வழித்தோன்றல் கருத்து. §1. வழித்தோன்றலின் வரையறை

வடிவியல், இயக்கவியல், இயற்பியல் மற்றும் அறிவின் பிற கிளைகளின் பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​இந்த செயல்பாட்டிலிருந்து அதே பகுப்பாய்வு செயல்முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு தேவை எழுந்தது. y=f(x)என்ற புதிய செயல்பாட்டைப் பெறுங்கள் வழித்தோன்றல் செயல்பாடு(அல்லது வெறும் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் f(x)மற்றும் சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிலிருந்து செயல்முறை f(x)ஒரு புதிய அம்சத்தைப் பெறுங்கள் f" (x), அழைக்கப்பட்டது வேறுபாடுமேலும் இது பின்வரும் மூன்று படிகளைக் கொண்டுள்ளது: 1) வாதத்தைக் கொடுங்கள் xஅதிகரிப்பு  xமற்றும் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பை தீர்மானிக்கவும்  y = f(x+ x) -f(x);

2) உறவை உருவாக்குதல் x 3) எண்ணுதல்  xநிலையான மற்றும்
0, நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம் f" (x), நாம் குறிக்கும் x, விளைவாக செயல்பாடு மதிப்பை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது என்பதை வலியுறுத்துவது போல் , இதில் நாம் எல்லைக்கு செல்கிறோம்.: வரையறை வழித்தோன்றல் y " =f " (x) கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு y=f(x)கொடுக்கப்பட்ட xக்கு
வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, வாதத்தின் அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், நிச்சயமாக, இந்த வரம்பு இருந்தால், அதாவது. வரையறுக்கப்பட்ட.

இவ்வாறு, x, அல்லது சில மதிப்பு இருந்தால் என்பதை நினைவில் கொள்க, எடுத்துக்காட்டாக எப்போது
x=a  x, அணுகுமுறை மணிக்கு0 முனையவில்லை f(x)வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பு சில மதிப்பு இருந்தால் என்பதை நினைவில் கொள்க, பின்னர் இந்த விஷயத்தில் அவர்கள் செயல்பாடு என்று கூறுகிறார்கள் சில மதிப்பு இருந்தால் என்பதை நினைவில் கொள்கமணிக்கு சில மதிப்பு இருந்தால் என்பதை நினைவில் கொள்க.

(அல்லது புள்ளியில்

) வழித்தோன்றல் இல்லை அல்லது புள்ளியில் வேறுபடுத்த முடியாது

f(x)

2. வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்.

y = f (x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள், x 0 புள்ளிக்கு அருகில் வேறுபடலாம்

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் ஒரு தன்னிச்சையான நேர்கோடு கடந்து செல்வதைக் கருத்தில் கொள்வோம் - புள்ளி A(x 0, f (x 0)) மற்றும் வரைபடத்தை சில புள்ளியில் B(x;f(x)) வெட்டும். அத்தகைய வரி (AB) ஒரு செகண்ட் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ∆ABC இலிருந்து: AC = ∆x;

ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
ஏசி முதல் || எருது, பின்னர் ALO = BAC = β (இணையாக தொடர்புடையது). ஆனால் ALO என்பது ஆக்ஸ் அச்சின் நேர் திசைக்கு செகண்ட் AB இன் சாய்வின் கோணம். இதன் பொருள் tanβ = k என்பது AB நேர்கோட்டின் கோண குணகம்.
இப்போது நாம் ∆х ஐ குறைப்போம், அதாவது. ∆х→ 0. இந்த வழக்கில், புள்ளி B வரைபடத்தின்படி புள்ளி A ஐ அணுகும், மற்றும் AB ஆனது சுழலும். ∆x→ 0 இல் உள்ள செக்கன்ட் AB இன் வரம்பு நிலை ஒரு நேர் கோடாக (a), புள்ளி A இல் உள்ள y = f (x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
சமத்துவம் tgβ =∆y/∆x இல் ∆x → 0 என வரம்பிற்குச் சென்றால், நமக்குக் கிடைக்கும்

எனவே, வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள் பின்வருமாறு:

புள்ளி x இல் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் 0 abscissa x புள்ளியில் வரையப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சாய்வுக்கு சமம் 0 .

3. வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள்.

ஒரு நேர் கோட்டில் ஒரு புள்ளியின் இயக்கத்தைக் கவனியுங்கள். எந்த நேரத்திலும் ஒரு புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு x(t) கொடுக்கப்படட்டும். (இயற்பியல் பாடத்திலிருந்து) ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் சராசரி வேகம், இந்த காலகட்டத்தில் பயணித்த தூரத்தின் விகிதத்திற்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது, அதாவது.

வாவ் = ∆x/∆t. கடைசி சமத்துவத்தில் ∆t → 0 என வரம்புக்கு செல்வோம்.

lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 நேரத்தில் உடனடி வேகம்.

மற்றும் லிம் = ∆x/∆t = x"(t 0) (வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி).

எனவே, (t) =x"(t).

வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள் பின்வருமாறு: செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்ஒய் = f(x) புள்ளியில்x 0 செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதம்f(x) புள்ளியில்x 0

இந்த வழித்தோன்றல் இயற்பியலில் அறியப்பட்ட செயல்பாட்டின் ஆய மற்றும் நேரம், அறியப்பட்ட செயல்பாட்டின் வேகம் மற்றும் நேரம் ஆகியவற்றிலிருந்து வேகத்தைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்படுகிறது.

(t) = x"(t) - வேகம்,

a(f) = "(t) - முடுக்கம், அல்லது

ஒரு வட்டத்தில் உள்ள ஒரு பொருள் புள்ளியின் இயக்க விதி அறியப்பட்டால், சுழற்சி இயக்கத்தின் போது கோண வேகம் மற்றும் கோண முடுக்கம் ஆகியவற்றைக் காணலாம்:

φ = φ(t) - காலப்போக்கில் கோணத்தில் மாற்றம்,

ω = φ"(t) - கோண வேகம்,

ε = φ"(t) - கோண முடுக்கம், அல்லது ε = φ"(t).

ஒரு ஒத்திசைவற்ற கம்பியின் வெகுஜன விநியோக விதி அறியப்பட்டால், ஒத்திசைவற்ற கம்பியின் நேரியல் அடர்த்தியைக் காணலாம்:

m = m(x) - நிறை,

x  , l - தடியின் நீளம்,

p = m"(x) - நேரியல் அடர்த்தி.

வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி, நெகிழ்ச்சி மற்றும் இணக்கமான அதிர்வுகளின் கோட்பாட்டின் சிக்கல்கள் தீர்க்கப்படுகின்றன. எனவே, ஹூக்கின் சட்டத்தின்படி

F = -kx, x - மாறி ஒருங்கிணைப்பு, k - வசந்த நெகிழ்ச்சி குணகம். ω 2 =k/m ஐ வைத்து, நாம் வசந்த ஊசல் x"(t) + ω 2 x(t) = 0 இன் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்,

இதில் ω = √k/√m அலைவு அதிர்வெண் (l/c), k - வசந்த விறைப்பு (H/m).

y" + ω 2 y = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு ஹார்மோனிக் அலைவுகளின் சமன்பாடு (இயந்திர, மின், மின்காந்த) சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வு செயல்பாடு

y = Asin(ωt + φ 0) அல்லது y = Acos(ωt + φ 0), எங்கே

A - அலைவுகளின் வீச்சு, ω - சுழற்சி அதிர்வெண்,

φ 0 - ஆரம்ப கட்டம்.

முக்கிய குறிப்புகள்!
1. சூத்திரங்களுக்குப் பதிலாக gobbledygookஐப் பார்த்தால், உங்கள் தற்காலிக சேமிப்பை அழிக்கவும். உங்கள் உலாவியில் இதை எப்படி செய்வது என்பது இங்கே எழுதப்பட்டுள்ளது:
2. நீங்கள் கட்டுரையைப் படிக்கத் தொடங்குவதற்கு முன், மிகவும் பயனுள்ள ஆதாரங்களுக்கு எங்கள் நேவிகேட்டருக்கு கவனம் செலுத்துங்கள்

ஒரு மலைப்பாங்கான பகுதி வழியாக செல்லும் நேரான சாலையை கற்பனை செய்வோம். அதாவது, அது மேலும் கீழும் செல்கிறது, ஆனால் வலது அல்லது இடதுபுறம் திரும்பாது. அச்சு சாலையில் கிடைமட்டமாகவும் செங்குத்தாகவும் இயக்கப்பட்டால், சாலைக் கோடு சில தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கும்:

அச்சு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு பூஜ்ஜிய உயரம்; வாழ்க்கையில் நாம் கடல் மட்டத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

அத்தகைய பாதையில் நாம் முன்னேறும்போது, ​​​​நாமும் மேலே அல்லது கீழே செல்கிறோம். நாம் மேலும் கூறலாம்: வாதம் மாறும்போது (அப்சிஸ்ஸா அச்சில் இயக்கம்), செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறுகிறது (ஆர்டினேட் அச்சில் இயக்கம்). இப்போது நம் சாலையின் "செங்குத்தான தன்மையை" எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்று யோசிப்போம்? இது என்ன வகையான மதிப்பாக இருக்க முடியும்? இது மிகவும் எளிது: ஒரு குறிப்பிட்ட தூரம் முன்னோக்கி நகரும் போது உயரம் எவ்வளவு மாறும். உண்மையில், சாலையின் வெவ்வேறு பிரிவுகளில், ஒரு கிலோமீட்டர் முன்னோக்கி (x- அச்சில்) நகர்ந்தால், கடல் மட்டத்துடன் (y- அச்சில்) ஒப்பிடும்போது வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான மீட்டர்கள் உயரும் அல்லது விழும்.

