ஒருங்கிணைப்புகளின் பயன்பாடுகள். திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பயன்பாடுகள்

விரிவுரைகள் 8. விண்ணப்பங்கள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த.

ஒருங்கிணைந்த பயன்பாடு உடல் பணிகள்ஒரு தொகுப்பின் மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் சேர்க்கையின் சொத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. எனவே, ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, தொகுப்பில் சேர்க்கப்படும் அளவுகளைக் கணக்கிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், வளைவின் நீளம், மேற்பரப்பு பகுதி, உடலின் அளவு மற்றும் உடலின் நிறை ஆகியவை ஒரே பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. எனவே, இந்த அளவுகள் அனைத்தையும் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

சிக்கல்களைத் தீர்க்க நீங்கள் இரண்டு முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்: ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறை மற்றும் வேறுபாடுகளின் முறை.

ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறை ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கட்டுமானத்தை மீண்டும் செய்கிறது: ஒரு பகிர்வு கட்டப்பட்டது, புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன, செயல்பாடு அவற்றில் கணக்கிடப்படுகிறது, ஒருங்கிணைந்த தொகை கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும் வரம்பிற்கு செல்லும் பாதை செய்யப்படுகிறது. இந்த முறையில், முக்கிய சிரமம் என்னவென்றால், வரம்பில் உள்ள முடிவு சிக்கலில் சரியாகத் தேவை என்பதை நிரூபிப்பதாகும்.

வேறுபட்ட முறையானது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. தீர்மானிக்கப்பட வேண்டிய அளவின் வேறுபாடு கணக்கிடப்படுகிறது, பின்னர், இந்த வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், தேவையான அளவு நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகிறது. இந்த முறையில், முக்கிய சிரமம் என்னவென்றால், அது கணக்கிடப்பட்ட தேவையான மதிப்பின் வேறுபாடு என்பதை நிரூபிப்பது, வேறு ஒன்று அல்ல.

விமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் கணக்கீடு.

1. குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது கார்ட்டீசியன் அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள்

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியின் சிக்கலில் இருந்து ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்துக்கு நாங்கள் வந்தோம் (உண்மையில், ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி). ஒரு சார்பு எதிர்மறை மதிப்புகளை மட்டுமே எடுத்துக் கொண்டால், ஒரு பிரிவில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பகுதியை ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும். அதை கவனி எனவே, வேறுபாடுகளின் முறையையும் இங்கே காணலாம்.

ஆனால் ஒரு செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கலாம், பின்னர் இந்த பிரிவில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பானது எதிர்மறையான பகுதியைக் கொடுக்கும், இது பகுதியின் வரையறைக்கு முரணானது.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கணக்கிடலாம்எஸ்=. எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும் பகுதிகளில் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை மாற்றுவதற்கு இது சமம்.

ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவை மேலே செயல்பாட்டின் வரைபடத்தாலும், கீழே செயல்பாட்டின் வரைபடத்தாலும் கணக்கிட வேண்டும் என்றால், நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்எஸ்= , ஏனெனில்.

உதாரணமாக. x=0, x=2 என்ற நேர்கோடுகள் மற்றும் y=x 2, y=x 3 சார்புகளின் வரைபடங்கள் ஆகியவற்றால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடவும்.

இடைவெளியில் (0,1) சமத்துவமின்மை x 2 > x 3 மற்றும் x >1 க்கு சமத்துவமின்மை x 3 > x 2 உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதனால் தான்

2. குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது துருவ அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள்

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்படட்டும், மேலும் இரண்டு கதிர்கள் மற்றும் ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவுத் துறையின் பரப்பளவைக் கணக்கிட விரும்புகிறோம்.

இங்கே நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறையைப் பயன்படுத்தலாம், ஒரு வளைவுத் துறையின் பரப்பளவை தொடக்கத் துறைகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையின் வரம்பாகக் கணக்கிடலாம், இதில் செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு வட்ட வில் மூலம் மாற்றப்படுகிறது. .

நீங்கள் வேறுபட்ட முறையைப் பயன்படுத்தலாம்: .

இப்படி யோசிக்கலாம். மையக் கோணத்துடன் தொடர்புடைய அடிப்படை வளைவுத் துறையை ஒரு வட்டத் துறையுடன் மாற்றினால், எங்களிடம் விகிதம் உள்ளது. இங்கிருந்து . நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை ஒருங்கிணைத்து பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம் .

உதாரணமாக. வட்டத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுவோம் (சூத்திரத்தைச் சரிபார்க்கவும்). நாங்கள் நம்புகிறோம். வட்டத்தின் பரப்பளவு .

உதாரணமாக. கார்டியோயிட் மூலம் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுவோம் .

3 அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

செயல்பாட்டை அளவுரு வடிவத்தில் வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம். நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் எஸ்= , புதிய மாறியின் மீதான ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை அதில் மாற்றுகிறது. . வழக்கமாக, ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடும்போது, ​​​​ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட அடையாளத்தைக் கொண்ட பகுதிகள் அடையாளம் காணப்பட்டு, ஒன்று அல்லது மற்றொரு அடையாளத்துடன் தொடர்புடைய பகுதி கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

உதாரணமாக. நீள்வட்டத்தால் சூழப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்.

நீள்வட்டத்தின் சமச்சீர்நிலையைப் பயன்படுத்தி, முதல் நாற்கரத்தில் அமைந்துள்ள நீள்வட்டத்தின் காலாண்டின் பகுதியைக் கணக்கிடுகிறோம். இந்த நாற்கரத்தில். அதனால் தான் .

உடல் தொகுதிகளின் கணக்கீடு.

1. இணையான பிரிவுகளின் பகுதிகளிலிருந்து உடல்களின் அளவைக் கணக்கிடுதல்.

இந்த உடலின் அறியப்பட்ட குறுக்குவெட்டுப் பகுதிகளிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட உடல் V இன் அளவைக் கணக்கிடுவது OX கோட்டின் எந்தப் புள்ளியின் x வழியாகவும் வரையப்பட்ட OX கோட்டிற்கு செங்குத்தாக விமானங்கள் மூலம் கணக்கிட வேண்டும்.

வேறுபாடுகளின் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். அடிப்படை பரப்பளவு மற்றும் உயரம் கொண்ட வலது வட்ட உருளையின் கன அளவாக பிரிவின் மேலே உள்ள அடிப்படை அளவைக் கருத்தில் கொண்டு, நாம் பெறுகிறோம் . நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை ஒருங்கிணைத்து பயன்படுத்தினால், நாங்கள் பெறுகிறோம்

2. சுழற்சி உடல்களின் தொகுதிகளின் கணக்கீடு.

கணக்கிடுவது அவசியமாக இருக்கட்டும் OX.

பிறகு .

அதேபோல், ஒரு அச்சைச் சுற்றியுள்ள புரட்சியின் உடலின் அளவுOY, செயல்பாடு படிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

செயல்பாடு படிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால் மற்றும் ஒரு அச்சைச் சுற்றி ஒரு சுழற்சியின் அளவை தீர்மானிக்க வேண்டும்OY, பின்னர் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை பின்வருமாறு பெறலாம்.

