மறுநிகழ்வு உறவுகளின் பொதுவான மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள். டி.என். மாட்டிட்ஸினா மறுபிறப்பு உறவுகளின் தனித்துவமான கணித தீர்வு. பட்டறை

சில எண்கள் இருக்கும் பின்வரும் தொடர்பை வரிசை பூர்த்தி செய்கிறது. கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு, சூத்திரம் (1) வரிசையை முழுமையாக தீர்மானிக்கிறது; அதன் ஒவ்வொரு தனிமமும், kth இலிருந்து தொடங்கி, குணகங்களுடன் முந்தைய k உறுப்புகளின் நேரியல் கலவையாகும், எனவே, சூத்திரம் (1) kth வரிசையின் நேரியல் தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது. நாம் அதை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம் அல்லது நேரியல் மீண்டும் வரும் சமன்பாடுகளின் தீர்வு என்று வைத்துக் கொண்டால், சிக்கலை முன்வைப்போம் - வரிசையின் தொடர்ச்சியான ஒதுக்கீட்டில் இருந்து அதன் எண் n இல் xn இன் பொதுச் சொல்லின் சார்புநிலையை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரத்திற்கு நகர்த்தவும் இந்த சிக்கலை தீர்க்க, நாங்கள் கருத்தில் கொண்டு அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: - வரிசையின் உருவாக்கும் செயல்பாடு - பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை - பல்லுறுப்புக்கோவை பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு இடையே பின்வரும் தொடர்பைக் கவனிக்கலாம்: at. F(t) என்பதை நிரூபிப்போம் பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடு. உண்மையில், Cm என்ற குணகங்கள் a^ மற்றும் வரிசையின் முதல் k விதிமுறைகளால் தீர்மானிக்கப்படும் இடத்தில் So,) என்பது k- 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லாத பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்; எனவே F(t) = சரியான பகுத்தறிவு பின்னமாகும். எங்கள் கணக்கீடுகளின் மேலும் போக்கானது பின்வருமாறு இருக்கும்: நாங்கள் F(t) ஐ எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வடிவத்தில் வழங்குவோம், t மாறியின் சக்திகளில் எளிய பின்னங்களின் விரிவாக்கங்களை எழுதுவோம், அதன் பிறகு, விளைவான தொடரின் வடிவத்தில் இருந்து F(t) க்கு, n இல் xn சார்ந்திருக்கும் தன்மை தெளிவாக இருக்கும் /(A) ஆனது s வெவ்வேறு (சிக்கலான) வேர்களைக் கொண்டிருக்கட்டும்: Aj of multiplicity Γ|, ..., Xa of multiplicity: இயற்கணிதத்திலிருந்து அறியப்பட்டபடி, வழக்கமான ஒரு சிதைவு பகுத்தறிவு பின்னம்வகுத்தல் g(t) முதல் எளிய பின்னங்கள் வரை சில மாறிலிகள் இருக்கும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஈருறுப்பு விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம், அல்லது, n பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருப்பதால் (ஒரு நிலையான j) ro of order ஆனது எண்ணுக்கு பன்மடங்கு rன் வேர், மறுநிகழ்வு உறவின் பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை, P*(i) என்பது r - 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லாத பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குறிப்பிட்ட வடிவம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது வரிசையின் முதல் k விதிமுறைகள்: குறிப்பாக, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து வேர்களும் எளிமையாக இருந்தால் (அதாவது பெருக்கம் 1), பின்னர் வரிசை (x„) வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்படுகிறது: இதில் Ci சில மாறிலிகள். ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். எடுத்துக்காட்டு 1. Fibonacci எண்களின் வரிசையானது உறவுகளால் வழங்கப்படுகிறது, ஒரு சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்: பொது வார்த்தையின் சூத்திரம்: ஆரம்ப நிலைகளில் இருந்து C\ மற்றும் Cj குணகங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்: . இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்த்து, இறுதி முடிவைப் பெறுகிறோம்: எடுத்துக்காட்டு 2. நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யும் அனைத்து வரிசைகளையும் கண்டறியவும் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு A2 - 2A4- 1 =0 இரட்டை வேரைக் கொண்டுள்ளது: Au = 1, எனவே வரிசையின் பொதுச் சொல் வடிவம் கொண்டது: O மற்றும் 6 மாறிலிகள் வரிசையின் முதல் இரண்டு சொற்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. எனவே, (x„) என்பது ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும். உறவு (3) என்பதற்கான சிறப்பியல்பு என்று குறிப்பிட்டு இந்த முடிவைக் கணித்திருக்கலாம் எண்கணித முன்னேற்றம் : வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது தொடங்கி, அதன் அண்டை உறுப்பினர்களின் எண்கணித சராசரி. உதாரணம்3. உறவுகளால் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையை (z„) கண்டுபிடிப்போம்: வரிசையின் n வது காலத்தின் வகை:. சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து a, b, c ஆகிய மாறிலிகளைக் கண்டுபிடிப்போம் பதில்: பயிற்சிகள் நேரியல் மறுநிகழ்வு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் தயாரிப்பு விதி 1. நகர A இலிருந்து B நகருக்குச் செல்லும் 5 சாலைகளும், B நகரத்திலிருந்து C நகருக்கு 7 சாலைகளும் உள்ளன. நகர A முதல் B வரை B வழியாக எத்தனை வெவ்வேறு வழிகள் உள்ளன? 2. சாப்பாட்டு அறை மெனுவில் 3 முதல், 5 இரண்டாவது மற்றும் 3 மூன்றாவது படிப்புகள் உள்ளன. மூன்று வகை உணவை (முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது) எத்தனை வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம்? 3. இலக்கங்கள் இல்லாத எத்தனை இரண்டு இலக்க எண்கள் உள்ளன 4. எத்தனை இரண்டு இலக்க எண்கள் உள்ளன? மூன்று இலக்கங்கள். நீங்கள் எத்தனை வெவ்வேறு உரிமத் தட்டு எண்களை உருவாக்கலாம்? 6. பியானோவில் 88 விசைகள் உள்ளன. தொடர்ச்சியாக 6 ஒலிகளை எத்தனை வழிகளில் உருவாக்க முடியும்? 7. 8 என்ற எண்ணுக்கு எத்தனை இயற்கை வகுத்தல்கள் உள்ளன? 2) இரண்டு ஒத்த எண்களுடன் தொடங்குகிறதா? 3) ஒவ்வொன்றும் ஒரே எண்களைக் கொண்டிருக்கவில்லையா? 4) ஒவ்வொன்றிலும் அருகிலுள்ள எண்கள் வேறுபட்டவை? 5) 4 ஆல் வகுபடும் மற்றும் இலக்கங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை 6) யாருடைய உள்ளீடுகளில் அதே இலக்கங்கள் உள்ளன? 7) யாருடைய உள்ளீடு குறைந்தது ஒரு இரட்டை இலக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது? நேரியல் மறுநிகழ்வு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது 10. எண்களின் எத்தனை வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன, அதில் 1) எண் 3 மூன்றாவது இடத்திலும், எண் 5 ஐந்தாவது இடத்திலும் உள்ளது? 2) எண் 1 உடனடியாக 0 என்ற எண்ணைப் பின்பற்றுகிறதா? 3) எண் 0 முதல் மூன்று இடங்களில் ஒன்றையும், எண் 1 கடைசி நான்கு இடங்களில் ஒன்றையும் எடுக்குமா? 4) எண் 0 முதல் ஐந்து இடங்களில் ஒன்றையும், எண் 1 முதல் மூன்று இடங்களில் ஒன்றையும் எடுக்குமா? 5) 0 மற்றும் 1 எண்களுக்கு இடையில் சரியாக மூன்று எண்கள் உள்ளதா? 6) எண் 0 என்பது எண் 1 ன் இடதுபுறத்தில் உள்ளதா? 7) எண் 1 என்பது 0 மற்றும் 2 எண்களுக்கு இடையே உள்ளதா? 8) முதல் மூன்று இலக்கங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று 3 ஆல் வகுபடுமா? 11. பத்து மேசைகளில் 10 ஆண் குழந்தைகளையும் 10 பெண் குழந்தைகளையும் எத்தனை வழிகளில் உட்கார வைக்கலாம், அதனால் ஒவ்வொரு மேசையிலும் அ) ஒரு பையன் இடதுபுறமும் ஒரு பெண் வலதுபுறமும் அமர்ந்திருப்பார்களா? b) பையன் மற்றும் பெண்? 12. பின்வரும் அட்டவணைகள் ஒவ்வொன்றிலும் வலப்புறம் அல்லது கீழே நகர்த்துவதன் மூலம் SAIL என்ற வார்த்தையை எத்தனை வழிகளில் படிக்கலாம்? சேர்க்கைகள் 15. கணக்கிடவும்: 16. பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பின் X துணைக்குழுக்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்: 5) X தொகுப்பு மூன்று இரட்டை மற்றும் ஒற்றைப்படை எண்களைக் கொண்டுள்ளது; 17. புள்ளிகள் ஒரு வட்டத்தில் வரிசையாகக் குறிக்கப்படுகின்றன 2) குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் செங்குத்துகளுடன் முக்கோணங்கள்; 3) குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் செங்குத்துகளுடன் குவிந்த நாற்கரங்கள்; 4) A2Aa கோட்டுடன் பொதுவான புள்ளிகள் இல்லாத குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் செங்குத்துகள் கொண்ட முக்கோணங்கள்; 5) குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் செங்குத்துகளுடன் கூடிய முக்கோணங்கள், AiA என்ற வரியுடன் பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டவை)? 18. வட்டத்தில் n புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன. புள்ளிகள் அனைத்து வகையான நாண்களாலும் இணைக்கப்பட்டுள்ளன; அவை மூன்றும் வட்டத்தின் உள்ளே ஒரு புள்ளியில் வெட்டுவதில்லை என்பது அறியப்படுகிறது. கண்டுபிடி: 1) வட்டத்திற்குள் நாண்களின் வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை; 2) வளையங்கள் வட்டத்தை பிரிக்கும் பகுதிகளின் எண்ணிக்கை. 19. வரி I இல் 8 புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன, அதற்கு இணையான கோட்டில் m புள்ளிகள் உள்ளன. எத்தனை 1) குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் செங்குத்துகளுடன் முக்கோணங்கள் உள்ளன; 2) குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் செங்குத்துகளுடன் கூடிய குவிந்த நாற்கரங்கள்? 