முன்னேற்றத்தைக் குறிப்போம் ("டெல்டா x"ஐப் படிக்கவும்).

கிரேக்க எழுத்து (டெல்டா) பொதுவாக கணிதத்தில் "மாற்றம்" என்று பொருள்படும் முன்னொட்டாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதாவது, இது அளவு மாற்றம், - ஒரு மாற்றம்; பிறகு அது என்ன? அது சரி, அளவு மாற்றம்.

முக்கியமானது: ஒரு வெளிப்பாடு என்பது ஒரு முழு, ஒரு மாறி. "டெல்டா" ஐ "x" அல்லது வேறு எந்த எழுத்தில் இருந்து பிரிக்க வேண்டாம்!

அதாவது, உதாரணமாக, .

எனவே, நாங்கள் கிடைமட்டமாக முன்னேறிவிட்டோம். செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் சாலையின் கோட்டை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், உயர்வை எவ்வாறு குறிப்பிடுவது? நிச்சயமாக, . அதாவது, நாம் முன்னேறும்போது, ​​​​மேலும் உயருகிறோம்.

மதிப்பைக் கணக்கிடுவது எளிது: ஆரம்பத்தில் நாம் உயரத்தில் இருந்தால், நகர்ந்த பிறகு, நாம் உயரத்தில் இருப்பதைக் கண்டோம். தொடக்கப் புள்ளியை விட முடிவுப் புள்ளி குறைவாக இருந்தால், அது எதிர்மறையாக இருக்கும் - இதன் பொருள் நாம் ஏறவில்லை, ஆனால் இறங்குகிறோம்.

"செங்குத்தான நிலைக்கு" திரும்புவோம்: இது ஒரு யூனிட் தூரத்தை முன்னோக்கி நகர்த்தும்போது உயரம் எவ்வளவு (செங்குத்தாக) அதிகரிக்கிறது என்பதைக் காட்டும் மதிப்பு:

சாலையின் சில பகுதியில், ஒரு கிலோமீட்டர் முன்னோக்கிச் செல்லும்போது, ​​​​சாலை ஒரு கிலோமீட்டர் வரை உயர்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் இந்த இடத்தில் சாய்வு சமமாக இருக்கும். மேலும் சாலை, மீ முன்னோக்கி நகரும் போது, ​​கிமீ குறையுமா? பின்னர் சாய்வு சமமாக இருக்கும்.

அதாவது, எங்கள் தர்க்கத்தின் படி, இங்கே சாய்வு கிட்டத்தட்ட பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று மாறிவிடும், இது தெளிவாக உண்மை இல்லை. ஒரு கிலோமீட்டர் தூரத்தில் நிறைய மாறலாம். செங்குத்தான தன்மையின் போதுமான மற்றும் துல்லியமான மதிப்பீட்டிற்கு சிறிய பகுதிகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு மீட்டரை நகர்த்தும்போது உயரத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தை அளந்தால், முடிவு மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும். ஆனால் இந்த துல்லியம் கூட நமக்கு போதுமானதாக இருக்காது - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, சாலையின் நடுவில் ஒரு கம்பம் இருந்தால், அதை நாம் வெறுமனே கடந்து செல்லலாம். எந்த தூரத்தை நாம் தேர்வு செய்ய வேண்டும்? சென்டிமீட்டரா? மில்லிமீட்டரா? குறைவானது அதிகம்!

IN உண்மையான வாழ்க்கைஅருகிலுள்ள மில்லிமீட்டருக்கு தூரத்தை அளவிடுவது போதுமானதை விட அதிகம். ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் எப்போதும் முழுமைக்காக பாடுபடுகிறார்கள். எனவே, கருத்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது எல்லையற்ற, அதாவது, நாம் பெயரிடக்கூடிய எந்த எண்ணையும் விட முழுமையான மதிப்பு குறைவாக உள்ளது. உதாரணமாக, நீங்கள் சொல்கிறீர்கள்: ஒரு டிரில்லியன்! எவ்வளவு குறைவு? நீங்கள் இந்த எண்ணை வகுத்தால் - அது இன்னும் குறைவாக இருக்கும். மற்றும் பல. ஒரு அளவு எண்ணற்றது என்று எழுத விரும்பினால், நாம் இப்படி எழுதுகிறோம்: ("x என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு முனைகிறது" என்று படிக்கிறோம்). புரிந்து கொள்வது மிகவும் அவசியம் இந்த எண் பூஜ்யம் இல்லை என்று!ஆனால் அதற்கு மிக அருகில். இதன் மூலம் நீங்கள் பிரிக்கலாம் என்று அர்த்தம்.

முடிவிலிக்கு எதிரான கருத்து எல்லையற்ற பெரியது (). நீங்கள் ஏற்றத்தாழ்வுகளில் பணிபுரியும் போது நீங்கள் ஏற்கனவே அதைக் கண்டிருக்கலாம்: இந்த எண் நீங்கள் நினைக்கும் எந்த எண்ணையும் விட அதிகமாக உள்ளது. நீங்கள் மிகப்பெரிய எண்ணைக் கொண்டு வந்தால், அதை இரண்டால் பெருக்கினால், இன்னும் பெரிய எண்ணைப் பெறுவீர்கள். மேலும் முடிவிலி என்ன நடக்கும் என்பதை விட பெரியது. உண்மையில், எல்லையற்ற பெரியது மற்றும் எல்லையற்ற சிறியது ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறானது, அதாவது at, மற்றும் நேர்மாறாக: at.

இப்போது நம் பாதைக்கு வருவோம். இலட்சியமாக கணக்கிடப்பட்ட சாய்வு என்பது பாதையின் எல்லையற்ற பகுதிக்கு கணக்கிடப்பட்ட சாய்வாகும், அதாவது:

எல்லையற்ற இடப்பெயர்ச்சியுடன், உயரத்தின் மாற்றமும் எல்லையற்றதாக இருக்கும் என்பதை நான் கவனிக்கிறேன். ஆனால் இன்ஃபினிட்டிசிமல் என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் அல்ல என்பதை நினைவூட்டுகிறேன். நீங்கள் எண்ணற்ற எண்களை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்தால், நீங்கள் முற்றிலும் சாதாரண எண்ணைப் பெறலாம், எடுத்துக்காட்டாக, . அதாவது, ஒரு சிறிய மதிப்பு மற்றொன்றை விட சரியாக மடங்கு பெரியதாக இருக்கும்.

இதெல்லாம் எதற்கு? சாலை, செங்குத்தான... நாங்கள் கார் பேரணியில் செல்லவில்லை, ஆனால் நாங்கள் கணிதம் கற்பிக்கிறோம். மேலும் கணிதத்தில் எல்லாமே ஒரே மாதிரியானவை, வித்தியாசமாக மட்டுமே அழைக்கப்படுகிறது.

வழித்தோன்றல் கருத்து

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதமாகும்.

அதிகரித்துகணிதத்தில் மாற்றம் என்பார்கள். வாதம் () அச்சில் நகரும்போது எந்த அளவிற்கு மாறுகிறது என்பது அழைக்கப்படுகிறது வாதம் அதிகரிப்புமற்றும் தொலைவில் அச்சில் முன்னோக்கி நகரும் போது செயல்பாடு (உயரம்) எவ்வளவு மாறிவிட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகரிப்புமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது எப்போது என்பதற்கான விகிதமாகும். செயல்பாட்டின் அதே எழுத்துடன், மேல் வலதுபுறத்தில் ஒரு ப்ரைமுடன் மட்டுமே வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறோம்: அல்லது எளிமையாக. எனவே, இந்த குறிப்புகளைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தை எழுதுவோம்:

சாலையுடனான ஒப்புமையைப் போலவே, இங்கே செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, ​​வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியுமா? நிச்சயமாக. உதாரணமாக, நாம் ஒரு தட்டையான கிடைமட்ட சாலையில் வாகனம் ஓட்டினால், செங்குத்தானது பூஜ்ஜியமாகும். அது உண்மைதான், உயரம் மாறாது. இது வழித்தோன்றலுடன் உள்ளது: நிலையான செயல்பாட்டின் (நிலையான) வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

அத்தகைய செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு எதற்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

மலை உச்சி உதாரணத்தை நினைவில் கொள்வோம். பிரிவின் முனைகளை ஏற்பாடு செய்வது சாத்தியம் என்று மாறியது வெவ்வேறு பக்கங்கள்மேலே இருந்து, முனைகளில் உள்ள உயரம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதாவது, பிரிவு அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்:

ஆனால் பெரிய பகுதிகள் துல்லியமற்ற அளவீட்டின் அடையாளம். நமது பிரிவை தனக்கு இணையாக உயர்த்துவோம், பிறகு அதன் நீளம் குறையும்.

