ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம். முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள். சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பெறுவதற்கான சூத்திரம்

IN நவீன சமூகம்ஒரு மாறி ஸ்கொயர் கொண்ட சமன்பாடுகளுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யும் திறன் செயல்பாட்டின் பல பகுதிகளில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப முன்னேற்றங்களில் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கடல் மற்றும் நதிக் கப்பல்கள், விமானங்கள் மற்றும் ஏவுகணைகளின் வடிவமைப்பில் இதற்கான சான்றுகள் உள்ளன. இத்தகைய கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி, விண்வெளிப் பொருள்கள் உட்பட பல்வேறு வகையான உடல்களின் இயக்கத்தின் பாதைகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பொருளாதார முன்கணிப்பில், கட்டிடங்களின் வடிவமைப்பு மற்றும் கட்டுமானத்தில் மட்டுமல்ல, மிகவும் சாதாரண அன்றாட சூழ்நிலைகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஹைகிங் பயணங்கள், விளையாட்டு நிகழ்வுகள், கடைகளில் வாங்கும் போது மற்றும் பிற பொதுவான சூழ்நிலைகளில் அவை தேவைப்படலாம்.

வெளிப்பாட்டை அதன் கூறு காரணிகளாக உடைப்போம்

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு, வெளிப்பாடு கொண்டிருக்கும் மாறியின் பட்டத்தின் அதிகபட்ச மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது 2 க்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு இருபடி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நாம் சூத்திரங்களின் மொழியில் பேசினால், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வெளிப்பாடுகள், அவை எப்படித் தோன்றினாலும், வெளிப்பாட்டின் இடது பக்கம் மூன்று சொற்களைக் கொண்டிருக்கும்போது எப்போதும் வடிவத்திற்கு கொண்டு வர முடியும். அவற்றில்: கோடாரி 2 (அதாவது, அதன் குணகத்துடன் ஒரு மாறி ஸ்கொயர்), bx (அதன் குணகத்துடன் சதுரம் இல்லாதது) மற்றும் c (ஒரு இலவச கூறு, அதாவது ஒரு சாதாரண எண்). வலதுபுறத்தில் உள்ள இவை அனைத்தும் 0 க்கு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் கூறு 2 ஐத் தவிர்த்து, அதன் கூறுகளில் ஒன்று இல்லாதபோது, ​​அது முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும். இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், எளிதில் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய மாறிகளின் மதிப்புகள் முதலில் கருதப்பட வேண்டும்.

வெளிப்பாட்டில் வலது பக்கத்தில் இரண்டு சொற்கள் இருப்பது போல் தோன்றினால், இன்னும் துல்லியமாக ax 2 மற்றும் bx, x ஐக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எளிதான வழி, அடைப்புக்குறிக்குள் மாறியை வைப்பதாகும். இப்போது நமது சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: x(ax+b). அடுத்து, x = 0 அல்லது ஒரு மாறியைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் வருகிறது என்பது தெளிவாகிறது. பின்வரும் வெளிப்பாடு: ax+b=0. இது பெருக்கத்தின் பண்புகளில் ஒன்றால் கட்டளையிடப்படுகிறது. இரண்டு காரணிகளின் பலன்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே 0 இல் விளைகிறது என்று விதி கூறுகிறது.

உதாரணம்

x=0 அல்லது 8x - 3 = 0

இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: 0 மற்றும் 0.375.

இந்த வகையான சமன்பாடுகள் புவியீர்ப்பு செல்வாக்கின் கீழ் உடல்களின் இயக்கத்தை விவரிக்க முடியும், இது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றமாக எடுக்கப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து நகரத் தொடங்கியது. இங்கே கணிதக் குறியீடுபின்வரும் படிவத்தை எடுக்கும்: y = v 0 t + gt 2/2. மாற்றுதல் தேவையான மதிப்புகள்வலது பக்கத்தை 0 க்கு சமன் செய்து, தெரியாதவற்றைக் கண்டறிவதன் மூலம், உடல் உயரும் தருணத்திலிருந்து அது விழும் வரை கடந்து செல்லும் நேரத்தையும், பல அளவுகளையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். ஆனால் இதைப் பற்றி பின்னர் பேசுவோம்.

ஒரு வெளிப்பாட்டைக் காரணியாக்குதல்

மேலே விவரிக்கப்பட்ட விதி இந்த சிக்கல்களை இன்னும் அதிகமாக தீர்க்க உதவுகிறது கடினமான வழக்குகள். இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

X 2 - 33x + 200 = 0

இந்த இருபடி முக்கோணம் முடிந்தது. முதலில், வெளிப்பாட்டை மாற்றி அதை காரணியாக்குவோம். அவற்றில் இரண்டு உள்ளன: (x-8) மற்றும் (x-25) = 0. இதன் விளைவாக, நமக்கு இரண்டு வேர்கள் 8 மற்றும் 25 உள்ளன.

தரம் 9 இல் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், இந்த முறையானது, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது வரிசைகளின் வெளிப்பாடுகளில் ஒரு மாறியைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. வலது பக்கத்தை ஒரு மாறியுடன் காரணிகளாக மாற்றும்போது, ​​அவற்றில் மூன்று உள்ளன, அதாவது (x+1), (x-3) மற்றும் (x+ 3)

இதன் விளைவாக, இந்த சமன்பாடு மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது: -3; -1; 3.

சதுர வேர்

முழுமையடையாத இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டின் மற்றொரு நிகழ்வு, எழுத்துகளின் மொழியில் குறிப்பிடப்படும் ஒரு வெளிப்பாடு ஆகும், இது வலது புறம் கோடாரி 2 மற்றும் c கூறுகளிலிருந்து கட்டமைக்கப்படுகிறது. இங்கே, மாறியின் மதிப்பைப் பெற, இலவச சொல் வலது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது, அதன் பிறகு, அது சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் பிரித்தெடுக்கப்படுகிறது. சதுர வேர். இந்த வழக்கில் பொதுவாக சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஒரே விதிவிலக்கு என்பது ஒரு சொல்லைக் கொண்டிருக்காத சமத்துவங்களாக இருக்கலாம், அங்கு மாறி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதே போல் வலது பக்கம் எதிர்மறையாக மாறும் போது வெளிப்பாடுகளின் மாறுபாடுகள். பிந்தைய வழக்கில், மேலே உள்ள செயல்களை வேர்கள் மூலம் செய்ய முடியாது என்பதால், தீர்வுகள் எதுவும் இல்லை. இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -4 மற்றும் 4 ஆக இருக்கும்.

நிலப்பரப்பின் கணக்கீடு

இந்த வகையான கணக்கீடுகளின் தேவை பண்டைய காலங்களில் தோன்றியது, ஏனென்றால் அந்த தொலைதூர காலங்களில் கணிதத்தின் வளர்ச்சி பெரும்பாலும் நில அடுக்குகளின் பகுதிகள் மற்றும் சுற்றளவுகளை மிகத் துல்லியமாக தீர்மானிக்க வேண்டியதன் அவசியத்தால் தீர்மானிக்கப்பட்டது.

