திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடுகள் சுருக்கமாக. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் இயற்பியல் பயன்பாடுகள்

விரிவுரைகள் 8. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடுகள்.

க்கு ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடு உடல் பணிகள்ஒரு தொகுப்பின் மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் சேர்க்கையின் சொத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. எனவே, ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, தொகுப்பில் சேர்க்கப்படும் அளவுகளைக் கணக்கிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், வளைவின் நீளம், மேற்பரப்பு பகுதி, உடலின் அளவு மற்றும் உடலின் நிறை ஆகியவை ஒரே பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. எனவே, இந்த அளவுகள் அனைத்தையும் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

சிக்கல்களைத் தீர்க்க நீங்கள் இரண்டு முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்: ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறை மற்றும் வேறுபாடுகளின் முறை.

ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறை ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கட்டுமானத்தை மீண்டும் செய்கிறது: ஒரு பகிர்வு கட்டப்பட்டது, புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன, செயல்பாடு அவற்றில் கணக்கிடப்படுகிறது, ஒருங்கிணைந்த தொகை கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும் வரம்பிற்கு செல்லும் பாதை செய்யப்படுகிறது. இந்த முறையில், முக்கிய சிரமம் என்னவென்றால், வரம்பில் உள்ள முடிவு சிக்கலில் சரியாகத் தேவை என்பதை நிரூபிப்பதாகும்.

வேறுபட்ட முறை பயன்படுத்துகிறது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புமற்றும் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம். தீர்மானிக்கப்பட வேண்டிய அளவின் வேறுபாடு கணக்கிடப்படுகிறது, பின்னர், இந்த வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், தேவையான அளவு நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகிறது. இந்த முறையில், முக்கிய சிரமம் என்னவென்றால், அது கணக்கிடப்பட்ட தேவையான மதிப்பின் வேறுபாடு என்பதை நிரூபிப்பது, வேறு ஒன்று அல்ல.

விமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் கணக்கீடு.

1. குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது கார்ட்டீசியன் அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள்

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியின் சிக்கலில் இருந்து ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்துக்கு நாங்கள் வந்தோம் (உண்மையில், ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி). ஒரு சார்பு எதிர்மறை மதிப்புகளை மட்டுமே எடுத்துக் கொண்டால், ஒரு பிரிவில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பகுதியை ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும். என்பதை கவனிக்கவும் எனவே, வேறுபாடுகளின் முறையையும் இங்கே காணலாம்.

ஆனால் ஒரு செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கலாம், பின்னர் இந்த பிரிவில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பானது எதிர்மறையான பகுதியைக் கொடுக்கும், இது பகுதியின் வரையறைக்கு முரணானது.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கணக்கிடலாம்எஸ்=. எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும் பகுதிகளில் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை மாற்றுவதற்கு இது சமம்.

ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவை மேலே செயல்பாட்டின் வரைபடத்தாலும், கீழே செயல்பாட்டின் வரைபடத்தாலும் கணக்கிட வேண்டும் என்றால், நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்எஸ்= , ஏனெனில்.

உதாரணம். x=0, x=2 என்ற நேர்கோடுகள் மற்றும் y=x 2, y=x 3 சார்புகளின் வரைபடங்கள் ஆகியவற்றால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடவும்.

இடைவெளியில் (0,1) சமத்துவமின்மை x 2 > x 3 மற்றும் x >1 க்கு சமத்துவமின்மை x 3 > x 2 உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதனால் தான்

2. துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்படட்டும், மேலும் இரண்டு கதிர்கள் மற்றும் ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவுத் துறையின் பரப்பளவைக் கணக்கிட விரும்புகிறோம்.

இங்கே நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் முறையைப் பயன்படுத்தலாம், ஒரு வளைவுத் துறையின் பரப்பளவை தொடக்கத் துறைகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையின் வரம்பாகக் கணக்கிடலாம், இதில் செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு வட்ட வில் மூலம் மாற்றப்படுகிறது. .

நீங்கள் வேறுபட்ட முறையைப் பயன்படுத்தலாம்: .

இப்படி யோசிக்கலாம். மையக் கோணத்துடன் தொடர்புடைய அடிப்படை வளைவுத் துறையை வட்டத் துறையுடன் மாற்றினால், எங்களிடம் விகிதம் உள்ளது. இங்கிருந்து . நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை ஒருங்கிணைத்து பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம் .

உதாரணம். வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவோம் (சூத்திரத்தைச் சரிபார்க்கவும்). நாங்கள் நம்புகிறோம். வட்டத்தின் பரப்பளவு .

உதாரணம். கார்டியோயிட் எல்லைக்குட்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுவோம் .

3 அளவுருவில் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

செயல்பாட்டை அளவுரு வடிவத்தில் வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம். நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் எஸ்= , புதிய மாறியின் மீதான ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை அதில் மாற்றுகிறது. . வழக்கமாக, ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடும்போது, ​​​​ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட அடையாளத்தைக் கொண்ட பகுதிகள் அடையாளம் காணப்பட்டு, ஒன்று அல்லது மற்றொரு அடையாளத்துடன் தொடர்புடைய பகுதி கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

உதாரணம். நீள்வட்டத்தால் சூழப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்.

நீள்வட்டத்தின் சமச்சீர்நிலையைப் பயன்படுத்தி, முதல் நாற்கரத்தில் அமைந்துள்ள நீள்வட்டத்தின் காலாண்டின் பகுதியைக் கணக்கிடுகிறோம். இந்த நாற்கரத்தில். அதனால் தான் .

உடல் தொகுதிகளின் கணக்கீடு.

1. இணையான பிரிவுகளின் பகுதிகளிலிருந்து உடல்களின் அளவைக் கணக்கிடுதல்.

இந்த உடலின் அறியப்பட்ட குறுக்குவெட்டுப் பகுதிகளிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட உடல் V இன் அளவைக் கணக்கிடுவது OX கோட்டின் எந்தப் புள்ளியின் x வழியாகவும் வரையப்பட்ட OX கோட்டிற்கு செங்குத்தாக விமானங்கள் மூலம் கணக்கிட வேண்டும்.

வேறுபாடுகளின் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். அடிப்படை பரப்பளவு மற்றும் உயரம் கொண்ட வலது வட்ட உருளையின் கன அளவாக பிரிவின் மேலே உள்ள அடிப்படை அளவைக் கருத்தில் கொண்டு, நாம் பெறுகிறோம் . நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை ஒருங்கிணைத்து பயன்படுத்தினால், நாங்கள் பெறுகிறோம்

2. புரட்சியின் உடல்களின் தொகுதிகளின் கணக்கீடு.