இறுதியில், நாம் எல்லையில்லாமல் மேலே இருக்கும் போது, ​​பிரிவின் நீளம் எல்லையற்றதாக மாறும். ஆனால் அதே நேரத்தில், அது அச்சுக்கு இணையாக இருந்தது, அதாவது, அதன் முனைகளில் உயர வேறுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (அது முனையவில்லை, ஆனால் சமமாக உள்ளது). எனவே வழித்தோன்றல்

இதை இப்படிப் புரிந்து கொள்ளலாம்: நாம் மிக உச்சியில் நிற்கும்போது, ​​இடது அல்லது வலது பக்கம் ஒரு சிறிய மாற்றம் நமது உயரத்தை அலட்சியமாக மாற்றுகிறது.

முற்றிலும் இயற்கணித விளக்கமும் உள்ளது: உச்சியின் இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, வலதுபுறம் குறைகிறது. நாம் முன்பு கண்டறிந்தபடி, ஒரு செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, ​​வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும். ஆனால் அது தாவல்கள் இல்லாமல் சீராக மாறுகிறது (சாலை எங்கும் அதன் சாய்வைக் கூர்மையாக மாற்றாது). எனவே, எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு இடையில் இருக்க வேண்டும். செயல்பாடு அதிகரிக்காமலும் குறையாமலும் இருக்கும் - உச்சியில்.

தொட்டிக்கும் இது பொருந்தும் (இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு குறைந்து வலதுபுறம் அதிகரிக்கும் பகுதி):

அதிகரிப்பு பற்றி இன்னும் கொஞ்சம்.

எனவே நாம் வாதத்தை பெரிதாக்குகிறோம். எந்த மதிப்பில் இருந்து மாறுகிறோம்? அது (வாதம்) இப்போது என்ன ஆனது? நாம் எந்த புள்ளியையும் தேர்வு செய்யலாம், இப்போது அதிலிருந்து நடனமாடுவோம்.

ஒரு ஆயத்துடன் ஒரு புள்ளியைக் கவனியுங்கள். அதில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு சமம். பின்னர் அதே அதிகரிப்பு செய்கிறோம்: ஆயத்தொகையை அதிகரிக்கிறோம். இப்போது என்ன வாதம்? மிகவும் எளிதானது: . இப்போது செயல்பாட்டின் மதிப்பு என்ன? வாதம் செல்லும் இடத்தில், செயல்பாடும் செல்கிறது: . செயல்பாடு அதிகரிப்பு பற்றி என்ன? புதிதாக எதுவும் இல்லை: இது இன்னும் செயல்பாடு மாறிய அளவு:

அதிகரிப்புகளைக் கண்டறிய பயிற்சி செய்யுங்கள்:

1. வாதத்தின் அதிகரிப்பு சமமாக இருக்கும்போது ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்.
2. ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டிற்கும் இதுவே செல்கிறது.

தீர்வுகள்:

ஒரே வாத அதிகரிப்புடன் வெவ்வேறு புள்ளிகளில், செயல்பாடு அதிகரிப்பு வேறுபட்டதாக இருக்கும். இதன் பொருள் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள வழித்தோன்றல் வேறுபட்டது (இதை நாங்கள் ஆரம்பத்தில் விவாதித்தோம் - சாலையின் செங்குத்தானது வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வேறுபட்டது). எனவே, நாம் ஒரு வழித்தோன்றலை எழுதும்போது, ​​எந்த புள்ளியில் குறிப்பிட வேண்டும்:

சக்தி செயல்பாடு.

சக்தி செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு ஆகும், அங்கு வாதம் ஓரளவுக்கு (தர்க்கரீதியானது, சரியா?).

மேலும் - எந்த அளவிற்கு: .

எளிமையான வழக்கு- இது அடுக்கும் போது:

ஒரு கட்டத்தில் அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். வழித்தோன்றலின் வரையறையை நினைவு கூர்வோம்:

எனவே வாதம் மாறுகிறது. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு என்ன?

அதிகரிப்பு இது. ஆனால் எந்த புள்ளியிலும் ஒரு செயல்பாடு அதன் வாதத்திற்கு சமம். அதனால்தான்:

வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

இதன் வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

b) இப்போது கவனியுங்கள் இருபடி செயல்பாடு (): .

இப்போது அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள் அதிகரிப்பின் மதிப்பு புறக்கணிக்கப்படலாம், ஏனெனில் இது எண்ணற்றது, எனவே மற்ற சொல்லின் பின்னணிக்கு எதிராக முக்கியமற்றது:

எனவே, நாங்கள் மற்றொரு விதியைக் கொண்டு வந்தோம்:

c) நாங்கள் தருக்க தொடரை தொடர்கிறோம்: .

இந்த வெளிப்பாட்டை வெவ்வேறு வழிகளில் எளிமைப்படுத்தலாம்: தொகையின் கனசதுரத்தின் சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முதல் அடைப்புக்குறியைத் திறக்கவும் அல்லது க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி முழு வெளிப்பாட்டையும் காரணியாக்கவும். பரிந்துரைக்கப்பட்ட முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி அதை நீங்களே செய்ய முயற்சிக்கவும்.

எனவே, நான் பின்வருவனவற்றைப் பெற்றேன்:

மீண்டும் அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள், பின்வரும் அனைத்து விதிமுறைகளையும் நாம் புறக்கணிக்கலாம்:

நாம் பெறுகிறோம்: .

ஈ) பெரிய அதிகாரங்களுக்கு இதே போன்ற விதிகளைப் பெறலாம்:

இ) இந்த விதியை பொதுமைப்படுத்தலாம் என்று மாறிவிடும் சக்தி செயல்பாடுஒரு தன்னிச்சையான அடுக்குடன், ஒரு முழு எண் கூட இல்லை:

விதியை வார்த்தைகளில் உருவாக்கலாம்: "பட்டம் ஒரு குணகமாக முன்னோக்கி கொண்டு வரப்படுகிறது, பின்னர் குறைக்கப்படுகிறது."

இந்த விதியை நாங்கள் பின்னர் நிரூபிப்போம் (கிட்டத்தட்ட முடிவில்). இப்போது சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

1. (இரண்டு வழிகளில்: சூத்திரம் மற்றும் வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல் - செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம்);

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்.

இங்கே நாம் உயர் கணிதத்திலிருந்து ஒரு உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம்:

வெளிப்பாட்டுடன்.

இன்ஸ்டிட்யூட்டின் முதல் ஆண்டில் நீங்கள் ஆதாரத்தைக் கற்றுக்கொள்வீர்கள் (மேலும் அங்கு செல்ல, நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற வேண்டும்). இப்போது நான் அதை வரைபடமாகக் காட்டுகிறேன்:

செயல்பாடு இல்லாதபோது - வரைபடத்தின் புள்ளி வெட்டப்பட்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். ஆனால் மதிப்புக்கு நெருக்கமாக, செயல்பாடு இதுவே "நோக்கம்" ஆகும்.

கூடுதலாக, கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி இந்த விதியை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம். ஆம், ஆம், வெட்கப்பட வேண்டாம், கால்குலேட்டரை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், நாங்கள் இன்னும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இல்லை.

எனவே, முயற்சிப்போம்: ;

உங்கள் கால்குலேட்டரை ரேடியன்ஸ் பயன்முறைக்கு மாற்ற மறக்காதீர்கள்!

முதலியன விகிதத்தின் மதிப்பு சிறியதாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

அ) செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். வழக்கம் போல், அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

சைன்களின் வித்தியாசத்தை ஒரு தயாரிப்பாக மாற்றுவோம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ("" தலைப்பை நினைவில் கொள்க): .

இப்போது வழித்தோன்றல்:

மாற்றீடு செய்வோம்: . பிறகு எல்லையற்ற அற்பத்திற்கு அதுவும் எல்லையற்றது: . இதற்கான வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கிறது:

இப்போது நாம் அதை வெளிப்பாடுடன் நினைவில் கொள்கிறோம். மேலும், எல்லையற்றதாக இருந்தால் என்ன சிறிய அளவுதொகையில் (அதாவது மணிக்கு) புறக்கணிக்கப்படலாம்.

