நேரியல் சமன்பாடுகள் மேட்ரிக்ஸின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு. அமைப்பு மற்றும் fsr இன் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்

அமைப்புகள் நேரியல் சமன்பாடுகள், அனைத்து இலவச சொற்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன ஒரேவிதமான :

எந்தவொரு ஒரே மாதிரியான அமைப்பு எப்போதும் நிலையானது, ஏனெனில் அது எப்போதும் உள்ளது பூஜ்யம் (அற்பமானது ) தீர்வு. ஒரே மாதிரியான அமைப்பு எந்த நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு அற்பமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் என்ற கேள்வி எழுகிறது.

தேற்றம் 5.2.ஒரே மாதிரியான அமைப்பானது முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையில் இருந்தால் மட்டுமே அற்பமான தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது குறைவான எண்ணிக்கைஅவளுடைய தெரியாதவை.

விளைவு. ஒரு சதுர ஒரே மாதிரியான அமைப்பானது, அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே, அற்ப தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.6.கணினியில் அற்பமான தீர்வுகள் உள்ள அளவுரு l இன் மதிப்புகளைத் தீர்மானித்து, பின்வரும் தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு. பிரதான மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது இந்த அமைப்பு அற்பமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்:

எனவே, அமைப்பு l=3 அல்லது l=2 போது அற்பமானது அல்ல. l=3 க்கு, கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 1. பிறகு, ஒரே ஒரு சமன்பாட்டை விட்டுவிட்டு, ஒய்=அமற்றும் z=பி, நாம் பெறுகிறோம் x=b-a, அதாவது

l=2 க்கு, கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 2 ஆகும். பிறகு, மைனரை அடிப்படையாகத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

நாங்கள் ஒரு எளிமையான அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

இங்கிருந்து நாம் அதைக் கண்டுபிடிக்கிறோம் x=z/4, y=z/2. நம்புவது z=4அ, நாம் பெறுகிறோம்

ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்பு மிகவும் முக்கியமானது நேரியல் சொத்து : நெடுவரிசைகள் X என்றால் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 - ஒரே மாதிரியான அமைப்பிற்கான தீர்வுகள் AX = 0, பின்னர் அவற்றின் எந்த நேரியல் கலவையும்அ எக்ஸ் 1 + பி எக்ஸ் 2 இந்த முறைக்கு ஒரு தீர்வாகவும் இருக்கும். உண்மையில், இருந்து AX 1 = 0 மற்றும் AX 2 = 0 , அந்த ஏ(அ எக்ஸ் 1 + பி எக்ஸ் 2) = a AX 1 + பி AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. இந்தப் பண்பு காரணமாகவே ஒரு நேரியல் அமைப்பில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகள் இருந்தால், இந்த தீர்வுகளின் எண்ணற்ற எண்ணிக்கை இருக்கும்.

நேரியல் சார்பற்ற நெடுவரிசைகள் ஈ 1 , ஈ 2 , இ கே, ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு என்றால் பொதுவான முடிவுஇந்த அமைப்பு இந்த நெடுவரிசைகளின் நேரியல் கலவையாக எழுதப்படலாம்:

ஒரே மாதிரியான அமைப்பு இருந்தால் nமாறிகள், மற்றும் அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை சமமாக இருக்கும் ஆர், அந்த கே = என்-ஆர்.

எடுத்துக்காட்டு 5.7.பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு. கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எனவே, இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு பரிமாணத்தின் நேரியல் துணைவெளியை உருவாக்குகிறது என்-ஆர்= 5 - 2 = 3. அடிப்படையாக மைனர் தேர்வு செய்யலாம்

.

பின்னர், அடிப்படை சமன்பாடுகள் (மீதமுள்ளவை இந்த சமன்பாடுகளின் நேரியல் கலவையாக இருக்கும்) மற்றும் அடிப்படை மாறிகள் (மீதமுள்ளவை, இலவச மாறிகள் என்று அழைக்கப்படுபவை வலதுபுறம் நகர்த்துகிறோம்), நாம் ஒரு எளிமையான சமன்பாடு அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

நம்புவது எக்ஸ் 3 = அ, எக்ஸ் 4 = பி, எக்ஸ் 5 = c, நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்

, .