இந்த வகையான சிக்கல்களின் அடிப்படையில் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணங்களையும் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

எனவே, ஒரு செவ்வக நிலம் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம், அதன் நீளம் அகலத்தை விட 16 மீட்டர் அதிகமாகும். தளத்தின் பரப்பளவு 612 மீ 2 என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், தளத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் சுற்றளவு ஆகியவற்றை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

தொடங்குவதற்கு, முதலில் தேவையான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். பகுதியின் அகலத்தை x ஆல் குறிப்போம், அதன் நீளம் (x+16) இருக்கும். எழுதப்பட்டவற்றிலிருந்து, பகுதி x(x+16) என்ற வெளிப்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இது எங்கள் பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி, 612 ஆகும். இதன் பொருள் x(x+16) = 612.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, மற்றும் இந்த வெளிப்பாடு சரியாக உள்ளது, அதே வழியில் செய்ய முடியாது. ஏன்? இடது பக்கம் இன்னும் இரண்டு காரணிகளைக் கொண்டிருந்தாலும், அவற்றின் தயாரிப்பு 0 க்கு சமமாக இல்லை, எனவே வெவ்வேறு முறைகள் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

முதலில், தேவையான மாற்றங்களைச் செய்வோம் தோற்றம்இந்த வெளிப்பாட்டின் தோற்றம் இப்படி இருக்கும்: x 2 + 16x - 612 = 0. இதன் பொருள் முன்பு குறிப்பிடப்பட்ட தரநிலையுடன் தொடர்புடைய வடிவத்தில் ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம், அங்கு a=1, b=16, c=-612.

இது ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இங்கே தேவையான கணக்கீடுகள்திட்டத்தின் படி உற்பத்தி செய்யப்படுகிறது: D = b 2 - 4ac. இந்த துணை அளவு இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டில் தேவையான அளவுகளை கண்டுபிடிப்பதை சாத்தியமாக்குவது மட்டுமல்லாமல், அளவை தீர்மானிக்கிறது சாத்தியமான விருப்பங்கள். D>0 எனில், அவற்றில் இரண்டு உள்ளன; D=0 க்கு ஒரு ரூட் உள்ளது. வழக்கில் டி<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

வேர்கள் மற்றும் அவற்றின் சூத்திரம் பற்றி

எங்கள் விஷயத்தில், பாரபட்சமானது இதற்குச் சமம்: 256 - 4(-612) = 2704. இது எங்கள் பிரச்சனைக்கு விடை உள்ளது என்று தெரிவிக்கிறது. உங்களுக்கு k தெரிந்தால், இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு கீழே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தொடர வேண்டும். இது வேர்களைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

இதன் பொருள் வழங்கப்பட்ட வழக்கில்: x 1 =18, x 2 =-34. இந்த இக்கட்டான சூழ்நிலையில் இரண்டாவது விருப்பம் ஒரு தீர்வாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் நிலத்தின் பரிமாணங்களை எதிர்மறையான அளவுகளில் அளவிட முடியாது, அதாவது x (அதாவது, சதித்திட்டத்தின் அகலம்) 18 மீ +16=34, மற்றும் சுற்றளவு 2(34+ 18)=104(மீ2).

எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பணிகள்

இருபடிச் சமன்பாடுகள் பற்றிய ஆய்வைத் தொடர்கிறோம். அவற்றில் பலவற்றின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் விரிவான தீர்வுகள் கீழே கொடுக்கப்படும்.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

எல்லாவற்றையும் சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்துவோம், மாற்றத்தை உருவாக்குவோம், அதாவது, வழக்கமாக நிலையானது என்று அழைக்கப்படும் சமன்பாட்டின் வகையைப் பெறுவோம், அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

ஒத்தவற்றைச் சேர்த்து, நாம் பாகுபாட்டைத் தீர்மானிக்கிறோம்: D = 49 - 48 = 1. இதன் பொருள் நமது சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். மேலே உள்ள சூத்திரத்தின்படி அவற்றைக் கணக்கிடுவோம், அதாவது அவற்றில் முதலாவது 4/3 ஆகவும், இரண்டாவது 1 ஆகவும் இருக்கும்.

2) இப்போது வேறு வகையான மர்மங்களைத் தீர்ப்போம்.

இங்கே x 2 - 4x + 5 = 1 வேர்கள் உள்ளதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்? ஒரு விரிவான பதிலைப் பெற, பல்லுறுப்புக்கோவையை தொடர்புடைய வழக்கமான வடிவத்திற்குக் குறைத்து, பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் இது சிக்கலின் சாராம்சம் அல்ல. இந்த வழக்கில், D = 16 - 20 = -4, அதாவது உண்மையில் வேர்கள் இல்லை.

வியட்டாவின் தேற்றம்

பிந்தையவற்றின் மதிப்பிலிருந்து வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளும்போது, ​​மேற்கூறிய சூத்திரங்கள் மற்றும் பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது வசதியானது. ஆனால் இது எப்போதும் நடக்காது. இருப்பினும், இந்த வழக்கில் மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பெற பல வழிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டு: வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. அவர் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் பிரான்சில் வாழ்ந்தவர் மற்றும் அவரது கணிதத் திறமை மற்றும் நீதிமன்றத்தில் உள்ள தொடர்புகளுக்கு நன்றி தெரிவிக்கும் வகையில் ஒரு சிறந்த வாழ்க்கையை மேற்கொண்டார். அவரது உருவப்படத்தை கட்டுரையில் காணலாம்.

பிரபல பிரெஞ்சுக்காரர் கவனித்த முறை பின்வருமாறு. சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்களின் அடிப்படையில் -p=b/a ஐக் கூட்டுகின்றன, மேலும் அவற்றின் தயாரிப்பு q=c/a உடன் ஒத்துள்ளது என்பதை அவர் நிரூபித்தார்.

இப்போது குறிப்பிட்ட பணிகளைப் பார்ப்போம்.

3x 2 + 21x - 54 = 0

எளிமைக்காக, வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

x 2 + 7x - 18 = 0

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம், இது பின்வருவனவற்றைக் கொடுக்கும்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை -7, அவற்றின் தயாரிப்பு -18. இங்கிருந்து நாம் சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -9 மற்றும் 2 என்று பெறுகிறோம். சரிபார்த்த பிறகு, இந்த மாறி மதிப்புகள் உண்மையில் வெளிப்பாட்டிற்கு பொருந்துமா என்பதை உறுதி செய்வோம்.

பரவளைய வரைபடம் மற்றும் சமன்பாடு

இருபடிச் செயல்பாடு மற்றும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் கருத்துக்கள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இதற்கான உதாரணங்கள் முன்பே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இப்போது சில கணிதப் புதிர்களை சற்று விரிவாகப் பார்ப்போம். விவரிக்கப்பட்ட வகையின் எந்த சமன்பாடும் பார்வைக்கு குறிப்பிடப்படலாம். ஒரு வரைபடமாக வரையப்பட்ட அத்தகைய உறவு, பரவளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் பல்வேறு வகைகள் கீழே உள்ள படத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

எந்தவொரு பரவளையத்திற்கும் ஒரு உச்சி உள்ளது, அதாவது அதன் கிளைகள் வெளிப்படும் புள்ளி. a>0 எனில், அவை முடிவிலிக்கு உயரச் செல்கின்றன, எப்போது a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

செயல்பாடுகளின் காட்சி பிரதிநிதித்துவங்கள் இருபடி சமன்பாடுகள் உட்பட எந்த சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உதவுகின்றன. இந்த முறை வரைகலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் x மாறியின் மதிப்பு, வரைபடக் கோடு 0x உடன் வெட்டும் புள்ளிகளில் உள்ள abscissa ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். x 0 = -b/2a கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உச்சியின் ஆயங்களைக் கண்டறியலாம். இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை செயல்பாட்டின் அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் y 0 ஐக் கண்டறியலாம், அதாவது பரவளையத்தின் உச்சியின் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு, இது ஆர்டினேட் அச்சுக்கு சொந்தமானது.