எனவே, பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்: சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம்:

இவை அடிப்படை ("அட்டவணை") வழித்தோன்றல்கள். இங்கே அவை ஒரு பட்டியலில் உள்ளன:

பின்னர் அவற்றில் இன்னும் சிலவற்றைச் சேர்ப்போம், ஆனால் இவை மிக முக்கியமானவை, ஏனெனில் அவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பயிற்சி:

1. ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்;
2. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள்:

அடுக்கு மற்றும் இயற்கை மடக்கை.

கணிதத்தில் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது, அதன் வழித்தோன்றல் எந்த மதிப்பிற்கும் அதே நேரத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும். இது "அடுக்கு" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ஒரு அதிவேக செயல்பாடு ஆகும்

இந்த செயல்பாட்டின் அடிப்படை ஒரு நிலையானது - இது எல்லையற்றது தசம, அதாவது, ஒரு விகிதாசார எண் (போன்றவை). இது "ஆய்லர் எண்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதனால்தான் இது ஒரு கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

எனவே, விதி:

நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது.

சரி, நாம் வெகுதூரம் செல்ல வேண்டாம், தலைகீழ் செயல்பாட்டை உடனடியாக கருத்தில் கொள்வோம். அதிவேக செயல்பாட்டின் தலைகீழ் செயல்பாடு எது? மடக்கை:

எங்கள் விஷயத்தில், அடிப்படை எண்:

அத்தகைய மடக்கை (அதாவது, அடித்தளத்துடன் கூடிய மடக்கை) "இயற்கை" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதற்கு ஒரு சிறப்பு குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்: அதற்கு பதிலாக எழுதுகிறோம்.

அது எதற்கு சமம்? நிச்சயமாக.

இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றலும் மிகவும் எளிமையானது:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
2. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்ன?

பதில்கள்: அதிவேக மற்றும் இயற்கை மடக்கை ஒரு வழித்தோன்றல் கண்ணோட்டத்தில் தனித்துவமான எளிமையான செயல்பாடுகள். வேறு எந்த அடிப்படையையும் கொண்ட அதிவேக மற்றும் மடக்கைச் சார்புகள் வேறுபட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கும், அதை நாம் வேறுபாட்டின் விதிகளுக்குப் பிறகு பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

வேறுபாடு விதிகள்

என்ன விதிகள்? மீண்டும் ஒரு புதிய சொல்?!...

வேறுபாடுவழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறையாகும்.

அவ்வளவுதான். இந்த செயல்முறையை ஒரே வார்த்தையில் வேறு என்ன அழைக்கலாம்? வழித்தோன்றல் அல்ல... கணிதவியலாளர்களின் வேறுபாடு என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் அதே அதிகரிப்பு ஆகும். இந்த சொல் லத்தீன் வேறுபாடு - வேறுபாடு இருந்து வந்தது. இங்கே.

இந்த விதிகள் அனைத்தையும் பெறும்போது, ​​நாம் இரண்டு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவோம், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும். அவற்றின் அதிகரிப்புக்கான சூத்திரங்களும் நமக்குத் தேவைப்படும்:

மொத்தம் 5 விதிகள் உள்ளன.

மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது.

என்றால் - சில நிலையான எண் (நிலையான), பின்னர்.

வெளிப்படையாக, இந்த விதி வேறுபாட்டிற்கும் வேலை செய்கிறது: .

நிரூபிப்போம். அது இருக்கட்டும், அல்லது எளிமையாக இருக்கட்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

1. ஒரு கட்டத்தில்;
2. ஒரு கட்டத்தில்;
3. ஒரு கட்டத்தில்;
4. புள்ளியில்.

தீர்வுகள்:

தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்

இங்கே எல்லாம் ஒத்திருக்கிறது: ஒரு புதிய செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்தி அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்:

வழித்தோன்றல்:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1. செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும் மற்றும்;
2. ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள்:

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறிய இப்போது உங்கள் அறிவு போதுமானது, ஆனால் அடுக்குகள் மட்டுமல்ல (அது என்ன என்பதை நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா?).

எனவே, சில எண் எங்கே.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம், எனவே எங்கள் செயல்பாட்டை ஒரு புதிய தளத்திற்கு கொண்டு வர முயற்சிப்போம்:

இதைச் செய்ய, நாங்கள் ஒரு எளிய விதியைப் பயன்படுத்துவோம்: . பிறகு:

சரி, அது வேலை செய்தது. இப்போது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும், இந்த செயல்பாடு சிக்கலானது என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.

அது வேலை செய்ததா?

இங்கே, உங்களை நீங்களே சரிபார்க்கவும்:

சூத்திரம் ஒரு அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றலுக்கு மிகவும் ஒத்ததாக மாறியது: அது அப்படியே உள்ளது, ஒரு காரணி மட்டுமே தோன்றியது, இது ஒரு எண், ஆனால் ஒரு மாறி அல்ல.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

பதில்கள்:

மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

இது இங்கே ஒத்திருக்கிறது: இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல் உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்:

எனவே, வேறு தளத்துடன் தன்னிச்சையான மடக்கையைக் கண்டறிய, எடுத்துக்காட்டாக:

இந்த மடக்கையை அடிப்படையாக குறைக்க வேண்டும். மடக்கையின் அடித்தளத்தை எவ்வாறு மாற்றுவது? இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள் என்று நம்புகிறேன்:

இப்போது நாம் அதற்கு பதிலாக எழுதுவோம்:

வகுத்தல் என்பது வெறுமனே ஒரு மாறிலி (ஒரு மாறிலி இல்லாத ஒரு நிலையான எண்). வழித்தோன்றல் மிகவும் எளிமையாக பெறப்படுகிறது:

அதிவேக மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் கிட்டத்தட்ட ஒருபோதும் காணப்படவில்லை, ஆனால் அவற்றை அறிவது மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது.

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

"சிக்கலான செயல்பாடு" என்றால் என்ன? இல்லை, இது மடக்கை அல்ல, ஆர்க்டஜென்ட் அல்ல. இந்த செயல்பாடுகளை புரிந்துகொள்வது கடினமாக இருக்கலாம் (நீங்கள் மடக்கை கடினமாக இருந்தால், "மடக்கை" என்ற தலைப்பைப் படிக்கவும், நீங்கள் நன்றாக இருப்பீர்கள்), ஆனால் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், "சிக்கலானது" என்ற வார்த்தையானது "கடினமானது" என்று அர்த்தமல்ல.

ஒரு சிறிய கன்வேயர் பெல்ட்டை கற்பனை செய்து பாருங்கள்: இரண்டு பேர் உட்கார்ந்து சில பொருட்களைக் கொண்டு சில செயல்களைச் செய்கிறார்கள். உதாரணமாக, முதல் ஒரு சாக்லேட் பட்டியை ஒரு ரேப்பரில் போர்த்தி, இரண்டாவது அதை ரிப்பனுடன் இணைக்கிறது. இதன் விளைவாக ஒரு கலப்பு பொருள்: ஒரு சாக்லேட் பட்டை மூடப்பட்டு, ரிப்பனுடன் கட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு சாக்லேட் பார் சாப்பிட, நீங்கள் தலைகீழ் படிகளை செய்ய வேண்டும் தலைகீழ் வரிசை.

இதேபோன்ற கணிதக் குழாய் ஒன்றை உருவாக்குவோம்: முதலில் ஒரு எண்ணின் கோசைனைக் கண்டுபிடித்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணை சதுரமாக்குவோம். எனவே, எங்களுக்கு ஒரு எண் (சாக்லேட்) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் கொசைனை (ரேப்பர்) நான் கண்டுபிடித்தேன், பின்னர் எனக்கு கிடைத்ததை நீங்கள் சதுரமாக்குங்கள் (அதை ரிப்பனுடன் கட்டவும்). என்ன நடந்தது? செயல்பாடு. இது ஒரு உதாரணம் சிக்கலான செயல்பாடு: எப்போது, ​​அதன் மதிப்பைக் கண்டறிய, முதல் செயலை மாறியுடன் நேரடியாகச் செய்கிறோம், பின்னர் முதல் செயலின் விளைவாக இரண்டாவது செயலைச் செய்கிறோம்.

அதே படிகளை நாம் தலைகீழ் வரிசையில் எளிதாகச் செய்யலாம்: முதலில் நீங்கள் அதைச் சதுரம் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணின் கொசைனைத் தேடுகிறேன்: . முடிவு எப்போதும் வித்தியாசமாக இருக்கும் என்று யூகிக்க எளிதானது. முக்கிய அம்சம்சிக்கலான செயல்பாடுகள்: செயல்களின் வரிசை மாறும்போது, ​​செயல்பாடு மாறுகிறது.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு, அதன் வாதம் மற்றொரு செயல்பாடு: .

முதல் உதாரணத்திற்கு, .

இரண்டாவது உதாரணம்: (அதே விஷயம்). .