20. 4 வெற்றிகள் வரை இரண்டு அணிகள் வாலிபால் விளையாடுகின்றன. எத்தனை உள்ளன வெவ்வேறு விருப்பங்கள்விளையாட்டின் அடிப்படையில் விளையாட்டின் மதிப்பெண்ணில் மாற்றங்கள்? 21. 4 வெள்ளை மற்றும் 3 கருப்பு பந்துகளை 6 வெவ்வேறு பெட்டிகளில் எத்தனை வழிகளில் விநியோகிக்க முடியும்? 22. கூடுதல் நிபந்தனையின் கீழ் முந்தைய சிக்கலைத் தீர்க்கவும்: ஒரு பெட்டியும் காலியாக இருக்கக்கூடாது. 23. ஒரே மாதிரியான 20 பந்துகளை 5 வெவ்வேறு பெட்டிகளில் எத்தனை வழிகளில் வைக்கலாம், அதனால் 1) ஒவ்வொரு பெட்டியிலும் குறைந்தது இரண்டு பந்துகள் இருக்கும்; 2) ஒவ்வொரு பெட்டியிலும் 5 பந்துகளுக்கு மேல் இல்லை; 3) இரண்டு காலி பெட்டிகளுக்கு மேல் இல்லையா? 24. ஒரு சதுரம் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் விரிவாக்கத்தில் r100க்கான குணகத்தைக் கண்டறியவும். ஒவ்வொரு பக்கமும் n சம பாகங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. பிரிவு புள்ளிகள் வழியாக பக்கங்களுக்கு இணையான நேரான கோடுகள் வரையப்படுகின்றன. எத்தனை 1) செவ்வகங்கள் உள்ளன; 2) வரையப்பட்ட கோடுகளால் கட்டப்பட்ட சதுரங்கள்? 26. வங்கியின் பலகையில் 7 பேர் உள்ளனர். பாதுகாப்பில் உள்ள குறைந்தபட்ச பூட்டுகளின் எண்ணிக்கை என்னவாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் போர்டு உறுப்பினர்களிடையே சாவிகள் எவ்வாறு விநியோகிக்கப்பட வேண்டும் (ஒவ்வொரு குழு உறுப்பினரும் பல பூட்டுகளுக்கான சாவிகளைப் பெறலாம்) அதனால் எந்த பெரும்பான்மையினரும் பாதுகாப்பாக திறக்க முடியும், ஆனால் எந்த சிறுபான்மையினரும் முடியாது? 27. "அப்ரகடப்ரா" என்ற சொல்லை வலப்புறம் அல்லது கீழே மேசைக்கு நகர்த்துவதன் மூலம் (ப. 76) எத்தனை வழிகளில் படிக்கலாம்? ஒரு செவ்வக ABCD ஆனது சரிபார்க்கப்பட்ட காகிதத்தில் வரையப்பட்டது, அதன் பக்கங்கள் கட்டக் கோடுகளில் இருக்கும், மேலும் AD பிரிவின் நீளம் AB பிரிவின் நீளத்தை விட k மடங்கு அதிகமாகும் (k என்பது இயற்கை எண்). கட்டத்தின் கோடுகளின் வழியாகச் செல்லும் மற்றும் A இலிருந்து C வரை குறுகிய வழியில் செல்லும் அனைத்து சாத்தியமான பாதைகளையும் நாங்கள் கருதுகிறோம். இந்த பாதைகளில் AD இல் முதல் இணைப்பு AB இல் உள்ளவர்களை விட பல மடங்கு அதிகமாக இருப்பதை நிரூபிக்கவும். 29. வரிசையின் (o*), ak = C* (நிலையான nக்கு), அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் பார்வையில் இருந்து ஆய்வு செய்யுங்கள். 30. 52 அட்டைகள் கொண்ட அட்டை தளம் உள்ளது. நான்கு வீரர்களுக்கு 13 கார்டுகளை எத்தனை வழிகளில் கையாளலாம்? பல்லுறுப்புக்கோவை சூத்திரம் 31. பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விரிவாக்கத்தில் xk இன் குணகத்தைக் கண்டறியவும்: கூட்டு அடையாளங்கள் 32. நியூட்டனின் பைனோமியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நேரியல் மறுநிகழ்வு சமன்பாடுகளின் தீர்வு, பின்வரும் அடையாளங்களை நிரூபிக்கவும். மொழியியலில் 13 பேர் பணிபுரிகின்றனர், அவர்கள் ஒவ்வொருவருக்கும் குறைந்தது ஒருவரையாவது தெரியும் வெளிநாட்டு மொழி. பத்து பேருக்கு தெரியும் ஆங்கில மொழி, ஏழு ஜெர்மன், ஆறு பிரெஞ்சு. ஐந்து பேர் ஆங்கிலம் மற்றும் ஜெர்மன் பேசுகிறார்கள், நான்கு பேர் ஆங்கிலம் மற்றும் பிரஞ்சு பேசுகிறார்கள், மூன்று பேர் ஜெர்மன் மற்றும் பிரஞ்சு பேசுகிறார்கள். எத்தனை பேருக்கு தெரியும் 1) மூன்று மொழிகளும்; 2) சரியாக இரண்டு மொழிகள்; 3) ஆங்கிலம் மட்டுமா? 35. 1) அளவைக் காட்டு இயற்கை எண்கள் n ஆல் வகுபடும் மற்றும் நேர்மறை எண்ணுக்கு மிகாமல் இருக்கும் x என்பது 2 க்கு சமம்) 2 ஐ விட அதிகமாக இல்லாத மற்றும் வகுபடாத எத்தனை எண்கள் உள்ளன 3) 4 ஆல் வகுபடாத நான்கு இலக்க எண்கள் எத்தனை உள்ளன) எத்தனை எண்கள் உள்ளன எந்த எண்களாலும் வகுபடாத எண்களாகும். 36. இருக்கட்டும். அதைக் காட்டு முதன்மை எண்கள்தொகுப்பில் எட்டுக்கு மேல் இல்லை. 37. A BC முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் n புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டு, அதை n + 1 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கின்றன. குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் (ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் ஒன்று) செங்குத்துகளுடன் சாத்தியமான அனைத்து முக்கோணங்களையும் கவனியுங்கள். இந்த முக்கோணங்களில் எத்தனை முக்கோணங்கள் உள்ளன, அதில் எந்த பக்கமும் ABC முக்கோணத்தின் பக்கத்திற்கு இணையாக இல்லை? 38. 27 இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் எத்தனை ஆறு இலக்க எண்கள் உள்ளன (முதல் இலக்கங்கள் பூஜ்ஜியங்களாகவும் இருக்கலாம்)? 39. பணப்பையில் 20 ரூபிள் நாணயங்கள் உள்ளன. இந்த 60 காசுகளில் இருந்து கே காயின்களை (k ^ 60) எத்தனை வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம்? இடையூறுகள் மற்றும் சந்திப்புகளின் சிக்கல் 40. மறுநிகழ்வு உறவுகளைப் பயன்படுத்தி, 42க்கான இடையூறுகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும். 8 ஒரே மாதிரியான ரூக்குகளை ஒரு சதுரங்கப் பலகையில் எத்தனை வழிகளில் வைக்கலாம், அதனால் அவைகளில் இரண்டும் ஒன்றையொன்று தாக்காது மற்றும் ஒரு ரூக் கூட இல்லை. முக்கிய மூலைவிட்டத்தில்? 43. 8 x 8 சதுரங்கப் பலகையின் கலங்களை 8 வண்ணங்களில் வண்ணமயமாக்கலாம், அதனால் பொதுவான பக்கத்தைக் கொண்ட செல்கள் வெவ்வேறு வண்ணங்களில் வரையப்பட்டு, ஒவ்வொரு கிடைமட்ட வரிசையிலும் அனைத்து 8 வண்ணங்களும் தோன்றும்? 44. ஒவ்வொன்றும் 52 கார்டுகளைக் கொண்ட இரண்டு அடுக்கு அட்டைகள் கவனமாக மாற்றப்பட்டு, பின்னர் அட்டையுடன் அட்டையுடன் ஒப்பிடப்படுகின்றன. பொருந்தக்கூடிய ஒரு ஜோடி அட்டைகள் இல்லாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? 45. A: என்கவுன்டர்கள் Dn,k உடன் n உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்கு, அடையாளங்களை நிரூபிக்கவும்: எண்களின் வரிசைமாற்றம் 1,2..., n என்பது அவற்றின் இடங்களில் மீதமுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும் . கண்டுபிடி கணித எதிர்பார்ப்புமற்றும் சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு 47. செயலாளர் n வெவ்வேறு முகவரிகளுக்கு n வெவ்வேறு கடிதங்களை அனுப்ப வேண்டும். அவள் உறைகளில் கையொப்பமிடுகிறாள் மற்றும் தோராயமாக கடிதங்களை உறைகளில் வைக்கிறாள். சராசரியாக, அவர்களின் முகவரிக்கு எத்தனை கடிதங்கள் வரும்? செயல்பாடுகளை உருவாக்குதல் பின்வரும் வரிசைகளின் உருவாக்கும் செயல்பாடுகளைக் கண்டறியவும்: வரிசைகளாக இருக்கட்டும் மற்றும் தொடர்புடைய உருவாக்கும் செயல்பாடுகளாக இருக்கட்டும். A(x) ஐ B(x) மூலம் பின்வரும் தொடர்களுக்கு இடையே உள்ள தொடர்புகளுடன் வெளிப்படுத்தவும்: an = C?bk. bn = மறுநிகழ்வு உறவுகள் என்பதை நிரூபிக்கவும் 64. வரிசை (a„) தொடர்பை திருப்திப்படுத்துகிறது, சமன்பாடு x, மற்றும் x2 ஆகிய இரண்டு வெவ்வேறு பூஜ்ஜியமற்ற வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. சில C|க்கு அடையாளம் உள்ளது என்பதை நிரூபிக்கவும் மற்றும் c2, தனித்தனியாக நிர்ணயிக்கப்பட்ட வரிசையின் பொதுச் சொல்லுக்கான சூத்திரத்தைக் கண்டறியவும்: 66. முதல் மற்றும் கடைசி, அத்துடன் அருகில் உள்ள ஏதேனும் இரண்டு இலக்கங்கள் வேறுபடும் இலக்கங்களைக் கொண்ட n-இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும். 67. அண்டைச் செங்குத்துகள் இருக்க வேண்டும் என்றால், n-gon இன் முனைகளில் எத்தனை வண்ணங்கள் உள்ளன வெவ்வேறு நிறங்கள், ஆனால் மொத்தம் கே பூக்கள் உள்ளனவா? 68. விடு nவது பதவிக்காலம்வரிசை சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. வரிசையானது ஒரு மறுநிகழ்வுத் தொடர்பைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்கவும், அங்கு 69. a ஐக் கண்டறிக, என்றால் 70. எந்த மூன்று அடுத்தடுத்த நிலைகளிலும் இல்லாத நீளம் 11 இன் பைனரி வரிசைகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும். 71. மறுநிகழ்வு உறவுகளின் பொதுவான தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்: 72. மறுநிகழ்வு உறவுகள் மற்றும் ஆரம்ப நிலைகளைப் பயன்படுத்தி ap ஐக் கண்டறியவும்: 1) நாண்களின் வெட்டும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் தனித்தனியாக ஒரு (சீர்குலைந்த) நான்கு புள்ளிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது - இந்த நாண்களின் முனைகள். நாங்கள் வரிசையாக வளையங்களை வரைவோம். முன்பு வரையப்பட்டவற்றுடன் t"வது நாண் வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை kt ஆக இருக்கட்டும். இந்தப் புள்ளிகளைக் கொண்டு, "வது நாண் fc, + 1 பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொன்றும் ஒரு "பழைய" பகுதியைப் பிரிக்கிறது. வட்டம் இரண்டு "புதியதாக" இருந்தது . அனைத்து N நாண்களையும் வரைந்த பிறகு, பகுதிகளின் எண்ணிக்கை சமமாக உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் மீண்டும் வரும் சமன்பாடுகள் (இந்தச் சிக்கலின் முதல் புள்ளியின்படி. சிக்கலுக்கான பதில் சுவாரஸ்யமானது: அவர் பிரபலமான ஒரு இயற்பியலாளர்). ஒரு சோதனைப் பிழையின் விளைவாக உருவானது, n-க்கு ஒற்றைப்படைத் தொகுப்பின் கார்டினாலிட்டிகளின் கூட்டுத்தொகையை இரண்டு வழிகளில் கணக்கிடுங்கள் வரிசைகள் (தொகை 27 உடன் ஆறு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களால் ஆனது; மற்றும் ஒவ்வொரு i செட் Ai C U ஆனது அத்தகைய தொடர்களைக் கொண்டுள்ளது, இதில் தீர்வுக்காக -குறிப்பு | மற்றும் மூன்றின் குறுக்குவெட்டு மற்றும்மேலும்