நம்புவது அ= 1, b = c= 0, நாங்கள் முதல் அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம்; நம்பிக்கை பி= 1, a = c= 0, நாம் இரண்டாவது அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம்; நம்பிக்கை c= 1, a = b= 0, நாங்கள் மூன்றாவது அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம். இதன் விளைவாக, தீர்வுகளின் சாதாரண அடிப்படை அமைப்பு வடிவம் எடுக்கும்

அடிப்படை அமைப்பைப் பயன்படுத்தி, ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை இவ்வாறு எழுதலாம்

எக்ஸ் = aE 1 + இரு 2 + cE 3. அ

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பிற்கான தீர்வுகளின் சில பண்புகளை நாம் கவனிக்கலாம் AX=Bமற்றும் சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்புடன் அவற்றின் உறவு AX = 0.

ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் பொதுவான தீர்வுதொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொது தீர்வு AX = 0 மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் தன்னிச்சையான குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.. உண்மையில், விடுங்கள் ஒய் 0 என்பது ஒரு சீரற்ற அமைப்பின் தன்னிச்சையான குறிப்பிட்ட தீர்வு, அதாவது. ஏய் 0 = பி, மற்றும் ஒய்- ஒரு பன்முக அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு, அதாவது. AY=B. ஒரு சமத்துவத்தை மற்றொன்றிலிருந்து கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்
ஏ(ஒய்-ஒய் 0) = 0, அதாவது. ஒய்-ஒய் 0 என்பது தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு AX=0. எனவே, ஒய்-ஒய் 0 = எக்ஸ், அல்லது Y=Y 0 + எக்ஸ். கே.இ.டி.

ஒத்திசைவற்ற அமைப்பு AX = B வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும் 1 + பி 2 . அத்தகைய அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு X = X என எழுதப்படலாம் 1 + எக்ஸ் 2 , எங்கே AX 1 = பி 1 மற்றும் AX 2 = பி 2. இந்த சொத்து பொதுவாக எந்த நேரியல் அமைப்புகளின் உலகளாவிய சொத்தை வெளிப்படுத்துகிறது (இயற்கணிதம், வேறுபாடு, செயல்பாட்டு, முதலியன). இயற்பியலில் இந்தப் பண்பு அழைக்கப்படுகிறது மேல்நிலை கொள்கை, மின் மற்றும் வானொலி பொறியியலில் - சூப்பர்போசிஷன் கொள்கை. உதாரணமாக, நேரியல் கோட்பாட்டில் மின்சுற்றுகள்எந்த சுற்றுவட்டத்திலும் மின்னோட்டத்தை இவ்வாறு பெறலாம் இயற்கணிதத் தொகைஒவ்வொரு ஆற்றல் மூலமும் தனித்தனியாக ஏற்படும் நீரோட்டங்கள்.

அமைப்பு மீநேரியல் சமன்பாடுகள் c nதெரியாதவர்கள் என்று நேரியல் ஒரே மாதிரியான அமைப்புஅனைத்து இலவச சொற்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் சமன்பாடுகள். அத்தகைய அமைப்பு இதுபோல் தெரிகிறது:

எங்கே மற்றும் ij (நான் = 1, 2, …, மீ; ஜே = 1, 2, …, n) - கொடுக்கப்பட்ட எண்கள்; x i- தெரியவில்லை.

நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு எப்போதும் நிலையானது, ஏனெனில் ஆர்(A) = ஆர்(). அவளுக்கு எப்போதும் உண்டு குறைந்தபட்சம், பூஜ்யம் ( அற்பமானது) தீர்வு (0; 0; …; 0).

எந்த நிலைமைகளின் கீழ் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகள் பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

தேற்றம் 1.நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதன் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை இருந்தால் மட்டுமே ஆர்குறைவான அறியப்படாதவர்கள் n, அதாவது ஆர் < n.

□ 1) நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் கொண்டிருக்கட்டும். தரவரிசை மேட்ரிக்ஸின் அளவை விட அதிகமாக இருக்கக்கூடாது என்பதால், வெளிப்படையாக, ஆர் ≤ n. விடுங்கள் ஆர் = n. பின்னர் சிறிய அளவுகளில் ஒன்று n nபூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. எனவே, நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது: . அற்பமான தீர்வுகளைத் தவிர வேறு தீர்வுகள் இல்லை என்பதே இதன் பொருள். எனவே, அற்பமான தீர்வு இருந்தால், பின்னர் ஆர் < n.