கடைசியாக நாம் செய்யும் செயல் அழைக்கப்படும் "வெளிப்புற" செயல்பாடு, மற்றும் முதலில் செய்யப்படும் செயல் - அதன்படி "உள்" செயல்பாடு(இவை முறைசாரா பெயர்கள், நான் அவற்றை எளிய மொழியில் பொருள் விளக்க மட்டுமே பயன்படுத்துகிறேன்).

எந்த செயல்பாடு வெளிப்புறமானது மற்றும் எந்த உள் செயல்பாடு என்பதை நீங்களே தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:

பதில்கள்:உள் மற்றும் வெளிப்புற செயல்பாடுகளை பிரிப்பது மாறிகளை மாற்றுவதைப் போன்றது: எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாட்டில்

நாம் மாறிகளை மாற்றி ஒரு செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

சரி, இப்போது நாம் சாக்லேட் பட்டையை பிரித்தெடுத்து அதன் வழித்தோன்றலைத் தேடுவோம். செயல்முறை எப்போதும் தலைகீழாக இருக்கும்: முதலில் நாம் வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம், பின்னர் உள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலால் முடிவைப் பெருக்குகிறோம். அசல் எடுத்துக்காட்டுடன், இது போல் தெரிகிறது:

மற்றொரு உதாரணம்:

எனவே, இறுதியாக அதிகாரப்பூர்வ விதியை உருவாக்குவோம்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

இது எளிமையானதாகத் தெரிகிறது, இல்லையா?

எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சரிபார்க்கலாம்:

வழித்தோன்றல். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்- வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதம்:

அடிப்படை வழித்தோன்றல்கள்:

வேறுபாடு விதிகள்:

மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது:

தொகையின் வழித்தோன்றல்:

தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்:

விகுதியின் வழித்தோன்றல்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

1. நாம் "உள்" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்.
2. நாம் "வெளிப்புற" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்.
3. முதல் மற்றும் இரண்டாவது புள்ளிகளின் முடிவுகளை நாங்கள் பெருக்குகிறோம்.

சரி, தலைப்பு முடிந்தது. இந்த வரிகளை நீங்கள் படிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் மிகவும் கூலாக இருக்கிறீர்கள் என்று அர்த்தம்.

ஏனெனில் 5% பேர் மட்டுமே தாங்களாகவே ஏதாவது ஒன்றை மாஸ்டர் செய்ய முடியும். நீங்கள் இறுதிவரை படித்தால், நீங்கள் இந்த 5% இல் இருக்கிறீர்கள்!

இப்போது மிக முக்கியமான விஷயம்.

இந்த தலைப்பில் உள்ள கோட்பாட்டை நீங்கள் புரிந்து கொண்டீர்கள். மற்றும், மீண்டும் சொல்கிறேன், இது... இது சூப்பர்! உங்கள் சகாக்களில் பெரும்பாலானவர்களை விட நீங்கள் ஏற்கனவே சிறந்தவர்.

பிரச்சனை என்னவென்றால், இது போதாது ...

எதற்கு?

வெற்றிக்காக ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் தேர்ச்சி, பட்ஜெட்டில் கல்லூரியில் சேருவதற்கும், மிக முக்கியமாக, வாழ்நாள் முழுவதும்.

நான் உன்னை எதையும் நம்ப வைக்க மாட்டேன், ஒன்று மட்டும் சொல்கிறேன்...

பெற்ற மக்கள் நல்ல கல்வி, அதைப் பெறாதவர்களை விட அதிகம் சம்பாதிக்கவும். இது புள்ளிவிவரம்.

ஆனால் இது முக்கிய விஷயம் அல்ல.

முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அவர்கள் மிகவும் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறார்கள் (அத்தகைய ஆய்வுகள் உள்ளன). ஒருவேளை அவர்களுக்கு முன்னால் இன்னும் நிறைய திறந்திருப்பதால் மேலும் சாத்தியங்கள்மற்றும் வாழ்க்கை பிரகாசமாக மாறுமா? தெரியாது...

ஆனால் நீங்களே யோசியுங்கள்...

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் மற்றவர்களை விட சிறப்பாக இருக்கவும், இறுதியில் மகிழ்ச்சியாக இருக்கவும் என்ன செய்ய வேண்டும்?

இந்த தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் உங்கள் கையைப் பெறுங்கள்.

தேர்வின் போது உங்களிடம் தியரி கேட்கப்படாது.

உங்களுக்கு தேவைப்படும் நேரத்திற்கு எதிராக பிரச்சனைகளை தீர்க்க.

மேலும், நீங்கள் அவற்றைத் தீர்க்கவில்லை என்றால் (நிறைய!), நீங்கள் நிச்சயமாக எங்காவது ஒரு முட்டாள் தவற்றைச் செய்வீர்கள் அல்லது நேரமில்லாமல் இருப்பீர்கள்.

இது விளையாட்டைப் போன்றது - நிச்சயமாக வெற்றி பெற நீங்கள் அதை பல முறை மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

நீங்கள் எங்கு வேண்டுமானாலும் சேகரிப்பைக் கண்டறியவும், அவசியம் தீர்வுகளுடன், விரிவான பகுப்பாய்வு மற்றும் முடிவு, முடிவு, முடிவு!

நீங்கள் எங்கள் பணிகளைப் பயன்படுத்தலாம் (விரும்பினால்) மற்றும் நாங்கள் நிச்சயமாக அவற்றை பரிந்துரைக்கிறோம்.

எங்கள் பணிகளை சிறப்பாகப் பயன்படுத்த, நீங்கள் தற்போது படித்துக்கொண்டிருக்கும் YouClever பாடப்புத்தகத்தின் ஆயுளை நீட்டிக்க உதவ வேண்டும்.

எப்படி? இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:

1. இந்த கட்டுரையில் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளையும் திறக்கவும் -
2. பாடப்புத்தகத்தின் அனைத்து 99 கட்டுரைகளிலும் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகலைத் திறக்கவும் - ஒரு பாடப்புத்தகத்தை வாங்கவும் - 499 RUR

ஆம், எங்கள் பாடப்புத்தகத்தில் இதுபோன்ற 99 கட்டுரைகள் உள்ளன மற்றும் அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகல் மற்றும் அவற்றில் உள்ள அனைத்து மறைக்கப்பட்ட உரைகளும் உடனடியாக திறக்கப்படும்.

அனைத்து மறைக்கப்பட்ட பணிகளுக்கான அணுகல் தளத்தின் முழு வாழ்க்கைக்கும் வழங்கப்படுகிறது.

மற்றும் முடிவில் ...

எங்கள் பணிகள் உங்களுக்குப் பிடிக்கவில்லை என்றால், மற்றவர்களைக் கண்டறியவும். கோட்பாட்டில் மட்டும் நிற்காதீர்கள்.

"புரிகிறது" மற்றும் "என்னால் தீர்க்க முடியும்" என்பது முற்றிலும் வேறுபட்ட திறன்கள். உங்களுக்கு இரண்டும் தேவை.

சிக்கல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றைத் தீர்க்கவும்!

இந்த கட்டுரையில், ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்ற தலைப்பில் மேலும் அனைத்து கோட்பாடுகளும் அடிப்படையாக இருக்கும் அடிப்படைக் கருத்துக்களைக் கொடுப்போம்.

பாதை x என்பது f(x) செயல்பாட்டின் வாதம் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட ஒரு சிறிய எண்ணாகும்.

("டெல்டா x" ஐப் படிக்கவும்) அழைக்கப்படுகிறது ஒரு செயல்பாடு வாதத்தை அதிகரிக்கிறது. படத்தில், சிவப்பு கோடு மதிப்பு x இலிருந்து மதிப்புக்கு வாதத்தின் மாற்றத்தைக் காட்டுகிறது (எனவே வாதத்தின் "அதிகரிப்பு" என்ற பெயரின் சாராம்சம்).

வாதத்தின் மதிப்பிலிருந்து செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுக்கு நகரும் போது, ​​அதற்கேற்ப செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் மாறுகின்றன, செயல்பாடு இடைவெளியில் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால். வேறுபாடு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு f(x) அதிகரிப்பு, இந்த வாதம் அதிகரிப்புடன் தொடர்புடையது. படத்தில், செயல்பாடு அதிகரிப்பு நீல கோட்டுடன் காட்டப்பட்டுள்ளது.

ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த கருத்துக்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம் . வாதத்தின் புள்ளி மற்றும் அதிகரிப்பை சரிசெய்வோம். இந்த வழக்கில், இருந்து நகரும் போது செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு சமமாக இருக்கும்

எதிர்மறை அதிகரிப்பு என்பது பிரிவில் செயல்பாடு குறைவதைக் குறிக்கிறது.

கிராஃபிக் விளக்கம்

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைத் தீர்மானித்தல்.

f(x) சார்பு இடைவெளியில் (a; b) வரையறுக்கப்பட்டு, இந்த இடைவெளியின் புள்ளிகளாக இருக்கட்டும். புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதத்தில் உள்ள வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. நியமிக்கப்பட்டது .