செட் Ai காலியாக உள்ளது. 41. லீப்னிஸ் சோதனையிலிருந்து தொடரின் மீதமுள்ள மதிப்பீட்டைப் பயன்படுத்தவும். குறிப்பு: சிக்கலின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் நீளம் n இன் பைனரி வரிசைகளின் எண்ணிக்கையை o„ மூலம் குறிப்போம். வரிசைக்கான (op) ஆரம்ப நிலைகள் மற்றும் மறுநிகழ்வு தொடர்பைக் கண்டறியவும். சிறுகுறிப்பு:

திரும்பத் திரும்ப இல்லாமல் இடங்கள். மறுசீரமைப்புகள். சேர்க்கைகள். மறுநிகழ்வு உறவுகள். மற்றொரு சான்று முறை. தொடர்ச்சியான பகிர்வுகளின் செயல்முறை. பணி: "மேஜர்டோமோவிற்கு சிரமம்."

மறுநிகழ்வுகள் இல்லாத இடங்கள் பல்வேறு பொருட்கள் உள்ளன. அவற்றில் எத்தனை ஏற்பாடு செய்ய முடியும்? இந்த வழக்கில், இரண்டு ஏற்பாடுகள் ஒன்றுக்கொன்று வேறுபட்டதாகக் கருதப்படும், அவை குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு அல்லது ஒரே உறுப்புகளைக் கொண்டிருந்தால், ஆனால் வெவ்வேறு வரிசையில் அமைக்கப்பட்டிருக்கும். அத்தகைய ஏற்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன, மற்றும் அவற்றின் எண்ணிக்கை ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. உருப்படிகளைத் திரும்பத் திரும்பச் செய்யாமல் இடங்களைத் தொகுக்கும்போது, ​​​​நாம் தேர்வுகளைச் செய்ய வேண்டும். முதல் கட்டத்தில், கிடைக்கக்கூடிய உருப்படிகளில் ஏதேனும் ஒன்றை நீங்கள் தேர்ந்தெடுக்கலாம். இந்த தேர்வு ஏற்கனவே செய்யப்பட்டிருந்தால், இரண்டாவது கட்டத்தில் நீங்கள் மீதமுள்ள பொருட்களிலிருந்து தேர்வு செய்ய வேண்டும். பொருள்களின் -வது படியில். எனவே, தயாரிப்பு விதியின்படி, பொருள்களை மீண்டும் செய்யாமல் இடமளிக்கும் எண்ணிக்கை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுவதைக் காண்கிறோம்:

மறுசீரமைப்புகள்

உறுப்புகளிலிருந்து மறுமுறை இல்லாமல் ஏற்பாடுகளைத் தொகுக்கும்போது, ​​உறுப்புகளின் கலவை மற்றும் வரிசை ஆகிய இரண்டிலும் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடும் ஏற்பாடுகளைப் பெற்றோம். ஆனால் அனைத்து உறுப்புகளையும் உள்ளடக்கிய ஏற்பாடுகளை நாம் எடுத்துக் கொண்டால், அவற்றில் உள்ள உறுப்புகளின் வரிசையில் மட்டுமே அவை ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடலாம். அத்தகைய ஏற்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன n உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றங்கள், அல்லது, சுருக்கமாக, வரிசைமாற்றங்கள்.