abscissa அச்சுடன் ஒரு பரவளையத்தின் கிளைகளின் குறுக்குவெட்டு

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு நிறைய எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, ஆனால் பொதுவான வடிவங்களும் உள்ளன. அவற்றைப் பார்ப்போம். 0 எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுத்தால் மட்டுமே a>0க்கான 0x அச்சுடன் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு சாத்தியமாகும் என்பது தெளிவாகிறது. மற்றும் ஒரு<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. இல்லையெனில் டி<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

பரவளையத்தின் வரைபடத்திலிருந்து நீங்கள் வேர்களையும் தீர்மானிக்கலாம். இதற்கு நேர்மாறாகவும் உள்ளது. அதாவது, ஒரு இருபடிச் செயல்பாட்டின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பெறுவது எளிதல்ல என்றால், வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தை 0க்கு சமன் செய்து அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம். மற்றும் 0x அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளை அறிந்து, வரைபடத்தை உருவாக்குவது எளிது.

வரலாற்றில் இருந்து

ஒரு சதுர மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, பழைய நாட்களில் அவர்கள் கணிதக் கணக்கீடுகளை மட்டும் செய்யவில்லை மற்றும் வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளை தீர்மானித்தனர். இயற்பியல் மற்றும் வானியல் துறைகளில் மகத்தான கண்டுபிடிப்புகளுக்கும், ஜோதிட கணிப்புகளைச் செய்வதற்கும் பழங்காலங்களுக்கு இத்தகைய கணக்கீடுகள் தேவைப்பட்டன.

நவீன விஞ்ஞானிகள் கூறுவது போல், இருபடி சமன்பாடுகளை முதலில் தீர்த்தவர்களில் பாபிலோனில் வசிப்பவர்கள் இருந்தனர். இது நமது சகாப்தத்திற்கு நான்கு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. நிச்சயமாக, அவர்களின் கணக்கீடுகள் தற்போது ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டவற்றிலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டவை மற்றும் மிகவும் பழமையானவை. உதாரணமாக, மெசபடோமிய கணிதவியலாளர்களுக்கு எதிர்மறை எண்கள் இருப்பதைப் பற்றி எதுவும் தெரியாது. எந்தவொரு நவீன பள்ளிக்குழந்தைக்கும் தெரிந்த பிற நுணுக்கங்களையும் அவர்கள் அறிந்திருக்கவில்லை.

ஒருவேளை பாபிலோனின் விஞ்ஞானிகளை விட முன்னதாகவே, இந்தியாவைச் சேர்ந்த பௌதயாமா முனிவர் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கத் தொடங்கினார். இது கிறிஸ்துவின் சகாப்தத்திற்கு சுமார் எட்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. உண்மை, இரண்டாம் வரிசை சமன்பாடுகள், அவர் கொடுத்த தீர்வுக்கான முறைகள் எளிமையானவை. அவரைத் தவிர, சீனக் கணிதவியலாளர்களும் பழைய நாட்களில் இதே போன்ற கேள்விகளில் ஆர்வமாக இருந்தனர். ஐரோப்பாவில், இருபடி சமன்பாடுகள் 13 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் மட்டுமே தீர்க்கப்படத் தொடங்கின, ஆனால் பின்னர் அவை நியூட்டன், டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் பலர் போன்ற சிறந்த விஞ்ஞானிகளால் தங்கள் படைப்புகளில் பயன்படுத்தப்பட்டன.

சிக்கலான எண்கள் XI

§ 253. எதிர்மறை எண்களிலிருந்து சதுர வேர்களைப் பிரித்தெடுத்தல்.
எதிர்மறை பாகுபாடுகளுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

நமக்குத் தெரியும்

i 2 = - 1.

அதே நேரத்தில்

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

எனவே, - 1 இன் வர்க்க மூலத்தில் குறைந்தது இரண்டு மதிப்புகள் உள்ளன, அதாவது i மற்றும் - i . ஆனால் இன்னும் சில இருக்கலாம் சிக்கலான எண்கள், யாருடைய சதுரங்கள் சமம் - 1?

இந்தக் கேள்வியைத் தெளிவுபடுத்த, ஒரு கலப்பு எண்ணின் வர்க்கம் என்று வைத்துக்கொள்வோம் a + bi சமம் - 1. பிறகு

(a + bi ) 2 = - 1,

ஏ 2 + 2அபி - பி 2 = - 1

இரண்டு கலப்பு எண்கள் அவற்றின் உண்மையான பகுதிகள் மற்றும் அவற்றின் கற்பனை பகுதிகளின் குணகங்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே சமமாக இருக்கும். அதனால் தான்

அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் படி (1), குறைந்தபட்சம் எண்களில் ஒன்று ஏ மற்றும் பி பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். என்றால் பி = 0, பின்னர் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம் ஏ 2 = - 1. எண் ஏ உண்மையான, எனவே ஏ 2 > 0. எதிர்மில்லாத எண் ஏ 2 எதிர்மறை எண்ணை சமன் செய்ய முடியாது - 1. எனவே, சமத்துவம் பி இந்த வழக்கில் = 0 சாத்தியமற்றது. அதை ஒப்புக்கொள்ள வேண்டியதுதான் ஏ = 0, ஆனால் கணினியின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்: - பி 2 = - 1, பி = ± 1.

எனவே, சதுரங்கள் -1 ஆக இருக்கும் கலப்பு எண்கள் மட்டுமே i மற்றும் - i , வழக்கமாக, இது வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது:

√-1 = ± i .

இதேபோன்ற பகுத்தறிவைப் பயன்படுத்தி, எதிர்மறை எண்ணுக்குச் சமமான சதுரங்கள் சரியாக இரண்டு எண்கள் உள்ளன என்பதை மாணவர்கள் நம்பலாம் - ஏ . அத்தகைய எண்கள் √ அ i மற்றும் -√ அ i . வழக்கமாக, இது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

√- ஏ = ± √ அ i .

கீழ் √ அ இங்கே நாம் ஒரு எண்கணிதத்தைக் குறிக்கிறோம், அதாவது நேர்மறை, ரூட். எடுத்துக்காட்டாக, √4 = 2, √9 =.3; அதனால் தான்

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i

முன்னதாக, எதிர்மறை பாகுபாடுகளுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​​​அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு வேர்கள் இல்லை என்று சொன்னோம், இப்போது அதைச் சொல்ல முடியாது. எதிர்மறை பாகுபாடுகளுடன் கூடிய இருபடிச் சமன்பாடுகள் சிக்கலான வேர்களைக் கொண்டுள்ளன. இந்த வேர்கள் நமக்குத் தெரிந்த சூத்திரங்களின்படி பெறப்படுகின்றன. உதாரணமாக, சமன்பாட்டைக் கொடுக்கலாம் x 2 + 2எக்ஸ் + 5 = 0; பிறகு

எக்ஸ் 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

எனவே, இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: எக்ஸ் 1 = - 1 +2i , எக்ஸ் 2 = - 1 - 2i . இந்த வேர்கள் ஒன்றுக்கொன்று இணைந்தவை. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை - 2, மற்றும் அவற்றின் தயாரிப்பு 5, எனவே வியட்டாவின் தேற்றம் உள்ளது என்பதைக் குறிப்பிடுவது சுவாரஸ்யமானது.