கடைசி வரம்பு ஒரு குறிப்பிட்ட இறுதி மதிப்பை எடுக்கும் போது, ​​நாம் இருப்பதைப் பற்றி பேசுகிறோம் புள்ளியில் வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல். வரம்பு எல்லையற்றது என்றால், என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வழித்தோன்றல் எல்லையற்றது. வரம்பு இல்லை என்றால், பின்னர் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இல்லை.

செயல்பாடு f(x) என்று அழைக்கப்படுகிறது புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது, அதில் வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல் இருக்கும்போது.

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியின் (a; b) ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் f(x) சார்பு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், இந்த இடைவெளியில் சார்பு வேறுபடுத்தக்கூடியது எனப்படும். எனவே, இடைவெளியிலிருந்து (a; b) எந்த புள்ளியும் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்புடன் தொடர்புபடுத்தப்படலாம், அதாவது, ஒரு புதிய செயல்பாட்டை வரையறுக்க எங்களுக்கு வாய்ப்பு உள்ளது, இது அழைக்கப்படுகிறது f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இடைவெளியில் (a; b).

வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபாடு.

ஒரு புள்ளியில் மற்றும் ஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் கருத்துகளின் தன்மையில் வேறுபாட்டைக் காண்போம்: ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஒரு எண், மற்றும் ஒரு இடைவெளியில் ஒரு சார்பின் வழித்தோன்றல் ஒரு சார்பு.

படத்தை தெளிவாக்க இதை உதாரணங்களுடன் பார்க்கலாம். வேறுபடுத்தும் போது, ​​வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம், அதாவது வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம். சிரமங்கள் ஏற்பட்டால், நீங்கள் கோட்பாடு பகுதியைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறோம்.

உதாரணம்.

வரையறையைப் பயன்படுத்தி புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நாம் தேடுவதால், பதில் ஒரு எண்ணைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பை எழுதி, முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம்:

கட்டுரையின் உள்ளடக்கம்

வழித்தோன்றல்- செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஒய் = f(x), ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்டது ( அ, பி) புள்ளியில் xஇந்த இடைவெளியின் வரம்பு, செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதம் இருக்கும் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது fஇந்த கட்டத்தில் வாதத்தின் அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது வாதத்தின் தொடர்புடைய அதிகரிப்புக்கு.

வழித்தோன்றல் பொதுவாக பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

பிற பெயர்களும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

உடனடி வேகம்.

புள்ளியை விடுங்கள் எம்நேர்கோட்டில் நகரும். தூரம் கள்நகரும் புள்ளி, சில ஆரம்ப நிலையில் இருந்து கணக்கிடப்படுகிறது எம் 0 , நேரம் சார்ந்தது டி, அதாவது கள்நேரத்தின் செயல்பாடு உள்ளது டி: கள்= f(டி). ஒரு கட்டத்தில் விடுங்கள் டிநகரும் புள்ளி எம்தொலைவில் இருந்தது கள்தொடக்க நிலையில் இருந்து எம் 0, மற்றும் சில அடுத்த கணத்தில் டி+D டிதன்னை ஒரு நிலையில் கண்டாள் எம் 1 - தொலைவில் கள்+D கள்ஆரம்ப நிலையில் இருந்து ( படத்தை பார்க்கவும்.).

இவ்வாறு, ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் டி டிதூரம் கள்டி அளவு மாற்றப்பட்டது கள். இந்நிலையில் அவர்கள் கூறுகையில், கால இடைவெளியில் டி டிஅளவு கள் D இன்கிரிமென்ட் பெற்றார் கள்.

சராசரி வேகம் எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் ஒரு புள்ளியின் இயக்கத்தின் வேகத்தை துல்லியமாக வகைப்படுத்த முடியாது எம்ஒரு கட்டத்தில் டி. எடுத்துக்காட்டாக, இடைவெளியின் தொடக்கத்தில் உடல் என்றால் டி டிமிக விரைவாகவும், இறுதியில் மிக மெதுவாகவும் நகர்ந்தது சராசரி வேகம்புள்ளியின் இயக்கத்தின் குறிப்பிட்ட அம்சங்களை பிரதிபலிக்க முடியாது மற்றும் இந்த நேரத்தில் அதன் இயக்கத்தின் உண்மையான வேகம் பற்றிய யோசனையை கொடுக்க முடியாது டி. சராசரி வேகத்தைப் பயன்படுத்தி உண்மையான வேகத்தை இன்னும் துல்லியமாக வெளிப்படுத்த, நீங்கள் ஒரு குறுகிய காலத்தை எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் D டி. இந்த நேரத்தில் ஒரு புள்ளியின் இயக்கத்தின் வேகத்தை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறது டிசராசரி வேகம் D இல் இருக்கும் வரம்பு டி® 0. இந்த வரம்பு தற்போதைய வேகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது:

இவ்வாறு, ஒரு குறிப்பிட்ட தருணத்தில் இயக்கத்தின் வேகம் பாதை அதிகரிப்பு விகிதத்தின் வரம்பு D என்று அழைக்கப்படுகிறது கள்கால அதிகரிப்புக்கு டி டி, நேர அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது. ஏனெனில்

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு.

தொடுகோடுகளின் கட்டுமானம் வேறுபட்ட கால்குலஸின் பிறப்புக்கு வழிவகுத்த சிக்கல்களில் ஒன்றாகும். லீப்னிஸ் எழுதிய டிஃபரன்ஷியல் கால்குலஸ் தொடர்பான முதல் வெளியிடப்பட்ட படைப்பு தலைப்பு புதிய முறைமாக்சிமா மற்றும் மினிமா, அத்துடன் தொடுகோள்கள், இதற்குப் பகுதியளவு அல்லது பகுத்தறிவற்ற அளவுகள் மற்றும் இதற்கு ஒரு சிறப்பு வகை கால்குலஸ் ஆகியவை தடையாக உள்ளன..

வளைவு செயல்பாட்டின் வரைபடமாக இருக்கட்டும் ஒய் =f(xஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ( செ.மீ. அரிசி.).

சில மதிப்பில் xசெயல்பாடு முக்கியமானது ஒய் =f(x) இந்த மதிப்புகள் xமற்றும் ஒய்வளைவில் உள்ள புள்ளி ஒத்துள்ளது எம் 0(x, ஒய்) வாதம் என்றால் xகொடுக்க அதிகரிப்பு டி x, பின்னர் வாதத்தின் புதிய மதிப்பு x+D xபுதிய செயல்பாட்டு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது y+டி ஒய் = f(x + டி x) வளைவின் தொடர்புடைய புள்ளி புள்ளியாக இருக்கும் எம் 1(x+D x,ஒய்+D ஒய்) நீங்கள் ஒரு செகண்ட் வரைந்தால் எம் 0எம் 1 மற்றும் j ஆல் குறிக்கப்படுகிறது அச்சின் நேர் திசையுடன் ஒரு குறுக்குவெட்டு மூலம் உருவாக்கப்பட்ட கோணம் எருது, படத்தில் இருந்து அது உடனடியாக தெளிவாகிறது.

இப்போது என்றால் டி xபூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது, பின்னர் புள்ளி எம் 1 வளைவுடன் நகர்கிறது, புள்ளியை நெருங்குகிறது எம் 0, மற்றும் கோணம் ஜே டி உடன் மாற்றங்கள் x. மணிக்கு Dx® 0 கோணம் ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பு a மற்றும் புள்ளியின் வழியாக செல்லும் நேர் கோடு எம் 0 மற்றும் x-அச்சின் நேர் திசை கொண்ட கூறு, கோணம் a, விரும்பிய தொடுகோடு இருக்கும். அதன் சாய்வு:

எனவே, f´( x) = tga

அந்த. வழித்தோன்றல் மதிப்பு f´( x) கொடுக்கப்பட்ட வாத மதிப்புக்கு xசெயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோணத்தால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் தொடுகோடு சமம் f(x) தொடர்புடைய புள்ளியில் எம் 0(x,ஒய்) நேர்மறை அச்சு திசையுடன் எருது.

செயல்பாடுகளின் வேறுபாடு.

வரையறை. செயல்பாடு என்றால் ஒய் = f(x) புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது x = x 0, பின்னர் செயல்பாடு இந்த கட்டத்தில் வேறுபட்டது.

வழித்தோன்றல் கொண்ட செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி. தேற்றம்.

செயல்பாடு என்றால் ஒய் = f(x) ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடுகிறது x = x 0, பின்னர் அது இந்த கட்டத்தில் தொடர்கிறது.