வித்தியாசத்தை கடந்து, இருபடி விதிமுறைகளை புறக்கணிக்கிறோம் . நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை ஒருங்கிணைத்து பயன்படுத்துகிறோம்.

உதாரணமாக. கோளத்தின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

உதாரணமாக. ஒரு மேற்பரப்பு மற்றும் ஒரு விமானத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வலது வட்டக் கூம்பின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

OXZ விமானத்தில் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் OZ அச்சில் சுழற்சியால் உருவாகும் சுழற்சியின் உடலின் கன அளவைக் கணக்கிடுவோம், அதன் கால்கள் OZ அச்சில் மற்றும் நேர் கோட்டில் z = H, மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் அமைந்துள்ளது. நேர் கோட்டில்.

z இன் அடிப்படையில் x ஐ வெளிப்படுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம் .

வில் நீளம் கணக்கீடு.

வளைவின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெற, வில் நீளத்தின் வேறுபாட்டிற்காக 1வது செமஸ்டரில் பெறப்பட்ட சூத்திரங்களை நினைவுபடுத்தவும்.

வில் என்பது தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் வரைபடமாக இருந்தால், வில் நீள வேறுபாட்டை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

. அதனால் தான்

ஒரு மென்மையான வளைவு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டால், அந்த

. அதனால் தான் .

வளைவு ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், அந்த

. அதனால் தான் .

உதாரணமாக. செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் வளைவின் நீளத்தைக் கணக்கிடவும், . .

ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் கல்வி மற்றும் அறிவியல் அமைச்சகம்

கூட்டாட்சி மாநில தன்னாட்சி கல்வி நிறுவனம்

உயர் தொழில்முறை கல்வி

"வடக்கு (ஆர்க்டிக்) கூட்டாட்சி பல்கலைக்கழகம்எம்.வி. லோமோனோசோவ்"

கணிதத் துறை

பாடப் பணி

கணிதத் துறையில்

பியாட்டிஷேவா அனஸ்தேசியா ஆண்ட்ரீவ்னா

மேற்பார்வையாளர்

கலை. ஆசிரியர்

போரோட்கினா டி. ஏ.

ஆர்க்காங்கெல்ஸ்க் 2014

பாடப் பணிக்கான ஒதுக்கீடு

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடுகள்

ஆரம்ப தரவு:

21. y=x 3, y=; 22.

அறிமுகம்

இந்த பாடத்திட்டத்தில், எனக்கு பின்வரும் பணிகள் வழங்கப்பட்டன: சார்புகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுவதற்கு, கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள், கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட, துருவ ஆயங்களில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள், வளைவுகளின் வளைவுகளின் நீளத்தைக் கணக்கிட, ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டது, அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டது, துருவ ஆயங்களில் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டது, மேலும் மேற்பரப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உடல்களின் அளவைக் கணக்கிடுகிறது, செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் சுழற்சியால் உருவாகிறது துருவ அச்சை சுற்றி. "நிச்சயமான ஒருங்கிணைப்பு" என்ற தலைப்பில் ஒரு பாடத்திட்டத்தை நான் தேர்ந்தெடுத்தேன். இது சம்பந்தமாக, ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடுகளை எவ்வளவு எளிதாகவும் விரைவாகவும் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் எனக்கு ஒதுக்கப்பட்ட பணிகளை எவ்வளவு துல்லியமாக கணக்கிட முடியும் என்பதைக் கண்டறிய முடிவு செய்தேன்.

ஒருங்கிணைந்த ஒன்று மிக முக்கியமான கருத்துக்கள்தேவை தொடர்பாக எழுந்த கணிதம், ஒருபுறம், அவற்றின் வழித்தோன்றல்களால் செயல்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்பது (எடுத்துக்காட்டாக, இந்த புள்ளியின் வேகத்தின் அடிப்படையில் நகரும் புள்ளியால் பயணிக்கும் பாதையை வெளிப்படுத்தும் செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பது) மற்றும் மறுபுறம் கை, பகுதிகள், தொகுதிகள், வளைவுகளின் நீளம் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு சக்திகளின் வேலை போன்றவற்றை அளவிடுவதற்கு.

தலைப்பு வெளிப்பாடு நிச்சயமாக வேலைநான் பின்வரும் திட்டத்தை செயல்படுத்தினேன்: ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வரையறை மற்றும் அதன் பண்புகள்; வளைவு வளைவு நீளம்; வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி; சுழற்சியின் பரப்பளவு.

எந்தச் செயல்பாட்டிற்கும் f(x), இடைவெளியில் தொடர்கிறது, இந்த இடைவெளியில் ஒரு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் உள்ளது, அதாவது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது.

F(x) செயல்பாடானது f(x) என்ற தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் ஏதேனும் எதிர்வழியாக இருந்தால், இந்த வெளிப்பாடு நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம் என அழைக்கப்படுகிறது:

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்:

ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகள் சமமாக இருந்தால் (a=b), பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

f(x)=1 எனில், பின்:

ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை மறுசீரமைக்கும்போது, ​​திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த மாற்றங்கள் எதிரெதிர்க்கு அடையாளம்:

நிலையான காரணியை திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:

செயல்பாடுகள் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை ஒருங்கிணைக்கத்தக்கது மற்றும் கூட்டுத்தொகையின் கூட்டுத்தொகை ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

மாறியின் மாற்றம் போன்ற அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு முறைகளும் உள்ளன:

வேறுபட்ட திருத்தம்:

பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு, ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீட்டை ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீட்டைக் குறைப்பதை சாத்தியமாக்குகிறது, இது எளிமையானதாக மாறும்:

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு தொடர்ச்சியான மற்றும் எதிர்மறை செயல்பாட்டிற்கு, அது தொடர்புடைய வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியை வடிவியல் அர்த்தத்தில் பிரதிபலிக்கிறது.

கூடுதலாக, ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, வளைவுகள், நேர் கோடுகள் மற்றும், எங்கு எல்லைகள் கொண்ட பகுதியின் பகுதியை நீங்கள் காணலாம்

x = a மற்றும் x = b ஆகிய அளவுருக் கோடுகள் மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சால் வரையறுக்கப்பட்ட வளைவால் ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டு வரையறுக்கப்பட்டால், அதன் பரப்பளவு சமத்துவத்தில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படும் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

. (12)

முக்கிய பகுதி, ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி காணப்படும் பகுதி, ஒரு வளைவுத் துறையாகும். இது இரண்டு கதிர்கள் மற்றும் ஒரு வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு பகுதி, இங்கு r மற்றும் துருவ ஆயத்தொகுப்புகள்:

வளைவு என்பது செயல்பாட்டின் வரைபடமாக இருந்தால், அதன் வழித்தோன்றல் இந்த பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், ஆக்ஸ் அச்சில் வளைவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் உருவத்தின் மேற்பரப்பை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

. (14)

ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், வளைவின் நீளம் இதற்கு சமமாக இருக்கும்:

வளைவு சமன்பாடு அளவுரு வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால்

x(t) மற்றும் y(t) ஆகியவை தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல்களுடன் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாகும், பின்னர் வளைவின் நீளம் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

வளைவானது துருவ ஆயங்களில் ஒரு சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டால், எங்கே மற்றும் பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், பின்னர் வளைவின் நீளத்தை பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்:

ஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு, தொடர்ச்சியான கோடு பிரிவு மற்றும் நேர்கோடுகளான x = a மற்றும் x = b ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்டால், ஆக்ஸ் அச்சைச் சுற்றி சுழலும் போது, ​​ஆக்ஸ் அச்சைச் சுற்றி இந்த ட்ரேப்சாய்டின் சுழற்சியால் உருவாகும் உடலின் அளவு சமமாக இருக்கும்:

ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடம் மற்றும் x = 0, y = c, y = d (c) வரிகளால் வரையறுக்கப்பட்டால்< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

உருவம் வளைவுகளால் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் மற்றும் (x = a, x = b என்ற நேர் கோடுகளை விட "அதிகமானது"), பின்னர் எருது அச்சைச் சுற்றியுள்ள சுழற்சியின் உடலின் அளவு சமமாக இருக்கும்:

மற்றும் ஓய் அச்சைச் சுற்றி (:

வளைவுத் துறையானது துருவ அச்சில் சுழற்றப்பட்டால், அதன் விளைவாக வரும் உடலின் பகுதியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

2. பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பது

சிக்கல் 14: செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுங்கள்:

1) தீர்வு:

படம் 1 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

X 0 இலிருந்து மாறுகிறது

x 1 = -1 மற்றும் x 2 = 2 ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் (இதை படம் 1 இல் காணலாம்).

3) சூத்திரம் (10) ஐப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுவோம்.

பதில்: எஸ் = .

சிக்கல் 15: சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுங்கள்:

1) தீர்வு:

படம் 2 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

படம் 3 - செயல்பாட்டிற்கான மாறிகளின் அட்டவணை

ஏனெனில், இந்த காலம் 1 வில் பொருந்தும். இந்த வளைவு ஒரு மையப் பகுதி (S 1) மற்றும் பக்க பாகங்களைக் கொண்டுள்ளது. மையப் பகுதி விரும்பிய பகுதி மற்றும் ஒரு செவ்வகம் (S r) ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. பரிதியின் ஒரு மையப் பகுதியின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவோம்.

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

மற்றும் y = 6, எனவே

இடைவெளிக்கு - ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள்.

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் (12).

வளைவு ஒருங்கிணைந்த ட்ரேப்சாய்டு

சிக்கல் 16: துருவ ஆயங்களில் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுங்கள்:

1) தீர்வு:

படம் 4 - செயல்பாட்டு வரைபடம்,

படம் 5 - மாறி செயல்பாடுகளின் அட்டவணை,

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

எனவே -

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் (13).

பதில்: எஸ் =.

பணி 17: ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட வளைவுகளின் வளைவுகளின் நீளத்தைக் கணக்கிடவும்:

1) தீர்வு:

படம் 6 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

படம் 7 - செயல்பாட்டு மாறி அட்டவணை

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

ln இலிருந்து ln க்கு மாறுகிறது, இது நிபந்தனையிலிருந்து தெளிவாகிறது.

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வளைவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் (15).

பதில்: எல் =

பணி 18: அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட வளைவுகளின் வளைவுகளின் நீளத்தைக் கணக்கிடவும்: 1)

1) தீர்வு:

படம் 8 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

படம் 11 - செயல்பாட்டு மாறி அட்டவணை

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

c மாறுபடும், இது நிபந்தனையிலிருந்து தெளிவாகிறது.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வில் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் (17).

பணி 20: மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடல்களின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்:

1) தீர்வு:

படம் 12 - செயல்பாட்டு வரைபடம்:

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

Z 0 முதல் 3 வரை மாறுபடும்.

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் அளவைக் கண்டறியவும் (18)

பணி 21: செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள், சுழற்சியின் அச்சு ஆகியவற்றால் வரையறுக்கப்பட்ட உடல்களின் தொகுதிகளைக் கணக்கிடுங்கள் Ox: 1)

1) தீர்வு:

படம் 13 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

படம் 15 - செயல்பாட்டு வரைபட அட்டவணை

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

புள்ளிகள் (0;0) மற்றும் (1;1) இரண்டு வரைபடங்களுக்கும் பொதுவானவை, எனவே இவை ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள், இது படத்தில் தெளிவாக உள்ளது.

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் அளவைக் கண்டறியவும் (20).

பணி 22: துருவ அச்சைச் சுற்றியுள்ள செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவங்களின் சுழற்சியால் உருவான உடல்களின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்:

1) தீர்வு:

படம் 16 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

படம் 17 - செயல்பாட்டு வரைபடத்திற்கான மாறிகளின் அட்டவணை

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

c மாறுபடும்

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் (22).

பதில்: 3.68

முடிவுரை

"நிச்சயமான ஒருங்கிணைப்பு" என்ற தலைப்பில் பாடநெறியை முடிக்கும் செயல்பாட்டில், வெவ்வேறு உடல்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடவும், பல்வேறு வளைவுகளின் நீளத்தைக் கண்டறியவும், தொகுதிகளைக் கணக்கிடவும் கற்றுக்கொண்டேன். ஒருங்கிணைப்புகளுடன் பணிபுரியும் இந்த யோசனை எனது எதிர்கால தொழில்முறை செயல்பாடுகளில், விரைவாகவும் திறமையாகவும் செயல்படுவதற்கு எனக்கு உதவும் பல்வேறு நடவடிக்கைகள். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒருங்கிணைப்பு என்பது கணிதத்தின் மிக முக்கியமான கருத்துக்களில் ஒன்றாகும், இது ஒருபுறம், அவற்றின் வழித்தோன்றல்களால் செயல்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான தேவையுடன் எழுந்தது (எடுத்துக்காட்டாக, நகரும் பாதையை வெளிப்படுத்தும் செயல்பாட்டைக் கண்டறிய. இந்த புள்ளியின் வேகத்தால் புள்ளி), மற்றும் மறுபுறம், பகுதிகள், தொகுதிகள், வளைவுகளின் நீளம், ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் சக்திகளின் வேலை போன்றவற்றை அளவிடுவதற்கு.

பயன்படுத்தப்பட்ட ஆதாரங்களின் பட்டியல்

1. எழுதப்பட்ட, டி.டி. உயர் கணிதம் பற்றிய விரிவுரை குறிப்புகள்: பகுதி 1 - 9வது பதிப்பு. - எம்.: ஐரிஸ்-பிரஸ், 2008. - 288 பக்.

2. புக்ரோவ், யா.எஸ்., நிகோல்ஸ்கி, எஸ்.எம். உயர் கணிதம். வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்: T.2 - M.: Bustard, 2004. - 512 p.

3. Zorich V. A. கணித பகுப்பாய்வு. பகுதி I. -- எட். 4வது - எம்.: MTsNMO, 2002. -664 பக்.

4. குஸ்னெட்சோவ் டி.ஏ. "உயர் கணிதத்தில் சிக்கல்களின் சேகரிப்பு" மாஸ்கோ, 1983

5. நிகோல்ஸ்கி S. N. "கூறுகள் கணித பகுப்பாய்வு" - எம்.: நௌகா, 1981.

