பல்லுறுப்புக்கோவைகள். கால்குலேட்டர் இல்லாமல் எண்களை விரைவாகக் கணக்கிடுதல்

எண்களின் அழகு. உங்கள் தலையில் விரைவாக கணக்கிடுவது எப்படி

• பிரபலமான அறிவியல்

வரி செலுத்துவதற்கான ரசீதில் ஒரு பழங்கால பதிவு ("யசகா"). இதன் பொருள் 1232 ரூபிள். 24 கோபெக்குகள் புத்தகத்தில் இருந்து விளக்கம்: யாகோவ் பெரல்மேன் "பொழுதுபோக்கு எண்கணிதம்"

மேலும் ரிச்சர்ட் ஃபெய்ன்மேன் புத்தகத்தில் “நிச்சயமாக நீங்கள் ஜோக்கிங் செய்கிறீர்கள், மிஸ்டர் ஃபெய்ன்மேன்! » மன எண்ணத்தின் பல முறைகளை கூறினார். இவை மிகவும் எளிமையான தந்திரங்கள் என்றாலும், அவை எப்போதும் பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் சேர்க்கப்படுவதில்லை.

எடுத்துக்காட்டாக, X எண்ணை 50 (50 2 = 2500) சுற்றி விரைவாக வர்க்கப்படுத்த, 50 மற்றும் X இடையே உள்ள ஒவ்வொரு யூனிட் வேறுபாட்டிற்கும் நூறைக் கழிக்க/சேர்க்க வேண்டும், பின்னர் வர்க்க வேறுபாட்டைச் சேர்க்க வேண்டும். உண்மையான கணக்கீட்டை விட விளக்கம் மிகவும் சிக்கலானதாகத் தெரிகிறது.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

விரைவான கணக்கீடுகளுக்கு ஹான்ஸ் இன்னும் சில நுட்பங்களைக் காட்டினார். உதாரணமாக, கனசதுர வேர்கள் மற்றும் அதிவேகத்தை கணக்கிட, மடக்கைகளின் அட்டவணையை நினைவில் கொள்வது வசதியானது. இந்த அறிவு சிக்கலான எண்கணித செயல்பாடுகளை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 2.5 கனசதுர மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பை மனதளவில் கணக்கிடுங்கள். உண்மையில், அத்தகைய கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, ​​உங்கள் தலையில் ஒரு வகையான ஸ்லைடு விதி வேலை செய்கிறது, இதில் எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் பிரிவு அவற்றின் மடக்கைகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் மூலம் மாற்றப்படுகிறது. மிகவும் வசதியான விஷயம்.

ஸ்லைடு விதி

கணினிகள் மற்றும் கால்குலேட்டர்கள் வருவதற்கு முன்பு, ஸ்லைடு விதி எல்லா இடங்களிலும் பயன்படுத்தப்பட்டது. இது ஒரு வகையான அனலாக் "கணினி" ஆகும், இது எண்களைப் பெருக்குதல் மற்றும் வகுத்தல், சதுரம் மற்றும் கனசதுரங்களைக் கணக்கிடுதல், சதுர மற்றும் கனசதுர வேர்களைக் கணக்கிடுதல், மடக்கைகளைக் கணக்கிடுதல், சக்தியூட்டுதல், முக்கோணவியல் மற்றும் ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகளைக் கணக்கிடுதல் மற்றும் வேறு சில செயல்பாடுகள் உட்பட பல கணித செயல்பாடுகளைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது. நீங்கள் கணக்கீட்டை மூன்று படிகளாக உடைத்தால், ஸ்லைடு விதியைப் பயன்படுத்தி எந்த உண்மையான சக்திக்கும் எண்களை உயர்த்தலாம் மற்றும் எந்த உண்மையான சக்தியின் மூலத்தையும் பிரித்தெடுக்கலாம். கணக்கீடுகளின் துல்லியம் சுமார் 3 குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிவிவரங்கள் ஆகும்.

உங்கள் தலையில் சிக்கலான கணக்கீடுகளை விரைவாகச் செய்ய, ஸ்லைடு விதி இல்லாமல் கூட, அனைத்து எண்களின் சதுரங்களையும் குறைந்தபட்சம் 25 வரை மனப்பாடம் செய்வது நல்லது, ஏனெனில் அவை பெரும்பாலும் கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மற்றும் டிகிரி அட்டவணை - மிகவும் பொதுவானது. ஒவ்வொரு முறையும் 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1,048,576 மற்றும் √3 ≈ 1.732 என்று மீண்டும் கணக்கிடுவதை விட நினைவில் கொள்வது எளிது.