கணக்கிடுவது அவசியமாக இருக்கட்டும் OX.

பிறகு .

அதேபோல், ஒரு அச்சைச் சுற்றியுள்ள புரட்சியின் உடலின் அளவுOY, செயல்பாடு படிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

செயல்பாடு படிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால் மற்றும் ஒரு அச்சைச் சுற்றி ஒரு சுழற்சியின் அளவை தீர்மானிக்க வேண்டும்OY, பின்னர் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை பின்வருமாறு பெறலாம்.

வித்தியாசத்தை கடந்து, இருபடி விதிமுறைகளை புறக்கணிக்கிறோம் . நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை ஒருங்கிணைத்து பயன்படுத்துகிறோம்.

உதாரணம். கோளத்தின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

உதாரணம். ஒரு மேற்பரப்பு மற்றும் ஒரு விமானத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வலது வட்டக் கூம்பின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

OXZ விமானத்தில் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் OZ அச்சைச் சுற்றி சுழற்சியால் உருவாகும் புரட்சியின் உடலின் கன அளவைக் கணக்கிடுவோம், அதன் கால்கள் OZ அச்சில் உள்ளது மற்றும் z = H கோடு, மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் உள்ளது வரி.

z இன் அடிப்படையில் x ஐ வெளிப்படுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம் .

வில் நீளம் கணக்கீடு.

ஒரு வளைவின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெற, வில் நீளத்தின் வேறுபாட்டிற்காக 1வது செமஸ்டரில் பெறப்பட்ட சூத்திரங்களை நினைவு கூர்வோம்.

வில் என்பது தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் வரைபடமாக இருந்தால், வில் நீள வேறுபாட்டை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

. அதனால் தான்

ஒரு மென்மையான வளைவு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டால், அது

. அதனால் தான் .

வளைவு ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், அது

. அதனால் தான் .

உதாரணம். செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் வளைவின் நீளத்தைக் கணக்கிடவும், . .

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு (DI) கணிதம் மற்றும் இயற்பியலின் நடைமுறை பயன்பாடுகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

குறிப்பாக, வடிவவியலில், OR களைப் பயன்படுத்தி பகுதிகள் காணப்படுகின்றன எளிய புள்ளிவிவரங்கள்மற்றும் சிக்கலான மேற்பரப்புகள், புரட்சியின் உடல்கள் மற்றும் தன்னிச்சையான வடிவத்தின் உடல்கள், ஒரு விமானம் மற்றும் விண்வெளியில் வளைவுகளின் நீளம்.

இயற்பியல் மற்றும் கோட்பாட்டு இயக்கவியலில், ROI கள் நிலையான தருணங்கள், நிறை மற்றும் பொருள் வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகளின் வெகுஜன மையங்களைக் கணக்கிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஒரு வளைவு பாதையில் ஒரு மாறி விசையின் வேலையைக் கணக்கிட, முதலியன.

ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பகுதி

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள சில விமான உருவம் $xOy$ வளைவு $y=y_(1) \left(x\right)$, கீழே இருந்து $y=y_(2) \இடது (x\வலது)$ , மற்றும் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் செங்குத்து நேர்கோடுகள் முறையே $x=a$ மற்றும் $x=b$. பொது வழக்கில், அத்தகைய உருவத்தின் பரப்பளவு RO $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2 ஐப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ) \left(x\right )\right)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஆய அமைப்பில் சில தட்டையான உருவம் $xOy$ வலதுபுறத்தில் $x=x_(1) \left(y\right)$, இடதுபுறம் $x=x_(2) \இடது(y\வலது) $, மற்றும் கீழும் மேலேயும் கிடைமட்ட நேர்கோடுகள் முறையே $y=c$ மற்றும் $y=d$, பிறகு அத்தகைய உருவத்தின் பரப்பளவு ROI $S=\int ஐப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. \ வரம்புகள் _(c)^(d)\left(x_(1 ) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கருதப்படும் ஒரு தட்டையான உருவம் (வளைவுத் துறை), ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் உருவாக்கப்படட்டும் $\rho =\rho \left(\phi \right)$, அதே போல் கோணங்களில் செல்லும் இரண்டு கதிர்கள் $ \phi =\alpha $ மற்றும் $\phi =\beta $ முறையே. அத்தகைய வளைவுத் துறையின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $.

வளைவு வளைவு நீளம்

பிரிவில் $\இடது[\alpha ,\; \beta \right]$ வளைவானது துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் $\rho =\rho \left(\phi \right)$ சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்படுகிறது, பின்னர் அதன் வளைவின் நீளம் அல்லது $L=\int ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. \ வரம்புகள் _(\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\ ஃபை $.

ஒரு பிரிவில் $\left$ ஒரு வளைவு $y=y\left(x\right)$ சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் வளைவின் நீளம் ROI $L=\int \limits _(a) ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும். ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

பிரிவில் $\இடது[\alpha ,\; \beta \right]$ வளைவு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, அதாவது $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, அதன் வளைவின் நீளம் இதைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது ROI $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

இணையான பிரிவுகளின் பகுதிகளிலிருந்து உடலின் அளவைக் கணக்கிடுதல்

$a\le x\le b$ நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் குறுக்குவெட்டு பகுதிகள் $S\left(x\right)$ செங்குத்தாக விமானங்கள் மூலம் ஒரு இடஞ்சார்ந்த உடலின் அளவைக் கண்டறிவது அவசியமாக இருக்கட்டும். $Ox$ அச்சு அறியப்படுகிறது.

அத்தகைய உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

புரட்சியின் உடலின் தொகுதி

$\left$ பிரிவில் $y=y\left(x\right)$ ஒரு எதிர்மறையான தொடர்ச்சியற்ற செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டு, வளைவு ட்ரேப்சாய்டை (CrT) உருவாக்குகிறது. இந்த KrT ஐ $Ox$ அச்சில் சுழற்றினால், சுழற்சி உடல் என்று அழைக்கப்படும் உடல் உருவாகிறது.