பயிற்சிகள்

2022. (செட் எண்.) சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

A) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; c) 3 x 2 = - 5.

2023. சதுரங்கள் சமமாக இருக்கும் அனைத்து சிக்கலான எண்களையும் கண்டறியவும்:

A) i ; b) 1 / 2 - √ 3 / 2 i ;

2024. இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

A) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கவும் (எண். 2025, 2026):

2027. உண்மையான குணகங்கள் மற்றும் எதிர்மறை பாகுபாடு கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் ஒன்றுக்கொன்று இணைந்திருப்பதை நிரூபிக்கவும்.

2028. வியட்டாவின் தேற்றம் எந்த இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கும் உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும், எதிர்மறை அல்லாத பாகுபாடு கொண்ட சமன்பாடுகளுக்கு மட்டும் அல்ல.

2029. உண்மையான குணகங்களுடன் இருபடி சமன்பாட்டை உருவாக்கவும், அதன் வேர்கள்:

a) எக்ஸ் 1 = 5 - i , எக்ஸ் 2 = 5 + i ; b) எக்ஸ் 1 = 3i , எக்ஸ் 2 = - 3i .

2030. உண்மையான குணகங்களுடன் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை உருவாக்கவும், அதன் வேர்களில் ஒன்று (3 - i ) (2i - 4).

2031. உண்மையான குணகங்களுடன் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை உருவாக்கவும், அதன் வேர்களில் ஒன்று சமமாக இருக்கும் 32 - i
1- 3i .

பலர் அவ்வாறு இல்லாததால் முதலில் இந்த தலைப்பு கடினமாகத் தோன்றலாம் எளிய சூத்திரங்கள். இருபடிச் சமன்பாடுகள் நீண்ட குறியீடுகளைக் கொண்டிருப்பது மட்டுமல்லாமல், வேர்கள் பாகுபாடு மூலமாகவும் காணப்படுகின்றன. மொத்தத்தில், மூன்று புதிய சூத்திரங்கள் பெறப்படுகின்றன. நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது அல்ல. இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை அடிக்கடி தீர்த்த பின்னரே இது சாத்தியமாகும். அப்போது எல்லா ஃபார்முலாக்களும் தாங்களாகவே நினைவில் இருக்கும்.

இருபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான பார்வை

பெரிய பட்டம் முதலில் எழுதப்படும்போது, ​​பின்னர் இறங்குவரிசையில் அவற்றின் வெளிப்படையான குறியீட்டை இங்கே நாங்கள் முன்மொழிகிறோம். விதிமுறைகள் சீரற்றதாக இருக்கும்போது பெரும்பாலும் சூழ்நிலைகள் உள்ளன. பின்னர் சமன்பாட்டை மாறியின் பட்டத்தின் இறங்கு வரிசையில் மீண்டும் எழுதுவது நல்லது.

சில குறிப்புகளை அறிமுகப்படுத்துவோம். அவை கீழே உள்ள அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

இந்தக் குறியீடுகளை நாம் ஏற்றுக்கொண்டால், அனைத்து இருபடிச் சமன்பாடுகளும் பின்வரும் குறிப்பிற்குக் குறைக்கப்படும்.

மேலும், குணகம் a ≠ 0. இந்த சூத்திரம் முதலிடத்தில் இருக்கட்டும்.

ஒரு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், பதிலில் எத்தனை வேர்கள் இருக்கும் என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. ஏனெனில் மூன்று விருப்பங்களில் ஒன்று எப்போதும் சாத்தியமாகும்:

• தீர்வு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்;
• பதில் ஒரு எண்ணாக இருக்கும்;
• சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருக்காது.

முடிவு முடிவடையும் வரை, ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில் எந்த விருப்பம் தோன்றும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கடினம்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் பதிவுகளின் வகைகள்

பணிகளில் வெவ்வேறு உள்ளீடுகள் இருக்கலாம். அவை எப்போதும் பொதுவான இருபடி சமன்பாடு சூத்திரம் போல் இருக்காது. சில சமயங்களில் சில விதிமுறைகள் இல்லாமல் போகும். மேலே எழுதப்பட்டவை முழுமையான சமன்பாடு. அதில் உள்ள இரண்டாவது அல்லது மூன்றாவது பதத்தை நீக்கினால், வேறு ஏதாவது கிடைக்கும். இந்த பதிவுகள் இருபடி சமன்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, முழுமையற்றவை.

மேலும், "b" மற்றும் "c" குணகங்களைக் கொண்ட சொற்கள் மட்டுமே மறைந்துவிடும். எந்த சூழ்நிலையிலும் "a" எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. ஏனெனில் இந்த வழக்கில் சூத்திரம் நேரியல் சமன்பாடாக மாறும். சமன்பாடுகளின் முழுமையற்ற வடிவத்திற்கான சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு இருக்கும்:

எனவே, இரண்டு வகைகள் மட்டுமே உள்ளன, மேலும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளும் உள்ளன. முதல் சூத்திரம் எண் இரண்டாகவும், இரண்டாவது - மூன்றாகவும் இருக்கட்டும்.

அதன் மதிப்பில் வேர்களின் எண்ணிக்கையின் பாகுபாடு மற்றும் சார்பு

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிட இந்த எண்ணை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இருபடிச் சமன்பாட்டின் சூத்திரம் எதுவாக இருந்தாலும் அதை எப்போதும் கணக்கிடலாம். பாகுபாட்டைக் கணக்கிட, கீழே எழுதப்பட்ட சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அதில் எண் நான்கு இருக்கும்.

இந்த சூத்திரத்தில் குணக மதிப்புகளை மாற்றிய பின், நீங்கள் எண்களைப் பெறலாம் வெவ்வேறு அறிகுறிகள். பதில் ஆம் எனில், சமன்பாட்டிற்கான பதில் இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களாக இருக்கும். எண் எதிர்மறையாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் இருக்காது. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், ஒரே ஒரு பதில் மட்டுமே இருக்கும்.

ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

உண்மையில், இந்த பிரச்சினையின் பரிசீலனை ஏற்கனவே தொடங்கிவிட்டது. ஏனென்றால் முதலில் நீங்கள் ஒரு பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் உள்ளன என்பதைத் தீர்மானித்த பிறகு, அவற்றின் எண்ணிக்கை அறியப்பட்ட பிறகு, நீங்கள் மாறிகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இரண்டு வேர்கள் இருந்தால், நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

அதில் "±" குறி இருப்பதால், இரண்டு மதிப்புகள் இருக்கும். வர்க்க மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு பாகுபாடு ஆகும். எனவே, சூத்திரத்தை வேறு விதமாக மாற்றி எழுதலாம்.

ஃபார்முலா எண் ஐந்து. பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இரண்டு வேர்களும் ஒரே மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பது ஒரே பதிவிலிருந்து தெளிவாகிறது.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது இன்னும் செயல்படவில்லை என்றால், பாகுபாடு மற்றும் மாறி சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு அனைத்து குணகங்களின் மதிப்புகளையும் எழுதுவது நல்லது. பின்னர் இந்த தருணம் சிரமங்களை ஏற்படுத்தாது. ஆனால் ஆரம்பத்திலேயே குழப்பம்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

இங்கே எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. கூடுதல் சூத்திரங்கள் கூட தேவையில்லை. மேலும் பாகுபாடு காட்டுபவர்கள் மற்றும் தெரியாதவர்களுக்காக ஏற்கனவே எழுதப்பட்டவை தேவையில்லை.