ரிச்சர்ட் ஃபெய்ன்மேன் தனது திறமைகளை மேம்படுத்தினார் மற்றும் படிப்படியாக புதிய சுவாரஸ்யமான வடிவங்கள் மற்றும் எண்களுக்கு இடையேயான இணைப்புகளை கவனித்தார். அவர் இந்த உதாரணத்தை தருகிறார்: “யாராவது 1 ஐ 1.73 ஆல் வகுக்கத் தொடங்கினால், அது 0.577 என்று உடனடியாக பதிலளிக்கலாம், ஏனெனில் 1.73 என்பது மூன்றின் வர்க்க மூலத்திற்கு நெருக்கமான எண். எனவே 1/1.73 என்பது மூன்றில் ஒரு பங்கு சதுர வேர் 3 இல்."

கம்ப்யூட்டரும் கால்குலேட்டர்களும் இல்லாத அந்தக் காலத்தில் இப்படிப்பட்ட மேம்பட்ட மனக் கணிதம் சக ஊழியர்களை ஆச்சரியத்தில் ஆழ்த்தியிருக்கும். அந்த நாட்களில், முற்றிலும் அனைத்து விஞ்ஞானிகளும் தங்கள் தலையில் நன்றாக எண்ண முடிந்தது, எனவே தேர்ச்சி அடைய எண்களின் உலகில் தங்களை மிகவும் ஆழமாக மூழ்கடிப்பது அவசியம்.

இப்போதெல்லாம், மக்கள் 76 ஐ 3 ஆல் வகுக்க ஒரு கால்குலேட்டரை எடுக்கிறார்கள். மற்றவர்களை ஆச்சரியப்படுத்துவது மிகவும் எளிதாகிவிட்டது. ஃபெய்ன்மேன் காலத்தில், ஒரு கால்குலேட்டருக்குப் பதிலாக, மர அபாகஸ்கள் இருந்தன, அவை கனசதுர வேர்களை எடுப்பது உட்பட சிக்கலான செயல்பாடுகளைச் செய்ய பயன்படுத்தப்படலாம். அத்தகைய கருவிகளைப் பயன்படுத்தி, மக்கள் பல எண்கணித சேர்க்கைகளை மனப்பாடம் செய்யத் தேவையில்லை, ஆனால் பந்துகளை எவ்வாறு சரியாக உருட்டுவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வதை சிறந்த இயற்பியலாளர் ஏற்கனவே கவனித்தார். அதாவது, மூளை "விரிவாக்கி" உள்ளவர்களுக்கு எண்கள் தெரியாது. அவர்கள் "ஆஃப்லைன்" பயன்முறையில் பணிகளை மோசமாக சமாளிக்கிறார்கள்.

இங்கே ஐந்து மிகவும் எளிய குறிப்புகள் 1941 இல் பதிப்பகத்தால் வெளியிடப்பட்ட "விரைவு எண்ணிக்கை" கையேட்டில் யாகோவ் பெரல்மேன் பரிந்துரைத்த மன எண்ணம்.

1. பெருக்கப்படும் எண்களில் ஒன்று காரணிகளாக சிதைந்தால், அவற்றால் வரிசையாகப் பெருக்க வசதியாக இருக்கும்.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, அதாவது, முடிவை மூன்று முறை இரட்டிப்பாக்கு

3. 5 அல்லது 25 ஆல் பெருக்கும்போது, ​​எண்ணை 2 அல்லது 4 ஆல் வகுத்து, முடிவில் ஒன்று அல்லது இரண்டு பூஜ்ஜியங்களைக் கூட்டலாம்.

74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100

ஒரு வட்ட எண்ணுக்கு (98, 103) நெருக்கமான எண்ணால் பெருக்கும்போது, ​​உடனடியாக ஒரு சுற்று எண்ணால் (100) பெருக்க வசதியாக இருக்கும், பின்னர் வேறுபாட்டின் பெருக்கத்தைக் கழித்தல்/சேர்ப்பது.

37 × 98 = 3700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148

8 × 9 = 72, 25 ஐ ஒதுக்கவும், எனவே 85 2 = 7225

(10X + 5) 2 = 100X 2 + 100X + 25 = 100X (X+1) + 25

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

இன்று நாம் கால்குலேட்டர் இல்லாமல் பெரிய வெளிப்பாடுகளை எவ்வாறு விரைவாக சதுரப்படுத்துவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். பெரிய அளவில், பத்து முதல் நூறு வரையிலான எண்களைக் குறிக்கிறேன். உண்மையான சிக்கல்களில் பெரிய வெளிப்பாடுகள் மிகவும் அரிதானவை, மேலும் பத்துக்கும் குறைவான மதிப்புகளை எப்படி எண்ணுவது என்பது உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும், ஏனெனில் இது ஒரு வழக்கமான பெருக்கல் அட்டவணை. இன்றைய பாடத்தில் உள்ள பொருள் மிகவும் அனுபவம் வாய்ந்த மாணவர்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனென்றால் தொடக்க மாணவர்கள் இந்த நுட்பத்தின் வேகத்தையும் செயல்திறனையும் வெறுமனே பாராட்ட மாட்டார்கள்.