இதே போன்ற ஆவணங்கள்

விமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் கணக்கீடு. ஒரு செயல்பாட்டின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிதல். ஒரு வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதியை தீர்மானித்தல், வளைவுகளுக்கு இடையில் ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு. சுழற்சி உடல்களின் தொகுதிகளின் கணக்கீடு. ஒரு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகையின் வரம்பு. ஒரு சிலிண்டரின் அளவை தீர்மானித்தல்.

விளக்கக்காட்சி, 09/18/2013 சேர்க்கப்பட்டது


இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருளைப் பயன்படுத்தி மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடல்களின் அளவைக் கணக்கிடும் அம்சங்கள். ஒரு கால்குலஸ் பாடத்திட்டத்தில் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட விமான உருவங்களின் பகுதிகளைத் தீர்மானித்தல்.

விளக்கக்காட்சி, 09/17/2013 சேர்க்கப்பட்டது


மாறி மேல் வரம்பைப் பொறுத்து ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல். நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகையின் வரம்பாக திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுதல், மாறியின் மாற்றம் மற்றும் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைத்தல். துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஆர்க் நீளம்.

சோதனை, 08/22/2009 சேர்க்கப்பட்டது


விமான வளைவுகளின் வெகுஜனத்தின் தருணங்கள் மற்றும் மையங்கள். குல்டனின் தேற்றம். வளைவின் வளைவின் ஒரு வளைவின் சுழற்சியால் உருவாகும் மேற்பரப்பின் பரப்பளவு, வளைவின் விமானத்தில் கிடக்கும் மற்றும் அதை வெட்டாமல் ஒரு அச்சைச் சுற்றி வளைவின் நீளம் மற்றும் வட்டத்தின் நீளத்தின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

விரிவுரை, 09/04/2003 சேர்க்கப்பட்டது


அளவுருக்களைக் கண்டறிவதற்கான முறை மற்றும் முக்கிய நிலைகள்: ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டு மற்றும் துறையின் பரப்பளவு, வளைவின் வளைவின் நீளம், உடல்களின் அளவு, புரட்சியின் உடல்களின் மேற்பரப்பு, மாறி விசையின் வேலை. MathCAD தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறை மற்றும் வழிமுறை.

சோதனை, 11/21/2010 சேர்க்கப்பட்டது


ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் இருப்புக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை. இரண்டு செயல்பாடுகளின் இயற்கணிதத் தொகையின் (வேறுபாடு) ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் சமத்துவம். சராசரி மதிப்பு தேற்றம் - இணை மற்றும் ஆதாரம். ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.

விளக்கக்காட்சி, 09/18/2013 சேர்க்கப்பட்டது


பணி எண் ஒருங்கிணைப்புசெயல்பாடுகள். ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடுதல். செவ்வகங்கள், நடுத்தர செவ்வகங்கள் மற்றும் ட்ரேப்சாய்டுகளின் முறைகளைப் பயன்படுத்தி திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிதல். சூத்திரங்களின் பிழை மற்றும் துல்லியத்தின் அடிப்படையில் முறைகளின் ஒப்பீடு.

பயிற்சி கையேடு, 07/01/2009 சேர்க்கப்பட்டது


ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான முறைகள். சூத்திரங்கள் மற்றும் சரிபார்ப்பு காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு. வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி. காலவரையற்ற, திட்டவட்டமான மற்றும் சிக்கலான ஒருங்கிணைந்த. ஒருங்கிணைப்புகளின் அடிப்படை பயன்பாடுகள். திட்டவட்டமான மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் வடிவியல் பொருள்.

விளக்கக்காட்சி, 01/15/2014 சேர்க்கப்பட்டது


இரட்டை ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல். இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு, துருவ ஆயங்களுக்கு நகரும். கொடுக்கப்பட்ட கோடு மற்றும் திசையன் புல ஓட்டத்துடன் இரண்டாவது வகையின் வளைவு ஒருங்கிணைப்பை தீர்மானிக்கும் முறை.

சோதனை, 12/14/2012 சேர்க்கப்பட்டது


ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கருத்து, பகுதியின் கணக்கீடு, ஒரு உடல் மற்றும் வில் நீளத்தின் அளவு, நிலையான தருணம் மற்றும் வளைவின் ஈர்ப்பு மையம். ஒரு செவ்வக வளைந்த பகுதியின் விஷயத்தில் பகுதியின் கணக்கீடு. வளைவு, மேற்பரப்பு மற்றும் மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் பயன்பாடு.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு (DI) கணிதம் மற்றும் இயற்பியலின் நடைமுறை பயன்பாடுகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

குறிப்பாக, வடிவவியலில், OR களைப் பயன்படுத்தி பகுதிகள் காணப்படுகின்றன எளிய புள்ளிவிவரங்கள்மற்றும் சிக்கலான மேற்பரப்புகள், புரட்சியின் உடல்கள் மற்றும் தன்னிச்சையான வடிவத்தின் உடல்கள், ஒரு விமானம் மற்றும் விண்வெளியில் வளைவுகளின் நீளம்.

இயற்பியல் மற்றும் கோட்பாட்டு இயக்கவியலில், ROI கள் நிலையான தருணங்கள், நிறை மற்றும் பொருள் வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகளின் வெகுஜன மையங்களைக் கணக்கிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஒரு வளைவு பாதையில் ஒரு மாறி விசையின் வேலையைக் கணக்கிட, முதலியன.

ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பகுதி

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள சில விமான உருவம் $xOy$ வளைவு $y=y_(1) \left(x\right)$, கீழே இருந்து $y=y_(2) \இடது (x\வலது)$ , மற்றும் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் செங்குத்து நேர்கோடுகள் முறையே $x=a$ மற்றும் $x=b$. பொது வழக்கில், அத்தகைய உருவத்தின் பரப்பளவு RO $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2 ஐப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ) \left(x\right )\right)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஆய அமைப்பில் சில தட்டையான உருவம் $xOy$ வலதுபுறத்தில் $x=x_(1) \left(y\right)$, இடதுபுறம் $x=x_(2) \இடது(y\வலது) $, மற்றும் கீழும் மேலேயும் கிடைமட்ட நேர்கோடுகள் முறையே $y=c$ மற்றும் $y=d$, பிறகு அத்தகைய உருவத்தின் பரப்பளவு ROI $S=\int ஐப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. \ வரம்புகள் _(c)^(d)\left(x_(1 ) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கருதப்படும் ஒரு தட்டையான உருவம் (வளைவுத் துறை), ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் உருவாக்கப்படட்டும் $\rho =\rho \left(\phi \right)$, அதே போல் கோணங்களில் செல்லும் இரண்டு கதிர்கள் $ \phi =\alpha $ மற்றும் $\phi =\beta $ முறையே. அத்தகைய வளைவுத் துறையின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $.

வளைவு வளைவு நீளம்

பிரிவில் $\இடது[\alpha ,\; \beta \right]$ வளைவானது துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் $\rho =\rho \left(\phi \right)$ சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்படுகிறது, பின்னர் அதன் வளைவின் நீளம் அல்லது $L=\int ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. \ வரம்புகள் _(\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\ ஃபை $.