புரட்சியின் உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவது அதன் இணையான பிரிவுகளின் அறியப்பட்ட பகுதிகளிலிருந்து உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு ஆகும். தொடர்புடைய சூத்திரம் $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \இடது(x\வலது)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள சில விமான உருவம் $xOy$ வளைவு $y=y_(1) \left(x\right)$, கீழே இருந்து $y=y_(2) \இடது (x\right)$ , இதில் $y_(1) \left(x\right)$ மற்றும் $y_(2) \left(x\right)$ ஆகியவை எதிர்மறை அல்ல தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள், மற்றும் இடது மற்றும் வலது செங்குத்து நேர்கோடுகள் முறையே $x=a$ மற்றும் $x=b$. $Ox$ அச்சைச் சுற்றி இந்த உருவத்தின் சுழற்சியால் உருவான உடலின் அளவு RO $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1)^ ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. (2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சில தட்டையான உருவம் $xOy$ வலதுபுறத்தில் $x=x_(1) \left(y\right)$, இடதுபுறம் $x=x_(2) \left(y\right)$ , இங்கு $x_(1) \left(y\right)$ மற்றும் $x_(2) \left(y\right)$ ஆகியவை எதிர்மறை அல்லாத தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள், மேலும் கீழும் மேலேயும் கிடைமட்டமாக இருக்கும் நேர்கோடுகள் $y=c$ மற்றும் $y= d$ அதன்படி. $Oy$ அச்சில் இந்த உருவத்தின் சுழற்சியால் உருவான உடலின் கன அளவு RO $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1)^ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. (2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

புரட்சியின் உடலின் மேற்பரப்பு பகுதி

$y=y\left(x\right)$ என்ற பிரிவில் $y=y\left(x\right)$ ஒரு தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலான $y"\left(x\right)$ உடன் கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும். இந்த செயல்பாடு CRTயை உருவாக்குகிறது. $Ox அச்சில் $ சுற்றி இந்த CRT சுழற்ற, பின்னர் அது தன்னை ஒரு புரட்சியை உருவாக்குகிறது, மற்றும் வில் KrT அதன் மேற்பரப்பு போன்ற ஒரு புரட்சியின் மேற்பரப்பு $Q=2\cdot மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது \pi \cdot \int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

$x=\phi \left(y\right)$ வளைவு, $\phi \left(y\right)$ என்பது $c\le y\le d பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்மறை சார்பு அல்ல என்று வைத்துக்கொள்வோம். $, $Oy$ அச்சில் சுழற்றப்பட்டது. இந்த வழக்கில், உருவான புரட்சியின் பரப்பளவு RO $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

ROI இன் இயற்பியல் பயன்பாடுகள்

1. $t=t_(0)$ நேரத்தில் நகரத் தொடங்கிய பொருள் புள்ளியின் $v=v\left(t\right)$ என்ற மாறி வேகத்துடன் $t=T$ நேரத்தில் பயணித்த தூரத்தைக் கணக்கிட, பயன்படுத்தவும் ROI $S =\int \ வரம்புகள் _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
2. $F=F\left(x\right)$ பயன்படுத்தப்படும் மாறி விசையின் வேலையை கணக்கிட பொருள் புள்ளி$x=a$ புள்ளியில் இருந்து $x=b$ புள்ளிக்கு $Ox$ அச்சில் நேரான பாதையில் நகரும் (விசையின் திசையானது இயக்கத்தின் திசையுடன் ஒத்துப்போகிறது) OP $A=\int \ வரம்புகளைப் பயன்படுத்தவும் _(a)^(b) F\left(x\right)\cdot dx $.
3. $\left$ இடைவெளியில் $y=y\left(x\right)$ வளைவின் ஆய அச்சுகள் பற்றிய நிலையான தருணங்கள் $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _( a)^(b)y \left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ மற்றும் $M_(y) =\rho \cdot \int \ வரம்புகள் _(a )^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, இந்த வளைவின் நேரியல் அடர்த்தி $\rho $ நிலையானதாக கருதப்படுகிறது.
4. ஒரு பொருள் வளைவின் வெகுஜன மையம் என்பது அதன் அனைத்து நிறைகளும் நிபந்தனையுடன் குவிந்திருக்கும் புள்ளியாகும், இதனால் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளியின் நிலையான தருணங்கள் முழு வளைவின் நிலையான தருணங்களுக்கு சமமாக இருக்கும்.

ஒரு விமான வளைவின் வெகுஜன மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^( 2) \இடது(x\ வலது)) \cdot dx )(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ மற்றும் $y_(C) =\frac(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right )) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

5. பொருளின் நிலையான தருணங்கள் தட்டையான உருவம்ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய KpT வடிவத்தில் $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\ right)\cdot dx $ மற்றும் $M_(y) =\rho \cdot \int \ வரம்புகள் _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
6. $\இடது$ இடைவெளியில் $y=y\left(x\right)$ வளைவால் உருவாக்கப்பட்ட KrT வடிவில் உள்ள ஒரு பொருள் தட்டையான உருவத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொகுப்புகள் $x_(சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன. C) =\frac(\int \ வரம்புகள் _(a )^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot dx ) $ மற்றும் $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \வரம்புகள் _(a)^(b)y^(2) \left(x \right)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் சில பயன்பாடுகளை முன்வைப்போம்.

ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு ஒரு வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது (எங்கே
), நேராக
,
மற்றும் ஒரு பிரிவு
அச்சுகள்
, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

.

வளைவுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவத்தின் பகுதி
மற்றும்
(எங்கே
) நேராக
மற்றும்
சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

வளைவு அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால்
, பின்னர் நேர்கோடுகளால் இந்த வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதி
,
மற்றும் ஒரு பிரிவு
அச்சுகள்
, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

,

எங்கே மற்றும் சமன்பாடுகளிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது
,
, ஏ
மணிக்கு
.

ஒரு வளைவுத் துறையின் பரப்பளவு குறிப்பிடப்பட்ட வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது துருவ ஆயத்தொலைவுகள்சமன்பாடு
மற்றும் இரண்டு துருவ ஆரங்கள்
,
(
), சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது

.

எடுத்துக்காட்டு 1.27.பரவளையத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்
மற்றும் நேராக
(படம் 1.1).

.

பின்னர் சூத்திரம் (1.6) மூலம் எங்களிடம் உள்ளது
விமான வளைவின் வில் நீளத்தைக் கணக்கிடுதல்
வளைவு என்றால்
பிரிவில்

.

- மென்மையானது (அதாவது, வழித்தோன்றல்
(
தொடர்ச்சியாக), பின்னர் இந்த வளைவின் தொடர்புடைய வளைவின் நீளம் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது ஒரு வளைவை அளவுருவாகக் குறிப்பிடும்போது - தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகள்) அளவுருவில் ஒரு மோனோடோனிக் மாற்றத்துடன் தொடர்புடைய வளைவின் வளைவின் நீளம் , சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

இருந்துசெய்ய
,
,
.

தீர்வு.எடுத்துக்காட்டு 1.28. :
,
ஒரு வளைவின் வில் நீளத்தைக் கணக்கிடுங்கள்

.

2. பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் வேறுபட்ட கால்குலஸ்

ஒவ்வொரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி எண்களையும் விடுங்கள்
சில பகுதியில் இருந்து
ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்கு ஒத்திருக்கிறது
. பிறகு அழைக்கப்பட்டது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு மற்றும் ,
-சுயாதீன மாறிகள் அல்லது வாதங்கள் ,
-வரையறையின் களம் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒரு தொகுப்பு அனைத்து செயல்பாடு மதிப்புகள் - அதன் மதிப்புகளின் வரம்பு மற்றும் குறிக்கவும்
.