முதலில், நாம் பொதுவாக எதைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். உதாரணமாக, நாம் வழக்கமாகச் செய்வது போல, ஒரு தன்னிச்சையான எண் வெளிப்பாட்டைக் கட்டமைக்க நான் முன்மொழிகிறேன். 34 என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு நெடுவரிசையுடன் அதைத் தானாகப் பெருக்கி உயர்த்துகிறோம்:

\[((34)^(2))=\முறை \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 என்பது சதுரம் 34.

இந்த முறையின் சிக்கலை இரண்டு புள்ளிகளில் விவரிக்கலாம்:

1) இதற்கு எழுதப்பட்ட ஆவணங்கள் தேவை;

2) கணக்கீடு செயல்பாட்டின் போது தவறு செய்வது மிகவும் எளிதானது.

கால்குலேட்டர் இல்லாமல், வாய்வழியாக மற்றும் எந்த தவறும் இல்லாமல் விரைவாகப் பெருக்குவது எப்படி என்பதை இன்று கற்றுக்கொள்வோம்.

எனவே ஆரம்பிக்கலாம். வேலை செய்ய, கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரம் நமக்குத் தேவை. அவற்றை எழுதுவோம்:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[((((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

இது நமக்கு என்ன தருகிறது? உண்மை என்னவென்றால், 10 முதல் 100 வரையிலான வரம்பில் உள்ள எந்த மதிப்பையும் $a$ என்ற எண்ணாகக் குறிப்பிடலாம், இது 10 ஆல் வகுபடும், மற்றும் $b$, இது 10 ஆல் வகுத்தலின் மீதியாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, 28 ஐ பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\ end(align)\]

மீதமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் அதே வழியில் வழங்குகிறோம்:

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\ end(align)\]

இந்த யோசனை நமக்கு என்ன சொல்கிறது? உண்மை என்னவென்றால், ஒரு தொகை அல்லது வித்தியாசத்துடன், மேலே விவரிக்கப்பட்ட கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தலாம். நிச்சயமாக, கணக்கீடுகளைக் குறைக்க, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் நீங்கள் ஒரு வெளிப்பாட்டைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும் மிகச்சிறிய இரண்டாவதுகால. எடுத்துக்காட்டாக, $20+8$ மற்றும் $30-2$ ஆகிய விருப்பங்களிலிருந்து, $30-2$ என்ற விருப்பத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

இதேபோல் மீதமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான விருப்பங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]

விரைவாகப் பெருக்கும்போது இரண்டாவது கால அளவைக் குறைக்க நாம் ஏன் முயற்சி செய்ய வேண்டும்? இது கூட்டுத்தொகையின் சதுரத்தின் ஆரம்ப கணக்கீடுகள் மற்றும் வேறுபாட்டைப் பற்றியது. உண்மை என்னவென்றால், உண்மையான பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் போது $2ab$ என்ற சொல் பிளஸ் அல்லது மைனஸுடன் கணக்கிடுவது மிகவும் கடினம். மேலும் காரணி $a$, 10 இன் பெருக்கல், எப்பொழுதும் எளிதாகப் பெருக்கப்பட்டால், $b$ என்ற காரணியுடன், ஒன்று முதல் பத்து வரையிலான எண், பல மாணவர்கள் தொடர்ந்து சிரமங்களை எதிர்கொள்கின்றனர்.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

இப்படித்தான் எட்டு உதாரணங்களின் பெருக்கத்தை மூன்று நிமிடங்களில் செய்தோம். ஒரு எக்ஸ்ப்ரெஷனுக்கு 25 வினாடிகளுக்கும் குறைவானது. உண்மையில், ஒரு சிறிய பயிற்சிக்குப் பிறகு, நீங்கள் இன்னும் வேகமாக எண்ணுவீர்கள். இரண்டு இலக்க வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கு ஐந்து முதல் ஆறு வினாடிகளுக்கு மேல் ஆகாது.

ஆனால் அதெல்லாம் இல்லை. காட்டப்பட்ட நுட்பம் போதுமான வேகம் மற்றும் போதுமான குளிர்ச்சியாக இருப்பதாகத் தெரிந்தவர்களுக்கு, நான் இன்னும் அதிகமாக பரிந்துரைக்கிறேன் விரைவான வழிபெருக்கல், எனினும், அனைத்து பணிகளுக்கும் வேலை செய்யாது, ஆனால் 10 இன் பெருக்கல்களிலிருந்து ஒன்றால் வேறுபடுபவைகளுக்கு மட்டுமே. எங்கள் பாடத்தில் இதுபோன்ற நான்கு மதிப்புகள் உள்ளன: 51, 21, 81 மற்றும் 39.

இது மிகவும் வேகமாகத் தோன்றும்; ஆனால், உண்மையில், வேகப்படுத்துவது சாத்தியம், இது பின்வருமாறு செய்யப்படுகிறது. பத்தின் பெருக்கமான மதிப்பை எழுதுகிறோம், இது நமக்குத் தேவையானதற்கு மிக அருகில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, 51 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். எனவே, தொடங்குவதற்கு, ஐம்பதைக் கட்டுவோம்:

\[{{50}^{2}}=2500\]

பத்தின் பல மடங்குகள் சதுரமாக்குவது மிகவும் எளிதானது. இப்போது நாம் அசல் வெளிப்பாட்டிற்கு ஐம்பது மற்றும் 51 ஐ சேர்க்கிறோம்.