2) விடுங்கள் ஆர் < n. பின்னர் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு, நிலையானதாக இருப்பது, நிச்சயமற்றது. இது எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது. பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. ■

ஒரே மாதிரியான அமைப்பைக் கவனியுங்கள் nநேரியல் சமன்பாடுகள் c nதெரியவில்லை:

(2)

தேற்றம் 2.ஒரே மாதிரியான அமைப்பு nநேரியல் சமன்பாடுகள் c n unknowns (2) ஆனது பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே: = 0.

□ கணினி (2) இல் பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வு இருந்தால், = 0. ஏனெனில் கணினியில் ஒரு பூஜ்ஜிய தீர்வு மட்டுமே இருக்கும். = 0 என்றால், தரவரிசை ஆர்கணினியின் முக்கிய அணி தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக உள்ளது, அதாவது. ஆர் < n. எனவே, கணினியில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன, அதாவது. பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. ■

அமைப்பின் தீர்வைக் குறிப்போம் (1) எக்ஸ் 1 = கே 1 , எக்ஸ் 2 = கே 2 , …, x n = கே என்ஒரு சரமாக .

நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்வுகள் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன:

1. வரி என்றால் அமைப்பு (1) க்கு ஒரு தீர்வு, பின்னர் வரி அமைப்பு (1) க்கு ஒரு தீர்வு.

2. வரிகள் என்றால் மற்றும் - அமைப்பின் தீர்வுகள் (1), பின்னர் எந்த மதிப்புகளுக்கும் உடன் 1 மற்றும் உடன் 2 அவற்றின் நேரியல் கலவையும் அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வாகும் (1).

இந்த பண்புகளின் செல்லுபடியை கணினியின் சமன்பாடுகளில் நேரடியாக மாற்றுவதன் மூலம் சரிபார்க்க முடியும்.

முறைப்படுத்தப்பட்ட பண்புகளில் இருந்து, நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் எந்த நேரியல் கலவையும் இந்த அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வாகும்.

அமைப்பு நேரியல் சுதந்திரமான முடிவுகள் இ 1 , இ 2 , …, இ ஆர்அழைக்கப்பட்டது அடிப்படை, அமைப்பின் ஒவ்வொரு தீர்வும் (1) இந்த தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையாக இருந்தால் இ 1 , இ 2 , …, இ ஆர்.

தேற்றம் 3.தரவரிசை என்றால் ஆர்க்கான குணகம் மெட்ரிக்குகள் கணினி மாறிகள்நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் (1) மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருக்கும் n, பின்னர் அமைப்பு (1)க்கான தீர்வுகளின் எந்தவொரு அடிப்படை அமைப்பும் உள்ளது என்-ஆர்முடிவுகள்.

அதனால் தான் பொதுவான முடிவுநேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (1) வடிவம் கொண்டது:

எங்கே இ 1 , இ 2 , …, இ ஆர்- அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு (9), உடன் 1 , உடன் 2 , …, p உடன்- தன்னிச்சையான எண்கள், ஆர் = என்-ஆர்.

தேற்றம் 4.அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு மீநேரியல் சமன்பாடுகள் c nதெரியாதது என்பது நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு (1) மற்றும் இந்த அமைப்பின் தன்னிச்சையான குறிப்பிட்ட தீர்வு (1) ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

உதாரணமாக.அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு.இந்த அமைப்புக்கு மீ = n= 3. தீர்மானிப்பான்

தேற்றம் 2 மூலம், கணினி ஒரு அற்பமான தீர்வை மட்டுமே கொண்டுள்ளது: எக்ஸ் = ஒய் = z = 0.

உதாரணமாக. 1) அமைப்பின் பொதுவான மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்

2) தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 1) இந்த அமைப்புக்கு மீ = n= 3. தீர்மானிப்பான்

தேற்றம் 2 மூலம், கணினி பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

கணினியில் ஒரே ஒரு சுயாதீன சமன்பாடு இருப்பதால்

எக்ஸ் + ஒய் – 4z = 0,

பின்னர் அதிலிருந்து வெளிப்படுத்துவோம் எக்ஸ் =4z- ஒய். எண்ணற்ற தீர்வுகளை எங்கே பெறுவது: (4 z- ஒய், ஒய், z) - இது அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு.

மணிக்கு z= 1, ஒய்= -1, நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைப் பெறுகிறோம்: (5, -1, 1). போடுவது z= 3, ஒய்= 2, நாம் இரண்டாவது குறிப்பிட்ட தீர்வைப் பெறுகிறோம்: (10, 2, 3), முதலியன.