சேர்க்கைகள்

ஒரு கலவையில் உள்ள உறுப்புகளின் வரிசையில் நாம் ஆர்வமில்லை, ஆனால் அதன் கலவையில் மட்டுமே ஆர்வமாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில், நாம் சேர்க்கைகளைப் பற்றி பேசுகிறோம். எனவே, உறுப்புகளின் சேர்க்கைகள் இந்த உறுப்புகளால் ஆன அனைத்து வகையான ஏற்பாடுகள் மற்றும் கலவையில் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன, ஆனால் உறுப்புகளின் வரிசையில் அல்ல. உறுப்புகளால் ஆன சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரம் இடங்களின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. உண்மையில், முதலில் எல்லாவற்றையும் உருவாக்குவோம் - உறுப்புகளின் சேர்க்கைகள், பின்னர் ஒவ்வொரு கலவையிலும் உள்ள உறுப்புகளை சாத்தியமான எல்லா வழிகளிலும் மறுசீரமைப்போம். இந்த வழக்கில், அனைத்தும் உறுப்புகளின் இடங்கள் என்று மாறிவிடும், ஒவ்வொன்றும் ஒரு முறை மட்டுமே. ஆனால் நீங்கள் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் கலவைகளை உருவாக்கலாம்! வரிசைமாற்றங்கள், மற்றும் இந்த சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை சமம். எனவே சூத்திரம் சரியானது

இந்த சூத்திரத்திலிருந்து நாம் அதைக் காண்கிறோம்

மறுநிகழ்வு உறவுகள்

பலவற்றை தீர்க்கும் போது கூட்டு பிரச்சனைகள்கொடுக்கப்பட்ட சிக்கலை ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான பொருள்களை உள்ளடக்கிய சிக்கலாகக் குறைக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தவும். குறைந்த எண்ணிக்கையிலான பொருள்களுக்கு இதேபோன்ற சிக்கலைக் குறைக்கும் முறை அழைக்கப்படுகிறது மீண்டும் மீண்டும் உறவு முறை(லத்தீன் மொழியில் இருந்து "recurrere" - "திரும்ப").

1202 ஆம் ஆண்டில் பைசாவின் லியோனார்டோவால் முன்வைக்கப்பட்ட கிளாசிக்கல் பிரச்சனையுடன் மறுநிகழ்வு உறவுகளின் கருத்தை நாங்கள் விளக்குகிறோம். ஒருங்கிணைந்த அல்காரிதம்களின் பகுப்பாய்விற்கு ஃபைபோனச்சி எண்களின் முக்கியத்துவம் இந்த உதாரணத்தை மிகவும் பொருத்தமானதாக ஆக்குகிறது.

ஃபிபோனச்சி பின்வரும் அனுமானங்களின் கீழ் முயல் மக்கள்தொகையின் வளர்ச்சி விகிதம் பற்றிய ஒரு கதை வடிவில் சிக்கலை முன்வைத்தார். இது அனைத்தும் ஒரு ஜோடி முயல்களுடன் தொடங்குகிறது. ஒவ்வொரு ஜோடியும் ஒரு மாதத்திற்குப் பிறகு கருவுறுகிறது, அதன் பிறகு ஒவ்வொரு ஜோடியும் ஒவ்வொரு மாதமும் ஒரு புதிய ஜோடி முயல்களைப் பெற்றெடுக்கிறது. முயல்கள் ஒருபோதும் இறக்காது, அவற்றின் இனப்பெருக்கம் நிறுத்தப்படாது.

பல மாதங்களுக்குப் பிறகு மக்கள்தொகையில் உள்ள ஜோடி முயல்களின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும், மேலும் இந்த மக்கள்தொகை சந்ததி ஜோடிகள் மற்றும் "பழைய" ஜோடிகளைக் கொண்டிருக்கட்டும், அதாவது . எனவே, அடுத்த மாதத்தில் பின்வரும் நிகழ்வுகள் நிகழும்: பழைய மக்கள்தொகை நேரத்தில் பிறப்பு எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும். . ஒவ்வொரு வயதான தம்பதிகளும் ஒரு கட்டத்தில் ஒரு ஜோடி சந்ததிகளை உருவாக்குகிறார்கள். இந்த முறை அடுத்த மாதம் மீண்டும் நிகழும்:

இந்த சமத்துவங்களை இணைத்து, பின்வரும் மறுநிகழ்வு உறவைப் பெறுகிறோம்:

ஃபைபோனச்சி எண் வரிசைக்கான ஆரம்ப நிலைகளின் தேர்வு முக்கியமல்ல; இந்த வரிசையின் இன்றியமையாத சொத்து மறுநிகழ்வு உறவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. நாங்கள் (சில நேரங்களில் ).

இந்த சிக்கலை சற்று வித்தியாசமாகப் பார்ப்போம்.

ஒரு ஜோடி முயல்கள் மாதத்திற்கு ஒருமுறை இரண்டு முயல்கள் (ஒரு பெண் மற்றும் ஒரு ஆண்) குட்டிகளைப் பெற்றெடுக்கின்றன, புதிதாகப் பிறந்த முயல்கள் பிறந்து இரண்டு மாதங்களுக்குப் பிறகு ஏற்கனவே சந்ததிகளைப் பெற்றெடுக்கின்றன. ஆண்டின் தொடக்கத்தில் ஒரு ஜோடி முயல்கள் இருந்தால், ஒரு வருடத்தில் எத்தனை முயல்கள் தோன்றும்?

பிரச்சனையின் நிலைமைகளில் இருந்து ஒரு மாதத்தில் இரண்டு ஜோடி முயல்கள் இருக்கும். இரண்டு மாதங்களுக்குப் பிறகு, முதல் ஜோடி முயல்கள் மட்டுமே பிறக்கும், மேலும் 3 ஜோடிகள் இருக்கும். மேலும் இன்னும் ஒரு மாதத்தில், அசல் ஜோடி முயல்கள் மற்றும் இரண்டு மாதங்களுக்கு முன்பு தோன்றிய ஜோடி முயல்கள் இரண்டும் பிறக்கும். எனவே, மொத்தம் 5 ஜோடி முயல்கள் இருக்கும். ஆண்டின் தொடக்கத்திலிருந்து மாதங்களுக்குப் பிறகு ஜோடி முயல்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கலாம். இன்னும் சில மாதங்களில் இந்த ஜோடிகளும், மாதக் கடைசியில் இருந்ததைப் போல புதிதாகப் பிறந்த ஜோடி முயல்களும், அதாவது அதிக ஜோடி முயல்களும் இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு மறுநிகழ்வு உறவு உள்ளது

என்பதால், நிபந்தனையின்படி, மற்றும் , நாங்கள் தொடர்ந்து கண்டுபிடிக்கிறோம்

குறிப்பாக, .

எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ஃபைபோனச்சி எண்கள். அவை பல அற்புதமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இப்போது இந்த எண்களுக்கான வெளிப்பாட்டை மூலம் பெறுவோம். இதைச் செய்ய, ஃபைபோனச்சி எண்களுக்கும் பின்வரும் கூட்டுப் பிரச்சனைக்கும் இடையே ஒரு தொடர்பை ஏற்படுத்துவோம்.

பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட தொடர்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

இந்த இணைப்பை நிறுவ, அத்தகைய வரிசையை எடுத்து, பின்வரும் விதியின்படி ஒரு ஜோடி முயல்களை ஒப்பிடுவோம்: இந்த ஜோடியின் "மூதாதையர்களின்" ஜோடிகளில் ஒன்றின் (அசல் உட்பட) பிறந்த மாதங்களுக்கு ஒத்திருக்கும். பூஜ்ஜியங்கள் மற்ற எல்லா மாதங்களுக்கும் ஒத்திருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, 010010100010 வரிசை பின்வரும் "மரபியல்" ஐ நிறுவுகிறது: தம்பதிகள் 11 வது மாத இறுதியில் தோன்றினர், அதன் பெற்றோர் 7 வது மாத இறுதியில், "தாத்தா" 5 வது மாத இறுதியில் மற்றும் "பெரியவர்" -தாத்தா” இரண்டாவது மாத இறுதியில். அசல் ஜோடி முயல்கள் பின்னர் 000000000000 என்ற வரிசையுடன் குறியாக்கம் செய்யப்படுகின்றன.

இந்த விஷயத்தில் ஒரு வரிசையில் இரண்டு அலகுகள் எந்த வரிசையிலும் தோன்ற முடியாது என்பது தெளிவாகிறது - இப்போது தோன்றிய ஒரு ஜோடி, நிபந்தனையின் படி, ஒரு மாதத்தில் சந்ததிகளைப் பெற முடியாது. கூடுதலாக, குறிப்பிட்ட விதியின்படி, வெவ்வேறு ஜோடி முயல்கள் வெவ்வேறு வரிசைகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன, அதற்கு நேர்மாறாக, இரண்டு வெவ்வேறு ஜோடி முயல்கள் எப்போதும் வெவ்வேறு "பரம்பரை" கொண்டவை, ஏனெனில், நிபந்தனையின் படி, ஒரு பெண் முயல் மட்டுமே சந்ததிகளைப் பெற்றெடுக்கிறது. ஒரு ஜோடி முயல்கள்.

நிறுவப்பட்ட இணைப்பு, குறிப்பிடப்பட்ட சொத்தை வைத்திருக்கும் -வரிசைகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருப்பதைக் காட்டுகிறது.