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

எனவே ஒன்றால் வேறுபடும் அனைத்து எண்களிலும்.

நாம் தேடும் மதிப்பு நாம் எண்ணும் மதிப்பை விட அதிகமாக இருந்தால், அதன் விளைவாக வரும் சதுரத்தில் எண்களைச் சேர்க்கிறோம். விரும்பிய எண் சிறியதாக இருந்தால், 39 ஐப் போலவே, செயலைச் செய்யும்போது, ​​​​நீங்கள் சதுரத்திலிருந்து மதிப்பைக் கழிக்க வேண்டும். கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தாமல் பயிற்சி செய்வோம்:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் பதில்கள் ஒரே மாதிரியானவை. மேலும், இந்த நுட்பம் அருகிலுள்ள எந்த மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும். உதாரணமாக:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]

அதே நேரத்தில், கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டின் சதுரங்களின் கணக்கீடுகளை நாம் நினைவில் வைத்து கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை. வேலையின் வேகம் பாராட்டுக்கு அப்பாற்பட்டது. எனவே, நினைவில் வைத்து, பயிற்சி செய்து, நடைமுறையில் பயன்படுத்தவும்.

முக்கிய புள்ளிகள்

இந்த நுட்பத்தின் மூலம் நீங்கள் எளிதாக எதையும் பெருக்கலாம் இயற்கை எண்கள் 10 முதல் 100 வரை. மேலும், அனைத்து கணக்கீடுகளும் வாய்வழியாக, கால்குலேட்டர் இல்லாமல் மற்றும் காகிதம் இல்லாமல் கூட செய்யப்படுகின்றன!

முதலில், 10 இன் பெருக்கல் மதிப்புகளின் சதுரங்களை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\முடிவு(சீரமை)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\முடிவு(சீரமை)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\முடிவு(சீரமை)\]

இன்னும் வேகமாக எண்ணுவது எப்படி

ஆனால் அதெல்லாம் இல்லை! இந்த வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, குறிப்புகளுக்கு "அருகில்" உடனடியாக சதுர எண்களை நீங்கள் செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நமக்கு 152 (குறிப்பு மதிப்பு) தெரியும், ஆனால் நாம் 142 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் (குறிப்பு மதிப்பை விட ஒன்று குறைவாக இருக்கும் அருகிலுள்ள எண்). அதை எழுதுவோம்:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\முடிவு(சீரமை)\]

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: ஆன்மீகவாதம் இல்லை! 1 ஆல் வேறுபடும் எண்களின் சதுரங்கள் உண்மையில் இரண்டு மதிப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் அல்லது கூட்டுவதன் மூலம் குறிப்பு எண்களைத் தாங்களாகவே பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\முடிவு(சீரமை)\]

இது ஏன் நடக்கிறது? கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரத்தை எழுதுவோம் (மற்றும் வேறுபாடு). $n$ நமது குறிப்பு மதிப்பாக இருக்கட்டும். பின்னர் அவை பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகின்றன:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]

- இது சூத்திரம்.

\[\begin(align)& ((((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\ end(align)\]

- 1 ஐ விட அதிகமான எண்களுக்கான ஒத்த சூத்திரம்.

இந்த நுட்பம் உங்களின் அனைத்து உயர்மட்ட கணித சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளில் உங்கள் நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும் என்று நம்புகிறேன். எனக்கும் அவ்வளவுதான். சந்திப்போம்!

உங்கள் தலையில் எண்களின் சதுரங்களை எண்ணும் திறன் பல்வேறு வாழ்க்கை சூழ்நிலைகளில் பயனுள்ளதாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக, முதலீட்டு பரிவர்த்தனைகளை விரைவாக மதிப்பிடுவதற்கு, பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளை கணக்கிடுவதற்கு மற்றும் பல சந்தர்ப்பங்களில். கூடுதலாக, உங்கள் தலையில் உள்ள சதுரங்களை எண்ணும் திறன் உங்கள் நிரூபணமாக செயல்படும் அறிவுசார் திறன்கள். இந்த திறமையை கற்றுக்கொள்ள உங்களை அனுமதிக்கும் முறைகள் மற்றும் வழிமுறைகள் பற்றி இந்த கட்டுரை விவாதிக்கிறது.