2) பொதுவான தீர்வில் (4 z- ஒய், ஒய், z) மாறிகள் ஒய்மற்றும் zஇலவசம், மற்றும் மாறி எக்ஸ்- அவர்களைச் சார்ந்தது. தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறிய, இலவச மாறிகளுக்கு மதிப்புகளை ஒதுக்குவோம்: முதலில் ஒய் = 1, z= 0, பின்னர் ஒய் = 0, z= 1. நாம் பகுதி தீர்வுகளை (-1, 1, 0), (4, 0, 1) பெறுகிறோம், இது தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குகிறது.

விளக்கப்படங்கள்:

அரிசி. 1 நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் வகைப்பாடு

அரிசி. 2 நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் ஆய்வு

விளக்கக்காட்சிகள்:

· தீர்வு SLAE_matrix முறை

SLAE_Cramer முறையின் தீர்வு

· தீர்வு SLAE_Gauss முறை

· தீர்வு தொகுப்புகள் கணித சிக்கல்கள் கணிதம், MathCad: நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு பகுப்பாய்வு மற்றும் எண்ணியல் தீர்வுகளைத் தேடுதல்

கட்டுப்பாட்டு கேள்விகள் :

1. ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டை வரையறுக்கவும்

2. இது எந்த வகையான அமைப்பு போல் தெரிகிறது? மீஉடன் நேரியல் சமன்பாடுகள் nதெரியாதா?

3. நேரியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வு அமைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுவது எது?

4. என்ன அமைப்புகள் சமமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

5. எந்த அமைப்பு இணக்கமற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது?

6. எந்த அமைப்பு கூட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

7. எந்த அமைப்பு திட்டவட்டமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது?

8. எந்த அமைப்பு காலவரையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது

9. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் அடிப்படை மாற்றங்களை பட்டியலிடுங்கள்

10. மெட்ரிக்குகளின் அடிப்படை மாற்றங்களை பட்டியலிடுங்கள்

11. பயன்பாட்டு தேற்றத்தைக் குறிப்பிடவும் அடிப்படை மாற்றங்கள்நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு

12. மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி என்ன அமைப்புகளைத் தீர்க்க முடியும்?

13. க்ரேமர் முறை மூலம் என்ன அமைப்புகளை தீர்க்க முடியும்?

14. காஸ் முறை மூலம் என்ன அமைப்புகளை தீர்க்க முடியும்?

15. காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் போது ஏற்படக்கூடிய 3 சாத்தியமான நிகழ்வுகளைப் பட்டியலிடுங்கள்.

16. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான மேட்ரிக்ஸ் முறையை விவரிக்கவும்

17. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான க்ரேமரின் முறையை விவரிக்கவும்

18. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான காஸின் முறையை விவரிக்கவும்

19. என்ன அமைப்புகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் தலைகீழ் அணி?

20. க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் போது ஏற்படக்கூடிய 3 சாத்தியமான நிகழ்வுகளைப் பட்டியலிடுங்கள்.

இலக்கியம்:

1. பொருளாதார வல்லுனர்களுக்கான உயர் கணிதம்: பல்கலைக்கழகங்களுக்கான பாடநூல் / N.Sh. க்ரீமர், பி.ஏ. புட்கோ, ஐ.எம். த்ரிஷின், எம்.என். எட். N.Sh. க்ரீமர். - எம்.: யூனிட்டி, 2005. - 471 பக்.

2. பொருளாதார வல்லுனர்களுக்கான உயர் கணிதத்தின் பொதுப் படிப்பு: பாடநூல். / எட். மற்றும். எர்மகோவா. –எம்.: INFRA-M, 2006. – 655 பக்.

3. பொருளாதார நிபுணர்களுக்கான உயர் கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு: பயிற்சி/ திருத்தியவர் வி.ஐ. எர்மகோவா. எம்.: இன்ஃப்ரா-எம், 2006. - 574 பக்.

4. Gmurman V. E. நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் மாக்மடிக் புள்ளிவிவரங்களில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழிகாட்டி. - எம்.: பட்டதாரி பள்ளி, 2005. - 400 பக்.

5. க்மர்மன். V.E நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் கணித புள்ளிவிவரங்கள். - எம்.: உயர்நிலைப் பள்ளி, 2005.