எனவே, செயல்பாடு இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளில் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்க முடியாது. எதிர் முடிவு தவறானது, அதாவது. ஒரு கட்டத்தில் இருந்து x = x 0 செயல்பாடு ஒய் = f(x) தொடர்ச்சியாக உள்ளது என்பது இந்த கட்டத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று அர்த்தமல்ல. உதாரணமாக, செயல்பாடு ஒய் = |x| அனைவருக்கும் தொடர்ந்து x(–Ґ x x = 0 க்கு வழித்தோன்றல் இல்லை. இந்த கட்டத்தில் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு இல்லை. வலது மற்றும் இடதுபுறம் உள்ளது, ஆனால் அவை ஒத்துப்போவதில்லை.

வேறுபட்ட செயல்பாடுகளில் சில கோட்பாடுகள். வழித்தோன்றலின் வேர்கள் பற்றிய தேற்றம் (ரோல்ஸ் தேற்றம்).செயல்பாடு என்றால் f(x) பிரிவில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது [அ,பி], இந்த பிரிவின் அனைத்து உள் புள்ளிகளிலும் மற்றும் முனைகளிலும் வேறுபடுகிறது x = அமற்றும் x = பிபூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது ( f(அ) = f(பி) = 0), பின்னர் பிரிவின் உள்ளே [ அ,பி] உள்ளது, படி குறைந்தபட்சம்ஒன்று, புள்ளி x= உடன், அ c b, இதில் வழித்தோன்றல் fў( x) பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது, அதாவது. fў( c) = 0.

வரையறுக்கப்பட்ட அதிகரிப்பு தேற்றம் (லாக்ரேஞ்ச் தேற்றம்).செயல்பாடு என்றால் f(x) இடைவெளியில் தொடர்ந்து உள்ளது [ அ, பி] மற்றும் இந்த பிரிவின் அனைத்து உட்புற புள்ளிகளிலும் வேறுபடக்கூடியது, பின்னர் பிரிவின் உள்ளே [ அ, பி] குறைந்தது ஒரு புள்ளி உள்ளது உடன், அ c b என்று

f(பி) – f(அ) = fў( c)(பி– அ).

இரண்டு செயல்பாடுகளின் அதிகரிப்புகளின் விகிதத்தில் தேற்றம் (Cauchy's theorem).என்றால் f(x) மற்றும் g(x) - பிரிவில் தொடர்ச்சியான இரண்டு செயல்பாடுகள் [அ, பி] மற்றும் இந்த பிரிவின் அனைத்து உட்புற புள்ளிகளிலும் வேறுபடலாம், மற்றும் gў( x) இந்த பிரிவிற்குள் எங்கும் மறைந்துவிடாது, பின்னர் பிரிவின் உள்ளே [ அ, பி] அப்படி ஒரு புள்ளி இருக்கிறது x = உடன், அ c b என்று

பல்வேறு ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள்.

செயல்படட்டும் ஒய் =f(x) சில இடைவெளியில் வேறுபடலாம் [ அ, பி]. வழித்தோன்றல் மதிப்புகள் f ў( x), பொதுவாக, சார்ந்தது x, அதாவது வழித்தோன்றல் f ў( x) என்பதும் ஒரு செயல்பாடாகும் x. இந்த செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தும் போது, ​​செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பெறுகிறோம் f(x), இது குறிக்கப்படுகிறது f ўў ( x).

வழித்தோன்றல் n-செயல்பாட்டின் வரிசை f(x) வழித்தோன்றலின் (முதல் வரிசை) வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது n- 1- வது மற்றும் சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது ஒய்(n) = (ஒய்(n– 1))ў.

பல்வேறு ஆர்டர்களின் வேறுபாடுகள்.

செயல்பாடு வேறுபாடு ஒய் = f(x), எங்கே x- சுயாதீன மாறி, ஆம் dy = f ў( x)dx, இருந்து சில செயல்பாடு x, ஆனால் இருந்து xமுதல் காரணி மட்டுமே சார்ந்துள்ளது f ў( x), இரண்டாவது காரணி ( dx) என்பது சுயாதீன மாறியின் அதிகரிப்பு ஆகும் xமற்றும் இந்த மாறியின் மதிப்பைச் சார்ந்து இல்லை. ஏனெனில் dyஇருந்து ஒரு செயல்பாடு உள்ளது x, இந்த செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டை நாம் தீர்மானிக்க முடியும். ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் வேறுபாடு இந்த செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாடு அல்லது இரண்டாவது-வரிசை வேறுபாடு என அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது ஈ 2ஒய்:

ஈ(dx) = ஈ 2ஒய் = f ўў( x)(dx) 2 .

வித்தியாசமான n-முதல் வரிசை வேறுபாட்டின் முதல் வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது n- 1- வது உத்தரவு:

டி என் ஒய் = ஈ(d n–1ஒய்) = f(n)(x)dx(n).

பகுதி வழித்தோன்றல்.

ஒரு செயல்பாடு ஒன்றைச் சார்ந்தது அல்ல, ஆனால் பல வாதங்களைப் பொறுத்தது x i(i 1 முதல் மாறுபடும் n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), பின்னர் உள்ளே வேறுபட்ட கணக்கீடுபகுதி வழித்தோன்றல் என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இது ஒரு வாதம் மாறும்போது பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தை வகைப்படுத்துகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, x i. 1வது வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல் தொடர்பாக x iஒரு சாதாரண வழித்தோன்றலாக வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் அனைத்து வாதங்களும் தவிர என்று கருதப்படுகிறது x i, நிலையான மதிப்புகளை வைத்திருங்கள். பகுதி வழித்தோன்றல்களுக்கு, குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது

இந்த வழியில் வரையறுக்கப்பட்ட 1 வது வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் (அதே வாதங்களின் செயல்பாடுகளாக) பகுதி வழித்தோன்றல்களையும் கொண்டிருக்கலாம், இவை இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் போன்றவை. மூலம் எடுக்கப்பட்டது வெவ்வேறு வாதங்கள்அத்தகைய வழித்தோன்றல்கள் கலப்பு என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரே வரிசையின் தொடர்ச்சியான கலப்பு வழித்தோன்றல்கள் வேறுபாட்டின் வரிசையைச் சார்ந்து இல்லை மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும்.

அன்னா சுகைனோவா

(\பெரிய\bf ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்)

செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் y=f(x), இடைவெளியில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது (a, b). விடுங்கள் x- இடைவெளியின் எந்த நிலையான புள்ளியும் (a, b), ஏ Δx- மதிப்பு போன்ற ஒரு தன்னிச்சையான எண் x+Δxஇடைவெளிக்கும் உரியது (a, b). இந்த எண் Δxவாதம் அதிகரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

, இதில் நாம் எல்லைக்கு செல்கிறோம்.. செயல்பாடு அதிகரிப்பு y=f(x)புள்ளியில் x, வாதம் அதிகரிப்புடன் தொடர்புடையது Δx, எண்ணுக்கு அழைப்போம்

Δy = f(x+Δx) - f(x).

என்று நம்புகிறோம் Δx ≠ 0. கொடுக்கப்பட்ட நிலையான புள்ளியில் கருதுங்கள் xஇந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகரிப்பின் விகிதம் தொடர்புடைய வாத அதிகரிப்புக்கு Δx

இந்த உறவை வித்தியாச உறவு என்று அழைப்போம். மதிப்பு இருந்து xநாங்கள் நிலையானதாகக் கருதுகிறோம், வேறுபாடு விகிதம் வாதத்தின் செயல்பாடாகும் Δx. இந்த செயல்பாடு அனைத்து வாத மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது Δx, புள்ளியின் போதுமான சிறிய சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தது Δx=0, புள்ளி தன்னைத் தவிர Δx=0. எனவே, குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் வரம்பு இருப்பதைப் பற்றிய கேள்வியைக் கருத்தில் கொள்ள எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது Δx → 0.

, இதில் நாம் எல்லைக்கு செல்கிறோம்.. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் y=f(x)கொடுக்கப்பட்ட நிலையான புள்ளியில் xவரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது Δx → 0வேறுபாடு விகிதம், அதாவது

இந்த வரம்பு உள்ளது.

பதவி. y′(x)அல்லது f′(x).

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்: ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் f(x)இந்த கட்டத்தில் xஅச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு சமம் எருதுமற்றும் தொடர்புடைய புள்ளியில் இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு:

f′(x 0) = \tgα.

வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள்: நேரத்தைப் பொறுத்து பாதையின் வழித்தோன்றல் வேகத்திற்கு சமம் நேர்கோட்டு இயக்கம்புள்ளிகள்:

ஒரு கோட்டிற்கு ஒரு தொடுகோடு சமன்பாடு y=f(x)புள்ளியில் M 0 (x 0 ,y 0)வடிவம் எடுக்கிறது

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு வளைவுக்கு இயல்பானது அதே புள்ளியில் உள்ள தொடுகோட்டுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும். என்றால் f′(x 0)≠ 0, பின்னர் கோட்டிற்கு இயல்பான சமன்பாடு y=f(x)புள்ளியில் M 0 (x 0 ,y 0)இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் கருத்து

செயல்படட்டும் y=f(x)ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது (a, b), x- இந்த இடைவெளியில் இருந்து சில நிலையான வாத மதிப்பு, Δx- வாதத்தின் எந்த அதிகரிப்பு, வாதத்தின் மதிப்பு x+Δx ∈ (a, b).