வர்க்கத் தொகை மற்றும் வர்க்க வேறுபாடு

இரண்டு இலக்க எண்களை வகுப்பதற்கான எளிய வழிகளில் ஒன்று, வர்க்கத் தொகை மற்றும் வர்க்க வேறுபாடு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் அடிப்படையில் ஒரு நுட்பமாகும்:

இந்த முறையைப் பயன்படுத்த, நீங்கள் இரண்டு இலக்க எண்ணை 10 இன் பெருக்கல் மற்றும் 10 க்கும் குறைவான எண்ணின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக:

• 37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
• 94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

ஏறக்குறைய அனைத்து ஸ்கொயர் நுட்பங்களும் (கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளன) ஸ்கொயர் தொகை மற்றும் வர்க்க வேறுபாடு சூத்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. இந்த சூத்திரங்கள் சில சிறப்பு நிகழ்வுகளில் சதுரத்தை எளிமையாக்கும் பல அல்காரிதங்களை அடையாளம் காண முடிந்தது.

தெரிந்த சதுரத்திற்கு அருகில் உள்ள சதுரம்

வர்க்கம் செய்யப்படும் எண், நமக்குத் தெரிந்த ஒரு எண்ணுக்கு அருகில் இருந்தால், எளிமையான மனக் கணிதத்திற்கு நான்கு நுட்பங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம்:

மேலும் 1:

முறை:எண் ஒன்றின் வர்க்கத்திற்கு நாம் எண்ணையே சேர்க்கிறோம் மற்றும் எண் ஒன்றை குறைவாக சேர்க்கிறோம்.

• 31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
• 16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

1 குறைவு:

முறை:மேலும் ஒரு எண்ணின் வர்க்கத்திலிருந்து, அந்த எண்ணையும் மேலும் ஒன்றான எண்ணையும் கழிப்போம்.

• 19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
• 24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

மேலும் 2

முறை:எண் 2 இன் வர்க்கத்திற்கு நாம் எண்ணின் கூட்டுத்தொகையை இருமுறையும், எண் 2 குறைவாகவும் சேர்க்கிறோம்.

• 22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
• 27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

2 குறைவு

முறை:மேலும் ஒரு எண் 2 இன் வர்க்கத்திலிருந்து, எண்ணின் கூட்டுத்தொகையை இருமுறையும் மேலும் எண் 2 ஐயும் கழிக்கவும்.

• 48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
• 98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

இந்த நுட்பங்கள் அனைத்தும் ஸ்கொயர் தொகை மற்றும் வர்க்க வேறுபாடு சூத்திரங்களிலிருந்து (மேலே குறிப்பிட்டுள்ள) அல்காரிதம்களைப் பெறுவதன் மூலம் எளிதாக நிரூபிக்க முடியும்.

5ல் முடிவடையும் எண்களின் சதுரம்

5ல் முடிவடையும் சதுர எண்களுக்கு. அல்காரிதம் எளிமையானது. கடைசி ஐந்து வரை உள்ள எண், அதே எண்ணைக் கூட்டல் ஒன்றால் பெருக்கவும். மீதமுள்ள எண்ணுடன் 25 ஐ சேர்க்கிறோம்.

• 15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
• 25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
• 85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

மிகவும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கும் இது பொருந்தும்:

• 155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

50க்கு அருகில் உள்ள எண்களின் சதுரம்

உள்ள எண்களின் சதுரத்தை எண்ணுங்கள் 40 முதல் 60 வரை, நீங்கள் மிகவும் முடியும் ஒரு எளிய வழியில். அல்காரிதம் பின்வருமாறு: 50 ஐ விட அதிகமாக (அல்லது குறைவாக) உள்ள எண்ணை 25 இல் கூட்டுகிறோம் (அல்லது கழிக்கிறோம்). இந்த தொகையை (அல்லது வேறுபாட்டை) 100 ஆல் பெருக்குகிறோம். எண் ஐம்பது. எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டில் உள்ள அல்காரிதத்தைப் பார்க்கவும்:

• 44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
• 53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

மூன்று இலக்க எண்களின் சதுரம்

சதுரம் மூன்று இலக்க எண்கள்சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி செய்யலாம்:

இந்த முறை வாய்வழி எண்ணுக்கு வசதியானது என்று கூற முடியாது, ஆனால் குறிப்பாக கடினமான வழக்குகள்நீங்கள் அதைப் பயன்படுத்தலாம்:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

பயிற்சி

தலைப்பில் உங்கள் திறமையை மேம்படுத்த விரும்பினால் இந்த பாடம், நீங்கள் பின்வரும் விளையாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். நீங்கள் பெறும் புள்ளிகள் உங்கள் பதில்களின் சரியான தன்மை மற்றும் முடிப்பதற்கு செலவிடும் நேரம் ஆகியவற்றால் பாதிக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு முறையும் எண்கள் வேறுபடுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

நீங்கள் பெருக்கினால் எண்அதன் விளைவாக ஒரு கட்டுமானம் இருக்கும் சதுரம். "இரண்டு இரண்டு முறை நான்கு" என்பது முதல் வகுப்பு மாணவருக்கு கூட தெரியும். மூன்று இலக்கங்கள், நான்கு இலக்கங்கள் போன்றவை. ஒரு நெடுவரிசையில் அல்லது கால்குலேட்டரில் எண்களைப் பெருக்குவது நல்லது, ஆனால் மின்னணு உதவியாளர் இல்லாமல் இரட்டை இலக்கங்களைச் சமாளித்து, உங்கள் தலையில் பெருக்கிக் கொள்ளுங்கள்.