வடிவியல் ரீதியாக, ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் பொதுவாக விமானத்தின் சில பகுதியைக் குறிக்கிறது
, இந்தப் பகுதியைச் சேர்ந்ததாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாத கோடுகளால் வரம்பிடப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2.1.வரையறையின் களத்தைக் கண்டறியவும்
செயல்பாடுகள்
.

மேலும், எந்த புள்ளிகளுக்கான புள்ளிகளை நேரடியாகச் சரிபார்ப்பது எளிது , பரவளையத்திற்கு மேலே அமைந்துள்ளது. பிராந்தியம்
, ஏ திறந்த நிலையில் உள்ளது மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம்:
மாறி என்றால்
சில அதிகரிப்பு கொடுங்கள் நிலையான விட்டு, பின்னர் செயல்பாடு ஒரு அதிகரிப்பு கிடைக்கும் :

, அழைக்கப்பட்டது தனிப்பட்ட செயல்பாடு அதிகரிப்பு
, ஏ மாறி மூலம்
மாறி என்றால்
சில அதிகரிப்பு கொடுங்கள் நிலையான விட்டு, பின்னர் செயல்பாடு அதேபோல், மாறி என்றால் :

அதிகரிப்பு கிடைக்கும்

,

,

நிலையானது, பின்னர் செயல்பாடு மாறி மூலம்
வரம்புகள் இருந்தால்: மற்றும் அவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள்

ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் மாறிகள் மூலம்

முறையே. குறிப்பு 2.1.

எந்த எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.
.

குறிப்பு 2.2.எந்த மாறியைப் பொறுத்தமட்டில் பகுதி வழித்தோன்றல் இந்த மாறியைப் பொறுத்த வரையில் இருந்து, மற்ற மாறிகள் நிலையானதாக இருந்தால், ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான அனைத்து விதிகளும் எத்தனை மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்குப் பொருந்தும்.

,

.

எடுத்துக்காட்டு 2.2.தீர்வு
.

குறிப்பு 2.2.எந்த மாறியைப் பொறுத்தமட்டில் பகுதி வழித்தோன்றல் இந்த மாறியைப் பொறுத்த வரையில் இருந்து, மற்ற மாறிகள் நிலையானதாக இருந்தால், ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான அனைத்து விதிகளும் எத்தனை மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்குப் பொருந்தும்.

,

,

.

. நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்:
எடுத்துக்காட்டு 2.3.

செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்
முழு செயல்பாடு அதிகரிப்பு
மற்றும்
,வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது முழு செயல்பாடு அதிகரிப்பின் முக்கிய பகுதி
, சார்பற்ற மாறிகளின் அதிகரிப்புகளை நேரியல் சார்ந்தது

,

எங்கே
,
செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது

மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது
. ஒரு செயல்பாட்டில் தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்கள் இருந்தால், மொத்த வேறுபாடு உள்ளது மற்றும் சமமாக இருக்கும்

.

- சுயாதீன மாறிகளின் தன்னிச்சையான அதிகரிப்புகள், அவற்றின் வேறுபாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
இதேபோல், மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு
மொத்த வேறுபாடு வழங்கப்படுகிறது செயல்படட்டும் புள்ளியில் உள்ளது
அனைத்து மாறிகள் தொடர்பாக முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள். பின்னர் திசையன் அழைக்கப்படுகிறது
சாய்வு
செயல்பாடுகள்
.

புள்ளியில் மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது
அல்லது

எடுத்துக்காட்டு 2.4.ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்
.

குறிப்பு 2.2.. பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

,
,

மற்றும் புள்ளியில் அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்
:

,
,
.

எனவே,
.

வழித்தோன்றல் செயல்பாடுகள்
புள்ளியில்
திசையன் திசையில்
விகிதத்தின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது
மணிக்கு
:

, எங்கே
.

செயல்பாடு என்றால்
வேறுபடுத்தக்கூடியது, பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட திசையில் உள்ள வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

,

எங்கே ,- கோணங்கள், இது ஒரு திசையன் அச்சுகள் கொண்ட வடிவங்கள்
மற்றும்
முறையே.

மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தில்
திசை வழித்தோன்றல் இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது. தொடர்புடைய சூத்திரம்

எங்கே
- திசையன் திசையின் கொசைன்கள் .

எடுத்துக்காட்டு 2.5.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
அனைத்து மாறிகள் தொடர்பாக முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள். பின்னர் திசையன் அழைக்கப்படுகிறது
திசையன் திசையில்
, எங்கே
.

குறிப்பு 2.2.. வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம்
மற்றும் அதன் திசை கோசைன்கள்:

,
,
,
.

புள்ளியில் பகுதி வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவோம்
:

,
,
;
,
,
.

(2.1) க்கு மாற்றாக, நாங்கள் பெறுகிறோம்

.

இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் முதல் வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட பகுதி வழித்தோன்றல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன:

,

,

,

பகுதி வழித்தோன்றல்கள்
,
அழைக்கப்படுகின்றன கலந்தது . இந்த வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் புள்ளிகளில் கலப்பு வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகள் சமமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.6.ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்
.

குறிப்பு 2.2.. முதல் வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களை முதலில் கணக்கிடுவோம்:

,
.

அவற்றை மீண்டும் வேறுபடுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

,
,

,
.

கடைசி வெளிப்பாடுகளை ஒப்பிடுகையில், நாம் அதைக் காண்கிறோம்
.

எடுத்துக்காட்டு 2.7.செயல்பாடு என்பதை நிரூபிக்கவும்
லாப்லேஸின் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது

.

குறிப்பு 2.2.எந்த மாறியைப் பொறுத்தமட்டில் பகுதி வழித்தோன்றல் இந்த மாறியைப் பொறுத்த வரையில் இருந்து, மற்ற மாறிகள் நிலையானதாக இருந்தால், ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான அனைத்து விதிகளும் எத்தனை மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்குப் பொருந்தும்.

,
.

,
.

.

புள்ளி
அழைக்கப்பட்டது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளி (குறைந்தபட்சம் ) செயல்பாடுகள்
, அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் என்றால்
, வேறுபட்டது
மற்றும் அதன் போதுமான சிறிய சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தது, சமத்துவமின்மை

(
).

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் அதன் அழைக்கப்படுகிறது உச்சநிலை . செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை அடையும் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி .

தேற்றம் 2.1 (ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள் ). புள்ளி என்றால்
செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி
, அல்லது இந்த வழித்தோன்றல்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இல்லை.

இந்த நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன நிலையான அல்லது முக்கியமான . எக்ஸ்ட்ரீம் புள்ளிகள் எப்போதும் நிலையாக இருக்கும், ஆனால் ஒரு நிலையான புள்ளி ஒரு தீவிர புள்ளியாக இருக்காது. ஒரு நிலையான புள்ளி ஒரு தீவிர புள்ளியாக இருக்க, உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்.

முதலில் பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம் :

,
,
,
.

தேற்றம் 2.2 (ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் ). - சுயாதீன மாறிகளின் தன்னிச்சையான அதிகரிப்புகள், அவற்றின் வேறுபாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் இருமுறை வேறுபடும்
மற்றும் காலம்
செயல்பாட்டிற்கு நிலையானது
. பிறகு:

1.என்றால்
, பின்னர் புள்ளி
செயல்பாட்டின் உச்சம், மற்றும்
அதிகபட்ச புள்ளியாக இருக்கும்
(
)மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளி
(
).

2.என்றால்
, பின்னர் புள்ளியில்

தீவிரம் இல்லை.

3.என்றால்
, பின்னர் உச்சநிலை இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.8.தீவிர செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள்
.

குறிப்பு 2.2.. இந்த வழக்கில் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் எப்போதும் இருப்பதால், நிலையான (முக்கியமான) புள்ளிகளைக் கண்டறிய, நாங்கள் கணினியைத் தீர்க்கிறோம்:

,
,

எங்கே
,
,
,
. எனவே, எங்களுக்கு இரண்டு நிலையான புள்ளிகள் கிடைத்தன:
,
.

,
,
.

ஒரு புள்ளிக்கு
நாம் பெறுகிறோம்:, அதாவது, இந்த கட்டத்தில் எந்த உச்சமும் இல்லை. ஒரு புள்ளிக்கு
நாம் பெறுகிறோம்: மற்றும்
, எனவே

இந்த கட்டத்தில் இந்த செயல்பாடுஉள்ளூர் குறைந்தபட்சத்தை அடைகிறது: .

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் மேலே கட்டப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி y=f(x), இடது மற்றும் வலது - நேராக x=aமற்றும் x=bஅதன்படி, கீழே இருந்து - அச்சு எருது, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வலதுபுறத்தில் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி x=φ(y), மேலே மற்றும் கீழே - நேராக y=dமற்றும் y=cஅதன்படி, இடதுபுறத்தில் - அச்சு ஓ:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் மேலே வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு வளைவு உருவத்தின் பகுதி y 2 =f 2 (x), கீழே - செயல்பாட்டு வரைபடம் y 1 =f 1 (x), இடது மற்றும் வலது - நேராக x=aமற்றும் x=b:

செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட வளைவு உருவத்தின் பகுதி x 1 =φ 1 (y)மற்றும் x 2 =φ 2 (y), மேலே மற்றும் கீழே - நேராக y=dமற்றும் y=cமுறையே:

மேலே இருந்து வளைவு ட்ரேப்சாய்டைக் கட்டுப்படுத்தும் கோடு அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்படும் போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம் x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), எங்கே α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. இந்த சமன்பாடுகள் சில செயல்பாடுகளை வரையறுக்கின்றன y=f(x)பிரிவில் [ a, b]. வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

ஒரு புதிய மாறிக்கு செல்லலாம் x = φ 1 (t), பிறகு dx = φ" 1 (t) dt, ஏ y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), எனவே \தொடங்கு(டிஸ்ப்ளேமேத்)

துருவ ஆயங்களில் உள்ள பகுதி

ஒரு வளைவுத் துறையைக் கவனியுங்கள் OAB, ஒரு கோட்டால் கட்டப்பட்டது, சமன்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது ρ=ρ(φ) துருவ ஆயங்களில், இரண்டு கதிர்கள் ஓ.ஏ.மற்றும் ஓ.பி., எதற்காக φ=α , φ=β .

இத்துறையை அடிப்படைத் துறைகளாகப் பிரிப்போம் ஓஎம் கே-1எம் கே ( k=1, …, n, எம் 0 = ஏ, எம் என் = பி) மூலம் குறிப்போம் Δφ கேகதிர்கள் இடையே கோணம் ஓஎம் கே-1மற்றும் ஓம் கே, துருவ அச்சுடன் கோணங்களை உருவாக்குகிறது φ k-1மற்றும் φkமுறையே. ஒவ்வொரு அடிப்படைத் துறைகளும் ஓஎம் கே-1 எம் கேஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத் துறையுடன் அதை மாற்றவும் ρ k =ρ(φ" k), எங்கே φ" கே- கோண மதிப்பு φ இடைவெளியில் இருந்து [ φ k-1 , φ k], மற்றும் மைய கோணம் Δφ கே. கடைசித் துறையின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது .

கொடுக்கப்பட்ட துறையை தோராயமாக மாற்றும் "படி" துறையின் பகுதியை வெளிப்படுத்துகிறது OAB.

துறை பகுதி OAB"படி" துறையின் பரப்பளவு வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது n → ∞மற்றும் λ=அதிகபட்சம் Δφ k → 0:

ஏனெனில் , அது

வளைவு வளைவு நீளம்

பிரிவில் விடுங்கள் [ a, b] வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது y=f(x), இதன் வரைபடம் பரிதி ஆகும். பிரிவு [ a,b] அதை பிரிப்போம் nபுள்ளிகள் கொண்ட பாகங்கள் x 1, x 2, …, xn-1. இந்த புள்ளிகள் புள்ளிகளுக்கு ஒத்திருக்கும் எம் 1, எம் 2, …, Mn-1வளைவுகள், அவற்றை உடைந்த கோடுடன் இணைக்கிறோம், இது வில் பொறிக்கப்பட்ட உடைந்த கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த உடைந்த கோட்டின் சுற்றளவு குறிக்கப்படும் s n, அதாவது

வரையறை. ஒரு கோட்டின் வளைவின் நீளம், அதில் பொறிக்கப்பட்ட உடைந்த கோட்டின் சுற்றளவு வரம்பு ஆகும், போது இணைப்புகளின் எண்ணிக்கை எம் கே-1 எம் கேவரம்பற்ற அளவில் அதிகரிக்கிறது, மேலும் அவற்றில் பெரியவற்றின் நீளம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்:

இதில் λ என்பது மிகப்பெரிய இணைப்பின் நீளம்.