6. டான்கோ பி.இ., போபோவ் ஏ.ஜி., கோசெவ்னிகோவா டி.யா. பயிற்சிகள் மற்றும் சிக்கல்களில் உயர் கணிதம். பகுதி 1, 2. – எம்.: ஓனிக்ஸ் 21 ஆம் நூற்றாண்டு: அமைதி மற்றும் கல்வி, 2005. – 304 பக். பகுதி 1; – 416 பக். பகுதி 2.

7. பொருளாதாரத்தில் கணிதம்: பாடநூல்: 2 பாகங்களில் / ஏ.எஸ். சோலோடோவ்னிகோவ், வி.ஏ. பாபாய்ட்சேவ், ஏ.வி. பிரைலோவ், ஐ.ஜி. ஷந்தாரா. – எம்.: நிதி மற்றும் புள்ளியியல், 2006.

8. ஷிபச்சேவ் வி.எஸ். உயர் கணிதம்: மாணவர்களுக்கான பாடநூல். பல்கலைக்கழகங்கள் - எம்.: உயர்நிலைப் பள்ளி, 2007. - 479 பக்.

தொடர்புடைய தகவல்கள்.

அது என்னவென்று புரிந்து கொள்ள அடிப்படை முடிவு அமைப்புகிளிக் செய்வதன் மூலம் அதே உதாரணத்திற்கான வீடியோ டுடோரியலை நீங்கள் பார்க்கலாம். இப்போது முழு விளக்கத்திற்கு செல்லலாம் தேவையான வேலை. இந்த சிக்கலின் சாரத்தை இன்னும் விரிவாக புரிந்து கொள்ள இது உதவும்.

நேரியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம்:

இதற்கு தீர்வு காண்போம் நேரியல் அமைப்புசமன்பாடுகள் தொடங்குவதற்கு, நாங்கள் நீங்கள் கணினியின் குணகம் மேட்ரிக்ஸை எழுத வேண்டும்.

இந்த மேட்ரிக்ஸை முக்கோணமாக மாற்றுவோம்.முதல் வரியை மாற்றங்கள் இல்லாமல் மீண்டும் எழுதுகிறோம். மேலும் $a_(11)$ இன் கீழ் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியங்களாக செய்யப்பட வேண்டும். $a_(21)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, இரண்டாவது வரியிலிருந்து முதல் வரியைக் கழித்து, இரண்டாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(31)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, நீங்கள் மூன்றாவது வரியிலிருந்து முதல் வரியைக் கழித்து மூன்றாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(41)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, நான்காவது வரியிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் முதல் எண்ணைக் கழித்து, நான்காவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(31)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, ஐந்தாவது வரியிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் ஐந்தாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும்.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகளை மாற்றமின்றி மீண்டும் எழுதுகிறோம். மேலும் $a_(22)$ இன் கீழ் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியங்களாக செய்யப்பட வேண்டும். $a_(32)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, மூன்றாவது வரியில் இருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் இரண்டாவது ஒன்றைக் கழித்து மூன்றாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(42)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, நான்காவது வரியிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் இரண்டைக் கழித்து நான்காவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(52)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, ஐந்தாவது வரியிலிருந்து 3 ஆல் பெருக்கப்படும் இரண்டைக் கழித்து ஐந்தாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும்.

என்று பார்க்கிறோம் கடைசி மூன்று வரிகளும் ஒன்றே, எனவே நான்காவது மற்றும் ஐந்தில் இருந்து மூன்றை கழித்தால் அவை பூஜ்ஜியமாகிவிடும்.

இந்த மேட்ரிக்ஸின் படி எழுது புதிய அமைப்புசமன்பாடுகள்.

அது நேர்கோட்டில் இருப்பதைக் காண்கிறோம் சுயாதீன சமன்பாடுகள்எங்களிடம் மூன்று மட்டுமே உள்ளன, ஆனால் ஐந்து தெரியவில்லை, எனவே தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு இரண்டு திசையன்களைக் கொண்டிருக்கும். எனவே நாம் கடைசி இரண்டு தெரியாதவற்றை வலது பக்கம் நகர்த்த வேண்டும்.

