இருபடி சமன்பாடு. முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

வெறும். சூத்திரங்கள் மற்றும் தெளிவான, எளிய விதிகளின்படி. முதல் கட்டத்தில்

தேவையான கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுவழிவகுக்கும் நிலையான பார்வை, அதாவது படிவத்திற்கு:

இந்த வடிவத்தில் சமன்பாடு ஏற்கனவே உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டிருந்தால், நீங்கள் முதல் கட்டத்தை செய்ய வேண்டியதில்லை. அதைச் சரியாகச் செய்வதுதான் மிக முக்கியமான விஷயம்

அனைத்து குணகங்களையும் தீர்மானிக்கவும் ஏ, பிமற்றும் c.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்.

மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பாரபட்சமான . நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, X கண்டுபிடிக்க, நாங்கள்

நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் a, b மற்றும் c மட்டுமே. அந்த. இருந்து குணகங்கள் இருபடி சமன்பாடு. அதை கவனமாக அமைக்கவும்

மதிப்புகள் a, b மற்றும் cஇந்த சூத்திரத்தில் கணக்கிடுகிறோம். உடன் மாற்றுகிறோம் அவர்களின்அறிகுறிகள்!

உதாரணமாக, சமன்பாட்டில்:

ஏ =1; பி = 3; c = -4.

நாங்கள் மதிப்புகளை மாற்றி எழுதுகிறோம்:

உதாரணம் கிட்டத்தட்ட தீர்க்கப்பட்டது:

இதுதான் பதில்.

மிகவும் பொதுவான தவறுகள் குறியீட்டு மதிப்புகளுடன் குழப்பம் a, bமற்றும் உடன். அல்லது மாறாக, மாற்றுடன்

வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தில் எதிர்மறை மதிப்புகள். சூத்திரத்தின் விரிவான பதிவு இங்கே மீட்புக்கு வருகிறது

குறிப்பிட்ட எண்களுடன். கணக்கீடுகளில் உங்களுக்கு சிக்கல்கள் இருந்தால், அதைச் செய்யுங்கள்!

பின்வரும் உதாரணத்தை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இங்கே அ = -6; பி = -5; c = -1

அனைத்து அடையாளங்கள் மற்றும் அடைப்புக்குறிகளுடன் எதையும் தவறவிடாமல், எல்லாவற்றையும் விரிவாக, கவனமாக விவரிக்கிறோம்:

இருபடி சமன்பாடுகள் பெரும்பாலும் சற்று வித்தியாசமாக இருக்கும். உதாரணமாக, இது போன்றது:

இப்போது கவனிக்கவும் நடைமுறை நுட்பங்கள், இது பிழைகளின் எண்ணிக்கையை வியத்தகு முறையில் குறைக்கிறது.

முதல் சந்திப்பு. முன் சோம்பேறியாக இருக்காதே ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கிறதுஅதை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வாருங்கள்.

இதன் பொருள் என்ன?

அனைத்து மாற்றங்களுக்கும் பிறகு நீங்கள் பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள் என்று சொல்லலாம்:

மூல சூத்திரத்தை எழுத அவசரப்பட வேண்டாம்! நீங்கள் நிச்சயமாக முரண்பாடுகள் கலக்கப்படுவீர்கள் a, b மற்றும் c.

உதாரணத்தை சரியாக கட்டமைக்கவும். முதலில், X ஸ்கொயர், பின்னர் சதுரம் இல்லாமல், பின்னர் இலவச சொல். இது போல்:

மைனஸிலிருந்து விடுபடுங்கள். எப்படி? முழு சமன்பாட்டையும் -1 ஆல் பெருக்க வேண்டும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ஆனால் இப்போது நீங்கள் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை பாதுகாப்பாக எழுதலாம், பாகுபாட்டைக் கணக்கிட்டு உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதை முடிக்கலாம்.

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள். உங்களிடம் இப்போது 2 மற்றும் -1 வேர்கள் இருக்க வேண்டும்.

வரவேற்பு இரண்டாவது.வேர்களை சரிபார்க்கவும்! மூலம் வியட்டாவின் தேற்றம்.

கொடுக்கப்பட்டதைத் தீர்க்க இருபடி சமன்பாடுகள், அதாவது குணகம் என்றால்

x 2 +bx+c=0,

பிறகுx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =-பி

இதில் ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிற்கு a≠1:

x 2 +பிx+c=0,

முழு சமன்பாட்டையும் வகுக்கவும் A:

→ →

எங்கே x 1மற்றும் x 2 - சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

மூன்றாவது வரவேற்பு. உங்கள் சமன்பாடு இருந்தால் பகுதியளவு முரண்பாடுகள், - பின்னங்களை அகற்று! பெருக்கவும்

ஒரு பொதுவான வகுப்பைக் கொண்ட சமன்பாடு.

முடிவுரை. நடைமுறை ஆலோசனை:

1. தீர்க்கும் முன், இருபடி சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வந்து அதை உருவாக்குகிறோம் சரி.

2. X ஸ்கொயர்க்கு முன்னால் எதிர்மறை குணகம் இருந்தால், எல்லாவற்றையும் பெருக்கி அதை அகற்றுவோம்

-1 மூலம் சமன்பாடுகள்.

3. குணகங்கள் பின்னமாக இருந்தால், முழு சமன்பாட்டையும் அதனுடன் பெருக்குவதன் மூலம் பின்னங்களை அகற்றுவோம்

காரணி.

4. x ஸ்கொயர் தூயதாக இருந்தால், அதன் குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், தீர்வை எளிதாகச் சரிபார்க்கலாம்

இந்த கணித திட்டத்தின் மூலம் உங்களால் முடியும் இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

நிரல் சிக்கலுக்கான பதிலை வழங்குவது மட்டுமல்லாமல், தீர்வு செயல்முறையை இரண்டு வழிகளில் காண்பிக்கும்:
- ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல்
- வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் (முடிந்தால்).