வளைவின் நீளத்தை சில புள்ளிகளிலிருந்து எண்ணுவோம், எடுத்துக்காட்டாக, ஏ. புள்ளியில் விடுங்கள் M(x,y)வில் நீளம் உள்ளது கள், மற்றும் புள்ளியில் எம்"(x+Δ x,y+Δy)வில் நீளம் உள்ளது s+Δs, எங்கே,i>Δs என்பது வளைவின் நீளம். முக்கோணத்தில் இருந்து எம்என்எம்"நாண் நீளத்தைக் கண்டுபிடி: .

வடிவியல் கருத்தில் இருந்து அது பின்வருமாறு

அதாவது, ஒரு கோட்டின் எல்லையற்ற வளைவும், அதைக் குறிக்கும் நாண்களும் சமமானவை.

நாண் நீளத்தை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரத்தை மாற்றுவோம்:

இந்த சமத்துவத்தில் வரம்பைக் கடந்து, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம் s=s(x):

அதிலிருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

இந்த சூத்திரம் ஒரு விமான வளைவின் வளைவின் வேறுபாட்டை வெளிப்படுத்துகிறது மற்றும் எளிமையானது வடிவியல் பொருள்: ஒரு எண்ணற்ற முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றத்தை வெளிப்படுத்துகிறது எம்டிஎன் (ds=MT, ).

இடஞ்சார்ந்த வளைவின் வளைவின் வேறுபாடு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

அளவுரு சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட இடஞ்சார்ந்த கோட்டின் வளைவைக் கவனியுங்கள்

எங்கே α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - வாதத்தின் வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் டி, அது

இடைவெளியில் இந்த சமத்துவத்தை ஒருங்கிணைத்தல் [ α, β ], இந்த வரி வளைவின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்

கோடு விமானத்தில் இருந்தால் ஆக்சி, அது z=0அனைவருக்கும் முன்னால் t∈[α, β], அதனால் தான்

சமன்பாட்டால் ஒரு தட்டையான கோடு கொடுக்கப்பட்டால் y=f(x) (a≤x≤b), எங்கே f(x)ஒரு வேறுபட்ட செயல்பாடு, கடைசி சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கும்

சமன்பாட்டின் மூலம் விமானக் கோட்டைக் கொடுக்கலாம் ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) துருவ ஆயங்களில். இந்த வழக்கில், கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகள் உள்ளன x=ρ(φ) காஸ் φ, y=ρ(φ) பாவம் φ, துருவ கோணம் ஒரு அளவுருவாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது φ . இருந்து

கோட்டின் வளைவின் நீளத்தை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரம் ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β துருவ ஆயங்களில், வடிவம் உள்ளது

உடல் அளவு

ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் செங்குத்தாக இந்த உடலின் குறுக்குவெட்டின் பரப்பளவு தெரிந்தால், உடலின் அளவைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இந்த உடலை அச்சுக்கு செங்குத்தாக விமானங்கள் மூலம் அடிப்படை அடுக்குகளாகப் பிரிப்போம் எருதுமற்றும் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது x=const. எந்த நிலையானது x∈அறியப்பட்ட பகுதி S=S(x)கொடுக்கப்பட்ட உடலின் குறுக்குவெட்டு.

அடிப்படை அடுக்கு விமானங்களால் துண்டிக்கப்பட்டது x=x k-1, x=x கே (k=1, …, n, x 0 = a, x n =b), உயரத்துடன் ஒரு சிலிண்டருடன் அதை மாற்றவும் Δx k =x k -x k-1மற்றும் அடிப்படை பகுதி S(ξ k), ξ k ∈.

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அடிப்படை சிலிண்டரின் அளவு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது Δv k =E(ξ k)Δx k. அத்தகைய அனைத்து தயாரிப்புகளையும் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான ஒருங்கிணைந்த தொகை S=S(x)பிரிவில் [ a, b]. இது ஒரு படிநிலை உடலின் அளவை வெளிப்படுத்துகிறது, இது அடிப்படை சிலிண்டர்களைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் தோராயமாக இந்த உடலை மாற்றுகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட உடலின் அளவு என்பது குறிப்பிட்ட படிநிலை உடலின் அளவின் வரம்பாகும் λ→0 , எங்கே λ - அடிப்படைப் பிரிவுகளில் மிகப்பெரிய நீளம் Δxk. மூலம் குறிப்போம் விகொடுக்கப்பட்ட உடலின் அளவு, பின்னர் வரையறையின்படி

மறுபுறம்,

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட படி உடலின் அளவு குறுக்கு பிரிவுகள்சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

ஒரு அச்சை சுற்றி சுழற்சி மூலம் ஒரு உடல் உருவாகிறது என்றால் எருதுஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு மேல் ஒரு தொடர்ச்சியான கோட்டின் வில் மூலம் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது y=f(x), எங்கே a≤x≤b, அது S(x)=πf 2 (x)மற்றும் கடைசி சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கிறது:

கருத்து. செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வலதுபுறத்தில் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் அளவு x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), அச்சைச் சுற்றி ஓசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

சுழற்சியின் மேற்பரப்பு பகுதி

கோட்டின் வளைவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பைக் கவனியுங்கள் y=f(x) (a≤x≤b) அச்சைச் சுற்றி எருது(செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம் y=f(x)தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல் உள்ளது). மதிப்பை சரிசெய்தல் x∈, செயல்பாடு வாதத்திற்கு ஒரு அதிகரிப்பு கொடுப்போம் dx, இது அடிப்படை வளைவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட "எலிமெண்டரி வளையத்திற்கு" ஒத்திருக்கிறது Δl. இந்த "மோதிரத்தை" ஒரு உருளை வளையத்துடன் மாற்றுவோம் - ஒரு செவ்வகத்தின் சுழற்சியால் உருவாகும் உடலின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு வளைவின் வேறுபாட்டிற்கு சமமான அடித்தளத்துடன். dl, மற்றும் உயரம் h=f(x). கடைசி வளையத்தை வெட்டி, அதை விரிப்பதன் மூலம், அகலத்துடன் ஒரு துண்டு கிடைக்கும் dlமற்றும் நீளம் 2πy, எங்கே y=f(x).

எனவே, மேற்பரப்பு பகுதி வேறுபாடு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

இந்த சூத்திரம் ஒரு கோட்டின் வளைவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பை வெளிப்படுத்துகிறது y=f(x) (a≤x≤b) அச்சைச் சுற்றி எருது.

விரிவுரை 21 ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடுகள் (2 மணிநேரம்)

வடிவியல் பயன்பாடுகள்

A) உருவத்தின் பரப்பளவு

விரிவுரை 19 இல் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, வளைவினால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவிற்கு எண்ணியல் சமமாக உள்ளது. மணிக்கு = f(x), நேராக எக்ஸ் = ஏ, எக்ஸ் = பிமற்றும் பிரிவு [ அ, பி] OX அச்சு. மேலும், என்றால் f(x) £ 0 இல் [ அ, பி], பின்னர் ஒரு மைனஸ் அடையாளத்துடன் ஒருங்கிணைப்பு எடுக்கப்பட வேண்டும்.