முதலில் கருத்தில் கொள்வோம் முழுமையற்ற சமன்பாடுஎண் இரண்டில். இந்த சமத்துவத்தில், தெரியாத அளவை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து அகற்றி, அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும் நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது அவசியம். பதில் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். முதல் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், ஏனென்றால் மாறியைக் கொண்ட ஒரு பெருக்கி உள்ளது. இரண்டாவது ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படும்.

முழுமையற்ற சமன்பாடு எண் மூன்று சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திலிருந்து வலதுபுறமாக எண்ணை நகர்த்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது. அறியப்படாததை எதிர்கொள்ளும் குணகத்தால் நீங்கள் வகுக்க வேண்டும். எஞ்சியிருப்பது வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்து, எதிரெதிர் அடையாளங்களுடன் இரண்டு முறை எழுத நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

இருபடி சமன்பாடுகளாக மாறும் அனைத்து வகையான சமத்துவங்களையும் எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிய உதவும் சில படிகள் கீழே உள்ளன. கவனக்குறைவால் ஏற்படும் தவறுகளைத் தவிர்க்க அவை மாணவருக்கு உதவும். இந்த குறைபாடுகள் விரிவான தலைப்பைப் படிக்கும் போது மோசமான தரங்களை ஏற்படுத்தலாம் "குவாட்ராடிக் சமன்பாடுகள் (கிரேடு 8)." பின்னர், இந்த நடவடிக்கைகள் தொடர்ந்து செய்யப்பட வேண்டியதில்லை. ஏனெனில் ஒரு நிலையான திறமை தோன்றும்.

• முதலில் நீங்கள் சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்தில் எழுத வேண்டும். அதாவது, முதலில் மாறியின் மிகப்பெரிய பட்டம் கொண்ட சொல், பின்னர் - ஒரு பட்டம் இல்லாமல், கடைசியாக - ஒரு எண்.

• குணகம் "a" க்கு முன் ஒரு கழித்தல் தோன்றினால், அது இருபடி சமன்பாடுகளைப் படிக்கும் ஒரு தொடக்கக்காரரின் வேலையை சிக்கலாக்கும். அதிலிருந்து விடுபடுவது நல்லது. இந்த நோக்கத்திற்காக, அனைத்து சமத்துவமும் "-1" ஆல் பெருக்கப்பட வேண்டும். எல்லா விதிமுறைகளும் குறியை எதிர்மாறாக மாற்றும் என்பதே இதன் பொருள்.

• அதே வழியில் பின்னங்களை அகற்ற பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டை பொருத்தமான காரணியால் பெருக்கவும், இதனால் பிரிவுகள் ரத்து செய்யப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பின்வரும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இது தேவைப்படுகிறது:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

முதல் சமன்பாடு: x 2 − 7x = 0. இது முழுமையடையாதது, எனவே இது சூத்திர எண் இரண்டுக்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி தீர்க்கப்படுகிறது.

அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்த பிறகு, அது மாறிவிடும்: x (x - 7) = 0.

முதல் ரூட் மதிப்பை எடுக்கும்: x 1 = 0. இரண்டாவது இதிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்படும் நேரியல் சமன்பாடு: x - 7 = 0. x 2 = 7 என்று பார்ப்பது எளிது.

இரண்டாவது சமன்பாடு: 5x 2 + 30 = 0. மீண்டும் முழுமையற்றது. மூன்றாவது சூத்திரத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி மட்டுமே இது தீர்க்கப்படுகிறது.

சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு 30 ஐ நகர்த்திய பிறகு: 5x 2 = 30. இப்போது நீங்கள் 5 ஆல் வகுக்க வேண்டும். அது மாறிவிடும்: x 2 = 6. பதில்கள் எண்களாக இருக்கும்: x 1 = √6, x 2 = - √6.

மூன்றாவது சமன்பாடு: 15 - 2x - x 2 = 0. இருபடி சமன்பாடுகளை நிலையான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவதன் மூலம் அவற்றைத் தீர்ப்பது தொடங்கும்: − x 2 - 2x + 15 = 0. இப்போது இரண்டாவது பயன்படுத்த வேண்டிய நேரம் இது. பயனுள்ள ஆலோசனைஎல்லாவற்றையும் கழித்தல் ஒன்றால் பெருக்கவும். இது x 2 + 2x - 15 = 0 என்று மாறிவிடும். நான்காவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பாகுபாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும்: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. இது நேர்மறை எண். மேலே கூறப்பட்டவற்றிலிருந்து, சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்று மாறிவிடும். ஐந்தாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கணக்கிட வேண்டும். அது x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. பின்னர் x 1 = 3, x 2 = - 5.

நான்காவது சமன்பாடு x 2 + 8 + 3x = 0 இவ்வாறு மாற்றப்படுகிறது: x 2 + 3x + 8 = 0. அதன் பாகுபாடு இந்த மதிப்புக்கு சமம்: -23. இந்த எண் எதிர்மறையாக இருப்பதால், இந்த பணிக்கான பதில் பின்வரும் நுழைவாக இருக்கும்: "வேர்கள் இல்லை."

ஐந்தாவது சமன்பாடு 12x + x 2 + 36 = 0 பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்பட வேண்டும்: x 2 + 12x + 36 = 0. பாகுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திய பிறகு, எண் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுகிறது. இது ஒரு ரூட்டைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது: x = -12/ (2 * 1) = -6.

ஆறாவது சமன்பாட்டிற்கு (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) உருமாற்றங்கள் தேவை, நீங்கள் ஒரே மாதிரியான சொற்களைக் கொண்டு வர வேண்டும், முதலில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டும். முதல் இடத்தில் பின்வரும் வெளிப்பாடு இருக்கும்: x 2 + 2x + 1. சமத்துவத்திற்குப் பிறகு, இந்த உள்ளீடு தோன்றும்: x 2 + 3x + 2. ஒத்த சொற்கள் கணக்கிடப்பட்ட பிறகு, சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: x 2 - x = 0. இது முழுமையடையாது . இதைப் போன்ற ஒன்று ஏற்கனவே கொஞ்சம் அதிகமாக விவாதிக்கப்பட்டது. இதன் வேர்கள் 0 மற்றும் 1 எண்களாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, டிரினோமியலுக்கு \(3x^2+2x-7\), பாரபட்சமானது \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\)க்கு சமமாக இருக்கும். மற்றும் முக்கோணத்திற்கு \(x^2-5x+11\), இது \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)க்கு சமமாக இருக்கும்.

பாகுபாடு என்பது \(D\) என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் பெரும்பாலும் தீர்க்க பயன்படுகிறது. மேலும், பாகுபாடு காண்பவரின் மதிப்பின் மூலம், வரைபடம் தோராயமாக எப்படி இருக்கும் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளலாம் (கீழே காண்க).

இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு மற்றும் வேர்கள்

பாகுபாடு மதிப்பு இருபடி சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது:
- \(D\) நேர்மறையாக இருந்தால், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்;
- \(D\) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் - ஒரே ஒரு ரூட் மட்டுமே உள்ளது;
- \(D\) எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை.