மேலும், பதில் துல்லியமாக காட்டப்படும், தோராயமாக இல்லை.
எடுத்துக்காட்டாக, \(81x^2-16x-1=0\) சமன்பாட்டிற்கான பதில் பின்வரும் வடிவத்தில் காட்டப்படும்:

இந்த திட்டம்உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும் மேல்நிலைப் பள்ளிகள்தயாரிப்பில் சோதனைகள்மற்றும் பரீட்சைகள், ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வுக்கு முன் அறிவை சோதிக்கும் போது, ​​கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோர்கள். அல்லது நீங்கள் ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது முடிந்தவரை விரைவாக செய்து முடிக்க வேண்டுமா?வீட்டுப்பாடம்

கணிதம் அல்லது இயற்கணிதம்? இந்த வழக்கில், விரிவான தீர்வுகளுடன் எங்கள் நிரல்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம். இந்த வழியில் நீங்கள் உங்கள் சொந்த பயிற்சி மற்றும்/அல்லது உங்களுடைய பயிற்சியை நடத்தலாம்.இளைய சகோதரர்கள்

அல்லது சகோதரிகள், பிரச்சனைகள் தீர்க்கப்படும் துறையில் கல்வி நிலை அதிகரிக்கிறது.

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையை உள்ளிடுவதற்கான விதிகளை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை என்றால், அவற்றை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறோம்.

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்
எந்த லத்தீன் எழுத்தும் மாறியாக செயல்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) போன்றவை.
எண்களை முழு அல்லது பின்ன எண்களாக உள்ளிடலாம். மேலும்,பின்ன எண்கள்

ஒரு தசமமாக மட்டுமல்லாமல், ஒரு சாதாரண பின்னமாகவும் உள்ளிடலாம்.
தசம பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள். தசமங்களில்பகுதியளவு
முழுமையிலிருந்தும் ஒரு காலகட்டம் அல்லது கமாவால் பிரிக்கலாம். உதாரணமாக, நீங்கள் நுழையலாம்தசமங்கள்

இது போல்: 2.5x - 3.5x^2
சாதாரண பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.

ஒரு முழு எண் மட்டுமே ஒரு பகுதியின் எண், வகுப்பி மற்றும் முழு எண் பகுதியாக செயல்பட முடியும்.

வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது. /
ஒரு எண் பின்னத்தை உள்ளிடும்போது, ​​எண் வகுப்பிலிருந்து ஒரு பிரிவு அடையாளத்தால் பிரிக்கப்படுகிறது: &
முழு பகுதியும் பின்னத்திலிருந்து ஆம்பர்சண்ட் அடையாளத்தால் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது:
முடிவு: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

வெளிப்பாடு உள்ளிடும்போது நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாடு முதலில் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மேலும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம்.
நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.
இந்த வழக்கில், அதை முடக்கி, பக்கத்தைப் புதுப்பிக்கவும்.

ஏனெனில் பிரச்சனையை தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசையாக உள்ளது.
சில நொடிகளில் தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவுசெய்து காத்திருக்கவும் நொடி...

நீங்கள் என்றால் தீர்வில் பிழை இருப்பதை கவனித்தேன், பிறகு இதைப் பற்றி பின்னூட்டப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறக்காதே எந்த பணியைக் குறிக்கவும்நீங்கள் என்ன முடிவு செய்யுங்கள் துறைகளில் நுழையுங்கள்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

இருபடி சமன்பாடு மற்றும் அதன் வேர்கள். முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும்
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
போல் தெரிகிறது
\(ax^2+bx+c=0, \)
இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை எண்கள்.
முதல் சமன்பாட்டில் a = -1, b = 6 மற்றும் c = 1.4, இரண்டாவது a = 8, b = -7 மற்றும் c = 0, மூன்றாவது a = 1, b = 0 மற்றும் c = 4/9. இத்தகைய சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை.
இருபடி சமன்பாடு ax 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c என்பது சில எண்கள் மற்றும் \(a \neq 0 \).

எண்கள் a, b மற்றும் c இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்களாகும். எண் a முதல் குணகம் என்றும், எண் b இரண்டாவது குணகம் என்றும், c எண் இலவசச் சொல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

கோடாரி 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளிலும், \(a\neq 0\), x மாறியின் மிகப்பெரிய சக்தி ஒரு சதுரமாகும். எனவே பெயர்: இருபடி சமன்பாடு.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் இடது பக்கம் இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

x 2 இன் குணகம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகள்
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டில் கோடாரி 2 +bx+c=0 குணகங்கள் b அல்லது c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு. எனவே, சமன்பாடுகள் -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகள். அவற்றில் முதலாவது b=0, இரண்டாவது c=0, மூன்றாவது b=0 மற்றும் c=0.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் மூன்று வகைகள் உள்ளன:
1) கோடாரி 2 +c=0, இங்கு \(c \neq 0 \);
2) கோடாரி 2 +bx=0, இங்கு \(b \neq 0 \);
3) கோடாரி 2 =0.

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

\(c \neq 0 \) வடிவ ax 2 +c=0 இன் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதன் இலவச காலத்தை வலது பக்கமாக நகர்த்தி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு ஆல் வகுக்கவும்:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \), பின்னர் \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0\) எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

\(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) காரணி அதன் இடது பக்கத்தை கொண்டு ax 2 +bx=0 படிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க மற்றும் சமன்பாட்டை பெற வேண்டும்
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (வரிசை)(எல்) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

\(b \neq 0 \) க்கான ax 2 +bx=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எப்போதும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.

கோடாரி 2 =0 வடிவத்தின் முழுமையடையாத இருபடிச் சமன்பாடு x 2 =0 சமன்பாட்டிற்குச் சமமானதாகும், எனவே ஒற்றை வேர் 0 உள்ளது.

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

அறியப்படாதவற்றின் குணகங்கள் மற்றும் கட்டற்ற சொல் இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இப்போது பார்ப்போம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம் பொதுவான பார்வைஇதன் விளைவாக வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

கோடாரி 2 +bx+c=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்

இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுத்தால், சமமான குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

இந்த சமன்பாட்டை ஈருறுப்புக் குறியீட்டின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் மாற்றுவோம்:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

தீவிர வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு ax 2 +bx+c=0 (லத்தீன் மொழியில் "பாகுபாடு" - பாரபட்சம்). இது D என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது.
\(D = b^2-4ac\)

இப்போது, ​​பாரபட்சமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), இங்கு \(D= b^2-4ac \)

இது வெளிப்படையானது:
1) D>0 எனில், இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
2) D=0 எனில், இருபடிச் சமன்பாட்டில் ஒரு ரூட் \(x=-\frac(b)(2a)\) உள்ளது.
3) D எனில், பாகுபாட்டின் மதிப்பைப் பொறுத்து, ஒரு இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம் (D > 0 க்கு), ஒரு ரூட் (D = 0 க்கு) அல்லது வேர்கள் இல்லை (D க்கு இதைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது சூத்திரம், பின்வரும் வழியைச் செய்வது நல்லது:
1) பாகுபாட்டைக் கணக்கிட்டு பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுக;
2) பாரபட்சம் நேர்மறையாக இருந்தால் அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை என்று எழுதவும்.