ஒரு பிரிவில் $\left$ ஒரு வளைவு $y=y\left(x\right)$ சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் வளைவின் நீளம் ROI $L=\int \limits _(a) ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும். ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

பிரிவில் $\இடது[\alpha ,\; \beta \right]$ வளைவு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, அதாவது $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, அதன் வளைவின் நீளம் இதைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது ROI $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

இணையான பிரிவுகளின் பகுதிகளிலிருந்து உடலின் அளவைக் கணக்கிடுதல்

$a\le x\le b$ நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் குறுக்குவெட்டு பகுதிகள் $S\left(x\right)$ செங்குத்தாக விமானங்கள் மூலம் ஒரு இடஞ்சார்ந்த உடலின் அளவைக் கண்டறிவது அவசியமாக இருக்கட்டும். $Ox$ அச்சு அறியப்படுகிறது.

அத்தகைய உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

சுழற்சியின் உடலின் அளவு

ஒரு அல்லாத எதிர்மறை இருக்கட்டும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு$y=y\left(x\right)$, வளைந்த ட்ரெப்சாய்டை (CrT) உருவாக்குகிறது. நீங்கள் இந்த KrT ஐ $Ox$ அச்சில் சுழற்றினால், புரட்சியின் உடல் என்று அழைக்கப்படும் உடல் உருவாகிறது.

புரட்சியின் உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவது அதன் இணையான பிரிவுகளின் அறியப்பட்ட பகுதிகளிலிருந்து உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு ஆகும். தொடர்புடைய சூத்திரம் $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \இடது(x\வலது)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள சில விமான உருவம் $xOy$ வளைவு $y=y_(1) \left(x\right)$, கீழே இருந்து $y=y_(2) \இடது (x\right)$ , இதில் $y_(1) \left(x\right)$ மற்றும் $y_(2) \left(x\right)$ ஆகியவை எதிர்மறையான தொடர் செயல்பாடுகள், மற்றும் இடது மற்றும் வலது செங்குத்தாக இருக்கும் நேர்கோடுகள் முறையே $x=a$ மற்றும் $x= b$. $Ox$ அச்சைச் சுற்றி இந்த உருவத்தின் சுழற்சியால் உருவான உடலின் அளவு RO $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1)^ ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. (2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சில தட்டையான உருவம் $xOy$ வலதுபுறத்தில் $x=x_(1) \left(y\right)$, இடதுபுறம் $x=x_(2) \left(y\right)$ , இங்கு $x_(1) \left(y\right)$ மற்றும் $x_(2) \left(y\right)$ ஆகியவை எதிர்மறை அல்லாத தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள், மேலும் கீழும் மேலேயும் கிடைமட்டமாக இருக்கும் நேர்கோடுகள் $y=c$ மற்றும் $y= d$ அதன்படி. $Oy$ அச்சில் இந்த உருவத்தின் சுழற்சியால் உருவான உடலின் கன அளவு RO $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1)^ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. (2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

சுழற்சி உடலின் மேற்பரப்பு பகுதி

$y=y\left(x\right)$ என்ற பிரிவில் $y=y\left(x\right)$ ஒரு தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலான $y"\left(x\right)$ உடன் கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும். இந்த செயல்பாடு CRTயை உருவாக்குகிறது. $Ox அச்சில் $ சுற்றி இந்த CRT சுழற்ற, பின்னர் அது தன்னை ஒரு புரட்சியை உருவாக்குகிறது, மற்றும் வில் KrT அதன் மேற்பரப்பு போன்ற ஒரு புரட்சியின் மேற்பரப்பு $Q=2\cdot மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது \pi \cdot \int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

$x=\phi \left(y\right)$ வளைவு, $\phi \left(y\right)$ என்பது $c\le y\le d பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்மறை சார்பு அல்ல என்று வைத்துக்கொள்வோம். $, $Oy$ அச்சில் சுழற்றப்பட்டது. இந்த வழக்கில், உருவான புரட்சியின் பரப்பளவு RO $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

ROI இன் இயற்பியல் பயன்பாடுகள்

1. $t=t_(0)$ நேரத்தில் நகரத் தொடங்கிய பொருள் புள்ளியின் $v=v\left(t\right)$ என்ற மாறி வேகத்துடன் $t=T$ நேரத்தில் பயணித்த தூரத்தைக் கணக்கிட, பயன்படுத்தவும் ROI $S =\int \ வரம்புகள் _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
2. $F=F\left(x\right)$ பயன்படுத்தப்படும் மாறி விசையின் வேலையை கணக்கிட பொருள் புள்ளி$x=a$ புள்ளியில் இருந்து $x=b$ புள்ளிக்கு $Ox$ அச்சில் நேரான பாதையில் நகரும் (விசையின் திசையானது இயக்கத்தின் திசையுடன் ஒத்துப்போகிறது) OP $A=\int \ வரம்புகளைப் பயன்படுத்தவும் _(a)^(b) F\left(x\right)\cdot dx $.
3. $\left$ இடைவெளியில் $y=y\left(x\right)$ வளைவின் ஆய அச்சுகள் பற்றிய நிலையான தருணங்கள் $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _( a)^(b)y \left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ மற்றும் $M_(y) =\rho \cdot \int \ வரம்புகள் _(a )^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, இந்த வளைவின் நேரியல் அடர்த்தி $\rho $ நிலையானதாக கருதப்படுகிறது.
4. ஒரு பொருள் வளைவின் வெகுஜன மையம் என்பது அதன் அனைத்து நிறைகளும் நிபந்தனையுடன் குவிந்திருக்கும் புள்ளியாகும், இதனால் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளியின் நிலையான தருணங்கள் முழு வளைவின் நிலையான தருணங்களுக்கு சமமாக இருக்கும்.

ஒரு விமான வளைவின் வெகுஜன மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^( 2) \இடது(x\ வலது)) \cdot dx )(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ மற்றும் $y_(C) =\frac(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right )) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

5. பொருளின் நிலையான தருணங்கள் தட்டையான உருவம்ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய KpT வடிவத்தில் $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\ right)\cdot dx $ மற்றும் $M_(y) =\rho \cdot \int \ வரம்புகள் _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
6. $\இடது$ இடைவெளியில் $y=y\left(x\right)$ வளைவால் உருவாக்கப்பட்ட KrT வடிவில் உள்ள ஒரு பொருள் தட்டையான உருவத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொகுப்புகள் $x_(சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன. C) =\frac(\int \ வரம்புகள் _(a )^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot dx ) $ மற்றும் $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \வரம்புகள் _(a)^(b)y^(2) \left(x \right)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $.

விரிவுரை 18. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடுகள்.

18.1. விமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் கணக்கீடு.

ஒரு பிரிவில் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் குறிக்கிறது என்பது அறியப்படுகிறது. வரைபடம் ஆக்ஸ் அச்சுக்குக் கீழே அமைந்திருந்தால், அதாவது. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, பின்னர் பகுதியில் "+" அடையாளம் உள்ளது.

மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறிய, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

இந்த கோடுகளின் சமன்பாடுகள் தெரிந்தால், சில கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவை சில ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி காணலாம்.

உதாரணமாக. y = x, y = x2, x = 2 என்ற கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

தேவையான பகுதியை (படத்தில் நிழலாடியது) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

18.2. வளைந்த துறையின் பகுதியைக் கண்டறிதல்.