இப்போது, ​​இடது பக்கத்தில் இருக்கும் தெரியாதவற்றை வலது பக்கம் உள்ளவர்கள் மூலம் வெளிப்படுத்த ஆரம்பிக்கிறோம். கடைசி சமன்பாட்டுடன் தொடங்குகிறோம், முதலில் $x_3$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம், அதன் விளைவாக வரும் முடிவை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றி $x_2$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம், பின்னர் முதல் சமன்பாட்டிற்குள் மற்றும் இங்கே $x_1$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம். இவ்வாறு இடது பக்கம் இருக்கும் தெரியாதவைகளை வலது பக்கம் இருக்கும் தெரியாதவை மூலம் வெளிப்படுத்தினோம்.

பின்னர், $x_4$ மற்றும் $x_5$ க்குப் பதிலாக, நாம் எந்த எண்களையும் மாற்றலாம் மற்றும் $x_1$, $x_2$ மற்றும் $x_3$ ஆகியவற்றைக் கண்டறியலாம். இந்த ஒவ்வொரு ஐந்து எண்களும் நமது அசல் சமன்பாடுகளின் மூலங்களாக இருக்கும். இதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள திசையன்களைக் கண்டறிய FSR$x_4$க்கு பதிலாக 1ஐயும், $x_5$க்கு பதிலாக 0ஐயும் மாற்ற வேண்டும், $x_1$, $x_2$ மற்றும் $x_3$ ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும், அதன்பின் நேர்மாறாக $x_4=0$ மற்றும் $x_5=1$ ஐக் கண்டறியவும்.

விடுங்கள் எம் 0 - நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு (4) தீர்வுகளின் தொகுப்பு.

வரையறை 6.12.திசையன்கள் உடன் 1 ,உடன் 2 , …, p உடன், நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன தீர்வுகளின் அடிப்படை தொகுப்பு(சுருக்கமாக FNR), என்றால்

1) திசையன்கள் உடன் 1 ,உடன் 2 , …, p உடன்நேரியல் சார்பற்றது (அதாவது, அவற்றில் எதையும் மற்றவர்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முடியாது);

2) நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பிற்கான வேறு எந்த தீர்வையும் தீர்வுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம் உடன் 1 ,உடன் 2 , …, p உடன்.

என்றால் கவனிக்கவும் உடன் 1 ,உடன் 2 , …, p உடன்- எந்த f.n.r., பின்னர் வெளிப்பாடு கே 1× உடன் 1 + கே 2× உடன் 2 + … + கே ப× p உடன்நீங்கள் முழு தொகுப்பையும் விவரிக்க முடியும் எம்அமைப்புக்கு 0 தீர்வுகள் (4), எனவே இது அழைக்கப்படுகிறது கணினி தீர்வு பற்றிய பொதுவான பார்வை (4).

தேற்றம் 6.6.நேரியல் சமன்பாடுகளின் எந்தவொரு உறுதியற்ற ஒரே மாதிரியான அமைப்பும் ஒரு அடிப்படை தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

கண்டுபிடிக்கும் முறை அடிப்படை தொகுப்புதீர்வுகள் பின்வருமாறு:

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்;

கட்ட ( n – ஆர்) இந்த அமைப்பின் பகுதி தீர்வுகள், இலவச அறியப்படாத மதிப்புகள் ஒரு அடையாள அணியை உருவாக்க வேண்டும்;

எழுதி முடி பொது வடிவம்தீர்வுகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன எம் 0 .

எடுத்துக்காட்டு 6.5.பின்வரும் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை தொகுப்பைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு. இந்த முறைக்கு ஒரு பொதுவான தீர்வு காண்போம்.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ இந்த அமைப்பில் ஐந்து அறியப்படாதவை உள்ளன ( n= 5), இதில் இரண்டு முக்கிய அறியப்படாதவை உள்ளன ( ஆர்= 2), மூன்று இலவச அறியப்படாதவை உள்ளன ( n – ஆர்), அதாவது, அடிப்படை தீர்வுத் தொகுப்பில் மூன்று தீர்வு திசையன்கள் உள்ளன. அவற்றைக் கட்டுவோம். எங்களிடம் உள்ளது எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 3 - முக்கிய தெரியாதவை, எக்ஸ் 2 , எக்ஸ் 4 , எக்ஸ் 5 - இலவச தெரியாதவை

இலவச அறியப்படாத மதிப்புகள் எக்ஸ் 2 , எக்ஸ் 4 , எக்ஸ் 5 அடையாள அணியை உருவாக்குகிறது ஈமூன்றாவது வரிசை. அந்த திசையன்கள் கிடைத்தது உடன் 1 ,உடன் 2 , உடன் 3 வடிவம் f.n.r. இந்த அமைப்பின். பின்னர் இந்த ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் தீர்வுகளின் தொகுப்பு இருக்கும் எம் 0 = {கே 1× உடன் 1 + கே 2× உடன் 2 + கே 3× உடன் 3 , கே 1 , கே 2 , கே 3 ஓ ஆர்).