வியட்டாவின் தேற்றம்

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு கோடாரி 2 -7x+10=0 க்கு வேர்கள் 2 மற்றும் 5 உள்ளது. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7, மற்றும் தயாரிப்பு 10. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் கொண்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். அடையாளம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம். வேர்களைக் கொண்ட எந்தவொரு குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடும் இந்தப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

மேற்கூறிய இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமம், மேலும் வேர்களின் பெருக்கல் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம்.

அந்த. குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் x 1 மற்றும் x 2 வேர்கள் x 2 +px+q=0 பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று வியட்டாவின் தேற்றம் கூறுகிறது:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

IN நவீன சமூகம்ஒரு மாறி ஸ்கொயர் கொண்ட சமன்பாடுகளுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யும் திறன் செயல்பாட்டின் பல பகுதிகளில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப முன்னேற்றங்களில் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கடல் மற்றும் நதிக் கப்பல்கள், விமானங்கள் மற்றும் ராக்கெட்டுகளின் வடிவமைப்பில் இதற்கான சான்றுகள் உள்ளன. இத்தகைய கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி, விண்வெளிப் பொருள்கள் உட்பட பல்வேறு வகையான உடல்களின் இயக்கத்தின் பாதைகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பொருளாதார முன்கணிப்பில், கட்டிடங்களின் வடிவமைப்பு மற்றும் கட்டுமானத்தில் மட்டுமல்ல, மிகவும் சாதாரண அன்றாட சூழ்நிலைகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஹைகிங் பயணங்கள், விளையாட்டு நிகழ்வுகள், கடைகளில் வாங்கும் போது மற்றும் பிற பொதுவான சூழ்நிலைகளில் அவை தேவைப்படலாம்.

வெளிப்பாட்டை அதன் கூறு காரணிகளாக உடைப்போம்

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு, வெளிப்பாடு கொண்டிருக்கும் மாறியின் பட்டத்தின் அதிகபட்ச மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது 2 க்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு இருபடி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நாம் சூத்திரங்களின் மொழியில் பேசினால், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வெளிப்பாடுகள், அவை எப்படித் தோன்றினாலும், வெளிப்பாட்டின் இடது பக்கம் மூன்று சொற்களைக் கொண்டிருக்கும்போது எப்போதும் வடிவத்திற்கு கொண்டு வர முடியும். அவற்றில்: கோடாரி 2 (அதாவது, அதன் குணகத்துடன் ஒரு மாறி ஸ்கொயர்), bx (அதன் குணகத்துடன் சதுரம் இல்லாதது) மற்றும் c (ஒரு இலவச கூறு, அதாவது ஒரு சாதாரண எண்). வலதுபுறத்தில் உள்ள இவை அனைத்தும் 0 க்கு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் கூறு 2 ஐத் தவிர்த்து, அதன் கூறுகளில் ஒன்று இல்லாதபோது, ​​அது முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும். இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், எளிதில் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய மாறிகளின் மதிப்புகள் முதலில் கருதப்பட வேண்டும்.

வலதுபுறத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டில் இரண்டு சொற்கள் இருக்கும் வகையில் வெளிப்பாடு இருந்தால், இன்னும் துல்லியமாக ax 2 மற்றும் bx, x ஐக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எளிதான வழி, அடைப்புக்குறிக்குள் மாறியை வைப்பதாகும். இப்போது நமது சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: x(ax+b). அடுத்து, x = 0 அல்லது ஒரு மாறியைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் வருகிறது என்பது தெளிவாகிறது. பின்வரும் வெளிப்பாடு: ax+b=0. இது பெருக்கத்தின் பண்புகளில் ஒன்றால் கட்டளையிடப்படுகிறது. இரண்டு காரணிகளின் பலன்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே 0 இல் விளைகிறது என்று விதி கூறுகிறது.

உதாரணம்

x=0 அல்லது 8x - 3 = 0

இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: 0 மற்றும் 0.375.

இந்த வகையான சமன்பாடுகள் புவியீர்ப்பு செல்வாக்கின் கீழ் உடல்களின் இயக்கத்தை விவரிக்க முடியும், இது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றமாக எடுக்கப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து நகரத் தொடங்கியது. இங்கே கணிதக் குறியீடுபின்வரும் படிவத்தை எடுக்கிறது: y = v 0 t + gt 2/2. மாற்றுதல் தேவையான மதிப்புகள்வலது பக்கத்தை 0 க்கு சமன் செய்து, தெரியாதவற்றைக் கண்டறிவதன் மூலம், உடல் உயரும் தருணத்திலிருந்து அது விழும் வரை கடந்து செல்லும் நேரத்தையும், பல அளவுகளையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். ஆனால் இதைப் பற்றி பின்னர் பேசுவோம்.

ஒரு வெளிப்பாட்டைக் காரணியாக்குதல்

மேலே விவரிக்கப்பட்ட விதி இந்த சிக்கல்களை இன்னும் அதிகமாக தீர்க்க உதவுகிறது கடினமான வழக்குகள். இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

X 2 - 33x + 200 = 0

இந்த இருபடி முக்கோணம் முடிந்தது. முதலில், வெளிப்பாட்டை மாற்றி அதை காரணியாக்குவோம். அவற்றில் இரண்டு உள்ளன: (x-8) மற்றும் (x-25) = 0. இதன் விளைவாக, நமக்கு இரண்டு வேர்கள் 8 மற்றும் 25 உள்ளன.

தரம் 9 இல் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், இந்த முறையானது, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது வரிசைகளின் வெளிப்பாடுகளில் ஒரு மாறியைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. வலது பக்கத்தை ஒரு மாறியுடன் காரணிகளாக மாற்றும்போது, ​​அவற்றில் மூன்று உள்ளன, அதாவது (x+1), (x-3) மற்றும் (x+ 3)

இதன் விளைவாக, இந்த சமன்பாடு மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது: -3; -1; 3.