என்பதை இப்போது நிரூபிப்போம்

எங்கே , ஒற்றைப்படை என்றால், மற்றும் , இரட்டை என்றால். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், - எண்ணின் முழுப் பகுதி (எதிர்காலத்தில் எண்ணின் முழுப் பகுதியைக் குறிப்போம்; இவ்வாறு, ).

உண்மையில், இது 0கள் மற்றும் 1களின் அனைத்து வரிசைகளின் எண்ணிக்கையாகும், இதில் இரண்டு 1கள் எதுவும் அருகில் இல்லை. துல்லியமான ஒன்று மற்றும் பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட அத்தகைய வரிசைகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும். இது செய்யப்பட வேண்டும் என்பதால்

பொதுவான தீர்வுமறுநிகழ்வு உறவு (1) என்பது இந்த உறவை திருப்திப்படுத்தும் அனைத்து வரிசைகளின் தொகுப்பாகும்.

தனிப்பட்ட முடிவுஉறவு (1) என்பது இந்த உறவை திருப்திப்படுத்தும் வரிசைகளில் ஒன்றாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1¢.பின்தொடர் ஒரு n=அ 0 +nd ஒரு n=ஒரு n - 1 +ஈ. வித்தியாசத்துடன் கூடிய எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல்லுக்கான சூத்திரம் இதுவாகும் ஈமற்றும் முன்னேற்றத்தின் ஆரம்ப காலத்துடன் அ 0 .

எடுத்துக்காட்டு 2¢.பின்தொடர் b n=பி 0 × qnஉறவுக்கான பொதுவான தீர்வு b n=b n - 1 × கே. இது பொதுவான சொல் சூத்திரம் வடிவியல் முன்னேற்றம்வகுப்போடு கே¹0 மற்றும் முன்னேற்றத்தின் ஆரம்ப காலத்துடன் பி 0 .

எடுத்துக்காட்டு 3¢.என்று அழைக்கப்படுபவர் பினெட்டின் சூத்திரம்ஜே n= உறவுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு j n=ஜே n- 2 +ஜே n- 1 போது j 0 =j 1 =1.

3. நேரியல் மறுநிகழ்வு உறவுகள்.உறவைப் பார்க்கவும்

ஒரு n + கே+ப 1 ஒரு n + கே - 1 +…+p k a n=ம(n) (2)

எங்கே ம(n) என்பது எண்ணின் செயல்பாடு, மற்றும் , அழைக்கப்பட்டது நேரியல் மறுநிகழ்வு உறவு.

நேரியல் மறுநிகழ்வு உறவு என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒரே மாதிரியான, என்றால் f(n)=0:

ஒரு n + கே+ப 1 ஒரு n + கே - 1 +…+p k a n=0. (3)

பல்லுறுப்புக்கோவை x கே+ப 1 x கே - 1 +…+ப கே - 1 x+ப கேஅழைக்கப்பட்டது பண்புஉறவுக்கு (2).

எளிய, வகுத்தால் வகுபடாது .

பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் a எனப்படும் மடங்குகள், வகுத்தால் வகுபடாது , .

இந்த வழக்கில், எண் அழைக்கப்படுகிறது பன்முகத்தன்மைவேர்

இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றம்: சிக்கலான குணகங்களைக் கொண்ட பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை சிக்கலான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றின் பெருக்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது.

தேற்றம் 1 nஎளிய வேர்கள் a 1, ..., a n

, (4)

எங்கே c 1 ,…,சி கேÎ சி.

ஆதாரம். பின்வரும் இரண்டு அறிக்கைகளை சரிபார்ப்பது எளிது.

(அ) பின்தொடர் cx n, எங்கே cÎ சி, மறுநிகழ்வு உறவுக்கான தீர்வு (3).

(பி) வரிசைகள் என்றால் ஒரு nமற்றும் b nஉறவின் தீர்வுகள் (3), பின்னர் வரிசை ஒரு n+b nஉறவுக்கான தீர்வாகவும் உள்ளது (3).

இருந்து ( அ) மற்றும் ( பி) படிவத்தின் எந்த வரிசையும் (4) உறவுக்கு (3) ஒரு தீர்வாகும்.

மாறாக, உறவின் (3) எந்தத் தீர்வுக்கும் (4) வடிவம் உள்ளது.

மணிக்கு n=0,1,…,கே-1, சமத்துவத்திலிருந்து (4) நாம் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் நேரியல் சமன்பாடுகள்ஒப்பீட்டளவில் c 1 ,…,சி கே:

(5)

அமைப்பின் தீர்மானிப்பான் (5) இயற்கணிதத்தில் அறியப்படும் வாண்டர்மாண்டே தீர்மானிப்பான்:

.

எளிய வேர்கள் என்பதால் x 1 ,…,x கேஜோடிவரிசையில் வேறுபட்டது, பின்னர் D¹0. இதன் பொருள் அமைப்பு (5) ஒரு (தனித்துவமான) தீர்வு உள்ளது.

பணி 1.சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல்லைக் கண்டறியவும் (4).

தீர்வு b n=qbn- 1 வடிவம் உள்ளது. அதனால் தான் .

பணி 2.ஃபைபோனச்சி உறவின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும் ஒரு n + 2 =ஒரு n+ஒரு n + 1 .

தீர்வு. மறுநிகழ்வு உறவின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு n + 2 =ஒரு n+ஒரு n+ 1 வடிவம் உள்ளது. அதனால் தான் .

தேற்றம் 1 இன் பின்வரும் பொதுமைப்படுத்தலை நாங்கள் ஆதாரமின்றி முன்வைக்கிறோம்.

தேற்றம் 2. ஒரே மாதிரியான நேரியல் மறுநிகழ்வு உறவின் (3) பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை இருக்கட்டும் கேவேர்கள்: a 1 பெருக்கல் , ..., a கேபன்முகத்தன்மை, . மறுநிகழ்வு உறவின் பொதுவான தீர்வு (3) உள்ளது அடுத்த பார்வை:

பணி 3.உறவின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை 2 மடங்கு 3 இன் வேர் உள்ளது. எனவே .

கருத்து. ஒத்திசைவற்ற நேரியல் உறவின் (2) பொதுத் தீர்வைத் தொகையாகக் காணலாம் பொதுவான தீர்வுஒரே மாதிரியான நேரியல் உறவு (3) மற்றும் ஒத்திசைவற்ற நேரியல் உறவின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு (2).

4. செயல்பாடுகளை உருவாக்குதல்.முறையான தொடர் அ 0 +அ 1 x+அ 2 x 2 +…+ஒரு கே x கே+... அழைக்கப்பட்டது வரிசையின் செயல்பாட்டை உருவாக்குதல் a 0 ,அ 1 ,அ 2 ,…,ஒரு கே,…

உருவாக்கும் செயல்பாடு ஒரு குவிந்த தொடர் அல்லது மாறுபட்ட தொடர் ஆகும். இரண்டு மாறுபட்ட தொடர்கள் செயல்பாடுகளாக சமமாக இருக்கலாம், ஆனால் வெவ்வேறு வரிசைகளின் செயல்பாடுகளை உருவாக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வரிசைகள் 1+2 x+2 2 x 2 +…+2கே x கே+… மற்றும் 1+3 x+3 2 x 2 +…+3கே x கே+... அதே செயல்பாட்டை வரையறுக்கவும் (புள்ளியில் 1 க்கு சமம் x=1, புள்ளிகளில் வரையறுக்கப்படவில்லை x>1), ஆனால் வெவ்வேறு வரிசைகளின் செயல்பாடுகளை உருவாக்குகின்றன.

வரிசைகளின் செயல்பாடுகளை உருவாக்கும் பண்புகள்:

வரிசைகளின் செயல்பாடுகளை உருவாக்கும் தொகை (வேறுபாடு). ஒரு nமற்றும் b nவரிசைகளின் கூட்டுத்தொகை (வேறுபாடு) உருவாக்கும் செயல்பாட்டிற்கு சமம் ஒரு n+b n;

வரிசைகளின் செயல்பாடுகளை உருவாக்கும் தயாரிப்பு ஒரு nமற்றும் b nவரிசைகளின் வளைவின் உருவாக்கும் செயல்பாடு ஆகும் ஒரு nமற்றும் b n:

c n=அ 0 b n+அ 1 b n - 1 +…+ஒரு n - 1 பி 1 +ஒரு என் பி 0 .

எடுத்துக்காட்டு 1.செயல்பாடு வரிசையை உருவாக்குகிறது

எடுத்துக்காட்டு 2.செயல்பாடு வரிசை 1, 1, 1, ...