வழிமுறைகள்

ஏதேனும் இரண்டு இலக்கத்தை விரிவாக்குங்கள் எண்கூறுகளாக, அலகுகளின் எண்ணிக்கையை முன்னிலைப்படுத்துகிறது. எண் 96 இல், அலகுகளின் எண்ணிக்கை 6. எனவே, நாம் எழுதலாம்: 96 = 90 + 6.

கட்டமைக்கவும் சதுரம்எண்களில் முதலாவது: 90 * 90 = 8100.

இரண்டாவது ஒன்றையும் அவ்வாறே செய்யுங்கள் எண்மீ: 6 * 6 = 36

எண்களை ஒன்றாகப் பெருக்கி, முடிவை இரட்டிப்பாக்கவும்: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் முடிவுகளைச் சேர்க்கவும் நான்காவது படிகள்: 8100 + 36 + 1080 = 9216. இது உயர்த்துவதன் விளைவு சதுரம்எண்கள் 96. சில பயிற்சிகளுக்குப் பிறகு, உங்கள் பெற்றோரையும் வகுப்புத் தோழர்களையும் வியக்க வைக்கும் வகையில், உங்கள் மனதில் விரைவாகச் செயல்பட முடியும். உங்களுக்கு புரியும் வரை, நீங்கள் குழப்பமடையாதபடி, ஒவ்வொரு அடியின் முடிவுகளையும் எழுதுங்கள்.

பயிற்சி செய்ய, உயர்த்த சதுரம் எண் 74 மற்றும் கால்குலேட்டரில் உங்களை நீங்களே சோதிக்கவும். செயல்களின் வரிசை: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

இரண்டாவது சக்திக்கு உயர்த்தவும் எண் 81. உங்கள் செயல்கள்: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

கட்டுமானத்தின் சிறப்பு முறையை நினைவில் கொள்ளுங்கள் சதுரம்எண் 5 உடன் முடிவடையும் இரண்டு இலக்க எண்கள். பத்துகளின் எண்ணிக்கையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்: எண் 75 இல் அவற்றில் 7 உள்ளன.

பத்துகளின் எண்ணிக்கையை அடுத்த இலக்கத்தால் பெருக்கவும் எண்முதல் வரிசையில்: 7 * 8 = 56.

வலதுபுறத்தில் எழுதுங்கள் எண் 25: 5625 - உயர்த்துவதன் விளைவு சதுரம்எண் 75.

பயிற்சிக்கு, இரண்டாவது சக்திக்கு உயர்த்தவும் எண் 95. இது எண் 5 உடன் முடிவடைகிறது, எனவே செயல்களின் வரிசை: 9 * 10 = 90, 9025 இதன் விளைவாகும்.

கட்டமைக்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள் சதுரம்எதிர்மறை எண்கள்: -95 அங்குலம் சதுரம் e என்பது 9025 க்கு சமம், பதினொன்றாவது படியில் உள்ளது. அதே -74v சதுரம் e என்பது ஆறாவது படியில் உள்ளதைப் போல 5476 க்கு சமம். இரண்டை பெருக்கும்போது இது ஏற்படுகிறது எதிர்மறை எண்கள்அது எப்போதும் நேர்மறையாக மாறும் எண்: -95 * -95 = 9025. எனவே, அமைக்கப்படும் போது சதுரம்நீங்கள் மைனஸ் குறியை புறக்கணிக்கலாம்.

பயனுள்ள ஆலோசனை

உங்கள் வொர்க்அவுட்டை சலிப்படையச் செய்யாமல் இருக்க, உதவிக்கு நண்பரை அழைக்கவும். அவர் இரண்டு இலக்க எண்ணை எழுதட்டும், இந்த எண்ணை ஸ்கொயர் செய்ததன் முடிவை நீங்கள் எழுதுங்கள். பின்னர் இடங்களை மாற்றவும்.

உங்களுக்குத் தெரியும், ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவு அதன் இரண்டு வெவ்வேறு பக்கங்களின் நீளத்தைப் பெருக்குவதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது. ஒரு சதுரம் அனைத்து பக்கங்களும் சமமாக உள்ளது, எனவே நீங்கள் பக்கத்தை தானாகவே பெருக்க வேண்டும். இங்கிருந்துதான் "சதுக்கம்" என்ற வெளிப்பாடு வந்தது. ஒரு வழக்கமான கால்குலேட்டரை எடுத்து, விரும்பிய எண்ணை தானே பெருக்கிக்கொள்வதே எந்த எண்ணையும் வகுப்பதற்கான எளிதான வழி. உங்களிடம் கால்குலேட்டர் இல்லையென்றால், உள்ளமைக்கப்பட்ட கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தலாம் மொபைல் போன். மேம்பட்ட பயனர்களுக்கு, Office பயன்பாட்டைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறோம் மைக்ரோசாப்ட் எக்செல், குறிப்பாக இத்தகைய கணக்கீடுகள் அடிக்கடி மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும் என்றால். இதைச் செய்ய, நீங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான கலத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக G7, அதில் =F7*F7 சூத்திரத்தை உள்ளிடவும். அடுத்து, செல் F7 இல் எந்த எண்ணையும் உள்ளிட்டு, செல் G7 இல் முடிவைப் பெறவும்.