ஒரு வளைவுத் துறையின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, நாங்கள் ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள துறையை கட்டுப்படுத்தும் வளைவின் சமன்பாடு  = f() வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இங்கு  என்பது வளைவில் தன்னிச்சையான புள்ளியுடன் துருவத்தை இணைக்கும் ஆரம் வெக்டரின் நீளம், மேலும்  என்பது சாய்வின் கோணம். இந்த ஆரம் திசையன் துருவ அச்சுக்கு.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வளைவுத் துறையின் பகுதியைக் காணலாம்

18.3. ஒரு வளைவின் வில் நீளத்தை கணக்கிடுதல்.

y y = f(x)

S i y i

வளைவுடன் தொடர்புடைய உடைந்த கோட்டின் நீளம் என காணலாம்
.

பின்னர் வில் நீளம்
.

வடிவியல் கருத்தில் இருந்து:

அதே நேரத்தில்

பின்னர் அதைக் காட்டலாம்

அந்த.

வளைவின் சமன்பாடு அளவுருவாக கொடுக்கப்பட்டால், அளவுருவாக கொடுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

,

இதில் x = (t) மற்றும் y = (t).

அமைத்தால் இடஞ்சார்ந்த வளைவு, மற்றும் x = (t), y = (t) மற்றும் z = Z(t), பின்னர்

வளைவு கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் துருவ ஆயத்தொலைவுகள், அந்த

,  = f().

உதாரணமாக: x 2 + y 2 = r 2 சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கண்டறியவும்.

1 வழி.சமன்பாட்டிலிருந்து y மாறியை வெளிப்படுத்துவோம்.

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்

பின்னர் S = 2r. ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கான நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பெற்றோம்.

முறை 2.துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை முன்வைத்தால், நாம் பெறுவோம்: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, i.e. செயல்பாடு  = f() = r,
பிறகு

18.4. உடல் தொகுதிகளின் கணக்கீடு.

அதன் இணையான பிரிவுகளின் அறியப்பட்ட பகுதிகளிலிருந்து உடலின் அளவைக் கணக்கிடுதல்.

வால்யூம் V இன் உடல் இருக்கட்டும். Q உடலின் எந்த குறுக்குவெட்டின் பகுதியும் Q = Q(x) என அழைக்கப்படுகிறது. பிரிவின் பிரிவின் x i புள்ளிகள் வழியாக குறுக்குவெட்டுகளால் உடலை "அடுக்குகளாக" பிரிப்போம் . ஏனெனில் பகிர்வின் எந்த இடைநிலைப் பிரிவிலும் Q(x) செயல்பாடு தொடர்கிறது, பிறகு அது மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்பு. அவற்றை முறையே M i மற்றும் m i என்று குறிப்போம்.

இந்த மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய பிரிவுகளில் x அச்சுக்கு இணையான ஜெனரேட்ரைஸ்கள் கொண்ட சிலிண்டர்களை உருவாக்கினால், இந்த சிலிண்டர்களின் தொகுதிகள் முறையே M i x i மற்றும் m i x i இங்கே x i = x i - x i -1 க்கு சமமாக இருக்கும்.

பகிர்வின் அனைத்து பிரிவுகளுக்கும் இதுபோன்ற கட்டுமானங்களைச் செய்த பின்னர், முறையே தொகுதிகள் சமமாக இருக்கும் சிலிண்டர்களைப் பெறுகிறோம்.
மற்றும்
.

பகிர்வு படி  பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், இந்த தொகைகளுக்கு பொதுவான வரம்பு உள்ளது:

எனவே, உடலின் அளவை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

இந்த சூத்திரத்தின் தீமை என்னவென்றால், அளவைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் Q(x) செயல்பாட்டை அறிந்து கொள்ள வேண்டும், இது சிக்கலான உடல்களுக்கு மிகவும் சிக்கலானது.

உதாரணமாக: R ஆரம் கொண்ட கோளத்தின் அளவைக் கண்டறியவும்.

IN குறுக்கு பிரிவுகள்பந்து y மாறி ஆரம் கொண்ட வட்டங்களை உருவாக்குகிறது. தற்போதைய x ஒருங்கிணைப்பைப் பொறுத்து, இந்த ஆரம் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது
.

பின்னர் குறுக்குவெட்டு பகுதி செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது: Q(x) = .

பந்தின் அளவைப் பெறுகிறோம்:

உதாரணமாக:உயரம் H மற்றும் அடிப்படை பகுதி S உடன் தன்னிச்சையான பிரமிட்டின் கன அளவைக் கண்டறியவும்.

பிரமிடு உயரத்திற்கு செங்குத்தாக விமானங்களால் வெட்டப்பட்டால், குறுக்குவெட்டில் அடித்தளத்திற்கு ஒத்த புள்ளிவிவரங்களைப் பெறுகிறோம். இந்த உருவங்களின் ஒற்றுமை குணகம் x/H விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும், இங்கு x என்பது பிரிவு விமானத்திலிருந்து பிரமிட்டின் மேல் உள்ள தூரம்.

ஒத்த உருவங்களின் பகுதிகளின் விகிதம் ஒற்றுமை குணகம் சதுரத்திற்கு சமம் என்று வடிவவியலில் இருந்து அறியப்படுகிறது, அதாவது.

இங்கிருந்து நாம் குறுக்கு வெட்டு பகுதிகளின் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறிதல்:

18.5 சுழற்சி உடல்களின் அளவு.

வளைவைக் கவனியுங்கள் சமன்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது y = f(x). இடைவெளியில் f(x) சார்பு தொடர்ச்சியாக இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். a மற்றும் b தளங்களைக் கொண்ட தொடர்புடைய வளைவு ட்ரேப்சாய்டு ஆக்ஸ் அச்சில் சுழற்றப்பட்டால், நாம் அழைக்கப்படுவதைப் பெறுகிறோம் புரட்சியின் உடல்.

ஏனெனில் விமானம் x = const மூலம் உடலின் ஒவ்வொரு பகுதியும் ஆரத்தின் ஒரு வட்டமாகும், பின்னர் மேலே பெறப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சுழற்சியின் அளவை எளிதாகக் கண்டறியலாம்:

18.6. புரட்சியின் உடலின் மேற்பரப்பு பகுதி.

எம் ஐ பி

வரையறை: சுழற்சியின் மேற்பரப்பு பகுதிகொடுக்கப்பட்ட அச்சைச் சுற்றியுள்ள வளைவு AB என்பது வளைவு AB இல் பொறிக்கப்பட்ட உடைந்த கோடுகளின் சுழற்சியின் பரப்புகளின் பரப்பளவு, இந்த உடைந்த கோடுகளின் இணைப்புகளின் நீளங்களில் மிகப்பெரியது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது முனைகிறது.

ஆர்க் AB ஐ n பகுதிகளாக M 0, M 1, M 2, ..., M n புள்ளிகளுடன் பிரிப்போம். இதன் விளைவாக உடைந்த கோட்டின் முனைகளின் ஆய ஆயத்தொலைவுகள் x i மற்றும் y i . அச்சில் உடைந்த கோட்டைச் சுழற்றும்போது, ​​துண்டிக்கப்பட்ட கூம்புகளின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்புகளைக் கொண்ட ஒரு மேற்பரப்பைப் பெறுகிறோம், அதன் பரப்பளவு P i க்கு சமம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்தப் பகுதியைக் கண்டறியலாம்:

இங்கே S i என்பது ஒவ்வொரு நாண்களின் நீளம்.

