை எண் (n > 1), எண்

எனவே, வரையறையின்படி

(1)

0 இன் சக்தி நேர்மறை அடுக்குகளுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது; வரையறையின்படி 0எந்த r>0க்கும் r = 0.

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம்.

விகிதாசார எண்வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்பகுத்தறிவு எண்களின் வரிசையின் வரம்பு: .

விடுங்கள் . பின்னர் ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் சக்திகள் உள்ளன. இந்த சக்திகளின் வரிசை ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது என்பதை நிரூபிக்க முடியும். இந்த வரிசையின் வரம்பு அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படை மற்றும் பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம்: .

நேர்மறை எண்ணை a சரிசெய்து ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் ஒதுக்குவோம். இவ்வாறு நாம் எண் சார்பு f(x) = a ஐப் பெறுகிறோம் x , பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பு Q இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் முன்னர் பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. போது a=1 செயல்பாடு f(x) = a x 1 முதல் நிலையானது x எந்த பகுத்தறிவு xக்கும் =1.

y = 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் பல புள்ளிகளைத் திட்டமிடுவோம் x முன்பு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி மதிப்பு 2 ஐக் கணக்கிட்டது x பிரிவில் [—2; 3] 1/4 படி (படம் 1, a), பின்னர் 1/8 ஒரு படி (படம். 1, b) 1/16, 1/32 படிகளுடன் அதே கட்டுமானங்களைத் தொடர்கிறது. முதலியன. இதன் விளைவாக வரும் புள்ளிகளை ஒரு மென்மையான வளைவு மூலம் இணைக்க முடியும் என்பதைக் காண்கிறோம், இது இயற்கையாகவே சில செயல்பாட்டின் வரைபடமாகக் கருதப்படலாம், முழு எண் கோட்டுடன் வரையறுக்கப்பட்டு அதிகரிக்கும் மற்றும் மதிப்புகளை எடுக்கும்.பகுத்தறிவு புள்ளிகளில்(படம் 1, c). செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் போதுமான எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளை உருவாக்கியது, இந்த செயல்பாடு ஒரே மாதிரியான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளலாம் (வேறுபாடு என்னவென்றால் செயல்பாடு R இல் குறைகிறது).

இந்த அவதானிப்புகள் எண்கள் 2 ஐ இவ்வாறு வரையறுக்கலாம் என்று கூறுகின்றனα மற்றும் ஒவ்வொரு பகுத்தறிவற்ற αக்கும், y=2 சூத்திரங்களால் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் x மற்றும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், மற்றும் செயல்பாடு y=2 x அதிகரிக்கிறது, மற்றும் செயல்பாடுமுழு எண் கோட்டிலும் குறைகிறது.

நாம் விவரிப்போம் பொதுவான அவுட்லைன், எண் எப்படி தீர்மானிக்கப்படுகிறது α a>1க்கு பகுத்தறிவற்ற α. செயல்பாடு y = a என்பதை உறுதிப்படுத்த விரும்புகிறோம் x அதிகரித்துக் கொண்டிருந்தது. பின்னர் எந்த பகுத்தறிவு ஆர் 1 மற்றும் r 2 போன்ற r 1<αஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் aஆர் 1<а α <а r 1 .

r மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது 1 மற்றும் ஆர் 2 x ஐ நெருங்கும்போது, ​​a இன் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இருப்பதை ஒருவர் கவனிக்கலாம் r 1 மற்றும் a r 2 கொஞ்சம் மாறுபடும். உள்ளது என்பதை நிரூபிக்க முடியும், ஒரே ஒரு எண் y, இது எல்லாவற்றையும் விட பெரியதுஆர் 1 அனைத்து பகுத்தறிவு ஆர் 1 மற்றும் குறைந்தது ஒரு ஆர் 2 அனைத்து பகுத்தறிவு ஆர் 2 . வரையறையின்படி இந்த எண் y என்பது a α .

எடுத்துக்காட்டாக, கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி மதிப்பு 2ஐக் கணக்கிடலாம் x புள்ளிகள் x n மற்றும் x` n, அங்கு x n மற்றும் x` n - எண்களின் தசம தோராயங்கள்நாம் நெருக்கமாக x என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் n மற்றும் x`n k , 2 குறைவாக வேறுபடுகின்றன x n மற்றும் 2 x` n .

அன்றிலிருந்து

எனவே,

இதேபோல், பின்வரும் தசம தோராயங்களைக் கருத்தில் கொண்டுகுறைபாடு மற்றும் அதிகப்படியான படி, நாங்கள் உறவுகளை அடைகிறோம்

;

;

;

;

.

பொருள் கால்குலேட்டரில் கணக்கிடப்படுகிறது:

.

எண் a இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது α 0க்கு<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 எந்த α மற்றும் 0α>0க்கு α =0.

அதிவேக செயல்பாடு.

மணிக்கு அ > 0, அ = 1, செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டது y = a x, மாறிலியிலிருந்து வேறுபட்டது. இந்த செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது அதிவேக செயல்பாடுஅடித்தளத்துடன்அ.

ஒய்=அ xமணிக்கு அ> 1:

அடிப்படை 0 உடன் அதிவேக சார்புகளின் வரைபடங்கள்< அ < 1 и அ> 1 படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

அதிவேக செயல்பாட்டின் அடிப்படை பண்புகள் ஒய்=அ x 0 இல்< அ < 1:

• ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் முழு எண் கோடு ஆகும்.
• செயல்பாட்டு வரம்பு - இடைவெளி (0; + ) .
• செயல்பாடு முழு எண் கோட்டிலும் கண்டிப்பாக சலிப்பான முறையில் அதிகரிக்கிறது, அதாவது என்றால் x 1 < x 2, பின்னர் ஒரு x 1 > ஒரு எக்ஸ் 2 .
• மணிக்கு x= 0 செயல்பாடு மதிப்பு 1.
• என்றால் x> 0, பின்னர் 0< அ < 1 மற்றும் என்றால் x < 0, то ஒரு x > 1.
TO பொது பண்புகள் 0 இல் உள்ள அதிவேக செயல்பாடு< a < 1, так и при a > 1 அடங்கும்:
• அ x 1 அ x 2 = அ x 1 + x 2, அனைவருக்கும் x 1 மற்றும் x 2.
• அ − x= ( அ x) − 1 = 1 அxயாருக்கும் x.
• nஅ x= அ