கடைசி இலக்கம் 5 ஆக இருக்கும் எண்ணை எப்படி வகுப்பது. இந்த எண்ணை வகுப்பதற்கு, எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தை நிராகரிக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் எண்ணை ஒரு பெரிய எண்ணுடன் 1 ஆல் பெருக்க வேண்டும். முடிவுக்குப் பிறகு நீங்கள் 25 என்ற எண்ணை வலதுபுறத்தில் சேர்க்க வேண்டும். உதாரணம். நீங்கள் 35 என்ற எண்ணின் வர்க்கத்தைப் பெற விரும்புகிறீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். கடைசி இலக்கமான 5 ஐ நிராகரித்த பிறகு, எண் 3 ஐச் சேர்த்தால், நீங்கள் 4.3x4=12 என்ற எண்ணைப் பெறுவீர்கள். 25ஐ கூட்டினால் 1225. 35x35=3*4 கூட்டல் 25=1225.

கடைசி இலக்கம் 6 ஆக இருக்கும் எண்ணை எப்படி வர்க்கம் செய்வது. 5ல் முடிவடையும் எண்ணை எப்படி வகுப்பது என்ற கேள்வியைக் கண்டுபிடித்தவர்களுக்கு இந்த அல்காரிதம் ஏற்றது. கணிதத்தில் இருந்து அறியப்பட்டபடி, ஒரு பைனோமியலின் வர்க்கத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். (A + B) x (A+B) =AxA+2xAxB + BxB. A என்ற எண்ணின் கடைசி இலக்கம் 6 ஆக இருக்கும் போது, ​​இந்த எண்ணை A=B+1 எனக் குறிப்பிடலாம், இங்கு B என்பது 1 என்ற எண்ணாகும். குறைவான எண்ணிக்கைஎனவே, அதன் கடைசி இலக்கம் 5. இந்த வழக்கில், சூத்திரத்தை மேலும் குறிப்பிடலாம் எளிய வடிவத்தில்(B+1) x(B+1) =BxB+2xBx1+1x1=BxB + 2xB+1. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த எண் 16 ஆக இருக்கட்டும். தீர்வு 16 x16=15 x15+2x15 x1+1x1=225+30+1=256 வாய்வழி விதி: 6ல் முடிவடையும் எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கண்டறிய: முந்தையதைச் சதுரப்படுத்த வேண்டும் எண், முந்தைய எண்ணை இரண்டு மடங்கு கூட்டி 1 ஐ சேர்க்கவும்.

11 முதல் 29 வரையிலான எண்களை எப்படி சதுரப்படுத்துவது. 11 முதல் 19 வரையிலான சதுர எண்களுக்கு, அசல் எண்ணுடன் ஒன்றின் எண்ணிக்கையைச் சேர்க்க வேண்டும், அதன் விளைவாக வரும் முடிவை 10 ஆல் பெருக்கி, வலதுபுறத்தில் உள்ள வர்க்க எண்ணைச் சேர்க்கவும். உதாரணம். சதுரம் 13. இந்த எண்ணில் உள்ள ஒன்றின் எண்ணிக்கை 3. அடுத்து, 13+3=16 என்ற இடைநிலை எண்ணைக் கணக்கிட வேண்டும். பின்னர் அதை 10 ஆல் பெருக்கவும். அது 160 ஆக மாறும். அலகுகளின் எண்ணிக்கையின் வர்க்கம் 3x3=9. இறுதி முடிவு 169. மூன்றாவது பத்தில் உள்ள எண்களுக்கு, இதேபோன்ற அல்காரிதம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, நீங்கள் மட்டும் 20 ஆல் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் அலகுகளின் சதுரத்தை சேர்க்க வேண்டும். உதாரணம். 24 என்ற எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கணக்கிடவும். ஒன்றின் எண்ணிக்கை காணப்படுகிறது - 4. இடைநிலை எண் கணக்கிடப்படுகிறது - 24+4=28. 20 ஆல் பெருக்கினால், முடிவு 560. அலகுகளின் எண்ணிக்கையின் வர்க்கம் 4x4=16. இறுதி முடிவு 560+16=576.