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் இருப்பதற்கான நிபந்தனைகளை இப்போது கண்டுபிடிப்போம், வேறுவிதமாகக் கூறினால், அடிப்படை தீர்வுகளின் இருப்புக்கான நிலைமைகள்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, நிச்சயமற்றது

1) கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக உள்ளது;

2) நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பில், அறியப்படாத எண்ணிக்கையை விட சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை குறைவாக இருக்கும்;

3) நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பில் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால், முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் (அதாவது | ஏ| = 0).

எடுத்துக்காட்டு 6.6. எந்த அளவுரு மதிப்பில் அநேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் உள்ளதா?

தீர்வு. இந்த அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸை உருவாக்கி அதன் தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்: = = 1×(–1) 1+1 × = – ஏ– 4. இந்த மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் அ = –4.

பதில்: –4.

7. எண்கணிதம் n- பரிமாண திசையன் இடம்

அடிப்படை கருத்துக்கள்

முந்தைய பிரிவுகளில், ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் அமைக்கப்பட்ட உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே சந்தித்துள்ளோம். இது ஒரு வரிசை அணி (அல்லது நெடுவரிசை அணி) மற்றும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான தீர்வு nதெரியவில்லை. இந்த தகவலை சுருக்கமாகக் கூறலாம்.

வரையறை 7.1. n-பரிமாண எண்கணித திசையன்ஆர்டர் செய்யப்பட்ட தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது nஉண்மையான எண்கள்.

பொருள் ஏ= (a 1 , a 2 , ..., a n), எங்கே நான்ஓ ஆர், நான் = 1, 2, …, n- திசையன் பொதுவான பார்வை. எண் nஅழைக்கப்பட்டது பரிமாணம்திசையன்கள் மற்றும் எண்கள் a நான்அவரது என்று அழைக்கப்படுகின்றன ஒருங்கிணைப்புகள்.

உதாரணத்திற்கு: ஏ= (1, –8, 7, 4, ) - ஐந்து பரிமாண திசையன்.

அனைத்தும் ஒழுங்குபடுத்தபட்டுள்ள்ளது nபரிமாண திசையன்கள் பொதுவாக இவ்வாறு குறிக்கப்படுகின்றன Rn.

வரையறை 7.2.இரண்டு திசையன்கள் ஏ= (a 1 , a 2 , ..., a n) மற்றும் பி= (b 1, b 2, ..., b n) அதே பரிமாணம் சமமானஅவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது a 1 ​​= b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= ஆ n.

வரையறை 7.3.தொகைஇரண்டு n- பரிமாண திசையன்கள் ஏ= (a 1 , a 2 , ..., a n) மற்றும் பி= (b 1, b 2, ..., b n) திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது அ + பி= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+ ஆ n).

வரையறை 7.4. வேலைஉண்மையான எண் கேதிசையன் ஏ= (a 1 , a 2 , ..., a n) திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது கே× ஏ = (கே×அ 1, கே×a 2,…, கே×அ n)

வரையறை 7.5.திசையன் ஓ= (0, 0, …, 0) அழைக்கப்படுகிறது பூஜ்யம்(அல்லது பூஜ்ய திசையன்).

திசையன்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் அவற்றை உண்மையான எண்ணால் பெருக்குவது போன்ற செயல்கள் (செயல்பாடுகள்) பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானது: " அ, பி, c Î Rn, " கே, எல்ஓ ஆர்:

1) அ + பி = பி + அ;

2) அ + (பி+ c) = (அ + பி) + c;

3) அ + ஓ = அ;

4) அ+ (–அ) = ஓ;

5) 1× அ = அ, 1 О ஆர்;

6) கே×( எல்× அ) = எல்×( கே× அ) = (எல்× கே)× அ;

7) (கே + எல்)× அ = கே× அ + எல்× அ;

8) கே×( அ + பி) = கே× அ + கே× பி.

வரையறை 7.6.ஒரு கொத்து Rnதிசையன்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் அதில் கொடுக்கப்பட்ட உண்மையான எண்ணால் அவற்றைப் பெருக்குவது எனப்படும் எண்கணித n-பரிமாண திசையன் இடம்.