, இதில் நாம் எல்லைக்கு செல்கிறோம்.. செயல்பாடு y=f(x)ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று அழைக்கப்படுகிறது x, அதிகரிப்பு என்றால் Δyபுள்ளியில் இந்த செயல்பாடு x, வாதம் அதிகரிப்புடன் தொடர்புடையது Δx, வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்

Δy = A Δx +αΔx,

எங்கே ஏ- சில எண்கள் சார்பற்றவை Δx, ஏ α - வாத செயல்பாடு Δx, இது எல்லையற்றது Δx→ 0.

இரண்டு எண்ணற்ற செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பு என்பதால் αΔxஇன்னும் எல்லையற்றது உயர் ஒழுங்கு, எப்படி Δx(3 எல்லையற்ற செயல்பாடுகளின் சொத்து), பின்னர் நாம் எழுதலாம்:

Δy = A Δx +o(Δx).

தேற்றம். செயல்பாட்டின் பொருட்டு y=f(x)ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தது x, இந்த கட்டத்தில் அது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. அதே நேரத்தில் A=f′(x), அதாவது

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்பாடு பொதுவாக வேறுபாடு எனப்படும்.

தேற்றம். செயல்பாடு என்றால் y=f(x) x, இந்த கட்டத்தில் அது தொடர்கிறது.

கருத்து. செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியிலிருந்து y=f(x)இந்த கட்டத்தில் x, பொதுவாக, செயல்பாட்டின் வேறுபாடு பின்பற்றப்படாது f(x)இந்த கட்டத்தில். உதாரணமாக, செயல்பாடு y=|x|- ஒரு கட்டத்தில் தொடர்ந்து x=0, ஆனால் வழித்தோன்றல் இல்லை.

வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் கருத்து

, இதில் நாம் எல்லைக்கு செல்கிறோம்.. செயல்பாடு வேறுபாடு y=f(x)இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்பு மற்றும் சுயாதீன மாறியின் அதிகரிப்பு அழைக்கப்படுகிறது x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

செயல்பாட்டிற்கு y=xநாம் பெறுகிறோம் dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, அதாவது dx=Δx- ஒரு சுயாதீன மாறியின் வேறுபாடு இந்த மாறியின் அதிகரிப்புக்கு சமம்.

எனவே, நாம் எழுதலாம்

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

வித்தியாசமான dyமற்றும் அதிகரிப்பு Δyசெயல்பாடுகள் y=f(x)இந்த கட்டத்தில் x, இரண்டும் ஒரே வாத அதிகரிப்புடன் தொடர்புடையவை Δx, பொதுவாக பேசுவது, ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இல்லை.

வேறுபாட்டின் வடிவியல் பொருள்: ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாடு, வாதம் அதிகரிக்கும் போது, ​​இந்தச் சார்பின் வரைபடத்திற்கு டேன்ஜென்ட்டின் ஆர்டினேட்டின் அதிகரிப்புக்குச் சமம். Δx.

வேறுபாடு விதிகள்

தேற்றம். செயல்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும் என்றால் u(x)மற்றும் v(x)ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது x, பின்னர் இந்தச் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை, வேறுபாடு, தயாரிப்பு மற்றும் அளவு (கோட்டன்ட் வழங்கியது v(x)≠ 0) இந்த கட்டத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியவை, மேலும் சூத்திரங்கள் உள்ளன:

சிக்கலான செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் y=f(φ(x))≡ F(x), எங்கே y=f(u), u=φ(x). இந்த வழக்கில் uஅழைக்கப்பட்டது இடைநிலை வாதம், x - சுயாதீன மாறி.

தேற்றம். என்றால் y=f(u)மற்றும் u=φ(x)அவற்றின் வாதங்களின் வேறுபட்ட செயல்பாடுகள், பின்னர் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் y=f(φ(x))இடைநிலை வாதம் மற்றும் சுயாதீன மாறியைப் பொறுத்து இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றல் ஆகியவற்றைப் பொறுத்து இந்த செயல்பாட்டின் தயாரிப்புக்கு சமமாக உள்ளது, அதாவது.

கருத்து. ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டிற்கு, இது மூன்று செயல்பாடுகளின் மேல்நிலை ஆகும் y=F(f(φ(x))), வேறுபாடு விதி வடிவம் கொண்டது

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

செயல்பாடுகள் எங்கே v=φ(x), u=f(v)மற்றும் y=F(u)- அவர்களின் வாதங்களின் வேறுபட்ட செயல்பாடுகள்.

தேற்றம். செயல்படட்டும் y=f(x)புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் அதிகரிக்கிறது (அல்லது குறைகிறது) மற்றும் தொடர்கிறது x 0. கூடுதலாக, இந்த செயல்பாடு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட புள்ளியில் வேறுபடலாம் x 0இந்த கட்டத்தில் அதன் வழித்தோன்றல் f′(x 0) ≠ 0. பின்னர் தொடர்புடைய புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் y 0 =f(x 0)தலைகீழ் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது y=f(x)செயல்பாடு x=f -1 (y), மற்றும் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தலைகீழ் செயல்பாடு தொடர்புடைய புள்ளியில் வேறுபடுகிறது y 0 =f(x 0)மற்றும் இந்த கட்டத்தில் அதன் வழித்தோன்றலுக்கு ஒய்சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்

வழித்தோன்றல்கள் அட்டவணை

முதல் வேறுபாட்டின் வடிவத்தின் மாறுபாடு

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். என்றால் y=f(x), x=φ(t)- அவற்றின் வாதங்களின் செயல்பாடுகள் வேறுபட்டவை, பின்னர் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் y=f(φ(t))சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

y′ t = y′ x x′ t.

வரையறையின்படி dy=y′ t dt, பிறகு நாம் பெறுவோம்

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

எனவே, நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்

ஒரு செயல்பாட்டின் முதல் வேறுபாட்டின் வடிவத்தின் மாறாத தன்மை: வாதம் போது வழக்கில் போல் xஒரு சுயாதீன மாறி, மற்றும் வழக்கில் போது வாதம் xஅதுவே புதிய மாறியின் வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாகும் dyசெயல்பாடுகள் y=f(x)வாதத்தின் வேறுபாட்டால் பெருக்கப்படும் இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்குச் சமம் dx.

தோராயமான கணக்கீடுகளில் வேறுபாட்டின் பயன்பாடு

வேறுபாட்டைக் காட்டியுள்ளோம் dyசெயல்பாடுகள் y=f(x), பொதுவாக, அதிகரிப்புக்கு சமமாக இல்லை Δyஇந்த செயல்பாடு. எவ்வாறாயினும், அதை விட அதிக வரிசையின் சிறுமையின் எல்லையற்ற செயல்பாடு வரை Δx, தோராயமான சமத்துவம் செல்லுபடியாகும்

Δy ≈ dy.

இந்த சமத்துவத்தின் சமத்துவத்தின் ஒப்பீட்டு பிழை என்று விகிதம் அழைக்கப்படுகிறது. ஏனெனில் Δy-dy=o(Δx), பின்னர் இந்த சமத்துவத்தின் ஒப்பீட்டு பிழை குறைவதால் விரும்பிய அளவு சிறியதாகிறது |Δх|.

என்று கருதி Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, நாங்கள் பெறுகிறோம் f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxஅல்லது

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

இந்த தோராயமான சமத்துவம் பிழையுடன் அனுமதிக்கிறது o(Δx)மாற்று செயல்பாடு f(x)புள்ளியின் ஒரு சிறிய சுற்றுப்புறத்தில் x(அதாவது சிறிய மதிப்புகளுக்கு Δx) நேரியல் செயல்பாடுவாதம் Δx, வலது பக்கம் நின்று.

உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்

, இதில் நாம் எல்லைக்கு செல்கிறோம்.. ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் (அல்லது இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்). y=f(x)அதன் முதல் வழித்தோன்றலின் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலுக்கான குறியீடு y=f(x):

இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள். செயல்பாடு என்றால் y=f(x)இயக்க விதியை விவரிக்கிறது பொருள் புள்ளிஒரு நேர் கோட்டில், பின்னர் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் f″(x)நேரத்தின் தருணத்தில் நகரும் புள்ளியின் முடுக்கத்திற்கு சமம் x.

மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது வழித்தோன்றல்கள் இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

, இதில் நாம் எல்லைக்கு செல்கிறோம்.. nவது வழித்தோன்றல் (அல்லது வழித்தோன்றல் n-வது வரிசை) செயல்பாடுகள் y=f(x)அதன் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது n-1வது வழித்தோன்றல்:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

பதவிகள்: y″′, y IV, ஒய் விமுதலியன