நாங்கள் லாக்ரேஞ்ச் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (பார்க்க. லக்ரேஞ்ச் தேற்றம்) அணுகுமுறைக்கு
.

விரிவுரை 21 ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடுகள் (2 மணிநேரம்)

வடிவியல் பயன்பாடுகள்

A) உருவத்தின் பரப்பளவு

விரிவுரை 19 இல் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, வளைவினால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவிற்கு எண்ணியல் சமமாக உள்ளது. மணிக்கு = f(எக்ஸ்), நேராக எக்ஸ் = ஏ, எக்ஸ் = பிமற்றும் பிரிவு [ அ, பி] OX அச்சு. மேலும், என்றால் f(எக்ஸ்) £ 0 இல் [ அ, பி], பின்னர் ஒரு மைனஸ் அடையாளத்துடன் ஒருங்கிணைப்பு எடுக்கப்பட வேண்டும்.

அன்று என்றால் கொடுக்கப்பட்ட பிரிவுசெயல்பாடு மணிக்கு = f(எக்ஸ்) அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, பின்னர் இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கும் OX அச்சுக்கும் இடையில் இணைக்கப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிட, நீங்கள் பிரிவை பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும், ஒவ்வொன்றிலும் செயல்பாடு அதன் அடையாளத்தைத் தக்கவைத்து, அதன் பகுதியைக் கண்டறியவும். உருவத்தின் ஒவ்வொரு பகுதியும். இந்த வழக்கில் தேவையான பகுதி இயற்கணிதத் தொகைஇந்த பிரிவுகளின் மீதான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்புகள் எதிர்மறை மதிப்புகள்செயல்பாடுகள் இந்த தொகையில் கழித்தல் குறியுடன் எடுக்கப்படுகின்றன.

ஒரு உருவம் இரண்டு வளைவுகளால் கட்டப்பட்டிருந்தால் மணிக்கு = f 1 (எக்ஸ்) மற்றும் மணிக்கு = f 2 (எக்ஸ்), f 1 (எக்ஸ்)£ f 2 (எக்ஸ்), பின்னர், படம் 9 இலிருந்து பின்வருமாறு, அதன் பரப்பளவு வளைவு ட்ரேப்சாய்டுகளின் பகுதிகளில் உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமம் ஏசூரியன் பிமற்றும் ஏகி.பி பி, அவை ஒவ்வொன்றும் எண்ணியல் ரீதியில் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம். பொருள்

படம் 10a இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க: S = (நிரூபியுங்கள்!). படம் 10b இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்று சிந்தியுங்கள்?

நாங்கள் OX அச்சுக்கு அருகிலுள்ள வளைவு ட்ரேப்சாய்டுகளைப் பற்றி மட்டுமே பேசிக் கொண்டிருந்தோம். ஆனால் இதேபோன்ற சூத்திரங்கள் OU அச்சுக்கு அருகில் உள்ள புள்ளிவிவரங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, படம் 11 இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது

வரியை விடுங்கள் ஒய்=f(எக்ஸ்), ஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டைக் கட்டுப்படுத்துவது, அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்படலாம், டிО , மற்றும் j(a)= ஏ, j(b) = பி, அதாவது மணிக்கு= பின்னர் இந்த வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும்

.

b) வளைவு வளைவு நீளம்

வளைவு கொடுக்கப்படட்டும் மணிக்கு = f(எக்ஸ்) மாற்றத்துடன் தொடர்புடைய இந்த வளைவின் வளைவைக் கருத்தில் கொள்வோம் எக்ஸ்பிரிவில் [ அ, பி]. இந்த வளைவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, வளைவு AB ஐப் பிரிக்கிறோம் பிபகுதிகள் A = M 0, M 1, M 2, ..., M பி= B (படம் 14), புள்ளிகளுடன் தொடர்புடையது எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., x n Î [ அ, பி].

D ஐக் குறிப்போம் l iவில் நீளம், பின்னர் எல்= வில் நீளம் என்றால் D l iபோதுமான அளவு சிறியவை, பின்னர் அவை தோராயமாக கருதப்படலாம் சம நீளம்புள்ளிகளை இணைக்கும் தொடர்புடைய பிரிவுகள் எம் நான்-1, எம் நான். இந்த புள்ளிகள் எம் நான் -1 (x i -1, f (x i-1)), எம் நான்(x i, f(x i)). பின்னர் பிரிவுகளின் நீளம் முறையே சமமாக இருக்கும்

Lagrange இன் சூத்திரம் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது. போடுவோம் x i – x i-1 =D x i, நாம் பெறுகிறோம்

பிறகு எல் = , எங்கே

எல் = .

இதனால், வளைவின் வில் நீளம் மணிக்கு = f(எக்ஸ்), மாற்றத்துடன் தொடர்புடையது எக்ஸ்பிரிவில் [ அ, பி], சூத்திரத்தால் கண்டறியப்பட்டது

எல் = , (1)

வளைவு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டால், டிஓ, அதாவது. ஒய்(டி) = f(எக்ஸ்(டி)), பின்னர் சூத்திரம் (1) இலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்:

எல்=
.

இதன் பொருள் ஒரு வளைவு அளவுருவாக கொடுக்கப்பட்டால், இந்த வளைவின் வளைவின் நீளம் மாற்றத்துடன் தொடர்புடையது. டிஓ, சூத்திரத்தால் கண்டறியப்பட்டது

V) சுழற்சியின் உடலின் அளவு.

இதேபோல், செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட OU அச்சில் ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தை நாம் பெறலாம். எக்ஸ்= ஜே( மணிக்கு), நேராக ஒய் = c , ஒய் = ஈமற்றும் பிரிவு [ c,ஈ] op-amp இன் அச்சு (படம் 15):

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் இயற்பியல் பயன்பாடுகள்

விரிவுரை 19 இல், இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், ஒருங்கிணைப்பானது ஒரு நேர்கோட்டு மெல்லிய ஒத்திசைவற்ற நீளமுள்ள கம்பியின் நிறைக்கு சமம் என்பதை நிரூபித்தோம். எல்= பி – அ, மாறி கொண்டு நேரியல் அடர்த்திஆர் = f(எக்ஸ்), f(எக்ஸ்) ³ 0, எங்கே எக்ஸ்- தடியின் புள்ளியிலிருந்து அதன் இடது முனை வரையிலான தூரம்.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பிற இயற்பியல் பயன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பிரச்சனை 1. உயரம் H மற்றும் அடிப்படை ஆரம் R கொண்ட செங்குத்து உருளை தொட்டியில் இருந்து எண்ணெய் பம்ப் செய்ய தேவையான வேலையைக் கண்டறியவும். எண்ணெயின் அடர்த்தி r ஆகும்.