சதுர வேர்

முழுமையடையாத இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டின் மற்றொரு நிகழ்வு, எழுத்துகளின் மொழியில் குறிப்பிடப்படும் ஒரு வெளிப்பாடாகும், இது வலதுபுறம் கோடாரி 2 மற்றும் c கூறுகளிலிருந்து கட்டமைக்கப்படுகிறது. இங்கே, மாறியின் மதிப்பைப் பெற, இலவச சொல் வலது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது, அதன் பிறகு, அது சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் பிரித்தெடுக்கப்படுகிறது. சதுர வேர். இந்த வழக்கில் பொதுவாக சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஒரே விதிவிலக்கு என்பது ஒரு சொல்லைக் கொண்டிருக்காத சமத்துவங்களாக இருக்கலாம், அங்கு மாறி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதே போல் வலது பக்கம் எதிர்மறையாக மாறும் போது வெளிப்பாடுகளின் மாறுபாடுகள். பிந்தைய வழக்கில், மேலே உள்ள செயல்களை வேர்கள் மூலம் செய்ய முடியாது என்பதால், தீர்வுகள் எதுவும் இல்லை. இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -4 மற்றும் 4 ஆக இருக்கும்.

நிலப்பரப்பின் கணக்கீடு

இந்த வகையான கணக்கீடுகளின் தேவை பண்டைய காலங்களில் தோன்றியது, ஏனென்றால் அந்த தொலைதூர காலங்களில் கணிதத்தின் வளர்ச்சி பெரும்பாலும் நில அடுக்குகளின் பகுதிகள் மற்றும் சுற்றளவுகளை மிகத் துல்லியமாக தீர்மானிக்க வேண்டியதன் அவசியத்தால் தீர்மானிக்கப்பட்டது.

இந்த வகையான சிக்கல்களின் அடிப்படையில் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணங்களையும் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

எனவே, ஒரு செவ்வக நிலம் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம், அதன் நீளம் அகலத்தை விட 16 மீட்டர் அதிகமாகும். தளத்தின் பரப்பளவு 612 மீ 2 என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், தளத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் சுற்றளவு ஆகியவற்றை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

தொடங்குவதற்கு, முதலில் தேவையான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். பகுதியின் அகலத்தை x ஆல் குறிப்போம், அதன் நீளம் (x+16) இருக்கும். எழுதப்பட்டவற்றிலிருந்து, பகுதி x(x+16) என்ற வெளிப்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இது எங்கள் பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி, 612 ஆகும். இதன் பொருள் x(x+16) = 612.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, மற்றும் இந்த வெளிப்பாடு சரியாக உள்ளது, அதே வழியில் செய்ய முடியாது. ஏன்? இடது பக்கம் இன்னும் இரண்டு காரணிகளைக் கொண்டிருந்தாலும், அவற்றின் தயாரிப்பு 0 க்கு சமமாக இல்லை, எனவே வெவ்வேறு முறைகள் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

முதலில், தேவையான மாற்றங்களைச் செய்வோம் தோற்றம்இந்த வெளிப்பாட்டின் தோற்றம் இப்படி இருக்கும்: x 2 + 16x - 612 = 0. இதன் பொருள் முன்பு குறிப்பிடப்பட்ட தரநிலையுடன் தொடர்புடைய வடிவத்தில் ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம், அங்கு a=1, b=16, c=-612.

இது ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இங்கே தேவையான கணக்கீடுகள்திட்டத்தின் படி உற்பத்தி செய்யப்படுகிறது: D = b 2 - 4ac. இந்த துணை அளவு இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டில் தேவையான அளவுகளை கண்டுபிடிப்பதை சாத்தியமாக்குவது மட்டுமல்லாமல், அளவை தீர்மானிக்கிறது சாத்தியமான விருப்பங்கள். D>0 எனில், அவற்றில் இரண்டு உள்ளன; D=0 க்கு ஒரு ரூட் உள்ளது. வழக்கில் டி<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

வேர்கள் மற்றும் அவற்றின் சூத்திரம் பற்றி

எங்கள் விஷயத்தில், பாரபட்சமானது இதற்கு சமம்: 256 - 4(-612) = 2704. இது எங்கள் பிரச்சனைக்கு பதில் உள்ளது என்று தெரிவிக்கிறது. உங்களுக்கு k தெரிந்தால், இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு கீழே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தொடர வேண்டும். இது வேர்களைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

இதன் பொருள் வழங்கப்பட்ட வழக்கில்: x 1 =18, x 2 =-34. இந்த இக்கட்டான சூழ்நிலையில் இரண்டாவது விருப்பம் ஒரு தீர்வாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் நிலத்தின் பரிமாணங்களை எதிர்மறையான அளவுகளில் அளவிட முடியாது, அதாவது x (அதாவது, சதித்திட்டத்தின் அகலம்) 18 மீ +16=34, மற்றும் சுற்றளவு 2(34+ 18)=104(மீ2).

எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பணிகள்

இருபடிச் சமன்பாடுகள் பற்றிய ஆய்வைத் தொடர்கிறோம். அவற்றில் பலவற்றின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் விரிவான தீர்வுகள் கீழே கொடுக்கப்படும்.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

எல்லாவற்றையும் சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்துவோம், மாற்றத்தை உருவாக்குவோம், அதாவது, வழக்கமாக நிலையானது என்று அழைக்கப்படும் சமன்பாட்டின் வகையைப் பெறுவோம், அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

ஒத்தவற்றைச் சேர்த்து, நாம் பாகுபாட்டைத் தீர்மானிக்கிறோம்: D = 49 - 48 = 1. இதன் பொருள் நமது சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். மேலே உள்ள சூத்திரத்தின்படி அவற்றைக் கணக்கிடுவோம், அதாவது அவற்றில் முதலாவது 4/3 ஆகவும், இரண்டாவது 1 ஆகவும் இருக்கும்.

2) இப்போது வேறு வகையான மர்மங்களைத் தீர்ப்போம்.

இங்கே x 2 - 4x + 5 = 1 வேர்கள் உள்ளதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்? ஒரு விரிவான பதிலைப் பெற, பல்லுறுப்புக்கோவையை தொடர்புடைய வழக்கமான வடிவத்திற்குக் குறைத்து, பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் இது சிக்கலின் சாராம்சம் அல்ல. இந்த வழக்கில், D = 16 - 20 = -4, அதாவது உண்மையில் வேர்கள் இல்லை.

வியட்டாவின் தேற்றம்

பிந்தையவற்றின் மதிப்பிலிருந்து வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளும்போது, ​​மேற்கூறிய சூத்திரங்கள் மற்றும் பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது வசதியானது. ஆனால் இது எப்போதும் நடக்காது. இருப்பினும், இந்த வழக்கில் மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பெற பல வழிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டு: வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. அவர் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் பிரான்சில் வாழ்ந்தவர் மற்றும் அவரது கணிதத் திறமை மற்றும் நீதிமன்றத்தில் உள்ள தொடர்புகளுக்கு நன்றி தெரிவிக்கும் வகையில் ஒரு சிறந்த வாழ்க்கையை மேற்கொண்டார். அவரது உருவப்படத்தை கட்டுரையில் காணலாம்.