"உற்பத்தி செயல்பாடு என்பது ஒரு பை போன்ற ஒரு சாதனம். சிக்கலாக இருக்கும் பல பொருட்களை தனித்தனியாக எடுத்துச் செல்வதற்குப் பதிலாக, ஒரு பொருளை மட்டுமே எடுத்துச் செல்ல வேண்டும் என்பதற்காக, அவற்றை ஒன்றாகத் தொகுக்கிறோம் - பையை மட்டுமே எடுத்துச் செல்ல வேண்டும்.
டி. பாலியா

அறிமுகம்

செயல்பாடுகளை உருவாக்கும் யோசனை மிகவும் எளிது: சில வரிசைகளை ஒப்பிடுக - தனித்த பொருள், சக்தித் தொடர் g 0 + g 1 z + g 2 z 2 +... + g n z n +... - தொடர்ச்சியான பொருள், அதன் மூலம் சிக்கலைத் தீர்க்க கருவிகளின் முழு ஆயுதத்தையும் பயன்படுத்துகிறோம் கணித பகுப்பாய்வு. பொதுவாக அவர்கள் நிலைத்தன்மை என்று கூறுகிறார்கள் உருவாக்கப்பட்ட, உருவாக்கப்பட்ட உற்பத்தி செயல்பாடு. இது ஒரு குறியீட்டு கட்டுமானம் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம், அதாவது z என்ற குறியீட்டிற்குப் பதிலாக, கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகள் வரையறுக்கப்பட்ட எந்த பொருளும் இருக்கலாம்.

உருவாக்கும் செயல்பாடுகளின் தோற்றத்தின் வரலாறு

18 ஆம் நூற்றாண்டின் 50 களில், யூலர் பின்வரும் சிக்கலைத் தீர்த்தார்: 2 0, 2 1, 2 2,..., 2 n கிராம் எடைகளைப் பயன்படுத்தி என்ன சுமைகளை எடையிடலாம் மற்றும் எத்தனை வழிகளில்?இந்த சிக்கலை தீர்க்கும் போது, ​​அவர் அந்த நேரத்தில் தெரியாத ஒன்றைப் பயன்படுத்தினார் செயல்பாட்டு முறை உருவாக்கும், இது இந்த கட்டுரையின் பொருள். செயல்பாடுகளை உருவாக்கும் கட்டமைப்பை இன்னும் விரிவாகப் புரிந்துகொண்ட பிறகு, சிறிது நேரம் கழித்து இந்த சிக்கலுக்குத் திரும்புவோம்.

செயல்பாட்டை உருவாக்கும் முறை

வெள்ளைப் பந்தை ○ என்ற குறியீட்டாலும், கருப்பு நிறத்தை ●, T n என்பதாலும் குறிக்கலாம் - தேவையான பந்து ஏற்பாடுகளின் எண்ணிக்கை. சின்னம் Ø - பந்துகளின் பூஜ்ஜிய எண்ணைக் குறிக்கிறது. கூட்டுச் சிக்கலுக்கான எந்தவொரு தீர்வையும் போலவே, அற்பமான நிகழ்வுகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

n=1 எனில், வெளிப்படையாக 2 வழிகள் உள்ளன - ஒரு வெள்ளைப் பந்தை ○ அல்லது கருப்புப் பந்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் ●, இவ்வாறு T 2 = 2.

n=2 எனில், 4 ஏற்பாடு வழிகள் உள்ளன: ○○, ○●, ●○, ●●.

n=3க்கான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். நாம் வெள்ளைப் பந்தில் தொடங்கி மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ள 4 சேர்க்கைகளுடன் தொடரலாம் ○○○, ○○●, ○●○, ○●●, அல்லது கருப்பு பந்தில் தொடங்கி 4 பந்துகளில் தொடரலாம் ●○○, ●○ ●, ●●○, ●●●.

இதன் விளைவாக, பந்துகளின் எண்ணிக்கை இரட்டிப்பாகியது, அதாவது T 3 = 2T 2. T 4 = 2T 3 ஐப் போலவே, அதாவது, அனைத்து n க்கும் பொதுமைப்படுத்துதல், இந்தச் சிக்கலுக்கான தீர்வாக இருக்கும் T n = 2T n-1 என்ற தொடர் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். அத்தகைய சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை எளிதாக யூகிக்க முடியும் - T n = 2 n (2⋅2 n-1 = 2 n என்பதால்).

நாம் யூகிக்கத் தவறினால் என்ன செய்வது? சமன்பாடு மிகவும் சிக்கலானதாக இருந்தால் என்ன செய்வது? பொதுவாக உருவாக்கும் செயல்பாடுகளுக்கும் இதற்கும் என்ன சம்பந்தம்?

பந்து இடங்களின் சாத்தியமான அனைத்து சேர்க்கைகளையும் "தொகுக்கலாம்":

ஜி = Ø + ○ + ● + ○○ + ○● + ●○ + ●● + ○○○ + ○○● + ○●○○○●● ○ + ●● ● +…

முதல் பார்வையில் அத்தகைய அபத்தமான தொகையை ஏற்றுக்கொள்வது பற்றிய கேள்வியை நாங்கள் தவிர்த்து விடுவோம். பந்துகளின் வரிசைகளைச் சேர்ப்போம் மற்றும் பெருக்குவோம். கூட்டல் மூலம் எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது, ஆனால் பந்துகளின் ஒரு வரிசையை மற்றொன்றால் பெருக்குவதன் அர்த்தம் என்ன? ○●ஐ ●○ ஆல் பெருக்கினால் ○●●○க்கு மேல் எதுவும் கிடைக்காது. எவ்வாறாயினும், பந்துகளின் பெருக்கல், எண்களின் பெருக்கத்தைப் போல அல்லாமல், ○●⋅●○ ≠ ●○⋅○● என்பதால், மாற்றத்திற்குரியது அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். Ø - குறியீடானது ஒரு பெருக்கல் அலகுப் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது, அதாவது, Ø ⋅ ○○● = ○○● ⋅ Ø = ○○● மற்றும் பந்துகளின் எந்த வரிசையிலும் பயணிக்கிறது.

G வரிசையுடன் கையாளுதல்களின் வரிசையைச் செய்தல், அதாவது, இடது வெள்ளை மற்றும் கருப்பு பந்துகளை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து வெளியே எடுப்பது

G = Ø + ○ (Ø + ○ + ● + ○○ + ○● + ●○ + ●● + ...) + ● (Ø + ○ + ● + ○○ + ○● + ● + ●. ..) = Ø + ○G +●G

G = Ø + ○G +●G என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

பெருக்கல் பரிமாற்றம் அல்ல, மற்றும் இடது மற்றும் வலது பிரிவை நாம் வேறுபடுத்திப் பார்க்கவில்லை என்ற போதிலும், இந்த சமன்பாட்டை எங்கள் சொந்த ஆபத்து மற்றும் ஆபத்தில் "தீர்க்க" முயற்சிக்கிறோம். நமக்கு கிடைக்கும்,

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், எங்களிடம் உள்ளது

இந்த தொகை அனைத்தையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது சாத்தியமான விருப்பங்கள்சரியாக ஒரு முறை பிரிகிறது. அடுத்து, நியூட்டனின் பைனோமியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: , n இலிருந்து k வரையிலான சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை எங்கே. பின்னர், இதைக் கருத்தில் கொண்டு, எங்களிடம் உள்ளது:

குணகம் ○ k ● n-k எண்ணுக்கு சமம் n முதல் k வரையிலான சேர்க்கைகள், ○ k பந்துகள் மற்றும் ● k பந்துகள் கொண்ட n பந்துகளின் மொத்த வரிசைகளின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது அளவு n-kவிஷயங்கள். எனவே, n பந்துகளின் மொத்த அமைப்புகளின் எண்ணிக்கையானது k இன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். என அறியப்படுகிறது.

Ø ஐ 1 மற்றும் ○ மற்றும் ● ஐ z உடன் மாற்றுவதன் மூலம் இந்த சூத்திரத்தை நேரடியாகப் பெறலாம் (அவற்றின் சமமான பார்வையில்). நாம் பெறுகிறோம், அதாவது z nக்கான குணகம் 2 nக்கு சமம்.

முறை பற்றிய விவாதம்

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் தோராயமாக பின்வருமாறு விவரிக்கப்படலாம்: சில எல்லையற்ற தொகை கருதப்படுகிறது, இது இறுதியில் ஒரு முறையான சக்தித் தொடரைக் குறிக்கிறது G(z) = g 0 + g 1 z + g 2 z 2 +... + g n z n +… மற்றும் குணகங்கள் g k (வெளிப்படையாக வழங்கப்படவில்லை) அசல் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான திறவுகோலாகும். தொடர் முறையானது என்பதன் அர்த்தம், z என்பது ஒரு சின்னம், அதாவது அதற்கு பதிலாக எந்த பொருளும் இருக்கலாம்: ஒரு எண், ஒரு பந்து, ஒரு டோமினோ போன்றவை. பகுப்பாய்வில் உள்ள சக்தித் தொடர்களைப் போலன்றி, முறையான சக்தித் தொடர்களுக்கு எண் மதிப்புகள் வழங்கப்படவில்லை, அதன்படி, எண் வாதங்களுக்கு அத்தகைய தொடர்களின் ஒருங்கிணைப்பைப் பற்றி பேசுவதில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை.