இதை கற்பிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, பாகுபாடு காட்டுபவர்களிடமிருந்து (அதாவது \(\sqrt(D)\) ஒரு இருபடியின் வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது என்பதை அறிந்தால், அத்தகைய முடிவுக்கு வருவது கடினம் அல்ல. சமன்பாடு: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) மற்றும் \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) மேலும் விவரங்கள் ஒவ்வொன்றையும் பார்க்கலாம்.

பாகுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால்

இந்த வழக்கில், அதன் மூலமானது சில நேர்மறை எண்ணாகும், அதாவது \(x_(1)\) மற்றும் \(x_(2)\) வெவ்வேறு அர்த்தங்களைக் கொண்டிருக்கும், ஏனெனில் முதல் சூத்திரத்தில் \(\sqrt(D)\ ) சேர்க்கப்பட்டது, மற்றும் இரண்டாவது அது கழிக்கப்படுகிறது. மேலும் எங்களுக்கு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்கள் உள்ளன.

உதாரணம் : சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் \(x^2+2x-3=0\)
தீர்வு :

பதில் : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால்

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் எத்தனை வேர்கள் இருக்கும்? பகுத்தறிவோம்.

மூல சூத்திரங்கள் இப்படி இருக்கும்: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) மற்றும் \(x_(2)=\)\(\frac(-- b- \sqrt(D))(2a)\) . மேலும் பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதன் மூலமும் பூஜ்ஜியமாகும். பின்னர் அது மாறிவிடும்:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

அதாவது, சமன்பாட்டின் வேர்களின் மதிப்புகள் ஒத்துப்போகின்றன, ஏனென்றால் பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டுவது அல்லது கழிப்பது எதையும் மாற்றாது.

உதாரணம் : சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் \(x^2-4x+4=0\)
தீர்வு :

பதில் : \(x=2\)

இருபடி சமன்பாடுகள். பாகுபாடு காட்டுபவர். தீர்வு, எடுத்துக்காட்டுகள்.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைகள்

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன? அது எப்படி இருக்கும்? கால அளவில் இருபடி சமன்பாடுமுக்கிய வார்த்தை "சதுரம்".இதன் பொருள் சமன்பாட்டில் அவசியம்ஒரு x சதுரம் இருக்க வேண்டும். கூடுதலாக, சமன்பாடு X (முதல் சக்திக்கு) மற்றும் ஒரு எண்ணைக் கொண்டிருக்கலாம் (அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம்!) (இலவச உறுப்பினர்).மேலும் இரண்டு அளவிற்கு X கள் இருக்கக்கூடாது.

கணித அடிப்படையில், இருபடி சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்:

இங்கே a, b மற்றும் c- சில எண்கள். பி மற்றும் சி- முற்றிலும் ஏதேனும், ஆனால் ஏ- பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எதுவும். உதாரணமாக:

இங்கே ஏ =1; பி = 3; c = -4

இங்கே ஏ =2; பி = -0,5; c = 2,2

இங்கே ஏ =-3; பி = 6; c = -18

சரி, உங்களுக்கு புரிகிறது...

இந்த இருபடி சமன்பாடுகளில் இடதுபுறம் உள்ளது முழு தொகுப்புஉறுப்பினர்கள். X ஒரு குணகம் கொண்ட சதுரம் ஏ,குணகம் கொண்ட முதல் சக்திக்கு x பிமற்றும் இலவச உறுப்பினர் எஸ்.

இத்தகைய இருபடி சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன முழு

என்றால் என்ன பி= 0, நமக்கு என்ன கிடைக்கும்? எங்களிடம் உள்ளது X முதல் நிலைக்கு மறைந்துவிடும்.பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கப்படும் போது இது நிகழ்கிறது.) இது மாறிவிடும், எடுத்துக்காட்டாக:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

முதலியன மற்றும் இரண்டு குணகங்கள் என்றால் பிமற்றும் cபூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், பின்னர் இது இன்னும் எளிமையானது:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

ஏதாவது காணாமல் போன சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.இது மிகவும் தர்க்கரீதியானது.) அனைத்து சமன்பாடுகளிலும் x ஸ்கொயர் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

மூலம், ஏன் ஏபூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாதா? நீங்கள் பதிலாக பதிலாக ஏபூஜ்ஜியம்.) எங்கள் X ஸ்கொயர் மறைந்துவிடும்! சமன்பாடு நேராக மாறும். மற்றும் தீர்வு முற்றிலும் வேறுபட்டது ...

இருபடி சமன்பாடுகளின் முக்கிய வகைகள் அவ்வளவுதான். முழுமையான மற்றும் முழுமையற்றது.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எளிது. சூத்திரங்கள் மற்றும் தெளிவான, எளிய விதிகளின்படி. முதல் கட்டத்தில் அது அவசியம் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுவழிவகுக்கும் நிலையான பார்வை, அதாவது படிவத்திற்கு:

இந்த வடிவத்தில் சமன்பாடு ஏற்கனவே உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டிருந்தால், நீங்கள் முதல் கட்டத்தை செய்ய வேண்டியதில்லை.) முக்கிய விஷயம் அனைத்து குணகங்களையும் சரியாக தீர்மானிக்க வேண்டும், ஏ, பிமற்றும் c.

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பாரபட்சமான. ஆனால் அவரைப் பற்றி மேலும் கீழே. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, X கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் a, b மற்றும் c மட்டுமே. அந்த. ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்கள். மதிப்புகளை கவனமாக மாற்றவும் a, b மற்றும் cஇந்த சூத்திரத்தில் கணக்கிடுகிறோம். மாற்றுவோம் உங்கள் சொந்த அடையாளங்களுடன்! உதாரணமாக, சமன்பாட்டில்:

ஏ =1; பி = 3; c= -4. இங்கே நாம் அதை எழுதுகிறோம்:

உதாரணம் கிட்டத்தட்ட தீர்க்கப்பட்டது:

இதுதான் பதில்.

இது மிகவும் எளிமையானது. என்ன, தவறு செய்வது சாத்தியமில்லை என்று நீங்கள் நினைக்கிறீர்களா? சரி, ஆம், எப்படி...

மிகவும் பொதுவான தவறுகள் குறியீட்டு மதிப்புகளுடன் குழப்பம் a, b மற்றும் c. அல்லது மாறாக, அவர்களின் அறிகுறிகளுடன் அல்ல (எங்கே குழப்பமடைய வேண்டும்?), ஆனால் மாற்றுடன் எதிர்மறை மதிப்புகள்வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தில். குறிப்பிட்ட எண்களைக் கொண்ட சூத்திரத்தின் விரிவான பதிவு இங்கே உதவுகிறது. கணக்கீடுகளில் சிக்கல்கள் இருந்தால், அதை செய்!

பின்வரும் உதாரணத்தை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இங்கே அ = -6; பி = -5; c = -1

முதல் முறையாக பதில்கள் கிடைப்பது அரிது என்பது உங்களுக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

சரி, சோம்பேறியாக இருக்காதே. கூடுதல் வரி மற்றும் பிழைகளின் எண்ணிக்கையை எழுத 30 வினாடிகள் ஆகும் கடுமையாக குறையும். எனவே அனைத்து அடைப்புக்குறிகள் மற்றும் அறிகுறிகளுடன் விரிவாக எழுதுகிறோம்:

மிகவும் கவனமாக எழுதுவது நம்பமுடியாத கடினம் என்று தோன்றுகிறது. ஆனால் அது மட்டும் தெரிகிறது. முயற்சி செய்து பாருங்கள். சரி, அல்லது தேர்வு செய்யவும். எது சிறந்தது, விரைவானது அல்லது சரியானது? மேலும், நான் உங்களை மகிழ்ச்சியடையச் செய்வேன். சிறிது நேரம் கழித்து, எல்லாவற்றையும் கவனமாக எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை. அது தானே சரியாக வேலை செய்யும். குறிப்பாக நீங்கள் பயன்படுத்தினால்நடைமுறை நுட்பங்கள்

, அவை கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. மைனஸ்கள் கொண்ட இந்த தீய உதாரணத்தை எளிதாகவும் பிழைகள் இல்லாமல் தீர்க்க முடியும்!