தீர்வு.கட்டுவோம் கணித மாதிரிஇந்த பணியின். OX அச்சு உயரம் H மற்றும் R ஆரம் கொண்ட சிலிண்டரின் சமச்சீர் அச்சில் செல்லட்டும், தோற்றம் சிலிண்டரின் மேல் தளத்தின் மையத்தில் உள்ளது (படம் 17). சிலிண்டரைப் பிரிப்போம் பிசிறிய கிடைமட்ட பாகங்கள். அப்புறம் எங்கே ஏ ஐ- உந்தி வேலை நான்வது அடுக்கு. சிலிண்டரின் இந்த பிரிவு அடுக்கு உயரத்தில் உள்ள மாற்றத்தின் பிரிவின் பிரிவுக்கு ஒத்திருக்கிறது பிபாகங்கள். தொலைவில் அமைந்துள்ள இந்த அடுக்குகளில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம் x iமேற்பரப்பில் இருந்து, அகலம் D எக்ஸ்(அல்லது உடனடியாக dx) இந்த அடுக்கை வெளியேற்றுவது அடுக்கை உயரத்திற்கு "உயர்த்துவது" என்று கருதலாம் x i.

இந்த அடுக்கை வெளியேற்றுவதற்கான வேலை சமமாக இருக்கும்

ஏ ஐ"ஆர் i x i, ,

அங்கு பி நான்=ஆர்ஜிவி நான்= rgpR 2 dx, ஆர் நான்- எடை, வி நான்- அடுக்கின் அளவு. பிறகு ஏ ஐ"ஆர் i x i= rgpR 2 dx.x i, எங்கே

, எனவே .

பிரச்சனை 2. மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கண்டறியவும்

a) அதன் சமச்சீர் அச்சின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய வெற்று மெல்லிய சுவர் உருளை;

b) அதன் சமச்சீர் அச்சின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய திட உருளை;

c) நீளமுள்ள ஒரு மெல்லிய கம்பி எல்அதன் நடுப்பகுதி வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடையது;

ஈ) மெல்லிய கம்பி நீளம் எல்அதன் இடது முனை வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடையது.

தீர்வு.அறியப்பட்டபடி, அச்சுடன் தொடர்புடைய ஒரு புள்ளியின் நிலைமத்தின் தருணம் சமம் ஜே=திரு 2, மற்றும் புள்ளிகளின் அமைப்புகள்.

அ) சிலிண்டர் மெல்லிய சுவர் கொண்டது, அதாவது சுவர்களின் தடிமன் புறக்கணிக்கப்படலாம். உருளையின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் R ஆகவும், அதன் உயரம் H ஆகவும், சுவர்களில் நிறை அடர்த்தி r ஆகவும் இருக்கட்டும்.

சிலிண்டரைப் பிரிப்போம் பிபாகங்கள் மற்றும் எங்கே கண்டுபிடிக்க ஜே ஐ- சடத்துவ திருப்பு திறன் நான்பகிர்வின் உறுப்பு.

கருத்தில் கொள்வோம் நான்பகிர்வின் வது உறுப்பு (எல்லையற்ற சிலிண்டர்). அதன் அனைத்து புள்ளிகளும் அச்சில் இருந்து R தொலைவில் உள்ளன எல். இந்த உருளையின் நிறை இருக்கட்டும் டி ஐ, பிறகு டி ஐ= ஆர்.வி நான்» ஆர்.எஸ் பக்கம்= 2prR dx i, எங்கே x iஓ. பிறகு ஜே ஐ» R 2 prR dx i, எங்கே

.

r ஒரு மாறிலி என்றால், பின்னர் ஜே= 2prR 3 N, மற்றும் சிலிண்டரின் நிறை M = 2prRНக்கு சமமாக இருப்பதால் ஜே=எம்ஆர் 2.

b) சிலிண்டர் திடமாக இருந்தால் (நிரப்பப்பட்டது), பின்னர் நாம் அதை பிரிக்கிறோம் பி vloமெல்லிய சிலிண்டர்கள் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன. என்றால் பிபெரியது, இந்த சிலிண்டர்கள் ஒவ்வொன்றும் மெல்லிய சுவர்களாகக் கருதப்படலாம். இந்த பகிர்வு பிரிவின் பிரிவிற்கு ஒத்திருக்கிறது பிபுள்ளிகள் R நான். வெகுஜனத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் நான்மெல்லிய சுவர் சிலிண்டர்: டி ஐ= ஆர்.வி நான், எங்கே

வி நான்= pR நான் 2 எச் - பிஆர் நான்- 1 2 H = pH(R நான் 2 -ஆர் நான் -1 2) =

PH(R நான்–ஆர் நான்-1)(ஆர் நான்+ஆர் நான் -1).

சிலிண்டர் சுவர்கள் மெல்லியதாக இருப்பதால், R என்று நாம் கருதலாம் நான்+ஆர் நான்-1 » 2ஆர் நான், மற்றும் ஆர் நான்–ஆர் நான்-1 = DR நான், பின்னர் வி நான்» pH2R நான்டி.ஆர். நான், எங்கே டி ஐ» rpН×2R நான்டி.ஆர். நான்,

பின்னர் இறுதியாக

c) நீளமுள்ள ஒரு கம்பியைக் கவனியுங்கள் எல், அதன் நிறை அடர்த்தி r க்கு சமம். சுழற்சியின் அச்சு அதன் நடுவில் செல்லட்டும்.

நாங்கள் தடியை OX அச்சின் ஒரு பிரிவாக வடிவமைக்கிறோம், பின்னர் தடியின் சுழற்சியின் அச்சு OU அச்சாகும். ஒரு அடிப்படைப் பிரிவைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதன் நிறை, அச்சுக்கான தூரம் தோராயமாக சமமாக கருதப்படலாம் ஆர் ஐ= x i. இந்த பிரிவின் நிலைமத்தின் தருணம் சமமாக இருக்கும், முழு தடியின் நிலைமத்தின் தருணம் . தடியின் நிறை சமமாக இருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, பிறகு

ஈ) இப்போது சுழற்சியின் அச்சு தடியின் இடது முனை வழியாக செல்லட்டும், அதாவது. தடியின் மாதிரியானது OX அச்சின் ஒரு பிரிவாகும். பின்னர் இதேபோல், ஆர் ஐ= x i, , எங்கே , மற்றும் முதல் , பின்னர் .

பணி 3.கால்கள் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில் அடர்த்தி r கொண்ட திரவத்தின் அழுத்தத்தின் விசையைக் கண்டறியவும் ஏமற்றும் பி, செங்குத்தாக திரவத்தில் மூழ்கி அதனால் கால் ஏதிரவத்தின் மேற்பரப்பில் அமைந்துள்ளது.

தீர்வு.

பிரச்சனையின் மாதிரியை உருவாக்குவோம். மேலே விடுங்கள் வலது கோணம்முக்கோணம் தோற்றத்தில் உள்ளது, கால் ஏ OU அச்சின் ஒரு பகுதியுடன் ஒத்துப்போகிறது (OU அச்சு திரவத்தின் மேற்பரப்பை தீர்மானிக்கிறது), OX அச்சு கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது, கால் பிஇந்த அச்சின் ஒரு பகுதியுடன் ஒத்துப்போகிறது. இந்த முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் சமன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது .

பகுதியின் கிடைமட்டப் பகுதியில் இருந்தால் அது அறியப்படுகிறது எஸ், r அடர்த்தி கொண்ட திரவத்தில் மூழ்கி, உயரம் கொண்ட திரவ நெடுவரிசையால் அழுத்தப்படுகிறது ம, பின்னர் அழுத்த விசை சமம் (பாஸ்கலின் சட்டம்). இந்த சட்டத்தை பயன்படுத்துவோம்.