G(z) = g 0 + g 1 z + g 2 z 2 +... + g n z n +… - வரிசைக்கான உருவாக்கும் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது . இருப்பினும், G(z) ஒரு செயல்பாடாக இருந்தாலும், அது இன்னும் முறையான குறியீடாக உள்ளது, அதாவது, z = 0 தவிர, z = z 0 ஐ மாற்ற முடியாது, ஏனெனில் G(0) = g 0 .

பின்னர், எல்லையற்ற தொகை G(z) மூலம் பல்வேறு மாற்றங்களைச் செய்வதன் மூலம், அதை மூடிய (சுருக்கமான) வடிவத்திற்கு மாற்றுவோம். அதாவது, உருவாக்கும் செயல்பாடு 2 பிரதிநிதித்துவங்களைக் கொண்டுள்ளது: எல்லையற்ற மற்றும் மூடிய மற்றும், ஒரு விதியாக, சிக்கலைத் தீர்க்க, எல்லையற்ற வடிவத்தை மூடிய வடிவமாக மாற்றுவது அவசியம், பின்னர் மூடிய வடிவத்தை ஒரு சக்தித் தொடராக விரிவுபடுத்தி, அதன் மூலம் பெறவும். குணகங்களுக்கான மதிப்புகள் g k.

ஆரம்பத்தில் எழுப்பப்பட்ட கேள்விக்கு பதிலளித்து, நாம் இதைச் சொல்லலாம்: இந்த முறையின் வெற்றியானது மூடிய வடிவத்தில் உருவாக்கும் செயல்பாட்டை எழுதும் திறனுடன் தொடர்புடையது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, வரிசைக்கான உருவாக்கும் செயல்பாடு<1, 1, 1, ..., 1>எல்லையற்ற வடிவத்தில் இது 1 + x + x 2 + x 3 + ... மற்றும் மூடிய வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது.

இப்போது, ​​​​அறிவுடன் ஆயுதம் ஏந்தியபடி, ஆய்லர் தீர்த்த சிக்கலுக்குத் திரும்புவோம்.

எனவே பணி இதுபோல் தெரிகிறது: 2 0, 2 1, 2 2,..., 2 n கிராம் எடைகளைப் பயன்படுத்தி என்ன சுமைகளை எடையிடலாம் மற்றும் எத்தனை வழிகளில்?

இப்பிரச்சினைக்கு ஒரு தீர்வைக் கொண்டு வர ஆய்லர் எவ்வளவு நேரம் எடுத்தார் என்று எனக்குத் தெரியவில்லை, ஆனால் எதிர்பாராதது ஆச்சரியமாக இருக்கிறது. நீங்களே தீர்ப்பளிக்கவும். ஆய்லர் தயாரிப்பு G(z) = (1+z)(1+z 2)(1+z 4)... அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்த பிறகு, G(z) = 1 + g 1 z என்ற எல்லையற்ற தொடராகக் குறிப்பிடப்படுகிறது. + g 2 z 2 + g 3 z 3 +….

g k குணகங்கள் என்றால் என்ன? ஒவ்வொரு g k என்பது z k இன் குணகமாகும், மேலும் z k என்பது சில மோனோமியல்களின் z 2m இன் விளைபொருளாகப் பெறப்படுகிறது, அதாவது, g k என்பது 1, 2, 2 2 எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக k எண்ணின் வெவ்வேறு பிரதிநிதித்துவங்களின் எண்ணிக்கையாகும். , 2 3, .., 2 மீ ,…. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், g k என்பது கொடுக்கப்பட்ட எடையுடன் k கிராம் எடையை எடைபோடுவதற்கான வழிகளின் எண்ணிக்கை. நாம் தேடிக்கொண்டிருந்ததை மட்டும்!

ஆய்லரின் அடுத்த படி முந்தையதை விட ஆச்சரியமாக இல்லை. இது சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் (1-z) ஆல் பெருக்குகிறது.

(1-z)G(z) = (1-z)(1+z)(1+z 2)(1+z 4)(1+z 8)…
(1-z)G(z) = (1-z2)(1+z 2)(1+z 4)(1+z 8)…
(1-z)G(z) = (1-z 4)(1+z 4)(1+z 8)…
(1-z)G(z) = 1

ஒருபுறம் G(z) = 1 + g 1 z + g 2 z 2 + g 3 z 3 +… மறுபுறம் எங்களுக்கு கிடைத்தது . கடைசி சமத்துவம் என்பது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைத் தவிர வேறில்லை, இது சமமானதாகும். இந்த இரண்டு சமத்துவங்களையும் ஒப்பிடுகையில், நாம் g 1 = g 2 = g 3 =... = 1 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது, k கிராமின் எந்த சுமையையும் 1, 2, 4, 8,... கிராம், மற்றும் எடையுடன் எடைபோடலாம். ஒரு தனித்துவமான வழியில்.

மறுபிறப்பு உறவுகளைத் தீர்ப்பது

எண்களின் பழக்கமான Fibonacci வரிசையுடன் ஆரம்பிக்கலாம். நாம் ஒவ்வொருவருக்கும் அதன் தொடர்ச்சியான வடிவம் தெரியும்: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2. இருப்பினும், இந்த சூத்திரத்தின் மூடிய வடிவம் அனைவருக்கும் தெரியாது. ஆச்சரியம் என்னவென்றால், அதன் கலவையில் ஒரு விகிதாசார எண் ("தங்க விகிதம்") உள்ளது.

எனவே எங்களிடம் உள்ளது

F 0 = 0,
F 1 = 1,
F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2

ஒவ்வொரு வரியையும் முறையே z 0 , z 1 , ..., z n ஆல் பெருக்கவும்:

Z 0 ⋅ F 0 = 0,
z 1 ⋅ F 1 = z,
z n ⋅ F n = z n ⋅ F n-1 + z n ⋅ F n-2 , n ≥ 2

இந்த சமத்துவங்களை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

இடது பக்கத்தைக் குறிப்போம்

வலது பக்கத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு விதிமுறைகளையும் கருத்தில் கொள்வோம்:

பின்வரும் சமன்பாடு G(z) = z + z G(z) + z 2 G(z) தீர்க்கும் G(z) ஐப் பொறுத்தமட்டில் நாம் கண்டறிந்துள்ளோம்

ஃபைபோனச்சி எண் வரிசைக்கான செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறது.

அதை எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைப்போம், இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். . அதை தீர்ப்பது எளிது இருபடி சமன்பாடு, நாங்கள் பெறுகிறோம்: . பின்னர் எங்கள் உருவாக்கும் செயல்பாட்டை பின்வருமாறு விரிவாக்கலாம்:

அடுத்த கட்டம் a மற்றும் b குணகங்களைக் கண்டறிவது. இதைச் செய்ய, பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கவும்:

இந்த சமன்பாட்டில் z = z 1 மற்றும் z = z 2 மதிப்பை மாற்றினால், நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

இறுதியாக, உருவாக்கும் செயல்பாட்டிற்கான வெளிப்பாட்டை சிறிது மாற்றுவோம்

இப்போது ஒவ்வொரு பின்னமும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது.

நாம் கண்டுபிடிக்கும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி

ஆனால் படிவத்தில் G(z) என்று தேடிக்கொண்டிருந்தோம் . இதிலிருந்து நாம் முடிவுக்கு வருகிறோம்

இந்த சூத்திரத்தை "தங்க விகிதத்தை" பயன்படுத்தாமல் வேறு வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம்:

அழகான மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டின் அடிப்படையில், எதிர்பார்ப்பது மிகவும் கடினமாக இருந்தது.

உருவாக்கும் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் மீண்டும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான வழிமுறையை எழுதுவோம். இது 4 படிகளில் எழுதப்பட்டுள்ளது:

காரணம் இந்த முறைவேலைகள் என்பது G(z) என்ற ஒற்றைச் செயல்பாடு g n என்ற முழு வரிசையையும் குறிக்கிறது மற்றும் இந்த பிரதிநிதித்துவம் பல மாற்றங்களை அனுமதிக்கிறது.

அடுத்த உதாரணத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், பெரும்பாலும் பயனுள்ள செயல்பாடுகளை உருவாக்கும் 2 செயல்பாடுகளைப் பார்ப்போம்.

உருவாக்கும் செயல்பாடுகளின் வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு

G = G(z) உருவாக்கும் செயல்பாடாக இருக்கட்டும். இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது . வேறுபாடு என்பது ஒரு நேரியல் செயல்பாடாகும், எனவே செயல்பாடுகளை உருவாக்குவதில் அது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு மாறியின் சக்திகளில் அதன் செயல்பாட்டைப் பார்ப்பது போதுமானது. எங்களிடம் உள்ளது

இவ்வாறு, ஒரு தன்னிச்சையான உருவாக்கும் செயல்பாட்டில் வேறுபாட்டின் செயல்
G(z) = g 0 + g 1 z + g 2 z 2 + g 3 z 3 +... G΄(z) = g 1 + 2g 2 z + 3g 3 z 2 + 4g 4 z 3 +….