அன்று என்றால் கொடுக்கப்பட்ட பிரிவுசெயல்பாடு மணிக்கு = f(x) அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, பின்னர் இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கும் OX அச்சுக்கும் இடையில் இணைக்கப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிட, நீங்கள் பிரிவை பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும், ஒவ்வொன்றிலும் செயல்பாடு அதன் அடையாளத்தைத் தக்கவைத்து, அதன் பகுதியைக் கண்டறியவும். உருவத்தின் ஒவ்வொரு பகுதியும். இந்த வழக்கில் தேவையான பகுதி இயற்கணிதத் தொகைஇந்த பிரிவுகளின் மீதான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்புகள் எதிர்மறை மதிப்புகள்செயல்பாடுகள் இந்த தொகையில் கழித்தல் குறியுடன் எடுக்கப்படுகின்றன.

ஒரு உருவம் இரண்டு வளைவுகளால் கட்டப்பட்டிருந்தால் மணிக்கு = f 1 (x) மற்றும் மணிக்கு = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), பின்னர், படம் 9 இலிருந்து பின்வருமாறு, அதன் பரப்பளவு வளைவு ட்ரேப்சாய்டுகளின் பகுதிகளில் உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமம் ஏசூரியன் பிமற்றும் ஏகி.பி பி, அவை ஒவ்வொன்றும் எண்ணியல் ரீதியில் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம். பொருள்

படம் 10a இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க: S = (நிரூபியுங்கள்!). படம் 10b இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்று சிந்தியுங்கள்?

நாங்கள் OX அச்சுக்கு அருகிலுள்ள வளைவு ட்ரேப்சாய்டுகளைப் பற்றி மட்டுமே பேசிக் கொண்டிருந்தோம். ஆனால் இதேபோன்ற சூத்திரங்கள் OU அச்சுக்கு அருகில் உள்ள புள்ளிவிவரங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, படம் 11 இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது

வரியை விடுங்கள் ஒய்=f(x), ஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டைக் கட்டுப்படுத்துவது, அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்படலாம், டிО , மற்றும் j(a)= ஏ, j(b) = பி, அதாவது மணிக்கு= பின்னர் இந்த வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும்

.

b) வளைவு வளைவு நீளம்

வளைவு கொடுக்கப்படட்டும் மணிக்கு = f(x) மாற்றத்துடன் தொடர்புடைய இந்த வளைவின் வளைவைக் கருத்தில் கொள்வோம் எக்ஸ்பிரிவில் [ அ, பி]. இந்த வளைவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, வளைவு AB ஐப் பிரிக்கிறோம் nபகுதிகள் A = M 0, M 1, M 2, ..., M n= B (படம் 14), புள்ளிகளுடன் தொடர்புடையது எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., x n Î [ அ, பி].

D ஐக் குறிப்போம் l iவில் நீளம், பின்னர் எல்= வில் நீளம் என்றால் D l iபோதுமான அளவு சிறியவை, பின்னர் அவை தோராயமாக கருதப்படலாம் சம நீளம்புள்ளிகளை இணைக்கும் தொடர்புடைய பிரிவுகள் எம் i-1, எம் i. இந்த புள்ளிகள் எம் i -1 (x i -1, f (x i-1)), எம் i(x i, f(x i)). பின்னர் பிரிவுகளின் நீளம் முறையே சமமாக இருக்கும்

Lagrange இன் சூத்திரம் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது. போடுவோம் x i – x i-1 =D x i, நாம் பெறுகிறோம்

பிறகு எல் = , எங்கே

எல் = .

இதனால், வளைவின் வில் நீளம் மணிக்கு = f(x), மாற்றத்துடன் தொடர்புடையது எக்ஸ்பிரிவில் [ அ, பி], சூத்திரத்தால் கண்டறியப்பட்டது

எல் = , (1)

வளைவு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டால், டிஓ, அதாவது. ஒய்(டி) = f(x(டி)), பின்னர் சூத்திரம் (1) இலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்:

எல்=
.

இதன் பொருள் ஒரு வளைவு அளவுருவாக கொடுக்கப்பட்டால், இந்த வளைவின் வளைவின் நீளம் மாற்றத்துடன் தொடர்புடையது. டிஓ, சூத்திரத்தால் கண்டறியப்பட்டது

V) சுழற்சியின் உடலின் அளவு.

இதேபோல், செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட OU அச்சில் ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தை நாம் பெறலாம். எக்ஸ்= ஜே( மணிக்கு), நேராக ஒய் = c , ஒய் = ஈமற்றும் பிரிவு [ c,ஈ] op-amp இன் அச்சு (படம் 15):

உடல் பயன்பாடுகள்திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த

விரிவுரை 19 இல், இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், ஒருங்கிணைப்பானது ஒரு நேர்கோட்டு மெல்லிய ஒத்திசைவற்ற நீளமுள்ள கம்பியின் நிறைக்கு சமம் என்பதை நிரூபித்தோம். எல்= பி – அ, மாறி கொண்டு நேரியல் அடர்த்திஆர் = f(x), f(x) ³ 0, எங்கே எக்ஸ்- தடியின் புள்ளியிலிருந்து அதன் இடது முனை வரையிலான தூரம்.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பிற இயற்பியல் பயன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பிரச்சனை 1. உயரம் H மற்றும் அடிப்படை ஆரம் R கொண்ட செங்குத்து உருளை தொட்டியில் இருந்து எண்ணெய் பம்ப் செய்ய தேவையான வேலையைக் கண்டறியவும். எண்ணெயின் அடர்த்தி r ஆகும்.

தீர்வு.கட்டுவோம் கணித மாதிரிஇந்த பணியின். OX அச்சு உயரம் H மற்றும் R ஆரம் கொண்ட சிலிண்டரின் சமச்சீர் அச்சில் செல்லட்டும், தோற்றம் சிலிண்டரின் மேல் தளத்தின் மையத்தில் உள்ளது (படம் 17). சிலிண்டரைப் பிரிப்போம் nசிறிய கிடைமட்ட பாகங்கள். அப்புறம் எங்கே ஏ ஐ- உந்தி வேலை iவது அடுக்கு. சிலிண்டரின் இந்த பிரிவு அடுக்கு உயரத்தில் உள்ள மாற்றத்தின் பிரிவின் பிரிவுக்கு ஒத்திருக்கிறது nபாகங்கள். தொலைவில் அமைந்துள்ள இந்த அடுக்குகளில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம் x iமேற்பரப்பில் இருந்து, அகலம் D எக்ஸ்(அல்லது உடனடியாக dx) இந்த அடுக்கை வெளியேற்றுவது அடுக்கை உயரத்திற்கு "உயர்த்துவது" என்று கருதலாம் x i.