ஆனால், பெரும்பாலும், இருபடி சமன்பாடுகள் சற்று வித்தியாசமாக இருக்கும். உதாரணமாக, இது போன்றது: நீங்கள் அதை அடையாளம் கண்டுகொண்டீர்களா?) ஆம்! இது.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. a, b மற்றும் c.

அவை பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படலாம். அவர்கள் இங்கே சமமானவர்கள் என்பதை நீங்கள் சரியாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். நீங்கள் அதை கண்டுபிடித்தீர்களா? முதல் உதாரணத்தில் a = 1; b = -4; cஏ ? அது அங்கேயே இல்லை! சரி, அது சரி. கணிதத்தில் இதற்கு அர்த்தம் c = 0 ! அவ்வளவுதான். சூத்திரத்தில் பூஜ்ஜியத்தை மாற்றவும் c, நாம் வெற்றி பெறுவோம். இரண்டாவது உதாரணத்துடன் அதே. நமக்கு மட்டும் இங்கு பூஜ்யம் இல்லைஉடன் பி !

, ஏ

ஆனால் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளை மிக எளிமையாக தீர்க்க முடியும். எந்த சூத்திரமும் இல்லாமல். முதல் முழுமையற்ற சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். இடது பக்கம் என்ன செய்யலாம்? நீங்கள் X ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கலாம்! அதை வெளியே எடுப்போம்.
எனவே இது என்ன? மற்றும் எந்த காரணிகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பது உண்மை! என்னை நம்பவில்லையா? சரி, இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற எண்களைக் கொண்டு வாருங்கள், பெருக்கினால், பூஜ்ஜியம் கிடைக்கும்!
வேலை செய்யவில்லையா? அவ்வளவுதான்... எனவே, நாம் நம்பிக்கையுடன் எழுதலாம்:, x 1 = 0.

அனைத்து. இவை நமது சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கும். இரண்டும் பொருத்தமானவை. அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றும்போது, ​​0 = 0 என்ற சரியான அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம். நீங்கள் பார்க்கிறபடி, பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதை விட தீர்வு மிகவும் எளிமையானது. நான் கவனிக்கிறேன், எந்த எக்ஸ் முதலில் இருக்கும், எது இரண்டாவது - முற்றிலும் அலட்சியமாக இருக்கும். வரிசையாக எழுதுவது வசதியானது, x 1- என்ன சிறியது மற்றும் x 2- எது பெரியது.

இரண்டாவது சமன்பாட்டை எளிமையாக தீர்க்க முடியும். 9 ஐ வலது பக்கம் நகர்த்தவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

9 இலிருந்து மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது, அவ்வளவுதான். இது மாறிவிடும்:

மேலும் இரண்டு வேர்கள் . x 1 = -3, x 2 = 3.

அனைத்து முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளும் இப்படித்தான் தீர்க்கப்படுகின்றன. X ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பதன் மூலம் அல்லது எண்ணை வலது பக்கம் நகர்த்தி, பின்னர் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதன் மூலம்.
இந்த நுட்பங்களை குழப்புவது மிகவும் கடினம். ஏனென்றால் முதல் வழக்கில் நீங்கள் X இன் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க வேண்டும், இது எப்படியோ புரிந்துகொள்ள முடியாதது, இரண்டாவது வழக்கில் அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்க எதுவும் இல்லை.

பாகுபாடு காட்டுபவர். பாகுபாடு சூத்திரம்.

மந்திர வார்த்தை பாரபட்சமான ! அரிதாக ஒரு உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர் இந்த வார்த்தையைக் கேட்கவில்லை! "நாங்கள் ஒரு பாகுபாடு மூலம் தீர்க்கிறோம்" என்ற சொற்றொடர் நம்பிக்கையையும் உறுதியையும் தூண்டுகிறது. ஏனென்றால் பாகுபாடு காட்டுபவர்களிடம் தந்திரங்களை எதிர்பார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை! இது எளிமையானது மற்றும் சிக்கலற்றது.) தீர்வுக்கான பொதுவான சூத்திரத்தை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் ஏதேனும்இருபடி சமன்பாடுகள்:

மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு ஒரு பாகுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பொதுவாக பாகுபாடு காட்டுபவர் கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது டி. பாகுபாடு சூத்திரம்:

D = b 2 - 4ac

இந்த வெளிப்பாட்டைப் பற்றி மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கது என்ன? அது ஏன் ஒரு சிறப்புப் பெயருக்கு தகுதியானது? என்ன பாகுபாடு காண்பவரின் பொருள்?அனைத்து பிறகு -பி,அல்லது 2aஇந்த சூத்திரத்தில் அவர்கள் குறிப்பாக எதையும் அழைக்கவில்லை... கடிதங்கள் மற்றும் கடிதங்கள்.

இதோ விஷயம். இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​அது சாத்தியமாகும் மூன்று வழக்குகள் மட்டுமே.

1. பாகுபாடு காட்டுபவர் நேர்மறை.இதன் பொருள் வேரை அதிலிருந்து பிரித்தெடுக்கலாம். வேர் நன்றாக அல்லது மோசமாக பிரித்தெடுக்கப்பட்டதா என்பது மற்றொரு கேள்வி. கொள்கையளவில் என்ன பிரித்தெடுக்கப்பட்டது என்பதுதான் முக்கியம். உங்கள் இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டு வெவ்வேறு தீர்வுகள்.

2. பாகுபாடு பூஜ்ஜியம்.அப்போது உங்களுக்கு ஒரு தீர்வு கிடைக்கும். பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டினாலும் கழித்தாலும் எண்ணில் மாற்றம் ஏற்படாது. கண்டிப்பாகச் சொன்னால், இது ஒரு ரூட் அல்ல, ஆனால் இரண்டு ஒத்த. ஆனால், எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பதிப்பில், பேசுவது வழக்கம் ஒரு தீர்வு.

3. பாகுபாடு எதிர்மறையானது.இருந்து எதிர்மறை எண்வர்க்கமூலம் எடுக்கப்படவில்லை. ஓ சரி. இதன் பொருள் தீர்வுகள் இல்லை.

நேர்மையாக, எப்போது எளிய தீர்வுஇருபடி சமன்பாடுகள், ஒரு பாகுபாடு பற்றிய கருத்து குறிப்பாக தேவையில்லை. குணகங்களின் மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றி எண்ணுகிறோம். இரண்டு வேர்கள், ஒன்று, எதுவுமில்லை என்று எல்லாம் அங்கே தானே நடக்கிறது. இருப்பினும், மிகவும் சிக்கலான பணிகளை தீர்க்கும் போது, ​​அறிவு இல்லாமல் பாகுபாடு காண்பவரின் பொருள் மற்றும் சூத்திரம்பெற முடியாது. குறிப்பாக அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகளில். இத்தகைய சமன்பாடுகள் மாநிலத் தேர்வு மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான ஏரோபாட்டிக்ஸ்!)