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு செயல்பாடு

வேறுபாட்டின் செயல்பாடு ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாட்டின் தலைகீழ் ஆகும்:

வழித்தோன்றலை ஒருங்கிணைக்கும் செயல்பாடு பூஜ்ஜிய இலவச காலத்துடன் ஒரு செயல்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது, எனவே முடிவு அசல் செயல்பாட்டிலிருந்து வேறுபடுகிறது,

சக்தித் தொடராகக் குறிப்பிடப்படும் செயல்பாடுகளுக்கு, வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரம் வழக்கமான ஒன்றை ஒத்திருப்பதைக் காண்பது எளிது. முழுமைக்கான சூத்திரம் ஒரு மாறி மேல் வரம்புடன் ஒருங்கிணைந்த மதிப்புடன் ஒத்துள்ளது

உருவாக்கும் செயல்பாடுகளின் வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு பற்றி நாம் பெற்ற அறிவைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம்:

G 0 = 1,
g 1 = 1,
g n = g n-1 + 2g n-2 + (-1) n

மேலே விவரிக்கப்பட்ட அல்காரிதத்தை நாங்கள் பின்பற்றுவோம். அல்காரிதத்தின் முதல் நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது. அனைத்து சமத்துவங்களின் இரு பக்கங்களையும் z ஆல் பொருத்தமான சக்தி மற்றும் கூட்டுத்தொகைக்கு பெருக்கவும்:

Z 0 ⋅ g 0 = 1,
z 1 ⋅ g 1 = z,
z n ⋅ g n = z n ⋅ g n-1 + 2z n ⋅ g n-2 + (-1) n ⋅ z n

இடது பக்கம் எல்லையற்ற வடிவத்தில் உருவாக்கும் செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது.

G(z) அடிப்படையில் வலது பக்கத்தை வெளிப்படுத்த முயற்சிப்போம். ஒவ்வொரு சொல்லையும் பார்ப்போம்:

ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

கொடுக்கப்பட்ட மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டிற்கான உருவாக்கும் செயல்பாடு இதுவாகும். அதை எளிய பின்னங்களாக விரிவுபடுத்துதல் (எடுத்துக்காட்டாக, முறையைப் பயன்படுத்துதல் நிச்சயமற்ற குணகங்கள்அல்லது மாற்று முறை மூலம் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள் z), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்களை ஒரு சக்தித் தொடராக எளிதாக விரிவுபடுத்தலாம், ஆனால் முதலில் நீங்கள் சிறிது டிங்கர் செய்ய வேண்டும். உருவாக்கும் செயல்பாடுகளின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்தி, எங்களிடம் உள்ளது:

அவ்வளவுதான். ஒவ்வொரு சொல்லையும் ஒரு சக்தித் தொடராக விரிவுபடுத்தி, பதிலைப் பெறுகிறோம்:

ஒருபுறம், படிவத்தில் G(z) தேடினோம் , மறுபுறம்.

பொருள் .

ஒரு முடிவுக்கு பதிலாக

இந்த சமத்துவத்தின் இருபுறமும் சதுரப்படுத்துவதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம்

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் x n இன் குணகங்களை சமன் செய்து, நாம் பெறுகிறோம்

இந்த சூத்திரம் ஒரு தெளிவான கூட்டுப் பொருளைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் அதை நிரூபிப்பது எளிதல்ல. 20 ஆம் நூற்றாண்டின் 80 களில், இந்த பிரச்சினையில் வெளியீடுகள் வெளிவந்தன.

ஒரு மறுநிகழ்வு உறவு (சமன்பாடு, மறுநிகழ்வு சூத்திரம்) என்பது வடிவத்தின் உறவு

இது வரிசையின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது அ 0 ,அ 1 , அ 2 ,.., அதன் முதலானவை கொடுக்கப்பட்டால் கே உறுப்பினர்கள்.

கே- மீண்டும் வரும் சமன்பாட்டின் வரிசை.

எடுத்துக்காட்டுகள். 1)அ n +1 = அ n + ஈ- எண்கணித முன்னேற்றம்.

2) அ n +1 = கே ∙ அ n- வடிவியல் முன்னேற்றம்.

3) அ n +2 = அ n + அ n +1 - ஃபைபோனச்சி எண்களின் வரிசை.

1.4.2. நேரியல் ஒரே மாதிரியான மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டின் தீர்வு

மீண்டும் வரும் சமன்பாடு நேரியல் மற்றும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் போது, ​​அதாவது வடிவத்தின் தொடர்பு

பின்தொடர் அ 0 , அ 1 , அ 2 ,.., இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துவது என்று அழைக்கப்படுகிறது திரும்பக் கூடியது.

பல்லுறுப்புக்கோவை

அழைக்கப்பட்டது பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவைதிரும்பும் வரிசைக்கு.

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் பண்பு என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மீண்டும் வரும் சமன்பாட்டை (1) திருப்திப்படுத்தும் அனைத்து வரிசைகளின் தொகுப்பும் அதன் பொது தீர்வு எனப்படும்.

ஒரே மாதிரியான நேரியல் மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தீர்வுடன் ஒப்புமை கொண்டது. அதாவது, கோட்பாடுகள் உண்மை.

தேற்றம் 1. விடுங்கள் பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் (2), பின்னர் வரிசை
, எங்கே c- வழித்தோன்றல் மாறிலி, சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது (1).

தேற்றம் 2. என்றால்
குணாதிசயமான பல்லுறுப்புக்கோவையின் எளிய வேர்கள் (2), பின்னர் மீண்டும் மீண்டும் சமன்பாட்டின் (1) பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:

எங்கே c 1 ,c 2 ,..,c கே- தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

தேற்றம் 3. என்றால் - பெருக்கத்தின் வேர் (i = 1,2,..,கள்) குணாதிசயமான பல்லுறுப்புக்கோவையின் (2), மீண்டும் மீண்டும் வரும் சமன்பாட்டின் (1) பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது:

எங்கே c ij - தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

ஆரம்ப நிலைகளின்படி மீண்டும் மீண்டும் சமன்பாட்டின் (1) பொதுவான தீர்வை அறிவது அ 0 ,அ 1 ,..,அ கே -1 , தீர்மானிக்கப்படாத மாறிலிகளை ஒருவர் காணலாம் c ij, அதன் மூலம் இந்த நிபந்தனைகளுடன் ஒரு பகுதி சமன்பாட்டை (1) பெறவும்.

உதாரணம். வரிசையைக் கண்டுபிடி ( அ n), மீண்டும் வரும் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது

பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை

1 (2).4.3. நேரியல் ஒத்திசைவற்ற மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டின் தீர்வு

நேரியல் ஒத்திசைவற்ற மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

அ n+k +p 1 அ n+k-1 +… + ப கே அ n = f(n), (n = 0, 1, 2,...)(3)

விடு ( பி n) என்பது ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு (1). ( c n) - தனிப்பட்ட (குறிப்பிட்ட) தீர்வு ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு (3).

பின்னர் வரிசை ( பி n +c n) சமன்பாட்டிற்கு ஒரு பொதுவான தீர்வை உருவாக்குகிறது (3). எனவே, தேற்றம் உண்மை.

தேற்றம் 4. ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு, தொடர்புடைய நேரியல் ஒரே மாதிரியான மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் சில குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்படுகிறது.

இதன் விளைவாக, ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியும் பணி (3) அதன் குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதில் குறைக்கப்படுகிறது. சில சந்தர்ப்பங்களில், தனிப்பட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சமையல் வகைகள் உள்ளன.

1) என்றால் f(n) = β n, (எங்கே β பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல), பின்னர் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவத்தில் தேடப்பட வேண்டும் c n = சிβ n . பின்னர், அதை (3) க்கு மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

இதன் விளைவாக, ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது

2) விடுங்கள் f(n) -டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை ஆர் மாறி இருந்து n, மற்றும் எண் 1 ஒரு சிறப்பியல்பு ரூட் அல்ல. பின்னர் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவத்தில் தேடப்பட வேண்டும்

மாற்றுதல் c n (3) இல் பதிலாக அ n, நாம் பெறுகிறோம்

விளைந்த சமத்துவத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களின் குணகங்களை ஒப்பிட்டு, எண்களுக்கான உறவுகளைக் காண்கிறோம் ஈ i, இந்த எண்களை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது.

உதாரணம். மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும்

உடன் ஆரம்ப நிலை.

தீர்வு.இந்த மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கவனியுங்கள்

அதன் வேர். பின்னர், தேற்றம் 1 மூலம், தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான மறுநிகழ்வு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி இருக்கும் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது.

முதல், அதாவது. ஒற்றுமை என்பது பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் அல்ல, மற்றும் வலது புறம் முதல் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், பின்னர் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு, தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களுடன் முதல் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது. அறியப்படாத குணகங்கள். அசல் சமன்பாட்டிற்கு பதிலாக மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம் அல்லது . கடைசி சமத்துவத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களின் குணகங்களை சமன் செய்து, அறியப்படாதவை மற்றும் நிர்ணயிப்பதற்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.