ஒரு புலத்தின் மீது நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு

வரையறை. சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு (1) வெற்று நேரியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சுயாதீன அமைப்புஅதன் தீர்வுகள், அதன் நேரியல் இடைவெளியானது அமைப்பின் அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்புடன் ஒத்துப்போகிறது (1).

பூஜ்ஜிய தீர்வை மட்டுமே கொண்ட ஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாடு அமைப்பு தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க.

முன்மொழிவு 3.11. நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பிற்கான தீர்வுகளின் எந்த இரண்டு அடிப்படை அமைப்புகளும் உள்ளன அதே எண்முடிவுகள்.

ஆதாரம். உண்மையில், ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் (1) தீர்வுகளின் எந்த இரண்டு அடிப்படை அமைப்புகளும் சமமானவை மற்றும் நேரியல் சுயாதீனமானவை. எனவே, முன்மொழிவு 1.12 மூலம், அவர்களின் தரவரிசைகள் சமமாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, ஒரு அடிப்படை அமைப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை, வேறு எந்த அடிப்படை தீர்வு அமைப்பிலும் உள்ள தீர்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் (1) முக்கிய அணி A பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், எந்த திசையனும் கணினிக்கு (1) தீர்வாகும்; இந்த வழக்கில், எந்த சேகரிப்பும் நேரியல் ஆகும் சுயாதீன திசையன்கள்தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பாகும். அணி A இன் நெடுவரிசை ரேங்க் சமமாக இருந்தால், கணினி (1) க்கு ஒரே ஒரு தீர்வு உள்ளது - பூஜ்யம்; எனவே, இந்த வழக்கில், சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (1) தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை.

கோட்பாடு 3.12. நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை (1) மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருந்தால், அமைப்பு (1) தீர்வுகளைக் கொண்ட ஒரு அடிப்படை தீர்வு அமைப்பைக் கொண்டுள்ளது.

ஆதாரம். ஒரே மாதிரியான அமைப்பு (1) இன் பிரதான அணி A இன் ரேங்க் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் அல்லது , தேற்றம் உண்மை என்று மேலே காட்டப்பட்டது. எனவே, அதற்குக் கீழே அனுமானித்தல் , அணி A இன் முதல் நெடுவரிசைகள் நேரியல் சார்பற்றவை என்று கருதுவோம். இந்த வழக்கில், மேட்ரிக்ஸ் A என்பது குறைக்கப்பட்ட படிநிலை அணிக்கு வரிசையாகச் சமமானது, மேலும் அமைப்பு (1) என்பது பின்வரும் குறைக்கப்பட்ட படிநிலை சமன்பாடுகளுக்குச் சமம்:

கணினி (2) இன் இலவச மாறிகளின் மதிப்புகளின் எந்த அமைப்பும் அமைப்பு (2) மற்றும், எனவே, அமைப்பு (1) க்கு ஒரே ஒரு தீர்வுடன் ஒத்துப்போகிறதா என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானது. குறிப்பாக, அமைப்பு (2) மற்றும் அமைப்பு (1) ஆகியவற்றின் பூஜ்ஜிய தீர்வு மட்டுமே பூஜ்ஜிய மதிப்புகளின் அமைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது.

கணினியில் (2) இலவச மாறிகளில் ஒன்றை 1 க்கு சமமான மதிப்பையும், மீதமுள்ள மாறிகள் - பூஜ்ஜிய மதிப்புகளையும் ஒதுக்குவோம். இதன் விளைவாக, பின்வரும் மேட்ரிக்ஸ் C இன் வரிசைகளின் வடிவத்தில் எழுதும் சமன்பாடுகளின் (2) அமைப்புக்கான தீர்வுகளைப் பெறுகிறோம்:

இந்த மேட்ரிக்ஸின் வரிசை அமைப்பு நேரியல் சார்பற்றது. உண்மையில், சமத்துவத்திலிருந்து எந்த அளவுகோல்களுக்கும்

சமத்துவம் பின்பற்றப்படுகிறது

எனவே, சமத்துவம்

மேட்ரிக்ஸ் C இன் வரிசைகளின் அமைப்பின் நேரியல் இடைவெளியானது கணினி (1)க்கான அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்புடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதை நிரூபிப்போம்.

அமைப்பின் தன்னிச்சையான தீர்வு (1). பின்னர் திசையன்

அமைப்பு (1), மற்றும்