எனவே, இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பதுநீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்த பாகுபாடு மூலம். அல்லது நீங்கள் கற்றுக்கொண்டீர்கள், அதுவும் மோசமாக இல்லை.) சரியாக எப்படி தீர்மானிப்பது என்பது உங்களுக்குத் தெரியும் a, b மற்றும் c. எப்படி தெரியுமா? கவனத்துடன்அவற்றை ரூட் சூத்திரத்தில் மாற்றவும் கவனத்துடன்முடிவை எண்ணுங்கள். இங்கே முக்கிய வார்த்தை என்பதை நீங்கள் புரிந்துகொள்கிறீர்கள் கவனத்துடன்?

பிழைகளின் எண்ணிக்கையை வியத்தகு முறையில் குறைக்கும் நடைமுறை நுட்பங்களை இப்போது கவனியுங்கள். கவனக்குறைவினால் ஏற்படுபவையே... பிற்காலத்தில் வலியாகவும் புண்படுத்துவதாகவும் மாறுகிறது...

முதல் சந்திப்பு . இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு முன் சோம்பேறியாக இருக்காதீர்கள் மற்றும் அதை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வாருங்கள். இதன் பொருள் என்ன?
அனைத்து மாற்றங்களுக்கும் பிறகு நீங்கள் பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள் என்று சொல்லலாம்:

மூல சூத்திரத்தை எழுத அவசரப்பட வேண்டாம்! நீங்கள் நிச்சயமாக முரண்பாடுகள் கலக்கப்படுவீர்கள் a, b மற்றும் c.உதாரணத்தை சரியாக கட்டமைக்கவும். முதலில், X ஸ்கொயர், பின்னர் சதுரம் இல்லாமல், பின்னர் இலவச சொல். இது போல்:

மீண்டும், அவசரப்பட வேண்டாம்! எக்ஸ் ஸ்கொயர்க்கு முன்னால் உள்ள ஒரு மைனஸ் உங்களை வருத்தமடையச் செய்யும். மறப்பது சுலபம்... மைனஸிலிருந்து விடுபடுங்கள். எப்படி? ஆம், முந்தைய தலைப்பில் கற்பித்தபடி! முழு சமன்பாட்டையும் -1 ஆல் பெருக்க வேண்டும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ஆனால் இப்போது நீங்கள் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை பாதுகாப்பாக எழுதலாம், பாகுபாட்டைக் கணக்கிட்டு உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதை முடிக்கலாம். நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்.

உங்களிடம் இப்போது 2 மற்றும் -1 வேர்கள் இருக்க வேண்டும். வரவேற்பு இரண்டாவது. வேர்களை சரிபார்க்கவும்! வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி. பயப்பட வேண்டாம், நான் எல்லாவற்றையும் விளக்குகிறேன்! சரிபார்க்கிறதுகடைசி சமன்பாடு. அந்த. ரூட் ஃபார்முலாவை எழுதுவதற்கு நாம் பயன்படுத்திய ஒன்று. (இந்த எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல) குணகம் என்றால் a = 1 , வேர்களை சரிபார்ப்பது எளிது. அவற்றைப் பெருக்கினாலே போதும். இதன் விளைவாக இலவச உறுப்பினராக இருக்க வேண்டும், அதாவது. எங்கள் விஷயத்தில் -2. தயவுசெய்து கவனிக்கவும், 2 அல்ல, ஆனால் -2! இலவச உறுப்பினர் உங்கள் அடையாளத்துடன்

. அது வேலை செய்யவில்லை என்றால், அவர்கள் ஏற்கனவே எங்காவது திருகியிருக்கிறார்கள் என்று அர்த்தம். பிழையைத் தேடுங்கள். பிஅது வேலை செய்தால், நீங்கள் வேர்களை சேர்க்க வேண்டும். கடைசி மற்றும் இறுதி சோதனை. குணகம் இருக்க வேண்டும் உடன் எதிர் பிபரிச்சயமான. எங்கள் விஷயத்தில் -1+2 = +1. ஒரு குணகம்
, இது X க்கு முன், -1 க்கு சமம். எனவே, எல்லாம் சரியானது! x ஸ்கொயர்டு தூய்மையான, குணகத்துடன் இருக்கும் உதாரணங்களுக்கு மட்டுமே இது மிகவும் எளிமையானது என்பது பரிதாபம் a = 1.

ஆனால் குறைந்தபட்சம் அத்தகைய சமன்பாடுகளை சரிபார்க்கவும்! பிழைகள் குறைவாகவும் குறைவாகவும் இருக்கும். மூன்றாவது வரவேற்பு . உங்கள் சமன்பாடு இருந்தால்பகுதியளவு முரண்பாடுகள்

, - பின்னங்களை அகற்று! "சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது? அடையாள மாற்றங்கள்" பாடத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி சமன்பாட்டை ஒரு பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கவும். பின்னங்களுடன் பணிபுரியும் போது, ​​சில காரணங்களால் பிழைகள் ஊர்ந்து கொண்டே இருக்கும்...

மைனஸ்களால் குழப்பமடையாமல் இருக்க, சமன்பாட்டை -1 ஆல் பெருக்குகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

அவ்வளவுதான்! தீர்ப்பது ஒரு மகிழ்ச்சி!

எனவே, தலைப்பை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

நடைமுறை ஆலோசனை:

1. தீர்க்கும் முன், இருபடி சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வந்து அதை உருவாக்குகிறோம் சரி.

2. X ஸ்கொயர்க்கு முன்னால் எதிர்மறை குணகம் இருந்தால், முழு சமன்பாட்டையும் -1 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் அதை அகற்றுவோம்.

3. குணகங்கள் பின்னமாக இருந்தால், முழு சமன்பாட்டையும் தொடர்புடைய காரணியால் பெருக்குவதன் மூலம் பின்னங்களை அகற்றுவோம்.

4. x ஸ்கொயர் தூயதாக இருந்தால், அதன் குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வு எளிதாகச் சரிபார்க்கப்படும். அதை செய்!

இப்போது நாம் முடிவு செய்யலாம்.)

சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

பதில்கள் (குழப்பத்தில்):

எனவே, நாம் நம்பிக்கையுடன் எழுதலாம்:
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - எந்த எண்

x 1 = -3
x 2 = 3

தீர்வுகள் இல்லை

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

எல்லாம் பொருந்துமா? அருமை! இருபடி சமன்பாடுகள் உங்கள் விஷயம் அல்ல தலைவலி. முதல் மூன்று வேலை செய்தன, ஆனால் மற்றவை வேலை செய்யவில்லையா? அப்போது பிரச்சனை இருபடி சமன்பாடுகளில் இல்லை. சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களில் சிக்கல் உள்ளது. இணைப்பைப் பாருங்கள், பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

சரியாக வேலை செய்யவில்லையா? அல்லது அது வேலை செய்யவில்லையா? பிரிவு 555 இந்த எடுத்துக்காட்டுகள் அனைத்தும் உங்களுக்கு உதவக்கூடும். காட்டப்பட்டது முக்கியதீர்வு பிழைகள். நிச்சயமாக, பல்வேறு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவதைப் பற்றியும் பேசுகிறோம். நிறைய உதவுகிறது!

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.