40 முதல் 60 வரையிலான எண்களை எப்படி சதுரமாக்குவது. அல்காரிதம் மிகவும் எளிமையானது. முதலில் நீங்கள் எவ்வளவு கண்டுபிடிக்க வேண்டும் கொடுக்கப்பட்ட எண்எண் 50ன் வரம்பின் நடுப்பகுதியை விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ. விளைந்த முடிவோடு (எண் 50 ஐ விட அதிகமாக இருந்தால்) அல்லது கழித்தல் (எண் 50க்குக் குறைவாக இருந்தால்) 25. இதன் விளைவாக வரும் தொகையை (அல்லது வேறுபாட்டை) பெருக்கவும். 100. இதன் விளைவாக வரும் முடிவில் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய சதுரம் மற்றும் எண் 50 ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டின் வர்க்கத்தைச் சேர்க்கவும். எடுத்துக்காட்டு: 46 என்ற எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கண்டறிய வேண்டும். வித்தியாசம் 50-46=4.5-4= 1.1x100=0.4x4=6.0+16=2116. முடிவு: 46x46=2116.

மற்றொரு தந்திரம் 40 முதல் 60 வரையிலான எண்களை எப்படி சதுரமாக்குவது. ஒரு எண்ணின் வர்க்கத்தை 40 முதல் 49 வரை கணக்கிட, நீங்கள் அலகுகளின் எண்ணிக்கையை 15 ஆல் அதிகரிக்க வேண்டும், அதன் விளைவாக வரும் முடிவை 100 ஆல் பெருக்க வேண்டும், அதன் வலதுபுறம் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் கடைசி இலக்கத்திற்கும் 10க்கும் இடையிலான வேறுபாட்டின் வர்க்கத்தை ஒதுக்கவும். எடுத்துக்காட்டு. 42 என்ற எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கணக்கிடவும். இந்த எண்ணின் அலகுகளின் எண்ணிக்கை 2. 15: 2+15=17ஐச் சேர்க்கவும். அதே எண்ணிக்கையிலான அலகுகளுக்கும் 10க்கும் உள்ள வேறுபாடு 8 க்கு சமம். சதுரம்: 8x8 = 64. முந்தைய முடிவு 17 க்கு வலதுபுறத்தில் எண் 64 சேர்க்கப்பட்டது. இறுதி எண் 1764. எண் 51 முதல் 59 வரையிலான வரம்பில் இருந்தால், அதே அல்காரிதம் அதை சதுரப்படுத்த பயன்படுத்தப்படுகிறது, எண்ணுடன் 25 மட்டுமே சேர்க்கப்பட வேண்டும். அலகுகள்.

உங்கள் தலையில் எந்த இரண்டு இலக்க எண்ணையும் எப்படி ஸ்கொயர் செய்வது. ஒரு நபருக்கு சதுரம் எப்படி தெரியும் என்றால் ஒற்றை இலக்க எண்கள், வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அவர் பெருக்கல் அட்டவணையை அறிந்திருந்தால், இரண்டு இலக்க எண்களின் சதுரங்களைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கல் இருக்காது. உதாரணம். நீங்கள் இரண்டு இலக்க எண் 36 ஐ ஸ்கொயர் செய்ய வேண்டும். இந்த எண் அதன் பத்துகளின் எண்ணிக்கையால் பெருக்கப்படுகிறது. 36x3=8. அடுத்து நீங்கள் எண்ணின் இலக்கங்களின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்: 3x6=18. பின்னர் இரண்டு முடிவுகளையும் சேர்க்கவும். 108+18=126. அடுத்த படி: நீங்கள் அசல் எண்ணின் அலகுகளை சதுரப்படுத்த வேண்டும்: 6x6=36. இதன் விளைவாக உற்பத்தியில், பத்துகளின் எண்ணிக்கை தீர்மானிக்கப்படுகிறது - 3 மற்றும் முந்தைய முடிவுடன் சேர்க்கப்பட்டது: 126 + 3 = 129. மற்றும் கடைசி படி. பெறப்பட்ட முடிவின் வலதுபுறத்தில் அசல் எண்ணின் அலகுகளின் எண்ணிக்கை ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது இந்த எடுத்துக்காட்டில்- 6. இறுதி முடிவு எண் 1296 ஆகும்.

சதுரத்திற்கு பல வழிகள் உள்ளன வெவ்வேறு எண்கள். கொடுக்கப்பட்ட சில வழிமுறைகள் மிகவும் எளிமையானவை, மற்றவை மிகவும் சிக்கலானவை மற்றும் முதல் பார்வையில் புரிந்துகொள்ள முடியாதவை. பல நூற்றாண்டுகளாக மக்கள் அவற்றைப் பயன்படுத்தி வருகின்றனர். ஒவ்வொரு நபரும் அவரவர் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய மற்றும் சுவாரஸ்யமான வழிமுறைகளை உருவாக்க முடியும். ஆனால் வாய்வழி எண்ணுவதில் சிக்கல்கள் அல்லது பிற சிரமங்கள் ஏற்பட்டால், நீங்கள் தொழில்நுட்ப வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.