பிரபல பிரெஞ்சுக்காரர் கவனித்த முறை பின்வருமாறு. சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்களின் அடிப்படையில் -p=b/a ஐக் கூட்டுகின்றன, மேலும் அவற்றின் தயாரிப்பு q=c/a உடன் ஒத்துள்ளது என்பதை அவர் நிரூபித்தார்.

இப்போது குறிப்பிட்ட பணிகளைப் பார்ப்போம்.

3x 2 + 21x - 54 = 0

எளிமைக்காக, வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

x 2 + 7x - 18 = 0

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம், இது பின்வருவனவற்றைக் கொடுக்கும்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை -7, அவற்றின் தயாரிப்பு -18. இங்கிருந்து நாம் சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -9 மற்றும் 2 என்று பெறுகிறோம். சரிபார்த்த பிறகு, இந்த மாறி மதிப்புகள் உண்மையில் வெளிப்பாட்டிற்கு பொருந்துமா என்பதை உறுதி செய்வோம்.

பரவளைய வரைபடம் மற்றும் சமன்பாடு

இருபடிச் செயல்பாடு மற்றும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் கருத்துக்கள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இதற்கான உதாரணங்கள் முன்பே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இப்போது சில கணிதப் புதிர்களை சற்று விரிவாகப் பார்ப்போம். விவரிக்கப்பட்ட வகையின் எந்த சமன்பாடும் பார்வைக்கு குறிப்பிடப்படலாம். ஒரு வரைபடமாக வரையப்பட்ட அத்தகைய உறவு, பரவளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் பல்வேறு வகைகள் கீழே உள்ள படத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

எந்தவொரு பரவளையத்திற்கும் ஒரு உச்சி உள்ளது, அதாவது அதன் கிளைகள் வெளிப்படும் புள்ளி. a>0 எனில், அவை முடிவிலிக்கு உயரச் செல்கின்றன, எப்போது a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

செயல்பாடுகளின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவங்கள் இருபடி சமன்பாடுகள் உட்பட எந்த சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உதவுகின்றன. இந்த முறை வரைகலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் x என்ற மாறியின் மதிப்பு, வரைபடக் கோடு 0x உடன் வெட்டும் புள்ளிகளில் உள்ள abscissa ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். x 0 = -b/2a கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உச்சியின் ஆயங்களைக் கண்டறியலாம். இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை செயல்பாட்டின் அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் y 0 ஐக் கண்டறியலாம், அதாவது பரவளையத்தின் உச்சியின் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு, இது ஆர்டினேட் அச்சுக்கு சொந்தமானது.

abscissa அச்சுடன் ஒரு பரவளையத்தின் கிளைகளின் குறுக்குவெட்டு

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு நிறைய எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, ஆனால் பொதுவான வடிவங்களும் உள்ளன. அவற்றைப் பார்ப்போம். a>0க்கான 0x அச்சுடன் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு y 0 எடுத்தால் மட்டுமே சாத்தியமாகும் என்பது தெளிவாகிறது. எதிர்மறை மதிப்புகள். மற்றும் ஒரு<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. இல்லையெனில் டி<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

பரவளையத்தின் வரைபடத்திலிருந்து நீங்கள் வேர்களையும் தீர்மானிக்கலாம். இதற்கு நேர்மாறாகவும் உள்ளது. அதாவது, ஒரு இருபடிச் செயல்பாட்டின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பெறுவது எளிதல்ல என்றால், வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தை 0க்கு சமன் செய்து அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம். மற்றும் 0x அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளை அறிந்து, வரைபடத்தை உருவாக்குவது எளிது.

வரலாற்றில் இருந்து

ஒரு சதுர மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, பழைய நாட்களில் அவர்கள் கணிதக் கணக்கீடுகளை மட்டும் செய்யவில்லை மற்றும் வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளை தீர்மானித்தனர். இயற்பியல் மற்றும் வானியல் துறைகளில் மகத்தான கண்டுபிடிப்புகளுக்கும், ஜோதிட கணிப்புகளைச் செய்வதற்கும் பழங்காலங்களுக்கு இத்தகைய கணக்கீடுகள் தேவைப்பட்டன.

நவீன விஞ்ஞானிகள் கூறுவது போல், இருபடி சமன்பாடுகளை முதலில் தீர்த்தவர்களில் பாபிலோனில் வசிப்பவர்கள் இருந்தனர். இது நமது சகாப்தத்திற்கு நான்கு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. நிச்சயமாக, அவர்களின் கணக்கீடுகள் தற்போது ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டவற்றிலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டவை மற்றும் மிகவும் பழமையானவை. உதாரணமாக, மெசபடோமிய கணிதவியலாளர்களுக்கு எதிர்மறை எண்கள் இருப்பதைப் பற்றி எதுவும் தெரியாது. எந்தவொரு நவீன பள்ளிக்குழந்தைக்கும் தெரிந்த பிற நுணுக்கங்களையும் அவர்கள் அறிந்திருக்கவில்லை.

ஒருவேளை பாபிலோனின் விஞ்ஞானிகளை விட முன்னதாகவே, இந்தியாவைச் சேர்ந்த பௌதயாமா முனிவர் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கத் தொடங்கினார். இது கிறிஸ்துவின் சகாப்தத்திற்கு சுமார் எட்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. உண்மை, இரண்டாம் வரிசை சமன்பாடுகள், அவர் கொடுத்த தீர்வுக்கான முறைகள் எளிமையானவை. அவரைத் தவிர, சீனக் கணிதவியலாளர்களும் பழைய நாட்களில் இதே போன்ற கேள்விகளில் ஆர்வமாக இருந்தனர். ஐரோப்பாவில், இருபடி சமன்பாடுகள் 13 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் மட்டுமே தீர்க்கப்படத் தொடங்கின, ஆனால் பின்னர் அவை நியூட்டன், டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் பலர் போன்ற சிறந்த விஞ்ஞானிகளால் தங்கள் படைப்புகளில் பயன்படுத்தப்பட்டன.

பல எளிமையான சூத்திரங்கள் காரணமாக இந்த தலைப்பு முதலில் சிக்கலானதாக தோன்றலாம். இருபடிச் சமன்பாடுகள் நீண்ட குறியீடுகளைக் கொண்டிருப்பது மட்டுமல்லாமல், வேர்கள் பாகுபாடு மூலமாகவும் காணப்படுகின்றன. மொத்தத்தில், மூன்று புதிய சூத்திரங்கள் பெறப்படுகின்றன. நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது அல்ல. இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை அடிக்கடி தீர்த்த பின்னரே இது சாத்தியமாகும். அப்போது எல்லா ஃபார்முலாக்களும் தாங்களாகவே நினைவில் இருக்கும்.

இருபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான பார்வை

பெரிய பட்டம் முதலில் எழுதப்படும்போது, ​​பின்னர் இறங்குவரிசையில் அவற்றின் வெளிப்படையான பதிவை இங்கே நாங்கள் முன்மொழிகிறோம். விதிமுறைகள் சீரற்றதாக இருக்கும்போது பெரும்பாலும் சூழ்நிலைகள் உள்ளன. பின்னர் சமன்பாட்டை மாறியின் பட்டத்தின் இறங்கு வரிசையில் மீண்டும் எழுதுவது நல்லது.

சில குறிப்புகளை அறிமுகப்படுத்துவோம். அவை கீழே உள்ள அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

இந்தக் குறியீடுகளை நாம் ஏற்றுக்கொண்டால், அனைத்து இருபடிச் சமன்பாடுகளும் பின்வரும் குறிப்பிற்குக் குறைக்கப்படும்.

மேலும், குணகம் a ≠ 0. இந்த சூத்திரம் முதலிடத்தில் இருக்கட்டும்.

ஒரு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், பதிலில் எத்தனை வேர்கள் இருக்கும் என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. ஏனெனில் மூன்று விருப்பங்களில் ஒன்று எப்போதும் சாத்தியமாகும்:

• தீர்வு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்;
• பதில் ஒரு எண்ணாக இருக்கும்;
• சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருக்காது.

முடிவு முடிவடையும் வரை, ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில் எந்த விருப்பம் தோன்றும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கடினம்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் பதிவுகளின் வகைகள்

பணிகளில் வெவ்வேறு உள்ளீடுகள் இருக்கலாம். அவை எப்போதும் பொதுவான இருபடி சமன்பாடு சூத்திரம் போல் இருக்காது. சில சமயங்களில் சில விதிமுறைகள் இல்லாமல் போகும். மேலே எழுதப்பட்டவை முழுமையான சமன்பாடு. அதில் உள்ள இரண்டாவது அல்லது மூன்றாவது பதத்தை நீக்கினால், வேறு ஏதாவது கிடைக்கும். இந்த பதிவுகள் இருபடி சமன்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, முழுமையற்றவை.

மேலும், "b" மற்றும் "c" குணகங்களைக் கொண்ட சொற்கள் மட்டுமே மறைந்துவிடும். எந்த சூழ்நிலையிலும் "a" எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. ஏனெனில் இந்த வழக்கில் சூத்திரம் நேரியல் சமன்பாடாக மாறும். சமன்பாடுகளின் முழுமையற்ற வடிவத்திற்கான சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு இருக்கும்:

எனவே, இரண்டு வகைகள் மட்டுமே உள்ளன, மேலும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளும் உள்ளன. முதல் சூத்திரம் எண் இரண்டாகவும், இரண்டாவது - மூன்றாகவும் இருக்கட்டும்.

அதன் மதிப்பில் வேர்களின் எண்ணிக்கையின் பாகுபாடு மற்றும் சார்பு

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிட இந்த எண்ணை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இருபடிச் சமன்பாட்டின் சூத்திரம் எதுவாக இருந்தாலும் அதை எப்போதும் கணக்கிடலாம். பாகுபாட்டைக் கணக்கிட, கீழே எழுதப்பட்ட சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அதில் எண் நான்கு இருக்கும்.

இந்த சூத்திரத்தில் குணக மதிப்புகளை மாற்றிய பின், நீங்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளுடன் எண்களைப் பெறலாம். பதில் ஆம் எனில், சமன்பாட்டிற்கான பதில் இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களாக இருக்கும். எண் எதிர்மறையாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் இருக்காது. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், ஒரே ஒரு பதில் மட்டுமே இருக்கும்.

ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

உண்மையில், இந்த பிரச்சினையின் பரிசீலனை ஏற்கனவே தொடங்கிவிட்டது. ஏனென்றால் முதலில் நீங்கள் ஒரு பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் உள்ளன என்பதைத் தீர்மானித்த பிறகு, அவற்றின் எண்ணிக்கை அறியப்பட்ட பிறகு, நீங்கள் மாறிகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இரண்டு வேர்கள் இருந்தால், நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

அதில் "±" குறி இருப்பதால், இரண்டு அர்த்தங்கள் இருக்கும். வர்க்க மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு பாகுபாடு ஆகும். எனவே, சூத்திரத்தை வேறு விதமாக மாற்றி எழுதலாம்.

ஃபார்முலா எண் ஐந்து. பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இரண்டு வேர்களும் ஒரே மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பது ஒரே பதிவிலிருந்து தெளிவாகிறது.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது இன்னும் செயல்படவில்லை என்றால், பாகுபாடு மற்றும் மாறி சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு அனைத்து குணகங்களின் மதிப்புகளையும் எழுதுவது நல்லது. பின்னர் இந்த தருணம் சிரமங்களை ஏற்படுத்தாது. ஆனால் ஆரம்பத்திலேயே குழப்பம்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

இங்கே எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. கூடுதல் சூத்திரங்கள் கூட தேவையில்லை. மேலும் பாகுபாடு காட்டுபவர்கள் மற்றும் தெரியாதவர்களுக்காக ஏற்கனவே எழுதப்பட்டவை தேவையில்லை.

முதலில், முழுமையற்ற சமன்பாடு எண் இரண்டைப் பார்ப்போம். இந்த சமத்துவத்தில், தெரியாத அளவை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து அகற்றி, அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும் நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது அவசியம். பதில் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். முதல் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், ஏனென்றால் மாறியைக் கொண்ட ஒரு பெருக்கி உள்ளது. இரண்டாவது ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படும்.