இந்த அடுக்கை வெளியேற்றுவதற்கான வேலை சமமாக இருக்கும்

ஏ ஐ»பி i x i, ,

அங்கு பி i=ஆர்ஜிவி i= rgpR 2 dx, ஆர் i- எடை, வி i- அடுக்கின் அளவு. பிறகு ஏ ஐ» ஆர் i x i= rgpR 2 dx.x i, எங்கே

, எனவே .

பிரச்சனை 2. மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கண்டறியவும்

a) அதன் சமச்சீர் அச்சின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய வெற்று மெல்லிய சுவர் உருளை;

b) அதன் சமச்சீர் அச்சின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய திட உருளை;

c) நீளமுள்ள ஒரு மெல்லிய கம்பி எல்அதன் நடுப்பகுதி வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடையது;

ஈ) மெல்லிய கம்பி நீளம் எல்அதன் இடது முனை வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடையது.

தீர்வு.அறியப்பட்டபடி, அச்சுடன் தொடர்புடைய ஒரு புள்ளியின் நிலைமத்தின் தருணம் சமம் ஜே=திரு 2, மற்றும் புள்ளிகளின் அமைப்புகள்.

அ) சிலிண்டர் மெல்லிய சுவர் கொண்டது, அதாவது சுவர்களின் தடிமன் புறக்கணிக்கப்படலாம். உருளையின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் R ஆகவும், அதன் உயரம் H ஆகவும், சுவர்களில் நிறை அடர்த்தி r ஆகவும் இருக்கட்டும்.

சிலிண்டரைப் பிரிப்போம் nபாகங்கள் மற்றும் எங்கே கண்டுபிடிக்க ஜே ஐ- செயலற்ற தருணம் iபகிர்வின் உறுப்பு.

கருத்தில் கொள்வோம் iபகிர்வின் வது உறுப்பு (எல்லையற்ற சிலிண்டர்). அதன் அனைத்து புள்ளிகளும் அச்சில் இருந்து R தொலைவில் உள்ளன எல். இந்த உருளையின் நிறை இருக்கட்டும் டி ஐ, பிறகு டி ஐ= ஆர்.வி i» ஆர்.எஸ் பக்கம்= 2prR dx i, எங்கே x iஓ. பிறகு ஜே ஐ» R 2 prR dx i, எங்கே

.

r ஒரு மாறிலி என்றால், பின்னர் ஜே= 2prR 3 N, மற்றும் சிலிண்டரின் நிறை M = 2prRНக்கு சமமாக இருப்பதால் ஜே=எம்ஆர் 2.

b) சிலிண்டர் திடமாக இருந்தால் (நிரப்பப்பட்டது), பின்னர் நாம் அதை பிரிக்கிறோம் n vloமெல்லிய சிலிண்டர்கள் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன. என்றால் nபெரியது, இந்த சிலிண்டர்கள் ஒவ்வொன்றும் மெல்லிய சுவர்களாகக் கருதப்படலாம். இந்த பகிர்வு பிரிவின் பிரிவிற்கு ஒத்திருக்கிறது nபுள்ளிகள் R i. வெகுஜனத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் iமெல்லிய சுவர் சிலிண்டர்: டி ஐ= ஆர்.வி i, எங்கே

வி i= pR i 2 எச் - பிஆர் நான்- 1 2 H = pH(R i 2 -ஆர் i -1 2) =

PH(R i–ஆர் i-1)(ஆர் i+ஆர் i -1).

சிலிண்டர் சுவர்கள் மெல்லியதாக இருப்பதால், R என்று நாம் கருதலாம் i+ஆர் i-1 » 2ஆர் i, மற்றும் ஆர் i–ஆர் i-1 = DR i, பின்னர் வி i» pH2R iடி.ஆர். i, எங்கே டி ஐ» rpН×2R iடி.ஆர். i,

பின்னர் இறுதியாக

c) நீளமுள்ள ஒரு கம்பியைக் கவனியுங்கள் எல், அதன் நிறை அடர்த்தி r க்கு சமம். சுழற்சியின் அச்சு அதன் நடுவில் செல்லட்டும்.

நாங்கள் தடியை OX அச்சின் ஒரு பிரிவாக வடிவமைக்கிறோம், பின்னர் தடியின் சுழற்சியின் அச்சு OU அச்சாகும். ஒரு அடிப்படைப் பிரிவைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதன் நிறை, அச்சுக்கான தூரம் தோராயமாக சமமாக கருதப்படலாம் ஆர் ஐ= x i. இந்த பிரிவின் நிலைமத்தின் தருணம் சமமாக இருக்கும், முழு தடியின் நிலைமத்தின் தருணம் . தடியின் நிறை சமமாக இருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, பிறகு

ஈ) இப்போது சுழற்சியின் அச்சு தடியின் இடது முனை வழியாக செல்லட்டும், அதாவது. தடியின் மாதிரியானது OX அச்சின் ஒரு பிரிவாகும். பின்னர் இதேபோல், ஆர் ஐ= x i,, எங்கே , மற்றும் முதல் , பின்னர் .

பணி 3.கால்கள் கொண்ட வலது முக்கோணத்தில் அடர்த்தி r கொண்ட திரவத்தின் அழுத்த விசையைக் கண்டறியவும் ஏமற்றும் பி, செங்குத்தாக திரவத்தில் மூழ்கி அதனால் கால் ஏதிரவத்தின் மேற்பரப்பில் அமைந்துள்ளது.

குறிப்பு 2.2..

பிரச்சனையின் மாதிரியை உருவாக்குவோம். மேலே விடுங்கள் வலது கோணம்முக்கோணம் தோற்றத்தில் உள்ளது, கால் ஏ OU அச்சின் ஒரு பகுதியுடன் ஒத்துப்போகிறது (OU அச்சு திரவத்தின் மேற்பரப்பை தீர்மானிக்கிறது), OX அச்சு கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது, கால் பிஇந்த அச்சின் ஒரு பகுதியுடன் ஒத்துப்போகிறது. இந்த முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் சமன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது .

பகுதியின் கிடைமட்டப் பகுதியில் இருந்தால் அது அறியப்படுகிறது எஸ், அடர்த்தியான r இன் திரவத்தில் மூழ்கி, உயரத்தின் திரவத்தின் நெடுவரிசையால் அழுத்தப்படுகிறது ம, பின்னர் அழுத்த விசை சமம் (பாஸ்கலின் சட்டம்). இந்த சட்டத்தை பயன்படுத்துவோம்.