முழுமையற்ற சமன்பாடு எண் மூன்று சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திலிருந்து வலதுபுறமாக எண்ணை நகர்த்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது. அறியப்படாததை எதிர்கொள்ளும் குணகத்தால் நீங்கள் வகுக்க வேண்டும். எஞ்சியிருப்பது வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்து, எதிரெதிர் அடையாளங்களுடன் இரண்டு முறை எழுத நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

இருபடி சமன்பாடுகளாக மாறும் அனைத்து வகையான சமத்துவங்களையும் எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிய உதவும் சில செயல்கள் கீழே உள்ளன. கவனக்குறைவால் ஏற்படும் தவறுகளைத் தவிர்க்க அவை மாணவருக்கு உதவும். இந்த குறைபாடுகள் விரிவான தலைப்பைப் படிக்கும் போது மோசமான தரங்களை ஏற்படுத்தலாம் "குவாட்ராடிக் சமன்பாடுகள் (கிரேடு 8)." பின்னர், இந்த நடவடிக்கைகள் தொடர்ந்து செய்யப்பட வேண்டியதில்லை. ஏனெனில் ஒரு நிலையான திறமை தோன்றும்.

• முதலில் நீங்கள் சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்தில் எழுத வேண்டும். அதாவது, முதலில் மாறியின் மிகப்பெரிய பட்டம் கொண்ட சொல், பின்னர் - ஒரு பட்டம் இல்லாமல், கடைசியாக - ஒரு எண்.

• குணகம் "a" க்கு முன் ஒரு கழித்தல் தோன்றினால், அது இருபடி சமன்பாடுகளைப் படிக்கும் ஒரு தொடக்கக்காரரின் வேலையை சிக்கலாக்கும். அதிலிருந்து விடுபடுவது நல்லது. இந்த நோக்கத்திற்காக, அனைத்து சமத்துவமும் "-1" ஆல் பெருக்கப்பட வேண்டும். இதன் பொருள் அனைத்து விதிமுறைகளும் எதிர் குறியை மாற்றும்.

• அதே வழியில் பின்னங்களை அகற்ற பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டை பொருத்தமான காரணியால் பெருக்கவும், இதனால் பிரிவுகள் ரத்து செய்யப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பின்வரும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இது தேவைப்படுகிறது:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

முதல் சமன்பாடு: x 2 - 7x = 0. இது முழுமையடையாதது, எனவே சூத்திர எண் இரண்டுக்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி இது தீர்க்கப்படுகிறது.

அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்த பிறகு, அது மாறிவிடும்: x (x - 7) = 0.

முதல் ரூட் மதிப்பை எடுக்கும்: x 1 = 0. இரண்டாவது நேரியல் சமன்பாட்டிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்படும்: x - 7 = 0. x 2 = 7 என்பதைக் காண்பது எளிது.

இரண்டாவது சமன்பாடு: 5x 2 + 30 = 0. மீண்டும் முழுமையற்றது. மூன்றாவது சூத்திரத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி மட்டுமே இது தீர்க்கப்படுகிறது.

சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு 30 ஐ நகர்த்திய பிறகு: 5x 2 = 30. இப்போது நீங்கள் 5 ஆல் வகுக்க வேண்டும். அது மாறிவிடும்: x 2 = 6. பதில்கள் எண்களாக இருக்கும்: x 1 = √6, x 2 = - √6.

மூன்றாவது சமன்பாடு: 15 - 2x - x 2 = 0. இனி, இருபடி சமன்பாடுகளை நிலையான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவதன் மூலம் அவற்றைத் தீர்ப்பது தொடங்கும்: − x 2 - 2x + 15 = 0. இப்போது இரண்டாவது பயனுள்ள அனைத்தையும் உதவிக்குறிப்பு மற்றும் பெருக்குவதற்கான நேரம் இது. ஒன்று கழித்தல் . இது x 2 + 2x - 15 = 0 என்று மாறிவிடும். நான்காவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பாகுபாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும்: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. இது நேர்மறை எண். மேலே கூறப்பட்டவற்றிலிருந்து, சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்று மாறிவிடும். ஐந்தாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கணக்கிட வேண்டும். அது x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. பின்னர் x 1 = 3, x 2 = - 5.

நான்காவது சமன்பாடு x 2 + 8 + 3x = 0 இவ்வாறு மாற்றப்படுகிறது: x 2 + 3x + 8 = 0. அதன் பாகுபாடு இந்த மதிப்புக்கு சமம்: -23. இந்த எண் எதிர்மறையாக இருப்பதால், இந்த பணிக்கான பதில் பின்வரும் நுழைவாக இருக்கும்: "வேர்கள் இல்லை."

ஐந்தாவது சமன்பாடு 12x + x 2 + 36 = 0 பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்பட வேண்டும்: x 2 + 12x + 36 = 0. பாகுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திய பிறகு, எண் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுகிறது. இது ஒரு ரூட்டைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது: x = -12/ (2 * 1) = -6.

ஆறாவது சமன்பாட்டிற்கு (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) உருமாற்றங்கள் தேவை, நீங்கள் ஒரே மாதிரியான சொற்களைக் கொண்டு வர வேண்டும், முதலில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டும். முதல் இடத்தில் பின்வரும் வெளிப்பாடு இருக்கும்: x 2 + 2x + 1. சமத்துவத்திற்குப் பிறகு, இந்த உள்ளீடு தோன்றும்: x 2 + 3x + 2. ஒத்த சொற்கள் கணக்கிடப்பட்ட பிறகு, சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: x 2 - x = 0. இது முழுமையடையாது . இதைப் போன்ற ஒன்று ஏற்கனவே கொஞ்சம் அதிகமாக விவாதிக்கப்பட்டது. இதன் வேர்கள் 0 மற்றும் 1 எண்களாக இருக்கும்.

இருபடி சமன்பாடுகள் 8 ஆம் வகுப்பில் படிக்கப்படுகின்றன, எனவே இங்கு சிக்கலான எதுவும் இல்லை. அவற்றைத் தீர்க்கும் திறன் முற்றிலும் அவசியம்.

ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்பது ax 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், இதில் குணகங்கள் a, b மற்றும் c தன்னிச்சையான எண்கள் மற்றும் a ≠ 0 ஆகும்.

குறிப்பிட்ட தீர்வு முறைகளைப் படிப்பதற்கு முன், அனைத்து இருபடிச் சமன்பாடுகளையும் மூன்று வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம் என்பதைக் கவனியுங்கள்:

1. வேர்கள் இல்லை;
2. சரியாக ஒரு ரூட் வேண்டும்;
3. அவை இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளன.

இது இருபடி சமன்பாடுகளுக்கும் நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கும் இடையே உள்ள முக்கியமான வேறுபாடு ஆகும், இங்கு ரூட் எப்போதும் இருக்கும் மற்றும் தனித்துவமானது. ஒரு சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன என்பதை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது? இதற்கு ஒரு அற்புதமான விஷயம் இருக்கிறது - பாரபட்சமான.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

இருபடி சமன்பாடு 2 + bx + c = 0 கொடுக்கப்பட்டால், பாகுபாடு என்பது D = b 2 - 4ac.

இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் இதயத்தால் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். அது எங்கிருந்து வருகிறது என்பது இப்போது முக்கியமில்லை. மற்றொரு விஷயம் முக்கியமானது: ஒரு இருபடி சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை பாகுபாட்டின் அடையாளத்தின் மூலம் நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும். அதாவது:

1. டி என்றால்< 0, корней нет;
2. D = 0 என்றால், சரியாக ஒரு ரூட் உள்ளது;
3. D > 0 எனில், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும்.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: பாகுபாடு என்பது வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, மேலும் அவற்றின் அனைத்து அறிகுறிகளிலும் இல்லை, சில காரணங்களால் பலர் நம்புகிறார்கள். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள், எல்லாவற்றையும் நீங்களே புரிந்துகொள்வீர்கள்:

பணி. இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

முதல் சமன்பாட்டிற்கான குணகங்களை எழுதுவோம் மற்றும் பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

எனவே பாகுபாடு நேர்மறையானது, எனவே சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டாவது சமன்பாட்டை நாங்கள் அதே வழியில் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம்:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

பாகுபாடு எதிர்மறையானது, வேர்கள் இல்லை. மீதமுள்ள கடைசி சமன்பாடு:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியம் - வேர் ஒன்றாக இருக்கும்.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் குணகங்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. ஆமாம், இது நீண்டது, ஆமாம், இது கடினமானது, ஆனால் நீங்கள் முரண்பாடுகளைக் கலந்து முட்டாள்தனமான தவறுகளைச் செய்ய மாட்டீர்கள். நீங்களே தேர்வு செய்யவும்: வேகம் அல்லது தரம்.

மூலம், நீங்கள் அதை செயலிழக்கச் செய்தால், சிறிது நேரத்திற்குப் பிறகு நீங்கள் அனைத்து குணகங்களையும் எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை. உங்கள் தலையில் இதுபோன்ற செயல்பாடுகளைச் செய்வீர்கள். பெரும்பாலான மக்கள் 50-70 சமன்பாடுகளுக்குப் பிறகு எங்காவது இதைச் செய்யத் தொடங்குகிறார்கள் - பொதுவாக, அவ்வளவு இல்லை.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள்

இப்போது தீர்வுக்கு செல்லலாம். பாகுபாடு D > 0 எனில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி வேர்களைக் கண்டறியலாம்:

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான அடிப்படை சூத்திரம்

D = 0 ஆக இருக்கும் போது, ​​நீங்கள் இந்த சூத்திரங்களில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம் - நீங்கள் அதே எண்ணைப் பெறுவீர்கள், அது பதில் இருக்கும். இறுதியாக, டி என்றால்< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

முதல் சமன்பாடு:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இரண்டாவது சமன்பாடு:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ சமன்பாடு மீண்டும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இறுதியாக, மூன்றாவது சமன்பாடு:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ சமன்பாடு ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. எந்த சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம். உதாரணமாக, முதலாவது:

எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் மிகவும் எளிது. நீங்கள் சூத்திரங்களை அறிந்து எண்ணினால், எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது. பெரும்பாலும், சூத்திரத்தில் எதிர்மறை குணகங்களை மாற்றும்போது பிழைகள் ஏற்படுகின்றன. இங்கே மீண்டும், மேலே விவரிக்கப்பட்ட நுட்பம் உதவும்: சூத்திரத்தை உண்மையில் பாருங்கள், ஒவ்வொரு அடியையும் எழுதுங்கள் - மிக விரைவில் நீங்கள் தவறுகளிலிருந்து விடுபடுவீர்கள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

ஒரு இருபடி சமன்பாடு வரையறையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதை விட சற்று வித்தியாசமானது. உதாரணமாக:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

இந்த சமன்பாடுகள் விதிமுறைகளில் ஒன்றைக் காணவில்லை என்பதைக் கவனிப்பது எளிது. இத்தகைய இருபடிச் சமன்பாடுகள் நிலையானவற்றைக் காட்டிலும் எளிதாகத் தீர்க்கப்படுகின்றன: அவை பாகுபாடுகளைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை. எனவே, ஒரு புதிய கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

கோடாரி 2 + bx + c = 0 என்ற சமன்பாடு b = 0 அல்லது c = 0 எனில் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும், அதாவது. x மாறியின் குணகம் அல்லது கட்டற்ற உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

நிச்சயமாக, இந்த இரண்டு குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது மிகவும் கடினமான வழக்கு சாத்தியமாகும்: b = c = 0. இந்த வழக்கில், சமன்பாடு கோடாரி 2 = 0 வடிவத்தை எடுக்கும். வெளிப்படையாக, அத்தகைய சமன்பாடு ஒரு ஒற்றை வேர்: x = 0.

மீதமுள்ள வழக்குகளை கருத்தில் கொள்வோம். b = 0 என்று வைத்துக் கொள்வோம், பிறகு கோடாரி 2 + c = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். அதைச் சிறிது மாற்றுவோம்:

எண்கணித வர்க்கமூலம் எதிர்மறை எண்ணில் மட்டுமே இருப்பதால், கடைசி சமத்துவம் (-c /a) ≥ 0 க்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். முடிவு:

1. கோடாரி 2 + c = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டில் சமத்துவமின்மை (−c /a) ≥ 0 திருப்தி அடைந்தால், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். சூத்திரம் மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது;
2. என்றால் (−c /a)< 0, корней нет.

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, ஒரு பாகுபாடு தேவைப்படவில்லை - முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் சிக்கலான கணக்கீடுகள் எதுவும் இல்லை. உண்மையில், சமத்துவமின்மை (−c /a) ≥ 0 ஐ நினைவில் கொள்வது கூட தேவையில்லை. மதிப்பை x 2 ஐ வெளிப்படுத்தவும், சமமான அடையாளத்தின் மறுபக்கத்தில் இருப்பதைப் பார்க்கவும் போதுமானது. நேர்மறை எண் இருந்தால், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இருக்காது.

இப்போது கோடாரி 2 + bx = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம், இதில் இலவச உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இங்கே எல்லாம் எளிது: எப்போதும் இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக இருந்தால் போதும்:

காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். இங்குதான் வேர்கள் வருகின்றன. முடிவில், இந்த சமன்பாடுகளில் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்:

பணி. இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் ஒரு சதுரம் எதிர்மறை எண்ணுக்கு சமமாக இருக்க முடியாது.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.